JP5965078B2 - 低忠実度の単一キュービットマジック状態からの効率的なトフォリ状態生成 - Google Patents

Description

本発明は、量子演算に関し、より詳しくは、低忠実度の単一キュービットマジック状態からのトフォリ状態の効率的な生成に関する。

古典的コンピュータは、古典物理学の法則に従って状態を変化させる情報のビット（二進数）を処理することによって動作している。これらの情報ビットは、ＡＮＤ及びＯＲゲートなどの単純な論理ゲートを使用することによって変更することができる。ビットは、論理「１」（例えば、高電圧）又は論理「０」（例えば、低電圧）のいずれかに対応する論理ゲートの出力において発生する高電圧又は低電圧によって物理的に表される。２つの整数を乗算するものなどの古典的アルゴリズムは、これらの単純な論理ゲートの長いストリングに分解することができる。古典的コンピュータと同様に、量子コンピュータも、ビット及びゲートを有する。論理「１」及び「０」を排他的に保存する代わりに、量子ビット（「キュービット（qubit）」）は、ある意味において、キュービットが両方の古典的状態に同時にあることを許容する２の任意の量子機械的重ね合わせ（quantum mechanical superposition）を保存することができる。この機能によれば、量子コンピュータは、古典的コンピュータのものをはるかに上回る効率により、特定の問題を解決することができる。

本発明の一態様によれば、第１忠実度を有するトフォリ状態を、第２忠実度を有する複数の単一キュービットマジック状態から生成し、それにより、単一キュービットマジック状態を使用してトフォリ状態を直接的に構築することにより、第１忠実度未満の忠実度を有するトフォリ状態が結果的に得られるようになっている方法が提供される。クロフォードゲートの組によって生成されうる高忠実度状態において第１及び第２キュービットのそれぞれが生成される。単一キュービットマジック状態においてＮ個のターゲットキュービットが生成され、この場合に、Ｎは、１を上回る整数である。第１キュービット、第２キュービット、及びＮ個のターゲットキュービットを有するシステムが、状態
１／２｜０００_１．．．０_Ｎ＞＋１／２｜０１０_１．．．０_Ｎ＞＋１／２｜１００_１．．．０_Ｎ＞＋１／２｜１１１_１．．．１_Ｎ＞
となるように、第１キュービット、第２キュービット、及びＮ個のターゲットキュービットに対して一連のゲートが実行され、この場合に、インデックス値１〜Ｎは、Ｎ個のターゲットキュービットを表している。第１ターゲットキュービットが、その他のターゲットキュービットと同一状態にあることを検証するべく、Ｎ個のターゲットキュービットに対してパリティチェックが実行される。パリティチェックは、少なくとも第１計測値を提供する。計測値が望ましい値をとっている場合に、第１キュービット、第２キュービット、及び第１ターゲットキュービットが、トフォリ補助状態として受け入れられる。

本発明の別の態様によれば、マジック状態の複数のインスタンスから高忠実度トフォリ状態において３つのキュービットを生成するシステムが提供される。第１及び第２キュービットは、それぞれ、クリフォードゲートによって生成されうる高忠実度状態を保存している。Ｎ個のターゲットキュービットは、それぞれ、マジック状態のインスタンスを保存している。トフォリ状態生成コンポーネントは、システムを状態
１／２｜０００_１．．．０_Ｎ＞＋１／２｜０１０_１．．．０_Ｎ＞＋１／２｜１００_１．．．０_Ｎ＞＋１／２｜１１１_１．．．１_Ｎ＞
に配置するべく、一連のゲートを第１キュービット、第２キュービット、及びＮ個のターゲットキュービットに対して実行するように、構成されており、この場合に、インデックス値１〜Ｎは、Ｎ個のターゲットキュービットを表している。パリティチェックコンポーネントは、Ｎ個のターゲットキュービットのパリティをチェックするように構成されている。パリティチェックは、計測されていないターゲットキュービットを提供するべく、Ｎ−１個のターゲットキュービットに関する計測を含む。

本発明の更に別の態様によれば、第１忠実度を有するトフォリ状態を、第２忠実度を有する複数の単一キュービットマジック状態から生成し、それにより、単一キュービットマジック状態を使用してトフォリ状態を直接的に構築することにより、第１忠実度未満の忠実度を有するトフォリ状態が結果的に得られるようになっている方法が提供される。プラス状態において第１の組のキュービットのそれぞれが生成される。複数の単一キュービットマジック状態のうちの１つにおいて第２の組のキュービットのそれぞれが生成される。複数の単一キュービットマジック状態のうちの１つにおいて第３の組のキュービットのそれぞれが生成される。第１の組のキュービットのそれぞれのキュービットごとに、第２の組のキュービットのうちの所与のものをターゲットとした制御ＮＯＴ（ＣＮＯＴ：Ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｄ ＮＯＴ）演算が、第１の組のキュービットからの対応するキュービットによって制御されるように、第２の組のキュービットのうちの対応するキュービットをターゲットとすることにより、ＣＮＯＴ演算が実行される。第３の組のキュービット内に保存されている少なくとも１つのクリフォードゲート及び少なくとも１つの単一キュービットマジック状態を使用することにより、ブロッホ球の軸を中心とした第２の組のキュービットのそれぞれのキュービットの少なくとも１回の回転が実行される。ブロッホ球の軸であって、第２の組のキュービットのそれぞれのキュービットがそれを中心として回転されたブロッホ球の軸に対して垂直である計測基底において、第２の組のキュービットのうちの少なくとも１つが計測される。

本発明の一態様による単一キュービットマジック状態からのトフォリ状態の直接的な蒸留のためのシステムを示す。 本発明の一態様による高忠実度トフォリ状態を生成する量子回路の一例を示す。 マジック状態を介したＹ回転のために使用される例示用の量子回路を示す。 第１忠実度を有するトフォリ状態を、第２忠実度を有する複数の単一キュービットマジック状態から生成し、それにより、単一キュービットマジック状態を使用してトフォリ状態を直接的に構築することにより、第１忠実度未満の忠実度を有するトフォリ状態が結果的に得られるようになっている方法の一例を示す。 第１忠実度を有するトフォリ状態を、第２忠実度を有する複数の単一キュービット状態から生成し、それにより、単一キュービットマジック状態を使用してトフォリ状態を直接的に構築することにより、第１忠実度未満の忠実度を有するトフォリ状態が結果的に得られるようになっている方法の別の例を示す。

本発明の一態様によれば、複数の入力された単一キュービットマジック状態（single qubit magic state）から高忠実度のトフォリゲート（Toffoli gate）を提供するべく、一群のルーチンが提供される。具体的には、本明細書に記述されているシステム及び方法は、入力された単一キュービットの別個の蒸留（Distillation）に対する要求を伴うことなしに、高品質のトフォリ補助状態を直接的に生成し、この結果、別個の蒸留及び生成と比べた場合に、大幅な効率の向上が得られる。

キュービット状態の標準基底は、｜０＞として本明細書において表記されている「０」状態と、「０」状態と直交すると共に｜１＞として本明細書において表記されている「１」状態とを含む。符号基底（sign basis）は、

として標準基底において定義されるプラス状態｜＋＞と、

として標準基底において定義されるマイナス状態｜−＞とを含む。トフォリ状態は、
１／２｜０００＞＋１／２｜０１０＞＋１／２｜１００＞＋１／２｜１１１＞
として標準基底において定義される。

本明細書において使用されている語句、ユニバーサルな（universal）量子ゲートの組とは、量子コンピュータ上において可能である任意の演算が低減されうる、即ち、任意のその他の単体演算がその組からのゲートの有限のシーケンスとして近似されうる量子ゲートの任意の組である。逆に、ゲートの非ユニバーサルな組とは、この特性を欠いた量子ゲートの組を意味している。ゲートの非ユニバーサルな組の一例は、クリフォードゲートの組である。

本明細書において使用されている「マジック状態」とは、任意の量子演算を提供するためにクリフォードゲート（Clifford gate）と共に使用することが可能であり、且つ、クリフォードゲートから構築された回路によって忠実度を改善することができる量子状態である。事実上、クリフォードゲートの組と共に、所与のマジック状態を、又はむしろ、マジック状態の有限数のインスタンスを使用することにより、ユニバーサルな量子演算が可能になる。本明細書における回路は、その特性の基本的な変更を伴うことなしに、異なるゲートの組を使用することにより、且つ、異なる基底において、再表現されうる変換を表すことを理解されたい。

本明細書において使用されている「蒸留」とは、相対的に高い忠実度を有する所与の状態（又は、よりに一般的には別の状態）をとるキュービットの相対的に小さな組を生成するように、所与の状態にあるキュービットの組を確率論的に変換するプロセスを意味している。量子情報理論においては、忠実度は、２つの量子状態の「密接さ」の尺度である。本明細書において使用されている忠実度は、望ましい理想的な状態に対する状態の所与のインスタンスの密接さを意味している。「低忠実度状態」とは、量子演算において使用するのに望ましい忠実度のレベル未満であるが、蒸留プロセスに必要とされる最低限の忠実度を上回っている状態を意味している。

図１は、本発明の一態様による単一キュービットマジック状態からのトフォリ状態の直接的な蒸留のためのシステム１０を示している。システムの様々なコンポーネントは、別個のコンポーネントとして表示されているが、システムの実装のために使用される実際のハードウェアは、再使用されることから、様々な物理的コンポーネントにまたがって重複しうることを理解されたい。システム１０は、複数のキュービット１３〜１８を個々の望ましい初期状態に初期化する状態生成コンポーネント１２を含む。複数のキュービット１３〜１８は、それぞれ、１つ又は複数の物理的コンポーネント内に保存されうることを理解されたい。初期状態生成の後に、システムは、クリフォードゲートを使用して高忠実度を有するように生成されうる初期状態をそれぞれが保存する第１の組のキュービット１３及び１４と、マジック状態の相対的に低忠実度のインスタンスをそれぞれが保存するターゲットキュービットと呼ばれる第２の組のキュービット１５及び１６とを含む。一実装形態において、単一キュービットマジック状態は、ハダマード演算子（Hadamard operator）の「＋１」固有状態に等価である種類の状態のうちの１つである。「等価」とは、それぞれの状態が、１キュービットのクリフォード単体演算子を介してその他のものから導出されうることを意味している。システム１０は、ターゲットキュービット１５及び１６に加えて、第３の組のキュービット１７及び１８内に保存されているいくつかの低忠実度マジック状態をも消費することになる。

キュービット１３〜１８のそれぞれは、複数ターゲットトフォリ状態生成コンポーネント２０に提供される。本発明の一態様によれば、複数ターゲットトフォリ状態生成コンポーネント２０は、第１の組のキュービット及び第２の組のキュービットを有するシステムを状態
１／２｜０００_１．．．０_Ｎ＞＋１／２｜０１０_１．．．０_Ｎ＞＋１／２｜１００_１．．．０_Ｎ＞＋１／２｜１１１_１．．．１_Ｎ＞ 式１
に配置するべく、第１及び第２の組のキュービットに対して一連のゲートを実行する。

ここで、それぞれのエンタングルされた状態（entangled state）における最初の２つのキュービットは、第１の組のキュービットを表し、且つ、インデックス付けされたキュービット１〜Ｎは、第２の組のキュービットを表している。

一実装形態において、複数ターゲットトフォリ状態生成コンポーネント２０は、直列状態で構成された複数の量子回路コンポーネントを含み、それぞれの量子回路コンポーネントは、第２の組のキュービット１５及び１６のそれぞれがＣＮＯＴゲートのうちの１つのターゲットであると共にそれぞれのＣＮＯＴゲートが第１の組のキュービット１３及び１４のうちの１つによって制御されるように構成された複数の制御ＮＯＴ（ＣＮＯＴ）ゲートを含む。それぞれの量子回路コンポーネントは、第３の組のキュービット内に保存された少なくとも１つのクリフォードゲート及び少なくとも１つの単一キュービットマジック状態を使用することにより、ブロッホ球（Bloch sphere）の軸を中心とした回転を提供するように構成された少なくとも１つの回転ゲートを更に有する。一実装形態において、それぞれの回転ゲートは、Ｙ軸を中心としたπ／４ラジアンの回転とＹ軸を中心とした負のπ／４ラジアンの回転とのうちの１つを第２の組のキュービット１５及び１６の少なくとも１つに対して提供する。

次いで、第１及び第２の組のキュービット１３〜１６は、パリティチェックアセンブリ２２に提供される。パリティチェックアセンブリ２２は、エンタングルされた状態の生成においてエラーが発生したかどうかを判定するべく、第２の組のキュービット１５及び１６のパリティをチェックするように構成されている。具体的には、パリティチェックは、第２の組のキュービット１５及び１６に対する１つ又は複数のゲート演算のみならず、第２の組のキュービットのうちの１つを除くすべてのものの計測を含むことが可能であり、これにより、計測されていないターゲットキュービット（例えば、１５）が残される。本発明の一態様によれば、パリティチェックの後に、第１キュービット１３、第２キュービット１４、及び計測されていないターゲットキュービット１５は、高忠実度トフォリ状態を表している。この状態は、ユニバーサルな量子演算のために十分であるトフォリゲートを提供するべく、クリフォードゲートの組と共に使用することができる。

一実装形態において、パリティアチェックセンブリ２２は、そのターゲット及び制御ビットがいずれも第２の組のキュービット１５及び１６のメンバである少なくとも１つのＣＮＯＴゲートを含む。換言すれば、少なくとも１つのＣＮＯＴゲートのうちの１つは、第２の組のキュービットのうちの第１キュービット１５によって制御されており、且つ、第２組のキュービットうちの別のキュービット１６をターゲットとしている。次いで、ＣＮＯＴゲートによってターゲットとされた第２の組のキュービット内のそれぞれのキュービットは、ブロッホ球の軸であって、第２の組のキュービットのそれぞれのキュービット１６がそれを中心として回転されたブロッホ球の軸に垂直である計測基底において、計測アセンブリにおいて計測される。一実装形態において、キュービット１６は、標準（Ｚ）基底において計測される。

図２において更に詳述する一実装形態において、システムは、第３の組のキュービットと、４つの初期キュービットとを有する６つのマジック状態を利用しており、第１及び第２キュービットは、プラス状態において初期化され、且つ、第３及び第４キュービットは、マジック状態において初期化され、第２の組のキュービットを形成している。第１量子回路コンポーネント内において、第１量子回路の第１ＣＮＯＴゲートは、第３キュービットをターゲットとしており、且つ、第２キュービットによって制御されており、且つ、第１量子回路の第２ＣＮＯＴゲートは、第４キュービットをターゲットとしており、且つ、第１キュービットによって制御されている。回転ゲートは、Ｙ軸を中心としたπ／４ラジアンの回転を第３及び第４キュービットのそれぞれに対して提供するように構成されている。

第２量子回路コンポーネント内において、第２量子回路の第１ＣＮＯＴゲートは、第３キュービットをターゲットとしており、且つ、第１キュービットによって制御されており、且つ、第２量子回路の第２ＣＮＯＴゲートは、第４キュービットをターゲットとしており、且つ、第２キュービットによって制御されている。回転ゲートは、Ｙ軸を中心とした負のπ／４ラジアンの回転を第３及び第４キュービットのそれぞれに対して提供するように構成されている。第３量子回路コンポーネント内において、第３量子回路の第１ＣＮＯＴゲートは、第３キュービットをターゲットとしており、且つ、第２キュービットによって制御されており、且つ、第３量子回路の第２ＣＮＯＴゲートは、第４キュービットをターゲットとしており、且つ、第１キュービットによって制御されている。回転ゲートは、Ｙ軸を中心とした負のπ／４ラジアンの回転を第３及び第４キュービットのそれぞれに対して提供するように構成されている。

この例におけるパリティチェックアセンブリ２２は、単一のＣＮＯＴゲートと、標準基底の計測アセンブリと、を有する。ＣＮＯＴゲートは、第３キュービットによって制御され、且つ、第４キュービットをターゲットとしている。この結果、第４キュービットは、標準基底において計測される。誤りなしを仮定することにより、第４キュービットは、グランド状態にあることが見出されることになり、且つ、第１、第２、及び第３キュービットは、高忠実度のトフォリ補助状態を形成する。

図２は、本発明の一態様による高忠実度のトフォリ状態を生成する量子回路５０の一例を示している。図示の実装形態において、マジック状態は、「Ｈ」状態であり、即ち、ハダマード演算子の「＋１」固有状態に等価である一群の状態のうちの１つである。この例における特定のマジック状態は、

として、標準基底において表すことができる。

量子回路は、４つのキュービット５２〜５５を含み、第１及び第２キュービット５２及び５３は、高忠実度のプラス状態において始まり、且つ、第３及び第４キュービット５４及び５５は、Ｈ状態において始まっている。高忠実度状態のそれぞれは、プラス状態を提供するための標準基底におけるグランド（０）状態へのキュービットの初期化及び初期化されたキュービットに対するハダマードゲート演算を介して生成されうることを理解されたい。又、システムは、第３及び第４キュービット５４及び５５内に当初保存されている２つのＨ状態のみならず、量子回路５０内においてＹ回転を生成するべく利用される６つの更なる状態を含む８つの相対的に低忠実度のＨ状態をも使用している。

±π／４の回転をターゲットキュービットに対して提供するための例示用のＹ回転ゲート１００が、参考として、図３に示されている。それぞれのＹ回転は、回転をターゲットキュービット１０４に対して提供するべく、キュービット１０２内に保存されている生成されたＨ状態のうちの１つを消費することを理解されたい。ゲート１００は、補助キュービット１０２によって制御された制御Ｙゲート１０６を含む。この結果、補助キュービット１０２は、Ｙ演算子の固有状態のうちの１つを提供するべく、Ｙ基底において計測アセンブリ１０８において計測される。古典的に制御されている回転要素１１０は、Ｙ演算子の第１固有状態が、具体的には、「−１」固有状態が、計測アセンブリ１０８において計測された場合に、π／２の回転をターゲットキュービットに対して適用し、且つ、Ｙ演算子の第２固有状態が、具体的には、「＋１」固有状態が、計測された場合には、回転をターゲットキュービットに対して適用しない。−π／４の回転の場合には、第２固有状態が計測アセンブリ１０８において計測された場合に、−π／２の回転がターゲットキュービットに対して適用され、且つ、第１固有状態が計測された場合には、回転が適用されないように、古典的に制御されている回転要素１１０に対する制御が変更されることを理解されたい。

図２を再度参照すれば、説明をわかりやすくするべく、量子回路は、４つの回路コンポーネント６０、７０、８０、及び９０に分割されており、これらのそれぞれが、４つのキュービット５２〜５５に対して作用する。第１回路コンポーネント６０は、２つの制御ＮＯＴ（ＣＮＯＴ）ゲート６２及び６４を収容している。第１ＣＮＯＴゲート６２は、第３キュービットをターゲットとしており、且つ、第２キュービットによって制御されている。第２ＣＮＯＴゲート６４は、第４キュービットをターゲットとしており、且つ、第１キュービットによって制御されている。次いで、第３及び第４キュービットは、それぞれ、第１及び第２Ｙ回転ゲート６６及び６８に提供されている。この結果、それぞれのＹ回転ゲート６６及び６８は、π／４ラジアンだけ、その個々のキュービットを回転させ、これにより、このプロセスにおいて低忠実度のＨ状態のうちの１つが消費されることになる。

第２回路コンポーネント７０は、第３及び第４ＣＮＯＴゲート７２及び７４を収容している。第３ＣＮＯＴゲート７２は、第３キュービットをターゲットとしており、且つ、第１キュービットによって制御されている。第４ＣＮＯＴゲート７４は、第４キュービットをターゲットとしており、且つ、第２キュービットによって制御されている。次いで、第３及び第４キュービットは、個々の第３及び第４Ｙ回転ゲート７６及び７８に提供される。それぞれのＹ回転ゲート７６及び７８は、回転が、第１及び第２回転ゲート６６及び６８によって提供されるものと等量に且つ反対になるように、負のπ／４ラジアンだけ、その個々のキュービットを回転させる。

第３回路コンポーネント８０は、第５及び第６ＣＮＯＴゲート８２及び８４を収容している。第５ＣＮＯＴゲート８２は、第３キュービットをターゲットとしており、且つ、第２キュービットによって制御されている。第６ＣＮＯＴゲート８４は、第４キュービットをターゲットとしており、且つ、第１キュービットによって制御されている。次いで、第３及び第４キュービットは、それぞれ、第５及び第６Ｙ回転ゲート６６及び６８に提供される。それぞれのＹ回転ゲート６６及び６８は、負のπ／４ラジアンだけ、その個々のキュービットを回転させる。誤りが導入されていないと仮定することにより、第３回路コンポーネント８０の末尾において、キュービット５２〜５５によって形成されるシステム５０は、次のように表すことができる。
｜φ＞＝１／２｜００００＞＋１／２｜０１００＞＋１／２｜１０００＞＋１／２｜１１１１＞ 式２
第４回路コンポーネント９０は、システムの最終的な出力を提供するべく、パリティチェックを実行する。誤りが存在しない状態においては、Ｚ基底における第３及び第４キュービット５４及び５５の計測は、同一の結果をもたらすことになり、且つ、従って、パリティ計測がゼロとなることに留意されたい。これを目的として、第７ＣＮＯＴゲート９２は、第４キュービットをターゲットとしており、且つ、第３キュービットによって制御されている。第７ＣＮＯＴゲートの後に、システムの状態は、次のように表すことができる。
１／２｜００００＞＋１／２｜０１００＞＋１／２｜１０００＞＋１／２｜１１１０＞ 式３
次いで、パリティ計測を提供するべく、第４キュービット５５が、標準基底において、計測アセンブリ９４において計測される。誤りが発生していないと仮定することにより、グランド状態（０）が計測されることになり、且つ、最初の３つのキュービット５２、５３、及び５４が、高忠実度のトフォリ状態に残されることになる。第４キュービット５５が励起状態（１）において計測された場合に、回路５０の出力は破棄される。

本発明者は、量子回路５０の実装に使用されるＨ状態（初期状態又は回転において消費されるもののいずれか）における誤りが、場合により制御キュービットにおけるＺ誤りと共に、ターゲットキュービットにおけるＹ誤りに伝播しうることを示した。従って、このような単一の誤りは、任意の２つの誤りが非検出状態で進行している間に、パリティ計測によって検出されることになる。従って、非自明の最低次において、出力誤り確率は、

であり、且つ、受け入れ確率は、１−８ｐであり、ここで、ｐは、所与のＨ状態がＹ誤りを経験することになる尤度である。

出力されたターゲットキュービットにおける検出されていないＸ（又は、Ｙ）誤りの確率は、より多くのターゲットキュービットを生成すると共にそれらのパリティをチェックすることにより、任意に小さくすることが可能であり、ｏ個のターゲットキュービット（o target qubits）を生成すると共にそれらを互いに照らしてチェックすることにより、Ｘ（又は、Ｙ）誤り確率をｐ°のレベルまで低減することができる。この結果、出力される制御ビットにおけるＺ誤りの確率は、ｐ^２レベル未満に低減されず、実際に、ｐ^２の前の定数は、ｏが大きくなるのに伴って悪化する。但し、ターゲットキュービット上におけるＸ（又は、Ｙ）誤りの確率を望ましいレベルまで低減したことにより、ハダマードゲートのペアを使用してターゲットキュービットをトフォリ補助の制御キュービットとスワップする場合に、制御キュービットにおけるＺ誤りの確率の低減を実現することができる。

この変換は、前の制御ビットにおけるＺ誤りを新しいターゲットキュービットにおけるＸ誤りに変換している。ターゲットキュービットにおけるＸ誤り及び制御キュービットにおけるＺ誤りのみを有するトフォリ補助を使用することにより、ターゲットにおけるＸ誤り及び（整合する）制御におけるＺ誤りのみを有するトフォリゲートを実装することができる。この結果、このような補助のターゲットキュービットにおける誤りの確率の二次低減を実現することができる。ターゲットキュービットにおけるＸ誤り及び制御キュービットにおけるＺ誤りのみを有するトフォリ補助が付与された状態で、複数回のトフォリ蒸留を使用することにより、且つ／又は、互いに照らして検証されるべき更なるターゲットキュービットを追加することにより、更に高次の誤り抑制を実現することができる。この結果、恐らく十分に小さい誤りを有するＨタイプのマジック状態が付与された状態において、出力されたトフォリ補助上のあらゆる場所における誤りの確率を、Ｈタイプのマジック状態を使用したこの補助の直接的な実装との比較において、劇的に低減することができる。

図２のトフォリへの直接的な蒸留回路は、トフォリ状態を生成すると共に別個のプロセスにおいてマジック状態を蒸留する既存の方法との比較において、効率性の大幅な向上を提供する。このルーチンは、Ｈタイプのマジック状態用のマジック状態蒸留ルーチンと直接的に比較することができず、その理由は、出力がＨタイプのマジック状態ではないからである。多くの量子アルゴリズムは、主には、トフォリゲートの実装において使用するべく、マジック状態を必要としているが、しかし、この目的のために最も妥当な比較は、より伝統的なルーチンを使用して改善されたトフォリゲートを実装するために必要とされるリソースに関するものである。トフォリゲートを実装するための状態費用、即ち、改善されたトフォリゲート当たりに必要とされるマジック状態のコピーの数は、容易に算出される。

図２の量子回路を使用して、確率レベルｐ^２の誤りを有する単一のトフォリゲートを実装するには、確率ｐのＹ誤りを有する８つのＨタイプのマジック状態が必要とされる。二次低減された誤りを有するＨタイプのマジック状態の蒸留に必要とされる状態費用は、３以下であることが判明した。クリフォードゲート及びπ／４の回転の観点におけるトフォリゲートの伝統的な分解には、７回のπ／４の回転が必要であるが、多くの場合に、マーゴラス−トフォリゲートは、十分な代役として使用することが可能であり、且つ、クリフォードゲート及び４回のπ／４の回転のみを使用することにより、実装することができる。この結果、状態費用は、本発明者のその他の研究を使用することにより、２０又は１２から８に低減され、これは、それぞれ、６０％及び３３％の節約である。

関心の対象である別の値は、トフォリゲートを実装するための場所費用（location cost）、即ち、所与のルーチンを使用して改善されたトフォリゲートを実装するために必要とされる場所の数である。１キュービットクリフォード状態の生成及び２キュービットクリフォードゲートのみを非ゼロの時間を所要するものと見なすことにより、図３に示されているように

ゲートが実装されている図２のトフォリへの直接的な蒸留ルーチンにおける場所の数は、３６である。結果的に得られるトフォリ補助を使用してトフォリゲートを実装するために必要とされる付加的な場所の数は、１５である。従って、合計リソース費用（total resource cost）は、５１個の場所と、８つのＨ状態と、である。それぞれのＨ状態が、５つの場所を必要とするプロセスを使用して演算の下のレベルから注入される場合には、場所費用は、トフォリゲート当たりに９１個の場所となる。

比較として、最良の場所費用を有する公開されたルーチンを使用することにより、入力状態が下のレベルの演算から注入されると仮定した場合の二次抑制された誤りを有するＨ状態を蒸留するための場所費用は、６５である。本発明者によって実施されたその他の研究によれば、この数値を５０に改善することができる。このサイズの費用を有するマジック状態蒸留ルーチンの場合には、トフォリゲートを実装する最も効率的な方法は、トフォリ状態を生成し、且つ、次いで、この状態を使用してトフォリゲートを実装するというものであることは明らかである。但し、マーゴラス−トフォリゲート（Margolus-Toffoli gate）は、更にコンパクトに実装することが可能であり、且つ、このようなトフォリと同様のゲート（Toffoli-like gate）は、多くの場合に、十分なものであることから、比較の基礎として使用することができる。マーゴラス−トフォリゲートの一例の場合には、リソースオーバーヘッド（resource overhead）は、２５個の場所と、４個のＨ状態と、である。最良の一般的に入手可能な蒸留ルーチンを使用することにより、これは、２８５個の合計場所費用という結果をもたらす。本発明者のその他の研究を使用した場合のこれに相当する数値は、２４１である。従って、一般的に利用可能なルーチンとの比較における場所費用の節約は６８％であり、一方、本発明者のその他の研究によって実装されるルーチンとの比較における節約は６２％である。

図１〜図３において説明した上述の構造的且つ機能的特徴の観点において、図４及び図５を参照することにより、例示用の方法についてより良く理解されよう。説明を簡単にするべく、図４及び図５の方法は、逐次的に稼働するものとして図示及び記述されているが、いくつかの動作は、その他の例においては、本明細書に図示及び記述されているものとは異なる順序で且つ／又は同時に発生しうることから、本発明は、図示の順序に限定されるものではないことを理解及び認識されたい。

図４は、第１忠実度を有するトフォリ状態を、第２忠実度を有する複数の単一キュービットマジック状態から生成し、それにより、単一キュービットマジック状態を使用してトフォリ状態を直接的に構築することにより、第１忠実度未満の忠実度を有するトフォリ状態が結果的に得られるようになっている方法１５０の一例を示している。１５２において、第１及び第２キュービットが、クリフォードゲートの組によって高忠実度を有するように実現されうる量子状態において生成されている。クリフォードの組の場合には、実現可能な高忠実度状態は、標準基底におけるグランド状態への高忠実度初期化を仮定することにより、少なくともＺ演算子のいずれかの固有状態（即ち、標準基底の「０」状態及び「１」状態）及びＸ演算子のいずれかの固有状態（即ち、プラス状態及びマイナス状態）を含みうることを理解されたい。一実装形態において、第１の組のキュービットは、プラス状態において生成された２つのキュービットを含む。１５４において、Ｎ個のターゲットキュービットが、単一キュービットマジック状態において生成されている。一例において、単一キュービットマジック状態は、クリフォードの組のマジック状態であってもよく、且つ、ハダマード演算子の＋１固有状態と等価である種類の状態のうちの１つを含むことができる。又、方法の一部として、マジック状態の更なるコピーを生成及び利用してもよいことを理解されたい。

１５６において、誤りが、相対的に低忠実度の補助状態によって導入されていないと仮定することにより、システムを状態
１／２｜０００_１．．．０_Ｎ＞＋１／２｜０１０_１．．．０_Ｎ＞＋１／２｜１００_１．．．０_Ｎ＞＋１／２｜１１１_１．．．１_Ｎ＞ 式４
に配置するように、一連のゲートが、第１キュービット、第２キュービット、及びターゲットキュービットのうちのＮ個に対して実行されている。

例えば、一連のゲートは、それぞれが、第１及び第２キュービットのそれぞれごとに、ターゲットキュービットのそれぞれをターゲットとした少なくとも１つの制御ＮＯＴ演算と、ブロッホ球の軸を中心としたそれぞれのターゲットキュービットの回転とを実行する１つ又は複数の量子回路コンポーネントを含むことができる。例示用の一実装形態においては、それぞれのターゲットキュービットの回転は、Ｈタイプのマジック状態を保存するキュービットによって制御されるターゲットキュービットに対して制御Ｙ演算を実行するステップと、第１値及び第２値のうちの１つを提供するべく、Ｙ基底において制御キュービットを計測するステップと、計測された値に従って、ゼロの、又は正の、又は負の、π／２ラジアンのターゲットキュービットに対するＹ回転を実行するステップと、を含む。

１５８において、少なくとも１つの計測値を提供するべく、パリティチェックがＮ個のターゲットキュービットに対して実行されている。一実装形態において、選択されたターゲットキュービットは、１つ又は複数のその他のターゲットキュービットをターゲットとしたＣＮＯＴゲート用の制御キュービットであり、且つ、選択されたターゲットキュービット以外のそれぞれのターゲットキュービットは、標準基底において計測される。少なくとも１つの計測値のいずれかが望ましい値をとっていない場合には、誤りが通知され、且つ、第１キュービット、第２キュービット、及び選択されたターゲットキュービットの状態は、破棄される。計測値のすべてが個々の望ましい値をとっている場合には、１６０において、第１キュービット、第２キュービット、及び選択されたターゲットキュービットによって形成されるシステムが高忠実度トフォリ状態として受け入れられる。

図５は、本発明の一態様による、第１忠実度を有するトフォリ状態を、第２忠実度を有する複数の単一キュービットマジック状態から生成し、それにより、単一キュービットマジック状態を使用して直接的にトフォリ状態を構築することにより、第１忠実度未満の忠実度を有するトフォリ状態が結果的に得られるようになっている方法１８０の別の例を示している。１８２において、第１の組のキュービットが、プラス状態において生成されている。１８４において、第２の組のキュービット及び第３の組のキュービットのそれぞれが、単一キュービットマジック状態において生成されている。単一キュービットマジック状態は、高忠実度を有するように効率的に直接的に生成することが不可能であり、且つ、従って、本発明の一態様によれば、単一キュービットマジック状態のそれぞれには、相対的に低い忠実度が提供されていることを理解されたい。一例において、単一キュービットマジック状態は、ハダマード演算子の「＋１」固有状態に等価である種類の状態のうちの１つを含む。

１８６において、第１の組のキュービットのそれぞれのキュービットごとに、第２の組のキュービットのうちのキュービットをターゲットとすることにより、制御ＮＯＴ演算が実行されている。１８８において、ブロッホ球の軸を中心とした第２の組のキュービットのそれぞれのキュービットの回転が実行されている。回転は、第３の組のキュービット内に保存されている少なくとも１つのクリフォードゲート及び少なくとも１つの単一キュービットマジック状態を使用することにより、実行することができる。一実装形態において、それぞれのキュービットの回転は、Ｙ軸を中心とした正又は負のπ／４の回転のいずれかであってよい。１８６及び１８８は、いくつかの実装形態においては、複数回にわたって反復されうることを理解されたい。

１９０において、第２の組のキュービットのうちの少なくとも１つが、ブロッホ球の軸であって、第２の組のキュービットのそれぞれのキュービットがそれを中心として回転されたブロッホ球の軸に対して垂直である計測基底において計測されている。一例において、キュービットは、標準基底において計測される。少なくとも１つの計測が誤りを通知していないと仮定することにより、第１の組のキュービットの第１及び第２キュービット並びに第２の組のキュービットのうちの所与のキュービットにより、トフォリ状態が形成される。

上述の内容は、本発明の例である。当然のことながら、本発明の説明を目的として、コンポーネント又は方法のすべての想定可能な組合せについて記述することは不可能であり、当業者は、本発明の多くの更なる組合せ及び順列が可能であることを認識するであろう。従って、本発明は、添付の請求項の範囲に含まれるすべてのそれらの変更形態、修正形態、及び変形形態を含むことを意図されている。

Claims (14)

1. 第１忠実度を有するトフォリ状態を、第２忠実度を有する複数の単一キュービットマジック状態から生成して、前記単一キュービットマジック状態を使用してトフォリ状態を直接的に構築することにより、前記第１忠実度未満の忠実度を有するトフォリ状態を生成するため方法であって、
   一組のクリフォードゲートによって生成されうる高忠実度状態において第１及び第２キュービットのそれぞれを生成するステップと、
   前記単一キュービットマジック状態においてＮ個のターゲットキュービットを生成するステップであって、Ｎは、１を上回る整数である、前記Ｎ個のターゲットキュービットを生成するステップと、
   前記第１キュービット、前記第２キュービット、及び前記Ｎ個のターゲットキュービットを有するシステムが、状態
   １／２｜０００_１．．．０_Ｎ＞＋１／２｜０１０_１．．．０_Ｎ＞＋１／２｜１００_１．．．０_Ｎ＞＋１／２｜１１１_１．．．１_Ｎ＞
   となるように、前記第１キュービット、前記第２キュービット、及び前記Ｎ個のターゲットキュービットに対して一連のゲートを実行するステップであって、インデックス値１〜Ｎは、前記Ｎ個のターゲットキュービットを表す、前記一連のゲートを実行するステップと、
   少なくとも第１計測値を提供するべく、前記Ｎ個のターゲットキュービットに対してパリティチェックを実行するステップと、
   前記第１計測値が望ましい値をとっている場合に、前記第１キュービット、前記第２キュービット、及び第１ターゲットキュービットを前記トフォリ状態として受け入れるステップとを備える方法。
2. 一連のゲートを前記第１キュービット、前記第２キュービット、及び前記Ｎ個のターゲットキュービットに対して実行するステップは、
   前記第１及び第２キュービットのそれぞれに、前記ターゲットキュービットのそれぞれをターゲットとする少なくとも１つの制御ＮＯＴ演算を実行するステップと、
   少なくとも１つのクリフォードゲート及び少なくとも１つの単一キュービットマジック状態を使用することにより、ブロッホ球の軸を中心としたそれぞれのターゲットキュービットの回転を実行するステップとを含む、請求項１に記載の方法。
3. 前記ブロッホ球の軸を中心としたそれぞれのターゲットキュービットの回転を実行するステップは、
   前記ブロッホ球のＹ軸を中心として、正又は負のπ／４ラジアンだけ、それぞれのターゲットキュービットの回転を実行するステップを含む、請求項２に記載の方法。
4. それぞれのターゲットキュービットの回転を実行するステップは、
   複数の単一キュービットマジック状態のうちの１つを保存しているキュービットによって制御される前記ターゲットキュービットをターゲットとした制御Ｙ演算を実行するステップと、
   第１値及び第２値のうちの１つを提供するべく、Ｙ基底において前記ターゲットキュービットを計測するステップと、
   前記第１値が計測された場合に、前記Ｙ軸を中心とした正又は負のπ／２ラジアンだけの前記ターゲットキュービットの回転を実行するステップと、
   前記第２値が計測された場合に、前記ターゲットキュービットの回転を実行しないステップと含む、請求項３に記載の方法。
5. 前記パリティチェックを前記Ｎ個のターゲットキュービットに対して実行するステップは、
   前記Ｎ個のターゲットキュービットの少なくとも１つのその他のターゲットキュービットをターゲットとした前記第１ターゲットキュービットによって制御される制御ＮＯＴゲートを実行するステップと、
   前記第１ターゲットキュービット以外の前記少なくとも１つのターゲットキュービットを標準基底において計測するステップとを含む、請求項１に記載の方法。
6. 前記第１キュービット、前記第２キュービット、及び前記Ｎ個のターゲットキュービットに対して前記一連のゲートを実行するステップは、
   それぞれのターゲットキュービットをターゲットとした第１制御ＮＯＴゲートを実行するステップであって、それぞれのターゲットキュービットに対する前記第１制御ＮＯＴゲートは、前記第１キュービット及び前記第２キュービットのうちの所与のキュービットによって制御される、前記第１制御ＮＯＴゲートを実行するステップと、
   前記一組のクリフォードゲートのうちの少なくとも１つのゲート及び少なくとも１つの単一キュービットマジック状態を使用することにより、ブロッホ球の軸を中心として第１方向においてそれぞれのターゲットキュービットの第１回転を実行するステップと、
   それぞれのターゲットキュービットをターゲットとした第２制御ＮＯＴゲートを実行するステップであって、それぞれのターゲットキュービットに対する前記第２制御ＮＯＴゲートは、前記第１制御ＮＯＴゲートにおいて使用されなかった前記第１キュービット及び前記第２キュービットのうちの他方のキュービットによって制御される、前記第２制御ＮＯＴゲートを実行するステップと、
   前記一組のクリフォードゲートのうちの少なくとも１つのゲート及び少なくとも１つの単一キュービットマジック状態を使用することにより、前記ブロッホ球の前記軸を中心として第２方向においてそれぞれのターゲットキュービットの第２回転を実行するステップと、
   それぞれのターゲットキュービットをターゲットとした第３制御ＮＯＴゲートを実行するステップであって、それぞれのターゲットキュービットに対する前記第３制御ＮＯＴゲートは、それぞれのターゲットキュービットをターゲットとした前記第１制御ＮＯＴゲートの実行するステップにおいて使用された前記第１キュービット及び前記第２キュービットのうちの同一のキュービットによって制御される、前記第３制御ＮＯＴゲートを実行するステップと、
   前記一組のクリフォードゲートのうちの少なくとも１つのゲート及び少なくとも１つの単一キュービットマジック状態を使用することにより、前記ブロッホ球の軸を中心として前記第２方向においてそれぞれのターゲットキュービットの第３回転を実行するステップとを含む、請求項１に記載の方法。
7. それぞれのターゲットキュービットをターゲットとした前記第１制御ＮＯＴゲートを実行するステップは、
   前記第２キュービットにより、第１ターゲットキュービットをターゲットとした前記制御ＮＯＴゲートを制御するステップと、
   前記第１キュービットにより、第２ターゲットキュービットをターゲットとした前記制御ＮＯＴゲートを制御するステップとを含む、請求項６に記載の方法。
8. それぞれのターゲットキュービットの第１回転を実行するステップは、
   前記ブロッホ球のＹ軸を中心としてπ／４の回転を実行するステップを含み、
   それぞれのターゲットキュービットの第２回転を実行するステップとそれぞれのターゲットキュービットの第３回転を実行するステップとのそれぞれは、
   前記ブロッホ球の前記Ｙ軸を中心とした−π／４の回転を実行するステップを含む、請求項６に記載の方法。
9. 前記単一キュービットマジック状態においてＮ個のターゲットキュービットを生成するステップは、
   ハダマード演算子の固有状態と等価である種類の状態のうちの１つにおいて前記Ｎ個のターゲットキュービットを生成するステップを含む、請求項１に記載の方法。
10. マジック状態の複数のインスタンスから、高忠実度のトフォリ状態において３つのキュービットを提供するシステムであって、
    複数のクリフォードゲートによって生成されうる高忠実度状態をそれぞれが保存している第１及び第２キュービットと、
    前記マジック状態のインスタンスをそれぞれが保存しているＮ個のターゲットキュービットと、
    前記システムを状態
    １／２｜０００_１．．．０_Ｎ＞＋１／２｜０１０_１．．．０_Ｎ＞＋１／２｜１００_１．．．０_Ｎ＞＋１／２｜１１１_１．．．１_Ｎ＞
    に配置するべく、前記第１キュービット、前記第２キュービット、及び前記Ｎ個のターゲットキュービットに対して一連のゲートを実行するように構成された複数ターゲットトフォリ状態生成コンポーネントであって、インデックス値１〜Ｎは、前記Ｎ個のターゲットキュービットを表している、前記複数ターゲットトフォリ状態生成コンポーネントと、
    前記Ｎ個のターゲットキュービットのパリティをチェックするように構成されたパリティチェックコンポーネントであって、前記パリティチェックコンポーネントは、計測されていないターゲットキュービットを提供するべく、Ｎ−１個のターゲットキュービットに関する計測を有する、前記パリティチェックコンポーネントとを備える、システム。
11. 前記複数ターゲットトフォリ状態生成コンポーネントは、直列状態において構成された複数の量子回路を含み、
    前記複数の量子回路のそれぞれは、
    前記Ｎ個のターゲットキュービットの第１ターゲットキュービットが第１制御ＮＯＴゲートのターゲットであると共に前記第１及び第２キュービットのうちの一方が第１制御ＮＯＴゲートの制御キュービットとなるように構成された第１制御ＮＯＴゲートと、
    前記Ｎ個のターゲットキュービットの第２ターゲットキュービットが第２制御ＮＯＴゲートのターゲットであると共に前記第１及び第２キュービットのうちの他方が第２制御ＮＯＴゲートの制御キュービットとなるように構成された第２制御ＮＯＴゲートと、
    Ｙ軸を中心としたπ／４ラジアンの回転と前記Ｙ軸を中心とした負のπ／４ラジアンの回転とのうちの１つを前記Ｎ個のターゲットキュービットのうちの少なくとも１つに対して提供するように構成された回転ゲートとを含む、請求項１０に記載のシステム。
12. 前記複数の量子回路は、
    第１量子回路であって、前記第１量子回路の第１制御ＮＯＴゲートは、前記第２キュービットによって制御されており、且つ、前記第１ターゲットキュービットをターゲットとしており、前記第１量子回路の第２制御ＮＯＴゲートは、前記第１キュービットによって制御されており、且つ、前記第２ターゲットキュービットをターゲットとしており、且つ、前記回転ゲートは、前記第１及び第２ターゲットキュービットのそれぞれに対して前記Ｙ軸を中心としたπ／４ラジアンの回転を提供するように構成されている、前記第１量子回路と、
    第２量子回路であって、前記第２量子回路の第１制御ＮＯＴゲートは、前記第１キュービットによって制御されており、且つ、前記第１ターゲットキュービットをターゲットとしており、前記第２量子回路の第２制御ＮＯＴゲートは、前記第２キュービットによって制御されており、且つ、前記第２ターゲットキュービットをターゲットとしており、且つ、前記回転ゲートは、前記第１及び第２ターゲットキュービットのそれぞれに対して前記Ｙ軸を中心とした負のπ／４ラジアンの回転を提供するように構成されている、前記第２量子回路と、
    第３量子回路であって、前記第３量子回路の第１制御ＮＯＴゲートは、前記第２キュービットによって制御されており、且つ、前記第１ターゲットキュービットをターゲットとしており、前記第３量子回路の第２制御ＮＯＴゲートは、前記第１キュービットによって制御されており、且つ、前記第２ターゲットキュービットをターゲットとしており、且つ、前記回転ゲートは、前記第１及び第２ターゲットキュービットのそれぞれに対して前記Ｙ軸を中心とした負のπ／４ラジアンの回転を提供するように構成されている、前記第３量子回路と含む、請求項１１に記載のシステム。
13. 前記パリティチェックコンポーネントは、
    前記計測されていないターゲットキュービットによって制御されると共に前記Ｎ−１個のターゲットキュービットのうちの１つをターゲットとした制御ＮＯＴゲートを含む、請求項１０に記載のシステム。
14. 一組のクリフォードゲートと関連付けられたマジック状態は、ハダマード演算子の固有状態と等価である種類の状態のうちの１つである、請求項１０に記載のシステム。