JP5271825B2 - 案内曲線で定義される面の設計をなすコンピュータ実行方法 - Google Patents

Description

本発明は、コンピュータプログラム及びシステム分野に関し、特に、コンピュータ支援された設計（ＣＡＤ）、製造（ＣＡＭ）、エンジニアリング（ＣＡＥ）システムに関する。

複数のシステム及びプログラムが、部品、部品アセンブリ及びその製品の設計のため、
市場に提供されており、例えば、商標登録ＣＡＴＩＡ（Computer Aided Three Dimensional Interactive Application）の下、ダッソー・システム社によって提供されている。ＣＡＴＩＡは、マルチプラットフォームのＣＡＤ／ＣＡＭ／ＣＡＥソフトウェア製品群であり、通常、３Ｄ製品ライフサイクル管理ソフトウェア製品群と呼ばれている。これらソフトウェアは、概念化から設計（ＣＡＤ）及び製造（ＣＡＭ）を経て分析（ＣＡＥ）に至る広範囲の製品開発（ＣＡｘ）における複数の段階を支援する。このソフトウェア製品群は、アプリケーションプログラミングインタフェース（ＡＰＩ）を介してカスタマイズ可能である。あるバージョンでは専用ＡＰＩの下で多様な言語に対応することができる。

これらの所謂ＣＡＤシステムは、ユーザがオブジェクト（object）又はオブジェクトのアセンブリからなる複雑な３次元モデルを構築し、且つ操作するのを優れて可能にする。ＣＡＤシステムは、エッジ、ライン又は場合によって面を用いてモデル化されたオブジェクトの表現を提供する。これらのＣＡＤシステムは、部品又は部品のアセンブリを、主に幾何形状の仕様であるモデル化されたオブジェクトとして管理する。特に、ＣＡＤファイルは、幾何形状が生成される元となる仕様を含んでいる。幾何形状から表現が生成される。仕様、幾何形状及び表現は、単一のＣＡＤファイル又は複数のファイルに蓄積されてもよい。ＣＡＤシステムは、モデル化されたオブジェクトを設計者に表示する図形ツールを含み、当該図形ツールは複雑なオブジェクトの表示に特化する。ＣＡＤシステムにおいてオブジェクトを表現するファイルの通常サイズは、部品でメガバイトの範囲にまで及び、アセンブリの場合は何千の部品を含むことになる。ＣＡＤシステムは、電子ファイルに格納されるオブジェクトのモデルを管理する。

既知のＣＡＤシステムを用いた機械部品の設計は、機能上及び製造上の要求に適合するように当該部品の幾何形状及びその大きさを定義することであると理解される。設計者の創作により結果として得られる形状は、主に、パッド、ポケット、グループ及びシャフト等の基本形状の組合せである。ＣＡＤシステムは、複雑な幾何学的及びトポロジカルな計算により、例えば閉じた、且つ配向された面によって物体（機械部品）の境界表現を与える。

他の基本要素が部品又は製品の形状を形成してもよく、当該他の基本要素の中には線織面（ruled surface）がある。線織面の設計がコンピュータ支援の幾何設計システムの役割をすることがある。厳密に言えば、幾何形状において、面Ｓの全ての点で、１つの直線が当該面Ｓ上に存在するならば、面Ｓが規則化（ruled）されていると言える。良い例は円柱又は円錐の面及び曲面である。従って、線織面は、線分、すなわち空間上の「真っ直ぐな」線が移動することにより形成される面として視覚できる。例えば、円錐は、線の一方の終端を固定したまま他方の終端を円状に移動することによって形成される。線分の動きは、例として、例えばユーザに定義された２つの案内曲線により管理され、例えば、ユーザにより定義されて、線分の終端が各案内曲線に沿って移動する。

線織面は、しばしば、工具設計（例えば、鋳造、鍛造ダイの鋳ばり領域、鍛造部品の切削具等の設計）のみならず形状設計（例えば、機械部品設計における面、機械機構における傾斜面）においても用いられる。

変形することなく面に広げられる可展面は、線織面の特別なケースとして知られ、上記線織面の特性に加えて可展性の追加の制約を包含している。

可展面が（準）非伸張性の材料の平板から製造されるオブジェクトの設計に用いられて、当該材料は、形状に適合するように唯一折り畳まれる。贅沢な革製のハンドバック、ビルディング、又は船体の個々の板などの多くの者に作成されたオブジェクトは、この方法で設計されたものである。

線織面設計に関して、あらゆる計算手法及びアルゴリズムが当業者に知られている。主たる問題は、２つの案内曲線を便利に連結することである。線分を移動することによって２つの入力案内曲線を接続するための方法は無限にある。従って、連結するための方策は、線織面の設計の鍵となる特徴である。２つの連結のための技術が用いられる。

第１の技術は「暗黙的な連結」であり、ＣＡＤシステムが連結の方策を広く担うことを特徴とする。ＣＡＤシステムは、コスト関数を組み込んだアルゴリズムを実行することによって、最適問題、特に費用最小化問題の解として線織面が計算される。コスト関数は、最小面積、最大可展性、最小曲げエネルギー、最小平均曲率偏差又は標準偏差のような物理的特性を取り入れてもよい。さらに、コスト関数はいくつかの当該判別基準を線形的に組み合わせてもよい。さらに、専用の「連結関数」又はこれに等価に対応する「連結曲線」は、一方の案内曲線の各点が他方の案内曲線の点にどれくらい連結されるかを得る。当該連結関数は、案内曲線の幾何的な定義とともにコスト関数の中に取り込まれる。結合関数の基本的特性は、単調なものでなければならない。そうではないと、結果として得られる面が（折り畳められる、又は挟み潰されるように）特異なものとなり、別の幾何的処理においてその面を利用できなくする。暗黙的な連結の典型的な参考文献は、「補間線織面の最適境界三角形分割」と題する非特許文献１である。

さらに、「局所的修復」が発生する場合がある。これに対応する技術は、次の通りである。ユーザは、ＣＡＤシステムに自身の暗黙的な連結の方策に従って線織面を計算させる。通常、得られる面は満足できるものではない。次に、会話型ツールキットによって、ユーザは、面の「悪い」部分を手動で取り除き、隙間を充填面で埋める。尚、この充填面は、線織面ではなく、境界条件及び接触条件によって定義されることに留意されたい。

第２の技術は「明示的な連結」である。ここで、ＣＡＤシステムのユーザは、連結の方策を担っている。ＣＡＤシステムは、案内曲線上の点を選択するようにユーザに訪ね、かつ、一方の案内曲線上の対応する点を選択するようにユーザに訪ねる。接続される点の数はユーザの選択事項である。その結果、線分で接続される点同士の組が限定される。次いで、ＣＡＤシステムは、既知の補間の方策を用いて、連続する連結線分の間の空き空間を充填する。

暗黙的な連結の周知の方法は、さらに数値最適化アルゴリズムを使用することができる。科学文献は、このアルゴリズムの多くを提供する。

上記の方法は、確実なものではない。

例えば、暗黙的な連結は、物理的特性等によって統御、または呼び起こされるコスト関数を取り入れる。図１Ａ〜図１Ｃ（上述の非引用文献１のようなもの）に、異なる物理的判別基準（図１Ｂ及び図１Ｂ）を通じて同一の案内曲線（図１Ａ）から得られる２つの線織面が示されている。尚、面の不良は線分の局所的集中に起因していることに留意されたい。このように、結果的な面の品質は改善されなければならない。

明示的な連結は機械的ＣＡＤユーザの責任である。この技術の第１の欠点は、人間のオペレータが、２つの案内曲線を接続する何百もの連結線分を扱うことができないことである。２、３ダースが妥当な限度であるが、設計範囲を制限している。第２の欠点は、案内曲線が改変されるたびに、連結が再定義又は改定されなければならないことである。ＣＡＤシステムが履歴ベース（改変された案内曲線に基づいて初めに定義した点が自動的に再定義されることを意味する）である場合さえ、改変された案内曲線上に繋がれる改変された連結が、正確な線織面を提供することを保証しない。従って、ユーザは改変された面を確認しなければならず、多くの場合、連結を再構築しなければならない。明示的な連結の最後の欠点は、明示的連結が決して一回でなされないことである。ユーザによる退屈な試行錯誤的な会話処理によって改良がなされる。さらに、この試行錯誤の一連の過程は、毎回、案内曲線が改変されることを潜在的に要求する。

最後に、局所的修復を伴う方法は、本質的に手動の手順である。かかる手順の成否は、線織面が正しくないことを視認するユーザの能力に依拠している。非常に小さな特異点は見逃され得る。明らかに、初めの線織面の局所的修復は、改変された線織面には適合しない。案内曲線が改変される度に、局所的修復処理は再びもう一度なされなければならない。

要するに、既存の技術は、悪品質の出力、あるいは設計プロセスの時間浪費をもたらす解決策である。

さらに、暗黙的な連結に基づくアルゴリズムは、しばしば、特に案内曲線が取り入れられる場合に失敗する。従って、かかるアルゴリズムの堅牢性は疑わしい。

"Optimal boundary triangulations of an interpolating ruled surface", C.C.L Wang, K. Tang, Journal of Computing and Information Science in Engineering, Vol.5, 2005.

従って、本発明の目的は、線織面の設計をコンピュータによって実行する方法の堅牢性を改善することである。好ましくは、当該解決手段は面出力の品質を改善し、可能であれば２つの案内曲線を連結することによって定義される如何なる面にも汎用的に用いられるものとすることである。

かかる目的を達成するために、本発明は、案内曲線Ｐ（ｕ）及びＱ（ｖ）と連結曲線

とによって定義される面を設計し、当該面によってモデル化される製品の製造を改良するコンピュータ実行方法であって、
−案内曲線Ｐ（ｕ）及びＱ（ｖ）とコスト関数ｆ（ｔ，ｗ）とを定義するデータにアクセスするステップと、
−上記コスト関数ｆ（ｔ，ｗ）と上記連結曲線

の座標ｔ，ｗとの両方を用いて、Ｊ＝Ｊ（ｆ，ｔ，ｗ）形式の目的関数（以下、オブジェクト関数という。）を定義するステップと、
−上記オブジェクト関数Jを最適化し、パラメータｓの連結曲線

を得るステップと、
−当該得られた連結曲線の座標ｔ，ｗで各々構成される、前記案内曲線Ｐ（ｔ（ｓ））及びＱ（ｗ（ｓ））に従う面を提供するステップと、
を含み、上記オブジェクト関数を定義するステップ、および上記オブジェクト関数を最適化するステップにおいて、上記オブジェクト関数Ｊ＝Ｊ（ｆ，ｔ，ｗ）は、上記コスト関数ｆ（ｔ，ｗ）の引数ｔ，ｗがレギュレーション関数μによって調整されるように制約されることを特徴とする。

所与の実施形態において、本発明に係る処理は、以下の特徴の少なくとも１つを含んでもよい。
−本発明に係る方法は、上記案内曲線Ｐ（ｕ）及びＱ（ｖ）と、上記連結曲線

とによって定義される線織面を設計するコンピュータ実行方法であり、上記面を提供するステップにおいて、当該提供される面は、Ｓ（ｓ，λ）＝λＱ（ｗ（ｓ））＋（１−λ）Ｐ（ｔ（ｓ））の形式からなる線織面であり、
−上記オブジェクト関数を定義するステップにおいて、当該オブジェクト関数は、上記コスト関数のパラメータ化から独立するように定義される。
−上記オブジェクト関数を定義するステップにおいて、その後に最適化されるオブジェクト関数は、上記コスト関数が上記レギュレーション関数μによって調整されるようにして、

の形式である。
−上記オブジェクト関数を定義するステップにおいて、定義されるオブジェクト関数は、

の形式であり、上記連結曲線μ（ｔ’，ｗ’）は、上記コスト関数の引数の１次微分係数を用いる。
−上記オブジェクト関数を定義するステップにおいて、上記レギュレーション関数μは、スカラー、且つ正に変化する同次関数である。
−上記オブジェクト関数を最適化するステップにおいて、上記オブジェクト関数は、上記レギュレーション関数に用いられる微分係数が両方とも正であるように制約され、これにより増加連結曲線が実行される。
−上記オブジェクト関数を最適化するステップにおいて、当該最適化は、

として制約され、ここでεは正の閾値である。
−上記オブジェクト関数を定義するステップにおいて、上記レギュレーション関数μが実行されて、２次元距離（metric）を定義する。
−上記オブジェクト関数を最適化するステップにおいて、当該最適化は、

からなる最小化問題として課される。
−上記オブジェクト関数を定義するステップにおいて、上記レギュレーション関数は、μ（ｕ，ｖ）＝｜ｕ｜＋｜ｖ｜形式の非ユーグリッド距離関数として実行される。
−上記オブジェクト関数を最適化するステップは、粒子群最適化（ＰＳＯ）アルゴリズムを使用する。
−上記オブジェクト関数を最適化するステップにおいて用いられるＰＳＯアルゴリズムの検索空間は、狭義（strictly）増加（increasing）連結曲線の複数からなる組に制限される。
−上記オブジェクト関数を最適化するステップにおいて用いられるＰＳＯアルゴリズムは、連結曲線に対応する曲線を、ｎ＝２^ｍの階層変数ｘ_ｉ∈［０，１］として取り入れるように実行され、上記変数ｘ_ｉは取り入れられるべき連結曲線を表している階層的座標ｘ_ｉである。
−上記オブジェクト関数を最適化するステップにおいて、上記階層的座標xiは直交座標（ｔ_ｉ，ｗ_ｉ）に変換される。

本発明は、本発明のコンピュータ実行方法を実行するプログラムコード手段を含むコンピュータプログラムブロダクト、並びにかかるコンピュータ実行方法を実行する手段を含むコンピュータシステムを含む。

暗黙的な連結に基づく従来方法の欠点を示す図である。 暗黙的な連結に基づく従来方法の欠点を示す図である。 暗黙的な連結に基づく従来方法の欠点を示す図である。 好ましい実施形態に従った全体的処理のフローチャートである。 パラメータ値ｔ（ｓ）及びｗ（ｓ）に関連する連結曲線を示す図である。 結果として得られる線織面を例示する図である。 振動する連結曲線の示す図である。 振動する連結曲線の示す図である。 単調増加であるが狭義の増加ではない連結曲線を示す図である。 単調増加であるが狭義の増加ではない連結曲線を示す図である。 非平面状の三角形状線織面を示す図である。 局所的に水平且つ局所的に垂直に（狭義の増加ではない）増加する連結曲線を示す図である。 局所的に水平且つ局所的に垂直に（狭義の増加ではない）増加する連結曲線を示す図である。 レギュレーション関数μ（Δｔ_ｉ，Δｗ_ｉ）の評価のためのコスト関数ｆ（ｔ，ｗ）の離散化された引数（ｔ_ｉ，ｗ_ｉ）を、連続した点（ｔ_ｉ，ｗ_ｉ）及び（ｔ_ｉ＋１，ｗ_ｉ＋１）について示す図であり、点（ｔ_ｉ，ｗ_ｉ）は複数の並行線上の各々で制約され、対角線に直交している。 レギュレーション関数μ（Δｔ_ｉ，Δｗ_ｉ）の評価のためにコスト関数ｆ（ｔ，ｗ）の離散化された引数（ｔ_ｉ，ｗ_ｉ）を、一連の点について示す図であり、点（ｔ_ｉ，ｗ_ｉ）は複数の並行線上の各々で制約され、対角線に直交している。 図１３のフローチャートの実行を図式的に示す図である。 図１３のフローチャートの実行を図式的に示す図である。 図１３のフローチャートの実行を図式的に示す図である。 図１３のフローチャートの実行を図式的に示す図である。 図１３のフローチャートの実行を図式的に示す図である。 図１３のフローチャートの実行を図式的に示す図である。 図１３のフローチャートの実行を図式的に示す図である。 連結曲線の直交座標点（ｔ_ｉ，ｗ_ｉ）を階層的座標ｘ_ｉから計算する方法を例示するフローチャートである。 （図１３の計算に関連して）逆計算する方法を例示するフローチャートである。

本発明の多様な実施形態が添付の図面を参照しつつ詳細に説明される。

本発明は以下のように構成される。最初に、本発明及びその実施例が広範に説明される。次いで、全体的なプロセスが段階的に説明される。最後に、好ましい実施例の詳細が検討される。

要約すれば、本発明は、暗黙的な連結方式に基づいた（線織）面の設計方法に関する。本発明によれば、オブジェクト関数Ｊ＝Ｊ（ｆ，ｔ，ｗ）は、コスト関数ｆ（ｔ，ｗ）の引数ｔ，ｗがレギュレーション関数μによって調整されるように制約される。従って、レギュレーション関数μがコスト関数に加えて取り込まれる。レギュレーション関数は、コスト関数ｆ（ｔ，ｗ）の引数ｔ，ｗに作用する。より正確には、関数μが、最適化に際して、当該引数を調整する。これは、丁度アンチロックブレーキ制御器が車のホイールの回転スピードを調整するようなものである。同様に、関数μが当該引数を調整する、すなわち典型的に「スピード」（すなわち第１微分）に作用する。従って、オブジェクト関数が幾何形状の判別基準に従ってさらに制約されることになる。

以下に多様な例で説明するように、基礎となるアルゴリズムの堅牢性は改善される。なおさら、得られる結果はユーザにとってより有意義であり、当該設計システムによって返される面の品質は改善される。これに反して、通常の暗黙的な連結アルゴリズムは、幾何形状によってのみ支配され、意義の乏しい結果しかもたらさないであろう。興味深いことに、本発明の方法は、２つの案内曲線を連結することによって定義される如何なる面に対しても一般化することができる。事実、本発明者は、暗黙的な連結の既存の方法の欠点が最適化アルゴリズムの弱点に起因して生じることに気が付いた。特に、本発明者は、最適化するためのオブジェクト関数の制約レベルが、堅牢な最適化及び有意義な結果を保証するのに十分ではないことに気が付いた。さらに、本発明者は、コスト関数に取り込まれる物理的な判別基準は、最適化アルゴリズムを確実にするには十分ではないと理解した。ある判別基準を取ることが、無限の連結の解決手法に対処するために不可避であるが、本発明者は、要求される判別基準が通常の物理的な判別基準を超えて拡張されるべきであるということに気が付いた。これは、最終的な面または暗黙的な連結アルゴリズムの堅牢性を改善するために、物理的な判別基準が系統的に改良されてきたという多くの従来技術の試みと対照をなす。

むしろ、最適化プロセスをさらに制約するレギュレーション関数に依拠することは、物理的特性が機械設計者にとって特に重要ではないため（以下に説明するように可展性を除いて）、より利便性のあるもとなる。事実、設計者の期待は使用上の容易性、性能及び堅牢性である。懸案であるレギュレーション関数が基礎となる最適化アルゴリズムを確実にしているが、これらの判別基準の何れもが物理的傾向の特性によって取り入れられていない。

上記したように、おそらく、規則化された（ruled）特性を実際に扱う唯一の物理的特性は「可展性」である。しかし、任意の２つの曲線が与えられても、通常、当該２つの曲線を連結する可展性のある面は存在しない。当該面に局所的に可展性が存在したとしても、必ずしも当該面は至る所で規則的ではない。従って、物理的傾向のコスト関数は、機械ＣＡＤユーザの期待を満足するものではないと結論できる。

以上を前提として、好ましい実施形態が広範に説明される。

最初に、コスト関数が上記のレギュレーション関数によって増補されて、ユーザの期待、数値的評価性能、並行化可能なアルゴリズム、及び堅牢性のうちの１つ以上の目標に合致するように適応可能な有効なコスト関数を提供する。背景技術とは異なり、得られる有効なコスト関数は、物理的特性のみで駆動されるのではなく、可能であれば物理的特性なしで駆動される。

本発明は、例えば次の点で滑らかな面を提供するように構成されている。一方では、結果として得られる面の線分は、途中で全て調和的に配置される。かかる態様は、有効なコスト関数それ自体（又はレギュレーション関数）を介して取り入れられる。ここで、本発明の原理は、「調和的に配置された」線分の上記仕様よって提供される柔軟性を活用することである。その自由度の範囲内で、有効なコスト関数は、数値解決ステップ中、効率的に実行されるように構成することができる。かかる態様は、案内曲線の任意の複雑性によく適合した堅牢性ある解決アルゴリズムを可能とする。

他方では、一次偏微分係数値を求めることによって、接面をどこでも定義することができる。かかる態様は、さらに狭義増加連結曲線を課すことによって取り入れることができる。

さらに、後に詳細に説明するように、有効コスト関数は並行処理に適応することができる。例えば、「粒子群最適化（Particle Swarm Optimization）」（ＰＳＯ）アルゴリズムが、課された問題にとりわけよく適合する。局所的な解決トラップを克服し、及び遠方または最適解に収束することも可能である。また、コスト関数の同時且つ独立した計算を多数回にわたり実行するので、ＰＳＯアルゴリズムを並行化することは自明である。読者は、例えば、２００７年１２にオーストラリア国ウィーンのアイ・テック教育出版社（I-Tech Education and Publishing）により刊行されたチャン氏（Felix T.S. Chan）及びティワリ氏（Manoj Kumar Tiwari）編集による「群インテリジェンス、蟻及び粒子群最適化の焦点（Swarm Intelligence, Focus on Ant and Particle Swarm Optimization）」を参照してもよい。

好ましい実施形態の詳細に戻る前に、全体的なプロセスについて、図２を参照して概略的に説明する。

本発明による方法は、案内曲線Ｐ（ｕ）及びＱ（ｖ）（Ｓ１１０）とコスト関数ｆ（ｔ，ｗ）（Ｓ１２０）とを定義するデータにアクセスするステップＳ１１０、Ｓ１２０を備える。ユーザ選択の案内曲線Ｐ（ｕ）及びＱ（ｖ）が与えられて、未知の連結は、パラメータ化曲線

であり、他は曲線の代わりに関数として定義することができる。コスト関数ｆ（ｔ，ｗ）は、周知の通り、線織面の品質をモデル化する関連特性を定義する。この特性は、案内曲線の幾何形状に密接に関係する。

当該方法は、コスト関数ｆ（ｔ，ｗ）と連結曲線

の座標ｔ，ｗとの両方を用いて、周知の通り、Ｊ＝Ｊ（ｆ，ｔ，ｗ）形式のオブジェクト関数を定義する（Ｓ２００）。

次いで、ステップＳ３１０において、課された最適化問題（例えばステップＳ３００において課される問題を参照）に従って、オブジェクト関数Jを最適化し、ステップＳ４００においてパラメータｓの連結曲線

を得ることかできる。上記のように、異なる最適化アルゴリズムを考慮することができる。ＰＳＯアルゴリズムの選択は以降に詳細に説明する。

最後に、ステップＳ５００において、線織面Ｓ（ｓ，λ）＝λＱ（ｗ（ｓ））＋（１−λ）Ｐ（ｔ（ｓ））が案内曲線Ｐ（ｔ（ｓ））及びＱ（ｗ（ｓ））に従って提供される。尚、当該案内曲線Ｐ（ｕ）及びＱ（ｖ）は、前に得られた連結曲線の座標ｔ，ｗで実際には構成されることに留意されたい。

ちょうど説明してきたことは、単に暗黙的な連結の枠組みである。ここで、上記のように且つ本発明に従って、オブジェクト関数Ｊ＝Ｊ（ｆ，ｔ，ｗ）は、コスト関数ｆ（ｔ，ｗ）の引数ｔ，ｗがレギュレーション関数μによって調整されるように制約される（Ｓ２００−Ｓ４００）。明らかに、２つの引数が用いられることから、各引数は、レギュレーション関数によって独立に調整されることとなる。当該レギュレーション関数μは、例えばステップＳ１１０及びＳ１２０と共に又は並行して、ステップＳ１３０で、関連データによってアクセスされる。

コスト関数ｆ（ｔ，ｗ）とは異なり、μがコスト関数に用いられる引数の調整に専従している限り、μは案内曲線から独立している。このことを達成する単純且つ実際的な方法は、レギュレーション関数μを引数ｔ，ｗの微分係数に依存させることである。従って、μ（ｔ’，ｗ’）は案内曲線から独立している。同様に、そして上記したように、アンチロックブレーキ制御機は自動車ホイールの回転速度を測定及び調整するが、道路の形態に直接的に依存しない。他の例が本発明の理解を助けるであろう。例えば、本発明の情況と、二重レール構造（各々は案内曲線に匹敵する）を当該構造の各レールに噛み合う彼／彼女のスケート刃の各々を用いて滑走するスケータの情況とを比較することができる。人は当該運動の潜在的な難しさ、特に案内レールが用いられる場合においてその難しさを認識することができる。しかし、このスケータは、彼／彼女のスケート刃の各々の速度を調整する（すなわち、一時的に増減することにより適応化する）ことよってこの困難を部分的に克服できることを理解するであろう。同様に、コスト関数の引数がレギュレーション関数によって調整されると考えられる。

さらに、引数ｔ，ｗを調整する異なるやり方を考えることができる。例えば、所与の間隔で引数ｔ，ｗを局所的に制限することによるものである。しかし、μを微分係数に依存させることは、ユーザに有意義なことであり、ついでに計算上でも効率的である。尚、高次の微分係数が特有のアプリケーションに用いられうることに留意されたい。

次に、μ（ｔ’，ｗ’）の実行は、オブジェクト関数が当該費用関数のパラメータ化からは独立するようにするのが好ましい。これは、当該オブジェクト関数の偏差特性を顕著に保証し、基礎となるアルゴリズムの堅牢性を改善するのに寄与する。

これに関して、オブジェクト関数Ｊ＝Ｊ（ｆ，ｔ，ｗ）を制約する多様な可能性が考えられうる。外部制約のような制約を実行する代わりに、黙示的な制約、すなわちオブジェクト関数Ｊ内部へ制約することが好都合である。従って、基礎となるアルゴリズム（及び対応する計算上のコスト）は、従来の暗黙的な連結に関して実質的に影響されない。好適な例は次の形式のオブジェクト関数Ｊである。

ここで、当該レギュレーション関数μは、引数ｔ，ｗの微分係数に好ましく依存することから、適切な選択は、当該オブジェクト関数を

として実行することであり、当該関数は、通常のコスト関数及び関数μの両方を用いて、有効なコスト関数を考慮するように実際に見積る。最適化問題はステップＳ３００で課されている。

特に、レギュレーション関数に用いられる微分係数は、好ましくは双方が正であることによって、連結曲線の増加が実行される。これはは、さらに以降で説明される。

次のステップ（Ｓ３１０）は、前に定義されたオブジェクト関数を、課された最適化問題に従って最適化（例えば最小化）する。適した最適化アルゴリズムが出力線織面を定義することになる最適化連結関数を提供してもよい。

全体のプロセスに留意して、好ましい実施形態を明らかにする。

第１のポイントは連結曲線に関係するものである。特に次の段落は、連結曲線が完全に増加しない場合に、特異点が常に発生することを立証することを目的とする。

これに関して、入力案内曲線は、周知のように、Ｐ（ｕ），ｕ∈［０，１］及びＱ（ｖ），ｖ∈［０，１］である。それらは典型的には滑らかであり、全てのｕ∈［０，１］及び全てのｖ∈［０，１］において、Ｐ（ｕ）≠０及びＱ（ｖ）≠０であることを意味する。未知の連結曲線は、

であり、ｓ∈［０，１］は［０，１］×［０，１］の空間における平面状の曲線であることによって、ｔ（０）＝０，ｔ（１）＝１，ｗ（０）＝０，ｗ（１）＝１である。

図３Ａに示すように、パラメータｓ∈［０，１］の各値について、連結曲線は、パラメータ値ｔ（ｓ）及びｗ（ｓ）を関連付け、線分の連結点Ｐ（ｔ（ｓ））及びＱ（ｗ（ｓ））を定義する。換言すると、得られるべき未知の線織面（図３Ｂ）は、

によってパラメータ化される。

図３Ｂは、かかる線織面を示し、点Ｐ（ｔ（ｓ））及びＱ（ｗ（ｓ））が線分によって連結されている。

連結曲線の変化が如何にして線織面の規則性を統御しているかを理解することは重要である。

第１の例として、連結曲線が振動しているならば、折り畳まれた面が生じる。事実、ここでは、線織面が単射（injective）ではなく、（ｓ_１，λ_１）≠（ｓ_２，λ_２）且つＳ（ｓ_１，λ_１）＝Ｓ（ｓ_２，λ_２）のようにして（ｓ_１，λ_１）及び（ｓ_２，λ_２）が存在することを意味する。事実、図４Ａに示すように、連結曲線が振動することから、

であり且つ別々のｗ（ｓ_ｉ）＝ｗ_ｉであるようなｓ_１，ｓ_２，ｓ_３が存在する。そして、

であることから、

であると期待される。同じ立証が図４Ｂに示されるように、

であることを保持する。

連結曲線の変化が線織面の規則性に他の影響を与える場合がある。第２の例として、もし連結曲線が単調増加であるが狭義増加ではない場合、挟み潰された面が生じる。（狭義増加ではない）単調増加連結曲線とは、図５Ａに示されるように、

のような分離したパラメータ値

が存在することを意味する。そして、その１次偏微分係数のベクトル積は、

である場合に零になる。すなわち、

である。さらに、制限正規ベクトル

は、λ→１の場合に定義されるであろうことが示される。

従って、なぜ、実行される連結曲線が好ましく狭義増加関数であるかが理解できる。

同様に、連結曲線が単調増加曲線であるが狭義増加曲線ではない場合に、

のような分離したパラメータ値

が存在し、図３Ｂを参照すれば、

の場合、すなわち、

の場合に、その第１次の偏微分係数のベクトル積が零になる。それにも関わらず制限正規ベクトル

は、λ→０の場合には定義されことが示される。

第３の例は、図６に例示するように、非平面の三角形状線織面に関する。Ｐ（ｕ），ｕ∈［０，１］がパラメータ化された３Ｄ曲線であるとし、Ｑが曲線Ｐ上にない点であるとする。この三角形状面は、Ｓ（ｕ，ｖ）＝ｖＱ＋（１−ｖ）Ｐ（ｕ）によって定義される。そして、点Ｑにおける面Ｓへの接平面は、第１次の偏微分係数によって定義されず、すなわち全てのｕ∈［０，１］についてＳ_ｕ（ｕ，１）∧Ｓ_ｖ（ｕ，１）＝０である。さらに、曲線Ｐが点Ｑを含む平面内に完全に含まれないならば、この接平面は存在しないことが示されうる。この結果は、特異点を生じる。

かかる特異点は、連結曲線が、図７Ａまたは図７Ｂに各々示されているように、局所的に水平、又は局所的に垂直である場合に発生する（尚、当該状況は図５Ａ又は図５の特異点とは多少異なる）。もし、連結曲線が局所的に水平または垂直である場合、案内曲線に沿って移動し、線分の一端は、他端が移動している間の短い期間中に「停止」する。

上記の３つの検討から、連結曲線は狭義増加が望ましく、線織面の出力品質を改善するであろうことを理解することができる。特に、連結曲線は、ｔ’＞０及びｗ’＞０という意味で狭義増加であってもよい。さもないと、特異点が発生し、表面に更なる幾何形状処理で使用させるのを困難にする。これに関し、円錐面は可展性があるものの、丸み（rounding）及び巻き付き（filleting） 不具合を引き起こす「非平面三角形状線織面」の特異点の原因となることがある。

以上これら概略の検討について結論すると、オブジェクト関数は、レギュレーション関数に用いられる微分係数の複数が双方ともに正であるように制約され、これにより（狭義の）増加連結曲線が実行される。結果として、かかる態様は折り畳まれたか、又は狭み潰された、すなわち非平面の三角形面を得るのを優れて回避する。

次に、レギュレーション関数

について、追加的に詳細に説明する。以下のいくつかの特徴は、図２のフローチャートとの関係においてより理解することができる。

コスト関数に用いられる引数の調整にμが専従し続ける限り、μは案内曲線から独立している。さらに、コスト関数のパラメータ化に関係して不変特性を得るために実行されることから、この関数μは重要である。特に、不変性を自然に課す変数の選択について選択することは、（案内曲線の依存なしに）実際に実施することを助ける。従って、適切な

を選択することは、数値問題の単純化、及びその解決を加速化する。

関数

は、例えば、正の同次関数であるスカラー関数として選択される。オブジェクト関数が

と定義される場合に、この特性は、オブジェクト関数が連結曲線のパラメータ化から独立である有利な結果を生じ、これにより問題が十分に課される。それ以外の場合には、当該アルゴリズムは失敗するかもしれない。

さらに、関数

は、

が２次元距離を定義するように好ましくは選択される。これは、全ての実数ｕ，ｖ，λについて、その距離原理が満たされることを優れて意味する、すなわち、

であるとともに、

である。

理解されるように、かかる議論は狭義増加連結曲線を定義することが有利であることを立証することとなる。

次に、これまでコスト関数については説明されていない。コスト関数、すなわちｆ＝ｆ（ｔ，Ｗ）は、有意な幾何形状量を取り入れていると考えられる。本発明の開発中に遂行された実験によれば、線織面にとって非常に都合のよい関数ｆが、実際にｆ（ｔ，ｗ）＝‖Ｐ（ｔ）−Ｑ（ｗ）‖として定義される。尚、当該複数の入力案内曲線は、結果として得られる線織面が何れにしてもユーザの選択順に依存しないように対称的な役割を果たす。事実、曲線Ｐ及びＱを戻すこと及び連結曲線の座標を戻すことは、‖Ｑ（ｗ）−Ｐ（ｔ）‖又は‖Ｐ（ｔ）−Ｑ（ｗ）‖のように同じ値を与える。これは、ユーザの観点から見て当該線織面の創成を容易にする。これに関して、図２のフローチャートに一旦戻ると、当該入力案内関数の（ユーザの）選択はステップＳ１１０及びＳＳ１２０に先立って起こるが理解される。

次に、１つの実施形態において、コスト関数は、さらに「展開可能な」判別基準（例えば、可展面に関係するもの）を必要であれば取り入れることができる。これに関して、設計者によって明示的に要求された場合、この判別基準はコスト関数にのみ用いられること、および当該判別基準が、展開可能な面が通常存在しないという理由で他の円滑化判別基準と組み合わせられなければならないことに留意すべきである。

コスト関数及びレギュレーション関数の双方について定義したことからオブジェクト関数Ｊに戻ることとする。

先に説明したように、オブジェクト関数は関数ｆ及びμの積の積分として定義されている。「積分」により、オブジェクト関数とはかかる積によって括られる面積に密接する数であることが意味され、オブジェクト関数に対して積分の離散化が明らかに考えられていることが理解される。

繰り返し述べたように、関数ｆ＝ｆ（ｔ，ｗ）は、当業者に周知のように、幾何形状を取り入れている。関数

は、（以降に詳述するように）不変性を提供するために、好ましくは当該連結曲線μ（ｔ’，ｗ’）の微分係数を取り入れる。従って、オブジェクト関数は以下のように定義される。

かかる定義から理解できるように、結果として得られる線織面の形状は、連結曲線の形状に依存するが、どのように連結曲線がパラメータ化されたかには依存しない。この理由のために、オブジェクト関数は、再パラメータ化の下では不変である。公式的には、オブジェクト関数は、自身に間隔［０，１］をマッピングする狭義増加関数ψの場合でも、

であることを意味する。この目的は、例えば、正の同時関数μによって達成される。さらに、再パラメータ化の不変性が関数μに関して更なる何らかの仮定なしに取り入れられる。

ここで、簡単に「狭義の増加」の制約に戻ることとする。狭義増加連結曲線の直截な訳は、全てのｓ∈［０，１］について、その微分係数が、双方とも厳密に（strictly）正である、すなわち、ｔ’（ｓ）＞０且つｗ’（ｓ）＞０であることである。しかし、厳密な不等性は、最適化問題において正しい制約を定義しないことが理解される。むしろ、関連性のある制約は、「それより大きいか又は等しい」である。従って、ある閾値ε＞０は、連結曲線がどれだけ水平（又は垂直）方向に接近できるかを処理するには有利である。

さらに、正規化は、常に方向が関係するという事実とともに、導入することができる。これに関して、特に有利な選択は、前に導入した関数μを再利用することである。すなわち、

である。

従って、オブジェクト関数の最適化ステップにおいて、最適化は、好ましくは、εが正の閾値である上記の制約条件に従って制約される。

さらに、レギュレーション関数は、非ユークリッドメトリック関数として、例えば、μ（ｕ，ｖ）＝｜ｕ｜＋｜ｖ｜として実行され得るものであり、これは後に出てくる。数学上及び計算上の観点から、非ユークリッド距離は、メトリックが等価であるという理由で当該問題の性質に影響を与えず、伝統的なユークリッドの

に代入される。明らかに、これは結果として得られる線織面の形状に影響を与える。さらに、この変化は、結果として得られる線織面の品質が等価であるという理由により、ユーザに関係しない。

完全性のために、理論的な観点から、要求される連結曲線は、パラメータ化曲線

ではなく関数

により定義されることに留意しなければならない。さらに、かかる定義は本発明の実施において等価であることが理解されよう。事実、制約条件ｔ’（ｓ）＞０を用いて、そして変数変化ｕ＝ｔ（ｓ），ｓ＝ｔ^−１（ｕ）と、

とによって、同次関数μを用いて、

が得られ、ここで

であり、

に従う。正規化制約条件

は、連結曲線を狭義増加する。オブジェクト関数は、

になる。しかし、パラメータ化連結曲線に代えて関数連結を扱うことは、当該問題を数値的な公式に変形しない。従って、連結曲線から又はパラメータ化曲線からの開始は、等価である。さらに、パラメータ化連結が、当該問題（ｔおよびｗが同一の役割をする）のより対称な公式化を可能とするが故に、ここでは好ましく、以下のように用いられる。従って、実際に実施することが容易になる。

次に、最小化問題、特に連続最小化問題について説明する。

未知の目標連結曲線

は、オブジェクト関数を最小化して、制約条件を満足するように指定される。好ましい実施形態によれは、これは以下のように公式化される。

ここで、

である。ここで生じる問題は数値の最小化である。

これに関して、ステップサイズｈ＝１／ｎによって定義される（終点を含む）ｎ＋１個の点ｓ_ｉ＝ｉｈ，ｉ＝０，１，・・・ｎによる間隔［０，１］の均一なメッシュ化が与えられると、当該積分が近似化されて、先に注記されたように、離散的な公式、すなわち、

が与えられ、ここで係数α_ｉは数値積分方法（例えば、ルジャンドル・ガウスの求積における重み係数）に基づいて生じることから詳述する必要はなく、ｔ_ｉはｔ（ｓ_ｉ）を表す等である。そして、ｔｉ及びｗｉの微分係数は以下によって各々近似化される。

ここで、同時関数μを選択することは、公式及び連続する計算を優れて単純化する。すなわち、以下のように離散化された積分

となる。最後に、結果として離散化オブジェクト関数

は、

である。ここで、

を用いると、関連する離散的制約条件は、

である。

次に、関数μの選択についてさらに説明する。伝統的な選択はユークリッド関数は

である。しかし、非ユークリッドの選択肢μ（ｕ，ｖ）＝｜ｕ｜＋｜ｖ｜は、かかる関数が同次関数であるが故に，ここでは有利である。この選択は、（上記の離散的制約条件に関係する）μ（Δｔ_ｉ，Δｗ_ｉ）＝ｈの設定と一緒になってより有利であり、これにより当該最適化問題の効率的な正規化が達成される。当該数値問題は以下のようになることが明らかとなる。

かかる設定は、図８Ａに（２つの連続した点（ｔ_ｉ，ｗ_ｉ）及び（ｔ_ｉ＋１，ｗ_ｉ＋１）について）及び図８Ｂに（図式的に一連の点について）示されるように、ｎ−１個の点（ｔ_ｉ，ｗ_ｉ）が当該対角線に直角なｎ−１個の並行ラインに上に制約されて、ｈ／√２よって分離されることから、事実上有意義である。

従って、付加的な堅牢性は、未知のポイントが等距離並行線に沿って移動するという事実に依拠して生じ、これにより、重複や干渉が回避される。かかる態様は、発明者の知見の範囲では、当該アルゴリズムが複雑な案内曲線や任意の複雑な曲線さえも操作可能にする。例えば、局所的な曲げや丸みの如き小さ細部を呈する非常に長い曲線が、周知の従来方法に較べてより安全に操作できる。

ここで、本説明は最適化アルゴリズムの実施について向けられる。上記のように、本発明者は、特に、粒子群最適化（ＰＳＯ）アルゴリズムを使用することの有利性を特に見出している。伝統的な最適化アルゴリズムに比して、ＰＳＯアルゴリズムは、同時に１０乃至３０の検索を実行する。各検索プロセスは、「良好な検索方向」の利益を得るために「近隣のプロセス」と通信するが、それにも関わらず未開拓の領域を検討するのに十分な自立性を有する。ＰＳＯアルゴリズムの技術は、当業者によって知られているようなこれらの概念を定義し実行する。実験結果では、例えば、３０個の同時検索においてよい結果が得られている。ＰＳＯアルゴリズムは、外部要求を介してアプリケーションと通信を行う。検索プロセスの間に、オブジェクト関数を定期的に評価することが必要である。

本発明が狭義増加連結曲線と一緒に実行された場合、ＰＳＯアルゴリズムの実行における課題は、検索が１組の狭義増加連結曲線の範囲内で実行されることを保証することである。異なる取り組みが考えられる。

１つの可能な実行は、階層ｎ＝２^ｍの変数ｘ_ｉ∈［０，１］，ｉ＝１，・・・２^ｍとして連結曲線を取り入れることである。これらの変数が与えられて、これら変数に対応する連結曲線は、例えば、図９Ａ〜１２Ｂを参照する以下の記載のように、再帰的に定義することができる。

最初に、ｘ_ｉは、左上隅から始まり且つ２番目の対角線上に位置する、連結曲線の点の横座標である。この点は、２つの三角形、すなわち左下隅ＢＬ（ｘ_１）及び右上隅ＴＲ（ｘ_１）を定義する（図９Ｂ）。各三角形において、対角線に平行な分割線が三角形を２つの等しい領域に分離する。

次いで、ｘ_２は、三角形ＢＬ（ｘ_１）の分割線上に位置する連結曲線の点の横座標であり、ｘ_３は、三角形ＴＲ（ｘ_１）の分割線上に位置する当該連結曲線の点の横座標である。これらの新しい点は、それぞれに各分割線を備えて（図１０Ｂ）、２つの左下隅三角形ＢＬ（ｘ_２）及びＢＬ（ｘ_３）と、２つの右上隅三角形ＴＲ（ｘ_２）及びＴＲ（ｘ_３）とを定義する（図１０Ａ）。

次いで、図１１に示されるように、ｘ_４は、三角形ＢＬ（ｘ_２）の分割線上に位置する連結曲線の点の横座標であり、ｘ_５は、三角形ＴＲ（ｘ_２）の分割線上に位置する連結曲線の点の横座標であり、ｘ_６は、三角形ＢＬ（ｘ_３）の分割線上に位置する当該連結曲線の点の横座標であり、ｘ_７は、三角形ＴＲ（ｘ_３）の分割線上に位置する連結曲線の点の横座標である。

再帰的に適用されて、このプロセスは、図１２Ａ（精細スケール）及び図１２Ｂ（上記例における収束制限曲線）に示されるように、狭義増加曲線を一意に定義することが理解されよう。

図１３のフローチャートは、連結曲線の直交座標（ｔ_ｉ，ｗ_ｉ）を階層的座標ｘ_ｉからどのように計算するかを例示する。

明らかに、戻りプロセスは、図１４に示すように、狭義増加曲線の直交座標（ｔ_ｉ，ｗ_ｉ）から階層的座標ｘ_ｉを、三角形の分割線で曲線を交差することによって計算する。

従って、ＰＳＯアルゴリズムは、連結曲線の階層的座標ｘ_ｉを扱う。オブジェクト関数を評価する必要がある場合ごとに、外部要求を介して階層的座標ｘ_ｉが直交座標（ｔ_ｉ，ｗ_ｉ）に変換される。

実験結果は、３０個の同時検索において、及び３２から１２８点の連結曲線サンプリングにおいてよい結果を示している。さらに、ＰＳＯアルゴリズムが最適解に近づく時、伝統的な非線形最適化方法（典型的にはＢＦＧＳ）が収束を加速するようになるかもしれない。上記説明された方法及び処理ルーチンは、教示のための原初的な形態であり、アルゴリズム効率性への考慮に関して改良を考えることができることは明らかある。例えば、本発明による方法は、２つの案内曲線を連結することによって何れの面にも（例えば、案内曲線に基づいて）汎用化されることが指摘される。事実、必ずしも線織面ではない面を生じる案内曲線を連結する幾つかの方法が存在する。従って、本発明は、単一の線織面以上の拡張性を備える。

Claims (14)

1. 変数ｕ及びｖを用いて表される案内曲線Ｐ（ｕ）及びＱ（ｖ）と、ｕ＝ｔ（ｓ）及びｖ＝ｗ（ｓ）であるパラメータ値ｔ（ｓ）及びｗ（ｓ）を用いて表される連結曲線
   

   

   とによって定義される面を設計し、当該面によってモデル化される製品の製作を改善する
   ためのコンピュータ実行方法であって、
   案内曲線Ｐ（ｕ）及びＱ（ｖ）と、コスト関数ｆ（ｔ，ｗ）とを定義するデータにアク
   セスするステップ（Ｓ１１０、Ｓ１２０）と、
   前記コスト関数ｆ（ｔ，ｗ）と、前記連結曲線
   

   

   の座標ｔ，ｗとの両方を用いて、Ｊ＝Ｊ（ｆ，ｔ，ｗ）形式の目的関数を定義するステップ（Ｓ２００）と、
   前記目的関数Ｊを最適化し（Ｓ３００、Ｓ３１０）、パラメータｓの連結曲線
   

   

   を得るステップ（Ｓ４００）と、
   前記得られた連結曲線の座標ｔ，ｗで各々構成される前記案内曲線Ｐ（ｔ（ｓ））及び
   Ｑ（ｗ（ｓ））に従った面を提供するステップ（Ｓ５００）と、
   を備え、
   前記目的関数を定義するステップ、及び前記目的関数を最適化するステップにおいて、前記目的関数Ｊ＝Ｊ（ｆ，ｔ，ｗ）は、前記コスト関数ｆ（ｔ，ｗ）の引数ｔ，ｗがレギュレーション関数μによって調整されるように制約され（Ｓ２００−Ｓ４００）、
   前記目的関数を定義するステップにおいて、次に最適化される前記目的関数は、
   

   

   の形式であり、前記コスト関数が前記レギュレーション関数μによって調整され、当該定義された（Ｓ２００）目的関数は、
   

   

   の形式からなり、前記レギュレーション関数μ（ｔ’，ｗ’）は、前記コスト関数の引数の１次微分係数を用い、
   前記目的関数を最適化するステップにおいて、前記目的関数は、前記レギュレーション関数μに用いられる前記微分係数が両方とも正であるように制約され、これにより増加連結曲線が実行される
   ことを特徴とするコンピュータ実行方法。
2. 前記案内曲線Ｐ（ｕ）及びＱ（ｖ）と、前記連結曲線
   

   

   とによって定義される線織面を設計するコンピュータ実行方法であって、
   前記面を提供するステップ（Ｓ５００）において、当該提供される面は、Ｓ（ｓ，λ）
   ＝λＱ（ｗ（ｓ））＋（１−λ）Ｐ（ｔ（ｓ））の形式の線織面である
   ことを特徴とする請求項１に記載のコンピュータ実行方法。
3. 前記目的関数を定義するステップにおいて、前記目的関数は、前記コスト関数のパラメータ化から独立するように定義される
   ことを特徴とする請求項１又は２に記載のコンピュータ実行方法。
4. 前記目的関数を定義するステップにおいて、前記レギュレーション関数μは、スカラー且つ正に変化する同次関数である
   ことを特徴とする請求項１に記載のコンピュータ実行方法。
5. 前記目的関数を最適化するステップにおいて、当該最適化は、
   

   

   のように制約され、εは正の閾値である
   ことを特徴とする請求項１または４に記載のコンピュータ実行方法。
6. 前記目的関数を定義するステップにおいて、前記レギュレーション関数μは、
   ２次元距離を定義するように実行される
   ことを特徴とする請求項５に記載のコンピュータ実行方法。
7. 前記目的関数を最適化するステップにおいて、当該最適化は、
   

   

   からなる最小化問題として表される
   ことを特徴とする請求項６に記載のコンピュータ実行方法。
8. 前記目的関数を定義するステップにおいて、前記レギュレーション関数μは、μ（ｕ，ｖ）＝｜ｕ｜＋｜ｖ｜形式の非ユーグリッド距離関数として実行される
   ことを特徴とする請求項１乃至６のうちの何れか１項に記載のコンピュータ実行方法。
9. 前記目的関数を最適化するステップは、粒子群最適化（ＰＳＯ）アルゴリズムを利用することを特徴とする請求項１乃至８のうちの何れか１項に記載のコンピュータ実行方法。
10. 前記目的関数を最適化するステップにおいて用いられるＰＳＯアルゴリズムの検索空間は、複数の狭義増加連結曲線からなる一組に制限される
    ことを特徴とする請求項１または、４乃至８のうちの何れか１項に従属する請求項９に記載のコンピュータ実行方法。
11. 前記目的関数を最適化するステップにおいて用いられるＰＳＯアルゴリズムは、連結曲線に対応する曲線を、ｎ＝２^ｍの階層変数ｘ_ｉ∈［０，１］として取り入れるように実行され、前記変数ｘ_ｉは取り入れられる連結曲線を表す階層的座標ｘ_ｉである
    ことを特徴とする請求項１０に記載のコンピュータ実行方法。
12. 前記目的関数を最適化するステップにおいて、前記階層的座標ｘ_ｉは直交座標（ｔ_ｉ，ｗ_ｉ）に変換されることを特徴とする請求項１１に記載のコンピュータ実行方法。
13. 請求項１乃至１２のうちの何れか１項に記載のコンピュータ実行方法をコンピュータに実行させるコンピュータプログラム。
14. 請求項１乃至１２のうちの何れか１項に記載のコンピュータ実行方法を実行する手段を
    含むコンピュータシステム。

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