JP2019531008A - 量子ハードウェア上でのフェルミオン・ハミルトニアンのシミュレーションのためのリソースの効率的な削減 - Google Patents

Abstract

【課題】 量子コンピュータ上で必要とされる量子ビットの数を削減する方法及びシステムを提供する。【解決手段】 技術は、量子コンピュータ上で必要とされる量子ビットの数を削減することに関する。フェルミオン系は、ハミルトニアンに関して特徴付けられる。フェルミオン系は、フェルミオン及びフェルミオン・モードを含み、フェルミオン・モードの総数は２Ｍである。ハミルトニアンは、上向きスピン及び下向きスピンパリティ演算子によってコード化されるパリティ対称性を有する（１００５）。フェルミオン・モードは、２Ｍモードの第１の半分が上向きスピンに対応し、２Ｍモードの第２の半分が下向きスピンに対応するようにソートされる（１０１０）。パリティ演算子を量子ビットＭ上の第１の単一量子ビット・パウリ演算子及び量子ビット２Ｍ上の第２の単一量子ビット・パウリ演算子に変換する、フェルミオンから量子ビットへの写像を利用して、ハミルトニアン及びパリティ演算子が変換される（１０１５）。第１の単一量子ビット・パウリ演算子によって作用された量子ビットＭ及び第２の単一量子ビット・パウリ演算子によって作用された量子ビット２Ｍが、除去される（１０２０）。【選択図】 図１１

Description

本発明は、一般に量子計算に関し、より詳細には量子ハードウェア上でのフェルミオン・ハミルトニアン(fermionic Hamiltonian)のシミュレーションのためのリソースの効率的な削減に関する。

素粒子物理学において、フェルミオンは、フェルミ−ディラック統計によって特徴付けられる任意の粒子である。これらの粒子は、パウリの排他原理に従う。フェルミオンは、全てのクォーク及びレプトン、並びに奇数のそれらで構成された全てのバリオン及び多くの原子及び原子核のような任意の複合粒子を含む。フェルミオンは、ボーズ−アインシュタイン統計に従うボゾンとは異なる。フェルミオンは、電子のような素粒子である場合もあり、又は陽子のような複合粒子である場合もある。任意の合理的な相対論的量子場理論におけるスピン統計定理によれば、整数スピンを有する粒子はボゾンであり、一方、半整数スピンを有する粒子はフェルミオンである。

スピン特性に加えて、フェルミオンは、保存されたバリオン又はレプトン量子数も有する。従って、通常、スピンと統計性の関係と称されるものは、実際には、スピン統計−量子数の関係である。パウリの排他原理の帰結として、任意の所与の時間に特定の量子状態を占めることができるのは１個のフェルミオンのみである。複数のフェルミオンが同じ空間確率分布を有する場合、各フェルミオンの少なくとも１つの性質、例えばそのスピンが異ならなければならない。フェルミオンは、通常、物質に関連付けられるのに対し、ボゾンは一般に力を運ぶ粒子であり、とはいえ素粒子物理学の現状において２つの概念間の区別は不明確である。弱く相互作用するフェルミオンは、極端な条件下ではボゾンのような挙動も示し得る。低温において、フェルミオンは、非荷電粒子の場合は超流動を示し、荷電粒子の場合は超伝導を示す。陽子及び中性子のような複合フェルミオンは、日常の物質の重要な構成ブロックである。

Jacob T Seeley、Martin J Richard、及びPeter J Love、「The Bravyi-Kitaev transformation for quantum computation of electronic structure」、The Journal of Chemical Physics、2012年、137(22):224109 S. Bravyi及びA.Kitaev.、「Fermionic quantum computation」、Ann. of Phys.、2002年、298(1):210-226 E. Wigner及びP. Jordan、「Ueber das Paulische Aeguivalenzverbot」、Z. Phys、1928年、47:631 D. Wecker、M. B.Hastings、及びM .Troyer、「Towards practical quantum variational algorithms」、arXivpreprint arXiv：1507.08969、2015年 R. Gallager、「Low-density parity-check codes」、Information Theory、IRE Transactions、1962年、8(1):21-28 R.Darling、M. Penrose、A. Wade、及びS. Zabell、「Rank deficiency in sparse random GF(2) matrices」、Electron. J. Probab、2014年、19(83):1-36

本発明は、量子コンピュータ上で必要とされる量子ビットの数を削減する方法及びシステムを提供する。

１つ又は複数の実施形態によれば、量子コンピュータ上で必要とされる量子ビットの数を削減するコンピュータ実装方法が提供される。この方法は、フェルミオン系をハミルトニアンに関して特徴付けることを含む。フェルミオン系は、フェルミオン及びフェルミオン・モードを含み、フェルミオン・モードの総数は２Ｍである。ハミルトニアンは、上向きスピン及び下向きスピンパリティ演算子によってコード化されるパリティ対称性を有する。この方法は、ハミルトニアン上のフェルミオン・モードを、２Ｍモードの第１の半分が上向きスピンに対応し、２Ｍモードの第２の半分が下向きスピンに対応するようにソートすることと、フェルミオンから量子ビットへの写像を利用してハミルトニアン及びパリティ演算子を変換することを含み、ここでフェルミオンから量子ビットへの写像は、パリティ演算子を、量子ビットＭ上の第１の単一量子ビット・パウリ演算子及び量子ビット２Ｍ上の第２の単一量子ビット・パウリ演算子に変換する。さらに、この方法は、第１の単一量子ビット・パウリ演算子によって作用された量子ビットＭ、及び第２の単一量子ビット・パウリ演算子によって作用された量子ビット２Ｍを除去することを含む。

１つ又は複数の実施形態によれば、量子コンピュータ上で必要とされる量子ビットの数を削減するコンピュータ実装方法が提供される。この方法は、フェルミオン系をハミルトニアンに関して特徴付けることを含む。フェルミオン系は、フェルミオン及びフェルミオン・モードを含む。この方法は、フェルミオンから量子ビットへの写像を利用してハミルトニアンを変換することと、ハミルトニアンのパウリ対称性演算子を見いだすことと、パウリ対称性演算子を単一量子ビット・パウリ演算子に変換することと、単一量子ビット・パウリ演算子が作用しているあらゆる量子ビットを除去することと、を含む。

１つ又は複数の実施形態によれば、量子コンピュータ上で必要とされる量子ビットの数を削減するコンピュータ実装方法が提供される。この方法は、フェルミオン系をハミルトニアンに関して特徴付けることを含む。フェルミオン系は、フェルミオン及びフェルミオン・モードを含み、フェルミオン・モードの総数はＭであり、ハミルトニアンは、粒子数対称性及びＮ粒子を有する。この方法は、Ｍフェルミオン・モードからＭ量子ビットへ変換するフェルミオンから量子ビットへの写像を利用して、ハミルトニアンを変換することを含み、ここでＭ量子ビットは、計算基底（computational basis）においてＭビットストリングによって表される。さらに、この方法は、圧縮写像を、Ｍ量子ビットを有するハミルトニアンがＱ量子ビットの変換ハミルトニアンに写像されるようにハミルトニアンに適用することを含み、ここでＱ＜Ｍであり、圧縮写像は、ハミング重みＮを有する、計算基底においてＭ量子ビットをラベルするＭビットストリングを、Ｑビットストリングに写像する。

１つ又は複数の実施形態によれば、システムが提供される。システムは、量子コンピュータ上で必要とされる量子ビットの数を削減するためのコンピュータ実行可能命令を含むメモリと、コンピュータ実行可能命令を実行するプロセッサと、を含む。コンピュータ実行可能命令は、プロセッサに動作を行わせる。動作は、フェルミオン系をハミルトニアンに関して特徴付けることを含む。フェルミオン系は、フェルミオン及びフェルミオン・モードを含み、フェルミオン・モードの総数は２Ｍであり、ハミルトニアンは、上向きスピン及び下向きスピンパリティ演算子によってコード化されるパリティ対称性を有する。動作は、ハミルトニアン上のフェルミオン・モードを、２Ｍモードの第１の半分が上向きスピンに対応し、２Ｍモードの第２の半分が下向きスピンに対応するようにソートすることを含む。また、動作は、フェルミオンから量子ビットへの写像を利用してハミルトニアン及びパリティ演算子を変換することを含み、ここでフェルミオンから量子ビットへの写像は、パリティ演算子を、量子ビットＭ上の第１の単一量子ビット・パウリ演算子及び量子ビット２Ｍ上の第２の単一量子ビット・パウリ演算子に変換する。さらに、動作は、第１の単一量子ビット・パウリ演算子によって作用された量子ビットＭ、及び第２の単一量子ビット・パウリ演算子によって作用された量子ビット２Ｍを除去することを含む。

１つ又は複数の実施形態によれば、システムが提供される。システムは、量子コンピュータ上で必要とされる量子ビットの数を削減するためのコンピュータ実行可能命令を含むメモリと、コンピュータ実行可能命令を実行するプロセッサと、を含む。コンピュータ実行可能命令は、プロセッサに動作を行わせる。動作は、フェルミオン系をハミルトニアンに関して特徴付けることを含む。フェルミオン系は、フェルミオン及びフェルミオン・モードを含む。動作は、フェルミオンから量子ビットへの写像を利用してハミルトニアンを変換することと、ハミルトニアンのパウリ対称性演算子を見いだすことと、パウリ対称性演算子を単一量子ビット・パウリ演算子に変換することと、単一量子ビット・パウリ演算子が作用しているあらゆる量子ビットを除去することと、を含む。

本発明の実施形態をここで、添付の図面を参照して例示のみの目的で説明する。

１つ又は複数の実施形態による削減１のフローチャートである。 １つ又は複数の実施形態による削減２のフローチャートの１部分を示す。 １つ又は複数の実施形態による削減２のフローチャートの別の部分を示す。 １つ又は複数の実施形態による削減３のフローチャートの１部分を示す。 １つ又は複数の実施形態による削減３のフローチャートの別の部分を示す。 １つ又は複数の実施形態による小さいＭ及びＮについて数的に計算されたＱ（Ｍ，Ｎ）の値を示す表である。 １つ又は複数の実施形態による、充填関数ν＝Ｎ／Ｍの関数としての量子ビット対モード比Ｑ／Ｍ上の上界を有する圧縮ヨルダン−ウィグナー変換のグラフを示す。 １つ又は複数の実施形態による単一量子ビットについての二次ホッピング項についての測定回路を示す。 １つ又は複数の実施形態によるＮ＝３粒子を伴うＭ＝１４フェルミ・モードからＱ＝１０量子ビットへの削減を示すグラフである。 １つ又は複数の実施形態による、削減１、２、及び／又は３を実行するように構成されたコンピュータの例である。 １つ又は複数の実施形態による削減１、２、及び／又は３の出力を実行するように構成された量子コンピュータの例である。 １つ又は複数の実施形態による量子コンピュータ上で必要とされる量子ビットの数及び／又は量子コンピュータ上でのシミュレーションに必要とされる量子ビットの数を削減する（削減１）方法のフローチャートである。 １つ又は複数の実施形態による量子コンピュータ上で必要とされる量子ビットの数及び／又は量子コンピュータ上でのシミュレーションに必要とされる量子ビットの数を削減する（削減２）方法のフローチャートである。 １つ又は複数の実施形態による量子コンピュータ上で必要とされる量子ビットの数及び／又は量子コンピュータ上でのシミュレーションに必要とされる量子ビットの数を削減する（削減３）方法のフローチャートである。

量子機構において、ハミルトニアンは、大部分の場合、系の全エネルギーに対応する演算子である。これは通常、Ｈで表され、

でも表される。そのスペクトルは、系の全エネルギーを測定したときの可能な成果の集合である。これは系の時間発展と密接に関係するので、量子論の大部分の公式において基本的に重要である。

量子情報処理は、従来の古典的ハードウェアでは難しすぎると思われる特定の計算問題を解く可能性を秘めている。量子コンピュータに特に適した計算タスクは、量子力学系のシミュレーションである。ここでの中心的な用途は、例えば量子化学、材料科学、及び核物理学において見いだすことができる、強く相互作用するフェルミオン系のシミュレーションである。量子コンピュータ上でフェルミオン度（Fermionic degree）を表すために、フェルミオン・モードは、量子計算の基本論理単位である量子ビットに写像される必要がある。

フェルミオン自由度を量子ビット自由度に写像するためのいくつかの変換が従来技術において知られている。最も卓越しているのはヨルダン−ウィグナー（Ｊｏｒｄａｎ−Ｗｉｇｎｅｒ）変換であり、次いで計算がより効率的な一般化ヨルダン−ウィグナー変換（Ｂｒａｖｙｉ−Ｋｉｔａｅｖ写像）及びパリティ表現である。

これら全ての変換に共通するのは、１フェルミオン自由度（すなわち１モード）が厳密に１量子ビット自由度（すなわち１量子ビット）に写像されることである。それゆえ、この写像において必要な量子ビットの数は、モード（すなわちフェルミオン・モード）の数に等しい。

しかしながら、物理的フェルミオン系は常にパリティの保存に従い、場合によっては、さらに強い粒子数の保存に従うことが知られている。これらの対称性ゆえに、量子ビットシミュレーションにおける全ての自由度が必ずしも必要であるわけではなく、実際いくつかの量子度は、冗長な情報をコード化している。これらの自由度（すなわち過剰の量子ビット）を計算効率的（computationally efficient）な方式でどのように正確に排除できるかということは未解決の問題であり、それはシミュレーションにおける冗長な量子ビット自由度の除去に直接的につながる。シミュレーションは、量子ビットを有する量子コンピュータ上で実行される。量子ビットは、量子コンピュータにおける量子ハードウェアの物理的ピースであり、量子ビットは、超伝導量子デバイスであることに留意されたい。ハミルトニアンにおいて、量子ビットは、物理的量子ビットを表す用語として用いられる。

１つ又は複数の実施形態は、スピン軌道相互作用を無視できる任意の化学的ハミルトニアンに対して、常に２量子ビット自由度を除去する効率的なスキームを提供する。１つ又は複数の実施形態は、隠れた対称性を見いだすスキームを提供し、ここで相互に互換性の各対称性がハミルトニアンにおける単一量子ビットの除去を可能にする。１つ又は複数の実施形態は、粒子数保存に依拠して量子ビットの数を削減する圧縮スキームを提供し、この圧縮スキームは、実行が効率的であるとともに、漸近的に最適である。

いくつかの特定の例において、情報の損失を伴わずに個別の量子ビットをシミュレーションから除去することができることが観測されていた。これらの観測は、従来技術においては、非常に特異的なモデル・ハミルトニアン、例えば水素分子の量子化学ハミルトニアン並びに４フェルミオン・モードを有するフェルミ−ハバード（Ｆｅｒｍｉ−Ｈｕｂｂａｒｄ）モデルに限られていた。これらの例においては、従来技術においてはハミルトニアンの厳密なブロック対角構
造(block diagonal structure)が既知であることが必要であった。どちらの場合も、通則的なモデルのための、量子自由度を排除する計算効率的な方法を表すものではないので、この排除は非スケーラブルなものとなり、量子ビットの除去を従来技術において考慮された特定のモデル系に制限している。

しかしながら、実施形態は、量子化学及び材料科学、並びに核物理学のシミュレーションにおいて見いだされ得る通則的なフェルミオン量子多体ハミルトニアンに対するフェルミオン量子シミュレーションにおける、量子ビットの除去のための計算効率的なスキームを論じる。実施形態は、ハミルトンにおける量子ビット自由度を除去するために、標準ヨルダン−ウィグナー写像並びに一般化ヨルダン−ウィグナー写像のような異なるフェルミオン写像を利用する。ハミルトンにおける量子ビット自由度を除去することによって、実施形態は、（量子ビット上での）ハミルトンの実行の際に量子コンピュータ（量子ハードウェア、量子機械等とも称される）において必要とされる量子ビットの数を除去する。量子コンピュータにとって、量子ビットは貴重で高価なリソースである。量子シミュレーションに必要とされる量子ビットの数の削減は、利用可能なリソースのより効率的な使用につながる。削減は、同じ量子計算リソースを用いて、削減を伴わないシミュレーションよりも複雑な系のシミュレーションを可能にする。１つ又は複数の実施形態によれば、削減プロセスは、量子シミュレーションにおいて広く適用可能なものとなるためには効率的である必要があり、なぜなら非効率的なスキームは、量子コンピュータの使用から得られる計算の利点を減ずることになるからである。

実施形態によれば、スキームの入力は、シミュレーションされる系をコード化するハミルトニアンである。出力は、実施形態により自由度が削減された（すなわち、より少数の量子ビットを必要とすることに対応する）ハミルトニアンである。次いでこの出力ハミルトニアンを量子アルゴリズムに提供することができ、次いでその量子アルゴリズムは量子コンピュータ上でより少数のリソースを使用する。量子アルゴリズムは、特定の問題を解くために量子コンピュータに送られる有限列のステップ・バイ・ステップ命令である。本明細書では、実験者は、出力ハミルトニアンの基底状態エネルギーについての推定量を得ることに興味がある。従って、この出力ハミルトニアンは、量子コンピュータ上での量子シミュレーションのための入力データの集合をもたらす。限定ではなく説明の目的で、量子自由度の除去のための３つのスキーム（それは量子コンピュータのハードウェアにおいて必要とされる、より少数の量子ビットをもたらす）が提示され、各スキームは、それぞれの利点を有し、実施形態に従って異なるシナリオにおいて上手く働く。図１０におけるコンピュータ８００は、削減（Reduction）１、２、及び３を実行するようにプログラムされ及び構成される。１つ又は複数のソフトウェアアプリケーション８６０は、それぞれの削減１、２、及び３のコンピュータ命令を伴ってプログラムされ、プロセッサ８１０がそれらを実行することができるようになっている。それぞれの削減１、２、及び／又は３を実行した後、それぞれの削減１、２、及び／又は３の出力（すなわち、出力ハミルトニアン）は、次いで元の入力より必要とする量子ビットが少数の（すなわち、元のハミルトニアンより必要とする量子ビットが少数の）ハミルトニアンとして図１１の量子コンピュータ９００に適用され、実行される。従来技術の量子コンピュータは、その上で動作する量子ビットを、限定された数、例えば８量子ビットしか有さないことを認識されたい。従って、１０量子ビットを必要とするハミルトニアンは、８量子ビット量子コンピュータ上では量子ハードウェアが８量子ビットのみに限定されているので、シミュレーション／実行されることができない。実施形態は、削減（例えば、削減１、２、及び／又は３）を、削減ハミルトニアンが元の１０量子ビットの代わりに８量子ビットのみを必要とするようになるように行うよう構成され、それにより今や量子コンピュータの限定された８量子ビット上でシミュレーション／実行されることができる削減ハミルトニアンを作り出す。従って、実施形態は、より少ない量子ハードウェア（より少数の量子ビット）を必要とする技術を提供することによって、量子コンピュータ自体の機能を改善する。実施形態は、ハミルトニアンが量子コンピュータの限定されたリソースに適用されるには大きすぎる（すなわち、より多数の量子ビット（すなわち量子ハードウェア）を必要とする）であろう場合に、ハミルトニアンが量子コンピュータ上で動作することを可能にすることによって、技術を改善する。実施形態は、複雑なハミルトニアンのサイズを、量子コンピュータに適用するために削減することを可能にする。さらに、実施形態は、ハミルトニアンが利用可能な計算リソースより多くの計算リソースを必要とするのに対して限定された数の計算リソース（すなわち限定された数の量子ビット）しか有さない量子コンピュータという、技術に根ざした明白な課題に対処し、これを解決する。ハミルトニアンをより少数の量子ビット（量子ハードウェア）を利用するサイズまで削減することができなければ、そのハミルトニアンによって代表される系をその量子コンピュータ上でシミュレーションすることはできない。

以下、限定ではなく説明の目的で、見出し及び／又は小見出しを本明細書において利用することに留意されたい。

１）削減１：一般化ヨルダン−ウィグナー変換におけるパリティが保存された量子ビットの除去

ここで削減１の上位の説明を提供するが、削減１の詳細な説明は後述する。削減１は、一般化ヨルダン−ウィグナー変換後のハミルトニアンにおけるパウリ演算子の局所性、すなわち重みを保存し、電子のスピン−パリティを保存する任意のフェルミオン・ハミルトニアンから（厳密に）２量子ビットを排除し、それにより量子コンピュータにおける２量子ビットの必要性を排除する。これは、特に、スピン軌道カップリングを伴わない電子構造問題について化学的ハミルトニアンに適用される。削減１は、以下のように働く：ハミルトニアンは、２_Ｍ＝２^ｋ（ｋ＝１，２，．．．）スピン軌道の空間に対して作用する。実験者は、軌道をソートして、最初のラベル１からＭまでが全て上向きスピンに対応し、残りのラベルＭ＋１から２Ｍまでが下向きスピンに対応するようにする。ここで最初のＭ個の下向きスピン軌道に対するパリティ演算子Ｐ１、及び残りのＭ個の上向きスピン軌道に対するＰ２を表現することができる。一般化ヨルダン−ウィグナー変換を用いてフェルミオン・モード演算子をスピン自由度に変換することによって、第１のパリティ演算子Ｐ１が量子ビットＭ上で単純なパウリＺ行列として作用すること、すなわちＰ１＝Ｚ_Ｍであること、一方、第２の演算子Ｐ２がサイトＭ及び２Ｍにおける２つのパウリＺ行列の単純積であること、すなわちＰ２＝Ｚ_ＭＺ_２Ｍであることを示すことができる。実験者は、ハミルトニアンのあらゆる項においてスピンパリティの保存を仮定しているので、Ｐ１及びＰ２は両方とも変換ハミルトニアンにおけるあらゆる項と可換である。このことは、このサイト（例えば、サイトＭ及び／又は２Ｍ）上のパウリ演算子が各項において単位行列又はパウリＺ行列にしかなり得ないことを含意しており、なぜならこれらは、それらの位置においてＰ１及びＰ２と可換な唯一の可能な演算子であるからである。ハミルトニアンにおけるあらゆる項の構造は、シミュレーションにおけるこれらの量子ビットの作用が予め既知である（すなわち事前定義されている）ので、今やより単純になる。それゆえ、実験者は予め電子のスピンパリティを知っているので、実験者は、これらの２量子ビットを除去して、パリティに依存した固有値（＋／−１）で項を置き換えることができる。これら２量子ビットは、シミュレーションにおいてスピンパリティの値をコード化していただけであり、それは実験者がシミュレーションを開始する前に既知の（すなわち事前定義された）情報である。量子ビットの除去は、量子ハードウェアにおいて必要とされる量子ビットがより少数であることを意味し、結果として、これは要するに冗長な情報の直接除去ということになる。

図１は、１つ又は複数の実施形態による削減１のフローチャート１００である。削減１の技術は、コンピュータ８００上で（アプリケーション８６０として）実行することができる。式（１）に匹敵する２Ｍモードの初期フェルミオン・ハミルトニアンＨを仮定し、実験者は、変換１−３のシーケンスを適用して、このハミルトニアンを２Ｍ−２量子ビット上での量子シミュレーションのための量子ビット・ハミルトニアンに変換する。削減１は、コンピュータ８００上で実行され、一方、量子シミュレーション（より少数の量子ビットが実行されることを必要とするハミルトニアンである、削減ハミルトニアンを介する）は、量子コンピュータ９００の量子ハードウェア上で実行される。

ブロック１０５において、コンピュータ８００上の（アプリケーション８０６を介した）入力は、２Ｍフェルミオン・スピン軌道ハミルトニアンＨ（式（１））である。これは２Ｍモードのフェルミオン・ハミルトニアンＨである。

ブロック１１０において、コンピュータ８００は、スピン軌道をソートし、１．．．Ｍを上向きスピン軌道としてラベルし、Ｍ＋１．．．２Ｍを下向きスピン軌道としてラベルすることによって、ハミルトニアンＨからハミルトニアンＨ’に変換（Ｈ→Ｈ’）するように構成される。これは、２Ｍフェルミオン・モードをソートすることであり、ブロック１１５においてハミルトニアンＨ’をもたらす。

ブロック１２０において、コンピュータ８００は、一般化ヨルダン−ウィグナー（Ｂｒａｖｙｉ−Ｋｉｔａｅｖ）変換を適用することによってハミルトニアンＨ’をＨ_ｑに変換（Ｈ’→Ｈ_ｑ）するように構成され、２Ｍ量子ビット・ハミルトニアンＨ_ｑを得る（ブロック１２５において）。引用により本明細書に組み入れられる非特許文献１を参照することができる。

ブロック１３０において、コンピュータ８００は、ハミルトニアンＨ_ｑのあらゆる項においてラベルＭを有する量子ビットを除去し、及びラベル２Ｍを有する量子ビットを除去し、除去操作後、次いでその項に適切な固有値＋／−１を乗ずることによって、ハミルトニアンＨ_ｑからＨ_ｑ，−２に変換（Ｈ_ｑ→Ｈ_ｑ，−２）するように構成される。固有値は、実験者がシミュレーションを開始する前に利用可能な（事前定義された）データであるスピンパリティの値をコード化するのみであるので、適切な固有値＋／−１は既知である。ブロック１３５において、出力は、２Ｍ−２量子ビット・ハミルトニアンＨ_ｑ，−２（下記の式（６）参照）であり、これが量子コンピュータ９００に適用される。

２）削減２：非局所可換パウリ行列の構築による量子ビット自由度のアルゴリズム的削減

ここで削減２の上位の説明を提供するが、削減２の詳細な説明は後述する。削減２は、変換ハミルトニアンのパウリ演算子の局所性を高めることができる。しかしながら、削減２は、ハミルトニアン不変量における加数の総数はそのままにする。量子ビット・ハミルトニアンは、パウリ行列の和として記述される。この削減は、和の形を変化させず、変換後に合計することを必要とする新たな項を導入しない。しかしながら、これは個別の項の形を変化させ、パウリ演算子を、それ自体で今やより多数の量子ビットに対して共同で作用しているパウリ演算子に対して写像する。削減２は、全ての考慮されたフェルミオンから量子ビットへの変換、特に一般化ヨルダン−ウィグナー変換並びに標準ヨルダン−ウィグナー変換に適用することができる。削減２は、以下のように働く：Ｎ量子ビット・パウリ群は、２を法とする整数の２Ｎ＋２コピーの直接群積（direct group product）に対して同型であることは周知の事実である。（数学において、同型写像とは、逆を許容する準同型写像又は射（すなわち数学的写像）である。）この同型写像を用いて、あらゆるパウリを、位相依存性を省略し、従って２ビット省略して、２Ｎビットストリングにコード化することができる、

パウリ行列に対するフェルミオン・モード演算子の写像が行われた後、表現を二進行列に配置することが可能である。詳細な削減２で説明されるように、これからブロックを交換し移項することによって二重パリティ検査行列を構築することができる。ビットの有限体上のこのパリティ検査行列の核（kernel）は、ハミルトニアンにおけるあらゆる項と可換なパウリ行列をコード化するビットストリングに対応する（２つの要素は、オペランドの順序を変えることが結果を変えないときに可換である）。核は、この行列の零空間であり、核は、その行列によってゼロに写像される全ての因数で形成された集合であることに留意されたい。核は、単純なガウスの消去法によって決定することができ、これは効率的な削減であり、ハミルトニアンにおけるモード及び項の数において多項式的にスケール変更する（scales polynomially）。ひとたび核が決定されると、核内のあらゆる線形独立ビットストリングに対してクリフォード（Ｃｌｉｆｆｏｒｄ）群要素を容易に構築することができるので、対応する非局所的パウリ演算子が単一量子ビット・パウリ行列上に写像されるようになる。このクリフォード群要素は、詳細な削減２において定義される。この単一量子ビット・パウリ演算子（すなわち非局所的パウリ演算子）は、今やハミルトニアンにおける全ての項と、構築により可換であり、それゆえ実験者は再び削減１のシナリオの中にいる。この量子ビットは、今や除去することができ、除去された量子ビットを対応する（＋／−１）固有値で置き換えることができるが、それは削減１の場合とは異なり、シミュレーションによって決定する必要がある。削減１においては、この値は、各スピン軌道内の粒子を数えることによって、実験者がシミュレーションを開始する前に計算することができた。実験者が予め知られていない対称性も発見することができるこの削減２においては、この数は、シミュレーションの完了後、全エネルギーが最小になるように決定される。

図２及び図３は、１つ又は複数の実施形態による削減２のフローチャート２００を示す。削減２の技術は、コンピュータ８００上で（アプリケーション８６０として）実行することができる。２Ｍモードの初期フェルミオン・ハミルトニアンＨ（本明細書中の式（１）に匹敵する）を仮定し、変換１、２、及び３のシーケンスを適用して、このハミルトニアンを２Ｍ−ｋ量子ビット上での量子シミュレーションのための量子ビット・ハミルトニアンに変換し、ここでｋは現在のＺ２対称性によって決定される。上記のように、削減２は、コンピュータ８００上で実行され、一方、量子シミュレーション（より少数の量子ビットが実行されることを必要とするハミルトニアンである、削減ハミルトニアンを介する）は、量子コンピュータ９００の量子ハードウェア上で実行される。

ブロック２０５において、コンピュータ８００上の（アプリケーション８０６を介した）入力は、２Ｍフェルミオン・スピン軌道ハミルトニアンＨ（本明細書中の式（１）参照）である。これは２Ｍモードのフェルミオン・ハミルトニアンＨを意味する。

ブロック２１０において、コンピュータ８００は、標準ヨルダン−ウィグナー変換又は一般化ヨルダン−ウィグナー変換を適用してハミルトニアンＨからハミルトニアンＨ_ｑに変換（Ｈ→Ｈ_ｑ）するように構成され、２Ｍ量子ビット・ハミルトニアンを得る（ブロック２１５において）。これは量子ビットに対するフェルミオンの写像である。標準ヨルダン−ウィグナー変換及び／又は一般化ヨルダン−ウィグナー（Ｂｒａｖｙｉ−Ｋｉｔａｅｖ）変換を論じているが、他の写像技術、例えばパリティ基底（parity basis）で又は任意の他の二進基底（binary basis）で働くものを利用することができることを認識されたい。

ブロック２１５から分岐して、コンピュータ８００は、ブロック２２０においてＨ_ｑにおけるパウリ演算子をＦ_２パリティ検査行列Ｅにコード化し、Ｅの核におけるパウリ演算子の最大可換集合｛ｇ_ｊ｝を決定する（ブロック２２５において）。ｋ＞０の場合、パウリ演算子は見いだされており、フローはブロック２２５に進む。パウリ演算子が見いだされなかった場合、コンピュータ８００は、ブロック２２１においてこの削減スキームをアボートする。パウリ演算子｛ｇ_ｊ｝は、ハミルトニアンにおける項の対称演算子であり、冗長量子ビットを除去するための演算子の集合を構築するために用いられる。対称性を見いだすことができない場合、すなわちｋ＝０の場合、スキームは、ハミルトニアンから更なる量子ビットを除去することはできない。

ブロック２３０において、コンピュータ８００は、あらゆる可換パウリベクトル｛ｇ_ｊ｝（ここでｊ＝１．．．ｋである）に対してＣ_ｊとラベルされたクリフォード写像を構築し、クリフォード変換をＨ_ｑに適用して、ブロック２３５においてｇ_ｊをサイトｍ_１．．．ｍ_ｋ上の単一量子ビット・パウリに写像する、Ｈ’_ｑを得る。

ブロック２３５において、コンピュータ８００は、ハミルトニアンにおけるＺ２対称性を見いだし、クリフォード変換を構築することによって、ハミルトニアンＨ_ｑからＨ’_ｑに変換（Ｈ_ｑ→Ｈ’_ｑ）するように構成される。Ｚ２対称性は、ハミルトニアンにおける対称性のことをいう。

ブロック２３５の結果は、ブロック２４０における２Ｍ量子ビットハミルトンＨ’_ｑである。

ブロック２４５において、コンピュータ８００は、ハミルトニアンＨ’_ｑのあらゆる項からラベルｍ_１．．．ｍ_ｋを有する量子ビットを除去し、その項に適切な固有値＋／−１を乗ずることによって、ハミルトニアンＨ’_ｑからＨ’_ｑ，−ｋに変換（Ｈ’_ｑ→Ｈ’_ｑ，−ｋ）するように構成される。

ブロック２５０において、出力は２Ｍ−ｋ量子ビット・ハミルトニアンＨ_ｑ，−ｋ（本明細書における式（１０）参照）であり、これが量子コンピュータ９００に適用される。

３）削減３：粒子数を保存するフェルミオン・ハミルトニアンのための圧縮ヨルダン−ウィグナー変換

ここで削減３の上位の説明を提供するが、削減３の詳細な説明は後述する。削減３は、粒子の数を保存する局所的フェルミオン演算子を、局所的パウリ演算子と非局所的対角演算子との積として表すことができる非局所的量子ビット演算子に写像する。削減３は、ハミルトニアンにおける各項に別個に適用される。シミュレーションされるフェルミオン系がＮ個の電子で占有されたＭ個の軌道からなると仮定すると、変換ハミルトニアンは、Ｑ量子ビットの系を記述し、ここでＱ＜Ｍは、Ｍ及びＮの特定の関数である。実験者は、小さい値のＭ及びＮについての関数Ｑ（Ｍ，Ｎ）の値の表（図６の表１）、並びに詳細な削減２においてＱに対する漸近的上界を提供する。特に、実験者は、削減３が、シミュレーションを（量子コンピュータ９００上で）Ｍ−２量子ビット未満で達成することを可能にすることを示す。削減３は、標準ヨルダン−ウィグナー変換と、ハミング重みＮを有するＭビットストリングをＱビットストリングに送る線形単射圧縮写像とを構成することによって働く。実験者は、圧縮写像の逆を計算するための実用的アルゴリズムを利用する。変換ハミルトニアンは、上述の局所的性質を有し、圧縮写像を記述する二進行列は、Ｍ−Ｑビットを最小距離２Ｎ＋１でＭビットにコード化する低密度パリティ検査（ＬＤＰＣ）コードのパリティ検査行列である。変換ハミルトニアンは、それゆえ一定のコード化率及び一定の相対距離を伴う既知構造のＬＤＰＣコードを有し、一定の分率Ｑ／Ｍ及びＮ／Ｍを伴う圧縮ヨルダン−ウィグナー変換を生じる。最後に、実験者は、量子コンピュータ（例えば量子コンピュータ９００）を使用して所与のＱ量子ビット変分状態のエネルギーを測定する変分手法に基づく量子シミュレーションアルゴリズムにおいて、変換ハミルトニアンをどのように使用するかを示す。

図４及び図５は、１つ又は複数の実施形態による削減３のフローチャート３００を示す。削減３の技術は、コンピュータ８００上で（アプリケーション８６０として）実行することができる。上記のように、削減３は、コンピュータ８００上で実行され、一方、量子シミュレーション（より少数の量子ビットが実行されることを必要とするハミルトニアンである、削減ハミルトニアンを介する）は、量子コンピュータ９００の量子ハードウェア上で実行される。

図４は、１つ又は複数の実施形態によるハミルトニアン圧縮（パート１）を示す。図４において、ブロック３０５において、コンピュータ８００は、Ｎ占有フェルミオンを有する初期Ｍフェルミオン・スピン軌道ハミルトニアンＨ（本明細書の式（１１）参照）を（アプリケーション８０６を介して）受け取るように構成される。これは、Ｍモード及び総計Ｎフェルミオンを有するハミルトニアンＨである。

ブロック３１０において、コンピュータ８００は、標準ヨルダン−ウィグナーをＨに適用することによってハミルトニアンＨをＨ_ｑに変換（Ｈ→Ｈ_ｑ）し、Ｍ量子ビット・ハミルトニアンＨ_ｑを得るように構成され、それによりブロック３１５においてＮフェルミオンを有するＨ_ｑＭ量子ビット・スピン・ハミルトニアンをもたらす。

ブロック３２０において、コンピュータ８００は、式（１６）におけるＬＤＰＣ圧縮から生じる、等長変換Ｕをハミルトニアンに適用するように構成される。ＬＤＰＣ圧縮の結果として、コンピュータ８００は、ブロック３２５において本明細書における式（１３）からＱ（Ｍ，Ｎ）量子ビット・ハミルトニアン

を出力するように構成される。

例えば、ブロック３２５において、コンピュータ８００は、式（１２）のように漸近的スケール変更を伴って、図６の表１（例えば、コンピュータ８００に格納された及び／又はコンピュータ８００によりアクセスされる）からＱ（Ｍ，Ｎ）についての値を読むことができ、これにより図５で利用される圧縮ハミルトニアンＨチルダがもたらされる。この場合、圧縮ハミルトニアンＨチルダ（）は、図５で論じるスキームを用いて、量子コンピュータ９００上でのシミュレーションのために利用される。

図５は、１つ又は複数の実施形態による圧縮測定スキーム（パート２）を示す。（ブロック３４０）の測定スキームを量子コンピュータ９００上で行って、シミュレーションの一部として測定値を得る。コンピュータ８００を用いて、得られた値を最終結果に加算する。図１、図２、図３、図４とは異なり、図５は、量子コンピュータ９００上でシミュレーションを行う。

図５において、ブロック３３０において、コンピュータ８００は、圧縮ハミルトニアン

の入力を受け取るように構成され、ｊ＝１ ．．．ｒ項である。コンピュータ８００は、ｊ＝０及び＜Ｈ＞＝０に設定する。実験者は、＜Ｈ＞を、測定データから計算することが必要とされる期待値として定義する。この値は、初期にはゼロに設定され、スキームの一部として計算される。

ブロック３３５において、コンピュータ８００は、ｊ＝ｊ＋１に設定し、ハミルトニアン項Ｄ_ｊＰ_ｊを選ぶように構成される。

量子コンピュータ９００は、ブロック３４０において式（１４）（本明細書における）の測定期待値を測定し、次にコンピュータ８００に適用される＜Ｄ_ｊＰ_ｊ＞を返すように構成される。古典的コンピュータ８００は、量子コンピュータ９００にシミュレーションを行うための入力データを提供する。量子コンピュータ９００は、測定結果をサンプリングして期待値＜Ｄ_ｊＰ_ｊ＞を推定する。期待値を得るための測定スキームは、詳細な削減３において後述する。量子コンピュータ９００上で（ブロック３４０において）行われたこの出力測定データは、ブロック３４５においてコンピュータ８００にフィードバックされる。

ブロック３４５において、コンピュータ８００は、＜Ｈ＞に加算するように構成され、ここで

である。

ブロック３５０において、コンピュータ８００は、ｊ＜ｒであるかどうかチェックするように構成される。ｙｅｓすなわちｊ＜ｒであれば、プロセスはブロック３３５に戻って進行する。ｎｏであれば、コンピュータ８００は、ｅｌｓｅ ｊ＝ｒで進行し、ブロック３５５において推定量＜Ｈ＞を出力する。出力は、ハミルトニアンＨチルダのエネルギー推定量＜Ｈ＞である。

削減１、２、及び３の上位の考察を上記で論じ、削減の更なる詳細は下記で論じることを認識されたい。最初に削減１の更なる詳細を論じる。

詳細な削減１

実験者は、ここで一般化ヨルダン−ウィグナー変換後のスピン−パリティを保存する分子ハミルトニアンにおける２量子ビットの除去を考える。引用により本明細書に組み入れられる非特許文献２を参照することができる。

扱う分子ハミルトニアンの分子軌道は、第二量子化において考えられる。ここで最も一般的な非相対論的フェルミオン・ハミルトニアンを考えると、これは、

と記述することができ、ここで

は、妥当な分子ハミルトニアンについての正しい対称性に従う１電子及び２電子フェルミオン積分であり、根底にフェルミオン・モードについての反交換法則

を有する。各分子軌道αは、ここでは二重スピン縮退であり、σ＝｛↑，↓｝がスピン状態をラベルし、式（１）のハミルトニアンがスピンの総数を保存するようになっている。スピンパリティの保存は、演算子

がハミルトニアンの対称性であり、［Ｐ_↓↑，Ｈ］＝０であるという事実に対応する。Ｈを量子コンピュータ（例えば、量子コンピュータ９００）上でシミュレーションするために、実験者は一般化ヨルダン−ウィグナー変換を使用する。変換は、フェルミオン演算子

をＰ_２Ｍ＝＜ｉ１，Ｘ_１，Ｚ_１，．．．，Ｘ_２Ｍ，Ｚ_２Ｍ＞のパウリ行列の低次線形結合に写像し、ここでＸ_ｉ、Ｚ_ｉは、総計２Ｍの量子ビットについてｉ番目の量子ビットに対する単一量子ビット・パウリＸ行列及びパウリＺ行列として作用する。この変換はその元の公式化において、モードの総数２Ｍが２のべき乗であることを要し、すなわちｋ＝１，２，．．．について２Ｍ＝２^ｋである。実験者は、以後この仮定を用いる。この一般化ヨルダン−ウィグナー写像は、

と記述することができ、ここで実験者は、２Ｍフェルミオン・モードの順序を、

となるように選んだ。量子ビットのアップデート（update）、パリティ、及び剰余（remainder）の部分集合Ｕ（ｉ）、Ｐ（ｉ）及びρ（ｉ）の定義については、非特許文献１を参照のこと。この変換は、ハミルトニアンＨをエルミート・パウリベクトルの和に対して写像するので、実験者は、Ｈを量子ビット自由度に関して、

と記述することができ、ここでσ_Ａ∈Ｐ_２Ｍ及びｈ_Ａ∈Ｒは、ハミルトニアン係数ｈ_α,β、Ｕ_αβγμから線形結合として計算することができる。対称性演算子ｐ_↓↑は、式（３）に従って
ｐ_↑＝Ｚ_Ｍ 及び ｐ_↓＝Ｚ_２ＭＺ_Ｍ 式（５）
に変換することを立証することができる。

実験者は［ｐ_↓↑，Ｈ］＝０を持っており、ｐ_↑＝Ｚ並びにｐ_↓ｐ_↑＝Ｚ_２Ｍは単一量子ビット演算子であるので、これらはハミルトニアンにおけるあらゆる項と可換であり、それゆえ全てのＡについて［ｐ_↓↑，σ_Ａ］＝０となる。これらの演算子が単一量子ビット演算子であるという事実は、２Ｍが２のべき乗であるという事実に強く依存することに留意されたい。しかしながら、場合によっては、この基準をもはや満たさないモード数に対する一般化ヨルダン−ウィグナー変換のバージョンを実装することが可能である。この場合、ｐ_↓↑のパウリ表現は、非局所化され、より高い重みのパウリ演算子を含むことになる。しかしながらこの場合、以下の削減２についてのセクションで説明されるように、これらの対称性を局所的パウリに再び写像することができるクリフォード変換を見いだすことができる。削減１に戻ると、この対称性をコード化する最終的なパウリ演算子は、いずれの場合でも単一量子ビット・パウリであるので、実験者は、これらの演算子を、上向きスピン↑軌道及び下向きスピン↓軌道の電子の数Ｎのみに依存するその固有値で置き換えることができる。実験者は、スピンカップリングを伴わない分子ハミルトニアンの場合におけるこの数を知っており、ここで↑、↓状態における全スピン自由度の数は、Ｈ_ｑの対称性である。ｐ_↑、ｐ_↓についての固有値は±１であり、従って各パウリ演算子において

として求められ、かつ記述されるので、２Ｍ量子ビット・ハミルトニアンを２Ｍ−２量子ビット上のＨ_ｑ，−２

に削減することができる。

ここで

は、量子ビットＭ、２Ｍがσ_Ａから除去されることを意味する。認識されるように、式（６）は、削減１のブロック１３５の最終結果である。

ここで、削減２に移ると、削減２の上位の考察は上記で提供され、ここで削減２の更なる詳細が下記で提供される。

詳細な削減２

この削減スキームは、スキーム削減１の一般化として見ることができる。削減２は、標準ヨルダン−ウィグナー変換又は一般化ヨルダン−ウィグナー変換のいずれかに対して適用することができる。標準ヨルダン−ウィグナー変換に対する言及は、引用により本明細書に組み入れられる非特許文献３において見いだすことができる。この刊行物はドイツ語のみで入手可能であるが、英訳するとEugene P. Wigner及びP. Jordanによる「About the Pauli exclusion principle」、Z. Phys 47.631 (1928): 14-75である。Ｍモードのフェルミオン・ハミルトニアンがあると仮定すると、実験者はこれを前述の変換によって

に写像することができ、ここでｈ_Ａ∈Ｒ及びσ_Ａ∈Ｐ_Ｍである。実験者は、ここで［ｇ_ｊ，σ_Ａ］＝０，∀Ａ，ｊかつ［ｇ_ｉ，ｇ_ｊ］＝０，∀ｉ，ｊとなるように、ハミルトニアンＨ_ｑの部分集合対称性を構築するｋエルミート可換パウリ演算子ｇ_１，．．．，ｇ_ｋ∈Ｐ_Ｍを探す。いくつかの対称性ｇ_ｊが見いだされたならば、実験者は、それら（ｇ_ｊ）の各々に対して、ｇ_ｊをサイトｊにおいて単一量子ビット・パウリ行列に写像するクリフォード変換Ｃ_ｊを構築する。次いであらゆるｇ_ｊについて、実験者は、σ_ｍｊ∈｛Ｘ_ｍｊ，Ｙ_ｍｊ，Ｚ_ｍｊ｝として｛ｇ_ｊ，σ_ｍｊ｝＝０かつ［ｇ_ｊ，σ_ｍｉ］＝０，∀ｉ≠ｊになるようにサイトｍ_ｊに対して作用する単一量子ビット・パウリ行列を探索する。

あらゆる対（ｇ_ｊ，σ_ｍｊ）に対して、実験者はクリフォード演算子Ｃ_ｊを

として定義する。

実験者は、ここでハミルトニアンＨを

に写像することができ、これは、ここで単一量子ビット・パウリ演算子σ_ｍ１，．．．，σ_ｍｋを対称性として有する。削減１の場合と同じ議論によって、σ_ｍ１，．．．，σ_ｍｋ上でサポートされる量子ビットをＨ_ｑから除去して、それらの固有値（±１）で置き換えることができる。それゆえ、元々はＭ量子ビット上で作用するものとして定義されたハミルトニアンを、ここでＭ−ｋ量子ビット上で表すことができる。すなわち、実験者は、

と記述することができる。削減２スキームは、削減１を特殊な場合として包含する。しかしながら、興味のある特定の問題に依存して、クリフォード演算子Ｃ_ｊが、一般化ヨルダン−ウィグナー変換から得られた低い重みのハミルトニアンを非局所的演算子に対して写像することが起こり得る。ブロック２５０における２Ｍ−Ｋ量子ビット・ハミルトニアンは、式１０におけるＨ_ｑ，−ｋのように定義されることを認識されたい。

演算子ｇ_ｊは、パウリ行列の集合｛σ_Ａ｝_{｛Ａ∈Ｈｑ｝}に関連付けられたパリティ検査行列Ｅからら構築することができる。

を用いて、（２Ｍ）×＃｛Ａ∈Ｈ_ｑ｝次元二進コード行列Ｇ＝［Ｇ_Ｚ，Ｇ_Ｘ］を構築することができる。この行列Ｇ＝［Ｇ_Ｚ，Ｇ_Ｘ］は、列空間内の全てのσ_Ａのコード化ビットストリングの集まりである。二重パリティ検査行列

上の核は、次に可換パウリ演算子｛ｇ_ｊ｝_{ｊ＝１， ．．．，ｋ}によって張られる。

最後に、削減３の上位の考察は上記で提供され、削減３の更なる詳細は下記で提供されない。

詳細な削減３

この削減は、粒子の総数を保存する一般的なフェルミオン・ハミルトニアンに適用される。Ｍ及びＮをそれぞれフェルミオン・モードの数及び粒子の数（占有モード）とする。実験者は、基底の状態｜ｘ_１，ｘ_２、．．．，ｘ_Ｍ＞によって張られたフォック（Ｆｏｃｋ）空間のＮ粒子セクタを考え、ここでｘ_α＝０，１はモードαの占有数であり、

である。
Ｍは、ここでモード（スピンを含む）の総数を示すことに留意されたい。我々の目標は、フェルミオン・ハミルトニアン

をシミュレーションすることである。

ここで各項Ｖ_ｊは、ある１≦α≦β≦γ≦δ≦Ｍについて

の形を有し、ｈ_ｊは実係数である。一般性を失うことなく、Ｎ≦Ｍ／２である。そうでなければ、全てのαについて、粒子とホールとを交換する変換

を行う。本明細書において、実験者は、圧縮ヨルダン−ウィグナー変換を、Ｈを、Ｑ＜Ｍ量子ビットの系を記述する新たなハミルトニアンＨチルダに対して写像するものとして説明し、ここでＱ＝Ｑ（Ｍ，Ｎ）はＭ及びＮの特定の関数である。Ｈチルダの基底状態エネルギーは、Ｎ粒子セクタに制限されたＨの基底状態エネルギーと一致する。図６は、小さいＭ及びＮについて数的に計算されたＱ（Ｍ，Ｎ）の値を示す。図６は、圧縮ヨルダン−ウィグナー変換を表す表１である。表１は、Ｍモード及びＮ粒子を有するフェルミ系を、Ｑ＋１量子ビットを有する量子コンピュータ上でシミュレーションすることができることを示し、ここでＱ＝Ｑ（Ｍ，Ｎ）である。Ｑは、圧縮後のハミルトニアンを表すのに必要とされる量子ビットの数を示すことを想起されたい。一方、Ｍは、Ｎフェルミオンで占有されることができる又は総計でＮフェルミオンの、フェルミオン・モードの元の数を示す。表１は、左列内のＮと上の行内のＭとの対の集合に対するＱ（Ｍ，Ｎ）の値を示す。

実験者はまた、Ｍ、Ｎが無限に近づいて充填分率（filling fraction）ν＝Ｎ／Ｍが一定のままになる場合におけるＱ（Ｍ，Ｎ）上の漸近的上界を誘導する。すなわち、実験者は、任意の定数０＜ν＜１／４について、
Ｑ≦６νＭ ｅｘｐ［ｈ（２ν）／３ν−１］ 式（１２）
を有することを示す。

ここでｈ（ｘ）＝−ｘｌｏｇ（ｘ）−（１−ｘ）ｌｏｇ（１−ｘ）は、シャノン（Ｓｈａｎｎｏｎ）エントロピー関数である（ここでは実験者は自然対数を使用する）。量子ビット対モード比Ｑ／Ｍは、重点分率νの関数として図７に示される。図７は、極限Ｍ，Ｎ→∞における充填分率ν＝Ｎ／Ｍの関数として式（１２）からの量子ビット対モード比Ｑ／Ｍ上の上界を有する圧縮ヨルダン−ウィグナー変換のグラフを示す。見て分かるように、νが閾値

を下回るときはいつもＱ／Ｍ＜１である。実験者は、式（１２）における限界がタイトであることを期待しない。量子化学ハミルトニアンに特化すると、シミュレーションに必要な量子ビットの数はＱ（Ｍ，Ｎ_↑）＋Ｑ（Ｍ，Ｎ_↓）であり、ここでＭは空間軌道の数（すなわちモードの数の半分）であり、Ｎ_↑↓は上向きスピン及び下向きスピンの電子の数である。新たなハミルトニアンＨチルダを説明するために、実験者は、更なる記法を導入する。各項Ｖ_ｊについて、ν_ｊ＝０，１，２をＶ_ｊによって動かされることができる粒子の最大数とする。換言すれば、全ての対角演算子はν_ｊ＝０を有し、ホッピング及び制御ホッピング演算子はν_ｊ＝１を有し、二重ホッピング演算子はν_ｊ＝２を有する。そのとき以下の性質：
（１）Ｄ_ｊは、行列要素０、±１を有する対角演算子である。
（２）Ｐ_ｊは、重みが高々６ν_ｊのＸタイプのパウリ演算子である。
（３）Ｐ_ｊＤ_ｊ＝Ｄ_ｊＰ_ｊである。
を有するいくつかのエルミート演算子Ｄ_ｊ、Ｐ_ｊについて、

である。

式（１３）における係数ｈ_ｊは式（１１）の場合と同じである。目標はＨチルダの基底状態エネルギーを推定することであると仮定する。実験者は、利用可能な量子ハードウェア（すなわち量子コンピュータ）上で準備することができる、ある固定されたＱ量子ビット状態ψのエネルギー＜ψ｜Ｈチルダ｜ψ＞を測定するために量子コンピュータ９００が使用される変分手法を考える。（例示的な変分手法として、引用により本明細書に組み入れられる非特許文献４を参照することができる）。エネルギー＜ψ｜Ｈチルダ｜ψ＞は、次いで適切な古典的最適化アルゴリズムを用いて変分状態ψのいくつかのクラスにわたって最小化される。線形性により、各ｊについて（すなわちハミルトニアンにおけるあらゆる項について）別個にエネルギー＜ψ｜Ｄ_ｊＰ_ｊ｜ψ＞を測定することで十分である。いくつかの固定項Ｄ_ｊＰ_ｊを考え、量子ビットをＰ_ｊが最初のｗ量子ビットに対して作用するように再ラベルし、ここでｗ≦６ν_ｊである。このときＰ_ｊ＝Ｘ_１Ｘ_２・・・Ｘ_ｗである。上記で論じたように量子コンピュータ９００上で行われるブロック３４０の更なる詳細として、実験者は、｜＋＞状態に初期化される１つの補助的量子ビットＡを導入する。量子コンピュータ９００を用いて、実験者は、制御量子ビットＡと各ｊ＝１，．．．，ｗについての標的量子ビットｊとを有するＣＮＯＴゲートを適用する。ＣＮＯＴゲートは、制御ノットゲートと呼ばれる２量子ビットユニタリ演算であり、ソース量子ビットが１であれば標的量子ビットにノット（ｎｏｔ）を適用する。次に、実験者は、Ｘ基底において量子ビットＡを測定する。σ＝±１を測定成果とする。ＣＮＯＴは、量子ビットＡ上の単一量子ビットＸを量子ビット１，．．．，ｗ上のＸ’の積に伝搬するので、σはＰ_ｊの固有値と一致することに留意されたい。第２に、Ｚ基底において全ての量子ビット１，．．．，Ｑを測定する。この測定の成果は、ビットストリングｘ∈｛０，１｝^Ｑである。Ｄ_ｊ及びＰ_ｊは可換であるので、

を得、ここで期待値は、ｘ及びσの測定統計量にわたって取得される。全体として、図５における圧縮測定スキームは、Ｑ＋１量子ビットを必要とする。Ｑ量子ビットは、量子計算によって変分状態ψを準備するために必要とされ、余分の量子ビットは、一定数のＣＮＯＴゲートを適用して量子コンピュータ９００上で測定成果を得るために用いられる。

新たなハミルトニアンは、Ｈチルダ＝ＵＨＵ^†として定義され、ここでＵは、Ｍモードフォック空間のＮ粒子セクタをＱ量子ビットのヒルベルト空間に写像する等長変換（ユニタリ埋込み）である。実験者は、

を設定し、ここでＡは、後で選択されるサイズＱ×Ｍの二進行列である。ここでｓ_ｉ＝０，１であり、｜ｓ_１，．．．，ｓ_Ｑ＞はＱ量子ビットの基底の状態である。Ｗ（Ｍ，Ｎ）を、ハミング重みＮを有する全てのＭビットストリングの集合とする：
Ｗ（Ｍ，Ｎ）＝｛ｘ∈｛０，１｝^Ｍ：｜ｘ｜＝Ｎ｝

以下、実験者は、簡略表記Ｕ｜ｘ＞＝｜ｓ＞及びｓ＝Ａｘを使用し、ここでｘ∈Ｗ（Ｍ，Ｎ）である。Ｕが等長変換であるためには、行列Ａは、異なるベクトルｘ∈Ｗ（Ｍ，Ｎ）を異なるＱビットベクトルｓに写像しなければならない。換言すれば、以下の単射条件（injectivity condition）：
あるｘ，ｙ∈Ｗ（Ｍ，Ｎ）についてＡｘ＝Ａｙであれば、ｘ＝ｙ 式（１６）
を必要とする。

式（１６）は、
全ての１≦Ｋ≦Ｎについてｋｅｒ（Ａ）∩Ｗ（Ｍ，２Ｋ）＝φ 式（１７）
と等価であることを容易にチェックすることができる。

ここでｋｅｒ（Ａ）は、Ａの核（kernel)であり、すなわちＡｘ＝０となるようなＭビットベクトルｘの集合である。例えば、行列Ａが式（１６）又は式（１７）を満たすならば、これはＮ単射である。Ｎ単射条件は、Ａが、Ｍ−Ｑビットを最小距離２Ｎ＋１でＭビットにコード化する二進線形コードを記述するパリティ検査行列であるときはいつでも、満たされる。実際、この場合、Ｎまでの全ての重みの誤りは、異なるシンドロームを有さなければならず、これによりシンドロームｓ＝Ａｘは、重みＮの誤りｘを一意に識別する。

Ｈチルダを計算するためには、Ｕ^†についての明示的な式を必要とする。集合Ω＝Ａ・Ｗ（Ｍ，Ｎ）を定義する。換言すれば、あるｘ∈Ｗ（Ｍ，Ｎ）についてｓ＝Ａｘであるときかつそのときのみｓ∈Ωである。χ（ｓ）をΩの特性関数とし、すなわちｓ∈Ωであればχ（ｓ）＝１であり、そうでなければχ（ｓ）＝０である。ｆ：Ω→Ｗ（Ｍ，Ｎ）を「デコーディング」写像とし、
全てのｘ∈Ｗ（Ｍ，Ｎ）についてｆ（Ａｘ）＝ｘ
となるようにする。

このデコーディング写像は、式（１６）の単射条件に起因して、良い（well-defined）。実験者は、全てのｘ∈Ｗ（Ｍ，Ｎ）及び全てのｓ∈｛０，１｝^Ｑについて、
Ｕ｜ｘ＞＝｜Ａｘ＞かつＵ^†｜ｓ＞＝χ（ｓ）｜ｆ（ｓ）＞ 式（１８）
に到達する。（ここでｆ（ｓ）は、

について随意に定義することができる。）ｃ（Ａ）をＡの列の最大重み

とする。

最初にホッピング項

を考える。一般性を失うことなくα≦βである。

を定義する。演算子Ｚ_{（α，β）}及びΠ_α，βは、Ｑ量子ビットのヒルベルト空間に作用する。Ｚ_{（α，α）}＝Ｉ及びΠ_α，α＝｜１＞＜１｜_αであることに同意するものとする。式（１８）を用いて

であることを容易にチェックすることができ、ここでＡ^１，．．．，Ａ^Ｍは、Ｑビットストリングと考えられるＡの列であり、

はビットに関するＸＯＲを示し、

である。

実験者は、ＵＶ_ｊＵ^†＝Ｐ_ｊＤ_ｊであると結論し、ここでＤ_ｊは、＜ｓ｜Ｄ_ｊ｜ｓ＞＝ｄ（ｓ）となるような対角演算子であり、Ｐ_ｊは、

をサポートして、パウリＸを各量子ビットに適用する。演算子Ｐ_ｊは、高々２ｃ（Ａ）の重みを有する。式（１９）参照。

なので、Ｄ_ｊＰ_ｊ＝Ｐ_ｊＤ_ｊであることに留意されたい。Ｖ_ｊが制御ホッピング項である場合、

は、Π_α，βを｜１＞＜１｜_γΠ_α，βで置き換えたならば、上記と類似である。
最後に、二重ホッピング項

を考え、ここでα＜β＜γ＜δである。
式（１８）を用いて、

であることを容易にチェックすることができ、ここで

及び

である。

ｄ（ｓ）は値０、±１を取ることに留意されたい。実験者は、ＵＶ_ｊＵ^†＝Ｐ_ｊＤ_ｊであることを結論し、ここでＤ_ｊは、＜ｓ｜Ｄ_ｊ｜ｓ＞＝ｄ（ｓ）となるような対角演算子であり、Ｐ_ｊは、

をサポートして、パウリＸを各量子ビットに適用する。演算子Ｐ_ｊは、高々４ｃ（Ａ）の重みを有する。それゆえ新たなハミルトニアンＨチルダは上述のような形である（（１）Ｄ_ｊは、行列要素０、±１を有する対角演算子である；（２）Ｐ_ｊは、重みが高々６ν_ｊのＸタイプパウリ演算子である；（３）Ｐ_ｊＤ_ｊ＝Ｄ_ｊＰ_ｊである、ことを想起されたい）。

パウリ演算子Ｐ_ｊは、重み
｜Ｐ_ｊ｜≦２ν_ｊｃ（Ａ） 式（２５）
のＸタイプのパウリ演算子である。

Ｕは等長変換なので、ハミルトニアンＨ及びＨチルダの非ゼロ固定値は同じである。従って、実験者は、Ｈの基底状態エネルギーは負であると常に仮定することができる（そうでなければＨをＨ−λＨで置き換え、ここでλは大きい正の定数である）。それゆえＨ及びＨチルダは同じ基底状態エネルギーを有する。

エネルギー測定のために必要とされるＣＮＯＴの数を最小化するために、実験者は、演算子Ｐ_ｊの重み、すなわち制御ノットゲートと呼ばれる２量子ビットユニタリ演算の数を最小化する必要がある。言い換えると、実験者は、列の重みｃ（Ａ）を小さく保つ必要がある。式（２５）参照。それゆえ残りのタスクは、小さい一定の列重みｃ（Ａ）及び可能な限り小さい数の列Ｑを有するＮ単射行列Ａを構築することである。式（１７）から、Ａの全ての列は相異ならなければならないことを推論し、これはｃ（Ａ）≧２のときにのみ可能である。最初にｃ（Ａ）＝２、すなわちＡの各列が高々２つの非ゼロ要素を有することを想定する。このような行列は、第ｊ辺が第ｉ頂点に接続しているときかつそのときのみＡ_ｉ，ｊ＝１であるような、Ｑ頂点及びＭ辺を有するグラフＧ_Ａの接続行列として見ることができる。（−１の重みを有するＡの列は、１つの端点のみを有する「ダングリング」辺を表す。）式（１７）を用いて、グラフＧ_Ａが長さ２，４，．．．，２Ｎのサイクルを有さないときかつそのときのみＡはＮ単射であることをチェックすることができる（辺の部分集合Ｃは、いずれかの頂点がＣからの偶数の接続辺を有するときサイクルと呼ばれることを想起されたい）。この条件は、しかしながら厳密過ぎる。実際、グラフＧ_Ａの平均頂点度は、ｄ≧２Ｍ／Ｑである。一定の量子ビット対モード比Ｑ／Ｍ＜１を達成するために、実験者は、平均頂点度ｄ＞２を有するグラフの族を使用する。ムーアのバウンド（Ｍｏｏｒｅ’ｓ ｂｏｕｎｄ）［６］を用いて、このようなグラフＧ_Ａ内の頂点の数はＮにおいて指数関数的でなければならないことを容易に示すことができる。換言すれば、一定の量子ビット対モード比Ｑ／Ｍ＜１は、Ｎ＝Ｏ（ｌｏｇ（Ｍ））のときにのみ達成することができ、これが有する実用上の興味は限定される。

以下、実験者は、その次に単純な場合、すなわちｃ（Ａ）＝３に注目する。これは、式（２５）により｜Ｐ_ｊ｜≦６ν_ｊを与える。一定比Ｑ／Ｍ＜１、Ｎ／Ｍ＞０、及びｃ（Ａ）＝３を有するＮ単射行列Ａの無限の族を、一定のコード化率及び線形距離を有する低密度パリティ検査（ＬＤＰＣ）コードから構築することができる。（ＬＤＰＣコードの例として、引用により本明細書に組み入れられる非特許文献５を参照することができる。）この例では低密度パリティ検査コードを利用しているが、当業者には理解されるように他の圧縮コードを利用することができることを認識されたい。詳細には、実験者は、任意の定数０＜ν＜１／４について、全ての（事前定義された）十分に大きいＭ、及び全てのＮ＜νＭについて、ｃ（Ａ）＝３かつサイズＱ×ＭのＮ単射行列Ａが存在することを主張し、ここでＱは式（１２）を満たす。実際、ある固定の対Ｑ、Ｍを考え、Ａを、Ａの各列がＷ（Ｑ，３）上の一様分布から得られるようなサイズＱ×Ｍのランダム二進行列とする。Ａの全列は独立である。ユニオン限界（union bound）により、ＡがＮ単射ではない確率は、

のように上に有界であり得、ここでＰ（Ｑ，２Ｋ）は、Ｗ（Ｑ，３）上の一様分布から得られる２Ｋの独立ベクトルの和が２を法としてゼロに等しい確率である。実際、式（１７）は、１≦Ｋ≦Ｎで、あるｘ∈Ｗ（Ｍ，２Ｋ）についてＡｘ＝０でない限り、ＡがＮ単射であることを含意する。それゆえ、ｘをサポートしたＡの列の和はゼロに等しい。ユニオン限界は、そのとき式（２６）を含意する。引用により本明細書に組み入れられる非特許文献６の補題３．１を用いて、

が得られ、

である。

ここで０≦ｋ≦ｎでない限り、

であることが理解される。スターリングの公式を用いて、限界

を得ることができる。

ここでｅ≡ｅｘｐ（１）である。式（２８）を式（２７）に代入すると

が得られ、ここでｈ（ｘ）はシャノン・エントロピー関数である。その結果、ｈ（２ν）＋３νｌｏｇ（η）＜０であるときはいつもＰ_ｆａｉｌ＜１となり、これは式（１２）に等しい。Ｐ_ｆａｉｌ＜１なので、ｃ（Ａ）＝３及びＱ列を有する少なくとも１つのＮ単射行列Ａが存在しなければならず、ここでＱは式（１２）を満たす。

十分に大きい定数ｃ（Ａ）を選ぶことで、ギルバート−バルシャモフ（Ｇｉｌｂｅｒｔ−Ｖａｒｓｈａｍｏｖ）限界に随意に近づくことができ、すなわちＱ≦Ｍ（ｈ_２（２Ｎ／Ｍ）＋ε）であり、ここでｈ_２（ｘ）＝ｘｌｏｇ_２（ｘ）−（１−ｘ）ｌｏｇ_２（１−ｘ）は、二進シャノン・エントロピー関数であり、ε＞０は、十分に大きいｃ（Ａ）を選ぶことによって随意に小さくすることができる。この主張は、（事前定義された）良いＬＤＰＣコードの存在の結果生じ、例えば非特許文献５の定理Ａ．３を参照のこと。

図６の表に示されるＱ（Ｍ，Ｎ）の値は、ｃ（Ａ）＝３及び可能な限り最小のＱを有するＮ単射行列Ａについて数的に探索することによって得られたものである。詳細には、実験者は、集合Ａ・Ｗ（Ｍ，Ｎ）内の相異なる要素の数として定義される目的関数Ｆ（Ａ）を最大化した。Ａは、集合Ａ・Ｗ（Ｍ，Ｎ）の全ての要素が相異なるときときかつそのときのみＮ単射であること、すなわち

であることに留意されたい。関数Ｆ（Ａ）は、シミュレーションされたアニーリング・アルゴリズムのバージョンを用いて、ｃ（Ａ）＝３を満たす全ての二進行列の集合の上で最大化された。

最後に、実験者は、デコーディング写像ｆ（ｓ）をどのように計算するかを示す。ＡをサイズＱ×Ｍの固定Ｎ単射行列と想定する。ストリングｓ∈｛０，１｝^Ｑを仮定すると、ｓ＝Ａｘとなるようなｘ∈Ｗ（Ｍ，Ｎ）を見いだすか、又はそのようなストリングｘは存在しない、すなわち

であると決定しなければならない。Ｎ＝Ｎ_１＋Ｎ_２に分解しなければならず、ここで偶数ＮについてＮ_１，２＝Ｎ／２であり、奇数ＮについてＮ_１，２＝（Ｎ±１）／２である。各ｉ＝１，２について、Ｔ_ｉを、各ｕ∈Ｗ（Ｍ，Ｎ_ｉ）についてシンドロームｔ＝Ａｕを格納するルックアップ表とする。Ｔ_ｉのエントリは、辞書式順序で格納される。Ｕ_ｉを、各ｔ∈Ｔ_ｉをｔ＝Ａｕとなるようにストリングｕ∈Ｗ（Ｍ，Ｎ_ｉ）に写像するルックアップ表とする。式（１７）によりＡはＮ_ｉ単射であるので、上記のようなｕは一意であることに留意されたい。表Ｔ_ｉ、Ｕ_ｉは、Ａのみに依存するので、（量子コンピュータ９００上での）量子シミュレーションの前にコンピュータ８００によって計算することができる。最初に、あるｘ∈Ｗ（Ｍ，Ｎ）についてｓ＝Ａｘであると想定する。ｕ_ｉ∈Ｗ（Ｍ，Ｎ_ｉ）で任意の分解

を考え、ｔ_ｉ＝Ａｕ_ｉとする。このとき、表Ｔ_１及びＴ_２は、エントリｔ_１及び

をそれぞれ含むことになる。各ｔ_１∈Ｔ_１について、Ｔ_２が

を含むかどうかをチェックする。これは、表Ｔ_２がソートされるので二分探索を用いて時間Ｏ（｜Ｔ_１｜ｌｏｇ｜Ｔ_２｜）において行うことができる。上記のようなｔ_１、ｔ_２を見いだしたと想定し、表Ｕ_ｉを使用してｔ_ｉ＝Ａｕ_ｉとなるようにｕ_ｉを見いだす。このとき

である。その結果、

２と２Ｎとの間の偶数の重みを有することになる。式（１７）から、

であることを推論し、そして行われる。残りの場合には、上記のような対ｔ_１、ｔ_２が見いだされなければ、Ａｘ＝ｓはｘ∈Ｗ（Ｍ，Ｎ）で解を有さないと推論することができる。上記のアルゴリズムは、中程度のサイズの系に対して実用的であり、例えば一例としてＭ≦５０を挙げるがこの例に限定されない。実際、Ｍ≦Ｎ／２なので、表Ｔ_ｉ、Ｕ_ｉは、Ｍ＝５０について、高々

のサイズを有する。一般にデコーディング写像ｆ（ｓ）を計算することは難しい計算問題だと思われ得るので、限定ではなく説明の目的で２つの例を以下で提示する。

削減３：例１

実験者は、この削減の最も単純な例を考える。実験者は、図６の表１の左上の角に示すような８つの軌道Ｍ＝８を有する単一電子Ｎ＝１を考える。このセクションの削減３の後、

上のこれらの８状態（すなわちＭ＝８）は、図６の表１に示されるように、３量子ビット、すなわち

上の８状態に圧縮されることができる。これは、下記の式（３０）の圧縮行列Ａを適用して８状態を３量子ビットに圧縮した結果得られる。この事例は、特に簡単に処理できるという利点を有するが、実験者は、圧縮として８モードの単一粒子状態の二進コード化を構築しただけなので、少し誤解を招きかねないように思われる。一般に、上で説明したように、これは事実とは違い、結果はＬＤＰＣコードに大きく依存して低い重み及び効率を保証する。ここで実験者は、詳細にこの圧縮を通じて進行を続けた。

そのため実験者は、Ｑ（８，１）量子ビット上でのＷ（８，１）におけるビットストリングの圧縮を考える。これは、あらゆるｘ∈Ｗ（８，１）にパリティ検査行列Ａ∈Ｍ_３×８（Ｆ_２）を適用して集合Ωを得ることによって行われる。関連する基底の状態は、この例では、Ｗ（８，１）におけるビットストリングによって第二量子化でコード化されたちょうど８の単一粒子状態である。

このコードに対する最も単純な行列Ａは、単に上記の８ビットストリング内の０，．．．，７から数えた粒子の位置の二進コード化によって与えられるので、

と記述する。これから、実験者は、集合Ωを即座に読み取ることができ、これはＡの二進列ベクトルによって与えられる。二進列ベクトルは、二進代数を満たすエントリ０、１を有するＡの列である。あらゆるｓ∈Ωについて、デコーディング写像ｆは、二進数ｓの十進表現を計算し、正しいスポットにおける１を有する８ビットストリングを選ぶことによって定義される。それゆえ、等長変換Ｕは、例えばｘ＝（０００００１００）上に｜１０１＞＝Ｕ｜０００００１００＞として作用し、一方、Ｗ（８，１）内にない他の全てのビットストリングは、Ｕ｜１０１０００００＞＝０のようにゼロに写像される。共役Ｕ^†が同様に構築される。

所定位置におけるこの写像により、実験者は、ここでハミルトニアンＨ＝Σ_ｊｈ_ｊＤ_ｊＰ_ｊにおいて生じる項、及び図８の測定回路６００を論じることができる。このコード化が働く方式を例証するために、実験者は、単純二次ホッピング要素

を考え、すなわち実験者は、第５番のモードからモード数３及び共役への粒子のホッピングを考える。ｓ∈Ωによってラベルされた状態に対するＵＶ_ｊＵ^†の作用は、ｓの異なる値に対して

であることを想起されたい。

簡約化のために、回路６００は、量子ビット（例えばこの例では４量子ビット）と、各量子ビットの出力を個別に測定する４つの測定デバイス（例えば光子測定デバイス）とを備えた量子コンピュータと考えられる。説明の目的で、回路６００は、理解を容易にするために単純な量子コンピュータとして示されているが、量子コンピュータ９００も等しく利用できることを認識されたい。回路６００は、上で説明したように、期待値＜ψ｜Ｖ_ｊ｜ψ＞＝Ｅ［σ・＜ｓ｜Ｄ_ｊ｜ｓ＞］を測定する。実験者は、Ｑ（Ｍ，Ｎ）＋１量子ビットを必要とするので、ここでは回路６００内に４量子ビットが示されているが、回路６００において４量子ビットより多くを利用することができることを認識されたい。最初に、実験者は、Ｐ_ｊにおけるパウリＸのサポートを決定することになり、これはビット値

として与えられる。それゆえ、上で導入した規約により、パウリＸ寄与は、Ｐ_ｊ＝Ｘ_２Ｘ_３によって与えられる。従って、図８は、Ｄ_ｊＰ_ｊを測定し、実験者にＥ［σ・＜ｓ｜Ｄ_ｊ｜ｓ＞］をサンプリングさせる例示的な回路６００として与えられる。図８は、Ｗ（８，１）によって与えられるビット表現を有し、Ｑ（８，１）＝３量子ビットに圧縮される、８モードの単一量子ビットについての二次ホッピング項

に対する測定回路６００である。回路６００内のあらゆるラインは、単一量子ビットに対応する。下の３つの量子ビットは変分状態プサイψにあり、一方、上の量子ビットはプラス（＋）状態に初期化される。次いで、２つの制御ノット演算子（ＣＮＯＴ）が、制御量子ビット（上の量子ビット）上の黒丸から始まり標的量子ビットとしての下２つの量子ビット上で終止する水平ラインによって示されるように適用される。次いでアダマール（Ｈａｄａｍａｒｄ）ゲートが、全ての量子ビットが計算基底で測定される前に、上の量子ビットに適用される。アダマール・ゲートは、アダマール変換として知られるユニタリ変換を行う単一量子ビットゲートＨである。

図８の回路６００の測定成果は、４ビット

によって与えられ、ここで補助的ビットｓ_０は、

を計算するために用いられ、残りの３ビット（ｓ_１，ｓ_２，ｓ_３）＝ｓは、式ｄ（ｓ）＝χ（ｓ）＜ｆ（ｓ）｜Ｚ_{（α，β）}Π_α，β｜ｆ（ｓ）＞を通じてｄ（ｓ）＝＜ｓ｜Ｄ_ｊ｜ｓ＞を決定し、ここでｆ（ｓ）はデコーディング写像である。この場合、デコーディング写像は、上で説明したようにむしろ単純である。

実験者は、ここで回路６００のいくつかの可能な測定成果を論じる。回路６００から得られる第１の測定成果は

であると仮定することができる。実験者は、次に（コンピュータ８００上で）σ＝１及びｄ（１，１，０）＝＜０００１０００｜Ｚ_３，５Π_３，５｜０００１０００＞＝１を計算し、それで実験者はσ・＜ｓ｜Ｄ_ｊ＜ｓ｜＝１を平均に追加することができる。第２の測定のために、実験者が回路６００からストリング

を得ることを仮定し、これに対して実験者は（コンピュータ８００上で）同じやり方でσ＝−１を計算することができるが、ｄ（１，０，０）＝０であり、なぜならデコードされた状態｜ｆ（１，０，０）＞＝｜０１００００００＞はΠ_３，５によって消滅されるので、この測定成果は期待値に寄与しないからである。一般に、実験者は、回路６００（又は量子コンピュータ９００）によって準備された圧縮状態Ｕ｜ψ＞からのサンプリングを、期待値Ｅ［σ・＜ｓ｜Ｄ_ｊ｜ｓ＞］が十分な統計的確度（これは予め事前定義することができる）で推定されるまで進める。

削減３：例２

もう少し複雑な例を考えるために、実験者は、Ｍ＝１４フェルミ・モードの系からＱ＝１０量子ビットの系への削減を明示的に説明する。実験者は、粒子の数をＮ＝３と仮定する。図９のグラフにおいて示される１０頂点及び１４辺を有するグラフを考える。図９は、Ｎ＝３粒子を有するＭ＝１４フェルミ・モードからＱ＝１０量子ビットへの削減を説明するグラフ７００である。（従来技術においては、１４フェルミ・モードが存在するので回路６００又は量子コンピュータ９００のような量子コンピュータにおいて１４量子ビットが必要とされる。）しかしながら、実施形態は、削減３のため、より少数の量子ビット（例えば、この場合は１０量子ビット）を利用するように設計される。フォック（Ｆｏｃｋ）基底ベクトル｜ｘ_１，．．．，ｘ_１４＞は、量子ビット状態｜ｓ_１，．．．，ｓ_１０＞に写像され、ここでｓ_ｉは、ｓ_ｉに接続する全ての辺上のｘ_ｊの和（２を法とする）に等しい。単射条件式（１７）は、グラフ７００が長さ２、４、又は６のサイクルを有さないときにはいつも満たされる。

図９において、各頂点は量子ビットｉ∈｛１，．．．，Ｑ｝を表すのに対し、各辺はフェルミ・モードｊ∈｛１，．．．，Ｍ｝を表す。実験者は、シンドロームｓ_ｉ及びフェルミオン占有数ｘ_ｊを、それぞれグラフの頂点及び辺に関連付ける。次に式（１５）のパリティ検査行列Ａをグラフ７００の接続行列として選ぶ。換言すれば、シンドロームｓ_ｉは、頂点ｉに接続する辺上に位置する変数ｘ_ｊの和（２を法とする）に等しい。例えば、ｓ_１＝ｘ_１＋ｘ_２（ｍｏｄ２）、ｓ_２＝ｘ_２＋ｘ_３＋ｘ_９（ｍｏｄ２）等である。実験者は、Ａが単射条件式（１６）を満たすことをチェックする必要がある。上で言及したように、Ａの核が重み２、４、又は６のベクトルを含まないことをチェックすることで十分である。式（１７）参照。直接検査は、図９に示すグラフは長さ２、４、又は６のサイクルを含まないことを示す（辺の部分集合ｘは、任意の頂点がｘからの偶数の接続辺を有する場合サイクルと呼ばれることを想起されたい）。Ａがグラフ７００の接続行列として選ばれるので、式Ａｘ＝０は、ｘがサイクルであることと等価である。従って、Ａｘ＝０は、｜ｘ｜≠２，４，６であることを含意し、単射条件式（１７）が満たされる。この例は非常に大きく、従って理解を容易にするために、削減行列は、最も単純な観点で、すなわちグラフ７００に関して与えられることを認識されたい。これは、図６の表１におけるＮ＝３及びＭ＝１４でＱ＝１０になるような圧縮の例を提供する。回路測定は、図１０の古典的コンピュータ８００から生成される必要があり、次いで図１１の量子コンピュータ９００上で実行される。

見出し及び／又は小見出しは中断される。図１２は、１つ又は複数の実施形態による量子コンピュータ９００上で必要とされる量子ビットの数（及び／又はその上でのシミュレーションに必要とされる量子ビットの数）を削減する（削減１）方法１０００のフローチャートである。

ブロック１００５において、コンピュータ８００は、フェルミオン系をハミルトニアンに関して特徴付ける（又は説明する）ように構成され、フェルミオン系は、フェルミオン及びフェルミオン・モードを含み、フェルミオン・モードの総数は２Ｍであり、ここでハミルトニアンは、上向きスピン及び下向きスピンパリティ演算子によってコード化されるパリティ対称性を有する。

ブロック１０１０において、コンピュータ８００は、ハミルトニアン上のフェルミオン・モードを、２Ｍモードの第１の半分が上向きスピンに対応し、２Ｍモードの第２の半分が下向きスピンに対応するようにソートするように構成される。

ブロック１０１５において、コンピュータ８００は、フェルミオンから量子ビットへの写像を利用してハミルトニアン及びパリティ演算子を変換するように構成され、ここでフェルミオンから量子ビットへの写像は、パリティ演算子を、量子ビットＭ上の第１の単一量子ビット・パウリ演算子及び量子ビット２Ｍ上の第２の単一量子ビット・パウリ演算子に変換する。

ブロック１０２０において、コンピュータ８００は、第１の単一量子ビット・パウリ演算子によって作用された量子ビットＭ、及び第２の単一量子ビット・パウリ演算子によって作用された量子ビット２Ｍを除去するように構成される。

さらに、フェルミオンから量子ビットへの写像は、一般化ヨルダン−ウィグナー変換である。

量子ビットＭ上の第１の単一量子ビット・パウリ演算子は、量子ビットＭ上のパウリＺ行列である。量子ビット２Ｍ上の第２の単一量子ビット・パウリ演算子は、量子ビットＭ及び量子ビット２Ｍのサイトにおける２つのパウリＺ行列の積である。

第１の単一量子ビット・パウリ演算子によって作用された量子ビットＭを除去することは、量子ビットＭを量子ビットＭのパリティに従って固有値＋１又は−１で置き換えることを含む。第２の単一量子ビット・パウリ演算子によって作用された量子ビット２Ｍを除去することは、量子ビット２Ｍを量子ビット２Ｍのパリティに従って固有値＋１又は−１で置き換えることを含む。量子ビットＭは、量子ビットＭのパリティをコード化し、量子ビット２Ｍは、量子ビット２Ｍのパリティをコード化する。量子ビットＭ及び量子ビット２Ｍのパリティは、予め既知である。

量子コンピュータ９００は、削減された量子ビットを有するハミルトニアンを実行／シミュレーションするように構成される。

図１３は、１つ又は複数の実施形態による量子コンピュータ９００上で必要とされる量子ビットの数（及び／又はその上でのシミュレーションに必要とされる量子ビットの数）を削減する（削減２）方法１１００のフローチャートである。

ブロック１１０５において、コンピュータ８００は、フェルミオン系をハミルトニアンに関して特徴付ける（又は説明する）ように構成され、フェルミオン系は、フェルミオン及びフェルミオン・モードを含む。

ブロック１１１０において、コンピュータ８００は、フェルミオンから量子ビットへの写像を利用してハミルトニアンを変換するように構成される。ブロック１１１５において、コンピュータ８００は、ハミルトニアンのパウリ対称性演算子を見いだすように構成される。

ブロック１１２０において、コンピュータ８００は、パウリ対称性演算子を単一量子ビット・パウリ演算子に変換するように構成される。ブロック１１２５において、コンピュータ８００は、単一量子ビット・パウリ演算子が作用しているあらゆる量子ビットを除去するように構成される。

フェルミオンから量子ビットへの写像は、一般化ヨルダン−ウィグナー変換又は標準ヨルダン−ウィグナー変換である。

ハミルトニアンのパウリ対称性演算子を見いだすことは、ハミルトニアンに対してパリティ検査行列を実行してパウリ対称性演算子を決定することと、パウリ対称性演算子が見いだされなかった場合、更なる削減は実行できないことを決定することと、パウリ対称性演算子が見いだされた場合、パウリ対称性演算子の可換集合を決定することと、を含む。パウリ対称性演算子を単一量子ビット・パウリ演算子に変換することは、パウリ対称性演算子の可換集合に対するクリフォード変換を構築して、パウリ対称性演算子の可換集合を単一量子ビット・パウリ演算子に写像することを含む。

図１４は、１つ又は複数の実施形態による量子コンピュータ９００上で必要とされる量子ビットの数（及び／又はその上でのシミュレーションに必要とされる量子ビットの数）を削減する（削減３）方法１２００のフローチャートである。

ブロック１２０５において、コンピュータ８００は、フェルミオン系をハミルトニアンに関して特徴付ける（又は説明する）ように構成され、フェルミオン系は、フェルミオン及びフェルミオン・モードを含み、フェルミオン・モードの総数はＭであり、ここでハミルトニアンは、粒子数対称性及びＮ粒子を有する。

ブロック１２１０において、コンピュータ８００は、Ｍフェルミオン・モードからＭ量子ビットへ変換するフェルミオンから量子ビットへの写像を利用して、ハミルトニアンを変換するように構成され、ここでＭ量子ビットは、計算基底においてＭビットストリングによって表される。

ブロック１２１５において、コンピュータ８００は、圧縮写像を、Ｍ量子ビットを有するハミルトニアンがＱ量子ビットの変換ハミルトニアンに写像されるようにハミルトニアンに適用するよう構成され、ここでＱ＜Ｍであり、圧縮写像は、ハミング重みＮを有する、計算基底においてＭ量子ビットをラベルするＭビットストリングを、Ｑビットストリングに写像する。

計算基底は、Ｍ量子ビットの各々に対して０及び１である。量子コンピュータ９００は、Ｑ量子ビットの変換ハミルトニアンのエネルギーを測定するように構成され、量子コンピュータは、Ｑ＋１量子ビット上の量子測定回路を含む。量子コンピュータ９００によって測定された測定エネルギーの結果として、コンピュータ８００は、変換ハミルトニアンの各圧縮項について測定エネルギーを受け取るように構成され、測定エネルギーに対してデコーディングを行ってハミルトニアンにおける各未圧縮項の測定結果を得、測定結果を組み合わせて、圧縮写像を適用する前のハミルトニアンのエネルギーを得る。

変換ハミルトニアンは、圧縮項を含み、圧縮写像を適用する前のハミルトニアンは、未圧縮項を含む。

図１１は、実施形態による削減１、２、及び／又は３の出力を処理することができる量子コンピュータ９００（量子ハードウェア）の例である。一般に、量子コンピュータは、ＤｉＶｉｎｃｅｎｚｏの基準を満たす、量子力学の法則に従う任意の物理系である。これらの基準は、量子コンピュータとみなすべき量子力学系に対する要件を設定する。基準は、（１）良く特徴付けられた量子ビットを有するスケーラブルな物理系、（２）量子ビットの状態を単純な基準状態に初期化する能力、（３）長く妥当なデコヒーレンス時間、（４）量子ゲートの「ユニバーサル」セット、（５）量子ビット特異的測定能力、（６）静止量子ビットと飛行量子ビットとを相互転換する能力、（７）指定された位置間で飛行量子ビットを忠実に伝送する能力、を含む。

図１１の量子コンピュータ９００は、制御プログラムとしての入力９０５、制御信号９１０、量子ビット９１５、読出し信号９２０、及び出力としての測定データ９２５を示す。これらの要件を満たす量子力学系として、量子コンピュータ９００（並びに量子コンピュータ６００）は、制御信号９１０を入力９０５情報（すなわち、削減１、２、及び／又は３）として受け取って、量子ゲートのシーケンスを適用し、測定演算を適用するように構成される。異なる量子ビット９１５間の量子ゲートは、それらの相互作用９３０を通して媒介される。測定演算子は、系、すなわち量子コンピュータ９００を制御する実験者が読むことができる古典的信号（測定データ９２５）を生成する。

ここで図１０を参照すると、一例は、コンピュータ８００、例えば、本明細書で説明される削減１、２、及び／又は３を実行するように構成され、その結果、削減１、２、及び／又は３の結果を量子コンピュータ６００、９００に入力することができる、任意のタイプのコンピュータ・システムを示す。コンピュータ８００は、１つより多くのコンピュータにわたる分散型コンピュータ・システムとすることができる。本明細書で説明される種々の方法、手順、モジュール、フロー図、ツール、アプリケーション、回路、要素、及び技術は、コンピュータ８００の能力を組み込むこと及び／又は利用することもできる。実際、コンピュータ８００の能力を用いて、本明細書で説明される例示的な実施形態の要素を実施することができる。

一般に、ハードウェア・アーキテクチャに関して、コンピュータ８００は、ローカル・インタフェース（図示せず）を介して通信可能に結合される、１つ又は複数のプロセッサ８１０、コンピュータ可読ストレージ・メモリ８２０、及び１つ又は複数の入力及び／又は出力（Ｉ／Ｏ）デバイス８７０を含むことができる。ローカル・インタフェースは、例えば、これらに限定されるものではないが、当該技術において知られているように１つ又は複数のバス又は他の有線若しくは無線接続とすることができる。ローカル・インタフェースは、通信を可能にするための、コントローラ、バッファ（キャッシュ）、ドライバ、中継器及び受信機のような付加的な要素を有することができる。さらに、ローカル・インタフェースは、上述のコンポーネントの間の適切な通信を可能にするためのアドレス、制御、及び／又はデータ接続を含むことができる。

プロセッサ８１０は、メモリ８２０内に格納することができるソフトウェアを実行するためのハードウェア・デバイスである。プロセッサ８１０は、コンピュータ８００に関連づけられるいくつかのプロセッサの中で、事実上、あらゆるカスタムメイドの又は市販のプロセッサ、中央処理ユニット（ＣＰＵ）、データ信号プロセッサ（ＤＳＰ）、又は補助プロセッサとすることができ、プロセッサ８１０は、半導体ベースのマイクロプロセッサ（マイクロチップの形態の）又はマクロプロセッサとすることができる。

コンピュータ可読メモリ８２０は、揮発性メモリ要素（例えば、動的ランダムアクセスメモリ（ＤＲＡＭ）、静的ランダムアクセスメモリ（ＳＲＡＭ）等のようなランダムアクセスメモリ（ＲＡＭ））及び不揮発性メモリ要素（例えば、ＲＯＭ、消去可能プログラム可能読み出し専用メモリ（ＥＰＲＯＭ）、電気的消去可能プログラム可能読み出し専用メモリ（ＥＥＰＲＯＭ）、プログラム可能読み出し専用メモリ（ＰＲＯＭ）、テープ、コンパクトディスク読み出し専用メモリ（ＣＤ−ＲＯＭ）、ディスク、ディスケット、カートリッジ、カセット等）のいずれか１つ又は組み合わせを含むことができる。さらに、メモリ８２０は、電子、磁気、光学、及び／又は他のタイプのストレージ媒体を組み込むことができる、メモリ８２０は、種々のコンポーネントが、互いに遠隔に位置するが、プロセッサ８１０によってアクセスすることができる、分散型アーキテクチャを有し得ることに留意されたい。

コンピュータ可読メモリ８２０内のソフトウェアは、１つ又は複数の別個のプログラムを含むことができ、その各々は、論理機能を実装するための実行可能命令の順序付きリストを含む。メモリ８２０内のソフトウェアは、適切なオペレーティングシステム（Ｏ／Ｓ）８５０、コンパイラ８４０、ソースコード８３０、及び例示的な実施形態の１つ又は複数のアプリケーション８６０を含む。示されるように、アプリケーション８６０は、例示的な実施形態の要素、プロセス、方法、機能、及び動作を実装するための多数の機能コンポーネントを含む。

オペレーティングシステム８５０は、他のコンピュータプログラムの実行を制御し、スケジューリング、入力・出力制御、ファイル及びデータ管理、メモリ管理、並びに通信制御及び関連サービスを提供する。

アプリケーション８６０は、実行されるべき命令のセットを含むソースプログラム、実行可能プログラム（オブジェクトコード）、スクリプト、又は他の任意のエンティティとすることができる。ソースプログラムである場合、プログラムは通常、メモリ８２０内に含めることができる、コンパイラ（コンパイラ８４０など）、アセンブラ、インタープリタ等を介して、Ｏ／Ｓ８５０と関連して適正動作するように翻訳される。さらに、アプリケーション８６０は、データ及びメソッドのクラスを有するオブジェクト指向プログラミング言語として、又はルーチン、サブルーチン、及び／又は関数を有する手続き型プログラミング言語として記述することができる。

Ｉ／Ｏデバイス８７０は、例えば、これらに限定されるものではないが、マウス、キーボード、スキャナ、マイクロフォン、カメラ等のような入力デバイス（又は周辺機器）を含むことができる。さらに、Ｉ／Ｏデバイス８７０は、例えば、これらに限定されるものではないが、プリンタ、ディスプレイ等のような出力デバイスを含むこともできる。最後に、Ｉ／Ｏデバイス８７０は、入力と出力の両方を通信するデバイス、例えば、これらに限定されるものではないが、ＮＩＣ若しくは変調器／復調器（遠隔デバイス、他のファイル、デバイス、システム、若しくはネットワークにアクセスするための）、無線周波数（ＲＦ）トランシーバ若しくは他のトランシーバ、電話インタフェース、ブリッジ、ルータ等をさらに含むことができる。また、Ｉ／Ｏデバイス８７０は、インターネット又はイントラネットなどの様々なネットワーク上で通信するためのコンポーネントも含む。Ｉ／Ｏデバイス８７０は、Ｂｌｕｅｔｏｏｔｈ接続及びケーブル（例えば、Ｕｎｉｖｅｒｓａｌ Ｓｅｒｉａｌ Ｂｕｓ（ＵＳＢ）ポート、シリアルポート、パラレルポート、ＦｉｒｅＷｉｒｅ、ＨＤＭＩ（Ｈｉｇｈ−Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ Ｍｕｌｔｉｍｅｄｉａ Ｉｎｔｅｒｆａｃｅ）等を介する）を利用して、プロセッサ８１０に接続すること及び／又はこれと通信することができる。

例示的な実施形態において、アプリケーション８６０がハードウェアの形で実装される場合、アプリケーション８６０は、各々が従来技術において周知の以下の技術、すなわち、データ信号に対する論理関数を実装するための論理ゲートを有する離散的論理回路、適切な組合わせ論理ゲートを有する特定用途向け集積回路（ＡＳＩＣ）、プログラム可能ゲートアレイ（ＰＧＡ）、フィールド・プログラム可能ゲートアレイ（ＦＰＧＡ）等のいずれか１つ又はその組合わせで実装することができる。

本発明の種々の実施形態の説明は、例示の目的のために提示されているが、網羅的であること、又は、開示される実施形態に限定されることは意図されない。当業者には、説明される実施形態の範囲から逸脱することなく、多くの修正及び変形が明らかになるであろう。本明細書で使用される用語は、実施形態の原理、実用的用途若しくは市場で見出される技術に対する技術的改善を最も良く説明するために、又は当業者が本明細書で開示される実施形態を理解することを可能にするために選択された。

本発明は、いずれかの可能な技術的詳細レベルの統合における、システム、方法、及び／又はコンピュータプログラム製品とすることができる。コンピュータプログラム製品は、プロセッサに本発明の態様を実行させるためのコンピュータ可読プログラム命令をその上に有する、コンピュータ可読ストレージ媒体（単数又は複数）を含むことができる。

コンピュータ可読ストレージ媒体は、命令実行デバイスによって用いるための、命令を保持し格納できる有形のデバイスとすることができる。コンピュータ可読ストレージ媒体は、これらに限定されるものではないが、例えば、電子ストレージデバイス、磁気ストレージデバイス、光学ストレージデバイス、電磁気ストレージデバイス、半導体ストレージデバイス、又は上記のいずれかの適切な組み合わせとすることができる。コンピュータ可読ストレージ媒体のより特定の例の非網羅的なリストは、ポータブルコンピュータディスケット、ハードディスク、ランダムアクセスメモリ（ＲＡＭ）、読み出し専用メモリ（ＲＯＭ）、消去可能プログラム可能読み出し専用メモリ（ＥＰＲＯＭ又はフラッシュメモリ）、静的ランダムアクセスメモリ（ＳＲＡＭ）、ポータブルコンパクトディスク読み出し専用メモリ（ＣＤ−ＲＯＭ）、デジタル多用途ディスク（ＤＶＤ）、メモリスティック、フロッピーディスク、パンチカード若しくは命令がそこに記録された溝内の隆起構造のような機械的にコード化されたデバイス、及び上記のいずれかの適切な組み合わせを含む。本明細書で使用される場合、コンピュータ可読ストレージ媒体は、電波、又は他の自由に伝搬する電磁波、導波管若しくは他の伝送媒体を通じて伝搬する電磁波（例えば、光ファイバケーブルを通る光パルス）、又はワイヤを通って送られる電気信号などの、一時的信号自体として解釈されない。

本明細書で説明されるコンピュータ可読プログラム命令は、コンピュータ可読ストレージ媒体からそれぞれの計算／処理デバイスに、又は、例えばインターネット、ローカルエリアネットワーク、広域ネットワーク、及び／又は無線ネットワークなどのネットワークを介して外部コンピュータ又は外部ストレージデバイスにダウンロードすることができる。ネットワークは、銅伝送ケーブル、光伝送ファイバ、無線伝送、ルータ、ファイアウォール、スイッチ、ゲートウェイコンピュータ、及び／又はエッジサーバを含むことができる。各計算／処理デバイスにおけるネットワークアダプタカード又はネットワークインタフェースは、ネットワークからコンピュータ可読プログラム命令を受け取り、コンピュータ可読プログラム命令を転送して、それぞれの計算／処理デバイス内のコンピュータ可読ストレージ媒体内に格納する。

本発明の動作を実行するためのコンピュータ可読プログラム命令は、アセンブラ命令、命令セットアーキテクチャ（ＩＳＡ）命令、マシン命令、マシン依存命令、マイクロコード、ファームウェア命令、状態設定データ、又は、Ｓｍａｌｌｔａｌｋ、Ｃ＋＋などのオブジェクト指向プログラミング言語、又は、「Ｃ」プログラミング言語若しくは類似のプログラミング言語などの通常の手続き型プログラミング言語を含む１つ又は複数のプログラミング言語の任意の組み合わせで記述することができる。コンピュータ可読プログラム命令は、完全にユーザのコンピュータ上で実行される場合もあり、一部がユーザのコンピュータ上で、独立型ソフトウェアパッケージとして実行される場合もあり、一部がユーザのコンピュータ上で実行され、一部が遠隔コンピュータ上で実行される場合もあり、又は完全に遠隔コンピュータ若しくはサーバ上で実行される場合もある。最後のシナリオにおいて、遠隔コンピュータは、ローカルエリアネットワーク（ＬＡＮ）若しくは広域ネットワーク（ＷＡＮ）を含むいずれかのタイプのネットワークを通じてユーザのコンピュータに接続される場合もあり、又は外部コンピュータへの接続がなされる場合もある（例えば、インターネットサービスプロバイダを用いたインターネットを通じて）。いくつかの実施形態において、例えば、プログラム可能論理回路、フィールド・プログラム可能ゲートアレイ（ＦＰＧＡ）、又はプログラム可能論理アレイ（ＰＬＡ）を含む電子回路は、コンピュータ可読プログラム命令の状態情報を用いて電子回路を個人化することによりコンピュータ可読プログラム命令を実行し、本発明の態様を実施することができる。

本発明の態様は、本発明の実施形態による方法、装置（システム）及びコンピュータプログラム製品のフローチャート図及び／又はブロック図を参照して説明される。フローチャート図及び／又はブロック図の各ブロック、並びにフローチャート図及び／又はブロック図内のブロックの組み合わせは、コンピュータ可読プログラム命令によって実装できることが理解されるであろう。

これらのコンピュータ可読プログラム命令を、汎用コンピュータ、専用コンピュータ、又は他のプログラム可能データ処理装置のプロセッサに与えてマシンを製造し、それにより、コンピュータ又は他のプログラム可能データ処理装置のプロセッサによって実行される命令が、フローチャート及び／又はブロック図の１つ又は複数のブロック内で指定された機能／動作を実装するための手段を作り出すようにすることができる。これらのコンピュータプログラム命令を、コンピュータ、他のプログラム可能データ処理装置、又は他のデバイスを特定の方式で機能させるように指示することができるコンピュータ可読媒体内に格納し、それにより、そのコンピュータ可読媒体内に格納された命令が、フローチャート及び／又はブロック図の１つ又は複数のブロックにおいて指定された機能／動作の態様を実装する命令を含む製品を製造するようにすることもできる。

コンピュータプログラム命令を、コンピュータ、他のプログラム可能データ処理装置、又は他のデバイス上にロードして、一連の動作ステップをコンピュータ、他のプログラム可能データ処理装置、又は他のデバイス上で行わせてコンピュータ実装プロセスを生成し、それにより、コンピュータ、他のプログラム可能装置、又は他のデバイス上で実行される命令が、フローチャート及び／又はブロック図の１つ又は複数のブロックにおいて指定された機能／動作を実装するようにすることもできる。

図面内のフローチャート及びブロック図は、本発明の種々の実施形態による、システム、方法、及びコンピュータプログラム製品の可能な実装の、アーキテクチャ、機能及び動作を示す。この点に関して、フローチャート又はブロック図内の各ブロックは、指定された論理機能を実装するための１つ又は複数の実行可能命令を含む、モジュール、セグメント、又はコードの一部を表すことができる。いくつかの代替的な実装において、ブロック内に示される機能は、図に示される順序とは異なる順序で生じることがある。例えば、連続して示される２つのブロックは、関与する機能に応じて、実際には実質的に同時に実行されることもあり、又はこれらのブロックはときとして逆順で実行されることもある。ブロック図及び／又はフローチャート図の各ブロック、及びブロック図及び／又はフローチャート図内のブロックの組み合わせは、指定された機能又は動作を実行する、又は専用のハードウェアとコンピュータ命令との組み合わせを実行する、専用ハードウェアベースのシステムによって実装できることにも留意されたい。

６００、９００：量子コンピュータ
８００：コンピュータ

Claims (25)

1. 量子コンピュータ上で必要とされる量子ビットの数を削減する、コンピュータ実装方法であって、
   フェルミオン系をハミルトニアンに関して特徴付けることであって、前記フェルミオン系は、フェルミオン及びフェルミオン・モードを含み、フェルミオン・モードの総数は２Ｍであり、前記ハミルトニアンは、上向きスピン及び下向きスピンパリティ演算子によってコード化されるパリティ対称性を有することと、
   前記ハミルトニアン上の前記フェルミオン・モードを、２Ｍモードの第１の半分が上向きスピンに対応し、２Ｍモードの第２の半分が下向きスピンに対応するようにソートすることと、
   フェルミオンから量子ビットへの写像を利用して前記ハミルトニアン及び前記パリティ演算子を変換することであって、前記フェルミオンから量子ビットへの写像は、前記パリティ演算子を、量子ビットＭ上の第１の単一量子ビット・パウリ演算子及び量子ビット２Ｍ上の第２の単一量子ビット・パウリ演算子に変換することと、
   前記第１の単一量子ビット・パウリ演算子によって作用された前記量子ビットＭ、及び前記第２の単一量子ビット・パウリ演算子によって作用された前記量子ビット２Ｍを除去することと、
   を含む、方法。
2. 前記フェルミオンから量子ビットへの写像は、一般化ヨルダン−ウィグナー変換である、請求項１に記載の方法。
3. 前記量子ビットＭ上の前記第１の単一量子ビット・パウリ演算子は、前記量子ビットＭ上のパウリＺ行列である、請求項１に記載の方法。
4. 前記量子ビット２Ｍ上の前記第２の単一量子ビット・パウリ演算子は、前記量子ビットＭ及び前記量子ビット２Ｍのサイトにおける２つのパウリＺ行列の積である、請求項３に記載の方法。
5. 前記第１の単一量子ビット・パウリ演算子によって作用された前記量子ビットＭを除去することは、前記量子ビットＭを前記量子ビットＭのパリティに従って固有値＋１又は−１で置き換えることを含む、請求項１に記載の方法。
6. 前記第２の単一量子ビット・パウリ演算子によって作用された前記量子ビット２Ｍを除去することは、前記量子ビット２Ｍを前記量子ビット２Ｍのパリティに従って固有値＋１又は−１で置き換えることを含む、請求項５に記載の方法。
7. 前記量子ビットＭは、量子ビットＭの前記パリティをコード化し、前記量子ビット２Ｍは、量子ビット２Ｍの前記パリティをコード化する、請求項６に記載の方法。
8. 前記量子ビットＭ及び前記量子ビット２Ｍの前記パリティは、予め既知である、請求項７に記載の方法。
9. 削減された量子ビットを有する前記ハミルトニアンを量子コンピュータ上で実行することをさらに含む、請求項１に記載の方法。
10. 量子コンピュータ上で必要とされる量子ビットの数を削減する、コンピュータ実装方法であって、
    フェルミオン系をハミルトニアンに関して特徴付けることであって、前記フェルミオン系は、フェルミオン及びフェルミオン・モードを含むことと、
    フェルミオンから量子ビットへの写像を利用して前記ハミルトニアンを変換することと、
    前記ハミルトニアンのパウリ対称性演算子を見いだすことと、
    前記パウリ対称性演算子を単一量子ビット・パウリ演算子に変換することと、
    前記単一量子ビット・パウリ演算子が作用しているあらゆる量子ビットを除去することと、
    を含む方法。
11. 前記フェルミオンから量子ビットへの写像は、一般化ヨルダン−ウィグナー変換又は標準ヨルダン−ウィグナー変換である、請求項１０に記載の方法。
12. 前記ハミルトニアンのパウリ対称性演算子を見いだすことは、
    前記ハミルトニアンに対してパリティ検査行列を実行して前記パウリ対称性演算子を決定することと、
    パウリ対称性演算子が見いだされなかった場合、更なる削減は実行できないことを決定することと、
    パウリ対称性演算子が見いだされた場合、前記パウリ対称性演算子の可換集合を決定することと、
    を含む、請求項１０に記載の方法。
13. 前記パウリ対称性演算子を前記単一量子ビット・パウリ演算子に変換することは、前記パウリ対称性演算子の前記可換集合に対するクリフォード変換を構築して、前記パウリ対称性演算子の前記可換集合を前記単一量子ビット・パウリ演算子に写像することを含む、請求項１２に記載の方法。
14. 量子コンピュータ上で必要とされる量子ビットの数を削減する、コンピュータ実装方法であって、
    フェルミオン系をハミルトニアンに関して特徴付けることであって、前記フェルミオン系は、フェルミオン及びフェルミオン・モードを含み、フェルミオン・モードの総数はＭであり、前記ハミルトニアンは、粒子数対称性及びＮ粒子を有することと、
    Ｍフェルミオン・モードからＭ量子ビットへ変換するフェルミオンから量子ビットへの写像を利用して、前記ハミルトニアンを変換することであって、前記Ｍ量子ビットは、計算基底においてＭビットストリングによって表されることと、
    圧縮写像を、前記Ｍ量子ビットを有する前記ハミルトニアンがＱ量子ビットの変換ハミルトニアンに写像されるように前記ハミルトニアンに適用することであって、ここでＱ＜Ｍであり、前記圧縮写像は、ハミング重みＮを有する、計算基底において前記Ｍ量子ビットをラベルする前記Ｍビットストリングを、Ｑビットストリングに写像することと、
    を含む、方法。
15. 前記計算基底は、前記Ｍ量子ビットの各々に対して０及び１である、請求項１４に記載の方法。
16. 前記量子コンピュータが前記Ｑ量子ビットの前記変換ハミルトニアンのエネルギーを測定したことに応答して、前記変換ハミルトニアンの各圧縮項について測定エネルギーを受け取ることであって、前記量子コンピュータは、Ｑ＋１量子ビット上の量子測定回路を含むことと、
    測定されたエネルギーに対してデコーディングを行って、前記ハミルトニアンにおける各未圧縮項の測定結果を得ることと、
    前記測定結果を組み合わせて、前記圧縮写像を適用する前の前記ハミルトニアンのエネルギーを得ることと、
    をさらに含む、請求項１４に記載の方法。
17. 前記変換ハミルトニアンは、圧縮項を含み、
    前記圧縮写像を適用する前の前記ハミルトニアンは、未圧縮項を含む、
    請求項１６に記載の方法。
18. 量子コンピュータ上で必要とされる量子ビットの数を削減するためのコンピュータ実行可能命令を含むメモリと、
    前記コンピュータ実行可能命令を実行するプロセッサと、
    を含むシステムであって、前記コンピュータ実行可能命令は、前記プロセッサに動作を行わせ、前記動作は、
    フェルミオン系をハミルトニアンに関して特徴付けることであって、前記フェルミオン系は、フェルミオン及びフェルミオン・モードを含み、フェルミオン・モードの総数は２Ｍであり、前記ハミルトニアンは、上向きスピン及び下向きスピンパリティ演算子によってコード化されるパリティ対称性を有することと、
    前記ハミルトニアン上の前記フェルミオン・モードを、２Ｍモードの第１の半分が上向きスピンに対応し、２Ｍモードの第２の半分が下向きスピンに対応するようにソートすることと、
    フェルミオンから量子ビットへの写像を利用して前記ハミルトニアン及び前記パリティ演算子を変換することであって、前記フェルミオンから量子ビットへの写像は、前記パリティ演算子を、量子ビットＭ上の第１の単一量子ビット・パウリ演算子及び量子ビット２Ｍ上の第２の単一量子ビット・パウリ演算子に変換することと、
    前記第１の単一量子ビット・パウリ演算子によって作用された前記量子ビットＭ、及び前記第２の単一量子ビット・パウリ演算子によって作用された前記量子ビット２Ｍを除去することと、
    を含む、システム。
19. 前記フェルミオンから量子ビットへの写像は、一般化ヨルダン−ウィグナー変換である、請求項１８に記載のシステム。
20. 前記量子ビットＭ上の前記第１の単一量子ビット・パウリ演算子は、前記量子ビットＭ上のパウリＺ行列である、請求項１９に記載のシステム。
21. 前記量子ビット２Ｍ上の前記第２の単一量子ビット・パウリ演算子は、前記量子ビットＭ及び前記量子ビット２Ｍのサイトにおける２つのパウリＺ行列の積である、請求項２０に記載のシステム。
22. 前記第１の単一量子ビット・パウリ演算子によって作用された前記量子ビットＭを除去することは、前記量子ビットＭを前記量子ビットＭのパリティに従って固有値＋１又は−１で置き換えることを含む、請求項１８に記載のシステム。
23. 前記第２の単一量子ビット・パウリ演算子によって作用された前記量子ビット２Ｍを除去することは、前記量子ビット２Ｍを前記量子ビット２Ｍのパリティに従って固有値＋１又は−１で置き換えることを含む、請求項２２に記載のシステム。
24. 前記量子ビットＭは、量子ビットＭの前記パリティをコード化し、前記量子ビット２Ｍは、量子ビット２Ｍの前記パリティをコード化し、
    前記量子ビットＭ及び前記量子ビット２Ｍの前記パリティは、予め既知である、
    請求項２３に記載のシステム。
25. 量子コンピュータ上で必要とされる量子ビットの数を削減するためのコンピュータ実行可能命令を含むメモリと、
    前記コンピュータ実行可能命令を実行するプロセッサと、
    を含むシステムであって、前記コンピュータ実行可能命令は、前記プロセッサに動作を行わせ、前記動作は、
    フェルミオン系をハミルトニアンに関して特徴付けることであって、前記フェルミオン系は、フェルミオン及びフェルミオン・モードを含むことと、
    フェルミオンから量子ビットへの写像を利用して前記ハミルトニアンを変換することと、
    前記ハミルトニアンのパウリ対称性演算子を見いだすことと、
    前記パウリ対称性演算子を単一量子ビット・パウリ演算子に変換することと、
    前記単一量子ビット・パウリ演算子が作用しているあらゆる量子ビットを除去することと、
    を含む、システム。

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