JP6602506B1 - 受信方法、受信装置、送信方法、送信装置、送受信システム - Google Patents

Abstract

一態様に係る受信方法は、信号を受信する受信方法であって、余次元２を有する、非可換シフトのパラメタ空間を参照して、受信信号が示す時間シフト及び周波数シフトを推定する推定ステップを含んでいる。

Description

本発明は、受信方法、受信装置、送信方法、送信装置、送受信システムに関する。

通信システムの技術及びそれに関連する技術に関してすでに多くの研究や開発がなされているが、発明者らは、時間分割方式及び周波数分割方式等を用いた送受信システムの研究及び開発を行ってきた（例えば、特許文献１〜６、非特許文献１〜３２を参照）。

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発明者らは、通信技術の理論的側面に関する研究を進めることにより、時間周波数位相空間（Time Frequency Plane、単にTFPとも記載する）上におけるシフト演算子の本質的な非可換性に着目すべきであるとの知見に達した。

本発明の一態様は、上記の知見に基づいてなされたものであり、高効率の受信方法、受信装置、送信方法、送信装置、送受信システムを実現することを目的とする。

上記の課題を解決するために、本発明の一態様は、 信号を受信する受信方法であって、
余次元２を有する、非可換シフトのパラメタ空間を参照して、受信信号が示す時間シフト及び周波数シフトを推定する推定ステップを含んでいる。

また、上記の課題を解決するために、信号を受信する受信装置であって、
余次元２を有する、非可換シフトのパラメタ空間を参照して、受信信号が示す時間シフト及び周波数シフトを推定する推定部を含んでいる。

また、上記の課題を解決するために、本発明の一態様は、信号を送信する送信方法であって、余次元２を有する、非可換シフトのパラメタ空間を参照して、送信対象の信号の時間及び周波数をシフトするシフトステップを含んでいる。

また、上記の課題を解決するために、本発明の一態様は、信号を送信する送信装置であって、余次元２を有する、非可換シフトのパラメタ空間を参照して、送信対象の信号の時間及び周波数をシフトするシフト部を含んでいる。

また、上記の課題を解決するために、本発明の一態様は、画像信号を受信する受信方法であって、受信した画像信号が示す空間シフト及び空間周波数シフトを、パラメタ空間を参照して推定する推定ステップを含んでおり、上記空間シフト及び空間周波数シフトのそれぞれは、２以上の次元を有している。

また、上記の課題を解決するために、本発明の一態様は、画像信号を送信する送信方法であって、パラメタ空間を参照して、送信対象の画像信号の空間及び周波数をシフトするシフトステップを含んでおり、上記空間のシフト及び上記周波数のシフトのそれぞれは、２以上の次元を有している。

上記の構成によれば、高効率の受信方法、受信装置、送信方法、送信装置、送受信システムを実現することができる。

実施形態に係るTFPにおける三種の分割法を示している。(a)は時間分割（Time Division(TD)）を示しており, (b)は周波数分割（Frequency Division(FD)）を示しており、(c)は、ガボール分割（Gabor Division(GD)）[非特許文献1]を示している。(a)における実線は、情報データの時間幅Tの区切りを示しており、破線はTD-Phase code(PC) による細分割を示している。(b)における太い破線は、情報データの帯域幅Fの区切りを示しており、細い破線はFD-Phase code(PC) による細分割を示している。 実施形態に係るtime-frequency shift（時間周波数シフト）の非可換性を模式的に示した図である。非可換性は、シフト演算子の積に関する関係式T_τ,0 ・T_0,ν = e^-i2πτνT_0,νT_τ,0（左辺は図中の三角印，右辺は図中の方形印に対応）において、位相歪（Phase Distortion(PD)）e^-i2πτν として現れる。図中の○印は対称時間周波数演算子（Symmetrical Time-Frequency Shift Operator:TFSO）

を示している[非特許文献26]。
（ａ）は実施形態に係るTFP 上に配置したchip levelのGabor 関数、及びそれに関連する情報を示している。特に、(a-0)は、TFP 上に配置したchip level のGabor 関数g_mm′(t) とそのフーリエ変換（FT）であるG_mm′(f)を示しており、(a-1)は g_mm′(t) を(FD-Phase code(FD-PC)) X′_m′ で重み加算したTD-template の実部，虚部を示しており、(a-2) はG_mm′(f) を(TD-Phase Code(TD-PC))X_m で重み加算したFD-template の実部，虚部を示している。(b)は、TFP上のNN′ 個の相互相関関数Cross Correlation Function(CCF) 及びN′ 個の列和のTD-CCF 値とN 個の行和のFD-CCF 値を示している。(c)は Alternating Projection Theorem:APT に基づく時間制限空間（TL-TD：Time Limited Time Domain），帯域制限空間BL-FD(Band Limited Frequency Domain) の上への直交射影による推定値

の交互更新過程と収束値t_d, f_Dを示している。
実施形態に係るTD-,FD-PCs X_m,X′_m′ 及びm′-番目のTD template

を有する式(25),(67) のTD signature v[k] を生成するSynthesis Filter Bank(SFB)を示している。
TD-,FD-PCs X_m,X′_m′ 及びm′-番目のTD template

を有する式(25),(67) のFD signature

を生成するSFBを示している。
実施形態に係る複素数値データ

を入力信号とする式(27),(71) のTD-Complex Envelope(TD-CE)

を生成するSFBを示している。
実施形態に係る複素数値データ

を入力信号とする式(27),(71) のFD-Complex Envelope(FD-CE)

を生成するSFBを示している。
実施形態に係る複素数値データ

復号のためのTD 相関器アレイを装備したAnalysis Filter Bank(AFB)を示している。
実施形態に係る複素数値データ

復号のためのFD 相関器アレイを装備したAFBを示している。
(a)は実施形態に係るTD 相関器アレイを示しており、(c)は、FD 相関器アレイのAnalysis Filter Bank(AFB) を示しており、(b)は、von Neumann のAPT による両アレイの最尤推定値の交互更新を模式的に示している。 実施形態に係るvon Neumann’s Alternative Projection Theoremを模式的に示した図である。図中におけるTL-TD (Time Limited Time Domain)，BL-FD (Band Limited Frequency Domain)は，各々Hilbert 空間の二つの部分空間を示している。また、部分空間TL-TDは、LΔt-（又はT_s)-時間制限Time-limited(TL)空間を意味し，部分空間BL-FDは、LΔf-（又はF_s)-帯域制限Band-limited:BL空間を意味する。図中において、矢印は各々の部分空間の上への直交射影を表しており、最尤推定値と最尤値の最大値を与えるCCF 番号が検出される。 実施形態に係る

-PSK通信可能であり高速・高精度測距可能な送信器（符号化器）の構成を示すブロック図である。
実施形態に係る

-PSK通信可能であり高速・高精度測距可能な受信同期器（復号化器）の構成を示すブロック図である。
実施形態に係るMain channel(MC)のdelay τ-Doppler shift ν空間上のCCF実部の大きさの分布例を模式的に示す図である。 実施形態に係るACがMain channel(MC)に重畳された場合のτ-ν空間上のCCF実部の大きさの分布例を模式的に示す図である。 実施形態に係る余次元２の、非可換性を有するACのシフトのパラメタ空間を利用した信号のTFP分割を示す図である。信号(時間幅T_s,帯域幅F_s)の時間・周波数平面TFP Sの分割（Gabor分割）（S⁽⁰⁾,S⁽¹⁾,S⁽²⁾,S⁽³⁾）平面と直交する軸にACの非可換シフトの量

を示す目盛り、及びTFP分割と対応の２次元PC符号

を示している。
実施形態に係る余次元２の、非可換性を有するACのシフトのパラメタ空間を利用した信号のTFP分割を示す図である。ACの非可換シフトの量に応じてTFPは各々AC0のTFP、AC1のTFP、AC2のTFP、AC3のTFPのようにshiftされる。 実施形態１に係る送受信システムの構成例を示すブロック図である。 実施形態１に係る送受信システムを用いたデータ送受信処理の流れを示すフローチャートである。 実施形態１に係る送受信システムの構成例を示すブロック図である。 実施形態１に係る送受信システムを用いたデータ送受信処理の流れを示すフローチャートである。

〔実施形態１〕
以下、本実施形態に係る送受信システムについて図面を参照して説明を行う。以下では、まず、本実施形態に係る送受信システムの理論的側面及び具体的構成例について説明を行い、その後、特許請求の範囲に記載された内容との対応付けを行う。

なお、以下の説明において引用される特許文献及び非特許文献は、参照により本願に取り込まれる。

また、以下の説明において引用される特許文献及び非特許文献は、あくまで、本明細書に記載した内容に多少の関連性を有するという観点で引用しているに過ぎない。したがって、これらの文献を引用することにより本明細書に記載された発明の特許性に影響が及ぼされることはない。

＜＜理論的側面の概要：時間遅れと周波数シフトの二つの演算子の非可換性を利用した通信（副題：高精度測距可能な送信信号設計とその受信器設計）＞＞
時間幅T_s, 帯域幅F_s のデータの高効率伝送のために時間(TD)・周波数領域(FD) を分割する多重化通信方式の同期は難しい問題である。発射電波のエコー信号からdelay t_d とDoppler f_D を推定するレーダ問題でさえ，現在でも未解決のままである。これらは，量子力学の位置，運動量作用素[非特許文献4] と同様に時間・周波数シフト作用素（Time-Frequency Shift Operator:TFSO）由来の位相歪（phase distortion:PD）

や

に根源がある。測距問題は，非可換TFSO のPD に含まれる２個の未知パラメタ推定問題であるので，Weyl-Heisenberg Group:WHG に基づく信号検出・パラメタ推定論の援用無しには高精度・高速化を図れない。本明細書で説明する内容は、概要として以下の５点に纏められる。

（概要１）
その第一として、送信信号設計ではTD信号とFD信号を同等に対象とすることの他に，時間・周波数対称性time-frequency symmetrical property:TFSP を満たす対称シフト作用素symmetrical TFSO が，時間遅れと周波数シフトの非可換性により多重化信号のアドレス（address）情報を顕在化させる演算子であることが示される(式(39),(44),(51),(56)参照)。

（概要２）
第二として，時間・周波数シフトされたガウスチップ関数（Gabor 関数）を、周期N,N′のTD-,FD- phase code:PC を用いた変調、即ちTD-,FD-Binary phase-shift Keying:２次元BPSKが、パラメタ最尤推定のM 値検定法に有用であることが示される。

従来２種のPC は“２次元拡散符号”と呼称され，用語の誤用も多く拡大解釈される。しかし本明細書では，BPSK には今まで気づかれなかった、以下の得失の両面の機能があることを明らかにする。

変調で得られたTD-,FD-広帯域信号（signature と呼ぶ）のCE（式(27)）にはPC で生じたPD が、
N 個のtype-3(又はtype-1) のTD-template CE（式(29)）(又は式(49))（各々のsupport はT_s ×LΔf,LΔt×F_s）、
N′個のtype-4(又はtype-2) のFD-template CE(33)(又は(54))（各々のsupport はLΔt×F_s, T_s ×LΔf）
として自動的に埋め込まれるので，template 検出の仮説検定がTD,FD で可能となる(式(30), 命題4 及び式(35), 命題5)。

（概要３）
第三として、位相情報が有効利用されない通常の最尤法とは異なり、type-3(又はtype-1) のTD-CE template，type-4(又はtype-2) のFD-CE template matchingの４種のTD-,FD-cross-correlation function:CCF の厳密式は、ambiguity function(AF)の他に，TD-,FD-PC 変調に伴い、時間幅Δt，周波数幅Δf で離散化したL = (ΔtΔf)^‐1 点のtwiddle factor

を含む。また、上記厳密式では、上記ＷのDFT,IDFT 型の和において、非可換性由来のPDがW のべき数として登場し、その結果、上記厳密式は三要素の積として表現される(Lemma2 式(41),Lemma4 式(45) 及び式(52),(57))。このため、本実施形態に記載の方法によれば、DSP による高速計算が保証される。

（概要４）
第四は，特許文献１で定義・導入したPhase-Updating Loop:PUL の収束に関して，Youla[非特許文献22]の信号復元法に基づく証明を与えた。

先ずHilbert 空間である信号空間の部分空間として，T_s-(又はLΔt-) 時間制限(TL-TD空間E₃(又はE₁)，F_s-(又はLΔf-) 帯域制限(Band-Limited, BL-FD空間E₄(又はE₂) を導入及び定義した。続いて、N,N′個のTD-,FD-CCF アレイに基づいて，これらの空間の上への直交射影演算子Projection operator:PO, T_s-(又はLΔt-) 時間制限演算子P₃(又はP₁)及びF_s-(又はLΔf-) 帯域制限演算子P₄(又はP₂) の４個のPO を式(62)-(64)で定義した。

続いて、Alternative Projection Theorem:APT[非特許文献21] の交互射影演算子(APTO)

を、本発明の観点から定義した。次に，推定値

の関数である通信路の減衰定数Ae^iκ のMLE の更新式(59) と

の更新式(60),(61) を用いて，APTOの収束領域（TD-CE template のsupport とFD-CE template のそれとの積集合，即ちチップaddress(ρ, ρ′) の時間幅LΔt，帯域幅LΔf の矩形領域）内にt_d, f_D があることを最尤推定し、推定値

がLΔt×LΔf の精度であり、且つ計算量は

に代わり

となることを証明した。

即ち．このAPTOは，時間周波数空間(time-frequency plane:TFP)のある領域を取り出し，他の部分をfilter-out する，局所選択演算子:localization operator:LO であり、DSP で多用される急峻なfilter の代替物である。

従来の通信ではナイキスト条件を満たさないとの理由により、用いられることのないガウス関数が、他の優れた性質により本質的役割を果たすことが明らかになった。

PUL は、時間PT_s と帯域P′F_s の必要資源とデータレベルのaddress

を用いれば、t_d, f_D の存在範囲を限定しない探索法である。このため、TD-,FD-ガウス関数の２次元PC 変調信号の送信器とTD-,FD-CCF アレイにPUL を実装した受信器の組は，高精度かつ高速の信号復元が可能であり、高精度かつ高速のパラメタ推定が可能である通信システムを実現できることが示された。換言すれば、上記の構成を用いることにより、非可換性を利用した通信システムのパラダイムシフトが提示される。

第五は，同期を行いながら、超高の

-PSKの符号化・復号化するシステムを与えた。

-PSK通信は、測距とデータ通信が同時に可能な車載レーダへの応用となる。高次の

-PSK信号

の伝送は，各種の位相雑音の影響で位相

の弁別が困難なので、周波数資源有効利用(

伝送)の点で重要であるがその実現は難しいとされている。

これを解決するため、図１２の下段部分（Switch1-1,Switch1-2間のblock）のように
1) “情報k"を

と分解する。そして
2)時間遅れ及びドップラシフトのパラメタ平面
(target spaeと呼ぶ）を

個に均等排反分割し各々に２次元PC（TD-PC,FD-PC）を割り当て（ここで

である）、 チップパルスを

番目の２次元PCで変調し、これらを

-code多重化する。そして、
3)得られたsignature信号をj番目のtarget spaceの部分平面の中心点対応の時間遅れ

及びドップラシフト

の量(

を人工的通信路:Artificlal Channel (AC)のshiftと呼ぶ)をshiftし、
4)そのシフトされたsignatureで

-PSK信号

を変調した信号を伝送する。その結果

-シフトされたsignatureは

(Main Channel:MCのshiftと呼ぶ)の伝搬路で２重のシフトを受ける。受信CE信号との相関関数(CCF)に必要な推定受信CEを以下のステップで求める。図１３のの中段部分（Switch2-1に接続しているblock）のように、
1')推定値

を

と分解し、
2')チップパルスを

番目の２次元PCで変調し、
3')その信号を推定

番のACの

の量シフトし、
4')得られた信号で推定

番の

-PSK
信号

を変調した信号が推定受信CEとなる。

N,N'個のアレイ型TD-,FD-CCFの実部最大化変数は、チップアドレス(ρ',ρ)、データアドレス

で定まるCCF番号及び推定符号

である。まず

種の２次元PC番号

を定めデータアドレス

の、位相補償項

付きの、２種のCCF実部最大化をPULに基づいて行い、図１３の下段部分（Switch2-2に接続しているblock）のように

及び変数

の最尤推定による

でkを最尤復号する。これは、低次

-ary PSK-based符号・復号システムを

種の非可換AC-shift-多重化による、超高の

-ary PSKシステムである。即ち、

種の非可換shiftのACの中で、“情報k”で定まるACに縦続接続された、

のMCの出力からパラメタ推定を行う同期器（測距器）及びkの復号器兼用システムである。従って非可換AC-shift-符号化・復号化に基づく多重化方式は通信におけるPD活用のパラダイムシフトである。なお、

-PSKの復号の計算複雑度は同期・測距の計算複雑度(N + N')の

倍である。

＜＜理論的側面の詳細、及び通信システムの具体的構成例＞＞
以下では、本実施形態に係る通信システムの理論的側面の詳細、及び通信システムの具体的構成例について説明する。

＜１．背景＞
通信の重要課題の一つは，周波数資源を有効活用した通信方式の設計である[非特許文献1]。時間領域(TD)及び周波数領域(FD)（図１参照） を分割して時間幅Ts と周波数帯域Fs のデータを多重化する通信方式(図１参照)であるOrthogonal Frequency Division Multiplex(OFDM) は、delay t_d やDoppler f_D により直交性が破れる欠点を有する。

なお、図１は、TFPにおける三種の分割法を示している。(a)は時間分割（Time Division(TD)）を示しており, (b)は周波数分割（Frequency Division(FD)）を示しており、(c)は、ガボール分割（Gabor Division(GD)）[非特許文献1]を示している。(a)における実線は、情報データの時間幅Tの区切りを示しており、破線はTD-Phase code(PC) による細分割を示している。(b)における太い破線は、情報データの帯域幅Fの区切りを示しており、細い破線はFD-Phase code(PC) による細分割を示している。

一方、t_d, f_D を有する通信路を介して通信を行う前に最初に行う手続きが同期である。しかし、多重化に必要な二つのシフト演算である、時間，周波数shift 演算(time-frequency shift operator:TFSO) に伴うPhase distortion:PD

が、通信路のPD

に続いて発生するので、同期は容易でない。エコーからt_d, f_D を推定するレーダ問題[非特許文献15]でさえ有効な解決策は見出されていない。

本発明者らはまず、t_d, f_D に関してTFSP(図2 参照) を満たす[非特許文献24, 26] TD信号とそのFourier Transform(FT) のFD信号をTDとFDの位相符号(phase code:PC) で変調した，TD-,FD-signature を生成した。

なお、図２は、time-frequency shift（時間周波数シフト）の非可換性を模式的に示した図である。非可換性は、シフト演算子の積に関する関係式T_τ,0 ・T_0,ν = e^-i2πτνT_0,νT_τ,0（左辺は図中の三角印，右辺は図中の方形印に対応）において、位相歪（Phase Distortion(PD)）e^-i2πτν として現れる。図中の○印は対称時間周波数演算子（Symmetrical Time-Frequency ShiftOperator:TFSO）

を示している[非特許文献26]。

次に，signature にはPC によるPD がtemplate として埋め込まれるので，TD-,FD-template 検出のための、ambiguity function（AF）型[非特許文献15]のTD-，FD-cross-corrrelation function:CCF アレイ(図3a 参照) を定義した。

そして、CCF 実部を最大とするパラメタ値と最大値の最大を達成するCCF 番号を検出した。その上で、パラメタ値を交互更新(図3b,3c 参照) するt_d, f_D の無情報推定法が、レーダ問題の解決策であることを明らかにした([非特許文献27]-[非特許文献32] 及び特許文献1-6)．
なお、図３（ａ）はTFP 上に配置したchip levelのGabor 関数、及びそれに関連する情報を示している。特に、(a-0)は、TFP 上に配置したchip level のGabor 関数g_mm′(t) とそのフーリエ変換（FT）であるG_mm′(f)を示しており、(a-1)は g_mm′(t) を(FD-Phase code(FD-PC)) X′_m′ で重み加算したTD-template の実部，虚部を示しており、(a-2) はG_mm′(f) を(TD-Phase Code(TD-PC))X_m で重み加算したFD-template の実部，虚部を示している。(b)は、TFP上のNN′ 個の相互相関関数Cross Correlation Function(CCF) 及びN′ 個の列和のTD-CCF 値とN 個の行和のFD-CCF 値を示している。(c)は Alternating Projection Theorem:APT に基づく時間制限空間TL-TD，帯域制限空間BL-FD の上への直交射影による推定値

の交互更新過程と収束値t_d, f_Dを示している。

エコー信号からdelay t_d とDoppler f_D を推定する測距問題は、時間，周波数shift 作用素の非可換性由来のPD に含まれる２個の未知パラメタ推定問題である。したがって、その範疇はWeyl-Heisenberg Group:WHG に基づく信号検出・パラメタ推定論である。しかし、一部の例外[非特許文献17]を除き、多くのレーダ研究者は非可換性を無視した推定論に依拠するので測距の高精度化に成功していない。一方、本明細書に記載の発明は、レーダ問題を含む無線通信にとって、この非可換性こそが効率を高めるために重要であるとの本発明者らの知見に基づいている。また、Wavelet 論[非特許文献8]では，関数f(t) に対する時間・周波数シフトしたGabor 関数[非特許文献１]

による展開

の係数a_m,m′が中心課題である。また、5G，after 5G のOFDM/OQAM やFBMC[非特許文献9, 10, 12] では、a_m,m′を伝送情報とする多重化信号f(t) のintersymbol interference(ISI)及びinterchannel interference (ICI) が零となる関数g(t) の設計とg_mm′(t) の非直交性の解決が主題である。

一方、無線通信では，time, frequency offsets 耐性の同期法が必要であるが、t_d, f_D の推定の試みは殆ど見当たらない。また多くの通信研究者は信号多重化のための時間・周波数シフトmτ₀,m′ν₀ に伴うPD

は無視できると考えている。しかし、WHGの時間・周波数シフトの群論的性質より、通信路のPD

に続きシフトのPD

の他にmulti-carrier 化に伴うPD

も同時発生するのでそのメカニズムは単純ではない。

レーダ問題に潜む以下の３つの課題に最初に取り組むべきであろう。なお、従来レーダの発射信号として、Chirp 信号のLFM-CW(Linear FM Continuous Wave) を用いるか、或いは短い時間のpulse で位相変調した圧縮レーダやそのmulti-carrier 版が最近提案されている[非特許文献19]。

（課題１）
第一の課題として、レーダは元来t_d, f_D の２個の未知変数問題あるが、多くの受信器は、時間shift τ と周波数shift ν の２変数複素数値相関関数，Ambiguity Function(AF)の表示のため、AF の絶対値のピーク値探索か、或いはChirp 信号のAF 特性利用に基づいていることが挙げられる。２個の未知数問題には２個以上の関数を用いるべきである。

（課題２）
第二の課題として、レーダ問題には量子力学の位置，運動量作用素と同様に非可換の時間，周波数シフトによるPD

や時間幅T_p，周波数遷移幅F_p のchirp パルス列によるPD

が発生することが挙げられる。また、t_d やf_D を有する通信路を介して時間幅T_s と周波数帯域F_s のデータをTFP 上で無重畳多重化伝送方式(図1 参照) でも，

に引き続きPD

が存在する。殆どの研究者は、このPD を見過ごしているが、PDの存在は、情報データを担う実数値受信信号の共通問題である。

（課題３）
第三の課題は，第二課題と関連するが、PD 発生のメカニズムが見え難いことにある。即ち，通信やレーダの分野では通常時間シフト演算子や周波数シフト演算子は各々

で定義され，M(v)S(u) = e^‐i2πuvS(u)M(v) からM(v) とS(u) の非可換性はPD e^‐i2πuv の指数の肩部に両シフト量の積として如実に表れている。高精度測距や同期法の解決の糸口はここに集約している。このPD e^‐i2πuv の取り扱い（後にTFSP(式4,24，図2 参照) と呼ぶ）が本明細書における重要な考察対象である。

＜２．時間・周波数対称な時間・周波数シフト演算子＞
典型的なエコー信号は

で与えられる。ただし，ψ(t)は，パルスのcomplex envelope:CE と呼ばれる複素数値信号であり、

は，各々振幅，到来時間，キャリア周波数，キャリアの位相，キャリア周波数の変位，即ち参照周波数Ω_r = 2πf_r からのシフト（ドップラシフト）である。簡単のためしばらくの間Ω_r = 0 と置く。

でフーリエ変換Fourier Transform(FT)を表し、

を、ψ(t) のFT とすると，r_e(t; t_d, f_D) のFT は

となる。ここで、r_e(t; t_d, f_D) とR_e(f; t_d, f_D) のペアはt_d, f_D に関して対称でない。未知数t_d, f_Dの積がTD 関数のPD にだけ現れている。

しかし，少し修正した式[非特許文献24, 26]

は、TD関数x(t) とそのFD関数

に対し、t_d, f_D に関して、time-frequency symmetry property:TFSP を満たす対称な時間周波数シフト演算子symmetrical time-frequency shift operators(symmetrical TFSO) の定義式(図2 参照)

及び、二つのシフト演算子間の恒等式
[symmetrical TFSO の性質１]

を与える。通常用いられる、時間シフト演算子S(- t_d)x(t) = x(t - t_d) や周波数シフト演算子

と異なり、式(4) のTD 信号x(t) のハーフシフト

やFD 信号X(f) のハーフシフト

は、信号の時間周波数表現論で用いられる

又は

と比べ僅かな修正のように見えるが、これは，式(39),(44) のようにレーダ信号や受信信号の位相情報が完全にTD,FDで追跡可能な表現法である。

式(4) のTFSO は量子力学のvon Neumann のCanonical Commutative Relations:CCR[非特許文献4, 6] と同じであるので，以後von Neumann のTFSO と呼ぶ。有名なHeisenberg の不確定性原理と呼ばれる関係式[非特許文献4, 5]

を通信の時間周波数シフト演算子[T_τ,0, T_0,ν ] に対応させると

が得られるので、古典力学極限[非特許文献20]

は、通信の無歪条件

と対応する。ただし，

は、それぞれ、プランク定数

、及び量子力学における交換子を表す。

なお、TFSO の連鎖則:

から導かれる
[symmetrical TFSO の性質2]:

において、式(7) は、式(9) の第一式の例題である。

symmetrical TFSO のより重要な性質は，TD,FD 信号の対称性から未知数の積t_d・f_D がTD,FD 関数のPDに対称的に現れ，後述のように，多重化信号のアドレス情報がPD として顕在化しパラメタ推定に重要な役割を果たす点にある。例えば、無線通信では[非特許文献9, 10]、OFDM 信号

が中心課題である。ただし、係数a_m,n は伝送すべき複素データを表し， x(t)は時間波形関数である。OFDM 信号は

と表現できる。

故に、無歪条件τ₀ν₀ = 1（式(8) 参照）が満たされていれば、PDe^iπnτ0mν0 はa_mn の符号を別として影響を与えない。しかし，オフセットτ ′ = τ₀ + ε_τ , ν′ = ν₀ + ε_ν があると

がt_d, f_D の通信路のPD

に引き続き発生するので、我々は位相歪PDを含む信号

を処理しなければならない。式(10) のように慣用のTFP上の信号の無重畳重ね合わせ法では[非特許文献1, 2, 9, 10, 12]、式(12) のように、群論的性質より、PD

の集積をもたらすので、各種のPDが受信器出力を弱めてしまうことにより、デジタル通信[非特許文献3] で重要な同期の劣化につながる。それにもかかわらず、シンボル間干渉inter-symbol interference:ISI やチャネル間干渉inter-channel interference:ICI を削減する時間関数x(t) の設計は、中心的課題である。この観察が本明細書の出発点である。

＜３．尤度関数とCCF＞
レーダ理論は、レーダの最適システムの解析と設計の統計論を論じたWoodward[非特許文献15]や、信号検出及び推定論の包括的な研究を行ったHelstrom[非特許文献18] の教科書が基礎である。

Wilcox の研究[非特許文献16] に対するAuslander とTolimieri による注意[非特許文献17]のように、これらは非可換性を考慮していないことに留意する必要がある。

しかし，レーダ理論の基礎は以下の信号検出とパラメタ推定論にある。

＜3.1 信号検出＞
受信器にエコー信号が届くと、当該エコー信号は雑音に混ざっているので，当該エコー信号の決定は不確定にならざるを得ない。

ある定まった形式の信号s(t) がガウス雑音n(t) 中に定まった時間に届いたか否かを判定する問題である信号検出問題を考える。観測時間

中に測定した受信器入力w(t)を基にして、受信器は二つの仮説検定：
H₀,“信号は無い．” 即ち、w(t) = n(t) と、
H₁, “信号は在る．” 即ち、w(t) = s(t) + n(t)、
を行う。観測時間中の時間t = t_k に測定値w_k = w(t_k)が得られたとすると、n 個の標本w_k は、仮説H_i, i = 0, 1 の下での結合密度関数joint probability density function(p.d.f.) p_i(w) を有するランダム変数である。受信機において、尤度比
Λ(w) = p₁(w)/p₀(w), w = (w₁, . . . ,w_n).
に基づいて観測者の最適決定を行う。

まず、ある決定レベルΛ₀ に対して観測者は、Λ(w) < Λ₀ のときには、H₀ を、Λ(w) > Λ₀ のときには、H₁ を選択する。

レーダ信号は

と表現される[非特許文献15,18]。ただし，ψ(t) はCE(complex envelope) と呼ばれる複素数値信号であり、Ω = 2πf_c はキャリア周波数である。s(t)のスペクトル

は、f_c 近傍と-f_c 近傍に狭いピークを有し、そのバンド幅がΩ に比べ小さいとき、信号はnarrowband(NB) 又はquasi-harmonic と呼ばれる。

受信器入力

はNB と仮定し、そのCE

は変調器で測定可能と仮定する。

共分散関数

を有する定常NB白色ガウス雑音下のNB 信号

の最適検出器は、対数尤度関数logarithm of likelihood functional(LF):LLF[非特許文献18, p.106]

を有する。ただし、N₀ は白色雑音の片側スペクトル密度を表しており、 g 及びd² は尤度関数LF Λ[ψ_w(t)] の統計量statistic 及びsignal-to-noise ratio(SNR)を表している。

＜3.2 パラメタ推定＞
仮説検定の原理は多重仮説検定にも応用できる。送信器からM 個の信号の一つが送信されたとして，受信器は観測時間(0, T) 中にM 個の信号のいずれであるかを決定する。即ち、仮説H_k,“信号s_k(t) が送信された．”の下で受信器入力は

である。ただし、ψ_k(t) はNB CEを表し、f_k はキャリアを表し、

はs_k(t) の位相を表し、n(t) はランダム雑音を表している。

受信器では、入力w(t) の測定値に基づいてM 個の仮説の一つを選択する。n 個の測定値w₁, . . . ,w_n に対しp_k(w) を仮説H_k の下でのp.d.f. ζ_k を、仮説H_k の事前確率とする。簡単のため、 ζ_k = M^-1 とすると、信号s_k(t) の直交性

を前提（ E_i はi 番目信号エネルギー）としたうえで、全てのk ≠ j に対しΛ_k(w) > Λ_j(w) のとき、受信器はH_k を選択する。

信号の未知パラメタをθ₁, . . . , θ_m とし，これらをm-次元パラメタ空間Θ中のベクトルθ = (θ₁, . . . , θ_m) で表す。レーダエコー信号は

と表される。ただし，Ae^iκ は減衰定数であり，A, t_d, f_c, κ, f_D は振幅，到着時間，キャリア周波数，位相，ドップラシフトである。エコー信号の未知パラメタはθ = (A, κ, t_d, f_D) となる。

であり、雑音がスペクトル密度N₀ を有する白色であるとき、 LLF[非特許文献18, p.251] は

である。変数変換

（ここで、

は虚部を示す）により、θ′ = (t_d, f_D)を有するA, κ のmaximum likelihood estimate ML推定値(MLE)

が得られる。従って残りの未知パラメタθ′ のMLE は、

を最大化するパラメタ値を求めれば良い[非特許文献18, p.251]。故に、受信器は、θ′の推定に専念できる。MLE θ′は、ドップラシフト

に近接する値の集合の一つに対する信号

にマッチしたフィルタバンクを構成することで得られるかもしれない。ただし、W_D は最大のf_D である。しかしながら、並列のNB フィルタの構成で統計量を調べることは事実上不可能である。これが未知二変数問題を２個の未知一変数問題に分解した最大の理由である。

式(15) とそのFT を書き直すと

ただし，

はt_d, f_D を有するvon Neumann's TFSOを表し，

は設計すべきCE，位相（詳細は省略）であり、

は、基底帯域複素数値信号CEを参照周波数f_r で通過域信号にシフト（変調）した信号である。

(t_d, f_D) のTFP 上の正確な位置を把握するために，周期N のTD-phase code(PC) と周期N′ のFD-PC を用いて，TFP 上の2-次元格子

上の位置特定をしよう。ただし、T_c = T_s/N, F_c = F_s/N′, T_s,及びF_s はチップパルス間隔，チップ（サブ）キャリア周波数間隔，データ信号時間幅，及びデータ信号帯域幅である。(t_d, f_D) のパラメタ空間Θ′ をデータaddress

を有するNN′ 個の矩形領域

に分割し，仮説“θ′ は領域

中にある” をH_m,m′ で表す。

しかし、NN′個の仮説は、後述のように、TD 信号s_echo(t; A, κ, t_d, f_D) のf_D を推定するN′個の仮説、及びFD 信号S_echo(f; A, κ, t_d, f_D) のt_d を推定するN個の仮説に分解できる。

信号s_k(t; θ′) が互いに直交する前提で、式(14) の仮説H_k 中のCE ψ_k(t) と位相

を有するk 番目のNBエコー信号

を考えよう。雑音がスペクトル密度N₀ を持つ白色ガウスとすると，そのLLF
は[非特許文献18, p.129,p.251]

となる。
或る決定レベルr₀ に対し

を満たす整数をk = k₀ とすれば、 受信器は、k 番目の信号が届いたと判定し、全てのg_k がr₀ 以下ならば、受信器は、信号は無いと判定する。これはML 受信器である。故に、直交信号の設計が重要である。式(18) は|g_k(θ′)|を最大化する方法（一つは被積分関数の最大化，他はキャリアの位相e^iκ 及び信号の位相

を補償する）を示している。しかし、通常、位相因子は、

の再定義により吸収される。更に、通常は、g_k(θ′) ではなく|g_k(θ′)| を単純に評価する。このような方法は、位相情報を消去することになる。Woodward[非特許文献15]は、Ville[非特許文献14]のambiguity function(AF)と呼ばれる２次元のCCF

をレーダ解析に用いた。時間・周波数シフトした関数のWHG-based の非可換的かつ群論的性質は式(9) の位相関数に現れている。更に、
[symmetrical TFSOの性質3]:
TD 信号z(t) とその

に対し、TD とFD の時間・周波数シフトした関数間の内積inner product IP は、

である。ただし、

は、r(t) とs(t)間のTD-IPを表しており，

は、

と

間のFD-IPを表している。

式(19) は，i)TD-,FD-IP の実部はt₂ = t₁とf₂ = f₁ のときに最大になり、そのとき、AF の最大値も達成される。ii)IP の左右の項を送信・受信信号と見なせば，送信信号の非可換性由来のPD は，良く設計された受信器のPD で補償できることを意味している。式(19) は，変調信号の位相が、電気工学の交流の電圧，電流の“phasor”[非特許文献18] のように重要であることと、二つの量t_d, f_D が常にPD に現れることを示唆している。これはTDのmatched filter 依存の通常法とは異なり、WHGを基礎とするTDとFD での(t_d, f_D)-推定法を実現するための大きなステップであり、本明細書の重要な根幹部分である。TD,FDで追跡容易な位相項を有する信号を設計することにより、送信・受信器のいずれでも位相は有効利用可能となる。

Gabor[非特許文献1] は、TFP 上の信号解析と時間と周波数の不確定性関係下限を達成するガウス関数の重要性を指摘し、次の関数f の時間・周波数表現を与えた。

Gabor のガウス関数g_m,n(t) の集合は，TFP 上で信号を局在化する性質を有する。しかしながら、この基底は直交しないし，frame[非特許文献7] でもない。また、多くの通信研究者は、ナイキスト条件を満たさないガウス関数を用いない。しかし、本明細書の(t_d, f_D)-推定法では、ガウス関数の数々の良好な性質が重要な役割を果たす。

＜４． TD-, FD-signature とtemplate＞
TD-PC(phase cod)， 即ちspreading spectrum：スペクトラム拡散[非特許文献3] は、code-division multiple access (CDMA) を実現する。CE

がTFSP を満たすように，そのFTΨ(f) も位相変調する。なお、送信信号s(t)は、独立なパルス符号c(t) で伝送信号m(t)を変調，s(t) = m(t)c(t) とする。各ユーザは信号が直交するような符号が割り当てられることで広い周波数帯帯域の同時使用を可能とする。

以下では、

によって表される連続時間信号の代りに

によって表される離散時間信号を考察する。TD信号s(t) をΔt の間隔で標本化し、 離散FD 信号は、L-点の離散フーリエ変換(DFT) で定義する。即ち、FD の隣接するbin の周波数間隔は、Δf = 1/(LΔt)である。

（分数

の切り上げ）
と

（分数

の切り上げ）
との離散変数、及び、チップパルスの直交性のため

とし

と置くとL-点twiddle factor

が定まる。

以下に、７種類の離散時間，離散周波数信号を定義する。

ただし、X = (X₀, . . . ,X_N-1) ∈ {-1, 1}^N は、周期N のTD-PCであり、X′ = (X′0, . . . ,X′_N′-1) ∈ {-1, 1}^N′は、周期N′のFD-PC であり、χ = (X,X′)である。

support[-LΔt/2,LΔt/2]（即ち，時間幅LΔt）を有する連続時間チップパルスg(t)に対して，遅延(D/2)Δt,D = L - 1, L = (ΔtΔf)^-1 = MM′ を有する[非特許文献10]、因果的離散時間のLΔt-時間制限(time-limited:TL) チップパルスg[k]

が得られる。

また、support [-LΔf/2,LΔf/2]、即ち、帯域幅LΔf を有する、離散周波数のLΔf-帯域制限(band-limited:BL) チップパルスG[l]は、g[k] のDFT

により得られる。なお、チップパルスg[k]（又はG[l]）のパルス間隔T_c = MΔt（又はF_c = M′Δf）に対し、そのsupport 時間幅LΔt(又は帯域幅LΔf) 中に左右両側からM′/2(又はM/2) 個のチップパルスの干渉を受ける。guard interval を用いないので，これは、慣用法と最も異なる点である。

次式で定義される離散時間TD-signature v[k;χ] とそのFD-signature

には、次式のtype-3の
TD-template

とtype-4のFD-template

が埋め込まれている。ただし、

と

は、式(4) のvon Neumann のTD とFD のTFSO の離散版であり、

である。

TD-signature v[k;χ] は、N′個のTD-templates

を含み、一方、FD-signature

は、N 個のFD-templates

を含むので、PC の利用により、signatureと埋め込まれたtemplateとの間のCCF は大きな値を持つ。TD-template

はTFP 上でT_s × LΔf の矩形support を有し、FD-template

は、LΔt × F_s の矩形support を有する。TFSO の連鎖

(又は

) を式(22) に適用すると、TD-signature とFD-signature

が完全対称であることが判る。

とキャリア周波数

を有するレーダTD-信号s[k;χ] とそのFT のFD-信号S[l;χ] は、

と求まる。

レーダTD-信号のCE とそのDFT

により、TD-, FD-信号

が設計できる。これは、時間幅T_s =NMΔt，キャリア間隔F_s = N′M′Δf のsignatures

（又は、

）を無重畳に、PP′ 個重ね合わせた2-次元系列である。ただし，

は，TFP上の格子

上のデータaddress

を有するデータシンボルである。即ち，レーダシステムでは、事前にはその範囲が判らない遅延t_d ∈ (0, PT_s) とDoppler

を探索するために、PT_s × P′F_s の時間幅・帯域幅を用意する。一方で、データ通信ではP ・ P′ 個の

、即ち、

を送信する。
ここで、

を有する通信路を介して信号s[k;χ] を送信したと仮定する。このとき、

で得られる受信TD-信号は

と表現される。ただし、

は受信信号の信号成分のCEであり、η[k],及びξ[k] は干渉成分，及びGauss 雑音である。FD-信号及びDFT

の詳細は省略した。非可換の変・復調に伴うPD

は、e^iκ の再定義により吸収させることもできるが、後述のように，相関受信器で補償されるべきである。このようなTD,FD 受信信号は、受信器での観測値wとそのDFT Wを与える。

独立同分布(i.i.d.) のTD-, FD-PC は，M-種検定法で必要な独立なN′ 個のTD-templates

及びN 個のFD-templates

を生成する。PCには二つの機能（信号の乱雑化及びTFSO由来のPD発生）がある。幸いに、PD自身は送信信号に追跡容易性を付与するという意味で、パラメタ推定のための良い目印となる。これはPC導入の功罪を示している。実際、位相変調システムの帯域幅は古典的レーダシステムのそれよりN 倍大きくなり，またmulti-carrier化，即ちFD-PC は、sub-carriers 数N′倍の帯域幅を更に必要とする。

＜５． M 種仮説検定によるTD-, FD-信号検出と推定＞
漸く，式(27) のCE

（又は、

）を有する式(26) のレーダ信号

（又は、

）を検出する、M-種仮説検定を適用する準備が整った。受信器が式(17) に関連付けられたNN′ 個の仮説H_mm′ を選択する戦略を考えよう。それは、TD (又はFD) のLLF(又はその関連のCCF) を最大化するパラメタθ′^,d を見つければ十分である。最初に，TFP の格子

上のaddress

を有する，受信TD-template CE

の検出問題から考える。ただし，

であり、

は、chip address ρ′のFD-PC TD-template((22) 参照)であり、

は、k_d の推定整数値であり、

は

を推定する制御用整数値である。このCEは式(27)（式(28)の

参照）の推定受信CE

中に埋め込まれている(図3a-1 参照)。 ただし、関係式

を用いた。式(29) は、次章で示すようにCE が種々のPD 由来の意味のある位相を含むことを示す。

と相補的CE

を、

と表す。式(22)と式(27) から、N′個のTD-template

が利用可能なので、受信器は、N′個のCE

を用いてN′個のLLF 中でいずれが最大であるかを決定する(図3b 参照)。

i) TD の離散時間信号検出及びDoppler-shift-ML 推定問題:
N_T 個の確率変数w = (w[0], . . . ,w[N_T - 1]) に基づいて受信器は二つの仮説

を選択する。ただし，

は時刻k の観測値

のNB CEであり、

はガウス雑音

のNB CEであり、

は、観測時間(0, T) のサンプル数である。仮説H₁ の信号成分は

と等しい。N′ 個のCE

は等エネルギであり、

の意味で擬似的直交であることを前提として次の結果を得る。

命題4:
スペクトル密度N₀ のガウス雑音下の観測値w = (w[0], . . . ,w[N_T-1])に基づく

の検出・推定の

番目の対数尤度は[非特許文献18]

である。ただし，

である。

或る決定レベルr₀に対し、次式を満たす整数値を

とする。

ただし、

は、式(31)における

の、式(16) におけるAe^-iκ のMLE

による補償版である。このとき、受信器はTFP 上の格子

上のaddress

のCEが届いたと判定し、もし、全ての

がr₀ 以下のとき、受信器は、信号は無いと判定する。故に

は与えられた

の下での

のMLE である。なお，

は、TFSO

に伴う位相関数である。

次に、観測値w の DFT

に基づいて、FDにおける信号検出・遅延推定問題に移る。格子

上のaddress

を有する受信FD-template CE

の検出問題を考える。但し

であり

は、chip address ρ のTD phase-coded FD-template((22)参照)である。このCEは式(27)のDFT

の受信FD-CE

中に埋め込まれている(図3a-2 参照)。但し

は

の推定整数値であり、k_σ はk_dの推定制御用整数値であり、関係式

を用いた。

と相補的集合

を、

と表す。

式(22)と式(27) からN 個のFD-templates

が利用可能なので、受信器はN 個のFD-CE

を用いて、N 個のLLF の何れが最大であるかを決定すれば良い(図3b 参照)。

ii) FDでの信号検出及び遅延-ML推定問題:
観測値W = (W[0], . . . ,W[N_T - 1]) に基づいて、受信器はFD で以下の二つの仮説

を選択する。但し

は、NB CE

を持つ観測値w[k] のDFTであり、

は、NB CE

を持つ雑音n[k] のDFTであり、

は帯域幅B 中のサンプル数であり、簡単のためN_B = N_Tとする。

は。(33) のCE

を有する

番目のtemplateの信号スペクトルであり、

は、式(34) のCE

を有する相補信号スペクトルである。仮説H′₁ の信号成分は、

と等しい。N 個のCE

が等エネルギであり、

の意味で擬似的直交であることを前提として、次の結果を得る。

命題5:
スペクトル密度N₀ の白色ガウス雑音中の観測値

に基づいて、

を検出及び推定する

番目の対数尤度関数LLF は

と表される。
但し、

であり、或る決定レベルr′₀ に対し、ρ = ρ₀ と

を、次式を満たす整数とする。

このとき、受信器は、TFPの格子

上のaddress

の信号が到着したと判定し，全ての

がr′₀ 以下ならば、受信器は、信号は無いと判定する。

は、与えられた

の下でのk_d のMLEである。なお、

は、TFSO

による，

のFD 版の位相関数である。

＜６． パラメタ推定用TD-, FD-CCF＞
＜6.1 TD-, FD-CCF＞
観測値

はNBであり、そのCE

の実部及び虚部は別々に測定できると仮定する[非特許文献18, 3]。信号

（又は、

）を検出するため、及び、式(31) の

を有する

（又は、式(36)の

を持つ

）の代りに時間・周波数対称な統計量を得るために、以下で定義される、各々関連付けられたCCF を用いる(図3b 参照)。

Lemma 1: 式(30) の二つの仮説H₀,H₁ のCE

はガウス雑音である仮定すると、CCF

が成立する。但し< ・, ・ >_d,k は、離散時間関数の空間

におけるinner product(IP)である。故に、（受信器入力CE

の代りに）減衰定数

を持つ受信CE

(即ち式(28) の受信CE

の信号成分) と、式(29)のaddress

における推定TD-template CE

の複素インパルス応答のNB matched filter との間のCCF（type-3 の相関器と呼ぶ）を、

で定義する。ここで、式(29) の符号X′_ρ′ ,X の代りに、Y ′_ρ′ ,Y を有する

を用いた。

少し計算すると，このCCF は

と表されることが分かる。

残念ながら、AF θ_gg(τ, ν),Θ_GG(ν,-τ ) は、一般的に多数のサイドローブsidelobeを有する。しかし、ガウスチップパルスg(t)は、そのAFのτ, ν に関する変数分離性と指数関数的減衰特性

により、推定問題の革新的な解答を与える。ここで、

である。

が大きな値を持つためには、N,N′ ≫ 1 の場合、θ_gg[・, ・] の第一及び第二変数はいずれも小さくなければならない。即ち、式(39) の

の項は全て無視可能である。ガウス関数のこの性質が、

を最大化するl_μ の決定に中心的役割を果たす。

twiddle factor W のべき数のPDと関連するPCの三重和を評価するために、IDFT-型和

を角括弧

と丸括弧(a)_m′（便利な記法(a)_m′ = W^-am′で定義する）の対で記号的に表示し、DFT-型和

も

の対で記号的に表示し、記号

を用いると、
Lemma 2: type-3 の受信器のaddressが、

であり、Y = X,Y′ = X′であるならば、CCFは、

と表される。

故に、

が大きな値を持つためには

が成立する必要がある。但し式(39)の２番目のtwiddle factor の６個の項中の５個を並べ替え、

残りの一つを１番目のtwiddle factor に移動した。一方、FD では、
Lemma 3: 式(35) の二つの仮説H′₀,H′₁ の

はガウス雑音であるとすると、CCF

が成立する。但し、< ・, ・ >_d,l は離散周波数のFD-関数の空間

のIP である。

（FD-CE

の代りに）減衰定数

を有する受信FD-CE

、 即ち受信CE

の信号成分のFT と、式(33)のaddress

における推定FD-template CE

のNB matched filter の複素インパルス応答とのCCF（type-4 の相関器と呼称）を、

で定義する。このCCF は、

と表される。同様に、

が大きな値を持つために

と仮定できるので、N,N′ ≫ 1のとき、式(44) の

の全ての項は無視できる。twiddle factor の三つの項は纏められ、PC の３重和を評価すると、
Lemma 4: type-4 の相関受信器がaddress

を有し、Y = X,Y′ = X′ であれば、CCFは、

と表される。故に

が大きな値を持つためには，

でなければならない。但し、式(44) の２番目のtwiddle factor の６個の項目中の５個を並べ替え、

残りの一つを式(44)の１番目のtwiddle factor に移して、ガウス関数の変数分離性を利用すると(45) が得られる。式(41)及び(45)は、

と

が

に関して完全対称であることを示している。

及び、

の組（complementary pair(CP)[非特許文献27] と呼ぶ) のTD-PC とFD-PCの役割を入れ替えると

と

の組（original pair(OP)[非特許文献24,30] と呼ぶ）が以下の通りに得られる。

[OP のTD-,FD-CCF:]
v[k;χ] 及び

は別の分解

が可能である。但しTD-template

及びFD-template

は、

である。

を次式で定義される、格子

上のaddress

を有するTD-template

を有する推定受信TD-CE

とすると、type-1 相関器と呼ばれるCCF

が得られ、

と表される。Y = X,Y′ = X′ と置いて、

の項を除く全ての

の項は無視できるので

が得られる。

但し、式(51) の第二のtwiddle factor の６個の項目中の５個の項目を並べ替えて

とし、残りの一つを第一のtwiddle factor に移して、ガウス関数のAF の変数分離性を用いると式(52) が得られる。

次に、

を次式で定義される、格子

上のaddress

のFD-template

を有する推定受信FD-CE を、

とすると、type-2 相関器と呼ぶ関連のFD 相関器

が得られ、

が得られる。Y = X,Y′ = X′として、

を満たす

を除いて全ての項を無視すると、

が得られる。ただし、式(56)の第二のtwiddle factor の６個の項目中の５個を並べ替えて

残りの一つを第一のtwiddle factor に移すと式(57) が得られる。

＜6.2 PULとvon NeumannのAPT＞
もし，Lemma 2 の

やLemma 4 の

に関し、chip pulseの時間幅LΔt や帯域幅LΔf の精度で二つの正確な推定値

が得られるならば、二つのCCF

は，

に各々含まれている干渉成分

をfilter 除去し、慣用の尖鋭なfilter を用いる事なく

を復元することができる。これは従来の通信で用いられているデジタル信号処理とは根本的に異なる。二組の相関器の推定値

を更新する簡単な方法がPhase-Updating Loop(PUL) と呼ぶ以下の手続きであり，従来の通信の同期の慣用の“Phase-Locked Loop”とは全く異なる。

[減衰定数のMLE の更新付きPUL のアルゴリズム]:

及び

を各々type-3 及びtype-4 の相関器アレイのCom-plementary Pair(CP) とし、

及び

を、各々type-1 及びtype-2 の相関器アレイのOriginal Pair(OP) とする。簡単のためPUL のアルゴリズムが収束するまで、

と置く。パラメタθ′ = (t_d, f_D) のs-step の離散化推定値

及び式(16) の

の代わりに、各々

を用いた減衰定数

のs-step のMLE

を

と定義する。整数値のペア

の更新は、

で定まる。

を各々

とする。但し、初期値

は、自由に選択可能である。例えば、

に設定することができる。chip pulse g[k],及びG[l] の時間幅LΔt，及び帯域幅LΔf に対し、もし

が成立したとき、 (s + 1)-ステップは終了する。 得られる推定値は，MLEとなり、両相関器は、ML 受信器となる。

歪のある信号の復元問題は、信号処理の重要な一分野である。Youla[非特許文献22] は、復元問題の解答を与えた。Youla の方法や記法を用いることで、PUL アルゴリズムの収束が如何にvon Neumann のAPT[非特許文献21] に依存しているかが判る。

内積(inner product IP)

(又は

)、及びノルム

(又は

)を有する、２乗可加算の連続な離散時間関数（又は離散周波数関数）からなるヒルベルト空間

を考えよう。ε を

における任意の閉多様体closed linear manifold(CLM) とする。射影定理[非特許文献22] により、ε′ 及びε′′ を互いに直交する

の部分空間とすると、任意のf ∈ ε は、一意的な分解f = g + h, g ∈ ε′, h ∈ ε′′ を有する。但し、g, h は、f のε′, ε′′ の上への射影のことを指し、g = Pf, h = Qf と表記する。P はε′ の上への射影演算子projection operator(PO)であり、Q = I - P は、ε′′ の上へのPOであり，I は恒等演算子である。

ε₁（又はε₃）をLΔt-（又はT_s-) 時間制限Time limited(TL) の信号である

の全てからなる集合とする。一方，LΔf-(又はF_s-) 帯域制限band limited(BL) の信号である

の全てからなる集合を、ε₂（又はε₄) とする。

はCLM[非特許文献22] となる。

P_i を

の上へ射影する射影演算子とし、Q_i = I - P_i を、ε_i の直交補空間

の上へ射影する射影演算子とする。CCF は、以下の意味でPO の役割を果たす。即ち、任意の信号r 及びs に対し信号r ∈ ε は、一意的分解

を有する。但し、

は、s の直交空間である。相関係数

は、r をε′ の上へ射影する射影演算子と見なせる。

type-3, type-4 の相関器のペアCP(Complementary pair) と、type-1, type-2 の相関器のペアOP(Original Pair) は、次式のように直交射影演算子PO となる。

但し、

は、各々

の直交補空間である。

Alternative Projection Theorem(APT)（図１１参照）を用いると以下の結果を得る。なお、APTによれば[非特許文献21, p.55,theorem 13.7]、E,Fを各々ヒルベルト空間のCLM ε,

の上への射影演算子とするとき、 演算子の系列E, FE,EFE, FEFE, . . .は極限G を持つ。また、系列F,EF, FEF, . . . も同じ極限G を持つ。更にG は

の上への射影演算子となる。(対称条件EF = FE は不要。)
[Theorem:PUL アルゴリズムの収束定理](図3c 参照):
式(60) のs-ステップの推定値

(又は(61)) を有する

及び、同じく式(60)のs-ステップの推定値

(又は(61)) を有する(ρ, k_σ) (又は(ρ′, k_σ)) に関して行うargmax-演算を考える。当該argmax-演算で定まる(s + 1)-ステップの最尤推定値を含むTD 及びFD の４個のPO を、簡略化した記号で

及び

と表記する。PUL アルゴリズムは収束する。

[証明]:
CPのPO対(T_s-TL-PO P₃,F_s-BL-PO P₄)（OPのPO対(LΔt-TL-PO P₁,LΔf-BL-PO P₂)）の適用順で二つの異なる再帰式が得られる。なお、TD-PC X とFD-PC X′、即ち添え字(3, 4) と(1, 2) を入れ替えればOP はCP と同じなのでCP の証明だけを与える。

先ず、

の復元アルゴリズムを与える。

とすると、

なので、

が得られ、

は演算子方程式

を満たすので、方程式

は、以下のTD の再帰式[非特許文献22, 23]

を与える。APT により

は、

のCLM ε_c =⊥ ε₃∩ε₄ の上へのPOとなる。ε_c は恒等的に零である関数しか含まないので[非特許文献22, p.699][非特許文献23, p.637]、

となる。これは，Youla[非特許文献22] の主要な結果の一つである。従って結合PO

は、格子空間

上のchip とデータaddress

のLΔt×LΔf の矩形領域（CE

のsupportと

のsupport の積集合：

)を抜き出し、TFP の残りをフィルタ除去する。但し、Δa,Δb,Δa′,Δb′は、Δa+Δb = M,Δa′+Δb′ = M′を満たす整数である。このようなPO対は，位相空間（又は時間・周波数空間TFP）の局所選択演算子localization operator[非特許文献7]と呼ばれる。CE ψ[k] が信号復元できるので、パラメタk_d 及び

は、LΔt,及びLΔf の精度で推定可能となる。通常の厳密なTL(又はBL) 演算子[非特許文献23]と異なり、TL-PO P₃(又はBL-PO P₄)は、N 個の位相変調したTD-ガウスチップパルスg[k] (又はN′ 個の位相変調したFD-ガウスチップパルス

)を時間周波数シフトし、guard interval を設けないで無重畳に重ね合わせた信号をtemplate として定義している。

逆に、FD では，Ψ ∈ ε₃ であれば、

及び

が成立する。即ち，Ψは演算子方程式[非特許文献23]

を満たすので、FD の再帰式

が得られる。APT により、

は，(Ψ₀ - Ψ)のCLM

の上へのPO となる。このCLMは零関数だけなので、lim_i→∞ Ψ_i = Ψである。

FD CE

が復元されるので、パラメタ

はLΔt,LΔfの精度で推定可能となる。

は、もう一つのlocalization operatorであり、格子空間

上のchip とdata addresses

のLΔt × LΔfの矩形領域（TD-CE

の矩形support とFD-CE

のそれとの積集合：

を取り出し，残りをフィルタ除去する。（証明了）。

＜７． Twinned FBMC＞
＜7.1 SFB:signature 送信器とレーダ信号送信器＞
式(25) のTD-signature v[k;χ] 及びFD-signature

を生成するmulticarrier filter bank(FBMC) を与える。周期N のTD-PC X_m を繰り返し用いることで、時間t の標本点-∞, . . . ,-T_c, 0, T_c, . . . ,∞ で無限系列を生成し，一方周期N′ のFD-PC X′_m′ を繰り返し用いることで，周波数f の標本点-∞, . . . ,- F_c, 0, F_c, . . . ,∞で無限系列を生成すると、
命題6:
式(25) のv[k;χ] 及び

は各々次式に書き直せる。

但し，

は，次式で定義される変調フィルタ

なお、Vaidyanathan[非特許文献13] は、入力x[k] 及び出力y[n] に対しfilter 係数h[・] を有する３種類のmulti-rate filter: 縮小率M_f の間引きdecimation filter:

、拡大率L_f の補間interpolation filter:

、及び、縮小率M_f/L_f のdecimation filter:

を定義した。

[証明] 式(25) のTD-signature v[k;χ] (又はFD

) は、N′(又はN) 個のsub-bands 及び拡大率M(又はM′) を有し，各m′th sub-band(又はmth sub-band)が、FD-PC X′_m′ (又はTD-PC X_m) で位相変調されたsynthesis filter bank (SFB)[10, 12] の出力で得られる信号と見なせる。 実際，

が入力信号，

が該当SFB の(m,m′)th sub-band filter ならば、出力

は式(67) になる。（証明了）。

なお，記号lcm[M,N′] = M₀N′ = MN′₀, lcm[M′,N] = M′₀N = M′N₀ を用いると（非特許文献[13],[10],[11]）、 M₀N′,M′₀N 個のpolyphase component

の導入により，各々polyphase filter(Vaidyanathan [13] のType 1 polyphase)

が定義される。なお、lm = lcm[M,N′], g_d = gcd[M,N′] に対して、lm = MN′₀ = N′M₀ を満たす各々N′₀,M₀が存在し、一方、恒等式l_m ・ g_d = M ・ N′ からM = g_d ・M₀,N′ = g_dN′₀ が成立する。

従って、２次元のTD-,FD-PC で位相変調された図4及び図5に示したsignature v[k], V [l] のSFB が得られる。

なお、図４は、TD-,FD-PCs X_m,X′_m′ 及びm′-番目のTD template

を有する式(25),(67) のTD signature v[k] を生成するSynthesys Filter Bank(SFB)を示している。

また、図５は、TD-,FD-PCs X_m,X′_m′ 及びm′-番目のTD template

を有する式(25),(67) のFD signature

を生成するSFBを示している。

一方、式(27) は、

及び

を生成するSFB を与える。

命題7:
CE ψ[k;χ] 及び

は次式のように記述できる。

但し、

は次式で定義される変調フィルタである。

[証明] 式(71) は以下を意味する。

（又は、

）が入力信号であり、

（又は、

）が、該当SFB の(q, q′))th sub-band のフィルタであれば、

(又はFD-CE

) は、PP′ 個のsub-bands を有し、且つ、各sub-band で拡大率NM(又はN′M′) のSFB の出力である。

従って、図6，7 の情報データが埋め込まれた送信信号のSFB が得られる。通常のSFBでは図4，5 のsignature 生成過程がない。図6，7 でN = N′ = 1 の場合が、通常のSFB に対応する。なお、データ伝送のmodulated filter(MF) 特性

を用いると、各々polyphase filter(Vaidyanathan[非特許文献13]のType 1 polyphase)

が定義される。ただし、P′₀, P₀ は、P′₀MN = lcm[P′,MN], P₀MN = lcm[P,MN]を満たす整数である。（証明了）。

なお、図６は、複素数値データ

を入力信号とする式(27) のTD-Complex Envelope(TD-CE)

を生成するSFBを示している。

また、図７は、複素数値データ

を入力信号とする式(27) のFD-Complex Envelope(FD-CE)

を生成するSFBを示している。

＜7.2 AFB:受信器と復号器＞
減衰定数Ae^iκ の他に非可換な変復調のPD

を含む、式(28)の受信信号

（又は、そのFT

）（

と略記する）と式(29) の推定template TD-CE

(又は式(33) の推定template FD-CE

)との間のtype-3 (又はtype-4) CCF を各々

とする。但し、PD

（又は、

）は、r[k] (式(28),式(38)の

参照)(又は、

(式(28),式(43)の

参照)) の信号成分の変復調PD

の補償項である。

TD- (又はFD-) analysis filter bank(AFB)[非特許文献10, 12] が次のように得られる。

命題8:
type-3 とtype-4 のCCF は各々

である。但しD = L - 1であり，

は各々TD-,FD-AFB の変調フィルタ

である。なお、N = N′ = 1 の場合、通常のAFB [非特許文献10, 11] に相当し、P × P′個の

が伝送されると、

を推定するため相関器アレイのaddress

（p-番目の帯域，p′-番目の時間）の出力値を評価する。

[証明]: 該当AFB が各sub-band で縮小率NM (又はN′M′ ) のP 個のsub-band(又はP′ 個のsub-band) を有し，

番目（又は、

番目）のsub-band の入力信号が、式(75) (又は式(76))の位相変調受信TD-信号

(又はFD-信号

) であるとすれば、次の二つの事実：
(i) TD信号の対称性[非特許文献10]：

(式(21) 参照)；
(ii)TD 信号の対称性から受け継がれたFD 信号の性質

から、フィルタ係数

（又は、

）は、式(77) であることが言える。（証明了）。

また、式(77) のAFB のfilter 特性とP′₀MN, P₀M′N′ 個のpolyphase components

を用いると、各々N′,N 個のpolyphase filter (Vaidyanathan[非特許文献13] のType 2 polyphase)

が定義され、図8，9 のAFB が得られる。N = N′ = 1,N₀ = N′₀ = 1 の場合が通常のAFBに対応する。

TD-AFB(又はFD-AFB)の２値シンボルは，

（又は、

）の符号で定まる。但し

は、MLE 値

(式(59) 参照) を有する減衰定数Ae^iκ のMLEである。TD 及びFD に関して対称な図4〜図7 のSFB、及び、図8,9のTD-AFB，FD-AFB のペアを“twinned-FBMC”と呼ぶ。

なお、図８は、複素数値データ

復号のためのTD 相関器アレイを装備したAnalysis Filter Bank(AFB)を示している。

また、図９は、複素数値データ

復号のためのFD 相関器アレイを装備したAFBを示している。

なお、図８、図９における

及び

は、それぞれ、上述した

及び

に対応している。

PUL アルゴリズムを、図10 のようにTD-AFB 及びFD-AFB 間のインターフェースとして実装すると、得られた時変・適応型AFBは、レーダに対してはパラメタ推定器になり、他の通信システムに対しては、PULアルゴリズムの収束後同期器になる。更にこれは、データ通信システムに対しては複素CCF値

及び

に基づく

の復号器になる。なお，このFBMC の式(68)，式(72) 及び式(77) で定義されるフィルタは、全て多相フィルタ（Vaidyanathan のtype1-又はtype2-多相形[非特許文献13] と呼ばれる)で実現できるが、詳細は省略する。

なお、図１０の(a)はTD 相関器アレイを示しており、(c)は、FD 相関器アレイのAnalysis Filter Bank(AFB) を示しており、(b)は、von Neumann のAPT による両アレイの最尤推定値の交互更新を模式的に示している。

＜８． 時間，周波数シフトの非可換性を利用した通信の他の例＞
非可換性を利用した通信の典型例のレーダ問題では、通信路のdelay t_d，Doppler
shift f_D をパラメタとするTFSO

及び、受信器で必要なdelay，Doppler shift の推定値

を有するTFSO

の対に関し、各々の送信・受信TD,FD信号への事前のハーフシフトがt_d, f_D のパラメタ推定に有用である事を明らかにした。本節では非可換性を利用した通信の具体例を二、三取り上げる。

これまで簡単化のため単一ターゲットを議論した。複数個ターゲットへの拡張は容易である。例えば式(32),式(37) の決定レベルr₀, r′₀ を利用することでターゲット探索空間中の複数個ターゲットが検出可能となる。この他にも、
＜8.1 CDMTによる複数個ターゲット検出＞
例えば，ターゲット探索空間Θ′ = [0, T) × [0, F) を４分割：

し、各々の空間に、TD-,FD-PC:

を割り当てて、２次元PC

のチップaddress を

と表す。また、signature を

とする。但しχ⁽¹⁾,χ⁽²⁾,χ⁽³⁾,χ⁽⁴⁾ は

に対応する。レーダ送信信号のCEは

であり、多重target 検出用である。

N_path 個のdoubly dispersive chanel のdelay, Doppler, 減衰定数

の通信路を経た受信信号の信号成分は、

となる。一方、受信器では、式(29),式(33) のTD-,FD-CE

に、２次元PC χ（又は

）を代入し、式(38),式(43) のtype-3,type-4 のCCF

の

の可動範囲を、各々

（又は

）とする最尤推定でtarget 検索を行う。他の部分領域でのtarget 検索も同様である。これは、code division multiple access の考えに見習い２次元PC で多重target 検索を行うので、Code Division Multiple Target(CDMT) と呼ぶ。

N = N′ = 64,N_path = 4の数値シミュレーション結果では、PUL アルゴリズムを適用するとSNR 5dB以上で80% の確率で3,4 個のtarget 検出に成功している。

＜8.2 人工的な非可換シフトを埋め込むdelay-Doppler space Division multiplexing に基づく超高MPSK＞
PUL の収束証明で重要な役割を果たした、Hilbert 空間の部分空間、T_s-TL TD空間、及びF_s-BL FD 空間の各々の上への直交射影演算子P₃, P₄ で用いる式(38),式(43)のTD-, FD-CCF

は、非可換通信由来の各種TFSOの中で送・受信信号生成のTFSO 対

（又は、

）が本質であることを示している。何故なら、これらには未知数

と、最尤値

の探索用制御パラメタ

とのいずれかが含まれているからである。変・復調のTFSO

やデータ、チップaddress

をパラメタとするTFSO

は、これらのいずれとも無関係である。

一方、

で指定される、TD-,FD-CCF 対

の出力（式(41),(45)）には、各種PDを含む形で情報データ

が陽に現れる。このことは、

の位相項の人工的なパラメータとしてパラメタ値

（簡単のため減衰定数は

とする）が、上記の複数個target 検出法を用いれば利用可能であることを示している。上記を鑑み、本実施形態に係る送受信システムは、具体的には、送・受信信号のN_path 個のTFSO対及びTD-,FD-CCF 対

を用いる非可換通信であり、パラメタ値

を埋め込んだ送信信号のN_path 対のTD-,FD-template を利用する。この場合のPUL を送信信号に人工的に埋め込んだ非可換shift 量

を受信器で復元するという意味で、通常のPULと少し異なる。なお非特許文献[25, 30] では、transmitter,receiver間のパラメタ更新を“active PUL”と呼んだが、PUL は、収束証明の都合上transmitter での更新には適用できないので、本明細書では．transmitter に、既知の非可換shift量

を埋め込み、受信器（reciever）でそのshift 量を用いて最尤推定を行う。これは、通常のPUL の応用例である。

複数個の互いに独立な２次元PC を利用するCDMT は、

phase shift keying (PSK) データ

のデータ通信に有効である。N′,N 個のアレイ型TD-,FD-CCF の入力部分に各々位相補償項

を前置した、phase tuned layer(PTL)は、 TD-,FD-CCF対

の出力（式(41),(45)） の

を各々

に置き換える位相補償と、式(60)のPUL の最尤推定の演算

の二変数に代わり、PTL 用の変数

を追加した三変数の

に修正することとに相当する。これにより最尤推定の複素出力の位相揺らぎは平均零のガウス分布に似た分布に変わる。

本実施形態に係る送受信システムは、N = N′ = 16,

SNR 30dB で良好な数値シミュレーション結果を得ている。しかしながら、

の場合、分布のmain lobe の左右両側にside lobe が生じるので復号error の原因となる。このため、単純な位相補償を用いる限り、復号誤りの観点からは、

までとすることが好ましい。

続いて、本実施形態に係る送受信システムとして、

のデータ通信を行うためにdelay-Doppler のパラメタ空間Θ′ を

個に均等分割して、各々の部分空間に２次元PC

を割り当て、更に人工的なshift量

が、そのi 番目の部分空間の中心点近傍にあると見なすことで、8-PSK を基本単位とするTD-,FD-CCF のPTLの位相補償項を各々

とする、delay-Doppler space division muliplex(dDSDM)を実現する非可換通信を例示する。この場合、

に対するPTL 及びその最尤推定の四変数演算は各々

となる。従って、本実施形態に係る送受信システムは、合計

個のCCFを備えている。16, 32 個の２次元PCを用いた128PSK,256PSK の復号結果が得られている。しかしながら、これは本質的に位相W_Mの弁別精度を強いるもので、超高の

-PSKの符号化・復号化の改善につながらない。

以下では、同期を行いながら、超高の

-PSK
の符号化・復号化するシステム、及び、同期・測距兼用の

-ary PSK-符号化・復号化器について、図１２〜１７を参照して説明する。

まず、図１２は、

-PSK通信可能/高速・高精度測距可能な送信器（符号化器）の構成を示すブロック図である。

同期・測距の場合（図１２のSwitch1-1,1-2が上に接続されている状態）と

-PSKのデータ通信を行う場合（図１２のSwitch1-1,1-2が下に接続されている状態）とで、送信器及び受信部において、それぞれ切り替えを行う。入力のデータ

が

-PSKの場合（換言すればデータ通信有りの場合）、各図に示すswitchが下側の経路に切り替わる。

以下ではまず図１２の送信器のブロック図における各ブロックについて説明する。図１２において、左端の入力は、

であり、図１２に示すswitch1-1及びswitch1-2が上側に接続された状態の同期・測距のモードでは、送信器は、

を行う。一方、図１２に示すswitch1-1及びswitch1-2が下側に接続された状態（換言すればデータ通信有りの状態）では、送信器は、chip波形を入力として

を行う。次に「kの符号化器」のブロックでは0th-ACから、

th-ACが並列に配置され、その中間には複数の黒丸が

のように縦に配置されている。ここで、各黒丸は、各ＡＣを省略的に表現しているに過ぎない。

本実施形態に係る符号化器は、「kの符号化器」のブロックにおいて、jの値に応じて、「kの符号化器」のブロックにおける左右両側のswitch1-3及びswitch1-4を切り替え、その後、「kの符号化器」のブロックにおける下流側で

の変調を行い、

と符号化する。

その後、送信器が備えるswitch1-2の上下には各々送信

、各々送信

が得られる。本実施形態に係る符号化器では、更に

変調の後、

-MCを経て、noiseが加わり、

復調を経て、受信CEが得られる。

以上が図１２に示した各ブロックの説明である。

高次の

-PSKデータ

伝送は位相雑音の影響で位相

の弁別が困難なので、まずkの符号化器（図１２における下段右の実線で囲んだ部分）の中間のblockで

と符号化し、低次の

-PSKデータ

伝送を行う事を考える。一方

の伝送は、時間シフト、周波数シフトが正確に復元可能な本特許提案の同期・測距法を援用する。そのために時間遅れ・ドップラシフトのパラメタ平面Θを

個に均等排反分割した部分平面Θ⁽ⁱ⁾に２次元PC χ⁽ⁱ⁾を割り当てる（図１７参照）。chip波形を

による２次元BPSK変調とそれらを

多重化し、更に、この信号がΘ⁽ⁱ⁾の中心点に相当する時間シフト、周波数シフトの人工的通信路(Artificial Channel:AC)を通過したと想定する。このため、0th ACから

th ACの中からjに応じたACを選択し、その出力信号で

を

-PSK変調する。これが送信CEとなり、

変調を経て伝搬路(Main Channel:MC)の

-MCに送出される。

復調を経てnoiseが印加され受信CEとなる。

続いて、図１３に示す各ブロックを説明する。

図１３は、

-PSK通信可能であり、高速・高精度測距可能な受信同期器（復号化器）の構成を示すブロック図である。

図１３に示したswitch2-1が上側に接続された状態では、受信器は、

を行う。一方、switch2-1が下側に接続された状態（換言すればデータ通信有りの状態）では、まず、「kの復号化器」のブロックで

と復号化し、

された信号を左側のblockに入力する。そのblockは、0th-AC、

th-AC AC
が並列に配置され、その中間には複数の黒丸が

のように縦に配置されている。ここで、各黒丸は、各ＡＣを省略的に表現しているに過ぎない。

本実施形態に係る符号化器は、「kの復号化器」のブロックにおいて、

の値に応じて左右両側のswitch2-3及びswitch2-4を切り替え、その後、左側で

復調を行い、下段のblock CORに左端の受信CEと共に入力される。

但し、図１３における「COR」は、correlatorのことを指す。
図１３における「COR」の右側の大きなblockは、(ρ',ρ)選択による

,Ae^iκ-最尤推定及び

復元＆kの復号を行うブロックである。switch2-2が上側に接続された状態では、受信器は、

という処理を行い、switch2-2が下側に接続された状態（換言すればデータ通信有りの状態）では、受信器は、

という処理を行う。

以上が図１３に示した各ブロックの説明である。

受信CEを、chip波形の２次元PCχによる２次元BPSK復調を行う場合を考える。受信器においてswitch2-1が下側に接続された状態のデータ通信有のモードでは、chip波形をjの推定値

の２次元PC

による２次元BPSK復調して得られる信号を、0th-ACから

th-ACの中から選択した

th-ACに入力し、その出力信号で

を

-PSK復調する。最終段のパラメタ推定のblock（即ち「COR」の出力が入力されるブロック）では

に対して各々四変数

に関して演算argmaxを行い、PULによる

-最尤推定（PULの収束値は

）を行う。
ここで、最尤推定はswitch2-2が上側に接続された場合と下側に接続された場合とで共通であるが、switch2-2が上側に接続された状態では、復号器は、

の復元を行い、switch2-2が下側に接続された状態であるデータ通信有りのモードでは

-最尤推定値によるkの復号

を行う。なお、通常の同期・測距のモード（上のswitch状態）でもデータ

は低次の

-PSK変・復調は可能（例えば

）である。

続いて、図１４は、Main channel(MC)のdelay τ-Doppler shift ν空間上のCCF実部の大きさの分布例を模式的に示す図である。

同期・測距のモードでmain lobeは

に位置し、他のside lobeと区別化できる。なお、波線はbackground noiseを示す。

図１５は、ACがMain channel(MC)に重畳された場合のτ-ν空間上のCCF実部の大きさの分布例を模式的に示す図である。

MCの前に

-PSK信号の情報kの符号化で導入された三種のArtificial channel(AC)が縦続接続された場合のCCF実部の大きさの分布を示している。MCは

に位置したままであるが、ACが重畳された場合MC+AC0、MC+AC1、MC+AC2は各々

に位置する。時間シフト、周波数シフトの量は加法的になるがPDは群論的性質を伴って伝搬する。図１５のような分布図を得るためには、本明細書で明らかにしたようにPDの厳密評価と共にCCF実部の極大化を行う最尤推定でCCF実部の極大値を与える変数の数を増加させて正確に見積もる必要がある。なお、追加した変数j,j'の種類数は各々

である。

図１６は、余次元２の、非可換性を有するACのシフトのパラメタ空間を利用した信号のTFP分割を示す図である（パラメタ空間であるので「余次元」という表現を用いている）。

図１６では、信号(時間幅T_s,帯域幅F_s)の時間・周波数平面TFP Sの分割（Gabor分割）（S⁽⁰⁾,S⁽¹⁾,S⁽²⁾,S⁽³⁾）平面と直交する軸にACの非可換シフトの量

を示す目盛りを示している。

図１７も、余次元２の、非可換性を有するACのシフトのパラメタ空間を利用した信号のTFP分割を示す図である。

図１７のように、ACの非可換シフトの量に応じてTFPは各々AC0のTFP、AC1のTFP、AC2のTFP、AC3のTFPのようにshiftされる。なお、信号のSは

のMCのtarget spaceの単位平面

と同一視できる。即ち、targetがデータaddress

近傍のtarget spaceの部分平面[(p-1)T_s,pT_s)×[(p'-1)F_s,p'F_s) に存在する場合、adress

の特定が必要となるので、図１３の２種のCCF実部の最大化変数としていずれの場合も
（データ通信有り無しにかかわらず）

を取り上げている。

上述のように、図１２及び図１３の送受信器で上側及び下側のシステムが切り替えられる。

図１２及び図１３でswitch1-1、1-2、2-1、2-2が上側に接続されたシステムが特許文献６に開示されているシステムであり、これらのswitchが下側に接続されたシステムが、非可換AC-shift-符号化・復号化に基づく多重化方式である。

このように、図１２及び図１３では、従来のシステムとの差分、新規性が明らかな図である。

本実施形態に係る送受信システムでは、多値位相変調（

-ary PSK）

のデータ信号伝送では、上記送信信号に“情報k”を高効率に埋め込むために、整数

に対し、２次元位相偏移変調(BPSK)用の、周期NのTD位相変調符号(TD-PC)

と周期N'のFD位相変調符号(FD-PC)

の組を

組用意する。時間遅れ、ドップラシフトのパラメタ平面

及び、信号のTFP S = [0,T_s) × [0,F_s)を

個均等分割した部分平面を各々

とする。（T_s= NMΔt,F_s= N'M'Δfはデータシンボル

の時間、帯域幅、T_max,F_maxは検出すべき時間遅れ、ドップラシフトの最大値、T_s,F_sの整数倍P,P'とする。Δt,Δfは量子化幅。）次に情報kを

と分解して

とその余り

と符号化する。符号(j,j')伝送のために、第一に時間T_c= MΔt，帯域幅F_c= M'Δfのチップパルスを２次元PC X⁽ⁱ⁾で変調したTD-signature, FD-signatureを(T_s,F_s)レベルのシフトを施して

-signature-多重化する。第二にその多重化信号が部分パラメタ平面Θ^(j)の中心：

のシフトを有する人工的伝搬路(Artificial Channel:AC)を通過したと想定する。これを模擬するため、TD-,FD-signature信号に第四のシフト演算子

を作用させる。第三に、得られた信号で

-aryデータ信号

を変調する

。この信号をTFP上でシンボル

の(P/P')の無重畳重ね合わせた信号を送信TD-,FD-CEとする(図１２参照)。

-aryデータ通信のTD-信号のCEとそのDFTは、式(27)の代りに

と定まる。但し、

はTD-signatureとFD-signature

である（式（25）参照）。ここで、

は、図１６及び図１７に示す部分平面S⁽ⁱ⁾付随のチップアドレス(m,m')の可動範囲（Sのアドレスの対応部分）を表す。

であり、同期法や測距時のN,N'に比べ、データ通信では、信号の時間・周波数平面及びtarget平面をPC符号分割するので精度を得るために

倍必要である。図１２及び図１３を参照(データ通信有のスイッチ上下は、同期法や測距時、データ通信に対応する)のこと。

式(87)ではi番目の２次元PC X⁽ⁱ⁾で変調したsignatureν[k;χ⁽ⁱ⁾](or

)を

-（χ⁽ⁱ⁾＆ signature）-多重化した信号が

-aryデータ

のkの符号(j,j')対応のシフト

のACを通過しこれに

-aryデータ

の情報を担わせたCE

（又はDFT

）が新たな送信TD-CE(or FD-CE)である。但し、

は大きさ１の実数（図１２の送信器参照）。

受信システムではkの復号のため推定値

対応の推定符号

と対応のシフト

のACを模擬した、シフト演算子

を作用させ、更に推定

のPD補償をする（図１３の受信器参照）。具体的にはACのシフトを利用した、type-3,type-4の相関器は、式(38),(43)の代りに、二変数j,j'とそれに応じた最大化変数

が追加され、

上式２種の相関関数では、式(87)の送信CE信号で演算子

がパラメタ推定用の２次元PC演算子

と

の伝搬路(Main Channel:MC)の演算子

の間に挿入される（図１２参照）。一方受信側では式(89),(90)の

-ary PSKのための

種の

のACの推定AC演算子

(or

)が

の推定MC演算子

(or

)) と推定２次元PC演算子

) の間に挿入される（図１３参照）。

図１２及び図１３の

-PSK通信可能/高速・高精度測距可能な送受信器と符号復号化器は、時間遅れ・ドップラシフトの余次元２のパラメタ空間Θを排反分割したdelay-Doppler Space Division Multiplexing(dD-SDM)(非特許文献30、特許文献６)の実現例である。これは

-PSKのデータkの代りに符号

を伝送することとし、信号がΘ^(j)の中心の時間シフト

、周波数シフト

のACを通過したことで生じるPD検出（図１４、１５参照）でj,j'を復号する。受信側でjを検出するためには送信側で異なるiのPC χ⁽ⁱ⁾で２次元BPSKし、これらを

多重化し、これを

th-ACに入力しその出力信号で

の

-PSK復調を行う。

は

種あるので

個のACと２次元BPSKのPC

が必要である。受信側ではchip波のTFP上の四重の多重化で埋め込まれたtemplateの検出を行う。推定

th-ACの選択で、

の最尤推定を行う。

-PSK通信を

種の非可換シフトのAC挿入による多重化で高次の

-PSK通信を実現している。

このdD-SDMは、余次元２の、非可換シフトのパラメタ空間を利用した多重化通信方式である。これは、[0,T_s) × [0,T_s)のシンボル平面のTFP（target平面の単位部分平面と同一視）との直交軸がACの非可換シフト軸である、３次元化（ACのシフトで階層化）された時間・周波数空間(Time-Frequency Space:TFS)を有するので（図１６、図１７参照）、従来の信号のTFP分割のTDMA,FDMAとは異なる方式である。パラメタの高速・高精度推定を保証するAPT-basedのPULは根幹技術である。なお、非可換性シフトを有するACは各種伝搬線路で代替できるので、超高次のPSK通信が望まれる光通信への応用が期待される。

非特許文献30や特許文献６では、

の多重targets検出問題をCDMT(Code-Division Multiple Targets:CDMT)(非特許文献27)として捉え、N^path個の２次元PCと

のshift演算と二つの位相回転因子の積

による位相補償でtargets検出を行っている。これは実質的に微小な位相量

の弁別を強いる方法で、大きな

に対し位相雑音による復号誤差が生じ、限界があった。更に、

-MCの演算子

やその補償のshift

を用いることなく、

-aryの復号を行っているのでMCを通過した２重のshiftされた信号の多重targets検出問題ではなくパラメタ推定の収束の保証もなかった。これを解決するため、本明細書に係る発明では新たに２種の相関関数

を定義し、各種のshift演算子に基づいた正確なPD評価とその補償を行った。

式(89),(90)の２種の相関関数の式(87)の

(又は

)に含まれる

を復号するための受信部(図１２参照)に埋め込んだ

による、PD補償の計算は極めて煩雑である。しかし、詳細な計算過程は省略するが、高次の

-aryPSKの復号のための相関関数は、

種の２次元PC

を用いることで以下の変数の置換：

(受信側での置換：

に伴い、多数の位相項が発生し、更に相関関数実部を最大化する最尤推定パラメタが２変数

(or

)から４変数

(or

)へと拡張され（図１３参照。但し、

(or

）、式(39),(44)を一般化した形式で各々

ただし、

である。又

は信号部分平面

付随のチップアドレスn,n'の可動範囲、

である。式(91),(92)のambiguity function(AF)θ_gg[・],Θ_GG[・]は、g,Gがガウス関数の場合指数関数的減少関数であること及び、互いに排反なチップアドレス分割

や

が
Θ^(j)の中心であることから、AFの第一変数、第二変数が大きいデータアドレス
(p-q)MN₁,(p'-q')M'N₁'のp'≠q',p≠qの項やチップアドレス

の項は無視でき、p' = q',p = qや

の項だけが残り、

中の

が抽出され、

が特定される。これらがΘを排反分割し２次元PC χ⁽ⁱ⁾で変調した信号を

-多重化し、敢えて、PD発生源のACを

個並列化し、信号をその一つのACに通過させる最大の理由である。なお、

の特定は

-aryの位相補償

で達成される(図１２及び図１３参照)。

上記２種の相関関数は互いに独立な２次元PC

を用い、kの符号

とその推定符号

-依存の非可換シフトの

-ACのPDを利用した、PULに基づく最尤推定で、位相の最小弁別を

とする、位相雑音に耐性の復号法である。

-ary PSKのデータ通信を行う前に同期（同期捕捉、同期保持）や測距を確立しておくことは有効である。しかしながら、現実の通信では

のMCを介した通信を前提とする、上式の二つの相関関数が必要である。両関数は図１２及び図１３上スイッチ状態において同期捕捉・同期保持を行い、図１２及び図１３の下スイッチ状態において

-ary PSKの符号化・復号化を並行的に可能にする。即ち、上記２種の相関関数は、レーダに対しては時間遅れ・ドップラシフトの測距器として動作し、

-aryデータ無線通信（図１２及び図１３の下スイッチ状態）に対しては時間遅れ・ドップラシフトの同期器及び符号・復号器として動作する、振幅変調不要多値位相変調復調システムである。これは２次元PC

を秘密鍵とする無線の秘密通信システムの実現例或いは、秘密のデータ通信及び測距が可能な車載レーダ・データ通信システムを与える。

従来法と異なり、振幅に ”情報 ”を課さない理由は、(1)通信路の減衰定数Ae^iκの随時推定、(2)復号器の単純化等にある。正確なPD評価とその補償及びPD活用は、周波数資源有効利用の通信方式としての超高次の

-ary通信の実現を容易にする。なお、

個の２次元PCを用いるので

多重通信を行うことも可能である。

＜8.3 多次元非可換性を利用した信号処理＞
DaughmanはGabor関数

を2次元に拡張した[非特許文献33,34]。その前の準備としてHowe[非特許文献5]に従い，

に対し二つのシフト演算子

を導入する。但しν・tは内積を示す。続いて、

に対しscalar product

を導入すれば集合

は

上のユニタリ演算の群となり，

(Hを次数nのHeisenberg groupと呼ぶ)上での結合則

が成立する。また，

を導入しフーリエ変換^を用いれば、二つのHのユニタリ表現

間に

の関係が成立する（Howe('80))
Daughman[非特許文献35]は，次式の互いに同一形式の２次元空間領域（space domain:SD)の空間変数

のcomplex Gabor elementary function g(x)と２次元空間周波数領域（frequency domain:FD)の空間周波数

の2-D Fourier transform(FT)

[非特許文献35,36]

の2-D Gabor filter族を定義した。なおPは直流分が零となるような初期位相である。

は楕円型Gauusianを時計回りにθ回転させた

SD関数g(x)，FD関数

は，完全対称で各々のシフト量

の位置でピークとなる2-D Gaussian envelopeを含み，２次moment

間の不確定性関係[非特許文献35, 36]

を与える。（等式は式(97)の2-D Gabor filter族により達成される。）なお，

は変調，scaleパラメタと呼ばれる。

式(99)の条件下で最適な解像度を有する空間・空間周波数同時表現(画像表現は音声のspectrogramの４次元拡張版)が画像処理で重要である。

或る与えられた2-D信号I[x]（例えば256×256のpixcel上の画像,i.e.,(256)²=65536次元ベクトル空間のベクトル）の表現のために，I[x]を或る選択された2-Dベクトルの集合

の上への射影による最適表現を考える。[非特許文献35]これは線形和

との誤差エネルギ||I[x]-H[x]||²を最小化する展開係数

の決定に帰着される。Daughmanは，非直交系

に対する，a_iを求める勾配法がn×n(上の例でn=65536)の疎行列問題となりその実行は非現実的なので，neural networkに基づく方法を提案している。この他，画像のedge検出や特徴抽出等の画像解析に関する種々の方法が提案されている。[非特許文献37,38,39]
本特許では，(100)が空間・空間周波数シフト(x_0i,u_0i)を有する2D Gauss関数

による
2D Gabor展開であるので，前節の１次元の非可換演算に基づく信号処理法に倣い，SD表現(100)のFD表現を対称的に考察するため，I[x],H[x]の2-D Fourier transform

を利用して画像のSD-FD表現問題

を考える。画像をHilbert空間の部分空間ε,ε'の要素

と考え，誤差

の最小化を各々n組のSD,FDの直交射影演算子

による

の直和分解

で行う。template集合

の選択が重要である。例えば．

を各々(L₁Δx×L₂Δy)-空間制限のGauss関数や(L₁Δu×L₂Δv)-空間周波数帯域制限のGauss関数とすれば，

は，各々Hilbert空間の部分空間の上への直交射影(orthogonal projection:OP)である。両OPに２次元のvon NeumannのAPTが適用できる。両OPからAPTの交互射影である，それらの結合演算子localization operator

が誘導されるので

これらは，2×2次元のSD-FD空間中のpeak-address (x_0i,u_0i)の

の部分領域を抽出し他の領域の信号をfilter-outする。この信号再生法は，従来法と全く異なる，2次元非可換性を利用した信号処理である。但し，

である。

は

の直交空間である。なお，この場合，Howeのシフト演算子(93)と異なり，SD,FD信号

の対称性のため、ハーフシフト

を有する２次元のvon NeumannのSD,FDのsymmetrical space-space frequency shift operator : SFSO

を利用すると，2×2次元のSD-FD空間中のpeak-address (x_0i,u_0i)を有する2-D Gabor function

及びその

は

DFTを考えよう。空間座標

のsampling間隔を(M,N)，空間変数

のSD関数

に対し，空間周波数

のsampling間隔

の離散化空間周波数

のFD関数

は，SD関数

との間のtwiddle factor

を有する２次元DFT

の関係

で定まる。従ってSD関数

（又は，FD関数

）のsupportは

（又は，

）。SD空間のpeak-address x_0i間隔を(MxΔx,MyΔy)，FD空間のpeak-address u_0iのpeak間隔を

とし，正規化条件

を要請すると，

を得る。更に

のspace shift，frequency shiftも

と離散化すれば，von Neumannの離散TFSOの２次元版は，次式の２次元の対称な空間シフト・空間周波数シフト演算子symmetrical SFSO

として定義される．画像処理にはこれに基づく計算法が有効であろう。何故ならば(108)
の両シフト演算子によりハーフシフト

の位相項が各々SD,FD信号

に埋め込まれているので(102)の内積で

が有効に抽出されるからである。なお，時間変化のある画像解析は3次元非可換性を利用した信号処理の対象と考える事ができる。

＜9 本明細書に記載した発明の特徴＞
本明細書で構築した、時間遅れ，Doppler shift の高精度推定法は．非可換性を利用した多元通信システムの一例に過ぎない。これは、通信理論の開祖Gabor が1946年の論文[非特許文献1] に続く論文[非特許文献2] で、量子力学の二つの非可換作用素に注目し提唱した“非可換性を利用した多元通信”の一つの具体的例題と見なせる。

TFP 上で行う信号の重ね合わせに伴う，信号の時間及び周波数シフトの非可換性の理解が進んでいない現状において、非可換性を利用した通信システムの実現が望まれる。

本明細書で提案した時間，周波数シフトの非可換性を利用した通信システムは、少なくとも、次の観点を有する。

（観点１）
特許文献1及び参考文献[非特許文献26, 27, 30] で定義・導入した、時間周波数対称なシフト演算子symmetrical TFSO（式4,24) は、
(i) そのハーフシフトによりパラメタ推定で重要なシフト量をTD，FD のPD として顕在化する;
(ii) 非可換な変復調に伴うPD

発生は自明;
(iii) 非可換性に伴うPD 評価はtwiddle factor

のべき演算に帰着できるので，そのPD 補償法は，容易になる等の特徴を有する。

（観点２）
TD-,FD-PC 変調（２次元BPSK）は周知の通信技術であるが，時間，周波数シフトの演算の一種であると理解することにより，各々TD-,FDPC変調した広帯域送信信号には，PC によるPD がTD-,FD-templateとして埋め込まれる。

（観点３）
周波数資源の有効利用の常套手段である，TFP 上の信号の無重畳重ね合わせで用いる時間，周波数シフト演算は，データレベルのPD を誘発する。このPD はパラメタ推定に重要な要素である。

（観点４）
パラメタ推定のためのM 種検定法で必要なTD-,FD-template 検出のTD-,FD-尤度関数は、各々TD-,FD-CCF アレイを誘導する。TD-,FD-CCFは、Hilbert 空間の部分空間のTL-TD 空間，BL-FD 空間の上へのPO P₃, P₄(又はP₁, P₂) を定義し、APT の適用の枠組を与える。

（観点５）
APT の交互射影を表すPO 対の結合演算子

（又は、

）は、Nyquist 条件を満たさないとの理由により通信では用いられないGauss 関数のAFの変数分離性や指数関数的減衰特性により、TFPの特定部分を局所選択するlocalization operator となる。その結果。TD-,FD-CCF アレイは良質な受信器となる。

上記の各観点は、特許文献及び非特許文献の公表以降に明らかにした、新しい観点であり、本明細書に記載の発明のポイントは、以下のように表現することもできる。

（ポイント１）
時間・周波数対称な時間周波数シフト演算子symmetrical TFSO（式4,24）に基づいて、時間遅れと周波数シフトの二つの非可換性を利用した多重通信のためのTFP 上で行う非可換操作に伴うPD 評価法及びPD補償法のアルゴリズムとその理論的根拠を与えた。

（ポイント２）
TD,FD の尤度関数を構成することで最尤相関器による信号復元やパラメタ最尤推定を実現した。

（ポイント３）
古典的位相偏移変調(BPSK) は、その非可換性によるPD を誘発するが、当該PDはパラメタ推定や信号復元での重要な手掛かりになる。

（ポイント４）
通信の常套手段の，TFP 上での信号の無重畳重ね合わせや変復調に伴い発生する非可換のPD はデータレベルの信号検出に有効である。

（ポイント５）
これらのPD を全て補償するTD のCCF（又はFD のCCF）は、各々von Neumann のAPT のHilbert 空間の二つの不可欠な部分空間（時間制限空間，帯域制限空間）の上への直交射影演算子を定義する。

（ポイント６）
TD,FD の直交射影演算子の結合演算子がTFP 上での局所選択演算子となり慣用のDSP の尖鋭なフィルタの役割を果たす。

（ポイント７）
画像信号表現では2×2の空間・空間周波数平面(Space-Frequency plane:SFP)上の信号の分離性に優れた性質を有する２次元Gabor関数(97)によるGabor展開(100)が多用されている。しかし，従来の技術では、Gabor関数に内包する２次元の空間・周波数シフト演算子が１次元信号の非可換時間・周波数シフト演算子と同様，非可換のシフト由来の位相歪の発生に気付いていないようである。SD,FD信号を対称的に取り扱う画像の空間・空間周波数の同時表現問題(101)をHilbert空間のSD-領域制限関数やFD-帯域制限関数の上への直交射影演算子

による直和分解(102)で解き，SD,FDに関して対称な空間・周波数シフト演算子SFSO(105)による２次元Gabor関数(106)や離散版symmetrical SFSO (108)を定義し，localization operator(103)を誘導し，von NeumannのAPTに基づく画像表現や画像復元等の非可換性を利用した画像処理法の理論的枠組を与える。

＜＜送受信システムの構成例１＞＞
以下では、上述した理論的側面に則した送受信システムの第１の構成例について図面を参照して説明する。

図１８は、本構成例に係る送受信システム１の構成例を示すブロック図である。図１８に示すように、通信システム１は、送信装置１００、及び受信装置２００を備えている。送受信システム１は、レーダとして用いられてもよいし、レーダ以外の通信システム（例えば、主として音声データや画像データなどを送受信するデータ送受信システム）として用いられてもよい。

＜送信装置１００＞
送信装置１００は、上述の説明において、「送信器」の動作として記載されていた事項を実際に実行する装置である。

一例として、図１８に示すように、送信装置１００は、送信用データ取得部１０１、送信信号生成部１０２、及び送信部１０３を備えている。

（送信用データ取得部１０１）
送信用データ取得部１０１は、送信対象のデータを取得する。送受信システム１をデータ送受信システムとして用いる場合には、送信対象のデータは、例えば、音声データ、画像データ、及びテキストデータの少なくとも何れかをデジタルデータ化したものであってもよいし、その他のデータであってもよい。

また、送受信システム１をレーダとして用いる場合には、送信対象のデータは、レーダ用のパルス波であってもよい。

（送信信号生成部１０２）
送信信号生成部１０２は、送信用データ取得部１０１が取得した送信対象データに対して、送信信号生成処理を施すことによって、送信信号を生成する。

送信信号生成部１０２は、一例として、図４〜図７に示したＳＦＢの少なくとも何れかを備えて構成される。

送信信号生成処理の例としては、上述した周期N,N′のTD-,FD- phase code:PCを用いた変調処理、即ちTD-,FD-Binary phase-shift Keying:２次元BPSKなどが挙げられる。

送信信号生成部１０２が生成する送信信号としては、例えば、上述した

等が挙げられる。また、送信信号生成部１０２による具体的な処理として、＜４． TD-, FD-signature とtemplate＞において説明した各処理が挙げられる。

また、送信信号生成部１０２は、上述した＜7.1 SFB:signature 送信器とレーダ信号送信器＞において説明した各処理を実行する構成としてもよい。また、送信信号生成部１０２は、上述した＜8.2 人工的な非可換シフトを埋め込むdelay-Doppler space Division multiplexing に基づく超高MPSK＞において説明した各処理を実行する構成としてもよい。

（送信部１０３）
送信部１０３は、送信信号生成部１０２が生成した送信信号を送信する。

＜受信装置２００＞
受信装置２００は、上述の説明において、「受信器」の動作として記載されていた事項を実際に実行する装置である。

一例として、受信装置２００は、図１８に示すように、受信部２０１、シフト推定及び受信データ抽出部２０２、受信データ出力部２０３を備えている。

（受信部２０１）
受信部２０１は、送信装置１００が送信した信号を受信する。受信部２０１が受信する信号の例として、例えば、上述した

が挙げられる。

（シフト推定及び受信データ抽出部２０２）
シフト推定及び受信データ抽出部２０２（単に推定部とも呼ぶ）は、受信部２０１が受信した信号に対して、シフト推定処理を行うと共に、受信データを抽出する。

シフト推定及び受信データ抽出部２０２は、一例として、図８〜１０に示したＡＦＢの少なくとも何れかを備えて構成される。
シフト推定及び受信データ抽出部２０２は、例えば、上述した＜５． M 種仮説検定によるTD-, FD-信号検出と推定＞、及び＜６． パラメタ推定用TD-, FD-CCF＞において説明した各処理を行う。

また、シフト推定及び受信データ抽出部２０２は、上述した＜7.2 AFB:受信器と復号器＞において説明した各処理を実行する構成としてもよい。また、送信信号生成部１０２は、上述した＜8.2 人工的な非可換シフトを埋め込むdelay-Doppler space Division multiplexing に基づく超高MPSK＞において説明した各処理を実行する構成としてもよい。

従って、シフト推定及び受信データ抽出部２０２は、信号を受信する受信方法（図１３参照）であって、
余次元２を有する、非可換シフトのパラメタ空間（図１７参照）を参照して、受信信号が示す時間シフト及び周波数シフトを推定する推定ステップ（図１３、及び同図のswitch2-1,2-2の上下の接続に応じて各々式(38),(43)及び式(89),(90)参照）を実行する。

また、送信信号生成部１０２は、余次元２を有する、非可換シフトのパラメタ空間を参照して、送信対象の信号の時間及び周波数をシフトするシフトステップ（図１２、及び、同図のswitch1-1,1-2の上下の接続に応じて各々式(25),(27)及び式(88),(87)参照）を実行する。

また、上記余次元２を有する、非可換シフトのパラメタ空間は、時間を示す第１の軸及び周波数を示す第２の軸によって張られる平面を、時間及び周波数シフトを示す第３の軸によって３次元化して得られる空間（図１７参照）である。

なお、上述した

-MC自身もACと同様、余次元2のパラメタ平面であり、時間・周波数の信号平面TFP上に施されるshift演算に伴うパラメタ平面である。“shift平面”と時間tと周波数fのTFP（図１６参照）と区別する必要がある。信号の変数t,fに対して行われる４則演算、微分、積分等とは別に、位相に関わる非可換のshift演算（図１７の第三軸参照）を特別視した。

また、特許文献６〜８に関連して以下付言する。

a)変調・復調時の

(又はその離散版

)及び減衰定数Ae^iκのPD e^iκを全て取り込んで連立させる必要が有る。何故ならばシフトの群論的性質から各PDは独立でなく伝搬するので正確なPD補償にならない。時間シフト、及び周波数シフトの推定値の更新過程では、これらのPDの補償との連動(同時並行処理：式５９)に留意する必要がある。

b)本特許の時間シフト、周波数シフトは各々時間、周波数変数に対応する、余次元2のパラメタ空間の変数の呼称であり、これらの非可換シフト演算は位相関数（位相歪）を誘発する。一方、通信での時間オフセット及び周波数オフセットは周期や搬送周波数の“ずれ”である。

（1）特許文献７、８の推定された時間オフセット及び周波数オフセットや、特許文献７のOFDM方式の通信方式における時間、周波数オフセットは、各々パルス波形の時間幅や搬送周波数の揺らぎ、本特許の時間シフトt_d、周波数シフトf_Dに対応する。両特許文献は、t_d,f_D間の非可換性を無視しているので通常の同期捕捉・同期保持法として理解される。

（2）“意図的な”シフトとオフセットは混用し易いので、本明細書では、”オフセット ”ではなく、”指数関数肩部のハーフシフト ”（従来の非可換演算のシフトの半分）との表現を用いている。また、本明細書に記載の発明の一特徴は送信信号に ”事前のハーフシフトされた位相関数 ”を含む事や、非可換性を有する時間、周波数シフトの群論的性質を考慮した補償法であると表現できる。

c)特許文献８のチャネル推定のための受信されたプリアンブルは時間領域template信号であり、周波数領域信号には言及しておらず、非可換性に基づかない、通常のチャネル推定法である。

（1）特許文献６のPULアルゴリズムに対し、1) Hilbert空間である信号空間の部分空間として、各種のtemplateの属するヒルベルト空間ε_i,1≦i≦4を定義し、2)上記第１のN'個の相関関数(type3- or type1-CCF)がNMΔt(又はLΔt）-TL-TD関数のヒルベルト空間ε₃（又はε₁）の上への直交射影演算子P₃（又はP₁）であること及び上記第２のN個の相関関数(type4- or type2-CCF)がN'M'Δf(又はLΔf）-BL-FD関数のヒルベルト空間ε₄（又はε₂）の上への直交射影演算子P₄（又はP₂）であること、3) TFPで２次元template-matchingを行う、局所選択演算子LOの交代射影定理:Alternative Projection Theorem(APT)Operator:APTO P₃F^-1,dP₄F^d（又はP₄F^dP₃F^-1,d）による更新過程は、両ヒルベルト空間の合併集合内の関数に収束する(von NeumannのAPT:F^-1d,F^dはIDFT,DFT）、4)そのTL-TD関数及びBL-FD関数の合併集合は空集合、即ち零関数である（Youlaの定理）等を明らかにし、更に、PULは、相関関数の種類数N,N'の積N・N'ではなく和N+N'に比例する計算複雑度とガウスチップパルスの時間幅LΔt、帯域幅LΔfの精度の時間シフト、周波数シフトの推定値を与えることを証明した（L=(ΔtΔf)^-1= MM'）。

（2）特許文献８のチャネル推定のMMSEアルゴリズムは、Bayes則に基づく２パラメタ推定なので、計算複雑度は積(N・N')となる。一方本明細書での尤度関数は、Bayes則と関連があるが、時間シフト推定のN'個の尤度関数と周波数シフト推定のN個のそれからなり、各々TL-TD空間、BL-FD空間で交互に最尤推定を行うので計算複雑度は和(N+N')となり、文献３の方法と全く異なるパラメタ推定法である。

また、シフト推定及び受信データ抽出部２０２は、式(84)及び関連する記載を用いて説明したように、一例として、受信信号が示す時間シフト及び周波数シフトを推定する推定ステップ実行し、上記推定ステップは、
時間シフトの推定値、及び周波数シフトを表現する第１のシフト演算子

と、
時間シフト、及び周波数シフトの推定値を表現する第２のシフト演算子

と、
を用いて、上記受信信号が示す時間シフト及び周波数シフトを推定する。

上記推定ステップは、
時間シフトの推定値、周波数シフト、及び、推定時間シフトの半分のハーフシフトの位相項を表現する第一のシフト演算子

)と、
時間シフト、周波数シフトの推定値、及び、推定周波数シフトの半分のハーフシフトの位相項を表現する第二のシフト演算子

と、
推定対象の時間シフト及び推定対象の周波数シフトの観測値、及び、推定対象の時間シフトの半分のハーフシフトの位相項を表現する第三のシフト演算子（

又はその周波数双対

）と、
時間シフト、及び周波数シフトの推定値、及び、推定時間シフトの半分のハーフシフトの位相項を表現する第四のシフト演算子（

又はその周波数双対

）とを用いて、上記受信信号が示す時間シフト及び周波数シフトを推定する。

送信時間信号の位相関数には、時間に関する１又は複数のシフトパラメタのシフト量の半分のハーフシフトの位相量、及び、送信周波数信号の位相関数には周波数に関する１又は複数のシフトパラメタのシフト量の半分のハーフシフトの位相量を含んでいる。

上記のように構成された受信装置２００によれば、高効率の受信装置を実現することができる。一例として、受信装置２００をレーダー受信装置として構成した場合、高速な受信装置を実現することができる。

また、シフト推定及び受信データ抽出部２０２が実行する上記推定ステップでは、式(84)及び関連する記載を用いて説明したように、一例として、上記第１のシフト演算子を用いて表される第１の相関関数

、及び、上記第２のシフト演算子を用いて表される第２の相関関数

を参照して上記受信信号が示す時間シフト及び周波数シフトを推定する。

また、上述したように、上記第１の相関関数は、

と表現され、上記第２の相関関数は、

と表現される。

上記推定ステップでは、上記第１のシフト演算子、第３のシフト演算子、及び第４のシフト演算子を用いて表される第１の相関関数、

及び、
上記第２のシフト演算子、第３のシフト演算子、及び第４のシフト演算子を用いて表される第２の相関関数

を参照して上記受信信号が示す時間シフト及び周波数シフトを推定する。

このように、第１の相関関数（式(89)参照）、及び第２の相関関数（式(90)参照)は、変調周波数f_cの変調及び復調における、時間シフトt_dに伴う非可換演算による位相歪

又はその離散版

及び、伝送時の位相歪e^iκを含んでいる。

また、シフト推定及び受信データ抽出部２０２は、式(60)、式(61)及びそれに関連する記載を用いて説明したように、時間シフトの推定値、及び周波数シフトの推定値

又は、

の更新処理を、

で定まる

を各々

に設定することによって行う。

このように、シフト推定及び受信データ抽出部２０２が行う推定処理には、
第１の相関関数

（又は式(89)）を参照して、

を求め、その値を

に設定することにより周波数シフトの推定値を更新する工程と、
第２の相関関数

（又は式(90)）を参照して、

を求め、その値を

に設定することにより時間シフトの推定値を更新する工程と、
を交互に繰り返す交互更新ステップが含まれている。

また、上記推定ステップでは、上述したように、
Ｎ'個のTD-template信号検出の尤度関数による周波数シフト最尤推定と、
N個のFD-template信号検出の尤度関数による時間シフト最尤推定と
に基づいて、受信信号が示す時間シフト及び周波数シフトを推定する。

また、上記最尤推定において、
式(89)の相関関数

及び式(90)の相関関数

を参照する場合には、式(60)第一式右辺

及び第二式

の代わりに各々適用し、更に、argmax演算では、

についても
最尤推定の対象となる。

また、上記最尤推定において、受信装置は

通信でｋの符号化器の一部の

を通過した受信

の受信部である。

このように、本実施形態に係る受信装置は、信号を受信する受信装置であって、
余次元２を有する、非可換シフトのパラメタ空間を参照して、受信信号が示す時間シフト及び周波数シフトを推定する推定部を含んでいる。

また、上記最尤推定において、式(87)（又は(27)）の送信TD-CE,FD-CEでは（ここで図１２の送信器のswitch1-1,1-2の上下に応じて多重化のレベルが異なるので対応の式を引用した）、右辺の式(88)（又は(25)）のTD-signature,FD-signatureが多重化され、両signature自身もガウス関数やそのFD関数を２次元PCによる変調を用いた多重化で得られる。なお、

通信の送信TD-CE,FD-CEは式(87)で示すように、TD-signature,FD-signatureに互いに独立な２次元PCの集合

による多重化及びｋの符号

に応じた

のシフト対応のシフト演算

が作用している。

このように、本実施形態に係る送信方法は、信号を送信する送信方法であって、余次元２を有する、非可換シフトのパラメタ空間を参照して、送信対象の信号の時間及び周波数をシフトするシフトステップを含んでいる。

また、上記最尤推定において、

通信でのｋの符号化器の一部の

を通過した受信

と推定受信templateとの相関関数（式(89)）（右辺第一、第二項が各々送信信号、推定受信templateである）を用いる場合、式(87)-(90)中の和Σが意味する“多重化＝無重畳の重ね合わせ”は、各種のシフト演算子で模擬できる。図１２の送信信号の生成過程で、各種の多重化を行う。式(88),(87)では各々TD-,FD-チップパルスを周期

の２次元PC変調

による多重化でsignatureを生成し、得られたsignatureをデータレベルのシフトを用いたデータ多重化で送信TD-CE,FD-CEを定義している。なお、シフト無しの単純加算ではtemplate検出が不可能であるので、シフト演算子が不可欠であることやシフト演算に伴うPDはtenplate検出のために払うべき代償と同時に、正確なPD歪評価で手掛かりになることも自明であろう。又、式(89)の右辺に変復調に伴うPD

、kの符号

の

のPD補償が施されている。

このように、上記シフトステップでは、
時間パルス波形を周期Ｎの時間位相符号変調し、
上記時間位相符号変調した時間パルス波形を、更に、周期Ｎ'の周波数領域位相符号変調によりマルチキャリア化する
ことによって送信信号を生成する。

また、本実施形態に係る送信装置では、図１２のSwtich1-1,1-2で下に接続の状態で時間パルス波形を周期Ｎの時間位相符号変調し、上記時間位相符号変調した時間パルス波形を、更に、周期Ｎ'の周波数領域位相符号変調によりマルチキャリア化する等の各種の多重化を行った、データ多重化されたTD-signature,FD-signatureをkの符号

対応の

に通過させることで

が得られる。

また、図１３のSwitch2-1,2-2で下に接続の状態では、式(89),(90)の相関関数の実部の最大化は４変数

に関するargmax演算で行い、PULに基づく、

の交互更新による収束値で、

の復元やｋの復号を行う。

また、以下の各種構成によって規定される画像信号への拡張は、8.3節記載のように、空間、空間周波数シフト間の非可換性に伴うハーフシフトを利用した、１次元信号から２次元信号への自然な拡張である（式(102)-(108)参照）。

（画像信号への拡張構成１）
画像信号を受信する受信方法であって、
受信した画像信号が示す空間シフト及び空間周波数シフトを、パラメタ空間を参照して推定する推定ステップを含んでおり、
上記空間シフト及び空間周波数シフトのそれぞれは、２以上の次元を有している。

（画像信号への拡張構成２）
上記推定ステップでは、
２次元の対称な空間シフト及び空間周波数シフト演算子

及び

を参照して、空間シフト及び空間周波数シフトを推定する。

（画像信号への拡張構成３）
画像信号を送信する送信方法であって、
パラメタ空間を参照して、送信対象の画像信号の空間及び周波数をシフトするシフトステップを含んでおり、
上記空間のシフト及び上記周波数のシフトのそれぞれは、２以上の次元を有している。

（画像信号への拡張構成４）
上記シフトステップでは、
２次元の対称な空間シフト及び空間周波数シフト演算子

及び

を参照して、空間及び周波数をシフトする。

（受信データ出力部２０３）
受信データ出力部２０３は、シフト推定及び受信データ抽出部２０２が抽出した受信データを出力する。

＜送受信の流れ＞
図１９は、送受信システム１を用いたデータ送受信処理の流れを示すフローチャートである。

（Ｓ１０１）
まず、ステップＳ１０１において、送信用データ取得部１０１は、送信用データを取得する。送信用データ取得部１０１による具体的な処理は上述した通りである。

（Ｓ１０２）
続いて、ステップＳ１０２において、送信信号生成部１０２は、送信信号を生成する。送信信号生成部１０２による具体的な処理は上述した通りである。

（Ｓ１０３）
続いて、ステップＳ１０３において、送信部１０３は、送信信号を送信する。送信部１０３による具体的な処理は上述した通りである。

（Ｓ２０１）
続いて、ステップＳ２０１において、受信部２０１は、送信部１０３が送信した信号を受信する。受信部２０１による具体的な処理は上述した通りである。

（Ｓ２０２）
続いて、ステップＳ２０２において、シフト推定及び受信データ抽出部２０２は、シフト推定処理を行うと共に、受信データを抽出する。シフト推定及び受信データ抽出部２０２による具体的な処理は上述した通りである。

（Ｓ２０３）
続いて、ステップＳ２０３において、受信データ出力部２０３は、シフト推定及び受信データ抽出部２０２が抽出した受信データを出力する。受信データ出力部２０３による具体的な処理は上述した通りである。

＜＜通信システムの構成例２＞＞
以下では、上述した理論的側面に則した通信システムの第１の構成例について図面を参照して説明する。

図２０は、本構成例に係る送受信システム１ａの構成例を示すブロック図である。図２０に示すように、通信システム１ａは、送信装置１００ａ、及び受信装置２００ａを備えている。送受信システム１ａは、上述した送受信システム１と同様に、レーダとして用いられてもよいし、レーダ以外の通信システム（例えば、主として音声データや画像データなどを送受信するデータ送受信システム）として用いられてもよい。なお、すでに説明した部材には同じ符号を付し、その説明を省略する。

＜送信装置１００ａ＞
送信装置１００ａは、上述の説明において、「送信器」の動作として記載されていた事項を実際に実行する装置である。

一例として、図２０に示すように、送信装置１００ａは、送信用データ取得部１０１、送信信号生成部１０２ａ、及び送信部１０３を備えている。

（送信信号生成部１０２ａ）
送信信号生成部１０２ａは、構成例１に係る送信信号生成部１０２が備える構成に加え、更に、シフト埋め込み部１１０を備えている。

シフト埋め込み部１１０は、式（８４）の直後で言及したように、パラメタ値

を埋め込んだ送信信号を生成する。

従って、送信信号生成部１０２ａは、時間に関する１又は複数のシフトパラメータ、及び、周波数に関する１又は複数のシフトパラメータ

を用いて、送信対象の信号の時間及び周波数をシフトする。

＜受信装置２００ａ＞
受信装置２００ａは、上述の説明において、「受信器」の動作として記載されていた事項を実際に実行する装置である。

一例として、受信装置２００ａは、図２０に示すように、受信部２０１、シフト推定及び受信データ抽出部２０２ａ、受信データ出力部２０３を備えている。

（シフト推定及び受信データ抽出部２０２ａ）
シフト推定及び受信データ抽出部２０２ａは、一例として、構成例１に係るシフト推定及び受信データ抽出部２０２が備える構成と同様の構成を備える。

＜送受信の流れ＞
図２１は、送受信システム１ａを用いたデータ送受信処理の流れを示すフローチャートである。ステップＳ１０１、Ｓ１０３、Ｓ２０１、Ｓ２０３については、図１９を用いて説明した処理と同様であるためここでは説明を省略する。

（Ｓ１０２ａ）
ステップＳ１０２ａでは、送信信号生成部１０２ａは、送信信号を生成する。送信信号生成部１０２ａによる具体的な処理は上述した通りである。

（Ｓ２０２ａ）
ステップＳ２０２では、シフト推定及び受信データ抽出部２０２ａが、シフト推定処理を行うと共に、受信データを抽出する。シフト推定及び受信データ抽出部２０２ａによる具体的な処理は上述した通りである。
＜＜通信システムの構成例３＞＞
図１８〜図２１を参照して説明した送受信システムは、＜8.3 多次元非可換性を利用した信号処理＞において説明した各ステップを実行する構成とすることができる。

一例として、＜8.3 多次元非可換性を利用した信号処理＞において説明したように、受信装置２００は、受信した画像信号が示す空間シフト及び空間周波数シフトを、パラメタ空間を参照して推定する推定ステップを実行し、上記空間シフト及び空間周波数シフトのそれぞれは、２以上の次元を有している。

また、＜8.3 多次元非可換性を利用した信号処理＞において説明したように、一例として上記推定ステップでは、
２次元の対称な空間シフト及び空間周波数シフト演算子、及び、空間周波数シフト間の非可換性に伴うハーフシフトの位相項を表現する演算子

及び

を参照して、空間シフト及び空間周波数シフトを推定する。

同様に、本構成例に係る送信方法は、画像信号を送信する送信方法であって、
パラメタ空間を参照して、送信対象の画像信号の空間及び周波数をシフトし、空間シフトの半分のハーフシフトの位相項（又は、空間、周波数をシフトし、空間周波数シフトの半分のハーフシフトの位相項）を表現する二つの演算子を用いたシフトステップを含んでおり、
上記空間のシフト及び上記周波数のシフトのそれぞれは、２以上の次元を有している。
ことを特徴とする送信方法。

上記シフトステップでは、
２次元の対称な空間シフト及び空間周波数シフト演算子

及び

を参照して、空間及び周波数をシフトする。

〔ソフトウェアによる実現例〕
送信装置１００、１００ａ、及び受信装置２００、２００ａの制御ブロック（特に送信信号生成部１０２、１０２ａ、シフト推定及び受信データ抽出部２０２、２０２ａ）は、集積回路（ＩＣチップ）等に形成された論理回路（ハードウェア）によって実現してもよいし、ソフトウェアによって実現してもよい。

後者の場合、送信装置１００、１００ａ、及び受信装置２００、２００ａは、各機能を実現するソフトウェアであるプログラムの命令を実行するコンピュータを備えている。このコンピュータは、例えば１つ以上のプロセッサを備えていると共に、上記プログラムを記憶したコンピュータ読み取り可能な記録媒体を備えている。そして、上記コンピュータにおいて、上記プロセッサが上記プログラムを上記記録媒体から読み取って実行することにより、本発明の目的が達成される。上記プロセッサとしては、例えばＣＰＵ（Central Processing Unit）を用いることができる。上記記録媒体としては、「一時的でない有形の媒体」、例えば、ＲＯＭ（Read Only Memory）等の他、テープ、ディスク、カード、半導体メモリ、プログラマブルな論理回路などを用いることができる。また、上記プログラムを展開するＲＡＭ（Random Access Memory）などをさらに備えていてもよい。また、上記プログラムは、該プログラムを伝送可能な任意の伝送媒体（通信ネットワークや放送波等）を介して上記コンピュータに供給されてもよい。なお、本発明の一態様は、上記プログラムが電子的な伝送によって具現化された、搬送波に埋め込まれたデータ信号の形態でも実現され得る。

また、送信装置１００、１００ａ、及び受信装置２００、２００ａの各機能を実現するコンピュータプログラムプロダクトも本発明の範疇に含まれる。上記コンピュータプログラムプロダクトは、任意の伝送媒体を介して提供されるプログラムを、少なくとも１つのコンピュータを介してロードし、該コンピュータに少なくとも１つのプログラム命令を実行させる。これにより、上記少なくとも１つのコンピュータの備えるプロセッサが、上記プログラム命令に応じた処理を実行し、これにより送信装置１００、１００ａ、及び受信装置２００、２００ａの各機能が実現される。このコンピュータプログラムプロダクトは、本実施形態に係る送信処理（送信方法）及び受信処理（受信方法）の各ステップを、プログラムをロードした少なくとも１つのコンピュータに実行させるものである。

本発明は上述した各実施形態に限定されるものではなく、請求項に示した範囲で種々の変更が可能であり、異なる実施形態にそれぞれ開示された技術的手段を適宜組み合わせて得られる実施形態についても本発明の技術的範囲に含まれる。さらに、各実施形態にそれぞれ開示された技術的手段を組み合わせることにより、新しい技術的特徴を形成することができる。

本発明は、無線送受信システム及びレーダシステム等として好適に利用できる。

１、１ａ 送受信システム
１００、１００ａ 送信装置
１０１ 送信用データ取得部
１０２、１０２ａ 送信信号生成部
１０３ 送信部
２００、２００ａ 受信装置
２０１ 受信部
２０２、２０２ａ シフト推定及び受信データ抽出部（推定部）
２０３ 受信データ解析部

Claims (12)

1. 信号を受信する受信方法であって、
   余次元２を有する、非可換シフトのパラメタ空間を参照して、受信信号が示す時間シフト及び周波数シフトを推定する推定ステップを含んでいる
   ことを特徴とする受信方法。
2. 上記余次元２を有する、非可換シフトのパラメタ空間は、
   時間を示す第１の軸及び周波数を示す第２の軸によって張られる平面を、時間及び周波数シフトを示す第３の軸によって３次元化して得られる空間である
   ことを特徴とする請求項１に記載の受信方法。
3. 上記推定ステップは、
   時間シフトの推定値、周波数シフト、及び、推定時間シフトの半分のハーフシフトの位相項を表現する第一のシフト演算子
   

   

   と、
   時間シフト、周波数シフトの推定値、及び、推定周波数シフトの半分のハーフシフトの位相項を表現する第二のシフト演算子
   

   

   と、
   推定対象の時間シフト及び推定対象の周波数シフトの観測値、及び推定時間シフトの半分のハーフシフトの位相項を表現する第三のシフト演算子
   

   

   又はその周波数双対
   

   

   と、
   時間シフト、及び周波数シフトの推定値、及び推定時間シフトの半分のハーフシフトの位相項を表現する第四のシフト演算子（
   

   

   又はその周波数双対
   

   

   ）とを用いて、上記受信信号が示す時間シフト及び周波数シフトを推定することを特徴とする請求項１又は２に記載の受信方法。
4. 上記推定ステップでは、
   上記第１のシフト演算子、第３のシフト演算子、及び第４のシフト演算子を用いて表される第１の相関関数、
   及び、
   上記第２のシフト演算子、第３のシフト演算子、及び第４のシフト演算子を用いて表される第２の相関関数
   を参照して上記受信信号が示す時間シフト及び周波数シフトを推定することを特徴とする請求項３に記載の受信方法。
5. 上記第１の相関関数、及び第２の相関関数は、
   変調周波数f_cの変調及び復調における、時間シフトt_dに伴う非可換演算による位相歪
   

   

   又はその離散版
   

   

   及び、
   伝送時の位相歪e^iκを含んでいる
   ことを特徴とする請求項４に記載の受信方法。
6. 上記推定ステップには、
   上記第１の相関関数を参照して、周波数シフトの推定値を更新する工程と、上記第２の相関関数を参照して、時間シフトの推定値を更新する工程とを交互に繰り返す交互更新ステップが含まれていることを特徴とする請求項４又は５に記載の受信方法。
7. 上記推定ステップでは、
   Ｎ'個のTD-template信号検出の尤度関数による周波数シフト最尤推定と、
   N個のFD-template信号検出の尤度関数による時間シフト最尤推定と
   に基づいて、受信信号が示す時間シフト及び周波数シフトを推定することを特徴とする請求項１から６の何れか１項に記載の受信方法。
8. 信号を受信する受信装置であって、
   余次元２を有する、非可換シフトのパラメタ空間を参照して、受信信号が示す時間シフト及び周波数シフトを推定する推定部を含んでいる
   ことを特徴とする受信装置。
9. 信号を送信する送信方法であって、
   余次元２を有する、非可換シフトのパラメタ空間を参照して、送信対象の信号の時間及び周波数をシフトするシフトステップを含んでいる
   ことを特徴とする送信方法。
10. 上記シフトステップでは、
    時間パルス波形を周期Ｎの時間位相符号変調し、
    上記時間位相符号変調した時間パルス波形を、更に、周期Ｎ'の周波数領域位相符号変調によりマルチキャリア化する
    ことによって送信信号を生成する
    ことを特徴とする請求項９に記載の送信方法。
11. 信号を送信する送信装置であって、
    余次元２を有する、非可換シフトのパラメタ空間を参照して、送信対象の信号の時間及び周波数をシフトするシフト部を含んでいる
    ことを特徴とする送信装置。
12. 送信装置と受信装置とを含む送受信システムであって、
    上記送信装置は、
    余次元２を有する、非可換シフトのパラメタ空間を参照して、送信対象の信号の時間及び周波数をシフトするシフト部を含んでおり、
    上記受信装置は、
    余次元２を有する、非可換シフトのパラメタ空間を参照して、受信信号が示す時間シフト及び周波数シフトを推定する推定部を含んでいる
    ことを特徴とする送受信システム。

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