DE112017002971T5 - Effiziente Reduzierung von Ressourcen für die Simulation fermionischer Hamilton-Operatoren aufQuantenhardware - Google Patents

Abstract

Eine Technik bezieht sich darauf, Qubits zu reduzieren, die auf einem Quantencomputer benötigt werden. Ein Fermionen-System wird in Form eines Hamilton-Operators charakterisiert. Das Fermionen-System beinhaltet Fermionen und Fermion-Moden mit einer Gesamtzahl von 2M Fermion-Moden. Der Hamilton-Operator weist eine Paritätssymmetrie auf, die durch Spin-up- und Spin-down-Paritätsoperatoren codiert wird. Fermion-Moden werden so geordnet, dass die erste Hälfte der 2M Moden dem Spin-up und die zweite Hälfte der 2M Moden dem Spin-down entspricht. Der Hamilton-Operator und die Paritätsoperatoren werden unter Verwendung einer Fermion-Qubit-Abbildung transformiert, die Paritätsoperatoren in einen ersten Einzel-Qubit-Pauli-Operator auf einem Qubit M und in einen zweiten Einzel-Qubit-Pauli-Operator auf einem Qubit 2M transformiert. Das Qubit M, auf das der erste Einzel-Qubit-Pauli-Operator angewendet wurde, und das Qubit 2M, auf das der zweite Einzel-Qubit-Pauli-Operator angewendet wurde, werden entfernt

Description

• HINTERGRUND
• Die vorliegende Erfindung bezieht sich im Allgemeinen auf Quantendatenverarbeitung und insbesondere auf eine effiziente Reduzierung von Ressourcen für die Simulation fermionischer Hamilton-Operatoren auf Quantenhardware.
• In der Teilchenphysik sind Fermionen Teilchen, die durch die Fermi-Dirac-Statistik beschrieben werden. Diese Teilchen gehorchen dem Pauli-Prinzip. Fermionen beinhalten alle Quarks und Leptonen sowie alle zusammengesetzten Teilchen, die aus einer ungeraden Anzahl der Genannten bestehen wie beispielsweise alle Baryonen und viele Atome und Kerne. Fermionen unterscheiden sich von Bosonen, für die die Bose-Einstein-Statistik maßgeblich ist. Bei einem Fermion kann es sich um ein Elementarteilchen wie beispielsweise das Elektron handeln, oder es kann sich um ein zusammengesetztes Teilchen wie das Proton handeln. Nach dem Spin-Statistik-Theorem in begründeten relativistischen Quantenfeldtheorien sind Teilchen mit ganzzahligem Spin Bosonen, während Teilchen mit halbzahligem Spin Fermionen sind.
• Fermionen besitzen neben einer Spin-Eigenschaft auch erhaltene Baryonen- oder Leptonen-Quantenzahlen. Daher ist das, was normalerweise als Spin-Statistik-Relation bezeichnet wird, in Wirklichkeit eine Spin-Statistik-Quantenzahl-Relation. Als Folge des Pauli-Prinzips kann immer nur ein Fermion einen bestimmten Quantenzustand zu einem bestimmten Zeitpunkt einnehmen. Wenn mehrere Fermionen die gleiche räumliche Wahrscheinlichkeitsverteilung aufweisen, muss mindestens eine Eigenschaft jedes Fermions, wie beispielsweise sein Spin, unterschiedlich sein. Fermionen sind meist mit Materie verbunden, während Bosonen in der Regel Kraftträgerteilchen sind, obwohl der Unterschied zwischen den beiden Konzepten nach dem aktuellen Stand der Teilchenphysik unklar ist. Schwach wechselwirkende Fermionen können unter extremen Bedingungen auch ein Bosonen-Verhalten zeigen. Bei niedrigen Temperaturen weisen Fermionen in Bezug auf ungeladene Teilchen Suprafluidität und in Bezug auf geladene Teilchen Supraleitfähigkeit auf. Zusammengesetzte Fermionen wie Protonen und Neutronen sind die wichtigsten Bausteine der gewöhnlichen Materie.
• KURZDARSTELLUNG
• Gemäß einer oder mehreren Ausführungsformen wird ein auf einem Computer implementiertes Verfahren zum Reduzieren einer Anzahl von Qubits bereitgestellt, die auf einem Quantencomputer benötigt werden. Das Verfahren beinhaltet Charakterisieren eines Fermionen-Systems in Form eines Hamilton-Operators. Das Fermionen-System beinhaltet Fermionen und Fermion-Moden mit einer Gesamtzahl von 2M Fermion-Moden. Der Hamilton-Operator weist eine Paritätssymmetrie auf, die durch Spin-up- und Spin-down-Paritätsoperatoren codiert wird. Das Verfahren beinhaltet Ordnen der Fermion-Moden im Hamilton-Operator, sodass die erste Hälfte der 2M Moden dem Spin-up entspricht und die zweite Hälfte der 2M-Moden dem Spin-down entspricht, sowie Transformieren des Hamilton-Operators und der Paritätsoperatoren unter Verwendung einer Fermion-Qubit-Abbildung, wobei die Paritätsoperatoren durch die Fermion-Qubit-Abbildung in einen ersten Einzel-Qubit-Pauli-Operator auf einem Qubit M und in einen zweiten Einzel-Qubit-Pauli-Operator auf einem Qubit 2M transformiert werden. Weiterhin beinhaltet das Verfahren Entfernen des Qubits M, auf das der erste Einzel-Qubit-Pauli-Operator angewendet wurde, und des Qubits 2M, auf das der zweite Einzel-Qubit-Pauli-Operator angewendet wurde.
• Gemäß einer oder mehreren Ausführungsformen wird ein auf einem Computer implementiertes Verfahren zum Reduzieren einer Anzahl von Qubits bereitgestellt, die auf einem Quantencomputer benötigt werden. Das Verfahren beinhaltet Charakterisieren eines Fermionen-Systems in Form eines Hamilton-Operators. Das Fermionen-System beinhaltet Fermionen und Fermion-Moden. Das Verfahren beinhaltet Transformieren des Hamilton-Operators unter Verwendung einer Fermion-Qubit-Abbildung, Auffinden von Pauli-Symmetrieoperatoren des Hamilton-Operators, Transformieren der Pauli-Symmetrieoperatoren in Einzel-Qubit-Pauli-Operatoren und Entfernen jedes Qubits, auf das die Einzel-Qubit-Pauli-Operatoren wirken.
• Gemäß einer oder mehreren Ausführungsformen wird ein auf einem Computer implementiertes Verfahren zum Reduzieren einer Anzahl von Qubits bereitgestellt, die auf einem Quantencomputer benötigt werden. Das Verfahren beinhaltet Charakterisieren eines Fermionen-Systems in Form eines Hamilton-Operators. Das Fermionen-System beinhaltet Fermionen und Fermion-Moden mit einer Gesamtzahl von M Fermion-Moden, und der Hamilton-Operator weist eine Teilchenzahlsymmetrie und N Teilchen auf. Das Verfahren beinhaltet Transformieren des Hamilton-Operators unter Verwendung einer Fermion-Qubit-Abbildung, die M Fermion-Moden in M Qubits transformiert, wobei die M Qubits anhand einer Berechnungsgrundlage durch M Bitfolgen dargestellt werden. Weiterhin beinhaltet das Verfahren Anwenden einer Komprimierungsabbildung auf den Hamilton-Operator, sodass der Hamilton-Operator mit den M Qubits auf einen transformierten Hamilton-Operator mit Q Qubits abgebildet wird, wobei Q < M ist, wobei die Komprimierungsabbildung die M Bitfolgen, die die M Qubits anhand der Berechnungsgrundlage mit einem Hamming-Gewicht N kennzeichnen, auf Q Bitfolgen abbildet.
• Gemäß einer oder mehreren Ausführungsformen wird ein System bereitgestellt. Das System enthält einen Speicher mit durch Computer ausführbaren Anweisungen zum Reduzieren einer Anzahl von Qubits, die auf einem Quantencomputer benötigt werden, und einen Prozessor, der die durch Computer ausführbaren Anweisungen ausführt. Die durch Computer ausführbaren Anweisungen veranlassen den Prozessor, Operationen durchzuführen. Die Operationen beinhalten ein Charakterisieren eines Fermionen-Systems in Form eines Hamilton-Operators. Das Fermionen-System beinhaltet Fermionen und Fermion-Moden mit einer Gesamtzahl von 2M Fermion-Moden, und der Hamilton-Operator weist eine Paritätssymmetrie auf, die von Spin-up- und Spin-down-Paritätsoperatoren codiert wird. Die Operationen beinhalten Ordnen der Fermion-Moden im Hamilton-Operator, sodass die erste Hälfte der 2M-Moden dem Spin-up und die zweite Hälfte der 2M-Moden dem Spin-down entspricht. Zu den Operationen gehört auch ein Transformieren des Hamilton-Operators und der Paritätsoperatoren unter Verwendung einer Fermion-Qubit-Abbildung, wobei die Fermion-Qubit-Abbildung die Paritätsoperatoren in einen ersten Einzel-Qubit-Pauli-Operator auf einem Qubit M und in einen zweiten Einzel-Qubit-Pauli-Operator auf einem Qubit 2M transformiert. Weiterhin beinhalten die Operationen ein Entfernen des Qubits M, auf das der erste Einzel-Qubit-Pauli-Operator angewendet wurde, und des Qubits 2M, auf das der zweite Einzel-Qubit-Pauli-Operator angewendet wurde.
• Gemäß einer oder mehreren Ausführungsformen wird ein System bereitgestellt. Das System enthält einen Speicher mit durch Computer ausführbaren Anweisungen zum Reduzieren einer Anzahl von Qubits, die auf einem Quantencomputer benötigt werden, und einen Prozessor, der die durch Computer ausführbaren Anweisungen ausführt. Die durch Computer ausführbaren Anweisungen veranlassen den Prozessor, Operationen durchzuführen. Die Operationen beinhalten ein Charakterisieren eines Fermionen-Systems in Form eines Hamilton-Operators. Das Fermionen-System beinhaltet Fermionen und Fermion-Moden. Das Verfahren beinhaltet Transformieren des Hamilton-Operators unter Verwendung einer Fermion-Qubit-Abbildung, Auffinden von Pauli-Symmetrieoperatoren des Hamilton-Operators, Transformieren der Pauli-Symmetrieoperatoren in Einzel-Qubit-Pauli-Operatoren und Entfernen jedes Qubits, auf das die Einzel-Qubit-Pauli-Operatoren wirken.
• Figurenliste
• Im Folgenden werden Ausführungsformen der vorliegenden Erfindung lediglich als Beispiel mit Bezug auf die beigefügten Zeichnungen beschrieben, in denen:
• 1 ein Ablaufplan von Reduzierung 1 gemäß einer oder mehreren Ausführungsformen ist.
• 2A einen Teil eines Ablaufplans von Reduzierung 2 gemäß einer oder mehreren Ausführungsformen darstellt.
• 2B einen anderen Teil eines Ablaufplans von Reduzierung 2 gemäß einer oder mehreren Ausführungsformen darstellt.
• 3A einen Teil eines Ablaufplans von Reduzierung 3 gemäß einer oder mehreren Ausführungsformen darstellt.
• 3B einen anderen Teil eines Ablaufplans von Reduzierung 3 gemäß einer oder mehreren Ausführungsformen darstellt.
• 4 eine Tabelle ist, die die Werte von Q(M, N) darstellt, die für kleine Werte von M und N gemäß einer oder mehreren Ausführungsformen numerisch berechnet wurden.
• 5 einen Graphen einer komprimierten Jordan-Wigner-Transformation darstellt, die eine obere Schranke im Qubit-Moden-Verhältnis Q/M als Funktion des Füllfaktors v = N/M gemäß einer oder mehrerer Ausführungsformen aufweist.
• 6 eine Messschaltung für einen quadratischen Hüpfterm für ein einzelnes Qubit gemäß einer oder mehreren Ausführungsformen ist.
• 7 ein Schaubild ist, das eine Reduzierung von M = 14 Fermi-Moden mit N = 3 Teilchen auf Q = 10 Qubits gemäß einer oder mehreren Ausführungsformen darstellt.
• 8 ein Beispiel eines Computers ist, der so konfiguriert ist, dass er die Reduzierungen 1, 2 und/oder 3 gemäß einer oder mehreren Ausführungsformen ausführt.
• 9 ein Beispiel eines Quantencomputers ist, der so konfiguriert ist, dass er die Reduzierungen 1, 2 und/oder 3 gemäß einer oder mehreren Ausführungsformen ausführt.
• 10 ein Ablaufplan gemäß einer oder mehreren Ausführungsformen eines Verfahrens zum Reduzieren (Reduzierung 1) einer Anzahl von Qubits ist, die auf einem Quantencomputer benötigt werden, und/oder einer Anzahl von Qubits, die für die Simulation auf einem Quantencomputer benötigt werden.
• 11 ein Ablaufplan gemäß einer oder mehreren Ausführungsformen eines Verfahrens zum Reduzieren (Reduzierung 2) einer Anzahl von Qubits ist, die auf einem Quantencomputer benötigt werden, und/oder einer Anzahl von Qubits, die für die Simulation auf einem Quantencomputer benötigt werden.
• 12 ein Ablaufplan gemäß einer oder mehreren Ausführungsformen eines Verfahrens zum Reduzieren (Reduzierung 3) einer Anzahl von Qubits ist, die auf einem Quantencomputer benötigt werden, und/oder einer Anzahl von Qubits, die für die Simulation auf einem Quantencomputer benötigt werden.
• AUSFÜHRLICHE BESCHREIBUNG
• In der Quantenmechanik ist der Hamilton-Operator der Operator, der in den meisten Fällen der Gesamtenergie des Systems entspricht. Er wird in der Regel mit H oder auch Ȟ oder Ĥ bezeichnet. Sein Spektrum ist die Menge der möglichen Ergebnisse, wenn die Gesamtenergie eines Systems gemessen wird. Aufgrund seiner engen Beziehung zur Zeitentwicklung eines Systems ist er in den meisten Ansätzen der Quantentheorie von grundlegender Bedeutung.
• Die Quanteninformationsverarbeitung verspricht, spezifische Rechenprobleme zu lösen, die für herkömmliche klassische Hardware als zu anspruchsvoll gelten. Eine für Quantencomputer besonders gut geeignete Rechenaufgabe ist die Simulation quantenmechanischer Systeme. Die zentrale Anwendung ist hier die Simulation stark wechselwirkender Fermionen-Systeme, wie sie beispielsweise in der Quantenchemie, der Materialwissenschaft und der Kernphysik zu finden sind. Um fermionische Grade auf einem Quantencomputer darzustellen, müssen die Fermion-Moden auf Qubits abgebildet werden, die die elementaren logischen Einheiten der Quantenberechnung sind.
• Nach dem Stand der Technik sind mehrere Transformationen bekannt, die fermionische Freiheitsgrade auf Qubit-Freiheitsgrade abbilden. Die bekannteste ist die Jordan-Wigner-Transformation, gefolgt von der rechnerisch effizienteren verallgemeinerten Jordan-Wigner-Transformation (Bravyi-Kitaev-Abbildung) und der Paritätsdarstellung.
• Allen diesen Transformationen ist gemeinsam, dass ein fermionischer Freiheitsgrad (d.h. eine Mode) genau auf ein Qubit-Freiheitsgrad (d.h. ein Qubit) abgebildet wird. Daher entspricht die Anzahl der Qubits, die bei dieser Abbildung benötigt werden, der Anzahl der Moden (d.h. Fermion-Moden).
• Es ist jedoch bekannt, dass physikalische Fermionen-Systeme immer der Paritätserhaltung und in einigen Fällen der noch stärkeren Erhaltung der Teilchenzahl folgen. Aufgrund dieser Symmetrien sind nicht alle Freiheitsgrade in der Qubit-Simulation notwendig, und tatsächlich codieren einige Qubit-Grade redundante Informationen. Es war eine offene Frage, wie genau diese Freiheitsgrade (d.h. überschüssige Qubits) auf rechnerisch effiziente Weise beseitigt werden können, die sich direkt auf das Entfernen redundanter Qubit-Freiheitsgrade in der Simulation auswirkt. Die Simulation wird auf einem Quantencomputer mit Qubits durchgeführt. Es wird darauf hingewiesen, dass ein Qubit ein physisches Teil einer Quantenhardware in einem Quantencomputer ist und dass das Qubit eine supraleitende Quanteneinheit ist. In einem Hamilton-Operator wird das Qubit als ein Term verwendet, der das physische Qubit darstellt.
• Eine oder mehrere Ausführungsformen stellen ein effizientes Schema bereit, bei dem immer zwei Qubit-Freiheitsgrade für chemische Hamilton-Operatoren mit vernachlässigbaren Spin-Bahn-Wechselwirkungen entfernt werden. Eine oder mehrere Ausführungsformen stellen ein Schema zum Auffinden versteckter Symmetrien bereit, wobei miteinander kompatible Symmetrien das Entfernen eines einzelnen Qubits im Hamilton-Operator ermöglichen. Eine oder mehrere Ausführungsformen stellen ein Komprimierungsschema zum Reduzieren der Anzahl der Qubits bereit, das auf der Erhaltung der Teilchenzahl beruht, und das Komprimierungsschema ist sowohl effizient in der Durchführung als auch asymptotisch optimal.
• In mehreren konkreten Beispielen wurde beobachtet, dass einzelne Qubits ohne Informationsverlust aus der Simulation entfernt werden konnten. Diese Beobachtungen beschränkten sich auf sehr spezifische Modelle von Hamilton-Operatoren nach dem Stand der Technik, wie z.B. auf die Quantenchemie und den Hamilton-Operator für das Wasserstoffmolekül sowie auf das Fermi-Hubbard-Modell mit vier Fermion-Moden. In diesen Beispielen musste die genaue Blockdiagonalstruktur des Hamilton-Operators nach dem Stand der Technik bekannt sein. Beide Fälle stellen kein rechnerisch effizientes Verfahren zum Beseitigen von Qubit-Freiheitsgraden für allgemeine Modelle dar, wodurch das Beseitigen nicht skalierbar ist und das Entfernen von Qubits auf die spezifischen Modellsysteme beschränkt ist, die nach dem Stand der Technik betrachtet werden.
• Ausführungsformen erläutern jedoch rechnerisch effiziente Schemata für das Entfernen von Qubits in fermionischen Quantensimulationen für allgemeine fermionische Hamilton-Operatoren in Quanten-Vielteilchensystemen, die in der Quantenchemie und Materialwissenschaft sowie in der Simulation der Kernphysik zu finden sind. Ausführungsformen verwenden verschiedene Fermionen-Abbildungen wie die standardisierte Jordan-Wigner-Abbildung sowie die verallgemeinerte Jordan-Wigner-Abbildung, um die Qubit-Freiheitsgrade im Hamilton-Operator zu entfernen. Durch das Entfernen von Qubit-Freiheitsgraden im Hamilton-Operator entfernen Ausführungsformen die Anzahl der Qubits, die in einem Quantencomputer (auch als Quantenhardware, Quantenmaschine usw. bezeichnet) während der Ausführung des Hamilton-Operators (auf den Qubits) benötigt werden. Für einen Quantencomputer sind Qubits eine wertvolle und kostenintensive Ressource. Eine Reduzierung der Anzahl der für Quantensimulationen benötigten Qubits führt zu einer effizienteren Nutzung der verfügbaren Ressourcen. Eine Reduzierung ermöglicht die Simulation komplexerer Systeme als eine Simulation ohne Reduzierung unter Verwendung der gleichen Quantencomputer-Ressourcen. Gemäß einer oder mehreren Ausführungsformen muss der Reduzierungsprozess effizient sein, um in der Quantensimulation breit anwendbar zu sein, da ein ineffizientes Schema den rechnerischen Vorteil durch den Einsatz eines Quantencomputers mindern würde.
• Gemäß den Ausführungsformen besteht die Eingabe der Schemata aus einem Hamilton-Operator, der ein System codiert, das simuliert werden soll. Die Ausgabe ist gemäß den Ausführungsformen ein Hamilton-Operator mit reduzierten Freiheitsgraden (d.h., dies entspricht dem Bedarf an weniger Qubits). Dieser ausgegebene Hamilton-Operator kann anschließend einem Quantenalgorithmus bereitgestellt werden, der dann weniger Ressourcen auf einem Quantencomputer in Anspruch nimmt. Ein Quantenalgorithmus ist eine endliche Folge von Schritt-für-Schritt-Anweisungen, die an den Quantencomputer gesendet werden, um ein bestimmtes Problem zu lösen. Hier sind die Experimentatoren daran interessiert, Schätzungen für die Grundzustandsenergie des ausgegebenen Hamilton-Operators zu erhalten. Daher führt dieser ausgegebene Hamilton-Operator zu einer Menge von Eingabedaten für eine Quantensimulation auf dem Quantencomputer. Zu Erläuterungszwecken und nicht einschränkend werden drei Schemata für das Entfernen von Qubit-Freiheitsgraden vorgestellt (die zu weniger Qubits führen, die in der Hardware des Quantencomputers benötigt werden), und jedes der Schemata hat gemäß Ausführungsformen seine jeweiligen Vorteile und funktioniert gut in verschiedenen Szenarien. Ein Computer 800 in 8 ist so programmiert und konfiguriert, dass er die Reduzierungen 1, 2 und 3 ausführt. Eine oder mehrere Softwareanwendungen 860 sind mit Computeranweisungen der jeweiligen Reduzierungen 1, 2 und 3 programmiert, sodass der Prozessor 810 sie ausführen kann. Nach Ausführen der jeweiligen Reduzierungen 1, 2 und/oder 3 wird die Ausgabe (d.h. der ausgegebene Hamilton-Operator) der jeweiligen Reduzierungen 1, 2 und/oder 3 angewendet und auf einem Quantencomputer 900 in 9 als Hamilton-Operator ausgeführt, der weniger Qubits benötigt als ursprünglich eingegeben (d.h., es werden weniger Qubits benötigt als beim ursprünglichen Hamilton-Operator). Es ist zu beachten, dass ein Quantencomputer nach dem Stand der Technik nur eine begrenzte Anzahl von Qubits aufweist wie z.B. 8 Qubits, mit denen er arbeitet. Daher kann ein Hamilton-Operator, der 10 Qubits benötigt, nicht auf dem 8-Qubit-Quantencomputer simuliert/ausgeführt werden, da die Quantenhardware auf nur 8 Qubits beschränkt ist. Ausführungsformen sind so konfiguriert, dass sie eine Reduzierung durchführen (z.B. Reduzierung 1, 2 und/oder 3), sodass der reduzierte Hamilton-Operator nur 8 Qubits anstelle der ursprünglichen 10 Qubits benötigt, wodurch der reduzierte Hamilton-Operator entsteht, der nun auf den begrenzten 8 Qubits des Quantencomputers simuliert/ausgeführt werden kann. Dementsprechend verbessern Ausführungsformen die Funktion des Quantencomputers selbst, indem sie Techniken bereitstellen, die weniger Quantenhardware erfordern (weniger Qubits). Ausführungsformen verbessern die Technologie, indem sie es ermöglichen, dass Hamilton-Operatoren auf einem Quantencomputer durchgeführt werden, da der Hamilton-Operator sonst zu groß gewesen wäre (d.h. mehr Qubits (d.h. Quantenhardware) benötigt hätte), um auf den begrenzten Ressourcen des Quantencomputers angewendet zu werden. Ausführungsformen ermöglichen es, komplexe Hamilton-Operatoren in ihrer Größe zu reduzieren, um sie auf Quantencomputer anzuwenden. Darüber hinaus befassen sich Ausführungsformen mit einem greifbaren Problem und lösen dieses Problem, das in der Technologie wurzelt, bei der es sich um einen Quantencomputer mit einer begrenzten Anzahl von Rechenressourcen (d.h. einer begrenzten Anzahl von Qubits) handelt, während der Hamilton-Operator mehr Rechenressourcen benötigt als verfügbar. Wäre das durch den Hamilton-Operator dargestellte System nicht in der Lage, den Hamilton-Operator auf eine Größe zu reduzieren, die weniger Qubits (Quantenhardware) verwendet, könnte es nicht auf dem Quantencomputer simuliert werden.
• Es wird darauf hingewiesen, dass Überschriften und/oder Unterüberschriften hierin nachstehend zu Erklärungszwecken und nicht einschränkend verwendet werden.
• 1) Reduzierung 1: Entfernen von paritätserhaltenden Qubits in der verallgemeinerten Jordan-Wigner-Transformation.
• Im Folgenden wird eine allgemeine Beschreibung von Reduzierung 1 bereitgestellt, eine detaillierte Beschreibung von Reduzierung 1 erfolgt an späterer Stelle. Bei der Reduzierung 1 wird der Ort beibehalten, d.h. das Gewicht der Pauli-Operatoren im Hamilton-Operator nach der verallgemeinerten Jordan-Wigner-Transformation, und es werden (genau) zwei Qubits aus jedem fermionischen Hamilton-Operator entfernt, der die Spin-Parität der Elektronen beibehält, wodurch zwei Qubits im Quantencomputer überflüssig werden. Dies gilt insbesondere für chemische Hamilton-Operatoren für das Problem der elektronischen Struktur ohne Spin-Bahn-Kopplung. Die Reduzierung 1 funktioniert wie folgt: Der Hamilton-Operator wirkt auf einen Raum von 2_M = 2^k (k = 1, 2,...) Spin-Bahnen. Experimentatoren ordnen die Bahnen so, dass die ersten Kennzeichnungen 1 bis M jeweils dem Spin-up entsprechen, während die restlichen Kennzeichnungen M+1 bis 2M dem Spin-down entsprechen. Man kann nun die Paritätsoperatoren P1 für die ersten M Spin-down-Bahnen und P2 für die restlichen M Spin-down-Bahnen ausdrücken. Durch Transformieren der Fermion-Moden-Operatoren in Spin-Freiheitsgrade mittels der verallgemeinerten Jordan-Wigner-Transformation kann gezeigt werden, dass der erste Paritätsoperator P1 als einfache Z-Pauli-Matrix auf Qubit M wirkt, d.h. P1 = Z_M, während der zweite Operator P2 ein einfaches Produkt aus zwei Z-Pauli-Matrizen an den Orten M und 2M ist, d.h. P2 = Z_M Z_2M. Da die Experimentatoren von der Erhaltung der Spin-Parität in jedem Term des Hamilton-Operators ausgegangen sind, sind sowohl P1 als auch P2 mit jedem Term des transformierten Hamilton-Operators vertauschbar. Dies bedeutet, dass der Pauli-Operator an diesem Ort (z.B. die Orte M und/oder 2M) nur die Identitätsmatrix oder die Z-Pauli-Matrix in jedem Term sein kann, da dies die einzigen möglichen Operatoren sind, die mit P1 und P2 an diesen Positionen vertauschbar sind. Die Struktur jedes Terms im Hamilton-Operator ist nun einfacher, da die Wirkung dieser Qubits in der Simulation vorher bekannt ist (d.h. vordefiniert). Da die Experimentatoren die Spin-Parität der Elektronen vorher kennen, können sie diese beiden Qubits entfernen und die Terme je nach Parität durch die Eigenwerte (+/- 1) ersetzen. Die beiden Qubits codierten nur den Wert der Spin-Parität in der Simulation, d.h. Informationen, die bekannt (d.h. vordefiniert) sind, bevor die Experimentatoren mit der Simulation beginnen. Das Entfernen der Qubits bedeutet, dass weniger Qubits in der Quantenhardware notwendig sind, und führt somit zu einem direkten Entfernen redundanter Informationen.
• 1 ist ein Ablaufplan 100 von Reduzierung 1 gemäß einer oder mehreren Ausführungsformen. Die Techniken von Reduzierung 1 können (als Anwendung 860) auf dem Computer 800 ausgeführt werden. Bei einem ursprünglichen fermionischen Hamilton-Operator H auf 2M Moden (siehe Gleichung (1)) wenden die Experimentatoren eine Transformationsfolge 1 bis 3 an, um den Hamilton-Operator in einen Qubit-Hamilton-Operator für die Quantensimulation auf 2M-2 Qubits zu transformieren. Die Reduzierung 1 wird auf dem Computer 800 ausgeführt, während die Quantensimulation (mittels des reduzierten Hamilton-Operators, bei dem es sich um den Hamilton-Operator handelt, der nur mit weniger Qubits benötigt ausgeführt werden kann) auf der Quantenhardware des Quantencomputers 900 ausgeführt wird.
• Bei Block 105 ist die Eingabe (über die Anwendung 806) auf dem Computer 800 ein fermionischer 2M Spin-Bahn-Hamilton-Operator H (Gleichung (1)). Es handelt sich dabei um einen fermionischen Hamilton-Operator H auf 2M Moden.
• Bei Block 110 ist der Computer 800 so konfiguriert, dass er den Hamilton-Operator H in den Hamilton-Operator H' transformiert (H → H'), indem er die Spin-Bahnen ordnet und 1....M als Spin-up-Bahnen und M+1 ..... 2M als Spin-down-Bahnen kennzeichnet. Dies bedeutet, dass 2-M Fermion-Moden geordnet werden, und dies führt zu dem Hamilton-Operator H' bei Block 115.
• Bei Block 120 ist der Computer 800 so konfiguriert, dass er den Hamilton-Operator H' in H_q (H' → Hq) transformiert, indem er die verallgemeinerte Jordan-Wigner-Transformation (Bravyi-Kitaev) anwendet, um den 2M-Qubit-Hamilton-Operator H_q (bei Block 125) zu erhalten. Es kann auf „The Bravyi-Kitaev transformation for quantum computation of electronic structure“ von Jacob T Seeley, Martin J Richard und Peter J Love in The Journal of Chemical Physics, 137(22):224109, 2012 verwiesen werden, das hierin durch Bezugnahme aufgenommen wird.
• Bei Block 130 ist der Computer 800 so konfiguriert, dass er den Hamilton-Operator H_q in H_q,-2 (H_q → H_q,-2) transformiert, indem er ein Qubit mit der Kennzeichnung M entfernt und ein Qubit mit der Kennzeichnung 2M in jedem Term des Hamilton-Operators H_q entfernt und nach den Entfernungsvorgängen den Term mit dem entsprechenden Eigenwert +/- 1 multipliziert. Der entsprechende Eigenwert +/- 1 ist bekannt, da der Eigenwert nur den Wert der Spin-Parität codiert, also Daten, die verfügbar (vordefiniert) sind, bevor die Experimentatoren mit der Simulation beginnen. Bei Block 135 wird ein 2M-2-Qubit-Hamilton-Operator H_q,-2 ausgegeben (siehe Gleichung (6) unten), der auf dem Quantencomputer 900 angewendet wird.
• 2) Reduzierung 2: Algorithmisches Reduzieren von Qubit-Freiheitsgraden durch das Bilden von nichtlokalen vertauschbaren Pauli-Matrizen.
• Im Folgenden wird eine allgemeine Beschreibung von Reduzierung 2 bereitgestellt, eine detaillierte Beschreibung von Reduzierung 2 erfolgt an späterer Stelle. Im Fall der Reduzierung 2 kann der Ort der Pauli-Operatoren des transformierten Hamilton-Operators erhöht werden. Bei der Reduzierung 2 bleibt jedoch die Gesamtzahl der Summanden im Hamilton-Operator unverändert. Der Qubit-Hamilton-Operator wird als Summe von Pauli-Matrizen geschrieben. Die Reduzierung ändert die Form der Summe nicht und führt keine neuen Terme ein, die nach der Transformation summiert werden müssen. Sie ändert jedoch die Form der einzelnen Terme und bildet die Pauli-Operatoren auf Pauli-Operatoren ab, die jeder für sich genommen nun gemeinsam auf mehr Qubits wirken. Die Reduzierung 2 kann auf alle betrachteten Fermion-Qubit-Transformationen angewendet werden, insbesondere auf die verallgemeinerte Jordan-Wigner-Transformation sowie auf die standardisierte Jordan-Wigner-Transformation. Die Reduzierung 2 funktioniert wie folgt: Es ist eine bekannte Tatsache, dass die N Qubit-Pauli-Gruppe isomorph zum direkten Gruppenprodukt von 2N+2 Kopien von ganzen Zahlen modulo zwei ist. (In der Mathematik ist ein Isomorphismus ein Homomorphismus oder Morphismus (d.h. eine mathematische Abbildung), der eine Umkehrung zulässt.) Dieser Isomorphismus kann verwendet werden, um jeden Pauli-Operator in eine 2N Bitfolge zu codieren, die Phasenabhängigkeit zu verringern und somit eine Verringerung um 2 Bits zu bewirken.
• Nachdem das Abbilden von Fermion-Moden-Operatoren auf Pauli-Matrizen durchgeführt wurde, können die Darstellungen in einer binären Matrix angeordnet werden. Daraus kann eine doppelte Paritätsprüfungsmatrix gebildet werden, indem Blöcke ausgetauscht und Transponierungen durchgeführt werden, wie im Rahmen der detaillierten Reduzierung 2 erläutert. Der Kern dieser Paritätsprüfungsmatrix über dem endlichen Bitfeld entspricht Bitfolgen, die Pauli-Matrizen codieren, die mit jedem Term im Hamilton-Operator vertauschbar sind (zwei Elemente sind vertauschbar, wenn das Ergebnis durch Ändern der Reihenfolge der Operanden nicht geändert wird). Es wird darauf hingewiesen, dass der Kern der Nullraum dieser Matrix ist und der Kern eine Menge darstellt, die aus allen Faktoren gebildet wird, die von der Matrix auf null abgebildet werden. Der Kern kann durch einfache Gauß'sche Entfernung ermittelt werden, die eine effiziente Reduzierung darstellt und die Anzahl der Moden und Terme im Hamilton-Operator polynomisch skaliert. Sobald der Kern ermittelt ist, kann leicht ein Clifford-Gruppenelement für jede linear unabhängige Bitfolge im Kern gebildet werden, sodass der entsprechende nichtlokale Pauli-Operator auf eine Einzel-Qubit-Pauli-Matrix abgebildet wird. Dieses Clifford-Gruppenelement wird im Rahmen der detaillierten Reduzierung 2 definiert. Dieser Einzel-Qubit-Pauli-Operator (d.h. der nichtlokale Pauli-Operator) wird nun durch Bildung mit allen Termen im Hamilton-Operator vertauscht, und damit befinden sich die Experimentatoren wieder im Szenario von Reduzierung 1. Dieses Qubit kann nun entfernt und das entfernte Qubit durch einen entsprechenden (+/- 1) Eigenwert ersetzt werden, der jedoch im Gegensatz zu Reduzierung 1 durch Simulation ermittelt werden muss. Bei der Reduzierung 1 könnte der Wert berechnet werden, bevor die Experimentatoren mit der Simulation beginnen, indem sie die Teilchen in jeder Spin-Bahn zählen. Bei der vorliegenden Reduzierung 2, bei der die Experimentatoren auch Symmetrien entdecken können, die vorher nicht bekannt sind, wird diese Zahl nach Abschluss der Simulation ermittelt, sodass die Gesamtenergie minimal wird.
• Die 2A und 2B stellen einen Ablaufplan 200 von Reduzierung 2 gemäß einer oder mehreren Ausführungsformen dar. Die Techniken von Reduzierung 2 können (als Anwendung 860) auf dem Computer 800 ausgeführt werden. Bei einem ursprünglichen fermionischen Hamilton-Operator H auf 2M Moden (siehe Gleichung (1) hierin) wenden die Experimentatoren eine Transformationsfolge 1, 2 und 3 an, um den Hamilton-Operator in einen Qubit-Hamilton-Operator für die Quantensimulation auf 2M-k Qubits zu transformieren, wobei k durch die vorliegenden Z2 Symmetrien ermittelt wird. Wie zuvor dargelegt, wird die Reduzierung 2 auf dem Computer 800 ausgeführt, während die Quantensimulation (mittels des reduzierten Hamilton-Operators, bei dem es sich um den ausgegebenen Hamilton-Operator handelt, der nur mit weniger Qubits ausgeführt werden kann) auf der Quantenhardware des Quantencomputers 900 ausgeführt wird.
• Bei Block 205 ist die Eingabe (über die Anwendung 806) auf dem Computer 800 ein fermionischer 2M-Spin-Bahn-Hamilton-Operator H (siehe Gleichung (1) hierin). Das bedeutet, ein fermionischer Hamilton-Operator H auf 2M Moden.
• Bei Block 210 ist der Computer 800 so konfiguriert, dass er den Hamilton-Operator H in H_q (H → H_q) transformiert, indem er die standardisierte oder verallgemeinerte Jordan-Wigner-Transformation anwendet, um einen 2M-Qubit-Hamilton-Operator (bei Block 215) zu erhalten. Dabei handelt es sich um eine Abbildung von Fermionen auf Qubits. Obwohl die standardisierte Jordan-Wigner- und/oder verallgemeinerte Jordan-Wigner-Transformation (Bravyi-Kitaev) besprochen wird, ist zu beachten, dass andere Abbildungstechniken verwendet werden können wie z.B. Arbeiten in der Paritätsbasis oder einer anderen binären Basis.
• Von Block 215 abzweigend ist der Computer 800 so konfiguriert, dass er die Pauli-Operatoren in H_q in eine F_2-Paritätsprüfungsmatrix E bei Block 220 codiert und die größte vertauschbare Menge von Pauli-Operatoren {g_j} im Kern von E ermittelt (bei Block 225). Wenn k > 0 Pauli-Operatoren gefunden werden, geht der Ablauf bei Block 225 weiter. Wenn keine Pauli-Operatoren gefunden werden, ist der Computer 800 so konfiguriert, dass er dieses Reduzierungsschema bei Block 221 abbricht. Die Pauli-Operatoren {g_j} sind die Symmetrieoperatoren der Terme im Hamilton-Operator und werden verwendet, um eine Menge von Operatoren zu bilden, die redundante Qubits entfernen. Wenn keine Symmetrien gefunden werden können, d.h. k=0, kann das Schema keine weiteren Qubits aus dem Hamilton-Operator entfernen.
• Bei Block 230 ist der Computer 800 so konfiguriert, dass er Clifford-Abbildungen für jeden vertauschbaren Pauli-Vektor {g_j} bildet, wobei j=1...k mit C_j gekennzeichnet ist und die Clifford-Transformationen auf H_q angewendet werden, um H'_q zu erhalten, wobei g_j auf Einzel-Qubit-Pauli-Operatoren an den Orten m₁ ....m_k bei Block 235 abgebildet wird.
• Bei Block 235 ist der Computer 800 so konfiguriert, dass er den Hamilton-Operator H_q in H'_q (H_q → H'_q) transformiert, indem er die Z2-Symmetrien im Hamilton-Operator findet und eine Clifford-Transformation bildet. Z2-Symmetrien beziehen sich auf Symmetrien im Hamilton-Operator.
• Das Ergebnis von Block 235 ist der 2M-Qubit-Hamilton-Operator H'_q bei Block 240.
• Bei Block 245 ist der Computer 800 so konfiguriert, dass er den Hamilton-Operator H'_q in H'_q,-k, (H'_q → H_q,-k) transformiert, indem er Qubits mit den Kennzeichnungen m₁ ... m_k in jedem Term des Hamilton-Operators H'_q entfernt und den Term mit dem entsprechenden Eigenwert +/- 1 multipliziert.
• Bei Block 250 wird ein 2M-k Qubit-Hamilton-Operator H_q,-k (siehe Gleichung (10) hierin) ausgegeben, der auf dem Quantencomputer 900 angewendet wird.
• 3) Reduzierung 3: Komprimierte Jordan-Wigner-Transformation für fermionische Hamilton-Operatoren unter Beibehalten der Teilchenanzahl.
• Im Folgenden wird eine allgemeine Beschreibung von Reduzierung 3 bereitgestellt, eine detaillierte Beschreibung von Reduzierung 3 erfolgt an späterer Stelle. Die Reduzierung 3 bildet einen lokalen fermionischen Operator, der die Anzahl der Teilchen beibehält, auf einen nichtlokalen Qubit-Operator ab, der als Produkt eines lokalen Pauli-Operators und eines nichtlokalen Diagonaloperators dargestellt werden kann. Die Reduzierung 3 wird auf jeden Term im Hamilton-Operator separat angewendet. Unter der Annahme, dass das zu simulierende Fermionen-System aus M Bahnen besteht, die von N Elektronen besetzt sind, beschreibt der transformierte Hamilton-Operator ein System von Q Qubits, wobei Q<M eine bestimmte Funktion von M und N ist. Die Experimentatoren stellen eine Tabelle (Tabelle 1 in 4) mit Werten für die Funktion Q(M,N), für kleine Werte von M und N sowie asymptotische obere Schranken auf Q in der detaillierten Reduzierung 2 bereit. Insbesondere zeigen die Experimentatoren, dass die Reduzierung 3 es erlaubt, die Simulation (auf dem Quantencomputer 900) mit weniger als M-2 Qubits durchzuführen. Die Reduzierung 3 sieht vor, dass die standardisierte Jordan-Wigner-Transformation und eine lineare injektive Komprimierungsabbildung gebildet werden, die M Bitfolgen mit dem Hamming-Gewicht N an Q-Bitfolgen sendet. Die Experimentatoren verwenden einen praktischen Algorithmus zum Berechnen der Umkehrung der Komprimierungsabbildung. Der transformierte Hamilton-Operator weist die oben genannten Ortseigenschaften auf, wonach die binäre Matrix, die die Komprimierungsabbildung beschreibt, eine Paritätsprüfungsmatrix eines Low-Density-Parity-Check-Codes (LDPC-Codes) ist, der M-Q Bits in M Bits mit dem Mindestabstand 2N+1 codiert. Der transformierte Hamilton-Operator weist somit bekannte Bildungen von LDPC-Codes mit einer konstanten Codierrate und komprimierten Jordan-Wigner-Transformationen mit konstantem Abstandsergebnis und konstanten Brüchen Q/M und N/M auf. Schließlich zeigen die Experimentatoren, wie man den transformierten Hamilton-Operator in Quantensimulations-Algorithmen verwendet, die auf dem Variationsansatz beruhen, bei dem ein Quantencomputer (z.B. der Quantencomputer 900) verwendet wird, um die Energie eines gegebenen Q-Qubit-Variationszustands zu messen.
• Die 3A und 3B stellen einen Ablaufplan 300 von Reduzierung 3 gemäß einer oder mehreren Ausführungsformen dar. Die Techniken von Reduzierung 3 können (als Anwendung 860) auf dem Computer 800 ausgeführt werden. Wie zuvor dargelegt, wird die Reduzierung 3 auf dem Computer 800 ausgeführt, während die Quantensimulation (mittels des reduzierten Hamilton-Operators, bei dem es sich um den Hamilton-Operator handelt, der nur mit weniger Qubits ausgeführt werden kann) auf der Quantenhardware des Quantencomputers 900 ausgeführt wird.
• 3A stellt die Komprimierung des Hamilton-Operators (Teil 1) gemäß einer oder mehreren Ausführungsformen dar. In 3A ist der Computer 800 bei Block 305 so konfiguriert, dass er (über die Anwendung 806) eine Eingabe eines ursprünglichen fermionischen M-Spin-Bahn-Hamilton-Operators H (siehe Gleichung (11) hierin) mit N besetzenden Fermionen empfängt. Dies ist der Hamilton-Operator H mit M Moden und insgesamt N Fermionen.
• Bei Block 310 ist der Computer 800 so konfiguriert, dass er den Hamilton-Operator H in H_q (H → H_q) transformiert, indem er die standardisierte Jordan-Wigner-Transformation auf H anwendet, um einen M Qubit-Hamilton-Operator H_q zu erhalten, was bei Block 315 zu einem M Qubit-Spin-Hamilton-Operator H_q mit N Fermionen führt.
• Bei Block 320 ist der Computer 800 so konfiguriert, dass er die Isometrie U auf den Hamilton-Operator anwendet, die sich aus der LDPC-Komprimierung von Gleichung (16) ergibt. Als Ergebnis der LDPC-Komprimierung ist der Computer 800 so konfiguriert, dass er einen Q(M,N)-Qubit-Hamilton-Operator H̃ von Gleichung (13) hierin bei Block 325 ausgibt. So kann beispielsweise der Computer 800 bei Block 325 den Wert für Q(M,N) aus Tabelle 1 (z.B. gespeichert im und/oder vom Computer 800 aufgerufen) in 4 lesen, mit asymptotischer Skalierung wie in Gleichung (12), was zu dem komprimierten Hamilton-Operator H̃ führt, der in 3B verwendet wird. In diesem Fall wird der komprimierte Hamilton-Operator H̃ () zur Simulation auf dem Quantencomputer 900 verwendet, wobei ein in 3B besprochenes Schema verwendet wird.
• 3B stellt das komprimierte Messschema (Teil 2) gemäß einer oder mehreren Ausführungsformen dar. Das Messschema (von Block 340) wird auf einem Quantencomputer 900 durchgeführt, um die Messwerte im Rahmen der Simulation zu erhalten. Der Computer 800 wird verwendet, um die erhaltenen Werte zum Endergebnis hinzuzufügen. Anders als in den 1, 2A, 2B, 3A wird die Simulation in 3B auf dem Quantencomputer 900 durchgeführt.
• In 3B ist der Computer 800 bei Block 330 so konfiguriert, dass er eine Eingabe des komprimierten Hamilton-Operators $\tilde{H}={\displaystyle {\sum }_{j=1}^r{h}_j{D}_j{P}_j}$

  

  mit j=1...r Termen empfängt. Der Computer 800 setzt j = 0 und (H) = 0. Die Experimentatoren definieren <H> als den Erwartungswert, der benötigt wird, um anhand der Messdaten eine Berechnung durchzuführen. Dieser Wert wird zunächst auf null gesetzt und als Teil des Schemas berechnet.
• Bei Block 335 ist der Computer 800 so konfiguriert, dass er j = j+1 setzt und den Hamilton-Operatorterm D_jP_j auswählt.
• Der Quantencomputer 900 ist auf den Messerwartungswert in Gleichung (14) (hierin) bei Block 340 konfiguriert, und gibt 〈D_jP_j〉 zurück, der anschließend auf dem Computer 800 angewendet wird. Ein klassischer Computer 800 stellt Eingabedaten für den Quantencomputer 900 bereit, um die Simulation durchzuführen. Der Quantencomputer 900 fragt die Messergebnisse ab, um den Erwartungswert 〈D_jP_j〉 zu schätzen. Das Messschema zum Ermitteln des Erwartungswertes wird im Folgenden im Zusammenhang mit den detaillierten Reduzierungen 3 erläutert. Diese Ausgabemessdaten, die auf dem Quantencomputer 900 (bei Block 340) verwendet werden, werden bei Block 345 an den Computer 800 zurückgegeben.
• Bei Block 345 ist der Computer 800 so konfiguriert, dass er (H) ergänzt, wobei $${\langle \tilde{H}\rangle }^j={\langle \tilde{H}\rangle }^{j-1}+h_j\langle D_j{P}_j\rangle$$

  

  ist.
• Bei Block 350 ist der Computer 800 so konfiguriert, dass er prüft, ob j < r ist. Wenn j < r ist, kehrt der Prozess zu Block 335 zurück. Ist dies nicht der Fall, ist der Computer 800 so konfiguriert, dass er andernfalls mit j = r fortfährt und die Schätzung (H) bei Block 355 ausgibt. Die Ausgabe ist die Energieschätzung (H) des Hamilton-Operators H̃.
• Es sei darauf hingewiesen, dass eine allgemeine Beschreibung der Reduzierungen 1, 2 und 3 vorstehend besprochen wurde und weitere Einzelheiten der Reduzierungen nachstehend beschrieben werden. Zuerst werden weitere Einzelheiten im Hinblick auf Reduzierung 1 beschrieben.
• Detaillierte Reduzierung 1
• Die Experimentatoren erwägen nun das Entfernen von zwei Qubits in molekularen Hamilton-Operatoren, die die Spin-Parität nach einer verallgemeinerten Jordan-Wigner-Transformation beibehalten. Es kann auf „Fermionic quantum computation“ von S. Bravyi und A. Kitaev. in Ann. of Phys., 298(1): 210-226, 2002 verwiesen werden, das hierin durch Bezugnahme aufgenommen wird.
• Die Molekularbahnen des besprochenen molekularen Hamilton-Operators werden in einer zweiten Quantisierung betrachtet. Es sei zunächst der allgemeinste nichtrelativistische fermionische Hamilton-Operator betrachtet, der wie folgt geschrieben werden kann $$\begin{array}{l}H={\displaystyle \sum _{\sigma =\left\{\uparrow ,\downarrow \right\}}{\displaystyle \sum _{\alpha ,\beta =1}^M{h}_{\alpha \beta }{a}_{\alpha \sigma }^{†}{a}_{\beta \sigma }}}\\ +\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{\sigma ,\rho =\left\{\uparrow ,\downarrow \right\}}{\displaystyle \sum _{\alpha ,\beta ,\gamma ,\mu =1}^M{U}_{\alpha \beta \gamma \mu }{a}_{\alpha \sigma }^{†}{a}_{\beta \rho }^{†}{a}_{\gamma \sigma }{a}_{\mu \rho }}},\end{array}$$

  

  wobei h_α,β, U_αβγµ ∈ ℂ die fermionischen Ein- und Zwei-Elektronen-Integrale sind, die den korrekten Symmetrien für einen gültigen molekularen Hamilton-Operator gehorchen, mit den zugrunde liegenden Antivertauschungsregeln für die Fermion-Moden $\left\{a_{\alpha \sigma }^{†},a_{\beta \rho }\right\}={\delta }_{\alpha ,\beta }{\delta }_{\sigma ,\rho }\text{ und }\left\{a_{\alpha ,\sigma }^{†},a_{\beta \rho }^{†}\right\}=\left(a_{\alpha \sigma },a_{\beta \rho }\right)=0.$

  

  Jede molekulare Bahn α ist hier zweifach spin-entartet, wobei σ = {↑, ↓} den Spin-Zustand kennzeichnet, sodass der Hamilton-Operator in Gleichung (1) die Gesamtzahl der Spins beibehält. Die Beibehaltung der Spin-Parität entspricht der Tatsache, dass die Operatoren $$p_{\downarrow }={\displaystyle \prod _{\alpha =1}^M\left(1-2a_{\alpha \downarrow }^{†}{a}_{\alpha \downarrow }\right)}\text{ und }{p}_{\uparrow }={\displaystyle \prod _{\alpha =M+1}^{2M}\left(1-2a_{\alpha \uparrow }^{†}{a}_{\alpha \uparrow }\right)}$$

  
• Symmetrien des Hamilton-Operators [p_↓↑, H] = 0 sind. Um H auf einem Quantencomputer (z.B. dem Quantencomputer 900) zu simulieren, verwenden die Experimentatoren die verallgemeinerte Jordan-Wigner-Transformation. Die Transformation bildet die fermionischen Operatoren $a_{\alpha \sigma }^{†},a_{\alpha \sigma }$

  

  auf eine niederwertige lineare Kombination von Pauli-Matrizen in ${2M}_{}=\langle i\mathrm{1,}{X}_1,Z_1,\dots ,X_{2M},Z_{2M}\rangle$

  

  ab, wobei X_i, Z_i als eine Einzel-Qubit-X- und Z-Pauli-Matrix auf dem i-ten Qubit für insgesamt 2M Qubits wirkt. In ihrer ursprünglichen Formulierung erfordert diese Transformation, dass die Gesamtzahl 2M der Moden eine Potenz von zwei ist, d.h. 2M = 2^k für k = 1,2,.... Die Experimentatoren gehen von nun an von dieser Annahme aus. Diese verallgemeinerte Jordan-Wigner-Abbildung kann wie folgt angegeben werden $$\begin{array}{l}{a}_i^{†}\to \frac{1}{2}\left(X_{U\left(i\right)}\otimes X_i\otimes Z_{P\left(i\right)}-i{X}_{U\left(i\right)}\otimes Y_i\otimes Z_{\rho \left(i\right)}\right)\hfill \\ a_i\to \frac{1}{2}\left(X_{U\left(i\right)}\otimes X_i\otimes Z_{P\left(i\right)}+i{X}_{U\left(i\right)}\otimes Y_i\otimes Z_{\rho \left(i\right)}\right),\hfill \end{array}$$

  

  wobei die Experimentatoren die Reihenfolge der 2M Fermion-Moden so gewählt haben, dass $\left(a_i,a_i^{†}\right)\equiv \left(a_{\alpha \uparrow },a_{\alpha \uparrow }^{†}\right)\text{für }i\in \left\{\mathrm{1,}M\right\}\text{und}\left\{a_i,a_i^{†}\right\}\equiv \left\{a_{\alpha \downarrow },a_{\alpha \downarrow }^{†}\right\}\text{für }i\in \left\{M+\mathrm{1,2}M\right\}$

  

  gilt. Für eine Definition der Aktualisierung, Parität und der restlichen Teilmengen der Qubits U(i), P(i) und ρ(i) siehe „The Bravyi-Kitaev transformation for quantum computation of electronic structure“. Diese Transformation bildet den Hamilton-Operator H auf eine Summe von hermiteschen Pauli-Vektoren ab, sodass die Experimentatoren H wie folgt in Form von Qubit-Freiheitsgraden schreiben können $$H_q={\displaystyle \sum _A{h}_A{\sigma }_A,}$$

  

  wobei ${\sigma }_A\in P_{2M}$

  

  ist, und h_A ∈ R als lineare Kombination von den Koeffizienten h_α,β, U_αβγµ des Hamilton-Operators berechnet werden kann. Es kann geprüft werden, ob die Symmetrieoperatoren p_↓↑ entsprechend Gleichung (3) wie folgt transformiert werden in $$p_{\uparrow }=Z_M\text{ und }{p}_{\downarrow }=Z_{2M}{Z}_M.$$

  
• Da die Experimentatoren wissen, dass [p_↓↑, H] = 0 und p_↑ = Z_M sowie p_↓p_↑ = Z_2M Einzel-Qubit-Operatoren sind, führen sie mit jedem Term im Hamilton-Operator ein Vertauschen durch, sodass [p_↓↑, σ_A] = 0 für alle A gilt. Zu beachten ist, dass die Tatsache, wonach diese Operatoren Einzel-Qubit-Operatoren sind, stark von dem Umstand abhängt, dass 2M eine Potenz von zwei ist. In einigen Fällen ist es jedoch möglich, eine Version der verallgemeinerten Jordan-Wigner-Transformation für Modenzahlen umzusetzen, die dieses Kriterium nicht mehr erfüllen. In diesem Fall wird die Pauli-Darstellung von p_↓↑ verlagert und enthält höhergewichtige Pauli-Operatoren. In diesem Fall kann jedoch eine Clifford-Transformation gefunden werden, die diese Symmetrien wieder auf lokale Pauli-Operatoren abbilden kann, wie im folgenden Abschnitt über Reduzierung 2 erläutert wird. Da bei der Reduzierung 1 der letzte Pauli-Operator, der diese Symmetrie codiert, in beiden Fällen ein Einzel-Qubit-Pauli-Operator ist, können die Experimentatoren diese Operatoren durch ihre Eigenwerte ersetzen, die nur von der Anzahl N von Elektronen in Spin-up ↑ und Spin-down ↓-Bahnen abhängen. Die Experimentatoren kennen diese Zahl bei molekularen Hamilton-Operatoren ohne Spin-Kopplung, bei denen die Anzahl der gesamten Spin-Freiheitsgrade im ↑, ↓ Zustand eine Symmetrie von H_q ist. Der Eigenwert von p_↑, p_↓ ist ± 1 und kann daher geschätzt und in jedem Pauli-Operator als ${\left(-1\right)}^{{\phi }_{M\mathrm{,2}M}^A}$

  

  angegeben werden, sodass der 2M Qubit-Hamilton-Operator zu H_q,-2 auf 2M - 2 Qubits reduziert werden kann $$H_{q,-2}={\displaystyle \sum _A{\left(-1\right)}^{{\phi }_{M\mathrm{,2}M}^A}{h}_A{\sigma }_{A\left\{M\mathrm{,2}M\right\}}.}$$

  

  σ_A\{M,2m} bedeutet hier, dass die Qubits M, 2M aus σ_A entfernt werden. Es ist darauf hinzuweisen, dass Gleichung (6) das Endergebnis von Block 135 in Bezug auf Reduzierung 1 ist.
• Was nun Reduzierung 2 betrifft, so wurde vorstehend eine allgemeine Beschreibung von Reduzierung 2 bereitgestellt, und nachstehend werden nun weitere Einzelheiten zu Reduzierung 2 bereitgestellt.
• Detaillierte Reduzierung 2
• Dieses Reduzierungsschema kann als eine Verallgemeinerung des Schemas von Reduzierung 1 angesehen werden. Die Reduzierung 2 kann entweder auf die standardisierte oder die verallgemeinerte Jordan-Wigner-Transformation angewendet werden. Ein Verweis auf die standardisierte Jordan-Wigner-Transformation findet sich in „Über das Paulische Äquivalenzverbot“ von E. Wigner und P. Jordan, in Z. Phys, 47:631, 1928, das hierin durch Bezugnahme aufgenommen wird. Zwar ist diese Publikation nur auf Deutsch erschienen, die englische Übersetzung „About the Pauli exclusion principle“ von Eugene P. Wigner und P. Jordan wurde jedoch in Z. Phys 47.631 (1928): 14 bis75 veröffentlicht. Es wird angenommen, dass es einen fermionischen Hamilton-Operator mit M Moden gibt, sodass die Experimentatoren ihn durch die oben genannten Transformationen auf $$H_q={\displaystyle \sum _A{h}_A{\sigma }_A,}$$

  

  abbilden können, wobei erneut h_A ∈ R und σ_A ∈

  

  gilt. Die Experimentatoren suchen nun nach k hermiteschen vertauschbaren Pauli-Operatoren g₁,...,g_k ∈ die eine Teilmenge von Symmetrien des Hamilton-Operators H_q darstellen, sodass [g_j, σ_A] = 0,∀A,j und [g_i,g_j] = 0, ∀i, j gilt. Wenn einige Symmetrien g_j gefunden werden, bilden die Experimentatoren für jede von ihnen (g_j) eine Clifford-Transformation

  

  , die g_j auf eine Einzel-Qubit-Pauli-Matrix am Ort j abbildet. Für g_j suchen die Experimentatoren jeweils nach einer Einzel-Qubit-Pauli-Matrix, die am Ort m_j als σ_{m j} ∈ {X_{m j} , Y_{m j} , Z_{m j} } wirkt, sodass {g_j, σ_{m j} } = 0 und [g_j, σ_{m i} ] = 0, ∀i ≠ j gilt.
• Für jedes Paar (g_j, σ_{m j} ) definieren die Experimentatoren die Clifford-Operation wie folgt $$\begin{array}{l}{C}_j=\frac{1}{\sqrt{2}}\left({\sigma }_{m_j}+g_j\right),\text{ wobei }{C}_j^{†}=C_j,C_j^2=1\text{ ist}\text{, sodass }\\ C_j{g}_j{C}_j={\sigma }_{m_j}\text{ gilt}\text{.}\end{array}$$

  
• Die Experimentatoren können den Hamilton-Operator H nun auf $$H\text{'}=C_1\dots C_{k}H{C}_k\dots C_1={\displaystyle \sum _{A\text{'}}{h}_{A\text{'}}{\sigma }_{A\text{'}},}$$

  

  abbilden, der nun die Einzel-Qubit-Pauli-Operatoren σ_{m 1} , ..., σ_{m k} als Symmetrien aufweist. Mit demselben Argument wie bei Reduzierung 1 können die im Rahmen von σ_{m 1} , ..., σ_{m k} getragenen Qubits aus H_q entfernt und durch ihre Eigenwerte (±1) ersetzt werden. Der ursprünglich definierte Hamilton-Operator, der auf M Qubits wirken sollte, kann somit nun auf M - k Qubits dargestellt werden. Die Experimentatoren können somit wie folgt schreiben $$H_{q,-k}={\displaystyle \sum _{A\text{'}}{\left(-1\right)}^{{\phi }_{m_1,\dots m_k}^{A\text{'}}}}{h}_{A\text{'}}{\sigma }_{A\text{'}\left\{m_1,\dots ,m_k\right\}}.$$

  
• Dieses Schema der Reduzierung 2 umfasst als Sonderfall die Reduzierung 1. Es kann jedoch vorkommen, dass die Clifford-Operationen den niedrig gewichteten Hamilton-Operator, der aus der verallgemeinerten Jordan-Wigner-Transformation hervorgegangen ist, je nach spezifischer Problematik auf einen nichtlokalen Operator abbilden. Es ist zu beachten, dass der 2M-K-Qubit-Hamilton-Operator in Block 250 wie in H_q,-k in Gleichung 10 definiert ist.
• Die Operatoren g_j können anhand der Paritätsprüfungsmatrix E gebildet werden, die zu der Menge von Pauli-Matrizen {σ_A}_{{A∈H q}} gehört. Ein bekannter Isomorphismus

  

  zwischen $P_M\simeq {\mathbb{Z}}_2^2⋊{\mathbb{Z}}_2^{2M}$

  

  kann verwendet werden, um die (2M) × #{A ∈ H_q} dimensionale Binärcodematrix G = [G_Z, G_X] zu bilden. Bei dieser Matrix G = [G_Z, G_X] handelt es sich um eine Sammlung der codierten Bitfolgen aller σ_A im Spaltenraum. Der Kern von der doppelten Paritätsprüfungsmatrix $E=\left[G_X^T;G_Z^T\right]$

  

  wird dann von den vertauschbaren Pauli-Operatoren {g_j}_j=1,...,k erzeugt.
• Zuletzt wurde eine allgemeine Beschreibung von Reduzierung 3 bereitgestellt, und nachstehend werden nun weiteren Einzelheiten zu Reduzierung 3 bereitgestellt.
• Detaillierte Reduzierung 3
• Diese Reduzierung findet Anwendung bei allgemeinen fermionischen Hamilton-Operatoren, die die Gesamtzahl der Teilchen beibehalten. M und N seien die Anzahl der Fermion-Moden bzw. die Anzahl der Teilchen (besetzte Moden). Die Experimentatoren betrachten den N Teilchenbereich des Fock-Raums, der von den Basiszuständen |x₁, x₂, ..., x_M〉 erzeugt wird, wobei x_α = 0,1 die Besetzungszahl der Mode α und ${\displaystyle {\sum }_{\alpha =1}^M{x}_{\alpha }=N}$

  

  ist. Es ist zu beachten, dass M nun die Gesamtzahl der Moden (einschließlich des Spins) angibt. Unser Ziel ist es, einen fermionischen Hamilton-Operator $$H={\displaystyle \sum _{j=1}^r{h}_j{V}_j}$$

  

  zu simulieren, wobei jeder Term V_j eine Form $a_{\alpha }^{†}{a}_{\beta }+a_{\beta }^{†}{a}_{\alpha }\text{ oder }{a}_{\alpha }^{†}{a}_{\beta }^{†}{a}_{\gamma }{a}_{\delta }+a_{\delta }^{†}{a}_{\gamma }^{†}{a}_{\beta }{a}_{\alpha }$

  

  für einige 1 ≤ α ≤ β ≤ γ ≤ δ ≤ M aufweist und h_j echte Koeffizienten sind. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit N ≤ M/2. Andernfalls ist eine Transformation $a_{\alpha }\leftrightarrow a_{\alpha }^{†}$

  

  für alle α durchzuführen, die Teilchen und Löcher tauschen. Hier beschreiben die Experimentatoren eine komprimierte Jordan-Wigner-Transformation, die H auf einen neuen Hamilton-Operator H̃ abbildet, der ein System von Q < M Qubits beschreibt, wobei Q = Q(M, N) eine bestimmte Funktion von M und N ist. Die Grundzustandsenergie von H̃ stimmt mit der Grundzustandsenergie von H überein, die auf den N Teilchenbereich beschränkt ist. 4 zeigt die Werte von Q(M, N), die numerisch für kleine Werte von M und N berechnet wurden. 4 ist eine Tabelle 1, die eine komprimierte Jordan-Wigner-Transformation darstellt. In Tabelle 1 ist zu sehen, dass ein Fermi-System mit M Moden und N Teilchen auf einem Quantencomputer mit Q + 1 Qubits simuliert werden kann, wobei Q = Q(M, N) ist. Es sei daran erinnert, dass Q die Anzahl der Qubits bezeichnet, die benötigt werden, um den Hamilton-Operator nach der Komprimierung darzustellen. M bezeichnet hingegen die ursprüngliche Anzahl von Fermion-Moden, die von oder in einer Gesamtzahl von N Fermionen besetzt werden kann. Tabelle 1 gibt die Werte von Q(M,N) für eine Menge von Paaren N in der linken Spalte und M in der obersten Reihe wieder.
• Die Experimentatoren leiten auch eine asymptotische obere Schranke von Q(M, N) in dem Fall ab, dass M, N ins Unendliche gehen, sodass der Füllfaktor v = N/M konstant bleibt. Die Experimentatoren zeigen insbesondere, dass sich für jede Konstante 0 < v < 1/4 Folgendes ergibt $$Q\le 6vM\text{ exp}\left[h\left(2v\right)\text{/}3v-1\right],$$

  

  wobei h(x) = -x log (x) - (1 - x) log (1 - x) die Shannon-Entropiefünktion ist (hier verwenden die Experimentatoren die natürlichen Logarithmen). Das Qubit-Moden-Verhältnis Q/M wird als eine Funktion des Füllfaktors v von 5 gezeigt. 5 stellt einen Graphen einer komprimierten Jordan-Wigner-Transformation dar, die eine obere Schranke in Bezug auf das Qubit-Moden-Verhältnis Q/M von Gleichung (12) als Funktion des Füllfaktors v = N/M in der Begrenzung M, N →­ ∞ aufweist. Wie zu sehen ist, ist Q/M < 1, wenn v unter einem Grenzwert v₀ ≈ 0,057 liegt. Die Experimentatoren gehen nicht davon aus, dass die Schranke in Gleichung (12) eng gesteckt ist. Mit Vertiefung auf Hamilton-Operatoren in der Quantenchemie beträgt die Anzahl der für die Simulation benötigten Qubits Q(M, N_↑) + Q(M, N_↓), wobei M die Anzahl der räumlichen Bahnen (d.h. die Hälfte der Anzahl der Moden) und N_↑↓ die Anzahl der Elektronen mit Spin-up und Spin-down ist. Um den neuen Hamilton-Operator H̃ zu beschreiben, führen die Experimentatoren mehr Bezeichnungen ein. Für jeden Term V_j sei v_j = 0,1,2 die Höchstzahl von Teilchen, die von V_j bewegt werden kann. Mit anderen Worten, alle diagonalen Operatoren weisen v_j = 0 und Hüpfen auf, und die kontrollierten Hüpfoperatoren weisen v_j = 1 auf, während Doppelhüpfoperatoren v_j = 2 aufweisen. Dann gilt $$\tilde{H}={\displaystyle \sum _{j=1}^r{h}_j{D}_j{P}_j}$$

  

  für einige hermitesche Operatoren D_j, P_j mit folgenden Eigenschaften:
1. (1) D_j ist ein diagonaler Operator mit Matrixelementen 0, ±1.
2. (2) P_j ist ein Pauli-Operator des Typs X mit einem Gewicht von höchstens 6v_j.
3. (3) P_jD_j = D_jP_j.
• Die Koeffizienten h_j in Gleichung (13) sind dieselben wie in Gleichung (11). Angenommen, das Ziel besteht darin, die Grundzustandsenergie von H̃ zu schätzen. Die Experimentatoren betrachten einen Variationsansatz, bei dem der Quantencomputer 900 verwendet wird, um die Energie < ψ|H̃|ψ > eines festen Q Qubit-Zustandes ψ zu messen, der auf der verfügbaren Quantenhardware (d.h. dem Quantencomputer) vorbereitet werden kann. (Als Beispiel für einen Variationsansatz kann auf „Towards practical quantum variational algorithms“ von D. Wecker, M. B. Hastings und M. Troyer in arXivpreprint arXiv: 1507.08969, 2015 verwiesen werden, das durch Bezugnahme aufgenommen wird.) Die Energie < ψ|H̃|ψ > wird unter Verwendung eines geeigneten klassischen Optimierungsalgorithmus bei einer Klasse von Variationszuständen ψ minimiert. Aufgrund von Linearität genügt es, die Energie < ψ|D_jP_j|ψ > separat für jedes j zu messen (d.h. für jeden Term im Hamilton-Operator). Es soll ein fester Term D_jP_j betrachtet werden, und die Qubits sollen neu gekennzeichnet werden, sodass P_j auf die ersten w Qubits wirkt, wobei w ≤ 6v_j ist. Dann gilt P_j = X₁X₂ ··· X_w. Als weitere Einzelheiten von Block 340, der wie vorstehend erläutert auf dem Quantencomputer 900 durchgeführt wird, führen die Experimentatoren ein zusätzliches Qubit A ein, das im | +〉 Zustand initialisiert wird. Unter Verwendung des Quantencomputers 900 wenden die Experimentatoren das CNOT-Gatter mit dem Kontroll-Qubit A und dem Ziel-Qubit j für jeweils j = 1, ...,w an. Das CNOT-Gatter ist eine einheitliche Zwei-Qubit-Operation, die kontrolliertes Nicht-Gatter genannt wird und die ein Nicht auf das Ziel-Qubit anwendet, wenn das Quell-Qubit eins beträgt. Als Nächstes messen die Experimentatoren das Qubit A in der X-Basis. σ = ±1 sei das Messergebnis. Es ist zu beachten, dass σ mit dem Eigenwert von P_j übereinstimmt, da die CNOT-Gatter ein einzelnes Qubit X auf dem Qubit A zu einem Produkt von X auf den Qubits 1, ..., w weiterleiten. Als Nächstes werden alle Qubits 1, ..., Q in der Z-Basis gemessen. Das Ergebnis dieser Messung ist eine Bitfolge x ∈ {0,1}^Q. Da D_j und P_j vertauschbar sind, erhält man $$\langle \psi \left|D_j{P}_j\right|\psi \rangle =\mathbb{E}\left[\sigma \cdot \langle x\left|D_j\right|x\rangle \right],$$

  

  wobei der Erwartungswert der Messstatistik von x und σ entnommen wird. Das komprimierte Messschema in 3B benötigt insgesamt Q + 1 Qubits. Die Q Qubits werden zum Vorbereiten der Variationszustände ψ durch eine Quantenberechnung benötigt, und das zusätzliche Qubit wird verwendet, um eine konstante Anzahl von CNOT-Gattern anzuwenden, sodass sich das Messergebnis auf dem Quantencomputer 900 ergibt.
• Der neue Hamilton-Operator wird definiert als H̃ = UHU^†, wobei U eine Isometrie (einheitliche Einbettung) ist, die den N-Teilchenbereich des M-Mode-Fock-Raums auf den Hilbert-Raum von Q Qubits abbildet. Die Experimentatoren legen wie folgt fest $$U\left|x_1,\dots ,x_M>=\right|s_1,\dots ,s_Q>,s_i={\displaystyle \sum _{j=1}^M{A}_{i,j}{x}_j\left(\text{mod 2}\right),}$$

  

  wobei A eine binäre Matrix der Größe Q × M ist, die später ausgewählt wird. s_i = 0,1 und |s₁, ... , s_Q〉 sind hier ein Grundzustand von Q Qubits. W(M, N) sei die Menge aller M Bitfolgen mit dem Hamming-Gewicht N: $$W\left(M,N\right)=\left\{x\in {\left\{\mathrm{0,1}\right\}}^M:\left|x\right|=N\right\}.$$

  

  Nachstehend verwenden die Experimentatoren die Kurzbezeichnungen U|x〉 >= |s〉 und s = Ax, wobei x ∈ W(M,N) ist. Damit U eine Isometrie ist, muss die Matrix A verschiedene Vektoren x ∈ W(M,N) auf verschiedene Q Bitvektoren s abbilden. Mit anderen Worten, folgende Injektivitätsbedingung ist erforderlich: $$\text{wenn }Ax=Ay\text{ für einige }x,y\in W\left(M,N\right)\text{ gilt}\text{, dann ist }x=y.$$

  
• Es kann leicht überprüft werden, ob Gleichung (16) Folgendem entspricht $$\text{ker}\left(A\right)\cap W\left(M\mathrm{,2}K\right)=\varnothing \text{ für alle 1}\le K\le N.$$

  
• Hier ist ker (A) der Kern von A, d.h. die Menge von M Bitvektoren x, sodass Ax = 0 ist. Eine Matrix A sei N-injektiv, wenn sie Gleichung (16) oder Gleichung (17) erfüllt. Die N Injektivitätsbedingung ist erfüllt, wenn A eine Paritätsprüfungsmatrix ist, die einen linearen Binärcode beschreibt, der M - Q Bits in M Bits mit dem Mindestabstand 2N + 1 codiert. In diesem Fall müssen alle Fehler in Bezug auf das Gewicht bis zu N unterschiedliche Syndrome aufweisen, und somit identifiziert ein Syndrom s = Ax einen Fehler x bei Gewicht N eindeutig.
• Um H̃ zu berechnen, wird eine eindeutige Formel für U^† benötigt. Es sei eine Menge Ω = A · W(M, N) definiert. Mit anderen Worten ist s ∈ Ω, wenn s = Ax für einige x ∈ W(M,N) ist. χ(s) sei die Indikatorfunktion Ω, das heißt χ(s) = 1, wenn s ∈ Ω ist, andernfalls gilt χ(s) = 0. Es sei f : Ω →­ W(M, N) eine „Decodierabbildung“, sodass wie folgt gilt $$f\left(Ax\right)=x\text{ für alle }x\in W\left(M,N\right).$$

  
• Diese Decodierabbildung ist aufgrund der Injektivitätsbedingung in Gleichung (16) gut definiert. Die Experimentatoren gelangen zu $$U|x\rangle =|Ax\rangle \text{ und }{U}^{†}|s\rangle =\chi \left(s\right)|f\left(s\right)\rangle$$

  

  für alle x ∈ W(M, N) und für alle s ∈ {0,1}^Q. (f(s) kann hier arbiträr für s ∉ Ω definiert werden.) c(A) sei das Höchstgewicht der Spalten von A, $$c\left(A\right)=\underset{1\le j\le M}{\text{max}}{\displaystyle \sum _{i=1}^Q{A}_{i,j}.}$$

  
• Es sei zuerst ein Hüpfterm $V_j=a_{\alpha }^{†}{a}_{\beta }+a_{\beta }^{†}{a}_{\alpha }$

  

  betrachtet. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit α ≤ β. Es sei definiert $$Z_{\left(\alpha ,\beta \right)}{\displaystyle \prod _{\alpha <\gamma <\beta }{Z}_{\gamma }\text{ und }{\displaystyle {\prod }_{\alpha ,\beta }|10\rangle {\langle 10|}_{\alpha ,\beta }+|01\rangle {\langle 01|}_{\alpha ,\beta }.}}$$

  
• Die Operatoren Z_(α,β) und Π_α,β wirken auf den Hilbert-Raum von Q Qubits. Es sei vereinbart, dass Z_(α,α) = I und Π_α,α = |1〉〈1|_α ist. Anhand von Gleichung (18) kann leicht überprüft werden, dass wie folgt gilt $$U{V}_j{U}^{†}|s\rangle =d\left(s\right)|s\oplus A^{\alpha }\oplus A^{\beta }\rangle ,$$

  

  wobei A¹, ..., A^M die Spalten von A sind, die als Q Bitfolgen angesehen werden, wobei ⊕ das bitweise XOR bezeichnet, und wie folgt gilt $$d\left(s\right)=\chi \left(s\right)\langle f\left(s\right)|Z_{\left(\alpha ,\beta \right)}{\displaystyle {\prod }_{\alpha ,\beta }|f\left(s\right)\rangle \in \left\{\mathrm{0,}\pm 1\right\}.}$$

  
• Die Experimentatoren kommen zu dem Schluss, dass UV_jU^† = P_jD_j ist, wobei D_j ein diagonaler Operator ist, sodass 〈s|D_j|s〉 = d(s) ist und P_j den Pauli-Operator X auf jedes Qubit in Unterstützung von A^α ⊕ A^β anwendet. Der Operator P_j weist ein Gewicht von höchstens 2c(A) auf (siehe Gleichung (19)). Es sei darauf hingewiesen, dass D_jP_j = P_jD_j ist, da d(s ⊕ A^α ⊕ A^β) = d(s) gilt. Der Fall, bei dem V_j ein kontrollierter Hüpfterm ist, $V_j=a_{\gamma }^{†}{a}_{\gamma }\left(a_{\alpha }^{†}{a}_{\beta }+a_{\beta }^{†}{a}_{\alpha }\right),$

  

  entspricht dem oben genannten Fall, wenn Π_α,β durch |1〉〈1|_γΠ_α,β ersetzt wird. Schließlich sei ein doppelter Hüpfterm in Betracht gezogen, $V_j=a_{\alpha }^{†}{a}_{\beta }^{†}{a}_{\gamma }{a}_{\delta }+a_{\delta }^{†}{a}_{\gamma }^{†}{a}_{\beta }{a}_{\alpha },$

  

  wobei α < β < γ < δ gilt. Anhand von Gleichung (18) kann leicht überprüft werden, dass wie folgt gilt $$U{V}_j{U}^{†}|s\rangle =d\left(s\right)|s\oplus A^{\alpha }\oplus A^{\beta }\oplus A^{\gamma }\oplus A^{\delta }\rangle ,$$

  

  wobei wie folgt gilt $$d\left(s\right)=\chi \left(s\right)\langle f\left(s\right)|Z_{\left(\alpha ,\beta \right)}{Z}_{\left(\gamma ,\delta \right)}{\displaystyle {\prod }_{\alpha \beta ,\gamma \delta }|f\left(s\right)\rangle .}$$

  

  und $${\displaystyle {\prod }_{\alpha \beta ,\gamma \delta }|11\rangle {\langle 11|}_{\alpha ,\beta }|00\rangle {\langle 00|}_{\gamma ,\delta }+|00\rangle {\langle 00|}_{\alpha ,\beta }|11\rangle {\langle 11|}_{\gamma ,\delta }.}$$

  
• Es sei darauf hingewiesen, dass d(s) die Werte 0, ± 1 annimmt. Die Experimentatoren kommen zu dem Schluss, dass UV_jU^† = P_jD_j ist, wobei D_j ein diagonaler Operator ist, sodass 〈s|D_j|s〉 = d(s) ist und P_j den Pauli-Operator X auf jedes Qubit in Unterstützung von A^α ⊕ A^β ⊕ A^γ ⊕ A^δ anwendet. Der Operator P_j weist ein Gewicht von höchstens 4c(A) auf. Der neue Hamilton-Operator H̃ weist somit die oben genannte Form auf (zur Erinnerung: (1) D_j ist ein diagonaler Operator mit Matrixelementen 0, ±1; (2) P_j ist ein Pauli-Operator des Typs X mit einem Gewicht von höchstens 6v_j; (3) P_jD_j = D_jP_j.).
• Die Operatoren P_j sind Pauli-Operatoren des Typs X mit einem Gewicht von $$\left|P_j\right|\le 2v_{j}c\left(A\right).$$

  
• Da U eine Isometrie ist, sind die Nicht-Null-Eigenwerte der Hamilton-Operatoren H und H̃ gleich. Die Experimentatoren können daher immer davon ausgehen, dass die Grundzustandsenergie von H negativ ist (andernfalls ist H durch H - λH zu ersetzen, wobei λ eine große positive Konstante ist). H und H̃ weisen somit die gleiche Grundzustandsenergie auf.
• Um die Anzahl der für die Energiemessung erforderlichen CNOT-Gatter zu minimieren, verringern die Experimentatoren das Gewicht der Operatoren P_j, d.h. die Anzahl von einheitlichen Zwei-Qubit-Operationen, die als kontrollierte Nicht-Gatter bezeichnet werden. Ebenso sollen die Experimentatoren das Spaltengewicht c(A) klein halten (siehe Gleichung (25)). Als Aufgabe bleibt somit noch übrig, N-injektive Matrizen A mit einem geringen konstanten Spaltengewicht c(A) und der kleinstmöglichen Anzahl von Reihen Q zu bilden. Aus Gleichung (17) kann abgeleitet werden, dass alle Spalten von A eindeutig sein müssen, was nur möglich ist, wenn c(A) ≥ 2 ist. Es sei zuerst angenommen, dass c(A) = 2 ist, das heißt, jede Spalte von A weist mindestens zwei Nicht-Null-Elemente auf. Eine solche Matrix kann als Inzidenzmatrix eines Graphen G_A mit Q Knoten und M Kanten betrachtet werden, sodass A_i,j = 1 ist, wenn die j-te Kante mit dem i-ten Knoten inzident ist. (Spalten von A, die ein Gewicht von -1 aufweisen, stellen „hängende“ Kanten dar, die nur einen Endpunkt haben.) Anhand von Gleichung (17) kann überprüft werden, dass A N-injektiv ist, wenn und nur wenn der Graph G_A keine Zyklen der Länge 2,4,..., 2N aufweist (es sei daran erinnert, dass eine Teilmenge der Kanten C als Zyklus bezeichnet wird, wenn ein beliebiger Knoten eine gerade Zahl von inzidenten Kanten von C aufweist). Diese Bedingung ist jedoch zu streng. Tatsächlich ist der durchschnittliche Knotengrad des Graphen G_A d ≥ 2M/Q. Um ein konstantes Qubit-Moden-Verhältnis Q/M < 1 zu erzielen, verwenden die Experimentatoren eine Familie von Graphen mit dem durchschnittlichen Knotengrad d > 2. Unter Verwendung der Mooreschen Grenze [6] kann leicht gezeigt werden, dass die Anzahl der Knoten in einem solchen Graphen G_A exponentiell in N sein muss. Mit anderen Worten, ein konstantes Qubit-Moden-Verhältnis Q/M < 1 kann nur erreicht werden, wenn N = 0(log (M)) ist, was von begrenztem praktischem Interesse ist.
• Nachstehend befassen sich die Experimentatoren mit dem nächsteinfachen Fall, d.h. c(A) = 3. Dies ergibt aufgrund von Gleichung (25) |P_j| ≤ 6v_j. Unendliche Familien von N-injektiven Matrizen A mit konstanten Verhältnissen Q/M < 1, N/M > 0 und c(A) = 3 können aus Low-Density-Parity-Check-(LDPC)-Codes mit einer konstanten Codierungsrate und einem linearen Abstand gebildet werden. (Als Beispiel für LDPC-Codes kann auf „Low-density parity-check codes“ von R. Gallager in Information Theory, IRE Transactions on, 8(1):21-28, 1962 verwiesen werden, das durch Bezugnahme aufgenommen wird). Obwohl in diesem Beispiel ein Low-Density-Parity-Check-Code verwendet wird, ist zu beachten, dass andere Komprimierungscodes, wie von einem Fachmann verstanden, verwendet werden können. Die Experimentatoren stellen insbesondere sicher, dass für jede Konstante 0 < v < 1/4, für alle (vordefinierten) M, die groß genug sind, und alle N < vM eine N-injektive Matrix A mit c(A) = 3 und der Größe Q × M vorhanden ist, wobei Q Gleichung (12) erfüllt. Es sei ein festes Paar Q, M betrachtet, und A sei eine zufällige Binärmatrix der Größe Q × M, sodass jede Spalte von A der einheitlichen Verteilung von W(Q, 3) entnommen wird. Alle Spalten von A sind unabhängig. Durch die Vereinigungsschranke (union bound) kann die Wahrscheinlichkeit, dass A nicht N-injektiv ist, wie folgt nach oben beschränkt werden $$P_{fail}\le {\displaystyle \sum _{K=1}^N\left(\begin{array}{c}M\\ 2K\end{array}\right)P\left(Q\mathrm{,2}K\right),}$$

  

  wobei P(Q, 2K) die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine Summe von 2K unabhängigen Vektoren, die der einheitlichen Verteilung von W(Q, 3) entnommen werden, gleich null modulo zwei beträgt. Gleichung (17) legt tatsächlich nahe, dass A N-injektiv ist, sofern nicht Ax = 0 für einige x ∈ W(M, 2K) mit 1 ≤ K ≤ N gilt. Die Summe der Spalten von A zur Unterstützung von x ist damit gleich null. Die Vereinigungsschranke impliziert somit Gleichung (26). In Anlehnung an Untertitel 3.1 von „Rank deficiency in sparse random GF(2) matrices“ von R. Darling, M. Penrose, A. Wade und S. Zabell, in Electron. J. Probab, 19(83): 1-36, 2014, der als Bezugnahme aufgenommen ist, erhält man $$P\left(Q\mathrm{,2}K\right)=2^{-Q}{\displaystyle \sum _{j=0}^Q\left(\begin{array}{c}Q\\ j\end{array}\right){\left(2p_j-1\right)}^{2k}},$$

  

  mit $$p_j{\left(\begin{array}{c}Q\\ j\end{array}\right)}^{-1}\left[\left(\begin{array}{c}Q-3\\ j\end{array}\right)+3\left(\begin{array}{c}Q-3\\ j-2\end{array}\right)\right].$$

  
• Hier wird davon ausgegangen, dass $\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)=0$

  

  ist, sofern nicht 0 ≤ k ≤ n gilt. Unter Verwendung der Stirling-Formel kann man folgende Schranke erhalten $$P\left(Q\mathrm{,2}K\right)\le {\left(\frac{6K}{eQ}\right)}^{3K}\equiv {\eta }^{3K}.$$

  
• Hier gilt e ≡ exp (1). Wenn Gleichung (28) durch Gleichung (27) ersetzt wird, ergibt sich $$\begin{array}{l}{P}_{fail}\le {\displaystyle \sum _{K=1}^N\left(\begin{array}{c}M\\ 2K\end{array}\right){\eta }^{3K}}\hfill \\ \approx {\displaystyle \sum _{K=1}^{vM}\text{exp}\left[Mh\left(2K/M\right)+3K\text{ log}\left(\eta \right)\right],}\hfill \end{array}$$

  

  wobei h(x) die Shannon-Entropiefunktion ist. Daraus folgt, dass P_fail < 1 ist, wenn h(2v) + 3v log (η) < 0 gilt, was Gleichung (12) entspricht. Da P_fail < 1 ist, muss mindestens eine N-injektive Matrix A mit c(A) = 3 und Q Reihen vorhanden sein, wobei Q Gleichung (12) erfüllt.
• Es wird darauf hingewiesen, dass, wenn die Konstante c(A) groß genug ausgewählt wird, beliebig nahe an die Gilbert-Varshamov-Schranke herangekommen werden kann, d.h. Q ≤ M(h₂(2N/M) + ε), wobei h₂(x) = -xlog₂(x) - (1 - x) log₂(1 - x) die binäre Shannon-Entropiefunktion ist und ε > 0 beliebig klein gemacht werden kann, wenn c(A) groß genug ausgewählt wird. Diese Aussage ergibt sich aus dem Vorhandensein von (vordefinierten) guten LDPC-Codes (siehe z.B. Theorem A.3 von „Low-density parity-check codes“).
• Die in der Tabelle von 4 gezeigten Werte von Q(M, N) wurden ermittelt, indem numerisch nach N-injektiven Matrizen A mit c(A) = 3 und dem kleinstmöglichen Q gesucht wurde. Die Experimentatoren maximierten insbesondere eine objektive Funktion F(A), die als die Anzahl der eindeutigen Elemente in der Menge A · W(M, N) definiert ist. Es sei darauf hingewiesen, dass A N-injektiv ist, wenn alle Elemente der Menge A · W(M, N) eindeutig sind, d.h. $F\left(A\right)=\left(\begin{array}{c}M\\ N\end{array}\right).$

  

  Die Funktion F(A) wurde unter Verwendung einer Version des Algorithmus der simulierten Abkühlung bei der Menge aller binären Matrizen maximiert, die c(A) = 3 erfüllen.
• Zuletzt zeigen die Experimentatoren, wie die Decodierabbildung f(s) berechnet wird. Angenommen, A ist eine feste N-injektive Matrix der Größe Q × M. Ist eine Folge s ∈ {0,1}^Q vorhanden, muss x ∈ W(M, N) gesucht werden, sodass s = Ax ist, oder es wird entschieden, dass keine Folge x vorhanden ist, d.h. s ∉ A · W(M, N). N = N₁ + N₂ wird aufgelöst, wobei N_1,2 = N/2 für gerade N und N_1,2 = (N ± 1)/2 für ungerade N gilt. Für jeweils i = 1, 2 sei T_i eine Suchtabelle, die die Syndrome t = Au für jeweils u ∈ W(M,N_i) speichert. Die Einträge von T_i sind in lexikographischer Reihenfolge geordnet. U_i sei eine Suchtabelle, die jeden Eintrag t ∈ T_i auf eine Folge u E W(M, N_i) abbildet, sodass t = Au ist. Es sei darauf hingewiesen, dass u wie oben eindeutig ist, da A aufgrund von Gleichung (17) N_i-injektiv ist. Die Tabellen T_i, U_i können von dem Computer 800 vor der Quantensimulation (auf dem Quantencomputer 900) berechnet werden, da sie nur von A abhängen. Zuerst sei angenommen, dass s = Ax für einige x ∈ W(M, N) ist. Es sei eine Auflösung x = u₁ ⊕ u₂ mit u_i ∈ W(M, N_i) in Betracht gezogen, und es gelte t_i = Au_i. Die Tabellen T₁ und T₂ müssen die Einträge t₁ bzw. t₁ ⊕ s enthalten. Für t₁ ∈ T₁ muss jeweils geprüft werden, ob T₂ auch t₂ = t₁ ⊕ s enthält. Dies kann in der Zeit 0(|T₁log|T₂|) mit binärer Suche erfolgen, da die Tabelle T₂ geordnet ist. Angenommen, t₁, t₂ wurde wie oben gefunden, dann werden die Tabellen U_i verwendet, um u_i zu finden, sodass t_i = Au_i ist. Dann gilt A(u₁ ⊕ u₂) = s und |u₁ ⊕ u₂| = N - 2|u₁ ∩ u₂| ≤ N. Daraus folgt, dass A(x ⊕ u₁ ⊕ u₂) = 0 und x ⊕ u₁ ⊕ u₂ ein gerades Gewicht zwischen 2 und 2N aufweisen. Aus Gleichung (17) kann abgeleitet werden, dass x = u₁ ⊕ u₂ beträgt und ausgeführt wurde. Wenn im übrigen Fall ein Paar t₁, t₂ wie oben nicht gefunden wird, kann daraus geschlossen werden, dass Ax = s keine Lösungen mit x ∈ W(M, N) aufweist. Der oben genannte Algorithmus ist für mittelgroße Systeme geeignet, um M ≤ 50 als Beispiel zu nennen, wobei dies nicht auf dieses Beispiel beschränkt ist. Da M ≤ N/2 gilt, weisen die Tabellen T_i, U_i eine Größe von höchstens $\left(\begin{array}{c}M\\ M/4\end{array}\right)\approx 4\times {10}^{11}$

  

  für M = 50 auf. Ein Berechnen der Decodierabbildung f(s) kann allgemein als schwieriges Berechnungsproblem erscheinen, daher werden nachstehend zu Erklärungszwecken, jedoch nicht einschränkend, zwei Beispiele bereitgestellt.
• Reduzierung 3: Beispiel 1
• Die Experimentatoren betrachten das einfachste Beispiel dieser Reduzierung. Die Experimentatoren betrachten ein einzelnes Elektron N = 1 mit acht Bahnen M = 8, wie in der linken oberen Ecke von Tabelle 1 in 4 angezeigt. Laut Reduzierung 3 in diesem Abschnitt können diese acht Zustände (d.h. M = 8) bei C^{2 8} zu 8 Zuständen bei drei Qubits komprimiert werden, d.h. C^{2 3} , wie in Tabelle 1 von 4 angegeben. Dies ergibt sich aus der Anwendung der Komprimierungsmatrix A in Gleichung (30) unten, um die acht Zustände auf drei Qubits zu komprimieren. Dieser Fall hat den Vorteil, dass er besonders einfach zu bearbeiten ist, obwohl er etwas irreführend erscheinen kann, da die Experimentatoren nur eine binäre Codierung der einzelnen Teilchenzustände in den 8 Moden als Komprimierung bilden. Im Allgemeinen ist dies, wie oben erläutert, nicht der Fall, und das Ergebnis hängt stark von LDPC-Codes ab, um ein geringes Gewicht und Effizienz zu gewährleisten. Im Folgenden haben die Experimentatoren diese Komprimierung im Detail fortgesetzt.
• Die Experimentatoren betrachten demnach die Komprimierung der Bitfolgen in W(8,1) auf Q(8,1) Qubits. Dies erfolgt dadurch, dass auf x ∈ W(8,1) jeweils eine Paritätsprüfungsmatrix A E M_3×8(F₂) angewendet wird, um die Menge Ω zu erhalten. Die maßgeblichen Grundzustände für dieses Beispiel sind nur die 8 einzelnen Teilchenzustände, die in der zweiten Quantifizierung durch die Bitfolgen in W(8,1) codiert werden $$\left\{\begin{array}{c}\left(10000000\right),\left(01000000\right),\left(00100000\right),\left(00010000\right),\left(00001000\right),\left(00000100\right)\\ \left(00000010\right),\left(00000001\right)\end{array}\right\}.$$

  
• Die einfachste Matrix A für diesen Code ergibt sich einfach durch die binäre Codierung der Position des Teilchens, indem von 0, ...,7 in den 8 Bitfolgen oben gezählt wird, sodass wie folgt geschrieben werden kann $$A=\left(\begin{array}{cccccccc}0& 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 1& 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0& 1& 1& 1& 1\end{array}\right)$$

  
• Daraus können die Experimentatoren sofort die Menge Ω herauslesen, die sich aus den binären Spaltenvektoren von A ergibt. Die binären Spaltenvektoren sind die Spalten von A mit den Einträgen 0, 1, die die binäre Algebra erfüllen. Für s ∈ Ω wird jeweils die Decodierabbildung f definiert, indem die dezimale Darstellung der Binärzahl s berechnet und die 8-Bitfolge mit einer Folge an der richtigen Stelle ausgewählt wird. Die Isometrie U wirkt zum Beispiel auf x = (00000100) als |101〉 = U|00000100〉, während alle anderen Bitfolgen, die nicht in W(8,1) enthalten sind, auf null abgebildet werden wie beispielsweise U|10100000〉 = 0. Das Konjugat U^† wird ähnlich gebildet.
• Mit dieser Abbildung können die Experimentatoren nun die Terme beschreiben, die im Hamilton-Operator H = ∑_j h_j D_jP_j vorkommen, sowie eine Messschaltung 600 in 6. Um zu veranschaulichen, wie diese Codierung funktioniert, betrachten die Experimentatoren ein einfaches quadratisches Hüpfelement $V_j=a_3^{†}{a}_5+a_5^{†}{a}_3,$

  

  d.h., die Experimentatoren betrachten das Hüpfen eines Teilchens von der 5. Mode in Mode Nummer 3 und das Konjugat. Es sei daran erinnert, dass die Wirkung von UV_jU^† auf die von s ∈ Ω gekennzeichneten Zustände UV_jU^†|s〉 = d(s)|s⊕A³⊕A⁵) ist und zwar für verschiedene Werte von s.
• Der Einfachheit halber wird die Schaltung 600 als Quantencomputer mit Qubits (z.B. 4 Qubits in diesem Beispiel) und 4 Messeinheiten (z.B. Photonenmesseinheiten) betrachtet, die die Ausgaben jedes Qubits einzeln messen. Zu Erklärungszwecken wird die Schaltung 600 als einfacher Quantencomputer zum besseren Verständnis dargestellt, obwohl zu beachten ist, dass der Quantencomputer 900 gleichermaßen genutzt werden kann. Die Schaltung 600 misst wie oben erläutert den Erwartungswert 〈ψ |V_j| ψ〉 = E[σ · 〈s |D_j| s〉]. Die Experimentatoren benötigen Q(M, N) + 1 Qubits, in der Schaltung 600 werden hier 4 Qubits dargestellt, es sei jedoch darauf hingewiesen, dass mehr als vier Qubits in der Schaltung 600 verwendet werden können. Als Erstes müssen die Experimentatoren den Träger der X-Pauli-Operatoren in P_j ermitteln, der sich ergibt aus den Bitwerten von $$A^3\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)\text{ und }{A}^5=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right),\text{ sodass }{A}^3\oplus A^5=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right).$$

  
• Nach der oben vorgestellten Konvention ergibt sich der Beitrag von Pauli X somit durch P_j = X₂X₃. Entsprechend ist 6 eine Beispielschaltung 600, die D_jP_j misst und es den Experimentatoren ermöglicht, E[σ · 〈s |D_j| s〉] abzufragen. 6 zeigt die Messschaltung 600 für den quadratischen Hüpfterm $V_j=a_3^{†}{a}_5+a_5^{†}{a}_3+a_3^{†}{a}_5$

  

  für ein einzelnes Qubit in acht Moden mit Bitdarstellungen, die sich aus W(8,1) ergeben und zu Q(8,1) = 3 Qubits komprimiert werden. Jede Leitung in der Schaltung 600 entspricht einem einzelnen Qubit. Die drei unteren Qubits befinden sich im Variationszustand psi ψ, während das obere Qubit im Zustand plus (+) initialisiert wird. Anschließend werden zwei kontrollierte Nicht-Operationen (CNOT) angewendet, wie die horizontalen Linien zeigen, die mit einem schwarzen Punkt auf dem Kontroll-Qubit (dem oberen Qubit) beginnen und auf den beiden unteren Qubits als Ziel-Qubits enden. Anschließend wird ein Hadamard-Gatter auf das obere Qubit angewendet, bevor alle Qubits anhand der Berechnungsgrundlage gemessen werden. Das Hadamard-Gatter ist ein Einzel-Qubit-Gatter H, das die als Hadamard-Transformation bekannte einheitliche Transformation durchführt.
• Das Messergebnis von Schaltung 600 in 6 wird durch vier Bits $\left(s_0^{\ast },s_1^{\ast },s_2^{\ast },s_3^{\ast }\right)$

  

  angegeben, wobei das Hilfsbit s₀ verwendet wird, um σ = (-1)^{s 0} zu berechnen, und die drei übrigen Bits (s₁, s₂, s₃) = s bestimmen d(s) = 〈s |D_j| s〉 mit Hilfe der Formel d(s) = χ(s)〈f(s)|Z_(α,β)Π_α,β|f(s)〉, wobei f(s) die Decodierabbildung ist. In diesem Fall ist die Decodierabbildung wie vorstehend erläutert relativ einfach.
• Die Experimentatoren erläutern nun einige mögliche Messergebnisse der Schaltung 600. Es kann davon ausgegangen werden, dass das erste von der Schaltung 600 erhaltene Messergebnis $\left(s_0^{\ast },s_1^{\ast },s_2^{\ast },s_3^{\ast }\right)=\left(\mathrm{0,1,1,0}\right)$

  

  ist. Die Experimentatoren berechnen anschließend (auf dem Computer 800), dass σ = 1 ist und dass d(1,1,0) = 〈0001000 |Z_3,5Π_3,5| 0001000〉 ist, sodass die Experimentatoren σ · 〈s|D_j〈s| = 1 zum Durchschnitt hinzufügen können. Für die zweite Messung wird angenommen, dass die Experimentatoren die Folge $\left(s_0^{\ast },s_1^{\ast },s_2^{\ast },s_3^{\ast }\right)=\left(\mathrm{1,1,0,0}\right)$

  

  von der Schaltung 600 erhalten, für die die Experimentatoren (auf dem Computer 800) auf gleiche Weise berechnen können, dass σ = -1 ist, jedoch gilt d(1,0,0) = 0, da der decodierte Zustand |f(1,0,0)〉 = |01000000〉 durch Π_3,5 aufgehoben wird, sodass dieses Messergebnis nicht zum Erwartungswert beiträgt. Die Experimentatoren fahren allgemein dadurch fort, dass sie den komprimierten Zustand U|ψ〉 abfragen, der von der Schaltung 600 (oder dem Quantencomputer 900) vorbereitet wird, bis der Erwartungswert E[σ · 〈s |D_j| s〉] mit ausreichender statistischer Genauigkeit (die im Voraus vordefiniert werden kann) geschätzt wird.
• Reduzierung 3: Beispiel 2
• Um ein etwas komplizierteres Beispiel zu betrachten, beschreiben die Experimentatoren ausführlich eine Reduzierung von einem System von M = 14 Fermi-Moden zu einem System von Q = 10 Qubits. Die Experimentatoren gehen davon aus, dass die Anzahl der Teilchen N = 3 beträgt. Es sei ein Graph mit 10 Knoten und 14 Kanten betrachtet, der in einem Schaubild in 7 dargestellt ist. 7 ist ein Schaubild 700, das eine Reduzierung von M = 14 Fermi-Moden mit N = 3 Teilchen zu Q = 10 Qubits beschreibt. (Nach dem Stand der Technik wären 14 Qubits in einem Quantencomputer wie der Schaltung 600 oder dem Quantencomputer 900 erforderlich, da es 14 Fermi-Moden gibt.) Die Ausführungsformen sind jedoch so konzipiert, dass sie aufgrund von Reduzierung 3 weniger Qubits (z.B. 10 Qubits in diesem Fall) verwenden. Ein Fock-Grundvektor |x₁, ... , x₁₄〉 wird auf einen Qubit-Zustand |s₁, ..., s₁₀〉 abgebildet, wobei s_i gleich der Summe (modulo zwei) von x_j auf allen Kanten ist, die zu s_i inzident sind. Die Injektivitätsbedingung von Gleichung (17) ist erfüllt, wenn das Schaubild 700 keine Zyklen der Länge 2,4 oder 6 aufweist.
• In 7 stellt jeder Knoten ein Qubit i ∈ {1, ..., Q} dar, während jede Kante einen Fermi-Modus j ∈ {1, ..., M} darstellt. Die Experimentatoren ordnen die Syndrome s_i und die fermionischen Besetzungszahlen x_j Knoten bzw. Kanten des Schaubilds zu. Als Nächstes muss die Paritätsprüfungsmatrix A in Gleichung (15) als Inzidenzmatrix des Schaubilds 700 ausgewählt werden. Mit anderen Worten, ein Syndrom s_i entspricht der Summe (modulo zwei) der Variablen x_j, die sich auf Kanten befinden, die zu dem Knoten i inzident sind. Zum Beispiel s₁ = x₁ + x₂ (mod 2), s₂ = x₂ + x₃ + x₉ (mod 2) usw. Die Experimentatoren müssen prüfen, ob A die Injektivitätsbedingung von Gleichung (16) erfüllt. Wie zuvor erwähnt, genügt es zu überprüfen, dass der Kern von A keine Vektoren des Gewichts 2,4 oder 6 enthält (siehe Gleichung (17)). Eine direkte Prüfung zeigt, dass das Schaubild 700 von 7 keine Zyklen der Länge 2,4 oder 6 enthält (es sei daran erinnert, dass eine Teilmenge von Kanten x als Zyklus bezeichnet wird, wenn ein Knoten eine gerade Zahl von inzidenten Kanten von x aufweist). Da A als Inzidenzmatrix des Schaubilds 700 ausgewählt wird, entspricht die Gleichung Ax = 0 nämlich x, das ein Zyklus ist. Ax = 0 bedeutet somit |x| ≠ 2,4,6, und die Injektivitätsbedingung von Gleichung (17) ist erfüllt. Es ist zu beachten, dass dieses Beispiel sehr umfassend ist und die Reduzierungsmatrix daher in einfachster Form, d.h. in Form des Schaubilds 700, zum besseren Verständnis bereitgestellt wird. Dies stellt ein Beispiel für die Komprimierung in Tabelle 1 von 4 für N=3 und M=14 bereit, sodass Q=10 ist. Die Schaltungsmessung muss vom klassischen Computer 800 in 8 erzeugt werden und anschließend auf dem Quantencomputer 900 in 9 ausgeführt werden.
• Die Überschriften und/oder Unterüberschriften werden nicht mehr fortgeführt. 10 ist ein Ablaufplan gemäß einer oder mehreren Ausführungsformen eines Verfahrens 1000 zum Reduzieren (Reduzierung 1) einer Anzahl von Qubits, die auf einem Quantencomputer 900 benötigt werden (und/oder einer Anzahl von Qubits, die für die Simulation auf einem Quantencomputer 900 benötigt werden).
• Bei Block 1005 ist der Computer 800 so konfiguriert, dass er ein Fermionen-System in Form eines Hamilton-Operators charakterisiert (oder beschreibt), wobei das Fermionen-System Fermionen und Fermion-Moden mit einer Gesamtzahl von 2M Fermion-Moden beinhaltet, wobei der Hamilton-Operator eine Paritätssymmetrie aufweist, die von Spin-up- und Spin-down-Paritätsoperatoren codiert wird.
• Bei Block 1010 ist der Computer 800 so konfiguriert, dass er die Fermion-Moden im Hamilton-Operator ordnet, sodass die erste Hälfte der 2M Moden dem Spin-up und die zweite Hälfte der 2M Moden dem Spin-down entspricht.
• Bei Block 1015 ist der Computer 800 so konfiguriert, dass er den Hamilton-Operator und die Paritätsoperatoren unter Verwendung einer Fermion-Qubit-Abbildung transformiert, wobei die Fermion-Qubit-Abbildung die Paritätsoperatoren in einen ersten Einzel-Qubit-Pauli-Operator auf einem Qubit M und in einen zweiten Einzel-Qubit-Pauli-Operator auf einem Qubit 2M transformiert.
• Bei Block 1020 ist der Computer 800 so konfiguriert, dass er das Qubit M, auf das der erste Einzel-Qubit-Pauli-Operator angewendet wurde, und das Qubit 2M, auf das der zweite Einzel-Qubit-Pauli-Operator angewendet wurde, entfernt.
• Bei der Fermion-Qubit-Abbildung handelt es sich darüber hinaus um eine verallgemeinerte Jordan-Wigner-Transformation.
• Der erste Einzel-Qubit-Pauli-Operator auf dem Qubit M ist eine Z-Pauli-Matrix auf dem Qubit M. Der zweite Einzel-Qubit-Pauli-Operator auf dem Qubit 2M ist ein Produkt von zwei Z-Pauli-Matrizen an den Orten des Qubits M und Qubits 2M.
• Das Entfernen des Qubits M, auf das der erste Einzel-Qubit-Pauli-Operator angewendet wurde, beinhaltet ein Ersetzen des Qubits M durch einen Eigenwert von +1 oder -1 gemäß einer Parität des Qubits M. Das Entfernen des Qubits 2M, auf das der zweite Einzel-Qubit-Pauli-Operator angewendet wurde, beinhaltet ein Ersetzen des Qubits 2M durch einen Eigenwert von +1 oder -1 gemäß einer Parität des Qubits 2M. Das Qubit M codiert die Parität des Qubits M und das Qubit 2M codiert die Parität des Qubits 2M. Die Paritäten des Qubits M und des Qubits 2M sind im Voraus bekannt.
• Der Quantencomputer 900 ist so konfiguriert, dass er den Hamilton-Operator mit reduzierten Qubits ausführt/simuliert.
• 11 ist ein Ablaufplan 1100 gemäß einer oder mehreren Ausführungsformen eines Verfahrens zum Reduzieren (Reduzierung 2) einer Anzahl von Qubits, die auf einem Quantencomputer 900 benötigt werden (und/oder einer Anzahl von Qubits, die für die Simulation auf einem Quantencomputer 900 benötigt werden).
• Bei Block 1105 ist der Computer 800 so konfiguriert, dass er ein Fermionen-System in Form eines Hamilton-Operators charakterisiert (oder beschreibt), wobei das Fermionen-System Fermionen und Fermion-Moden beinhaltet.
• Bei Block 1110 ist der Computer 800 so konfiguriert, dass er den Hamilton-Operator unter Verwendung einer Fermion-Qubit-Abbildung transformiert. Bei Block 1115 ist der Computer 800 so konfiguriert, dass er Pauli-Symmetrieoperatoren des Hamilton-Operators findet.
• Bei Block 1120 ist der Computer 800 so konfiguriert, dass er die Pauli-Symmetrieoperatoren in Einzel-Qubit-Pauli-Operatoren transformiert. Bei Block 1125 ist der Computer 800 so konfiguriert, dass er jedes Qubit entfernt, auf das die Einzel-Qubit-Pauli-Operatoren wirken.
• Bei der Fermion-Qubit-Abbildung handelt es sich um eine verallgemeinerte Jordan-Wigner-Transformation oder eine standardisierte Jordan-Wigner-Transformation.
• Zum Auffinden von Pauli-Symmetrieoperatoren des Hamilton-Operators gehört: Durchführen einer Paritätsprüfungsmatrix auf dem Hamilton-Operator, um die Pauli-Symmetrieoperatoren zu ermitteln, wenn keine Pauli-Symmetrieoperatoren gefunden werden, Festlegen, dass keine weitere Reduzierung durchgeführt werden kann, und wenn die Pauli-Symmetrieoperatoren gefunden werden, Ermitteln einer vertauschbaren Menge der Pauli-Symmetrieoperatoren. Zum Transformieren der Pauli-Symmetrieoperatoren in die Einzel-Qubit-Pauli-Operatoren gehört das Bilden einer Clifford-Transformation für die vertauschbare Menge der Pauli-Symmetrieoperatoren, um die vertauschbare Menge der Pauli-Symmetrieoperatoren auf den Einzel-Qubit-Pauli-Operatoren abzubilden.
• 12 ist ein Ablaufplan 1200 gemäß einer oder mehreren Ausführungsformen eines Verfahrens zum Reduzieren (Reduzierung 3) einer Anzahl von Qubits, die auf einem Quantencomputer 900 benötigt werden (und/oder einer Anzahl von Qubits, die für die Simulation auf einem Quantencomputer 900 benötigt werden).
• Bei Block 1205 ist der Computer 800 so konfiguriert, dass er ein Fermionen-System in Form eines Hamilton-Operators charakterisiert (oder beschreibt), wobei das Fermionen-System Fermionen und Fermion-Moden mit einer Gesamtzahl von M Fermion-Moden beinhaltet, wobei der Hamilton-Operator eine Teilchenzahlsymmetrie und N Teilchen aufweist.
• Bei Block 1210 ist der Computer 800 so konfiguriert, dass er den Hamilton-Operator unter Verwendung einer Fermion-Qubit-Abbildung transformiert, die M Fermion-Moden in M Qubits transformiert, wobei die M Qubits anhand einer Berechnungsgrundlage durch M Bitfolgen dargestellt werden.
• Bei Block 1215 ist der Computer 800 so konfiguriert, dass er eine Komprimierungsabbildung auf den Hamilton-Operator anwendet, sodass der Hamilton-Operator mit den M Qubits auf einen transformierten Hamilton-Operator mit Q Qubits abgebildet wird, wobei Q < M ist, wobei die Komprimierungsabbildung die M Bitfolgen, die die M Qubits anhand der Berechnungsgrundlage mit dem Hamming-Gewicht N kennzeichnen, auf Q Bitfolgen abbildet.
• Die Berechnungsgrundlage ist 0 und 1 für jedes der M Qubits. Der Quantencomputer 900 ist so konfiguriert, dass er eine Energie des transformierten Hamilton-Operators mit den Q Qubits misst, wobei der Quantencomputer eine Quantenmessschaltung auf Q+1 Qubits enthält. Als Ergebnis der vom Quantencomputer 900 gemessenen Energie ist der Computer 800 so konfiguriert, dass er die gemessene Energie für jeden komprimierten Term des transformierten Hamilton-Operators empfängt, eine Decodierung der gemessenen Energie durchführt, um Messergebnisse jedes nichtkomprimierten Terms im Hamilton-Operator zu erhalten, und die Messergebnisse zusammenführt, um die Energie des Hamilton-Operators zu erhalten, bevor die Komprimierungsabbildung angewendet wird.
• Der transformierte Hamilton-Operator beinhaltet komprimierte Terme, und der Hamilton-Operator beinhaltet vor der Anwendung der Komprimierungsabbildung nichtkomprimierte Terme.
• 9 ist ein Beispiel eines Quantencomputers 900 (Quanten-Hardware), der das Ergebnis der Reduzierungen 1, 2 und/oder 3 gemäß den Ausführungsformen verarbeiten kann. Im Allgemeinen sind Quantencomputer physikalische Systeme, die den Gesetzen der Quantenmechanik gehorchen, die die DiVincenzo-Kriterien erfüllen. Diese Kriterien legen die Anforderungen an das quantenmechanische System fest, um als Quantencomputer betrachtet zu werden. Zu den Kriterien gehören (1) ein skalierbares physikalisches System mit gut charakterisierten Qubits, (2) die Fähigkeit, den Zustand der Qubits in einen einfachen Referenzzustand zu initialisieren, (3) lange relevante Dekohärenzzeiten, (4) ein „universeller“ Satz von Quantengattern, (5) eine Qubit-spezifische Messfähigkeit, (6) die Fähigkeit, stationäre und fliegende Qubits miteinander zu vertauschen und (7) die Fähigkeit, fliegende Qubits zwischen spezifizierten Orten genau zu übertragen.
• Der Quantencomputer 900 in 9 veranschaulicht eine Eingabe 905 als Steuerprogramm, die Steuersignale 910, die Qubits 915, die Auslesesignale 920 und die Messdaten 925 als Ausgabe. Als quantenmechanisches System, das diese Anforderungen erfüllt, ist der Quantencomputer 900 (sowie der Quantencomputer 600) so konfiguriert, dass er die Steuersignale 910 als Eingabeinformationen 905 (d.h. die Reduzierungen 1, 2 und/oder 3) empfängt, um eine Sequenz von Quantengattern anzuwenden und Messoperationen durchzuführen. Die Quantengatter zwischen den verschiedenen Qubits 915 werden durch ihre Wechselwirkungen 930 vermittelt. Die Messoperatoren erzeugen klassische Signale (als Messdaten 925), die von einem das System, d.h. den Quantencomputer 900, steuernden Experimentator gelesen werden können.
• Nun zu 8, wo ein Beispiel einen Computer 800 veranschaulicht, z.B. jede Art von Computersystem, das so konfiguriert ist, dass es die hierin beschriebenen Reduzierungen 1, 2 und/oder 3 ausführt, sodass das Ergebnis der Reduzierungen 1, 2 und 3 in den Quantencomputer 600, 900 eingegeben werden kann. Bei dem Computer 800 kann es sich um ein über mehr als einen Computer verteiltes Computersystem handeln. Verschiedene hierin beschriebene Methoden, Verfahren, Module, Ablaufpläne, Tools, Anwendungen, Schaltungen, Elemente und Techniken können die Fähigkeiten des Computers 800 ebenfalls einschließen und/oder verwenden. Die Fähigkeiten des Computers 800 können darüber hinaus verwendet werden, um Elemente hierin beschriebener beispielhafter Ausführungsformen zu implementieren.
• Was die Hardware-Architektur allgemein betrifft, kann der Computer 800 einen oder mehrere Prozessoren 810, einen computerlesbaren Speicher 820 und eine oder mehrere Eingabe- und/oder Ausgabe(E/A-) Einheiten 870 enthalten, die über eine lokale Schnittstelle (nicht dargestellt) verbunden sind. Bei der lokalen Schnittstelle kann es sich zum Beispiel um einen oder mehrere Busse oder andere drahtgebundene oder drahtlose Verbindungen handeln, wie sie in der Technik bekannt sind, ohne darauf beschränkt zu sein. Die lokale Schnittstelle kann zusätzliche Elemente wie Steuereinheiten, Puffer (Cachespeicher), Treiber, Wiederholelemente und Empfänger aufweisen, um Datenübertragungen zu ermöglichen. Die lokale Schnittstelle kann des Weiteren Adress-, Steuer- und/oder Datenverbindungen enthalten, um geeignete Datenübertragungen zwischen den vorstehend genannten Komponenten zu ermöglichen.
• Bei dem Prozessor 810 handelt es sich um eine Hardware-Einheit zum Ausführen von Software, die in dem Speicher 820 gespeichert werden kann. Bei dem Prozessor 810 kann es sich um praktisch jeden kundenspezifischen oder handelsüblichen Prozessor, eine Zentraleinheit (CPU), einen Datensignalprozessor (DSP) oder einen Hilfsprozessor unter mehreren Prozessoren handeln, die zu dem Computer 800 gehören, und bei dem Prozessor 810 kann es sich um einen Mikroprozessor auf Halbleiterbasis (in Form eines Mikrochips) oder einen Makroprozessor handeln.
• Der computerlesbare Speicher 820 kann ein beliebiges oder eine Kombination aus flüchtigen Speicherelementen (z.B. Arbeitsspeicher (RAM) wie beispielsweise einen dynamischen Arbeitsspeicher (DRAM), statischen Arbeitsspeicher (SRAM) usw.) und nichtflüchtigen Speicherelementen (z.B. ROM, löschbaren programmierbaren Nur-Lese-Speicher (EPROM), elektronischen löschbaren programmierbaren Nur-Lese-Speicher (EEPROM), programmierbaren Nur-Lese-Speicher (PROM), Band, Compact-Disc-Nur-Lese-Speicher (CD-ROM), Platte, Diskette, Kassette oder Ähnliches usw.) enthalten. Des Weiteren kann der Speicher 820 elektronische, magnetische, optische und/oder andere Arten von Speichermedien enthalten. Hierbei ist zu beachten, dass der Speicher 820 eine verteilte Architektur aufweisen kann, bei der verschiedene Komponenten entfernt voneinander angeordnet sind, auf die der Prozessor 810 jedoch zugreifen kann.
• Die Software in dem computerlesbaren Speicher 820 kann ein oder mehrere separate Programme enthalten, von denen jedes eine geordnete Auflistung von ausführbaren Anweisungen zum Implementieren logischer Funktionen aufweist. Die Software in dem Speicher 820 beinhaltet ein geeignetes Betriebssystem (BS) 850, einen Compiler 840, Quellcode 830 und eine oder mehrere Anwendungen 860 der beispielhaften Ausführungsformen. Die Anwendung 860 beinhaltet wie dargestellt zahlreiche funktionale Komponenten zum Ausführen der Elemente, Prozesse, Verfahren, Funktionen und Operationen der beispielhaften Ausführungsformen.
• Das Betriebssystem 850 kann die Ausführung anderer Computerprogramme steuern und stellt Planung, Eingangs/Ausgangs-Steuerung, Datei- und Datenverwaltung, Speicherverwaltung, Datenübertragungssteuerung und zugehörige Dienste bereit.
• Bei der Anwendung 860 kann es sich um ein Quellprogramm, ausführbares Programm (Objektcode), Skript oder eine andere beliebige Entität handeln, die einen Satz von durchzuführenden Anweisungen aufweist. Im Falle eines Quellprogramms wird das Programm in der Regel über einen Compiler (wie den Compiler 840), Assembler, Interpreter oder Ähnliches übersetzt, der in dem Speicher 820 enthalten sein kann, um in Verbindung mit dem Betriebssystem 850 richtig zu arbeiten. Die Anwendung 860 kann ferner als (a) eine objektorientierte Programmiersprache, die Klassen von Daten und Methoden aufweist, oder (b) eine prozedurale Programmiersprache geschrieben werden, die Routinen, Unterroutinen und/oder Funktionen aufweist.
• Zu den E/A-Einheiten 870 können Eingabeeinheiten (oder Peripheriegeräte) wie beispielsweise eine Maus, eine Tastatur, einen Scanner, ein Mikrofon, eine Kamera usw. gehören, ohne auf diese beschränkt zu sein. Die E/A-Einheiten 870 können des Weiteren auch Ausgabeeinheiten (oder Peripheriegeräte) wie beispielsweise einen Drucker, eine Anzeige usw. enthalten, ohne darauf beschränkt zu sein. Die E/A-Einheiten 870 können schließlich auch Einheiten enthalten, die sowohl Eingaben als auch Ausgaben übertragen, beispielsweise eine NIC oder einen Modulator/Demodulator (für den Zugriff auf entfernt angeordnete Einheiten, andere Dateien, Einheiten, Systeme oder ein Netzwerk), einen Funksendeempfänger (HF-Sendeempfänger) oder anderen Sendeempfänger, eine Telefonschnittstelle, eine Brücke, einen Router usw., ohne auf diese beschränkt zu sein. Die E/A-Einheiten 870 enthalten ferner Komponenten für die Datenübertragung über verschiedene Netzwerke wie das Internet oder ein Intranet. Die E/A-Einheiten 870 können unter Verwendung von Bluetooth-Verbindungen und Kabeln (z.B. über Universal-Serial-Bus-(USB)- Anschlüsse, serielle Anschlüsse, parallele Anschlüsse, FireWire, HDMI (High-Definition-Multimedia-Interface) usw.) mit dem Prozessor 810 verbunden sein und/oder Daten austauschen.
• Bei beispielhaften Ausführungsformen, bei denen die Anwendung 860 in Hardware ausgeführt ist, kann die Anwendung 860 mit einer beliebigen oder einer Kombination der folgenden Technologien ausgeführt sein, die in der Technik bekannt sind: eine oder mehrere diskrete Logikschaltung(en) mit Logikgattern zum Umsetzen von logischen Funktionen auf Datensignalen, eine anwendungsspezifische integrierte Schaltung (ASIC) mit geeigneten kombinatorischen Logikgattern, eine programmierbare Gatteranordnung (PGA), eine vor Ort programmierbare Gatteranordnung (FPGA) usw.
• Die Beschreibung der verschiedenen Ausführungsformen der vorliegenden Erfindung wurde zum Zwecke der Veranschaulichung vorgestellt, soll jedoch nicht erschöpfend oder auf die Ausführungsformen beschränkt sein. Für Fachleute ist offensichtlich, dass viele Änderungen und Abwandlungen möglich sind, ohne vom Anwendungsbereich der beschriebenen Ausführungsformen abzuweichen. Die hier verwendete Terminologie wurde gewählt, um die Grundgedanken der Ausführungsformen, die praktische Anwendung oder technische Verbesserung gegenüber Technologien auf dem Markt bestmöglich zu erläutern oder es Fachleuten zu ermöglichen, die hier beschriebenen Ausführungsformen zu verstehen.
• Bei der vorliegenden Erfindung kann es sich um ein System, ein Verfahren und/oder ein Computerprogrammprodukt auf jedem möglichen technischen Detaillierungsgrad der Integration handeln. Das Computerprogrammprodukt kann (ein) durch einen Computer lesbare(s) Speichermedium (oder -medien) beinhalten, auf dem/denen durch einen Computer lesbare Programmanweisungen gespeichert ist/sind, um einen Prozessor dazu zu veranlassen, Aspekte der vorliegenden Erfindung auszuführen.
• Bei dem durch einen Computer lesbaren Speichermedium kann es sich um eine physische Einheit handeln, die Anweisungen zur Verwendung durch ein System zur Ausführung von Anweisungen behalten und speichern kann. Bei dem durch einen Computer lesbaren Speichermedium kann es sich zum Beispiel um eine elektronische Speichereinheit, eine magnetische Speichereinheit, eine optische Speichereinheit, eine elektromagnetische Speichereinheit, eine Halbleiterspeichereinheit oder jede geeignete Kombination daraus handeln, ohne auf diese beschränkt zu sein. Zu einer nicht erschöpfenden Liste spezifischerer Beispiele des durch einen Computer lesbaren Speichermediums gehören die Folgenden: eine tragbare Computerdiskette, eine Festplatte, ein Direktzugriffsspeicher (RAM), ein Nur-Lese-Speicher (ROM), ein löschbarer programmierbarer Nur-Lese-Speicher (EPROM bzw. Flash-Speicher), ein statischer Direktzugriffsspeicher (SRAM), ein tragbarer Kompaktspeicherplatte-Nur-Lese-Speicher (CD-ROM), eine DVD (digital versatile disc), ein Speicher-Stick, eine Diskette, eine mechanisch codierte Einheit wie zum Beispiel Lochkarten oder gehobene Strukturen in einer Rille, auf denen Anweisungen gespeichert sind, und jede geeignete Kombination daraus. Ein durch einen Computer lesbares Speichermedium soll in der Verwendung hierin nicht als flüchtige Signale an sich aufgefasst werden, wie zum Beispiel Funkwellen oder andere sich frei ausbreitende elektromagnetische Wellen, elektromagnetische Wellen, die sich durch einen Wellenleiter oder ein anderes Übertragungsmedium ausbreiten (z.B. durch ein Glasfaserkabel geleitete Lichtimpulse) oder durch einen Draht übertragene elektrische Signale.
• Hierin beschriebene, durch einen Computer lesbare Programmanweisungen können von einem durch einen Computer lesbaren Speichermedium auf jeweilige Datenverarbeitungs-/Verarbeitungseinheiten oder über ein Netzwerk wie zum Beispiel das Internet, ein lokales Netzwerk, ein Weitverkehrsnetz und/oder ein drahtloses Netzwerk auf einen externen Computer oder eine externe Speichereinheit heruntergeladen werden. Das Netzwerk kann Kupferübertragungskabel, Lichtwellenübertragungsleiter, drahtlose Übertragung, Leitwegrechner, Firewalls, Vermittlungseinheiten, Gateway-Computer und/oder Edge-Server aufweisen. Eine Netzwerkadapterkarte oder Netzwerkschnittstelle in jeder Datenverarbeitungs-/Verarbeitungseinheit empfängt durch einen Computer lesbare Programmanweisungen aus dem Netzwerk und leitet die durch einen Computer lesbaren Programmanweisungen zur Speicherung in einem durch einen Computer lesbaren Speichermedium innerhalb der entsprechenden Datenverarbeitungs-/Verarbeitungseinheit weiter.
• Bei durch einen Computer lesbaren Programmanweisungen zum Ausführen von Arbeitsschritten der vorliegenden Erfindung kann es sich um Assembler-Anweisungen, ISA-Anweisungen (Instruction-Set-Architecture), Maschinenanweisungen, maschinenabhängige Anweisungen, Mikrocode, Firmware-Anweisungen, zustandssetzende Daten, Konfigurationsdaten für integrierte Schaltungen oder entweder Quellcode oder Objektcode handeln, die in einer beliebigen Kombination aus einer oder mehreren Programmiersprachen geschrieben werden, darunter objektorientierte Programmiersprachen wie Smalltalk, C++ o. ä. sowie prozedurale Programmiersprachen wie die Programmiersprache „C“ oder ähnliche Programmiersprachen. Die durch einen Computer lesbaren Programmanweisungen können vollständig auf dem Computer des Benutzers, teilweise auf dem Computer des Benutzers, als eigenständiges Software-Paket, teilweise auf dem Computer des Benutzers und teilweise auf einem fernen Computer oder vollständig auf dem fernen Computer oder Server ausgeführt werden. In letzterem Fall kann der entfernt angeordnete Computer mit dem Computer des Benutzers durch eine beliebige Art Netzwerk verbunden sein, darunter ein lokales Netzwerk (LAN) oder ein Weitverkehrsnetz (WAN), oder die Verbindung kann mit einem externen Computer hergestellt werden (zum Beispiel über das Internet unter Verwendung eines Internet-Dienstanbieters). In einigen Ausführungsformen können elektronische Schaltungen, darunter zum Beispiel programmierbare Logikschaltungen, im Feld programmierbare Gatter-Anordnungen (FPGA, field programmable gate arrays) oder programmierbare Logikanordnungen (PLA, programmable logic arrays) die durch einen Computer lesbaren Programmanweisungen ausführen, indem sie Zustandsinformationen der durch einen Computer lesbaren Programmanweisungen nutzen, um die elektronischen Schaltungen zu personalisieren, um Aspekte der vorliegenden Erfindung durchzuführen.
• Aspekte der vorliegenden Erfindung sind hierin unter Bezugnahme auf Ablaufpläne und/oder Blockschaltbilder bzw. Schaubilder von Verfahren, Vorrichtungen (Systemen) und Computerprogrammprodukten gemäß Ausführungsformen der Erfindung beschrieben. Es wird darauf hingewiesen, dass jeder Block der Ablaufpläne und/oder der Blockschaltbilder bzw. Schaubilder sowie Kombinationen von Blöcken in den Ablaufplänen und/oder den Blockschaltbildern bzw. Schaubildern durch durch einen Computer lesbare Programmanweisungen ausgeführt werden können.
• Diese durch einen Computer lesbaren Programmanweisungen können einem Prozessor eines Universalcomputers, eines Spezialcomputers oder einer anderen programmierbaren Datenverarbeitungsvorrichtung bereitgestellt werden, um eine Maschine zu erzeugen, sodass die über den Prozessor des Computers bzw. der anderen programmierbaren Datenverarbeitungsvorrichtung ausgeführten Anweisungen ein Mittel zur Umsetzung der in dem Block bzw. den Blöcken der Ablaufpläne und/oder der Blockschaltbilder bzw. Schaubilder festgelegten Funktionen/Schritte erzeugen. Diese durch einen Computer lesbaren Programmanweisungen können auch auf einem durch einen Computer lesbaren Speichermedium gespeichert sein, das einen Computer, eine programmierbare Datenverarbeitungsvorrichtung und/oder andere Einheiten so steuern kann, dass sie auf eine bestimmte Art funktionieren, sodass das durch einen Computer lesbare Speichermedium, auf dem Anweisungen gespeichert sind, ein Herstellungsprodukt aufweist, darunter Anweisungen, welche Aspekte der/des in dem Block bzw. den Blöcken des Ablaufplans und/oder der Blockschaltbilder bzw. Schaubilder angegebenen Funktion/Schritts umsetzen.
• Die durch einen Computer lesbaren Programmanweisungen können auch auf einen Computer, eine andere programmierbare Datenverarbeitungsvorrichtung oder eine andere Einheit geladen werden, um das Ausführen einer Reihe von Prozessschritten auf dem Computer bzw. der anderen programmierbaren Vorrichtung oder anderen Einheit zu verursachen, um einen auf einem Computer ausgeführten Prozess zu erzeugen, sodass die auf dem Computer, einer anderen programmierbaren Vorrichtung oder einer anderen Einheit ausgeführten Anweisungen die in dem Block bzw. den Blöcken der Ablaufpläne und/oder der Blockschaltbilder bzw. Schaubilder festgelegten Funktionen/Schritte umsetzen.
• Die Ablaufpläne und die Blockschaltbilder bzw. Schaubilder in den Figuren veranschaulichen die Architektur, die Funktionalität und den Betrieb möglicher Ausführungen von Systemen, Verfahren und Computerprogrammprodukten gemäß verschiedenen Ausführungsformen der vorliegenden Erfindung. In diesem Zusammenhang kann jeder Block in den Ablaufplänen oder Blockschaltbildern bzw. Schaubildern ein Modul, ein Segment oder einen Teil von Anweisungen darstellen, die eine oder mehrere ausführbare Anweisungen zur Ausführung der bestimmten logischen Funktion(en) aufweisen. In einigen alternativen Ausführungen können die in dem Block angegebenen Funktionen in einer anderen Reihenfolge als in den Figuren gezeigt stattfinden. Zwei nacheinander gezeigte Blöcke können zum Beispiel in Wirklichkeit im Wesentlichen gleichzeitig ausgeführt werden, oder die Blöcke können manchmal je nach entsprechender Funktionalität in umgekehrter Reihenfolge ausgeführt werden. Es ist ferner anzumerken, dass jeder Block der Blockschaltbilder bzw. Schaubilder und/oder der Ablaufpläne sowie Kombinationen aus Blöcken in den Blockschaltbildern bzw. Schaubildern und/oder den Ablaufplänen durch spezielle auf Hardware beruhende Systeme umgesetzt werden können, welche die festgelegten Funktionen oder Schritte durchführen, oder Kombinationen aus Spezial-Hardware und Computeranweisungen ausführen.
• ZITATE ENTHALTEN IN DER BESCHREIBUNG
• Diese Liste der vom Anmelder aufgeführten Dokumente wurde automatisiert erzeugt und ist ausschließlich zur besseren Information des Lesers aufgenommen. Die Liste ist nicht Bestandteil der deutschen Patent- bzw. Gebrauchsmusteranmeldung. Das DPMA übernimmt keinerlei Haftung für etwaige Fehler oder Auslassungen.
• Zitierte Nicht-Patentliteratur
• S. Bravyi und A. Kitaev. in Ann. of Phys., 298(1): 210-226, 2002 [0052]
• R. Gallager in Information Theory, IRE Transactions on, 8(1):21-28, 1962 [0078]
• R. Darling, M. Penrose, A. Wade und S. Zabell, in Electron. J. Probab, 19(83): 1-36, 2014 [0078]

Claims (25)

1. Auf einem Computer implementiertes Verfahren zum Reduzieren einer Anzahl von Qubits, die auf einem Quantencomputer benötigt werden, wobei das Verfahren aufweist: Charakterisieren eines Fermionen-Systems in Form eines Hamilton-Operators, wobei das Fermionen-System Fermionen und Fermion-Moden mit einer Gesamtzahl von 2M Fermion-Moden beinhaltet, wobei der Hamilton-Operator eine Paritätssymmetrie aufweist, die von Spin-up- und Spin-down-Paritätsoperatoren Codiert wird; Ordnen der Fermion-Moden im Hamilton-Operator, sodass die erste Hälfte der 2M Moden dem Spin-up und die zweite Hälfte der 2M Moden dem Spin-down entspricht; Transformieren des Hamilton-Operators und der Paritätsoperatoren unter Verwendung einer Fermion-Qubit-Abbildung, wobei die Fermion-Qubit-Abbildung die Paritätsoperatoren in einen ersten Einzel-Qubit-Pauli-Operator auf einem Qubit M und in einen zweiten Einzel-Qubit-Pauli-Operator auf einem Qubit 2M transformiert; und Entfernen des Qubits M, auf das der erste Einzel-Qubit-Pauli-Operator angewendet wurde, und des Qubits 2M, auf das der zweite Einzel-Qubit-Pauli-Operator angewendet wurde.
2. Verfahren nach Anspruch 1, wobei die Fermion-Qubit-Abbildung eine verallgemeinerte Jordan-Wigner-Transformation ist.
3. Verfahren nach Anspruch 1, wobei der erste Einzel-Qubit-Pauli-Operator auf dem Qubit M eine Z-Pauli-Matrix auf dem Qubit M ist.
4. Verfahren nach Anspruch 3, wobei der zweite Einzel-Qubit-Pauli-Operator auf dem Qubit 2M ein Produkt von zwei Z-Pauli-Matrizen an den Orten des Qubits M und Qubits 2M ist.
5. Verfahren nach Anspruch 1, wobei das Entfernen des Qubits M, auf das der erste Einzel-Qubit-Pauli-Operator angewendet wurde, ein Ersetzen des Qubits M durch einen Eigenwert von +1 oder -1 gemäß einer Parität des Qubits M aufweist.
6. Verfahren nach Anspruch 5, wobei das Entfernen des Qubits 2M, auf das der zweite Einzel-Qubit-Pauli-Operator angewendet wurde, ein Ersetzen des Qubits 2M durch einen Eigenwert von +1 oder -1 gemäß einer Parität des Qubits 2M aufweist.
7. Verfahren nach Anspruch 6, wobei das Qubit M die Parität des Qubits M codiert und das Qubit 2M die Parität des Qubits 2M codiert.
8. Verfahren nach Anspruch 7, wobei die Paritäten des Qubits M und des Qubits 2M im Voraus bekannt sind.
9. Verfahren nach Anspruch 1, das weiterhin ein Ausführen des Hamilton-Operators mit reduzierten Qubits auf dem Quantencomputer aufweist.
10. Auf einem Computer implementiertes Verfahren zum Reduzieren einer Anzahl von Qubits, die auf einem Quantencomputer benötigt werden, wobei das Verfahren aufweist: Charakterisieren eines Fermionen-Systems in Form eines Hamilton-Operators, wobei das Fermionen-System Fermionen und Fermion-Moden beinhaltet; Transformieren des Hamilton-Operators unter Verwendung einer Fermion-Qubit-Abbildung; Auffinden von Pauli-Symmetrieoperatoren des Hamilton-Operators; Transformieren der Pauli-Symmetrieoperatoren in Einzel-Qubit-Pauli-Operatoren; und Entfernen jedes Qubits, auf den die Einzel-Qubit-Pauli-Operatoren wirken.
11. Verfahren nach Anspruch 10, wobei die Fermion-Qubit-Abbildung eine verallgemeinerte Jordan-Wigner-Transformation oder eine standardisierte Jordan-Wigner-Transformation ist.
12. Verfahren nach Anspruch 10, wobei das Auffinden der Pauli-Symmetrieoperatoren des Hamilton-Operators aufweist: Durchführen einer Paritätsprüfungsmatrix beim Hamilton-Operator, um die Pauli-Symmetrieoperatoren zu ermitteln; werden keine Pauli-Symmetrieoperatoren gefunden, Festlegen, dass keine weitere Reduzierung durchführbar ist; und werden Pauli-Symmetrieoperatoren gefunden, Ermitteln einer vertauschbaren Menge der Pauli-Symmetrieoperatoren.
13. Verfahren nach Anspruch 12, wobei das Transformieren der Pauli-Symmetrieoperatoren in die Einzel-Qubit-Pauli-Operatoren ein Bilden einer Clifford-Transformation für die vertauschbare Menge der Pauli-Symmetrieoperatoren aufweist, um die vertauschbare Menge der Pauli-Symmetrieoperatoren auf den Einzel-Bit-Pauli-Operatoren abzubilden.
14. Auf einem Computer implementiertes Verfahren zum Reduzieren einer Anzahl von Qubits, die auf einem Quantencomputer benötigt werden, wobei das Verfahren aufweist: Charakterisieren eines Fermionen-Systems in Form eines Hamilton-Operators, wobei das Fermionen-System Fermionen und Fermion-Moden mit einer Gesamtzahl von M Fermion-Moden beinhaltet, wobei der Hamilton-Operator eine Teilchenzahlsymmetrie und N Teilchen aufweist; Transformieren des Hamilton-Operators unter Verwendung einer Fermion-Qubit-Abbildung, die M Fermion-Moden in M Qubits transformiert, wobei die M Qubits anhand einer Berechnungsgrundlage durch M Bitfolgen dargestellt werden; und Anwenden einer Komprimierungsabbildung auf den Hamilton-Operator, sodass der Hamilton-Operator mit den M Qubits auf einen transformierten Hamilton-Operator mit Q Qubits abgebildet wird, wobei Q < M ist, wobei die Komprimierungsabbildung die M Bitfolgen, die die M Qubits anhand der Berechnungsgrundlage mit einem Hamming-Gewicht N kennzeichnen, auf Q Bitfolgen abbildet.
15. Verfahren nach Anspruch 14, wobei die Berechnungsgrundlage 0 und 1 für jedes der M Qubits ist.
16. Verfahren nach Anspruch 14, das weiterhin aufweist: als Reaktion darauf, dass der Quantencomputer eine Energie des transformierten Hamilton-Operators mit den Q Qubits misst, Empfangen einer gemessenen Energie für jeden komprimierten Term des transformierten Hamilton-Operators, wobei der Quantencomputer eine Quantenmessschaltung auf Q+1 Qubits enthält; Durchführen einer Decodierung bei der gemessenen Energie, um Messergebnisse jedes nichtkomprimierten Terms im Hamilton-Operator zu erhalten; und Verknüpfen der Messergebnisse, um die Energie des Hamilton-Operators vor dem Anwenden der Komprimierungsabbildung zu erhalten.
17. Verfahren nach Anspruch 16, wobei: der transformierte Hamilton-Operator komprimierte Terme aufweist; und der Hamilton-Operator vor dem Anwenden der Komprimierungsabbildung nichtkomprimierte Terme aufweist.
18. System, das aufweist: einen Speicher mit durch Computer ausführbaren Anweisungen, um eine Anzahl von Qubits zu reduzieren, die auf einem Quantencomputer benötigt werden; und einen Prozessor, der die durch Computer ausführbaren Anweisungen ausführt, wobei die durch Computer ausführbaren Anweisungen den Prozessor veranlassen, Operationen durchzuführen, die aufweisen: Charakterisieren eines Fermionen-Systems in Form eines Hamilton-Operators, wobei das Fermionen-System Fermionen und Fermion-Moden mit einer Gesamtzahl von 2M Fermion-Moden beinhaltet, wobei der Hamilton-Operator eine Paritätssymmetrie aufweist, die von Spin-up- und Spin-down-Paritätsoperatoren codiert wird; Ordnen der Fermion-Moden im Hamilton-Operator, sodass die erste Hälfte der 2M Moden dem Spin-up und die zweite Hälfte der 2M Moden dem Spin-down entspricht; Transformieren des Hamilton-Operators und der Paritätsoperatoren unter Verwendung einer Fermion-Qubit-Abbildung, wobei die Fermion-Qubit-Abbildung die Paritätsoperatoren in einen ersten Einzel-Qubit-Pauli-Operator auf einem Qubit M und in einen zweiten Einzel-Qubit-Pauli-Operator auf einem Qubit 2M transformiert; und Entfernen des Qubits M, auf das der erste Einzel-Qubit-Pauli-Operator angewendet wurde, und des Qubits 2M, auf das der zweite Einzel-Qubit-Pauli-Operator angewendet wurde.
19. System nach Anspruch 18, wobei die Fermion-Qubit-Abbildung eine verallgemeinerte Jordan-Wigner-Transformation ist.
20. System nach Anspruch 19, wobei der erste Einzel-Qubit-Pauli-Operator auf dem Qubit M eine Z-Pauli-Matrix auf dem Qubit M ist.
21. System nach Anspruch 20, wobei der zweite Einzel-Qubit-Pauli-Operator auf dem Qubit 2M ein Produkt von zwei Z-Pauli-Matrizen an den Orten des Qubits M und Qubits 2M ist.
22. System nach Anspruch 18, wobei das Entfernen des Qubits M, auf das der erste Einzel-Qubit-Pauli-Operator angewendet wurde, ein Ersetzen des Qubits M durch einen Eigenwert von +1 oder -1 gemäß einer Parität des Qubits M aufweist.
23. System nach Anspruch 22, wobei das Entfernen des Qubits 2M, auf das der zweite Einzel-Qubit-Pauli-Operator angewendet wurde, ein Ersetzen des Qubits 2M durch einen Eigenwert von +1 oder -1 gemäß einer Parität des Qubits 2M aufweist.
24. System nach Anspruch 23, wobei: das Qubit M die Parität des Qubits M codiert, und das Qubit 2M die Parität des Qubits 2M codiert; und die Paritäten des Qubits M und des Qubits 2M im Voraus bekannt sind.
25. System, das aufweist: einen Speicher mit durch Computer ausführbaren Anweisungen, um eine Anzahl von Qubits zu reduzieren, die auf einem Quantencomputer benötigt werden; und einen Prozessor, der die durch Computer ausführbaren Anweisungen ausführt, wobei die durch Computer ausführbaren Anweisungen den Prozessor veranlassen, Operationen durchzuführen, die aufweisen: Charakterisieren eines Fermionen-Systems in Form eines Hamilton-Operators, wobei das Fermionen-System Fermionen und Fermion-Moden beinhaltet; Transformieren des Hamilton-Operators unter Verwendung einer Fermion-Qubit-Abbildung; Auffinden von Pauli-Symmetrieoperatoren des Hamilton-Operators; Transformieren der Pauli-Symmetrieoperatoren in Einzel-Qubit-Pauli-Operatoren; und Entfernen jedes Qubits, auf das die Einzel-Qubit-Pauli-Operatoren wirken.

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