JP6487307B2 - 独立振動管の評価方法 - Google Patents

Description

本開示は、熱交換器の伝熱管群に加振力が作用した際に発生する応力の評価方法に関する。

熱交換器を構成する伝熱管群の構造は、耐震性を考慮して設計されなくてはならない。従って、当該伝熱管群の耐震性評価のために、想定される加振力が個々の伝熱管に作用した際に発生する応力を理論解析によって事前に評価するための適切な応力評価方法を得ることが必要となる。

特許文献１は、加圧水型原子炉内の蒸気発生器伝熱管の熱的および化学的な経年劣化を評価するために、２次冷却水の一部が流れる空間内に模擬伝熱管と模擬熱源を設けた装置を開示しているが、地震動などの振動により発生する応力を評価する方法は開示していない。

特許文献２は、構造物に想定される加振力が作用した際の固有振動数に関して目標仕様を満たす設計構造を有限要素法に基づいて模索するための振動解析装置を開示する。特許文献２記載の発明は、構造物の設計に関して入力された諸条件から、構造物の固有振動数、固有モードおよび構造物の座標値または寸法値に応じた固有振動数感度の分布を出力する。また、特許文献３は、原子炉内構造物の振動状態評価方法を開示している。特許文献３記載の発明では、センサが収集した振動測定データと数値構造解析により求めた振動状態とが合致する位置について、振動状態を数値構造解析モデルにより推定するようにしている。特許文献４は、振動発生源に接続された配管系に防振継手を挿入設置する位置を最適化する技術を開示している。特許文献４記載の発明では、振動発生源に接続された配管系の振動解析結果に基づき、管壁振動管軸方向に沿って卓越周波数の振動加速度レベルの分布を調べ、振動加速度レベルが極大又は極小となる位置を防振継手の設置位置とする。

特許第３３７７７３８号公報 特開平０６−１４８０３８号公報 特開２００９−７９９０６号公報 特開２００６−１１８６４０号公報

上述した熱交換器の伝熱管構造として、Ｕ字形状の曲り部をそれぞれ有する複数の伝熱管を束ねて形成されるＵベンド部を有する構造の伝熱管群がある。当該構造においては、外側（上側）に向かうに従って曲り部の曲率半径が大きな伝熱管が互いに曲率中心を共有する形で同一平面に沿って（面内方向に沿って）順次配列される。このように伝熱管が順次配列された管列を、曲り部を含む平面に直交する方向（面外方向）に重ねながら曲り部の曲率半径を変化させることで、伝熱管群の上端部において半球形状のＵベンド部が形成される。

上記伝熱管群の構造においては、振止め部材が、曲り部を含む平面に直交する面外方向において、隣接する伝熱管の曲り部の間に挿入され、面外方向への複数の伝熱管（曲り部）の動きを拘束している。その結果、面外方向に作用する地震動に対しては、伝熱管群全体が一体となって振動する一方で、面内方向に作用する地震動に対しては、複数の伝熱管が一体となって振動するものと１本だけ独立して振動する独立振動管とが発生することがある。地震動が面内方向に作用すると、この独立振動管は、面内方向において隣接する伝熱管と衝突しながら面内方向に応答するので、独立振動管に発生する応力が大きくなる可能性がある。以上から、想定される加振力が個々の伝熱管に作用した際に、当該独立振動管において発生する可能性のある応力を理論解析により事前に評価することは特に重要である。

しかしながら、特許文献２乃至特許文献４は、伝熱管群に想定される加振力が作用した際、独立して振動する伝熱管（独立振動管）に発生する応力を評価する方法を開示も示唆もしていない。上記問題点に鑑み、本発明に係る少なくとも一実施形態は、伝熱管群に想定される加振力が作用した際、独立して振動する伝熱管（独立振動管）に発生する応力を評価する方法を得ることを目的とする。

（１）本発明の少なくとも一実施形態に係る伝熱管群の応力評価方法は、複数の伝熱管を含む伝熱管群の加振力に起因して発生する応力の評価方法であって、
前記伝熱管群のうち一の伝熱管の前記加振力に応じた第１応答変位量を、前記伝熱管群のうち前記一の伝熱管以外の他の伝熱管との相互作用を考慮せずに算出するステップと、
前記加振力に応じた前記他の伝熱管を含む管群全体の応答変位量を算出するステップと、
前記一の伝熱管の前記第１応答変位量と前記管群全体の応答変位量とに基づいて、前記一の伝熱管と、前記伝熱管群のうち前記一の伝熱管に隣接する隣接伝熱管との間の衝突による接触荷重を算出するステップと、
前記加振力および前記隣接伝熱管から受ける前記接触荷重に基づいて、前記一の伝熱管の前記加振力に応じた第２応答変位量を算出するステップと、
前記第２応答変位量に基づいて、前記一の伝熱管に発生する応力を算出するステップと、
を備える構成を採る。

上記（１）の方法によれば、伝熱管群の面内方向に沿って想定される加振力が作用した際に、伝熱管群内で独立して振動する一の伝熱管（独立振動管）に発生する応力を、独立振動管の応答変位量の変動として評価する方法を得ることができる。また、上記（１）の方法によれば、当該独立振動管に隣接する伝熱管から受ける接触荷重を考慮することで、当該独立振動管に発生する応力を適切に評価することができる。また、上記（１）の方法では、まず、独立して振動する一の伝熱管（独立振動管）の第１応答変位量を、他の伝熱管との相互作用を考慮せずに算出してから、当該第１応答変位量に基づいて上述した接触荷重を考慮しながら当該独立振動管に発生する応力を評価している。その結果、上記（１）の方法によれば、単純化された計算により、上述した接触荷重を考慮しながら当該独立振動管に発生する応力を短い計算時間で評価することができる。

なお、「管群全体の応答変位量」は、一の伝熱管に比べて他の伝熱管の本数が十分に多い場合には、一の伝熱管をも含む伝熱管群全体の応答変位量であってもよい。

（２）幾つかの実施形態では、上記（１）の方法において、前記伝熱管群は、同一の平面内において延在するとともに、互いに曲率中心を共有し、且つ、互いに曲率半径が異なる曲り部を有する複数の伝熱管によって形成される管列を少なくとも一つ含み、
前記管列は、前記平面に沿って延在する一対の振止め部材によって挟まれるように、該一対の振止め部材間に配置されており、
前記平面内において前記一の伝熱管に隣接する前記隣接伝熱管から受ける前記接触荷重に基づいて、前記一の伝熱管の前記第２応答変位量を算出してもよい。

一般的な熱交換器において、伝熱管群は、Ｕ字形状の曲り部をそれぞれ有する複数の伝熱管により構成され、振止め部材が、当該曲り部を含む平面に直交する面外方向において、隣接する伝熱管の曲り部の間に挿入される構造を有していても良い。その場合、面外方向において、隣接する伝熱管の曲り部の間に挿入される振止め部材が、面外方向への複数の伝熱管（曲り部）の動きを拘束しているので、面外方向に作用する加振力に対しては、伝熱管群全体が一体となって振動する。しかしながら、当該曲り部を含む平面に沿った面内方向に配列された一連の伝熱管は、両側の振止め部材との間の摩擦力によってのみ拘束されている。従って、面内方向に作用する加振力に対しては、他の伝熱管から１本だけ独立して振動する一の伝熱管（独立振動管）が発生することがある。従って、上記（１）の方法において、この独立振動管が伝熱管群内で振動する方向は面内方向とほぼ一致し、当該独立振動管が隣接する伝熱管と衝突することにより受ける接触荷重も主として面内方向の作用力である。
そこで、上記（２）の方法では、曲り部を有する伝熱管の管列が延在する平面内（面内方向）において、一の伝熱管に隣接する隣接伝熱管から受ける接触荷重に基づいて、当該一の伝熱管の第２応答変位量を算出するようにしている。このように面内方向において第２応答変位量を算出することで、当該独立振動管に発生する応力を適切に評価することができる。

（３）幾つかの実施形態では、上記（１）〜（２）の方法において、前記一の伝熱管と前記隣接伝熱管との間における初期隙間から、前記一の伝熱管の第１応答変位量と、前記管群全体の応答変位量から得られる前記隣接伝熱管の応答変位量との差に基づく相対変位量を減算して前記一の伝熱管と前記隣接伝熱管との隙間量を算出するステップをさらに備え、
前記隙間量がゼロ以上なら前記接触荷重をゼロとし、前記隙間量が負になったときに、前記一の伝熱管と前記隣接伝熱管との間における前記接触荷重を前記隙間量の大きさに応じて算出してもよい。

上記（３）の方法では、当該一の伝熱管と当該隣接伝熱管との間の初期隙間から当該一の伝熱管と当該隣接伝熱管との間の相対変位量を減算することで、一の伝熱管と隣接伝熱管との間における隙間量を算出している。また、上記（３）の方法では、当該一の伝熱管が当該隣接伝熱管から受ける接触荷重を当該隙間量の大きさに応じて算出している。従って、上記（４）の方法では、当該一の伝熱管が当該隣接伝熱管から受ける接触荷重を評価する際に、当該一の伝熱管と当該隣接伝熱管との間の相対的な動力学的挙動特性を記述する数値振動解析モデルを用いて詳細な解析を行う必要がない。

（４）幾つかの実施形態では、上記（１）〜（３）の方法において、前記管群全体の応答変位量として、前記一の伝熱管および前記他の伝熱管により形成される前記伝熱管群全体の前記加振力に応じた応答変位量を算出してもよい。

上記（４）の方法によれば、加振力の加振周波数の変化に応じ、管群全内の中で他の伝熱管から独立して振動する一の伝熱管が別の伝熱管に変わったとしても、管群全体の応答変位量をいちいち再計算する必要がない。また、上記（４）の方法によれば、当該一の伝熱管が当該他の伝熱管から受ける接触荷重および当該他の伝熱管の応答変位量を算出する際に、伝熱管群全体から当該一の伝熱管を除いた当該他の伝熱管の振動特性のみを取り出して考慮する必要がない。

（５）幾つかの実施形態では、上記（１）〜（４）の方法において、前記一の伝熱管と前記他の伝熱管との相互作用を考慮せずに前記管群全体の応答変位量を算出してもよい。

上記（５）の方法によれば、加振力の加振周波数の変化に応じ、管群全内の中で他の伝熱管から独立して振動する一の伝熱管が別の伝熱管に変わったとしても、当該一の伝熱管および当該他の伝熱管の応答変位量をいちいち再計算する必要がない。また、上記（５）の方法によれば、一の伝熱管と他の伝熱管との相互作用を考慮せずに管群全体の応答変位量をまず算出し、当該算出した管群全体の応答変位量に基づいて、当該一の伝熱管の第２応答変位量を、上記相互作用を考慮する形で算出することができる。その結果、上記（５）の方法によれば、応力評価方法を単純化し、計算コストと計算時間を減らすことができる。

（６）幾つかの実施形態では、上記（１）〜（５）の方法において、前記伝熱管群のうち、前記加振力の周波数に固有振動数が最も近い伝熱管を前記一の伝熱管として選択するステップをさらに備えてもよい。

これにより、上記（６）の方法では、伝熱管群の面内方向に想定される加振力が作用した際に、伝熱管群内において独立して振動する（独立振動管となる）可能性の高い伝熱管において発生する応力を評価することができる。

（７）本発明に係る少なくとも一実施形態では、上記（６）の方法において、前記伝熱管群のうち、前記加振力としての地震波の卓越周波数に固有振動数が最も近い伝熱管を前記一の伝熱管として選択してもよい。

これにより、上記（７）の方法では、伝熱管群の面内方向に想定される加振力が作用した際に、伝熱管群内において独立して振動する（独立振動管となる）可能性の高い伝熱管において発生する応力を評価することができる。

（８）本発明に係る少なくとも一実施形態では、上記（１）〜（７）の方法において、前記伝熱管群は、ＰＷＲ原子力発電設備の蒸気発生器の伝熱管群であってもよい。

これにより、上記（８）の方法では、蒸気発生器などの熱交換器が加圧水型原子炉を含む原子力関連施設に設けられるものである場合、当該伝熱管群の耐震性評価のために、想定される地震動が個々の伝熱管に作用した際に発生する応力を事前に評価することができる。その結果、当該伝熱管群の構造を、耐震性を考慮して設計することが可能となる。

以上より、本発明に係る少なくとも一実施形態によれば、伝熱管群の面内方向に沿って想定される加振力が作用した際に、伝熱管群内で独立して振動する一の伝熱管（独立振動管）に発生する応力を評価することができる。

一実施形態に係る伝熱管群のＵベンド部の斜視図である。 振止め部材による支持構造の一例を面内方向から見た図である。 振止め部材による支持構造の一例を面外方向から見た図である。 伝熱管群内で一の伝熱管が他の伝熱管から独立して振動する際の挙動を示す図である。 一実施形態に係る応力評価方法の処理の流れを示すフローチャートである。 加振時における独立振動管が隣接伝熱管と接触していない状態における両者の変位を示す図である。 加振時における独立振動管と隣接伝熱管との間に接触荷重が作用している状態における両者の理論上の変位を示す図である。 隙間量と接触荷重との間の関係を近似する力学系を示す図である。

以下、添付図面を参照して本発明の幾つかの実施形態について説明する。ただし、実施形態として記載されている又は図面に示されている構成部品の寸法、材質、形状、その相対的配置等は、本発明の範囲をこれに限定する趣旨ではなく、単なる説明例にすぎない。以下、まず最初に、幾つかの実施形態に係る伝熱管の応力評価方法を説明するのに先立って、当該応力評価方法の適用対象である伝熱管群の構造について図１乃至図３を参照して説明する。続いて、当該応力評価方法の処理内容について図４乃至図７を参照して説明する。

図１は、一実施形態に係る伝熱管群１０のＵベンド部１０ａの斜視図を示す。図２は、伝熱管群１０を、図１の面内方向Ｄ２（図１の列方向ｄ２）から見た側面図であり、図３は、伝熱管群１０を、図１の面内方向Ｄ１（図１の列方向ｄ１）から見た側面図である。なお、図１においては、図面の見やすさを考慮して一部の構成部材を省略して記載している。図１において当該省略された構成部材の一部は、図１における伝熱管群１０を側面から見た図２および図３において示されている。

幾つかの実施形態において、伝熱管群１０は、複数の伝熱管３と、複数の伝熱管３が挿通される管支持板７と、を備えており、複数の伝熱管３内を流れる流体との熱交換によって蒸気を生成するように構成される。複数の伝熱管３は、それぞれ、流体の入口側に位置する第１直管部４と、流体の出口側に位置する第２直管部５と、第１直管部４と第２直管部５との間に位置する曲り部６と、を有している。管支持板７には、第１直管部４及び第２直管部５が挿通される複数の貫通孔が形成されている。

伝熱管群１０は、Ｕ字形状の曲り部６をそれぞれ有する複数の伝熱管３により構成される。複数の伝熱管３の曲り部６によってＵベンド部１０ａが形成される。図１に示す構造においては、曲り部６の半径方向における外側（図１における上側）に向かうに従って曲り部６の曲率半径が大きな伝熱管３が互いに曲率中心を共有する形で同一平面に沿って（面内方向Ｄ２に沿って）配列される（図１の管列８）。図３は、このように伝熱管３が面内方向Ｄ２に沿って配列された管列８が複数列存在し、これら複数の管列８が、曲り部６を含む平面に直交する方向（図１の面外方向Ｄ１）において並んでいる様子を示す。

図１および図３に示すように、複数の管列８のそれぞれにおいて最外周側に位置する伝熱管３の曲り部６の曲率半径は、各管列８の面外方向Ｄ１における位置に応じて異なる。このように複数の管列８を面外方向Ｄ１に重ねながら曲り部６の曲率半径を変化させることで、伝熱管群１０の上端部において半球形状のＵベンド部１０ａが形成される。その結果、図１に示すように、曲率半径の異なる複数の曲り部６ａ_１，６ａ_２，６ａ_３，…が面内方向Ｄ２に沿って並び、曲率半径の同一な複数の曲り部６ａ_１，６ｂ_１，６ｃ_１，…が面外方向に沿って並ぶように配列される。

伝熱管群１０においては、振止め部材１２が、曲り部６を含む平面に直交する面外方向Ｄ１において、隣接する伝熱管３の曲り部６の間に挿入され、面外方向Ｄ１への複数の伝熱管３（曲り部６）の動きを拘束している。例えば、図１においては、面外方向Ｄ１において並ぶ各々の管列８の両側に、面内方向Ｄ２に沿って複数の振止め部材１２が挿入され、各管列８に属する複数の伝熱管３の曲り部６の面外方向Ｄ１への動きを拘束している。

図１に示すように、第１保持部材１１は、Ｕベンド部１０ａの外周、すなわち、Ｕベンド部１０ａの半球状の外周に沿って取り付けられた円弧状の棒状部材である。上述した振止め部材１２は、第１保持部材１１からＵベンド部１０ａの半球形状の径方向における内側に向かって延在している。振止め部材１２の端部１２ａには、図１に示すように第１保持部材１１が溶接されて、複数の振止め部材１２の端部１２ａを連結している。第１保持部材１１は、複数の伝熱管３が面内方向Ｄ２に沿って重ねられる管列８と直交しながらＵベンド部１０ａの半球面に沿って延在している。

図２および図３に示すように、複数の第１保持部材１１は、第２保持部材（ブリッジ）１４によって連結されていてもよい。第２保持部材１４は、Ｕベンド部１０ａの外周、すなわち、Ｕベンド部１０ａの半球状の外周に沿って配置された、円弧形状かつ板状の部材である。第２保持部材１４は、Ｕベンド部１０ａにおいて伝熱管３の曲り部６が延在する方向に沿って延在している。第２保持部材１４は、面外方向Ｄ１において並ぶように複数配置されていてもよい。

伝熱管群１０では、面外方向において、隣接する伝熱管３の曲り部６の間に挿入される振止め部材１２が、面外方向Ｄ１への複数の伝熱管３（曲り部６）の動きを拘束しているので、面外方向Ｄ１に作用する加振力に対しては、伝熱管群１０全体が一体となって振動する。しかしながら、曲り部６を含む平面に沿った面内方向Ｄ２に配列された一連の伝熱管３（図１の管列８）は、両側の振止め部材１２とは接続されておらず、両側の振止め部材１２との間の摩擦力によってのみ拘束されている。その結果、面外方向Ｄ１に作用する地震動に対しては、伝熱管群１０全体が一体となって振動する一方で、面内方向Ｄ２に作用する地震動に対しては、管列８の中で、複数の伝熱管３が一体となって振動するものと１本だけ独立して振動する独立振動管とが発生することがある。

以下、図４を参照して、独立振動管の挙動について説明する。地震動が面内方向Ｄ２に作用すると、独立振動管３０（曲り部６０）は、面内方向Ｄ２において隣接する伝熱管３１（３１ａ、３１ｂ）と衝突しながら面内方向Ｄ２に応答変位する。図４において、加振力が作用する前の（変位の無い状態の）独立振動管３０（曲り部６０）の初期状態を破線で表し、加振力が作用するのに応答して独立振動管３０が変位した状態を実線で表す。なお、破線で表した加振力が作用する前の（変位の無い状態の）独立振動管３０と加振力が作用するのに応答して変位した後の独立振動管３０との間の変位量を図４においてｘで示し、この変位量ｘが加振力に応答して生じる独立振動管３０の応答変位量に相当する。図４には、実線で表される応答変位した状態の独立振動管３０が面内方向Ｄ２において隣接する伝熱管３１ａと衝突位置ＴＣ１において衝突している様子が示されている。なお、図４では、独立振動管３０が外側に隣接する伝熱管３１ａと衝突する様子が示されているが、独立振動管３０は、内側に隣接する伝熱管３１ｂとも衝突し得る。

以上により、独立振動管３０に発生する応力が大きくなる可能性がある。以上から、想定される加振力が個々の伝熱管に作用した際に、独立振動管３０において発生する可能性のある応力を理論解析により事前に評価することが必要となる場合がある。

続いて、幾つかの実施形態に係る伝熱管の応力評価方法の処理内容について図５乃至図７を参照して説明する。図５は、複数の伝熱管を含む伝熱管群の加振力に起因して発生する応力の評価方法の処理の流れを説明するためのフローチャートである。

まず、図５のフローチャートに示す伝熱管の応力評価方法では、伝熱管群１０のうち一の伝熱管３０（図４の独立振動管３０）の加振力に応じた第１応答変位量を、伝熱管群１０のうち一の伝熱管３０（図４の独立振動管３０）以外の他の伝熱管３１（図４の隣接伝熱管３１）との相互作用を考慮せずに算出する処理Ｐ１が実行される。ここで言う相互作用には、図４のＴＣ１に示す独立振動管３０と隣接伝熱管３１との衝突による相互作用などが含まれる。また、図５のフローチャートに示す伝熱管の応力評価方法では、加振力に応じた他の伝熱管３１を含む伝熱管群１０全体の応答変位量を算出する処理Ｐ２が実行される。なお、処理Ｐ１とＰ２とは、任意の順序で実行されても良く、互いに同時並列的に実行されても良い。

続いて、図５のフローチャートの実行は処理Ｐ３に進み、一の伝熱管３０の当該第１応答変位量と伝熱管群１０全体の応答変位量とに基づいて、一の伝熱管３０（図４の独立振動管３０）と、伝熱管群１０のうち一の伝熱管３０に隣接する隣接伝熱管３１（図４の隣接伝熱管３１）との間の衝突による接触荷重を算出する。例示的な一実施形態では、上記接触荷重には、図４のＴＣ１において独立振動管３０と隣接伝熱管３１とが衝突することにより独立振動管３０が受ける接触荷重などが含まれる。

続いて、図５のフローチャートの実行は処理Ｐ４に進み、上記接触荷重を考慮して、加振力作用時の応答解析（例えば、地震波応答解析）を行う。具体的には、処理Ｐ４において、加振力および隣接伝熱管３１（図４の隣接伝熱管３１）から受ける上記接触荷重に基づいて、一の伝熱管３０（図４の独立振動管３０）の加振力に応じた第２応答変位量を算出する。続いて、図５のフローチャートの実行は処理Ｐ５に進み、当該第２応答変位量に基づいて、一の伝熱管３０（図４の独立振動管３０）に発生する応力を評価する。

なお、上述した接触荷重は、独立振動管３０が隣接伝熱管３１に押圧されることにより作用する押圧荷重のみならず、独立振動管３０が隣接伝熱管３１と摩擦を起こすことにより作用する摩擦力荷重も加味して算出してもよい。上述した接触荷重を力ベクトルで表した場合、当該押圧荷重は、伝熱管３の曲率中心を原点とする極座標系の半径軸ｒ方向に沿った成分に対応する。また、上述した接触荷重を力ベクトルで表した場合、当該摩擦力荷重は、上記極座標系におけるθ座標軸方向に沿った方向成分に対応する。上述した接触荷重の力ベクトルを構成する法線方向成分（押圧荷重）と接線方向成分（摩擦力荷重）については以下において図６Ａおよび図６Ｂを参照して後述する。

以上より、図５に示す伝熱管の応力評価方法によれば、伝熱管群１０の面内方向Ｄ２に沿って想定される加振力が作用した際に、伝熱管群１０内で独立して振動する一の伝熱管３０（図４の独立振動管３０）に発生する応力を、独立振動管３０の応答変位量の変動として評価する方法を得ることができる。また、当該応力評価方法によれば、独立振動管３０に隣接する伝熱管３１（図４の隣接伝熱管３１）から受ける接触荷重を考慮することで、独立振動管３０に発生する応力を適切に評価することができる。

また、図５に示す伝熱管の応力評価方法では、まず、独立して振動する一の伝熱管３０（図４の独立振動管３０）の第１応答変位量を、他の伝熱管３１（図４の隣接伝熱管）との相互作用を考慮せずに算出している。その上で、図５に示す応力評価方法では、当該第１応答変位量に基づいて上述した接触荷重を考慮しながら当該独立振動管に発生する応力を評価している。その結果、当該応力評価方法によれば、単純化された計算により、上述した接触荷重を考慮しながら独立振動管３０に発生する応力を短い計算時間で評価することができる。

幾つかの例示的な実施形態では、図１〜図３に示す伝熱管群１０の構造において、面内方向Ｄ２に沿った平面内において一の伝熱管３０に隣接する隣接伝熱管３１から受ける上記接触荷重に基づいて、一の伝熱管３０の当該第２応答変位量を算出してもよい。

上述したように、図１〜図３に示す伝熱管群１０では、複数の振止め部材１２が、面外方向Ｄ１への複数の伝熱管３（曲り部６）の動きを拘束している。その一方で、曲り部６を含む平面に沿った面内方向Ｄ２に配列された一連の伝熱管（図１の管列８）は、両側の振止め部材１２とは接続されておらず、両側の振止め部材１２との間の摩擦力によってのみ拘束されている。従って、図５に示す応力評価方法において、面内方向Ｄ２に作用する加振力に対して、他の伝熱管３１から１本だけ独立して振動する独立振動管３０が振動する方向は面内方向Ｄ２とほぼ一致し、独立振動管３０が隣接する伝熱管３１と衝突することにより受ける接触荷重も主として面内方向Ｄ２の作用力である。

そこで、幾つかの例示的な実施形態では、曲り部６を有する伝熱管３の管列８が延在する平面内（面内方向Ｄ２）において、一の伝熱管３０（図４の独立振動管３０）に隣接する隣接伝熱管３１（図４の隣接伝熱管）から受ける接触荷重に基づいて、一の伝熱管３０（図４の独立振動管３０）の第２応答変位量を算出するようにしている。このように面内方向Ｄ２において第２応答変位量を算出することで、独立振動管３０に発生する応力を適切に評価することができる。

例示的な一実施形態においては、図５に示すように、処理Ｐ１の全体を実行するために、処理Ｓ１１〜Ｓ１５を含む複数段階の処理を順次実行するようにしてもよい。また、処理Ｐ２の全体を実行するために、処理Ｓ２１〜Ｓ２５を含む複数段階の処理を順次実行するようにしてもよい。処理Ｓ１１〜Ｓ１５は、独立振動管３０の第１応答変位量を算出するものであり、処理Ｓ２１〜Ｓ２５は、伝熱管群１０全体の第１応答変位量を算出するものである。

処理Ｓ１１〜Ｓ１５は、伝熱管群１０内において他の伝熱管３とは独立して振動する独立振動管３０を特定した上で、当該特定された独立振動管３０についての第１応答変位量を求める処理を行う。つまり、処理Ｓ１１〜Ｓ１５は、伝熱管群１０において面内方向Ｄ２に延在する管列８（図１）に含まれる複数の伝熱管３の中で、いずれの伝熱管３が独立振動管３０として振る舞うかを特定し、当該特定された独立振動管３０についての第１応答変位量を求める処理を行う。

幾つかの実施形態では、伝熱管群１０のうち、加振力の周波数に固有振動数が最も近い伝熱管３を他の伝熱管３から独立して振動する一の伝熱管３０（独立振動管３０）として選択してもよい。これにより、伝熱管群１０の面内方向Ｄ２に想定される加振力が作用した際に、伝熱管群１０内において独立して振動する（独立振動管３０となる）可能性の高い伝熱管３において発生する応力を評価することができる。

幾つかの実施形態では、伝熱管群１０のうち、加振力としての地震波の卓越周波数に固有振動数が最も近い伝熱管３を他の伝熱管３から独立して振動する一の伝熱管３０（独立振動管３０）として選択してもよい。これにより、伝熱管群１０の面内方向Ｄ２に想定される地震波が作用した際に、伝熱管群１０内において独立して振動する（独立振動管３０となる）可能性の高い伝熱管３において発生する応力を評価することができる。

以下、一連の処理Ｓ１１〜Ｓ１５およびＳ２１〜Ｓ２５の処理内容について具体的に説明する。なお、処理Ｓ１１〜Ｓ１５の実行に先立って、伝熱管群１０の中で独立振動管３０として振る舞う伝熱管３が加振力の周波数などに基づいて既に抽出されているものとして説明する。

処理Ｓ１１では、独立振動管３０を有限要素法でモデル化したモデルを生成する。処理Ｓ２１では、伝熱管群１０全体を有限要素法でモデル化したモデルを生成する。例示的な一実施形態においては、伝熱管群１０全体および独立振動管３０は、それぞれ有限要素法における梁モデルとしてモデル化しても良い。ここで、伝熱管群１０の中で独立振動管３０となり得る個々の伝熱管３は、曲り部６の曲率半径の大小を除いて同様の形状および材質を有する。従って、いずれの伝熱管３が独立振動管３０となるかに応じて、伝熱管群１０全体について実行される処理Ｓ２１の処理内容を、個々の伝熱管３について曲率半径の相違を考慮して実行したものが処理Ｓ１１の処理内容となる。つまり、処理Ｓ１１では、伝熱管毎に異なる曲率半径の相違を考慮して、独立振動管３０を有限要素法でモデル化したモデルを生成する。

処理Ｓ１２では、管列８に含まれる複数の伝熱管３の中で、いずれの伝熱管３が独立振動管３０となるかに応じて、有限要素法により質点系としてモデル化した個々の伝熱管３の質量マトリクスと剛性マトリクスを用いた実固有値解析により、個々の伝熱管３の固有振動数と固有モードを算出する。処理Ｓ２２では、有限要素法により質点系としてモデル化した個々の伝熱管群１０全体の質量マトリクスと剛性マトリクスを用いた実固有値解析により、伝熱管群１０全体の固有振動数と固有モードを算出する。例示的な一実施形態では、独立振動管３０および伝熱管群１０全体の固有振動数と固有モードは、質量マトリクス［Ｍ^ｐ］と剛性マトリクス［Ｋ^ｐ］を用いた以下の式で表される固有値問題を解くことにより、固有値ωおよび固有ベクトル｛ｙ｝に対応する値として得られる。

処理Ｓ１３では、独立振動管３０の応答変位量を計算するために振動方程式に入力される必要のあるパラメータとして、処理Ｓ１２にて算出された固有振動数と固有モードから得られるモーダル・パラメータを抽出する。例示的な一実施形態では、当該モーダル・パラメータには、モード変換行列、モーダル質量、モーダル剛性およびモーダル減衰などが含まれる。モード変換行列は、独立振動管３０が設けられる物理的な空間を表す３次元デカルト座標系と固有モードを基底ベクトルとして形成される固有モード座標系との間の座標変換を行う座標変換行列である。モーダル質量、モーダル剛性およびモーダル減衰は、有限要素法により質点系としてモデル化した独立振動管３０の質量マトリクス、剛性マトリクスおよび減衰マトリクスを上述した固有モード座標系で表した行列である。このモーダル・パラメータは、処理Ｓ１２にて独立振動管３０について算出された固有振動数と固有モードから得られるモーダル・パラメータである。以下の説明においては、処理１３にて、独立振動管３０について算出された固有振動数と固有モードから得られるモーダル質量、モーダル剛性、モーダル減衰およびモーダル変換行列を、それぞれ、モーダル質量Ｍ_ｄ、モーダル剛性Ｋ_ｄ、モーダル減衰Ｃ_ｄおよびモーダル変換行列Φ_ｄと表記する。

処理Ｓ２３では、伝熱管群１０全体の応答変位量を計算するために振動方程式に入力される必要のあるパラメータとして、処理Ｓ２２にて算出された固有振動数と固有モードから得られるモーダル・パラメータを抽出する。モード変換行列は、伝熱管群１０が設けられる物理的な空間を表す３次元デカルト座標系と固有モードを基底ベクトルとして形成される固有モード座標系との間の座標変換を行う座標変換行列である。モーダル質量、モーダル剛性およびモーダル減衰は、有限要素法により質点系としてモデル化した伝熱管群１０全体の質量マトリクス、剛性マトリクスおよび減衰マトリクスを上述した固有モード座標系で表した行列である。以下の説明においては、処理１３にて、伝熱管群１０全体について算出された固有振動数と固有モードから得られるモーダル質量、モーダル剛性、モーダル減衰およびモーダル変換行列を、それぞれ、モーダル質量Ｍ、モーダル剛性Ｋ、モーダル減衰Ｃおよびモーダル変換行列Φと表記する。

例示的な一実施形態では、モーダル質量Ｍおよびモーダル剛性Ｋは、モード変換行列を用いた以下の線形変換式により算出してもよい。

なお、処理Ｓ１３におけるモーダル質量Ｍ_ｄおよびモーダル剛性Ｋ_ｄの算出方法についても、独立振動管３０として振る舞う個々の伝熱管３を対象として実行される点を除いて上記と同様である。

また、例示的な一実施形態では、モーダル減衰Cは、以下のように複数の固有モードのそれぞれについて算出されるモーダル減衰定数ベクトルによって構成される行列としても良い。例示的な一実施形態では、ｉ次の固有モードに対応するモーダル減衰定数ベクトルc_iは、以下のように算出されても良い。ｉ次の固有モードに対応するモーダル質量をｍ_ｉ、ｉ次の固有モードに対応するモーダル剛性をｋ_ｉ、ｉ次の固有モードに対応する減衰比をζ_ｉとすればｉ次の固有モードに対応するモーダル減衰定数ベクトルc_iは次のようになる。

なお、独立振動管３０のモーダル減衰Ｃ_ｄの算出方法についても上記と同様である。

処理Ｓ１４では、加振時における独立振動管３０の固有モード座標系で表された第１応答変位量を求める。具体的には、処理Ｓ１４では、独立振動管３０についての振動方程式に処理Ｓ１３で得られたモーダル・パラメータを入力し、当該振動方程式を解く。これによって、処理Ｓ１４では、加振時における独立振動管３０の固有モード座標系で表された第１応答変位量が求められる。
以上より、独立振動管３０の第１応答変位量が、固有モード座標系で表された応答変位量（モーダル変位）φ_ｄとして求まる。

処理Ｓ２４では、処理Ｓ２３で得られたモーダル・パラメータを入力した振動方程式を解くことによって、加振時における伝熱管群１０全体の固有モード座標系で表された応答変位量を求める。具体的には、処理Ｓ２４では、伝熱管群１０全体についての振動方程式に処理Ｓ２３で得られたモーダル・パラメータを入力し、当該振動方程式を解く。これによって、処理Ｓ２４では、加振時における伝熱管群１０全体の固有モード座標系で表された第１応答変位量が求められる。
以上より、伝熱管群１０全体の第１応答変位量が、固有モード座標系で表された応答変位量（モーダル変位）φとして求まる。

例示的な実施形態においては、処理Ｓ２４におけるこの振動方程式は、伝熱管群１０全体の固有モード座標系で表された応答変位量（モーダル変位）φを独立変数とする以下の運動方程式で表されても良い。なお、以下の式において、Φ’はΦの転置行列を示す。

以上より、伝熱管群１０全体の応答変位量が、固有モード座標系で表された応答変位量（モーダル変位）φとして求まる。

なお、処理Ｓ１４において独立振動管３０の第１応答変位量を固有モード座標系で表された応答変位量（モーダル変位）φ_ｄとして求めるための振動方程式は、以下のようにして得られてもよい。すなわち、独立振動管３０についての振動方程式は、独立振動管３０として振る舞う個々の伝熱管３について、モーダル・パラメータ（モーダル質量Ｍ_ｄ、モーダル剛性Ｋ_ｄ、モーダル減衰Ｃ_ｄおよびモーダル変換行列Φ_ｄ）を含む上記式（５）と同様の運動方程式として得られても良い。

処理Ｓ１４において、独立振動管３０の第１応答変位量をモーダル変位φ_ｄとして求めた後に、処理フローは処理Ｓ１５に進む。処理Ｓ１５では、モーダル変位φ_ｄを、以下において複数個（Ｎ_ｃ個）の衝突自由度方向にそれぞれ沿った変位量に変換することにより、独立振動管３０の第２応答変位量（変位ベクトルＸ_ｄ）を算出する。衝突自由度方向とは、伝熱管群１０内で同一の管列８に含まれる隣接伝熱管３１が独立振動管３０と衝突する各衝突位置（図４のＴＣ１など）において独立振動管３０が振動する自由度に対応する方向である。図４には、独立振動管３０と隣接伝熱管３１とが衝突する位置としてＴＣ１のみが示されているが、一般に面内方向Ｄ２において独立振動管３０と隣接伝熱管３１とが衝突する位置は、複数個（Ｎ_ｃ個）存在する。その場合、Ｎ_ｃ個の衝突位置は、添え字ｃｊを用いてn_cj(ｊ= 1,2,…,Ｎ_ｃ)と表記され、Ｎ_ｃ個の衝突位置n_cj（ｊ= 1,2,…,Ｎ_ｃ）の各々における衝突自由度方向は、２本の直交ベクトルのペア（x_cj，y_cj）によって表される。

いずれの伝熱管３が独立振動管３０となるかに応じて処理Ｓ１５を実行するための例示的な一実施形態として、処理Ｓ１４でモーダル変位φ_ｄとして求めた応答変位量をＮ_ｃ個の衝突自由度方向（x_cj，y_cj）（ｊ= 1,2,…,Ｎ_ｃ）にそれぞれ沿った応答変位量に変換した変位ベクトルＸ_ｄは、以下の式により算出される。

ここで、行列Ｃ_ｘｙは、モード変換行列Φ_ｄからＮ_ｃ個の衝突自由度方向（x_cj，y_cj）（ｊ= 1,2,…,Ｎ_ｃ）に対応する方向成分を固有モード座標系の部分空間として抽出した出力行列である。これにより、処理Ｓ１４において、独立振動管３０についてモーダル変位φ_ｄとして求めた応答変位量が、Ｎ_ｃ個の衝突自由度方向（x_cj，y_cj）（ｊ= 1,2,…,Ｎ_ｃ）に沿った第２応答変位量である変位ベクトルＸ_ｄとして得られる。

処理Ｓ２５では、処理Ｓ２４において伝熱管群１０全体についてモーダル変位φとして求めた変位量を複数個（Ｎ_ｃ個）の衝突自由度方向に沿った変位量に変換することにより、伝熱管群１０全体の第２応答変位量（変位ベクトルＸ_ｉｏ）を算出する。

処理２５を実行するための例示的な一実施形態として、伝熱管群１０全体について処理Ｓ２４でモーダル変位φとして求めた変位量をＮ_ｃ個の衝突自由度方向（x_cj，y_cj）（ｊ= 1,2,…,Ｎ_ｃ）にそれぞれ沿った変位量に変換した変位ベクトルＸ_ｉｏは、以下の式により算出される。

ここで、行列Ａ_ｘｙは、モード変換行列ΦからＮ_ｃ個の衝突自由度方向（x_cj，y_cj）（ｊ= 1,2,…,Ｎ_ｃ）に対応する方向成分を固有モード座標系の部分空間として抽出した出力行列である。これにより、処理Ｓ２４において伝熱管群１０全体についてモーダル変位φとして求めた応答変位量が、衝突自由度方向（x_cj，y_cj）（ｊ= 1,2,…,Ｎ_ｃ）に沿った第２応答変位量である変位ベクトルＸ_ｉｏとして得られる。

以上のように、処理Ｓ１５およびＳ２５では、伝熱管群１０全体および独立振動管３０について求めたモーダル変位φおよびφ_ｄを、Ｎ_ｃ個の衝突自由度方向（x_cj，y_cj）（ｊ= 1,2,…,Ｎ_ｃ）に沿った変位ベクトルＸ_ｉｏおよびＸ_ｄに変換している。処理Ｓ１５およびＳ２５において応答変位量を上記のように変換することで、処理Ｐ３において、独立振動管３０と隣接伝熱管３１との間の接触荷重を算出することが容易になる。何故なら、伝熱管群１０全体および独立振動管３０について求めたモーダル変位（φおよびφ_ｄ）を、上述した衝突自由度方向に沿った応答変位量（Ｘ_ｉｏおよびＸ_ｄ）に変換することで、独立振動管３０と隣接伝熱管３１との間の相対変位量を、上述した衝突自由度方向に沿って計算することが可能となるからである。

幾つかの実施形態では、処理Ｐ１において伝熱管群１０全体の第１応答変位量として、一の伝熱管３０（図４の独立振動管３０）および他の伝熱管３１（図４の隣接伝熱管３１）により形成される伝熱管群１０全体の加振力に応じた応答変位量（変位ベクトルX_io）を算出してもよい。

これにより、加振力の加振周波数の変化に応じ、伝熱管群１０全体の中で他の伝熱管から独立して振動する一の伝熱管３０（独立振動管３０）が別の伝熱管に変わったとしても、伝熱管群１０全体の応答変位量をいちいち再計算する必要がない。また、一の伝熱管３０（図４の独立振動管３０）が他の伝熱管３１（図４の隣接伝熱管３１）から受ける接触荷重および他の伝熱管３１（図４の隣接伝熱管）の応答変位量を算出する際に、伝熱管群１０全体から一の伝熱管３０（独立振動管３０）を除いた他の伝熱管の振動特性のみを取り出して考慮する必要がない。

幾つかの実施形態では、処理Ｐ１において、一の伝熱管３０（独立振動管３０）と他の伝熱管３１（図４の隣接伝熱管３１）との相互作用を考慮せずに伝熱管群１０全体の第１応答変位量（変位ベクトルＸ_ｉｏ）を算出してもよい。

これにより、加振力の加振周波数の変化に応じ、伝熱管群１０全体の中で他の伝熱管３から独立して振動する一の伝熱管３０（独立振動管３０）が別の伝熱管に変わったとしても、一の伝熱管３０および他の伝熱管３の応答変位量をいちいち再計算する必要がない。また、一の伝熱管３０（独立振動管３０）と他の伝熱管３１（図４の隣接伝熱管３１）との相互作用を考慮せずに伝熱管群１０全体の応答変位量（変位ベクトルＸ_ｉｏ）をまず算出し、当該算出した伝熱管群１０全体の応答変位量（変位ベクトルＸ_ｉｏ）に基づいて、一の伝熱管３０（独立振動管３０）の第２応答変位量を、上記相互作用を考慮する形で算出することができる。その結果、本実施形態に係る応力評価方法を単純化し、計算コストと計算時間を減らすことができる。

幾つかの実施形態では、図５に示す処理Ｐ３において、一の伝熱管３０（独立振動管３０）と隣接伝熱管３１（図４の隣接伝熱管３１）との間における接触荷重を、以下において図６を参照しながら後述する隙間量の大きさに応じて算出してもよい。以下、独立振動管３０と隣接伝熱管３１の間における上述した隙間量と相対変位量について、図６Ａおよび図６Ｂを用いて説明する。

図６Ａおよび図６Ｂは、図４に示した独立振動管３０と隣接伝熱管３１が加振前の初期状態から加振力を受けることにより変位した際の変位量を示す。図６Ａにおいては、独立振動管３０と隣接伝熱管３１のそれぞれについて、加振前の初期状態における形状を実線で表し、加振力を受けることにより変位した際の変位後の形状を破線で表している。図６Ｂにおいては、独立振動管３０と隣接伝熱管３１のそれぞれについて、加振前の初期状態における形状を実線で表し、加振力を受けることにより変位した際の変位後の形状を一点鎖線で表している。

従って、図６Ａにおいては、独立振動管３０と隣接伝熱管３１のそれぞれについて、実線上の特定の位置から破線上の対応する位置までの変位幅が加振力に応じた応答変位量を表していることになる。また、図６Ａにおいては、実線で表された独立振動管３０の特定の位置から実線で表された隣接伝熱管３１の対応する位置までの距離は、加振前の初期状態における独立振動管３０と隣接伝熱管３１との間の隙間幅を表すので、初期隙間δ_０と呼ばれる。また、図６Ａにおいては、独立振動管３０の応答変位量が変位幅ｒ_ｄで表されている。また、図６Ａにおいては、面内方向Ｄ２において、独立振動管３０の外側に隣接する隣接伝熱管３１ａの応答変位量が変位幅ｒ_ｏｕｔで表され、独立振動管３０の外側に隣接する隣接伝熱管３１ｂの応答変位量が変位幅ｒ_ｉｎで表されている。

同様に、図６Ｂにおいては、独立振動管３０と隣接伝熱管３１のそれぞれについて、実線上の特定の位置から一点鎖線上の対応する位置までの変位幅が加振力に応じた応答変位量を表していることになる。また、図６Ｂにおいては、実線で表された独立振動管３０の特定の位置から実線で表された隣接伝熱管３１の対応する位置までの距離は、独立振動管３０と隣接伝熱管３１との間の初期隙間δ_０を表し、独立振動管３０の応答変位量が変位幅ｒ_ｄで表されている。また、図６Ｂにおいては、面内方向Ｄ２において、独立振動管３０の外側に隣接する隣接伝熱管３１ａの応答変位量が変位幅ｒ_ｏｕｔで表され、独立振動管３０の外側に隣接する隣接伝熱管３１ｂの応答変位量が変位幅ｒ_ｉｎで表されている。

なお、接触荷重ｒ_ｏｕｔおよび接触荷重ｒ_ｉｎは、伝熱管３の曲率中心を原点とする極座標系において半径方向（ｒ方向）に沿った成分（法線方向成分）を表している。ここで、当該法線方向成分は、半径方向（ｒ方向）に沿った独立振動管３０および隣接伝熱管３１の変位量に対応する。しかし、独立振動管３０および隣接伝熱管３１の変位量を表す変位ベクトルは、上記法線方向成分のみならず、上述した極座標系のθ座標軸方向に沿った成分（接線方向成分）も含み得る。その場合、当該接線方向成分は、θ座標軸方向に沿った接線方向における独立振動管３０および隣接伝熱管３１の変位量に対応する。

図６Ａは、変位幅ｒ_ｄに応じた応答変位後の独立振動管３０と変位幅ｒ_ｏｕｔに応じた応答変位後の隣接伝熱管３１とが互いに接触していない状態（離れた状態）を図示する。その一方で、図６Ｂは、独立振動管３０と隣接伝熱管３１ａとは互いに接触状態にあり、独立振動管３０が隣接伝熱管３１ａから接触荷重を受けている場合に対応する変位幅ｒ_ｄ、ｒ_ｏｕｔおよびｒ_ｉｎを示す。ここで、独立振動管３０と隣接伝熱管３１ａおよび３１ｂの応答変位量に相当する変位幅ｒ_ｄ、ｒ_ｏｕｔおよびｒ_ｉｎは、独立振動管３０と隣接伝熱管３１との間の接触状態や当該接触状態において生じる接触荷重を考慮しないで算出された第１応答変位量に対応する。従って、図６Ｂにおいては、変位幅ｒ_ｄに応じた応答変位後の独立振動管３０と変位幅ｒ_ｏｕｔに応じた応答変位後の隣接伝熱管３１とはあたかも空間的に重なり合っているように図示されている。なお、図６Ａおよび図６Ｂにおいては図面の見やすさと紙面上での表記の都合上、変位幅ｒ_ｄ、ｒ_ｏｕｔおよびｒ_ｉｎは、互いに異なる半径方向に沿った変位幅として表記されている。しかし、実際には、変位幅ｒ_ｄ、ｒ_ｏｕｔおよびｒ_ｉｎは、伝熱管３の曲率中心を原点とする極座標系において同一の半径方向（ｒ方向）に沿った半径方向値（ｒ値）である。

図６Ａを参照すると、変位幅ｒ_ｄに応じた応答変位後の独立振動管３０（３０の破線部分）と変位幅ｒ_ｏｕｔに応じた応答変位後の隣接伝熱管３１ａ（３１ａの破線部分）との間の隙間幅δは正である。その一方で、図６Ｂを参照すると、変位幅ｒ_ｄに応じた応答変位後の独立振動管３０（３０の一点鎖線部分）と変位幅ｒ_ｏｕｔに応じた応答変位後の隣接伝熱管３１ａ（３１ａの一点鎖線部分）との間の隙間幅δは負である。以上から、図６Ａに例示したように、破線または一点鎖線で表された応答変位後の独立振動管３０と隣接伝熱管３１ａとの間の隙間量δが正であれば、独立振動管３０と隣接伝熱管３１ａとは非接触状態であり、接触荷重は生じていないと言える。他方、図６Ｂに例示したように、破線または一点鎖線で表された応答変位後の独立振動管３０と隣接伝熱管３１ａとの間の隙間量δが負であれば、独立振動管３０と隣接伝熱管３１ａとは互いに接触している状態にあり、接触荷重が作用していると言える。

なお、独立振動管３０の応答変位量が変位幅ｒ_ｄは、処理Ｐ１（処理Ｓ１１〜Ｓ１５）において独立振動管３０の衝突自由度方向に沿った応答変位量として算出された変位ベクトルＸ_ｄを極座標変換して得られる変位量である。上記極座標変換に使用される極座標系は、複数の伝熱管３の曲り部６が共有する曲率中心を原点とし、曲り部６の曲率半径方向に沿った半径軸を有する極座標系である。また、隣接伝熱管３１ａおよび３１ｂの応答変位量に対応する変位幅ｒ_ｏｕｔおよびｒ_ｉｎは、処理Ｐ２（処理Ｓ２１〜Ｓ２５）において算出された応答変位量から導出される。具体的には、変位幅ｒ_ｏｕｔおよびｒ_ｉｎは、伝熱管群１０全体の衝突自由度方向に沿った応答変位量として算出された変位ベクトルＸ_ｉｏを極座標変換して得た変位量から導出され、当該極座標変換は、隣接伝熱管３１ａおよび３１ｂの伝熱管群１０内における設置位置に応じて行われる。その結果、図６に示す実施形態においては、処理Ｐ１（処理Ｓ１１〜Ｓ１５）および処理Ｐ２（処理Ｓ２１〜Ｓ２５）において算出された応答変位量（Ｘ_ｉｏおよびＸ_ｄ）を使用して、独立振動管３０と隣接伝熱管３１との間の隙間量を算出するのに必要な変位幅ｒ_ｄ、ｒ_ｏｕｔおよびｒ_ｉｎを得ることができる。

上述した隙間量とは、一の伝熱管３０（独立振動管３０）と隣接伝熱管３１（図４の隣接伝熱管３１）との間における初期隙間δ_０から、独立振動管３０と隣接伝熱管３１との間における相対変位量を減算して得られる量である。独立振動管３０と外側に隣接する隣接伝熱管３１ａとの間における相対変位量とは、独立振動管３０の第１応答変位量に対応する変位幅ｒ_ｄと、伝熱管群１０全体の応答変位量から得られる隣接伝熱管３１の応答変位量に対応する変位幅ｒ_ｏｕｔとの差に基づいて得られる相対的な変位量である。独立振動管３０と内側に隣接する隣接伝熱管３１ｂとの間における相対変位量とは、独立振動管３０の第１応答変位量に対応する変位幅ｒ_ｄと、伝熱管群１０全体の応答変位量から得られる隣接伝熱管３１の応答変位量に対応する変位幅ｒ_ｉｎとの差に基づいて得られる相対的な変位量である。

ここで、独立振動管３０が隣接伝熱管３１と面内方向Ｄ２において衝突する際のN_c個の衝突位置を、添え字ｃｊを用いてn_cj (ｊ= 1,2,…,Ｎ_ｃ)と表記し、衝突位置n_cjにおける変位幅ｒ_ｄを、変位幅ｒ_ｃｊで表すとする。また、独立振動管３０と外側の隣接伝熱管３１ａとの間における隙間量をδ_ｏｕｔとし、独立振動管３０と内側の隣接伝熱管３１ｂとの間における隙間量をδ_ｉｎとする。すると、初期隙間δ_０、変位幅ｒ_ｃｊおよび変位幅ｒ_ｏｕｔまたは変位幅ｒ_ｉｎとの間に以下の関係式が成り立つ。

従って、上記式（８）に基づいて、初期隙間δ_０、変位幅ｒ_ｃｊおよび変位幅ｒ_ｏｕｔまたは変位幅ｒ_ｉｎから、独立振動管３０と隣接伝熱管３１ａまたは３１ｂとの間における隙間量δ_ｏｕｔまたはδ_ｉｎを求めることができる。

図６に示す実施形態では、一の伝熱管３０（独立振動管３０）と隣接伝熱管３１（図４の隣接伝熱管３１）との間における隙間量δ_ｏｕｔまたはδ_ｉｎを算出し、隙間量δ_ｏｕｔまたはδ_ｉｎがゼロ以上（δ_ｏｕｔ≧０またはδ_ｉｎ≧０）なら、独立振動管３０が隣接伝熱管３１から受ける接触荷重をゼロとしてもよい。また、当該隙間量δ_ｏｕｔまたはδ_ｉｎが負になったとき（δ_ｏｕｔ＜０またはδ_ｉｎ＜０）には、当該接触荷重を隙間量δ_ｏｕｔまたはδ_ｉｎの大きさに応じて算出してもよい。

以下、図７を参照しながら、独立振動管３０と隣接伝熱管３１との間における隙間量δ_ｏｕｔまたはδ_ｉｎを算出し、隙間量δ_ｏｕｔまたはδ_ｉｎが負になったとき（δ_ｏｕｔ＜０またはδ_ｉｎ＜０）に、当該接触荷重を隙間量δ_ｏｕｔまたはδ_ｉｎの大きさに応じて算出する際の具体的な方法について説明する。

独立振動管３０と外側の隣接伝熱管３１ａとの間における隙間量をδ_ｏｕｔとし、独立振動管３０が外側の隣接伝熱管３１ａから受ける接触荷重をｆ_ｏｕｔとすると、δ_０とｆ_ｏｕｔとの間の関係は、図７に示す単純化された力学系によって近似されてもよい。同様に、独立振動管３０と内側の隣接伝熱管３１ｂとの間における隙間量をδ_ｉｎとし、独立振動管３０が内側の隣接伝熱管３１ｂから受ける接触荷重をｆ_ｉｎとすると、δ_０とｆ_ｉｎとの間の関係もまた、図７に示す単純化された力学系によって近似されてもよい。つまり、図７に示すように、隙間量δ_ｏｕｔと接触荷重ｆ_ｏｕｔとの間の関係は、バネ定数ｋ_ｃを有するバネ要素と減衰係数ｃ_ｃを有するダンパー要素とが並列結合した力学系によって近似されてもよい。同様に、隙間量δ_ｉｎと接触荷重ｆ_ｉｎとの間の関係も、バネ定数ｋ_ｃを有するバネ要素と減衰係数ｃ_ｃを有するダンパー要素とが並列結合した力学系によって近似されてもよい。従って、隙間量と接触荷重との間において以下の関係式が成り立つ。

従って、独立振動管３０と外側の隣接伝熱管３１ａとの間における隙間量δ_ｏｕｔおよび独立振動管３０と内側の隣接伝熱管３１ｂとの間における隙間量δ_ｉｎが求まれば、上記式（９）に基づいて独立振動管３０が外側の隣接伝熱管３１ａから受ける接触荷重ｆ_ｏｕｔおよび独立振動管３０が内側の隣接伝熱管３１ｂから受ける接触荷重ｆ_ｉｎを算出することができる。なお、接触荷重ｆ_ｏｕｔおよび接触荷重ｆ_ｉｎは、伝熱管３の曲率中心を原点とする極座標系において半径方向（ｒ方向）に沿った成分（法線方向成分）を表している。ここで、当該法線方向成分は、半径方向（ｒ方向）に沿って独立振動管３０から隣接伝熱管３１に作用する押圧荷重に対応する。しかし、接触荷重を表す力ベクトルは、上記法線方向成分のみならず、上述した極座標系のθ座標軸方向に沿った成分（接線方向成分）も含み得る。その場合、当該接線方向成分は、θ座標軸方向に沿った接線方向において独立振動管３０から隣接伝熱管３１に作用する摩擦力荷重に対応する。

例示的な一実施形態では、図５の処理Ｐ４において独立振動管３０の第２応答変位量を算出する処理は、以下のように実行されても良い。独立振動管３０の第２応答変位量を算出するには、処理Ｓ１４において第１応答変位量を求める処理を、独立振動管３０と隣接伝熱管３１との間における相互作用を考慮する形で実行しなおせばよい。具体的には、処理Ｓ１４において独立伝熱管３０のモーダル変位φ_ｄを求める処理を、独立振動管３０と隣接伝熱管３１との間における接触荷重Ｆ_φを考慮する形で再度実行すればよい。従って、独立伝熱管３０のモーダル変位φ_ｄは、以下の運動方程式を解くことにより算出される。

ここで、Ｍ_ｄ、Ｋ_ｄ、Ｃ_ｄおよびΦ_ｄは、処理Ｓ１２〜Ｓ１３において独立振動管３０のモーダル質量、モーダル剛性、モーダル減衰およびモード変換行列として算出したモーダル・パラメータであり、Φ’_ｄは、Φ_ｄの転置行列である。接触荷重Ｆ_φは、独立振動管３０と隣接伝熱管３１との間における相互作用に対応する接触荷重のモーダル力を表す。接触荷重ベクトルをＦ_ｃ、入力行列をＢ_ｘｙとすれば、全ての衝突位置n_cj (ｊ= 1,2,…,Ｎ_ｃ)に関する接触荷重のモーダル力Ｆ_φは次式のように得られる。

ここで、入力行列Ｂ_ｘｙは、処理Ｓ１５に関して上述した式（６）における出力行列Ｃ_ｘｙの転置行列である。

また、接触荷重ベクトルＦ_ｃと独立振動管３０が外側と内側の隣接伝熱管３１ａおよび３１ｂから受ける接触荷重ｆ_ｏｕｔおよびｆ_ｉｎとの間には以下の関係が成り立つ。

なお、上記事例においては、接触荷重ベクトルＦ_ｃのうち伝熱管３の曲率中心を原点とする極座標系において半径方向（ｒ方向）に沿った成分（接触面に対する法線方向成分）のみを算出している。しかし、接触荷重ベクトルＦ_ｃは、当該ｒ軸方向に沿った法線成分（法線方向荷重）と直交するθ座標方向に沿った摩擦方向荷重の成分（接触面に対する接線方向成分）を含む場合もある。従って、接触荷重ベクトルＦ_ｃは、接触面に対する法線成分（ｒ軸方向荷重）と接触面に対する接線方向成分（θ座標に沿った摩擦方向荷重）の両者を含むベクトルとして定式化することができる。

ここで、θは、独立伝熱管３０の面内方向Ｄ２に沿った応答変位量に対応する変位ベクトルＸ_ｄと伝熱管３の曲り部６の曲率中心を中心点とする半径方向との間における角度である。以上のようにして、独立振動管３０の第２応答変位量に対応するモーダル変位φ_ｄが算出される。

以上より、図６〜図７に示す実施形態では、一の伝熱管３０（独立振動管３０）と隣接伝熱管３１（図４の隣接伝熱管３１）との間の初期隙間から独立振動管３０と隣接伝熱管３１との間の相対変位量を減算することで、独立振動管３０と隣接伝熱管３１との間における隙間量を算出している。また、図６に示す実施形態では、一の伝熱管３０（独立振動管３０）が隣接伝熱管３１（図４の隣接伝熱管３１）から受ける接触荷重を上述した隙間量の大きさに応じて算出している。従って、図６に示す実施形態では、一の伝熱管３０（独立振動管３０）が隣接伝熱管３１（図４の隣接伝熱管３１）から受ける接触荷重を評価する際に、独立振動管３０と隣接伝熱管３１との間の相対的な動力学的挙動特性を記述する数値振動解析モデルを用いて詳細な解析を行う必要がない。

幾つかの実施形態では、伝熱管群１０は、ＰＷＲ原子力発電設備の蒸気発生器を構成する伝熱管群であってもよい。これにより、蒸気発生器などの熱交換器が加圧水型原子炉を含む原子力関連施設に設けられるものである場合には、伝熱管群１０の耐震性評価のために、想定される地震動が個々の伝熱管３に作用した際に発生する応力を事前に評価することができる。その結果、伝熱管群１０の構造を、耐震性を考慮して設計することが可能となる。

３ 伝熱管
４ 第１直管部
５ 第２直管部
６（６ａ１、６ａ２、６ａ３、６ｂ１、６ｃ１、６０） 曲り部
７ 管支持板
８ 管列
１０ 伝熱管群
１０ａ Ｕベンド部
１１ 第１保持部材
１２ 振止め部材
１２ａ 振止め部材の端部
１４ 第２保持部材
３０ 独立振動管
３１（３１ａ、３１ｂ） 隣接伝熱管
Ｄ１ 面外方向
Ｄ２ 面内方向
ｄ１ 列方向
ｄ２ 行方向

Claims (8)

1. 複数の伝熱管を含む伝熱管群の加振力に起因して発生する応力の評価方法であって、
   前記伝熱管群のうち一の伝熱管の前記加振力に応じた第１応答変位量を、前記伝熱管群のうち前記一の伝熱管以外の他の伝熱管との相互作用を考慮せずに算出するステップと、
   前記加振力に応じた前記他の伝熱管を含む管群全体の応答変位量を算出するステップと、
   前記一の伝熱管の前記第１応答変位量と前記管群全体の応答変位量とに基づいて、前記一の伝熱管と、前記伝熱管群のうち前記一の伝熱管に隣接する隣接伝熱管との間の衝突による接触荷重を算出するステップと、
   前記加振力および前記隣接伝熱管から受ける前記接触荷重に基づいて、前記一の伝熱管の前記加振力に応じた第２応答変位量を算出するステップと、
   前記第２応答変位量に基づいて、前記一の伝熱管に発生する応力を算出するステップと、
   を備える伝熱管群の応力評価方法。
2. 前記伝熱管群は、同一の平面内において延在するとともに、互いに曲率中心を共有し、且つ、互いに曲率半径が異なる曲り部を有する複数の伝熱管によって形成される管列を少なくとも一つ含み、
   前記管列は、前記平面に沿って延在する一対の振止め部材によって挟まれるように、該一対の振止め部材間に配置されており、
   前記平面内において前記一の伝熱管に隣接する前記隣接伝熱管から受ける前記接触荷重に基づいて、前記一の伝熱管の前記第２応答変位量を算出することを特徴とする請求項１に記載の伝熱管群の応力評価方法。
3. 前記一の伝熱管と前記隣接伝熱管との間における初期隙間から、前記一の伝熱管の第１応答変位量と、前記管群全体の応答変位量から得られる前記隣接伝熱管の応答変位量との差に基づく相対変位量を減算して前記一の伝熱管と前記隣接伝熱管との隙間量を算出するステップをさらに備え、
   前記隙間量がゼロ以上であれば前記接触荷重をゼロとし、前記隙間量が負になったときにのみ、前記一の伝熱管と前記隣接伝熱管との間における前記接触荷重を前記隙間量の大きさに応じて算出することを特徴とする請求項１または２のいずれか一項に記載の伝熱管群の応力評価方法。
4. 前記管群全体の応答変位量として、前記一の伝熱管および前記他の伝熱管により形成される前記伝熱管群全体の前記加振力に応じた応答変位量を算出することを特徴とする請求項１乃至３のいずれか一項に記載の伝熱管群の応力評価方法。
5. 前記一の伝熱管と前記他の伝熱管との相互作用を考慮せずに前記管群全体の応答変位量を算出することを特徴とする請求項１乃至４のいずれか一項に記載の伝熱管群の応力評価方法。
6. 前記伝熱管群のうち、前記加振力の周波数に固有振動数が最も近い伝熱管を前記一の伝熱管として選択するステップをさらに備えることを特徴とする請求項１乃至５のいずれか一項に記載の伝熱管群の応力評価方法。
7. 前記伝熱管群のうち、前記加振力としての地震波の卓越周波数に固有振動数が最も近い伝熱管を前記一の伝熱管として選択することを特徴とする請求項６に記載の伝熱管群の応力評価方法。
8. 前記伝熱管群は、ＰＷＲ原子力発電設備の蒸気発生器の伝熱管群であることを特徴とする請求項１乃至７の何れか一項に記載の伝熱管群の応力評価方法。

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