JP4721112B2 - 分散評価装置、配置決定装置及びそのプログラム - Google Patents

Description

本発明は、既定の空間に配置された配置物の分散性を評価する分散評価装置、及び分散性の評価を用いて配置物の配置を決定する配置決定装置に関する。

例えば、特許文献１は、エネルギー関数としてガウス関数を用いる形態を開示する。
また、特許文献２は、エネルギー関数として人間の視覚特性を近似した関数を用いる形態を開示する。
また、特許文献３は、エネルギー関数としてユークリッド距離関数を用いる形態を開示する。
また、特許文献４は、物理学のモデルに従った斥力緩和法による点分散の方法を開示する。
特開２０００−０５９６２６号公報 特開２００２−３３７４０１号公報 特開２００４−２７２１９５号公報 特開２００３−０６６２０８号公報 Ｒ．Ｕｌｉｃｈｎｅｙ、"Ｔｈｅ ｖｏｉｄ−ａｎｄ−ｃｌｕｓｔｅｒ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｄｉｔｈｅｒ ａｒｒａｙ ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ" ｉｎ Ｈｕｍ．Ｖｉｓｉｏｎ， Ｖｉｓｕａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓ．， Ｄｉｇｉｔａｌ Ｄｉｓｐ．ＩＶ，Ｐｒｏｃ．ＳＰＩＥ、１９１３，３３２−３４３(１９９３)．

本発明は、所定の空間に配置された配置物の分散性を適切に評価することができる分散評価装置を提供することを目的とする。

［分散評価装置］
上記目的を達成するために、本発明にかかる分散評価装置は、複数の配置物の分散性を評価する分散評価装置であって、１次元周期空間に配置された複数の点を評価する場合にこれら複数の点が略均等に配置されたときの評価値が最小となる評価関数、もしくは、２次元周期空間に配置された複数の点を評価する場合にこれら複数の点が略均等に配置されたときの評価値が局所最小となる評価関数を用いて、任意の空間内に配置された複数の配置物について、評価値を算出する評価値算出手段を有する。

好適には、前記評価関数は、２点間の分散性を評価する部分評価関数を含み、この部分評価関数は、２つの配置物の間の距離が限界値を超える場合に、評価値が０となり、かつ、この限界値以内の距離については単調減少な凸関数であり、この部分評価関数の導関数は、２つの配置物の間の距離の平方根に対して、凹関数となる。

好適には、前記評価関数は、２点間の分散性を評価する部分評価関数を含み、この部分評価関数は、２つの配置物の間の距離に対して、２階偏微分可能であり、かつ、この部分評価関数の偏微分係数は、連続である。

好適には、前記評価関数は、２点間の分散性を評価する部分評価関数ｆｒを含み、この部分評価関数ｆｒは、２つの配置物の間の距離が限界値ｒを超える場合に、評価値が０となり、かつ、この限界値ｒ以内の距離については単調減少な凸関数であり、この部分評価関数の２階導関数ｆｒ''は、（ｆｒ''（√ｘ）／√ｘ）^２が凸関数であるという条件を満たす。
好適には、前記部分評価関数は、図１６に示す条件（１）及び条件（２）を満たす。

［配置決定装置］
また、本発明にかかる配置決定装置は、２点間の分散性を評価する部分評価関数に基づいて、所定の配置空間内に配置された複数の配置物に関する評価値を算出する評価値算出手段と、前記複数の配置物のいずれかの仮配置を更新する配置更新手段と、前記配置更新手段により仮配置が更新された複数の配置物について、前記評価値算出手段に評価値を算出させて、算出された評価値に基づいて、適用すべき配置を決定する配置決定手段とを有し、前記部分評価関数は、複数の配置物の分散性を評価する評価関数の一部であり、この評価関数は、１次元周期空間に配置された複数の点を評価する場合にこれら複数の点が略均等に配置されたときの評価値が最小となる関数であるか、２次元周期空間に配置された複数の点を評価する場合にこれら複数の点が略均等に配置されたときの評価値が局所最小となる関数である

また、本発明にかかる配置決定装置は、２点間の分散性を評価する部分評価関数に基づいて、所定の配置空間内に配置された複数の配置物それぞれを注目配置物として、それぞれの注目配置物と、他の配置物との間の評価値を算出する評価値算出手段と、前記評価値算出手段によりそれぞれの注目配置物について算出された評価値に基づいて、前記配置空間から削除すべき配置物の配置またはその周囲の配置物を決定する配置決定手段とを有し、前記部分評価関数は、複数の配置物の分散性を評価する評価関数の一部であり、この評価関数は、１次元周期空間に配置された複数の点を評価する場合にこれら複数の点が略均等に配置されたときの評価値が最小となる関数であるか、２次元周期空間に配置された複数の点を評価する場合にこれら複数の点が略均等に配置されたときの評価値が局所最小となる関数である。

また、本発明にかかる配置決定装置は、２点間の分散性を評価する部分評価関数に基づいて、所定の配置空間内に配置された複数の配置物と、新たに追加される配置物の追加候補位置との間の評価値を算出する評価値算出手段と、前記評価値算出手段によりそれぞれの追加候補位置について算出された評価値に基づいて、前記配置空間に配置物を追加すべき配置またはその周囲の配置物の配置を決定する配置決定手段とを有し、前記部分評価関数は、複数の配置物の分散性を評価する評価関数の一部であり、この評価関数は、１次元周期空間に配置された複数の点を評価する場合にこれら複数の点が略均等に配置されたときの評価値が最小となる関数であるか、２次元周期空間に配置された複数の点を評価する場合にこれら複数の点が略均等に配置されたときの評価値が局所最小となる関数である。

好適には、前記評価値算出手段は、前記配置空間の補空間に配置された仮想配置物と、この配置空間に配置された配置物とを対象として、前記評価値を算出し、前記配置決定手段は、前記仮想配置物及び前記配置物を対象として算出された評価値に基づいて、配置を決定する。

好適には、前記補空間は、この補空間及び前記配置空間からなる空間全体がこの配置空間よりも高い対称性を有するように構成されている。

好適には、前記評価値算出手段は、前記配置空間の補空間に配置された仮想配置物と、この配置空間に配置された配置物とを対象として、前記評価値を算出し、前記配置更新手段は、前記配置物の仮配置を前記配置空間内で変更し、前記仮想配置物の仮配置を前記補空間内で変更し、前記配置決定手段は、前記配置更新手段により仮配置が変更された前記配置物及び前記仮想配置物について、前記評価値算出手段に評価値を算出させて、算出された評価値に基づいて、適用すべき配置を決定する。

好適には、前記部分評価関数は、前記配置空間の境界近傍において、他の領域とは異なる評価値が得られるように補正されている。

［分散評価方法］
また、本発明にかかる分散評価方法は、複数の配置物の分散を評価する分散評価方法であって、１次元周期空間に配置された複数の点を評価する場合にこれら複数の点が略均等に配置されたときの評価値が最小となる評価関数、もしくは２次元周期空間に配置された複数の点を評価する場合にこれら複数の点が略均等に配置されたときの評価値が局所最小となる評価関数を用いて、任意の空間内に配置された配置物の分散性を評価する。

［配置決定方法］
また、本発明にかかる配置決定方法は、所定の配置空間に配置された複数の配置物について、いずれかの配置物の仮配置を変更し、１次元周期空間に配置された複数の点を評価する場合にこれら複数の点が略均等に配置されたときの評価値が最小となる評価関数、もしくは２次元周期空間に配置された複数の点を評価する場合にこれら複数の点が略均等に配置されたときの評価値が局所最小となる評価関数の少なくとも一部を用いて、少なくとも１つの配置物の仮配置が更新された配置空間について、評価値を算出し、算出された評価値に基づいて、適用すべき配置を決定する。

［プログラム］
また、本発明にかかるプログラムは、複数の配置物の分散を評価するコンピュータにおいて、１次元周期空間に配置された複数の点を評価する場合にこれら複数の点が略均等に配置されたときの評価値が最小となる評価関数、もしくは２次元周期空間に配置された複数の点を評価する場合にこれら複数の点が略均等に配置されたときの評価値が局所最小となる評価関数の少なくとも一部を用いて、任意の空間内に配置された配置物の分散性を評価する、または配置物の配置を決定するステップを前記コンピュータに実行させる。

本発明の分散評価装置または配置決定装置によれば、所定の空間に配置された配置物の分散性を適切に評価する、または配置物の配置を適切に決定することができる。

［背景］
まず、本発明の理解を助けるために、その背景及び概略を説明する。
ｎ次元（ｎ≧１）の有界な空間内にｍ個の点を分散させる、という問題は、単に数学的な問題に留まらず、各種の分野で必要とされている。
一例を挙げると、例えばデジタル画像処理におけるデジタルスクリーニング技術（２値化技術）では、白と黒の２値画像によって擬似的に中間調を表現したり、複数の２値画像を重ねることで例えばＣＭＹＫなどの擬似カラー画像を作成している。この２値画像が小さな黒点を分散させることによって作成されている場合には、その画質は、黒点の分散性の良さに左右され、できるだけ分散性の良い点分散画像を得る必要がある。ここで、分散性の良いとは、対象が均一で偏りがないことを意味する。

また、別の例として、例えば、ある都市内に複数の店舗を配置するような場合、どの地域からもいずれかの店舗に近くなるように、効率的な店舗配置が求められる場合がある。
さらに別の例として、例えば、単位立方体内に電子あるいは分子を均等に分散させた状態を用意し、各種の物理実験のシミュレートを行うような場合がある。

あるいはこれらの応用として、既に存在している点分散から複数の点を取り除くか、逆に複数の点を追加するかして、分散性の良い点分散を得るという問題もある。
上述のデジタルスクリーニング技術では、閾値マトリックスによる閾値処理を行って２値画像を得る場合があるが、この閾値マトリックスは、通常、０から２５５までの閾値がマトリックス全体に渡って均一に分散されたものとなっている。このような閾値を設定する際に、例えば、閾値０の配置を決めた後は、閾値１の配置を設定する場合には、既に決められた閾値０の配置は固定のままで、閾値０及び１の全点の分散性が高くなるように閾値１の配置を設定する必要がある。
あるいは閾値０から閾値１２７までの配置が決まっている場合、閾値１２７は、これらの決められた配置から閾値１２７の部分を取り除いた全点の分散性が高いように設定する必要がある。
また、別の例として、上述の店舗配置の例では、都市内に複数の店舗が既に配置されている場合に、更に新しく複数の店舗を配置したり、あるいは既に配置されている複数の店舗のうちの、全てではないいくつかの店舗に特別なサービスを導入し、いずれも地域的な効率性を求められる場合がある。

このように有界な空間内に有限個の点を均等に配置する問題（あるいは各点の間の最小距離を最大化する問題）は、各所で必要とされている。しかしながら、この均等点配置の問題は数学的に解決されていない要素が多く、任意の条件のもとで最適な均等点配置を得ることは一般には数学上の未解決の問題となっている。数学的な歴史や背景、近年得られた新しい結果に関しては、例えば、「幾何学における未解決問題集」（秋山仁訳、シュプリンガーフェアラーク）に記載されている。

しかしながら、上記したような実際の応用を考えた場合、数学的な厳密さを欠いたとしても、結果に不都合がなければよい場合の方が多い。そのため、有界な空間に有限個の点を分散させるための方法として、これまで各種の方法が提案されている。

一例を上げると、前述したデジタル画像処理におけるデジタルハーフトーニング技術では、非特許文献１に述べられているような、注目した点ｘから一定の範囲以内にある全ての他の点ｙとの間でｅｘｐ（｜ｘ−ｙ｜^２／（２σ^２））なるエネルギーを測定し、この値をエネルギーと見てエネルギーをより小さくすることでより良い点分散を得る方法が開示されている。
この方法を使った場合、目視または周波数解析を行うことによってパラメータσの値を調整してからエネルギー降下処理を行うことによって、点分散をより好ましい状態に変えていくことができる。

しかしながら、上述の方法の場合、関数ｅｘｐ（｜ｘ−ｙ｜^２／２σ^２）はパラメータを含んでおり、空間が変わる毎に、実際にσを各種変動させて点分散が良い状態になることを確認して決めなければならない。また、この関数自体が凸でも凹でもなく、幾何学的な保証もない。
さらには、点を収束させるアルゴリズムによっては、局所的な極小解に陥って止まってしまう場合もある。
このように、非特許文献１に開示された方法の場合、使用するのに複数の問題があり、必ずしも最適な方法ではない。

なお、デジタルハーフトーニング技術においては、上述の非特許文献１に開示された関数による方法の他、点分散の評価関数を利用した処理に付随して、多くの関数が提示されている。
例えば、特許文献１ではエネルギー関数として物理学で使用される斥力ポテンシャルであるガウス関数が開示されている。
また、特許文献２では、エネルギー関数として人間の視覚特性を近似した関数が開示されている。
また、特許文献３では、エネルギー関数としてユークリッド距離関数が使用されている。
また、特許文献４では、関数のみならず、物理学のモデルに従った斥力緩和法による点分散の方法が詳細に述べられている。
これら従来の技術における関数は、いずれも何らかのモデルを利用しての方法である。
しかしながら、これらのモデルにおいても、いずれも幾何学的な考察が行われていないため、場合によってはパラメータ設定を行うなどして使用する必要があり、上述した関数を使用した場合と同様の問題が起こる場合があった。

そこで、本実施形態における配置決定装置２は、ｎ次元（ｎ≧１）の有界な空間Ｅ（ｎ）内において分散したｍ個の点に対して、点分散の良さをエネルギー関数によって評価し、この評価結果を用いて、より分散性の良い配置を決定する。
より具体的には、このエネルギー関数は、有界な空間をＸとしたときに、この空間Ｘに含まれる各点ｘ、ｙ（なお、小文字で表記された点ｘ、ｙは、それぞれの点の位置ベクトルであり、空間Ｘに配置される点ｘ（ｙ）を、「ｘ∈Ｘ（ｙ∈Ｘ）」と表記する）の間で生じる相互エネルギーｆｒ（｜ｘ−ｙ｜）の各点もしくは全点の平均値で定義され、この相互エネルギーｆｒは、２階偏微分可能かつ各偏微分係数が連続で、ｆｒ（ｘ）＝０（ｘ≧ｒ）、０<ｒ<１／２・ｄｉａｍ（Ｅ（ｎ））を満たし、更にｆｒ（ｘ）が凸関数であり、ｆｒの導関数ｆｒ'についてｆｒ'（√ｘ）が凹関数であるものとすることができる。
なお、この条件を満たすエネルギー関数は、１次元周期的空間において、点が均等に分散したときにエネルギーが最小になることが数学的に保証された関数である。任意の点分散に対して、各点もしくは全点の相互エネルギーｆｒを測定し、測定した値が小さいほど、エネルギーが小さいものとみなし、点分散の分散性の良さとすることができる。
更に、相互エネルギーｆｒは、ｆｒの2階導関数ｆｒ''について、（ｆｒ''（√ｘ）／√ｘ）^２が凸関数であるものとすることもできる。
なお、この条件を満たすエネルギー関数は、２次元周期的空間において、点が均等に分散（三角格子状分散）したときにエネルギーが局所最小になることが数学的に保証された関数である。

さらに、本配置決定装置２は、任意の点分散のエネルギー値を減少させるように、各点もしくは全点を移動させて、よりエネルギーの小さい、すなわち分散性の良い点分散に収束させることができる。
さらに、本配置決定装置２は、エネルギー値が減少する、ないしはエネルギーの増加性を抑えつつ点の数を増減させることによって、均等性を保った点分散を得ることができる。

［ハードウェア構成］
次に、本実施形態における配置決定装置２のハードウェア構成を説明する。
図１は、本発明にかかる分散評価方法及び配置決定方法が適応される配置決定装置２のハードウェア構成を、制御装置２０を中心に例示する図である。
図１に例示するように、配置決定装置２は、ＣＰＵ２０２及びメモリ２０４などを含む制御装置２０、通信装置２２、ＨＤＤ・ＣＤ装置などの記録装置２４、並びに、ＬＣＤ表示装置あるいはＣＲＴ表示装置及びキーボード・タッチパネルなどを含むユーザインターフェース装置（ＵＩ装置）２６から構成される。
配置決定装置２は、例えば、配置決定プログラム５（後述）がインストールされた汎用コンピュータであり、通信装置２２又は記録装置２４などを介して、空間上に配置すべき配置物に関する情報（例えば、配置物の数など）、及び、これらの配置物が配置される配置空間に関する情報（例えば、配置空間の形状、大きさなど）を取得し、取得された情報に基づいて、配置物の配置を決定する。
また、配置決定装置２は、配置物の位置情報、及び、配置空間に関する情報を取得し、取得されたこれらの情報に基づいて、配置物の分散性を評価する。

［配置決定プログラム］
図２は、制御装置２０（図１）により実行され、本発明にかかる配置決定方法を実現する分散化プログラム５の機能構成を例示する図である。
図２に例示するように、配置決定プログラム５は、データ入力部５００、記憶部５１０、分散評価部５２０、配置更新部５３０、判定部５４０及びデータ出力部５５０有する。
なお、配置決定プログラム５の全部又は一部をＡＳＩＣなどのハードウェアで実現してもよい。

配置決定プログラム５において、データ入力部５００は、通信装置２２（図１）又は記憶装置２４（図１）を介して、配置空間上に配置すべき配置物に関する情報（例えば、配置物の数など）、及び、この配置空間に関する情報（例えば、配置空間の形状、大きさなど）を点分散データとして取得し、取得された点分散データを記憶部５１０に出力する。

記憶部５１０は、データ入力部５００から入力された点分散データを記憶する。
また、記憶部５１０は、分散評価部５２０、配置更新部５３０及び判定部５４０に対して、ワークエリアを提供する。例えば、記憶部５１０は、データ入力部５００から入力された点分散データに加えて、分散性改善後の点分散データ、並びに、点分散評価に用いられる各種の途中演算結果及び処理パラメータなどを保持する。

分散評価部５２０は、記憶部５１０に記憶されている点分散データに基づいて、エネルギー値の評価を行う。
より具体的には、分散評価部５２０は、記憶部５１０に保持された点分散データの分散性の良さを、エネルギー関数によって評価する。このエネルギー関数Ｉ（Ｘ，ｆｒ）は、例えば、以下の式で表される。

Ｉ（Ｘ，ｆｒ）＝１／｜Ｘ｜・Σ_ｘ∈ＸＩ（Ｘ，ｘ，ｆｒ）・・・（式１）

ここで、ｎ次元空間内の有界な配置空間をＥ（ｎ）とし、入力されたｎ次元配置空間Ｅ（ｎ）における点分散全体がＸ⊂Ｅ（ｎ）である。
また、ｆｒは、配置物の集合Ｘに含まれる各点（ｘ、ｙ∈Ｘ）の間で生じる相互エネルギーｆｒ（｜ｘ−ｙ｜）である。そして、Ｉは、この相互エネルギーｆｒの各点の平均値Ｉ（Ｘ，ｘ，ｆｒ）である。
各点の平均値Ｉ（Ｘ，ｘ，ｆｒ）は、例えば、以下の式で表される。

Ｉ（Ｘ，ｘ，ｆｒ）＝１／｜Ｘ｜・Σ_ｙ∈Ｘｆｒ（｜ｘ−ｙ｜）・・・（式２）

この相互エネルギーｆｒの関数は、２階偏微分可能かつ各偏微分係数が連続で、ｆｒ（ｘ）＝０（ｘ≧ｒ）、０<ｒ<１／２・ｄｉａｍ（Ｅ（ｎ））を満たし、更にｆｒ（ｘ）が凸関数であるものとする。更に、ｆｒの導関数ｆｒ'についてｆｒ'（√ｘ）が凹関数であるか、または、ｆｒの２階導関数ｆｒ''について、（ｆｒ''(√ｘ)／√ｘ）^２が凸関数であるものとする。

なお、ここで、「ｎ次元空間」とは、より高次元のユークリッド空間に埋め込めるｎ次元空間全てを対象とする。
また、｜Ｘ｜は、Ｘの点の総数とする。
また、｜ｘ−ｙ｜は、Ｅ（ｎ）空間における点ｘとｙとの距離を意味する。例えば、Ｅ（ｎ）がｎ次元ユークリッド空間の部分集合の場合には、｜ｘ−ｙ｜は、ユークリッド距離で定義できる。また、ｄｉａｍ（Ｅ（ｎ））はＥ（ｎ）の直径、すなわちｓｕｐ｛｜ｘ−ｙ｜：ｘ、ｙ∈Ｅ（ｎ）｝とする。ここで、ｓｕｐは上限値を意味する。

なお、上記エネルギー関数の一般的な定義自体は、ポテンシャル理論の分野に属している。ポテンシャル理論では、例えば、エネルギーＩ（Ｘ）は、ｓを実数として以下の式で定義される。

Ｉ（Ｘ）＝∫∫｜ｘ−ｙ｜^ｓｄμ（ｘ）ｄμ（ｙ）・・・（式３）

本例では、この｜ｘ−ｙ｜^ｓの部分をｆｒ（｜ｘ−ｙ｜）とし、更にｆｒがｆｒ（ｘ）＝０（ｘ≧ｒ）、０<ｒ<１／２・ｄｉａｍ（Ｅ（ｎ））を満たし、更にｆｒ（ｘ）が凸関数である。また、ｆｒの導関数ｆｒ'について、ｆｒ'（√ｘ）が凹関数であるか、または、ｆｒの２階導関数ｆｒ''について、（ｆｒ''(√ｘ)／√ｘ）^２が凸関数である。
また、本例では、有限の点分散を扱うため、積分ではなく和の形で定義されている。なお、ｆｒが凸でありｆｒ'（√ｘ）が凹であるという条件を満たす関数ｆｒは、１次元周期的空間において、点が均等に分散したときにエネルギーが最小になることが数学的に保証された関数である。また、ｆｒが凸であり（ｆｒ''(√ｘ)／√ｘ）^２が凸関数であるという条件を満たす関数ｆｒは、２次元周期空間において、各点が理想的な均等分散状態である三角格子状の分散配置をした際にエネルギーが局所最小になることが数学的に保証された関数であり、このときには１次元周期空間における上記条件、ｆｒが凸でありｆｒ'（√ｘ）が凹であるという条件を同時に満たす。なお、２次元平面で各点が最も均等に分散配置した状態が三角格子配置であるという事実は良く知られている。また、ここで局所最小とは、注目点ｘ∈Xを少しでも動かすとエネルギーＩ（Ｘ，ｘ，ｆｒ）及びＩ（Ｘ，ｆｒ）が増大するという性質を意味している。局所最小性を考察する際には、空間の周期性は本質的ではなく、本実施例でいえば２次元周期空間ではなく単に２次元空間（平面）で局所最小性を考察するとみなしてよい。
なお、本例の相互エネルギーｆｒ又は各点エネルギーＩ（Ｘ，ｘ，ｆｒ）は、本発明にかかる部分評価関数の具体例であり、全点エネルギーＩ（Ｘ，ｆｒ）は、本発明にかかる評価関数の一例である。

配置更新部５３０は、記憶部５１０に記憶されている点分散データに対して、いずれかの配置物の仮配置位置を変更する配置更新処理を行う。
より具体的には、配置更新部５３０は、分散評価値５２０により算出されるＸのエネルギー値を降下させるように、入力された点分散Ｘの各点もしくは全点を移動させる。

判定部５４０（配置決定手段）は、分散評価部５２０による評価結果に基づいて、適用すべき点分散データを選択する。
また、判定部５４０は、分散性の評価のみを行う場合に、配置更新部５３０による点分散データの更新（配置物の移動）を禁止する。
また、判定部５４０は、分散性のよい配置を決定する場合に、配置更新部５３０に各配置物または全配置物を移動させ、必要に応じて分散評価部５２０に再びエネルギー算出を行わせる。あるいは、判定部５４０は、エネルギー値が既定の条件を満たすまで、分散評価部５２０による評価、及び、配置更新部５３０による配置更新処理を交互に繰り返させてもよい。

すなわち、分散評価部５２０、配置更新部５３０及び判定部５４０は、互いに協働して、点分散性の改善処理を行う。

データ出力部５５０は、分散評価部５２０による評価結果（算出されたエネルギー値もしくはエネルギー降下すなわち分散性が改善された点分散データ）を、通信装置２２又は記憶装置２４に出力する。

以下、配置決定プログラム５による分散評価処理及び配置決定処理をそれぞれ説明する。なお、入力される点分散データが離散空間内で定義される場合を具体例として説明するが、これに限定されるものではなく、例えば、本配置決定プログラム５は、連続空間で定義された点分散データに関しても、密なメッシュで離散化することによって擬似的に取り扱うことができる。

［分散評価処理］
まず、分散評価処理を説明する。以下では、離散的な空間２５６×２５６ピクセル内に分散したｍ個の点の点分散の分散性を評価する例について説明する。
図３は、配置決定プログラム５（図２）による分散評価処理（Ｓ１０）のフローチャートである。
図３に示すように、ステップ１００（Ｓ１００）において、データ入力部５００は、通信装置２２（図１）又は記憶装置２４（図１）を介して、配置空間の形状及び大きさ、並びに、この配置空間における各配置物の位置を点分散データとして取得し、取得された点分散データを記憶部５１０に出力する。
分散評価部５２０は、データ入力部５００から入力された点分散データに応じて、ｎ次元配置空間内の有限集合Ｅ（ｎ）に含まれる点分散集合Ｘを準備する。本例では、Ｅ（ｎ）は、図４に例示するように、２５６×２５６のピクセル全体とする。また、配置物の集合Ｘは、このＥ（ｎ）の内部に定義されたｍ個の点の集合とする。
なお、本例では、説明の便宜のために、２５６×２５６の２値画像を具体例として説明するが、画像でなく一般の２５６×２５６の離散空間に置き換えてもよい。

ステップ１１０（Ｓ１１０）において、判定部５４０は、分散評価処理を行うか配置決定処理を行うかを判定し、分散評価部５２０及び配置更新部５３０に対して、判定結果に応じた制御を行う。本例では、分散評価処理を行うため、判定部５４０は、分散評価処理を実施させるべく、配置更新部５３０に対して配置更新処理を禁止し、分散評価部５２０に対して分散評価処理を行うよう指示する。
分散評価部５２０は、入力された点分散データに基づいて、各点（すなわち、各配置物）のエネルギーＩ（Ｘ，ｘ，ｆｒ）（以下、各点エネルギー）を算出する。
より具体的には、分散評価部５２０は、注目点ｘに関して、他の点ｙ（ｘ、ｙ∈Ｘ）との間で生じる相互エネルギーｆｒ（｜ｘ−ｙ｜）をそれぞれ算出する。そして、分散評価部５２０は、集合Ｘに含まれる他の点ｙ全てについて算出された相互エネルギーｆｒを合算して、この合算値を、この集合Ｘに含まれる配置物の数｜Ｘ｜（すなわち、ｍ）で除算して、各点エネルギーＩ（Ｘ，ｘ，ｆｒ）を算出する。
すなわち、各注目点ｘの各点エネルギーＩ（Ｘ，ｘ，ｆｒ）は、以下の式で表される。
Ｉ（Ｘ，ｘ，ｆｒ）＝１／｜Ｘ｜・Σ_ｙ∈Ｘｆｒ（｜ｘ−ｙ｜）

換言すると、各点エネルギーＩ（Ｘ，ｘ，ｆｒ）は、点ｘ∈Ｘに対して各点ｙ∈Ｘとの間に生じる相互エネルギーの平均値として算出される。

ここでｆｒは、ｆｒ（ｘ）＝０（ｘ≧ｒ）、０<ｒ<１／２・ｄｉａｍ（Ｅ（ｎ））を満たし、更にｆｒ（ｘ）が凸関数であり、ｆｒの導関数ｆｒ'について、ｆｒ'（√ｘ）が凹関数であるか、または、ｆｒの２階導関数ｆｒ''について、（ｆｒ''(√ｘ)／√ｘ）^２が凸関数であるものとする。
各点エネルギーＩ（Ｘ，ｘ，ｆｒ）は、関数ｆｒの性質によって、図５に示すように、注目点ｘ（ｘ∈Ｘ）を中心とする半径ｒの領域内にある全ての点ｙ（ｙ∈Ｘ）について、ｆｒ（｜ｘ−ｙ｜）を計算してその和を取った値を、配置物の数｜Ｘ｜（すなわち、ｍ）で除算した値として算出される。
半径ｒよりも外側の点（白抜きの丸）は、ｆｒ（ｘ）＝０（ｘ≧ｒ）の条件に基づいて無視される。

ステップ１２０（Ｓ１２０）において、分散評価部５２０は、算出された各点（注目点ｘ）の各点エネルギーＩ（Ｘ，ｘ，ｆｒ）に基づいて、配置空間全体のエネルギーＩ（Ｘ，ｆｒ）（以下、全点エネルギー）を算出する。
より具体的には、分散評価部５２０は、各点エネルギーを合算し、この合算値を、集合Ｘに含まれる点の数（｜Ｘ｜＝ｍ）で除算して、全点エネルギーＩ（Ｘ，ｆｒ）を算出する。
すなわち、対象となる配置空間の全点エネルギーＩ（Ｘ，ｆｒ）は、以下の式で表される。
Ｉ（Ｘ，ｆｒ）＝１／｜Ｘ｜・Σ_ｘ∈ＸＩ（Ｘ，ｘ，ｆｒ）

換言すると、全点エネルギーＩ（Ｘ，ｆｒ）は、全配置物（すなわち、全てのｘ∈Ｘ）に対する各点エネルギーの平均値として算出される。

ステップ１３０（Ｓ１３０）において、データ出力部５５０は、分散評価部５２０により算出された全点エネルギーＩ（Ｘ，ｆｒ）を、点分散性の評価値として出力する。
なお、データ出力部５５０は、全点エネルギーＩ（Ｘ，ｆｒ）に加えて、各点のエネルギーＩ（Ｘ，ｘ，ｆｒ）を、分散性の評価値として出力してもよい。

このように、配置決定プログラム５（図２）は、配置物間の距離に基づいて、各点エネルギーＩ（Ｘ，ｘ，ｆｒ）及び全点エネルギーＩ（Ｘ，ｆｒ）を算出し、分散性の評価値として出力する。

［境界条件について］
配置空間に応じた２点間（注目点ｘと対象点ｙ）の距離｜ｘ−ｙ｜の取り方を説明する。
本実施形態で算出される各点エネルギーＩ（Ｘ，ｘ，ｆｒ）は、注目した点ｘとその他の点ｙ全てとの間で生じるエネルギー値の平均値として定義されている。
このような場合、考察する配置空間に対象性がない場合、つまり境界領域が存在する場合に、取り扱いに面倒が生じる。
図６は、配置空間における境界領域を例示する図である。
図６に例示するように、配置空間Ｅ（ｎ）は、主走査方向及び副走査方向に２５６ピクセルの２次元空間である。図６中のハッチングで示した領域は、配置空間Ｅ（ｎ）の周縁部から、限界距離ｒまでの領域である。ここで、限界距離ｒとは、相互エネルギーｆｒが有意な値（０以外の値）をとりうる範囲を示す値である。限界距離ｒよりも離れた点間では、相互エネルギーｆｒの値が０となる。換言すると、注目点ｘとの距離が限界距離ｒよりも遠い他の点ｙ（対象点ｙ）は、この注目点ｘのエネルギーに影響を与えない。
図６に示すハッチング領域内にある任意の注目点ｘ（ｘ∈Ｘ）を考えた場合に、注目点ｘを中心として半径ｒの範囲を考察すると、図６に示すように２５６×２５６の外周の外側にはみ出てしまい、正しい計算ができない場合がある。このような場合には、予め２５６×２５６を含むより大きな空間Ｙの一部として２５６×２５６を入力して、注目点ｘとしてはＸの点全体を動かし、対象点ｙとしてはＹの点全てを対象とするようにしてもよい。あるいは、図６に示すように、配置空間からはみ出した領域には点がないものとして処理してもよい。もちろん外周部分の不具合によって評価結果に不都合が生じるような場合もあるが、そのような場合には、対象とする空間をより大きく（例えば１０２４×１０２４など）選択することによって、その不都合が減少し、より分散性の良い点分散がエネルギーが低いと判定することができる。

あるいは、入力された２５６×２５６の配置空間が周期境界条件を持っているものとみなして処理を行ってもよい。
図７は、配置空間の周期境界条件を説明する図である。
図７に例示するように、分散評価値５２０は、２５６×２５６の配置空間に対して、この外周に接するように８個の仮想空間１〜８を配置する。それぞれの仮想空間１〜８は、配置空間と同じ大きさ及び形状（本例では、２５６×２５６空間）であり、それぞれの仮想空間１〜８は、配置空間と同じ位置に、同じ点集合Ｘを含む。
そして、分散評価値５２０は、配置空間に含まれる注目点ｘから限界距離ｒまでに存在する対象点（配置空間に存在する他の点、及び、仮想空間に存在する点を含む）について、相互エネルギーｆｒを算出する。
すなわち、分散評価値５２０は、点ｘ，ｙ∈Ｘ間の距離｜ｘ−ｙ｜を、以下の数式を用いて再定義する。

｜ｘ−ｙ｜＝ｍｉｎ｛｜ｘ−ｙ＋ｅ｜：ｅｘ、ｅｙ＝−１，０，１｝

つまり、図７に示したように、注目点ｘに対して、配置した９個の仮想空間（２５６×２５６空間）内の同じ位置に対象点ｙを全て配置し、ｘとの距離の最小値を、注目点ｘと対象点ｙとの距離｜ｘ−ｙ｜として採用する。このようにして２点間の距離を定義すると、対象空間の左辺と右辺とを同一視し、更に上辺と下辺とを同一視することと等価となる。
これは、図８に示す２次元トーラス空間（ドーナツの表面）と同じ位相構造となり、対象とする空間を、境界のない閉じた空間にすることができる。なお、本例におけるｒ値の範囲は、０<ｒ<１／２・ｄｉａｍ（Ｅ（ｎ））としているが、これは、このような周期境界を持った空間で処理を行う場合に、注目点ｘを中心とする半径ｒの領域（限界円）内の異なる部分に同じ点が２度現れるのを避けるためである。なお、実際には配置空間Ｅ（ｎ）を２５６×２５６の周期境界空間とした場合には、１／２・ｄｉａｍ（Ｅ（ｎ））＝１２８√２であるが、このような理由から０<ｒ<１２８√２ではなく０<ｒ<１２８とする。

［分散評価の適用例］
ところで、上記例は点分散の評価を行う例であるが、このような評価を行う場合、複数の点分散を準備しておき、それぞれの点分散を評価して優劣を決めるような場合が多い。
図９は、分散評価処理の対象を例示する図である。
図９に例示するように、配置物（図中の点）の配置が異なる３種類の点分散データが入力された場合に、本例の配置決定プログラム５は、入力された３種類の点分散データそれぞれについて、点分散を評価し、それぞれの評価値を出力する。本例では、図９の（ａ）、（ｂ）、（ｃ）の順で分散性が良いと判定される。
このように、本配置決定プログラム５は、上記のように分散評価処理を行うことにより、例えば、複数の点が分散する画像の画質評価などに用いることができる。

［相互エネルギーｆｒについて］
分散評価部５２０により適用されるエネルギー関数ｆｒは、ｆｒと同様の性質を持ち、［０，１］閉区間で定義された関数ｈ（ｘ）を用いて、

と表すことができる。なお、このようにして［０，１］閉区間で定義された関数ｈ（ｘ）を与えてｆｒ（ｘ）を定義すると、ｒを含まない一般の関数ｈ（ｘ）を使ってｆｒ（ｘ）を構成できるという利点がある。図１０（Ａ）に実線で示したグラフは、エネルギー関数ｆｒを構成する関数ｈ（ｘ）の一例であり、ｈ（ｘ）＝（２／３―ｘ＋１／３ｘ^３）^２のグラフである。
分散評価部５２０により適用される関数ｆｒ（相互エネルギーを求める関数）の条件として、ｆｒ（ｘ）＝０（ｘ≧ｒ）、０<ｒ<１／２・ｄｉａｍ（Ｅ（ｎ））、ｆｒ（ｘ）が凸関数であり、ｆｒの導関数ｆｒ'について、ｆｒ'（√ｘ）が凹関数か、または、ｆｒの２階導関数ｆｒ''について、（ｆｒ''(√ｘ)／√ｘ）^２が凸関数であり、更にｆｒ（ｘ）はｘ及びｒに対して２階偏微分可能かつ各偏微分係数が連続としていた。ここで、ｆｒ（ｘ）を上記のようにｈ（ｘ）による合成関数として定義すると、ｆｒ（ｘ）が上記各条件を満たすためには、上記の各条件におけるｆｒをｈに置き換えて条件が満たされれば良いということがわかる。

図１０（Ａ）に例示するエネルギー関数ｈ（ｘ）も、上記条件の全てを満たすことを確認することができる。実際に、図１０（Ａ）に実線で示すとおり、ｈ（ｘ）は凸形をしている（更にｈ（ｘ）の導関数ｈ'（√ｘ）が凹形となり、ｈの２階導関数ｈ''について、（ｈ''(√ｘ)／√ｘ）^２が凸形となる。）。そして、上述したようにこの性質は合成関数であるｆｒ（ｘ）についても成立する。
本実施形態における分散評価部５２０は、上記条件を満たしさえすればどのような関数を使ってもよいことが大きな特徴であるが、本例では、図１０に例示するエネルギー関数ｈ（ｘ）を、関数ｆｒを実現する具体例として用いる。なお上記条件を満たす関数はその他にも数多くあるが、一例としては、ｈ（ｘ）＝（１−ｘ）^ｐ（但しｐ≧２）があげられる。
一方、上述した従来の関数の一例であるｅｘｐ（ｘ^２／（２σ^２））は、同じく図１０（Ａ）に点線で示したグラフであり、凸性や凹性を持っていない。なお、この従来の関数（点線）は、その形態がｈ（ｘ）に近くなるように、パラメータσの値を調整したものであり、σの調整を行っていない場合には、更にｈ（ｘ）と異なる形態を有することになる。なお上述したように、従来例では、この関数に限らず関数に数学的な保証がないために、このようなパラメータ調整が必要となる場合が多い。

なお、図１０（Ｂ）に実線で例示するエネルギー関数ｈ（ｘ）＝（２／３―ｘ＋１／３ｘ^３）^１は、１次元条件、すなわちｆｒ（ｘ）が凸関数であり、ｆｒの導関数ｆｒ'についてｆｒ'（√ｘ）が凹関数であるという条件を満たすが、２次元条件、すなわちｆｒが凸であり、ｆｒの２階導関数ｆｒ''に対して（ｆｒ''(√ｘ)／√ｘ）^２が凸関数である、という条件を満たしていない。一方、同じく図１０（Ｂ）に破線で例示するエネルギー関数ｈ（ｘ）＝（２／３―ｘ＋１／３ｘ^３）^１．２５は、該１次元条件と２次元条件を共に満たしている。１次元空間での分散を取り扱う場合には、前者のように１次元で保証を与える関数を使用すれば良いが、２次元での分散を取り扱う場合には、後者のように２次元で保証を与える（従って１次元でも保証を与える）関数を使用する方がより確実である。

［配置決定処理］
次に、配置決定処理を説明する。本例では、配置空間が離散的な２５６×２５６ピクセルの２次元空間であり、この配置空間内に分散したｍ個の点について、より分散性の良い配置を決定する形態を具体例として説明する。

図１１は、配置決定プログラム５（図２）による配置決定処理（Ｓ２０）のフローチャートである。なお、本例では、「局所振動法」を用いた形態を具体例として説明するが、これに限定されるものではなく、分散評価部５２０により算出されるエネルギー値が降下する方法であれば、どのような方法でもよい。

図１１に示すように、ステップ２００（Ｓ２００）において、データ入力部５００は、通信装置２２（図１）又は記憶装置２４（図１）を介して、配置空間の形状及び大きさ、並びに、この配置空間における各配置物の位置を点分散データとして取得し、取得された点分散データを記憶部５１０に出力する。
分散評価部５２０は、データ入力部５００から入力された点分散データに応じて、ｎ次元配置空間内の有限集合Ｅ（ｎ）に含まれる点分散集合Ｘを準備する。本例では、図４に例示するように、ｎ＝２として、Ｅ（ｎ）を２５６×２５６のピクセル全体とする。また、配置物の集合Ｘは、このＥ（ｎ）の内部に定義されたｍ個の点の集合であり、初期配置データして設定される。

ステップ２０２（Ｓ２０２）において、判定部５４０は、配置決定処理を行うべく、配置更新部５３０に仮配置更新処理を指示する。
配置更新部５３０は、対象物の点分散集合Ｘの中から、処理対象となる注目点ｘを設定し、この注目点ｘを既定の位置に仮変位させる。注目点ｘを仮変位させる既定位置は、例えば、注目点ｘを中心とした３×３ピクセルのいずれかである。

ステップ２０４（Ｓ２０４）において、判定部５４０は、この仮変位後の注目点ｘについて、各点エネルギーＩ（Ｘ，ｘ，ｆｒ）を算出するよう分散評価部５２０に指示する。
分散評価部５２０は、判定部５４０の指示に応じて、仮変位後の注目点ｘについて、各点エネルギーＩ（Ｘ，ｘ，ｆｒ）を算出する。
なお、本ステップにおけるエネルギーＩの算出は、図３に示したＳ１１０と実質的に同一である。

ステップ２０６（Ｓ２０６）において、判定部５４０は、この注目点ｘを全ての既定位置（注目点ｘを中心とした９ピクセル）で仮変位させ、それぞれの仮変位後に各点エネルギーを算出したか否かを判定し、全ての仮変位点で各点エネルギーが算出された場合に、Ｓ２０８の処理に移行し、これ以外の場合に、Ｓ２０２の処理に戻って、次の変位点について各点エネルギーを算出する。

ステップ２０８（Ｓ２０８）において、判定部５４０は、この注目点ｘについて算出された各点エネルギーの中から、各点エネルギーが最も小さい仮変位位置を配置更新部５３０に通知する。
配置更新部５３０は、判定部５４０からの通知に応じて、最も各点エネルギーの小さい仮変位位置に、この注目点ｘを配置する。

ステップ２１０（Ｓ２１０）において、判定部５４０は、点分散集合Ｘに含まれる全ての点ｘについて、Ｓ２０２〜Ｓ２０８の処理を行ったか否かを判定し、未処理の点ｘが存在する場合に、Ｓ２０２の処理に戻って、未処理の点ｘを注目点としてＳ２０２〜Ｓ２０８の処理を行い、全ての点ｘについて処理が終了した場合に、Ｓ２１２の処理に移行する。

ステップ２１２（Ｓ２１２）において、判定部５４０は、Ｓ２０２〜Ｓ２０８の処理が施された点集合Ｘ'と、初期配置データ（すなわち、Ｓ２０２〜Ｓ２０８の処理が施される前の点集合Ｘ）とを比較して、これらの点集合が一致するか否かを判定し、一致する場合に、Ｓ２１６の処理に移行し、一致しない場合に、Ｓ２１４の処理に移行する。
すなわち、配置決定プログラム５は、Ｓ２０２〜Ｓ２０８の処理が施された点集合Ｘ'が初期配置データと一致する場合に、各点が収束して最適な地点に移動し終えたと判断する。

ステップ２１４（Ｓ２１４）において、判定部５４０は、Ｓ２０２〜Ｓ２０８の処理が施された点集合Ｘ'を、初期配置データに設定して、Ｓ２０２の処理に戻る。
すなわち、配置決定プログラム５は、処理後のＸ'が初期配置データ（すなわち、点集合Ｘ）と一致しない場合に、各点が収束し終えていないと判断し、この処理後の点集合Ｘ'を初期状態として、Ｓ２０２〜Ｓ２１２の処理を繰り返す。

ステップ２１６（Ｓ２１６）において、判定部５４０は、初期配置データ（収束するまで更新が繰り返された点集合Ｘの配置）を、最適な配置として出力するようデータ出力部５５０に指示する。
データ出力部５５０は、初期配置データを、決定された配置データとして出力する。なお、データ出力部５５０は、決定された配置データと共に、算出された各点エネルギーＩ（Ｘ，ｘ，ｆｒ）及び全点エネルギーＩ（Ｘ，ｆｒ）を、この配置データの評価値として出力してもよい。

このように、配置決定プログラム５は、分散の評価を行いながら、エネルギーを降下させることにより、点集合Ｘの最適な配置を決定する。
なお、Ｓ２１２の判定においては、複数回処理を反復すると周期解に陥ってＸ＝Ｘ'とならない場合があるので、所定回数（例えば１００回）だけＳ２１２を経由したらＳ２１６に進むようにしてもよい。

なお、本例で適用されるエネルギー関数は、ｆｒ（ｘ）を、ｘ及びｒに対して２階偏微分可能かつ各偏微分係数が連続であるという条件を満たすように選択すると、エネルギー関数自体が、点ｘの局所的な移動に対して微分可能となる。従って、このように図１１に示すような局所振動によるエネルギー降下アルゴリズムを行っても、極小解に陥りにくいという性質を持っている。
なお、図１１の局所振動によるエネルギー降下においては、注目点ｘをエネルギーの高い順に選択したり、注目点ｘを変位し終えた直後、すなわちＳ２０８の処理直後に、変位した点ｘの周囲にある他の点ｙ∈Ｘについて再びＳ２０２からＳ２０８の処理を行うようにしても良い。あるいは、ｖｏｉｄ−ａｎｄ−ｃｌｕｓｔｅｒ法（非特許文献１）と呼ばれる方法を用いたり、更には図１１の方式とｖｏｉｄ−ａｎｄ−ｃｌｕｓｔｅｒ法とを組み合わせた方式を用いることもできる。これらの変化形方式の中には、エネルギー降下をより効率的に行うことができるものもあり、結果として演算処理速度を向上させることもできる。しかし、本発明が提示するエネルギー値を適切に降下させる処理を行えば、いずれの方式を用いるにしても、入力された点分散データＸは、より分散性の良い点分散データＸ'に修正されて出力される。

図１２は、図１１で説明した配置決定処理（Ｓ２０）により改善された点分散集合を例示する図であり、図１２（ａ）は、入力された点分散集合Ｘを例示し、図１２（ｂ）は、出力された点分散集合Ｘ'（改善後）を例示する。なお、本例は、図８に例示した２次元トーラス（ユークリッド距離）上で分散を評価して配置を最適化した例となっている。
このようにして作成された点分散Ｘ'は、周期境界の条件から、タイル状に複数並べられた場合にも、全体としてもよい点分散となっている。
また、いずれの例もｒ値を固定しており、点の数が増減しても、収束に全く問題を生じない。なお、実際には、離散空間の制約上、点の数が増大するにつれて、点の配置に大きな制約が掛かる。この場合、ｒ値を小さく取ると、エネルギー値に及ぼす各点の比率が高くなり、誤差が大きくなる恐れがあるので、ｒ値は基本的には初めから大きく取る方が好ましい。
なお、ｒ（<１／２・ｄｉａｍ（Ｅ（ｎ）））値を大きく取るということは、計算時間が増大するだけで、点分散の評価または修正における不具合は何一つ生じない。

［変形例１］
次に、上記実施形態の第１の変形例として、離散的な空間２５６×２５６ピクセル内に分散したｍ個の点からｐ個の点を得る方法について説明する。
ここで、ｐは、ｍ＝ｐの場合には上記実施形態と実質的に同一となるか、あるいは単に点を効率的に増減させるという観点からは処理の必要がない。また、ｐ<ｍの場合には、入力データのｍ個の点が減らされてｐ個の点となる形態に相当し、ｐ>ｍの場合には、入力データのｍ個の点が増やされてｐ個の点となる形態に相当する。
ここにおいて、仮に、一旦ｍ個の点がｐ個に増大、ないしは減少させられた場合、必要ならばあとはｐ個の点に対して、上記実施形態の配置決定処理（Ｓ２０）を行えば分散性の良い点集合を得ることができる。従って、本変形例で本質的な部分は、ｍ個の点から単純に複数の点を取り除いて分散性の良いｐ個の点のみを残す、もしくはｍ個の点に単純に複数の点を追加して分散性の良いｐ個の点を得る、という部分のみである。なお、実用上は、ｍ個の配置物がｐ個に増加、ないしは減少させられた場合には、すでに存在している配置物は移動できない場合があるため、このように配置物の移動を禁じて純粋に増減だけした際にも、分散性の良いｐ個の配置物を得るという必要がしばしば生じる。そこで、以下にこの方法について説明する。

まず、ｐ<ｍの場合を説明する。この場合、ｍ個の点から（ｍ−ｐ）個の点を取り除いてｐ個の点のみを残し、なおかつ分散性の良い点集合を得る必要がある。
この場合には、例えば配置決定装置２は、ｍ個の点ｘ（ｘ∈Ｘ）の全てに対してエネルギーＩ（Ｘ，ｘ，ｆｒ）を算出し、最もエネルギー値が大きい点から順番に、Ｘから１点づつ点を取り除いてゆき、ｍ−ｐ個の点が取り除かれれば目的のｐ個の点集合を得ることができる。

次に、ｐ>ｍの場合を説明する。この場合には、ｍ個の点にｐ−ｍ個の点を加えてｐ個の点とし、なおかつ分散性の良い点集合を得る必要がある。なお、この際には、上述したように、既に配置されているｍ個の点は動かせないものとする。
この場合には、例えば配置決定装置２は、２５６×２５６のピクセル内でＸの点でない部分、つまりＥ（ｎ）＼Ｘ（点集合Ｘの補集合）から全ての点ｚを選び出し、Ｉ（Ｘ∪｛ｚ｝，ｚ，ｆｒ）を算出し、最もエネルギー値の低い点にｍ＋１個目の点を配置し、点集合Ｘに加える。この処理を、｜Ｘ｜＝ｐとなるまで反復することで目的のｐ個の点集合を得ることができる。

図１３は、上記変形例により、元のｍ個の点から複数の点を取り除く、もしくは複数の点を加え、共に良い分散性を保たせた点集合を例示する図であり、図１３（ａ）は、入力された点集合（元の点集合）を例示し、図１３（ｂ）は、元の点集合から複数の点を取り除いた点集合を例示し、図１３（ｃ）は、元の点集合に複数の点を加えた点集合を例示する。
図１３に例示するように、入力された点集合（元の点集合）が全体に均一に分散していない場合（最適な分散状態ではないという意味）においても、本変形例により、削除又は追加する点の位置を決定することにより、分散性を向上させることができる。

なお、点の移動、点の削除、又は点の追加といった処理において、２５６×２５６全ての空間を候補とせずに、特定の範囲に限定してもよい。
例えば、点を新たに追加する場合に、配置決定装置２は、２５６×２５６内全ての点を対象とせずに、一部の点だけに限定させることも可能である。実際、図１３（ａ）に例示する点集合に、点を追加して、図１３（ｃ）に例示する点集合を得る場合に、追加される点の配置可能な位置（配置候補）は、格子点に限定している。このような限定は、例えばデジタルスクリーニング技術における閾値マトリックスの作成において必要となるものである。

［変形例２］
次に、上記実施形態の第２の変形例を説明する。
本変形例の配置決定装置２は、多様な形状を有する配置空間（ｎ次元）について、分散評価処理及び配置決定処理を行う。
図１４は、多様な形状の配置空間に対する配置決定処理を説明する図である。なお、本図に示された配置空間Ｄ及び包含空間Ｅは共に離散空間であるが、連続空間は、細かく離散化して近似できるので、離散空間で検討することで足りる。
まず、本変形例における判定部５４０は、ｎ次元の配置空間Ｄに対して、図１４に例示するように、この配置空間Ｄを包含する包含空間Ｅを設定する。包含空間Ｅは、ｎ次元平行体であることが望ましい。ｎ次元平行体であれば、空間の両端（２次元空間の場合に、上端と下端、又は、右端の左端）で、周期境界条件を設定できるからである。また、配置空間Ｄが３次元空間である場合に、包含空間Ｅは、例えば、この配置空間Ｄを包含する立方体又は直方体であり、配置空間Ｄが２次元空間である場合に、包含空間Ｅは、例えば、平行四辺形（長方形及び正方形を含む）である。領域Eを取る。

次に、判定部５４０は、入力された初期配置データに基づいて、図１４（ｂ）に例示するように、配置空間Ｄの中に、配置物（ｍ点集合Ｘ）を配置する。

次に、判定部５４０は、図１４（ｃ）に例示するように、配置空間Ｄの補空間Ｅ＼Ｄに、この補空間Ｅ＼Ｄの大きさと配置空間Ｄの大きさとの比率に応じた数の仮想配置物を配置する。ここで、配置空間Ｄの補空間とは、包含空間Ｅに含まれ、かつ、配置空間Ｄに含まれない空間Ｅ＼Ｄである。ｎ次元空間の配置空間Ｄと補空間Ｅ＼Ｄとの比率は、例えば、ｎ次元ルベーグ測度により算出される。
配置空間Ｄが２次元空間である場合には、判定部５４０は、例えば配置空間Ｄの総ピクセル数ｄと、配置空間Ｄの補空間Ｅ＼Ｄの総ピクセル数ｇとの比（ｇ／ｄ）を算出し、算出された比（ｇ／ｄ）と、配置物の数（ｍ）との積ｉｎｔ（ｍｇ／ｄ）を、補空間Ｅ＼Ｄに配置すべき仮想配置物の数とする。なお、２次元での面積比は、このようにピクセル数比で計算できる。ｉｎｔ（ｍｇ／ｄ）個の仮想配置物の点集合をＹと置く。
これにより、配置空間Ｄとその補空間Ｅ＼Ｄのそれぞれの領域の大きさと含まれる点の数との比が一致する。なお、補空間Ｅ＼Ｄには、図７及び８で説明したような周期境界の条件を課しておく。

次に、判定部５４０は、配置空間Ｄとその補空間Ｅ＼Ｄとの間の点の移動を禁止した状態で、配置決定処理（Ｓ２０）を行うよう分散評価部５２０及び配置更新部５３０を制御する。
配置更新部５３０は、判定部５４０の制御に応じて、配置空間Ｄ内の点（配置物に相当）を、この配置空間Ｄ内で移動させ、補空間Ｅ＼Ｄ内の点（仮想配置物に相当）を、この補空間Ｅ＼Ｄ内で移動させて、エネルギー降下を行う。なお、エネルギーの降下方法は、配置空間Ｄ内の点と補空間Ｅ＼Ｄ内の点の相互移動を禁止するという制限のもので、例えば実施例１の方法を適用することができる。
分散評価部５２０は、包含空間Ｅに含まれる点（すなわち、配置空間Ｄ内の配置物に相当する点集合Ｘ、及び、補空間Ｅ＼Ｄ内の仮想配置物に相当する点集合Ｙ）を対象として、これらの分散を評価する。本例の分散評価部５２０は、Ｘ∪Ｙに含まれる点を、注目点ｘ又は対象点ｙとして、各点エネルギーＩ（Ｘ∪Ｙ，ｘ，ｆｒ）を算出する。ここで、配置空間Ｄ内の点と補空間Ｅ＼Ｄ内の点の相互移動は禁止されているが、相互エネルギーは働いていることに注意する。つまり、各点ｘ∈Ｘ∪ＹのエネルギーはＥ内のすべての点Ｘ∪Ｙを対象として算出する。

以上により、例えば、図１１で説明した方法により収束させると、図１４（ｄ）に例示するように、エネルギーが降下して各点の配置が最適化される（点が均等に分散する）。
データ出力部５５０は、このように最適化された包含空間Ｅの中から、配置空間Ｄを抽出し、抽出された配置空間Ｄにおける配置を最適な配置として出力する。
なお、包含空間Ｅの端部には、上述したように周期境界条件が設定されることが望ましく、この周期境界条件は本例においては特に好都合に働いているといえる。

このように、本変形例の配置決定装置２は、配置空間Ｄを包含する包含空間Ｅを設定し、配置空間Ｄに必要数ｍ個の配置物を配置すると共に、その補空間に対して、この補空間の大きさに応じた数の仮想配置物を配置し、これらの配置物及び仮想配置物の配置を最適化する。この場合に、配置物及び仮想配置物は、それぞれ配置空間Ｄ及びその補空間の範囲で移動が制限される。
このように配置物及び仮想配置物の配置をエネルギー降下によって最適化することにより、本配置決定装置２は、多様な形状の配置空間Ｄにおいて、任意の数の配置物の最適な配置（より分散性の良い配置）を決定することができる。なおＤが複数の領域からなる場合にも、Ｄ全体を含むようにＥを選択すればよく、本例の適用範囲はきわめて広い。

また、配置決定装置２は、配置空間Ｄの境界近傍に、既定のポテンシャルを適用し、包含空間Ｅを設定せずに、多様な形状の配置空間Ｄにおいて、配置物の最適な配置を決定してもよい。
図１５は、配置空間Ｄの境界付近にポテンシャルｐを設定した場合の最適配置を例示する図であり、図１５（ａ）は、ポテンシャルｐが０である場合の最適化後の配置を例示し、図１５（ｂ）は、ポテンシャルｐが０．０５である場合の最適化後の配置を例示し、図１５（ｃ）は、ポテンシャルｐが０．２である場合の最適化後の配置を例示する。
図１５（ａ）に例示するように、配置空間Ｄ内のみでエネルギー最小化すると（すなわち、境界付近にポテンシャルを設定しないと）、配置空間Ｄの境界付近に点が集まってくる。これは、配置空間Ｄの外部に点が存在しないため、必然的に境界付近でエネルギーが低くなるからである。
そこで、配置決定装置２は、配置空間Ｄの境界近傍にポテンシャルを設定し、包含空間Ｅを設定せずに、境界近傍の点に対するエネルギー値を補正して、配置空間Ｄ内に均等に点を分散することもできる。
より具体的には、判定部５４０は、配置空間Ｄの境界近傍にポテンシャルｐ（ｎ）を設定し、分散評価部５２０は、判定部５４０により設定されたポテンシャルｐ（ｎ）を加味した擬エネルギー関数Ｊ（Ｘ，ｘ）を用いて、配置空間Ｄにおける分散性を評価する。

Ｊ（Ｘ，ｘ）＝Ｉ（Ｘ，ｘ）＋ａ（Ｂ（ｘ，ｒ）＼Ｄ）＊ｐ（ｎ）

この擬エネルギー関数Ｊ（Ｘ，ｘ）は、注目点ｘから距離ｒ以上離れた部分が配置空間Ｄの外に出た割合に応じてエネルギー補正量を加算する関数である。ここで、Ｂ（ｘ，ｒ）は、注目点ｘを中心とする半径ｒの円盤であり、ｒは、関数ｆｒを定義するｒである。また、ａはｎ次元ルベーグ速度で定義される。なお、ｎ＝２の場合には、ａは面積値となるが、ピクセル数で代用してもよい。
これによって、配置空間Ｄの境界付近のエネルギーを意図的に増減させることができる。ここで、ｐ（ｎ）の値は、配置される点の数ｎに応じて変化させることが望ましい。
図１５に示す配置例は、配置数ｎが５００である場合に、ポテンシャルｐ（ｎ）の値を変化させて定義した場合の擬エネルギー降下（収束）結果である。
ポテンシャルｐ（ｎ）の値に応じて境界付近の点（配置物）の集まり具合が変わることが分かる。例えば、学校の配置を決定するときには、配置領域の境界付近に配置しない場合も多い。このような場合に、境界近傍にポテンシャルを設定して、境界近傍の配置を制御する本方式は好適である。
また、ポテンシャルｐ（ｎ）の値を適切に設定することにより、包含空間Ｅ（図１４）を用いた形態とほぼ同様の結果を得ることができる。ポテンシャルｐ（ｎ）を設定する本方式は、境界形状が非常に複雑な場合には不具合となる場合もあるが、多少の凹凸ならば問題なく適用できる。

［その他の変形例］
上記実施形態において、各点エネルギーのエネルギー関数は、以下のように定義されている。
Ｉ（Ｘ，ｘ，ｆｒ）＝１／｜Ｘ｜・Σ_ｙ∈Ｘｆｒ（｜ｘ−ｙ｜）
これは、対象点ｙが注目点ｘと一致する場合（すなわち、ｙ＝ｘの場合）の値（すなわち、１／｜Ｘ｜・ｆｒ（０））が加算されることになっている。
しかしながら、各点においてｆｒ（０）を加算するということは、またｆｒ（０）＝∞となるような関数が使用できなくなる。そこで、ｙ＝ｘでのエネルギー値を計算しないようなエネルギー関数を使ってもよい。
例えば、分散評価部５２０は、以下のエネルギー関数（式４）を用いて、各点エネルギーを算出してもよい。

Ｉｘ（Ｘ，ｘ，ｆｒ）＝１／｜Ｘ−１｜・Σ_{ｙ∈Ｘ＼{ｘ}}ｆｒ（｜ｘ−ｙ｜）・・・（式４）

さらに、分散評価値５２０は、この各点エネルギーＩｘ（Ｘ，ｘ，ｆｒ）に基づいて、全点エネルギーＩｘ（Ｘ，ｆｒ）を算出する。
Ｉｘ（Ｘ，ｆｒ）＝１／｜Ｘ｜・Σ_ｘ∈ＸＩｘ（Ｘ，ｘ，ｆｒ）

このようにすることで、分散評価処理（Ｓ１０）及び配置決定処理（Ｓ２０）のいずれにおいても、ｆｒ（０）＝∞となるような関数を使用することができる。
なお、ｆｒ（０）<∞であれば、上記実施形態で説明した各点エネルギーＩ（Ｘ，ｘ，ｆｒ）及び全点エネルギーＩ（Ｘ，ｆｒ）を使用する方がエネルギーの概念に照らし合わせても好ましい。
実際、図１０に例示した関数ｈ（ｘ）によって定義される関数ｆｒは、ｆｒ（０）<∞であるから、Ｉ（Ｘ，ｘ，ｆｒ）及びＩ（Ｘ，ｆｒ）を使用できる。

また、上記実施形態の関数ｆｒによるエネルギーは、１次元周期空間における均等分散配置のエネルギー最小性、及び２次元周期空間での均等分散（三角格子状分散）配置のエネルギー局所最小性が保証された関数である。
なお、２次元周期空間でのエネルギー局所最小性は、図１６に示す２条件によって保証するようにしてもよい。
すなわち、配置決定装置２は、図１６に示す条件（１）と条件（２）とを、相互エネルギーｆｒの条件とすることで、三角格子配置時に局所的なエネルギー安定性を直接保証できる。なお、図１０に実線で例示した関数ｆｒ（すなわち、ｈ（ｘ）によって定義される関数ｆｒ）は、図１６に示す２条件をも満たしている。なお、実際には２次元周期空間においては、ｆｒが凸関数であり、部分評価関数の２階導関数ｆｒ''に対して、（ｆｒ''(√ｘ)／√ｘ）^２が凸関数であれば、図１６に示す２条件を満たす。（従って、図１６の２条件は、（ｆｒ''(√ｘ)／√ｘ）^２が凸関数であるという条件よりも緩い条件となっている。）また、２次元周期空間での条件、「ｆｒ（ｘ）が凸関数で（ｆｒ''(√ｘ)／√ｘ）^２が凸関数」を満たす場合には、前述したように１次元周期空間での条件、「ｆｒ（ｘ）が凸関数でｆｒ'（√ｘ）が凹関数」を満たす。

本発明にかかる分散評価方法及び配置決定方法が適応される配置決定装置２のハードウェア構成を、制御装置２０を中心に例示する図である。 制御装置２０（図１）により実行され、本発明にかかる配置決定方法を実現する分散化プログラム５の機能構成を例示する図である。 配置決定プログラム５（図２）による分散評価処理（Ｓ１０）のフローチャートである。 ２５６×２５６ピクセルの配置空間と、この配置空間に配置されたｍ個の配置物とを例示する図である。 相互エネルギーｆｒに対して設定された限界距離ｒを説明する図である。 配置空間における境界領域を例示する図である。 配置空間の周期境界条件を説明する図である。 ２次元トーラス空間を説明する図である。 分散評価処理の対象を例示する図である。 分散評価部５２０により適用されるエネルギー関数ｆｒを関数ｈ（ｘ）によって定義した際のグラフと、従来例での関数とを例示する図である。 配置決定プログラム５（図２）による配置決定処理（Ｓ２０）のフローチャートである。 図１１で説明した配置決定処理（Ｓ２０）により改善された点分散集合を例示する図である。 元のｍ個の点から複数の点を取り除く、もしくは複数の点を加え、共に良い分散性を保たせた点集合を例示する図である。 多様な形状の配置空間に対する配置決定処理を説明する図である。 配置空間Ｄの境界付近にポテンシャルｐを設定した場合の最適配置を例示する図である。 ２次元空間に関する部分解に対応するエネルギー関数の条件を示す図である。

符号の説明

２・・・配置決定装置
５・・・配置決定プログラム
５００・・・データ入力部
５１０・・・記憶部
５２０・・・分散評価部
５３０・・・配置更新部
５４０・・・判定部
５５０・・・データ出力部

Claims (12)

1. 演算装置および記憶装置を有し、複数の配置物の分散性を評価する分散評価装置であって、
   ２点間の分散性を評価する部分評価関数に基づいて、所定の配置空間内に配置された複数の配置物の分散性に関する評価値を算出する評価値算出手段
   を有し、
   前記評価値算出手段は、
   前記所定の配置空間における各配置物の位置を示す点分散データを取得し、
   前記取得した点分散データと、２点間の距離から２点間の分散性を評価する部分評価関数とに基づいて、各点評価値を算出し、
   前記各点評価値の平均をとることにより、配置空間全体の分散性に関する評価値を算出し、
   前記部分評価関数は、２つの配置物の間の距離が限界値を超える場合に、評価値が０となり、かつ、この限界値以内の距離については単調減少な凸関数であり、この部分評価関数の導関数は、２つの配置物の間の距離の平方根に対して、凹関数となる
   分散評価装置。
2. 前記部分評価関数は、２つの配置物の間の距離に対して、２階偏微分可能であり、かつ、この部分評価関数の偏微分係数は、連続である
   請求項１に記載の分散評価装置。
3. 演算装置および記憶装置を有し、複数の配置物の分散性を評価する分散評価装置であって、
   ２点間の分散性を評価する部分評価関数に基づいて、所定の配置空間内に配置された複数の配置物の分散性に関する評価値を算出する評価値算出手段
   を有し、
   前記評価値算出手段は、
   前記所定の配置空間における各配置物の位置を示す点分散データを取得し、
   前記取得した点分散データと、２点間の距離から２点間の分散性を評価する部分評価関数とに基づいて、各点評価値を算出し、
   前記各点評価値の平均をとることにより、配置空間全体の分散性に関する評価値を算出し、
   前記部分評価関数は、２つの配置物の間の距離が限界値ｒを超える場合に評価値が０となり、かつ、この限界値ｒ以内の距離については単調減少な凸関数であり、この部分評価関数の２階導関数ｆｒ''は、（ｆｒ''（√ｘ）／√ｘ）^２が凸関数である、という条件を満たす
   分散評価装置。
4. 前記部分評価関数は、有界な空間Ｘに配置される点が三角格子状に配置される場合に、下記第１の条件
   

   

   
   、及び、第２の条件
   

   

   
   を満たす
   請求項３に記載の分散評価装置。
5. 演算装置および記憶装置を有する配置決定装置であって、
   ２点間の分散性を評価する部分評価関数に基づいて、所定の配置空間内に配置された複数の配置物に関する評価値を算出する評価値算出手段と、
   前記複数の配置物のいずれかの仮配置を更新する配置更新手段と、
   前記配置更新手段により仮配置が更新された複数の配置物について、前記評価値算出手段に評価値を算出させて、算出された評価値に基づいて、適用すべき配置を決定する配置決定手段と
   を有し、
   前記評価値算出手段は、
   前記所定の配置空間における各配置物の位置を示す点分散データを取得し、
   前記取得した点分散データと、２点間の距離から２点間の分散性を評価する部分評価関数とに基づいて、各点評価値を算出し、
   前記各点評価値の平均をとることにより、配置空間全体の分散性に関する評価値を算出し、
   前記部分評価関数は、複数の配置物の分散性を評価する評価関数の一部であり、
   前記部分評価関数は、２つの配置物の間の距離が限界値を超える場合に、評価値が０となり、かつ、この限界値以内の距離については単調減少な凸関数であり、この部分評価関数の導関数は、２つの配置物の間の距離の平方根に対して、凹関数となるか、または、この部分評価関数の２階導関数ｆｒ''は、（ｆｒ''（√ｘ）／√ｘ）^２が凸関数である、という条件を満たす
   配置決定装置。
6. 演算装置および記憶装置を有する配置決定装置であって、
   ２点間の分散性を評価する部分評価関数に基づいて、所定の配置空間内に配置された複数の配置物それぞれを注目配置物として、それぞれの注目配置物と、他の配置物との間の評価値を算出する評価値算出手段と、
   前記評価値算出手段によりそれぞれの注目配置物について算出された評価値に基づいて、前記配置空間から削除すべき配置物またはその周囲の配置物の配置を決定する配置決定手段と
   を有し、
   前記評価値算出手段は、
   前記所定の配置空間における各配置物の位置を示す点分散データを取得し、
   前記取得した点分散データと、２点間の距離から２点間の分散性を評価する部分評価関数とに基づいて、各点評価値を算出し、
   前記各点評価値の平均をとることにより、配置空間全体の分散性に関する評価値を算出し、
   前記部分評価関数は、複数の配置物の分散性を評価する評価関数の一部であり、
   前記部分評価関数は、２つの配置物の間の距離が限界値を超える場合に、評価値が０となり、かつ、この限界値以内の距離については単調減少な凸関数であり、この部分評価関数の導関数は、２つの配置物の間の距離の平方根に対して、凹関数となるか、または、この部分評価関数の２階導関数ｆｒ''は、（ｆｒ''（√ｘ）／√ｘ）^２が凸関数である、という条件を満たす
   配置決定装置。
7. 演算装置および記憶装置を有する配置決定装置であって、
   ２点間の分散性を評価する部分評価関数に基づいて、所定の配置空間内に配置された複数の配置物と、新たに追加される配置物の追加候補位置との間の評価値を算出する評価値算出手段と、
   前記評価値算出手段によりそれぞれの追加候補位置について算出された評価値に基づいて、前記配置空間に配置物を追加すべき配置またはその周囲の配置物の配置を決定する配置決定手段と
   を有し、
   前記評価値算出手段は、
   前記所定の配置空間における各配置物の位置を示す点分散データを取得し、
   前記取得した点分散データと、２点間の距離から２点間の分散性を評価する部分評価関数とに基づいて、各点評価値を算出し、
   前記各点評価値の平均をとることにより、配置空間全体の分散性に関する評価値を算出し、
   前記部分評価関数は、複数の配置物の分散性を評価する評価関数の一部であり、
   前記部分評価関数は、２つの配置物の間の距離が限界値を超える場合に、評価値が０となり、かつ、この限界値以内の距離については単調減少な凸関数であり、この部分評価関数の導関数は、２つの配置物の間の距離の平方根に対して、凹関数となるか、または、この部分評価関数の２階導関数ｆｒ''は、（ｆｒ''（√ｘ）／√ｘ）^２が凸関数である、という条件を満たす
   配置決定装置。
8. 前記評価値算出手段は、前記配置空間の補空間に配置された仮想配置物と、この配置空間に配置された配置物とを対象として、前記評価値を算出し、
   前記配置決定手段は、前記仮想配置物及び前記配置物を対象として算出された評価値に基づいて、配置を決定する
   請求項５〜７のいずれかに記載の配置決定装置。
9. 前記補空間は、この補空間及び前記配置空間からなる空間全体がこの配置空間よりも高い対称性を有するように構成されている
   請求項８に記載の配置決定装置。
10. 前記評価値算出手段は、前記配置空間の補空間に配置された仮想配置物と、この配置空間に配置された配置物とを対象として、前記評価値を算出し、
    前記配置更新手段は、前記配置物の配置を前記配置空間内で変更し、前記仮想配置物の配置を前記補空間内で変更し、
    前記配置決定手段は、前記配置更新手段により仮配置が変更された前記配置物及び前記仮想配置物について、前記評価値算出手段に評価値を算出させて、算出された評価値に基づいて、適用すべき配置を決定する
    請求項５に記載の配置決定装置。
11. 前記部分評価関数は、前記配置空間の境界近傍において、他の領域とは異なる評価値が得られるように補正されている
    請求項５〜７のいずれかに記載の配置決定装置。
12. 演算装置および記憶装置を有し、複数の配置物の分散を評価するコンピュータにおいて、
    ２点間の分散性を評価する部分評価関数に基づいて、所定の配置空間内に配置された複数の配置物の分散性に関する評価値を算出する評価値算出ステップ
    を前記コンピュータに実行させ、
    前記評価値算出ステップは、
    前記所定の配置空間における各配置物の位置を示す点分散データを取得し、
    前記取得した点分散データと、２点間の距離から２点間の分散性を評価する部分評価関数とに基づいて、各点評価値を算出し、
    前記各点評価値の平均をとることにより、配置空間全体の分散性に関する評価値を算出し、
    前記部分評価関数は、２つの配置物の間の距離が限界値を超える場合に、評価値が０となり、かつ、この限界値以内の距離については単調減少な凸関数であり、この部分評価関数の導関数は、２つの配置物の間の距離の平方根に対して、凹関数となるか、または、この部分評価関数の２階導関数ｆｒ''は、（ｆｒ''（√ｘ）／√ｘ）^２が凸関数である、という条件を満たす
    プログラム。

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