JPH0314128A - 対数表現数値利用の演算装置 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 （産業上の利用分野） コンピュータなどのディジタル装置において、画像デー
タ、音声データ、メモリのアドレス値、画像配列上の座
標値などディジタル数値（特に固定小数点数）で表現さ
れるデータを高速に精度よく演算することに関する。

（従来の技術） 従来、固定小数点数で表されたデータは、固定小数点数
のまま固定小数点演算法で、または浮動小数点数に変換
して浮動小数点演算法で演算されていた。固定小数点演
算の場合演算速度は速いが、演算誤差が大きく、また、
ダイナミックレンジも小さく、演算の途中結果が大きく
なる場合、数値が表現できない欠点かある。浮動小数点
演算で行う場合、演算誤差は比較的小さいが、演算速度
が遅く、演算装置も複雑になる欠点がある。

また従来から、固定小数点演算法、浮動小数点演算性以
外の演算法で、対数表現数値演算法（Ｌｏｇａｒｉｔｈ
ｍｉｃＡｒｉｔｈｍｅｔｉｃ）という高速で精度のよい
演算法が知られている（例えば、文献：に１ｎｇｓｂｕ
ｒｙ　ａｎｄ　Ｒａｙｎｅｒ、”Ｄｉｇｉｔａｌ　ｆｉ
ｌｔｅｒｉｎｇｕｓｉｎｇ　ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃ　
ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃ”、　Ｅ、１ｅｃｔｒｏｎＬｅｔ
ｔ、、　ｖｏｌ、７．　ｐｐ、５６−５８．　Ｆｅｂ、
　１９７１）。その数値演算の原理を以下で示す。

対数表現数値演算法について： 対数表現数値演算法においては、数値は式（１）のよう
に表現される。

５ｄｓｄ＋ｄ２”・ｄｍｆ＋ｆ２・・・ｆ、　　　　　
　　　　　　（１）ここて、Ｓ　ｒ　ｄ　ｉ　、ｆ　Ｉ
は０または１でＳは数値の符号、ｄ−部とｆ一部の間に
は小数点があるとし、従って、ｄ（３） 部は整数部、ｆ一部は小数部である。対数の底は暗黙の
値で１より大きい数ａである。式（１）は式（２）の値
を表す。

±ａｔＪ２ｄ＋ｄ２°ｄｍｌ１２−１ｎ　　　　　　　
　（２）従って、ｄ一部とｆ一部は小数部のある固定小
数点数で数値の指数である。対数表現数値演算法におい
ては、乗除算は指数の固定小数点演算の加算または減算
である。従って、演算誤差はなく、高速にてきる。加算
を説明する。二つの数ａｘとａｖの加算を考える。その
和をａｚとすると、２を求めることが加算である。

ａｚ：ａｘ＋ａｖ：ａｘ（１＋ａｙ−ｘ）（３）である
から、ａを低とする対数をとると、式（３）％式％（４
） となる。’Ｏｇａ（１＋ａ−ｌｙ−ｘ＋）は１ｙ−ｘｌ
の関数であるから、１ｙ−ｘｌをアドレスとするルック
アップテーブルにより高速に演算できる。従って、対数
表現数値演算法における加算は高速にできる。Ｘ≦ｙの
場合はＸとｙを交換するだけで、同じように演算できる
。

（４） 次に減算であるが、ａＸからａｖを減じる場合、答えを
ａ２とすると、 ａｚ＝ａＸ−ａ’＝ａ”（１−ａ　　”−９１）（Ｘ＞
ｙの場合）　　　　　　（５） となり、対数をとると、 ｚ＝ｘ＋ｌｏｇａ（１−ａ−”−ν’）　　　　　　　
　　　（６）となる。従って、ｌｏｇａ（１−ａ−Ｘ−
”）をルックアップテーブルで予め用意しておけは、２
は高速に演算できる。Ｘ＜ｙの場合はＸとｙを入れ替え
た形で上記と同様にてきる。ｘ＝ｙのときは真の値はゼ
ロであるが、式（２）はゼロを表現できないのでゼロに
最も近い数を与える（ルックアップテーブルでそのよう
に用意しておく）。従って、２は負の数で表現可能な絶
対１直の最も大きい値となる。

累乗演算も高速にてきる。例えば、ある数ＸのＵ乗（Ｘ
υ、Ｕは実数）の計算が非常に高速にできる。

対数表現数値では指数を０倍すればよい。極端な例は平
方と平方根の計算である。平方の計算は指数を１ピツト
左シフトするだけである。平方根の場合は指数を１ビツ
ト右シフトするだけである。

また、対数表現数値演算法は同条件（同じ程度のダイナ
ミックレンジと一語のビット数が同し）の浮動小数点演
算よりも演算精度が高いことが知られている（例えは、
文献：　Ｋｕｒｏｋａｗａ、　Ｐａｙｎｅａｎｄ　Ｌｅ
ｅ、”Ｅｒｒｏｒ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｒｅｃｕ
ｒｓｉｖｅ　ｄｉｇｉ−ｔａｌ　　ｆｉｌｔｅｒｓ　　
ｉｍｐｌｅｍｅｎｔｅｄ　　ｗｉｔｈ　　ｌｏｇａｒｉ
ｔｈｍｉｃｎｕｍｂｅｒ　ｓｙｓｔｅｍｓ”、　ＩＥＥ
Ｅ　Ｔｒａｎｓ、　Ａｃｏｕｓｔ、、　５ｐｅｅｃｈａ
ｎｄ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ、　ｖｏｌ
、、　Ａ、５ＳＰ−２８，１３１１，７０６７１５、Ｄ
ｅｃ、　１９８０）。

従来、対数表現数値演算法による処理システムは第２図
で示す構成になっている。対数型アナログアンプ（４）
は、アナログ信号をアナログのまま対数に変換する（Ｘ
→Ｉｏｇ、ｘ）装置である。ＡＤコンバータ（５）は通
常のＡＤコンバータであり、アナログ信号をディジタル
信号に変換する。対数表現数値演算性利用の演算装置（
２）は対数表現数値演算法による演算装置である。ＤＡ
コンバータ（６）は通常のＤＡコンバータてあり、デジ
タル信号をアナログ信号に変換する。指数型アナログア
ンプ（７）はアナログ信号をアナログのまま指数変換す
る（Ｘ−＋ａｘ）。

以上のことく構成されるシステムでは、対数型アナログ
アンプ（４）や指数型アナログアンプ（７）という特別
のハードウェアがｌ・要であり、しかもその特性か対数
表現数値演算性利用の演算装置（２）と整合していなけ
ればならない。また、既存の画像、音声、その他データ
人カ装置によるデータは、そのままでは対数表現数値演
算法°利用のン寅１ｊｌＢ置（２）への入力データとは
ならない。

しかも、対数表現数値演算性利用の演算装置（２）はデ
ジタル・フィルタ等の限られた分野にしか使われていな
い。

（発明が解決しようとする課題） 本発明は、上記従来法の欠点を解消するもので、演算速
度が速くて、演算誤差の小さい、しかも簡便な演算装置
を提供することを口約とする。

（問題を解決するための手段） 第１図は本発明の構成を示す図である。入力データ（固
定小数点データなど）を入力ルックアップテーブル（１
）を使用して、対数表現数値に変（７） 数か存在しているからである。例えばｍ＝４．ｎ換して
（入力データが対数表現数値の場合は入力ルックアップ
テーブル（１）を経ないで）、対数表現数値演算性利用
の演算装置（２）へ入力し、そこで演算を行い、その演
算結果は必要に応じて出力ルックアップテーブル（３）
を使用して、固定小数点数または浮動小数点数に変換す
ることにより、または変換しないで対数表現数値のまま
出力することζこより、演算を高速高精度に行うことが
できる。

（作用） 第３図は対数表現数値の指数（１：整数ではなく、式（
１）の形式の固定小数点数）とそれによるａ値の関係（
Ｎ＝ａ’、ａ＝２）を示す図である。限られたビット数
（例えは８ビツト）で表されるような整数Ｎ（例えば０
−２５５）は、式（１）でのｍ＋ｎを比較的大きくとれ
は（例えば、ｍ　＋　ｎ１４で、−語１６ビツト）底ａ
を適正に決めることにより相当に精度よ〈式（１）の形
の対数表現数値に変換できる。すなわちＮはａ・の形で
近似できる。これは整数Ｎの近傍には多くのａ１形式の
（８） もよい。いずれにしても、その数が表現されてい＝１０
．ａ＝２の場合を考える。これは１６ビツトの語長で丁
度可能である。この場合第３図で説明すると、横軸に１
があるが、ｉ−１から１までの間には２１［１個の数が
あり（ｎ＝　１０であるから）、従って縦軸においては
、２゛−１から２・までの間には２１０個の数がある。

一番数の密度が低いところは、２５５がＮの上限の場合
、２５４と２５５の間であるが、ここでも、その間には
約６個の数がある。９９から１００の間には約１５個の
数が存在する。２０ヒツトの語長にして、ｍ＝４．ｎ＝
１４．ａ＝２とすると、整数２５４と２５５の間ζこは
約９２個の数が存在する。従って、あまり大きくない数
Ｎであれば、相当精度よく対数表現数値に変換すること
が可能である。この変換はルックアップテーブルを使用
すると高速にてきる。

すなわち、これが第１図の入力ルックアップテーブル（
１）の働きである。

なお、上記の数Ｎは整数である必要はなく、小数部のあ
る固定小数点数あるい（、ｌ：浮動小数点数てるビット
パターンをアドレスとすれは、ルックアップテーブルを
使用することにより、その数に応じた値を提供できる。

変換後の計算は対数表現数値演算性利用の演算装置（２
）で行うのでこれも高速高精度にてきる。

演算の結果を固定小数点数または浮動小数点数の形に直
して出力する場合、出力の語長な必要に応して長くすれ
ば、精度は落ちない。固定小数点数の出力の場合も精度
を要する場合、小数部のビット数を多くすれはよい。こ
れも出力ルックアップテーブル（３）で用意しておけは
よい。従って、変換は高速にできる。

（発明の実施例） 実施例１ 画像の幾何学的変換を第４．５図等を使用して説明する
。第４図は画像の幾何学的変換を示す図である。すなわ
ち、原画像（４１）から幾何学的変換によって変換後の
画像（４２）を得た図である。式（７）は拡大、縮小、
回転、平行移動等の幾何学的変換をするための座標変換
式（アフィン変換の式）である。

Ｘ＋　＝ａ＋　ＩＸｓ＋ａ＋　２Ｙｓ＋ａ＋　３〜’Ｉ
”ａ２１　Ｘ２＋ａ２２ＹＯ＋ａ２３（７）式（７）で
は（Ｘｅ、Ｙａ）は原画像（４１）の画像平面上の画素
の座標を表し、（Ｘ＋　、ＹＴ　）は変換後の画像（４
２）の画像平面上で、（Ｘ［１，Ｙｃ）に相当する画素
の座標である。式（７）は式（８）のように書き換える
ことができる。

×８″ｆｌｚＸ＋＋ｂ＋２Ｙ＋＋ｂ＋３ＶＬ＋”ｌ］２
＋Ｘ＋＋１１２２Ｙ＋＋ｔ１２ａ　　　　　　　　　　
　　　（８）式（８）は変換後の画Ｉｔ（４２）の画像
平面上の座標（Ｘ＋　、Ｖ＋　）の画素は原画像（４１
）の画像平面上のとこの画素が相当して、いるかを表す
。通常、（×＋　、ＹＴ　）を整数座標として、（ＸＬ
ｌ、Ｙｅ）が丁度の整数座標になることは殆どなく、計
算される座標は小数部分を含んだ形になり、原画像（４
１）の画素に丁度対応することはない。第５図はその様
子を不ず図である。計算式による座標点（Ｘｅバｏ）（
５１）は格子点（５２）（整数座標）に一致することば
殆とない。変換後の画像の画素＜Ｓ度）を適正なものに
する一つの方法として、最近傍法という方法が知られて
いる。その方法では座標点（Ｘｉ］、Ｙｌ］）　（５１
）に最も近い格子点（５２）の画素を選んで変換後の座
標（Ｘ＋　、ＹＴ　）の画素とする。計算は座標値（Ｘ
ｏ、ｈ）を四捨五入よって整数座標とすることによって
行う。

この応用例に対する、本発明の適用について説明する。

先ず、式（８）の係数（ｂ：；）を本発明で使用する対
数表現数値、すなわち式（１）の形に変換する。これは
通常１回だけであるから高速である必要はない。次に変
換後の座標（Ｘ＋、ＹＴ）（整数）を入力ルックアップ
チーフル（１）を使用して、対数表現数値に変換しくテ
ーブル変換だから高速）、式（８）を対数表現数値演算
性利用の演算装置（２）で計算する（高速高精度）。結
果は指数に相当する部分が固定小数点数であるのでそれ
をアドレスとする出力ルックアップテーブル（３）によ
り四捨五入して、整数値に変換する（高速）。

これがすなわち最近傍法の座標アドレス計算である。原
画像（４１）の画像平面上のその座標から変換後の画像
（４２）の画像平面上の座標（Ｘ＋　、Ｙｌ）に画素を
移動する。上記のことを座標（Ｘ＋　、ＹＴ　）につい
て繰り返すことにより、アフィン変換が高速高精度にで
きる。

実施例２ 実施例１て示したようなアドレスの計算ではなくデータ
自身の演算にも本発明は有効である。既存の画像処理機
器は整数データを多く扱う。少なくとも、画像データの
入力またはデイスプレ装置等への出力は整数（もう少し
広く固定小数点数）の形で行う場合か多い。それは通常
０−２５５の整数である。従って、実施例１て示した演
算と同様に、その演算は高速高精度に行うことができる
。

式（９）已よ２次元データｇ（ｍ、ｎ）のフーリエ変換
式である。

である。これについても、Ｗｌ、（ジ２のそれぞれを対
数表現数値で与え、ｇ（ｍ、ｎ）はあまり大きくない整
数（例えば０−２５５）だとすると、実施例１と同じよ
うに高速高精度に演算できる。この演算は通常高速フー
リエ変換で行うので、それが更に高速になる。ただし、
出力は出力ルックアップテーブル（３）により必要なら
、整数値ではなく実数値（固定小数点数、浮動小数点数
または、対数表現数値）の形で出力する。

実施例３ １次元のデータ、例えば、音声データ（入力はビット数
８ではなく、もつと大きい数、１２−１４ビツトで扱う
ことが望ましい）についても当然、高速高精度に演算で
きる。音声データなどの１次元データに対するフーリエ
変換は式（１０）により定義される。

たたし、Ｗ＋　＝ｅｘｐ（−ｊ２π／Ｍ）、Ｗ２＝ｅｘ
ｐ（−ｊ２ｘ　／Ｎ）の複素数で、ト１．Ｎはそれぞれ
画像ｇ（ｍ、ｎ）の横と縦の画素数ただし、Ｗ＝ｅｘｐ
（−ｊ２ｉ　／Ｎ）てＮはデータの数である。

これについても、実施例２と同じ理由で高速高精度に演
算できる。

実施例４ 本発明はコンピュータグラフィックスにおける図形描画
においても、非常に効果的である。式（１１）は中心か
原点にあり、半径がＲの円の式である。

Ｘ２＋１！／２：Ｒ２（１１） 式（１１）は式（１２）の様に書き換えることができる
。

ｙ：±ｆ下Ｔ弓Ｆ　　　　　　　　　　　　　　　　　
（１２）式（１２）てｙが負でない部分だけをとると式
（１２）は式（１３〉となる。

ｙ二Ｆ７７［（１３） 式（１３）において、Ｘの０からＲ／ｖｍ２（ｘ　＝　
ｙ　）までの整数値に対して、ｙを計算し四捨五入して
整数値まで求めると、それが第６図で示すような８分円
の描画点（６１）である。後は、ｙ＝ｘの直線、ｙ軸、
ｙ軸に対して対象な点をもとめて行けは、完全な円にな
る。式（１３）の計算ではＸの（１５） るところである（１点プロットする毎に必ず）。

平方、減算、更にＲ２−Ｘ２の平方根を計算しなけれは
ならない。従って、通常、浮動小数点演算で計算する。

しかしながら、浮動小数点演算では平方（または乗算）
や平方根の計算には大変な時間がかかる。実際には、第
７図で示すような増分法と言われる８分円発生アルゴリ
ズム等が開発されていて、整数の計算だけでできる様に
なっている。

第７図について説明する。この間に出てくる変数は全て
整数である。第７図において、　（７１）は初期化をす
るところである。Ｘをゼロ、ｙを半径Ｒ，ｄを３−２Ｒ
とする。　（７２）は終了かどうかを判定するところで
ある。　（７３）は点（Ｘ、ｙ）をプロット（描画）す
るところである。　（７４）は次のプロット点が右横ま
たは右斜め下のどちらであるかを判定するところである
。　（７５）は次のプロット点が右横の場合の処理で、
そのように判別変数ｄを更新するところである。　（７
６）は次のプロット点が右斜め下の場合の処理で、判別
変数ｄをそのように更新し、Ｘ座標を一つ進める（１）
ところである。　（７７）はＸ座標を１つ進め（１６） ろである。　（８６）はＪ　Ｒ’−ｘ−の計算を対数表
現数（７８）はｘ＝ｙであるかどうかを判定するところ
である。　（７９）はｘ＝ｙの場合、点（Ｘｌｙ）をプ
ロットするところであろう しかし、本発明によれば第６図のような８分円の描画ア
ルゴリズムは第８図のようになる。非常に簡単である。

第８図について説明する。変数Ｘ、ｙは整数であり、ｒ
ｌ　、ＸＩ　、）１１は対数表現数値、すなわち、式（
１）の形式の変数を表す。Ｒは半径で実数である。

第８図において、　（８１）は初期化を行うところであ
る。半径Ｒを四捨五入して（、ＲＤ（Ｒ）はＲを四捨五
入して整数にすることを意味する）、ｙとし、Ｘをセロ
、ｒｌをｌｏｇａ（Ｒ２）とする（ｒｌは値としては、
はぼＲ２を表す）。　（８２）は終了かどうかを判定す
るところである。　（８３）は点（ｘ　ｒ　ｙ　）をプ
ロット（描画）するところである。　（８４）はＸ座標
を１つ進めるところである。　（８５）は整数Ｘをルッ
クアップテーブルＴ（大カルツクアップテーブル（１）
）により対数表現数値ＸＩに変換するとこ値演算性利用
の演算装置（２）で行うところである。ここではＲ２は
既に計算されていて、Ｘの平方と、減算と、Ｒ２−Ｘ２
の平方根の計算を行う。Ｘの平方については、Ｘｌの指
数部を２倍するか、１ビツト左シフトするだけである。

減算は式（６）の方法でルックアップテーブルを使って
行う。Ｒ２−Ｘ２の平方根の計算は上記の減算の結果（
対数表現数値）を２で割るか１ビット右シフトするだけ
である。

全て高速にできる。結果をｙｌとする。　（８７）は対
数表現数値から整数値へ変換するところである。

これはルックアップテーブルｔ（出力ルックアップテー
ブル（３））により四捨五入して行う。これも高速であ
る。　（８８）４ｆｘ＝Ｖであるかどうかを判定すると
ころである。　（８９）はｘ＝ｙの場合、点（ｘ＋ｙ）
をプロットするところである。

以上により第８図のアルゴリズムは第７図のアルゴリズ
ムに比へ高速であることが分かる。

なお、第７図で示すアルゴリズムでは半径Ｒは整数（〉
０）てなけれはならないが、第８図のアルプリズムでは
半径Ｒは整数である必要はない。

その点においても、本発明の方が優れている。

以上個別の実施例を示したが、これらは、単なる個別の
実施例であって、高速高精度の演算が要求されるところ
では、広範囲に本発明の実施が有効である。また、本発
明はハードウェアで有効に実施できるが、特に集積回路
での実施が特に有効である。

（発明の効果〉 本発明により、既存の画像、音声、その他のデータ入力
装置によるデータや、メモリアドレス、データ配列の座
標値等、固定小数点型のデータで表わされる数値に対し
て、高速高精度演算ができるので、特別の対数型アナロ
グアンプ（４）や指数型アナログアンプ（７）が必要な
く、既存のコンピュータ等のデジタル装置に本発明の演
算装置を加えることにより処理を高速高精度にすること
ができる。

請求範囲２．３．４．５及び６の人出力が固定小数点以
外についての有効性について追加説明す入力または出力
が浮動小数点数の場合、既存の浮動小数点型のデジタル
シグナルプロセッサ等とのやり取りが高速間便にできる
。また、入力または出力が対数表現数値の場合は他の対
数表現数値演算性利用の演算装置とのやり取りが高速間
便になる効果がある。

【図面の簡単な説明】

第１図は本発明の構成図、第２図は対数表現数値演算法
による従来の処理システムの構成図、第３図は対数表現
数値の指数１とその表現値ａ・の関係図、第４図は画像
の幾何学的変換の概念図、第５図は画像の幾何学的変換
の計算座標（ＸＯ，Ｙ［＋）と格子点の関係を示す図、
第６図は８分円の描画点の図、第７図は増分法と言われ
る従来の８分円の描画アルゴリズムの図、第８図は本発
明を適用した８分円の描画アルゴリズムの図。

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 １、対数表現数値演算法利用の演算装置（２）において
   、固定小数点数で表される入力データを入力ルックアッ
   プテーブル（１）を使用して対数表現数値に変換し、そ
   れを対数表現数値演算法利用の演算装置（２）への入力
   とし、その演算結果は必要に応じて出力ルックアップテ
   ーブル（３）を使用して、固定小数点数に変換して出力
   する演算装置 ２、浮動小数点数を入力データとする入力ルックアップ
   テーブル（１）とした、請求１の演算装置 ３、浮動小数点数を出力データとする出力ルックアップ
   テーブル（３）とした、請求１の演算装置 ４、浮動小数点数を入力データとする入力ルックアップ
   テーブル（１）とし、浮動小数点数を出力する出力ルッ
   クアップテーブル（３）とした、請求１の演算装置 ５、対数表現数値を入力データとするが、入力ルックア
   ップテーブル（１）を経ないで対数表現数値演算法利用
   の演算装置（２）へ直接入力する、請求１の演算装置 ６、対数表現数値演算法利用の演算装置（２）の出力デ
   ータを、出力ルックアップテーブル（３）を経ないで出
   力する、請求１の演算装置