JP7211283B2 - 座屈応力度の推定装置、座屈応力度の推定方法、及び座屈応力度の推定プログラム - Google Patents

Description

本発明は、座屈応力度の推定装置、座屈応力度の推定方法、及び座屈応力度の推定プログラムに関する。

従来、せん断力が作用して面内で曲げられる板要素の座屈応力度（局部座屈応力度）を推定することが行われている。この座屈応力度の推定方法では、（１）式で表されるフーリエ級数を用いることが一般的であり、板要素の面外変位Ｗ_ｗを推定する場合は、（１）式を（１－１）式の表現に変えた上で座屈応力度の推定が行われている（例えば、非特許文献１参照）。
ただし、ｂ_ｗは板要素の厚さ方向に直交する方向の長さである。

そして、このフーリエ級数にエネルギー法を適用することで、座屈応力度を推定している。フーリエ級数の基底は直交性を有するため、フーリエ級数により多くの曲面を精度良く近似できる。

Stephen P. Timoshenko and James M. Gere、「Theory of Elastic Stability」 Second Edition

しかしながら、フーリエ級数には近似の収れんが遅いという問題がある。例えば建築物の部材や部材を構成する板要素にせん断力が作用する場合に生じる座屈変形を近似しようとした場合、フーリエ級数の第２５項部分和程度、すなわち、（１－１）式でＮを２５程度とする必要がある。この場合、近似関数は、未定係数ａ_０以外の三角関数による項を５０含む。
このようにフーリエ級数では近似の収れんに多くの項数が必要であるため、フーリエ級数による分析は手計算では行うことができず、計算機を用いた数値計算が必要になる。さらに、従来の座屈応力度の推定方法では、推定結果を物理的に理解しやすく定式化できないという技術課題がある。

本発明は、このような問題点に鑑みてなされたものであって、フーリエ級数を用いた場合よりもせん断力が作用する板要素の座屈応力度の推定に必要な計算を簡単に行うとともに、推定結果を物理的に理解しやすく定式化できる座屈応力度の推定装置、座屈応力度の推定方法、及び座屈応力度の推定プログラムを提供することを目的とする。

前記課題を解決するために、この発明は以下の手段を提案している。
本発明の座屈応力度の推定装置は、材軸方向に延びるｘ軸及び板幅方向に延びるｙ軸に沿ってそれぞれ広がり、前記ｘ軸に沿う方向又は前記ｙ軸に沿う方向にせん断力が外力として作用して座屈する板要素の座屈応力度を推定する座屈応力度の推定装置であって、前記板要素の板厚方向に延びる軸をｚ軸とし、前記板要素の前記ｘ軸に沿う方向の第１端に向かうに従い、前記ｚ軸の正の向き及び前記ｚ軸の負の向きに交互に波状に変位する前記板要素の、前記ｘ軸に沿う方向における半波長をａとしたときに、前記ｚ軸に沿う方向に向けた前記板要素の面外変位Ｗ_ｗを（２）式により推定する変位推定部と、（２）式に基づいた前記面外変位Ｗ_ｗを生じる前記板要素の前記座屈応力度を、エネルギー法に基づいて求める応力度算出部と、を備えることを特徴としている。
ただし、Ｎは２以上の自然数であり、ａ_０，ａ_ｎ，ｂ_ｎ，λは未定係数であり、ｂ_ｗは前記ｙ軸に沿う方向における前記板要素の長さである。

また、本発明の座屈応力度の推定方法は、材軸方向に延びるｘ軸及び板幅方向に延びるｙ軸に沿ってそれぞれ広がり、前記ｘ軸に沿う方向又は前記ｙ軸に沿う方向にせん断力が外力として作用して座屈する板要素の座屈応力度を推定する座屈応力度の推定方法であって、前記板要素の板厚方向に延びる軸をｚ軸とし、前記板要素の前記ｘ軸に沿う方向の第１端側に向かうに従い、前記ｚ軸の正の向き及び前記ｚ軸の負の向きに交互に波状に変位する前記板要素の、前記ｘ軸に沿う方向における半波長をａとしたときに、前記ｚ軸に沿う方向に向けた前記板要素の面外変位Ｗ_ｗを（３）式により推定する変位推定工程と、（３）式に基づいた前記面外変位Ｗ_ｗを生じる前記板要素の前記座屈応力度を、エネルギー法に基づいて求める応力度算出工程と、を行うことを特徴としている。
ただし、Ｎは２以上の自然数であり、ａ_０，ａ_ｎ，ｂ_ｎ，λは未定係数であり、ｂ_ｗは前記ｙ軸に沿う方向における前記板要素の長さである。

また、本発明の座屈応力度の推定プログラムは、材軸方向に延びるｘ軸及び板幅方向に延びるｙ軸に沿ってそれぞれ広がり、前記ｘ軸に沿う方向又は前記ｙ軸に沿う方向にせん断力が外力として作用して座屈する板要素の座屈応力度を推定する推定装置用の座屈応力度の推定プログラムであって、前記板要素の板厚方向に延びる軸をｚ軸とし、前記板要素の前記ｘ軸に沿う方向の第１端に向かうに従い、前記ｚ軸方向の正の向き及び前記ｚ軸方向の負の向きに交互に波状に変位する前記板要素の、前記ｘ軸に沿う方向における半波長をａとしたときに、前記推定装置を、前記ｚ軸に沿う方向に向けた前記板要素の面外変位Ｗ_ｗを（４）式により推定する変位推定部と、（４）式に基づいた前記面外変位Ｗ_ｗを生じる前記板要素の前記座屈応力度を、エネルギー法に基づいて求める応力度算出部と、して機能させることを特徴としている。
ただし、Ｎは２以上の自然数であり、ａ_０，ａ_ｎ，ｂ_ｎ，λは未定係数であり、ｂ_ｗは前記ｙ軸に沿う方向における前記板要素の長さである。

発明者らは、三角関数を用いつつも、フーリエ級数よりも少ない項数で、せん断力が作用する板要素の面外変位を推定できる関数を複数検討した。その結果、（２）式を用いて板要素の面外変位Ｗ_ｗをフーリエ級数よりも少ない項数で推定できることを見出した。なお、（３）式及び（４）式は（２）式と同一である。
（２）式は、フーリエ級数よりも少ない項数で板要素の面外変位Ｗ_ｗを推定できるため、フーリエ級数を用いた場合よりも推定に必要な計算を簡単に行うことができる。さらに、面外変位Ｗ_ｗを一定の精度で推定するために必要な項数が、（１－１）式のフーリエ級数を用いて推定する場合よりも、（２）式を用いて推定する場合の方が少ないため、フーリエ級数を用いた場合よりも推定結果を物理的に理解しやすく定式化することができる。

また、前記の座屈応力度の推定装置、座屈応力度の推定方法、及び座屈応力度の推定プログラムにおいて、前記Ｎは２であってもよい。
これらの発明によれば、まず（２）式において、半波長ａ及び未定係数λを定数として扱った状態で未定係数ａ_１，ａ_２，ｂ_１，及びｂ_２を求め、次に半波長ａ及びλを変数として扱い、（２）式における半波長ａ及びλを求める。（２）式において未定係数ａ_１等を求める際に、一度に求める未定係数の数が４つ以下であるため、解の公式が知られている４次以下の方程式を用いて未定係数ａ_１，ａ_２，ｂ_１，及びｂ_２等を容易に求めることができる。

また、前記の座屈応力度の推定装置において、前記応力度算出部は、（５）式及び（６）式を用いて、（７）式による前記座屈応力度τ_ｃｒに最小の正の値を与える実数である前記未定係数ａ_ｎ，ｂ_ｎ，λ及び前記半波長ａに基づいて、前記座屈応力度τ_ｃｒを求めてもよい。
ただし、Ｅは前記板要素のヤング係数であり、νは前記板要素のポアソン比であり、ｔ_ｗは前記板要素の厚さである。

また、前記の座屈応力度の推定方法において、前記応力度算出工程では、（８）式及び（９）式を用いて、（１０）式による前記座屈応力度τ_ｃｒに最小の正の値を与える実数である前記未定係数ａ_ｎ，ｂ_ｎ，λ及び前記半波長ａに基づいて、前記座屈応力度τ_ｃｒを求めてもよい。
ただし、Ｅは前記板要素のヤング係数であり、νは前記板要素のポアソン比であり、ｔ_ｗは前記板要素の厚さである。

また、前記の座屈応力度の推定プログラムにおいて、前記応力度算出部は、（１１）式及び（１２）式を用いて、（１３）式による前記座屈応力度τ_ｃｒに最小の正の値を与える実数である前記未定係数ａ_ｎ，ｂ_ｎ，λ及び前記半波長ａに基づいて、前記座屈応力度τ_ｃｒを求めてもよい。
ただし、Ｅは前記板要素のヤング係数であり、νは前記板要素のポアソン比であり、ｔ_ｗは前記板要素の厚さである。

これらの発明によれば、エネルギー法に基づいて座屈応力度τ_ｃｒを求める際に、数式を用いて座屈応力度τ_ｃｒを正確に求めることができる。

本発明の座屈応力度の推定装置、座屈応力度の推定方法、及び座屈応力度の推定プログラムによれば、フーリエ級数を用いた場合よりもせん断力が作用する板要素の座屈応力度の推定に必要な計算を簡単に行うとともに、推定結果を物理的に理解しやすく定式化することができる。

本発明の一実施形態の座屈応力度の推定装置が適用されるウェブを備える建築物の斜視図である。 同座屈応力度の推定装置の概要を示す図である。 同ウェブがｘ軸に沿う方向に十分長い場合に、せん断力が作用したウェブが座屈している状態を模式的に示す斜視図である。 図３のウェブにおけるｘ軸に沿う方向の一波長分を拡大した斜視図である。 ウェブにせん断力が作用する場合の、ｙ軸の座標によるウェブの面外変位の推定結果の一例を表す図である。 ウェブにせん断力が作用する場合の、Ｎに対する座屈係数の変化の一例を表す図である。

以下、本発明に係る座屈応力度の推定装置の一実施形態を、図１から図６を参照しながら説明する。
この座屈応力度の推定装置（推定装置、以下単に推定装置と言う）は、例えば図１に示す建築物１に、鉄骨梁として用いられるＨ形鋼１０のウェブ（板要素）１３等の座屈応力度を推定するのに用いられる。Ｈ形鋼１０は、上フランジ（第１フランジ）１１と、下フランジ（第２フランジ）１２と、上フランジ１１及び下フランジ１２を互いに連結するウェブ１３と、を備えている。なお、図１では、後述する床スラブ２０を二点鎖線で示している。
Ｈ形鋼１０の上フランジ１１及び下フランジ１２も、板要素である。板要素は、弾性要素である。弾性要素は、材料非線形を考慮しない要素である。

Ｈ形鋼１０は、例えば水平面に沿う方向に延びている。上フランジ１１は、平板状に形成され、上フランジ１１の厚さ方向が上下方向に沿うように配置されている。下フランジ１２は、平板状に形成され、上フランジ１１よりも下方に配置されている。下フランジ１２は、下フランジ１２の厚さ方向が上下方向に沿うように配置されている。
ウェブ１３は、ウェブ１３の厚さ方向に見たときに矩形を呈する平板状に形成されている。ウェブ１３は、ウェブ１３の厚さ方向が水平面に沿うように配置されている。ウェブ１３は、上フランジ１１の下面における幅方向の中心と、下フランジ１２の上面における幅方向の中心とを連結している。

Ｈ形鋼１０の長手方向の端部は、柱１５等に固定されている。Ｈ形鋼１０は、床スラブ２０を床スラブ２０の下方から支持している。Ｈ形鋼１０の上フランジ１１には、頭付きスタッド等のシヤコネクタ２１が設けられている。シヤコネクタ２１は、床スラブ２０に埋設されている。
建築物１は、床スラブ２０上に図示しない設備を設置する等して用いられる。

図２に、本実施形態の推定装置５０を示す。推定装置５０はコンピュータであり、ＣＰＵ（Central Processing Unit）５１と、主記憶装置５５と、補助記憶装置６０と、入出力インタフェース（ＩＯ・Ｉ／Ｆ）６５と、記録・再生装置７０と、を備えている。ＣＰＵ５１、主記憶装置５５、補助記憶装置６０、入出力インタフェース６５、及び記録・再生装置７０は、バス７５により互いに接続されている。
主記憶装置５５は、ＣＰＵ５１のワークエリア等になるＲＡＭ（Random Access Memory）等である。
入出力インタフェース６５は、キーボードやマウス等の入力装置６６、及び表示装置６７に接続される。
記録・再生装置７０は、ＵＳＢ（Universal Serial Bus）メモリ等の記録媒体７１に対するデータの記録や再生を行う。

補助記憶装置６０は、各種データやプログラム等が記憶されるハードディスクドライブ装置等である。補助記憶装置６０には、前記コンピュータを推定装置５０として機能させるための座屈応力度の推定プログラム（以下、単に推定プログラムと言う）６１や、ＯＳプログラム等の各種プログラム等が格納されている。推定プログラム６１を含む各種プログラムは、記録・再生装置７０を介して記録媒体７１から補助記憶装置６０に取り込まれる。推定プログラム６１等は、記録媒体７１に格納される。
なお、これらのプログラムは、ＣＤやＤＶＤ等のディスク型の記録媒体や、図示されていない通信装置を介して外部装置から補助記憶装置６０に取り込まれてもよい。

ＣＰＵ５１は、各種演算処理を実行する。ＣＰＵ５１は、機能的に、ウェブ１３の面外変位を推定する変位推定部５２と、面外変位を生じるウェブ１３の座屈応力度を、エネルギー法に基づいて求める応力度算出部５３と、を備えている。ＣＰＵ５１の機能構成要素である変位推定部５２及び応力度算出部５３は、補助記憶装置６０に格納されている推定プログラム６１等をＣＰＵ５１が実行することで機能する。推定プログラム６１等は、推定装置５０用のプログラムである。推定プログラム６１は、推定装置５０を変位推定部５２及び応力度算出部５３として機能させる。

本実施形態の推定装置５０の変位推定部５２及び応力度算出部５３では、図３に示すように、ウェブ１３の位置座標を、ｘ軸、ｙ軸、及びｚ軸で構成する右手系の直交座標系に基づいて認識する。なお、図３及び後述する図５では、ウェブ１３の面外変位を推定値よりも大きく示している。
ウェブ１３は、ウェブ１３の材軸方向に延びるｘ軸、及びウェブ１３の板幅方向に延びるｙ軸に沿ってそれぞれ広がるとする。ｘ軸及びｙ軸のうち、例えばｘ軸は水平面に沿って延び、ｙ軸は上下方向に沿って延びるとする。ウェブ１３の板厚方向に延びる軸を、ｚ軸とする。ｘ軸、ｙ軸、及びｚ軸は、互いに直交する。ｚ軸に沿う方向（以下、ｚ軸方向と言う）に見て、ウェブ１３は、ｘ軸に沿う方向（以下、ｘ軸方向と言う）に延びる辺、及びｙ軸に沿う方向（以下、ｙ軸方向と言う）に延びる辺をそれぞれ有する。ウェブ１３は、ｘ軸方向に十分長いとする。ここで言うウェブ１３がｘ軸方向に十分長いとは、ウェブ１３のｘ軸方向の各端に配置されｙ軸方向に延びる表面（以下、ｘ軸方向の端面と言う）１３ａの境界条件が、座屈変形に与える影響を無視できる程度の長さをウェブ１３が有していることを意味する。
ウェブ１３の面外変位は、ウェブ１３のｚ軸方向に向けた変位である。

ウェブ１３のｘ軸方向の端面１３ａにそれぞれｙ軸方向のせん断力Ｆ１が外力として作用すると、ウェブ１３が座屈（局部座屈）する場合がある。なお、せん断力Ｆ１は、ウェブ１３のｘ軸方向の全長さにわたって伝達される。
ウェブ１３のｘ軸方向の各端面１３ａに作用するせん断力Ｆ１は、互い等しい大きさの外力である。

この場合、ウェブ１３のｘ軸方向の第１端（ｘ軸方向の端面１３ａの一方）に向かうに従い、ｚ軸の正の向き及びｚ軸の負の向きに交互に変位して、ウェブ１３が全体として複数の波長分の波状（以下、ｘ軸方向に波状と言う）に変位する場合がある。
ｘ軸に沿って変位したウェブ１３の１波長分において、ｘ軸方向の第１端とは反対の第２端をｘ軸の原点とし、この第２端からｘ軸方向の第１端に向かう向きをｘ軸の正の向きとする。
ｙ軸の原点を、ウェブ１３のｙ軸方向の中心とする。ｙ軸の正の向きを、上向きとする。
ｚ軸の原点を、ウェブ１３のｚ軸方向の中心（厚さ方向の中心）とする。ｚ軸の正の向きを、ｘ軸の正の向き及びｙ軸の正の向きに対して、右手系の直交座標系を構成する向きとする。

この例では、ｘ軸の座標が小さい方のｘ軸方向の端面１３ａにｙ軸の正の向きにせん断力Ｆ１が作用し、ｘ軸の座標が大きい方のｘ軸方向の端面１３ａにｙ軸の負の向きにせん断力Ｆ１が作用している。
ｘ軸方向の各端面１３ａに作用する外力であるせん断力Ｆ１に釣り合うように、ウェブ１３のｙ軸方向の各端面１３ｂには、内力としてせん断力Ｆ２が生じる。

なお、以下に説明する長さ等の単位には、長さに対しては「ｍ」といった、ＳＩ単位が好ましく用いられる。ウェブ１３のｙ軸方向の長さ（せい）をｂ_ｗとし、ウェブ１３の厚さ（ｚ軸方向の長さ）をｔ_ｗとする。ウェブ１３のヤング係数をＥとし、ウェブ１３のポアソン比をνとする。
推定装置５０は、フランジ１１，１２が連結されていないウェブ１３にせん断力Ｆ１が作用して座屈したときの、ウェブ１３の座屈応力度を推定する。なお、推定装置５０は、Ｈ形鋼１０において、フランジ１１，１２の厚さが無視できる程度に薄い、フランジ１１，１２の剛性が無視できる程度に低い等の場合に、Ｈ形鋼１０の座屈応力度をウェブ１３の座屈応力度として推定してもよい。

本実施形態の推定装置５０の変位推定部５２及び応力度算出部５３では、ウェブ１３の座屈応力度を推定する際に、以下の１から６の仮定を行っている。
１．ウェブ１３の厚さは薄く、ウェブ１３の厚さはウェブ１３のｘ軸方向の長さ及びｙ軸方向の長さに比べて短い。
２．ウェブ１３のたわみ（座屈による面外変位）は小さく、ウェブ１３の厚さよりも小さい。
３．ウェブ１３の厚さ方向の中央面は、ウェブ１３の曲げによって伸縮することなく、中立面を保つ。
４．ウェブ１３の断面では、曲げに対して平面保持の仮定が成立する。
５．ウェブ１３の材料は、均質であり、等方性を有する。
６．ウェブ１３に外力が作用したときの変位は、フックの法則に従う。

図３に示すように、ウェブ１３にせん断力Ｆ１が作用すると、ウェブ１３がｘ軸方向に波状に変位する場合がある。ｘ軸方向に波状に変位したウェブ１３における、ｙ軸上のある座標かつｘ軸の上のある座標におけるｚ軸方向に向けた面外変位がｓｉｎ（π（ｘ＋λｓｉｎ（πｙ／ｂ_ｗ））／ａ）の式で表されると仮定すると、ウェブ１３のｘ軸方向に波状に変位したウェブ１３のｘ軸方向の波長は、２ａになる。ｘ軸方向の半波長（波長の半分の長さ）は、ａになる。
図４は、ウェブ１３のｘ軸方向の中央部におけるｘ軸方向の長さが波長２ａである部分の面外変位を示す図である。

ウェブ１３にせん断力Ｆ１が作用している場合、従来は（１－１）式で表されるフーリエ級数を用いてｘ軸上のある座標かつｙ軸上のある座標におけるｚ軸方向に向けたウェブ１３の面外変位ｗ_ｗを推定していた。
発明者らは、三角関数を用いつつも、フーリエ級数よりも少ない項数で、ｘ軸上のある座標かつｙ軸上のある座標におけるｚ軸方向に向けたウェブ１３の面外変位（第１面外変位）ｗ_ｗを推定できる関数を複数検討した。なお、面外変位ｗ_ｗは、ｙ軸の座標の関数であり、ｘ軸の座標の関数ではない（ｘ軸上のある座標における関数である）。
その結果、ウェブ１３にせん断力Ｆ１が作用する場合、ｘ軸上のある座標かつｙ軸上のある座標におけるｚ軸方向に向けたウェブ１３の面外変位ｗ_ｗは（１６）式により、フーリエ級数よりも少ない項数で推定されることを見出した。ただし、Ｎは２以上の自然数であり、ａ_０，ａ_ｎ，ｂ_ｎは未定係数である。
（１６）式は、ｙ軸の座標の累乗関数を用いた三角関数による項を含む。ｃｏｓπ（２ｙ／ｂ_ｗ）^ｎ及びｃｏｓ（π／２）（２ｙ／ｂ_ｗ）^ｎは、基底となる。（１６）式は、ウェブ１３等の板要素の面外変形の推定に好ましく用いることができる。

一方で、ｘ軸上の任意の座標かつｙ軸上のある座標におけるｚ軸方向に向けたウェブ１３の面外変位（第２面外変位）Ｗ_ｗは、（１８）式により推定される。（１８）式は、前述のように、ウェブ１３におけるｘ軸上のある座標におけるｚ軸方向に向けた面外変位がｓｉｎ（π（ｘ＋λｓｉｎ（πｙ／ｂ_ｗ））／ａ）の式で表される、という仮定に基づく。ただし、（１８）式における未定係数λは、ｙ軸方向の位相のずれを表す実数である。面外変位Ｗ_ｗは、ｙ軸の座標及びｘ軸の座標それぞれの関数であり、ウェブ１３の座屈応力度を推定する際に用いられる。なお、図３の面外変位Ｗ_ｗは、図４の面外変位Ｗ_ｗをｘ軸方向に繰り返したものである。図３のウェブ１３の座屈応力度を推定することと図４のウェブ１３の座屈応力度を推定することは同義であることから、前記（１８）式は図４の面外変位Ｗ_ｗを推定したものである。
なお、（１８）式に（１６）式を代入すると、（１９）式が得られる。（１９）式においてＮが２である場合には、（２０）式のように変形できる。

例えば、図４のウェブ１３にせん断力Ｆ１が作用する前における、ウェブ１３においてｘ軸の座標がｘ_０、ｙ軸の座標がｙ_０の部分（以下、推定対象部分と言う）のｚ軸の座標は０である。ウェブ１３にせん断力Ｆ１が作用した後において、この推定対象部分における面外変位Ｗ_ｗは、（１９－１）式により推定され、このときのｚ軸の座標は、０に（１９－１）式により推定した面外変位Ｗ_ｗを足した値となる。すなわち、せん断力Ｆ１が作用した後では、推定対象部分は、ｘ軸の座標がｘ_０、ｙ軸の座標がｙ_０、ｚ軸の座標がＷ_ｗとなる位置に配置されていると推定される。

変位推定部５２は、ウェブ１３の面外変位Ｗ_ｗを（１９）式により推定する。

ウェブ１３は、ｘ軸の座標が０以上ａ以下という閉区間に配置され、ｙ軸の座標が－（ｂ_ｗ／２）以上（ｂ_ｗ／２）以下という閉区間に配置されている。このとき、座屈変形によりウェブ１３内で生じる歪エネルギーＵは（２１）式で表され、せん断力Ｆ１により与えられる外力ポテンシャルＶは（２２）式で表される。
全ポテンシャルエネルギーΠは、歪エネルギーＵと外力ポテンシャルＶとの和として、（２３）式で表される。

ここで、Ｄ_ｗはウェブ１３の板剛性であり、（２５）式で表される。τ_ｃｒはウェブ１３の座屈応力度である。関数δ_ｗは、座屈が発生した時のウェブ１３のｘ軸方向の変形を表現した関数であり、（２７）式で表される。ただし、δはウェブ１３のｘ軸方向の第２端上のｙ軸方向の第２端（上端）におけるｙ軸方向の変位である。
例えば、（∂^２Ｗ_ｗ／∂ｘ^２）はＷ_ｗをｘにより二階偏微分した関数を意味し、（∂^２Ｗ_ｗ／（∂ｘ∂ｙ））はＷ_ｗをｘ，ｙによりそれぞれ一階偏微分した関数を意味する。

応力度算出部５３は、エネルギー法に基づいて、（１９）式に基づいた面外変位Ｗ_ｗを生じるウェブ１３の座屈応力度τ_ｃｒを求める。応力度算出部５３は、ウェブ１３の座屈応力度τ_ｃｒを、（３０）式及び（３１）式を用いて、（３２）式による座屈応力度τ_ｃｒに最小の正の値を与える実数であるａ_ｎ，ｂ_ｎ，λ及び半波長ａに基づいて、座屈応力度τ_ｃｒを求める。
ただし、座屈係数ｋは、（３３）式により求められる。

具体的には、半波長ａ及び未定係数λを定数として扱った状態で、前記全ポテンシャルエネルギーΠを未定係数ａ_ｎ，ｂ_ｎで偏微分した関数が０に等しいことを表す方程式を連立させて、実数であるａ_ｎ，ｂ_ｎを求める。連立方程式の解となるａ_ｎ，ｂ_ｎの組が複数ある場合には、ａ_ｎ，ｂ_ｎの複数の組のうち、（３２）式による座屈応力度τ_ｃｒに最小の正の値を与えるａ_ｎ，ｂ_ｎの組に基づいて（ａ_ｎ，ｂ_ｎの組を（３２）式に代入して）座屈応力度τ_ｃｒを求める。次に、半波長ａ及び未定係数λを変数として扱い、前記ａ_ｎ，ｂ_ｎの組が求められた全ポテンシャルエネルギーΠを半波長ａ、未定係数λで偏微分した関数が０に等しいことを表す方程式から、半波長ａ及び未定係数λを求める。以上のように求められた前記ａ_ｎ，ｂ_ｎの組及び半波長ａ及び定数λに基づいて求められた座屈応力度τ_ｃｒが、求める座屈応力度τ_ｃｒとなる。
連立方程式の解となる未定係数ａ_ｎ，ｂ_ｎの組が１つのみの場合には、ａ_ｎ，ｂ_ｎの組が（３２）式による座屈応力度τ_ｃｒに最小の正の値を与える場合に、ａ_ｎ，ｂ_ｎの組に基づいて座屈応力度τ_ｃｒを求める。次に、半波長ａ及び未定係数λを変数として扱い、前述のように座屈応力度τ_ｃｒを求める。

なお、本実施形態の座屈応力度の推定方法（以下、単に推定方法と言う）では、ウェブ１３の面外変位Ｗ_ｗを（１９）式により推定する変位推定工程と、面外変位Ｗ_ｗを生じるウェブ１３の座屈応力度τ_ｃｒを、エネルギー法に基づいて求める応力度算出工程を行う。
ウェブ１３に座屈応力度τ_ｃｒが生じるときにウェブ１３に作用するせん断力Ｆ１は、板要素に関する公知の方程式から求めることができる。ウェブ１３に作用するせん断力Ｆ１をこのせん断力Ｆ１よりも小さくすることで、ウェブ１３が座屈するのを抑えることができる。

〔面外変位及び座屈応力度の推定精度の評価〕
（面外変位による比較）
図５に、ウェブ１３にせん断力Ｆ１が作用する場合の、ｙ軸の座標によるウェブ１３の面外変位Ｗ_ｗの推定結果を表す。ウェブ１３のｙ軸方向の各端に配置されｘ軸方向に延びる表面（以下、ｙ軸方向の端面と言う）１３ｂは、固定支持（回転不能に支持、剛接合）されているとした。この面外変位Ｗ_ｗは、図４の切断線Ａ－Ａの断面における面外変位である。
図５において、横軸はウェブ１３の長さｂ_ｗの半分の値（ｂ_ｗ／２）に対するｙ軸の座標を表し、縦軸は推定したウェブ１３の面外変位Ｗ_ｗを表す。横軸の－１はウェブ１３の下端を表し、横軸の１はウェブ１３の上端を表す。縦軸において、面外変位Ｗ_ｗの値は、図４の範囲における面外変位Ｗ_ｗの最大値により無次元化している。すなわち、図４において、切断線Ａ－Ａの以外の断面において、切断線Ａ－Ａの断面における面外変位Ｗ_ｗの２倍程度変位している部分がある。このため、切断線Ａ－Ａの断面における無次元化した面外変位Ｗ_ｗが、－０．５～０．５程度の値になる。

図５において、実線による線Ｌ１はＦＥＭ（Finite Element Method）による解析結果を表す。点線による線Ｌ２は本実施形態の（１９）式を用いて推定した結果（ただしＮは２）を表し、一点鎖線による線Ｌ３は（１－１）式を用いて推定した結果（ただしＮは２５）を表す。線Ｌ２及び線Ｌ３が線Ｌ１にほぼ一致しているため、線Ｌ２及び線Ｌ３が線Ｌ１に重なっている。
ＦＥＭによる解析結果を、（１－１）式のフーリエ級数でＮが２５の場合と同程度の精度で近似するのに必要な、本実施形態の（１９）式におけるＮは、２であることが分かった。

（座屈応力度による比較）
ウェブ１３の座屈応力度τ_ｃｒを、（１－１）式、本実施形態の（１９）式で求め、座屈係数で比較した結果を、表１及び図６に示す。

本実施形態の（１９）式を用いた場合には、Ｎを２にした。一方、比較例である（１－１）式のフーリエ級数を用いた場合には、Ｎを４，５，７，‥，２５と変化させた。
表１において、ウェブ１３のｙ軸方向の端面１３ｂが単純支持の場合の座屈係数は、面外変位Ｗ_ｗ及び座屈応力度τ_ｃｒの推定精度が高くなるのに従い、５．３４に収束する（図６中の線Ｌ１１参照）。ウェブ１３のｙ軸方向の端面１３ｂが固定支持の場合の座屈係数は、面外変位Ｗ_ｗ及び座屈応力度τ_ｃｒの推定精度が高くなるのに従い、８．９８に収束する（図６中の線Ｌ１２参照）。

図６において、横軸はＮを表し、縦軸は座屈係数ｋを表す。白抜きの丸印は、本実施形態の（１９）式を用いた単純支持の場合の推定結果を表す。黒塗り丸印は、（１－１）式のフーリエ級数を用いた単純支持の場合の推定結果を表す。白抜きの四角印は、本実施形態の（１９）式を用いた固定支持の場合の推定結果を表す。黒塗り四角印は、（１－１）式のフーリエ級数を用いた固定支持の場合の推定結果を表す。
本実施形態の（１９）式を用いて座屈係数ｋを評価した場合の精度は、単純支持及び固定支持のいずれにおいても、（１－１）式のフーリエ級数でＮが２５の場合の精度と同程度であることが分かった。

以上説明したように、本実施形態の推定装置５０、推定方法、及び推定プログラム６１によれば、発明者らは、三角関数を用いつつも、（１－１）式のフーリエ級数よりも少ない項数で、せん断力Ｆ１が作用するウェブ１３の面外変位を推定できる関数を複数検討した。その結果、（１９）式を用いてウェブ１３の面外変位Ｗ_ｗをフーリエ級数よりも少ない項数で推定できることを見出した。
（１９）式は、（１－１）式のフーリエ級数よりも少ない項数でウェブ１３の面外変位Ｗ_ｗを推定できるため、フーリエ級数を用いた場合よりも推定に必要な計算を簡単に行うことができる。さらに、面外変位Ｗ_ｗを一定の精度で推定するために必要な項数が、（１－１）式のフーリエ級数を用いて推定する場合よりも、（１９）式を用いて推定する場合の方が少ないため、フーリエ級数を用いた場合よりも推定結果を物理的に理解しやすく定式化することができる。

（１９）式を用いることで、ウェブ１３の面外変位Ｗ_ｗを素早く近似することができる。すなわち、面内曲げを受ける建築物の部材や部材を構成する板要素が局部座屈を生じるときの座屈波形を素早く近似することができる。

また、Ｎは２である。まず（１９）式において、半波長ａ及び未定係数λを定数として扱った状態で未定係数ａ_１，ａ_２，ｂ_１，及びｂ_２を求め、次に半波長ａ及び未定係数λを変数として扱い、（１９）式における半波長ａ及び未定係数λを求める。（１９）式において未定係数ａ_１等を求める際に、一度に求める未定係数の数が４つ以下である。このため、解の公式が知られている４次以下の方程式を用いて未定係数ａ_１，ａ_２，ｂ_１，及びｂ_２等を容易に求めることができる。
また、応力度算出部５３は（応力度算出工程では）、（３０）式及び（３１）式を用いて、（３２）式による座屈応力度τ_ｃｒに最小の正の値を与える実数であるａ_ｎ，ｂ_ｎ，λ及び半波長ａに基づいて、座屈応力度τ_ｃｒを求める。エネルギー法に基づいて座屈応力度τ_ｃｒを求める際に、（３０）式から（３２）式の数式を用いて座屈応力度τ_ｃｒを正確に求めることができる。

以上、本発明の一実施形態について図面を参照して詳述したが、具体的な構成はこの実施形態に限られるものではなく、本発明の要旨を逸脱しない範囲の構成の変更、組み合わせ、削除等も含まれる。
例えば、前記実施形態では、ウェブ１３のｙ軸方向の各端面１３ｂに外力であるせん断力が、ｘ軸方向に作用してもよい。ｙ軸方向の各端面１３ｂに作用するせん断力に釣り合うように、ウェブ１３のｘ軸方向の各端面１３ａには、内力としてせん断力が生じる。そして、前記（２１）式の右辺第２項括弧内δ_ｗ／ａをδ_ｗ／ｂ_ｗと読み替え、（２２）式の右辺のｂ_ｗをａと読み替えることで適用される。この場合、δはウェブ１３のｘ軸方向の第２端上のｙ軸方向の第２端（上端）におけるｘ軸方向の変位である。
（１９）式におけるＮは３以上でもよい。
座屈応力度τ_ｃｒをエネルギー法に基づいて求める際には、（３０）式から（３２）式を用いなくてもよい。
本実施形態では、推定装置５０が板要素であるウェブ１３の座屈応力度を推定するとしたが、板要素はウェブ１３に限定されず、上フランジ１１や下フランジ１２等でもよい。

１３ ウェブ（板要素）
５０ 座屈応力度の推定装置
５２ 変位推定部
５３ 応力度算出部
６１ 座屈応力度の推定プログラム
Ｆ１ せん断力

Claims (9)

1. 材軸方向に延びるｘ軸及び板幅方向に延びるｙ軸に沿ってそれぞれ広がり、前記ｘ軸に沿う方向又は前記ｙ軸に沿う方向にせん断力が外力として作用して座屈する板要素の座屈応力度を推定する座屈応力度の推定装置であって、
   前記板要素の板厚方向に延びる軸をｚ軸とし、
   前記板要素の前記ｘ軸に沿う方向の第１端に向かうに従い、前記ｚ軸の正の向き及び前記ｚ軸の負の向きに交互に波状に変位する前記板要素の、前記ｘ軸に沿う方向における半波長をａとしたときに、
   前記ｚ軸に沿う方向に向けた前記板要素の面外変位Ｗ_ｗを（１）式により推定する変位推定部と、
   （１）式に基づいた前記面外変位Ｗ_ｗを生じる前記板要素の前記座屈応力度を、エネルギー法に基づいて求める応力度算出部と、
   を備える座屈応力度の推定装置。
   ただし、Ｎは２以上の自然数であり、ａ_０，ａ_ｎ，ｂ_ｎ，λは未定係数であり、ｂ_ｗは前記ｙ軸に沿う方向における前記板要素の長さである。
   

   
2. 前記Ｎは２である請求項１に記載の座屈応力度の推定装置。
3. 前記応力度算出部は、（２）式及び（３）式を用いて、（４）式による前記座屈応力度τ_ｃｒに最小の正の値を与える実数である前記未定係数ａ_ｎ，ｂ_ｎ，λ及び前記半波長ａに基づいて、前記座屈応力度τ_ｃｒを求める請求項１又は２に記載の座屈応力度の推定装置。
   ただし、Ｅは前記板要素のヤング係数であり、νは前記板要素のポアソン比であり、ｔ_ｗは前記板要素の厚さである。
   

   
4. 材軸方向に延びるｘ軸及び板幅方向に延びるｙ軸に沿ってそれぞれ広がり、前記ｘ軸に沿う方向又は前記ｙ軸に沿う方向にせん断力が外力として作用して座屈する板要素の座屈応力度を推定する座屈応力度の推定方法であって、
   前記板要素の板厚方向に延びる軸をｚ軸とし、
   前記板要素の前記ｘ軸に沿う方向の第１端側に向かうに従い、前記ｚ軸の正の向き及び前記ｚ軸の負の向きに交互に波状に変位する前記板要素の、前記ｘ軸に沿う方向における半波長をａとしたときに、
   前記ｚ軸に沿う方向に向けた前記板要素の面外変位Ｗ_ｗを（５）式により推定する変位推定工程と、
   （５）式に基づいた前記面外変位Ｗ_ｗを生じる前記板要素の前記座屈応力度を、エネルギー法に基づいて求める応力度算出工程と、
   を行う座屈応力度の推定方法。
   ただし、Ｎは２以上の自然数であり、ａ_０，ａ_ｎ，ｂ_ｎ，λは未定係数であり、ｂ_ｗは前記ｙ軸に沿う方向における前記板要素の長さである。
   

   
5. 前記Ｎは２である請求項４に記載の座屈応力度の推定方法。
6. 前記応力度算出工程では、（６）式及び（７）式を用いて、（８）式による前記座屈応力度τ_ｃｒに最小の正の値を与える実数である前記未定係数ａ_ｎ，ｂ_ｎ，λ及び前記半波長ａに基づいて、前記座屈応力度τ_ｃｒを求める請求項４又は５に記載の座屈応力度の推定方法。
   ただし、Ｅは前記板要素のヤング係数であり、νは前記板要素のポアソン比であり、ｔ_ｗは前記板要素の厚さである。
   

   
7. 材軸方向に延びるｘ軸及び板幅方向に延びるｙ軸に沿ってそれぞれ広がり、前記ｘ軸に沿う方向又は前記ｙ軸に沿う方向にせん断力が外力として作用して座屈する板要素の座屈応力度を推定する推定装置用の座屈応力度の推定プログラムであって、
   前記板要素の板厚方向に延びる軸をｚ軸とし、
   前記板要素の前記ｘ軸に沿う方向の第１端に向かうに従い、前記ｚ軸の正の向き及び前記ｚ軸の負の向きに交互に波状に変位する前記板要素の、前記ｘ軸に沿う方向における半波長をａとしたときに、
   前記推定装置を、
   前記ｚ軸に沿う方向に向けた前記板要素の面外変位Ｗ_ｗを（９）式により推定する変位推定部と、
   （９）式に基づいた前記面外変位Ｗ_ｗを生じる前記板要素の前記座屈応力度を、エネルギー法に基づいて求める応力度算出部と、
   して機能させる座屈応力度の推定プログラム。
   ただし、Ｎは２以上の自然数であり、ａ_０，ａ_ｎ，ｂ_ｎ，λは未定係数であり、ｂ_ｗは前記ｙ軸に沿う方向における前記板要素の長さである。
   

   
8. 前記Ｎは２である請求項７に記載の座屈応力度の推定プログラム。
9. 前記応力度算出部は、（１０）式及び（１１）式を用いて、（１２）式による前記座屈応力度τ_ｃｒに最小の正の値を与える実数である前記未定係数ａ_ｎ，ｂ_ｎ，λ及び前記半波長ａに基づいて、前記座屈応力度τ_ｃｒを求める請求項７又は８に記載の座屈応力度の推定プログラム。
   ただし、Ｅは前記板要素のヤング係数であり、νは前記板要素のポアソン比であり、ｔ_ｗは前記板要素の厚さである。
   

   

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