JP2021190019A - 最適化装置、最適化方法、及び最適化プログラム - Google Patents

Abstract

【課題】資源制約付きスケジューリング問題においてメイクスパン最小解の近似解を高い精度で短時間に求める手法を提供する。【解決手段】制約違反解と制約充足解と近似解を繰り返し求める最適化装置は、前回の制約違反解の終了時刻である第１の終了時刻と前回の制約充足解の終了時刻である第２の終了時刻との間に最適化対象終了時刻を指定してメタヒューリスティックな手法により近似解を求める最適化処理部と、近似解が制約に違反しているか制約を充足しているかを判定する最適化結果判定部と、最適化結果判定部による判定結果に基づいて、近似解が制約に違反している場合には近似解の終了時刻により第１の終了時刻を更新し、近似解が制約を充足している場合には近似解の終了時刻により第２の終了時刻を更新する解更新部を含み、第１の終了時刻及び第２の終了時刻を更新しながら近似解を繰り返し求めることを特徴とする。【選択図】図６

Description

本願開示は、最適化装置、最適化方法、及び最適化プログラムに関する。

組み合わせ最適化問題の１つに資源制約付きスケジューリング問題がある。資源制約付きスケジューリング問題は、複数の作業及び複数の資源に制約条件が存在する状況において、全作業の終了時刻が最適化対象時刻内に収まるように、制約条件を満たしながら複数の資源を複数の作業に割り当てる問題である。資源制約付きスケジューリング問題において用いられる目的関数の1つに最大完了時刻（全作業が終了した時刻：メイクスパン（ｍａｋｅｓｐａｎ））があり、メイクスパンを最小化する問題はメイクスパン最小化問題と呼ばれる。

特開２０１８−１８５６３９号公報 特開平１１−１９５０６６号公報

資源制約付きスケジューリング問題においてメイクスパン最小解の近似解を高い精度で短時間に求める手法を提供する。

資源制約付きスケジューリング問題において、制約違反解と制約充足解と近似解を繰り返し求める最適化装置は、前回の前記制約違反解の終了時刻である第１の終了時刻と前回の前記制約充足解の終了時刻である第２の終了時刻との間に最適化対象終了時刻を指定してメタヒューリスティックな手法により前記近似解を求める最適化処理部と、前記近似解が制約に違反しているか前記制約を充足しているかを判定する最適化結果判定部と、前記最適化結果判定部による判定結果に基づいて、前記近似解が前記制約に違反している場合には前記近似解の終了時刻により前記第１の終了時刻を更新し、前記近似解が前記制約を充足している場合には前記近似解の終了時刻により前記第２の終了時刻を更新する解更新部を含み、前記第１の終了時刻及び前記第２の終了時刻を更新しながら前記近似解を繰り返し求めることを特徴とする。

少なくとも１つの実施例によれば、資源制約付きスケジューリング問題においてメイクスパン最小解の近似解を高い精度で短時間に求めることができる。

最適化方法を実行する最適化装置のハードウェア構成の一例を示す図である。 最適化装置の機能構成の一例を示す図である。 資源制約付きスケジューリング問題の一例を模式的に示す図である。 図３に示される資源制約付きスケジューリング問題を２値変数によりモデル化した一例を示す図である。 緩和解と最良解とに基づいて生成される最適化処理用の入力データの一例を示す図である。 生成した近似解のデータにより緩和解データまたは最良解データのいずれか一方を更新する動作を説明するための図である。 最適化方法の手順の一例を示すフローチャートである。 緩和解を生成する処理の一例を示すフローチャートである。 作業リストの一例を示す図である。 資源制約付きスケジューリング問題を規定するモデルの初期状態を示す図である。 資源制約付きスケジューリング問題を規定するモデルにおいて1つの作業を割り当てた後の状態を示す図である。 資源制約付きスケジューリング問題を規定するモデルにおいて２つの作業を割り当てた後の状態を示す図である。 資源制約付きスケジューリング問題を規定するモデルにおいて３つの作業を割り当てた後の状態を示す図である。 資源制約付きスケジューリング問題を規定するモデルにおいて４つの作業を割り当てた後の状態を示す図である。 資源制約付きスケジューリング問題を規定するモデルにおいて５つの作業を割り当てた後の状態を示す図である。 資源制約付きスケジューリング問題を規定するモデルにおいて６つの作業を割り当てた後の状態を示す図である。

資源制約付きスケジューリング問題等の組み合わせ最適化問題では、探索空間の次元数が増えると、変数の組み合わせ数が爆発的に増加し、全組み合わせを総当たり的に計算して求める手法では計算時間が現実的な域で収まらなくなる。そこで厳密な最適解を求めるのではなく、発見的手法に基づく汎用的な近似アルゴリズム（メタヒューリスティックアルゴリズム）や、現実的な計算時間で良好な近似解を求める近似解法が用いられる。

メタヒューリスティックアルゴリズムでは、初期状態を開始点として目的関数値を小さくする解を探索していく状態遷移動作において、長い計算時間をかければ、最適解又は充分に最適に近い解に状態を収束させることができる。しかしながら、実用的な計算時間内で充分に最適に近い解を得ることは難しい。

メタヒューリスティックアルゴリズムの１つである焼き鈍し法を実行する装置として、イジング型のエネルギー関数を用いたイジング装置（ボルツマンマシン）が知られている。イジング装置では、２値変数を用いて計算対象の問題をイジングモデル化する。資源制約付きスケジューリング問題をモデル化してイジング装置により近似解を求めるためには、複数の作業及び複数の資源に関する種々の制約条件を目的関数に組み込んで、目的関数を最小化するような解を求めればよい。しかしながら、イジングモデルにおいては、前述のメイクスパン最小化問題を直接に定式化することが困難であるという問題がある。

メイクスパン最小化問題を間接的にイジングモデルに組み込む方法として、２値変数により表現された補助変数を用いる方法がある。これは、例えばｎ個の２値変数ｙ_ｉ（ｉ＝１〜ｎ）を導入し、それらｎ個の２値変数により例えば値Ｃ（Ｃ＝ｙ_１＋２ｙ_２＋３ｙ_３＋４ｙ_４＋・・・＋ｎｙ_ｎ）を考える。「各作業の終了時刻＜Ｃ」かつ「ｙ_ｉのうち１つだけ１になる」という制約条件を満たしながら、目的関数であるＣの値をイジング装置により最小化することにより、メイクスパン最小化問題の近似解を求めることが可能となる。しかしながらこの手法では、組み合わせ最適化問題における探索空間の次元数がｎ個増えることになり、イジング装置の求解性能が大きく低下してしまう。

また、メイクスパン最小化問題を近似的に別の問題として表現することにより、メイクスパン最小化問題の解に近似した解を求める方法がある。例えば、各作業の完了時間を全ての作業に対して足し合わせた総和を求め、当該総和を目的関数として最小化するように、イジング装置により近似解を求めることが考えられる。しかしながら、1つの作業だけが他の作業と比較して大幅に完了時間が遅い場合と、全ての作業が略同時刻で完了する場合とでは、メイクスパンが略同じであっても上記総和は大きく異なることになる。このことからも分かるように、上記のようにメイクスパン最小化問題を近似的に別の問題として表現する方法では、精度の高い近似解を求めることはできない。

以上を鑑みると、資源制約付きスケジューリング問題においてメイクスパン最小解の近似解を高い精度で短時間に求める手法が望まれる。

以下に、本発明の実施例を添付の図面を用いて詳細に説明する。

図１は、最適化方法を実行する最適化装置のハードウェア構成の一例を示す図である。図１に示す最適化装置は、ＣＰＵ１１、表示部１２、入力部１３、ＲＯＭ１４、ＲＡＭ１５、ＨＤＤ１６、ネットワークインターフェース１７、可搬型記憶媒体用ドライブ１８、及びメタヒューリスティック計算部１９を含む。

入力部１３は、ユーザとのインターフェースを提供するものであり、最適化装置を操作するための各種コマンドや要求されたデータに対するユーザ応答等が入力される。表示部１２は、最適化装置で処理された結果等をディスプレイ画面に表示すると共に、最適化装置を操作する際にユーザとの対話を可能にするために様々なデータ表示を行う。ネットワークインターフェース１７は、周辺装置との通信又は遠隔地との通信を行なうためのものである。

図１に示される最適化装置はコンピュータであり、最適化方法は、最適化装置が実行可能なコンピュータプログラムとして提供される。このコンピュータプログラムは、可搬型記憶媒体用ドライブ１８に装着可能な記憶媒体Ｍに記憶されており、記憶媒体Ｍから可搬型記憶媒体用ドライブ１８を介して、ＲＡＭ１５或いはＨＤＤ１６にロードされる。或いは、このコンピュータプログラムは、周辺装置又は遠隔地にある記憶媒体（図示せず）に記憶されており、この記憶媒体からネットワークインターフェース１７を介して、ＲＡＭ１５或いはＨＤＤ１６にロードされる。

入力部１３を介してユーザからプログラム実行指示があると、ＣＰＵ１１は、記憶媒体Ｍ、周辺装置、遠隔地記憶媒体、或いはＨＤＤ１６からプログラムをＲＡＭ１５にロードする。ＣＰＵ１１は、ＲＡＭ１５の空き記憶空間をワークエリアとして使用して、ＲＡＭ１５にロードされたプログラムを実行し、適宜ユーザと対話しながら処理を進める。なおＲＯＭ１４は、最適化装置の基本動作を制御するための制御プログラムが格納されている。

上記コンピュータプログラムを実行することにより、最適化装置が、メイクスパン最小化問題に対して近似解を求める動作を実行する。メタヒューリスティック計算部１９は、メタヒューリスティックアルゴリズムを実行するように専用に設計された専用ハードウェアであってよく、例えばシミュレーテッド・アニーリングによりイジング問題の解探索を実行する専用ハードウェアであってよい。但し専用のメタヒューリスティック計算部１９を設けることなく、汎用計算用のプロセッサであるＣＰＵ１１が、メタヒューリスティック計算部として機能することにより、メタヒューリスティックアルゴリズムを実行してもよい。メタヒューリスティックアルゴリズムとしては、シミュレーテッド・アニーリング、ランダムウォーク解探索アルゴリズム、遺伝的アルゴリズム、確率的進化手法、或いはタブーサーチ等であってよい。メタヒューリスティックアルゴリズムは、目的関数を最小化する解に近い解（近似解）を発見的に探索するアルゴリズムであってよい。

図２は、最適化装置の機能構成の一例を示す図である。図２に示す最適化装置は、データ格納部２０、データ取得部２１、緩和解生成部２２、最適化データ生成部２３、メタヒューリスティック計算部２４、最適化結果判定部２５、解更新部２６、処理終了判定部２７、及びデータ出力部２８を含む。

データ格納部２０及びメタヒューリスティック計算部２４以外の各機能部は、図１に示すＣＰＵ１１により実現されてよい。データ格納部２０の機能は、図１に示すＲＡＭ１５又はＨＤＤ１６により実現されてよい。メタヒューリスティック計算部２４の機能は、図１に示すＣＰＵ１１又はメタヒューリスティック計算部１９により実現されてよい。

なお各ボックスで示される各機能ブロックと他の機能ブロックとの境界は、機能的な境界を示すものであり、プログラムモジュールの境界に対応したり、制御論理的な分離等に対応したりするとは限らない。また、ある１つの機能ブロックが別の機能ブロックと組み合わさり１つの機能ブロックとして動作してもよいし、ある１つの機能ブロックが複数の機能ブロックに分割されて各々が協働して動作してもよい。

データ格納部２０には、作業情報データベース（作業情報ＤＢ）２０Ａ、資源情報データベース（資源情報ＤＢ）２０Ｂ、緩和解データ２０Ｃ、及び最良解データ２０Ｄが格納されている。

データ取得部２１は、資源制約付きスケジューリング問題を規定するために外部から入力された各作業に関するデータ及び各資源に関するデータを、作業情報データベース２０Ａ及び資源情報データベース２０Ｂに格納する。各作業及び各資源に関連する制約条件に関するデータも作業情報データベース２０Ａ及び資源情報データベース２０Ｂに格納されてよい。

図３は、資源制約付きスケジューリング問題の一例を模式的に示す図である。図３に示される資源制約付きスケジューリング問題は、製品Ａ及び製品Ｂの各々に対する作業＃１乃至作業＃３と製品Ｃに対する作業＃１及び作業＃２とを、４個の設備１乃至設備４に割り当てる問題であってよい。またこの資源制約付きスケジューリング問題におけるメイクスパン最小化問題とは、全作業の最大完了時刻Ｔｍｓ（最後に完了する作業の終了時刻）をなるべく早くするように全作業をスケジューリングする問題となる。

資源制約付きスケジューリング問題においては、複数の作業及び複数の資源に関して様々な制約条件が課せられてよい。例えば図３に示される例において、「使用不可能」と示される時間帯においては当該設備により作業を実行することはできない等のように、資源利用可能時間に関する制約条件が課せられてよい。また、例えば作業間の順序に関する制約として、ある製品に対する作業＃１、作業＃２、及び作業＃３は、時間的に重複することなくこの順番に実行される必要がある、等の制約条件が課せられてよい。また、特定の作業は特定の資源でしか実行することができない等の作業と資源との間の対応関係に関する制約や、各作業の開始可能時間及び要求納期に関する制約等が設けられてよい。

図４は、図３に示される資源制約付きスケジューリング問題を２値変数によりモデル化した一例を示す図である。図２に示されるメタヒューリスティック計算部２４が例えばイジング装置としてイジングモデルによる最適化処理を実行する場合、資源制約付きスケジューリング問題を２値変数によりモデル化し、当該モデルに対して最適化処理を実行することになる。なお図４に示されるような２値変数に基づくモデルは、イジング装置による最適化処理へ適用できるだけではなく、他のメタヒューリスティックな手法による最適化処理においても用いることができる。

図３に示される資源制約付きスケジューリング問題を２値変数によりモデル化するために、２値変数ｘ_ｊｍｔを定義してよい。添字ｊは作業を特定し、添字ｍは資源を特定し、添字ｔは時刻を特定する。例えば製品Ａに対する作業＃１を作業ｊ＝１により特定し、設備１への割り当てを資源ｍ＝１により特定し、時刻８：３０を例えばタイムスロット番号１により特定する。ｘ_ｊｍｔの値がｊ＝１，ｍ＝１，ｔ＝１に対して１となる（即ちｘ_１１１＝１）ことにより、製品Ａに対する作業＃１を設備１により時刻８：３０から開始することを表現する。

図４に示される表の各行は時刻（３０分刻みの時間帯）を表し、各列は各作業と各設備との組み合わせを表す。例えば列３１は、製品Ａに対する作業＃１を設備１に割り当てることを規定した変数ｘ_１１ｔの各時刻ｔにおける値を示している。製品Ａに対する作業＃１を設備１により時刻８：３０から開始するので、ｘ_１１ｔの値は時刻８：３０のタイムスロットにおいてのみ値が１となっており（即ちｘ_１１１＝１）、それ以外のタイムスロットにおいては値が０となっている。

作業ｊの値については、例えば、製品Ａに対する作業＃ｋを作業ｊ＝ｋにより特定し、製品Ｂに対する作業＃ｋを作業ｊ＝３＋ｋにより特定し、製品Ｃに対する作業＃ｋを作業ｊ＝６＋ｋにより特定することができる。例えば製品Ｂに対する作業＃２を設備１に割り当てることを表現した変数はｘ_５１ｔとなる。これにより図４の各列は左から順番に、ｘ_１１ｔ、ｘ_１２ｔ、ｘ_１３ｔ、ｘ_１４ｔ、ｘ_２１ｔ、ｘ_２２ｔ、ｘ_２３ｔ、ｘ_２４ｔ、ｘ_３１ｔ、ｘ_３２ｔ、ｘ_３３ｔ、ｘ_３４ｔ、ｘ_４１ｔ、ｘ_４２ｔ、ｘ_４３ｔ、ｘ_４４ｔ、ｘ_５１ｔ、ｘ_５２ｔ、ｘ_５３ｔ、・・・、ｘ_７４ｔ、ｘ_８１ｔ、ｘ_８２ｔ、ｘ_８３ｔ、ｘ_８４ｔに対応する。変数ｘ_５１ｔは列３２に対応し、時刻１０：３０においてのみこの変数の値が１となっており、これにより、製品Ｂに対する作業＃２が設備１により時刻１０：３０から開始されることが表現されている。なお時刻１０：３０のタイムスロットは５番目のタイムスロットであるので時刻ｔは５であり、ｘ_５１５＝１である。

各作業を実行するためにかかる時間の長さ（所要時間）は変数ｘ_ｊｍｔの値により規定するのではなく、各作業の所要時間を表す定数を別途規定する。後述するようにこの定数により添字ｔを操作することにより、所要時間に関する条件を記述できる。

以下に、上述の例において説明した２値変数ｘ_ｊｍｔを使用して、資源制約付きスケジューリング問題を定式化する一例について説明する。資源制約付きスケジューリング問題を定式化するためには、メタヒューリスティック計算部２４による最適化処理において最小化する目的関数を、２値変数ｘ_ｊｍｔにより規定すればよい。

２値変数ｘ_ｊｍｔに関する様々な制約条件を規定するために、以下の定数を規定する。
ｊｔ_ｊ：作業ｊの所要時間のタイムスロット数
ｊｓｔ_ｊ：作業ｊの開始可能時刻のタイムスロット番号
ｊｄｔ_ｊ：作業ｊの納期時刻のタイムスロット番号
ｃ_ｋ：制約項Ｑｋの重み
また更に以下の集合を規定する。
Ｊ：作業ｊの集合
Ｍ：資源ｍの集合
Ｔ：最適化処理の対象となるタイムスロットの集合
ＭＴ_ｍ：資源ｍに割り当て可能なタイムスロットの集合（ＭＴ_ｍ⊂Ｔ）
Ｍ＿ＪＯＢ_ｍ：資源ｍで処理可能な作業の集合（Ｍ＿ＪＯＢ_ｍ⊂Ｊ）
ＰＲＥ：作業ｊｐ、作業ｊｎ、及び待ち時間ｗａｉｔの組の集合（作業ｊｎの開始は作業ｊｐの開始後に時間ｗａｉｔ後であるような作業及び待ち時間の組みの集合）
これらの定数と集合とに基づいて、目的関数Ｅは、以下に示される制約項Ｑｋの重み係数ｃ_ｋによる重み付け和として得られる。
Ｅ＝ｃ_１Ｑ１＋ｃ_２Ｑ２＋ｃ_３Ｑ３＋ｃ_４Ｑ４＋ｃ_５Ｑ５＋ｃ_６Ｑ６＋ｃ_７Ｑ７

なお上記各制約項において、加算範囲が規定されていない場合のタイムスロットｔに関する総和記号Σは、最適化処理の対象となるタイムスロットの集合Ｔについて総和を求めるものである。

制約項Ｑ１は、各作業を決められた開始時間（作業ｊの開始時刻はタイムスロット番号ｊｓｔ_ｊ）以降に開始することを制約条件として規定する。タイムスロット番号がｊｓｔ_ｊより前に開始される条件に一致する２値変数ｘ_ｊｍｔの和をとることで、これら和の対象となる２値変数ｘ_ｊｍｔの値が１となる場合にはペナルティーとして目的関数Ｅの値が大きくなる。

制約項Ｑ２は、各作業を決められた納期（作業ｊの納期時刻はタイムスロット番号ｊｄｔ_ｊ）迄に完了することを制約条件として規定する。タイムスロット番号がｊｄｔ_ｊ−ｊｔ_ｊ（納期時刻−所要時間＝必要開始時刻）以降に開始される条件に一致する２値変数ｘ_ｊｍｔの和をとることで、これら和の対象となる２値変数ｘ_ｊｍｔの値が１となる場合にはペナルティーとして目的関数Ｅの値が大きくなる。

制約項Ｑ３は、資源を使用可能な時間以外の時間（資源ｍに割り当て可能なタイムスロットの集合ＭＴ_ｍの補集合に属する時間）において、当該資源を使用しないことを制約条件として規定する。資源ｍに割り当て可能なタイムスロットの集合ＭＴ_ｍの補集合に属するタイムスロット番号に対して２値変数ｘ_ｊｍｔの和をとることで、これら和の対象となる２値変数ｘ_ｊｍｔの値が１となる場合にはペナルティーとして目的関数Ｅの値が大きくなる。

制約項Ｑ４は、資源に割り当て可能な作業（資源ｍで処理可能な作業の集合Ｍ＿ＪＯＢ_ｍに属する作業）のみを、当該資源に割り当てることを制約条件として規定する。資源ｍで処理可能な作業の集合Ｍ＿ＪＯＢ_ｍの補集合に属する作業に対して２値変数ｘ_ｊｍｔの和をとることで、これら和の対象となる２値変数ｘ_ｊｍｔの値が１となる場合にはペナルティーとして目的関数Ｅの値が大きくなる。

制約項Ｑ５は、各作業を一回だけ実行することを制約条件として規定する。制約項Ｑ５に含まれる自乗項は、全ての資源ｍ及び全てのタイムスロットｔについて、ある作業ｊを規定する２値変数ｘ_ｊｍｔの和をとり、当該和から１を引いた数を自乗している。この自乗項は、全ての資源ｍ及び全てのタイムスロットｔについて一度だけｘ_ｊｍｔの値が１となる場合に０となる。それ以外の場合には自乗項は０以上の値となり、ペナルティーとして目的関数Ｅの値が大きくなる。

制約項Ｑ６は、各資源に同時に複数の作業を割り当てることができないことを制約条件として規定する。ある資源ｍに対して、タイムスロットｔにおいて作業ｊが開始されて変数ｘ_ｊｍｔの値が１となり、そのタイムスロットから当該作業ｊの所要時間ｊｔ_ｊ後までの間ｔ'に他の作業ｊ'が開始されて変数ｘ_ｊ'ｍｔ'の値が１になると、両変数の積が１となる。この積の総和が目的関数に含まれることにより、ある資源に同時に複数の作業が割り当てられると、ペナルティーとして目的関数Ｅの値が大きくなる。

制約項Ｑ７は、先の作業ｊｐの後にｗａｉｔ時間待ってから次の作業ｊｎを開始するという作業の順序制約を規定する。タイムスロットｔにおいて資源ｍにより作業ｊｐが開始されて変数ｘ_ｊｐｍｔの値が１となり、そのタイムスロットｔからｗａｉｔ時間後のタイムスロットｔ'（＝ｔ＋ｗａｉｔ）に、資源ｍ'により作業ｊｎが開始されて変数ｘ_{ｊｎｍ'ｔ'}の値が１になると、両変数の積が１となる。この条件に該当する当該積の値をペナルティーとして含めず、それ以外の場合における当該積の総和を目的関数に含まれることにより、作業の順序制約が守られない場合に、ペナルティーとして目的関数Ｅの値が大きくなる。

例えばシミュレーテッド・アニーリングにより、上記のようにモデル化された資源制約付きスケジューリング問題において近似解を求める場合、上記の２値変数ｘ_ｊｍｔを要素とする状態Ｓを定義してよい。現在の状態Ｓの目的関数値（Ｅとする）を計算し、更に現在の状態Ｓから僅かに変化（例えば１ビット反転）した次の状態Ｓ'の目的関数値Ｅ'を計算し、更に両者の差分ΔＥ（＝Ｅ'−Ｅ）を計算する。例えばＳの確率分布としてボルツマン分布を想定し、メトロポリス法を用いる場合、次の状態Ｓ'に遷移する確率Ｐを以下の式で定めることができる。
Ｐ＝ｍｉｎ［１，ｅｘｐ（−βΔＥ）］
ここでβは逆温度（絶対温度の逆数）である。関数ｍｉｎ［１，ｘ］は値１と値ｘとのいずれか小さい方の関数値を有する。上式によれば、ΔＥ≦０のときに確率１で次の状態に遷移し、０＜ΔＥのときに確率ｅｘｐ（−βΔＥ）で次の状態に遷移する。

状態を遷移させながら、充分に遅い速度で温度を低くしていくことにより、理論的には最小の目的関数値を有する最適解に状態を収束させることができる。なおメトロポリス法は限定的でない一例であり、例えばギブス・サンプリング法等の他の遷移制御アルゴリズムを用いてもよい。

以上のようにして、資源制約付きスケジューリング問題を２値変数によりモデル化することができる。図２に示されるデータ格納部２０に格納される作業情報データベース２０Ａ及び資源情報データベース２０Ｂは、このようなモデルを規定するための上述の変数ｘ_ｊｍｔ、定数、集合、目的関数等に関するデータを含んでよい。

図２を再び参照し、緩和解生成部２２は、作業情報データベース２０Ａ及び資源情報データベース２０Ｂに格納された各作業に関するデータ、各資源に関するデータ、及び制約条件に関するデータに基づいて、緩和解即ち制約違反解を生成する。ここで制約違反解とは、各作業及び各資源に関連する制約条件を少なくとも部分的に満たさない解のことであり、制約条件を満たす探索空間の外に位置し且つ少なくとも一部が緩和された制約条件を満たす探索空間内に位置する解である。本願において、制約違反解と緩和解とは同一の意味を有する用語として用いられる。

緩和解生成部２２が生成した緩和解に関するデータは、緩和解データ２０Ｃとしてデータ格納部２０に格納される。緩和解データ２０Ｃは、緩和解の終了時刻を示すデータ、即ち緩和解における各作業の終了時刻のうち最も遅く終了した作業の終了時刻を示すデータを少なくとも含む。

制約違反解とは逆の条件を満たす解として制約充足解が規定される。制約充足解は目的関数に規定される制約条件を全て満たす解であってよく、制約違反解は目的関数に規定される制約条件の一部を満たさない解であってよい。後述するように、メタヒューリスティック計算部２４により求めた制約充足解に関するデータが、最良解データ２０Ｄとしてデータ格納部２０に格納される。本願において、制約充足解と最良解とは同一の意味を有する用語として用いられる。最良解データ２０Ｄは、制約充足解の終了時刻を示すデータ、即ち制約充足解における各作業の終了時刻のうち最も遅く終了した作業の終了時刻を示すデータを少なくとも含む。

なお、上記のように目的関数に規定される制約条件を全て満たす解を制約充足解であると規定すると、前述の目的関数Ｅの例で言えば、目的関数Ｅの値が最小値ゼロとなるような解が制約充足解であることになる。代替的に、制約条件の一部（例えば前述の制約項Ｑ１乃至Ｑ７のうちの幾つかの制約項）を満たす解を制約充足解と規定し、それらの一部の制約条件を満たさない解を制約違反解と規定してもよい。この場合、制約充足解が満たすべき一部の制約条件としては、充足することが必要或いは重要な制約条件であってよく、問題の設定に応じて定まってよい。例えば各作業を一回だけ実行する条件及び資源を使用可能時間以外の時間に使用しないという条件が重要であれば、これら２つの条件（即ちＱ３＝Ｑ５＝０）を満たす解を制約充足解として扱い、当該条件を満たさない解を充足違反解として扱ってよい。

緩和解生成部２２は、メタヒューリスティックな手法に基づいて緩和解を生成してよい。その際、例えば前述の目的関数Ｅに含まれる制約項Ｑｋのうち、一部の制約条件（例えば各作業を一回だけ実行することを要求する制約項Ｑ５）以外を規定する制約項についてその重み係数ｃ_ｋをゼロに設定し、目的関数を最小化するように近似解を求めればよい。これにより、例えば、資源を使用可能時間以外の時間に使用しないことを要求する制約項Ｑ３がゼロ以上の値となるような（即ち使用不可の時間に資源を使用するような）、制約違反解を求めることができる。

緩和解生成部２２は、メタヒューリスティックな手法を用いるのではなく、確定的な手法により緩和解を求めてもよい。メタヒューリスティックな手法は、一般に、確率的な要素を導入することにより、好ましくない局所解に停留することなく、制約条件を満たしながら徐々に目的関数値を小さくすることにより、良好な解を生成するように設計されている。緩和解生成部２２の場合は、制約条件にこだわることなく解を生成すればよいので、制約条件を無視した確定的なアルゴリズムにより緩和解を容易に生成することができる。確定的なアルゴリズムを用いることにより、効率的且つ容易に緩和解の初期値を求めることができる。

最適化データ生成部２３は、データ格納部２０に格納されるデータに基づいて、メタヒューリスティック計算部２４が実行する最適化処理のために必要な入力データを作成する。最適化データ生成部２３が作成する入力テータには、メタヒューリスティック計算部２４による最適化処理において用いられる最適化対象終了時刻が含まれる。この最適化対象終了時刻は、前述の資源制約付きスケジューリング問題定式化において説明した定数のうち、最適化処理の対象となるタイムスロットの集合Ｔの最終タイムスロット番号に一致する。当該時刻は、後述するように、緩和解データ２０Ｃ及び最良解データ２０Ｄに基づいて求められる。より具体的には、後述するように、緩和解データ２０Ｃが示す緩和解の終了時刻と最良解データ２０Ｄが示す最良解の終了時刻との間に、最適化対象終了時刻が設定される。

図５は、緩和解と最良解とに基づいて生成される最適化処理用の入力データの一例を示す図である。図５においては、説明の便宜上、製品Ａに対する作業＃１乃至作業＃３（即ち作業Ａ１乃至Ａ３）についてのデータのみが示されており、データ格納部２０に緩和解データ２０Ｃ及び最良解データ２０Ｄが格納されている。

緩和解データ２０Ｃは、前述の２値変数ｘ_ｊｍｔを用いたモデルに基づいて緩和解の状態を示したものである。最良解データ２０Ｄは、同様に、２値変数ｘ_ｊｍｔを用いたモデルに基づいて最良解の状態を示したものである。図５においては、視覚的に解の状態が分かるように、図４と同様の表形式により変数ｘ_ｊｍｔの値の配列を示してある。緩和解データ２０Ｃ及び最良解データ２０Ｄを示す各表において、シェーディングにより暗くしてある時間帯は、当該設備を使用することができない時間帯である。

図５に示す例においては、前述の制約項Ｑ３を充足するか否かに応じて、即ち資源使用可能な時間においてのみ当該資源を使用するか否かに応じて、制約充足解であるか制約違反解であるかを区別している。図５に示される緩和解の表においては、作業Ａ３（製品Ａに対する作業＃３）を設備３により実行開始する時刻が、当該設備３を使用できない時間帯である１０：００となっている。即ち、この緩和解は、前述の制約項Ｑ３がゼロ以上の値となるような（即ち資源使用不可の時間に当該資源を使用するような）制約違反解である。最良解の表においては、資源使用不可の時間帯に作業を実行するようなスケジューリングとはなっておらず、制約項Ｑ３の制約条件を満たすような解となっている。即ちこの最良解は、前述の制約項Ｑ３がゼロとなるような（即ち資源使用可能な時間においてのみ当該資源を使用するような）制約充足解である。

図５において、緩和解に含まれる作業のうちで最後に終了する作業の終了時刻が、緩和解の終了時刻Ｔ１である。また最良解に含まれる作業のうちで最後に終了する作業の終了時刻が、最良解の終了時刻Ｔ２である。この例において、終了時刻Ｔ１のタイムスロット番号は９であり、終了時刻Ｔ２のタイムスロット番号は１５である。

図５に示されるように、データ格納部２０に格納されている緩和解データ２０Ｃ及び最良解データ２０Ｄに基づいて、最適化データ生成部２３が最適化処理の入力データ４１を生成する。入力データ４１は、２値変数ｘ_ｊｍｔを用いたモデルに基づいて最適化処理の対象となる作業、設備、及び時刻を表現したものであり、各作業を特定の時刻で特定の設備に割り当てるスケジューリングを行う問題設定を規定したデータである。図５においては、視覚的に変数の状態が分かるように、図４と同様の表形式により変数ｘ_ｊｍｔの値の配列を示してある。入力データ４１により、８：３０のタイムスロット番号０から１５：００のタイムスロット番号１５において、３個の設備に対して３個の作業を割り当てる最適化処理を実行することが規定される。なお前述の最適化処理の対象となるタイムスロットの集合Ｔが、８：３０のタイムスロットから１５：００のタイムスロットまでを集合要素として含むことになる。

ここで、入力データ４１の最終タイムスロットの時刻（即ち最適化対象終了時刻）が、前述の緩和解の終了時刻Ｔ１と最良解の終了時刻Ｔ２との間に位置するように、最適化データ生成部２３が入力データ４１を生成する。この際、終了時刻Ｔ１と終了時刻Ｔ２との間を所定の比率（例えば１：１）で分割する時間位置に最適化対象終了時刻が設定されてよい。所定の比率に基づいて最適化対象終了時刻を定めることで、単純な処理により効率的に入力データ４１を生成することができる。このようにして生成された入力データ４１に基づいて、以下に説明するようにメタヒューリスティック計算部２４が最適化処理を実行する。

図２を再び参照し、メタヒューリスティック計算部２４は、最適化データ生成部２３が設定したデータに基づいて、メタヒューリスティックな最適化処理を実行することにより、設定された目的関数の値を最小化するような近似解を生成する。この最適化処理を実行する際に、各作業の終了時刻が、最適化データ生成部２３により設定された最適化対象終了時刻より遅くならないように、各作業がスケジューリングされる。即ち例えば最適化対象終了時刻が１５：００のタイムスロットに設定された場合には、１５：００のタイムスロット迄に終了するような各作業時間のスケジューリングのみが最適化処理の対象として考慮される。これは、最適化処理の対象となるタイムスロットの集合Ｔの最終タイムスロットを、最適化対象終了時刻に設定することにより実現される。メタヒューリスティック計算部２４が生成する近似解は、最適化対象終了時刻を含む種々の条件に応じて、制約違反解であることもあれば制約充足解であることもある。

メタヒューリスティック計算部２４により生成された制約違反解又は制約充足解は、後ほど詳細に説明するように、解更新部２６により緩和解データ２０Ｃ又は最良解データ２０Ｄを更新するために用いられる。具体的には、解更新部２６は、制約違反解が求められたときには当該制約違反解のデータにより緩和解データ２０Ｃを置き換え、制約充足解が求められたときには当該制約充足解のデータにより最良解データ２０Ｄを置き換える。このようにしてメタヒューリスティック計算部２４による最適化処理による近似解計算と、解更新部２６による緩和解データ２０Ｃ及び最良解データ２０Ｄの置き換え処理とが繰り返し実行され、解が順次更新されていく。

以下において、上述の解更新動作をより詳細に説明する。

最適化データ生成部２３とメタヒューリスティック計算部２４とは、最適化処理部３０として機能する。最適化処理部３０は、作業情報データベース２０Ａ、資源情報データベース２０Ｂ、緩和解データ２０Ｃ、及び最良解データ２０Ｄに基づいて、資源制約付きスケジューリング問題における最適化処理を実行して近似解を生成する。具体的には、最適化処理部３０は、前回の制約違反解の終了時刻である第１の終了時刻と前回の制約充足解の終了時刻である第２の終了時刻との間に最適化対象終了時刻を指定してメタヒューリスティックな手法により近似解を求める。即ち、最適化処理部３０は、最新の緩和解データ２０Ｃが示す解の終了時刻（第１の終了時刻）と最新の最良解データ２０Ｄが示す解の終了時刻（第２の終了時刻）との間に最適化対象終了時刻を指定して、メタヒューリスティックな手法により近似解を求める。

なおここで「近似解」とは、最小化対象の目的関数の値が最小値となっていることを保証しないが、当該目的関数を最小化する最適解に対する適切な近似と見なすことができる解である。最適化処理部３０により近似解を求める際には、目的関数を確率的に小さくするように探索空間内で状態を順次遷移させていく最適化処理において、予め決めた所定の回数だけ遷移を実行したら、その時点での遷移状態を近似解として出力してよい。或いは最適化処理部３０は、予め決めた所定の時間だけ最適化処理を実行したら、その時点での遷移状態を近似解として出力してよい。或いは最適化処理部３０は、予め決めた所定の値以下に目的関数値が到達したら、その時点での遷移状態を近似解として出力してよい。

なお上記のように緩和解データ２０Ｃの終了時刻と最良解データ２０Ｄの終了時刻とに基づいて実行する最適化処理が第一回目である場合には、緩和解データ２０Ｃの終了時刻と最良解データ２０Ｄの終了時刻としてはそれぞれの初期値データを用いる。初期値として設定された最初の緩和解データ２０Ｃは、前述のように緩和解生成部２２により生成された緩和解データ２０Ｃである。

また、最良解データ２０Ｄの初期値を生成するためには、最適化処理部３０が予め制約充足解を生成してよい。この最良解の初期値を求める際には、作業時間のスケジューリングとして意味のある設定可能な十分に大きな値（十分に遅い時刻）に、最適化対象終了時刻を設定してよい。またこの際の最適化処理においては、最小化対象である目的関数に含まれる適切な制約条件に関する重み係数を十分に大きな値とすることで、ほぼ確実に当該制約充足解が得られるような設定としてよい。或いは最適化処理において用いる解の探索空間として制約条件を満たす空間のみを対象とし、最適化処理において状態遷移する際に常に制約条件を満たす状態のみを遷移先として許容するような設定としてもよい。このようにして最適化処理部３０が最初に生成した制約充足解に関するデータは、最良解データ２０Ｄの初期値データとしてデータ格納部２０に格納される。

解更新動作の一環として最適化処理部３０が近似解を生成すると、最適化結果判定部２５が、最適化処理部３０が生成した近似解が制約違反解と制約充足解との何れであるのかを判定する。この際、最適化結果判定部２５は、制約条件の全て（例えば前述の制約項Ｑ１乃至Ｑ７の全て）を満たす解を制約充足解と判定し、それらの制約条件の少なくとも幾つかを満たさない解を制約違反解と判定してもよい。或いは最適化結果判定部２５は、複数の制約条件のうちの所定の一部の制約条件を満たす近似解を制約充足解であると判定し、当該所定の一部の制約条件を満たさない近似解を制約違反解であると判定してよい。より具体的には、最適化結果判定部２５は、例えば前述の制約項Ｑ１乃至Ｑ７のうちの所定の一部の制約項を満たす解を制約充足解と判定し、それらの所定の一部の制約項のうちの少なくとも幾つかを満たさない解を制約違反解と判定してよい。

このように所定の一部の制約条件を満たすか否かに応じて解判定をすることにより、各制約条件の重要性等を反映した問題設定に応じた適切な解判定を実現し、メイクスパン最小化問題に対する効率的な求解処理を実現することができる。なお一般に、最適化データ生成部２３が設定した最適化対象終了時刻が早い場合には、求められた近似解は制約違反解である可能性が高く、最適化対象終了時刻が遅い場合には、求められた近似解は制約充足解である可能性が高い。

解更新部２６は、最適化結果判定部２５による判定結果に基づいて、上記近似解が制約違反解である場合には近似解の終了時刻により第１の終了時刻を更新し、上記近似解が制約充足解である場合には近似解の終了時刻により第２の終了時刻を更新する。即ち、最適化処理部３０が生成した近似解が制約違反解である場合には、当該近似解のデータにより、データ格納部２０に格納されている緩和解データ２０Ｃ（解の終了時刻を示すデータを含む）を更新する。また最適化処理部３０が生成した近似解が制約充足解である場合には、当該近似解のデータにより、データ格納部２０に格納されている最良解データ２０Ｄ（解の終了時刻を示すデータを含む）を更新する。

図６は、生成した近似解のデータにより緩和解データまたは最良解データのいずれか一方を更新する動作を説明するための図である。図６において、図５と同一又は対応する構成要素は同一又は対応する番号で参照し、その説明は適宜省略する。

図５を参照して説明したように最適化データ生成部２３により生成した入力データ４１に基づいて、メタヒューリスティック計算部２４が最適化処理を実行することにより近似解を生成する。図６に示される例において、メタヒューリスティック計算部２４により求められた近似解５１では、全ての作業が設備の使用可能時間内において実行されている。この場合、最適化結果判定部２５は、求められた近似解５１が制約充足解（即ち最良解）であると判定してよい。

この判定結果に基づいて、解更新部２６が、求められた近似解５１のデータにより、データ格納部２０に格納される最良解データ２０Ｄを置き換える。図６に示される例において、データ格納部２０の最良解データ２０Ｄが更新されることにより、最良解の終了時刻Ｔ２がタイムスロット番号１５からタイムスロット番号１１へと変更される。

以上のようにして図２に示す最適化装置は、緩和解データ２０Ｃが示す解の終了時刻（第１の終了時刻）と最良解データ２０Ｄが示す解の終了時刻（第２の終了時刻）とを順次更新しながら、メタヒューリスティック計算部２４により近似解を繰り返し求める。この処理により、緩和解データ２０Ｃが示す解の終了時刻（第１の終了時刻）と最良解データ２０Ｄが示す解の終了時刻（第２の終了時刻）とが互いに近づいていく。

処理終了判定部２７は、緩和解データ２０Ｃが示す解の終了時刻（第１の終了時刻）と最良解データ２０Ｄが示す解の終了時刻（第２の終了時刻）との差が所定値以下となったか否かを判定する。両時刻の差が所定値以下となった場合、即ち、第１の終了時刻と第２の終了時刻とが十分に近づいた或いは一致した場合、処理終了判定部２７は、最適化装置によるメイクスパン最小解の近似解を求める処理を終了させる。両時刻が同一又は略同一となった時点における最良解データ２０Ｄの示す解が、メイクスパン最小解の適切な近似解となる。なお処理終了判定部２７は、第２の終了時刻と最適化対象終了時刻との差が所定値以下となったか否かを判定して、判定結果に基づいてメイクスパン最小解の近似解を求める処理を終了させてもよい。

上記説明のように第１の終了時刻と第２の終了時刻とが互いに近づいていくことについて、以下に更に説明する。

第１の終了時刻をＴ１とし、第２の終了時刻をＴ２とし、メイクスパン最小解（理想的な解）をＴ_{ＩＤＥＡＬ}とする。Ｔ１は制約充足解を求めることができなかった（或いは求めることが困難であった）場合の解の終了時刻に等しく、Ｔ２は制約充足解を求めることができた場合の解の終了時刻に等しいので、高い確率でＴ１＜Ｔ２が成り立つ。最適化対象終了時刻をＴ_ＥＮＤとすると、Ｔ_ＥＮＤはＴ１とＴ２との間に設定されるので、Ｔ_ＥＮＤ＜Ｔ２が成り立つ。Ｔ２を更新する近似解の終了時刻は常にＴ_ＥＮＤよりも早いので、Ｔ２が更新される場合は常に時間的に早い方向に更新される。従って、Ｔ２は単調減少していく（時間軸上で早い時間方向に確実にずれていく）。メイクスパン最小解は存在し得る全ての制約充足解のうちで最も早い終了時刻を有する解であるので、Ｔ_{ＩＤＥＡＬ}≦Ｔ２が成り立つ。Ｔ２は、全ての制約充足解の終了時刻の中から単調減少するように選ばれていくので、確実に且つ迅速にＴ２はＴ_{ＩＤＥＡＬ}に近づいていき、Ｔ２とＴ１とが略等しくなったときには、Ｔ２の値はＴ_{ＩＤＥＡＬ}に対する精度の高い近似値となっている。

なおＴ１及びＴ２のうちの遅い方がＴ１となる場合、即ちＴ２＜Ｔ１となる場合も低い確率で発生し得る。そのような場合を考慮に入れても、Ｔ１とＴ２との遅い方Ｔ_{ＬＡＴＴＥＲ}よりもＴ_ＥＮＤは常に早い、即ちＴ_ＥＮＤ＜Ｔ_{ＬＡＴＴＥＲ}である。Ｔ１及びＴ２を更新する近似解の終了時刻は常にＴ_ＥＮＤよりも早いので、Ｔ_{ＬＡＴＴＥＲ}が更新される場合は常に時間的に早い方向に更新される。従って、Ｔ１及びＴ２のうちの大きい方（遅い方）は単調減少していく（時間軸上で早い時間方向に確実にずれていく）。即ち、Ｔ２についても高い確率で単調減少していく。以上から分かるように、確率的にＴ２＜Ｔ１となる場合を考慮に入れたとしても、前述の説明と同様に、略確実に且つ迅速にＴ２はＴ_{ＩＤＥＡＬ}に近づいていき、Ｔ２とＴ１とが略等しくなったときには、Ｔ２の値はＴ_{ＩＤＥＡＬ}に対する精度の高い近似値となっている。

データ出力部２８は、以上のようにして求められたメイクスパン最小解の近似解を示すデータを出力する。データの出力先は、図１に示される表示部１２を介してディスプレイ画面であってよく、ＨＤＤ１６であってもよく、可搬型記憶媒体用ドライブ１８を介して記憶媒体Ｍであってもよく、或いはネットワークインターフェース１７を介して外部装置であってもよい。

以上のようにして図２に示す最適化装置は、緩和解データ２０Ｃが示す解の終了時刻と最良解データ２０Ｄが示す解の終了時刻とを順次更新しながら、メタヒューリスティックな最適化処理により近似解を繰り返し求める。この最適化装置の特徴として、メタヒューリスティックな最適化処理において値を最小化する対象となる目的関数には、メイクスパン（最大完了時刻）が早いほど値が小さくなるような項は含まれていない。

メイクスパンを評価する指標を直接的に目的関数に組み込むことは難しいので、従来技術では、メイクスパン評価指標を間接的或いは近似的に目的関数に組み込み、メタヒューリスティックな最適化処理によりメイクスパン最小解の近似解を求めていた。それに対して図２に示す最適化装置では、メイクスパン評価指標を間接的にも近似的にも目的関数に含めてはいない。従って、繰り返し処理の一回分の最適化処理においては、メイクスパンを早くするような仕組みは何ら組み込まれていないことになる。

図２に示す最適化装置では、一回分のメタヒューリスティックな最適化処理においては、メイクスパンを評価することなく、制約条件を規定した目的関数を最小化するような近似解を、ある最適化対象終了時刻に対して求めている。そして現在の最適化処理により求められた近似解に基づいて、最適化対象終了時刻をメイクスパン最小解の近似解が存在する方向又は存在する可能性が高い方向に移動させ、移動後の最適化対象終了時刻に対して次の回の最適化処理を実行している。このように最適化対象終了時刻の移動更新処理により、最適化処理により求まる近似解を、メイクスパン最小解の近似解に近づけていくことができる。

このようにして図２に示す最適化装置では、資源制約付きスケジューリング問題におけるメイクスパンを評価する指標を間接的或いは近似的に目的関数に組み込む必要がないので、メタヒューリスティック最適化処理の効率や解の精度が低下しない。また２分探索に類似した手順で最適化対象終了時刻を移動させていくので、総タイムスロット数をＮとしたときにｌｏｇ_２Ｎ程度の回数だけ最適化処理の実行を繰り返すことにより、メイクスパン最小化の良好な近似解を求めることができる。

図７は、最適化方法の手順の一例を示すフローチャートである。図７に示される最適化方法は、図１に示されるハードウェアに基づいて、図２に示される各機能部が実行してよい。

なお図７及び以降の図において、フローチャートに記載された各ステップの実行順序は一例にすぎず、本願の意図する技術範囲が、記載された実行順番に限定されるものではない。例えば、Ａステップの次にＢステップが実行されるように本願に説明されていたとしても、Ａステップの次にＢステップを実行することが可能なだけでなく、Ｂステップの次にＡステップを実行することが、物理的且つ論理的に可能である場合がある。この場合、どちらの順番でステップを実行しても、当該フローチャートの処理に影響する全ての結果が同一であるならば、本願に開示の技術の目的のためには、Ｂステップの次にＡステップが実行されてもよいことは自明である。Ａステップの次にＢステップが実行されるように本願に説明されていたとしても、上記のような自明な場合を本願の意図する技術範囲から除外することを意図するものではなく、そのような自明な場合は、当然に本願の意図する技術範囲内に属する。

ステップＳ１において、データ取得部２１が、資源情報、作業情報、及び時間情報等を含む入力データを読み込む。データ取得部２１が読み込んだデータはデータ格納部２０に格納される。

ステップＳ２において、緩和解生成部２２が、制約違反を無視して資源を作業に割り当てることにより解を導出し、導出解のデータを緩和解データ２０Ｃとしてデータ格納部２０に格納する。この際、緩和解生成部２２は、確定的な手法により資源を作業に割り当ててよい。

ステップＳ３において、メタヒューリスティック計算部２４が例えばイジングマシンを使用することにより制約充足解を導出し、導出解のデータを最良解データ２０Ｄとしてデータ格納部２０に格納する。

ステップＳ４において、最適化データ生成部２３が、緩和解データ２０Ｃの示す解の作業完了時刻を終了時刻Ｔ１に設定し、更に緩和解データ２０Ｃの示す解の制約違反量をＣ１に設定する。ここで制約違反量とは、制約違反解が制約を違反する度合いを示す指標となる量である。図７に示される最適化方法では、前述のように第1の終了時刻と第２の終了時刻との間を所定の比率で分割する時間位置に最適化対象終了時刻を設定するのではなく、この制約違反量と後述する制約充足余裕量とに基づいて、最適化対象終了時刻を設定する。

制約違反量としては、例えば、緩和解において作業及び資源（即ち設備）の各組み合わせが制約違反しているタイムスロット数の合計を用いてよい。具体的には、例えば設備使用可能時間においてのみ作業を割り当てるという制約条件に着目し、当該制約条件に違反する割り当てが行われているタイムスロットの総数を制約違反量としてよい。例えば図５に示される緩和解データ２０Ｃが示す緩和解の場合には、作業Ａ３の設備３への割り当てにおいてタイムスロット番号３及び４（時刻１０：００及び１０：３０）が、設備使用不可時間となっている。従って、この緩和解の場合には制約違反量を２としてよい。

ステップＳ５において、最適化データ生成部２３が、最良解データ２０Ｄの示す解の作業完了時刻を終了時刻Ｔ２に設定し、更に最良解データ２０Ｄの示す解の制約充足余裕量をＣ２に設定する。ここで制約充足余裕量とは、制約充足解が制約を充足する余裕の度合いを示す指標となる量である。

制約充足余裕量としては、例えば、最善解において、作業が割り当てられていない利用可能な資源毎のタイムスロット数を全資源に対して合計した値を用いてよい。具体的には、例えば設備使用不可時間を除いて利用可能な未割り当てのタイムスロット数を各資源について求め、こうして求めたタイムスロット数を全ての資源について合計してよい。例えば図５に示される最良解データ２０Ｄが示す最良解の場合には、設備１について未割り当ての利用可能なタイムスロット数は１５である。また設備２について未割り当ての利用可能なタイムスロット数は１０であり、設備３について未割り当ての利用可能なタイムスロット数は７である。従って、この最善解の場合には、制約充足余裕量を１５＋１０＋７＝３２としてよい。

ステップＳ６において、最適化データ生成部２３が、制約違反量Ｃ１及び制約充足余裕量Ｃ２に基づいて最適化対象終了時刻を計算して適宜その端数を切り上げ、求められた最適化対象終了時刻をＴ_ＥＮＤに設定する。例えば緩和解（初期値又は前回の制約違反解）の制約違反量Ｃ１と最善解（初期値又は前回の制約充足解）の制約充足余裕量Ｃ２とに基づいた比率により、第１の終了時刻Ｔ１と第２の終了時刻Ｔ２との間を分割する時間位置に、最適化対象終了時刻を設定してよい。

より具体的には、例えば以下の式により最適化対象終了時刻Ｔ_ＥＮＤを計算してよい。
Ｔ_ＥＮＤ＝Ｔ１＋（Ｔ２−Ｔ１）Ｃ１／（Ｃ１＋Ｃ２）
このようにして最適化対象終了時刻を計算することにより、制約違反量Ｃ１が相対的に大きいとき、即ち緩和解の終了時刻Ｔ１が早すぎる時刻に位置している場合には、最適化対象終了時刻を比較的遅い時刻（Ｔ１よりもＴ２に近い時刻）に設定することができる。また制約充足余裕量Ｃ２が相対的に大きいとき、即ち最善解の終了時刻Ｔ２が十分に余裕のあるほど遅い場合には、最適化対象終了時刻を比較的早い時刻（Ｔ２よりもＴ１に近い時刻）に設定することができる。

また例えば、以下の式により最適化対象終了時刻Ｔ_ＥＮＤを計算してもよい。
Ｔ_ＥＮＤ＝Ｔ１＋（Ｔ２−Ｔ１）・（１／３） （Ｃ１＜Ｃ２の場合）
Ｔ_ＥＮＤ＝Ｔ１＋（Ｔ２−Ｔ１）・（１／２） （Ｃ１＝Ｃ２の場合）
Ｔ_ＥＮＤ＝Ｔ１＋（Ｔ２−Ｔ１）・（２／３） （Ｃ１＞Ｃ２の場合）
この場合は、制約違反量Ｃ１と制約充足余裕量Ｃ２とに基づいた比率、即ちＣ１とＣ２との大小関係に基づいた比率（１／３又は１／２又は２／３）により、Ｔ１とＴ２との間を分割する時間位置に、最適化対象終了時刻を設定していることになる。先の計算式の場合と同様に、制約違反量Ｃ１が相対的に大きいとき、即ち緩和解の終了時刻Ｔ１が早すぎる時刻に位置している場合には、最適化対象終了時刻を比較的遅い時刻（Ｔ１よりもＴ２に近い時刻）に設定することができる。また制約充足余裕量Ｃ２が相対的に大きいとき、即ち最善解の終了時刻Ｔ２が十分に余裕があるほど遅い場合には、最適化対象終了時刻を比較的早い時刻（Ｔ２よりもＴ１に近い時刻）に設定することができる。

このように制約違反量と制約充足余裕量とに基づいて最適化対象終了時刻を設定することにより、緩和解が早すぎる或いは最善解に余裕がありすぎる等の指標に応じた時刻設定が可能となり、効率的に最適化対象終了時刻を変化させることができる。その結果、より効率よく迅速にメイクスパン最小化の近似解を求めることがでかきる。

ステップＳ７において、処理終了判定部２７が、Ｔ_ＥＮＤとＴ２とが互いに一致しているか否かを判定する。タイムスロット番号による時刻表示は離散的であるので、最適化処理を繰り返して十分な回数実行することにより、Ｔ_ＥＮＤとＴ２とが一致するときがくる。Ｔ_ＥＮＤとＴ２とが一致していない場合、処理はステップＳ８に進む。

ステップＳ８において、メタヒューリスティック計算部２４が、最適化対象終了時刻Ｔ_ＥＮＤに対してイジングマシンを使用して近似解を導出する。ステップＳ９において、最適化結果判定部２５が、導出解は制約違反解であるか否かを判定する。導出解が制約違反解である場合には処理はステップＳ１０に進み、解更新部２６が、導出解に関するデータを緩和解データ２０Ｃとしてデータ格納部２０に格納する。導出解が制約違反解でない場合には処理はステップＳ１１に進み、解更新部２６が、導出解に関するデータを最良解データ２０Ｄとしてデータ格納部２０に格納する。その後処理はステップＳ４に戻り、以降の処理を繰り返す。

ステップＳ７においてＴ_ＥＮＤとＴ２とが互いに一致していると判定されると、最適化処理は終了する。この最適化処理終了時点における最良解データ２０Ｄが、メイクスパン最小解の適切な近似解となる。

図８は、緩和解を生成する処理の一例を示すフローチャートである。図８に示す緩和解生成処理は図２に示す緩和解生成部２２が実行してよい。

ステップＳ２１において、緩和解生成部２２は、作業情報データベース２０Ａのデータに基づいて、各作業を作業時間が長い順にソートする。即ち、作業情報データベース２０Ａのデータが示す複数の作業のうち、作業時間が最長の作業をリスト先頭の要素とし、作業時間が減少していく順番に作業が並ぶような作業リストを生成する。生成した作業リストは、ｊｏｂＬｉｓｔとしてデータ格納部２０に格納される。

図９は、作業リストの一例を示す図である。緩和解生成部２２により作成されたｊｏｂＬｉｓｔの一例がリスト６１として示されている。この例におけるリスト６１には、６個の作業が、先頭から作業＃１、作業＃２、作業＃３、作業＃４、作業＃５、作業＃６の順番に格納されている。

図１０は、資源制約付きスケジューリング問題を規定するモデルの初期状態を示す図である。図１０に示す資源制約付きスケジューリング問題は、６個の作業＃１乃至＃６を３個の設備１乃至３に割り当てる問題であり、スケジューリングの対象となる時間範囲は８：３０のタイムスロットから１５：３０のタイムスロットである。図１０において、シェーディングにより暗くしてある時間帯は、当該設備を使用することができない時間帯である。緩和解生成部２２は、図９のリスト６１に格納される６個の作業を、図１０に規定されるモデルにおいて各資源（設備）に割り当てていくことになる。

図８のステップＳ２２において、緩和解生成部２２は、ｊｏｂＬｉｓｔの先頭から作業を1つ取り出し、取り出した作業をｔａｒｇｅｔＪｏｂとする。図９に示す例の場合、リスト６１の先頭に格納されている作業は作業＃１であるので、この作業＃１を取り出してｔａｒｇｅｔＪｏｂとする。

ステップＳ２３において、緩和解生成部２２は、資源毎に作業が割り当てられていない時刻Ｔが最も早いものを選択し、選択した資源をｒｅｓｏｕｒｃｅとする。図１０に示される初期状態では、資源（設備）に対して作業が1つも割り当てられていないので、このステップＳ２３の処理において、例えば任意の設備１を選択してよく、この選択した設備をｒｅｓｏｕｒｃｅとする。

図８のステップＳ２４において、緩和解生成部２２は、ｒｅｓｏｕｒｃｅにおいて作業が割り当てられていない最も早い時刻Ｔから開始するようにｔａｒｇｅｔＪｏｂをｒｅｓｏｕｒｃｅに割り当てる。この割り当てにおいては、制約条件（例えば設備を使用可能な時間帯においてのみ作業を割り当てることができる等の制約条件）は無視して割り当てが行われる。

図１１は、資源制約付きスケジューリング問題を規定するモデルにおいて1つの作業を割り当てた後の状態を示す図である。上記のように、設備１において作業が割り当てられていない最も早い時刻８：３０から開始するように作業＃１を設備１に割り当てることにより、矢印７１で示される位置に作業＃１が割り当てられた状態となる。

図８のステップＳ２５において、緩和解生成部２２は、ｊｏｂＬｉｓｔ内の要素数がゼロであるか否かを判定する。要素数がゼロでない場合には、緩和解生成部２２による処理はステップＳ２２に戻る。

ステップＳ２２に戻った時点において、ｊｏｂＬｉｓｔの先頭は作業＃２になっているので、緩和解生成部２２は、作業＃２をｔａｒｇｅｔＪｏｂとして取り出すことになる。その後ステップＳ２３及びＳ２４が実行され、緩和解生成部２２が、作業＃２を設備２に割り当てる。この割り当て動作により、図１１に示される状態に続いて、図１２に示されるように、矢印７２で示される位置に作業＃２が割り当てられた状態となる。この割り当て動作においては、設備２が使用不可である時間帯（シェーデングで示された時間帯）を無視して、使用不可の時間帯において設備２に対して作業＃２が割り当てられている。その後、処理は再度ステップＳ２２に戻る。

ステップＳ２２に戻った時点において、ｊｏｂＬｉｓｔの先頭は作業＃３になっているので、緩和解生成部２２は、作業＃３をｔａｒｇｅｔＪｏｂとして取り出すことになる。その後ステップＳ２３及びＳ２４が実行され、緩和解生成部２２が、図１３に矢印７３で示すように作業＃３を設備３に割り当てる。その後再度ステップＳ２２に戻る。

ステップＳ２２乃至Ｓ２４が再度実行され、緩和解生成部２２が、図１４に矢印７４で示すように作業＃４を設備３に割り当てる。この場合、設備１乃至設備３のうちで、作業が割り当てられていない時刻が最も早いのが設備３であるので、ステップＳ２３において設備３がｒｅｓｏｕｒｃｅとして設定され、作業＃４の割当先が設備３となる。

その後ステップＳ２２乃至Ｓ２４が再度実行され、緩和解生成部２２が、図１５に矢印７５で示すように作業＃５を設備２に割り当てる。その後ステップＳ２２乃至Ｓ２４が再度実行され、緩和解生成部２２が、図１６に矢印７６で示すように作業＃６を設備１に割り当てる。

その後ステップＳ２５において、ｊｏｂＬｉｓｔ内の要素数がゼロであると判断され、緩和解生成部２２による緩和解生成処理は終了する。このようにして、緩和解生成部２２が、制約条件を無視しながら確定的な手法により作業を資源に割り当てていくことにより、緩和解データ２０Ｃの初期値となる制約違反解を求めることができる。

以上、本発明を実施例に基づいて説明したが、本発明は上記実施例に限定されるものではなく、特許請求の範囲に記載の範囲内で様々な変形が可能である。

１１ ＣＰＵ
１２ 表示部
１３ 入力部
１４ ＲＯＭ
１５ ＲＡＭ
１６ ＨＤＤ
１７ ネットワークインターフェース
１８ 可搬型記憶媒体用ドライブ
１９ メタヒューリスティック計算部
２０ データ格納部
２１ データ取得部
２２ 緩和解生成部
２３ 最適化データ生成部
２４ メタヒューリスティック計算部
２５ 最適化結果判定部
２６ 解更新部
２７ 処理終了判定部
２８ データ出力部

Claims (8)

1. 資源制約付きスケジューリング問題において、制約違反解と制約充足解と近似解を繰り返し求める最適化装置であって、
   前回の前記制約違反解の終了時刻である第１の終了時刻と前回の前記制約充足解の終了時刻である第２の終了時刻との間に最適化対象終了時刻を指定してメタヒューリスティックな手法により前記近似解を求める最適化処理部と、
   前記近似解が制約に違反しているか前記制約を充足しているかを判定する最適化結果判定部と、
   前記最適化結果判定部による判定結果に基づいて、前記近似解が前記制約に違反している場合には前記近似解の終了時刻により前記第１の終了時刻を更新し、前記近似解が前記制約を充足している場合には前記近似解の終了時刻により前記第２の終了時刻を更新する解更新部
   を含み、前記第１の終了時刻及び前記第２の終了時刻を更新しながら前記近似解を繰り返し求めることを特徴とする、最適化装置。
2. 前記第１の終了時刻の初期値は、前記メタヒューリスティックな手法ではなく確定的な手法により求めた前記制約に違反している解の終了時刻である、請求項１記載の最適化装置。
3. 前記最適化処理部は、前記第１の終了時刻と前記第２の終了時刻との間を所定の比率で分割する時間位置に前記最適化対象終了時刻を設定する、請求項１又は２記載の最適化装置。
4. 前記最適化処理部は、前記前回の制約違反解の制約違反量と前記前回の制約充足解の制約充足余裕量とに基づいた比率により、前記第１の終了時刻と前記第２の終了時刻との間を分割する時間位置に、前記最適化対象終了時刻を設定する、請求項１又は２記載の最適化装置。
5. 前記最適化処理部は複数の制約条件を含む目的関数を最小化するように前記メタヒューリスティックな手法を実行し、前記最適化結果判定部は、前記複数の制約条件のうちの所定の一部の制約条件を満たす前記近似解を前記制約を充足する解であると判定し、前記所定の一部の制約条件を満たさない前記近似解を前記制約に違反する解であると判定する、請求項１乃至４いずれか一項記載の最適化装置。
6. 前記最適化処理部は複数の制約条件を含む目的関数を最小化するように前記メタヒューリスティックな手法を実行し、前記目的関数には前記資源制約付きスケジューリング問題における最大完了時間を評価する項が含まれない、請求項１乃至５いずれか一項記載の最適化装置。
7. 資源制約付きスケジューリング問題に対し、制約違反解と制約充足解と近似解を繰り返し求める最適化方法であって、
   前回の前記制約違反解の終了時刻である第１の終了時刻と前回の前記制約充足解の終了時刻である第２の終了時刻との間に最適化対象終了時刻を指定してメタヒューリスティックな手法により前記近似解を求め、
   前記近似解が制約に違反しているか前記制約を充足しているか示す判定結果を生成し、
   前記判定結果に基づいて、前記近似解が前記制約に違反している場合には前記近似解の終了時刻により前記第１の終了時刻を更新し、前記近似解が前記制約を充足している場合には前記近似解の終了時刻により前記第２の終了時刻を更新する更新動作を実行し、
   前記第1の終了時刻と前記第２の終了時刻との差が所定値以下となるまで、前記近似解を求め、前記判定結果を生成し、前記更新動作を実行する処理を繰り返す
   処理をコンピュータにより実行する、最適化方法。
8. 資源制約付きスケジューリング問題に対し、制約違反解と制約充足解と近似解を繰り返し求める最適化方法であって、
   前回の前記制約違反解の終了時刻である第１の終了時刻と前回の前記制約充足解の終了時刻である第２の終了時刻との間に最適化対象終了時刻を指定してメタヒューリスティックな手法により前記近似解を求め、
   前記近似解が制約に違反しているか前記制約を充足しているか示す判定結果を生成し、
   前記判定結果に基づいて、前記近似解が前記制約に違反している場合には前記近似解の終了時刻により前記第１の終了時刻を更新し、前記近似解が前記制約を充足している場合には前記近似解の終了時刻により前記第２の終了時刻を更新する更新動作を実行し、
   前記第1の終了時刻と前記第２の終了時刻との差が所定値以下となるまで、前記近似解を求め、前記判定結果を生成し、前記更新動作を実行する処理を繰り返す
   処理をコンピュータに実行させる、最適化プログラム。

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