JP7391805B2 - 解析装置、解析方法およびプログラム - Google Patents

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Description

本発明の実施形態は、解析装置、解析方法およびプログラムに関する。
産業システムおよびインフラ構造物において、ヘルスモニタリングのセンシングデータまたは構造設計最適化の解析条件を用いて、３次元物理シミュレーションまたは非線形力学シミュレーションにより、異常度合または損傷度合に関する物理量を推定する技術が知られている。
特許第４４３９５３３号公報
Sam Greydanus et al., "Hamiltonian Neural Networks", in arXiv: 1906.01563 5 Sep 2019． Miles Cranmer et al., "LAGRANGIAN NEURAL NETWORKS", in arXiv: 2003.04630 30 Jul 2020．
しかしながら、従来技術では、物理量の推定に多大な時間（例えば数時間以上）を要する場合がある。このため、信頼性および安全性の問題が生じる前に、システムの緊急停止および構造設計最適化などの対策を行うことが困難となる恐れがある。
実施形態の解析装置は、取得部と、算出部と、を備える。取得部は、解析領域を離散化した複数の要素ごとの物理量をそれぞれ表す複数の入力データを取得する。算出部は、複数の入力データを推定モデルに入力し、推定モデルが出力する、複数の要素のエネルギを表すエネルギ汎関数の推定値である出力データを算出する。
実施形態にかかる解析装置のブロック図。 解析領域に含まれる要素の例を示す図。 実施形態における解析処理のフローチャート。 ＦＥＭ－ＬＮＮモデルを用いた解析の概念を説明するための図。 ＦＥＭ－ＬＮＮモデルの構成例を示す図。 ＦＥＭ－ＬＮＮモデルの構成例を示す図。 損失関数で用いられる各勾配の差を説明するための図。 実施形態における学習処理のフローチャート。 実施形態の適用例を示す図。 実施形態の適用例を示す図。 実施形態にかかる解析装置のハードウェア構成図。
以下に添付図面を参照して、この発明にかかる解析装置の好適な実施形態を詳細に説明する。
本実施形態では、サイバーフィジカルシステム（Cyber Physical Systems）におけるヘルスモニタリングおよびデジタルツインを行う際に、センシングデータ（計測、センシングまたはモニタリングしたデータ）から、対象とする系（対象システム）の故障予兆および異常の検知に関する物理量（変位場および変位速度場など）を推定する解析手法の例を説明する。
具体的には、偏微分方程式の離散化数値計算手法、および、機械学習手法であるラグランジアン・ニューラルネットワーク（Lagrangian Neural Networks）を導入することにより、ヘルスモニタリング等で必要となるセンシングデータから時間的および空間的な物理量分布への変換を高速化および高精度化する。なお適用可能な技術はヘルスモニタリングおよびデジタルツインに限られない。
離散化数値計算手法は、例えば有限要素法、有限体積法および差分法である。以下では、有限要素法（ＦＥＭ：Finite Element Method）を活用したラグラジアン・ニューラルネットワークモデル（以下、ＦＥＭ－ＬＮＮモデルという）を用いる例を主に説明する。
図１は、本実施形態にかかる解析装置１００の構成の一例を示すブロック図である。図１に示すように、解析装置１００は、取得部１０１と、演算処理部１１０と、出力制御部１０２と、記憶部１２１と、を備えている。
取得部１０１は、解析装置１００で用いられる各種データを取得する。データの取得方法はどのような方法であってもよいが、例えば、ネットワークを介して接続された外部装置から受信することにより取得する方法、および、記憶媒体に記憶されたデータを読み出して取得する方法などを適用できる。
例えば取得部１０１は、ＦＥＭ－ＬＮＮモデルに入力する複数の入力データ、および、ＦＥＭ－ＬＮＮモデルの学習に用いる学習データを取得する。複数の入力データそれぞれは、例えば、解析領域を離散化した複数の要素ごとの物理量を表す。
図２は、解析領域に含まれる要素の例を示す図である。各要素は、曲面で囲まれた解析領域２０１を空間的に離散化した情報に相当する。節点は、各要素を構成する多次元空間上（図２では３次元空間）の点である。
以下では、解析領域２０１の各節点の空間的な変位をｕと表す。ｕの微分が変位速度（速度ベクトル）である。以下では、ある変数の上にドットを付すことにより、その変数の微分を表す。例えば変位速度は、ｕの上にドットを付した記号で表される。
本実施形態では、要素ごとにエネルギ汎関数が算出される。例えばエネルギ汎関数は、以下の（１）式のように、蓄積エネルギ、損失エネルギ、および、仕事量により表される。
Figure 0007391805000001
σは相当応力、εは相当ひずみ、Ｆは境界に作用する外力ベクトル、Ｖは物体の体積、Ｓは表面積を示す。第２項は、相当応力と、相当ひずみ速度の増分と、の積分に相当する。第３項は、物体が外力に対してなす仕事（外力ベクトルと速度との積）に相当する。
図１に戻り、ヘルスモニタリングに適用する場合、取得部１０１は、ヘルスモニタリングのセンシングデータを入力データとしてさらに取得してもよい。
センシングデータは、例えば、温度、加速度、変位、電流、電圧、振動、および、ひずみなどを示すデータである。これらのセンシングデータを検出するセンサは、例えば、解析対象とする構造の予め定められた個数のサンプル点に配置される。
センシングデータは、解析対象とする構造のパフォーマンス特性であってもよい。例えば解析対象がエレクトロニクス実装基板の場合、パフォーマンス特性は、以下のようなデータである。
・部品間の信号伝送特性
・ノイズ特性
・冷却構造（筐体を含む）の放熱特性
・使用頻度
・素子性能
・ファン回転数
・バッテリ残量
・素子負荷率
パフォーマンス特性は、例えば、Bios（Basic input/output system）等とのコミュニケーションを行うプロファイリングツールまたはモニタリングツール（監視ツール）により取得することができる。
センシングデータは、負荷条件に相当する。取得部１０１は、センシングデータとともに、解析対象とする構造の設計変数を取得してもよい。設計変数は、例えば、境界条件、材料特性、および、構造変数（構造の形状および寸法など）などを示す情報である。以下では、センシングデータおよび設計変数を条件データという。
演算処理部１１０は、取得部１０１により取得された入力データに対して、ＦＥＭ－ＬＮＮモデルを用いた演算を行い、異常検知などに関する物理量を推定する。演算処理部１１０は、算出部１１１と、学習部１１２と、を備える。
算出部１１１は、取得された複数の入力データから、異常検知などに用いることができる物理量を表す出力データを算出する。例えば算出部１１１は、複数の入力データを推定モデルに入力し、推定モデルが出力する出力データを算出する。出力データは、解析領域を離散化した複数の要素のエネルギを表すエネルギ汎関数の推定値である。推定モデルは、統計モデル、確率モデル、および、機械学習モデルとして構成することができる。推定モデルは、ＦＥＭ－ＬＮＮモデルなどのニューラルネットワークモデルに限られず、階層ベイズモデルなどであってもよい。
算出部１１１は、さらに、出力データを用いて、解析領域の異常を表す指標を算出してもよい。
例えば、パワーエレクトロニクス、産業機器、エネルギ機器、および、インフラ構造物におけるシステムの劣化および損傷に関する予兆および異常を検知する場合、算出部１１１は、センシングデータから、ＦＥＭ－ＬＮＮモデルにより、対象とする構造変形の時間的および空間的分布（変位場、速度場）、並びに、応力・ひずみ場、および、その速度場を推定することができる。
そして算出部１１１は、例えば、変位場および変位速度場から、形状関数を活用し、ひずみの適合条件（積分可能条件）を満たすように、ひずみ場と応力場を算出することができる。算出部１１１は、推定した変位場および変位速度場から、応力・ひずみ集中領域における劣化および損傷の指標である非弾性ひずみ範囲を抽出し、疲労寿命分布および破損リスクを算出する。算出結果を用いることにより、異常および故障予兆検知を行うことが可能となる。
学習部１１２は、演算処理部１１０が用いる推定モデルを学習する。学習部１１２は、取得部１０１により取得された学習データを用いて、ＦＥＭ－ＬＮＮモデルを学習する。学習部１１２は、例えば、出力データの勾配と、正解データである勾配との差を最小化するように推定モデルを学習する。
出力制御部１０２は、解析装置１００により処理される各種データの出力を制御する。例えば出力制御部１０２は、推定モデルによる出力データ、または、算出された異常の指標などを、例えば表示装置などの出力装置に出力する。
上記各部（取得部１０１、演算処理部１１０、および、出力制御部１０２）は、例えば、１または複数のプロセッサにより実現される。例えば上記各部は、ＣＰＵ（Central Processing Unit）などのプロセッサにプログラムを実行させること、すなわちソフトウェアにより実現してもよい。上記各部は、専用のＩＣ（Integrated Circuit）などのプロセッサ、すなわちハードウェアにより実現してもよい。上記各部は、ソフトウェアおよびハードウェアを併用して実現してもよい。複数のプロセッサを用いる場合、各プロセッサは、各部のうち１つを実現してもよいし、各部のうち２以上を実現してもよい。
記憶部１２１は、解析装置１００による各種処理で用いられる各種データを記憶する。例えば記憶部１２１は、取得部１０１により取得された入力データ、演算処理部１１０による演算結果などを記憶する。
記憶部１２１は、フラッシュメモリ、メモリカード、ＲＡＭ（Random Access Memory）、ＨＤＤ（Hard Disk Drive）、および、光ディスクなどの一般的に利用されているあらゆる記憶媒体により構成することができる。
次に、このように構成された本実施形態にかかる解析装置１００による解析処理について説明する。図３は、本実施形態における解析処理の一例を示すフローチャートである。
取得部１０１は、解析領域を離散化した複数の要素ごとの入力データを取得する（ステップＳ１０１）。算出部１１１は、入力データを推定モデルに入力し、物理量を表す出力データを算出する（ステップＳ１０２）。算出部１１１は、出力データから異常の指標を算出する（ステップＳ１０３）。出力制御部１０２は、算出結果を例えば表示装置に表示し（ステップＳ１０４）。解析処理を終了する。
次に、ＦＥＭ－ＬＮＮモデルの詳細について説明する。図４は、ＦＥＭ－ＬＮＮモデルを用いた解析の概念を説明するための図である。ＦＥＭ－ＬＮＮモデルの出力データであるエネルギ汎関数は、変分原理とのアナロジーから、例えば連続体力学シミュレーション（非弾性応力シミュレーションなど）の場合には、離散化した各要素における蓄積エネルギ、損失エネルギ、および、仕事量により表される。非弾性応力シミュレーションの変位場および変位速度場（ひずみ場およびひずみ速度場）は、変分原理により、これらのエネルギ汎関数の総和が極小となる経路（動的可容速度場）として決まる。図４の矢印は、初期状態から、エネルギ汎関数の総和が極小となるように決定される経路の例を示す。
ＦＥＭ－ＬＮＮモデルは、以下のように構築できる。
（Ｓ１）ＦＥＭ－ＬＮＮモデルの定義：
・時間的および空間的に離散化された変位場および変位速度場をモデルへの入力データとする。このとき、条件データを入力データとして加えてもよい。モデルの出力データは、対象システムにおける各要素のエネルギ汎関数とする。このとき、次の時間ステップ（次の時刻）の変位場および変位速度場を出力として加えてもよい。
・入力データから出力データへ変換するモデル（変換モデル）、または、入力データから出力データを推定するモデル（推定モデル）を定義する。ニューラルネットワークの場合は、モデルを定義するパラメータは、層数、各層の素子数、および、各素子の活性化関数の構成などが挙げられる。なお、階層ベイズモデルの場合は、モデルを定義するパラメータは、中間層の潜在変数、データ分布、事前分布、および、ハイパーパラメータの構成などが挙げられる。
（Ｓ２）ＦＥＭ－ＬＮＮモデルの学習データの準備：
・対象システムを記述する偏微分方程式を離散化し、条件データに関する解析条件を設定する。学習用の入力データに対して、変位場、変位速度場、エネルギ汎関数、および、エネルギ汎関数の勾配を、離散化した各要素および各節点について時間ステップごとに数値計算する。数値計算の結果を、ＦＥＭ－ＬＮＮモデルにおける損失関数を算出するための正解データとして準備する。ここで、条件データに関してパラメータサーベイを行った数値解析結果を正解データとしてもよい。入力データ、および、正解データを含む学習データが学習処理で使用される。
（Ｓ３）ＦＥＭ－ＬＮＮモデルの学習：
・ＦＥＭ－ＬＮＮモデルによりエネルギ汎関数近似モデル（パラメータθ）を作成する。
・ＦＥＭ－ＬＮＮモデルにより、学習データに含まれる入力データに対して、エネルギ汎関数のスカラー値φθ、並びに、次の時間ステップの変位場および変位速度場を出力する。φθは、パラメータθにより定められるＦＥＭ－ＬＮＮモデルにより出力されるエネルギ汎関数の値を表す。
・ＦＥＭ－ＬＮＮモデルを用いて、以下の（２）式および（３）式でそれぞれ表される勾配を算出する。
Figure 0007391805000002
Figure 0007391805000003
 ・ＦＥＭ－ＬＮＮモデルを用いて次の時間ステップの変位場および変位速度場の時間微分を算出する。
・エネルギ汎関数、変位場の勾配、および、変位速度場の勾配を用いて、損失関数を最小化するようにＦＥＭ－ＬＮＮモデルのパラメータを学習する。
次に、ＦＥＭ－ＬＮＮモデルの構成例について説明する。図５は、ＦＥＭ－ＬＮＮモデルの構成例Ｎ１を示す図である。構成例Ｎ１は、エネルギ汎関数（蓄積エネルギ、損失エネルギ、仕事量）と、次の時間ステップにおける変位場および変位速度場との両方が出力データに含まれる構成の例である。図６は、ＦＥＭ－ＬＮＮモデルの構成例Ｎ２を示す図である。構成例Ｎ２は、エネルギ汎関数のみが出力データに含まれる構成の例である。
出力データがエネルギ汎関数のみの場合は、次の時間ステップの変位場および変位速度場は、ＦＥＭ－ＬＮＮモデルの出力のエネルギ汎関数から、変分原理により推定することで算出される。
λＧは、材料特性および構造変数についての条件データを示す。λＦは、負荷条件および境界条件についての条件データを示す。これらの条件データのうち一部が入力されるように構成してもよい。
図５に示すように、構成例Ｎ１のＦＥＭ－ＬＮＮモデルは、入力層と、２つの中間層と、出力層と、を含む。なお中間数の個数は２個に限られず、１個または３個以上であってもよい。
入力層は、要素ごとおよび節点ごとの変位場および変位速度場、並びに、条件データλが、入力データとして入力される。出力層は、要素ごとのエネルギ汎関数と、要素ごとおよび節点ごとの次の時間ステップにおける変位場および変位速度場と、を出力データとして出力する。
次に、ＦＥＭ－ＬＮＮモデルの学習に用いられる損失関数について説明する。損失関数は、例えば以下のように定義される。
・ＦＥＭ－ＬＮＮモデルから算出した勾配と、事前のＦＥＭ解析結果（離散化要素または離散化節点ごとに算出）である正解データの勾配と、の差を最小にできる関数
図７は、損失関数で用いられる各勾配の差を説明するための図である。図７に示すように、勾配は、エネルギ汎関数のスカラー値φθの変位場についての偏微分、エネルギ汎関数のスカラー値φθの変位速度場についての偏微分、変位速度場の時間についての偏微分、および、変位場の時間についての偏微分を含む。これらの勾配それぞれについて、ＦＥＭ－ＬＮＮモデルから算出された勾配の値（勾配値）と、正解データの勾配値との差が算出される。
損失関数は、例えば、解析領域における各要素または各節点の勾配値の差の二乗和の総和などである。正解データの勾配値は、例えば、離散化要素または離散化節点ごとに算出した勾配値の集合データである。正解データの勾配値は、以下のような関係モデルを用いて算出されてもよい。
・変位場を変数としたエネルギ汎関数に関する近似モデルなどの関係モデル
・時間を変数とした変位場に関する近似モデルなどの関係モデル
損失関数には、エネルギ汎関数に関する制約を加えてもよい。例えば、対象システムがなす仕事量が蓄積エネルギと損失エネルギとの和に等しくなるという制約条件に基づく損失関数である。
また、損失関数は、エネルギ汎関数についてもＦＥＭ－ＬＮＮモデルから算出したエネルギ汎関数値と、事前のＦＥＭ解析結果から取得したエネルギ汎関数値との差を最小にできる関数を含んでもよい。
また、ＦＥＭ－ＬＮＮモデルの出力データが変位および変位速度などの物理量を含む構成（構成例Ｎ１）については、変位および変位速度などの物理量についてもＦＥＭ－ＬＮＮモデルから算出した値と事前のＦＥＭ解析結果から取得した値との差を最小にできる関数を損失関数として追加してもよい。これらの各損失関数の和における各項の重み係数を変えてもよい。
また、損失関数におけるエネルギ汎関数の変位場または変位速度場に関する勾配について、以下の（４）式および（５）式で表される、条件データλに関する偏微分の連鎖律を適用してもよい。
Figure 0007391805000004
Figure 0007391805000005
エネルギ汎関数の条件データλに関する偏微分データと、条件データλの変位場および変位速度場に関する偏微分データは、事前に学習データ（正解データ）として準備される。ＦＥＭ－ＬＮＮモデルの学習の際には、エネルギ汎関数の条件データλに関する偏微分データ（以下の（６）式）、条件データλの変位場に関する偏微分データ（以下の（７）式）、および、条件データλの変位速度場に関する偏微分データ（以下の（８）式）も算出される。
Figure 0007391805000006
Figure 0007391805000007
Figure 0007391805000008
また、損失関数は、エネルギ汎関数の条件データλに関する偏微分データと、条件データλの変位場および変位速度場に関する偏微分データについて、ＦＥＭ－ＬＮＮモデルから推定される勾配と、事前の学習データの整合性に関する損失関数を含んでもよい。
次に、本実施形態にかかる解析装置１００によるＦＥＭ－ＬＮＮモデルの学習処理の流れについて説明する。図８は、本実施形態における学習処理の一例を示すフローチャートである。
取得部１０１は、学習に用いる学習データを取得する（ステップＳ２０１）。例えば取得部１０１は、上記（Ｓ２）で説明したような手順で準備された学習データを取得する。
算出部１１１は、取得された学習データに含まれる入力データをＦＥＭ－ＬＮＮモデルに入力し、ＦＥＭ－ＬＮＮモデルが出力する出力データを得る（ステップＳ２０２）。例えば出力データは、エネルギ汎関数の値、次の時間ステップの変位場および変位速度場を含む。算出部１１１は、エネルギ汎関数の値、変位場および変位速度場の勾配をそれぞれ算出する（ステップＳ２０３）。
学習部１１２は、算出された勾配と、学習データに含まれる正解データの勾配との差に基づく損失関数を最小化するように、ＦＥＭ－ＬＮＮモデルを学習する（ステップＳ２０４）。
学習部１１２は、学習が終了したか否かを判定する（ステップＳ２０５）。例えば学習部１１２は、勾配の差が閾値より小さくなったか、および、学習の回数が上限値に達したか否か、などにより、学習の終了を判定する。
学習が終了していない場合（ステップＳ２０５：Ｎｏ）、ステップＳ２０２に戻り、新たな学習データに対して処理が繰り返される。学習が終了したと判定された場合（ステップＳ２０５：Ｙｅｓ）、学習処理を終了する。
以上のように、本実施形態では、離散化の各要素から構成されたエネルギ汎関数のラグラジアンを活用した変分原理に基づく考え方で、ニューラルネットワークの出力層にエネルギ汎関数が組み込まれる。そして、ラグラジアンの変位場および変位速度場の勾配が、変位場および変位速度場の時間的変化と整合（事前に物理現象シミュレーションした数値実験の結果集合との整合など）するように、ＦＥＭ－ＬＮＮモデルが学習される。このようにして構築されたＦＥＭ－ＬＮＮモデルにより、時間依存性の物理現象にも活用できる超高速シミュレーション手法を実現できる。
ＦＥＭ－ＬＮＮモデルに基づく超高速シミュレーションを行う際には、ＦＥＭ－ＬＮＮモデルにおける出力の蓄積エネルギと損失エネルギの和が仕事量に等しくなるという制約を設けて、入力データの組み合わせを事前に選定してもよい。または、超高速シミュレーションの入出力データの組み合わせは事前に設定されてもよい。
図９および図１０は、本実施形態の適用例を示す図である。図９は、解析の対象とする領域の全体について、本実施形態を適用する例を示す。対象とする系（対象システム）の解析モデルは、物理現象シミュレーション、または、最適化シミュレーションのためのモデルである。現象解析モデルとして、本実施形態のＦＥＭ－ＬＮＮモデルなどの推定モデルが適用される。
図１０は、解析の対象とする領域（全体領域）のうち、ＦＥＭなどのシミュレーションにおいて多大な時間を要する一部の領域のみに本実施形態を適用する例を示す。一部の領域に適用するモデル（部分モデル）として、本実施形態のＦＥＭ－ＬＮＮモデルなどの推定モデルが適用される。この場合、解析装置１００は、全体領域のシミュレーションと、条件データ（境界変位、負荷条件など）をやり取りするインターフェース（データ取得部）を備えればよい。
（変形例）
これまでは連続体力学問題の解析に適用した例を説明したが、適用可能な解析処理はこれに限られない。例えば、偏微分方程式の数理モデルで記述される、以下のような物理現象の解析に本実施形態の手法を適用できる。
・電磁場解析
・構造および磁場の連成解析
・Ｇｉｎｚｂｕｒｇ－Ｌａｎｄａｕ現象問題（超伝導現象などの相転移現象解析）
・デバイスシミュレーション（半導体の電子密度およびホール密度挙動解析など）
以下、各解析で用いられるエネルギ汎関数について説明する。
（Ａ１）電磁場解析で使用するエネルギ汎関数：以下の（９）式
Figure 0007391805000009
 変位誘起誘導電流による外部仕事：Ｗｗ＝Ｊ×（ｕｔ×Ｂ） ［Ｗ］
発熱エネルギ：Ｗｊ＝Ｊ２／σ ［Ｗ］
ポインティングベクトル：Ｓ＝Ｅ×Ｈ［Ｗ／ｍ２］
磁束密度：Ｂ［Ｔ］
磁場：Ｈ［Ａ／ｍ］
電束密度：Ｄ［Ｃｍ－２］
電場：Ｅ［Ｎ／Ｃ］
時間:ｔ［ｓ］
体積:Ω［ｍ３］
表面積:ｄΩ［ｍ２］
外向き単位法線ベクトル：ｎ
（Ａ２）構造および磁場の連成解析で使用するエネルギ汎関数：以下の（１０）式
Figure 0007391805000010
 弾性ひずみエネルギ：Ｅｋ＝σｉｊ×εｉｊ／２ ［Ｊ］
運動エネルギ：Ｅｅ＝ρｕｉ，ｔ×ｕｉ，ｔ／２ ［Ｊ］
構造減衰による散逸エネルギ：
Ｗｃ＝α×ρｕｉ，ｔ×ｕｉ，ｔ＋β×σｉｊ，ｔ×εｉｊ ［Ｗ］
コイルの渦電流などによるによる外部仕事：ＷＦ＝Ｆｉ×ｕｉ，ｔ ［Ｗ］
変位：ｕ［ｍ］
応力：σ［Ｐａ］
密度：ρ
ひずみ：ε
レイリー減衰の係数：α［ｓ－１］
レイリー減衰の係数：β［ｓ］
ｉ方向の力：Ｆｉ
（Ａ３）Ｇｉｎｚｂｕｒｇ－Ｌａｎｄａｕ方程式：以下の（１１）式（（１１）式内の「ｉ」は虚数を表す）、（１２）式
Figure 0007391805000011
Figure 0007391805000012
 Ｇｉｎｚｂｕｒｇ－Ｌａｎｄａｕ方程式で使用するエネルギ汎関数：以下の（１３）式
Figure 0007391805000013
 超伝導エネルギ：以下の（１４）式
Figure 0007391805000014
 磁場によるエネルギ：以下の（１５）式
Figure 0007391805000015
 相互作用エネルギ：以下の（１６）式
Figure 0007391805000016
 外部磁場：Ｂａ
磁場のベクトルポテンシャル：Ａ
Ｇｉｎｚｂｕｒｇ－Ｌａｎｄａｕ パラメータ：κ
超伝導状態を表す秩序変数；ψ
常伝導状態の電気伝導率：σ
（Ａ４）デバイスシミュレーション：
半導体のデバイスシミュレーションにおける結晶欠陥挙動解析で用いられるエネルギ汎関数のＨｅｌｍｈｏｌｔｚ自由エネルギＦは以下の（１７）式のように表現できる。
Figure 0007391805000017
 ケミカルポテンシャル：ｆｃｈｅｍ
欠陥エネルギ：ｆｓｓｆ
弾性ひずみエネルギ：ｆｅｌａｓｔ
勾配エネルギ：ｆｇｒａｄ
結晶学的エネルギ：ｆｃｒｙｓｔ
外部応力からの仕事量：Ｗ
位置ベクトルｘに関して対象とする領域Ωにおいて、それぞれの離散化要素のエネルギ汎関数ｆの総和（積分）をとることにより、全体のエネルギ汎関数を求めることができる。
半導体のデバイシミュレーションにおける電子密度およびホール密度分布の挙動解析は時間を要するため、結晶欠陥挙動解析におけるケミカルポテンシャル計算のための電子密度およびホール密度分布の挙動解析のみにＦＥＭ－ＬＮＮモデルを適用することも可能である（上記図１０の例）。
ケミカポテンシャルｆｃｈｅｍは、以下の（１８）式、（１９）式により算出される。
Figure 0007391805000018
Figure 0007391805000019
 ケミカルポテンシャル関数：μ
結晶欠陥有無の状態量：φ
電子密度とホール密度のケミカルポテンシャル関数は以下の（２０）式および（２１）式で算出できる。
Figure 0007391805000020
Figure 0007391805000021
 電場Ｅにおける電子密度：Ｄｅ（Ｅ）
電場Ｅにおけるホール密度：Ｄｈ（Ｅ）
電子のＦｅｒｍｉ－Ｄｉｒａｃ分布関数：Ｆｎ（Ｅ）
ホールのＦｅｒｍｉ－Ｄｉｒａｃ分布関数：Ｆｐ（Ｅ）
電子密度：ｎ
ホール密度：ｐ
ボルツマン定数：ｋＢ
温度：Ｔ
伝導帯：Ｅｃ
価電子帯：Ｅｖ
真性半導体バンド：Ｅｉ
電子密度分布およびホール密度分布は、ボルツマン方程式、ポアソン方程式、および、電流連続方程式をセルフコンシステントに解くことにより求めることができる。
このように、本実施形態にかかる解析装置では、異常度合または損傷度合などの推定に用いることができる物理量をより高速に推定することができる。
次に、本実施形態にかかる解析装置のハードウェア構成について図１１を用いて説明する。図１１は、本実施形態にかかる解析装置のハードウェア構成例を示す説明図である。
本実施形態にかかる解析装置は、ＣＰＵ５１などの制御装置と、ＲＯＭ（Read Only Memory）５２やＲＡＭ５３などの記憶装置と、ネットワークに接続して通信を行う通信Ｉ／Ｆ５４と、各部を接続するバス６１を備えている。
本実施形態にかかる解析装置で実行されるプログラムは、ＲＯＭ５２等に予め組み込まれて提供される。
本実施形態にかかる解析装置で実行されるプログラムは、インストール可能な形式又は実行可能な形式のファイルでＣＤ－ＲＯＭ（Compact Disk Read Only Memory）、フレキシブルディスク（ＦＤ）、ＣＤ－Ｒ（Compact Disk Recordable）、ＤＶＤ（Digital Versatile Disk）等のコンピュータで読み取り可能な記録媒体に記録してコンピュータプログラムプロダクトとして提供されるように構成してもよい。
さらに、本実施形態にかかる解析装置で実行されるプログラムを、インターネット等のネットワークに接続されたコンピュータ上に格納し、ネットワーク経由でダウンロードさせることにより提供するように構成してもよい。また、本実施形態にかかる解析装置で実行されるプログラムをインターネット等のネットワーク経由で提供または配布するように構成してもよい。
本実施形態にかかる解析装置で実行されるプログラムは、コンピュータを上述した解析装置の各部として機能させうる。このコンピュータは、ＣＰＵ５１がコンピュータ読取可能な記憶媒体からプログラムを主記憶装置上に読み出して実行することができる。
本発明のいくつかの実施形態を説明したが、これらの実施形態は、例として提示したものであり、発明の範囲を限定することは意図していない。これら新規な実施形態は、その他の様々な形態で実施されることが可能であり、発明の要旨を逸脱しない範囲で、種々の省略、置き換え、変更を行うことができる。これら実施形態やその変形は、発明の範囲や要旨に含まれるとともに、特許請求の範囲に記載された発明とその均等の範囲に含まれる。
１００ 解析装置
１０１ 取得部
１０２ 出力制御部
１１０ 演算処理部
１１１ 算出部
１１２ 学習部
１２１ 記憶部

Claims (13)

  1. 解析領域を離散化した複数の要素ごとの物理量をそれぞれ表す複数の学習用の入力データと複数の前記学習用の入力データそれぞれに対して数値計算により算出した複数の前記要素のエネルギを表すエネルギ汎関数の値とを含む正解データに基づき学習された推定モデルに、複数の前記要素ごとの物理量をそれぞれ表す複数の入力データを入力し、前記推定モデルが出力する、複数の前記要素のエネルギを表すエネルギ汎関数の値である出力データを出力する処理部を備え、
    前記推定モデルは、第１時刻の複数の前記入力データを入力し、前記第１時刻の次の第２時刻の複数の前記要素ごとの物理量をさらに含む前記出力データを出力する、
    解析装置。
  2. 前記出力データである前記エネルギ汎関数の値の前記物理量についての偏微分を含む勾配と、前記勾配の正解データとの差を最小化するように前記推定モデルを学習する学習部をさらに備える、
    請求項１に記載の解析装置。
  3. 前記学習部は、さらに、前記出力データと、前記出力データの正解データとの差を最小化するように前記推定モデルを学習する、
    請求項２に記載の解析装置。
  4. 前記推定モデルは、ニューラルネットワークモデル、または、階層ベイズモデルである、
    請求項１に記載の解析装置。
  5. 前記エネルギ汎関数は、連続体力学の解析に用いられるエネルギ汎関数であって、複数の前記要素ごとの、蓄積エネルギ、損失エネルギ、および、与えられる仕事量により算出されるエネルギを表す、
    請求項１に記載の解析装置。
  6. 前記エネルギ汎関数は、電磁場解析に用いられるエネルギ汎関数であって、複数の前記要素ごとの、発熱エネルギ、および、誘導電流による仕事量により算出されるエネルギを表す、
    請求項１に記載の解析装置。
  7. 前記エネルギ汎関数は、構造および磁場の連成解析に用いられるエネルギ汎関数であって、複数の前記要素ごとの、弾性ひずみエネルギ、運動エネルギ、散逸エネルギ、および、渦電流による仕事量により算出されるエネルギを表す、
    請求項１に記載の解析装置。
  8. 前記エネルギ汎関数は、相転移現象の解析に用いられるエネルギ汎関数であって、複数の前記要素ごとの、超電導エネルギ、磁場によるエネルギ、および、相互作用エネルギにより算出されるエネルギを表す、
    請求項１に記載の解析装置。
  9. 前記エネルギ汎関数は、電子密度およびホール密度の解析に用いられるエネルギ汎関数であって、複数の前記要素ごとの、ケミカルポテンシャル、欠陥エネルギ、弾性ひずみエネルギ、勾配エネルギ、結晶学的エネルギ、および、外部応力からの仕事量により算出されるエネルギを表す、
    請求項１に記載の解析装置。
  10. 前記処理部は、さらに、前記出力データから前記解析領域の異常を表す指標を算出する、
    請求項１に記載の解析装置。
  11. 複数の前記入力データを取得する取得部をさらに備え、
    前記処理部は、取得された複数の前記入力データを前記推定モデルに入力する、
    請求項１に記載の解析装置。
  12. 解析装置が実行する解析方法であって、
    解析領域を離散化した複数の要素ごとの物理量をそれぞれ表す複数の学習用の入力データと複数の前記学習用の入力データそれぞれに対して数値計算により算出した複数の前記要素のエネルギを表すエネルギ汎関数の値とを含む正解データに基づき学習された推定モデルに、複数の前記要素ごとの物理量をそれぞれ表す複数の入力データを入力し、前記推定モデルが出力する、複数の前記要素のエネルギを表すエネルギ汎関数の値である出力データを出力するステップを含み、
    前記推定モデルは、第１時刻の複数の前記入力データを入力し、前記第１時刻の次の第２時刻の複数の前記要素ごとの物理量をさらに含む前記出力データを出力する、
    解析方法。
  13. コンピュータに、
    解析領域を離散化した複数の要素ごとの物理量をそれぞれ表す複数の学習用の入力データと複数の前記学習用の入力データそれぞれに対して数値計算により算出した複数の前記要素のエネルギを表すエネルギ汎関数の値とを含む正解データに基づき学習された推定モデルに、複数の前記要素ごとの物理量をそれぞれ表す複数の入力データを入力し、前記推定モデルが出力する、複数の前記要素のエネルギを表すエネルギ汎関数の値である出力データを出力するステップを実行させ、
    前記推定モデルは、第１時刻の複数の前記入力データを入力し、前記第１時刻の次の第２時刻の複数の前記要素ごとの物理量をさらに含む前記出力データを出力する、
    プログラム。
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