JP2728115B2 - スプライン曲線、曲面の生成方法及び装置 - Google Patents

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】本発明は、ＣＧ（computer graph
ic）／ＣＡＤ（computer aided design ）に関し、特に
ＣＧモデル作成に用いるスプライン曲線、曲面の生成方
法及び装置に関する。

【０００２】

【従来の技術】ＣＧモデルの曲線表現において、物体形
状の特徴を表すデータ点列を、重み関数（Ｂスプライン
関数）を用いて区分的多項式で近似したＢスプライン曲
線がしばしば用いられる。曲面表現の場合も、Ｂスプラ
イン曲面で各頂点に与えたＢスプライン関数を用い、複
数個の区間を簡単な多項式で近似したＢスプライン曲面
が用いられる。

【０００３】このようなＢスプライン曲線又は曲面は、
図７に示すように、特徴検出部７１で検出した物体形状
の特徴を表すデータ点列の個々のデータ点に対し、パラ
メータ割当部７０２で曲線又は曲面の基本パラメータを
割り当て、各曲線又は曲面周縁と対応するデータ点との
距離が最小となるような制御点を制御点演算処理部７０
２において導出して、この基準点に基づいて生成してい
るのが通常である。生成されたＢスプライン曲線又は曲
面は、ＣＡＤシステム７２に導かれ、ここで所定の図形
処理がなされる。

【０００４】この種の従来技術として、例えば１９９３
年５月、情報処理学会技術報告第４３号ｐ２３〜３０に
記載された技術が知られている。この論文に記載された
技術は、与えられたデータ点列を数回にわたって近似す
る処理に関するものであるが、便宜上その１回分につい
てのみ説明する。

【０００５】論文によれば、Ｂスプライン関数Ｂm(t)
は、式(1) で定義される。

【０００６】

【数１】 このＢスプライン関数Ｂm(t)は、区分的に（ｍ−１）次
の多項式で表現される。ｍ＝４の場合の例を式(2) で示
す。

【０００７】

【数２】 以下の説明は、一般の整数値ｍにおいて成り立つもので
あるが、便宜上ｍ＝４として説明を進める。

【０００８】Ｂスプライン曲線Ｃ(t) は式(3) のように
定義される。

【０００９】

【数３】 パラメータｔの値の範囲は［０，１］である。各Ｐ_i は
前述の割当点とデータ点との距離が最小となるように定
められる制御点（control point ）であり、その実体は
２次元又は３次元のベクトルである。以下では、説明の
便宜上、制御点Ｐ_j は２次元のベクトルであるものとす
る。

【００１０】閉曲線の場合は、Ｐ-3＝Ｐ_n-3 , Ｐ-2＝Ｐ
_n-2 , Ｐ-1＝Ｐ_n-1 となるので、Ｂスプライン曲線Ｃ
(t) は式(4) にて表すことができる。

【００１１】

【数４】 Ｎはデータ点数、｛Ｑ_i ｝はデータ点列を表すものと
し、各データ点列Ｑ_i は、制御点Ｐ_i と同じ次元のベク
トルであるものとする。また、各データ点列Ｑ_iに対す
る曲線上のパラメータはｔ_j であり、曲線のパラメータ
の範囲に入るように、０≦ｔ_j ≦１（０≦ｊ＜Ｎ）であ
るものとする。

【００１２】このとき、式(5) を最小にする制御点の集
合｛Ｐ_i ｝を求める。但し、式(5)中の縦２本線はベク
トルの長さを表す。

【００１３】

【数５】 各データ点列｛Ｑ_i ｝を近似するＢスプライン曲線Ｃ
(t) の制御点数は（ｎ＋３）であり、Ｂスプライン曲線
Ｃ(t) が閉曲線のときは、制御点のうち３個が重複して
いるので実際の制御点数はｎとなる。制御点数はデータ
点数より少なくなる必要があるので、開曲線のときは
（ｎ＋３）＜Ｎ、閉曲線のときはｎ＜Ｎとなる。式(5)
は、Ｂスプライン曲線Ｃ(t) が開曲線のときは式(6) で
表され、閉曲線のときは式(7) で表される。

【００１４】

【数６】 制御点｛Ｐ_i ｝とデータ点列｛Ｑ_i ｝を同一の座標系に
関する成分で表したものがそれぞれ式(8) 及び式(9) で
あるものとする。

【００１５】

【数７】 この式(8) 及び式(9) を用いると、式(6) は式(10)で表
現され、式(7) は式(11)で表現される。

【００１６】

【数８】 制御点｛Ｐ_ik｝が式(10)を最小にするための必要十分条
件は、各ｋに対して式(12)を最小にすることであり、式
(11)を最小にするための必要十分条件は、各ｋに対して
式(13)を最小にすることである。また、式(12)(13)は、
共に式(14)の形で表現することができる。

【００１７】

【数９】 ここでｘ_k は制御点の第ｋ成分ｐ_ikを並べたベクトルで
ある。このベクトルｘ_k の第ｊ成分をｘ_kjと表現する。

【００１８】このベクトルｘ_k はＢスプライン曲線Ｃ
(t) が開曲線のときは（ｎ＋３）次元のベクトルであ
り、ｘ_kj＝ｐ_(j-4)k，１≦ｊ≦（ｎ＋３）である。一
方、閉曲線のときはｎ次元のベクトルであり、ｘ_kj＝ｐ
_(j-1)k，１≦ｊ≦（ｎ）である。ｃ_k はデータ点列の第
ｋ成分ｑ_jkを並べたＮ次元のベクトルで、その第ｉ成分
ｃ_kiは、ｃ_ki＝ｑ_(i-1)k，１≦ｉ≦Ｎである。

【００１９】Ａ（＝ａ_ij）は、Ｂスプライン関数値を要
素とする行列で、Ｂスプライン曲線Ｃ(t) が開曲線のと
き、添字ｉ，ｊの範囲は、１≦ｊ≦Ｎ、１≦ｊ≦（ｎ＋
３）であり、ａ_ijは式(15)で表される。一方、閉曲線の
とき、添字ｉ，ｊの範囲は、１≦ｊ≦Ｎ、１≦ｊ≦ｎ
で、ａ_ijは式(16)で表される。

【００２０】

【数１０】 式(14)の最小値を与えるｘ_k は、式(14)をベクトルｘ_k
の各成分で偏微分した式を０とおいて得られる式(17)で
求めることができる。なお、Ａ^T は行列Ａの転置行列を
表す。

【００２１】

【数１１】 以上のようにして、データ点列を近似するＢスプライン
曲線が求められる。

【００２２】次に、データ点列をＢスプライン曲面で近
似する方法を説明する。

【００２３】Ｂスプライン曲面Ｓ（ｕ, ｖ）は、一般に
式(18)のように定義される。

【００２４】

【数１２】 式(18)において、パラメータｕ，ｖの範囲は［０，１］
である。Ｐ_ijは制御点であり、その実体は３次元のベク
トルである。曲面が閉じている場合は、閉じている方向
に関してはＢスプライン曲線の場合と同様、３個ずつの
重複がある。このとき、ｕ方向に閉じている場合は、Ｐ
_(-3)j ＝Ｐ_(m-3)j，Ｐ_(-2)j ＝Ｐ_(m-2)j，Ｐ_(-1)j ＝Ｐ
_(m-1)jであり、ｖ方向に閉じている場合は、Ｐ_i(-3) ＝
Ｐ_i(n-3)，Ｐ_i(-2) ＝Ｐ_i(n-2)，Ｐ_i(-1) ＝Ｐ_i(n-1)で
ある。

【００２５】従って、Ｂスプライン曲面Ｓ（ｕ, ｖ）
は、式(18)からｕ方向にのみ閉じている場合は式(19)
で、ｖ方向にのみ閉じている場合は式(20)で、ｕ，ｖ両
方向に閉じている場合は式(21)で表すことができる。

【００２６】

【数１３】 データ点数はＭ×Ｎ、データ点列は｛Ｑ_kl｝で表す。ま
た、各データ点列Ｑ_klに対する曲面上のパラメータは
｛ｕ_kl，ｖ_kl｝であり、添字の範囲は、０≦ｋ＜Ｍ、０
≦ｌ＜Ｎである。このとき、式(22)を最小にする制御点
｛Ｐ_ij｝を求める。

【００２７】

【数１４】 式(22)において、縦２本線の組は、挟まれているベクト
ルの長さを示す。

【００２８】データ点列｛Ｑ_kl｝を近似するＢスプライ
ン曲面Ｓ（ｕ, ｖ）の制御点数は、ｕ方向に（ｍ＋
３）、ｖ方向に（ｎ＋３）である。Ｓ（ｕ，ｖ）がｕ方
向に閉じているときは、ｕ方向に関しては両端の３個が
重複しているので、制御点数はｍとなる。同様に、ｖ方
向に閉じているときは、ｖ方向に関しては制御点数はｎ
となる。制御点数は、データ点数より小さくなる必要が
あるので、Ｓ（ｕ, ｖ）がｕ方向に開いているときは
（ｍ＋３）＜Ｍ、閉じているときはｍ＜Ｍ、ｖ方向に開
いているときは（ｎ＋３）＜Ｎ、閉じているときはｎ＜
Ｎであるものとする。

【００２９】式(22)は、Ｂスプライン曲面Ｓ（ｕ, ｖ）
が開いているときは、下記式(23)で表される。また、Ｂ
スプライン曲面Ｓ（ｕ, ｖ）がｕ方向に閉じているとき
は、下記式(24)で表され、ｖ方向に閉じているときは、
下記式(25)で表され、ｕｖ両方向に閉じているときは、
下記式(26)で表される。

【００３０】

【数１５】 制御点｛Ｐ_ij｝とデータ点列｛Ｑ_kl｝を同一の座標系に
関する成分で表したものがそれぞれ式(27)と式(28)であ
るものとする。

【００３１】

【数１６】 このとき、式(27)と式(28)を用いて表現すると、前記式
(23)は下記式(29)のようになり、前記式(24)は下記式(3
0)のようになり、前記式(25)は下記式(31)のようにな
り、前記式(26)は下記式(32)のようになる。

【００３２】

【数１７】 上記各式において制御点｛ｐ_klh ｝が式(29)を最小にす
るための必要十分条件は、各ｈに対して式（33) を最小
にすることであり、式(30)を最小にするための必要十分
条件は、各ｈに対して式（34) を最小にすることであ
り、式(31)を最小にするための必要十分条件は、各ｈに
対して式（35) を最小にすることであり、式(32)を最小
にするための必要十分条件は、各ｈに対して式（36) を
最小にすることである。

【００３３】

【数１８】 式(33)(34)(35)(36)は、共に、下記式(37)の形で表現で
きる。

【００３４】

【数１９】 ここで、ｘ_h は、制御点の第ｈ成分を並べた縦ベクトル
｛ｐijh ｝を表し、ｃ_h はデータ点列の第ｈ成分を並べ
た縦ベクトル｛ｑ_klh ｝を表す。Ｂスプライン曲面Ｓ
（ｕ，ｖ）がパラメータｕ，ｖのどちらに対しても閉じ
ていないときは、ベクトルｘ_h は、（ｍ＋３）×（ｎ＋
３）次元のベクトルで、その第ｔ成分ｘ_htは、式(38)で
定まるｉ，ｊに対してｘ_ht＝ｐ_ijh となる。但し、式(3
8)は、ｔを（ｎ＋３）で割った商が（ｉ＋３）で、余り
が（ｊ＋４）であることを示す。以下の同様な表現は、
全てこの意味で用いる。

【００３５】Ｂスプライン曲面Ｓ（ｕ，ｖ）がｕ方向に
のみ閉じているときは、ベクトルｘ_h はｍ×（ｎ＋３）
次元ベクトルとなり、その第ｔ成分ｘ_htは、式(39)で定
まるｉ，ｊに対してｘ_ht＝ｐ_ijh となる。また、ｖ方向
にのみ閉じているときは、ベクトルｘ_h は（ｍ＋３）｝
×ｎ次元のベクトルとなり、その第ｔ成分ｘ_htは、式(4
0)で定まるｉ，ｊに対してｘ_ht＝ｐ_ijh となる。更に、
ｕｖ両方向に閉じているときは、ベクトルｘ_h は、ｍ×
ｎ次元のベクトルとなり、その第ｔ成分ｘ_htは、式(41)
で定まるｉ，ｊに対してｘ_ht＝ｐ_ijh となる。ベクトル
ｃ_h の第ｓ成分ｃ_hsは、式（42) で定まるｋ，ｌに対し
てｃ_hs＝ｑ_klh となる。

【００３６】

【数２０】 式(37)において、Ａ（＝ａ_st）は、Ｂスプライン関数値
の積を要素とする行列である。

【００３７】Ｂスプライン曲面Ｓ（ｕ, ｖ）がパラメー
タｕ，ｖのどちらにも閉じていないとき、添字の範囲
は、１≦ｓ≦Ｍ×Ｎ、１≦ｔ≦（ｍ＋３）×（ｎ＋３）
で、ａ_stは、式(38)と式(42)で定まるｉ，ｊ，ｋ，ｌに
対して式(43)で表される。

【００３８】一方、Ｂスプライン曲面Ｓ（ｕ, ｖ）がｕ
方向に閉じているとき、添字の範囲は、１≦ｓ≦Ｍ×
Ｎ、１≦ｔ≦ｍ×（ｎ＋３）で、ａ_stは、式(39)と式(4
2)で定まるｉ，ｊ，ｋ，ｌに対して式(44)で表される。
また、ｖ方向に閉じているとき、添字の範囲は、１≦ｓ
≦Ｍ×Ｎ、１≦ｔ≦（ｍ＋３）×ｎで、ａ_stは、式(40)
と式(42)で定まるｉ，ｊ，ｋ，ｌに対して式(45)で表さ
れる。更に、ｕｖ両方向に閉じているとき、添字の範囲
は、１≦ｓ≦Ｍ×Ｎ、１≦ｔ≦ｍ×ｎで、ａ_stは、式(4
1)と式(42)で定まるｉ，ｊ，ｋ，ｌに対して式(46)で表
される。

【００３９】

【数２１】 Ｂスプライン曲線の場合と同様に、式(37)の最小値を与
えるベクトルｘ_h は、式(37)をベクトルｘ_h の各成分で
偏微分した式を０とおいて得られる式(47)で求めること
ができる。

【００４０】

【数２２】 ここでも、Ａ^T はＡの転置行列を表している。

【００４１】以上のようにして、データ点列を近似する
Ｂスプライン曲面Ｓ（ｕ, ｖ）が求められる。

【００４２】

【発明が解決しようとする課題】ところで、データ点列
に近似する滑らかなＢスプライン曲線、曲面を生成する
ためには、上記制御点の数を少なくする必要がある。制
御点数が多いとＢスプライン曲線、曲面に個々のデータ
点の変動が反映し、凹凸のある形状になり易いためであ
る。しかしながら、制御点数が少なすぎると、図８に示
すように、制御点８０１とデータ点８０２が近いところ
の曲線／曲面形状は、その曲率が大きくなり、逆に、制
御点８０１から離れたところでは曲率が小さくなるとい
った、形状の偏りが発生する問題が生じる。これはＢス
プライン曲線、曲面が区分的多項式で表現されており、
多項式の部分とその接続部分とでは曲がり方の性質が異
なることに起因する。

【００４３】例えば、上述の式(1) 〜式(17)において、
各データ点｛Ｑ_j ｝に割り当てられているパラメータｔ
_j がｊ／Ｎであるとし、生成されるＢスプライン曲線
が、制御点数が４の閉曲線であるものとすると、生成さ
れるＢスプライン曲線の形状は、図５のようになる。こ
の場合、パラメータｔ_j が０，１／４，１／２，３／４
に対応するデータ点５０１ではＢスプライン曲線５０２
の曲率が大きく、逆にこれらの間のデータ点では曲率が
小さくなって、データ点列に存在しない形状の方向性が
現れる。制御点を増やせば曲率の変動幅が小さくなるた
め、形状の方向性が現れにくくなるが、そうすると、上
述のように、データ点列の誤差が反映され易く、凹凸の
ある形状になって滑らかな曲線形状が得にくくなる。

【００４４】Ｂスプライン曲面の場合も、少数の制御点
で近似させると曲面形状にデータ点列には存在しない形
状の方向性が現れ、Ｂスプライン曲線の場合と全く同様
の問題が生じる。

【００４５】本発明は、かかる問題点を解消し、方向性
の無い滑らかな曲線、曲面を生成する方法及びこの方法
を実現する装置を提供することをその課題とする。

【００４６】

【課題を解決するための手段】図１は、上記課題を解決
する本発明の原理説明図であり、スプライン曲線の生成
方法の例を示す。

【００４７】図１を参照すると、本発明では、まず、物
体形状の特徴を表すデータ点１０２，１０５の列を検出
し、このデータ点列に対する曲線の曲率を調整するため
の複数個の制御点１０１，１０４を導出して、導出した
各制御点１０１，１０４に基づいてデータ点列に近似す
る複数個のＢスプライン曲線１０３，１０６を生成す
る。次に、生成された各Ｂスプライン曲線１０３，１０
６の全体又は対応する部分に含まれる前記制御点１０
１，１０４を平均化し、この平均化された制御点１０７
に基づいて新たなＢスプライン曲線１０９を生成する。

【００４８】スプライン曲面の生成方法も同様の原理に
基づくもので、物体形状の特徴を表すデータ点列を検出
し、検出したデータ点列に対する曲面周縁の曲率を調整
するための複数個の制御点を導出する段階と、導出した
各制御点に基づいてデータ点列に近似する複数個のＢス
プライン曲面を生成する段階と、生成された各Ｂスプラ
イン曲面の全体又は対応する部分に含まれる前記制御点
を平均化する段階と、平均化された制御点に基づいてＢ
スプライン曲面を生成する段階とを有する。

【００４９】また、上記方法を実現する本発明のスプラ
イン曲線生成装置は、物体形状の特徴を表す複数個のデ
ータ点の列と近似する形状のＢスプライン曲線を異なっ
たノットベクトルに基づいて複数個生成するＢスプライ
ン曲線生成手段と、生成された複数個のＢスプライン曲
線の全体又は対応する部分の形状を平均化するＢスプラ
イン曲線平均手段とを有し、平均化された形状のＢスプ
ライン曲線をＣＡＤシステムに出力する構成であること
を特徴とする。

【００５０】また、本発明のスプライン曲面生成装置
は、物体形状の特徴を表す複数個のデータ点の列と近似
する形状のＢスプライン曲面を異なったノットベクトル
に基づいて複数個生成するＢスプライン曲面生成手段
と、生成された複数個のＢスプライン曲面の全体又は対
応する部分の形状を平均化するＢスプライン曲面平均手
段とを有し、平均化された形状のＢスプライン曲面をＣ
ＡＤシステムに出力する構成であることを特徴とする。

【００５１】また、本発明では、上記ノットベクトルに
よらず、曲線あるいは曲面の基本パラメータを変更する
ことで複数個のＢスプライン曲線あるいはＢスプライン
曲面を生成し、更にそれらの平均化をとる装置をも提供
する。

【００５２】即ち、このようなスプライン曲線生成装置
は、物体形状の特徴を表すデータ点列の個々のデータ点
に割り当てるための基本パラメータを決定する基本パラ
メータ決定手段と、決定された前記基本パラメータの開
始位置を定め、その開始位置がゼロ値に近づくように各
基本パラメータの値を変更してこれを各データ点に割り
当てるパラメータ割当手段と、パラメータが割り当てら
れた各々のデータ点と曲線の距離を最小にする複数個の
制御点を導出し、該制御点に基づいて前記データ点列に
近似する形状のＢスプライン曲線を複数個生成する第１
の曲線生成手段と、生成された各Ｂスプライン曲線に含
まれる複数個の制御点を、対応するデータ点同士のパラ
メータが一致するように変更してその平均値に基づくＢ
スプライン曲線を生成する第２の曲線生成手段とを有
し、この第２の曲線生成手段で生成したＢスプライン曲
線をＣＡＤシステムに出力する構成であることを特徴と
する。

【００５３】また、スプライン曲面生成装置は、物体形
状の特徴を表すデータ点列の個々のデータ点に割り当て
るための基本パラメータを決定する基本パラメータ決定
手段と、決定された前記基本パラメータの開始位置を定
め、その開始位置がゼロ値に近づくように各基本パラメ
ータの値を変更してこれを各データ点に割り当てるパラ
メータ割当手段と、パラメータが割り当てられた各々の
データ点と曲線の距離を最小にする複数個の制御点を導
出し、該制御点に基づいて前記データ点列に近似する形
状のＢスプライン曲面を複数個生成する第１の曲面生成
手段と、生成された各Ｂスプライン曲面に含まれる複数
個の制御点を、対応するデータ点同士のパラメータが一
致するように変更してその平均値に基づくＢスプライン
曲面を生成する第２の曲面生成手段とを有し、この第２
の曲面生成手段で生成したＢスプライン曲面をＣＡＤシ
ステムに出力する構成構成であることを特徴とする。

【００５４】

【実施例】次に、図面を参照して本発明の実施例を説明
する。 （第１実施例）図２は本発明の第１実施例に係るＢスプ
ライン曲線生成装置の機能ブロック図である。図２を参
照すると、このＢスプライン曲線生成装置２０は、物体
形状の特徴を表すデータ点列を検出する公知の特徴検出
手段２１と、ＣＡＤシステム２２との間に設けられ、特
徴検出手段２１で検出したデータ点列を近似する形状の
Ｂスプライン曲線を異なったノットベクトルに基づいて
複数個生成するＢスプライン曲線生成部２０１と、この
Ｂスプライン曲線生成部２０１で生成した複数個のＢス
プライン曲線の全体または対応する部分の形状を平均化
してＣＡＤシステム２２に出力するＢスプライン曲線平
均部２０２とを有している。

【００５５】まず、Ｂスプライン曲線生成部２０１にお
ける処理を説明する。

【００５６】Ｂスプライン曲線は区分的多項式で表され
るのは前述のとおりである。この場合、多項式と多項式
の継目をノットと呼び、ノットを値の小さい順に並べた
数列をノットベクトルと呼ぶ。例えば、従来技術で説明
した式(3) で表されるＢスプライン曲線のノットベクト
ルは、〔−３／ｎ，−２／ｎ，−１／ｎ，０，１／ｎ・
・・，１，１＋１／ｎ，１＋２／ｎ，１＋３／ｎ〕であ
る。

【００５７】以下、ｆを任意の整数とするとき、式（4
8）で表されるｆ個のノットベクトルに対してデータ点
列を近似するＢスプライン曲線を生成する例を述べる。

【００５８】

【数２３】 式(48)で表されるノットベクトルに対応するＢスプライ
ン曲線Ｃ⁽ⁱ⁾ (t) は、式(49)(50)で表される。

【００５９】

【数２４】 上記各式において、パラメータｔの値の範囲は０≦ｔ≦
１である。

【００６０】制御点Ｐ_j ⁽ⁱ⁾ は、従来技術の場合と同
様、説明の都合上２次元のベクトルとしておくが、３次
元のベクトルであったとしても処理は全く同様である。
閉曲線の場合、Ｂスプライン曲線Ｃ^(o) (t) はＰ_-3＝Ｐ
_n-3 ，Ｐ_-2＝Ｐ_n-2 ，Ｐ_-1＝Ｐ_n-1 であり、式(49)は
式(51)で表される。

【００６１】

【数２５】 従来技術の場合と同様、データ点数はＮ、データ点列は
｛Ｑ_k ｝で表し、また、各データ点列Ｑ_k に対する曲線
上のパラメータはｔ_k であるものとする。このとき式(5
3)を最小にする制御点｛Ｐ_j ⁽ⁱ⁾ ｝を求める。

【００６２】

【数２６】 但し、式(53)中の縦２本線は、ベクトルの長さを表す。

【００６３】データ点列｛Ｑ_k ｝を近似するＢスプライ
ン曲線Ｃ⁽ⁱ⁾ (t) の制御点数は、ｉ＝０のときは（ｎ＋
３）であり、１≦ｉ＜ｆのときは（ｎ＋４）である。Ｂ
スプライン曲線Ｃ⁽ⁱ⁾ (t) が閉曲線のとき、ｉ＝０なら
ば、制御点のうち３個が重複していて、１≦ｉ＜ｆなら
ば、制御点のうち４個が重複している。従って、実際の
制御点数はｎとなる。制御点数はデータ点数より少なく
なる必要があるので、開曲線のときは、ｉ＝０ならば
（ｎ＋３）＜Ｎ、１≦ｉ＜ｆならば（ｎ＋４）＜Ｎであ
り、閉曲線のときはｎ＜Ｎであるものとする。

【００６４】式(53)は、Ｂスプライン曲線Ｃ^(o) (t) が
開曲線のときは式(54)で表され、閉曲線のときは式(55)
で表される。また、１≦ｉ＜ｆに対しては、Ｂスプライ
ン曲線Ｃ⁽ⁱ⁾ (t) が開曲線のときは式(56)で表され、閉
曲線のときは式(57)で表される。

【００６５】

【数２７】 制御点｛Ｐ_j ⁽ⁱ⁾ ｝とデータ点列｛Ｑ_k ｝を同一座標系
に関する成分で表したものがそれぞれ式(58)と式(59)で
あるものとする。

【００６６】

【数２８】 このとき、式(58)と式(59)を用いて、式(54)は式(60)で
表現され、式(55)は式(61)で表現され、式(56)は式(62)
で表現され、式(57)は式(63)で表現される。

【００６７】

【数２９】 制御点｛Ｐ_jl ⁽ⁱ⁾ ｝が式(60)を最小にするための必要十
分条件は、各ｌに対して式(64)を最小にすることであ
り、式(61)を最小にするための必要十分条件は、各ｌに
対して式(65)を最小にすることであり、式(62)を最小に
するための必要十分条件は、各ｌに対して式(66)を最小
にすることであり、式(63)を最小にするための必要十分
条件は、各ｌに対して式(67)を最小にすることである。
また、式(64)(65)(66)(67)は、全て式(68)の形で表現す
ることができる。

【００６８】

【数３０】 ここで、ｘ_l ⁽ⁱ⁾ は制御点の第ｌ成分Ｐ_jl ⁽ⁱ⁾ を並べた
ベクトルであり、このベクトルｘ_l ⁽ⁱ⁾ の第ｈ成分をｘ
_lh ⁽ⁱ⁾ と表すこととする。

【００６９】ベクトルｘ_l ⁽ⁱ⁾ は、Ｂスプライン曲線Ｃ
⁽ⁱ⁾ (t) が開曲線のとき、ｉ＝０ならば（ｎ＋３）次元
ベクトル、１≦ｉ＜ｆならば（ｎ＋４）次元ベクトルで
あり、その第ｈ成分ｘ_lh ⁽ⁱ⁾ はｐ_(h-4)l ^(I) である。ま
た、Ｂスプライン曲線Ｃ⁽ⁱ⁾(t) が閉曲線のときはｎ次
元のベクトルであり、その第ｈ成分ｘ_lh ^(o) は、ｘ_lh
^(o) ＝ｐ_(h-1)l ^(o),ｘ_lh ⁽ⁱ⁾ ＝ｐ_hl ^(i),１≦ｉ＜ｆであ
る。ｃ_l はデータ点列の第ｌ成分ｑ_klを並べたＮ次元の
ベクトルで、その第ｇ成分ｃ_kgは、ｃ_kg＝ｑ_gk,１≦ｇ
＜Ｎである。Ａ⁽ⁱ⁾ （＝ａ_gh ⁽ⁱ⁾ ）は、Ｂスプライン関
数値を要素とする行列であり、Ｂスプライン曲線Ｃ⁽ⁱ⁾
(t) が開曲線のときは、行列Ａ⁽ⁱ⁾ はｉ＝０ならば
（Ｎ, （ｎ＋３））行列で式((69）で表され、１≦ｉ＜
ｆならば（Ｎ, （ｎ＋４））行列で式((70）で表され
る。

【００７０】Ｂスプライン曲線Ｃ⁽ⁱ⁾ (t) が閉曲線のと
き、行列Ａ⁽ⁱ⁾ は、 （Ｎ，ｎ）行列で、ｉ＝０ならば式
（71）で表され、１≦ｉ＜ｆならば式(72 ）で表され
る。

【００７１】

【数３１】 式(68)の最小値を与えるベクトルｘ_l ⁽ⁱ⁾ は、式(68 ）
をベクトルｘ_l ⁽ⁱ⁾ の各成分で偏微分した式を０とおい
て得られる式(73 ）で求めることができる。

【００７２】

【数３２】 但し、（Ａ⁽ⁱ⁾ ）^T は、行列Ａ⁽ⁱ⁾ の転置行列を表す。

【００７３】以上のようにして、データ点列を近似する
Ｂスプライン曲線Ｃ⁽ⁱ⁾ (t) を求め、これをＢスプライ
ン曲線平均部２０２に導く。

【００７４】次に、Ｂスプライン曲線平均部２０２にお
ける処理を説明する。

【００７５】Ｂスプライン曲線平均部２０２では、Ｂス
プライン曲線生成手段２０１で生成されたｆ個のＢスプ
ライン曲線のノットベクトルを統合した新たなノットベ
クトルに対する各曲線の制御点を求め、得られた制御点
を平均してＣＡＤシステム２２に出力する。

【００７６】Ｂスプライン曲線は、もとのノットベクト
ルのノットを全て含むノットベクトルに対して、曲線形
状を変えずに表現し直すことができるという性質があ
る。

【００７７】Ｂスプライン曲線生成部２０１で生成され
たｆ個のＢスプライン曲線のノットベクトルは、互いに
１／（ｎｆ）ずつずれているので、ノット間の長さが全
て１／（ｎｆ）のノットベクトルは、前記ｆ個のＢスプ
ライン曲線のノットベクトルを全て含むことができる。
つまり、ノット間の長さが全て１／（ｎｆ）のノットベ
クトルは、これらのノットベクトルを統合したものにな
っている。

【００７８】そこで、Ｂスプライン曲線平均部２０２で
は、Ｂスプライン曲線生成部２０１で生成されたｆ個の
Ｂスプライン曲線をこのノットベクトルに対して表現し
直し、得られた曲線の制御点を平均して、最終的な曲線
の制御点とする。

【００７９】以下、この処理について詳述する。

【００８０】ｆ個のＢスプライン曲線のノットベクトル
を統合したノットベクトルのうち、Ｂスプライン曲線の
定義に必要な部分は、〔−３／ｎｆ，−２／ｎｆ，−１
／ｎｆ，０，１／ｎｆ・・・，１，１＋１／ｎｆ，１＋
２／ｎｆ，１＋３／ｎｆ〕である。このノットベクトル
に対して、Ｂスプライン曲線生成部２０１で生成された
ｆ個のＢスプライン曲線Ｃ⁽ⁱ⁾ (t) は、曲線形状を変え
ることなく式(74)の形式で表現することができる。

【００８１】

【数３３】 式(74)の形式で表現したときの制御点は、式(49)(50)の
制御点から線形演算で求めることができる。ノット間の
長さが１のノットベクトルに対するＢスプライン関数
と、ノット間の長さが１／ｆのノットベクトルに対する
Ｂスプライン関数との関係は式(75)で与えられる。

【００８２】

【数３４】 式(75)下段右辺は、ａ_1,ａ₂ ，・・・，ａ_f が０からｍ
まで重複を許し、Σ記号の下の式を満たすもの全てにつ
いてとった和を表す。式(49)(50)と式(74)が等しいとお
いて、式(75)の関係を用いると、式(76)のように制御点
同士の関係式が得られる。

【００８３】

【数３５】 最終的に出力されるＢスプライン曲線の制御点１０４
｛Ｒ_j ｝は、式(76)で求めたＲ_j ⁽ⁱ⁾ から式(77)のよう
に求められる。

【００８４】

【数３６】 本実施例により生成したＢスプライン曲線の形状を図４
に示す。図５に示した従来例の場合と同様に、データ点
列｛Ｑ_j ｝４０１は、ｘｙ平面上の円周上の点で、各デ
ータ点Ｑ_j に割り当てられているパラメータｔ_j はｊ／
Ｎであるものとすると、このデータ点列を近似する第１
のＢスプライン曲線４０２は、制御点数が４の閉曲線
で、ノットベクトルは［０，１／４，１／２，３／４］
である。

【００８５】同様に、第２のＢスプライン曲面４０３
は、制御点数が４の閉曲線で、ノットベクトルは［１／
８，３／８，５／８，７／８］である。

【００８６】これら第１及び第２のＢスプライン曲線４
０２，４０３のそれぞれには、図示のように、その形状
に方向性が現れるが、ノットベクトルの違いから、第１
のＢスプライン曲線４０２では曲率が大きくなっている
箇所が第２のＢスプライン曲線４０３では小さくなって
おり、形状の方向性が互いに逆になっている。

【００８７】従って、これらを平均して得た第３のＢス
プライン曲線４０４では、各Ｂスプライン曲線４０２，
４０３に現れていた形状の方向性が相殺され、図５との
比較からも明らかなように滑らかな曲線になる。 （２実施例）図３は、本発明の第２実施例に係るＢスプ
ライン曲面生成装置の機能ブロック図である。図３を参
照すると、このＢスプライン曲面生成装置３０は、物体
形状の特徴を表すデータ点列を検出する公知の特徴検出
手段３１と、ＣＡＤシステム３２との間に設けられ、特
徴検出手段３１で検出したデータ点列を近似する形状の
Ｂスプライン曲面を異なったノットベクトルに基づいて
複数個生成するＢスプライン曲面生成部３０１と、この
Ｂスプライン曲線生成部３０１で生成した複数個のＢス
プライン曲線の全体または対応する部分の形状を平均化
してＣＡＤシステム３２に出力するＢスプライン曲線平
均部３０２とを有している。

【００８８】まず、Ｂスプライン曲面生成部３０１にお
ける処理を説明する。

【００８９】Ｂスプライン曲面も、Ｂスプライン曲線と
同様に区分的多項式で表される。多項式と多項式の継目
をノットと呼び、ノットを値の小さい順に並べた数列を
ノットベクトルと呼ぶ。Ｂスプライン曲面の場合は、パ
ラメータ２つで表現されているので、このノットベクト
ルも２つになる。

【００９０】例えば、従来技術で説明した式(18)で表さ
れるＢスプライン曲面のノットベクトルは〔−３／ｍ，
−２／ｍ，−１／ｍ，０，１／ｍ・・・，１，１＋１／
ｍ，１＋２／ｍ，１＋３／ｍ〕と〔−３／ｎ，−２／
ｎ，−１／ｎ，０，１／ｎ，・・・，１，１＋１／ｎ，
１＋２／ｎ，１＋３／ｎ〕である。ｅ，ｆを任意の整数
とするとき、式(78)(79)で表されるそれぞれｅ個、ｆ個
のノットベクトルに対してデータ点列を近似する曲面を
生成する。

【００９１】

【数３７】 但し、０≦ｉ＜ｅ、０≦ｊ＜ｆである。

【００９２】これらのノットベクトルを持つＢスプライ
ン曲面Ｓ^(ij)（ｕ，ｖ）は、式(80)(81)(82)(83)で表さ
れる。

【００９３】

【数３８】 上記各式において、パラメータｕ，ｖの値の範囲は、０
≦ｕ、ｖ≦１である。

【００９４】制御点Ｐ_kl ^(i,j) は３次元のベクトルであ
る。ｕ方向にのみ閉じているＢスプライン曲面Ｓ_(o,j)
（０≦ｊ＜ｆ）は、ｐ_(-3)l ^(o,j) ＝ｐ_(m-3)l ^(o,j),ｐ
_(-2)l ^(o,j) ＝ｐ_(m-2)l, ^(o,j),ｐ_(-1)l ^(o,j)=ｐ
_(m-1)l ^(o,j) となるので、式(80)は式(84)で表され、式
(81)は式(85)で表される。

【００９５】

【数３９】 また、Ｂスプライン曲面Ｓ_(i,j) （１≦ｉ＜ｅ）では、
ｐ_(-3)l ^(i,j) ＝ｐ_{(m-3) l} ^(i,j),ｐ_(-2)l ^(i,j) ＝ｐ
_(m-2)l, ^(i,j),ｐ_(-1)l ^(i,j)=ｐ_(m-1)l ^(i,j),ｐ_ol
^{(i,j) =} ｐ_ml ^(i,j) となるので、式(82)は式(86)で表さ
れ、式(83)は式(87)で表される。

【００９６】

【数４０】 ｖ方向にのみ閉じているＢスプライン曲面Ｓ_(i,o) （０
≦ｉ＜ｅ）は、ｐ_k(-3) ^(i,o) ＝ｐ_k(n-3) ^(i,o),ｐ
_k(-2) ^(i,o) ＝ｐ_k(n-2), ^(i,o),ｐ_(-1) ^(i,o)=ｐ_k(n-1)
^(i,o) となるので、式(80)は式(88)で表され、式(82)は
式(89)で表される。

【００９７】

【数４１】 また、Ｂスプライン曲面Ｓ_(i,j) （１≦ｊ＜ｆ）では、
ｐ_k(-3) ^(i,j) ＝ｐ_{k(n-3 )} ^(i,j),ｐ_k(-2) ^(i,j) ＝ｐ
_k(n-2), ^(i,j),ｐ_k(-1) ^(i,j)=ｐ_k(n-1) ^(i,j),ｐ_ko
^{(i,j) =} ｐ_kn ^(i,j) となるので、式(81)は式(90)で表さ
れ、式(83)は式(91)で表される。

【００９８】

【数４２】 同様にして、ｕ，ｖ両方向に閉じているＢスプライン曲
面の場合は、式(80)は式(92)で、式(81)は式(93)で、式
(82)は式(94)で、式(83)は式(95)で表される。

【００９９】

【数４３】

【０１００】

【数４４】 従来の技術の項と同様に、データ点数はＭ×Ｎ、データ
点列は｛Ｑ_st｝と表現する。また、各データ点列Ｑ_stに
対する曲面上のパラメータは、｛ｕ_st, ｖ_st｝であると
する。

【０１０１】このとき、式(96)を最小にする制御点｛Ｐ
_kl ^(ij)｝を求める。

【０１０２】

【数４５】 但し、式(96)中の縦２本線の組は、挟まれているベクト
ルの長さを示す記号である。

【０１０３】制御点数はデータ点数より少なくなる必要
があるので、Ｂスプライン曲面がｕ方向に開いている場
合は、ｉ＝０に対しては（ｍ＋３）＜Ｍ、１≦ｉ＜ｅに
対しては（ｍ＋４）＜Ｍであり、閉じている場合はｍ＜
Ｍである。ｖ方向に開いている場合は、ｊ＝０に対して
は（ｎ＋３）＜Ｎ、１≦ｊ＜ｆに対しては（ｎ＋４）＜
Ｎであり、閉じている場合はｎ＜Ｎである。

【０１０４】このとき、式(96)は、式(80)(81)(82)(83)
(84)(85)(86)(87)(88)(90)(89)(91)(92)(93)(94)(95)の
各々に対して、式(97)(98)(99)(100)(101)(102)(103)(1
04)(105)(107)(106)(108)(109)(110)(111)(112）で表さ
れる。

【０１０５】

【数４６】

【０１０６】

【数４７】

【０１０７】

【数４８】

【０１０８】

【数４９】

【０１０９】

【数５０】 制御点｛Ｐ_kl ^(i,j) ｝とデータ点列｛Ｑ_st｝を同一の座
標系に関する成分で表したものがそれぞれ式(113) と式
(114) であるものとする。

【０１１０】

【数５１】 このとき、式(113) と式(114）を用いて、式(97)は式(1
15) で表現され、式(98)は式(116) で表現され、式(99)
は式(117) で表現され、式(100) は式(118) で表現さ
れ、式(101) は式(119) で表現され、式(102) は式(12
0) で表現され、式(103) は式(121) で表現され、式(10
4) は式(122) で表現され、式(105) は式(123) で表現
され、式(107) は式(125) で表現され、式(106) は式(1
24) で表現され、式(108) は式(126) で表現され、式(1
09) は式(127) で表現され、式(110)は式(128) で表現
され、式(111) は式(129) で表現され、式(112) は式(1
30) で表現される。

【０１１１】

【数５２】

【０１１２】

【数５３】

【０１１３】

【数５４】

【０１１４】

【数５５】

【０１１５】

【数５６】

【０１１６】

【数５７】 制御点｛Ｐ_klg ^(i,j) ｝が式(115) を最小にするための
必要十分条件は、各ｇに対して式(131) を最小にするこ
とであり、式(116) を最小にするための必要十分条件
は、各ｇに対して式(132) を最小にすることであり、式
(117) を最小にするための必要十分条件は、各ｇに対し
て式(133) を最小にすることであり、式(118) を最小に
するための必要十分条件は、各ｇに対して式(134) を最
小にすることであり、式(119) を最小にするための必要
十分条件は、各ｇに対して式(135) を最小にすることで
あり、式(120) を最小にするための必要十分条件は、各
ｇに対して式(136) を最小にすることであり、式(121)
を最小にするための必要十分条件は、各ｇに対して式(1
37) を最小にすることであり、式(122) を最小にするた
めの必要十分条件は、各ｇに対して式(138) を最小にす
ることであり、式(123) を最小にするための必要十分条
件は、各ｇに対して式(139) を最小にすることであり、
式(125) を最小にするための必要十分条件は、各ｇに対
して式(141) を最小にすることであり、式(124) を最小
にするための必要十分条件は、各ｇに対して式(140) を
最小にすることであり、式(126) を最小にするための必
要十分条件は、各ｇに対して式(142) を最小にすること
であり、式(127) を最小にするための必要十分条件は、
各ｇに対して式(143) を最小にすることであり、式(12
8) を最小にするための必要十分条件は、各ｇに対して
式(144) を最小にすることであり、式(129) を最小にす
るための必要十分条件は、各ｇに対して式(145) を最小
にすることであり、式(130) を最小にするための必要十
分条件は、各ｇに対して式(146) を最小にすることであ
る。

【０１１７】

【数５８】

【０１１８】

【数５９】

【０１１９】

【数６０】

【０１２０】

【数６１】 式(131)(132)(133)(134)(135)(136)(137)(138)(139)(14
1)(140)(142)(143)(144)(145)(146)は、全て式(147) の
形で表現される。

【０１２１】

【数６２】 ここで、ｘ_g ^(i,j) は制御点の第ｇ成分Ｐ_klg ^(i,j) を
並べたベクトルであり、このベクトルｘ_g ^(i,j) の第ｄ
成分をｘ_gd ^(i,j) と表現する。このベクトルｘ_g ^(i,j)
は、Ｂスプライン曲面Ｓ^(i,j) (u,v) がｕ，ｖ両方向に
開いているときは、ｉ＝０，ｊ＝０ならば（ｍ＋３）×
（ｎ＋３）次元のベクトル、ｉ＝０, １≦ｊ＜ｆならば
（ｍ＋３）×（ｎ＋４）次元のベクトル、１≦ｉ＜e,j
＝０ならば（ｍ＋４）×（ｎ＋３）次元、１≦ｉ＜e,１
≦ｊ＜ｆならば（ｍ＋４）×（ｎ＋４）次元のベクトル
である。

【０１２２】ベクトルｘ_g ^(i,j) の成分ｘ_gd ^(i,j) は、
ｊ＝０のときは式(148）で、１≦ｊ＜ｆのときは式(14
9) で定まるｋ，ｌに対してｘ_gd ^(i,j) ＝Ｐ_klg ^(i,j)
となる。

【０１２３】Ｂスプライン曲面Ｓ^(i,j) (u,v) がｕ方向
にのみ閉じているとき、ベクトルｘ_g ^(i,j) は、ｊ＝０
ならばｍ×（ｎ＋３）次元、１≦ｊ＜ｆならばｍ×（ｎ
＋４）次元のベクトルである。

【０１２４】ベクトルｘ_g ^(i,j) の成分ｘ_gd ^(i,j) は、
ｉ＝０，ｊ＝０のときは式(150）で、１≦ｉ＜e,j ＝０
のときは式(151) で、ｉ＝０，１≦ｊ＜ｆ、のときは式
(152) で、１≦ｉ＜e,１≦ｊ＜ｆのときは式(153) で定
まるｋ，ｌに対してｘ_gd ^(i,j) ＝Ｐ_klg ^{( i,j)}となる。

【０１２５】Ｂスプライン曲面Ｓ^(i,j) (u,v) がｖ方向
にのみ閉じているとき、ベクトルｘ_g ^(i,j) は、ｉ＝０
ならば（ｍ＋３）×ｎ次元、１≦ｉ＜ｅならば（ｍ＋
４）×ｎ次元のベクトルである。ベクトルｘ_g ^(i,j) の
成分ｘ_gd ^(i,j) は、ｊ＝０のときは式(154）で、１≦ｊ
＜ｆのときは式(155) で定まるｋ，ｌに対してｘ_gd
^(i,j) ＝Ｐ_klg ^(i,j) となる。

【０１２６】Ｂスプライン曲面Ｓ^(i,j) (u,v) がｕ,v両
方向に閉じているとき、ベクトルｘ_g ^(i,j) は、ｍ×ｎ
次元のベクトルである。ベクトルｘ_g ^(i,j) の成分ｘ_gd
^(i,j) は、ｉ＝０, ｊ＝０のときは式(156）で、１≦ｉ
＜ｅ, ｊ＝０のときは式(157) で、ｉ＝０, １≦ｊ＜ｆ
のときは式(158）で、１≦ｉ＜ｅ, １≦ｊ＜ｆのときは
式(159) で定まるｋ，ｌに対してｘ_gd ^(i,j) ＝Ｐ_klg
^(i,j) となる。

【０１２７】

【数６３】 ｂ_g は、データ点列の第ｇ成分ｑ_stg を並べたＭ×Ｎ次
元のベクトルで、その成分ｂ_gcは、式(160) で定まる
ｓ，ｔに対してｂ_gc＝ｑ_stg である。

【０１２８】

【数６４】 Ａ^(i,j) ＝（ａ_cd ^(i,j) ）は、Ｂスプライン関数値を要
素とする行列で、Ｂスプライン曲面Ｓ^(i,j) （ｕ，ｖ）
がｕ，ｖ両方向に開いているときは、ｉ＝０，ｊ＝０な
らば、添字の範囲は、１≦ｃ＜Ｍ×Ｎ、１≦ｄ＜（ｍ＋
３）×（ｎ＋３）で、ａ_cd ^(0,0) は、式(148) と式(16
0) で定まるｋ，ｌ，ｓ，ｔに対して式(160) で表され
る。

【０１２９】ｉ＝０、１≦ｊ＜ｆならば、添字の範囲
は、１≦ｃ＜Ｍ×Ｎ、１≦ｄ＜（ｍ＋３）×（ｎ＋４）
で、ａ_cd ^(0,j) は、式(149) と式(160) で定まるｋ，
ｌ，ｓ，ｔに対して式（162)で表される。

【０１３０】１≦ｉ＜ｅ、ｊ＝０、１≦ｊ＜ｆならば、
添字の範囲は、１≦ｃ＜Ｍ×Ｎ、１≦ｄ＜（ｍ＋４）×
（ｎ＋３）で、ａ_cd ^(i,0) は、式(148) と式(160) で定
まるｋ，ｌ，ｓ，ｔに対して式（163)で表される。

【０１３１】１≦ｉ＜ｅ、１≦ｊ＜ｆならば、添字の範
囲は、１≦ｃ＜Ｍ×Ｎ、１≦ｄ＜（ｍ＋４）×（ｎ＋
４）で、ａ_cd ^(i,j) は、式(149) と式(160) で定まる
ｋ，ｌ，ｓ，ｔに対して式（164)で表される。

【０１３２】

【数６５】 Ｂスプライン曲面Ｓ^(i,j) （ｕ，ｖ）がｕ方向にのみ閉
じているときは、ｉ＝０、ｊ＝０ならば、添字の範囲
は、１≦ｃ＜Ｍ×Ｎ、１≦ｄ＜ｍ×（ｎ＋３）で、ａ_cd
^(0,0) は、式(150) と式(160) で定まるｋ，ｌ，ｓ，ｔ
に対して式(165) で表される。

【０１３３】ｉ＝０、１≦ｊ＜ｆならば、添字の範囲
は、１≦ｃ＜Ｍ×Ｎ、１≦ｄ＜ｍ×（ｎ＋４）で、ａ_cd
^(0,j) は、式(151) と式(160) で定まるｋ，ｌ，ｓ，ｔ
に対して式（166)で表される。

【０１３４】１≦ｉ＜ｅ、ｊ＝０ならば、添字の範囲
は、１≦ｃ＜Ｍ×Ｎ、１≦ｄ＜ｍ×（ｎ＋３）で、ａ_cd
^(i,0) は、式(152) と式(160) で定まるｋ，ｌ，ｓ，ｔ
に対して式（167)で表される。

【０１３５】１≦ｉ＜ｅ、１≦ｊ＜ｆならば、添字の範
囲は、１≦ｃ＜Ｍ×Ｎ、１≦ｄ＜ｍ×（ｎ＋４）で、ａ
_cd ^(i,j) は、式(153) と式(160) で定まるｋ，ｌ，ｓ，
ｔに対して式（168)で表される。

【０１３６】

【数６６】

【０１３７】

【数６７】

【０１３８】

【数６８】

【０１３９】

【数６９】 Ｂスプライン曲面Ｓ^(i,j) （ｕ，ｖ）がｖ方向にのみ閉
じているときは、ｉ＝０、ｊ＝０ならば、添字の範囲
は、１≦ｃ＜Ｍ×Ｎ、１≦ｄ＜（ｍ＋３）×ｎで、ａ_cd
^(0,0) は、式(154) と式(160) で定まるｋ，ｌ，ｓ，ｔ
に対して式(169) で表される。

【０１４０】ｉ＝０、１≦ｊ＜ｆならば、添字の範囲
は、１≦ｃ＜Ｍ×Ｎ、１≦ｄ＜（ｍ＋３）×ｎで、ａ_cd
^(0,j) は、式(155) と式(160) で定まるｋ，ｌ，ｓ，ｔ
に対して式（170)で表される。

【０１４１】１≦ｉ＜ｅ、ｊ＝０ならば、添字の範囲
は、１≦ｃ＜Ｍ×Ｎ、１≦ｄ＜（ｍ＋４）×ｎで、ａ_cd
^(i,0) は、式(154) と式(160) で定まるｋ，ｌ，ｓ，ｔ
に対して式（171)で表される。

【０１４２】１≦ｉ＜ｅ、１≦ｊ＜ｆならば、添字の範
囲は、１≦ｃ＜Ｍ×Ｎ、１≦ｄ＜（ｍ＋４）×ｎで、ａ
_cd ^(i,j) は、式(155) と式(160) で定まるｋ，ｌ，ｓ，
ｔに対して式（172)で表される。

【０１４３】

【数７０】

【０１４４】

【数７１】

【０１４５】

【数７２】

【０１４６】

【数７３】 Ｂスプライン曲面Ｓ^(i,j) （ｕ，ｖ）がｕ，ｖ両方向に
閉じているときは、添字の範囲は、１≦ｃ＜Ｍ×Ｎ、１
≦ｄ＜ｍ×ｎで、ｉ＝０、ｊ＝０ならば、ａ
_cd ^(0,0) は、式(156) と式(160) で定まるｋ，ｌ，ｓ，
ｔに対して式(173) で表される。

【０１４７】ｉ＝０、１≦ｊ＜ｆならば、ａ
_cd ^(0,j) は、式(157) と式(160) で定まるｋ，ｌ，ｓ，
ｔに対して式（174)で表される。

【０１４８】１≦ｉ＜ｅ、ｊ＝０ならば、ａ
_cd ^(i,0) は、式(158) と式(160) で定まるｋ，ｌ，ｓ，
ｔに対して式（175)で表される。

【０１４９】１≦ｉ＜ｅ、１≦ｊ＜ｆならば、ａ_cd
^(i,j) は、式(159) と式(160) で定まるｋ，ｌ，ｓ，ｔ
に対して式（176)で表される。

【０１５０】

【数７４】

【０１５１】

【数７５】

【０１５２】

【数７６】

【０１５３】

【数７７】 式(147) の最小値を与えるベクトルｘ_g ^(i,j) は、式(1
47) をｘ_g ^(i,j) の各成分で偏微分した式を０とおいて
得られる式（177)で求めることができる。

【０１５４】

【数７８】 但し、（Ａ^(i,j) ）^T は、Ａ^(i,j) の転置行列を表す。

【０１５５】以上のようにして、データ点列を近似する
Ｂスプライン曲面Ｓ^(i,j) （ｕ, ｖ）が生成され、その
出力がＢスプライン曲面平均部３０２に導かれる。

【０１５６】次に、Ｂスプライン曲面平均部３０２にお
ける処理を説明する。

【０１５７】ここでは、前述のＢスプライン曲面生成部
３０１で生成されたｅ×ｆ個のＢスプライン曲面のノッ
トベクトルを統合した新たなノットベクトルに対する各
曲面の制御点を求め、得られた制御点を平均して新たな
制御点とする。

【０１５８】Ｂスプライン曲面もＢスプライン曲線と同
様、もとのノットベクトルのノットを全て含むノットベ
クトルに対して、形状を変えずに表現し直すことができ
る。Ｂスプライン曲面生成部３０１で生成されたｅ×ｆ
個のＢスプライン曲面のノットベクトルは、互いに１／
（ｍｅ）乃至１／（ｎｆ）だけずれている。従って、ノ
ット間の長さが全て１／（ｍｅ）のノットベクトルと１
／（ｎｆ）のノットベクトルは、前記ｅ×ｆ個のＢスプ
ライン曲面のノットベクトルを全て含むことができる。
つまり、ノット間の長さが全て１／（ｍｅ）のノットベ
クトルと全て１／（ｎｆ）のノットベクトルは、これら
の曲面のノットベクトルを結合したものになっている。

【０１５９】Ｂスプライン曲面平均部３０２では、Ｂス
プライン曲面生成部３０１で生成されたｅ×ｆ個のＢス
プライン曲面をこのノットベクトルに対して表現し直
し、得られた曲面の制御点を平均して、これを最終的な
曲面の制御点とする。以下、この処理を詳述する。

【０１６０】ｅ個のノットベクトルを結合したノットベ
クトルのうち、Ｂスプライン曲線の定義に必要な部分
は、［−３／（ｍｅ），−２／（ｍｅ），−１／（ｍ
ｅ），０，１／（ｍｅ），・・・１，１＋１／（ｍ
ｅ），１＋２／（ｍｅ），１＋３／（ｍｅ）］であり、
ｆ個のノットベクトルを結合したノットベクトルのう
ち、Ｂスプライン曲線の定義に必要な部分は、［−３／
（ｎｆ），−２／（ｎｆ），−１／（ｎｆ），０，１／
（ｎｆ），・・・１，１＋１／（ｎｆ），１＋２／（ｎ
ｆ），１＋３／（ｎｆ）］である。

【０１６１】これらのノットベクトルに対して、Ｂスプ
ライン曲面生成部３０１で生成されたｅ×ｆ個のＢスプ
ライン曲面Ｓ^(i,j) （ｕ, ｖ）は、曲線形状を変えるこ
となく、式（178)の形式で表現することができる。

【０１６２】

【数７９】 式(178) の形式で表現したときの制御点は、式（80)(8
1)(82)(83) の制御点から線形演算で求めることができ
る。

【０１６３】ノット間の長さが１のノットベクトルに対
するＢスプライン関数とノット間の長さが１／ｆのノッ
トベクトルに対するＢスプライン関数との関係は、式(7
5)で与えられる。ノット間の長さが１のノットベクトル
に対するＢスプライン関数とノット間の長さが１／ｅの
ノットベクトルに対するＢスプライン関数との関係も全
く同様に与えられる。関係式の係数を式(179) で表す。
なお、係数の定義は、式(75)にて与えられているので、
ここでは省略する。

【０１６４】

【数８０】 式(80)(81)(82)(83)と式（74) が等しいとおいて、式(1
79) の関係を用いると、式(180) のように制御点同士の
関係式が得られる。

【０１６５】

【数８１】 最終的に出力されるＢスプライン曲線の制御点｛Ｒ_kl｝
は、式(180) で求めたＲ_kl ^(i,j) から、式(181) のよう
に求められる。

【０１６６】

【数８２】 このような処理によって、図４に示した形状の、方向性
のない滑らかな周縁形状のＢスプライン曲面が生成され
る。

【０１６７】なお、以上の説明は、曲線、曲面の基本パ
ラメータの値を固定し、ノットベクトルを用いて複数個
のＢスプライン曲線、曲面を生成した場合の例である
が、基本パラメータを種々の値に変更して複数個のＢス
プライン曲線、曲面を生成するようにしても良い。

【０１６８】図６はこの場合の構成図であり、Ｂスプラ
イン曲線、Ｂスプライン曲面生成装置６０のうち、共通
の部分を示してある。この装置６０は、特徴検出手段６
１で検出したデータ点列の個々のデータ点に割り当てる
ための基本パラメータを決定する基本パラメータ決定部
６０１と、決定された基本パラメータの開始位置を定
め、その開始位置がゼロ値に近づくように各基本パラメ
ータの値を変更してこれを各データ点に割り当てるパラ
メータ割当部６０２と、パラメータが割り当てられた各
々のデータ点と曲線又は曲面周縁との距離を最小にする
複数個の制御点を導出する制御点演算処理部６０３と、
導出された複数個の制御点を、対応するデータ点同士の
パラメータが一致するように変更してその平均値を演算
する制御点平均処理部６０４とを有している。

【０１６９】制御点演算処理部６０３の出力は、図示を
省略したＢスプライン曲線生成手段あるいはＢスプライ
ン曲面生成手段に導かれ、各制御点に基づいてデータ点
列に近似する形状のＢスプライン曲線、曲面が複数個生
成される。また、制御点平均処理部６０４で平均化され
る制御点は、これら複数個のＢスプライン曲線、曲面に
含まれる制御点であり、その平均がとられることで新た
なＢスプライン曲線、曲面が生成される。

【０１７０】このようにして生成されたＢスプライン曲
線、曲面をＣＡＤシステム６２に出力して所定の図形処
理を行う点は上述の各実施例と同様である。

【０１７１】

【発明の効果】以上の説明から明らかなように、本発明
のスプライン曲線、曲面の生成方法によれば、物体形状
の特徴を表すデータ点列に近似する複数個のＢスプライ
ン曲線、曲面が生成された後、各Ｂスプライン曲線、曲
面の全体又は対応する部分の形状が平均化されるので、
方向性の無い滑らかな形状のＢスプライン曲線、曲面が
生成される効果がある。

【０１７２】また、本発明のスプライン曲線、曲面の生
成装置によれば、複数個のノットベクトルに基づいて、
あるいは曲線、曲面の基本パラメータの値を種々変える
ことにより、物体形状の特徴を表すデータ点列に近似す
る複数個のＢスプライン曲線、曲面を容易に生成するこ
とができる。これら複数個のＢスプライン曲線、曲面の
形状には方向性が現れる場合があるが、Ｂスプライン曲
線平均手段、Ｂスプライン曲面平均手段にて全体又は対
応する部分の形状が平均化されるので、最終的に方向性
が相殺された滑らかなＢスプライン曲線、曲面が生成さ
れる効果があり、これがＣＡＤシステムに導かれる。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明の原理説明図。

【図２】本発明の第１実施例に係るスプライン曲線生成
装置の構成図。

【図３】本発明の第２実施例に係るスプライン曲面生成
装置の構成図。

【図４】第１及び第２実施例の装置により生成されるＢ
スプライン曲線、曲面の形状を示す説明図。

【図５】従来手法により生成されるＢスプライン曲線、
曲面の形状を示す説明図。

【図６】本発明の他の実施例に係るスプライン曲線、曲
面生成装置の要部構成図。

【図７】従来のスプライン曲線、曲面生成装置の要部構
成図。

【図８】本発明の課題の説明図。

【符号の説明】

２１，３１，６１ 特徴検出手段 ２２，３２，６２ ＣＡＤシステム ２０ スプライン曲線生成装置 ２０１ Ｂスプライン曲線生成部 ２０２ Ｂスプライン曲線平均部 ３０ スプライン曲面生成装置 ３０１ Ｂスプライン曲面生成部 ３０２ Ｂスプライン曲面平均部 ６０ Ｂスプライン曲線、曲面の生成装置 ６０１ 基本パラメータ決定部 ６０２ パラメータ割当部 ６０３ 制御点演算処理部 ６０４ 制御点平均処理部

Claims (6)

(57)【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 ＣＡＤシステムで可読な形状データを生
   成するスプライン曲線生成装置で、物体の形状を表すス
   プライン曲線の生成方法において、物体から形状の特徴
   を表すデータ点列を特徴検出手段により検出する段階
   と、検出したデータ点列に対する曲線の曲率を調整する
   ための複数個の制御点を導出する段階と、導出した各制
   御点に基づいて前記データ点列に近似する複数個のＢス
   プライン曲線を生成する段階と、生成された各Ｂスプラ
   イン曲線の全体又は対応する部分に含まれる前記制御点
   を平均化する段階と、平均化された制御点に基づいてＢ
   スプライン曲線を生成する段階とを有することを特徴と
   するスプライン曲線の生成方法。
2. 【請求項２】 ＣＡＤシステムで可読な形状データを生
   成するスプライン曲面生成装置で、物体の形状を表すス
   プライン曲面の生成方法において、物体から形状の特徴
   を表すデータ点列を特徴検出手段により検出する段階
   と、検出したデータ点列に対する曲面周縁の曲率を調整
   するための複数個の制御点を導出する段階と、導出した
   各制御点に基づいて前記データ点列に近似する複数個の
   Ｂスプライン曲面を生成する段階と、生成された各Ｂス
   プライン曲面の全体又は対応する部分に含まれる前記制
   御点を平均化する段階と、平均化された制御点に基づい
   てＢスプライン曲面を生成する段階とを有することを特
   徴とするスプライン曲面の生成方法。
3. 【請求項３】 物体から形状の特徴を表す複数個のデー
   タ点の列を検出する特徴検出手段と、検出したデータ点
   の列と近似する形状のＢスプライン曲線を異なったノッ
   トベクトルに基づいて複数個生成するＢスプライン曲線
   生成手段と、生成された複数個のＢスプライン曲線の全
   体又は対応する部分の形状を平均化するＢスプライン曲
   線平均手段とを有し、平均化された形状のＢスプライン
   曲線をＣＡＤシステムに出力する構成であることを特徴
   とするスプライン曲線生成装置。
4. 【請求項４】 物体から形状の特徴を表す複数個のデー
   タ点の列を検出する特徴検出手段と、検出したデータ点
   の列と近似する形状のＢスプライン曲面を異なったノッ
   トベクトルに基づいて複数個生成するＢスプライン曲面
   生成手段と、生成された複数個のＢスプライン曲面の全
   体又は対応する部分の形状を平均化するＢスプライン曲
   面平均手段とを有し、平均化された形状のＢスプライン
   曲面をＣＡＤシステムに出力する構成であることを特徴
   とするスプイラン曲面生成装置。
5. 【請求項５】 物体から形状の特徴を表すデータ点列を
   検出する特徴検出手段と、このデータ点列の個々のデー
   タ点に割り当てるための基本パラメータを決定する基本
   パラメータ決定手段と、決定された前記基本パラメータ
   の開始位置を定め、その開始位置がゼロ値に近づくよう
   に各基本パラメータの値を変更してこれを各データ点に
   割り当てるパラメータ割当手段と、パラメータが割り当
   てられた各々のデータ点と曲線の距離を最小にする複数
   個の制御点を導出し、該制御点に基づいて前記データ点
   列に近似する形状のＢスプライン曲線を複数個生成する
   第１の曲線生成手段と、生成された各Ｂスプライン曲線
   に含まれる複数個の制御点を、対応するデータ点同士の
   パラメータが一致するように変更してその平均値に基づ
   くＢスプライン曲線を生成する第２の曲線生成手段とを
   有し、この第２の曲線生成手段で生成したＢスプライン
   曲線をＣＡＤシステムに出力する構成であることを特徴
   とするスプライン曲線生成装置。
6. 【請求項６】 物体から形状の特徴を表すデータ点列を
   検出する特徴検出手段と、このデータ点列の個々のデー
   タ点に割り当てるための基本パラメータを決定する基本
   パラメータ決定手段と、決定された前記基本パラメータ
   の開始位置を定め、その開始位置がゼロ値に近づくよう
   に各基本パラメータの値を変更してこれを各データ点に
   割り当てるパラメータ割当手段と、パラメータが割り当
   てられた各々のデータ点と曲面の距離を最小にする複数
   個の制御点を導出し、該制御点に基づいて前記データ点
   列に近似する形状のＢスプライン曲面を複数個生成する
   第１の曲面生成手段と、生成された各Ｂスプライン曲面
   に含まれる複数個の制御点を、対応するデータ点同士の
   パラメータが一致するように変更してその平均値に基づ
   くＢスプライン曲面を生成する第２の曲面生成手段とを
   有し、この第２の曲面生成手段で生成したＢスプライン
   曲面をＣＡＤシステムに出力する構成であることを特徴
   とするスプライン曲面生成装置。