JP6300713B2 - 半導体デバイス内のトラップの寿命を解析する方法および装置 - Google Patents

Description

本発明は包括的には半導体デバイスに関し、より詳細には、半導体デバイス内のトラップを解析することに関する。

半導体デバイスでは、トラップはキャリアを捕捉する不純物又は転位に関連しており、トラップによってキャリアは強く局在化したままになる。トラップは半導体デバイスの性能及び信頼性に関して重大な役を演じる。トラップの挙動を理解することによって、半導体デバイスの設計、製造、性能及び信頼性を改善することができる。

例えば、高周波電力増幅器、高速スイッチ、並びにレーダ及び衛星の応用形態において、高い破壊電界、高い電子移動度、高い電力密度及び高い電子飽和速度のようなＩＩＩ族−窒化物の優れた物性に起因して、多くの場合に窒化ガリウム（ＧａＮ：ｇａｌｌｉｕｍ ｎｉｔｒｉｄｅ）及び窒化アルミニウムガリウム（ＡｌＧａＮ：ａｌｕｍｉｎｕｍ ｇａｌｌｉｕｍ ｎｉｔｒｉｄｅ）高電子移動度トランジスタ（ＨＥＭＴ：ｈｉｇｈ−ｅｌｅｃｔｒｏｎ−ｍｏｂｉｌｉｔｙ ｔｒａｎｓｉｓｔｏｒｓ）が用いられる。高電力の応用形態に対する１つの要件は、オンへの切替中に、又は切替後に低抵抗を達成することである。動的オン抵抗は、バイアス条件とともに劇的に増加する可能性がある。これらのオン抵抗変化は、トラッピング効果によって引き起こされることが知られている。ＨＥＭＴの劣化の厳密な故障メカニズムは、依然として盛んに研究されている分野である。劣化の原因は、例えば、「ホット」キャリア、逆圧電効果、及び格子不整合に起因すると考えられている。

トラップが半導体デバイスの性能に及ぼす影響は一時的であり、最終的には時間とともに減少し、すなわち、半導体デバイスの動作の被測定量の挙動が安定し、一定に近づく。各トラップは、具体的な寿命に合わせて指数関数的に挙動すると仮定される。総合的に、複数のトラップがデバイスの動作に影響を及ぼす。それゆえ、トラッピングプロセス及びデトラッピングプロセスの寿命の情報を計算し、表示することができる方法によって、トラップを検出し、解析できるようにする。

トラップからの回復は数ナノ秒、数分、場合によっては数日かかる可能性があり、トラップが半導体デバイスの性能及び信頼性を激しく劣化させるため、その影響を解析することは極めて重要である。また、トラップ解析は、性能及び信頼性が改善されたデバイスをモデル化し、設計し、製造できるように、トラップの形成及び挙動を特徴付けるためにも重要である。その寿命は、トラップの温度及び活性化エネルギーに関連付けることができる。捕捉係数又は放出係数はそれぞれ、満たされることになる初期のトラップ数、又は放出されることになるトラップ内のキャリア数の関数とすることができる。

温度の関数としての、トラップの寿命の情報によって、トラップの活性化エネルギー及び断面密度を計算できるようになり、それらの計算値はトラップの挙動を理解する上で非常に重要なパラメーターである。現在のＧａＮデバイスの電気的モデルは、トラップの特性を捕らえていない。デバイスのトラップ寿命を正確に抽出することは、デバイスの更に正確な電気的モデルの開発につながる情報を提供することになる。ＲＦ電力増幅器の設計のような、より正確なデバイスモデルを有するデバイスを用いるシステム設計は、電力効率及び歪み低減のような最適な性能を達成するのに非常に役に立つ。

ＧａＮ ＨＥＭＴ内のトラップ挙動を解析する従来の方法は、非特許文献１によって記述される方法及び非特許文献２によって記述される方法を含む。それらの従来の方法は不正確であり、計算が複雑である。

上記の従来の方法は、互いに直交していない基底関数を用いる最小二乗当てはめに基づいており、基本的にトラップ寿命が連続的に分布していると仮定して、トラップ寿命を記述する時定数を対数時間スケールにおいて均一に配置している。良好な当てはめには、基底関数の数を十分に多くする必要があり、その場合、従来技術における基底関数は、全く直交していないだけでなく、概ね線形従属でもある。それらの従来の方法では、数値的に有効な基底は形成されず、その結果、極めて良くない条件の最小二乗問題になり、それゆえ、結果として寿命計算に誤りが生じる。従来の手法は、最小二乗当てはめにおいて、スペクトルに関して上限及び下限、又は平滑性などの制約を加えて、悪条件を緩和するが、これは劇的に計算時間を長くし、その一方で、依然として、寿命計算が不正確であることを申し分なく解決するものではない。

Ｊｕｎｇｗｏｏら「Ａ Ｃｕｒｒｅｎｔ−Ｔｒａｎｓｉｅｎｔ Ｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｙ ｆｏｒ Ｔｒａｐ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｆｏｒ ＧａＮ Ｈｉｇｈ Ｅｌｅｃｔｒｏｎ Ｍｏｂｉｌｉｔｙ Ｔｒａｎｓｉｓｔｏｒｓ」（ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ， ５８（１）：１３２−１４０， ２０１１） Ｄｏｎｇｈｙｕｎら「Ｍｅｃｈａｎｉｓｍｓ ｒｅｓｐｏｎｓｉｂｌｅ ｆｏｒ ｄｙｎａｍｉｃ ＯＮ−ｒｅｓｉｓｔａｎｃｅ ｉｎ ＧａＮ ｈｉｇｈ−ｖｏｌｔａｇｅ ＨＥＭＴｓ」（Ｐｏｗｅｒ Ｓｅｍｉｃｏｎｄｕｃｔｏｒ Ｄｅｖｉｃｅｓ ａｎｄ ＩＣｓ （ＩＳＰＳＤ）， ２０１２ ２４ｔｈ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｓｙｍｐｏｓｉｕｍ ｏｎ， ｐａｇｅｓ ３３３−３３６， ２０１２）

したがって、半導体デバイス内のトラップを解析する効率的で正確な方法を提供することが必要とされている。

本発明の実施形態は、半導体デバイス、例えば、ＧａＮ又はＡｌＧａＮ ＨＥＭＴ内のトラップを解析する方法を提供する。その解析は、性能及び信頼性を改善しながら半導体デバイスをモデル化し、設計し、製造できるように、トラップの挙動を特徴付ける。

いかなるトラップも存在しければ、時間に関する半導体システム挙動は一定であり、すなわち、Ｉ＝Ｉ_∞である。単一のトラップの場合、トラップ寿命τによって特徴付けられる、１つの純粋な指数成分が追加されると仮定され、すなわち、Ｉ＝ｃｅ^−ｔ／τ＋Ｉ_∞となる。ただし、大きさｃは、このプロセスにおけるキャリアを伴う初期トラップ集団に関連する、トラッピングプロセス又はデトラッピングプロセスの初期条件を表す。複数のトラップが移動電荷キャリアを捕捉し、放出する半導体システムは、時間に関して多指数関数挙動に従うと仮定される。「多指数関数」は、時間に関する挙動が、異なる寿命を有する有限数の純粋に指数の時間関数の一次結合、すなわち、

によって記述されることを意味する。複数の時間ｔにおいて、ｔの関数として測定された過渡データＩ_ｄａｔａ（ｔ）を有するとき、その方法の目的は、定数Ｉ_∞、存在する純粋な指数成分の全数、並びに指数成分ごとの寿命τ_ｉ及び対応する大きさｃ_ｉの数値を自動的に求めることである。

それらの実施形態は、トラップの支配的寿命τ_ｉが離散的である、すなわち、疎らに分布している場合があり、その場合、時定数スペクトル内の支配的トラップ寿命τ_ｉの近隣の場所は、信号データ関数Ｉ_ｄａｔａ（ｔ）の一次導関数の絶対値の極大値の場所を見つけることによって特定することができるという理解に基づく。分布の疎らの程度は、しきい値を用いて判断される。

入力データは、半導体デバイス上で行われる実験的な測定から得られる。その方法は、次のステップのフィルタリングにおいて従来の離散フーリエ変換（ＦＦＴ：ｆａｓｔ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ）を用いることができるように、データを、２^ｋのグリッドサイズを有する時間領域の高密度で均一な対数グリッドに補間することができる。補間されたデータをフィルタリングして、コサインフーリエ変換又は従来の平滑化により雑音を低減することができる。

フーリエスペクトル法を用いて導関数を得るためにデータを周波数領域に変換し、その後、逆ＦＦＴを実行して、時間領域において導関数を求めることによって、（フィルタリング後の）信号データの一次導関数を求めることができる。代替的には、有限差分法を用いる数値計算を適用することができる。

時定数スペクトル内の支配的トラップ寿命τ_ｉの近隣の場所は、その導関数の絶対値の極大値の場所を見つけることによって特定される。絶対値の各極大値は、その場所付近で寿命が一定であり、トラップ寿命、すなわち、その全数及び値のための良好な初期近似をもたらす純粋な指数成分に対応する。その後、最小二乗法を用いて、各トラップ寿命に対応する大きさの値ｃ_ｉ（捕捉係数又は放出係数）を求めることができる。上記の寿命及び大きさの全てを初期近似として用いるとき、非線形最小二乗法を用いて、ｃ_ｉ及びτ_ｉの両方を同時に最適化することができる。

一般的に、半導体デバイスの寿命情報によって、デバイス内で支配的であるトラップの種類、そして特に、性能及び／又は信頼性に影響を与える可能性があるトラップを知ることができるようになる。それゆえ、製造環境において、デバイス内のトラップの寿命に関する即時情報を取り込み、表示することができる機器があれば、製造ライン内に流れているデバイスをリアルタイムに品質管理できるようになる。

これにより、半導体デバイス内のトラップを解析する効率的で正確な方法を提供することができる。

本発明の実施形態によって解析される例示的な半導体デバイスのブロック図である。 本発明の実施形態による、一次導関数を用いるトラップ解析の概略図である。 本発明の実施形態による、一次導関数を用いるトラップ解析の概略図である。 本発明の実施形態による、トラップを解析する方法の流れ図である。 本発明の実施形態による、トラップを解析する方法の概略図である。 本発明の実施形態による、当てはめ曲線と、対応する当てはめ誤差とのグラフである。 図５の曲線から抽出された時定数スペクトルと、対応する大きさの振幅とのグラフである。 種々のステップ中に図４の方法によって処理されるデータを表すグラフである。 本発明の幾つかの実施形態による方法の行列バージョンのブロック図である。 図８Ａの方法の行列バージョンのための一群の寿命を特定するピーク特定の概略図である。 行列バージョンによる群当てはめ及び個別当てはめに関するグラフである。 図９に示される当てはめに対応するピークのグラフである。 図９に示される当てはめに対応する固有近似誤差の棒グラフである。

図１は、窒化ガリウム（ＧａＮ）及び窒化アルミニウムガリウム（ＡｌＧａＮ）高電子移動度トランジスタ（ＨＥＭＴ）のような例示的な半導体デバイス１００の簡略化された構造を示す。そのデバイスは、ＡｌＧａＮ層１０２上に堆積されたゲート１０１を含み、その層の両側にソース１０３及びドレイン１０４が配置される。また、トランジスタはＡｌＧａＮ非ドープ層１０５と、基板１０６とを含む。エリア１０７は、デバイス内のトラップの幾つかの取り得る物理的場所を示す。

センサー１２０が、半導体デバイスの動作を特徴付けるデータ信号３１０を経時的に取り込むことができる。通常、その信号は、処理する前にデジタルデータに変換される。しかしながら、アナログ領域において処理を行うこともできることは理解されよう。異なる寿命を有するトラップに起因して、そのデータは、或る期間後に安定する多指数関数挙動を示す。本発明の種々の実施形態は、データにトラップアナライザー１３０を適用する。その解析は、被測定データ信号の多指数関数挙動に基づく。例えば、トラップアナライザー１３０は、単一のトラップ又は複数のトラップの存在を判断することができ、トラップの離散的寿命と、離散的寿命ごとの対応する大きさとを計算することができる。センサー１２０及びアナライザー１３０は、半導体デバイス内に組み込むことができるか、又はデバイスの外部に接続することができる。

関数ｃｅ^−ｔ／τは時間ｔに関する指数関数プロセスを表す。ただし、パラメーターτは減衰の寿命であり、以下の式が成り立つので、減衰速度に反比例する。

係数ｃは、指数関数プロセスの大きさを表す。一定の寿命τの場合の大きさｃは、時間ｔ＝０における被測定データに対する、対応する関数ｃｅ^−ｔ／τの初期の寄与を表す。半導体トラップの場合、大きさｃは捕捉係数又は放出係数であり、その係数は、信号関数ｃｅ^−ｔ／τによって記述される、一定の寿命τの場合のトラッププロセスに関与する初期の全トラップ数又は全電荷数に関連付けることができる。ｃの正及び負の値はそれぞれトラッピング及びデトラッピングに対応する。

その信号は多指数関数挙動を表すという仮定に起因して、幾つかの実施形態は、以下の当てはめ関数を使用する。

ただし、指数成分ｅ^{−ｔ／τｉ}は当てはめ関数のための基底関数として扱われ、ｃ_ｉは基底関数ごとの係数又は大きさである。基底関数は、トラップ寿命τ_ｉによって特徴付けられる指数関数プロセスの挙動を表し、大きさｃ_ｉはこのプロセスにおける初期トラップ集団を表す。

トラップアナライザー１３０は、関数Ｉを信号３１０に当てはめることによって、トラップを解析する。本発明の幾つかの実施形態は、当てはめ関数Ｉが指数曲線の一次結合によって形成される多指数関数であるという認識に基づく。幾つかの典型的なタイプの支配的トラップが存在する可能性があり、各トラップは異なる寿命を有する可能性がある。半導体デバイスの全体的挙動は、それぞれが時間に関する指数関数である、幾つかの独立したトラッピングプロセス及びデトラッピングプロセスを伴う。

トラップ寿命の数及び分布は未知であるので、解析は難しい。しかしながら、幾つかの実施形態は、指数関数的に減衰する信号の寿命は、その信号の最も速い変化率に対応するという理解に基づく。変化率（すなわち、経時的な信号の変化率）は、その信号の一次導関数によって求めることができる。したがって、基底関数の導関数の絶対値のピークは寿命τ_ｉの初期推定値を示す。この手法は、支配的寿命間に相対的に大きな間隔が存在するとき、すなわち、しきい値によって求められるように、対数時間スケールにおける完全な時間間隔に対してｍｉｎ（｜τ_ｉ−τ_ｊ｜）が大きいときに有利である。この場合、寿命は離散的である、すなわち、疎らに分布すると言われる。

図２Ａは、それらの実施形態の原理を示す。プロット２１０は、異なる寿命を有する指数関数的に減衰する信号の例、例えば、信号２１１及び２１４を示す。指数関数的に減衰する信号の一次導関数２２０は、対応する指数関数的に減衰する信号の寿命に対応する場所においてピークを有する信号速度変化２３０を生成する。

例えば、信号速度変化２３１は、信号２１１の寿命の値に対応する場所２３２において、ピーク、すなわち、最大絶対値を有する。同様に、信号速度変化２３３は、信号２１４の寿命の値に対応する場所２３４においてピークを有する。

種々の実施形態は、個々の減衰する信号に当てはまる原理が半導体デバイスの多指数関数信号を解析するために拡張できるという理解に基づく。具体的には、多指数関数信号の導関数のピークの時間が、半導体デバイス内のトラップの特性の初期解析に役に立つ可能性がある。

図２Ｂはこの理解を示す。多指数関数信号２４０から求められた（２２０）信号の一次導関数２５０は、ピーク２５１及び２５２のような幾つかのピークを含む。それらのピークを用いて、半導体デバイス内のトラップの特性を解析することができる。例えば、ピークの場所を、種々の曲線当てはめ方法における寿命の初期近似値として用いることができる。大きさが小さなピーク２５３は、しきい値を用いて、非本質的であるとして無視することができる。その近隣では、しきい値を用いて、複数のピーク２５４の場所を結合して、１つの寿命場所にすることができ、それにより、離散的寿命が時間に関していかに疎らに分布するかを操作することができる。

図３は、本発明の幾つかの実施形態による方法のブロック図を示す。その方法は、或る期間にわたる半導体デバイスの動作を表す信号３１０の一次導関数を求め（３２０）、信号速度変化３２５を生成することと、信号速度変化のピークに対応する時間に基づいて半導体デバイス内のトラップを解析すること（３３０）とを含む。

幾つかの実施形態において、解析すること（３３０）は、ピークの数に基づいてトラップの主要な離散的寿命の数を求めること（３３１）、対応するピークの場所に基づいて各離散的寿命の数値を求めること（３３３）、及び寿命ごとに大きさ（すなわち、トラッピングプロセス又はデトラッピングプロセスのそれぞれ捕捉係数又は放出係数）を求めること（３３５）のうちの１つ又はその組み合わせを含むことができる。

時定数スペクトル内の支配的トラップ寿命τ_ｉの近隣の場所は、導関数の絶対値の極大値の場所を見つけることによって特定される。絶対値の各極大値は、その場所付近において寿命が一定であり、トラップ寿命の値、すなわち、その全数及び場所に関する良好な初期近似をもたらす純粋な指数成分に対応する。その後、最小二乗法を用いて、トラップ寿命に対応する大きさの値ｃ_ｉを求めることができる。上記の寿命及び大きさの全てを初期近似として用いるとき、最終的に、非線形最小二乗法を用いて、ｃ_ｉ及びτ_ｉの両方を同時に最適化することができる。

それらの実施形態は、トラップの支配的寿命が離散的な場合がある、すなわち、疎らに分布する場合があるという理解に基づく。これは、トラップの支配的寿命が高密度で一様に分布するように選択される従来の手法とは著しい対照をなす。本発明の方法は、従来技術による従来の手法と比べて、より正確であり、かつ効率的であり、定性的な改善を与える。

方法概説
図４は、本発明の実施形態による、プロセッサ４００においてトラッピングプロセス又はデトラッピングプロセスの離散的寿命τ及び大きさｃ４６５を抽出することによって、図１に示されるような、半導体デバイス１００を解析する方法を示す。

その方法は、多指数関数挙動を有する他のデバイス及びシステムにも適用することができることは理解されたい。そのサブシステムが時間に関して指数関数的であるプロセスを示す数多くのシステムが存在する。「多指数関数」は、時間に関するシステム挙動が、異なる寿命を有する有限数の純粋に指数の時間関数の一次結合によって記述されることを数学的に意味する。

入力データ４０１は、センサー１０１によって半導体デバイスから得られた実験測定値である。そのデータは、不規則な時間に測定することができる。本発明の方法はそのようなデータに直接適用することができるが、補間された（４１０）データを最初に有することが有益な場合がある。１つの可能な補間は時間領域における高密度で均一なグリッドである。例えば、データ観測結果の指数関数当てはめのプロニーの方法が、時間に関して等距離において実行される。それに加えて、又はその代わりに、補間のために等距離対数時間スケールを用いることができ、それにより、対数時間スケールにおいて均一な、相対的に小さなグリッドサイズを用いて短時間プロセス及び長時間プロセスを正確にモデル化できるようになる。

この方法概説の残りの部分は、データ補間が対数時間スケールにおいて均一に実行されると仮定する。これは、測定のタイミングが多くの場合に数ナノ秒から数日に及ぶ場合がある半導体トラッピング解析の場合に特に適している。

１つの実施形態は２^ｋのグリッドサイズを用いる。都合の良いことに、そのようなサイズのグリッドは、最も効率的な基数２に基づく高速フーリエ変換（ＦＦＴ）を用いて、補間されたデータをフィルタリングすることができる（４２０）。例えば、補間されたデータを、コサインフーリエ変換を用いてローパスフィルタをかけるか、又は平滑化して、雑音を低減することができる。

補間ステップ及びフィルタリングステップはオプションである。補間は、その方法の計算効率を高めるのに好都合である。フィルタリングは、雑音の多いデータに関して、より良好な結果品質を得るのに好都合である。

一実施形態では、コサインフーリエ変換及び逆コサインフーリエ変換はそれぞれ、離散コサインフーリエ変換（ＤＣＴ：ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｃｏｓｉｎｅ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ）及び逆離散コサインフーリエ変換（ＩＤＣＴ：ｉｎｖｅｒｓｅ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｃｏｓｉｎｅ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ）を用いて実行される。

ｘのユニタリ離散コサイン変換は以下の通りである。

ただし、以下の式が成り立つ。

ｙの逆離散コサイン変換は以下の通りである。

フィルタリングされたデータ曲線の一次導関数が求められる（４３０）。このステップは、後続のステップに対する良好な初期値を生成する。上記で言及されたように、補間及びフィルタリングは、導関数が正確であることを確実にすることができる。それらの導関数は、フーリエスペクトル法を用いて導関数を得るためにデータを周波数領域に変換し、その後、逆ＦＦＴを実行して（例えば、基数２クーリー−チューキーアルゴリズム（Ｃｏｏｌｅｙ−Ｔｕｋｅｙ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ）を適用して）、時間領域において導関数を求めることによって、又は有限差分方程式を用いて導関数を近似する、有限差分法を用いる数値法によって求めることができる。

例えば、ｆ_ｉを、ｎ個の離散点ｘ_ｊ∈ｈ，２ｈ，．．．，ｉｈ，．．．，２π−ｈ，２πにおいてサンプリングされた、関数ｆ（ｘ）の離散データであるとする。ただし、ｈ＝２π／ｎである。フーリエ変換

を得るために、そのデータセットのＦＦＴが行われる。すなわち、以下の通りである。

ただし、ｋ∈−ｎ／２＋１，．．．，ｎ／２である。

から以下の恒等式を用いて関数ｆ_ｊのｖ次導関数を求めることができる。

ただし、

であり、ｖは奇数である。

スペクトル法を適用するために、関数ｆは対数時間領域において周期的であり、かつ平滑でなければならない。これらの要件を満たすために、対数時間領域におけるデータ曲線がミラーリングされ、その後、本発明によるＦＦＴのために周期的に拡張される。データ曲線をミラーリングすることによって、各周期間の境界において、その関数のための平滑性を達成する。そのデータは、被測定データの挙動が安定する十分に長い時間にわたる測定値を含み、そのデータ関数は一定に近づくと仮定する。２^ｋのデータグリッドサイズを用いて、ＦＦＴの効率を改善する。

時定数スペクトルにおける支配的トラップ寿命τ_ｉの近隣の場所は、ピーク、すなわち導関数の絶対値の極大値の場所を見つけることによって特定される（４４０）。絶対値の各極大値は、その場所付近において寿命が一定であり、トラップ寿命の値、すなわち、その全数及び時間スケール場所に関する良好な初期近似をもたらす指数成分に対応する。

最小二乗法を用いて、以前に計算されたトラップ寿命に対応する大きさの値ｃ_ｉを求めることができる（４５０）。

その後、上記の寿命及び大きさの全てを初期近似として用いるとき、非線形最小二乗手順を用いてｃ_ｉ及びτ_ｉの両方（４６５）を同時に最適化するために、非線形最小二乗法を用いることができる（４６０）。そのような正確な初期近似を与えることは、典型的には結果として、大域的な最小値に迅速に収束させることになるので好都合である。非線形最小二乗手順においていかなる制約も用いないことは、効率的で制約のない最小化法、例えば、ニュートン法を使用できるようになるので好都合である。

それに加えて、又はその代わりに、最小化中にオプションで制約を加えることができ、例えば、ペナルティ項を追加する形の緩い制約を用いることができる。例えば、ペナルティ項は、反復値を初期近似値の近くにとどまらせることによって、最小化を安定させることができる。それに加えて、又はその代わりに、ペナルティの別の例は、反復する寿命を離散的なままに、すなわち、疎らに分布したままにさせ、対応する反復する大きさを、しきい値によって判断されるように、大きいままにさせることとすることができる。

データ曲線及びその（フィルタリングされた）導関数はいずれも、非線形最小二乗当てはめによって当てはめることができる。導関数を当てはめることは、より正確な結果を与えることができるが、雑音に影響されやすい。一実施形態は、データ曲線及びその導関数を異なるように重み付けし、雑音の存在時に導関数の当てはめをあまり重視しないようにする。

短時間スケールの場合のデータ測定は難しく、大きな測定雑音が予想される可能性がある。最小二乗当てはめのための最小化目的関数を定式化するために、データ測定値の信頼性が高くないと予想される時間領域においてデータを当てはめることをあまり重視しないことは、当てはめの精度に有益であり得る。

当てはめ関数は指数基底関数の総和であるので、非線形最小二乗当てはめのために必要とされる全ての情報を、以下に記述されるように解析的に計算することができる。

ｌｏｇ時間スケールにおける基底関数は以下の通りである。

基底関数に関するヤコビアンは以下のように計算することができる。

基底関数の導関数は以下の通りである。

基底関数の導関数に関するヤコビアンは以下のように計算することができる。

上記のように導出された導関数及びヤコビアンを有するとき、高速で、かつ効率的であることが知られている従来のニュートン法を用いて、非線形最小二乗当てはめを実行することができる。導関数及びヤコビアンに関する解析的表現を用いることは、通常の丸め誤差存在時に、非線形最小二乗当てはめのより高い数値安定性を達成するのも助ける。

上記の方法は、当該技術分野において既知であるように、バスによってメモリ及び入力／出力インターフェースに接続されるプロセッサ４００において実行することができる。

図５は、相加性ガウス雑音を用いて摂動を受けた合成多指数関数曲線ｙ＝３−２ｅ^−ｔ／τ−ｅ^{−ｔ／１０}の場合の元の生データ５０１と、データに当てはめられて抽出された曲線５０２と、対数時間スケールにおける時間の関数としての誤差５０３とを示す。垂直軸は任意単位（Ａ．Ｕ．：ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｕｎｉｔｓ）に関する。左側の単位は関数及びその当てはめに関する単位であり、右側の単位は対応する近似誤差に関する単位である。データと曲線との間の誤差は略７×１０^−６によって制限される。この例における時間領域信号は、定数３と、寿命１及び１０をそれぞれ有する２つの純粋な指数デトラッピング成分とから相加的に構成される、雑音の多い多指数関数である。その寿命に対する対応する大きさは−２及び−１である。

図６は、本発明の方法を用いて計算された時定数スペクトルを示す。その時定数スペクトルは、対応する大きさの値（−２及び−１）を有する２つの指数成分（１及び１０）を正確に示す。

図６では、誤差を生じることなく、完全な時定数スペクトルが抽出される。それゆえ、時定数スペクトルを更に処理して、真の情報と誤った情報とを区別するために、余分な労力をかける必要はない。本発明の時定数及び対応する大きさの当てはめに関する最大誤差は略６×１０^−６である。

合成データ関数に関して図５及び図６に示されるように、支配的寿命の分布は、図６を参照すると、離散値として近似することができ、従来技術の数値寿命において基本的に仮定されるように、連続値として近似されない。この理解は、半導体を解析するための明らかな利点を提供し、これまでに不可能であったリアルタイムの応用形態を可能にする。

種々の実施形態は、２つの異なるやり方で当てはめ関数の定数Ｉ_∞を求める。最初に、指数剥離（ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｐｅｅｌｉｎｇ）の概念を用いるとき、全ての寿命が正であると仮定されるので、多くの時間にわたってデータ曲線が安定化し、Ｉ_∞に接近すると予想されることに本発明者らは気づいている。したがって、Ｉ_∞は、利用可能な最長の測定時間のデータ曲線の値に設定することができる。通常、長時間測定は、非常に短時間の測定に比べて、雑音が少ないと予想することができるので、Ｉ_∞をそのように選択することによって、測定誤差の影響を大きくは受けないはずである。それゆえ、本発明の解析の残りの部分では、定数Ｉ_∞は固定され、最小二乗当てはめにおいて変更されない。この手法に伴う主な難点は、データ観測において利用可能な最も長い時間が、対数時間スケールにおいてデータ曲線が既に安定しているほど十分に長くない場合があることである。この場合、上記のように定数Ｉ_∞を固定すると、系統的誤差が導入され、後に本発明の方法において、結果として最小二乗当てはめの効率及び精度が低下する。

代替の実施形態は、線形若しくは非線形、又は両方の最小二乗当てはめの場合に、未知数として定数Ｉ_∞を含む。この包含は未知数の数を増やし、新たな極小値を導入して、非線形最小二乗最小化を更に難しくするおそれがある。

図７は、図４の方法のステップによって実行された処理中に、対数時間スケールにおける時間、例えば、略１０^−３秒〜１０^３秒の関数として本発明のデータを示しており、ランダム雑音を有する生データ７０１と、フィルタリングされたデータ７０２と、フィルタリングされたデータの一次導関数７０３と、導関数内のピーク７０４と、線形最小二乗当てはめ及びその対応する誤差７０５と、最適化された非線形最小二乗当てはめ及び対応する誤差７０６とを含む。

図８Ａは、複数の信号を同時に当てはめる幾つかの実施形態の方法の行列バージョンのブロック図を示す。その信号は、異なる条件下にある同じ半導体デバイスの動作に対応することができる。例えば、複数の信号内のトラップは実質的に同じ寿命を有することができるが、異なる定数を伴う。例えば、従来の並列計算を用いて、複数のデータ曲線をマルチスレッド式に独立して当てはめることができる。代替的には、それらのステップは、グラフィックス処理ユニット（ＧＰＵ：ｇｒａｐｈｉｃｓ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ ｕｎｉｔ）又はフィールドプログラマブルゲートアレイ（ＦＰＧＡ：ｆｉｅｌｄ−ｐｒｏｇｒａｍｍａｂｌｅ ｇａｔｅ ａｒｒａｙ）のような、特殊なハードウェア計算プロセッサ上で実行することができる。

例えば、その方法は、変化する条件８１０下の半導体デバイスの動作を表す１組の信号８１５を受信する（８０５）。例えば、半導体デバイスは、動作温度を変更することによって、又は半導体デバイスのドレインに印加される電圧を変更することによって動作することができる。その方法は、１組の信号内の各信号の一次導関数を求め（８２０）、１組の信号速度変化８２５を生成する。次に、異なる信号速度変化のピークの場所における時間をクラスタリングして（８３０）、１組のクラスタを生成し、それらのクラスタの中心の場所に基づいて、トラップの離散寿命が解析される（８４０）。

例えば、ｐ個のデータ関数を同時に当てはめるために、データ関数ごとの本発明の当てはめ関数は、以下の形を有する。

ただし、指数成分ｅ^{−ｔ／τｉ}は当てはめ関数のための基底関数として扱われ、ｐ個の全データ関数について同じである。大きさのみが異なる場合がある。

ここで仮定されることは、選択されたデータ群について、寿命が物理的に概ね同じであると予想されることである。この仮定は、例えば、デバイスのゲート、ソース及びドレインに印加される電圧、温度等の、適度に小さな範囲の条件内で同じデバイスに関して一群の測定が実行される場合に、成り立つことが予想される。それに加えて、又はその代わりに、この仮定は、類似の条件下で製造され、動作している異なるデバイスの場合にも成り立つ場合がある。行列バージョンの目的は、測定群内の各測定が独立して当てはめられる場合に、寿命が（測定雑音に起因して）誤って抽出されるか、又は完全に失われるときでも、測定群全体に対する寿命をより高い信頼性で、かつ正確に捕らえることである。

本発明の方法の行列バージョンも、単一関数バージョンとともに、図４によって示される。全てのステップが、入力データ群を同時に扱う。群寿命を特定するステップ４４０のみが、行列バージョンの場合に特別な説明を要する。ステップ４３０は、その群内の全てのフィルタリングされたデータ関数の導関数を求める。単一関数バージョンに関しては、時定数スペクトル内の支配的トラップ寿命の近隣の場所は、関数ごとの導関数の絶対値の極大値の場所を見つけることによって特定される（４４０）。絶対値の各極大値は、再び群内の関数ごとに、その場所付近において寿命が一定であり、トラップ寿命の値、すなわち、その全数及び値に関する良好な初期近似をもたらす指数成分に対応する。

図８Ｂは、この例における、群内の３つの関数に関して、その方法の行列バージョンの場合に群寿命を特定するピーク特定ステップ４４０を示す。図８Ｂでは、第１の関数の場合に２つの計算された寿命８１１及び８１２と、第２の関数の場合に２つの計算された寿命８２１及び８２２と、第３の関数の場合に１つのみの計算された寿命８３１（他の寿命は、例えば、雑音及び積極的なフィルタリングに起因して失われている）とを有する。

本発明では、全ての寿命をクラスタリングして、２つの寿命クラスタ８４１及び８４２の位置を特定する。各クラスタ８４１及び８４２内で、例えば、クラスタ８４１の場合に値８１１、８２１及び８３１を、クラスタ８４２の場合に値８１２及び８２２を平均することによって、クラスタごとの中心８５１及び８５２が求められる。値８５１及び８５２は、その方法の線形最小二乗当てはめステップ４５０において用いられる、本発明の群寿命である。ここでの計算は、本発明の全ての他のステップと同様に、対数時間スケールにおいて実行される。

図９は、雑音を加えた関数

及び

の、本発明の方法の行列バージョンによる群当てはめ（図９１１及び図９１２の上の行）対本発明の行列バージョンによる個別当てはめ（図９２１及び図９２２の下の行）を示す。

図９は、いずれの関数も群当てはめによって９１１及び９１２において十分に近似され、一方、関数９２１のみが十分に近似されることを示す。対照的に、９２２における近似誤差は大きく、振動を示す。

図１０は、図９において示されるように得られた近似に関するトラップ寿命及び対応する大きさを示す。具体的には、群当てはめ１０１１及び１０１２は、対応する関数９１１及び９１２の場合の寿命１、１００、１００及び１０００と、大きさ（１０１１では−１、−１、−１及び−１）及び（１０１２では−２、−１、−２及び−１）とを正確に抽出する。対応する関数９２１の場合の個別当てはめ１０２１も十分適切に機能し、寿命１、１００、１００及び１０００と、許容できる大きさ−１、−１、−１及び−１とを与える。しかしながら、１０２２は、寿命のうちの１つ、すなわち、１０が単純に失われており、他の寿命の場合の大きさが、真の値から著しく異なるので、結果として、図９における劣った当てはめ９２２が生じる。

図１１は、抽出された値１０１１、１０１２、１０２１及び１０２２に対応する、この場合の固有近似誤差１１１１、１１１２、１１２１及び１１２２を表示する。図１１では、大きさが、寿命の上方に薄い色で示される。再び図１０と同様に、図１１において、群当てはめの場合の近似誤差１１１１及び１１２１に対して、失われた寿命１０及び大きな近似誤差１０２２が観察される。これは、本発明の方法の行列バージョンによる群当てはめが、測定群全体の場合に、個別当てはめに比べて高い信頼性で、かつ正確に寿命を捕らえるという本発明人の主張を支持する。

本発明による実施形態は、上記の例において例示されたように、従来の手法と比べて、以下の利点を有する。本発明の方法の図６に表示される時定数スペクトルは、存在する全ての寿命（この例では２つ）を明確に、かつ正確に例示している。対照的に、従来の手法は、データ内に実際には存在しない複数の誤った寿命を計算する場合がある。

本発明の方法によれば、寿命に対応する大きさは実際の値であるのに対して、従来技術の大きさは、実際の値のうちの一部分を反映するにすぎない。

本発明の方法は数値的に安定しており、最適化に課せられる制約を必要としないのに対して、従来技術は、悪い状態／過度の当てはめを防ぐために、スペクトル内で上限及び下限又は平滑性などの制約を用いる。

本発明の方法は、類似の処理デバイス上で実行されると、従来技術に比べて、数桁速い。例えば、１つのデータ曲線を当てはめる本発明の通常の実行時間は、従来のプロセッサ上で、従来技術の方法の場合の数時間に比べて１秒未満であり、その時間は、約４桁の処理時間の短縮に対応する。この予期しない著しい改善によって、実施形態によっては、測定とともに、大量のデータをリアルタイムに処理できるようになる。これは、例えば、半導体の製造品質管理において、又は半導体試験のための即時に適応し、反応する新規の計測ツールを生み出す上で重要である。従来技術の方法は、過剰な、そして場合によっては誤った処理に起因してリアルタイム環境において動作するのを妨げられ、ときには、人間による判断及び介入を必要とする。

例えば、一実施形態は、半導体デバイス製造ラインにおいて試験プロセス中に製造品質管理のために用いることができる。リアルタイムトラップ解析を実行することにより、トラップ情報を抽出することができ、製造されたデバイスに信頼性があるか否かを指示することができる。その後、抽出された情報に基づいて製造に関する或る特定の管理パラメーターを動的に調整し、デバイス内のトラップ（欠陥）を削減して信頼性を改善し、製造をリアルタイム解析に適応させることができる。リアルタイム予測は、作業者に、製造ラインが円滑に機能するように調整を行うための情報を与えることができる。

種々の実施形態の原理は、リアルタイムに故障を防止するために、及び実際に故障が生じる前に代替策を開始するために用いることもできる。例えば、無線通信基地局において、本発明を用いて、電力増幅器のトラップパラメーターを抽出し、デバイスの状態を検出することができる。トラップ寿命スペクトル及び振幅を解析することによって、デバイスが依然として外見上正常に機能している場合であっても、差し迫ったデバイス故障に関して早期に警告を出すことができる。故障予測は、作業者に、通信システムを円滑に機能させておく代替策を開始するように警告することになる。

さらに、半導体デバイスの性能に大きく影響を及ぼす可能性がある、その動作温度を監視することも重要である。しかしながら、デバイスがマイクロスケール又はナノスケールの小型であることに起因して、デバイスごとに特殊な温度センサーを用いることは難しい場合がある。トラップ寿命は極めて温度に影響されやすい可能性があるので、本発明の方法を用いてトラップ寿命スペクトルを解析することによって、個々のデバイスの固有領域内の温度をリアルタイムに監視することができる。温度に依存しないトラップ群も存在する場合があり、寿命の値が温度とともに変化しない場合に特定することができる。

最後に、所与の半導体システムについて計算されたトラップ寿命及び大きさは、半導体システム製造業者を決定する署名としての役割を果たすことができる。これは、例えば、偽物の半導体システムを検出するのに好都合である。

Claims (25)

1. 半導体デバイス内のトラップの寿命を解析する方法であって、
   前記半導体デバイスの動作を表す信号の一次導関数を経時的に求めるステップであって、経時的に信号速度変化を生成することと、
   前記信号速度変化の複数のピークに基づいて複数の寿命を求めるステップであって、前記ピークは、前記信号速度変化の絶対値の局所的に最大の大きさである、ことと、
   前記半導体デバイスの前記動作を表す前記信号を、指数曲線の一次結合として形成された多指数関数に経時的に当てはめるステップであって、前記一次結合における複数の前記指数曲線は、前記複数の寿命に等しく、各指数曲線は指数値と係数を有する、ことと、
   前記半導体デバイスの前記寿命と、前記寿命の対応する大きさのうちの１つまたは組み合わせを求めるステップであって、前記一次結合において、前記寿命は前記指数曲線の前記指数値に対応し、前記大きさは前記指数曲線の前記係数に対応する、ことと、
   を含み、前記ステップはプロセッサ内で実行される、半導体デバイス内のトラップの寿命を解析する方法。
2. 前記ピークの場所に基づいて前記トラップの離散的寿命を求めるステップ、
   を更に含み、所定の大きさ未満の前記ピークは無視され、しきい値を用いて、複数のピークの近隣の場所が１つの寿命に結合され、前記寿命を時間に関して離散的にし、疎らに分布させる、請求項１に記載の方法。
3. 前記半導体デバイスの前記動作を表す前記信号を、前記多指数関数に経時的に当てはめることは、前記一次結合において、前記指数曲線の前記指数値および前記係数の１つまたは組み合わせの所定の初期値で始まって、反復的に求められる、
   請求項１に記載の方法。
4. 前記一次結合において前記指数曲線の前記指数値を求めるステップであって、当該ステップは前記信号速度変化の前記ピークの時間内の場所に基づいて実行される、ことと、
   前記所定の指数を有する指数曲線の前記一次結合として形成された前記多指数関数に従って前記信号を当てはめることに基づいて、前記寿命ごとに対応する大きさを求めるステップ、
   を更に含み、前記大きさは、固有指数曲線に対応する前記一次結合内の係数によって与えられる、請求項１に記載の方法。
5. 前記信号を当てはめることによって前記多指数関数を求めることは、最小二乗手順を用いる
   請求項４に記載の方法。
6. 非線形最小二乗手順を用いて近似的寿命及び近似的大きさを最適化するステップであって、前記寿命及び前記対応する大きさを同時に求めること、
   を更に含む、請求項５に記載の方法。
7. 前記近似的寿命は最小化制約に起因して離散的なままである、請求項６に記載の方法。
8. 前記求めるステップは、有限差分法を用いて前記信号速度変化を求めるステップを更に含む、請求項１に記載の方法。
9. 対数時間スケールを有する均一なグリッド上で前記動作の測定値を補間するステップであって、前記信号を生成することと、
   前記信号をフィルタリングするステップであって、雑音を低減することと、
   を更に含む、請求項１に記載の方法。
10. 前記求めるステップは、フーリエスペクトル法を用いて前記信号速度変化を求めるステップを含む、請求項１に記載の方法。
11. 前記半導体デバイスは窒化ガリウム（ＧａＮ）高電子移動度トランジスタ（ＨＥＭＴ）である、請求項１に記載の方法。
12. 前記寿命は離散的であり、すなわち、しきい値によって求められるように、時間に関して疎らに分布する、請求項１に記載の方法。
13. 近似的寿命を前記一次導関数の絶対値の極大値の場所として得るステップを更に含む、請求項１に記載の方法。
14. リアルタイムに求められた前記寿命と前記対応する大きさとに従って前記半導体デバイスを適応的に製造するステップを更に含む、請求項１に記載の方法。
15. 前記方法はリアルタイムに実行される、請求項１に記載の方法。
16. 並列計算を用いて、複数の曲線がマルチスレッド式に独立して当てはめられる、請求項１に記載の方法。
17. 前記ステップは、特殊なハードウェア計算プロセッサ、グラフィックス処理ユニット（ＧＰＵ）又はフィールドプログラマブルゲートアレイ（ＦＰＧＡ）上で実行される、請求項１に記載の方法。
18. 前記寿命を用いて前記半導体デバイス内の差し迫った故障を検出するステップを更に含む、請求項１に記載の方法。
19. 前記寿命及び大きさは、前記半導体デバイスの製造条件又は動作条件に対応する、請求項１に記載の方法。
20. １組の信号を得るステップと、
    前記各信号の前記一次導関数を求めるステップであって、前記デバイスの条件ごとの前記信号速度変化を生成することと、
    異なる信号速度変化の前記ピークの場所において時間をクラスタリングするステップであって、１組のクラスタを生成することと、
    前記複数の寿命が複数の前記クラスタと等しくなるように、前記１組のクラスタのための離散的寿命を前記各クラスタの中心の場所として求めるステップと、
    前記多指数関数に従って前記信号を当てはめることに基づいて、前記各信号の前記離散的寿命ごとに対応する大きさを解析するステップであって、前記当てはめることは最小二乗手順を用いて実行される、ことと、
    を更に含む、請求項１に記載の方法。
21. 前記１組の信号は異なる条件下にある前記半導体デバイスの前記動作を経時的に表し、前記異なる条件は、同じである寿命を維持すると予想される、請求項２０に記載の方法。
22. 前記１組の信号は類似の条件下で製造され、動作している異なる半導体デバイスの前記動作を経時的に表し、前記類似の条件は同じである寿命を維持すると予想される、請求項２０に記載の方法。
23. 半導体デバイスと、
    前記半導体デバイスの動作を表す信号を経時的に測定するセンサーと、
    前記半導体デバイスの動作を表す信号の一次導関数を経時的に求め、信号速度変化を経時的に生成し、
    前記信号速度変化の複数のピークに基づいて複数の寿命を求め、前記ピークは、前記信号速度変化の絶対値の局所的に最大の大きさであり、
    前記半導体デバイスの前記動作を表す前記信号を、指数曲線の一次結合として形成された多指数関数に経時的に当てはめ、前記一次結合における複数の前記指数曲線は、前記複数の寿命に等しく、各指数曲線は指数値と係数を有し、
    前記半導体デバイスの前記寿命と、前記寿命の対応する大きさのうちの１つまたは組み合わせを求め、前記一次結合において、前記寿命は前記指数曲線の前記指数値に対応し、前記大きさは前記指数曲線の前記係数に対応する、
    ように構成されるプロセッサと、
    を備える、装置。
24. 方法を実行するプロセッサによって実行されるプログラムに具現される非一時的コンピューター可読媒体であって、
    前記方法は、
    半導体デバイスの動作を表す信号の一次導関数を経時的に求めるステップであって、経時的に信号速度変化を生成することと、
    前記信号速度変化の複数のピークに基づいて複数の寿命を求めるステップであって、前記ピークは、前記信号速度変化の絶対値の局所的に最大の大きさである、ことと、
    前記半導体デバイスの前記動作を表す前記信号を、指数曲線の一次結合として形成された多指数関数に経時的に当てはめるステップであって、前記一次結合における複数の前記指数曲線は、前記複数の寿命に等しく、各指数曲線は指数値と係数を有する、ことと、
    前記半導体デバイスの前記寿命と、前記寿命の対応する大きさのうちの１つまたは組み合わせを求めるステップであって、前記一次結合において、前記寿命は前記指数曲線の前記指数値に対応し、前記大きさは前記指数曲線の前記係数に対応する、ことと、
    を含む、非一時的コンピューター可読媒体。
25. 半導体デバイス内のトラップの寿命を解析する方法であって、
    前記半導体デバイスの動作を表す１組の信号を経時的に得るステップと、
    各信号の時間内の一次導関数を経時的に求めるステップであって、前記デバイスの条件ごとの信号速度変化を生成することと、
    前記信号速度変化のピークを求めるステップであって、前記ピークは、前記信号速度変化の絶対値の局所的に最大の大きさであることと、
    前記１組の前記信号について、異なる信号速度変化の前記ピークの前記時間でクラスタリングするステップであって、１組のピーククラスタを生成することと、
    複数の前記ピーククラスタに基づいて、複数の寿命を求めるステップと、
    前記半導体デバイスの前記動作を表す前記１組の前記信号を、１組の多指数関数に経時的に当てはめるステップであって、各多指数関数は、指数曲線の一次結合として形成され、前記一次結合における複数の前記指数曲線は、前記複数の前記寿命に等しく、各指数曲線は、指数値と、多指数関数の全体の組について同様のものと、係数とを有する、ことと、
    前記指数曲線の指数値を用いた前記半導体デバイスの寿命と、前記一次結合において前記１組の前記指数曲線の前記係数に等しい１組の対応する大きさのうちの１つまたは組み合わせを求めるステップと、
    を含み、前記ステップはプロセッサ内で実行される、半導体デバイス内のトラップの寿命を解析する方法。

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