JP2014219789A - 曲面描画装置および曲面描画用プログラム - Google Patents
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Abstract
Description
x(ζ)=x0+(d−c)ζ+cζ2・・・(1)
ここに、xは曲線の線上点を表す位置ベクトル、dは始点から終点に向かう差ベクトル(d=x1−x0)である。また、cはx0,x1,n0,n1から算出される「曲率パラメータ」と呼ばれる未知定数ベクトルであり、曲線の膨らみを規定する。
x(ζ)=P20(1−ζ)2+P11・2(1−ζ)ζ+P02ζ2・・・(2)
として、P20=x0(始点P0の位置ベクトル)、P02=x1(終点P1の位置ベクトル)、P11=(x0+x1)/2−c/2(中間制御点Pmの位置ベクトル)のように当て嵌めることができる。
x(ζ)=P30(1−ζ)3+P21・3(1−ζ) 2ζ+P12・3(1−ζ)ζ2+P03ζ3
ここで、
P30=x0 ,P03=x1
P21=(x0+2P11)/3,P21=(2P11+x1)/3
P11=(x0+x1)/2−c/2
x(ζ)=P30(1−ζ)3+P21・3(1−ζ) 2ζ+P12・3(1−ζ)ζ2+P03ζ3・・・(3)
ここで、
P30=x0 ,P03=x1
P21=(x0+2P11)/3,P21=(2P11+x1)/3
P11=(x0+x1)/2−c/2:2次多項式で曲線補間する場合の中間制御点
(P11−P20,P02−P20)<0または(P02−P11,P02−P20)<0・・・(4)
である。中間制御点P11と弦の端点P20,P02との差ベクトルは、端点P20,P02での曲線の接線の方向に対応しているので、式(4)の前半の不等式は、始点P20での接線方向が弦の方向(始点P20から終点P02に向かう方向)と逆行していることを表している(図5(a)参照)。また、式(4)の後半の不等式は、終点P02での接線方向が弦の方向と逆行していることを表している(図5(b)参照)。
P30=P20(=x0)・・・(5)
P21=(P20+2P11)/3・・・(6)
P21=(2P11+P02)/3・・・(7)
P03=P02(=x1)・・・(8)
P21=(P20+2P11(0))/3・・・(9)
P21=(2P11(1)+P02)/3・・・(10)
この補正制御点P11(0),P11(1)は、逆行が起きていない場合には2次ベジエ曲線の制御点P11に一致する。一方、逆行が起きている場合には、2次ベジエ曲線の各端点の接線上で相手側(始点側接線では終点側、終点側接線では始点側)の接線を曲線平面上で弦について線対称に配置して得られる交点とする。
x(μ,ν,ω)=P003・ω3+P102・3μω2+P201・3μ2ω+P300・μ3
+P012・3νω2+P111・6μνω+P210・3μ2ν
+P021・3ν2ω+P120・3μν2+P030・ν3・・・(11)
この式(11)から明らかなように、3次三角ベジエ曲面を描画するために必要な制御点は、3つの頂点P003,P300,P030を含めて全部で10個である。
x(η,0,1−η)=x00(1−η)3+P102・3(1−η)2η+P201・3(1−η)η2+x10η3・・・(12)
x(1−ζ,ζ,0)=x10(1−ζ)3+P210・3(1−ζ)2ζ+P120・3(1−ζ) ζ2+x11ζ3・・・(13)
x(0,η,1−η)=x00(1−η)3+P012・3(1−η)2η+P021・3(1−η)η2+x11η3・・・(14)
なお、式(12)ではν=ζ=0なのでμ=η、式(13)ではω=1−η=0なのでη=1、μ=1−ζ、式(14)ではμ=η−ζ=0なのでν=ζ=ηである。
x(η,0,1−η)=P003(1−η)3+P102・3(1−η)2η+P201・3(1−η)η2+P300η3・・・(15)
x(1−ζ,ζ,0)=P300(1−ζ)3+P210・3(1−ζ)2ζ+P120・3(1−ζ) ζ2+P030ζ3・・・(16)
x(0,η,1−η)=P003(1−η)3+P012・3(1−η)2η+P021・3(1−η)η2+P030η3・・・(17)
ここで、式(15)はν=0とした枠線、式(16)はω=0とした枠線、式(17)はμ=0とした枠線を示している。
S=(S1+S2+S3−S4)/2・・・(18)
S1(μ,ν,ω)=P003・ω3+P102・3μω2+P201・3μ2ω+P300・μ3+P012・3νω2+{(P201+P021)/2}・6μνω+{(2P300+P030)/3}・3μ2ν+P021・3ν2ω+{(P300+2P030)/3}・3μν2+P030・ν3・・・(19)
S2(μ,ν,ω)=P003・ω3+{(2P003+P300)/3}・3μω2+{(P003+2P300)/3}・3μ2ω+P300・μ3+P012・3νω2+{(P012+P210)/2}・6μνω+P210・3μ2ν+P021・3ν2ω+P120・3μν2+P030・ν3・・・(20)
S3(μ,ν,ω)=P003・ω3+P102・3μω2+P201・3μ2ω+P300・μ3+{(2P003+P030)/3}・3νω2+{(P102+P120)/2}・6μνω+P210・3μ2ν+{(P003+2P030)/3}・3ν2ω+P120・3μν2+P030・ν3・・・(21)
P111={(P201+P021)/4}+{(P012+P210)/4}+{(P102+P120)/4}−{(P003+P300+P030)/6}・・・(22)
2 曲面演算部
3 曲線描画部
4 曲面描画部
5 表示制御部
Claims (6)
- 多角形メッシュの各頂点と中間制御点とから多角形メッシュの辺を滑らかに補間した曲線または内部を滑らかに補間した曲面を描画する曲面描画装置であって、
上記線分の両端点をP30,P03、上記中間制御点をP21,P12、上記両端点の位置ベクトルをx0,x1、上記曲線の曲率パラメータをc、0≦ζ≦1をパラメータとして、次の3次多項式によって上記線分を曲線補間する曲線演算部と、
x(ζ)=P30(1−ζ)3+P21・3(1−ζ) 2ζ+P12・3(1−ζ)ζ2+P03ζ3
ここで、
P30=x0 ,P03=x1
P21=(x0+2P11)/3,P21=(2P11+x1)/3
P11=(x0+x1)/2−c/2
上記曲線演算部により求められた上記曲線を描画する曲線描画部とを備えたことを特徴とする曲面描画装置。 - 上記曲線演算部は、上記線分を含み、上記線分の始点P30を通り当該始点P30の単位法線ベクトルに直交する始点側接平面に直交する第1平面と、上記線分を含み、上記線分の終点P03を通り当該始点P03の単位法線ベクトルに直交する終点側接平面に直交する第2平面との2等分平面のうち、上記第1平面と上記第2平面となす角が小さい方を曲線平面として選択し、上記線分の両端点P30,P03および上記中間制御点P21,P12を上記曲線平面上に配置することを特徴とする請求項1に記載の曲面描画装置。
- 上記多角形メッシュの各線分について上記曲線演算部により算出された複数の枠線と、上記多角形メッシュの各頂点と、当該各頂点間の各線分に関する上記中間制御点とを用い、1つの枠線とそれに対向する枠線との組合せから1次式補間されるベジエ曲面を全ての組合せについて足し合わせるとともに、上記多角形メッシュの各頂点から1次補間で定義されるベジエ曲面を差し引いてクーンズ曲面を算出する曲面演算部と、
上記曲面演算部により求められた上記クーンズ曲面を描画する曲面描画部とを更に備えたことを特徴とする請求項1に記載の曲面描画装置。 - 上記多角形メッシュが三角形メッシュであり、当該三角形メッシュの3頂点をP003,P300,P030、当該3頂点間を結ぶ3つの線分に関する3組の上記中間制御点を(P102,P201),(P210,P120),(P012,P021)、0≦ζ≦η≦1をパラメータとして、上記曲線演算部は、次の3式により3本の枠線を算出し、
x(η,0,1−η)=P003(1−η)3+P102・3(1−η)2η+P201・3(1−η)η2+P300η3
x(1−ζ,ζ,0)=P300(1−ζ)3+P210・3(1−ζ)2ζ+P120・3(1−ζ) ζ2+P030ζ3
x(0,η,1−η)=P003(1−η)3+P012・3(1−η)2η+P021・3(1−η)η2+P030η3
上記曲面演算部は、上記3式のうち第1式と第3式との組合せから1次式補間される第1のベジエ曲面をS1、上記3式のうち第2式と第3式との組合せから1次式補間される第2のベジエ曲面をS2、上記3式のうち第1式と第2式との組合せから1次式補間される第3のベジエ曲面をS3、上記3頂点から1次補間で定義されるベジエ曲面をS4、上記三角形メッシュの中央に位置する制御点をP111とした場合、
S=(S1+S2+S3−S4)/2
P111={(P201+P021)/4}+{(P012+P210)/4}+{(P102+P120)/4}−{(P003+P300+P030)/6}
により上記クーンズ曲面Sを算出することを特徴とする請求項3に記載の曲面描画装置。 - 多角形メッシュの各頂点と中間制御点とから多角形メッシュの辺を滑らかに補間した曲線または内部を滑らかに補間した曲面を描画するための曲面描画用プログラムであって、
上記線分の両端点をP30,P03、上記中間制御点をP21,P12、上記両端点の位置ベクトルをx0,x1、上記曲線の曲率パラメータをc、0≦ζ≦1をパラメータとして、次の3次多項式によって上記線分を曲線補間する曲線演算手段、および
x(ζ)=P30(1−ζ)3+P21・3(1−ζ) 2ζ+P12・3(1−ζ)ζ2+P03ζ3
ここで、
P30=x0 ,P03=x1
P21=(x0+2P11)/3,P21=(2P11+x1)/3
P11=(x0+x1)/2−c/2
上記曲線演算手段により求められた上記曲線を描画する曲線描画部手段
としてコンピュータを機能させるための曲面描画用プログラム。 - 上記多角形メッシュの各線分について上記曲線演算部により算出された複数の枠線と、上記多角形メッシュの各頂点と、当該各頂点間の各線分に関する上記中間制御点とを用い、1つの枠線とそれに対向する枠線との組合せから1次式補間されるベジエ曲面を全ての組合せについて足し合わせるとともに、上記多角形メッシュの各頂点から1次補間で定義されるベジエ曲面を差し引いてクーンズ曲面を算出する曲面演算手段、および
上記曲面演算手段により求められた上記クーンズ曲面を描画する曲面描画手段
としてコンピュータを更に機能させるための請求項5に記載の曲面描画用プログラム。
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