JP4528348B1 - 山地河川流域の流量推定用回帰関数の演算方法、同関数の選定方法、および山地河川流域の年平均流量推定方法 - Google Patents
山地河川流域の流量推定用回帰関数の演算方法、同関数の選定方法、および山地河川流域の年平均流量推定方法 Download PDFInfo
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Abstract
【課題】 従来手法である流域比による河川流量推定法を改め、流量測定が行われていない山地河川の流量を効率的に精度よく推定すること。
【解決手段】 市販の地形図に基き、検討河川流域（複数流域対象）の標高帯別標高と、標高帯別面積とを測定し、これらを入力データとして流域地形を立体的に捉えた流域立体地形相関面積Aeqと流域立体地形相関標高Heqとを相互独立かつ一義的に算定し、少なくともこれらAeqとHeqを変数中に含む河川流量の回帰関数を誘導する。この回帰関数を適用して流量測定が行われていない地点の推定流量を演算する。
さらにこの回帰関数を適用して河川流量の推定を行うと共に、検証誤差率を算出して回帰関数の適否の評価を可能にする。
【選択図】 図１
【解決手段】 市販の地形図に基き、検討河川流域（複数流域対象）の標高帯別標高と、標高帯別面積とを測定し、これらを入力データとして流域地形を立体的に捉えた流域立体地形相関面積Aeqと流域立体地形相関標高Heqとを相互独立かつ一義的に算定し、少なくともこれらAeqとHeqを変数中に含む河川流量の回帰関数を誘導する。この回帰関数を適用して流量測定が行われていない地点の推定流量を演算する。
さらにこの回帰関数を適用して河川流量の推定を行うと共に、検証誤差率を算出して回帰関数の適否の評価を可能にする。
【選択図】 図１
Description
本発明は、回帰関数を適用して山地河川流量を算定する山地河川の流量推定方法に関する。
従来測水所が設置されていない山地河川の新規検討目標地点の流量を推定する方法としては、下流または近傍の既設測水所における流量観測値から流域面積比計算によって算定する流域比手法がとられてきた。ここに流域面積CAは流域の平面的特性のみを表す単一の指標である。この手法を適用する場合、流域比が0.5〜1.5の範囲内にある既設測水所を算定元測水所に選ぶことと定められている。（例えば、非特許文献1を参照。）
新エネルギー財団水力本部：中小水力発電ガイドブック、新訂5版、2002年
この流域比手法は検討目標地点の流域面積と流域比算定元測水所地点の流域面積の比、即ち流域比を比例乗数とし、算定元測水所地点における測定流量にこの流域比を乗じて目標地点の流量を推定する比例計算手法である。
このため流域比手法においては、算定元測水所が変ると目標地点の流量推定値も変ってくる。従って候補となる複数の算定元測水所のうち、どの測水所が最適測水所であるかを選ぶことが流域比手法のポイントとなる。
流域比手法の場合、目標地点流域と候補算定元測水所流域の地形、地質、気象、植生状況等を詳細調査して算定元測水所を特定しなければならないが、これには長年の経験と勘を要し、確立されたルールはない。従って流域比算定手法は目標地点の流量推定法としては算定元測水所の選定によって精度が大きく変るという問題を持つ不完全な手法である。
本発明は上述のかかる事情に鑑みてなされたものであり、山地河川の流量を効率的に精度良く推定する方法を提供することを目的とする。
上記目的を達成するため、本発明に係わる山地河川の流量推定方法は、コンピューターシステムを用いて山地河川の推定流量を演算する方法であって、標高帯別標高データと標高帯別面積データとを入力し、これらの入力データを用いて流域地形を立体的に捉えた、面積のみの指標である流域立体地形相関面積Aeqと、高さのみの指標である流域立体地形相関標高Heqとを、相互独立に、かつAeq,Heqのそれぞれは一義的に誘導し、少なくともこれらAeqとHeqを変数中に含む河川流量の回帰関数（たとえば年平均流量Qmeanの回帰関数）を算出し、算出された回帰関数を適用して流量測定が行われていない地点の推定流量を演算することを特徴とする。
特に上記河川流量の回帰関数は流域立体地形相関面積Aeqと流域立体地形相関標高Heqの相互独立かつ一義的な組合せを含む流域諸指標の総合組合せを変数とすることを特徴とする。これにより客観的かつ精度の高い山地河川流量の推定が可能となる。
また本発明に係わる山地河川の流量推定方法では下記に論ずる流量推定の検証誤差率maxεoutを算出することを特徴とする。
即ち前記回帰関数は想定された地域内の測水所群（測水所数mケ所より成る）における流量測定値をデータとして算出される。従ってデータ数はmである。算定された回帰関数を適用してm測水所群中の任意の1測水所である測水所 i0（i=1,2,,,i0,,,m）の流量を推定した場合、推定値とその測水所における流量測定値との間に推定誤差が生ずる。この推定誤差率をεinとおく。
つぎにこのm測水所群中より上記測水所i0を除去した残りm-1測水所群をデータ測水所群とし、上記と同様の手法を用いて新たに回帰関数を算定し（この場合データ数はm-1個となる）得られた回帰関数を適用して、除外されて検証地点となった測水所 i0の推定流量と測水所 i0の測定流量との推定誤差率εoutを算定する。なお、mヶ所の測水所のすべてを順繰りに1測水所づつ検証地点とするから検証地点の総数はmとなる。
かくてεinとεoutの差をΔεとしたとき、全測水所群中の測水所数mだけΔεが算定される。これらm個のΔεの内、絶対値の最大値を与える検証地点のεoutを以て検証誤差率maxεoutと定め、maxεout値が許容限度内に収まる回帰関数のみを合格関数として採用する。
この検証誤差率により回帰関数の適否の評価が可能となる。
この検証誤差率により回帰関数の適否の評価が可能となる。
本発明によれば流域地形を立体的に捉えた流域立体地形相関面積と流域立体地形相関標高とを相互独立かつ一義的に算定し、これらを2変数とする河川流量の回帰関数を算出するので、従来慣用の流域比法によった場合に必要な長年の経験と勘を必要とせず、効率的に山地河川の流量の推定を行うことができる。
また、検証誤差率を算出することによって、回帰関数の適否の評価を行うことができるので精度の高い推定値を採択することができる。
一般に、山地高地帯を流下する河川の実流量は、従来慣用の流域比計算によって算定される推定値より大である。従ってこれまで経済性無しとして放棄されてきた山地高地部河川の開発計画が、実際には経済性に富む地点であることが多いことがわかってきた。よって本発明は新たに山地高地部河川流量の高精度算定法を確定するものである。
新算定法を適用することにより、従来見逃され、または放棄されてきた優良水資源開発地点の発見に役立つ。開発対象案件が水力発電の場合には、現今全世界共通の課題であるCO2削減計画の一部を担うことができる
以下、本発明の実施の形態を説明する。図１は、本実施の形態による山地河川の流量推定方法に用いられるシステム（流量演算支援システム）の機能ブロック図である。ここで、流量演算支援システム１は、キーボードや外部記憶装置等のデータを入力するための入力部３０、入力したデータや種々の演算のためのデータを記憶する記憶部２０、入力したデータをもとに河川流量の演算処理を実行する演算処理部１０、演算結果や後述するプロット図を出力するプリンタやディスプレイ等の出力部４０から構成されている。流量演算支援システム１は、パーソナルコンピュータ等の汎用コンピュータによって実現することができる。
流量演算支援システム１の演算処理部１０には、入力部３０および出力部４０との間で入出力処理を実行する入出力処理手段１１、回帰関数を求めるための地形緒元等の基礎データを入力して記憶部２０の基礎データ保存領域２１に格納する基礎データ入力手段１２、入力した基礎データを用いて回帰関数の演算を支援する回帰関数演算支援手段１３、演算対象地点の地形緒元データを入力して記憶部２０の演算対象地点データ保存領域２３に格納する対象データ入力手段１４、入力した演算対象地点のデータと回帰関数とを用いて推定流量を算出する推定流量演算手段１５、および、適用する回帰関数の検証誤差率を算出する検証誤差率演算手段１６を有している。各手段１１〜１６はＣＰＵの機能としてプログラムによって実現可能である。
以下、上記の流量演算支援システム１を用いて、山地河川の流量を推定する方法について説明する。
＜基礎データ入力処理＞
＜基礎データ入力処理＞
まず、流量演算支援システム１の入力部３０から山地流域の標高帯jごとの平均標高データHcjと標高帯別面積データajを入力する。入力されたデータは、演算処理部１０の入出力処理手段１１によって入力処理され、基礎データ入力手段１２を介して記憶部２０の基礎データ保存領域２１に保存される。
次に、この基礎データを用いて、回帰関数演算支援手段１３によって流域立体地形特性値（CAP）を算出する。
以下、図面を参照しながらこの算出処理の手順について説明する。
＜流域立体地形特性値（CAP）算出処理＞
以下、図面を参照しながらこの算出処理の手順について説明する。
＜流域立体地形特性値（CAP）算出処理＞
河川の一定地点、例えば測水地点のもつ流域面積とはこの地点の河川水位を最低標高面とし、この地点から発し左右両岸に続く稜線を連ねて最高峰に到る連続した閉曲線によって囲まれた区域（流域）の水平面への鉛直投影面積として定義される。この流域内に発する河川流量は、特別の場合(断層破砕帯が流域境界を横断する場合等)を除き、他流域に流出することなく、すべて上記一定地点に流下する。
流域を区画する閉曲線は、立体的な空間曲線であり、この空間曲線が囲む立体曲面の表面積（以下実流域面積と呼ぶ）は、その水平面への投影面積（即ち流域面積）とは異なる。よって地形図上において測定された流域面積は立体斜面から成る実流域面積とは等しくない。
地形図において流域最低標高面から最高峰標高点までの間に数条の等高線をみることができる。相隣る2本の等高線によって囲まれる流域部分を2本の等高線の平均標高を持つ標高帯j, 2本の等高線間の実地表面面積（斜面面積）を標高帯jの標高帯面積ajと定める（図２参照）。標高帯jの実面積ajの合計をacとおくとacは実流域面積を表し、平面流域面積CAとは異なる値をもつ。
通常存在する流域形状は閉曲線によって取囲まれた、傾いて置かれたザル型の形状である。このような形状を持つ流域の標高帯別面積ajは、最低標高帯の等高線長は小のため（測水地点の最も近くを通る等高線長は短であるため）その面積は小で、標高が上昇するにつれて標高帯の等高線長が長くなるため標高帯面積は漸次大きくなり、ある標高帯において面積は最大値に達し、さらにそれより標高が上昇すると逆に減少を始め最高標高点において0となる（図２参照）。よって標高帯別標高Hcjを横軸に、標高帯別面積ajを縦軸にとってプロットすればajの表す曲線は一つのピークを持つ山形の曲線、場合によっては最大のピークと共に複数のピークをもつ山形の曲線となる。これに対して当然ながら標高帯jの標高Hcjの値は標高の上昇につれて増加一方である。
ここでajとHcjの積をとり
を定義すると、zjは標高帯jが持つ一種の地形指標を表す。上でみたようにあるj点においてピークをもつajと、増加一方のHcjの積zjはピークは異なるが、ajと同様、あるピークを持つ曲線となる。ここで標高帯の総数をnとおいて
とすればCAPは当該流域の特有値となる。以降流域の立体地形特性値としてCAPを採用する。
なお、上式中のajとHcjは市販の5万分の1地形図等によって算定可能である。
なお、上式中のajとHcjは市販の5万分の1地形図等によって算定可能である。
流域特性値CAPを採用する根拠は次のとおりである。
水平面への投影面積Ajをもつ標高帯jへの全降水量Rjはこの水平面の単位面積当り降水量をrjとおけば
によって表される。多くの標高帯は水平面に対して傾斜している。この傾斜角をθj実斜面面積をajとおくとajはAjより大で
となる。標高帯の実面積ajはその水平面積Ajより大なるにも拘らず、この面積ajへの全降水量は式（６）のままで変らない。何となれば降水量rjは単位面積当りの値として測定され、実面積ajを持つ標高帯の水平面積はAjであるからである。
水平面への投影面積Ajをもつ標高帯jへの全降水量Rjはこの水平面の単位面積当り降水量をrjとおけば
降水量rjは標高Hjに応じて変化する。よってrjはHjのある関数である。よっていま
とおけば式（６）は次式となる。ここにc0,c1は常数である。
よって降水量rj, Rjは地形特性値Hj, Ajの関数として表すことができる。
式（９）のAjに式（７）から得られるaj・cosθjを代入すれば
となる。さて地表面上の降水の比重は1であるからRjの質量をMjとおけば
となり、Mjなる質量は標高帯jにかかる荷重となる。しかるときは周知の公式によりMjは平均海水面に対して
なるポテンシアルエネルギーをもつ。
よって全標高帯j=1.2,,,nのもつポテンシアルエネルギーの合計値をCAPとおけば、CAPは式（１１）,式（６）を考慮して
となる。この式のrjに式（９）を代入すれば
この結果、降水量rj又はRjを含まない,流域の地形諸元Hj,Ajのみの関数としてCAPを表すことができる。これは平均海水面を基準面にしているからすべての流域に共通して適用可能な立体地形特性指標としてのCAPが確定する。
＜CAP分解処理＞
＜CAP分解処理＞
流域立体地形特性指標CAPは流域の平面面積CAに変るべき指標として、上記の処理手順によって求めた。しかしながら山地河川流域の地形の変化は多様であるため、例えば2つの流域のCAPの値は等しいにも拘らず、それぞれの流域流量は明らかに異なるという場合もあり得る。このような2流域を区別するためにはCAPを、さらに面積を表す単一指標と標高を表す単一指標の積に分解する必要がある。即ち、式（５）のCAPは標高帯面積ajと垂直方向高Hcjとの積の総和として定義されているので、流域のもつ水平方向特性と垂直方向特性を明確に区別した指標とはなっていない。よって以下の処理手順によってCAPを分解し、流域の平面的な特性のみを表す単一指標と，垂直方向特性のみを表す単一指標の積として表す。
CAPを分解する基本的な考え方は、CAPが、面積のみの関数と標高のみの関数の積に等しくなるような2関数を求めることにあるが、これら2関数の組合せはそれぞれが一義的に定まる指標の組合せでなければならない。いま、標高帯jの実表面面積aｊのj=1からjまでの累計値をacｊとおけばacｊは次式によって表すことができる：
このacjは最低標高点から標高Hcj面までの実地表面面積である（図２）。
つぎに標高Hcj面において式（５）は次式となる：
一方、標高帯jの平均標高Hcjと式（２１）のacjに基づき、Hcとacの積をZcとして
を定める。ここにHcｊ,acｊはそれぞれ別個に算定される値であるが、あるjの値のときにのみZcｊがCAPに一致する。この一致点のHcｊ,acｊの値をそれぞれ独立のトライアル計算によって求め、それぞれHeq,Aeqとおけば
となりAeq,Heqが求まり、それぞれを独立の変数として使うことが可能となる。以上によりわかるとおり、Aeq,Heqの組合せは一義的に確定される値である。従ってAeqとHeqの組合せは対象流域の立体地形を一義的に表す基本指標の組合せとなる。この故に以降Aeqを流域立体地形相関面積、Heqを流域立体地形相関標高と呼ぶこととする。
（Aeq,Heqの算定例）
（Aeq,Heqの算定例）
北海道中央山地美瑛川の奥美瑛測水所流域を例にとりAeq,Heqの算定例を示す。
Hc,a,ac,z,Zcの地形図に基く算定値は表１のとおりである：
この表にみるようにzの値はj=1からj=8までは増加し、それ以降j=15までの間は減少に転じている。一方、Zcはj=1から最終のj=15まで増加するのみである。よって増加一方のZcの途中のj=9,10の間にzの合計値CAPに等しいZc値があることがわかる。上記のトライアルはこの一致点を求める計算である。
（Aeqの算定例）
Hc,a,ac,z,Zcの地形図に基く算定値は表１のとおりである：
（Aeqの算定例）
図３はAeq算定のための表１のプロットである。この図においてZc=Hc.acのZcは横軸acに対する曲線として描かれている。この曲線上の点（丸印）を左右に動かしてこの点の縦距値がCAPに等しくなる点を見付け、この点の縦距値をAeqとしたものである。このトライアルはacとZcとの関係のみに基くAeq値の推定であり、Hcとは無関係にAeqが算定されている。
（Heqの算定例）
（Heqの算定例）
計算方法は変数の取り方が異なるだけでAeqの算定例と同じである。トライアル算定結果のプロットを図４に示す。この図においてZc=Hc.acのZcは横軸Hcに対する曲線として描かれている。トライアルは、この曲線上で丸印点を左右に動かしてその縦軸値がCAPに等しくなるの横軸値を見付けてHeqとしたものである。トライアルの結果、曲線上において縦軸値ZcがCAP=88565.6点の横軸値Hc即ちHeq値が1468.6となることを示している。この算定はacとは無関係にHeqが算定されている。
上記のAeqの算定例,Heqの算定例においてみられるとおり、Aeq,Heqは各々別個のトライアルによって相互独立に、かつAeq,Heqのそれぞれは一義的（独語で言うein deutlich）に算定された値である。但し両者の積はCAPに等しくなる。
（Aeq,Heqが流域の固有値であることの確認）
（Aeq,Heqが流域の固有値であることの確認）
上記Aeq,Heq算定処理において算出されたAeq,Heqがこの流域の固有値であることを確認するため次の検討を行う。
図３の縦軸と横軸を入替え、同様に図４の縦軸と横軸を入替え、両図を同一の横軸Zcをもつ図としてプロットすれば図５となる。ただしプロットに際し、Hc=1468.6413=Heqなる高さをもつ水平線と、ac=60.54165=Aeqなる高さをもつ水平線が同じ高さとなるようac軸の上限値を101とした（下限値2.572は不変）。両曲線はZc値がCAP値に達するまでは略一致しているが、CAP点以降両曲線は分離し、相反する勾配形をもって変化している。最後の一致点は両曲線がZc=88565.608=CAP垂直線上に達した点である。よってAeqとHeqはZc値を共有する条件下におけるZcの最大値CAP垂直線上の唯一点によって表される固有点であることが確かめられた。Aeq,Heqの算定はこの固有点を見出すためのトライアルであるとみることができる。
以上総括して、AeqとHeqの組合せを変量とする流量回帰関数による流量算定手法は、検討対象流域群地域内の任意地点の流量を、従来採用されてきた流域比手法またはCAを変数とする流量回帰手法に比して、より正確に推定する手法となる。
よってAeqとHeqの組合せを変量に持つ流量回帰関数による流量推定法は新しい流量推定法である。
＜河川流量回帰関数演算処理＞
よってAeqとHeqの組合せを変量に持つ流量回帰関数による流量推定法は新しい流量推定法である。
＜河川流量回帰関数演算処理＞
次に、上記のCAP分解処理において確定したAeq,Heqを変量とする河川流量回帰関数の算定手法およびその適用に際して考慮すべき制限事項について説明する。
まず、河川流量回帰関数の算定手法は下記のとおりである。下記各式は表現の簡素化のため、Heq,Aeq,Kvの1次式3変量による回帰関数の場合を示すが、変量がCAのみの1個の場合、Aeq,Heqの2個の場合又は変量が4個以上の場合、更に変量の次数が2次以上の場合についても下記各式の変量項を適宜修正して適用することができる。なお上記3変量中のKvは流域を構成する表層地質中の火山岩類の構成率を示すが、本発明はAeq,Heq以外の変量を含んでいてもよい。
変量の次数をn=1次、回帰目的変数を年平均流量Qmeanとした場合の3変量回帰関数の算定アルゴリズムは市販のソフトウェアmathcad（登録商標）により下記のとおり与えられる。なお、市販ソフトウェアmathcadの詳細は、MathSoftEngineering&Education,Inc.: mathcad11ユーザーズガイド（2003年4月）に記載されている。
ここにQmeanはデータ地点である各測水所における年平均流量の測定値である。
流域諸元の行列をMとおく；
ここに
つぎに
とおく。ここにregressはmathcadの組込み関数で回帰関数を意味する。この式は基礎データである流域諸元行列以外の流量変数Qおよびその次数nを含んでいる。従ってQ,nが変ると基礎データMは一定でも、Rの値は変化する。
流域諸元の行列をMとおく；
次に、この関数Rを適用して基礎データ地点の流量回帰値または基礎データ地点以外の対象山地内河川の計画地点の流量を推定するための内挿関数interpおよび回帰値Qestiは次式で与えられる：
年平均流量Qmeanの回帰関数は上記の式（２７）,式（２８）のQをQmeanに置換えることにより求められる。
上記のアルゴリズムに含まれる組込み関数augment,regress,interpは一般的ではないのでQestを通常の多項式p(x,y,z)として表せば次式となる：
いまの場合、変数の数Nvars=3,変数の次数deg=1であるから多項式p(x,y,z)の項数Ntermsは次式：
によって4項となる。多項式pは次式によって与えられる：
この式中のx,y,zは前記式（２５）のX,Y,Z及び式（２９）のHeq,Aeq,Kvと同じ基礎データで与値であり、c0,c1,c2,c3の値のみが目的変数に応じて変化する。式（２９）の回帰関数Qestiを解くことは、これらc0,c1,c2,c3の値を求めることに相当する。これらのデータを回帰関数データ保存領域２２に保存する。
いまの場合、変数の数Nvars=3,変数の次数deg=1であるから多項式p(x,y,z)の項数Ntermsは次式：
式（２９）による回帰値と多項式（３１）による計算値が一致することは多くの実例地点について確認済である。但し変数の次数が大きい場合は係数cの有効桁数を12以上にとる必要がある。
（河川流量回帰関数の算定に必要なデータ数）
（河川流量回帰関数の算定に必要なデータ数）
河川流量回帰関数の採用可能変量数は対象とする山地内の既設測水所数によって制限される。たとえば検討対象とする山地内に既設測水所数が2箇所しか存在しない場合は前項で確定したAeq,Heqを算定することができない。これに対して検討対象山地の範囲を拡大すると真に必要な変量以上の不適当な変量を誤って追加し回帰関数の回帰精度を低下することも起り得る。この問題解決のためには、回帰関数算定に必要なデータ数と変量の数および次数の関係について検討する必要がある。
回帰関数であるregress関数の場合、入力データ値の数mは
を満たさなければならない。（前記mathcad11ユーザーズガイド参照）。ここにkは独立変数の数、nは変数の次数、ｍはデータ数である。この式のk,nはそれぞれ式（３０）のnvar,degに、m′はk元n次方程式の解を求めるのに必要なデータ数を示す。回帰関数式の場合必要なデータ数はこの連立方程式を解くために必要なデータ数より大でなければならないから次式となる：
k元n次連立方程式を解くために必要なデータ数Nterrms= m′の算定値を［表２］に示す；
式（３３）または［表２］を用いることにより回帰関数算定に必要な数のデータを採取することができる。
以上、回帰関数演算支援手段１３による処理手順について説明した。
そして、対象データ入力手段１４によって、演算対象測水所i(i=1,2,,,m)の地形諸元データ（標高帯別標高データHci,標高帯別面積データai）およびこれら測水所群を形成する各測水所iの流量測定値Qiを入力し、これらのデータと上記の手順によって求めた回帰関数データを用いて、推定流量演算手段１５によって推定流量Qestiを回帰演算するのである。
そして、対象データ入力手段１４によって、演算対象測水所i(i=1,2,,,m)の地形諸元データ（標高帯別標高データHci,標高帯別面積データai）およびこれら測水所群を形成する各測水所iの流量測定値Qiを入力し、これらのデータと上記の手順によって求めた回帰関数データを用いて、推定流量演算手段１５によって推定流量Qestiを回帰演算するのである。
回帰演算の実例測水所群として中央山地13測水所群を採った。市販のソフトウェアmathcad(既述)を用いて書いた演算プログラムを下記に示す：
このプログラムは変量をAeq,Heq,Kvの3変量に採り、各変量の次数は1次および2次の場合についての算定プログラムである。計算式は前記式(25)〜(31)により、入力データは後記[表3]を用いた。計算プログラムの詳細説明は省略するが、算定結果は後記[表15],[表16]に示されている。
以上、回帰関数演算支援手段１３による処理手順について説明した。
以上、回帰関数演算支援手段１３による処理手順について説明した。
次に、検証誤差率演算手段１６の処理手順について説明する。
＜最適回帰関数選定処理＞
＜最適回帰関数選定処理＞
一般に、変数の数が一定の場合、回帰関数自体の回帰精度は,回帰関数算定の原データ地点数が一定の場合、変数の次数が大なるほど高くなるが、反面回帰関数算定に用いた流域諸元とは異なる値を流域諸元として持つ任意計画地点の流量推定に高次変数による回帰関数を適用すると、たとえその任意地点の諸元値が回帰関数算定のためのデータとして用いられた諸元の変化範囲内にある場合でも、異常な推定値が現れることがある。一方、有意味、有効な変数の数の増加も回帰精度の向上に効果がある。例えば［表２]から変数の数が2の場合、2元3次連立回帰式を解くのに必要な最小データ数は10＋1=11であり、これに対して変数の数が3の場合、3元2次連立回帰式を解くのに必要な最小データ数も同じく10＋1=11である。さらに変量数が増えて9元となっても、9元1次連立回帰式の場合の必要最小データ数は11のままで変らない。よって最適回帰関数の選定においては，対象とする山地測水所群内において利用可能な測水データに基き、最適変量とその組合せ及び変量の次数の決定さらに最適山地測水地点群選択という問題が存在する。
（第1段階）
（第1段階）
この問題解決のための第一段階として、回帰関数によって算定された回帰流量と測水所地点における回帰対象測定流量との差、即ち回帰誤差および誤差率の算定が必要となる。この場合、全測水所の回帰流量の平均値と各測水所の回帰流量値の差を誤差とするのではなく、各測水所の回帰流量と各測水所の流量測定値そのものとの差を誤差とするところが通常統計学の分野で採用されている標準偏差の定義および算定法とは異なる点に注目したい。
以下、この問題解決のために採用する誤差関係指標の算定式を示す。
なお、以下各式の添字iは各測水所地点のカウンター番号である。よってQiは測水地点iの流量測定値、Qestiは回帰関数適用による同地点の流量推定値を表す。
誤差：
誤差率：
平均誤差率：
なお、以下各式の添字iは各測水所地点のカウンター番号である。よってQiは測水地点iの流量測定値、Qestiは回帰関数適用による同地点の流量推定値を表す。
誤差：
最大誤差率：
maxε=誤差率｜εi｜の最大値 ・・・（３５ｂ）
分散：
ここにNdataはデータとした測水所地点数、分散var(ε)は誤差率εiの平均値εmeanに対する差を対象としている。
標準誤差率：
によって表される。
maxε=誤差率｜εi｜の最大値 ・・・（３５ｂ）
分散：
標準誤差率：
標準誤差率sterrは各データ点の測定値に対する回帰誤差のバラツキの平均値であるから、仮定された回帰関数の適否をみるための基本指標である。更に最大誤差率maxεは仮定された測水所群中に、この測水所群に含めるのは適当ではない測水所があるか否かを判断する指標となる。
以上によって算定された標準誤差率および最大誤差率が如何なる値以下であれば仮定された回帰関数が採用可能であるかの判断基準の設定が必要となる。しかしながらこの基準は、求めんとする回帰関数の使用目的によって異なり、すべての分野に共通して適用できる基準は存在しない。よってこの基準は算定流量の使用予定分野毎に設定さるべき基準であって本特許請求の範囲には含まれない。
以下においては参考例として発明者らが採用している基準値を示すが、必ずしもこの基準に拘るものではない。
1級 標準誤差率: sterr<10% 最大誤差率： maxε<20% ・・・（３８）
2級 標準誤差率: sterr<15% 最大誤差率： maxε<30% ・・・（３９）
3級 標準誤差率: sterr<20% 最大誤差率： maxε<40% ・・・（４０）
各級とも標準誤差率の制限式と最大誤差率の制限式の同時成立を条件とする。
1級 標準誤差率: sterr<10% 最大誤差率： maxε<20% ・・・（３８）
2級 標準誤差率: sterr<15% 最大誤差率： maxε<30% ・・・（３９）
3級 標準誤差率: sterr<20% 最大誤差率： maxε<40% ・・・（４０）
各級とも標準誤差率の制限式と最大誤差率の制限式の同時成立を条件とする。
これらの許容限度を超える誤差をもつ回帰関数を採用することはできない。許容限度を超える誤差をもつ回帰関数の場合は、当初仮定したデータ数（測水所数）と変数の数（変量数）の何れか、または双方を変更して回帰関数を算定し直す必要がある。
ここにデータ数の変更と変量数の変更は相互に関連している。一般に回帰関数の適用可能範囲はできるだけ広いほうが望ましいから、データ数を増加して変量数の増加を可能にし、その結果回帰誤差率を低下することができる。但しデータ数を増加しても変量数の増加が期待できない場合は、データ数の増加は逆に回帰誤差率の増加を招くことも起り得る。
これに対してデータ数を減らすことにより対処する場合は、除外すべき測水所は当初流域群中、除外流域を除いた流域群から孤立した流域、又は最も端部に位置する流域とする。この結果残された流域群は新規計画地点流域を含み、当初流域群よりさらに集合密度の高い連接集合流域群（地形、地質、気象状況が略一様と見做し得る連接集合流域群）となり、回帰誤差率を低下することができる。但しデータ数の減少に伴い採用可能変量数が減少し回帰誤差率の増加を来すことも起り得る。
上記変量数の増加が期待できるデータ数の増加による場合と、データ数の減少にも拘らず変量数が減少しないデータ数の減少による場合、の何れを採用すべきかは、対象とする山地測水所群のそれぞれについての検討事項となる。
かくして縮小または拡大された流域群についての回帰関数を算定し、回帰誤差が許容限度以下となったときの回帰関数を以って第1次選定回帰関数とする。
（第2段階）
（第2段階）
前項において算定した誤差率は回帰関数算定のデータとして用いられた測水所流量に対する回帰流量の誤差率である。しかしながらこの回帰関数が、そのデータ地点群の分布領域内にはあるが、データ地点群を構成する測水所ではない任意地点の流量推定に適用された場合、その地点の流量推定値が、その地点の真の流量をどれだけ正確に推定するかの判断資料は提供しない。よって第1段階において選定された回帰関数をこのような任意地点の流量推定に適用したとき、その推定誤差がどのようになるかを検討する必要がある。
この検討のためには、データ地点群分布領域内に、データ地点群を構成する測水所ではないが、流量測定が行われている地点が必要であるが、それはない。（もしそのような地点があれば、その地点は回帰関数誘導のデータ地点として組込まれている筈であるから）。よって完全ではないが（ただしデータ地点数が多くなるに従い、無限に完全に近付く）、実行可能な検討法として、データ地点群（原地点群と呼ぶ）から順繰りに1地点づつを検証地点として除外し、残りの地点群（縮小地点群と呼ぶ）についての回帰関数を求め、求められた回帰関数を除外された検証地点の流量推定に適用して、その誤差率を検討する方法が考えられる。この場合原地点群の地点数をNdataとすれば、原地点群から順繰りに1地点づつ除外して検討するから、必要となる全検討数はNdata以下となる。上記で以下なる字句を付加した理由は、検証地点の変数値が、縮小地点群について算定された回帰関数の適用可能な変数値の変化範囲外となる検証地点も起り得て、このような地点は検証できないからである（∵回帰関数interpは外挿に適しない）。
よって検証地点の総数はNtest以下、算定される各誤差率の総数もNtest以下となる。
よって検証地点の総数はNtest以下、算定される各誤差率の総数もNtest以下となる。
検証地点として除外される前に原測水所群の1地点であったときの当該地点の回帰誤差率εinと、除外されて検証地点となったときの当該地点の推定誤差率εoutとの差△εを算定する。算定された全△εのうちの絶対値が最大値を与える検証地点のεoutをmaxεoutとする。このmaxεoutは第1段階選定回帰関数の、原地点群分布領域内の任意地点に対する回帰関数適用の可否を判断する指標となる。以降maxεoutを検証誤差率と呼ぶ。即ち検証誤差率は検証地点（除外地点）に対する縮小地点群回帰関数適用誤差率であり、次式によって定義される：
maxεout=全△εのうちの絶対値が最大値を与える検証地点のεout ・・・（４１）
なお付言すれば、検証誤差率の導入はつぎの考え方に基いている。検証地点として除外される前の検証地点は、原測水所群の流量回帰関数（原回帰関数）形成の1地点であった。この地点を除外したことにより、原回帰関数は変化した。この変化の大きさ△εは独立地点として解放された検証地点の原回帰関数への影響の大きさを示している。△εが大なるほど検証地点が原回帰関数に与えた影響が大であったことになる。
maxεout=全△εのうちの絶対値が最大値を与える検証地点のεout ・・・（４１）
なお付言すれば、検証誤差率の導入はつぎの考え方に基いている。検証地点として除外される前の検証地点は、原測水所群の流量回帰関数（原回帰関数）形成の1地点であった。この地点を除外したことにより、原回帰関数は変化した。この変化の大きさ△εは独立地点として解放された検証地点の原回帰関数への影響の大きさを示している。△εが大なるほど検証地点が原回帰関数に与えた影響が大であったことになる。
逆に原回帰関数の側からみれば任意地点となった検証地点による回帰関数変化の大きさ、即ち新たに生じた任意計画地点に対する原回帰関数の変化の大きさを表している。この変化の最大値（△εのうちの絶対値の最大値）を与える検証地点の誤差率maxεoutを検証誤差率としたものである。
よって検証誤差率は求められた原回帰関数の適用性を証するための指標値として用いることができる。これは従来の回帰関数適用法に欠けていた適用可能性の検討法である。
第1段階において選定された回帰関数のうち、最小の検証誤差率を与える回帰関数を以て最適回帰関数とする。ここで検証誤差率の許容基準を選ぶとすれば、第1段階選定回帰関数の最大誤差率maxεの許容基準と等しくなる（何となれば第1段階選定回帰関数においてその回帰誤差の許容最大値はmaxεであったから、検証地点の誤差率はmaxε以下であれば充分であるからである）。よって式（３８）〜（４０）に示した基準値を本項においても採用するものとすれば、検証誤差率の許容基準は次式となる：
検証誤差率maxεoutの許容基準 = 1級<20% 2級<30% 3級<40% ・・・（４２）
なお、標準誤差率および最大誤差率は許容基準を満たす第1段階選定回帰関数であっても、その検証誤差率はmaxεの許容基準を満たすことができない場合もある。このような場合には原測水所群の構成測水所数を増減することにより変量数を増減するか、又は変数の次数を変更して検証誤差率の低下をはかる必要がある。しかして現地既設測水所の存在状況等により、原測水所群の測水所数を増減（とくに増加）することができない場合は第1段階選定回帰関数のうち、最小の検証誤差率を与える回帰関数を以てこの測水所群の回帰関数とする。この結果第1段階選定回帰関数のうち最終的には不合格となる回帰関数もあり得る。
検証誤差率maxεoutの許容基準 = 1級<20% 2級<30% 3級<40% ・・・（４２）
なお、標準誤差率および最大誤差率は許容基準を満たす第1段階選定回帰関数であっても、その検証誤差率はmaxεの許容基準を満たすことができない場合もある。このような場合には原測水所群の構成測水所数を増減することにより変量数を増減するか、又は変数の次数を変更して検証誤差率の低下をはかる必要がある。しかして現地既設測水所の存在状況等により、原測水所群の測水所数を増減（とくに増加）することができない場合は第1段階選定回帰関数のうち、最小の検証誤差率を与える回帰関数を以てこの測水所群の回帰関数とする。この結果第1段階選定回帰関数のうち最終的には不合格となる回帰関数もあり得る。
結論として最終的に選定される回帰関数は標準誤差、最大誤差率、検証誤差率のすべてが許容基準を満たす関数でなければならない。
上記処理によって誘導した回帰関数及び回帰誤差の算定例として北海道中央山地13測水所群を採る。この測水所群流域一覧図を図６のＡ部に各測水所流域に番号を付して示す。なお、図６には参考のためこの測水所群の南方に連なる日高山地10測水所群もＢ部で併せ示している。
中央山地測水所群として13測水所群を選んだ理由は下記のとおりである：
北海道の屋根と称される大雪山、十勝岳連峰を軸にもつ山地群を中央山地とする。その包括する領域は地理学的に必ずしも確定されてはいない。本例においては北は中越、幽仙橋測水所流域、南は佐幌川、ウエンザル川測水所流域を限界とし、この間に存在する13測水所流域をもって中央山地が包括する流域群とした。
北海道の屋根と称される大雪山、十勝岳連峰を軸にもつ山地群を中央山地とする。その包括する領域は地理学的に必ずしも確定されてはいない。本例においては北は中越、幽仙橋測水所流域、南は佐幌川、ウエンザル川測水所流域を限界とし、この間に存在する13測水所流域をもって中央山地が包括する流域群とした。
回帰関数は、最も中心をなす4測水所群から5,6,7,10,,,17測水所群までの範囲について算定し、その結果最適とみられる13測水所群を採用した（但し13測水所群以外については算定過程の添付は省略）。
なお、一般的に、測水所を持たない新規計画地点の計画策定のためには、得られる回帰関数の適用可能範囲はできる限り広いことが望ましいから、包括する測水所数も地理的に矛盾しない限りできるだけ多い方がよい。
なお、札57安足間測水所と札58奥忠別測水所の間に札58A湧駒別測水所が存在するが、この測水所は上記中央山地13測水所群には含めなかった。その理由は湧駒別流域は流域変更がなされているが、その内容が"流量要覧"では必ずしも明瞭でないためである。
なお、"流量要覧"とは、流量要覧（北海道通商産業局管内）通商産業省エネルギー庁編；指定番号札58A-1〜2石狩川水系ピウケナイ川 湧駒別第1〜2測水所、昭61年〜平成7年、をいう。
中央山地測水所群の流域諸元の測定値を次表3に示す。
本項においてはCAの1〜11次式を1変量とする場合の中央山地13測水所群の流量回帰を行う。以下各表においてQmeanは年平均流量実測値、Qmeanestはその回帰値を示す。
(a) 1次式CA回帰関数と回帰誤差率
この結果は最大誤差率maxε=58.4%は誤差率許容基準を満たしていない。よって1次変数CAによる流量回帰関数は検証誤差率を算定するまでもなく不合格となった。
続いて同様に次数2〜11の場合について回帰関数を算定した。算定結果の総括を後出の表７に示す。以下これらの算定結果の記載は省略し、代表例として次数6次の場合の検証誤差率の算定を含む算定内容を示す。
(b) 6次式CA回帰関数と回帰誤差率
この結果は標準誤差率、最大誤差率とも許容基準3級を満たしている。よってこの回帰関数は3級候補となる。よってこの関数については検証誤差率を算定する必要がある。以下これを行う。
(c) 6次式CA回帰関数の検証誤差率の算定
注）上表中、×印は除外地点（即ち検証地点）を示す。
(a)の箇所は△ε＝εout-εinの値のうち縮小地点群の△εの最大値を示す。
(b)の箇所は△εの最大値に対するεout値、即ち検証誤差率maxεout（▲印）を示す。
(考察)
(a)の箇所は△ε＝εout-εinの値のうち縮小地点群の△εの最大値を示す。
(b)の箇所は△εの最大値に対するεout値、即ち検証誤差率maxεout（▲印）を示す。
(考察)
上記算定結果、13測水所群の標準誤差率sterr=17.5%は基準3級(20%)を満たし、最大誤差率maxε=33.6%も基準3級(40%)を満たしているが、検証誤差率maxεout=199%は許容基準3級(40%)を満たしていない。よって中央山地13測水所群流量回帰関数としてのCAの6次式を1変量Aとする回帰関数は採用不可である。
(d) 1変量CA回帰関数算定結果の総括
(考察)
この表からCAの次数の上昇に伴い、標準誤差率は4次の場合を除き低下し、また最大誤差率は4次,5次の場合を除き低下し、CAが取り得る最大次数11において、前者は2.5%および後者も6.9%となっている。これに対して検証誤差率はCAの次数が1から3まではいったん減少し最小値30.7%となるが、その後は増加一方で次数11において2.7×107なる異常値となっている。この結果からCAの次数3次付近に検証誤差率を最小にする次数があることが予見できる。
しかしながらこの場合、最適次数を確定する必要はない。なんとなれば3〜5のすべての次数において最大誤差率は許容基準40%を越えており、最適次数を選定してもその結果求められる回帰関数が採用可能な回帰関数とはなり得ないからである。
結論として中央山地13測水所群の1変量CAの回帰関数は変量CAが取り得るすべての次数（1次〜11次）において誤差率許容基準に合格しない。
結論として中央山地13測水所群の1変量CAの回帰関数は変量CAが取り得るすべての次数（1次〜11次）において誤差率許容基準に合格しない。
＜2変量A（Aeq,Heq）回帰関数による場合＞
本項においてはAeq,Heqの1〜3次式を2変量Aとする場合の中央山地13測水所群の流量回帰を行う。
本項においてはAeq,Heqの1〜3次式を2変量Aとする場合の中央山地13測水所群の流量回帰を行う。
(a) 回帰関数の算定（1次,2次,3次変数）
変量数はk=2であるので利用可能なデータ数m=13に対して変数の最大次数はn=3となる（表2）。次数1,2,3次の場合についての回帰関数の算定結果は下記各表のとおりである。
この結果は誤差率許容基準3級を満たしていない。よって上表の回帰関数は第1次選定回帰関数とはならない。
この結果は誤差率許容基準3級を満たしている。よって上表の回帰関数は第1次選定回帰関数となる。
この結果は誤差率許容基準3級を満たしている。よって上表の回帰関数は第1次選定回帰関数となる。
変量数はk=2であるので利用可能なデータ数m=13に対して変数の最大次数はn=3となる（表2）。次数1,2,3次の場合についての回帰関数の算定結果は下記各表のとおりである。
(b) 検証誤差率の算定(2変量Aの1次,2次,3次変数)
注）上表中、×印は除外地点（即ち検証地点）を示す。
(a)の箇所は△ε＝εout-εinの値のうち縮小地点群の△εの最大値を示す。
(b)の箇所は△εの最大値に対するεout値、即ち検証誤差率maxεout（▲印）を示す。
(考察)
(a)の箇所は△ε＝εout-εinの値のうち縮小地点群の△εの最大値を示す。
(b)の箇所は△εの最大値に対するεout値、即ち検証誤差率maxεout（▲印）を示す。
(考察)
上記算定結果、13測水所群の標準誤差率sterr=18.3%は基準2級(15%)を満たさず、最大誤差率maxε=51.8%も基準3級(40%)を満たさず、さらに検証誤差率maxεout=59.4%も許容基準3級(40%)を満たしていない。よって中央山地13測水所群流量回帰関数としてのAeq,Heqの1次式を2変量Aとする回帰関数は採用不可である。
注）上表中、×印は除外地点（即ち検証地点）を示す。
(a)の箇所は△ε＝εout-εinの値のうち縮小地点群の△εの最大値を示す。
(b)の箇所は△εの最大値に対するεout値、即ち検証誤差率maxεout（▲印）を示す。
(考察)
(a)の箇所は△ε＝εout-εinの値のうち縮小地点群の△εの最大値を示す。
(b)の箇所は△εの最大値に対するεout値、即ち検証誤差率maxεout（▲印）を示す。
(考察)
上記算定結果、13測水所群の標準誤差率sterr=16.6%は基準3級(20%)を満たし、最大誤差率maxε=33.7%も基準3級(40%)を満たし、さらに検証誤差率maxεout=36.2%も許容基準3級(40%)を満たしている。よって中央山地13測水所群流量回帰関数としてのAeq,Heqの2次式を2変量Aとする回帰関数は誤差率許容基準3級を満たす関数として採用可である。
注）上表中、×印は除外地点（即ち検証地点）を示す。
(a)の箇所は△ε＝εout-εinの値のうち縮小地点群の△εの最大値を示す。
(b)の箇所は△εの最大値に対するεout値、即ち検証誤差率maxεout（▲印）を示す。
(考察)
(a)の箇所は△ε＝εout-εinの値のうち縮小地点群の△εの最大値を示す。
(b)の箇所は△εの最大値に対するεout値、即ち検証誤差率maxεout（▲印）を示す。
(考察)
上記算定結果、13測水所群の標準誤差率sterr=13.4%は基準2級(15%)を満たし、最大誤差率maxε=35.3%も基準3級(40%)を満たしているが、検証誤差率maxεout=57.5%は許容基準3級(40%)を満たしていない。よって中央山地13測水所群流量回帰関数としてのAeq,Heqの3次式を2変量Aとする回帰関数は採用不可である。
(c) 2変量A回帰関数算定結果の総括
(考察)
結論として中央山地13測水所群の2変量A(Aeq,Heq)の回帰関数は、変量の次数が1次及び3次の場合は不合格で、2次の場合のみ誤差率許容基準3級に合格となる。
＜3変量A（Aeq,Heq,Kv）回帰関数による場合＞
本項においてはAeq,Heq,Kvの1,2次式を3変量Aとする場合の中央山地13測水所群の流量回帰を行う。
本項においてはAeq,Heq,Kvの1,2次式を3変量Aとする場合の中央山地13測水所群の流量回帰を行う。
(a) 回帰関数の算定（1次,2次変数）
変量数はk=3であるので利用可能なデータ数m=13に対して変数の最大次数はn=2となる（表2）。次数1,2次の場合についての回帰関数の算定結果は下記各表のとおりである。
この結果は誤差率許容基準2級を満たしている。よって上表の回帰関数は第1次選定回帰関数となる。
この結果は誤差率許容基準2級を満たしている。よって上表の回帰関数は第1次選定回帰関数となる。
変量数はk=3であるので利用可能なデータ数m=13に対して変数の最大次数はn=2となる（表2）。次数1,2次の場合についての回帰関数の算定結果は下記各表のとおりである。
(b) 検証誤差率の算定(3変量Aの1次,2次変数)
注）上表中、×印は除外地点（即ち検証地点）を示す。
(a)の箇所は△ε＝εout-εinの値のうち縮小地点群の△εの最大値を示す。
(b)の箇所は△εの最大値に対するεout値、即ち検証誤差率maxεout（▲印）を示す。
(考察)
(a)の箇所は△ε＝εout-εinの値のうち縮小地点群の△εの最大値を示す。
(b)の箇所は△εの最大値に対するεout値、即ち検証誤差率maxεout（▲印）を示す。
(考察)
上記算定結果、13測水所群の標準誤差率sterr=10.5%は基準2級(15%)を満たし、最大誤差率maxε=18.8%も基準2級(30%)を満たし、さらに検証誤差率maxεout=24.0%も許容基準2級(30%)を満たしている。よって中央山地13測水所群流量回帰関数としてのAeq,Heq,Kvの1次式を3変量Aとする回帰関数は採用可である。
注）上表中、×印は除外地点（即ち検証地点）を示す。
(a)の箇所は△ε＝εout-εinの値のうち縮小地点群の△εの最大値を示す。
(b)の箇所は△εの最大値に対するεout値、即ち検証誤差率maxεout（▲印）を示す。
(考察)
(a)の箇所は△ε＝εout-εinの値のうち縮小地点群の△εの最大値を示す。
(b)の箇所は△εの最大値に対するεout値、即ち検証誤差率maxεout（▲印）を示す。
(考察)
上記算定結果、13測水所群の標準誤差率sterr=6.4%は基準1級(10%)を満たし、最大誤差率maxε=10.9%も基準1級(20%)を満たしているが、検証誤差率maxεout=27.8%は
許容基準2級(30%)を満たすに止まっている。よって中央山地13測水所群流量回帰関数としてのAeq,Heq,Kvの2次式を3変量Aとする回帰関数は許容基準2級(30%)を満たす関数として採用可である。
許容基準2級(30%)を満たすに止まっている。よって中央山地13測水所群流量回帰関数としてのAeq,Heq,Kvの2次式を3変量Aとする回帰関数は許容基準2級(30%)を満たす関数として採用可である。
(c) 3変量A回帰関数算定結果の総括
(考察)
結論として中央山地13測水所群の3変量A(Aeq,Heq,Kv)の回帰関数は、変量の次数が1次及び2次の場合とも2級に合格している。このうち標準誤差値の小なる2次の回帰関数が最適となる。
＜4変量A（Aeq,Heq,Lon,Lat）回帰関数による場合＞
本項においてはAeq,Heq,Lon,Latの1次式を4変量Aとする場合の中央山地13測水所群の流量回帰を行う。
本項においてはAeq,Heq,Lon,Latの1次式を4変量Aとする場合の中央山地13測水所群の流量回帰を行う。
(a) 回帰関数の算定（1次変数）
変量数はk=4であるので利用可能なデータ数m=13に対して変数の最大次数はn=1となる（表2）。次数1次の場合についての回帰関数の算定結果は下表のとおりである。
この結果は誤差率許容基準2級を満たしていない。よって上表の回帰関数は第1次選定回帰関数とはならない。
変量数はk=4であるので利用可能なデータ数m=13に対して変数の最大次数はn=1となる（表2）。次数1次の場合についての回帰関数の算定結果は下表のとおりである。
(b) 検証誤差率の算定(4変量Aの1次変数)
注）上表中、×印は除外地点（即ち検証地点）を示す。
(a)の箇所は△ε＝εout-εinの値のうち縮小地点群の△εの最大値を示す。
(b)の箇所は△εの最大値に対するεout値、即ち検証誤差率maxεout（▲印）を示す。
(考察)
(a)の箇所は△ε＝εout-εinの値のうち縮小地点群の△εの最大値を示す。
(b)の箇所は△εの最大値に対するεout値、即ち検証誤差率maxεout（▲印）を示す。
(考察)
上記算定結果、13測水所群の標準誤差率sterr=17.1%は基準2級(15%)を満たさず、最大誤差率maxε=50.5%も基準2級(30%)を満たしていない。しかしながら検証誤差率maxεout=22.3%は許容基準2級(30%)を満たしている。総合して中央山地13測水所群流量回帰関数としてのAeq,Heq,Lon,Latの1次式を4変量Aとする回帰関数は採用不可である。
(c) 4変量A回帰関数算定結果の総括
(考察)
結論として中央山地13測水所群の4変量A(Aeq,Heq,Lon,Lat)の回帰関数は、変量の次数が1次の場合のみ算定可能（2次の場合はデータ数が16以上必要）で算定結果は誤差率許容基準3級に合格しない。
＜5変量A（Aeq,Heq,Lon,Lat,Kv）回帰関数による場合＞
本項においてはAeq,Heq,Lon,Lat,Kvの1次式を5変量Aとする場合の中央山地13測水所群の流量回帰を行う。
本項においてはAeq,Heq,Lon,Lat,Kvの1次式を5変量Aとする場合の中央山地13測水所群の流量回帰を行う。
(a) 回帰関数の算定（1次変数）
変量数はk=5であるので利用可能なデータ数m=13に対して変数の最大次数はn=1となる（表2）。次数1次の場合についての回帰関数の算定結果は下表のとおりである。
この結果は誤差率許容基準3級を満たしている。よって上表の回帰関数は第1次選定回帰関数となる。
変量数はk=5であるので利用可能なデータ数m=13に対して変数の最大次数はn=1となる（表2）。次数1次の場合についての回帰関数の算定結果は下表のとおりである。
(b) 検証誤差率の算定(5変量Aの1次変数)
注）上表中、×印は除外地点（即ち検証地点）を示す。
(a)の箇所は△ε＝εout-εinの値のうち縮小地点群の△εの最大値を示す。
(b)の箇所は△εの最大値に対するεout値、即ち検証誤差率maxεout（▲印）を示す。
(考察)
(a)の箇所は△ε＝εout-εinの値のうち縮小地点群の△εの最大値を示す。
(b)の箇所は△εの最大値に対するεout値、即ち検証誤差率maxεout（▲印）を示す。
(考察)
上記算定結果、13測水所群の標準誤差率sterr=14.7%は基準2級(15%)を満たしているが、最大誤差率maxε=37.8%は基準3級(40%)を満たすに止まっている。しかしながら検証誤差率maxεout=23.2%は許容基準2級(30%)を満たしている。総合して中央山地13測水所群流量回帰関数としてのAeq,Heq,Lon,Lat,Kvの1次式を5変量Aとする回帰関数は基準3級を満たす関数として採用可である。
(c) 5変量A回帰関数算定結果の総括
(考察)
結論として中央山地13測水所群の5変量A(Aeq,Heq,Lon,Lat,Kv)の回帰関数は、変量の次数が1次の場合のみ算定可能（2次の場合はデータ数が22以上必要）で算定結果は誤差率許容基準3級に合格している。
中央山地13測水所群流量回帰総括及び考察
本実施の形態によれば、回帰誤差は、回帰関数の構成要因である変量の組合せと変量の次数の変化に応じて変化する。よって与えられたデータを回帰する最適回帰関数は、変量の最適組合せと変量の最適次数の2条件を同時に満足する関数でなければならない。このような関数を求めるために、前記中央山地13測水所群の算定値を上表に総括した。
総括表より見られる事項は、変量数が1変量から5変量まで変化する間に3級以上に合格する回帰関数は4ケース存在することであり、このうち最小の標準誤差率6.4%をもつケースは3変量Aの2次式となっている。この結果から最適変量の組合せは検討対象とした1から5変量間の上端点または下端点ではなくその中間のある点（3変量A点）であることがわかる。
次に見られる事項は次数が1次から11次まで変化する間に2級以上に合格する回帰関数は1次と2次のみに存在することであり、このうち最小の標準誤差率6.4%をもつケースは2次の3変量Aとなっている。この結果から最適次数は検討対象とした1次から11次間の上端点または下端点ではなく下端に近い点（2次）であることがわかる。また次数がある程度以上上昇すると不合格数が増加するという現象の発生源は検証誤差率にある。すなわち次数が3以上の場合においても標準誤差および最大誤差率のみを取上げれば１級候補となるケースがあるのに対し（CAの11次式の計算値参照）、それらの検証誤差率はすべて不合格となっている。これは、検証誤差率を考慮しない場合は合格関数として採用されたであろう回帰関数の採用を検証誤差率が警告していること、すなわち検証誤差率はデータ点以外の新規計画地点の流量推定にこの回帰関数の適用は危険であることを警告していることを意味する。これは本発明において提唱する検証誤差率採用の効果である。
以上を総合して中央山地13測水所群年平均流量の最適回帰関数は上表の2個の2級合格関数のうち、標準誤差が最小なる3変量Aeq,Heq,Kvの各2次式を組合わせた回帰関数となる（上表の(a)の行）。
以上を総合して中央山地13測水所群年平均流量の最適回帰関数は上表の2個の2級合格関数のうち、標準誤差が最小なる3変量Aeq,Heq,Kvの各2次式を組合わせた回帰関数となる（上表の(a)の行）。
さて上記によって求めた回帰関数は、データとして与えられている各変数の上限値から下限値までの範囲内の値を流域諸元として持つ新規計画地点の流量推定のみに適用することができる（何となれば回帰関数は外挿に適しない）。
しかして下表にみるとおり、この回帰関数のAeqの適用可能範囲は59.7175<Aeq<337.2286であるのに対し、本中央山地13測水所群流域範囲内に位置する美瑛川計画地点のAeq=36.0877はこの範囲を外れているので、この計画地点の流量推定に上記で求めた回帰関数を適用することはできない。よって美瑛川計画地点の流量推定のためには少なくともAeqの下限値が36.0以下なる範囲をもつ測水所群を選び（このためには13測水所群を拡大する必要がある）新しく回帰関数を算定する必要があった。
この新回帰関数の検討は別途実行したが、その結果によれば複合測水所群として中央山地と西方山地を併せた中央西方山地22測水所群について算定したAeq,Heqを含む13変量A回帰関数の適用が必要であった（算定過程の添付省略）。
しかして下表にみるとおり、この回帰関数のAeqの適用可能範囲は59.7175<Aeq<337.2286であるのに対し、本中央山地13測水所群流域範囲内に位置する美瑛川計画地点のAeq=36.0877はこの範囲を外れているので、この計画地点の流量推定に上記で求めた回帰関数を適用することはできない。よって美瑛川計画地点の流量推定のためには少なくともAeqの下限値が36.0以下なる範囲をもつ測水所群を選び（このためには13測水所群を拡大する必要がある）新しく回帰関数を算定する必要があった。
このように回帰関数の適用可能範囲を広げるためには対象測水所群範囲の拡大が必要となった。その場合上記22点のデータを用い、算定例と同様にしてAeq,Heqを含む13変量Aなる最適変量の組合せおよび最適次数1次を求めた。
得られた回帰関数を適用して推定した計画地点の流量は4.762m3/sとなった。この値は従来手法である流域比による推定値2.70 m3/sの1.76倍であり、本発明による山地流量回帰のための流域新指標採用の効果を示している。
本発明において提唱する新指標Aeq,Heqを変量に含む流量回帰関数の算定には基礎データとして流域の地理、地形、地質諸元及び既設測水所の流量測定資料が必要となる。この内、流域の地理的位置、地形諸元は、国土地理院発行の20万分、5万分、2万5千分地形図等により、又地質諸元は工業技術院地質調査所発行の20万分、5万分地質図において読取ることができる。これらの地形図、地質図は一般に購入可能である。
流量資料は、通商産業省、資源エネルギー庁編の流量要覧に記載されている。この流量要覧は電気事業法第101条に基く通商産業省直轄測水所と、同法第102条に基く指定測水所について、その調査記録を収録したものである。
流量資料は、通商産業省、資源エネルギー庁編の流量要覧に記載されている。この流量要覧は電気事業法第101条に基く通商産業省直轄測水所と、同法第102条に基く指定測水所について、その調査記録を収録したものである。
流量要覧は一般販売はされていないが、公表されており、国会図書館等において自由に閲覧可能である（国会図書館の分類番号517.3Tu7835等）。
さらに本発明において多用したパソコンソフトmathcadは広く欧米諸国において活用され、日本においても一般に購入可能な市販ソフトである。
よって本発明による流量回帰関数の算定は、特定のデータまたはソフト所有者に限られることなく一般に実行可能である。
従って本発明において提唱する多変量回帰関数による山地河川流量推定法は普遍性、一般性をもち、地形、地理、地質及び水理、水文、統計数理に亙る通常の知識をもつ技術者による執務形態が発明を実施するための最良の形態となる。
１ 流量演算支援システム
１０ 演算処理部
１１ 入出力処理手段
１２ 基礎データ入力手段
１３ 回帰関数演算支援手段
１４ 対象データ入力手段
１５ 推定流量演算手段
１６ 検証誤差率演算手段
２０ 記憶部
２１ 基礎データ
２２ 回帰関数データ
２３ 演算対象地点データ
３０ 入力部
４０ 出力部
１０ 演算処理部
１１ 入出力処理手段
１２ 基礎データ入力手段
１３ 回帰関数演算支援手段
１４ 対象データ入力手段
１５ 推定流量演算手段
１６ 検証誤差率演算手段
２０ 記憶部
２１ 基礎データ
２２ 回帰関数データ
２３ 演算対象地点データ
３０ 入力部
４０ 出力部
Claims (3)
- コンピューターシステムを用いて、山地河川流域の年平均流量を推定するための回帰関数を演算する方法であって、
測水所流域の標高帯(j)ごとの山地の斜面面積である標高帯別面積データ(a j )と標高帯(j)ごとの平均標高データである標高帯別標高データ(Hc j ) とを前記コンピューターシステムの記憶部に保存し、
前記記憶部に保存されている標高帯別面積データ(a j )と標高帯別標高データ(Hc j )とを標高帯(j)ごとに乗算し、この乗算した値を全標高帯(j=1〜n)について加算することによって流域特性値(CAP)を算出し、
一方、標高帯(j)の標高帯別面積データ(a j )を用いて、次の式により最低標高点から標高Hcj 面までの実地表面面積（ac j ）を求め、
当該Zc ｊ が前記流域特性値(CAP)と略一致する点のac ｊ 、Hc ｊ の値を求め、それぞれ流域立体地形相関面積(Aeq)、流域立体地形相関標高(Heq)とし、
次に、各測水所流域における年平均流量の測定値Qmean、対応する測水所流域の前記流域立体地形相関面積(Aeq)、前記流域立体地形相関標高(Heq)の各データ、および、技術計算ソフトウェアであるmathcad（登録商標）のregress関数を用いて、少なくとも流域立体地形相関面積(Aeq)と流域立体地形相関標高(Heq)とを変数中に含む山地河川流域の年平均流量の回帰関数を算出することを特徴とする山地河川流域の流量推定用回帰関数の演算方法。 - 所定の地域内の測水所数mケ所より成る測水所群における年平均流量測定値をデータとして請求項１に記載の方法により回帰関数を算出した後、前記測水所群中の任意の一の測水所である測水所i0（i0=1,2,,,m）を検証地点として抽出する一方、当該算出した回帰関数を適用して前記測水所群の各測水所の年平均流量の推定値を演算し、当該推定値とその測水所における年平均流量の測定値との間に生ずる推定誤差の推定誤差率をεinとおき、つぎに前記mケ所より成る測水所群中より前記測水所i0を除去した残りm-1ケ所より成る測水所群を新たなデータ測水所群として、請求項１に記載の方法により新たに回帰関数を算出し、当該算出した回帰関数を適用して前記測水所i0の年平均流量の推定値と該測水所i0の年平均流量の測定値との推定誤差率εoutを算出し、両推定誤差率εinとεoutとの差をΔεとして、前記測水所i0をi0=1,2,,,mについて順繰りに1測水所づつ検証地点として抽出することによって、全測水所群中の測水所数mだけ差Δεを算出し、これらm個の差Δεの内、絶対値の最大値を与える検証地点の推定誤差率εoutを以て検証誤差率maxεoutと定め、該検証誤差率maxεoutの値が許容基準を満たす回帰関数のみを合格関数として出力することを特徴とする山地河川流域の流量推定用回帰関数の選定方法。
- コンピューターシステムを用いて山地河川流域の年平均流量の推定値を演算する方法であって、
流量測定が行われていない地点の流域の標高帯(j)ごとの山地の斜面面積である標高帯別面積データ(a j )と標高帯(j)ごとの平均標高データである標高帯別標高データ(Hc j ) とを前記コンピューターシステムの記憶部に保存し、
前記記憶部に保存されている標高帯別面積データ(a j )と標高帯別標高データ(Hc j )とを標高帯(j)ごとに乗算し、この乗算した値を全標高帯(j=1〜n)について加算することによって流域特性値(CAP)を算出し、
一方、標高帯(j)の標高帯別面積データ(a j )を用いて、次の式により最低標高点から標高Hcj 面までの実地表面面積（ac j ）を求め、
当該Zc ｊ が前記流域特性値(CAP)と略一致する点のac ｊ 、Hc ｊ の値を求めて、それぞれ流域立体地形相関面積(Aeq)、流域立体地形相関標高(Heq)とし、
当該流域立体地形相関面積(Aeq)と、当該流域立体地形相関標高(Heq)の各データに、請求項１に記載の方法により算出した回帰関数または請求項２に記載の方法により出力した合格関数を適用して、流量測定が行われていない地点の流域の年平均流量の推定値を演算することを特徴とする山地河川流域の年平均流量推定方法。
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