JP6682507B2 - 量子制御のための制御シーケンスの生成 - Google Patents

Description

〔関連出願との相互参照〕
本出願は、２０１４年９月２４日に出願された米国仮特許出願第６２／０５４，６３０号に対する優先権を主張するものであり、この仮特許出願は引用により本明細書に組み入れられる。

以下の説明は、量子系を制御する制御シーケンスの生成に関する。

しばしば、量子系を操作するために制御場が使用される。例えば、一連の電磁パルスを用いてスピン系を制御することができる。特定の動作のための制御場の設計には、最適制御理論（ＯＣＴ）に基づくアルゴリズムが使用されてきた。例えば、Ｇｒａｄｉｅｎｔ Ａｓｃｅｎｔ Ｐｕｌｓｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ（ＧＲＡＰＥ）は、最適制御理論を用いて磁気共鳴用途のためのパルスシーケンスを生成するフレームワークを提供する。

一般的態様では、量子系のための制御シーケンスを歪みモデルに基づいて生成する。

いくつかの態様では、制御系が、量子系と相互作用するように構成される。量子系は、制御系によって生成された制御信号に応答する量子ビットを含み、制御系は、入力信号に応答して制御信号を生成するように構成される。コンピュータシステムは、量子ビットに適用すべき目標動作に基づいて、（例えば、入力信号についての一連の値を含むことができる）制御シーケンスを生成することができる。制御シーケンスは、目標動作、量子系モデル、歪みモデル、及び場合によってはその他の情報に基づいて生成することができる。量子系モデルは、量子系を表し、制御信号を表す制御パラメータを含む。歪みモデルは、制御信号と入力信号との間の非線形関係を表す。制御シーケンスは、制御系の動作によって量子系に適用することができる。

これらの及びその他の態様の実装は、以下の特徴のうちの１つ又は２つ以上を含むことができる。目標動作、量子系モデル及び歪み演算子に最適化エンジンがアクセスして制御シーケンスを生成する。制御シーケンスを生成するステップは、最適制御理論を用いて一連の値を反復的に修正するステップを含む。不確実性モデルは、制御系のパラメータの不確実性を表し、パルスシーケンスは、目標動作、量子系モデル、歪みモデル及び不確実性モデルに基づいて生成される。制御系は、古典的制御ハードウェアを含み、非線形関係は、古典的現象を表す。

これらの及びその他の態様の実装は、以下の特徴のうちの１つ又は２つ以上を含むことができる。量子系は、スピン系を含み、制御系は、超電導共振器デバイスを含み、制御パラメータは、超電導共振器デバイスによって生成された磁場の振幅及び位相を含む。入力信号は、制御系が受け取った電圧信号であり、歪みモデルは、磁場の振幅と制御系が受け取った電圧信号の振幅との間の非線形関係を表す。

添付図面及び以下の説明に、１又は２以上の実装の詳細を示す。説明、図面及び特許請求の範囲からは、他の特徴、目的及び利点も明らかになるであろう。

制御シーケンス設計システムの例、制御系の例及び量子系の例を示す概念図である。 制御系内の共振器回路の回路モデル例を示す図である。 同じ共振器回路例によって生成された２つの制御信号例のプロット３００Ａを示す図である。 共振器回路を駆動する入力電圧信号の電圧バウンドの関数としての、スピン系が受ける定常状態出力のプロット３００Ｂを示す図である。 共振器回路を駆動する入力電圧信号の電圧バウンドの関数としての失敗割合のプロット３００Ｃを示す図である。 品質基準（忠実度＝０．９９）に達した各パルスを生成するために歪み関数に対して行われた歪み呼出しの数のプロット３００Ｄを示す図である。 パルスシーケンス例の継続時間にわたる入力電圧信号及び制御信号のプロット４００Ａを示す図である。 スピン例のブロッホ球のプロット４００Ｂを示す図である。 インダクタンスαＬの非線形定数の値の範囲についてのシミュレートした忠実度のプロット４００Ｃを示す図である。 スピン系モデルの２つのパラメータの値の範囲についてのシミュレートした忠実度のプロット４００Ｄを示す図である。 量子系を制御するプロセス例５００を示すフローチャートである。

本明細書で説明するもののいくつかの態様では、量子デバイスのための忠実度が高くロバストな制御シーケンスを生じることができる基本手順に、古典的コントローラハードウェアのモデル及びその動作の記述を組み込む。いくつかの例では、量子ゲートの最適化手順に、古典的コントローラのモデルだけでなく、同じモデルのパラメータの不確実性の記述も含めることにより、古典的コントローラの挙動のばらつきに強いゲートを設計することができる。

いくつかの実装では、忠実度が高くロバストな量子ゲート又はその他のタイプの制御シーケンスを発見するコンピュータ実装ルーチンに、非可逆的な、場合によっては非線形的な動特性を有する古典的コントローラのモデルを組み込むことができる。例えば、制御パルスは、入力空間及び出力空間の両方を有し、古典的コントローラはこれらの間に存在すると考えることができる。いくつかの例では、量子デバイスとは異なる古典的コンピュータによってルーチンが実行される。制御シーケンスの設計後には、この制御シーケンスを古典的コントローラによって適用して、例えば量子デバイスを動作させることができる。

通常、古典的制御インフラの需要は、量子デバイスが拡張するにつれて複雑化し、増加する。いくつかの例では、古典的コントローラと量子デバイスとの相互作用形態を、このような拡張を可能にするように修正することができる。いくつかの例では、本明細書で説明する技術例を用いて、量子デバイスのためのロバストで忠実度の高い制御シーケンスを生成することができる。いくつかの例では、制御シーケンスが、量子系に（例えば、量子系の１又は２以上の量子ビットに）作用するように設計された１又は２以上の量子ゲート又はその他の動作を含む。いくつかの例では、量子ゲートが、古典的コントローラの挙動のばらつき又は歪みに強くなるように設計される。

いくつかの態様では、制御シーケンスを設計するための一般的な最適制御フレームワークが、ハードウェア制御の歪みを考慮しながら、環境ノイズに対するロバスト性を維持することができる。本明細書で説明する技術例は、非線形歪みの存在下で最適化されるロバストな量子ゲートの例を示すことによって実証される。いくつかの例では、非線形的な古典的コントローラが、パルス設計のためのさらなる計算コストを発生させず、より強力な量子デバイスを可能にする。

いくつかの例では、本明細書で説明する技術を用いて、例えば古典的な計算及び計測の能力を超える量子コンピュータ、アクチュエータ及びセンサなどの量子系の動特性をコヒーレントに制御することができる。例えば、量子計算では、忠実度の高い制御を用いて、耐障害性を実現する量子情報プロセッサを実装することができるので、量子制御のための有力な用途が示されている。量子情報プロセッサ及びその他の量子デバイスは、サイズ及び複雑性が増大し続けるので、いくつかの例では、古典的制御ハードウェアの要件も高くなる。これにより、ハードウェア応答の単純性と全体的なハードウェア能力との間にトレードオフが存在する状況が生じることがある。

いくつかの状況では、実験室用途において数値的に最適化された量子ゲートの性能が、制御シーケンスを適用するために使用する古典的電子機器の応答に強く依存する。古典的ハードウェアモデルをパルス発見アルゴリズムに含めて、生成された制御シーケンスが、対象とするハードウェアコントローラに対してロバストに機能できるようにすることができる。いくつかの例では、このようなフレームワークが、非線形的かつ非可逆的なハードウェアの挙動を元々組み込んでおり、ハードウェアを記述するパラメータの不確実性及び誤差に対するロバスト性を可能にする。

古典的制御ハードウェアの有限帯域幅から生じるような制御シーケンスの線形歪みのモデルを最適制御理論（ＯＣＴ）アルゴリズムに組み込むこともできる。さらに、このようなアルゴリズムを、非可逆的又は非線形的なハードウェアモデルを認めるように修正し、ロバストで忠実度の高い量子制御を実行する能力を犠牲にすることなくハードウェア性能を改善することにより、実験者による制御効率及び測定感度の増加又は最大化を可能にすることもできる。

いくつかの実装では、制御フレームワークが、系−装置の動特性と、モデルとなるハードウェアコンポーネントとを明確に統合できることにより、制御シーケンスを最適化又は別様に改善するための数値的な最適制御理論（ＯＣＴ）アルゴリズムを用いて、量子系に対するこれらの影響を計算して補償できるようになる。例えば、ＧＲａｄｉｅｎｔ Ａｓｃｅｎｔ Ｐｕｌｓｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ（ＧＲＡＰＥ）などのＯＣＴアルゴリズムを用いて設計された制御シーケンスは、様々な場の不均一性、パルスエラー及びノイズ過程に対してロバストになるように修正することができる。この制御フレームワークは、他の用途及び他のプロトコルにおいて使用することもできる。

いくつかの態様では、一般に関心デバイスについてあれこれ推測することなく制御フレームワークを記述できることにより、結果を幅広い量子デバイスに広く適用できるようになる。この理論は、あらゆる線形歪みに適用することができ、本発明者らは、制御ハードウェアの非線形性をどのように含めることができるかを数値で実証する。一例として、非線形的力学インダクタンスを示す強く駆動した超電導共振器のための、存在する非線形性の量の不確実性に対してロバストな忠実度の高い制御パルスを導出する。この制御フレームワークは、一般に幅広い量子制御モダリティに適用されるが、超電導共振器は、パルス電子スピン共鳴（ＥＳＲ）及び回路ＱＥＤにおいて誘導測定感度を高めるための重要な新たな用途を見出した例示的な試験台として十分に役立つとともに、マイクロ波光子量子メモリのためのインターフェイスを提供する。

いくつかの態様では、制御フレームワークを、以下の系ハミルトニアンを有する量子系の制御に関連して説明することができ、
（１）
式中、Ｈ₀は内部ハミルトニアンであり、
は制御ハミルトニアンである。
エンベロープ
は、時点Ｔにおいて全ユニタリＵ_targetが得られるように選択することができる。いくつかの実装では、制御フレームワークが、状態間移動、静的分布にわたる期待値、開放系マップなどの同様の問題に適合することもできる。

図１は、制御シーケンス設計システム１０２と、制御系１０４と、量子系１０６とを含むシステム例１００を示す概略図である。いくつかの実装では、システム１００が、さらなる又は異なる特徴を含み、システムのコンポーネントは、図１に示すように又は別様に配置することができる。

図１に示す例では、量子系１０６が複数の量子ビットを含み、量子ビットは、制御系１０４によって生成された制御信号１０５に応答する。制御系１０４は、受け取った入力信号に応答して制御信号１０５を生成する。制御系１０４が受け取る入力信号は、制御シーケンス設計システム１０２が生成する制御シーケンスに対応する。

いくつかの例では、量子系１０６が、複数のスピン１４０を含むスピン系（例えば、スピン集団又は別のタイプのスピン系）を含む。このような例では、制御信号１０５を、制御系１０４内の共振器回路１２０によって生成されたパルス列１３０とすることができる。制御系１０４が受け取る入力信号は、例えば制御シーケンス設計システム１０２によって提供されるパルスシーケンスに対応する１又は２以上の電圧信号とすることができる。

図１に示す例では、制御シーケンス設計システム１０２が、制御シーケンス１０３を生成する１又は２以上のコンピュータシステム（例えば、ラップトップコンピュータ、デスクトップコンピュータ、サーバ、サーバクラスタなど）を含むことができる。コンピュータシステムは、１又は２以上のプロセッサ（例えば、ＦＰＧＡ、汎用プロセッサ、特定用途向けプロセッサ、論理回路など）及びコンピュータ可読メモリ（例えば、ランダムアクセスメモリ、リードオンリメモリデバイス、ディスク、記憶装置など）を含むことができる。図１に示す例では、コンピュータ可読メモリが、量子系モデル１１０、歪みモデル１１２及び最適化エンジン１１６を定めるデータ（例えば、ファイル、プログラム、ソフトウェア、コードのパッケージなど）を記憶する。いくつかの例では、コンピュータ可読メモリが、１又は２以上の目標動作１１４を定めるデータを記憶する。

いくつかの実装では、制御シーケンス設計システム内の（単複の）データプロセッサが、量子系モデル１１０、歪みモデル１１２及び目標動作１１４にアクセスして制御シーケンス１０３を生成することができる。例えば、最適化エンジン１１６は、量子系モデル１１０、歪みモデル１１２、目標動作１１４及びその他の入力に基づいてパルスシーケンス１１８を生成するように（単複の）データプロセッサによって実行されるコンピュータコードを含むことができる。

いくつかの例では、制御シーケンス設計システム１０２が、量子系１０６に対して目標動作を実行する制御信号１０５を制御シーケンス１０３が制御系１０４に生成させるような制御シーケンス１０３のパラメータを定める。例えば、制御シーケンス１０３のパラメータは、パルスシーケンス１１８内の個々のパルスのパラメータ（例えば、継続時間、出力、位相など）を含むことができ、パルスシーケンス１１８のパラメータは、制御系１０４に送出される電圧信号を定める。共振器回路１２０は、電圧信号を受け取ったことに応答して、スピン１４０が受けるパルス列１３０を生成することができ、スピン１４０は、このパルス列１３０の下で、目標動作１１４に対応する形で徐々に発展する。

いくつかの例では、量子系モデル１１０が、制御信号１０５を表す制御パラメータを含む。図示の例では、量子系モデル１１０をハミルトニアンＨ（ｔ）（例えば、式１のハミルトニアン例又は別のハミルトニアン）とすることができ、又は量子系モデル１１０がハミルトニアンＨ（ｔ）を含むことができ、量子系モデル１１０内の制御パラメータを、磁場パラメータ
とすることができる。別タイプの制御パラメータを使用することもできる。

いくつかの実装では、歪みモデル１１２が、量子系１０６が受ける制御信号と、制御系１０４が受け取る入力信号との間の非線形関係を表す。図示の例では、歪みモデル１１２が、制御シーケンス設計システム１０２が生成するパルスシーケンス１１８と、制御系１０４が生成するパルス列１３０との間の非線形関係を表す。非線形関係は、例えば、制御系１０４の１又は２以上のコンポーネントによって生じることもある。例えば、制御系１０４は、少なくともいくつかの動作レジームにおいて非線形性を生じる古典的ハードウェアコンポーネント（例えば、共振器回路１２０、増幅器１２２、ミキサ１２４などのうちの１又は２以上のコンポーネント）を含むことができる。

いくつかの例では、制御系１０４が、線形動作レジーム及び非線形動作レジームを有する超電導共振器デバイスを含み、制御系１０４が受け取る入力信号と、制御系１０４が生成する制御信号１０５との間の非線形関係は、超電導共振器デバイスを非線形動作レジームで動作させる際に生じる。例えば、超電導共振器デバイスをその非線形動作レジームで動作させることにより、スピン１４０にパルスシーケンス１１８を適用することができる。このような例では、歪みモデル１１２が、非線形動作レジームにおける共振器回路１２０の非線形的動特性を考慮する。いくつかの例では、歪みモデル１１２が、制御系１０４内の他のハードウェア（例えば、増幅器１２２、ミキサ１２４など）からの非線形効果を考慮する。歪みモデル１１２によって表される非線形関係は、制御系１０４の共振器回路１２０又はその他の古典的ハードウェアコンポーネント内で発生する古典的（すなわち、非量子的）現象に起因して生じることがある。

いくつかの実装では、最適化エンジン１１６が、初期パラメータセット（例えば、初期「推定」）から開始する１又は２以上のアルゴリズムに基づいて制御シーケンス１０３を生成し、終了条件に達するまでパラメータセットを反復的に修正する。例えば、終了条件は、アルゴリズムによる実行の反復回数、パルスシーケンス内のパルス数、パルスシーケンス内のパルスの閾値（最大又は最小）継続時間、制御シーケンスの閾値（最大又は最小）継続時間、１又は２以上の品質基準の閾値（最大又は最小）、又はこれらの組み合わせとすることができ、又はこれらを含むことができる。品質基準は、目標動作１１４に基づいて最適化エンジン１１６によって改善又は最適化される１又は２以上の目的関数を含むことができる。例えば、最適化関数は、シミュレートした動作と目標ユニタリ演算との間の忠実度、シミュレートした量子状態と目標量子状態との間の忠実度、又はこれらの組み合わせ及び他のタイプの最適化関数を含むことができる。

いくつかの実装では、最適化エンジン１１６が、量子系モデル１１０、歪みモデル１１２、目標動作１１４によって定められる制約、及び場合によってはその他の制約の下で目的関数を最適化する制御シーケンスパラメータを発見するために、最適制御理論を用いて制御シーケンス１０３を生成する。一例として、Ｇｒａｄｉｅｎｔ Ａｓｃｅｎｔ Ｐｕｌｓｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ（ＧＲＡＰＥ）アルゴリズムは、最適制御理論を用いて磁気共鳴用途のためのパルスシーケンスを生成するフレームワークを提供する。ＧＲＡＰＥアルゴリズム又は別の最適制御理論アルゴリズムによって提供されるフレームワークは、制御系１０４の非線形動特性を考慮する歪みモデル１１２と、場合によっては他タイプのモデル及び関連情報とを含むように修正することができる。

図示の例では、量子系が遭遇する関数
が、古典的ハードウェアに入力されたものの歪みバージョンを表す。数値的記述では、時間領域を離散化することができ、関連するハードウェアを離散化歪み演算子によってモデル化することができる。ここでの離散化歪み演算子は、何らかの時間ステップ
が関連する入力パルスシーケンス
を取り、時間ステップ
が関連するパルスの歪みバージョン
を出力する関数
である。図１に示すように、ここでのベクトル
は、制御シーケンス設計システム１０２によって生成されたパルスを表し、ベクトル
は、量子系１０６が遭遇するハミルトニアンを生成するパルスを表す。

整数Ｎ及びＭは、それぞれ入力時間ステップ及び出力時間ステップの数を表し、Ｋ及びＬは、それぞれ入力制御場及び出力制御場の数を表す。量子ビットの共鳴時直交制御の場合、Ｋ＝Ｌ＝２である。この説明では、表記を単純にするために時間ステップｄｔ及び
の添字を省略し、均一な時間離散化は必要ない。いくつかの例では、条件
が、量子系の正確なシミュレーションを可能にする。条件
が成り立つ必要はなく、例えば、歪みが有限リングダウン時間を有する場合には
が有用になり得る。

多くの場合、離散化歪み演算子ｇは、連続入力パルスα（ｔ）を受け入れて歪みパルス
を出力する連続歪み演算子
から導出することができる。離散化バージョンは、以下のように両側の
を離散化及び脱離散化演算子で構成することによって得ることができる。

いくつかの例では、最適制御理論からの従来技術を、歪み演算子ｇを含むように修正することができる。例えば、ＧＲＡＰＥアルゴリズムで使用される以下のユニタリ目的関数を検討する。
（２）
式中、ｄは、目的関数を単位区間に正規化するために使用されるヒルベルト空間次元である。この基本的な目的関数には、解が特定の特性を認めることを求めるためにペナルティを加えることができる。例えば、ノイズ及び制限されたパルスフルエンスを制御するロバスト性を確実にするために、或いは望ましくない部分空間が避けられることを確実にするために、ペナルティ関数を使用している。

いくつかの実装では、目的関数を歪み演算子で構成するように修正することにより、制御ハードウェアの影響を組み込むことができる。
（３）
多変数連鎖律を用いて、Φ_gの勾配を以下のように計算する。
（４）
（５）
式中、ドットは、指標ｍ及びｌにわたる縮約を表し、
は、
におけるｇのヤコビアンである。
の評価は、Ｍ×Ｌパルスの作用をシミュレートすることによって行うことができるが、ＧＲＡＰＥアルゴリズムは、この勾配の表現を、既に計算した時間ステップユニタリの観点からもたらす。
（６）
式中、

であり、
である。
従って、ヤコビアン
を計算できる場合には、Φの全勾配を計算することができる。いくつかの例では、例えば従来のＧＲＡＰＥアルゴリズムと同様に残りのアルゴリズムが続くことができる。通常、ｇを評価するコストは、量子ビットの数を含む多項式を超えて増大しないので、このアルゴリズムを実行する計算コストは、Ｍ行列指数関数を計算するコストによって支配されたままであるため、従来のＧＲＡＰＥアルゴリズムから事実上変化しない。

目的関数を改善又は最適化するためのルーチン例としてＧＲＡＰＥアルゴリズムを説明しているが、この選択は、主に好ましい収束特性に基づくものであり、異なるルーチンの使用を防ぐものではない。具体的には、ＧＲＡＰＥは、最も急な上り勾配に関連する方向を選択することによって初期値に最も近い最適条件を発見しようと試みる貪欲なアルゴリズムである。通常の目的関数Φに代えて歪み修正目的関数Φ_gを使用することによる修正を伴わずに、Ｎｅｌｄｅｒ−Ｍｅａｄ、遺伝的アルゴリズム、又はハイブリッド勾配アルゴリズムなどの大域的オプティマイザを使用することもできる。このようなルーチンは、例えば制御景観が準最適な極大値で飽和していることが分かっている場合に有用となり得る。例えば、Φ_gのヤコビアンテンソルの計算が困難な場合、又はコストが高すぎる場合には、勾配フリー法が有利になり得る。

上述した抽象形式を用いると、第１の例は、Ｌ×Ｋカーネルφ（ｔ）での畳み込みによって与えられる連続歪み演算子である。
（７）
畳み込みカーネルφは、単純な指数関数的立上がり時間、制御線クロストーク、又は制御ハードウェアの伝達関数などの線形微分方程式によって記述できる歪みをモデル化することができる。離散化歪み演算子を計算すると、以下のようになり、
（８）
線形写像として機能することが分かる。
（９）
この場合、以下の積分によって与えられるテンソル
の成分を用いて指標ｎ及びｋにわたる縮約を行っている。
（１０）

この例では、パルス
とは無関係な
によってヤコビアン行列を得ることができる。この定式化を使用する特定の線形歪みの例としては、大きな品質係数Ｑを有する共振器又はキャビティ、及びその他が挙げられる。具体例として、大きな品質係数Ｑを有する共振器又はキャビティは、パルス設計において使用される時間ステップに比べて長時間にわたってエネルギーを蓄えることができる。この影響が、歪み微分方程式を十分な時間にわたって積分することによる最適化に含まれない場合、量子系に対するパルスの統合作用は正確でないことがある。これには、領域よりも長い時間間隔を表すように歪み演算子の像を定めることによって対処することができるが、実験練習では不都合な場合がある（例えば、パルスをすばやくオフにする必要がある）。１つの代案は、大きなＱによって導入されたリングダウンを積極的に補償し、所与の時間ステップにおいて歪みパルスがゼロになるように求めることである。

線形要素しか含まない共振器では、この問題が、伝達関数
に訴えることによって解決されており、
（１２）
式中、
は畳み込み演算子である。Ｍ＝Ｋ＝１の場合、伝達関数は、何らかの振幅Ａについて以下の単純な形を取り、
（１３）
式中、
は時定数である。この場合、振幅の追加パルス部分である
（１４）
を付加することができ、式中、ｍは、ｔ_m＝ｔ_kとなるような時間ステップ指標である。

非線形の場合、Ｑ、ω₀及びＡは一定でなく、
に依存する。１つの解法は、以下を定めることによってリングダウンがゼロになる要求を含むようにパフォーマンス関数を修正することである。
（１５）

リングダウン補償では、
（１６）
となり、ｍ₀は、解がゼロになることを要求し始める時間ステップ指標である。この関数の導関数が見つかることにより、
及びＪ（ｇ）を所与として
が計算される。いくつかの例では、ユニタリ目標の忠実度が高くリングダウン補償も認める解の発見が困難な場合もあるので、リングダウン補償法を用いて、小ペナルティ
をもたらす初期推定を生成することができる。

別の解法は、歪み演算子ｇ自体にリングダウン抑制を含めることである。すなわち、入力パルス
を所与とすると、この時点で強制項αは、
から直接進むステップだけでなく、キャビティからのエネルギーを短時間で排除するように（次節の結果に従って）選択される追加ステップも含む。この技術は、本明細書で説明した例において使用した。

次に、リングダウン時間よりも短い時間スケールで共振器からエネルギーを除去するように作用するパルスに付加する補償ステップの値を計算するスキームを導出する。まず、回路の方程式を以下のように書く。
（１７）
式中、ｘは、回路の状態変数のベクトルであり、Ａは、強制のない回路を記述する行列であり、ｂは、回路の強制方向であり、αは、強制の大きさを設定する制御可能なスカラーである。ここでは、全ての数が複素数となり、実数が同相成分に対応し、虚数が直交成分に対応するように共振周波数で回転する座標系に既に入ったと仮定する。なお、非線形回路では、Ａが系の状態に依存し、すなわちＡ＝Ａ（ｘ）である。さらに、αは時間依存的であり、すなわちα＝α（ｔ）とすることができる。

いくつかの実装では、歪みのないパルス
から開始し、長さｄｔ_rdのｎ_rd個のステップを付加して歪みのないパルス
を形成し、これによって歪んだパルス
が最後の時間ステップの終わりにゼロに近い振幅を有するようにすることが目的である。作業を単純化するために、各補償ステップ中にＡが一定のままであり、前の時間ステップの終わりの状態ｘに対応する値を取るという近似を行うことができる。

方程式１７の一般解は、以下のように与えられる。
（１８）
連続的な強制解を代入し、ｔ＝０が（ｎ−１）番目からｎ番目への遷移に対応するように時間座標を並進させることによって、領域
において解

（１９）
が与えられる。いくつかの例では、系の状態ｘを０に駆動することが望まれる。従って、ｘが時点ｔ＝ｄｔ_rdにおいて（ｎ−１）番目のステップの終わりにその値の数分の１になり、何らかのｒ∈［０，１］についてｘ（ｄｔ_rd）＝ｒｘ０となるように求めることができる。期間ｄｔ_rdにおいてｘが変化しすぎる場合には、一定のＡという近似が破綻するので、ｘが大きい場合には、ｒ＝０の設定を控えることができる。
の値しか変化できない場合、一般に等式ｘ（ｄｔ_rd）＝ｒｘ０を達成することはできない。従って、代わりに以下の量を最小化することができ、
（２０）
式中、Ｐは特定の状態変数を他の変数よりも優先して最小化する重要性に関する半正定値行列である。この量は、以下のように書き換えることもできる。


（２１）

この形は、
がベクトルｗのｖに対する複素射影振幅となるように選択された時に
が最小化されることを示す。
（２２）

参考までに、
の極限では、ベクトルｖ及びｗが以下のように単純化される。

（２３）

いくつかの例では、畳み込みカーネルを記述するいずれかのパラメータ
に不確実性が存在して
となる場合、最適化ルーチンにおいて使用される目的関数を以下の加重和と見なすことができ、
（２４）
式中、
であり、確率分布
は、パラメータの不確実性を記述する。このようにして、制御シーケンス設計システムは、全ての考えられるパラメータ値にわたってうまく機能する解を発見しようと試みることができる。具体例として、
が制御振幅の特徴的な立上がり時間である場合には
が得られ、この時間スケールにおける変動に対してロバストなパルスを生成することができる。線形性により、
のヤコビアンテンソルは、ヤコビアンテンソル
の加重和である。いくつかの例では、歪み演算子にパラメータの分布を組み込むことが、非線形デバイスハードウェアにも適用される。

別の例として、非線形的な回路要素を含む同調整合型共振器回路によって制御される量子系について検討する。この例について、図２に、制御系における共振器回路の回路モデル例２００の図を示す。例えば、回路モデル２００は、図１に示す制御系１０４内の共振器回路１２０を表すことができる。いくつかの例では、共振器回路１２０が、異なる回路モデルによって表される。図２に示す回路モデル例２００は、電圧源２０１と、容量Ｃ_mを有する第１のコンデンサ２０２と、抵抗Ｒ_Lを有する第１の抵抗器２０３と、インダクタンスＬを有するインダクタ２０４と、容量Ｃ_tを有する第２のコンデンサ２０５と、抵抗Ｒを有する第２の抵抗器２０６とを含む。共振器デバイスの回路モデルは、さらなる又は異なる特徴を含むこともでき、共振器デバイスは、別の形で動作することもできる。

図２に示す例では、電圧源２０１が、制御シーケンスに対応する理想的な電圧源を表すことができる。例えば、電圧源２０１は、パルスシーケンス１１８の実行時に制御系１０４に送出される入力信号を表すことができる。通常、電圧源は、例えば共振器回路の動作を制御するために外部システムによって制御できる時変電圧信号である。

インダクタ例２０４は、スピン系と相互作用する磁場を生成するように構成される。例えば、インダクタ２０４は、ＥＳＲ試料内の電子スピン系を制御するマイクロ波周波数の電磁場を発生させるＥＳＲ共振器デバイスのコンポーネント、或いはＮＭＲ試料内の核スピン系を制御する無線波周波数電磁場を発生させるＮＭＲコイルを表すことができる。他タイプのインダクタ及びキャビティ、並びに他タイプの量子ビット系を使用することもできる。

この回路モデル２００を用いて、特定の電圧信号（例えば、特定のパルスシーケンス又は他タイプの電圧信号）に応答して共振器回路によって生成される制御信号を計算することができる。例えば、電圧源２０１はパルスシーケンスに従ってモデル化することができ、その結果として生じる、回路モデルのインダクタ２０４及び他のコンポーネントを流れる電流を計算することができる。

図２に示す回路モデル例２００は、非線形レジームで動作することができる。例えば、非線形レジームでは、インダクタ２０４のインダクタンス又は抵抗器２０６の抵抗（或いは両方）が、これらを通る電流の関数である。例えば、非線形性は、力学インダクタンスと一致することができる。

いくつかの例では、回路モデル２００を用いて、電圧源２０１によって供給される入力信号と、インダクタ２０４によって生成される制御信号との間の非線形関係を表す歪みモデルを生成する。例えば、式２６における微分方程式系は、電圧信号と、量子系を制御する制御信号を生成するインダクタ２０４のインダクタンスとの間の非線形関係の例を提供する。

この例は、現在スピン共鳴実験において使用されている、非線形共振器を含む共振器の大部分を正確に記述するのに十分に一般的な形を有する。さらに、例えばキルヒホッフの法則を標準的に適用したこれらの回路方程式を発見して、式２６の代わりにさらに高次の方程式をもたらすことにより、さらなる電極を含む任意に複雑な回路を組み込むこともできる。

非線形超電導共振器は、量子情報処理及び量子メモリのための回路ＱＥＤ、天文学のためのマイクロ波力学インダクタンス検出器及びパルス電子スピン共鳴を含む様々な用途で使用されている。多くの場合、これらのデバイスは、非線形性に起因する複雑性を避けるために、その線形レジームで動作する。非線形性を避けるには、入力電力を低下させ、制御シーケンスを長くして、系がデコヒーレンスを起こす前に実行できる量子演算の数を減少させることが必要になり得る。また、入力電力を制限すると、量子系を強く変調することによって実現される環境の不確実性に対する高出力シーケンスの自然なロバスト性が除去される可能性もある。

回路が線形であれば、上述したような畳み込み
として歪みをモデル化することもできる。しかしながら、非線形的な回路要素が存在する場合には、回路の微分方程式を数値的に解いて歪みパルスを計算することができる。

最初の実証として、量子ビット系について検討する。この例は、非線形歪み演算子によって引き起こされる制御状況の変化を切り離し、制御状況は、一般にヒルベルト空間次元にうまく対応する。この例では、量子ビットが近共鳴スピン系であり、その回転波近似を呼び出した後の回転座標系におけるハミルトニアンは以下の通りであり、
（２５）
式中、
及び
は、それぞれ非共振及び制御出力誤差を表す。

いくつかの実装では、図２の回路モデル例２００によって表される回路の時間発展が、以下の三次微分方程式に支配され、
（２６）
この場合、非線形性は、インダクタンスＬ及び抵抗Ｒがこれらを通る電流の関数である時に生じる。力学インダクタンスの場合、これらの非線形性は以下の形を取り、

（２７）
式中、
、
及び
は定数である。力学インダクタンスは、例えば図３Ａ及び図３Ｂに示すように、出力の増加と共に回路共振数、カップリング及び品質係数の減少をもたらすこともある。

図３には、同じ共振器回路例によって生成された２つの制御信号例のプロット３００Ａを示す。プロット例３００Ａは、制御信号の出力を表す縦軸３０２Ａと、制御信号の位相を表す縦軸３０２Ｂとを含む。これらの縦軸は、いずれも横方向の時間軸３０１と共に示している。縦軸３０２Ａによって表される制御信号出力は、周波数単位（具体的には、ＭＨｚ）で示し、縦軸３０２Ｂによって表される制御信号位相は、ラジアン単位で示し、横方向の時間軸３１０によって表される時間範囲は、ナノ秒（ｎｓ）単位で示している。

図３Ａに示すプロット例３００Ａには、共振器回路によって生成された第１の制御信号を破線３０５Ａ、３０５Ｂによって表し、同じ共振器回路によって生成された第２の制御信号を実線３０６Ａ、３０６Ｂによって表す。このプロットでは、実線３０６Ａによって表される第２の制御信号の出力に係数１０を乗じて見やすくしている。これらの制御信号は、いずれも３００ｎｓにわたって続く矩形入力信号に応答して共振器回路によって生成される。具体的には、プロットのゼロ（０）ｎｓにおいて、入力電圧信号がゼロ振幅から一定のパルス振幅に切り換わり、プロットの３００ｎｓにおいて、入力電圧信号が一定のパルス振幅からゼロ振幅に切り換わる。第１の制御信号では、パルス振幅が１０Ｖであり、共振器回路を非線形レジームで動作させる。第２の制御信号では、パルス振幅が０．１Ｖであり、共振器回路を線形レジームで動作させる。従って、破線３０５Ａ、３０５Ｂによって表される第１の制御信号は、共振器によって非線形レジームで生成され、実線３０６Ａ、３０６Ｂによって表される第２の制御信号は、共振器によって線形レジームで生成される。

図３Ａに示すように、（線形レジームにおける）第２の制御信号は、パルス継続時間全体にわたって一定の位相を有し、（線形レジームにおける）第２の制御信号の出力は、０ｎｓから開始してゼロ（０）ＭＨｚから一定値まで単調に上昇し、３００ｎｓからは、一定値から単調に減少してゼロ（０）ＭＨｚに戻る。対照的に、（非線形レジームにおける）第１の制御信号は、実質的に異なる応答を有する。具体的には、（非線形レジームにおける）第１の制御信号の位相は、約１００ｎｓにおいて中心値に安定するまでは中心値を上下に変動し、（非線形レジームにおける）第１の制御信号の出力も、約１００ｎｓにおいて中心値に安定するまでは中心値を上下に変動する。第２の制御信号の出力は、３００ｎｓを過ぎると安定値から単調に減少してゼロに戻り、第２の制御信号の位相は、安定値から異なる位相（πラジアン）に単調に変化する。

図３Ａに示す例では、第１の制御信号のゼロ〜１００ｎｓの変動が、共振回路の非線形性に起因する。この例に示すように、共振回路の入力信号電圧が線形レジームから非線形レジームに増加しても、共振回路によって生成される制御信号は、単純に線形的に増加しない。代わりに、共振回路の入力信号電圧を非線形レジームまで増加させると、ゼロ〜１００ｎｓの変動によって表される「リンギング」挙動が生じる。いくつかの例では、この入力信号と制御信号との間の非線形関係を歪みモデルに組み込むことにより、量子系に対して特定の動作を行うように入力信号を設計することができる。

図３Ｂに、共振器回路を駆動する入力電圧信号の電圧バウンドの関数としての、スピン系が受ける定常状態出力のプロット３００Ｂを示す。プロット例３００Ｂは、制御信号の出力を表す縦軸３１２と、入力電圧信号の電圧バウンドを表す横軸３１１とを含む。縦軸３１２によって表される制御信号出力は、周波数単位（ＭＨｚ）で示しており、横軸３１１によって表される電圧バウンドは、ボルトの単位で示している。図３Ｂでは、制御信号出力と電圧バウンドとの間の関係を線３１３によって表している。この例に示すように、定常状態周波数は単調に増加するが、電圧バウンドと共に線形的に増加するわけではない。

式２５のハミルトニアンは、線形レジームにおける回路の共振周波数で回転する座標系で書かれているので、この座標系で微分方程式を書くことが便利である。この目的のために、
のように略記した微分方程式２６を用いて、変数の複素変換を以下のように導入することができる。
この新たな座標系では、
であるため、動特性は以下のようになり、

（２８）
ここでは回転波近似が呼び出され、
は、
の回転バージョンである。これにより、回転座標系における複素電流
の実数部分及び虚数部分は、幾何学的因子を介してハミルトニアンに見られる制御振幅に比例する。
（２９）

いくつかの例では、共振器回路によって引き起こされる歪み
を計算するために、回路の入力電圧
を、
に由来する振幅を有する区分的定数関数となるように設定することができる。剛性条件を改善するために、強制項
にわずかな有限の立上がり時間を加えることができ、このことは、回路内の理想的な電圧源にローパスフィルタを加えることに相当する。これにより、Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ １０のＮＤＳｏｌｖｅ関数を用いて方程式２８を
について解き、結果を補間し、レート
で再サンプリングして歪みパルス
を求めることができる。

いくつかの例では、歪みが非線形的である場合、ｇのヤコビアンが入力パルス
に対して一定にならない。しかしながら、以下の近似を使用することにより、一般に依然として上り勾配である多くの上りステップを採用することを支持してヤコビアンの精度を折り合わせることもできる。
（３０）

これらの量は、勾配上昇の前に予め計算することができ、従って計算時間に一定値しか加わらない。正確な偏導関数は、
として見積もられるコストで計算することができ、その実装は高度に並列化することができる。いくつかの例では、この分脈では以下で概説する技術を用いて偏導関数を計算することができる。ヤコビアンテンソル
の要素を投入するために、以下の形の偏導関数を近似することができ、
（３１）
式中、ｇは、非線形共振器回路に対応する歪みである。このような偏導関数を近似する１つの技術例は、以下の中心差分式を使用することであり、
（３２）
式中、
は、
方向の単位ベクトルであり、
は、ＤＥソルバの精度を超える小さな数である。このような近似では、ＤＥソルバへの２ＮＫ回の呼出しを利用する。いくつかの例では、この近似が、強制項がほんのわずかに異なる２つの数値的ＤＥ解の差分を伴うので数値的に不安定であり、例えば忠実度の高いパルスを探索する場合には、
を注意深く調整することができ、そうでなければ信頼できる値を有することができない。

以下の近似を検討する場合、
中心差分が
（３３）
まで減少し、これは式３０において上述した近似である。この近似は、電流パルス
に依存せず、従って上昇ステップ毎のｇへの２ＮＫ回の呼出し（すなわち、ＤＥソルバの呼出し）を排除して予め計算することができる。

以下では、これらの偏導関数を計算する正確な方法が導出され、この方法では、ＤＥソルバに
回の呼出しを行ってヤコビアン行列全体を計算する。以下の共振器微分方程式から開始する。
（３４）
上述したように、以下の式が得られており、

（３５）
式中、
である。従って、いくつかの例では、
を計算する困難な部分が、
又はより一般的には、
を計算することである。

個の２次偏微分ベクトル方程式の組が求められ、その時間サンプリング解が偏導関数を生成する。これを行うために、以下の偏微分を採用し、
この偏微分は、（ｎ，ｋ）番目の方程式のｌ番目の成分として
（３６）
を与え、ここではアインシュタイン縮約記法が使用され、（
の場合には、）以下のようになる。
（３７）
以下のように表して

（３８）
偏導関数を代用すると、方程式３６の成分は、以下の非線形ベクトルＰＤＥとして書き換えることができる。
（３９）
従って、一旦ｘ（ｔ）を計算すると、これをｙ_n,kのＤＥの各々に当てはめ、初期条件
（因果律により、
の場合は
）を用いてＤＥを解くことができ、以下の正確な式が生成され、


（４０）
式中、ｈ_lは式３５において暗黙的に定義されており、各
を計算することができる。

ｘ＝０に関するＡ（ｘ）のテイラー級数を用いた場合、以下の式が得られ、
（４１）
式中、各Ａ_pは、全項が正確にｐ次であるｘ座標における行列多項式である。方程式３９の０次近似は以下を与える。
（４２）

この形では、
が、ｘのＤＥである方程式３９が線形化された場合のｘとちょうど同じであり、強制項が以下のトップハットであることが分かる。

いくつかの例では、線形化条件Ａ＝Ａ₀が、保証
とほぼ同じであり、この式は、以下のように選択された
を用いて
を設定することによって満たすことができる。
従って、ヤコビアンに対する０次近似は以下のようになり、
（４３）
この式は、式３３の別の微分を提供する。

図４Ａ、図４Ｂ、図４Ｃ及び図４Ｄに、回路モデル２００例に基づく歪み演算子を用いて生成されるパルスシーケンス例のパラメータ及びその他のデータを示す。このパルスシーケンス例は、スピン例のｘ軸を中心としたπ／２の回転に対応する目標動作に基づいて生成されたものである。このパルスシーケンスは、最適制御理論を用いてパルスシーケンスの初期推定を修正する最適化エンジンを用いて生成されたものである。具体的には、ＧＲＡＰＥアルゴリズムによって提供されるフレームワークを、図２の回路モデル例から導出された歪みモデルに基づいて、
のパルスシーケンスを生成するように修正したものである。この例では、以下の値を使用した。

図４Ａには、パルスシーケンス例に対応する入力電圧信号と、パルスシーケンス例の継続時間にわたる制御信号とのプロット４００Ａを示す。プロット例４００Ａは、制御系が生成した制御信号出力のｘ成分を表す縦軸４０２Ａと、制御系が受け取った入力電圧信号のｘ成分を表す別の縦軸４０２Ｃとを含む。プロット例４００Ａは、制御系が生成した制御信号出力のｙ成分を表す縦軸４０２Ｂと、制御系が受け取った入力電圧信号のｙ成分を表す別の縦軸４０２Ｄとをさらに含む。横軸４０１は、パルスシーケンスの継続時間を表す。

図４Ａに示す例では、右側の縦軸４０２Ｃに対してプロットした第１の線４０３Ａによって入力電圧信号のｙ成分を表し、右側の縦軸４０２Ｄに対してプロットした第２の線４０３Ｂによって入力電圧信号のｘ成分を表す。同様に、左側の縦軸４０２Ａに対してプロットした第３の線４０４Ａによってシミュレートした制御信号のｙ成分を表し、左側の縦軸４０２Ｂに対してプロットした第４の線４０４Ｂによってシミュレートした制御信号のｙ成分を表す。図４Ａに示すように、このパルスシーケンス例は、第１及び第２の線４０３Ａ、４０３Ｂの破線部４０５Ａ、４０５Ｂによって示すリングダウン補償ステップを含む。

図４Ａに示す例には、長さ０．５ナノ秒（ｎｓ）の１６個の時間ステップを、第１及び第２の線４０３Ａ、４０３Ｂの実線のステップ関数として示す。パルスは、ハミルトニアンパラメータ
（量子ビットの周波数オフセット）、
（量子ビットの磁気回転比）及び非線形パラメータ
の静的不確実性に対してロバストにされている。この例では、回路の品質係数が高いので、リングダウンテールがゼロに減衰するまでにパルスの長さの何倍もの時間が掛かると思われる。この例では、破線部４０５Ａ、４０５Ｂによって示すように、長さ４ｎｓ、２ｎｓ及び１ｎｓの３つの補償ステップを伴う積極的なリングダウン抑制スキームを使用する。他タイプのリングダウン抑制を使用することもできる。

図４Ｂには、図４Ａに示す制御信号を受けるスピン例のブロッホ球のプロット４００Ｂを示す。プロット例４００Ｂは、共振器回路が図４Ａに示すパルスシーケンスをスピンに適用した時のシミュレートしたスピン状態の軌跡を表す線４２０を含む。図４Ｂに示すように、スピン状態は、ｘ軸を中心とするπ／２の回転を受け、この回転は、パルスシーケンスが行うように設計された目標動作に対応する。

図４Ｃには、インダクタンスαＬの非線形定数の値の範囲についてのシミュレートした忠実度のプロット４００Ｃを示す。プロット例４００Ｃは、目標動作（ｘ軸を中心とするπ／２の回転）のためのシミュレートした制御信号の忠実度を表す縦軸４３２と、インダクタンスα_Lの非線形定数を表す横軸４３１とを含む。忠実度は１−Ｆとして表され、すなわち理想値はゼロである。図４Ｃにプロットした線４３４によって示すように、忠実度は、α_Lの全シミュレート範囲にわたって１０^-2未満に留まり、α_L＝０．０５Ａ^-2の中心値において１０^-8未満の最小値を有する。

図４Ｄには、スピン系モデルの２つのパラメータの値の範囲についてシミュレートした忠実度のプロット４００Ｄを示す。具体的には、磁気回比γ及び周波数オフセットδωの値の範囲についてシミュレートした忠実度を示している。プロット例４００Ｄは、磁気回転比γの値のシミュレート範囲を表す縦軸４４１と、周波数オフセットδωの値のシミュレート範囲を表す横軸４４２とを含む。プロット４００Ｄの陰影は、図４Ｄに示す凡例４４５による忠実度を示す。忠実度は１−Ｆとして表され、すなわち理想値はゼロである。図４Ｄに示すように、忠実度は、両パラメータのシミュレート範囲の実質的に全体にわたって１０^-2未満に留まり、γ＝δω＝０の中心値において１０^-5未満の最小値を有する。

非線形歪み演算子の存在下でロバストなゲートを発見する能力を実証したが、この能力が制御状況に与える影響について検討する。オプティマイザが行うステップ数で評価すると、非自明な歪み演算子の存在下では、最適解の発見に掛かるコストが高くなることがある。従って、計算コストとゲート時間長との間のトレードオフを合理的に期待することができる。ある状況例におけるこの関係を調べるために数値的検討を行う。

この数値的検討では、最適化エンジンが使用する共振器への許容入力電力を、線形レジームのエッジにおける１Ｖから高度に非線形的な１０Ｖまでの１０個の異なる電圧に制約した。これらの限度毎に、１６０パルス時間を使用し、時間毎に異なるランダムな初期推定を用いて、ｘ軸を中心とするπ／２の回転に対応する目標動作について少なくともＦ＝０．９９の忠実度を有するパルスを計算しようと試みる。パルスの全長は以下のように設定し、
式中、
は、対応する電圧限度における共振器の定常状態駆動周波数である。時間ステップの数は、各試行につきＮ＝１６の一定に保った。式３０からの勾配近似を使用した。各試行時に、歪み関数ｇが呼び出された回数をカウントする。この結果を図３Ｃ及び図３Ｄに示しており、許容された非線形性が増すにつれ、実際に呼出し回数が減少する傾向にあり、制御状況のナビゲーションがそれほど困難ではなくなっていることが示されているのが分かる。

図３Ｃには、共振器回路を駆動する入力電圧信号の電圧バウンドの関数としての失敗割合のプロット３００Ｃを示す。プロット例３００Ｃは、パルスのステップサイズが事実上ゼロになる前に品質基準に達しなかったパルスの割合を表す縦軸３１６を含む。この例では、品質基準が０．９９の忠実度であった。横軸３１１は、入力電圧信号の電圧バウンドを表す。図３Ｃでは、線３１７上の離散点が、電圧バウンドの１０個の離散値のそれぞれの失敗割合を表す。電圧バウンドの各値では、各パルスが
の全パルス長を有する１６０個のパルスを探索し、式中の
は、図３Ｂに示す定常状態周波数を表す。図３Ｃのプロット３００Ｃに示すように、５Ｖの電圧バウンド未満における失敗割合は事実上ゼロであり、５Ｖ〜１０Ｖでは、失敗割合が一般に６％程度まで増加した。

図３Ｄには、品質基準（忠実度＝０．９９）に達しなかった各パルスを生成するために歪み関数に対して行われた歪み呼出し回数のプロット３００Ｄを示す。プロット例３００Ｄは、歪み関数に対して行われた呼出し回数を表す縦軸３２０と、共振器回路を駆動する入力電圧信号の電圧バウンドを表す横軸３１１とを含む。図３Ｄには、電圧バウンドの１０個の離散値の各々を表す３つの線をプロットしている。中心線３２１は、電圧バウンドの各値において品質基準に達したパルスの平均呼出し回数を表し、上側境界線３２２Ａ及び下側境界線３２２Ｂは、その１６％変位値及び８４％変位値を示す。プロット３００Ｄに示すように、歪み演算子に対する呼出し回数は、電圧バウンドが１Ｖから１０Ｖに増加するにつれて一般に減少した。

図５は、量子系を制御するプロセス例５００を示すフローチャートである。図５に示す例では、量子系が、共振器回路によって制御される１又は２以上のスピンを含むスピン系であるが、プロセス５００は、他のタイプの制御系によって制御できる他タイプの量子系にも適合することができる。プロセス例５００は、さらなる又は異なる動作を含むこともでき、これらの動作は、図示の順番で行うことも、又は別の順番で行うこともできる。いくつかの例では、例えば終了条件に達するまで１又は２以上の動作が繰り返され、又は反復される。いくつかの例では、１つの動作が１又は２以上の下位処理を含むこともでき、或いは複数の動作を組み合わせ、又は同時に実行することもできる。

５０２において、初期パルスパラメータを取得する。初期パルスパラメータは、パルスシーケンスの一連の初期値に対応する。一連の初期値は、ランダムな又は他のタイプの「推定」とすることができ、或いは別の設計パルス又はその他の因子に基づくこともできる。５０４において、制御系の歪みモデルを取得する。例えば、歪みモデルは、共振器回路又は制御系内の他の制御ハードウェアに対応することができる。図示の例では、歪みモデルが、制御系に送出される入力信号と、制御系が生成する出力信号との間の非線形関係を含む。

５０６において、補償パルスパラメータを取得する。５０８において、補償パルスパラメータ及びパルスパラメータを用いて系の動特性を統合する。５１０において、性能汎関数評価を取得する。５１２において、歪み演算子及び性能汎関数評価に基づいて導関数を計算する。５１４において、計算された導関数に基づいてパルスパラメータを更新する。図５Ａに示す動作は、例えば、性能汎関数評価が品質閾値に達するまで、又は別の終了条件に達するまで反復することができる。例えば、この最適化動作は、統合された動特性が、パルスシーケンスによって適用すべき目標動作に基づく閾値（例えば、９９％又は別の閾値）を上回る忠実度を示すまで反復することができる。

５１６において、５１４においてパルスパラメータを更新することによって生成されたパルスシーケンスをスピン系に適用する。例えば、パルスシーケンスは、スピン系に作用する制御信号を制御系に生成させる入力信号を制御系に送出することによって適用することができる。制御系に送出される入力信号は、例えば、パルスシーケンス内の一連のパルス位相及びパルス振幅を表す一連の値又はその他のデータとすることができる。

結論を言えば、古典的制御ハードウェアによるシミュレート可能な全体的歪みを考慮するロバストな量子制御シーケンスの設計を可能にする最適化フレームワークを提示した。たとえ歪みが入力に対して非線形的な場合でも、非線形共振器回路の特定の例を用いてロバストな量子制御を行うことができ、制御状況を通じた探索が必ずしもそれほど困難にならないことを実証した。従って、古典的制御デバイスをその高出力レジームで動作させて、高速で忠実度の高い量子演算を可能にし、量子系のデコヒーレンス時間内で実行できるゲート数を増加させることができる。

本明細書で説明した主題及び動作の一部は、本明細書で開示した構造及びこれらの構成的同等物、或いはこれらの１又は２以上の組み合わせを含め、デジタル電子回路で実装することも、或いはコンピュータソフトウェア、ファームウェア又はハードウェアで実装することもできる。本明細書で説明した主題及び動作の一部は、１又は２以上のコンピュータプログラムとして、すなわちデータ処理装置によって実行される、又はデータ処理装置の動作を制御する、コンピュータ記憶媒体上に符号化されたコンピュータプログラム命令の１又は２以上のモジュールとして実装することができる。コンピュータ記憶媒体は、コンピュータ可読記憶装置、コンピュータ可読記憶基板、ランダム又はシリアルアクセスメモリアレイ又はデバイス、或いはこれらのうちの１つ又は２つ以上の組み合わせとすることも、又はこれらに含めることもできる。さらに、コンピュータ記憶媒体は伝搬信号ではなく、人工的に生成された伝搬信号の形で符号化されたコンピュータプログラム命令の発信元又は宛先とすることができる。コンピュータ記憶媒体は、１又は２以上の別個のコンポーネント又は媒体（例えば、複数のＣＤ、ディスク又はその他の記憶装置）とすることも、或いはこれらに含めることもできる。

「データ処理装置」という用語は、一例として、プログラマブルプロセッサ、コンピュータ、システムオンチップ、又は複数のこれらのもの、又はこれらの組み合わせを含む、データ処理のための全ての種類の装置、デバイス及び機械を含む。装置は、例えば、ＦＰＧＡ（フィールドプログラマブルゲートアレイ）又はＡＳＩＣ（特定用途向け集積回路）などの専用の論理回路を含むことができる。装置は、ハードウェアに加え、例えばプロセッサファームウェア、プロトコルスタック、データ管理システム、オペレーティングシステム、クロスプラットフォーム実行環境、仮想マシン、又はこれらのうちの１つ又は２つ以上の組み合わせを構成するコードなどの、対象とするコンピュータプログラムの実行環境を形成するコードを含むこともできる。

（プログラム、ソフトウェア、ソフトウェアアプリケーション、スクリプト又はコードとしても知られている）コンピュータプログラムは、コンパイラ型言語又はインタプリタ型言語、宣言型言語又は手続き型言語を含むあらゆる形のプログラム言語で書くことができる。必須ではないが、コンピュータプログラムは、ファイルシステム内のファイルに対応することができる。プログラムは、他のプログラム又はデータを保持するファイルの一部（例えば、マークアップ言語文書の形で記憶された１又は２以上のスクリプト）、プログラム専用の単一ファイル、又は複数の協調ファイル（例えば、１又は２以上のモジュール、サブプログラム、又はコード部分を記憶するファイル）の形で記憶することができる。コンピュータプログラムは、１つのコンピュータ上で、或いは１つのサイトに配置された、又は複数のサイトに分散して通信ネットワークによって相互接続された複数のコンピュータ上で実行されるように展開することができる。

本明細書で説明した処理及びロジックフローの一部は、入力データ及び生成出力に作用することによって動作を実行する１又は２以上のコンピュータプログラムを実行する１又は２以上のプログラマブルプロセッサによって実行することができる。処理及びロジックフローは、ＦＰＧＡ（フィールドプログラマブルゲートアレイ）又はＡＳＩＣ（特定用途向け集積回路）などの専用論理回路によって実行することもでき、装置をこれらの専用論理回路として実装することもできる。

一例として、コンピュータプログラムの実行に適したプロセッサは、汎用及び専用マイクロプロセッサ、並びにいずれかの種類のデジタルコンピュータのプロセッサを含む。一般に、プロセッサは、リードオンリメモリ又はランダムアクセスメモリ、或いはこれらの両方から命令及びデータを受け取る。コンピュータは、命令に従って動作を実行するプロセッサと、命令及びデータを記憶する１又は２以上の記憶装置とを含むことができる。コンピュータは、磁気ディスク、光磁気ディスク又は光ディスクなどの、データを記憶するための１又は２以上の大容量記憶装置を含むことも、又はこれらの装置との間でデータをやりとりするように動作可能に結合することも、或いはこれらの両方を行うこともできる。しかしながら、コンピュータは、このような装置を含まなくてもよい。コンピュータプログラム命令及びデータを記憶するのに適した装置は、一例として、半導体メモリ素子（例えば、ＥＰＲＯＭ、ＥＥＰＲＯＭ、フラッシュメモリデバイスなど）、磁気ディスク（例えば、内蔵ハードディスク、リムーバルディスクなど）、光磁気ディスク、並びにＣＤ−ＲＯＭ及びＤＶＤ−ＲＯＭディスクを含む全ての形態の不揮発性メモリ、媒体及び記憶装置を含む。いくつかの例では、プロセッサ及びメモリを専用論理回路によって補完し、又は専用論理回路に組み込むことができる。

ユーザとの相互作用を実現するには、ユーザに情報を表示するディスプレイ装置（例えば、モニタ又は別のタイプのディスプレイ装置）と、ユーザがコンピュータに入力を提供できるようにするキーボード及びポインティングデバイス（例えば、マウス、トラックボール、タブレット、タッチ画面又は別タイプのポインティングデバイス）とを有するコンピュータ上で操作を実行することができる。他の種類の装置を使用してユーザとの相互作用を実現することもでき、例えば、ユーザに提供されるフィードバックは、視覚フィードバック、聴覚フィードバック又は触覚フィードバックなどのいずれかの形の感覚フィードバックとすることができ、ユーザからの入力は、音響入力、音声入力又は触覚入力を含むいずれかの形で受け取ることができる。また、コンピュータは、ユーザが使用する装置との間で文書をやりとりすることにより、例えばウェブブラウザから受け取った要求に応答してユーザのクライアント装置上のウェブブラウザにウェブページを送信することによってユーザと相互作用することもできる。

コンピュータシステムは、単一のコンピュータ装置を含むことも、或いは互いに近接して、又は一般的には離れて動作して、通常は通信ネットワークを通じて相互作用する複数のコンピュータを含むこともできる。通信ネットワークの例としては、ローカルエリアネットワーク（「ＬＡＮ」）及びワイドエリアネットワーク（「ＷＡＮ」）、インターネットワーク（例えば、インターネット）、衛星リンクを含むネットワーク、及びピアツーピアネットワーク（例えば、アドホックピアツーピアネットワーク）が挙げられる。クライアントとサーバとの関係は、それぞれのコンピュータ上で動作して互いにクライアント−サーバの関係を有するコンピュータプログラムによって生じることができる。

上述したもののいくつかの態様は、スピン系を制御するための制御法を含む。上述したもののいくつかの態様は、スピン系、制御系及びコンピュータシステムを含むシステムを含む。いくつかの態様では、スピン系が、制御系内の共振器回路によって生成された制御信号に応答するスピンを含む。共振器回路は、制御系が受け取った電圧信号に応答して制御信号を生成するように構成される。スピン系モデルはスピン系を表し、制御信号を表す制御パラメータを含む。歪みモデルは、制御信号と電圧信号との間の非線形的関係を表す。共振器回路の動作によって１又は２以上のスピンに適用すべき目標動作が定められる。コンピュータシステムは、目標動作、スピン系モデル及び歪みモデルに基づいて、一連の電圧信号の値を含むパルスシーケンスを生成する。共振器回路は、スピン系にパルスシーケンスを適用する。

これらの及びその他の態様の実装は、以下の特徴のうちの１つ又は２つ以上を含むことができる。共振器回路は、超電導共振器デバイスを含み、歪みモデルは、超電導共振器デバイスの非線形動作レジームを表し、非線形動作レジームにおける共振器デバイスの動作によってスピン系にパルスシーケンスが適用される。制御系は、共振器回路及びその他のハードウェアを含み、歪みモデルによって表される非線形関係は、共振器回路及びその他のハードウェアからの非線形効果を考慮する。歪みモデルは、共振器回路を表す共振器回路モデルから生成される。共振器回路モデルは、電圧信号と共振器回路内のインダクタンスとの間の非線形関係を定める微分方程式系を含む。制御パラメータは、共振器回路によって生成された磁場の振幅とすることができる。パルスシーケンスは、一連の値を反復的に修正する最適制御理論を用いて生成される。不確実性モデルは、共振器回路のパラメータの不確実性を表し、パルスシーケンスは、目標動作、スピン系モデル、歪みモデル及び不確実性モデルに基づいて生成される。共振器回路は、古典的共振器回路とすることができ、非線形関係は、古典的現象を表すことができる。制御系は、共振器回路、ミキサ及び増幅器を含む。

本明細書は多くの詳細を含むが、これらの詳細は、特許請求できるものの範囲を限定するものとしてではなく、むしろ特定の例に特有の特徴を説明するものとして解釈すべきである。本明細書において別個の実装の文脈で説明したいくつかの特徴は、組み合わせることもできる。逆に、単一の実装の文脈で説明した様々な特徴を、複数の実施形態において別個に実装することも、或いはいずれかの好適な下位の組み合わせで実装することもできる。

複数の実施形態について説明した。それにも関わらず、様々な修正を行うことができると理解されるであろう。従って、以下の特許請求の範囲には他の実施形態も含まれる。

１００：システム
１０２：制御シーケンス設計システム
１０３：制御シーケンス
１０４：制御系
１０５：制御信号
１０６：量子系
１１０：量子系モデル
１１２：歪みモデル
１１４：目標動作
１１６：最適化エンジン
１１８：パルスシーケンス
１２０：共振器回路
１２２：増幅器
１２４：ミキサ
１３０：パルス列
１４０：スピン

Claims (19)

1. スピン系を制御するための制御方法であって、
   制御系内の共振器回路によって生成された制御信号に応答するスピンを含むスピン系を表すスピン系モデルにアクセスするステップを含み、前記スピン系モデルは、前記制御信号を表す制御パラメータを含み、前記共振器回路は、前記制御系が受け取った電圧信号に応答して前記制御信号を生成するように構成され、前記制御方法は、
   前記共振器回路のパラメータの不確実性を表す不確実性モデルにアクセスするステップと、
   前記制御信号と前記電圧信号との間の非線形関係を表す歪みモデルにアクセスするステップと、
   前記共振器回路の動作によって前記スピンのうちの１つ又は２つ以上に適用すべき目標動作を定めるステップと、
   コンピュータシステムの動作により、前記目標動作、前記スピン系モデル、前記歪みモデル及び前記不確実性モデルに基づいて、前記電圧信号の一連の値を含むパルスシーケンスを生成するステップと、
   前記共振器回路の動作によって前記スピン系に前記パルスシーケンスを適用するステップと、
   をさらに含むことを特徴とする制御方法。
2. 前記共振器回路は、超電導共振器デバイスを含み、前記歪みモデルは、前記超電導共振器デバイスの非線形動作レジームを表し、前記パルスシーケンスは、前記非線形動作レジームにおける前記共振器デバイスの動作によって前記スピン系に適用される、
   請求項１に記載の制御方法。
3. 前記制御系は、前記共振器回路及びその他のハードウェアを含み、前記歪みモデルによって表される前記非線形関係は、前記共振器回路及び前記その他のハードウェアからの非線形効果を考慮する、
   請求項１に記載の制御方法。
4. 前記共振器回路を表す共振器回路モデルから前記歪みモデルを生成するステップを含み、前記共振器回路モデルは、前記電圧信号と前記共振器回路内のインダクタンスとの間の非線形関係を定める微分方程式系を含む、
   請求項１に記載の制御方法。
5. 前記制御パラメータは、前記共振器回路によって生成された磁場の振幅を含む、
   請求項１に記載の制御方法。
6. 前記パルスシーケンスを生成するステップは、最適制御理論を用いて前記一連の値を反復的に修正するステップを含む、
   請求項１に記載の制御方法。
7. 前記共振器回路は、古典的共振器回路を含み、前記非線形関係は、古典的現象を表す、
   請求項１に記載の制御方法。
8. 前記パルスシーケンスを生成するステップは、最適制御理論を用いて前記一連の値を反復的に変更するステップを含む、
   請求項１に記載の制御方法。
9. 共振器回路によって生成された制御信号に応答するスピンを含むスピン系と、
   前記共振器回路を含み、電圧信号を受け取るように構成され、前記電圧信号を受け取ったことに応答して前記制御信号を生成するように構成された制御系と、
   １又は２以上のプロセッサを含むコンピュータシステムと、
   を備え、前記プロセッサは、
   前記制御信号を表す制御パラメータを含む、前記スピン系を表すスピン系モデルにアクセスするステップと、
   前記共振器回路のパラメータの不確実性を表す不確実性モデルにアクセスするステップと、
   前記制御信号と前記電圧信号との間の非線形関係を表す歪みモデルにアクセスするステップと、
   前記共振器回路の動作によって前記スピンのうちの１つ又は２つ以上に適用すべき目標動作を定めるステップと、
   前記目標動作、前記スピン系モデル、前記歪みモデル及び前記不確実性モデルに基づいて、前記電圧信号の一連の値を含むパルスシーケンスを生成するステップと、
   を含む動作を実行するように構成される、
   ことを特徴とするシステム。
10. 前記共振器回路は、超電導共振器デバイスを含み、前記歪みモデルは、前記超電導共振器デバイスの非線形動作レジームを表し、前記パルスシーケンスは、前記共振器デバイスを前記非線形動作レジームで動作させるように構成される、
    請求項９に記載のシステム。
11. 前記制御系は、前記共振器回路、ミキサ及び増幅器を含む、
    請求項９に記載のシステム。
12. 前記動作は、前記共振器回路を表す共振器回路モデルから前記歪みモデルを生成するステップを含み、前記共振器回路モデルは、前記電圧信号と前記共振器回路内のインダクタンスとの間の非線形関係を定める微分方程式系を含む、
    請求項９に記載のシステム。
13. 前記共振器回路は、古典的共振器回路を含み、前記非線形関係は、古典的現象を表す、
    請求項９に記載のシステム。
14. 前記パルスシーケンスを生成するステップは、最適制御理論を用いて前記一連の値を反復的に変更するステップを含む、
    請求項９に記載のシステム。
15. 量子系を制御するための制御方法であって、
    制御系によって生成された制御信号に応答する量子ビットを含む量子系を表す量子系モデルにアクセスするステップを含み、前記量子系モデルは、前記制御信号を表す制御パラメータを含み、前記制御系は、前記制御系が受け取った入力信号に応答して前記制御信号を生成するように構成され、前記制御方法は、
    前記共振器回路のパラメータの不確実性を表す不確実性モデルにアクセスするステップと、
    前記制御信号と前記入力信号との間の非線形関係を表す歪みモデルにアクセスするステップと、
    前記制御系の動作によって前記量子ビットのうちの１つ又は２つ以上に適用すべき目標動作を定めるステップと、
    前記目標動作、前記量子系モデル、前記歪みモデル及び前記不確実性モデルに基づいて、前記入力信号についての一連の値を含む制御シーケンスを生成するステップと、
    前記制御系の動作によって前記量子系に前記制御シーケンスを適用するステップと、
    をさらに含むことを特徴とする制御方法。
16. 前記目標動作、前記量子系モデル及び歪み演算子を最適化エンジン内で組み合わせて前記制御シーケンスを生成するステップを含む、
    請求項１５に記載の制御方法。
17. 前記量子系は、スピン系を含み、前記制御系は、共振器デバイスを含み、前記制御パラメータは、前記共振器デバイスによって生成された磁場の振幅を含み、前記入力信号は、前記制御システムが受け取った電圧信号を含み、前記歪みモデルは、前記磁場の振幅と前記制御系が受け取った前記電圧信号との間の非線形関係を表す、
    請求項１５に記載の制御方法。
18. 前記制御シーケンスを生成するステップは、最適制御理論を用いて前記一連の値を反復的に修正するステップを含む、
    請求項１５に記載の制御方法。
19. 前記制御系は、古典的制御ハードウェアを含み、前記非線形関係は、古典的現象を表す、
    請求項１５に記載の制御方法。