JP6984427B2 - 電磁場解析装置、電磁場解析方法、およびプログラム - Google Patents

Description

本発明は、電磁場解析装置、電磁場解析方法、およびプログラムに関し、特に、励磁された磁性材料の磁束密度を含む磁気特性を解析するために用いて好適なものである。

従来から、励磁された磁性材料の磁束密度を含む磁気特性を数値解析することが行われている。このとき、基礎方程式（支配方程式）を細かく離散化して三次元数値解析を行えば磁気特性を精度よく解析することができる。しかしながら、このような手法では、計算時間が長くなる。例えば、モータ等、磁性材料を含む電気機器の性能を評価する場合、当該電気機器の運転条件に従って励磁された当該磁性材料の磁気特性を数値解析する必要がある。この場合、様々な運転条件のそれぞれの場合に対し磁気特性を求める必要がある。このため、計算時間が非常に長くなる。

そこで、励磁された磁性材料の磁気特性を、計算精度を大きく落とすことなく且つ計算時間が長くならないように数値解析する技術として、非特許文献１に記載の技術がある。
非特許文献１には、電磁鋼板よりも厚い要素を用いて電磁鋼板の厚み方向の導電率を０（ゼロ）とした三次元非線形非定常有限要素法解析を行うことにより、電磁鋼板の面内方向成分（板面方向成分）の磁束密度を求め、当該電磁鋼板の面内方向成分の磁束密度を既知として電磁鋼板の厚み方向の一次元非定常有限要素法解析を行うことにより、電磁鋼板の面内方向成分の磁束密度の、電磁鋼板の厚み方向の分布を求めることが記載されている。

山崎克巳、里見倫著、「電磁鋼板の渦電流を直接考慮した有限要素法による誘導電動機の特性解析」、電気学会マグネティックス研究会資料、ＭＡＧ-０８−３２、ＳＡ−０８−２０、ＲＭ−０８−２０、ｐ．３９−４４、２００８年１月２５日 中田高義、高橋則雄著、「電気工学の有限要素法」、第２版、森北出版株式会社、１９８６年４月

しかしながら、非特許文献１に記載の技術では、磁気透磁率（透磁率の逆数）についての言及がなく、三次元非線形非定常有限要素法解析と一次元非定常有限要素法解析とで同じものを使用していると考えられる。即ち、非特許文献１に記載の技術では、要素内の透磁率は同じであるものとしていると考えられる。従って、一次元非定常有限要素法解析において、表皮効果による影響を十分に考慮することができない。このため、励磁された磁性材料の磁束密度を含む磁気特性の精度が低下する虞がある。

本発明は、以上のような問題点に鑑みてなされたものであり、励磁された磁性材料の磁束密度を含む磁気特性を数値解析により求めるに際し、計算負荷を低減することと計算精度の低下を抑制することとの双方を実現することを目的とする。

本発明の電磁場解析装置は、励磁された磁性材料の各時刻ステップにおける磁気特性をマクスウェル方程式に基づく数値解析により解析する電磁場解析装置であって、前記磁性材料における磁束密度の面内方向成分の値を、当該磁性材料の領域を分割することにより得られる３次元の第１の小領域ごとに数値解析により導出することを、各時刻ステップにおいて実行する第１の導出手段と、前記第１の導出手段により導出された前記磁束密度の面内方向成分の値に基づいて、前記面内方向に垂直な方向に前記第１の小領域を分割することにより得られる３次元の第２の小領域ごとに、前記磁性材料における磁束密度の面内方向成分の値を数値解析により導出することを、各時刻ステップにおいて実行する第２の導出手段と、前記第２の導出手段により前記第２の小領域に対して導出された前記磁性材料における磁束密度の面内方向成分の値に基づいて、当該第２の小領域における前記磁性材料の微分透磁率の面内方向成分の値を導出することを、各時刻ステップにおいて実行する第３の導出手段と、を有し、前記第２の導出手段は、或る時刻ステップにおいて、前記磁性材料における磁束密度の面内方向成分の値を前記第２の小領域ごとに数値解析により導出する際に、当該時刻ステップよりも前の時刻ステップにおいて、前記第３の導出手段により当該第２の小領域に対して導出された前記磁性材料の微分透磁率の面内方向成分の値を、当該第２の小領域における前記磁性材料の微分透磁率の面内方向成分の値として用いることを特徴とする。

本発明の電磁場解析方法は、励磁された磁性材料の各時刻ステップにおける磁気特性をマクスウェル方程式に基づく数値解析により解析する電磁場解析方法であって、前記磁性材料における磁束密度の面内方向成分の値を、当該磁性材料の領域を分割することにより得られる３次元の第１の小領域ごとに数値解析により導出することを、各時刻ステップにおいて実行する第１の導出工程と、前記第１の導出工程により導出された前記磁束密度の面内方向成分の値に基づいて、前記面内方向に垂直な方向に前記第１の小領域を分割することにより得られる３次元の第２の小領域ごとに、前記磁性材料における磁束密度の面内方向成分の値を数値解析により導出することを、各時刻ステップにおいて実行する第２の導出工程と、前記第２の導出工程により前記第２の小領域に対して導出された前記磁性材料における磁束密度の面内方向成分の値に基づいて、当該第２の小領域における前記磁性材料の微分透磁率の面内方向成分の値を導出することを、各時刻ステップにおいて実行する第３の導出工程と、を有し、前記第２の導出工程は、或る時刻ステップにおいて、前記磁性材料における磁束密度の面内方向成分の値を前記第２の小領域ごとに数値解析により導出する際に、当該時刻ステップよりも前の時刻ステップにおいて、前記第３の導出工程により当該第２の小領域に対して導出された前記磁性材料の微分透磁率の面内方向成分の値を、当該第２の小領域における前記磁性材料の微分透磁率の面内方向成分の値として用いることを特徴とする。

本発明のプログラムは、電磁場解析装置の各手段としてコンピュータを機能させる。

本発明によれば、励磁された磁性材料の磁束密度を含む磁気特性を数値解析により求めるに際し、計算負荷を低減することと計算精度の低下を抑制することとの双方を実現することができる。

図１は、電磁場解析装置の機能的な構成の一例を示す図である。 図２は、電磁鋼板に設定される要素の一例を概念的に示す図である。 図３は、第１の要素における磁束（のｘ成分およびｙ成分）と、第２の要素のそれぞれにおける磁束（のｘ成分およびｙ成分）との一例を概念的に示す図である。 図４は、微分透磁率と透磁率の一例を概念的に示す図である。 図５は、電磁場解析方法の一例を説明するフローチャートである。 図６は、ヒステリシス損、渦電流損、および鉄損の計算結果の一例を示す図である。

以下、図面を参照しながら、本発明の実施形態を説明する。以下の実施形態では、数値解析として有限要素法を用いる場合を例に挙げて説明する。また、数値解析の対象となる磁性材料が、軟磁性材料の一種である電磁鋼板である場合を例に挙げて説明する。また、単板磁気特性試験器により励磁された単板（一枚の電磁鋼板）の磁気特性を有限要素法により求める場合を例に挙げて説明する。ただし、数値解析は有限要素法に限定されず、例えば、差分法であってもよい。また、解析の対象となる磁性材料は、電磁鋼板に限定されず、例えば、パーマロイであってもよい。また、解析の対象となる磁性材料の構成は、単板に限定されず複数枚であってもよく、例えば、回転電機（モータ、発電機）のステータコアであってもよい。また、本実施形態では、電磁鋼板の面内方向成分がｘ−ｙ−ｚ直交座標系におけるｘ成分およびｙ成分で表され、厚み方向成分がｚ軸成分で表される場合を例に挙げて説明するが、電磁鋼板の面内方向成分は円座標（動径成分および角度成分）で表されてもよい。

＜電磁場解析装置１００の構成＞
図１は、電磁場解析装置１００の機能的な構成の一例を示す図である。電磁場解析装置１００は、例えば、ＣＰＵ、ＲＯＭ、ＲＡＭ、ＨＤＤ、および各種のインターフェースを有する情報処理装置、または、専用のハードウェアを用いることにより実現される。

［データ記憶部１０１］
データ記憶部１０１は、二次元解析部１０２および一次元解析部１０３で使用する各種の既知のデータを記憶する。データ記憶部１０１は、例えば、励磁条件データと、電磁鋼板の導電率σと、磁気特性データと、を記憶する。
励磁条件データは、一周期の各時刻における励磁電流密度Ｊ₀を特定するデータである。
電磁鋼板の導電率σは、電磁鋼板の材料特性である。電磁鋼板の導電率σは、電磁鋼板の材質（鋼種）毎に定められる。

磁気特性データは、電磁鋼板の磁束密度（のｘ成分およびｙ成分）Ｂ_x、Ｂ_yと、透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ_x、μ_yと、微分透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ´_x、μ´_yとの関係を周波数毎、材質毎に示すデータである。本実施形態では、電磁鋼板の磁束密度（のｘ成分およびｙ成分）Ｂ_x、Ｂ_yと、磁界強度Ｈ（のｘ成分およびｙ成分）Ｈ_x、Ｈ_yとの関係を示すデータとして、初磁化特性のデータを用いる場合を例に挙げて説明する。このような磁気特性データは、例えば、電磁鋼板に対する（実際の）磁気特性試験の結果から、電磁鋼板の初磁化特性（初磁化を示す曲線）をｘ成分およびｙ成分のそれぞれについて個別に作成し、当該初磁化特性から、各磁束密度（のｘ成分およびｙ成分）Ｂ_x、Ｂ_yにおける透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ_x、μ_yおよび微分透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ´_x、μ´_yを求めることにより得られる。尚、透磁率は、磁束密度と磁界強度との関係を示す曲線（本実施形態では初磁化特性を示す曲線）における原点と、当該曲線上の、磁束密度に応じて定まる点とを結ぶ直線の傾きで表される。また、微分透磁率は、磁束密度と磁界強度との関係を示す曲線（本実施形態では初磁化特性を示す曲線）上の、磁束密度に応じて定まる点における接線の傾きで表される。

本実施形態では、磁気特性データは、電磁鋼板の磁束密度のｘ成分Ｂ_xと、微分透磁率のｘ成分μ´_xとを相互に関連付けて記憶するテーブルと、電磁鋼板の磁束密度のｙ成分Ｂ_yと、微分透磁率のｙ成分μ´_yとを相互に関連付けて記憶するテーブルとを有する。
尚、このテーブルに記憶されていない値については、例えば、このテーブルに記憶されている値を用いた補間処理や補外処理により導出することができる。また、テーブルを用いずに、前述した関係を示す関係式を磁気特性データとしてもよい。
この他、データ記憶部１０１は、二次元解析部１０２および一次元解析部１０３で使用する各種のデータを記憶する。

［二次元解析部１０２］
二次元解析部１０２は、非線形非定常二次元有限要素法を用いた電磁場解析を行うことにより、第１の要素のそれぞれにおいて、励磁条件データに従って励磁された場合の電磁鋼板の磁束密度（のｘ成分およびｙ成分）Ｂ_x、Ｂ_yを導出する。図２は、電磁鋼板に設定される要素の一例を概念的に示す図である。本実施形態では、図２（ａ）に示すように、電磁鋼板の厚み方向については分割せず、面内方向（ｘ軸方向およびｙ軸方向）で電磁鋼板を分割したそれぞれの三次元領域を第１の要素とする。

また、本実施形態では、有限要素法を用いた電磁場解析の手法としてＡ−φ法を用いる場合を例に挙げて説明する。この場合、電磁場解析を行うための基礎方程式は、マクスウェル方程式に基づき以下の（１）式〜（４）式で与えられる。尚、各式において、→は、ベクトルであることを表す。尚、電磁場解析を行う手法は、非特許文献２等に記載されているように一般的な手法であるので、その詳細な説明を省略する。

（１）式〜（４）式において、μは、透磁率であり、Ａは、ベクトルポテンシャルであり、σは、導電率であり、Ｊ₀は、励磁電流密度であり、Ｊｅは、渦電流密度であり、Ｂは、磁束密度である。（１）式〜（４）式において、ベクトルポテンシャルのｘ成分Ａ_xおよびｙ成分Ａ_yと、∂／∂ｚをそれぞれ０（ゼロ）とし（Ａ_x＝Ａ_y＝０、∂／∂ｚ＝０）、（１）式および（２）式を連立して解いて、ベクトルポテンシャルのｚ成分Ａ_zとスカラーポテンシャルφを求めた後、（３）式および（４）式から磁束密度のｘ成分Ｂ_xおよびｙ成分Ｂ_yと、渦電流密度のｘ成分Ｊｅ_xおよびｙ成分Ｊｅ_yとを第１の要素のそれぞれに対して求める。尚、（１）式では、表記を簡素化するため、透磁率のｘ成分μ_x、ｙ成分μ_y、ｚ成分μ_zが等しい場合（μ_x＝μ_y＝μ_zの場合）の式を示す。

このとき、二次元解析部１０２は、励磁条件データにより特定される励磁周波数と電磁鋼板の材質とに対応する磁気特性データから、透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ_x、μ_yを読み出す。二次元解析部１０２による電磁場解析では、１つの第１の要素内の透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ_x、μ_yは同じ値になる。

二次元解析部１０２は、以上のようにして、第１の要素のそれぞれにおける電磁鋼板の磁束密度（のｘ成分およびｙ成分）Ｂ_x、Ｂ_yを導出することを、データ記憶部１０１に記憶されている励磁条件データにおける一周期の各時刻ステップｔにおいて行う。尚、本実施形態では、励磁条件データにおける一周期の始期の時刻ステップｔの値を０（ゼロ）とし、終期の時刻ステップｔの値をｔ_maxとする。また、時間的に隣り合う時刻ステップｔの間隔をΔｔとする。

［一次元解析部１０３］
一次元解析部１０３は、非線形非定常一次元有限要素法を用いた電磁場解析を行うことにより、第１の要素のそれぞれにおいて、励磁条件データに従って励磁された場合の電磁鋼板の磁束密度（のｘ成分およびｙ成分）Ｂ_x、Ｂ_yのｚ軸方向の分布を導出する。以下に一次元解析部１０３の処理の具体例を説明する。

まず、図２（ｂ）に示すように一次元解析部１０３は、図２（ａ）に示す第１の要素のそれぞれをｚ軸方向において複数に分割し、複数の第２の要素を生成する。このように１つの第１の要素内に複数の第２の要素が含まれる。図２（ｂ）では、１つの第１の要素内に９つの第２の要素が含まれる場合を例に挙げて示す。一次元解析部１０３は、以下の（５ａ）式および（５ｂ）式に基づいて、第２の要素のそれぞれにおいて、電磁鋼板の磁束密度（のｘ成分およびｙ成分）Ｂ_x、Ｂ_yを導出することにより、磁束密度（のｘ成分およびｙ成分）Ｂ_x、Ｂ_yのｚ軸方向の分布を導出する。

（５ａ）式および（５ｂ）式は、磁束密度の拡散方程式であり、電磁鋼板の磁束密度の面内方向成分の値（磁束密度のｘ成分およびｙ成分）Ｂ_x、Ｂ_y）が、ｚ軸方向（厚み方向）にどのように分布（拡散）するのかを、電磁鋼板の導電率σおよび微分透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ´_x、μ´_yを用いて表現した拡散方程式である。

（５ａ）式および（５ｂ）式は、本発明者らが今回見出した拡散方程式である。
まず、（５ａ）式および（５ｂ）式の導出について説明する。電界Ｅと磁界強度Ｈとの関係式、ファラデーの法則を記述する式、電流密度Ｊと電界Ｅとの構成式は、それぞれ以下の（６）式、（７）式、（８）式で表される。

（４）式よりベクトルポテンシャルＡを用いて（７）式を表現すると以下の（９）式が得られる。

（９）式の電界Ｅを（６）式を用いて磁界強度Ｈを用いて表すと以下の（１０）式が得られる。

（１０）式の左辺をｘ成分、ｙ成分、ｚ成分の要素毎に示すと、以下の（１１）式の左辺のようになる。（１１）式の左辺を、微分透磁率のｘ成分μ´_x（＝∂Ｂ_x／∂Ｈ_x）、ｙ成分μ´_y（＝∂Ｂ_y／∂Ｈ_y）、ｚ成分μ´_z（＝∂Ｂ_z／∂Ｈ_z）を用いて書き換えると、（１１）式の右辺のようになる。

（１０）式の左辺を、（１１）式の右辺および（４）式を用いて書き換えると、以下の（１２）式が得られる。

（１２）式において、ベクトルポテンシャルのｚ成分Ａ_z、∂／∂ｘ、∂／∂ｙをそれぞれ０（ゼロ）とすると（Ａ_z＝０、∂／∂ｘ＝０、∂／∂ｙ＝０）、以下の（１３）式が得られる。（１３）式を纏めて表現したものが（５ａ）式および（５ｂ）式になる。

（５ａ）式および（５ｂ）式を解く際には、第１の要素の境界面であって、法線方向がｘ軸方向を向く境界面における磁束の総量が、当該第１の要素に対し二次元解析部１０２で導出された磁束密度（のｘ成分）Ｂ_xと、当該境界面の面積との積で表される磁束と等しくなることを示す境界条件を用いる。また、第１の要素の境界面であって、法線方向がｙ軸方向を向く境界面における磁束の総量が、当該第１の要素に対し二次元解析部１０２で導出された磁束密度（のｙ成分）Ｂ_yと、当該境界面の面積との積で表される磁束と等しくなることを示す境界条件を用いる。具体的に本実施形態では、以下の（１４ａ）式〜（１４ｄ）式を第１の要素の境界条件として用いる。

（１４ａ）式〜（１４ｄ）式において、ｈは、電磁鋼板の板厚である。（１４ａ）式および（１４ｃ）式は、第１の要素の表面における第１の要素の境界条件である。（１４ｂ）式および（１４ｄ）式は、第１の要素の電磁鋼板の板厚方向（ｚ軸方向）の中央における第１の要素の境界条件である。Ｂ_x（ｔ）、Ｂ_y（ｔ）は、時刻ステップｔにおいて二次元解析部１０２で導出された第１の要素の磁束密度のｘ成分、ｙ成分である（Ｂ_x（ｔ）、Ｂ_y（ｔ）は、時刻ステップｔ毎、第１の要素毎の値である）。

一次元解析部１０３は、以上の境界条件の下、（５ａ）式および（５ｂ）式を非線形非定常一次元有限要素法により解くことにより、第２の要素のそれぞれにおいてベクトルポテンシャル（のｘ成分、ｙ成分）Ａ_x、Ａ_yを導出する。そして、一次元解析部１０３は、第２の要素におけるベクトルポテンシャル（のｘ成分、ｙ成分）Ａ_x、Ａ_yを、（４）式においてＡ_z＝０、∂／∂ｘ＝０、∂／∂ｙ＝０とした式に与えることにより、当該第２の要素における磁束密度（のｘ成分およびｙ成分）Ｂ_x、Ｂ_yを導出する。一次元解析部１０３は、このような磁束密度（のｘ成分およびｙ成分）Ｂ_x、Ｂ_yの導出を第２の要素のそれぞれにおいて行う。尚、初期条件および電磁鋼板の境界条件については、公知の技術と同様に適宜設定することができるので、ここでは、その詳細な説明を省略する。

図３は、第１の要素における磁束と、第２の要素のそれぞれにおける磁束との一例を概念的に示す図である。
図３の左図は、二次元解析部１０２により導出される、第１の要素における磁束（のｘ成分およびｙ成分）を概念的に表す。二次元解析部１０２は、１つの第１の要素に対し、磁束密度（のｘ成分およびｙ成分）Ｂ_x、Ｂ_yを１つずつ導出する。従って、図３の左図に示す例では、第１の要素におけるｘ軸方向の磁束の総量は、当該第１の要素の磁束密度（のｘ成分）Ｂ_xに、当該第１の要素のｘ軸に垂直な断面の面積を掛けた値となる。同様に、第１の要素におけるｙ軸方向の磁束の総量は、当該第１の要素の磁束密度（のｙ成分）Ｂ_yに、当該第１の要素のｙ軸に垂直な断面の面積を掛けた値となる。図３の左図の矢印線は、第１の要素におけるｘ軸方向、ｙ軸方向の磁束の総量を表す。

一次元解析部１０３は、（１４ａ）式〜（１４ｄ）式の境界条件により（５ａ）式および（５ｂ）式を解くことで、第１の要素に含まれる第２の要素のそれぞれにおける磁束密度（のｘ成分およびｙ成分）Ｂ_x、Ｂ_yを導出する。そうすると、図３の左図に示す矢印線（第１の要素におけるｘ軸方向、ｙ軸方向の磁束の総量）は、当該第１の要素に含まれる第２の要素のそれぞれに分配され、図３の右図に示す矢印線（第１の要素に含まれる第２の要素のそれぞれにおけるｘ軸方向、ｙ軸方向の磁束）のようになる。このようにすることで、導電率の制限を設けずに且つ細かい要素として非線形非定常三次元有限要素法により電磁場解析を行う場合に比べて格段に短い時間で表皮効果を考慮した電磁場解析を行うことができる。

図２の説明に戻り、一次元解析部１０３は、第２の要素におけるベクトルポテンシャル（のｘ成分、ｙ成分）Ａ_x、Ａ_yと、データ記憶部１０１に記憶されている電磁鋼板の導電率σと、ｘ成分、ｙ成分毎に表した（３）式とに基づいて、渦電流密度（のｘ成分、ｙ成分）Ｊｅ_x、Ｊｅ_yを導出することを第２の要素のそれぞれにおいて行う。尚、このときに用いる（３）式のｇｒａｄφは０（ゼロ）になる。

また、一次元解析部１０３は、データ記憶部１０１に記憶されている励磁条件データにより特定される励磁周波数と電磁鋼板の材質とに対応する磁気特性データから、第２の要素における磁束密度（のｘ成分およびｙ成分）Ｂ_x、Ｂ_yに対応する微分透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ´_x、μ´_yを読み出す。前述したように、磁気特性データに所望のデータが記憶されていない場合、一次元解析部１０３は、補間処理や補外処理を行うことにより当該データを導出することができる。

一次元解析部１０３は、以上のようにして第１の要素のそれぞれに対し、第２の要素のそれぞれにおける、電磁鋼板の磁束密度（のｘ成分およびｙ成分）Ｂ_x、Ｂ_y、渦電流密度（のｘ成分、ｙ成分）Ｊｅ_x、Ｊｅ_y、および微分透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ´_x、μ´_yを導出することを、データ記憶部１０１に記憶されている励磁条件データにおける一周期の各時刻ステップｔ（ｔ＝０〜ｔ_max）において行う。

これにより、第１の要素のそれぞれについて、電磁鋼板の磁束密度（のｘ成分およびｙ成分）Ｂ_x、Ｂ_yのｚ軸方向の分布、渦電流密度（のｘ成分、ｙ成分）Ｊｅ_x、Ｊｅ_yのｚ軸方向の分布、および微分透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ´_x、μ´_yのｚ軸方向の分布が導出される。

ここで、一次元解析部１０３は、時刻ステップｔにおいて、第１の要素に含まれる第２の要素のそれぞれにおける電磁鋼板の磁束密度（のｘ成分およびｙ成分）Ｂ_x、Ｂ_yを（５ａ）式および（５ｂ）式に基づいて導出する際に、当該時刻ステップｔの１つ前の時刻ステップｔ−Δｔにおいて当該第１の要素に対して導出した微分透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ´_x、μ´_yのｚ軸方向の分布を用いる。ただし、一次元解析部１０３は、最初の時刻ステップｔ（＝０）においては、第１の要素に含まれる第２の要素のそれぞれにおける電磁鋼板の磁束密度（のｘ成分およびｙ成分）Ｂ_x、Ｂ_yを（５ａ）式および（５ｂ）式に基づいて導出する際に、二次元解析部１０２で導出された当該第１の要素における磁束密度（のｘ成分およびｙ成分）Ｂ_x、Ｂ_yに対応する微分透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ´_x、μ´_yを、データ記憶部１０１に記憶されている励磁条件データにより特定される励磁周波数と電磁鋼板の材質とに対応する磁気特性データから読み出して用いる。尚、一次元解析部１０３は、微分透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ´_x、μ´_yに代えて、二次元解析部１０２で導出された当該第１の要素における磁束密度（のｘ成分およびｙ成分）Ｂ_x、Ｂ_yに対応する透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ_x、μ_yを用いて、当該透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ_x、μ_yを微分透磁率μ´_x、μ´_yとして（５ａ）式および（５ｂ）式に与えてもよい。

このように、最初の時刻ステップｔ（＝０）においては、（５ａ）式および（５ｂ）式に与える微分透磁率μ´（第１の要素における透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ´_x、μ´_y）は、ｚ軸方向に分布を持たず、１つの第１の要素内で同じ値になる。これに対し、２回目以降の時刻ステップｔにおいては、（５ａ）式および（５ｂ）式に与える微分透磁率μ´（第１の要素における微分透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ´_x、μ´_y）は、ｚ軸方向に分布を有する。

図４は、微分透磁率と透磁率の一例を概念的に示す図である。図４では、電磁鋼板の磁束密度Ｂと磁界強度Ｈとの関係として、初磁化特性（初磁化曲線）を示す。透磁率μは、磁化曲線（図４では初磁化曲線）の原点と、磁化曲線上の一点とを通る直線の傾きで定義される（μは、ＢをＨで割った値（Ｂ＝μＨの関係）で表される）。例えば、図４（ａ）では、透磁率は、初磁化曲線４０１の原点と、初磁化曲線４０１上の点４０２〜４０５とを通る直線の傾きで表される。このような直線として図４（ａ）では、初磁化曲線４０１の原点と、初磁化曲線４０１上の点４０３、４０５とを通る直線４０６、４０７を示す。

一方、微分透磁率μ´は、磁化曲線（図４では初磁化曲線）の接線の傾きで定義される（μ´は、ＢをＨで偏微分した値（μ´＝∂Ｂ／∂Ｈの関係）で表される）。図４（ｂ）では、微分透磁率は、初磁化曲線４０１上の点４０２〜４０５における初磁化曲線７０１の接線の傾きで表される。このような直線として図４（ｂ）では、例えば、初磁化曲線４０１上の点４０３、４０５における初磁化曲線４０１の接線４０８、４０９を示す。

電磁鋼板の厚み方向（ｚ軸方向）において要素（第１の要素）を分割して、分割した要素（第２の要素）のそれぞれにおける磁束密度を導出して、電磁鋼板の厚み方向における磁束密度の分布を導出すると、電磁鋼板の透磁率も厚み方向において分布を持つ。従って、第１の要素における透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ_x、μ_y）がｚ軸方向に分布を持つようにすることが考えられる。このようにする場合、例えば、図４（ａ）に示す直線４０６、４０７の傾きを導出することになる。

磁束密度が低い場合には電磁鋼板は磁気飽和しないため（磁化曲線の傾きは一定であるため）、透磁率μと微分透磁率μ´に大きな差は生じない（図４（ａ）および図４（ｂ）において、磁束密度が低い領域における直線４０６、４０８の傾きに大きな差はない）。これに対し、磁束密度が高くなり、電磁鋼板が磁気飽和の状態または磁気飽和に近い状態になると、透磁率μと微分透磁率μ´に大きな差が生じる（図４（ａ）および図４（ｂ）において、磁束密度が高い領域における直線４０７、４０９の傾きには大きな差がある）。このように、磁束密度と磁界強度との関係が非線形な関係であるため、磁束密度と磁界強度との関係は、透磁率で表すよりも微分透磁率で表した方が、実現象を正確に再現することができると考えられる。また、表皮効果によって磁束や渦電流が電磁鋼板に浸透する表皮深さは、透磁率よりも微分透磁率に依存すると考えられる。そこで、本発明者らは、磁束密度の拡散方程式を透磁率に代えて微分透磁率で表現するということに着想し、透磁率μを用いずに微分透磁率μ´を用いて（１）式に対応する基礎方程式を（１２）式のように導き、磁束密度の拡散方程式として（５ａ）式および（５ｂ）式（（１３）式）を導いた。

高周波数、高磁束密度といった励磁条件下では、表皮効果によって、電磁鋼板における磁束密度の減衰の程度が大きくなり、板表面と内部とで磁束密度が大きく変化する。また、電磁鋼板が磁気飽和の状態または磁気飽和に近い状態になると、磁気特性の非線形性を有するようになる。従って、透磁率よりも微分透磁率の方が実現象を正確に反映させることができる。また、電磁鋼板の厚み方向において微分透磁率が一定であると仮定すると、実現象を正確に再現することができず、計算精度が低下する虞がある。

そこで、本実施形態では、（５ａ）式および（５ｂ）式のように磁束密度の拡散方程式を微分透磁率μ´を用いて表現し、且つ、当該微分透磁率μ´（第１の要素における微分透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ´_x、μ´_y）がｚ軸方向に分布を持つようにすることで、図４（ｂ）に示すように、それぞれの磁束密度（初磁化曲線４０１の各点４０２、４０３、４０４、４０５）に対応する微分透磁率を採用することができ、高周波数、高磁束密度といった励磁条件下でも、計算精度が低下することを抑制することができるようにする。尚、（５ａ）式および（５ｂ）式に示すように、微分透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ´_x、μ´_yは、導電率σと同様に定数として扱うことができ、計算が容易になる。

［損失導出部１０４］
損失導出部１０４は、データ記憶部１０１に記憶されている励磁条件データにおける一周期の各時刻ステップｔ（ｔ＝０〜ｔ_max）において、一次元解析部１０３により、第２の要素のそれぞれにおける、電磁鋼板の磁束密度（のｘ成分およびｙ成分）Ｂ_x、Ｂ_yおよび渦電流密度（のｘ成分、ｙ成分）Ｊｅ_x、Ｊｅ_yが導出されると、第２の要素のそれぞれにおける、ヒステリシス損および渦電流損を導出する。

例えば、損失導出部１０４は、第２の要素の磁束密度（のｘ成分およびｙ成分）Ｂ_x、Ｂ_yから磁束密度ベクトルを導出し、当該磁束密度ベクトルの大きさを導出することを、励磁条件データにおける一周期の各時刻ステップｔ（ｔ＝０〜ｔ_max）のそれぞれにおいて行う。損失導出部１０４は、その結果から、磁束密度ベクトルの大きさと時間との関係を示す波形の最大値と最小値の差Ｂ_mを導出し、以下の（１５）式により、当該第２の要素におけるヒステリシス損Ｗｈを導出する。

（１５）式において、ｆは、励磁周波数であり、Ｋｈは、ヒステリシス損係数であり、βは定数（例えば、１．６または２）である。ヒステリシス損係数Ｋｈは、例えば、二周波法により予め求められるものである。
損失導出部１０４は、以上のヒステリシス損Ｗｈの導出を全ての第２の要素に対して行い、全ての第２の要素におけるヒステリシス損Ｗｈの総和を電磁鋼板のヒステリシス損として導出する。尚、ヒステリシス損は、公知の方法で導出することができ、第２の要素の磁束密度（のｘ成分およびｙ成分）Ｂ_x、Ｂ_yを用いて導出する方法であれば、どのような方法で導出してもよい。

また、損失導出部１０４は、第２の要素の渦電流密度（のｘ成分、ｙ成分）Ｊｅ_x、Ｊｅ_yから渦電流密度ベクトルを導出し、当該渦電流密度ベクトルの大きさＪｅを導出することを、励磁条件データにおける一周期の各時刻ステップｔ（ｔ＝０〜ｔ_max）のそれぞれにおいて行う。そして、損失導出部１０４は、以下の（１６）式により、当該第２の要素における渦電流損Ｗｅ（古典的渦電流損）を導出する。

（１６）式において、ｖは、第２の要素の体積であり、Ｔは、励磁条件データにおける一周期に相当する時間である。
損失導出部１０４は、以上の渦電流損Ｗｅの導出を全ての第２の要素に対して行い、全ての第２の要素における渦電流損Ｗｅの総和を電磁鋼板の渦電流損として導出する。尚、渦電流損は、公知の方法で導出することができ、第２の要素の渦電流密度（のｘ成分およびｙ成分）Ｊｅ_x、Ｊｅ_yを用いて導出する方法であれば、どのような方法で導出してもよい。
そして、損失導出部１０４は、電磁鋼板のヒステリシス損と渦電流損の和を電磁鋼板の鉄損として導出する。

［出力部１０５］
出力部１０５は、損失導出部１０４により導出された、電磁鋼板のヒステリシス損、渦電流損、および鉄損を含む情報を出力する。出力の形態としては、例えば、コンピュータディスプレイへの表示、電磁場解析装置１００の内部または／および外部の記憶媒体への記憶、および外部装置への送信の少なくとも何れか１つを採用することができる。

＜電磁場解析方法＞
図５は、本実施形態の電磁場解析装置１００を用いた電磁場解析方法の一例を説明するフローチャートである。
ステップＳ５０１において、二次元解析部１０２は、（１）式〜（４）式を非定常二次元有限要素法により解くことで、第１の要素のそれぞれにおける磁束密度（のｘ成分およびｙ成分）Ｂ_x、Ｂ_yを導出する。
次に、ステップＳ５０２において、一次元解析部１０３は、第１の要素のうち未選択の第１の要素を１つ選択する。

次に、ステップＳ５０３において、一次元解析部１０３は、ステップＳ５０２で選択した第１の要素をｚ軸方向において複数に分割し、複数の第２の要素を生成する。
次に、ステップＳ５０４において、一次元解析部１０３は、時刻ステップｔを初期値である０（ゼロ）に設定する。時刻ステップｔの初期値（＝０）は、励磁条件データにおける一周期の始期のタイミングである。
次に、ステップＳ５０５において、一次元解析部１０３は、時刻ステップｔの初期値（＝０）における境界条件（（６ａ）式〜（６ｄ）式を参照）の下で、（５ａ）式および（５ｂ）式を非定常一次元有限要素法により解くことで、ステップＳ５０３で生成された第２の要素のそれぞれにおけるベクトルポテンシャル（のｘ成分、ｙ成分）Ａ_x、Ａ_yを導出する。このステップＳ５０５において、（６ａ）式〜（６ｄ）式のＢ_x（ｔ）、Ｂ_y（ｔ）は、ステップＳ５０２で選択された第１の要素に対してステップＳ５０１で導出されたＢ_x（０）、Ｂ_y（０）になる。

これにより、ステップＳ５０２で選択した第１の要素におけるベクトルポテンシャル（のｘ成分、ｙ成分）Ａ_x、Ａ_yの、時刻ステップｔの初期値におけるｚ軸方向の分布が導出される。このステップＳ５０５では、ステップＳ５０２で選択された第１の要素において共通の微分透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ´_x、μ´_yを用いて（５ａ）式および（５ｂ）式を解く。

次に、ステップＳ５０６において、一次元解析部１０３は、ステップＳ５０５で導出された第１の要素におけるベクトルポテンシャル（のｘ成分、ｙ成分）Ａ_x、Ａ_yのｚ軸方向の分布に基づいて、ステップＳ５０３で生成された第２の要素のそれぞれにおける磁束密度（のｘ成分およびｙ成分）Ｂ_x、Ｂ_yおよび渦電流密度（のｘ成分、ｙ成分）Ｊｅ_x、Ｊｅ_yを導出する。これにより、当該第１の要素における磁束密度（のｘ成分およびｙ成分）Ｂ_x、Ｂ_yの、時刻ステップｔの初期値におけるｚ軸方向の分布と、渦電流密度（のｘ成分、ｙ成分）Ｊｅ_x、Ｊｅ_yの、時刻ステップｔの初期値におけるｚ軸方向の分布とが導出される。

次に、ステップＳ５０７において、一次元解析部１０３は、データ記憶部１０１に記憶されている磁気特性データから、ステップＳ５０６で導出された第２の要素における磁束密度（のｘ成分およびｙ成分）Ｂ_x、Ｂ_yのそれぞれに対応する微分透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ´_x、μ´_yを読み出す。これにより、当該第１の要素における微分透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ´_x、μ´_yの、時刻ステップｔの初期値におけるｚ軸方向の分布が得られる。そして、一次元解析部１０３は、当該第１の要素における微分透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ´_x、μ´_yのｚ軸方向の分布を記憶する。

次に、ステップＳ５０８において、一次元解析部１０３は、時刻ステップｔに時間Δｔを加算して時刻ステップｔを更新する。
次に、ステップＳ５０９において、一次元解析部１０３は、ステップＳ５０２で選択された第１の要素における微分透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ´_x、μ´_yのｚ軸方向の分布（の最新の値）を読み出す。

次に、ステップＳ５１０において、一次元解析部１０３は、ステップＳ５０８で更新された時刻ステップｔにおける境界条件（（６ａ）式〜（６ｄ）式を参照）の下で、（５ａ）式および（５ｂ）式を非定常一次元有限要素法により解くことで、ステップＳ５０３で生成された第２の要素のそれぞれにおけるベクトルポテンシャル（のｘ成分、ｙ成分）Ａ_x、Ａ_yを導出する。このステップＳ５１０において、（６ａ）式〜（６ｄ）式のＢ_x（ｔ）、Ｂ_y（ｔ）は、ステップＳ５０２で選択された第１の要素に対してステップＳ５０１で導出されたＢ_x（ｔ）、Ｂ_y（ｔ）になる（ｔは、ステップＳ５０８で更新された時刻ステップｔである）。

これにより、ステップＳ５０２で選択した第１の要素におけるベクトルポテンシャル（のｘ成分、ｙ成分）Ａ_x、Ａ_yの、ステップＳ５０８で更新された時刻ステップｔにおけるｚ軸方向の分布が導出される。このステップＳ５１０では、ステップＳ５０９で読み出した第１の要素における微分透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ´_x、μ´_yのｚ軸方向の分布（の最新の値）を用いて（５ａ）式および（５ｂ）式を解く。

次に、ステップＳ５１１において、一次元解析部１０３は、ステップＳ５１０で導出された第１の要素におけるベクトルポテンシャル（のｘ成分、ｙ成分）Ａ_x、Ａ_yのｚ軸方向の分布に基づいて、ステップＳ５０３で生成された第２の要素のそれぞれにおける磁束密度（のｘ成分およびｙ成分）Ｂ_x、Ｂ_yおよび渦電流密度（のｘ成分、ｙ成分）Ｊｅ_x、Ｊｅ_yを導出する。これにより、当該第１の要素における磁束密度（のｘ成分およびｙ成分）Ｂ_x、Ｂ_yの、ステップＳ５０８で更新された時刻ステップｔにおけるｚ軸方向の分布と、渦電流密度（のｘ成分、ｙ成分）Ｊｅ_x、Ｊｅ_yの、ステップＳ５０８で更新された時刻ステップｔにおけるｚ軸方向の分布とが導出される。

次に、ステップＳ５１２において、一次元解析部１０３は、データ記憶部１０１に記憶されている磁気特性データから、ステップＳ５１１で導出された第２の要素における磁束密度（のｘ成分およびｙ成分）Ｂ_x、Ｂ_yのそれぞれに対応する微分透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ´_x、μ´_yを読み出す。これにより、当該第１の要素における微分透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ´_x、μ´_yの、ステップＳ５０８で更新された時刻ステップｔにおけるｚ軸方向の分布が得られる。そして、一次元解析部１０３は、既に記憶している当該第１の要素における微分透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ´_x、μ´_yのｚ軸方向の分布を、このステップＳ５１２で読み出した当該第１の要素における微分透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ´_x、μ´_yのｚ軸方向の分布に書き換えて、当該第１の要素における微分透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ´_x、μ´_yのｚ軸方向の分布を更新する。

次に、ステップＳ５１３において、一次元解析部１０３は、現在の時刻ステップの値が最終値（＝ｔ_max）であるか否かを判定する。時刻ステップｔの最終値（＝ｔ_max）は、励磁条件データにおける一周期の終期のタイミングである。この判定の結果、現在の時刻ステップの値が最終値（＝ｔ_max）でない場合には、励磁条件データにおける一周期分の計算が終了していないので、処理は、ステップＳ５０８に戻る。そして、現在の時刻ステップの値が最終値（＝ｔ_max）になるまで、ステップＳ５０８〜Ｓ５１３の処理が繰り返し実行される。

そして、現在の時刻ステップの値が最終値（＝ｔ_max）になると、処理は、ステップＳ５１４に進む。ステップＳ５１４において、一次元解析部１０３は、ステップＳ５０２で全ての第１の要素を選択したか否かを判定する。この判定の結果、全ての第１の要素を選択していない場合には、全ての第１の要素に対する計算が終了していないので、処理は、ステップＳ５０２に戻る。そして、ステップＳ５０２で全ての第１の要素が選択されるまで、ステップＳ５０２〜Ｓ５１４の処理が繰り返し実行される。

ステップＳ５０２で全ての第１の要素が選択されると、処理は、ステップＳ５１５に進む。ステップＳ５１５において、損失導出部１０４は、第１の要素のそれぞれに含まれる第２の要素のそれぞれにおける、電磁鋼板の磁束密度（のｘ成分およびｙ成分）Ｂ_x、Ｂ_yおよび渦電流密度（のｘ成分、ｙ成分）Ｊｅ_x、Ｊｅ_yに基づいて、電磁鋼板のヒステリシス損、渦電流損、および鉄損を導出する。
最後に、ステップＳ５１６において、出力部１０５は、電磁鋼板のヒステリシス損、渦電流損、および鉄損を含む情報を出力する。

＜計算例＞
次に、本実施形態の計算例を説明する。本計算例では、ＪＩＳ Ｃ２５５６（２０１５）「単板試験器による電磁鋼帯の磁気特性の測定方法」に記載の単板磁気試験器により、３５Ａ３６０の電磁鋼板を励磁した場合の当該電磁鋼板のヒステリシス損、渦電流損、および鉄損を計算した。
本実施形態で説明した手法（図５のフローチャートで説明した手法）を発明例とする。また、図５のフローチャートにおいて、ステップＳ５０７、Ｓ５０９、Ｓ５１２の処理を行わず、ステップＳ５１０においても、ステップＳ５０５と同様に、第１の要素において共通の微分透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ´_x、μ´_yを用いる（微分透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ´_x、μ´_yをｚ軸方向に分布を持たないように一定とする）手法を比較例とする。また、導電率の制限を設けずに且つ電磁鋼板の板厚よりも細かく要素を設定して非線形非定常三次元有限要素法を用いた電磁場解析を行う手法を基準例とする。発明例および比較例に比べ、基準例の手法の方が正確に電磁場解析を行うことができるが計算時間はかかる。

発明例および比較例のそれぞれの手法で導出した電磁鋼板のヒステリシス損、渦電流損、および鉄損と、基準例の手法で導出した電磁鋼板のヒステリシス損、渦電流損、および鉄損とを比較した。また、本計算例では、電磁鋼板の磁束密度の最大値が１．５Ｔになるように励磁周波数が１ｋＨｚの正弦波の励磁電流を印加するという第１の励磁条件と、電磁鋼板の磁束密度の最大値が１．５Ｔになるように周波数が１．５ｋＨｚの変調波と周波数が５ｋＨｚの搬送波（キャリア波）とを用いて変調率ｍを０．５としてインバータにより生成される励磁電流を印加するという第２の励磁条件とのそれぞれおいて前述した計算を行った。その結果を図６に示す。

図６（ａ）および図６（ｂ）において、差は、発明例１、発明例２、比較例１、比較例２の値から基準例の値を引いた値と、発明例１、発明例２、比較例１、比較例２の値から基準例の値を引いた値の基準例の値に対する比を百分率で表した値と、を示す。
第１の励磁条件、第２の励磁条件は、高磁束密度、高周波数の条件であるので、図６（ａ）および図６（ｂ）に示すように、ヒステリシス損に比べ渦電流損が大きくなる。図６（ａ）および図６（ｂ）を比較すると、第１の励磁条件、第２の励磁条件の何れの条件においても、発明例１、２では、比較例１、２に比べ、基準例の結果に近づけることができることが分かる。このように、本実施形態の手法では、高磁束密度、高周波数の励磁条件下においても、計算負荷を低減することと計算精度の低下を抑制することとの双方を実現することができる。これにより、例えば、永久磁石同期モータや、誘導モータといった交流モータのうち、電気自動車やハイブリッド自動車等、インバータ等を用いて高速回転するモータにおける損失を短時間で高精度に導出することが可能になる。

＜まとめ＞
以上のように本実施形態では、電磁場解析装置１００は、各時刻ステップｔにおいて、透磁率μを用いて表現される磁束密度の拡散方程式を解くことによって、電磁鋼板の磁束密度（のｘ成分およびｙ成分）Ｂ_x、Ｂ_yのｚ軸方向の分布を求めることと、当該電磁鋼板の磁束密度（のｘ成分およびｙ成分）Ｂ_x、Ｂ_yのｚ軸方向の分布を用いて、電磁鋼板の微分透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ´_x、μ´_yのｚ軸方向の分布を導出することとを行う。このとき、電磁場解析装置１００は、１つ前の時刻ステップｔにおいて導出した電磁鋼板の微分透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ´_x、μ´_yのｚ軸方向の分布を用いて、今回の時刻ステップｔにおける磁束密度の拡散方程式を解く。従って、電磁鋼板の微分透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ´_x、μ´_yのｚ軸方向の分布を考慮することができる。よって、励磁された磁性材料の磁束密度を含む磁気特性を数値解析により求めるに際し、計算負荷を低減することと計算精度の低下を抑制することとの双方を実現することができる。

＜変形例＞
本実施形態では、二次元解析部１０２において、非線形非定常二次元有限要素法を用いる場合を例に挙げて説明した。しかしながら、必ずしも二次元有限要素法を用いる必要はなく、ｚ軸方向の導電率を０（ゼロ）とし且つｚ軸方向の導電率を０（ゼロ）とし且つ第１の要素を電磁鋼板の厚みよりも大きくした非線形非定常三次元有限要素法を用いるようにしてもよい。このようにする場合も、非線形非定常三次元有限要素法で使用する要素が第１の要素になる。

また、本実施形態では、２回目以降の時刻ステップｔにおいて、第１の要素に含まれる第２の要素のそれぞれにおける電磁鋼板の磁束密度（のｘ成分およびｙ成分）Ｂ_x、Ｂ_yを（５ａ）式および（５ｂ）式に基づいて導出する際に、当該時刻ステップｔの１つ前の時刻ステップｔ−Δｔにおいて当該第１の要素に対して導出した微分透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ´_x、μ´_yのｚ軸方向の分布を用いる場合を例に挙げて説明した。しかしながら、必ずしも、当該時刻ステップｔの１つ前の時刻ステップｔ−Δｔにおいて当該第１の要素に対して導出した微分透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ´_x、μ´_yのｚ軸方向の分布を用いる必要はない。

例えば、ステップＳ５１２とステップＳ５１３との間に、ステップＳ５１２において導出した第１の要素における微分透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ´_x、μ´_yのｚ軸方向の分布の収束判定を行うステップを追加してもよい。この場合、この収束判定において、ステップＳ５１２において導出した第１の要素における微分透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ´_x、μ´_yのｚ軸方向の分布が収束していない場合、処理は、ステップＳ５１０に戻る。

ステップＳ５１０に処理が戻ると、一次元解析部１０３は、ステップＳ５１２において得られた第１の要素における微分透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ´_x、μ´_yのｚ軸方向の分布の最新値を用いて、第１の要素におけるベクトルポテンシャル（のｘ成分、ｙ成分）Ａ_x、Ａ_yのｚ軸方向の分布を導出し直す。そして、ステップＳ５１１において、一次元解析部１０３は、第１の要素における磁束密度（のｘ成分およびｙ成分）Ｂ_x、Ｂ_yのｚ軸方向の分布と、第１の要素における渦電流密度（のｘ成分、ｙ成分）Ｊｅ_x、Ｊｅ_yのｚ軸方向の分布とを導出し直す。

以上の収束判定と、ステップＳ５１０〜Ｓ５１２の処理とを、収束判定において、ステップＳ５１２において得られた第１の要素における微分透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ´_x、μ´_yのｚ軸方向の分布が収束すると判定されるまで繰り返し行う。収束判定は、例えば、ステップＳ５１２において導出した第１の要素における微分透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ´_x、μ´_yのｚ軸方向の分布の前回値と今回値との差を表す値が所定の値以下であるか否かを判定することにより行うことができる。このとき、例えば、ｚ軸方向の位置毎、方向（ｘ軸方向およびｙ軸方向）毎に、第１の要素における微分透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ´_x、μ´_yの今回値から前回値を引いた値を求め、求めた値の総和を、第１の要素における微分透磁率（のｘ成分およびｙ成分）μ´_x、μ´_yのｚ軸方向の分布の前回値と今回値との差を表す値として採用することができる。

また、本実施形態では、磁束密度の面内方向成分の値が、電磁鋼板の板面方向成分の値であり、面内方向に垂直な方向が電磁鋼板の板厚方向である場合を例に挙げて説明した。しかしながら、必ずしもこのようにする必要はない。面内方向成分の面は、２次元平面であれば、どの面であってもよい。例えば、磁束密度の面内方向成分の値が、電磁鋼板の板厚方向成分の値であってもよい。例えば、回転電機のステータコアの外周端付近では、電磁鋼板の板厚方向に磁束が流れる。このような場合には、磁束密度の面内方向成分の値を、電磁鋼板の板厚方向成分の値とし、面内方向に垂直な方向を、ステータコアの径方向とするのが好ましい。

また、本実施形態のように電磁鋼板の渦電流損を導出すれば、電磁鋼板の詳細な損失を得ることができるので好ましい。しかしながら、電磁鋼板の渦電流損を導出せずにヒステリシス損だけを導出してもよい。このようにする場合、必ずしも渦電流密度（のｘ成分、ｙ成分）Ｊｅ_x、Ｊｅ_yを導出する必要はない。

その他、以上説明した本発明の実施形態は、コンピュータがプログラムを実行することによって実現することができる。また、前記プログラムを記録したコンピュータ読み取り可能な記録媒体及び前記プログラム等のコンピュータプログラムプロダクトも本発明の実施形態として適用することができる。記録媒体としては、例えば、フレキシブルディスク、ハードディスク、光ディスク、光磁気ディスク、ＣＤ−ＲＯＭ、磁気テープ、不揮発性のメモリカード、ＲＯＭ等を用いることができる。
また、以上説明した本発明の実施形態は、何れも本発明を実施するにあたっての具体化の例を示したものに過ぎず、これらによって本発明の技術的範囲が限定的に解釈されてはならないものである。すなわち、本発明はその技術思想、またはその主要な特徴から逸脱することなく、様々な形で実施することができる。

１００：電磁場解析装置、１０１：データ記憶部、１０２：二次元解析部、１０３：一次元解析部、１０４：損失導出部、１０５：出力部

Claims (11)

1. 励磁された磁性材料の各時刻ステップにおける磁気特性をマクスウェル方程式に基づく数値解析により解析する電磁場解析装置であって、
   前記磁性材料における磁束密度の面内方向成分の値を、当該磁性材料の領域を分割することにより得られる３次元の第１の小領域ごとに数値解析により導出することを、各時刻ステップにおいて実行する第１の導出手段と、
   前記第１の導出手段により導出された前記磁束密度の面内方向成分の値に基づいて、前記面内方向に垂直な方向に前記第１の小領域を分割することにより得られる３次元の第２の小領域ごとに、前記磁性材料における磁束密度の面内方向成分の値を数値解析により導出することを、各時刻ステップにおいて実行する第２の導出手段と、
   前記第２の導出手段により前記第２の小領域に対して導出された前記磁性材料における磁束密度の面内方向成分の値に基づいて、当該第２の小領域における前記磁性材料の微分透磁率の面内方向成分の値を導出することを、各時刻ステップにおいて実行する第３の導出手段と、を有し、
   前記微分透磁率は、磁束密度と磁界強度との関係を示す曲線上の、磁束密度に応じて定まる点における接線の傾きで表され、
   前記第２の導出手段は、或る時刻ステップにおいて、前記磁性材料における磁束密度の面内方向成分の値を前記第２の小領域ごとに数値解析により導出する際に、当該時刻ステップよりも前の時刻ステップにおいて、前記第３の導出手段により当該第２の小領域に対して導出された前記磁性材料の微分透磁率の面内方向成分の値を、当該第２の小領域における前記磁性材料の微分透磁率の面内方向成分の値として用いることを特徴とする電磁場解析装置。
2. 前記第２の導出手段は、最初の時刻ステップにおいて、前記磁性材料における磁束密度の面内方向成分の値を前記第２の小領域ごとに数値解析により導出する際には、前記第１の導出手段により当該第２の小領域を含む前記第１の小領域に対して導出された前記磁性材料における磁束密度の面内方向成分の値に対応する前記磁性材料の微分透磁率の面内方向成分の値を、当該第２の小領域における前記磁性材料の微分透磁率の面内方向成分の値として用いることを特徴とする請求項１に記載の電磁場解析装置。
3. 前記第２の導出手段は、前記第１の導出手段により前記第１の小領域に対して或る時刻ステップにおいて導出された前記磁束密度の面内方向成分の値に基づく磁束が、当該第１の小領域を分割した前記第２の小領域における当該時刻ステップでの磁束の総量と等しくなるように、前記磁性材料における磁束密度の面内方向成分の値を前記第２の小領域ごとに数値解析により導出することを、各時刻ステップにおいて実行することを特徴とする請求項１または２に記載の電磁場解析装置。
4. 前記第２の導出手段は、前記数値解析として、マクスウェルの方程式に基づいて導かれる拡散方程式であって、前記磁性材料の磁束密度の面内方向成分の値が、前記面内方向に垂直な方向にどのように分布するのかを、前記磁性材料の導電率と、微分透磁率の面内方向成分の値とを用いて表現した拡散方程式に基づく数値解析を行うことを特徴とする請求項１〜３の何れか１項に記載の電磁場解析装置。
5. 前記第２の導出手段は、或る時刻ステップにおいて、前記磁性材料における磁束密度の面内方向成分の値を前記第２の小領域ごとに数値解析により導出する際に、当該時刻ステップよりも１つ前の時刻ステップにおいて、前記第３の導出手段により当該第２の小領域に対して導出された、前記磁性材料の微分透磁率の面内方向成分の値を、当該第２の小領域における前記磁性材料の微分透磁率の面内方向成分の値として用いることを特徴とする請求項１〜４の何れか１項に記載の電磁場解析装置。
6. 前記磁性材料は、１枚または複数枚の電磁鋼板を含むことを特徴とする請求項１〜５の何れか１項に記載の電磁場解析装置。
7. 前記第２の導出手段により導出された前記磁性材料における磁束密度の面内方向成分の前記第２の小領域ごとの値に基づいて、前記磁性材料の損失を導出する第４の導出手段を更に有することを特徴とする請求項１〜６の何れか１項に記載の電磁場解析装置。
8. 前記数値解析は、有限要素法による数値解析であることを特徴とする請求項１〜７の何れか１項に記載の電磁場解析装置。
9. 前記磁束密度と磁界強度との関係を示す曲線は、初磁化特性を示す曲線であることを特徴とする請求項１〜８の何れか１項に記載の電磁場解析装置。
10. 励磁された磁性材料の各時刻ステップにおける磁気特性をマクスウェル方程式に基づく数値解析により解析する電磁場解析方法であって、
    前記磁性材料における磁束密度の面内方向成分の値を、当該磁性材料の領域を分割することにより得られる３次元の第１の小領域ごとに数値解析により導出することを、各時刻ステップにおいて実行する第１の導出工程と、
    前記第１の導出工程により導出された前記磁束密度の面内方向成分の値に基づいて、前記面内方向に垂直な方向に前記第１の小領域を分割することにより得られる３次元の第２の小領域ごとに、前記磁性材料における磁束密度の面内方向成分の値を数値解析により導出することを、各時刻ステップにおいて実行する第２の導出工程と、
    前記第２の導出工程により前記第２の小領域に対して導出された前記磁性材料における磁束密度の面内方向成分の値に基づいて、当該第２の小領域における前記磁性材料の微分透磁率の面内方向成分の値を導出することを、各時刻ステップにおいて実行する第３の導出工程と、を有し、
    前記微分透磁率は、磁束密度と磁界強度との関係を示す曲線上の、磁束密度に応じて定まる点における接線の傾きで表され、
    前記第２の導出工程は、或る時刻ステップにおいて、前記磁性材料における磁束密度の面内方向成分の値を前記第２の小領域ごとに数値解析により導出する際に、当該時刻ステップよりも前の時刻ステップにおいて、前記第３の導出工程により当該第２の小領域に対して導出された前記磁性材料の微分透磁率の面内方向成分の値を、当該第２の小領域における前記磁性材料の微分透磁率の面内方向成分の値として用いることを特徴とする電磁場解析方法。
11. 請求項１〜９の何れか１項に記載の電磁場解析装置の各手段としてコンピュータを機能させるためのプログラム。

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