JP4547427B2 - 二つの放物線状の凹面鏡を利用した気体セル及びその気体セルを利用した気体センサーの製造方法 - Google Patents

Description

本発明は、NDIR（非分散型赤外）方式を利用した気体の濃度測定装置において最も重要な部分である気体セルの製造方法に関する。より詳細には、本発明は、多様な用途に適し、光路分析を容易にする簡単な幾何学構造を有する、光空洞を備えた気体セルを製造する方法に関するとともに、そのような気体セルを用いて気体センサーを製造する方法に関する。

大気環境に対する関心が高まり、大気中の有害ガスはもちろん、作業環境の中で発生する有害ガスの正確な検出により、不意の事故を事前に防止する事に多くの人々の関心が集まっている。そのような理由で、大規模な気体センサーだけでなく、携帯用または、狭い室内に置いて使用する気体センサーの必要性が高まっており、気体センサーの小型化、軽量化が必要となった。従って、気体を検出する核心部分である気体セルの小型化と軽量化が非常に重要となり、制限されたサイズのなかで最も効率のよい気体セルを製造することが必要となった。NDIR方式の気体セルは、気体を通過する光に対する当該気体の光吸収性を測定するものであるため、光の経路を長くしようとする試みがこれまでなされており、多くの成果もあがっている。

制限された空間領域でより長い光経路を得るためには、鏡を利用して気体セルの光空洞内で光が多数回反射するようにする方法が最も有用な方法とも言えよう。また、それに関し、多様な幾何学的な構造を持つ光空洞が提案されているが、光経路を長くする事は相当難しいものである。それは、光源や光検出器が実際には光空洞内で無視できないほど大きな影響力を持っていて、光空洞の製造において大きな制約事項になるからである。よって、このような制約を克服するため、幾何学的に多様な方式で鏡を配置することによって、そのような制約事項を克服しようとする試みもなされているが、むしろ幾何学的構造が複雑になり、それを分析するのが煩雑である。つまり、複雑な幾何学的構造を持つ光空洞はその変形が容易でないため、光空洞を変形するためには各種の模擬実験(simulation)により得られた結果を利用して最適な光経路を探し出さなければならない。また、光空洞の製造上の欠点に起因して光空洞を分析するための因子(factor)に少しでもバラツキが生じれば、所望の光空洞を得ることは不可能となる。よって、光空洞の製造は非常に厳密に行わなければならない。したがって、光空洞の製造に多大な費用と時間が所用される問題点がある。

本発明の目的はNDIR（非分散型赤外）法により気体の光に対する吸収特性を利用して気体の濃度を測定する気体センサーの重要部分である気体セルの製造において、既存の気体セルの例より遥かに優秀な光学的な測定特性を持つ気体セルの製造及びおの分析方法を提案することにある。

NDIR方式による気体の濃度測定方式は安価であるにも関わらず測定の正確度と精密度が高いため、最近注目を浴びている。そのような方式の原理は、気体の光(light)に対する特定波長の吸収度を利用するもので、その波長の光を気体に照射した場合に光が吸収される程度を測定することで気体の濃度を算出できる。より詳しくは例えば二酸化炭素(CO₂)の場合4.3μｍの波長の赤外線で最も良い吸収特性を見せるが、二酸化炭素の濃度を測定するため4.3μｍの赤外線を照射し、二酸化炭素の濃度が0の場合に光検出器から検出される赤外線の強度と二酸化炭素により吸収された後の残りの赤外線の強度の比率から二酸化炭素の濃度を算出できる。

このような場合、同一濃度の気体であっても光が気体を透過して進行する道(経路)が長ければ長いほど光検出器から測定される光の強度は小さいため、結果的に入射された光の強度と測定された光の強度の比率が大きくなるので、より精密な測定が可能になる。結局、NDIR方式の気体濃度の測定方式では、制限された空間的な領域内でより長い光経路を提供する光空洞を製造する事が最も重要な要件とも言える。

よって、本発明はこのような要件を充足するため、焦点と光軸を共有する放物線状の二つの凹面鏡を利用して光の経路を非常に長くすることができるように製造された光空洞を使用した気体セルの製造方法及びその分析方法を提示しようとする。よって、本発明は既存の気体セルより優秀な特性を持つ光空洞を含む気体セルを提示することで、より正確且つ精密に気体の濃度を測定できる気体センサーの製造を可能にする。

前述のように、制限されたサイズのなかで効果的な光経路を得るための気体セルを製造するためには、次のような条件を満たす必要がある。つまり、本発明は、このような条件を満足する気体セルを製造し、そのような気体セルを適切に分析するための方法を提示する。

1)光空洞を設計する際、適切な形の幾何学的な構造を持つレンズや鏡を利用することになるが、そのような幾何学的な構造はなるべく簡単なものであるべきである。すると、システムの分析が容易なだけではなく、製造においても費用や時間が節約できるのである。

2)光空洞内の光学システムは安定したものであるべきである。つまり、外部からの衝撃や気体セルの製造過程で発生する可能性のある小さなミスに対し、光経路が所望の経路から少し外れたとしても光が安定的に光検出器に収斂しうるようにしなければならない。そのような条件を充足するためには入力条件(光源の条件)のばらつきに対しても安定的な出力(光検出)が可能でなければならない。

よって、本発明は上記の条件を充足する光空洞の製造方法と、既存の光空洞よりも光経路の長さが長い光空洞を利用した気体セルの製造方法を提案する。

本発明では、図１のように、焦点距離が異なる二つの２次関数放物線の凹面鏡が、焦点と光軸を共有するように互いに向き合うように配置される。また、二つの凹面鏡が交差する点に、焦点を向くように光源を配置し、光軸に光検出器を配置する。このような構成により光源から放出された光は焦点を通過し、凹面鏡内で数回の反射を重ね、光軸へと収斂し、結局は光検出器から検出される。このように収斂する光は光源が製造上のミスにより焦点から少し位置ずれしてしまった場合にも得ることができる。よって、本発明は前述した条件で２次関数放物線の鏡を利用することで、構造が簡素で分析が容易なシステムを提供する。このようなシステムは非常に安定した光検出特性を持つ。以下により詳細に本発明の構成について説明する。

このような構成を達成するために、下記の（１）と（２）のような特性を持つ凹面鏡の関数を求め、それを利用した光学収斂系を提供する。
（１）凹面鏡の焦点を通過する入射光は、鏡面によって反射された後、光軸と平行に進行する。
（２）光軸と平行に入射した光は、鏡面によって反射された後、焦点を通過して進行する。

前述したように、本発明で提案する気体セルの光空洞は、２次関数の放物線を利用するため、その製造及び分析が非常に容易であるという特性を持っている。本発明を利用して光空洞を製造する場合に考慮すべき変数は、p、p'、L₁、及びL₂であり、上記に提示したように、このような変数を適切に調整することで、最適な光空洞を製造及び分析しうる方法として、比較的簡単な数学関係式も提示した。このような関係式を適切に調整し、望む特性を持つ気体セルを製造できるようにすることで、最適な気体センサーの製造が可能となる。

また、本発明で提示する光空洞は、外部からの衝撃や気体セルの製造過程で発生しうる小さなミスによって光経路が望む経路から若干外れても、光が安定的に光検出器に収斂できる構造とすることで、入力条件(光源の条件)の変化に対しても安定的な出力(光検出)が可能である。つまり、本発明で提示する気体セルの光空洞は、理想的な光経路に対して若干ばらつきがある場合でも、光を安定して光検出器に収斂させることが可能であり、光の強度の浪費を節約できる効果がある。

また、本発明で提示する光空洞は、上記の一例を見ても既存の光空洞に比べ、非常に長い光経路を持つ。そのため、より精密で正確な気体セルを製造できる。

既存の大部分の光空洞はその製造において多様な凹面鏡と凸面鏡及びレンズの組み合わせにより、シミュレーション法で、最適な光経路の条件を探す。しかし、このような場合、多くの試行錯誤を重ねるだけではなく、多くの人力が所用され、実製造及び試験(テスト)過程で多くの時間と費用が所用されるので、結果的に気体センサーの価格を上昇させることとなる。

本発明は、前述したように、構成が非常に簡単で、その数学的な分析もそれほど難しくないため、光空洞の製造において、所用される費用と時間を大幅に節約できるという効果を奏する。これにより、余計な価格上昇の要因を除去できるし、市場の要求に適切に対応できるという効果もある。

以下、図面を参照してより詳細に本発明の構成について説明する。
図１は本発明の一つの実施例による、二つの２次元放物線状の凹面鏡を利用した光空洞に関する図である。

これら２次関数放物線の凹面鏡においては、焦点に向かって入射した光は鏡面によって反射された後に光軸と平行に進行し、光軸と平行に入射した光は鏡面によって反射された後に焦点を通過する。このような２次関数の凹面鏡の反射特性を利用して図１のように焦点距離が各々pとp’である二つの２次関数に対し、焦点を共有するように二つの凹面鏡を向かい合わせて光空洞を構成する。また、A₀に焦点を向くように光源(light source)を配置し、光軸(p,0)に光検出器(detector)を-x方向に配置する。

光源から共通の焦点を向かって放出された光は放物線凹面鏡の特性により内部で数回反射して、光軸へと収斂し、最終的に光検出器で検出可能である。

このような場合、pとp'の条件により光経路(optical path)の長さを調整できる。例えば p=15mm、p'=13.5mmの条件でビーム径(beam size)と検出器の直径が各4mm、4mmの場合、本発明の分析法により約1026mmの光路長を求めることができる。

1.凹面鏡関数の誘導
上記の（１）と（２）の特性を持つ凹面鏡の関数を導出するため、簡単な微分方程式を利用することにする。

図２は本発明の一つの実施例による光空洞を形成する２次関数放物線に関する図として、任意の関数に対し、上記の二つの条件を満足させる図式を提示する。

任意の関数y=f(x)(201)の形を取る鏡に対し、x軸と平行に入射した光(202)が鏡のA(x、y)(203)に反射し原点(210)を通る場合(204)、A(203)を通過する法線(205)の方程式に対し、入射角α(207)と反射角β(206)が同じであるという反射原理から法線(205)はx軸上の点B(208)を通過するようになる。その時、α(207)=β(206)=γ(209)の条件が成立され、それにより

が成立するので、(x、y)は(1)式のような方程式を満足する。

(1)式を２次元の極座標(γ、θ)として変換させると(2)式が得られる。

(2)式を整理すると(3)式が導出される。

(3)式の微分方程式の解を求めるためcosθ-1 = zとして置換するとdz = -sinθdθであるため、(3)式は次の(4)式のように表現できる。

図２において、y=0の場合x=-p₀(p₀>0)とするとγ=p₀及びθ=πであるため、(4)式からC₀=-2p₀を得られる。これを(4)式に代入して整理すると(5)式が導出される。

(5)式を整理すると(6)式のようなyに対する２次放物線の曲線を導出できる。

図２と(1)式から導出されたこのような２次放物線曲線で製造された凹面鏡は次のような‘反射特性’を持つ。
- 光軸(図２でのx軸)に平行に入射した光は、２次放物線曲線の凹面鏡によって反射され、焦点(図２の原点(O))を通過する。
- 焦点を通過して入射した光は、２次放物線曲線の凹面鏡によって反射され、光軸と平行に進行する。

2.二つの２次関数放物線の凹面鏡として構成された光空洞の特性
以下、光空洞の特性について図３を利用して説明する。ここで、光空洞は、互いに焦点距離は異なるが焦点と光軸を共有する、互いに向き合うように配置された二つの放物線状凹面鏡を利用する。

図３は本発明の一つの実施例による光空洞の経路特性に関する図であって、y² = -4p(x-p) (301)及びy² = 4p’(x+p’) (302)の２次関数放物線にそれぞれ対応する二つの凹面鏡を組み合わせることにより実現される光空洞を図示する。各々の頂点は(p、0)(305)と(-p'、0)(306)であり、(0<p’<p)である。また、各焦点Fは原点(303)であり、光軸はx軸 (320)であり、ともに共有される。

光源(304)の位置は、放出された光が焦点を通過して凹面鏡(301)で反射されるのであれば、どのような位置に設定しても構わない。本発明では説明の便宜上、凹面鏡(301)と凹面鏡(302)の二つの交点のうちの一つであり且つ+y方向に位置するA₀に光源を配置する。しかし、このような光源(304)の位置は例示のみを意味し、このような光源の位置だけに本発明の趣旨が制限されないことは明らかである。光源(304)が位置する点の座標は

とする。光源から放出された光は閉鎖された光空洞で１回循環(A₀ 304 → B₀ 307 → C₀ 308 → D₀ 309)を経て、A₁に到達する。その後、光は類似のルート（A₂ → A₃ →A₄ ... A_n → ... A_∞）を進む。前述したようにA_∞は(p, 0)であり、この点に検出器を位置させる。このようなA_N座標を求めることで、光空洞内部での光の進行特性を特定することができる。そのため、A_N、B_N、C_N、及びD_Nを（７）式のように定義する。

ここで、A₁ = (α₁,β₁)をα₀とβ₀として表し、これを一般化しA_n = (α_n,β_n)をα₀とβ₀として表すことで、光の進行路を分析する。このため、まずB₀、C₀、及びD₀を各々α₀とβ₀として表してみる。

図３でA₀とB₀は各々y² = -4p(x-p)及びy² = 4p’(x+p’)上の点であり、原点を通過する直線の上にあるため、次の(8)、(9)、(10)式のような関係が成立する。

(8)、(9)、(10)式のα’₀とβ’₀に対する２元２次連立方程式をα’₀に対して整理すると(11)式が誘導され、これの解を求めると(12)式のようになる。

ここでα₀とα’₀は原点に対して互いに対称な点であるため、互いに符号が反対である。よって、(12)式でα’₀ = -(p’/p)α₀だけが成立する解である。また、β’₀は(10)式から誘導される。（(13)式参照）

２次放物線の関数の特性によって

はx軸に平行な直線であるため、β’’₀=β’₀が成立し、また、C₀はy² = -4p(x-p)上の点であるため、C₀は(14)式のように求められる。

ここで、A₀はy² = -4p(x-p)上の任意の点だとすると、結局A₀→C₀の経路はC₀→A₁の経路と対称であることになる。つまり、A₁はC₀の座標で表示できるし、また、A₀の座標として表示できる。なので、A₁の座標は(15)式として表示される。(ここでT ≡ -(p’/p) (<0)とする。)

(15)式の結果からA_nとA_n-1の関係式は(16)式と同じであることを考えられる。

同じように、（13)、(14)、(16)式から、B_n、C_n、及びD_nは次の(17)式のように導出される。

(16)式で分かるように、nが増加すればするほど(α_n,β_n)が(p,0)に収斂することが分かる。つまり、光源(304)から放出された光は、(p,0)と(-p’,0)の間で往復し、最終的に光軸であるx軸(320)に収斂することが分かる。光検出器(321)を光軸であるx軸(320)上の点(p,0)に原点(焦点)を向くように配置した場合、光源(304)から放出され焦点を通過する光はすべて光検出器(321)に収斂される。

3. 光空洞内での光経路の長さ
光空洞のA_n-1→A_nの光経路の長さを循環長さL(A_n)とし、L(A_n)を求めてみる。L(A_n)を求めることの目的は、光源から放出された光が光検出器に到達するまでの光経路の全長を算出することである。すなわち、光空洞内で光が１回循環する間の経路の長さを繰り返し求め、それを合算することで、光経路の全長を求める。光経路の全長は気体センサーの性能を左右する非常に重要な因子であり、その分析方法を知っていれば、用途別に気体センサーを製造する際、少ない費用で最も効率の良い気体センサーの製造が可能になる。

光経路の全長は

であるため、光の循環長さをそれぞれ求め、nに関して合算する。(16)式と(17)式から(18)式が導出される。

(18)式で直線の長さの公式と(8)、(9)、(16)、(17)式を利用して１回循環したときの長さL(A_n)を求めると(19)式が導出される。

(19)式から、(α₀,β₀)に位置した光源から放出された光が光空洞内でn回循環する場合の光経路の全長Lは(20)式として表現できる。

(20)式はTに関する二つの関数として構成されている。L=L(T)=F₁(T)+F₂(T)とすると、F₁(T)、F₂(T)は(21)式、(22)式として表わされる。

光経路の全長Lを二つの関数に分ける理由は、二つの関数の光路全長に対する寄与度を算出するためである。N(循環回数)が増加するとF₁(T)は比例して増加するが、F₂(T)は減少するこが分かる。よって、十分にNが大きい場合、光路全長Lは主にF₁(T)の影響を受けるものと考えられる。F₁(T)とF₂(T)の相対的な寄与度を(23)式のG(T)として表現することにする。

(23)式に対し、図３で提示したα₀ = p-p’の値を代入する。図３より、光源が光空洞の最も外側に配置された場合に、循環長さが大きくなることが理解される。後述するが、このような点A₀が光源を配置するのに最適な位置である。しかし、本発明での光源の位置は、図３のA₀に限定されないことは当然である。

α₀ = p-p’を(23)式に代入して整理すると(24)式が導出される。

(24)式で、Tは負の値をとり、Nは正の値をとるため、(25)式のような条件を満足する。T^4Nは正の数であるため、G(T)は-1<T<0の区間で次のような条件が成立する。

(25)式から、循環回数Nが十分大きい場合のLは(26)式として近似できる。

4. ビーム径(beam size)と光検出器の大きさによる、p及びp’の条件に基づいた循環回数Nの算出
本発明において、光空洞内で進行する光は、(16)式により、光空洞内で循環して、光軸に収斂する。(16)式で分かるように、Tの条件により収斂の速度を調整できる。つまり、Tが-1に近いほど収斂速度は低下し、Tが-1であると無限ループ(loop)となる。また、Tが0に近いほど収斂速度は増加する。

実用においては、光検出器は一定の大きさを持つため、光空洞内を進行する光は、限られた循環回数だけ光空洞を循環した後に光検出器で検出される。よって、T値を調整することで、循環回数Nを調整できる。しかし、光源も一定の大きさを持っているため、光源から放出された光が１回循環した後、A₁に到達した場合、光が光源と干渉する可能性がある。このような条件を考慮しつつ、光空洞を進行する光が光検出器に収斂するまでの循環回数を算出しなければならない。

図４は光源による干渉(円401)と、光検出器の大きさにより光が検出される条件(円402)を図示したものである。円(403)は円(402)を拡大して図示したものである。光は線ではなく、束で進行するため一定のビーム径(beam size)を持つ。このように、光は所定のビーム径(図４でL₁)を有するので、それが１回循環した後にA₁に到達する際に、光源と重複しないようにしなければならない。つまり、このような重複は光の損失を意味し、直ちに気体センサーの性能を低下させる要因となるだろう。

光源から放出された光の大きさ（ビーム径）は光源の光放出口の大きさと同一のものなので、光源のサイズとビーム径は同一であると仮定する。

それなので、図４の円(403)に示す光源と光とが重複しない条件は(27)式のように与えられる。

前述した図３のように光源が位置する場合、(27)式のβ₀とβ₁及びsinθは、式(28)のように表現される。

(28)式を(27)に代入して整理してみると(29)が導出されるし、(29)式は光源から放出された光が１回循環した後に光源と重複しないようにするための条件である。つまり、本発明により光空洞を製造する際、(29)式を充足するようpとp'値を調整しなければならない。

また、円(402)の拡大図である円(404)に示すように、光源からの光が光空洞をN回循環した後に光検出器に収斂するのであれば、光のN回目の循環を有効なものとするためには、ビーム径の半分の光が光検出器と重複したときに光が検出されたものとみなす場合、光検出器のサイズを考慮した光検出条件は(30)式を満たしていなければならない。ここで、ビーム径の半分と光検出器の断面の半分が重なる場合に光が光検出器によって検出されたものとみなす。

同じく図３の条件を代入すると

であるため、(30)式は(31)式として表現される。

(19)式の両辺を、自然対数をとって整理すると(32)式が導出される。

(32)式はp、p'、L₁、及びL₂に対する最大の循環回数の条件である。
したがって、本発明の気体セルを製造する場合、(29)式からp及びp’の条件を適用し、これに従い(32)式から光の循環の回数を算出する。例えばL₁=4mm、L₂=4mm、p=10mm、p'=9mmの条件下で光空洞を製造する場合、この条件は(29)式を満足し、(32)式からの循環回数N=7が求められる。これを(26)式に代入すると光空洞内での光経路の全長は約532mmと算出される。

5.光経路逸脱に対する安定性分析
効率の良い気体セルを製造すべく気体の濃度を測定する際には、光源から放出される光の強度が大きいほど好ましい。しかし、光源の発光物質の物性の限界と光源の寿命などを考慮すると、所望の強度の光を利用することは難しい。よって、制限された強度の光を最も効率的に利用するために、等方的に放射される光を一つの方向に集めるべく、凸レンズや凹面鏡などを利用して光源から放出された光を光空洞の共通焦点に集める方法などがある。凸レンズや凹面鏡を利用する場合、理論上は光を一つの焦点に集められるが、実際には光を一つの点を通過させることは現実的に非常に難しい。また、このような事に製造の主眼点をおく場合、気体セルの製造に費用と時間が必要となる場合もあろう。また、多くの努力を重ね光を一つの点を通過できるようにしたとしても、外部の衝撃や製造過程での小さなミスにより気体セル内部の光学システムが位置ずれしてしまうと光源から放出された光が焦点から外れて進行する事もある。このような場合、光検出器に到達する光量が減少するため、測定の効率が落ち、結局は性能の低下をきたす。

本発明で提案する気体セルの光空洞は上記の場合に対し、非常に優秀な安定性を提供する。図５及び図６を例にとってこのことを説明する。

図５は、同じ焦点距離の二つの放物線を有する光空洞の焦点から光が外れて進んだ場合における光路を分析するための手順を示す。すなわち、図５は、光空洞を構成する二つの２次関数の放物線鏡(501)、(502)の焦点距離が同じである場合(p=p’)における安定性を説明するための図である。

なお、二つの２次関数放物線の焦点距離が互いに異なる場合(図６で例示)でも、図５の手順に基づいて光の経路を分析することは可能である。

図５において、焦点距離が同じである場合、光源(503)で放出され、共通の焦点を通過した光は再び元の場所に戻る。つまり、A点の光源(503)から正確に焦点に向かって放出された光は、B、C、Dを経て再びAへ戻る。これは(16)式で確認できる(ここでT=-1)。光源(503)から放出された光が焦点から少し外れて進行しB₀ではないB₀'に到達し、x軸方向及びy軸方向への光のずれの度合いを各々ε₍₀₎₁及びδ₍₀₎₁とし、光がA₀(503)→B₀'(506)→C₀'(508)→D₀'(510)→A₁'(504)の経路を持つ場合において、A₀から放出された光が１回循環を経てA₁'に到達する際にA₁'の座標を求めることができ、A₀とA₁'の関係からA₁'を一般化することができ、これにより光の経路が求められる。

A₀(503)、B₀'(506)、C₀'(508)、D₀'(510)、A₁'(504)各々の座標は(33)式のように与えられることとする。ここで、ε₍₀₎₁、ε₍₀₎₂、δ₍₀₎₁、δ₍₀₎₂、μ₍₀₎₁、μ₍₀₎₂、ν₍₀₎₁、及びν₍₀₎₂の絶対値はpの値よりも十分に小さく、それらの積は0に収束するものと仮定する。

まず、本発明の光空洞の対称性を利用するために、光の経路がA₀'→B₀'→C₀'の場合について先に分析することとする。このような場合、与えられたε₍₀₎₁及びδ₍₀₎₁に対し、C₀'の座標をα₀、β₀、ε₍₀₎₁、及びδ₍₀₎₁として表すこともある。そのため、光がB₀'から反射され、C₀'に到達するため、光の反射法則を利用する。

ここで、

の勾配をtanθ_AB’とし、B’の法線の勾配を

とすると、三角関数の引き算の公式によりtanΔは次のように表示される。

(33)式から

が得られる。(α’₀,β’₀)はy² = 4p(x+p)上の点であるため、この点での法線の勾配である

は(37)式で表される。

よって、(36)式と(37)式を(35)式に代入して整理するとtanΔは次のように求められる。

tanΔは

の勾配であるため、(33)式の勾配の公式を利用して以下の(39)式を導出できる。

(33)式を(39)式に代入して整理すると、ε₍₀₎₁とμ₍₀₎₁の関係は、次の(40)式で表されるように求めることができる。

ここでδ₍₀₎₁とν₍₀₎₁の関係は考慮しない。なぜかというと２次放物線方程式からδ₍₀₎₁とε₍₀₎₁、ν₍₀₎₁とμ₍₀₎₁の関係を導出できるからである。

本発明の光空洞の対称性によりC₀'に到達した光は新たな光源とみなすことができるので、(33)式と(40)式から次の(41)式が導出される。

よって、ε₍₀₎₁とε₍₀₎₂の関係からA₁'の座標を求められる。また、光の反射法則を利用して

の勾配を

とし、B₀'での法線の勾配を

とすると三角関数の引き算の公式から次の(45)式が誘導される。

２次放物線曲線の法線の公式から誘導された

と(38)式と(33)式を利用して(45)式を整理すると、ε₍₀₎₁とε₍₀₎₂の間に次のような関係を導出できる。
ε₍₀₎₁ = -ε₍₀₎₂−−−−−(46)

(46)式を(41)式に代入するとA₁'のx座標は次の(47)式で表すように誘導できる。

(47)式は、ε₍₀₎₂×ε₍₀₎₁＝０、ε₍₀₎₂×μ₍₀₎₁＝０、及び1/(1-x) = 1+x (|x| << 1)の条件と(46)式を利用して得られる。

(47)式で分かるように、同じ大きさのp値を有し焦点を共有する二つの２次放物線として構成された空洞内においては、光源(A₀)から放出された光は、焦点から若干外れていても(ε₍₀₎₁ << p)、空洞内で１回循環した後、元の場所(A₁ = A₀)に戻るという事が分かる。したがって、互いに異なる焦点距離（p及びp’(0<p’<p)）を有し焦点と光軸を共有する本発明の光空洞内においては、光源から放出された光が焦点から若干外れて進行しても、本来の経路(焦点を正確に通過して進行する経路）から大きく外れないという仮定を導出できる。

上記の仮定を根拠とし、互いに異なる焦点距離を有し焦点と光軸を共有するように互いに向き合うように構成された本発明の光空洞において光源から放出された光が焦点を正確に通過せずに若干ずれて通過する場合における、当該ずれと、どの程度まで光が焦点からずれてもよいかについて以下説明する。

図６は二つの２次関数放物線状の鏡の焦点距離が互いに異なる場合の光の経路を示す。二つの２次関数放物線状鏡は前述したようにy² = -4p(x-p) (601)及びy² = 4p’(x+p’) (602)に対応する（ここで、0<p'<p、T ≡ -(p’/p)）。

光検出器(603)は光軸上の点(p,0)に位置し、任意の光源A₀(604)から焦点に向かって放出された光は前述したように光空洞内での循環を経て、光検出器に収斂して検出される。前述したように、光源から放出された光が１回循環する過程で規則性を探し、それを全循環に対し一般化することとする。

任意の光源(604)から焦点に向かって放出された光がA₀(604)→B₀(605)→C₀(607)→D₀(609)→A₁(611)を経て１回循環するものとし、焦点から若干外れた光がA₀(604)→B₀'(606)→C₀'(608)→D₀'(610)→A₁'(612)を経て１回循環するものとすると、各々の座標は(18)式と(33)式を参照すると次の(48)及び(49)式で表すことができる。

光源から放出された光は、焦点から少し外れて、点B₀において、x座標方向にε₍₀₎₁、y座標方向にδ₍₀₎₁、外れうる。その際、前述したようにε₍₀₎₁、ε₍₀₎₂、δ₍₀₎₁、δ₍₀₎₂、μ₍₀₎₁、μ₍₀₎₂、ν₍₀₎₁、及びν₍₀₎₂の絶対値はpに比べはるかに小さな値であり、それらの積は0に収束する。すなわち、前述したp=p’の条件下では放出された光が空洞内を１回循環した後に元の光源位置へ戻るという事実に基づいて、光源から放出された光は、焦点から少し外れたとしても、元の経路から少しだけ外れて進行すると仮定する。

したがって、前述したp=p'の条件で光経路を求めたのと同様に、p=p'でない場合の光の経路を分析する。光源A₀(604)から放出された光が焦点を若干外れて進行し、B₀'で反射されC₀'に到達する場合、

の勾配を

とし、

の勾配を

とすると、光の反射法則と三角関数の引き算の公式を適用しつつ、(34)式と(35)式が用いられる。

よって、(49)式から(50)式が得られる。

また、B₀'はy² = -4p(x-p)上の点であるため、この点上の法線の勾配である

は(51)式で表される。

(35)式に(50)式と(51)式を代入し、tanΔを(52)式で表すことができる。

また、tanΔは

の勾配であるため、勾配の公式から次の(53)式が成立する。

(52)式と(53)式は互いに同じであるため、ε₍₀₎₁とμ₍₀₎₁の関係を算出することができる。
ここでB₀'の座標をy² = -4p(x-p)に代入すれば、

を得る。また、C₀'の座標をy² = 4p’(x+p’)に代入すれば、

を得る。

C₀'に到達した光は反射され、この反射光は新たな光源とみなすことができるので、ε₍₀₎₂とμ₍₀₎₂の関係は(54)式と類似の次の(55)式で表される。

ε₍₀₎₁とε₍₀₎₂の関係から、μ₍₀₎₂を求められるので、結局A₁'(612)の座標を求められる。したがって、

の勾配を

とし、C₀'での法線の勾配を

とすると、三角関数の引き算の公式から(45)式が再び用いられる。

B₀'での法線の勾配は

であるため、(49)式と(52)式を代入して(45)式を整理すると、ε₍₀₎₁とε₍₀₎₂の関係式は次のように求められる。

(49)式に(54)式、(55)式、(56)式を適用すると、(49)式はα’₁に関して次の(57)式のように整理できる。

(57)式から、光源(604)から放出された光が焦点から若干外れて進行する場合、１回循環した後、α’₁に到達する。これを一般化するため、以降、α’₁からプライム符号を外すことにする。なお、プライム符号は、焦点から外れた光を、焦点を通過した光から区別するために用いられるものであり、一般化のためにプライム符号を省略することは本発明を何ら限定するものではない。

一般化された(57)式は次の(58)式である。

また、C₀'から反射された光は、新たな光源とみなすことができるので、ε₍₁₎₁とε₍₀₎₂は次の(59)式のような関係を持つ。

よって、(56)式と(59)式から、(60)式に示すようなε₍₁₎₁とε₍₀₎₂の関係を導出できる。

ここで、ε₍₀₎₁、ε₍₀₎₂、μ₍₀₎₁、及びμ₍₀₎₂の積は0に収束する。(60)式に(56)式を代入し、一般化すると、次の(61)式が得られる。

(61)式を(58)式に代入して一般化すると、(62)式が導出される。

ｎ→∞の場合、α_n=α_n-1であるため、α_∞-p = σとすると、σは絶対値が非常に小さい負の数である。（(62)式は収束関数である。）よって、ｎ→∞の場合、(63)式は次の(64)式で表せる。

σに関して(64)式を整理すると、(65)式を得る。

ｎ→∞の場合、β_nがγに収束するとすれば、y² = -4p(x-p)式に基づき、＋x軸(p)に対し次のような関係式(66)が導出される。

また、γに関して(66)式を整理すると、(67)式が得られる。（ここで、γの値は、便宜上、ε₍₀₎₁>0の条件下で、正の数に設定する。）

γは、光源(604)から放出され焦点から外れて進行する光が最終的に収斂する点のy座標である。図４に示すように、光検出器の直径をL₂とすると、このような場合、光が光検出器によって検出されるためにはγ<L₂/2の条件を満足しなければならない。よって、(67)式を次式(68)に書き換えなければならない。

(68)式はまた、光源から放出された光が光検出器によって検出されうるために光が焦点から最大どの程度まで外れてよいかを示す最大許容逸脱度合いε₍₀₎₁の条件を表す。よって、(68)式は、ε₍₀₎₁に関しては、以下の(69)式に書き換えることができる。

光源から放出された光の分散(ε₍₀₎₁)が(69)式の条件を満足する場合、光は光検出器によって検出される。(69)式の条件を満足しなければ、分散光は空洞内部で無限循環した後、結局光空洞内で消滅する。また、光源からの光が分散される場合、(69)式に基づいて、気体濃度測定に実際に寄与する光の強度を計算することができる。

理論上、点光源から放出された光は等方性を有する。しかし、実際には、光源は、その状態に応じて、最も強い光が特定方向へと放出され、この方向を中心に光の強度が減少するガウスパターンに従って光を放射する。本発明によれば、点光源は凹面鏡またはレンズを具備しており、特定の方向へ最も強い光を放出するだけでなく、凹面鏡ないしレンズを調整することで平行光や、一点に集束する光も提供できる。しかし、外部の衝撃または製造上のミスなどにより、このような気体セルの各構成要素が位置ずれしてしまう場合がある。このような場合、光源から放出された光は、所望の光路から外れて進行する可能性がある。そこで、このような光のずれに対する気体セルの安定性を(69)式に基づいて計算する。例えば、図１に示す気体セルにおいて、(69)式の値をp=15mm、p'=13.5mm、T=-0.9、L₂=4mm、α₀=p-p’とすると、ε₍₀₎₁は次のように表現することができる。

すなわち、光が光路からx軸方向に2.29mmの範囲内で外れたとしても、当該光を光検出器で検出できる。この結果は、一方向（+x軸）のみを考慮したものなので、-x軸も考慮すると、合計4.58mmの範囲内で光が分散したとしても、光検出器で光を安定して検出することができることになる。

6. 本発明を利用して製造した光空洞の分析の実施例
本発明により製造した光空洞の分析方法を(26)、(29)、(32)式を適用して説明する。
焦点距離が各々p=15mm及びp’=13.5mmとして与えられ、ビーム径(L₁)と光検出器の径(L₂)が各々L₁=4mm及びL₂=4mmである光空洞を製造した場合、まず、(29)式を利用して、ビーム径と光検出器のサイズの重複度合いを調べる。ここでは、T = -0.9であるため、

となり、(29)式の条件を満足する。そして、(32)式を利用して、循環の回数を算出すると次のようになる。

よって、光源から放出された光は９回循環し、１０回目の循環で光検出器によって検出される。このような場合、(26)式を利用して光経路の長さ（L）を求めることができる。

すなわち、光経路の長さは、約114cmと算出される。

本発明を利用して気体セルを製造した場合についての各種パラメータを表１に提示する。（表では、L₁とL₂は4mmとした。）

例えば、本発明を利用して50mm×25mmの気体セルを製造しなければならないのであれば、表１の５番目の条件を適用すると、約1590mm(=1.59m)の光経路を持つ気体セルが製造される。

以上で説明したものは本発明の例示的な実施例に過ぎず、本発明は上記実施例に限定されない。添付の特許請求の範囲に記載された本発明の要旨から外れることなく、当業者により多様な変更実施が可能である。

二つの２次元放物線状の凹面鏡を利用した本発明の一つの実施例による光空洞に関する図である。 本発明の一つの実施例による光空洞を形成する２次関数放物線に関する図である。 本発明の一つの実施例による光空洞の経路特性に関する図である。 本発明の一つの実施例による光空洞に設置された光源と光検出器の大きさに関連する光経路の条件を算出する方法に関する図である。 同じ焦点距離の二つの放物線を有する本発明の一実施例による光空洞の焦点から光が外れて進んだ場合における光路を分析するための手順を示す。 焦点距離の異なる二つの放物線を含む本発明の一実施例による光空洞の焦点から光が外れて進んだ場合における光路を分析するための手順を示す。

Claims (12)

1. 二つの凹面鏡を互いに向き合うように配置することで形成される、光学的に閉鎖された光空洞を具備し、光空洞内に入射された光が互いに向き合う上記二つの凹面鏡に交互に反射され、上記二つの凹面鏡は放物線状の凹面鏡であり、上記放物線状の凹面鏡の各放物線は焦点と光軸を共有することを特徴とする気体セル。
2. 上記放物線状の凹面鏡の各放物線は焦点距離が互いに異なり、焦点距離が長い方の凹面鏡上の任意の点に光源を設けることにより、該光源から焦点に向かって放射された光が、上記二つの放物線状凹面鏡によって反射されながら上記光空洞内を循環した後に、上記光軸に収斂しうることを特徴とする、請求項１に記載の気体セル。
3. 上記各放物線の焦点距離の比に応じて、光の経路が変化することを特徴とする、請求項２に記載の気体セル。
4. 上記光源から光空洞へ入射された光を検出するための光検出器を具備し、
   上記光検出器で検出されるまでの上記光空洞内の光の経路の長さ(L)は次の式
   L = 4Np(1-T) = 4N(p+p’)
   （N=光の循環回数、p, p'=各放物線の焦点距離、T=-p'/p）
   により決定されることを特徴とする、請求項２に記載の気体セル。
5. 上記光源の位置をA₀ = (α₀, β₀)とし、上記光空洞を一回循環した光が凹面鏡によって反射される、該凹面鏡上の点の位置をA₁ = (α₁, β₁)とし、上記光空洞をN回循環した光を検出する上記光検出器の位置をA_N = (α_N, β_N)とした場合、上記光のビーム径と上記光検出器の断面半径が次の式
   β₀ - β₁ > L₁/2 + (L₁/2)sinθ 及び β_N > L₂/2
   （L₁=光のビーム径、L₂=上記光検出器の断面半径、θ=上記光軸の法線方向に対する上記光源からの光の入射角）
   を満足することを特徴とする、請求項４に記載の気体セル。
6. 上記光源からの光が最初に反射される点の位置をB’ = (-α₀+ε₁, -β₀+δ₁)とした場合、上記光源からの光の分散度合いを表すε₁の値が次の式
   

   

   を満足することを特徴とする、請求項５に記載の気体セル。
7. 二つの凹面鏡を互いに向き合うように配置し、光学的に閉鎖された光空洞を形成するステップと、
   上記光空洞に光源を設置するステップと、
   上記光源から上記光空洞へ入射された光を検出するための光検出器を上記光空洞に設置するステップと
   を含み、
   上記光空洞形成ステップにおいて、二つの放物線状の凹面鏡を利用して上記光空洞を形成し、上記放物線状の凹面鏡の各放物線が焦点と光軸を共有するように上記二つの凹面鏡を配置することを特徴とする気体センサーの製造方法。
8. 上記光空洞形成ステップにおいて、上記放物線状の凹面鏡の各放物線の焦点距離が互いに異なるように上記二つの凹面鏡を配置し、
   上記光源設置ステップにおいて、焦点距離が長い方の凹面鏡上の任意の点に光源を設置することにより、該光源から焦点に向かって放射された光が、上記二つの放物線状凹面鏡によって反射されながら上記光空洞内を循環した後に、上記光軸に収斂しうる構成とすることを特徴とする、請求項７に記載の気体センサーの製造方法。
9. 上記光空洞形成ステップにおいて、上記各放物線の焦点距離の比を調整することにより光経路を調整することを特徴とする、請求項８に記載の気体センサーの製造方法。
10. 光検出器で検出されるまでの上記光空洞内の光の経路の長さ(L)が次の式
    L = 4Np(1-T) = 4N(p+p’)
    （N=光の循環回数、p, p'=各放物線の焦点距離、T=-p'/p）
    を満足するように、上記各放物線の焦点距離の比を調整するステップを更に含むことを特徴とする、請求項８に記載の気体センサーの製造方法。
11. 上記光源設置ステップにおいて、上記光源の位置をA₀ = (α₀, β₀)とし、上記光空洞を一回循環した光が凹面鏡によって反射される、該凹面鏡上の点の位置をA₁ = (α₁, β₁)とし、上記光空洞をN回循環した光を検出する上記光検出器の位置をA_N = (α_N, β_N)とした場合、上記光のビーム径が次の式
    β₀ - β₁ > L₁/2 + (L₁/2)sinθ
    （L₁=光のビーム径、θ=上記光軸の法線方向に対する上記光源からの光の入射角）
    を満足するように、上記光源を上記光空洞に設置し、
    上記光検出器設置ステップにおいて、上記光検出器の断面半径が次の式
    β_N > L₂/2
    （L₂=上記光検出器の断面半径）
    を満足するように、上記光検出器を上記光空洞に設置することを特徴とする、請求項１０に記載の気体センサーの製造方法。
12. 上記光源からの光が最初に反射される点の位置をB’ = (-α₀+ε₁, -β₀+δ₁)とした場合、
    上記光源設置ステップにおいて、上記光源からの光の分散度合いを表すε₁の値が次の式
    

    

    を満足するように、上記光源を上記光空洞に設置することを特徴とする、請求項１１に記載の気体センサーの製造方法。

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