JP2016163437A - 圧電アクチュエーター装置及びその制御方法 - Google Patents

Abstract

【課題】所定の摩擦力で駆動対象物と結合する駆動部材に圧電素子で力を加えて駆動対象物を高速移動させることができる圧電アクチュエーター装置を提供する。【解決手段】インダクター２７と抵抗２８を直列に接続した圧電素子１０１にＰＷＭ波形の駆動電圧を入力して、圧電アクチュエーター装置１００を駆動制御する。圧電アクチュエーター装置１００は、インダクタンスＬ0と抵抗Ｒ0の各値を調整して、圧電機械共振と圧電電気共振の各振動の減衰比、振幅、共振周波数をコントロールし、鋸波により近い駆動部材１０２の応答を誘起して、駆動対象物１０６の高速化を実現する。【選択図】 図７

Description

本明細書で開示する技術は、圧電素子を利用して駆動対象物を移動させる圧電アクチュエーター装置及びその制御方法に係り、特に、駆動部材を圧電素子で駆動して、駆動部材と所定の摩擦力で結合する駆動対象物を移動させる圧電アクチュエーター装置及びその制御方法に関する。

撮影レンズなどが取り付けられた係合部材を棒状の駆動部材に所定の摩擦力を有するように結合させるとともに、その駆動部材の一方端に圧電素子を固着して構成されたインパクト型圧電アクチュエーターからなる駆動装置が知られている。この種のインパクト型圧電アクチュエーターに矩形波電圧を印加することにより駆動する方法についても提案がなされている（例えば、特許文献１を参照のこと）。

特開２００１−２６８９５１号公報

本明細書で開示する技術の目的は、駆動部材を圧電素子で駆動して、駆動部材と所定の摩擦力で結合する駆動対象物を好適に移動させることができる、優れた圧電アクチュエーター装置及びその制御方法を提供することにある。

本願は、上記課題を参酌してなされたものであり、請求項１に記載の技術は、
圧電素子とインダクターと電気抵抗を直列に接続した直列接続体と、
前記直列接続体に対して矩形波の駆動電圧を印加する駆動回路と、
前記圧電素子によって駆動され、所定の摩擦力で駆動対象物を結合する駆動部材と、
を具備する圧電アクチュエーター装置である。

本願の請求項２に記載の技術によれば、請求項１に記載の圧電アクチュエーター装置は、前記圧電素子の圧電効果によって、前記駆動電圧に対する前記駆動部材の変位が４階の微分方程式で支配され、前記４階の微分方程式から導出される第１の共振現象及び第２の共振現象を利用して駆動するように構成されている。

本願の請求項３に記載の技術によれば、請求項２に記載の圧電アクチュエーター装置において、前記第１の共振現象は、前記圧電素子による駆動に対して、前記圧電アクチュエーター装置の機械的な共振を主としつつ前記圧電素子の圧電効果による前記直列接続体の電気的な影響を受ける圧電機械共振である。また、前記第２の共振は、電気的な共振を主としつつ前記圧電素子の圧電効果による前記駆動部材の機械振動の影響を受ける圧電電気共振である。

本願の請求項４に記載の技術によれば、請求項２又は３のいずれかに記載の圧電アクチュエーター装置において、前記第１の共振現象は、前記圧電素子の物性値から決定される等価のばね定数と前記駆動部材の質量に基づいて規定される２質点系の機械的な共振周波数を主としつつ前記圧電素子の圧電効果による電気的な影響を受けて下がる共振周波数を持つ。また、前記第２の共振現象は、前記インダクターと前記電気抵抗と前記圧電素子の物性値から決定される静電容量に基づいて規定されるＬＣＲ回路の電気的な共振周波数を主としつつ前記圧電素子の圧電効果による機械的な影響を受けて上がる共振周波数を持つ。

本願の請求項５に記載の技術によれば、請求項１乃至４のいずれかに記載の圧電アクチュエーター装置は、前記第１の共振現象及び前記第２の共振現象の共振周波数と共振振動の減衰比が所望する値となるように、前記インダクターのインダクタンス値と電気抵抗の抵抗値を決定するように構成されている。

本願の請求項６に記載の技術によれば、請求項１乃至５のいずれかに記載の圧電アクチュエーター装置は、所望する前記第１の共振現象並びに前記第２の共振現象が得られたときの、前記圧電素子と前記駆動部材と前記駆動対象物を含む駆動部のインピーダンス特性の実測値に基づいて、前記インダクターのインダクタンス値と電気抵抗の抵抗値を決定するように構成されている。

本願の請求項７に記載の技術によれば、請求項３に記載の圧電アクチュエーター装置は、前記圧電機械共振振動と前記圧電電気共振振動の重ね合わせにより、前記矩形波の駆動電圧の印加に対する前記駆動部材の所望な鋸波変位を誘起するように、前記圧電機械共振振動と前記圧電電気共振振動をそれぞれ所望の共振周波数にするための前記インダクターのインダクタンス値と前記電気抵抗の抵抗値を決定するように構成されている。

本願の請求項８に記載の技術によれば、請求項３又は７のいずれかに記載の圧電アクチュエーター装置は、前記圧電機械共振振動の共振周波数と前記圧電電気共振振動の共振周波数の比が１．５乃至３の範囲となるように構成されている。

本願の請求項９に記載の技術によれば、請求項３又は７のいずれかに記載の圧電アクチュエーター装置は、前記圧電機械共振振動の共振周波数と前記矩形波駆動電圧の駆動周波数の比が１乃至１．５の範囲となるように構成されている。

本願の請求項１０に記載の技術によれば、請求項３、７乃至９のいずれかのいずれかに記載の圧電アクチュエーター装置は、前記圧電電気共振振動の共振周波数と前記矩形波駆動電圧の駆動周波数の比が１．５乃至４．５の範囲となるように構成されている。

また、本願の請求項１１に記載の技術は、
圧電素子とインダクターと電気抵抗を直列に接続した直列接続体に矩形波の駆動電圧を印加して、所定の摩擦力で駆動対象物を結合する駆動部材を前記圧電素子によって駆動する圧電アクチュエーター装置の制御方法であって、
前記圧電素子の圧電効果によって、前記駆動電圧に対する前記駆動部材の変位が４階の微分方程式で支配され、
前記４階の微分方程式から導出される２つの共振現象のうち主となる一方の共振周波数に基づいて前記駆動電圧の矩形波の駆動周波数を制御する制御ステップを有する制御方法である。

本願の請求項１２に記載の技術によれば、請求項１１に記載の圧電アクチュエーター装置の制御方法の前記制御ステップでは、前記矩形波の駆動周波数と前記４階の微分方程式から導出される２つの共振現象の他方の共振振動の共振を避けるように構成されている。

本明細書で開示する技術によれば、圧電素子を用いて駆動部材を最適な鋸波で変位させて、駆動部材と所定の摩擦力で結合する駆動対象物を高速に移動させることができる、優れた圧電アクチュエーター装置及びその制御方法を提供することができる。

なお、本明細書に記載された効果は、あくまでも例示であり、本発明の効果はこれに限定されるものではない。また、本発明が、上記の効果以外に、さらに付加的な効果を奏する場合もある。

本明細書で開示する技術のさらに他の目的、特徴や利点は、後述する実施形態や添付する図面に基づくより詳細な説明によって明らかになるであろう。

図１は、本明細書で開示する技術を適用することができる圧電アクチュエーター装置１００の構成例を模式的に示した図である。 図２は、駆動回路１０４の構成例を示した図である。 図３は、図１に示した圧電アクチュエーター装置１００の機械モデルを示した図である。 図４Ａは、駆動部材１０２の理想的な鋸波変位と駆動部材１０２の速度ｖ₁₀₂と駆動対象物１０６に加わる摩擦力μＮを示した図である。 図４Ｂは、駆動部材１０２の変位が理想的な鋸波でない場合の駆動部材の速度波形を例示した図である。 図５は、圧電素子１０１にＰＷＭ波形の電圧を印加した際の実際の駆動部材１０２の変位ｘ₁₀₂と速度ｖ₁₀₂を示した図である。 図６は、他の構成例に係る圧電素子１０１に駆動電圧を入力する駆動回路１０４´を示した図である。 図７は、図６に示した駆動回路１０４´を用いた圧電アクチュエーター装置７００の機械モデルを示した図である。 図８は、伝達関数の周波数応答を例示した図である。 図９は、駆動部１０７のインピーダンス特性の実測値と解析解として求めた周波数応答を含む系の比較を例示した図である。 図１０は、圧電アクチュエーター装置７００のステップ応答を示した図である。 図１１は、図６に示した駆動回路１０４´を利用した場合の圧電アクチュエーター装置７００における駆動部材１０２の位置及び速度の波形を示した図である。 図１２は、図２に示した駆動回路１０４を利用した場合の圧電アクチュエーター装置１００における駆動部材１０２の位置及び速度の波形を示した図である。 図１３は、圧電電気共振成分の周波数が合わないために、圧電機械共振成分の速度低下をキャンセルできない場合の駆動部材１０２の位置及び速度の波形を示した図である。 図１４は、圧電電気共振成分の振幅が大き過ぎるため、その影響で速度低下が発生する場合の駆動部材１０２の位置及び速度の波形を示した図である。 図１５は、図７に示した圧電アクチュエーター装置７００のステップ応答と速度を圧電機械共振振動と圧電電気共振振動に成分分解した例を示した図である。 図１６は、インダクター２７のインダクタンスＬ₀による圧電機械共振周波数と圧電電気共振周波数と、圧電機械共振周波数と圧電電気共振周波数の比を示した図である。 図１７は、ＰＷＭ電圧のフーリエ変換の結果を示した図である。 図１８は、デューティー比と圧電機械共振の振幅ψ₁と圧電電気共振の振幅ψ₂の比、周波数の関係を示した図である。

以下、図面を参照しながら本明細書で開示する技術の実施形態について詳細に説明する。

図１には、本明細書で開示する技術を適用することができる圧電アクチュエーター装置１００の構成例を模式的に示している。

図示の圧電アクチュエーター装置１００は、電気機械変換素子である圧電素子１０１と、圧電素子１０１により駆動される棒状の駆動部材１０２と、駆動部材１０２に所定の摩擦力で結合された係合部材１０３と、圧電素子１０１に駆動電圧を印加する駆動回路１０４を備えている。

圧電素子１０１は、駆動回路１０４から印加される駆動電圧に応じて伸縮する作用を有している。圧電素子１０１は、その伸縮方向における一方端が支持部材１０５に固着されるとともに、他方端が棒状の駆動部材１０２の長手方向における一方端に固着されている。支持部材１０５の絶対位置は固定されているものとする。係合部材１０３は、所定箇所に駆動対象物１０６が固着され、駆動部材１０２上を長手方向（図１中のａ方向）に沿って移動可能とされている。支持部材１０５と圧電素子と駆動部材１０２で、駆動部１０７を構成する。

圧電素子１０１が伸縮すると、駆動部材１０２が長手方向に移動する。駆動部材１０２を長手方向に沿って異なる速度で移動させた際に駆動部材１０２と係合部材１０３との間に発生する摩擦力の相違を利用して、係合部材１０３に固着された駆動対象物１０６を駆動部材１０２に対して相対的に移動させることができる。すなわち、係合部材１０３と駆動部材１０２との間の摩擦力は、駆動部材１０２が高速で移動するときは小さくなり、低速で移動するときは大きくなる。したがって、駆動部材１０２の正方向（図１中のａ方向）移動は低速で行ない、逆方向移動は高速で行なうことにより、駆動対象物１０６を駆動部材１０２に対して正方向に移動させることができる（正方向駆動）。また、駆動部材１０２の正方向移動時は高速で行ない、逆方向移動時は低速で行なうことにより、駆動対象物１０６を駆動部材１０２に対して逆方向に移動させることができる（逆方向駆動）。

要するに、圧電素子１０１の伸縮作用で駆動部材１０２を高速と低速の鋸波状に変位させることにより、駆動対象物１０６を移動させるのが圧電アクチュエーター装置１００の動作原理である。

駆動部材１０２を高速と低速の鋸波状に変位させるために、駆動回路１０４には、矩形波のＰＷＭ（Ｐｕｌｓｅ Ｗｉｄｔｈ Ｍｏｄｕｌａｔｉｏｎ）波形の駆動電圧を圧電素子１０１に入力することができるスイッチング回路が用いられる。

図２には、圧電素子１０１にＰＷＭ波形の駆動電圧を入力する駆動回路１０４の構成例を簡略的に示している。図示の駆動回路１０４は、一定電圧を出力する電源２６とスイッチ２１〜２４で構成される。スイッチ２１とスイッチ２４を直列接続した回路とスイッチ２２とスイッチ２３を直列接続した回路が電源２６とグランド間に並列接続され、また、スイッチ２１とスイッチ２２の間に圧電素子１０１が装荷されている。

スイッチ２１とスイッチ２３をオンにするとともに、スイッチ２２とスイッチ２４をオフにすると、図２中＋方向の電圧が圧電素子１０１に印加される。また、スイッチ２１とスイッチ２３をオフにするとともに、スイッチ２２とスイッチ２４をオンにすると、図２中−方向の電圧が圧電素子１０１に印加される。このようなスイッチ２１〜２４のオンオフ動作をある一定の周波数（駆動周波数）で繰り返すことにより、圧電素子１０１への周期的なＰＷＭ電圧の印加を実現することができる。図示しない駆動制御回路がスイッチ２１〜２４のスイッチング動作を制御するものとする。

駆動部１０７（前述）の共振周波数を利用して、図２に示した駆動回路１０４が圧電素子１０１に印加するＰＷＭ電圧波形の駆動周波数を調整することにより、駆動部材１０２の鋸波変位を誘起することができる。このような駆動回路１０４には、以下の利点（ａ）、（ｂ）がある。

（ａ）回路構成が容易で、軽量化、小型化を実現できる。
（ｂ）デューティー比を変更することで、容易に駆動部材１０２（駆動対象物１０６）の速度制御が可能である。

図２に示した駆動回路を用いた圧電アクチュエーター装置１００の駆動原理について、さらに詳細に説明する。

図３には、図２に示す駆動回路１０４を用いた圧電アクチュエーター装置１００の機械モデルを示している。同図には、各物性の定義を併せて記している。ｍ₁は支持部材１０５の質量、ｍ₂は駆動部材１０２の質量、ｍ₃は駆動対象物１０６の質量、ｋは圧電素子１０１のバネ定数、ｃ_vは圧電素子１０１の減衰係数、Ｆは力、Ｎは係合部材１０３の押し当て力、μは駆動部材１０２と係合部材１０３の摩擦係数、したがってμＮは摩擦力である。

図３に示すように、圧電素子１０１は、ばね定数ｋ、減衰係数ｃ_vのばね−ダンパー系と仮定することができる。この場合、駆動部材１０２を支配する運動方程式は下式（１）のようになる。但し、Ｆ₀は圧電素子１０１に係る発生力、ｘ₁₀₂は駆動部材１０２の位置、ａ₁₀₂は駆動部材１０２の加速度、χは摩擦力の符号の条件とする。

また、駆動対象物１０６を支配する運動方程式は下式（２）のようになる。但し、ａ₁₀₆は駆動対象物１０６の加速度とする。

上記の各式（１）、（２）中の摩擦力の符号の条件χは下式（３）に示す通りとする。但し、ｖ₁₀₂は駆動部材１０２の速度、ｖ₁₀₆は駆動対象物１０６の速度とする。

上式（３）に示すように、駆動部材１０２と駆動対象物１０６の速度差に応じた摩擦力が駆動対象物１０６に働く。

図４Ａ（Ａ）には、駆動部材１０２の理想的な鋸波変位を示している。鋸波の変位は、駆動部材１０２が早く動いている時間ｔ_fと、駆動部材１０２がゆっくり動いている時間ｔ_sからなる。また、図４Ａ（Ｂ）、（Ｃ）にはそのときの駆動部材１０２の速度ｖ₁₀₂と駆動対象物１０６に加わる摩擦力μＮをそれぞれ示している。

図４Ａ（Ａ）に示すように、駆動部材１０２が理想的な鋸波で動き出すと、駆動対象物１０６には摩擦力μＮが加わる。駆動部材１０２の速度ｖ₁₀₂よりも駆動対象物の速度ｖ₁₀₆が遅い場合、駆動対象物１０６には駆動部材１０２の速度に追従する方向に摩擦力μＮが加わる。反対に、駆動部材１０２には摩擦力μＮが負荷となる。

駆動部材１０２は図４Ａ（Ａ）に示すように鋸波に変位するので、駆動対象物１０６がある速度まで動くと、次は反対に駆動対象物１０６の速度ｖ₁₀₆が駆動部材１０２の速度ｖ₁₀₂より大きくなるため、摩擦力μＮが加わる方向が逆転する。

このようして駆動部材１０２の鋸波変位が繰り返されると、最終的には、摩擦力μＮによる運動量は保存されるので、１周期の中で摩擦力μＮが＋方向に加わる時間と−方向に加わる時間は同じになる筈である。つまり、１周期で見た場合、上式（２）、（３）より、駆動対象物１０６は、ｖ₁₀₂−ｖ₁₀₆≧０となる時間ｔ１と、ｖ₁₀₂−ｖ₁₀₆＜０となる時間ｔ２が等しくなるように、速度ｖ₁₀₆で等速に（駆動部材１０２の長手方向に）移動することが分かる（図４（Ｂ）を参照のこと）。ｔ１は駆動対象物１０６にプラスの摩擦力が加わっている時間、ｔ２は駆動対象物１０６にマイナスの摩擦力が加わっている時間である。

この考え方は、駆動部材１０２が高速のときと低速のときの両方の期間で駆動対象物１０６（係合部材１０３）が駆動部材１０２に対して滑る理論である。ｔ１とｔ２の時間が等しくなることがない場合には、駆動対象物１０６は駆動部材１０２に固着するようになる。一般的には、両方の時間ｔ１、ｔ２で滑る理論で考えた方が、駆動対象物１０６に大きな加速度ａ₁₀₆を与えることができるので、高い速度ｖ₁₀₆を実現できる。したがって、以下では、両方の時間ｔ１、ｔ２で滑る理論に基づいて説明する。また、もし重力などの負荷が駆動対象物１０６に加わる場合は、上式（２）の左辺にその負荷の項が加わるため、それに伴って運動量が釣り合う速度位置は上下方向にシフトする。

ｔ１とｔ２の時間が等しくなる駆動対象物１０６の速度ｖ₁₀₆をできるだけ大きくするためには、以下の３つの速度向上要因（ａ１）〜（ａ３）が必要である。

（ａ１）駆動部材１０２が早く動いている時間ｔ_fとゆっくり動いている時間ｔ_sの差分をできるだけ大きくする。
（ａ２）時間ｔ_sでの駆動部材１０２の最高速度（ｖ_102,p）をできるだけ大きくする。
（ａ３）時間ｔ_sで、駆動部材１０２が最高速度（ｖ_102,p）近辺となる時間をできるだけ長くする。

時間ｔ_fとｔ_sの差分をできるだけ大きくすれば、その分時間ｔ１とｔ２が一定となる速度ｖ₁₀₆を大きくすることができる。また、時間ｔ_fとｔ_sの差分が大きくても、ｔ_s間での速度が安定しなければ、速度が出ない（言い換えれば、駆動部材１０３の変位は、綺麗な鋸波形であることが好ましい）。

図４Ｂには、駆動部材１０２の変位が理想的な鋸波でない場合の駆動部材１０２の速度波形を例示している。図４Ｂ（Ａ）に示す駆動部材１０２の速度波形の場合、ｔ_s間での最高速度（ｖ_102,p）は高くても、その期間があまりに短い。その結果として、安定点である駆動対象物１０６の速度ｖ₁₀₆は低くなる。また、図４Ｂ（Ｂ）に示す駆動部材１０２の速度波形の場合、時間ｔ_fとｔ_sの差分が大きくても、駆動部材１０２の最高速度（ｖ_102,p）が低い。その結果として、安定点である駆動対象物１０６の速度ｖ₁₀₆は低くなってしまう。

図４Ａ（Ａ）には駆動部材１０２の理想的な鋸波変位を示した。しかしながら、実際の駆動部材１０２は上式（１）に示される振動系である。このため、駆動部材１０２の速度ｖ₁₀₂が一定となるような理想的な鋸波で変位することはない。

図５（Ａ）、（Ｂ）には、ＰＷＭ波形の駆動電圧により圧電素子１０１に発生する力（発生力）Ｆと、実際の駆動部材１０２の変位ｘ₁₀₂と速度ｖ₁₀₂をそれぞれ示している。但し、図５（Ｂ）には、駆動部材１０２と摩擦力で結合された駆動対象物１０６の速度ｖ₁₀₆も併せて示している。図示の例は、上式（１）〜（３）を解き、図２に示した駆動回路１０４を用いた場合の駆動部材１０２の駆動波形を意図的に作成した波形である。圧電素子１０１に矩形波電圧を印加することにより、駆動部材１０２は上式（１）に示すように減衰振動波形を示す。１周期分の振動後、電圧印加を切り換えると、駆動部材１０２は反対方向に動く。このため、図５（Ａ）に示すように、駆動部材１０２は鋸波状の変位を示すことになる。このとき、駆動対象物１０６の速度ｖ₁₀₆を決める時間ｔ_sの速度を見ると、参照番号５０１と５０２で示す２つ山を持つ形状となる。参照番号５０３で示す、この２つ山５０１、５０２の中腹は、図４Ｂ（Ａ）を参照しながら説明した通り、速度の釣り合い位置を下げてしまう。このため、図２に示す駆動回路１０４を用いた圧電アクチュエーター装置１００における駆動対象物１０６の速度ｖ₁₀₆を低下させる要因となる。

圧電アクチュエーター装置１００の速度低下を改善する方法として、例えば、圧電素子１０１に印加する矩形波電圧の駆動周波数を低くして、時間ｔ_sを長くすることが考えられる。しかしながら、図５（Ｂ）で示した腹５０３における速度低下が顕著になり、上述した速度向上要因（ａ２）と（ａ３）に反するため、駆動対象物１０６の速度ｖ₁₀₆は低下する。反対に、この腹５０３における速度低下を抑えるために矩形波電圧の駆動周波数を高くして、山５０１と５０２同士を近づけると、今度は時間ｔ_sが短くなり、上述した速度向上要因（ａ１）に反するため、駆動対象物１０６の速度ｖ₁₀₆は低下する。

また、山５０１と５０２の高さをできるだけ合わせた方が、速度向上要因（ａ３）より、駆動部材１０２の最高速度（ｖ_102,p）を長くすることができるので理想的である。山５０１と５０２の高さは、振動の減衰と摩擦力に依存する。振動の減衰は、圧電素子１０１の物性や駆動部材１０２の質量に依存するため、容易には変更できない。摩擦力による調節は、上式（１）より負荷を増やして振幅を調節することになるので、全体的な振幅が低下し、速度向上要因（ａ２）に反することになるので、効率的でない。

したがって、図２に示す駆動回路１０４を用いた圧電アクチュエーター装置１００では、駆動部材１０２の鋸波の変位をこれ以上最適化することは困難であり、駆動効率の面で課題がある。駆動対象物１０６の高速駆動を実現するためには、圧電素子１０１を大型化し、圧電素子１０１の発生力や変位を上げればよいが、その分消費電力が増える。圧電アクチュエーター装置１００をカメラの撮像レンズや双眼鏡のレンズなど携帯機器における光学系の駆動源として利用する場合、圧電アクチュエーター装置１００や駆動回路１０４の小型化、軽量化、低消費電力化は不可欠である。

このため、圧電アクチュエーター装置１００を大型化せず、駆動部材１０２の最適な鋸波変位を誘起し、高速且つ低消費電力での駆動を実現する技術が求められる。

図６には、他の構成例に係る圧電素子１０１に駆動電圧を入力する駆動回路１０４´を示している。図２に示した駆動回路１０４との相違点は、圧電素子１０１の両端にインダクター２７と抵抗２８を直列に接続している点である。図示しない駆動制御回路がスイッチ２１〜２４のスイッチング動作を制御するものとする。

なお、インダクター２７と抵抗２８は、インダクター素子や抵抗素子などの回路部品である必要はない。例えば、内部インダクタンスや内部抵抗を利用して、インダクター２７と抵抗２８を構成することができる。あるいは、合成インダクタンスや合成抵抗を用いて、図６と等価な回路を構成するようにしてもよい。

図６に示す駆動回路１０４´を用いた場合の、圧電アクチュエーター装置１００の支配方程式について説明する。図７には、図６に示した駆動回路１０４´を用いた圧電アクチュエーター装置７００の機械モデルを、駆動回路１０４´の等価回路とともに示している（但し、図１に示した圧電アクチュエーター装置１００と同一の部材については同一の参照番号で示している）。同図には、各物性の定義を併せて記している。Ｒ₀は抵抗２８の抵抗値、Ｌ₀はインダクター２７のインダクタンス、Ｖ₀は電源２６の印加電圧、Ｖ₁は圧電素子１０１の端子間電圧、ｉ₀は駆動回路１０４´を流れる電流値である。

ここで、近似のために、支持部材１０５は駆動部材１０２に比べて十分に大きいものとし、圧電素子１０１の質量は十分に小さいものとし、圧電素子１０１に加わる発生力は駆動部材１０２に加わるものとする。また、駆動部材１０２は質量ｍ₂の剛体とする。また、図７に示した以外の機械的、電気的負荷は無視する。実際は、他の負荷や駆動部材１０２の弾性変形が存在するため、以下で説明するよりもさらに複雑な系となる点に留意されたい。

圧電素子１０１は、電気⇔機械の相互変換を行なうデバイスである。圧電素子１０１の電気応答と機械応答の関係は、以下の圧電方程式（４）、（５）で支配されることが知られている。但し、Ｓは圧電素子１０１の歪み、ｓ^Eは圧電素子１０１のコンプライアンス、Ｔは圧電素子１０１に発生する（又は印加される）応力、ｄは圧電定数、Ｅは電場とする。また、Ｄは電束密度、ε^Tは圧電素子１０１の誘電率とする。

圧電素子１０１が積層型である場合を考えると、Ｅ、Ｓ、Ｄ、Ｔはそれぞれ下式（６）のように定義することができる。但し、ｑは電荷、Ａ_pは圧電素子１０１の断面積、ｌは圧電素子１０１の１層の厚さとする。

無負荷状態の圧電素子１０１は、圧電定数ｄ［ｍ／Ｖ］に従って変形する。このことから、圧電素子１０１に係る発生力Ｆ₀は下式（７）のように定義することができる。

したがって、上式（４）は、上式（６）、（７）より、下式（８）に示す通りとなる。但し、ｎは圧電素子１０１の積層数、ｌ_pは圧電素子１０１の変位とする。

上式（８）は、圧電素子１０１に電圧を印加した際の発生力Ｆ₀に対して、負荷Ｆを加えたものが実際の圧電素子１０１の変位ｌ_pになるということを意味している。実際の圧電素子１０１は、例えば積層型の場合の電極のない部分などの負荷により、圧電定数ｄから計算される理論値と変位が異なることが多い。この時の定常時での実際の変位ｌ_pを下式（９）のように定義する。

図７に示す圧電アクチュエーター装置７００の過渡応答では、駆動部材１０２の加速度、圧電素子１０１の減衰や駆動対象物１０６との摩擦力は、圧電素子１０１に対して負荷となる。したがって、上式（８）中の力Ｆは下式（１０）のように考えることができる。

上式（１０）より、上式（８）は下式（１１）を導くことができる。ここで、ばね定数ｋと減衰係数ｃ_vは一定値とする。

次に、上記の圧電方程式（４）、（５）を連立させると、下式（１２）に示す通りとなる。

上式（６）を用いて上式（１２）を変形すると、下式（１３）に示す通りとなる。

上式（１３）より、図７（又は図６）に示す駆動回路１０４´の支配方程式（１４）を導出することができる。

ここで、下式（１５）を用いて上式（１１）、（１４）を整理すると、それぞれ下式（１６）、（１７）に示す通りとなる。

さらに、上式（７）、（１６）、（１７）を用いて整理すると、下式（１８）に示すような４階の微分方程式が得られる。

上式（１８）が、図７に示した圧電アクチュエーター装置７００の支配方程式となる。すなわち、圧電素子１０１に印加する駆動電圧Ｖ₀に対する駆動部材１０２の変位ｘが４階の微分方程式（１８）で支配される。後述するように、この支配方程式（１８）から２次振動波形が２つでき、２つの共振点を持つ。２つの共振周波数（ｆ_n1、ｆ_n2）を解析解で求めることができるとともに、実測できる。

また、Ｌ₀＝０、Ｒ₀＝０とした場合、上記の支配方程式（１８）から、上式（１）と同じ式が得られることが分かる。したがって、圧電アクチュエーター装置７００の支配方程式が上記したような（駆動部材１０２の変位ｘの）４階の微分方程式（１８）となり２つの共振現象が出現するのは、インダクター２７と抵抗２８を直列接続した圧電素子１０１に対して駆動電圧を印加するという新規の構成（図６又は図７を参照のこと）によってもたらされるものである。

また、支持部材１０５、圧電素子１０１、駆動部材１０２からなる駆動部１０７についての支配方程式の場合、摩擦力項を考えないので、下式（１９）に示す通りとなる。

以下では、圧電アクチュエーター装置７００の共振周波数を中心に説明する。摩擦力項は、一定値であり、駆動部材１０２の応答の負荷となるため、振幅には影響を及ぼすものの、周波数応答やステップ応答の共振、波形形状には影響を及ぼさないということができる。したがって、以下では、摩擦力項を含まない上式（１９）をベースに説明する。

続いて、図７に示す圧電アクチュエーター装置７００の周波数応答について説明する。

上式（１９）の各係数は物性値を組み合わせた定数であることから、下式（２０）のように一般化する。

上式（２０）をラプラス変換すると、下式（２１）に示す通りとなる。また、その伝達関数Ｐ（ｓ）は下式（２２）で表すことができる。

上式（２２）の分母＝０とする以下の４次方程式（２３）は、フェラーリの法則（周知）により一般解を解くことができる。その一般解を下式（２４）に示す。但し、γ₁、γ₂は４次方程式の実数項、δ₁、δ₂は４次方程式の虚数項とする。

また、ｓの解が上式（２４）ではなく、虚数解をとらない場合は、圧電アクチュエーター装置７００の原理となる共振振動を利用できないこととなるため、効果を表すことができない。

上式（２４）より、上式（２２）で伝達関数Ｐ（ｓ）は、下式（２５）のように変換することができる。但し、ω_n1、ω_n2は本システムの固有円振動数であり、ζ₁、ζ₂は本システムの減衰係数である。

上式（２５）から、圧電アクチュエーター装置７００は２次システムの掛け合わせとなることが分かる。圧電アクチュエーター装置７００の正弦波入力に対する周波数応答は、ゲイン｜Ｐ（ｊω）｜と位相遅れ∠Ｐ（ｊω）によって表すことができる。そのゲインは、下式（２６）、（２７）に示す通りとなる。

したがって、図７に示す圧電アクチュエーター装置７００は、２次システムのゲイン特性を２つ足し合わせた応答となる。（＝ｆ_n1）

図８には、上式（２２）で示した伝達関数の周波数応答の例を示している。同図に示すように、２つの共振周波数ω_n1／２π（＝ｆ_n1）、ω_n2／２π（＝ｆ_n2）を持つ系となることが分かる。これらの共振周波ｆ_n1、ｆ_n2は、上式（２２）に示す伝達関数の分母＝０の４次方程式を解くことで、解析解として導くことができる。

実測では、駆動部１０７のインピーダンス特性を取ることで、この２つの共振周波数を容易に計測することができる。図９には、駆動部１０７のインピーダンス特性の実測値と、上式（２２）より求めた周波数応答計算値との比較を例示している。実測の場合、上記の理論式では考慮していない駆動部材１０２と支持部材１０５の共振特性が影響するので周波数が若干異なるが、インピーダンス特性の極小値が上式（２５）に示すω_n1／２π、ω_n2／２πとほぼ同等となることが分かる。

一方の共振周波数ｆ_n1（但し、ｆ_n1＜ｆ_n2）は、２質点系の共振周波数（√ｋ／ｍ₂）よりも小さくなり、圧電アクチュエーター装置７００の機械的な共振周波数を主とし、それに圧電素子１０１の圧電効果による電気的な影響を受けて周波数が下がる機械共振である。単なる「機械共振」は、圧電アクチュエーター装置７００の駆動部１０７の機械的な共振を主とするものである。この機械共振に、圧電素子１０１の圧電効果によって圧電アクチュエーター装置７００の電気回路の影響を受けた上記の共振現象のことを、以下では「圧電機械共振」と呼ぶことにする。

また、他方の共振周波数ｆ_n2（但し、ｆ_n1＜ｆ_n2）は、ＬＣＲ回路の共振周波数（√１／Ｌ₀Ｃ₀）よりも大きくなり、電気的な共振周波数を主とし、それに圧電素子１０１の圧電効果による機械的な影響を受けて周波数が上がる電気共振である。但し、Ｌ₀は駆動回路１０４´で圧電素子１０１に直列接続されたインダクター２７のインダクタンスである、Ｃ₀は圧電素子１０１の物性値から計算される静電容量のことを指している。単なる「電気共振」は、圧電アクチュエーター装置７００の電気回路での共振を主とするものである。この電気共振に、圧電素子１０１の圧電効果によって生じる圧電アクチュエーター装置７００（駆動部１０７）の機械振動の影響を受けた上記の共振現象のことを、以下では「圧電電気共振」と呼ぶことにする。

図７に示した圧電アクチュエーター装置７００では、矩形波電圧が圧電素子１０１に印加されると、上記の機械共振と電気共振が相互に関連した共振現象を利用して駆動部材１０２を変位させる。

各固有円振動数ω_n1、ω_n2は、それぞれｋ、ｃ_v、ｍ₂、Ｌ₀、Ｃ₀、Ｒ₀の関数であり、これらのうちどの物性値が変化しても、変化する値である。このように、図７に示す圧電アクチュエーター装置７００は、圧電効果により電気共振と機械共振が相互に関連した装置であるということができる。このような相互作用的な共振現象は、インダクター２７と抵抗２８を直列接続した圧電素子１０１に対して駆動電圧を印加するという新規の構成（図６又は図７を参照のこと）によってもたらされるものである。

続いて、図７に示す圧電アクチュエーター装置７００の応答について説明する。

実際に圧電素子１０１に形波電圧を印加した際の、駆動部材１０２の応答について考える。上式（２０）より、ｘ＝ｅ^λtとおくと、下式（２８）に示す通りとなる。但し、λは微分方程式の特性解である。この場合の特性方程式は下式（２９）である。

上式（２９）は上式（２３）と同じなので、その解は下式（３０）に示す通りとなる。

したがって、上式（２８）の一般解は下式（３１）になる。但し、Ｃ_s、Ｄ_s、Ｅ_s、Ｆ_sは微分方程式の一般解の係数である。

上式（３０）が虚数解とならない場合は、圧電アクチュエーター装置７００の原理となる共振振動を利用できないこととなるため、効果を表すことができない。

矩形波駆動を考えた場合は、初期条件を下式（３２）のように設定すればよい。

よって、上式（３１）中の微分方程式の一般解の係数Ｃ_s、Ｄ_s、Ｅ_s、Ｆ_sは、下式（３３）、（３４）のように導出することができる

したがって、上式（３１）で示した矩形波応答は下式（３５）に示す通りとなる。

上式（３５）を下式（３６）のようにも表すことができる。但し、ψ₁、ψ₂は微分方程式ｘの振動振幅、φ₁、φ₂は微分方程式の振動位相、ν₁、ν₂は微分方程式の位相条件であり、それぞれ下式（３７）に示す通りとなる。

上式（３６）の右辺第１項は圧電機械共振を表し、第２項は圧電電気共振を表す。

また、上式（３６）を微分すると、速度ｖは下式（３８）に示す通りとなる。但し、ψ₃、ψ₄は微分方程式ｖの振動振幅、φ₃、φ₄は微分方程式ｖの振動位相、ν₃、ν₄は微分方程式ｖの位相条件であり、それぞれ下式（３９）に示す通りとなる。

図１０（Ａ）には、上式（３６）より得られる圧電アクチュエーター装置７００（図７を参照のこと）のステップ応答（駆動部材１０２の変位）を示している。但し、各定数の値を、ｋ＝５０００００００［Ｎ／ｍ］、ｃ_v＝２［Ｎ・ｓ／ｍ］、ｍ₂＝８×１０^-4［ｋｇ］、Ｒ₀＝５［Ω］、Ｌ₀＝４０［μＨ］、Ａ＝３．５、Ｂ＝３×１０^-7とする。

図１０（Ｂ）には、上式（３６）の右辺第１項を第１の成分、第２項を第２の成分とし、駆動部材１０２の変位を第１の成分と第２の成分に分けて、それぞれの成分の減衰とともに示している。第１の成分は、圧電機械共振の振動に相当し、大きな主振動を有する。第２の成分は、圧電電気共振の振動に相当し、小さい振動である。圧電機械共振の共振周波数ｆ_n1は２８．６ｋＨｚ、圧電電気共振の共振周波数ｆ_n2は６３．９ｋＨｚである。そして、第１の成分と第２の成分、すなわち圧電機械共振の振動と圧電電気共振の振動を足し合わせたものが、図１０（Ａ）に示す、圧電アクチュエーター装置７００としての（すなわち、駆動部材１０２の）ステップ応答となる。

また、上式（３８）より、圧電アクチュエーター装置７００（駆動部材１０２）の速度も、同様に、２つの振動の重ね合わせになる。この振動の角周波数は、位置、速度ともにδ₁、δ₂となる。δ₁、δ₂は、上式（２５）より、下式（４０）である。したがって、減衰比ζが小さければ、それぞれ固有円振動数ω_n1、ω_n2とほぼ等しくなる。

また、上式（３６）より、ＰＷＭの印加電圧の切り替えタイミングでの位置、速度、加速度、加加速度から次の応答を計算し、さらにＰＷＭの切り替えによる応答を計算していけば、ＰＷＭ駆動時の応答を解析解として導くことができる。

また、上述した駆動部材１０２の支配方程式（１８）で摩擦力項を考慮した場合、上式（３２）の初期条件を下式（４１）とおけば、摩擦力項を考慮した場合でも一般解を導出することができる。

図１１（Ａ）、（Ｂ）には、図６に示した駆動回路１０４´を利用した場合の圧電アクチュエーター装置７００における駆動部材１０２の位置及び速度の波形をそれぞれ示している。図１１に示す波形は、上式（３６）、（３８）から得られる圧電アクチュエーター装置７００の応答波形の解析解である。図１１（Ｂ）では、第１の成分と第２の成分の速度を足し合わせたものが、駆動部材１２０の速度となる。また、図１２（Ａ）、（Ｂ）には、図１１との比較として、図２に示した駆動回路１０４を利用した場合の圧電アクチュエーター装置７００における駆動部材１０２の位置及び速度の波形をそれぞれ示している。図１２に示す波形は、上式（１）から得られる圧電アクチュエーター装置７００の応答波形の解析解である。摩擦力項は考慮していない。各図ともに、ＰＷＭ駆動周波数とデューティー比は各条件で最適となるように調整しており、横軸は１周期分で正規化している。但し、各定数の値を、ｋ＝２０００００００［Ｎ／ｍ］、ｃ_v＝８［Ｎ・ｓ／ｍ］、ｍ₂＝１×１０^-4［ｋｇ］、Ｒ₀＝４．５［Ω］、Ｌ₀＝３１［μＨ］、Ａ＝１．３、Ｂ＝８×１０^-8とする。

図１２（Ｂ）を参照すると、前述したように、駆動対象物１０６の速度を決めるｔ_s間の速度は、参照番号１２０１、１２０２で示すように２つの山からなる波形形状となる。図１２（Ｂ）に示す例では、山１２０１と山１２０２の高さも合っていないので、速度低下要因となる。前述したように、図２に示す駆動回路１０４を用いた場合、２つの山の高さを調整するのは難しい。

これに対し、図１１（Ｂ）を参照すると、図６に示した駆動回路１０４´を用いた圧電アクチュエーター装置７００では、下記（ｂ１）、（ｂ２）を実現している。

（ｂ１）２つの山１１０１、１１０２の高さが同じである。
（ｂ２）ｔ_s間で高速を維持する時間が長い。

図１１（Ｂ）と図１２（Ｂ）に示した各波形を比較すると、速度が釣り合う位置である駆動対象物１０６の速度は、図１１の方が約２倍も速くなっていることが分かる。また、図１１（Ａ）と図１２（Ａ）で駆動部材１０２の位置の変化（変位）を比較すると、図１１（Ａ）の方が、急峻な変位（ｔ_f間）と緩やかな変位（ｔ_s間）がともにほぼ一定速度（傾きの変化が小さい）であり、明らかに鋸波に近い波形を示している。上記の２点（ｂ１）、（ｂ２）は、圧電素子１０１を図６に示した駆動回路１０４´を用いて駆動することに依拠する。この理由について、以下で説明する。

（ｂ１）２つの山の高さが同じであることについて
図７に示す圧電アクチュエーター装置７００の応答の減衰は、上式（２５）で示される減衰比ζ₁、ζ₂によって決めることができる。これらの減衰比ζ₁、ζ₂は、ともにｋ、ｃ_v、ｍ₂、Ｌ₀、Ｃ₀、Ｒ₀の関数であることが上式（１９）より分かる。したがって、図７に示す圧電アクチュエーター装置７００では、主振動である圧電機械共振の振動に関しても、圧電素子１０１の減衰係数ｃ_vだけでなく、圧電素子１０１に直列に接続されたインダクタンスＬ₀と抵抗Ｒ₀によって調整することが可能となる。よって、インダクタンスＬ₀と抵抗Ｒ₀の各値を調整するだけで、図１１（Ｂ）に示したように２つの山１１０１、１１０２の高さを同じにすることが容易であり、駆動対象物１０６の高速化を実現することができる。

（ｂ２）ｔ_s間で高速を維持する時間が長いことについて
前述したように、上式（３６）、（３８）から、図７に示す圧電アクチュエーター装置７００の位置及び速度の応答は、２つの振動波形の重ね合わせとなる。図１１（Ｂ）では、第１の成分と第２の成分の成分毎の速度も示した。第１の成分は角周波数δ₁を持つ圧電機械共振の振動であり、第２の成分は角周波数δ₂を持つ圧電電気共振の振動である。圧電機械共振に関する第１の成分のみを見れば、図１２（Ｂ）（若しくは図５（ｂ））と同様に２つの山１１１１、１１１２を持つ波形となり、これではｔ_s間で駆動部材１０２の高速を維持することができず、結果として駆動対象物１０６の速度を上げることができない。これに対し、図１１（Ｂ）に示す例では、圧電電気共振に関する第２の成分が存在する。この第２の成分は、第１の成分の２番目の山１１１２以降の速度低下を相殺する方向に振動が働いて、速度低下をキャンセルするという効果がある。その結果として、ｔ_s間で駆動部材１０２の高速を維持することができるので、その分だけ駆動対象物１０６の速度を上げることができる。

つまり、図７に示す圧電アクチュエーター装置７００は、上式（３６）、（３８）により成り立つ圧電機械共振と圧電電気共振の２つの振動が重ね合わさった駆動部材１０２の応答を利用するものである。すなわち、図７に示す圧電アクチュエーター装置７００は、駆動回路１０４´に組み込んだインダクタンスＬ₀と抵抗Ｒ₀の各値を調整することで、圧電機械共振と圧電電気共振の各振動の減衰比、振幅、共振周波数をコントロールすることができる。したがって、上記２点（ｂ１）、（ｂ２）の理由により、インダクタンスＬ₀と抵抗Ｒ₀の各値を調整して圧電機械共振と圧電電気共振の各振動の減衰比、振幅、共振周波数を適正にすることで、（図２に示した駆動回路１０４を用いた場合よりも）鋸波により近い駆動部材１０２の応答を誘起して、駆動対象物１０６の高速化を実現することができる。

電気と機械が相互に作用する圧電効果を利用した圧電機械共振と圧電電気共振という２つの共振現象を利用できれば、駆動回路１０４´は図６に示した構成に限定されない。基本的には、圧電素子１０１に対してインダクター２７が直列に接続されている必要がある。抵抗２８を直列しなくても、圧電電気共振を利用することができる。

ちなみに、圧電素子１０１に直列接続するインダクターと抵抗を並列接続すると、支配方程式は４階ではなく３階の微分方程式となり、２つの共振現象が現れないので、図１１（Ｂ）に示したような効果を得ることはできなくなる。また、圧電素子１０１に対してインダクター又は抵抗のいずれかを並列接続すると、電圧が適切に分配されないので、所望する効果を得ることはできない。これらの駆動回路１０４の変形例については、効果が得られないことを確認済みである。

図７に示す圧電アクチュエーター装置７００においても、インダクタンスＬ₀と抵抗Ｒ₀の各値の設定によっては、高速化を実現できない場合がある。そこで、以下では、高速化を実現できない悪い例を挙げて、インダクタンスＬ₀と抵抗Ｒ₀の各値の設定方法について示す。

悪い例として、下記の２点（ｃ１）、（ｃ２）が挙げられる。

（ｃ１）圧電電気共振成分の周波数が合わず、圧電機械共振成分の速度低下をキャンセルできない。
（ｃ２）圧電電気共振成分の振幅が大き過ぎるため、その影響で速度低下が発生する。

（ｃ１）圧電電気共振成分の周波数が合わず、圧電機械共振成分の速度低下をキャンセルできないことについて
図１３（Ａ）、（Ｂ）には、圧電電気共振成分の周波数が合わないために、圧電機械共振成分の速度低下をキャンセルできない場合の駆動部材１０２の位置及び速度の波形をそれぞれ示している。但し、各定数の値を、ｋ＝２０００００００［Ｎ／ｍ］、ｃ_v＝８［Ｎ・ｓ／ｍ］、ｍ₂＝１×１０^-4［ｋｇ］、Ｒ₀＝７［Ω］、Ｌ₀＝３１［μＨ］、Ａ＝１．３、Ｂ＝８×１０^-8とする。また、矩形波駆動電圧Ｖ₀の駆動周波数を５３．１［ｋＨｚ］、そのデューティー比を０．６７とする。この場合の圧電機械共振（第１の成分）の共振周波数ｆ_n1は６７．２［ｋＨｚ］、圧電電気共振（第２の成分）の共振周波数ｆ_n2は２２５．４［ｋＨｚ］となる。図１３に示すように、駆動部材１０２の速度の圧電機械共振成分（第１の成分）は２つの山１３０１、１３０２を持つ波形となるが、圧電電気共振成分（第２の成分）は圧電機械共振（第１の成分）の山１３０２の波形による速度低下をキャンセルせず、反対に速度低下を促進する方向に働いている。したがって、図１１（Ｂ）に示したような圧電電気共振成分で速度低下をキャンセルするという効果を発揮することができない。

これは、圧電機械共振と圧電電気共振のそれぞれの振動数δ₁、δ₂の関係（減衰比が小さい場合はそれぞれの固有円振動数ω_n1、ω_n2の関係）に依拠する。図１３に示す例では、ω_n1／ω_n2＝３．３程度であり、これでは圧電機械共振振動と圧電電気共振振動がうまく重なり合わない。つまり、ω_n1／ω_n2＝１．５〜３程度にしておかなければ、圧電機械共振の速度低下を圧電電気共振でキャンセルすることはできない。

（ｃ２）圧電電気共振成分の振幅が大き過ぎるため、その影響で速度低下が発生することについて
図１４（Ａ）、（Ｂ）には、圧電電気共振成分の振幅が大き過ぎるため、その影響で速度低下が発生する場合の駆動部材１０２の位置及び速度の波形をそれぞれ示している。但し、各定数の値を、ｋ＝２０００００００［Ｎ／ｍ］、ｃ_v＝８［Ｎ・ｓ／ｍ］、ｍ₂＝１×１０^-4［ｋｇ］、Ｒ₀＝５［Ω］、Ｌ₀＝３０［μＨ］、Ａ＝１．３、Ｂ＝８×１０^-8とする。また、矩形波駆動電圧Ｖ₀の駆動周波数を４３［ｋＨｚ］、そのデューティー比を０．７１とする。この場合の圧電機械共振（第１の成分）の共振周波数ｆ_n1は５４．６［ｋＨｚ］、圧電電気共振（第２の成分）の共振周波数ｆ_n2は１３３．９［ｋＨｚ］となる。図１４に示すように、圧電電気共振成分（第２の成分）の振幅が大きくなっている。この場合の圧電電気共振成分（第２の成分）の波形では、圧電機械共振（第１の成分）の２つの山を持つ波形の速度低下をキャンセルすることはできているものの、参照番号１４０１で示す、圧電電気共振成分（第２の成分）が持つ腹の低下が顕著となる。その結果として、駆動部材１０２の高速を維持することができず、駆動対象物１０６の速度は悪化する。

要するに、図１１に示したような圧電電気共振成分で速度低下をキャンセルするという効果を発揮するためには、圧電機械共振と圧電電気共振の周波数と振幅を適切に調整する必要がある。

ここで、圧電素子１０１に印加する矩形波駆動電圧Ｖ₀の駆動周波数の設定について説明する。

図１５（Ａ）、（Ｂ）には、図７に示した圧電アクチュエーター装置７００（駆動部材１０２）のステップ応答と速度を圧電機械共振振動と圧電電気共振振動に成分分解した例をそれぞれ示している。但し、初速度、初加速度、初加加速度が０とする。また、各定数の値を、ｋ＝５０００００００［Ｎ／ｍ］、ｃ_v＝２［Ｎ・ｓ／ｍ］、ｍ₂＝８×１０^-4［ｋｇ］、Ｒ₀＝５［Ω］、Ｌ₀＝２８［μＨ］、Ａ＝３．５、Ｂ＝３×１０^-7とする。また、この場合の圧電機械共振（第１の成分）の共振周波数ｆ_n1は３１．１［ｋＨｚ］、圧電電気共振（第２の成分）の共振周波数ｆ_n2は６８．０［ｋＨｚ］である。

前述の通り、第１の成分（圧電機械共振）が主振動で、第２の成分（圧電電気共振）が第１の成分を補助する振動として利用するため、第１の成分に着目する。

第２の成分が第１の成分を補助するという効果を発揮するためには、図１１に示すように、山１１０１、１１０２の２つの山を持つ波形にすることで、時間ｔ_sを長くすることができる。このため、２つ山１１０１、１１０２のタイミングに同期して駆動電圧Ｖ₀の切り替えを行なう必要がある。また、反対の駆動電圧Ｖ₀の切り替えは、駆動部材１０２の理想に近い鋸波変位を実現するためには、速度分布ができるだけ線形的に切り替わるように、速度０付近での切り替えが最適と考えられる。

第１の成分の１回目のＭＡＸ値の時間ｔ_pmaxと１回目のＭＩＮ値の時間ｔ_pminはそれぞれ下式（４２）に示す通りとなる。

このとき、第１の成分の減衰比ζ₁が小さく、初速度、初加速度、初加加速度が０ならば、上式（２５）より、下式（４３）が言える。

一般には、実際のＰＷＭ応答は初速度、初加速度、初加加速度が０ではないため、その位相をφ_sとおけば、第１の成分の１回目のＭＡＸ値の時間ｔ_pmaxと１回目のＭＩＮ値の時間ｔ_pminはそれぞれ下式（４４）で近似される。

同様に、速度についても、第１の成分の減衰比ζ₁が小さければ、第１の成分の１回目のＭＡＸ値の時間ｔ_pmaxと１回目のＭＩＮ値の時間ｔ_pminは、それぞれ下式（４５）で近似される。

図１１に示したような圧電電気共振成分で速度低下をキャンセルするという効果を発揮するためには、前述の通り、第１の成分は２つの山を持つ波形にする必要がある。したがって、ＰＷＭで駆動電圧Ｖ₀を長い時間加える方の電圧（長時間電圧）の切り替えタイミングは、（駆動部材１０２の）速度のＭＩＮ値を超えて、且つ、速度がマイナスの間とするべきである。要するにｔ_vminからｔ_pminの幅で長時間電圧を切り替えるべきである。このとき、電圧の切り替えタイミングでの速度はマイナスであるので、短時間電圧の位相φ_sはマイナスとなる。

ＰＷＭで駆動電圧Ｖ₀を短い時間加える方の電圧（短時間電圧）は、図１５で速度が下降している位置で切り替えることができれば、前述のように、速度分布ができるだけ線形的に切り替えられる。したがって、短時間電圧の切り替えタイミングはｔ_vmax〜ｔ_vminで、できるだけ速度が０になるように設定すればよい。この切り替えタイミングで短時間電圧を与えれば、次の長時間電圧での位相φ_sはプラスにもマイナスにもなりうるが、速度０近辺のため短時間電圧の位相φ_sは小さいと考えられる。したがって、位相φ_sを考慮すれば、ＰＷＭ印加電圧Ｖ₀の長時間電圧と短時間電圧は、それぞれ下式（４６）、（４７）のように設定すればよいと言える。

したがって、ＰＷＭ印加電圧Ｖ₀の周期Ｔ_d、駆動周波数ｆ_dはそれぞれ下式（４８）、（４９）に示す通りとなる。

上式（４９）から、ＰＷＭ印加電圧Ｖ₀の駆動周波数ｆ_dは、圧電機械共振の共振周波数ｆ_n1の１／１．５〜１倍に設定すればよいことが分かる。

続いて、圧電電気共振周波数の設定について説明する。

図７に示した圧電アクチュエーター装置７００を高速化できない悪い例（ｃ１）、（ｃ２）を挙げて、上記で説明した通り、圧電電気共振周波数は、主振動である圧電機械共振の速度低下をキャンセルさせることができ、且つ、その振幅は圧電機械共振よりも十分に小さくする必要がある。

図１６（Ａ）には、インダクター２７のインダクタンスＬ₀による圧電機械共振周波数と圧電電気共振周波数を示している。また、図１６（Ｂ）には圧電機械共振周波数と圧電電気共振周波数の比を示している。

図１６（Ａ）に示すように、圧電機械共振周波数ｆ_n1は、インダクタンスを上げるとどこまでも周波数が低下していく。これに対し、圧電電気共振周波数ｆ_n2は、途中である値に漸近していくことが分かる。圧電機械共振周波数と圧電電気共振周波数の比でみると、図１６（Ｂ）に示すように、ある点で最小を取り、その後は上昇していくことが分かる。図１１に示したような圧電電気共振成分で速度低下をキャンセルするという効果を発揮するためには、圧電電気共振周波数ｆ_n2と圧電機械共振周波数ｆ_n1の関係は、前述の通り、両周波数の割合ｆ_n1／ｆ_n2は１．５〜３倍程度が望ましい。

続いて、圧電機械共振と圧電電気共振の振幅の関係について説明する。

圧電電気共振振動は、圧電機械共振振動に大きな影響を与えない必要がある。したがって、圧電機械共振の振幅ψ₁は、圧電電気共振の振幅ψ₂よりも十分に大きい必要がある。

圧電機械共振と圧電電気共振それぞれの振幅ψ₁、ψ₂は、圧電素子１０１への入力であるＰＷＭ電圧との共振に関係がある。図１７には、ＰＷＭ電圧のフーリエ変換の結果を示している。同図中の横軸は長時間電圧のデューティー比であり、０．６〜０．８で確認している。また、縦軸はフーリエ変換の測定周波数／駆動周波数＝１で正規化している。図１７に示すように、デューティーが３分の２のときは、測定周波数が駆動周波数の３倍のフーリエ変換の振幅が０になることが分かる。また、デューティーが４分の３のときは、測定周波数が４駆動周波数の倍のフーリエ変換の振幅が０になることが分かる。つまり、短時間電圧の周期を持つ周波数は振幅を持たないことが分かる。また、駆動周波数の整数倍以外の駆動周波数では振幅を持たない。

図１８には、デューティー比と圧電機械共振の振幅ψ₁と圧電電気共振の振幅ψ₂の比、周波数の関係を示している。圧電電気共振周波数／駆動周波数＝３では、図１７に示したようにフーリエ変換で振幅を持つ周波数である。図１８に示すように、圧電電気共振成分の振幅は圧電電気共振周波数／駆動周波数＝３でψ₂／ψ₁のピークを持っており、その大きさは図１７に示したフーリエ変換の振幅と相関がある。また、デューティー比が３分の２では、フーリエ変換の振幅が０のため、図１８では圧電電気共振周波数／駆動周波数＝３の位置で振幅の上昇がないことが分かる。

したがって、圧電電気共振振動の振幅を抑えるためには、ＰＷＭ駆動電圧と圧電電気共振振動の共振は避けるべきである。

以上を要約すると、圧電機械共振周波数／駆動周波数＝１〜１．５と、圧電電気共振周波数／圧電機械共振周波数＝１．５〜３より、圧電電気共振周波数／駆動周波数＝１．５〜４．５の範囲に設定するとよいと考えられる。また、この範囲の中で、ＰＷＭ駆動電圧のフーリエ変換で振幅を持つ周波数に圧電電気共振周波数を近づけないことが、図１１に示したような圧電電気共振成分で速度低下をキャンセルするという効果を発揮する上での範囲となる。

本明細書で開示する上記技術を図７に示した圧電アクチュエーター装置７００に実際に適用する際は、インピーダンス波形の取得により、圧電機械共振周波数及び圧電電気共振周波数を観測し、上記の範囲に入るようにインダクター２７のインダクタンスＬ₀と、抵抗２８の抵抗値Ｒ₀を調整すればよい。

さらに、もし圧電素子１０１の物性などがすべて明らかな場合は、上式（２５）、（３６）、（３８）より共振周波数やＰＷＭ応答の解析解を導出し、圧電機械共振成分の減衰比が０．１〜０．１５程度で、駆動部材１０２のピーク速度が高くなるように最適化すれば、より厳密にインダクタンスＬ₀と抵抗値Ｒ₀の最適解を導くことが可能である。さらに摩擦力項を考慮すれば、被駆動部材の厳密な速度も含めたさらなる厳密解を得ることができる。

要するに、図７に示した圧電アクチュエーター装置７００によれば、圧電素子１０１に対して直列に接続したインダクター２７のインダクタンス値Ｌ₀や抵抗２８の抵抗値Ｒ₀を変更するだけで、駆動部材１０２の変位を最適な鋸波に誘起することができる。そして、駆動部材１０２が最適な鋸波で変位することで、所定の摩擦力で結合する駆動対象物１０６を高速に移動させることができる。

図７に示した圧電アクチュエーター装置７００は、図２に示したようなスイッチング回路２１〜２４からなる駆動回路１０４に対して、図６に示すようにインダクター２７と抵抗２８を圧電素子１０１に直列に挿入するだけで実現することができる。すなわち、図６に示す駆動回路１０４´の実装が容易であり、圧電アクチュエーター装置７００の小型化、軽量化に貢献することができる。

また、図７に示した圧電アクチュエーター装置７００によれば、圧電素子１０１の形状を変えずに駆動対象物１０６の高速化を実現することができるので、圧電アクチュエーター装置７００の小型化、軽量化を実現することができる。

以上、特定の実施形態を参照しながら、本明細書で開示する技術について詳細に説明してきた。しかしながら、本明細書で開示する技術の要旨を逸脱しない範囲で当業者が該実施形態の修正や代用を成し得ることは自明である。

本明細書で開示する技術に係る圧電アクチュエーター装置は、例えばカメラの撮影レンズ位置の調節、オーバー・ヘッド・プロジェクターの投影レンズ位置の調節、双眼鏡（若しくは望遠鏡、顕微鏡）のレンズ位置の調節、ＸＹ移動ステージの移動などに利用することができる。

要するに、例示という形態により本明細書で開示する技術について説明してきたのであり、本明細書の記載内容を限定的に解釈するべきではない。本明細書で開示する技術の要旨を判断するためには、特許請求の範囲を参酌すべきである。

なお、本明細書の開示の技術は、以下のような構成をとることも可能である。
（１）圧電素子とインダクターと電気抵抗を直列に接続した直列接続体と、
前記直列接続体に対して矩形波の駆動電圧を印加する駆動回路と、
前記圧電素子によって駆動され、所定の摩擦力で駆動対象物を結合する駆動部材と、
を具備する圧電アクチュエーター装置。
（２）前記圧電素子の圧電効果によって、前記駆動電圧に対する前記駆動部材の変位が４階の微分方程式で支配され、前記４階の微分方程式から導出される第１の共振現象及び第２の共振現象を利用して駆動する、
上記（１）に記載の圧電アクチュエーター装置。
（３）前記第１の共振現象は、前記圧電素子による駆動に対して、前記圧電アクチュエーター装置の機械的な共振を主としつつ前記圧電素子の圧電効果による前記直列接続体の電気的な影響を受ける圧電機械共振であり、前記第２の共振は、電気的な共振を主としつつ前記圧電素子の圧電効果による前記駆動部材の機械振動の影響を受ける圧電電気共振である、
上記（２）に記載の圧電アクチュエーター装置。
（４）前記第１の共振現象は、前記圧電素子の物性値から決定される等価のばね定数と前記駆動部材の質量に基づいて規定される２質点系の機械的な共振周波数を主としつつ前記圧電素子の圧電効果による電気的な影響を受けて下がる共振周波数を持ち、
前記第２の共振現象は、前記インダクターと前記電気抵抗と前記圧電素子の物性値から決定される静電容量に基づいて規定されるＬＣＲ回路の電気的な共振周波数を主としつつ前記圧電素子の圧電効果による機械的な影響を受けて上がる共振周波数を持つ、
上記（２）又は（３）のいずれかに記載の圧電アクチュエーター装置。
（５）前記第１の共振現象及び前記第２の共振現象の共振周波数と共振振動の減衰比が所望する値となるように、前記インダクターのインダクタンス値と電気抵抗の抵抗値を決定する、
上記（１）乃至（４）のいずれかに記載の圧電アクチュエーター装置。
（６）所望する前記第１の共振現象並びに前記第２の共振現象が得られたときの、前記圧電素子と前記駆動部材と前記駆動対象物を含む駆動部のインピーダンス特性の実測値に基づいて、前記インダクターのインダクタンス値と電気抵抗の抵抗値を決定する、
上記（１）乃至（５）のいずれかに記載の圧電アクチュエーター装置。
（７）前記圧電機械共振振動と前記圧電電気共振振動の重ね合わせにより、前記矩形波の駆動電圧の印加に対する前記駆動部材の所望な鋸波変位を誘起するように、前記圧電機械共振振動と前記圧電電気共振振動をそれぞれ所望の共振周波数にするための前記インダクターのインダクタンス値と前記電気抵抗の抵抗値を決定する、
上記（３）に記載の圧電アクチュエーター装置。
（８）前記圧電機械共振振動の共振周波数と前記圧電電気共振振動の共振周波数の比が１．５乃至３の範囲である、
上記（３）又は（７）のいずれかに記載の圧電アクチュエーター装置。
（９）前記圧電機械共振振動の共振周波数と前記矩形波駆動電圧の駆動周波数の比が１乃至１．５の範囲である、
上記（３）又は（７）のいずれかに記載の圧電アクチュエーター装置。
（１０）前記圧電電気共振振動の共振周波数と前記矩形波駆動電圧の駆動周波数の比が１．５乃至４．５の範囲である、
上記（３）、７乃至９のいずれかに記載の圧電アクチュエーター装置。
（１１）圧電素子とインダクターと電気抵抗を直列に接続した直列接続体に矩形波の駆動電圧を印加して、所定の摩擦力で駆動対象物を結合する駆動部材を前記圧電素子によって駆動する圧電アクチュエーター装置の制御方法であって、
前記圧電素子の圧電効果によって、前記駆動電圧に対する前記駆動部材の変位が４階の微分方程式で支配され、
前記４階の微分方程式から導出される２つの共振現象のうち一方の共振周波数に基づいて前記駆動電圧の矩形波の駆動周波数を制御する制御ステップを有する制御方法。
（１２）前記制御ステップでは、前記矩形波の駆動周波数と前記４階の微分方程式から導出される２つの共振現象の他方の共振振動の共振を避ける、
上記（１１）に記載の制御方法。

１００、７００…圧電アクチュエーター装置、１０１…圧電素子
１０２…駆動部材、１０３…係合部材、１０４、１０４´…駆動回路
１０５…支持部材、１０６…駆動対象物

Claims (12)

1. 圧電素子とインダクターと電気抵抗を直列に接続した直列接続体と、
   前記直列接続体に対して矩形波の駆動電圧を印加する駆動回路と、
   前記圧電素子によって駆動され、所定の摩擦力で駆動対象物を結合する駆動部材と、
   を具備する圧電アクチュエーター装置。
2. 前記圧電素子の圧電効果によって、前記駆動電圧に対する前記駆動部材の変位が４階の微分方程式で支配され、前記４階の微分方程式から導出される第１の共振現象及び第２の共振現象を利用して駆動する、
   請求項１に記載の圧電アクチュエーター装置。
3. 前記第１の共振現象は、前記圧電素子による駆動に対して、前記圧電アクチュエーター装置の機械的な共振を主としつつ前記圧電素子の圧電効果による前記直列接続体の電気的な影響を受ける圧電機械共振であり、前記第２の共振は、電気的な共振を主としつつ前記圧電素子の圧電効果による前記駆動部材の機械振動の影響を受ける圧電電気共振である、
   請求項２に記載の圧電アクチュエーター装置。
4. 前記第１の共振現象は、前記圧電素子の物性値から決定される等価のばね定数と前記駆動部材の質量に基づいて規定される２質点系の機械的な共振周波数を主としつつ前記圧電素子の圧電効果による電気的な影響を受けて下がる共振周波数を持ち、
   前記第２の共振現象は、前記インダクターと前記電気抵抗と前記圧電素子の物性値から決定される静電容量に基づいて規定されるＬＣＲ回路の電気的な共振周波数を主としつつ前記圧電素子の圧電効果による機械的な影響を受けて上がる共振周波数を持つ、
   請求項２又は３のいずれかに記載の圧電アクチュエーター装置。
5. 前記第１の共振現象及び前記第２の共振現象の共振周波数と共振振動の減衰比が所望する値となるように、前記インダクターのインダクタンス値と電気抵抗の抵抗値を決定する、
   請求項１乃至４のいずれかに記載の圧電アクチュエーター装置。
6. 所望する前記第１の共振現象並びに前記第２の共振現象が得られたときの、前記圧電素子と前記駆動部材と前記駆動対象物を含む駆動部のインピーダンス特性の実測値に基づいて、前記インダクターのインダクタンス値と電気抵抗の抵抗値を決定する、
   請求項１乃至５のいずれかに記載の圧電アクチュエーター装置。
7. 前記圧電機械共振振動と前記圧電電気共振振動の重ね合わせにより、前記矩形波の駆動電圧の印加に対する前記駆動部材の所望な鋸波変位を誘起するように、前記圧電機械共振振動と前記圧電電気共振振動をそれぞれ所望の共振周波数にするための前記インダクターのインダクタンス値と前記電気抵抗の抵抗値を決定する、
   請求項３に記載の圧電アクチュエーター装置。
8. 前記圧電機械共振振動の共振周波数と前記圧電電気共振振動の共振周波数の比が１．５乃至３の範囲である、
   請求項３又は７のいずれかに記載の圧電アクチュエーター装置。
9. 前記圧電機械共振振動の共振周波数と前記矩形波駆動電圧の駆動周波数の比が１乃至１．５の範囲である、
   請求項３又は７のいずれかに記載の圧電アクチュエーター装置。
10. 前記圧電電気共振振動の共振周波数と前記矩形波駆動電圧の駆動周波数の比が１．５乃至４．５の範囲である、
    請求項３、７乃至９のいずれかに記載の圧電アクチュエーター装置。
11. 圧電素子とインダクターと電気抵抗を直列に接続した直列接続体に矩形波の駆動電圧を印加して、所定の摩擦力で駆動対象物を結合する駆動部材を前記圧電素子によって駆動する圧電アクチュエーター装置の制御方法であって、
    前記圧電素子の圧電効果によって、前記駆動電圧に対する前記駆動部材の変位が４階の微分方程式で支配され、
    前記４階の微分方程式から導出される２つの共振現象のうち主となる一方の共振周波数に基づいて前記駆動電圧の矩形波の駆動周波数を制御する制御ステップを有する制御方法。
12. 前記制御ステップでは、前記矩形波の駆動周波数と前記４階の微分方程式から導出される２つの共振現象の他方の共振振動の共振を避ける、
    請求項１１に記載の制御方法。