JP5044428B2 - 燃料電池スタックの分極曲線を計算する方法及びそれを用いた燃料電池システム - Google Patents

Description

本発明は、概して燃料電池スタックの分極曲線を計算するアルゴリズムに関し、より詳細にはスタックが作動しているときにデータを収集し、収集したデータから、分極曲線を判断するために使用される２つ以上のパラメータを計算し、このパラメータをメモリに格納することにより、オンラインで燃料電池スタックの分極曲線を推定するアルゴリズムに関する。

水素はクリーンであり、燃料電池で電気を効率的に作り出すように使用されることが可能であるため、非常に魅力的な燃料である。水素燃料電池は、間に電解質を置いたアノードとカソードとを含む電気化学装置である。アノードは水素ガスを受け取り、カソードは酸素または空気を受け取る。水素ガスは、アノードで解離されて、自由水素陽子と電子を生成する。水素陽子は、電解質を通過してカソードへ向かう。水素陽子は、カソードで酸素および電子と反応して水を生成する。アノードからの電子は電解質を通過することができず、したがって負荷を通って導かれて作用し、その後カソードに送られる。

プロトン交換膜燃料電池（ＰＥＭＦＣ）は、普及している車用燃料電池である。ＰＥＭＦＣは一般に、ペルフルオロスルホン酸膜などの固体高分子電解質のプロトン導電膜を含む。アノードおよびカソードは、典型的にはカーボン粒子に担持され、イオノマーと混合された、通常白金（Ｐｔ）の、微粉化した触媒粒子を含む。触媒混合体は、膜の両側に堆積される。アノード触媒混合体、カソード触媒混合体、および膜の組合せが、膜電極接合体（ＭＥＡ）を形成する。ＭＥＡは、製造に比較的費用がかかり、効率的に作動させるには一定の条件を必要とする。

いくつかの燃料電池は、所望の電力を発生するために、典型的には燃料電池スタックに結合される。燃料電池スタックは、典型的には圧縮機によりスタックを通って押し込まれる空気の流れであるカソード投入ガスを受け取る。酸素のすべてがスタックで消費されるわけではなく、カソード排出ガスとして出される空気もあり、このガスはスタックの副産物として水を含むことがある。また燃料電池スタックは、スタックのアノード側に流入するアノード水素投入ガスを受け取る。

スタック制御装置は、スタックからの電力を適切に分配するために、燃料電池スタックの、分極曲線と呼ばれる電流／電圧の関係を知る必要がある。スタックの電圧と電流との関係は、非線形であるため、一般に定義するのが難しく、スタックの温度、スタックの分圧、ならびにカソードストイキおよびアノードストイキを含む多くの変数により変化する。さらに、スタックの電流と電圧との関係は、時間と共にスタックが劣化するにつれて変化する。詳細には、スタックが古くなるほどセル電圧が低くなり、電力の需要に応じるには、新しく劣化していないスタックよりも多くの電流を供給することが必要になってくる。

幸いにも、多くの燃料電池システムは、一定の温度を超えると、所定の電流密度で再現可能な動作状態を有する傾向がある。これらの場合、電圧は、スタックの電流密度および経年数の関数として、概算で示されることが可能である。

本発明の教示に従って、燃料電池スタックの分極曲線をオンラインで適応的に推定するためのアルゴリズムを開示する。燃料電池スタックが作動していて、一定のデータ妥当性基準が満たされると、アルゴリズムがデータ収集モードに入り、スタックの電流密度、平均セル電圧、および最低セル電圧などスタックのデータを収集する。スタックが停止されると、アルゴリズムはセル電圧モデルを使用して非線形最小二乗の問題を解き、分極曲線を定義する所定のパラメータを推定する。推定されたパラメータが、一定の終了基準を満たす場合、推定されたパラメータは格納されて、将来の作動に関してスタックの分極曲線を計算するためにシステムの制御装置により使用される。

本発明のさらなる特徴は、添付の図面と併せて、次の詳細な説明および添付の特許請求の範囲から明らかになるであろう。

オンラインで燃料電池スタックの分極曲線を推定するためのアルゴリズムに関する本発明の実施形態に関する以下の説明は、事実上、例示的なものにすぎず、決して本発明またはその応用もしくは使用を限定するものではない。

燃料電池システムの多くの制御パラメータは、燃料電池スタックから利用可能な最大電位および電流ドローがわかることなど、燃料電池スタックの分極曲線の情報を必要とする。上述のように、スタックが年数を経ると、スタックの劣化の結果としてスタックの分極曲線も変化する。図１は、スタックの電流密度を横軸に、平均セル電圧を縦軸にしたグラフである。グラフの線１０は、新しい燃料電池スタックの分極曲線であり、グラフの線１２は、年数を経た燃料電池スタックの分極曲線であり、平均セル電圧は、同じスタック電流密度について古い方のスタックで下がっている。したがって、効率的な燃料電池スタックの作動を目指して様々な制御パラメータを正確に測定するために、システムがスタックの分極曲線を継続的に更新することが必要である。

本発明は、燃料電池システムが作動されているとき、オンラインで燃料電池スタックの分極曲線を計算するアルゴリズムを提案する。以下に詳細に説明するように、このアルゴリズムは、スタックが作動されているときに収集されたデータから２つ以上のスタックのパラメータを推定し、このパラメータを使用して分極曲線を計算する。１つの非限定的実施形態では、燃料電池システムは分割スタックを用い、この場合各スタックの２つの分極曲線が同時に推定される。第１の分極曲線は、第１のスタックの平均セル電圧およびスタック電流密度に基づき、第２の分極曲線は、第１のスタックの最低セル電圧およびスタック電流密度に基づき、第３の分極曲線は、第２のスタックの平均セル電圧およびスタック電流密度に基づき、第４の分極曲線は、第２のスタックの最低セル電圧およびスタック電流密度に基づく。

図２は、第１の分割スタック２０と、第２の分割スタック２２と、制御装置２４とを含む燃料電池システム１８のブロック図である。制御装置２４は分割スタック２０および２２からデータを受け取り、制御装置２４が分割スタック２０および２２を制御する。制御装置２４はこのデータを利用して、リアルタイムでスタック２０および２２の分極曲線を計算する。

図３は、制御装置２４における燃料電池スタック２０および２２の分極曲線を計算するためのアルゴリズムの動作を示すフローチャート図３０である。ボックス３２において、アルゴリズムは、燃料電池スタック２０および２２が作動し、電力を供給するのを待つ。燃料電池スタック２０および２２が電力を供給し、所定のデータ妥当性基準（ＤＶＣ）が満たされると、アルゴリズムはボックス３４へ移り、スタック２０および２２が作動しているとき、分極曲線を推定するために使用されるデータを収集する。データ妥当性基準は、例えばスタック冷却液の温度が所定の温度を上回っていること、スタックの相対湿度が所定のしきい値を上回っていることなど、システムが正常な状態で動作していることを示す任意の適切なデータ妥当性基準とすることができる。

データ収集モードでは、アルゴリズムは、燃料電池スタック２０および２２のスタック電流密度および燃料電池の電圧を継続的に測定する。燃料電池の電圧を用いて、スタック２０および２２の平均セル電圧および最低セル電圧を計算する。考えられるスタック電流密度を、所定の範囲に分ける。各範囲について、４つのビンを定め、これらを電流密度の範囲を示す下の表１にビンＹ１〜Ｙ４として表す。ビンＹ１は、第１の分割スタック２０の平均セル電圧の関数であり、ビンＹ２は、第１の分割スタック２０の最低セル電圧の関数であり、ビンＹ３は、第２の分割スタック２２の平均セル電圧の関数であり、ビンＹ４は、第２の分割スタック２２の最低セル電圧の関数である。データ収集状態の間、次の各新しい値は、平均化フィルタを通過した後にビンに格納される。さらに、各電流範囲には、「有効」と「カウント」の値が格納される。データがその電流密度の範囲についてビンＹ１〜Ｙ４のいずれかに格納される場合、有効の場所に１ビットが入れられ、データがその電流密度についてのビンＹ１〜Ｙ４のいずれにも格納されない場合、有効の場所に０ビットが入れられる。カウントの場所は、電流密度の範囲についてのビンＹ１〜Ｙ４のいずれかで値が変更された回数を明らかにする値を格納する。

またアルゴリズムは、ボックス３４において、収集されたデータが、所定のデータの十分性の基準（ＤＳＣ）を満たすのに十分であるかどうかを判断する。１つの非限定的実施形態では、アルゴリズムは、次の２つの条件のうちの１つが満たされている場合、収集されたデータが十分であるかどうかを判断する。
ＣＤ_Ｒ１＿Ｌｏ＜＝電流密度＜＝ＣＤ_Ｒ１＿Ｈｉ、有効ビット数＞Ｒ１＿Ｖおよびカウント＞Ｒ１＿Ｃ
ＣＤ_Ｒ２＿Ｌｏ＜電流密度＜＝ＣＤ_Ｒ２＿Ｈｉ、有効ビット数＞Ｒ１＿Ｖおよびカウント＞Ｒ２＿Ｃ
値、ＣＤ_Ｒ１＿Ｌｏ、ＣＤ_Ｒ１＿Ｈｉ、ＣＤ_Ｒ２＿Ｌｏ、ＣＤ_Ｒ２＿Ｈｉ、Ｒ１＿Ｖ、Ｒ１＿Ｃ、Ｒ２＿Ｃ、Ｒ２＿Ｖは、所定の較正値である。データ収集の開始時に、次の初期値を使用することができる。
ＣＤ_Ｒ１＿Ｌｏ＝０．５２５Ａ／ｃｍ^２
ＣＤ_Ｒ１＿Ｈｉ＝０．６２５Ａ／ｃｍ^２
ＣＤ_Ｒ２＿Ｌｏ＝０．６２５Ａ／ｃｍ^２
ＣＤ_Ｒ２＿Ｈｉ＝１．２５Ａ／ｃｍ^２
Ｒ１＿Ｖ＝（⇒７ビンが範囲Ｒ１に有効データを有する）
Ｒ１＿Ｃ＝（⇒範囲Ｒ１に２５の有効データポイント）
Ｒ２＿Ｃ＝１
Ｒ２＿Ｖ＝２５
所定のデータの十分性の基準が満たされておらず、燃料電池スタック２０および２２が停止した場合、アルゴリズムはボックス３２に戻る。

燃料電池スタック２０および２２が停止し、データの十分性の基準が満たされた後に、アルゴリズムはボックス３６へ進んで、分極曲線を判断するのに使用されるパラメータを推定する。１つの非限定的実施形態では、次のような所定のセル電圧モデルを使用して、パラメータを判断する。

ここで、次の測定を行う。
Ｅ_ｃｅｌｌ＝セル電圧（Ｖ）
ｉ＝電流密度（Ａ／ｃｍ^２）
Ｒ_ＨＦＲ＝セルのＨＦＲ抵抗の測定またはモデル（ｏｈｍ ｃｍ^２）
次の仮の定数を与える。
Ｅ_ｒｅｖ＝熱力学的可逆セルの電位（Ｖ）
ａ＝セルの短絡／セルのクロスオーバーからのバックグラウンド電流密度（Ａ／ｃｍ^２）
次のパラメータを与える。
ｉ^０＝交換電流密度（Ａ／ｃｍ^２）
ｉ^∞＝限界電流密度（Ａ／ｃｍ^２）
ｃ＝物質移動係数
非常に再現可能な膜加湿制御を有するシステムに関して、Ｒ_ＨＦＲは、電流密度の関数として表されることが可能である。同様にＥ_ｒｅｖも、電流密度の関数として表されることが可能である。これは、簡単に言うと、各電流密度において、作動圧力、温度、ストイキオメトリー、および加湿が十分に再現可能であるということを示唆する。別の実施形態では、平均Ｒ_ＨＦＲは、表１の各カウントで測定され、または計算され、個々の列で平均されることが可能である。Ｅ_ｒｅｖの値は、同様に、各カウントの温度および圧力データに基づいて計算されることが可能である。

式（１）のセル電圧モデルは、定数ａを無視することにより簡単にされることが可能であり、式（１）は次のようになる。

式（２）の項を並べ替えると、次のようになる。

パラメータの推定を行うために、次の変数を定める。
ｙ＝Ｅ_ｒｅｖ−（ｉ）＊Ｒ_ＨＦＲ−Ｅ_ｃｅｌｌ
ｘ＝ｉ
θ_１＝ｉ^０
θ_２＝ｉ^∞
θ_３＝ｃ
式（３）は、次の形で表すことができる。
ｙ＝Ｆ（ｘ，θ） （４）
したがって、式（３）は次のように表すことができる。

式（５）では、入力−出力のペアが（ｘ，ｙ）であり、推定されるパラメータは、θ＝［θ_１，θ_２，θ_３］^Ｔである。所与の訓練集合Ｇ＝ｘ（ｉ），ｙ（ｉ）：（ｉ＝１，２，．．．，Ｍ）について、最小限にされるべき費用関数は、次のように定義することができる。

ε（ｉ）＝ｙ（ｉ）−Ｆ（ｘ（ｉ），θ）を入れることにより、式（６）は次のようになる。

したがって、パラメータの推定は、解θ＝［θ_１，θ_２，θ_３］^ＴがＪ（θ，Ｇ）を最小限にするように、非線形最小二乗の問題を解く。
非線形最小二乗の問題は、レーベンバーグ−マルカートの更新法と共にガウス−ニュートンの推定などの任意の好適な数値法を用いて解くことができる。ガウス−ニュートンの手法を簡単に言うと、ｋが繰り返しの指標であるとき、θ（ｋ）の電流値におけるエラーε（θ，Ｇ）を線形化し、エラー値を最小限にしてθ（ｋ＋１）を推定するように最小二乗の問題を解くことである。一実施形態では、値θ_２を定数θ_ｃに設定して、他の２つのパラメータθ_１およびθ_３を推定することにより、計算が最小限に抑えられる。しかしながら、これは、非限定的な例としてのものであり、パラメータθ_１、θ_２、およびθ_３の３つすべてが、アルゴリズムまたは他の任意の好適なパラメータにより推定されることが可能である。

他の実施形態では、異なる技法を使用して式（７）を解くことができる。例えば、動作がｉ^∞の影響を受けないスタックに関して、このパラメータを定数と置き換えることが可能である。その後、パラメータｉ^０およびｃを順次解くことができる。パラメータｉ^０は、物質移動の減少を最小限にするほど十分低いが、透過の影響を最小限にするほど十分高い電流密度（０．０５〜０．１Ａ／ｃｍ^２）で収集されたデータを使用して解くことができる。その後高電流密度のデータを使用して結果の式を解き、パラメータｃを取得することができる。

またアルゴリズムは、ボックス３６において、推定されたパラメータが所定の推定成功基準（ＥＳＣ）をもたらしているかまたは超えているかどうかを判断する。詳細には、１つの非限定的実施形態では、計算されたパラメータは、次の式を満たしていなければならない。
（θ（ｋ＋１）−θ（ｋ））^Ｔ（θ（ｋ＋１）−θ（ｋ））≦ωθ（ｋ）^Ｔθ（ｋ） （８）
ここで、ωは、推定の定常状態を決定するために使用される調整可能なパラメータである。

パラメータ推定アルゴリズムによって生成された各推定の終わりで、終了基準が計算される。同時に４つのパラメータが推定されるので、各推定は、推定の終了基準が満たされたときだけ設けられるフラッグを生成する。４つすべての推定が判断基準を満たす場合のみ、推定成功基準がハイに設定される。推定成功基準が満たされていない場合、アルゴリズムはボックス３２に戻って、燃料電池スタック２０および２２が再び始動するのを待つ。

推定成功基準が満たされた場合、アルゴリズムは、推定されたパラメータをボックス３８において不揮発性のランダムアクセスメモリ（ＮＶ ＲＡＭ）に格納する。その後制御装置２４は、ＮＶ ＲＡＭにアクセスして電流推定パラメータを取得することができ、次にこのパラメータを、当業者によく知られた方法で分極曲線を計算するのに使用することができる。推定パラメータが格納されると、アルゴリズムは次のスタックの始動に備えてボックス３２に戻る。

上記は、本発明の単なる例示的実施形態を開示し、説明している。当業者はこのような記述から、ならびに添付の図面および特許請求の範囲から、添付の特許請求の範囲に定義されるような本発明の趣旨と範囲を逸脱することなく様々な変更、修正、および変形を施すことができると容易に理解するであろう。

スタック電流密度を横軸に、スタック電圧を縦軸にし、新しいスタックとより古いスタックについて燃料電池スタックの分極曲線を示すグラフである。 分割スタックと制御装置とを含む燃料電池システムのブロック図である。 本発明の一実施形態により、オンラインで燃料電池スタックの分極曲線を推定するアルゴリズムの工程を示すフローチャート図である。

符号の説明

１０、１２ グラフの線
１８ 燃料電池システム
２０、２２ 燃料電池スタック
２４ 制御装置
３０ フローチャート図
３２、３４、３６、３８ ボックス

Claims (24)

1. 燃料電池スタックの電流と電圧との関係を規定する分極曲線を計算する方法であって、
   前記燃料電池スタックの電流密度と、前記燃料電池スタックの燃料電池の平均セル電圧と、前記燃料電池スタックの前記燃料電池の電圧の最低セル電圧とを収集するステップを含む、前記燃料電池スタックからデータを収集するステップと、
   セル電圧モデルを提供するステップと、
   前記セル電圧モデルおよび前記収集したデータを使用して非線形最小二乗の問題を解き、交換電流密度および物質移動係数を含む所定のパラメータを推定するステップと
   交換電流密度および物質移動係数を含む前記推定されたパラメータを使用して前記分極曲線を計算するステップと、
   を含む方法。
2. 前記データを収集する前に、所定のデータ妥当性基準が満たされたかどうかを判断するステップをさらに含む、請求項１に記載の方法。
3. 前記データ妥当性基準が満たされたかどうかを判断するステップが、前記スタック内の冷却液の温度が所定の温度を上回っている、またはスタックの相対湿度が所定の値を上回っているかどうかを判断するステップを含む、請求項２に記載の方法。
4. 前記収集したデータを使用して前記パラメータを推定する前に、所定のデータの十分性の基準が満たされたかどうかを判断するステップをさらに含む、請求項１に記載の方法。
5. 前記所定のデータの十分性の基準が満たされたかどうかを判断するステップが、前記スタック電流密度が一定の範囲内であるかどうかを判断するステップを含む、請求項４に記載の方法。
6. 前記パラメータを使用して前記分極曲線を計算する前に、前記推定されたパラメータが所定の推定成功基準を満たしているかどうかを判断するステップをさらに含む、請求項１に記載の方法。
7. 前記推定されたパラメータが所定の推定成功基準を満たしているかどうかを判断するステップが、式、
   （θ（ｋ＋１）−θ（ｋ））^Ｔ（θ（ｋ＋１）−θ（ｋ））≦ωθ（ｋ）^Ｔθ（ｋ）
   を使用するステップを含み、
   上式で、θは前記推定されたパラメータ、ｋは繰り返しの指標、およびωは前記推定の定常状態を決定するために使用される調整可能なパラメータである、請求項６に記載の方法。
8. 前記セル電圧モデルが、
   

   

   であり、
   上式で、Ｅ_ｃｅｌｌはセル電圧、Ｅ_ｒｅｖは熱力学的可逆セルの電位、ｉは電流密度、Ｒ_ＨＦＲはセルのＨＦＲ抵抗、ｃは物質移動係数、ｉ^０は交換電流密度、ｉ^∞は限界電流密度、およびａは定数である、請求項１に記載の方法。
9. 前記セル電圧モデルおよび前記収集したデータを使用して非線形最小二乗の問題を解き、所定のパラメータを推定するステップが、レーベンバーグ−マルカートの更新法と共にガウス−ニュートンの推定を用いるステップを含む、請求項１に記載の方法。
10. 燃料電池スタックの電流と電圧との関係を規定する分極曲線を計算する方法であって、
    前記燃料電池スタックの電流密度、前記燃料電池スタックの燃料電池の平均セル電圧、および前記燃料電池スタックの前記燃料電池の電圧の最低セル電圧を収集するステップと、
    セル電圧モデルを提供するステップと、
    前記セル電圧モデル、前記電流密度、前記平均セル電圧、および前記最低セル電圧を使用して非線形最小二乗の問題を解き、交換電流密度および物質移動係数を含む所定のパラメータを推定するステップと、
    前記電流密度、平均セル電圧、および最低セル電圧を使用して前記パラメータを推定する前に、所定のデータの十分性の基準が満たされたかどうかを判断するステップと、
    前記推定されたパラメータを使用して前記分極曲線を計算するステップと、
    前記パラメータを使用して前記分極曲線を計算する前に、前記推定されたパラメータが所定の推定成功基準を満たしているかどうかを判断するステップと
    を含む方法。
11. 前記所定のデータの十分性の基準が満たされたかどうかを判断するステップが、前記スタック電流密度が一定の範囲内であるかどうかを判断するステップを含む、請求項１０に記載の方法。
12. 前記推定されたパラメータが所定の推定成功基準を満たしているかどうかを判断するステップが、式、
    （θ（ｋ＋１）−θ（ｋ））^Ｔ（θ（ｋ＋１）−θ（ｋ））≦ωθ（ｋ）^Ｔθ（ｋ）
    を使用するステップを含み、
    上式で、θは前記推定されたパラメータ、ｋは繰り返しの指標、およびωは前記推定の定常状態を決定するために使用される調整可能なパラメータである、請求項１０に記載の方法。
13. 前記セル電圧モデルが、
    

    

    であって、
    上式で、Ｅ_ｃｅｌｌはセル電圧、Ｅ_ｒｅｖは熱力学的可逆セルの電位、ｉは電流密度、Ｒ_ＨＦＲはセルのＨＦＲ抵抗、ｃは物質移動係数、ｉ^０は交換電流密度、ｉ^∞は限界電流密度、およびａは定数である、請求項１０に記載の方法。
14. 前記セル電圧モデルおよび前記収集したデータを使用して非線形最小二乗の問題を解き所定のパラメータを推定するステップが、レーベンバーグ−マルカートの更新法と共にガウス−ニュートンの推定を用いるステップを含む、請求項１０に記載の方法。
15. 少なくとも１つの燃料電池スタックと、
    前記少なくとも１つの燃料電池スタックを制御する制御装置であって、前記燃料電池スタックの電流密度と、前記燃料電池スタックの燃料電池の平均セル電圧と、前記燃料電池スタックの前記燃料電池の電圧の最低セル電圧とを含むデータを収集し、セル電圧モデルおよび前記収集したデータを使用して非線形最小二乗の問題を解いて交換電流密度および物質移動係数を含む所定のパラメータを推定し、前記推定されたパラメータを使用して前記少なくとも１つのスタックの少なくとも１つの電流と電圧との関係を規定する分極曲線を計算する制御装置と
    を含む燃料電池システム。
16. 前記少なくとも１つのスタックが、第１の分割スタックと第２の分割スタックであり、前記制御装置が前記第１の分割スタックの平均セル電圧およびスタック電流密度に基づいて第１の分極曲線を計算し、前記第１の分割スタックの最低セル電圧および前記スタック電流密度に基づいて第２の分極曲線を計算し、前記第２の分割スタックの平均セル電圧およびスタック電流密度に基づいて第３の分極曲線を計算し、および前記第２の分割スタックの最低セル電圧および前記スタック電流密度に基づいて第４の分極曲線を計算する、請求項１５に記載のシステム。
17. 前記制御装置が、前記データを収集する前に、所定のデータ妥当性基準が満たされたかどうかを判断する、請求項１５に記載のシステム。
18. 前記スタック内の冷却液の温度が所定の温度を上回っている、またはスタックの相対湿度が所定の値を上回っている場合、前記制御装置が、前記データ妥当性基準が満たされたかどうかを判断する、請求項１７に記載のシステム。
19. 前記制御装置が、前記収集したデータを使用して前記パラメータを推定する前に、所定のデータの十分性の基準が満たされたかどうかを判断する、請求項１５に記載のシステム。
20. 前記スタック電流密度が一定の範囲内である場合、前記制御装置が、前記所定のデータの十分性の基準が満たされたと判断する、請求項１９に記載のシステム。
21. 前記制御装置が、前記パラメータを使用して前記分極曲線を計算する前に、前記推定されたパラメータが所定の推定成功基準を満たしているかどうかを判断する、請求項１５に記載のシステム。
22. 前記制御装置が、次の式を使用して前記推定されたパラメータが前記所定の推定成功基準を満たしているかどうかを判断し、
    （θ（ｋ＋１）−θ（ｋ））^Ｔ（θ（ｋ＋１）−θ（ｋ））≦ωθ（ｋ）^Ｔθ（ｋ）
    上式で、θは前記推定されたパラメータ、ｋは繰り返しの指標、およびωは前記推定の定常状態を決定するために使用される調整可能なパラメータである、請求項２１に記載のシステム。
23. 前記セル電圧モデルが、
    

    

    であり、
    上式で、Ｅ_ｃｅｌｌはセル電圧、Ｅ_ｒｅｖは熱力学的可逆セルの電位、ｉは電流密度、Ｒ_ＨＦＲはセルのＨＦＲ抵抗、ｃは物質移動係数、ｉ^０は交換電流密度、ｉ^∞は限界電流密度、およびａは定数である、請求項１５に記載のシステム。
24. 前記制御装置が、レーベンバーグ−マルカートの更新法と共にガウス−ニュートンの推定を用いて非線形最小二乗の問題を解く、請求項１５に記載のシステム。

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