JP2011013675A - 楽音信号合成方法、プログラムおよび楽音信号合成装置 - Google Patents

Abstract

【課題】弦および本体を有する３次元構造の楽器から発せられる音が有する特質をリアルに表現した疑似楽器音を生成することができる楽音信号合成方法、プログラムおよび楽音信号合成装置を提供すること。
【解決手段】本発明の実施形態に係る楽音信号合成装置は、ピアノの弦に及ぼされる力から前記弦の振動を計算し、前記振動に応じて前記ピアノから発生する音を模擬した波形を示す楽音信号を生成する楽音信号合成装置であって、前記ピアノのシフトペダルの踏込量に対応する演奏情報を取得し、前記弦に対してハンマが及ぼす力を計算する際に用いる弾性係数に対応する数値を、前記取得した演奏情報に応じて時間変動させるハンマモデル計算手段を具備する。
【選択図】図２

Description

本発明は、自然楽器における発音機構（発音メカニズム）に立脚した所定の物理モデルに従って、シミュレーションを行うことにより楽音信号を合成する技術に関する。特に、弦および本体（弦を支持し、空気中に音響を放射する部品）を有する３次元構造の楽器から発せられる音が有する特質をリアルに表現した疑似楽器音を生成するのに好適な楽音信号合成方法、プログラムおよび楽音信号合成装置に関する。

従来から、汎用コンピュータ、ＤＳＰ（Digital Signal Processor）等のディジタル信号処理装置、集積回路、大規模集積回路等を含んで構成された専用ハードウエア装置において、自然楽器の発音機構（発音メカニズム）に立脚した所定の物理モデルに従って、シミュレーションを行うことにより、自然楽器の楽音を疑似的（仮想的）に合成する方法が知られている。例えば、疑似ピアノ音を発生させたい場合、弦の振動をシミュレートする弦モデル部と、前記弦の振動に応じて弦とともに振動する駒や響板などの振動をシミュレートする響板モデル部とを設けた所定の物理モデルに従って、ＤＳＰ等からなる物理モデル音源にシミュレーション演算を実行させることにより、楽音信号を合成するということが行われている。このような方法を用いた楽音合成装置は、例えば、特許文献１に記載されている。また、特許文献２には、疑似ピアノ音の合成時に「弦の非線形振動機構」を取り入れることを試みた例が記載されている。

特開平１０−６３２７０号公報 特開平０６−８３３６３号公報

ピアノの弦は、その一端が本体の一部であるフレーム上のベアリングで支持され、他の一端が本体の一部である響板上の駒で支持されている。鍵を押すと、対応する弦がダンパから解放されると同時に、ハンマに運動エネルギが与えられる。ハンマが弦を打つことによって弦の中に励起した波動のエネルギは、一部がこれらの支持端を介して本体に透過し、残りが支持端で反射されることによって弦の中に留まる。弦の中に生まれた波動が弦支持端間の往復を繰り返すことによって、振動が生まれる。弦の軸方向に直交する方向の振動、即ち、曲げ振動は、最初、ハンマによって打たれた方向に生じるが、３次元運動を行う駒の影響により、それと直交する方向にも生じる。弦は、上記２方向の曲げ振動の他に弦軸方向の振動、即ち、縦振動も行う。

ダンパペダルを踏み込むことによって、全ての弦がダンパから解放されるとき、ハンマに打たれていない弦までもが、本体からエネルギをもらうことによって振動を始める。このように、ピアノの発音は、弦が本体を振動させるだけでなく、本体も弦を振動させる３次元連成振動機構によっている。そして、響板、フレーム、支柱、側板などから構成される複雑な３次元形状を有する本体の全表面から空気中に音響が放射されることによって、豊かで立体的なピアノ特有の楽音が生成される。

ところで、標準的な８８鍵ピアノのおよそ第４０鍵より下の音域においては、「リンリン」、「ヒンヒン」、あるいは「ヒーン」、「キーン」といった、鈴がなるような、あるいは金属的な非調和音（以下、リンギングサウンドという）が発生する場合がある。この特徴的なリンギングサウンドは、強打時ほど際立って発生し、そのレベルが大きすぎると不快に感じられることもあるが、逆にそれが全く聴こえないとするとピアノ音は単調でつまらないものとなってしまう。このピアノ特有のリンギングサウンドの発生には、弦の非線形（有限振幅）振動が寄与している。

要するに、音階を生成する部品である弦と、弦を支持し、空気中に音響を放射する部品である本体とを有する３次元構造体であるピアノから発せられる楽音の特徴をリアルに表現するためには、「弦と本体との３次元連成振動機構」、「本体の３次元音響放射機構」、「弦の非線形（有限振幅）振動機構」の３点を考慮した上で高精度のシミュレーションを行う必要があるが、これを実現するための方法（計算アルゴリズム）は未だ提案されていない。

ピアノでは、鍵の押し込み深さ、あるいは、ダンパペダルの踏み込み深さを時間軸上でコントロールすることによって、多彩な音楽的ニュアンスを表現することができる。例えば、打鍵後、押し込んだ鍵をゆっくり離すか急に離すかによって音の止まり方のニュアンスは全く異なったものになる。また、ピアノでは、ダンパペダルを全ストロークの途中まで踏み込む「ハーフペダル」と呼ばれる奏法を用いることで、弦を「最大限共鳴させる」のではなく「適度に共鳴させる」といったことが可能となる。従来の電子音源では、上記のような多彩な止音および弦共鳴の効果を生成することはできない。

一般的なグランドピアノには、シフトペダルと呼ばれるペダルが備わっている。このペダルを踏み込むことで全てのハンマの位置が高音側にシフトし、ハンマの普段弦にあたっていない相対的に柔らかい部分が弦にあたるようになる。更に、それを完全に踏み込むとき、例えば、１個の鍵に対応して３本の弦が備わっている音域では、ハンマは３本中２本の弦のみを打つようになり、残りの１本は共鳴弦として働くようになる。従来の電子音源では、シフトペダルの踏み込み加減によって得られるきめ細かな音楽的ニュアンスを表現することはできない。

本発明は、上述の事情に鑑みてなされたものであり、弦および本体を有する３次元構造の楽器から発せられる音が有する特質をリアルに表現した疑似楽器音を生成することができる楽音信号合成方法、プログラムおよび楽音信号合成装置を提供することを目的とする。

上述の課題を解決するため、本発明は、ピアノの弦に及ぼされる力から前記弦の振動を計算し、前記振動に応じて前記ピアノから発生する音を模擬した波形を示す楽音信号を生成する楽音信号合成方法であって、前記ピアノのシフトペダルの踏込量に対応する演奏情報を取得し、前記弦に対してハンマが及ぼす力を計算する際に用いる弾性係数に対応する数値を、前記取得した演奏情報に応じて時間変動させるハンマモデル計算過程を備えることを特徴とする楽音信号合成方法を提供する。

また、本発明は、コンピュータに、ピアノの弦に及ぼされる力から前記弦の振動を計算し、前記振動に応じて前記ピアノから発生する音を模擬した波形を示す楽音信号を生成させるためのプログラムであって、前記コンピュータを、前記ピアノのシフトペダルの踏込量に対応する演奏情報を取得し、前記弦に対してハンマが及ぼす力を計算する際に用いる弾性係数に対応する数値を、前記取得した演奏情報に応じて時間変動させるハンマモデル計算手段として機能させるためのプログラムを提供する。

また、本発明は、ピアノの弦に及ぼされる力から前記弦の振動を計算し、前記振動に応じて前記ピアノから発生する音を模擬した波形を示す楽音信号を生成する楽音信号合成装置であって、前記ピアノのシフトペダルの踏込量に対応する演奏情報を取得し、前記弦に対してハンマが及ぼす力を計算する際に用いる弾性係数に対応する数値を、前記取得した演奏情報に応じて時間変動させるハンマモデル計算手段を具備することを特徴とする楽音信号合成装置を提供する。

本発明によれば、弦および本体を有する３次元構造の楽器から発せられる音が有する特質をリアルに表現した疑似楽器音を生成することができる楽音信号合成方法、プログラムおよび楽音信号合成装置を提供することができる。

本発明の第１実施形態に係る電子楽器の構成を示すブロック図である。 本発明の第１実施形態に係る楽音信号合成部の構成を示すブロック図である。 標準的なグランドピアノの構成を説明する図である。 本発明の第２実施形態に係る電子楽器の構成を示すブロック図である。 本発明の第２実施形態に係る楽音信号合成部の構成を示すブロック図である。 本発明の第３実施形態に係る電子楽器の構成を示すブロック図である。 本発明の第３実施形態に係る楽音信号合成部の構成を示すブロック図である。 本発明の第４実施形態に係る電子楽器の構成を示すブロック図である。 本発明の第４実施形態に係る楽音信号合成部の構成を示すブロック図である。

以下、本発明の一実施形態について説明する。

＜第１実施形態＞
図１は、本発明の第１実施形態に係る電子楽器１の構成を示すブロック図である。電子楽器１は、例えば、電子ピアノであり、制御部１１、記憶部１２、ユーザ操作部１３、演奏操作部１５および放音部１７を有している。これらの各部は、バス１８を介して互いに接続されている。

制御部１１は、ＣＰＵ（Central Processing Unit）１１ａ、ＤＳＰ１１ｂ、他の図示しない周辺回路、ＲＯＭ（Read Only Memory）１１ｃ、ＲＡＭ（Random Access Memory）１１ｄ、信号インターフェイス１１ｅおよび内部バス１１ｆを有する。ＤＭＡ（Direct Memory Access)コントローラ、ビデオプロセッサは他の周辺回路として含まれていてもよい。ＣＰＵ１１ａは、ＲＯＭ１１ｃに記憶されている制御プログラムを読み出して、ＲＡＭ１１ｄにロードして実行することにより、電子楽器１の各部について、バス１８を介して制御し、後述する楽音信号合成処理を行う楽音信号合成部１００などを実現する。また、ＲＡＭ１１ｄは、ＣＰＵ１１ａが各データの加工などを行う際のワークエリアとして機能する。

記憶部１２は、例えば、ハードディスクなどの大容量記憶手段であって、ＭＩＤＩ（Musical Instrument Digital Interface）データなどの楽音制御データ、後述する楽音信号合成処理により生成した楽音信号などを記憶する。楽音制御データは、この例においては、鍵の押込量、ハンマ速度、ダンパペダル踏込量、シフトペダル踏込量の時刻の進行に応じた変化を示すデータを含んでいる。これらのデータは、情報記憶媒体ＤＰ（例えば、コンパクトディスク）からロードされたり、ネットワークを介してサーバからダウンロードされたりしたものであってもよい。

ユーザ操作部１３は、操作パネル１３ａおよび表示部１４を有する。操作パネル１３ａには、例えば、マウス１３ｂ、操作スイッチ１３ｃ、キーボード１３ｄなどである。ユーザがマウス１３ｂ、操作スイッチ１３ｃ、キーボード１３ｄを操作するとその操作内容を表すデータが制御部１１へ出力される。これにより、ユーザは電子楽器１に指示を行う。表示部１４は、映像を画面に表示する液晶ディスプレイなどの表示デバイスであって、制御部１１に制御され、メニュー画面などの各種画面を表示する。メニュー画面は、電子楽器１に電力が供給されると、自動的に表示されるようにしてもよい。

演奏操作部１５は、鍵盤部１５ａおよびペダル部１６を有する。鍵盤部１５ａは、電子ピアノなどの鍵盤部分に相当するものであって、複数の鍵（黒鍵１５ｂ、白鍵１５ｃ）が並べられた鍵盤を有する。また、鍵盤部１５ａにおける各鍵１５ｂ、１５ｃには、各鍵を押し込まれると、その鍵の押込量を表す情報を出力する鍵位置センサ１５ｄ、および押込速度を表す情報を出力する鍵速度センサ１５ｅが設けられている。鍵盤部１５ａは、鍵の押込量を表す情報をアナログ形式からデジタル形式に変換した情報ＫＳを出力し、また、押込速度を表す情報をアナログ形式からデジタル形式に変換した情報ＫＶを、バス１８を介して制御部１１の信号インターフェイス１１ｅまで定期的に出力する。鍵盤部１５ａは、これらの情報ＫＳ、ＫＶを、押し込まれた鍵を表す情報ＫＣ（例えば、鍵番号）とともに出力する。このとき、ハンマ速度は、制御部１１において、鍵盤部１５から出力される情報をもとに算出される。なお、押込速度については、鍵位置センサ１５ｄから出力される鍵の押込量から算出されるようにして、鍵速度センサ１５ｅについては設けられていなくてもよい。この場合には、鍵盤部１５に鍵の押込量から押込速度を算出する算出部を設けてもよい。また、制御部１１のＣＰＵ１１ａにおいて、情報ＫＳから押込速度を算出するようにしてもよい。

ペダル部１６は、ダンパペダル１６ａおよびシフトペダル１６ｂに相当する複数のペダルを有する。また、ダンパペダル１６ａおよびシフトペダル１６ｂには、ペダルが踏み込まれると、そのペダルの踏込量を表す情報を出力するペダル位置センサ１６ｃが設けられている。ペダル部１６は、ペダルの踏込量を表す情報をアナログ形式からデジタル形式に変換した情報ＰＳを、バス１８を介して制御部１１の信号インターフェイス１１ｅまで定期的に出力する。ペダル部１６は、この情報ＰＳを、踏込まれたペダルを表す情報ＰＣとともに出力する。このように、鍵盤部１５およびペダル部１６は、その操作により、各演奏情報を出力する。

放音部１７は、デジタルアナログ変換器１７ａ、図示しないアンプおよびスピーカ１７ｂを有する。制御部１１の制御により入力される楽音信号は、デジタルアナログ変換器１７ａにおいてデジタル形式からアナログ形式に変換され、アンプで増幅され、スピーカ１７ｂから音として出力される。この楽音信号は、この例においては、後述する楽音信号合成処理の結果生成されるものである。以上が、電子楽器１の構成の説明である。次に、制御部１１が制御プログラムを実行することによって実現される楽音信号合成部１００について図２を用いて説明する。なお、以下に説明する楽音信号合成部１００については、それぞれの各機能をハードウエアによって実現してもよい。

図２は、楽音信号合成部１００の構成を示すブロック図である。楽音信号合成部１００は、以下で説明する複数モデル（ダンパモデル、ハンマモデル、弦モデル、本体モデル、空気モデル）から構成される物理モデルにより、擬似ピアノ音を示す楽音信号を合成する。標準的なピアノは、鍵盤には８８個の鍵が備わっており、各鍵に対応して、ハンマが１個、弦が１〜３本、ダンパが０〜複数個（弦と複数点で接触することを意味する）、備わっている。なお、弦の本数、ダンパの個数については、音域毎に異なるものとなっている。

図３は、標準的なグランドピアノの構成を説明する図である。上記複数のモデルは、図３に示す標準的なグランドピアノ（アコースティックピアノ）２１を前提としている。グランドピアノ２１は、８８の鍵２１ａを含む鍵盤２１ｂ、アクション機構２１ｄを介して鍵２１ａと接続されたハンマ２１ｃ、弦２１ｅ、および弦２１ｅと接触可能なダンパ２１ｆを有する。弦２１ｅは、その一端で駒２１ｅａと、他端でベアリング２１ｅｂと接続されている。鍵２１ａ、ハンマ２１ｃ、アクション機構２１ｄ、弦２１ｅ、ダンパ２１ｆは、大部分がキャビネット２１ｈ内に収められている。弦２１ｅの数およびダンパ２１ｆの接触点の数は、音域によって変化する。キャビネット２１ｈ、フレーム、木製フレーム、駒２１ｅａ、ベアリング２１ｅｂおよびピアノ音を放射する他の振動部分は、本体２１ｊを構成する。以下の説明において、弦、ハンマ、ダンパおよび本体は、標準的なグランドピアノ２１における構成を示し、電子楽器１に含まれている構成を示すものではない。

図２に示す楽音信号合成部１００は、比較部１０１、ダンパモデルを対応する弦毎に計算するダンパモデル計算部１０２−１、１０２−２、ハンマモデルを計算するハンマモデル計算部１０３、弦モデルを弦毎に計算する弦モデル計算部１０４−１、１０４−２、本体モデルを計算する本体モデル計算部１０５、および空気モデルを計算する空気モデル計算部１０６を有する。

ダンパモデル計算部１０２−１、１０２−２は、ダンパモデルにより、ある弦２１ｅの振動を計算する。弦モデル計算部１０４−１、１０４−２は、弦モデルにより、ある弦２１ｅの振動を計算する。ハンマモデル計算部１０３、本体モデル計算部１０５および空気モデル計算部１０６は、それぞれハンマモデル、本体モデル、空気モデルにより、ある弦２１ｅの振動を計算する。

比較部１０１は、ダンパモデル計算部１０２−１、１０２−２に接続されている。ダンパモデル計算部１０２−１、１０２−２は、それぞれ、弦モデル計算部１０４−１、１０４−２に接続されている。ハンマモデル計算部１０３は、弦モデル計算部１０４−１，１０４−２の双方に接続されている。弦モデル計算部１０４−１、１０４−２は、本体モデル計算部１０５と接続されている。本体モデル計算部１０５は、空気モデル計算部１０６と接続されている。楽音信号は、空気モデル計算部１０６から出力される。

楽音信号合成部１００の楽音信号合成処理によって得られる楽音信号は、特定の鍵において、対応する弦が２本である場合の物理モデルによるものである。即ち、本体モデルを計算する本体モデル計算部１０５に対して、弦モデルを計算する弦モデル計算部１０４−１、１０４−２が並列に接続されている。ここで、弦が３本以上であれば、本体モデル計算部１０５に対して、並列に接続される弦モデル計算部１０４−ｉｗ（ｉｗ＝３，４，・・・）および弦モデルに接続されるダンパモデル計算部１０２−ｉｗ（ｉｗ＝３，４，・・・）を増やせばよい。また、鍵が複数存在する場合には、鍵の数に応じて、ダンパモデル計算部１０２、ハンマモデル計算部１０３および弦モデル計算部１０４の組を増やして、各鍵に対応する弦モデル計算部１０４を本体モデル計算部１０５に接続すればよい。したがって、図２に示す楽音信号合成部１００は、一般性を有している。

楽音信号合成部１００における入力信号としては、制御部１１によって生成される各信号であって、鍵盤部１５から出力される鍵の押込量を表す情報に応じて生成される信号（以下、入力信号１（ｅ_Ｋ（ｎΔｔ））という）、鍵の押込速度および押込加速度を表す情報に応じて生成されるハンマ速度を表す信号（以下、入力信号２（Ｖ_Ｈ（ｎΔｔ））という）、ペダル部１６から出力されるダンパペダルの踏込量を表す情報に応じて生成される信号（以下、入力信号３（ｅ_Ｐ（ｎΔｔ））という）、シフトペダルの踏込量を表す情報に応じて生成される信号（以下、入力信号４（ｅ_Ｓ（ｎΔｔ））という）の４信号である。これらの４信号はそれぞれ、離散時間軸（ｔ＝ｎΔｔ; ｎ＝０，１，２,・・・）上の信号として、上述した情報ＫＳ、ＫＶ、ＰＳに基づいて楽音信号合成部１００に入力されるものとする。なお、これらの４信号は、制御部１１が記憶部１２に記憶されている楽音制御データを読み出すことによって生成されるものであってもよい。

一方、楽音信号合成部１００における出力信号としては、空気モデル計算部１０６から出力される「空気中の観測点における音圧」の波形を示す楽音信号（以下、楽音信号（Ｐ（ｎΔｔ））という）である。

まず、この例における楽音信号合成部１００における楽音信号合成処理の物理モデルにおいては、以下に示す２８の仮定がなされている。
（仮定１）重力は無視する。
（仮定２）軸力を受けて真っ直ぐに静止している状態（以下、静的平衡状態という）にある弦は細長い円柱形状であるものとする。
（仮定３）弦の太さは不変であるものとする。即ち、はり理論を採用するものとする。
（仮定４）弦の中心軸に垂直な断面は、変形後も平面を保ち、かつ中心軸に垂直であるものとする。即ち、ベルヌイ・オイラーの仮定を採用するものとする。
（仮定５）弦の振幅は小さいが、必ずしも微小ではないものとする。
（仮定６）弦は均質であるものとする。
（仮定７）弦の応力は、ひずみに比例する成分とひずみ速度に比例する成分の和として与えられるものとする。即ち、弦には内部粘性減衰（剛性比例粘性減衰ともいう）が働くものとする。
（仮定８）弦の軸方向には外部粘性減衰（質量比例粘性減衰ともいう）が働くものとする。
（仮定９）弦の一端は本体の一部であるベアリング上の点で支持され、他の一端は本体の一部である駒上の点で支持されているものとする。（弦は支持端において回転を拘束されないものとする。）
（仮定１０）弦と空気との間の作用・反作用は無視する。
（仮定１１）ハンマの弦に接触する部分（以下、ハンマ先端という）の形状は、円柱状であるものとし、その円柱の底面半径は無限小であるとし、その円柱の高さは他の弦と干渉しない程度であるものとする。
（仮定１２）１個のハンマに対応する弦が複数本ある場合には、それらの弦の静的平衡状態における中心軸は、同一平面上にあるものとする。
（仮定１３）１個のハンマに対応する弦が複数本ある場合には、その１個のハンマは、それらの弦の数と同じ数のハンマ先端を有するものとする。
（仮定１４）ハンマ先端（円柱）の中心軸の方向は、静的平衡状態にある弦（円柱）の中心軸の方向に直交するものとする。
（仮定１５）ハンマ重心は１つの直線上でのみ運動するものとする。
（仮定１６）ハンマ重心の運動方向は、ハンマ先端(円柱)の中心軸の方向と静的平衡状態にある弦（円柱）の中心軸の方向の両方に直交するものとする。
（仮定１７）ハンマの変形する方向は、ハンマ重心の運動方向に一致しているものとする。
（仮定１８）ハンマの圧縮力-圧縮量関係式は、指数を正の実数とするべき関数で与えら
れるものとする。
（仮定１９）ハンマ先端と弦表面との間には摩擦は無いものとする。
（仮定２０）ハンマと空気との間の作用・反作用は無視する。
（仮定２１）ダンパが備わっている弦については、弦の曲げ振動を静止させようとするダンパによる抵抗力が、弦の中心軸上の点（以下、止音点という）に作用するものとする。（仮定２２）ダンパの抵抗力-速度関係式は、１次式で与えられるものとする。
（仮定２３）本体の振幅は微小であるものとする。
（仮定２４）本体は近似的に比例粘性減衰系として扱えるものとする。
（仮定２５）本体が空気から受ける反作用は無視する。
（仮定２６）空気は均質であるものとする。
（仮定２７）空気の圧力-体積ひずみ関係式は、１次式で与えられるものとする。
（仮定２８）空気は渦無しであるとする。

また、この例における弦の物体座標の表現には、右手系（ｘ，ｙ，ｚ）を用いる。ここで、静的平衡状態にある弦の中心軸にｘ軸を一致させ、ベアリング側支持端を原点（０，０，０）とし、駒側支持端がｘ＞０なる領域に含まれる様にｘ軸の方向を定め、ハンマ重心の打弦時運動方向をｚ軸の正方向と定める。また、本体および空気の物体座標の表現には、右手系（Ｘ，Ｙ，Ｚ）を用いる。時刻の進行（時間変数）はｔで表す。

以下、この例において説明する各パラメータを表す記号について説明する。

以下の「数１」から「数５」については、各モデルの計算にあたって入力される情報である。「数１」は、時刻の進行に伴い変動するパラメータ（時間変動パラメータ）である。一方、「数２」から「数５」は、時刻の進行に伴う変動が無いパラメータ（時間不変パラメータ）であって、予め設定されるものである。

以下の「数１」は、演奏に関するパラメータ、即ち、楽音信号合成部１００における入力信号に相当するものを示している。鍵、弦、ハンマ、ダンパ、本体は、それぞれ、標準的なグランドピアノ２１の構成要素２１ａ、２１ｅ、２１ｃ、２１ｆ、２１ｊを示す。

以下の「数２」は、設計に関するパラメータである。

以下の「数３」は、本体の設計および空気中観測点の位置に関するパラメータである。

以下の「数４」は、調律に関するパラメータである。

以下の「数５」は、数値計算に関するパラメータである。

以下の「数６」は、各モデルの計算により出力される情報、即ち、楽音信号である。

以下の「数７」、「数８」、「数９」は、各モデルの計算上必要なその他のパラメータである。

ここで、１個のハンマに対応する弦が１本の場合には、Ｚ_Ｂ、Ｘ_Ｂ、Ｙ_Ｂ、およびθ_Ｈが与えられると、β_ｋｋ’は一意に定まる。１個のハンマに対応する弦が複数本ある場合には、Ｚ_Ｂ、Ｘ_Ｂ、Ｙ_Ｂが与えられると、β_ｋｋ’は一意に定まる。

以下の「数１０」は、上記各パラメータにおいて上付き文字として記載されているインデックスの説明である。

以下、この例における楽音信号合成部１００の各部の処理内容について、図２を用いて順に説明する。なお、以後の説明においては、インデックスを全て書くと式が煩雑になって読みづらくなるため、説明上不可欠な場合を除いて、省略することとする。

また、変数ｅ_Ｋ（ｔ）、ｅ_Ｐ（ｔ）、ｅ_Ｓ（ｔ）には初期値（ｔ＝０における値）として「１」が設定されている。即ち、鍵（黒鍵１５ｂ、白鍵１５ｃ）の押し込み、ダンパペダル１６ａ、シフトペダル１６ｂの踏み込みはされていない状態として設定されている。また、その他の全ての「ｔ」に関する変数には、初期値として「０」が設定されているものとする。

比較部１０１は、入力される鍵押込量入力信号１（ｅ_Ｋ（ｎΔｔ））およびダンパペダル踏込量入力信号３（ｅ_Ｐ（ｎΔｔ））を取得し、小さい方の値をｅ_Ｄ（ｎΔｔ）として出力する。これは、以下の式（１）で表される。

ダンパモデル計算部１０２は、１番目の弦（ｉｗ＝１）に対応するダンパについて計算するダンパモデル計算部１０２−１、２番目の弦（ｉｗ＝２）に対応するダンパについて計算するダンパモデル計算部１０２−２を有する。以下の説明においては、弦のインデックスが異なるだけであるから、ダンパモデル計算部１０２として説明する。なお、弦が３本以上存在する場合には、上述したように、ダンパモデル計算部１０２−ｉｗ（ｉｗ＝３，４，・・・）を弦（ｉｗ＝３，４，・・・）に対応させて設ければよい。

弦モデル計算部１０４は、１番目の弦（ｉｗ＝１）について計算する弦モデル計算部１０４−１、２番目の弦（ｉｗ＝２）について計算する弦モデル計算部１０４−２を有する。以下の説明においては、弦のインデックスが異なるだけであるから、弦モデル計算部１０４として説明する。なお、弦が３本以上存在する場合には、上述したように、弦モデル計算部１０４−ｉｗ（ｉｗ＝３，４，・・・）を、本体モデル１０５に対して並列に設ければよい。（弦モデル計算部１０４の計算については、後述する。）

ダンパモデル計算部１０２は、比較部１０１から出力されるｅＤ（ｎΔｔ）、および後述するようにして弦モデル計算部１０４から出力されるｕｋ（ｘＤ，ｎΔｔ）（ｋ＝１，３）を取得して、これらを用いて、以下に示す計算を行った結果得られるｆＤｋ（ｎΔｔ）を弦モデル計算部１０４に出力する。

以下、ダンパモデル計算部１０２における計算について説明する。

初期状態におけるピアノの弦は、ダンパによって振動を抑制された状態にある。ピアノの鍵を押し込んでいくと、対応するダンパが対応する弦から徐々に離れ出し、やがて弦はダンパの抵抗から完全に解放され、ハンマによる打弦に備える。また、ピアノにおいては、鍵の押込量だけでなくダンパペダルの踏込量によってもダンパと弦との接触度合を変えることができ、音の止まり方や弦共鳴の度合をきめ細かく制御することができる。

このようなピアノにおけるダンパのメカニズムは、以下の式（２）に示すダンパの抵抗力ｆ_Ｄｋ（ｔ）とダンパ変形量ｕ_ｋ（ｘ_Ｄ，ｔ）との関係式をもって簡潔に表現することができる。

この例においては、比較部１０１から出力されるｅ_Ｄ（ｎΔｔ）を式（２）に代入することで、ダンパの粘性係数に相当する量「ｂ_Ｄｅ_Ｄ（ｎΔｔ）」を離散時間軸（ｔ＝ｎΔｔ; ｎ＝０，１，２,・・・）上で逐次変化させるというアイデアにより、自然楽器のピアノと同様な自然で連続的な止音および弦共鳴の制御を可能にしている。

実際の計算において、式（２）は、後述する弦モデル計算部１０４における弦のモード毎の運動方程式（式（１６）、式（１８））の中に組み込まれる。以上が、ダンパモデル計算部１０２の説明である。

ハンマモデル計算部１０３は、入力信号２（Ｖ_Ｈ（ｎΔｔ））および入力信号４（ｅ_Ｓ（ｎΔｔ））を取得し、また、後述するようにして弦モデル計算部１０４から出力されるｕ_１（ｘ_Ｈ，ｎΔｔ）を取得し、これらを用いて、以下に示す計算を行った結果得られるｆ_Ｈ（ｎΔｔ）を弦モデル計算部１０４に出力する。

以下、ハンマモデル計算部１０３における計算について説明する。

上述した物理モデルに関する仮定に、ニュートンの運動の法則を適用するとハンマの運動方程式は、式（３）のように書かれる。

また、ハンマ先端が弦表面に及ぼす力とハンマ圧縮量の関係式は、式（４）のようになる。

ただし、ハンマ先端が弦表面に接触しているときは式（５）、ハンマ先端が弦表面から離れているときは式（６）、（７）が適用される。

いま、式（３）の右辺をｆ（ｔ）、ｄｗ_Ｈ（ｔ）／ｄｔをｖ_Ｈ（ｔ）とそれぞれ書くことにすれば、変数ｔに関する２階常微分方程式（式（３））は、次に示す前進オイラー公式と台形公式を用いることで、離散時間軸（ｔ＝ｎΔｔ; ｎ＝１，２，３，・・・）上で、式（８）に示すように数値的に解くことができる。

即ち、「０」より大きいハンマ速度Ｖ_Ｈ（（ｎ−１）Δｔ）が与えられるとき、式（８）のｖ_Ｈ（（ｎ−１）Δｔ）、ｆ（（ｎ−１）Δｔ）、ｗ_Ｈ（（ｎ−１）Δｔ）に、それぞれＶ_Ｈ（（ｎ−１）Δｔ）、「０」、Ｗ_Ｈを代入することにより、ハンマ重心変位ｗ_Ｈ（ｎΔｔ）が直ちに算出される。やがて、ハンマ接触の条件、即ち、式（５）が満たされるとき、式（４）より、弦モデルへの出力ｆ_Ｈ ^[iw]（ｎΔｔ）が算出される。

さて、ピアノにおけるシフトペダルのメカニズムとは、それを踏み込むとハンマの位置が高音側へシフトし、ハンマの弦に接触する部分を変化させる、あるいは、ハンマと一部の弦との接触を不完全な状態にすることによって音色を制御するという機構であるが、この例においては、入力信号４（ｅ_Ｓ ^[iS]（ｎΔｔ））を式（４）に代入することにより、ハンマの弾性係数に相当する量Ｋ_Ｈｅ_Ｓ ^[iS]（ｎΔｔ）を離散時間軸（ｔ＝ｎΔｔ; ｎ＝０，１，２，・・・）上で逐次変化させるというアイデアにより、自然楽器のピアノと同様な自然で連続的な音色の制御を可能にしている。以上が、ハンマモデル計算部１０３の説明である。

弦モデル計算部１０４は、弦に及ぼす力となる、ダンパモデル計算部１０２から出力されるｆ_Ｄｋ（ｎΔｔ）（ｋ＝１，３）およびハンマモデル計算部１０３から出力されるｆ_Ｈ（ｎΔｔ）、また、後述するようにして本体モデル計算部１０５から出力されるｕ_Ｂｋ（ｎΔｔ）（ｋ＝１，２，３）をそれぞれ取得し、これらを用いて、以下に示す計算を行った結果得られるＦ_Ｂｋ（ｎΔｔ）（ｋ＝１，２，３）を本体モデル計算部１０５に出力し、また、ｕ_ｋ（ｘ_Ｄ，ｎΔｔ）（ｋ＝１，３）をダンパモデル計算部１０２に出力する。

以下、弦モデル計算部１０４における計算について説明する。

上述した物理モデルに関する仮定において、ニュートンの運動の法則を適用すると弦の運動方程式は、式（９）、（１０）、（１１）のように書かれる。

ただし、式（９）および式（１１）において、有限振幅に起因する非線形項は、それによる効果が小さいため省略してある。同様に、式（１０）において、ハンマが弦軸方向に与える力についても、それによる効果が小さいため省略してある。なお、式（９）はハンマ重心の運動方向に対応する弦の曲げ振動に、式（１１）はハンマ重心の運動方向とは直交する方向に対応する弦の曲げ振動に、式（１０）は弦の縦振動に、それぞれ対応している。

また、弦の境界条件は、式（１２）、（１３）のように書かれる。

さて、従来より、両端を単純支持された弦(支持端が運動しない弦)の非定常振動問題を解くための方法として、「弦の変位」を「任意の時間関数を係数とするフーリエ正弦級数」で表すという方法が知られている(例えば参考文献１: D.E.Hall. Piano strings excitation. VI: Nonlinear modeling. J.Acoust.Soc.Am, Vol.92, No.1, pp.95-105,1992.）。

これを式で書くと式（１４）のようになる。

式（１４）の正弦関数は、両端単純支持という境界条件に対応する弦の固有振動モードである。一方、ピアノがそうであるように弦の支持端が運動する場合には、弦の固有振動モードが簡単には求められないため、有限要素法や差分法のような空間的離散化を必要とする解法に頼るというのが一般的である。しかしながら、これらの解法（空間関数と時間関数が分離されていない解法）は、固有振動モードを用いる解法（空間関数と時間関数が分離されている解法）に比べ、数値計算の誤差が時間軸上で蓄積されやすいため、これらの解法を用いて長時間に及ぶ楽音を高い精度で合成することは困難である。

ここでは、支持端が運動する場合の弦の非定常振動問題を高精度かつ高速に解く方法として、「弦の変位」を「任意の時間関数を係数とするフーリエ正弦級数」と「2つの支持
端を結んだ直線の変位」との和によって表す、即ち、式（１５）により表現するという新しいアイデアを提示する。

このとき、式（１５）は任意のｔについて境界条件式（１２）、（１３）を満足している。なお、式（１５）中の正弦関数は、厳密な意味での固有振動モードではないが、ここでは、便宜上、固有振動モードと呼ぶことにする。

偏微分方程式（式（９）、（１０）、（１１））に式（１５）を代入してから、sin（ikπx／l）（ik＝１，２，・・・，Mk； k＝１，２，３）をそれぞれ掛けて区間「0≦x≦l」で積分すると、以下に示す２階常微分方程式（式（１６）、（１７）、（１８））が導かれる。

更に、弦のモード毎の運動方程式（式（１６）、（１７）、（１８））は、双一次s-z変換を用いることによって、I_K×I_W ^[iK]×(２×M₁ ^[iK]＋M₂ ^[iK])個（i_K＝１，２，・・・，I_K）の並列化された２次ＩＩＲ（Infinite Impulse Response）フィルタとして、それぞれ記述できるから、離散時間軸（ｔ＝ｎΔｔ; ｎ＝０，１，２,・・・）上で、A_k ^[iK][iW][mk]（ｎΔｔ）（i_K＝１，２，・・・，I_K； i_W＝１，２，・・・，I_W ^[iK]； m_k＝１，２，・・・，M_k ^[iK]； k＝１，２，３）の値を各モード毎に逐次算出することができる。ただし、各タイムステップにおいて、式（１６）および式（１８）の計算を式（１７）の計算に先行させ、式（１７）の右辺に含まれる非線形項A_k ^[mk](t) A_k ^[m'k](t)（k＝１，３）を外力項のように扱うようにする。

弦が弦支持端に及ぼす力と支持端変位との関係式は、式（２８）、（２９）のように書かれる。

更に、式（２８）、（２９）に式（１５）を代入することによって、式（３０）、（３１）が導かれる。ただし、非線形項と回転慣性に関する項は省略した。

式（３０）、（３１）を次に示す本体−弦物理座標変換式（式（３２））に代入することによって得られる式に、前述の方法で算出されたA_k ^[mk]（ｎΔｔ）（m_k＝１，２，・・・，M_k； ｋ＝１，２，３）の値を代入すれば、弦が弦支持端に及ぼす力F_Bk ^[iB]（ｎΔｔ）、即ち、弦モデル計算部１０４から本体モデル計算部１０５への出力を算出することができる。

また、打弦点および止音点の変位は、式（１５）より得られる式（３３）、（３４）にA_k ^[mk]（ｎΔｔ）（m_k＝１，２，・・・，M_k； k＝１，２，３）の値を代入することによって算出される。

ここで得られたｕ₁(x_H，ｎΔｔ）は、ハンマモデル計算部１０３に出力され、式（５）へ再帰的に代入される。同様に、ｕ_k(x_D ^[iD]，ｎΔｔ）は、ダンパモデル計算部１０２に出力され、式（２）を介して、再び、弦モデル計算部１０４における式（１６）、（１８）へ再帰的に代入される。以上が、弦モデル計算部１０４の説明である。

本体モデル計算部１０５は、弦モデル計算部１０４から出力されるＦ_Ｂｋ（ｎΔｔ）を取得し、これを用いて、以下に示す計算を行った結果得られるＡ_Ｃ（ｎΔｔ）を空気モデル計算部１０６に出力する。

以下、本体モデル計算部１０５における計算について説明する。

上述した物理モデルに関する仮定により、本体の運動方程式は、弦モデルからの出力F_Bk ^{[iK] [iW] [iB]}(t)（i_K＝１，２，・・・，I_K； i_W＝１，２，・・・，I_W ^[iK]； i_B＝０，１； k＝１，２，３）を入力とする以下のようなモード毎の２階常微分方程式（式（３５））として記述することができる。

ところで、ピアノの本体は、木材や金属などから構成されるが、このうち、木材は「低周波成分に比べ高周波成分の振動減衰能が大きい」という特徴を有しており、このことがピアノ（あるいは木材で本体を構成された楽器）特有の「耳に心地よく温かい響き」の原因ともなっている。このような木材の音響的性質は、木材を「弾性係数と構造減衰係数の両方に３次元直交異方性を有する材料」としてモデル化することによって説明することができる（例えば参考文献２：日本機械学会（編） 先端複合材料，pp.68-70. 技報堂出版，1990.）。

「弾性係数と構造減衰係数の両方に３次元直交異方性を有する材料」を含むように構成された本体モデルは、一般構造減衰系（非比例構造減衰系、あるいは、一般ヒステリシス減衰系ともいう）となるため、実固有値解析によって減衰行列を対角化することができない（参考文献３）が、ここでは、減衰行列の非対角項を無視することによって、近似的に比例構造減衰系（比例ヒステリシス減衰系ともいう）とみなすことにする。
（参考文献３：長松昭男 モード解析. 培風館，1985.）

更に、比例構造減衰系を比例粘性減衰系で近似する、即ち、「モード構造減衰係数／２」でモード減衰比を表すこととする。このとき、式（３５）に含まれる固有角振動数、モード減衰比、固有振動モードは、任意３次元形状の本体に対し、商用の有限要素法ソフトを用いた実固有値解析を行うことによって算出することができる。ここで、モード減衰比は、近似的モード減衰比というべきものであるが、ここでは、便宜上、単にモード減衰比ということとする。

本体のモード毎の運動方程式（式（３５））も、弦と同様に、双一次s-z変換を用いることによって、Ｍ個の並列化された２次ＩＩＲフィルタとして、それぞれ記述できるから、離散時間軸（ｔ＝ｎΔｔ; ｎ＝０，１，２,・・・）上で、A_C ^[m]（ｎΔｔ）（m＝１，２，・・・，M ）の値をモード毎に逐次算出することができ、空気モデル計算部１０６に出力される。

弦支持端の変位は、上述の方法で算出されたA_C ^[m]（ｎΔｔ）（m＝１，２，・・・，M ）の値を、物理座標−モード座標変換式（式（３６））を介して、弦−物理座標変換式（式（３７））に代入することによって算出できる。

ここで得られたu_Bk ^[iB]（ｎΔｔ）は、弦モデル計算部１０４へ出力され、式（１６）、（１７）、（１８）および式（３０）、（３１）、（３３）、（３４）に再帰的に代入される。以上が、本体モデル計算部１０５の説明である。

空気モデル計算部１０６は、本体モデル計算部１０５から出力されるＡ_Ｃ（ｎΔｔ）を取得し、これを用いて、以下に示す計算を行った結果得られるＰ（ｎΔｔ）を出力する。

以下、空気モデル計算部１０６における計算について説明する。

任意形状の３次元構造物から放射される空気中の任意の観測点における非定常音圧は、原理的には、次式に示すような方法、即ち、構造物の全表面を十分に細かい音響放射要素（境界要素）に分割した上で、「構造物の各音響放射要素の速度と空気中の観測点における音圧との間のインパルス応答関数」と「構造物の各音響放射要素の速度」との畳み込み積分を要素毎に行い、それらの総和を計算するという方法（式（３８））によって算出することができる。

しかしながら、高品質な疑似ピアノ音を合成するために必要な本体の音響放射要素数Ｉ_Ｇは通常膨大な数になるため、式（３８）の計算には膨大な時間を要してしまうことになる。そこで、式（３８）に式（３９）、（４０）を代入して、固有振動モードＭ個の総和を計算する順番と音響放射要素数Ｉ_Ｇ個の総和を計算する順番を入れ替える、即ち、式（４１）のような計算を行うことにする。

高品質な疑似ピアノ音を合成するために必要な本体の固有振動モード数Ｍは、音響放射要素数Ｉ_Ｇに比べ、普通は、はるかに小さいから、式（３８）のかわりに式（４１）を用いる、即ち、「本体の各音響放射要素の速度と空気中の観測点における音圧との間のインパルス応答」（式（４０）左辺において「ｔ」は「ｎΔｔ」（ｎ＝０，１，・・・,N^[iP]−１））ではなく、「本体の各固有振動モードのモード座標上での速度と空気中の観測点における音圧との間のインパルス応答」（式（４２）左辺において「ｔ」は「ｎΔｔ」（ｎ＝０，１，・・・,N^[iP]−１））を予め計算しておくことによって、疑似ピアノ音の合成に要する時間を飛躍的に短縮させることができる。

式（４３）に含まれるH^[iP][iG](ω)、即ち、「本体の各音響放射要素の速度と空気中の観測点における音圧との間の周波数応答関数」は、任意３次元形状の本体に対し、商用の境界要素法ソフトを用いた周波数応答解析を離散周波数軸上で行うことによって算出することができる。また、式（４２）は一般的なＩＦＦＴ（Inverse Fast Fourier Transform）演算によって計算することができる。

式（４１）に含まれる微分係数、即ち、「本体の各固有振動モードのモード座標上での速度」は、本体モデルより出力されるA_C ^[m]（ｎΔｔ）（m＝１，２，・・・，M）、即ち、「本体の各固有振動モードのモード座標上での変位」を数値的に微分することによって、式（４１）に含まれる積分は一般的なＦＩＲ（Finite Impulse Response）フィルタの方法によって、計算することができる。

かくして、式（４１）より、空気モデルからの出力信号、即ち、離散時間軸（ｔ＝ｎΔｔ; ｎ＝０，１，２,・・・）上における音圧P^[iP]（ｎΔｔ）（i_P＝１，２，・・・，I_P）を逐次算出し、楽音信号として出力することができる。

ここで、式（４１）中の畳み込み演算を時間領域ではなく周波数領域で行う「高速畳み込み」と呼ばれている手法を用いることによって、更に飛躍的な高速化をはかることができる。以上が、楽音信号合成部１００の構成の説明である。

このように、楽音信号合成部１００は、楽器全体が３次元的に振動することによって生み出される豊かで立体的な響き、中低音域の弦を強打したときに聴こえるリンギングサウンド、鍵押し込み深さやペダル踏み込み深さに連動した多彩な音楽的ニュアンスなど、自然楽器のピアノ音が有する特質をリアルに表現する擬似ピアノ音を生成することができる。また、それらの特質を自然楽器のピアノと同じように、制御することが可能となる。

具体的には、以下のようなものがある。例えば、弦長（＝弦支持点間の距離）あるいは打弦比（＝「弦長」／「ベアリング側弦支持端と打弦点との距離」)などのパラメータを
変更することにより、リンギングサウンドのレベルをコントロールすることが可能となる。以下では、特に、このリンギングサウンドについて、式（１７）を用いて説明する。ただし、ここでは説明を理解しやすくするために、式（１７）において、弦支持端の変位、弦y方向の変位および弦の内部粘性減衰係数を省略した式（４４）に従って説明すること
とする。

式（４４）は、弦の縦振動第i₂次固有振動の運動方程式であるが、右辺を周期的外力とみなすことにより、１自由度粘性減衰強制振動系の運動方程式として考えることができる。よく知られているように、この方程式の一般解は、減衰する自由振動解（斉次方程式の一般解）と持続する強制振動解（非斉次方程式の特解）の和によって構成されるが、強制振動解の性質とは、系が周期的外力の振動数で振動し、その振動数が系の固有振動数に近づくにつれ振幅が大きくなり、一致すると共振するというものである。いま、弦の曲げ振動に関する各固有振動が調和振動であると仮定する、即ち、式（４５）のように書くことにする。

このとき、式（４４）の右辺｛ ｝内は、式（４６）として導かれる。

いま、i₂を固定して、式（４６）に含まれる項cos2π(f₁ ^[m1]+f₁ ^[m1+i2])tがつくる系列に着目し、「この系列の第(2m₁＋i₂)次振動数f₁ ^[m1]+f₁ ^[m1+i2]の倍音系列周波数からのずれ」を計算すると、i₂が小さいとき、その値が、「曲げ振動第(2m₁＋i₂)次固有振動数f₁ ^[2m1+i2]の倍音系列周波数からのずれ」の約１／４であることが確認できる。自然楽器のピアノ音を分析することにより「ピアノの部分音の系列には、倍音系列からの周波数のずれが主系列の約１／４である副系列が存在する」ことが知られており、従って前記項がつくる系列こそが前記副系列にあてはまる。なお、i₂が大きくなるにつれ、この“ずれ量”は少しずつ大きくなる。

また、式（４６）に含まれる項cos2π(f₁ ^[m1]+f₁ ^[i2−^m1])tがつくる系列も上記副系列の形成に寄与していること、ただし、その寄与度は先の項よりも小さいことが理解できる。

式（４４）に式（４６）を代入した式は、副系列の第(2m₁＋i₂)次の振動数f₁ ^[m1]+f₁ ^[m1+i2]が弦の縦振動の第i₂次固有振動数に一致したとき共振現象が起こることを表している。これは、自然楽器のピアノ音が有する特徴的な現象である、「ピアノの部分音の系列には、倍音系列からの周波数のずれが主系列の約１／４である副系列が存在する」ことに加えて、「副系列の奇数次部分音の周波数が、弦の縦振動の奇数次固有振動数に一致するとき、又は、副系列の偶数次部分音の周波数が、弦の縦振動の偶数次固有振動数に一致するとき、副系列部分音のレベルが増大し、これがリンギングサウンドとなる」こと、より分析的な表現に変えると「弦の曲げ振動の奇数次固有振動数と偶数次固有振動数の和が、弦の縦振動の奇数次固有振動数に一致するとき、又は、弦の曲げ振動の１組の奇数次固有振動数の和、あるいは、１組の偶数次固有振動数の和が弦の縦振動の偶数次固有振動数に一致するとき、リンギングサウンドが生成される」こと（参考文献４）に対する、数学的な説明を与えるものである。
（参考文献４： J.Ellis. Longitudinal model in piano strings: Results of new research. Piano Technicians journal, pp.16-23, May 1998.）

更に、「リンリン」、「ヒンヒン」といった唸り現象については、例えば、副系列第１５(＝７＋８＝２×７＋１)次と副系列第１５(＝６＋９＝２×６＋３)次とでは、振動数が僅かに異なるために、その振動数差が唸りを生むとして説明することができる。なお、式（４４）に含まれる項cos2π(f₁ ^[m1]−f₁ ^[m1+i2])tおよびcos2π(f₁ ^[m1]−f₁ ^[i2−^m1])tは、曲げ振動の固有振動数よりも僅かに高い周波数を有する部分音の存在を示すものである。

さて、弦の材料定数を固定して考えるとき、式（２０）より、弦の縦振動固有振動数は、弦長にのみ依存する。なお、ピアノの低音域に通常使用される、巻弦（鋼鉄の芯線に銅線が巻かれている弦）については、この限りではない。

標準的な８８鍵ピアノのおよそ第３０鍵からおよそ第４０鍵までの音域においては、弦長の設定が原因となって、副系列第１５(＝７＋８＝２×７＋１)次の振動数と弦の縦振動基本固有振動数が近接している場合がある。そのような場合でも、打弦比を「７」または「８」に設定することで、リンギングサウンドの過剰なレベル増大を回避することができる。

なぜならば、副系列第１５(＝７＋８＝２×７＋１)次は、曲げ振動の第７次固有振動と第８次固有振動による生成物であるが、打弦比を「７」または「８」に設定すると曲げ振動の第「７」次または第「８」次の固有振動は欠落してしまうため、副系列第１５(＝７＋８＝２×７＋１)次は生成されないからである。この場合でも、依然として副系列第１５(＝６＋９＝２×６＋３)次などは存在するが、これらが縦振動の基本固有振動と共振することは無い。なお、自然楽器のピアノ音の時間周波数分析を行うと、副系列と一致しない場合の縦振動の固有振動のピーク（これは、式（１７）において右辺を「０」とした場合の自由振動解に相当する）は、急速に減衰してしまい、持続的なものとしては観測されない。この減衰の原因としては、弦支持部での摩擦による部分が大きいものと推測される。本発明の弦モデルにおいては、「弦全体に分布する外部摩擦」、即ち、式（１０）における外部粘性減衰係数ｂを含む項で、「弦支持部における局所的な外部摩擦」を代用している。

以上、リンギングサウンドの発生メカニズムとそのレベルを制御する設計因子（弦長、打弦比）について説明したが、弦の縦振動そのものは、空気中に音響を放射する能力をほとんど持ち合わせていないから、リンギングサウンドが音として聴こえるためには、いま説明した「弦の非線形（有限振幅）振動機構」に加え、「弦と本体との３次元連成振動機構」（「弦の本体に対する取り付け角度」や「駒の形状」などの設計因子がこれに含まれる）および「本体の３次元音響放射機構」（「駒の形状」はこれにも含まれる）の考慮が不可欠であることは言うまでもない。

ところで、自然楽器のピアノの開発現場において、ピアノ音の改良とは、ピアノという複雑なシステムの全体最適解を求めることに他ならないが、従来行われてきた試行錯誤的方法による最適解の模索は、ピアノのような多くの設計因子と誤差因子（天然材料の物性のばらつきや整音など人間による作業のばらつきなど）を有する巨大な音響構造体にとっては、特に、効率が悪い。本発明は、ピアノの仕様（原因）と音（結果）との因果関係を定量的に明らかにするものであるから、設計シミュレータとしてピアノ開発効率の向上にも貢献するものである。上記に加え、物理モデルによる楽音合成方法の利点は、現実のシミュレーションを超えた超自然的効果（例えば、現実には製作が困難な著しく大きなピアノなど）を仮想的に生成できる点にある。

＜第２実施形態＞
図４は、本発明の第２実施形態に係る電子楽器１Ａの構成を示すブロック図である。電子楽器１Ａは、例えば、電子ピアノであり、制御部１１Ａ、記憶部１２Ａ、ユーザ操作部１３Ａ、演奏操作部１５Ａおよび放音部１７Ａを有している。これらの各部は、バス１８Ａを介して互いに接続されている。ユーザ操作部１３Ａ、放音部１７Ａおよびバス１８Ａは、第１実施形態に係る電子楽器１におけるユーザ操作部１３、放音部１７およびバス１８と同様な機能を有するため、説明を省略する。

演奏操作部１５Ａは、第１実施形態における演奏操作部１５とは異なり、シフトペダル１６ｂが取り除かれている。そのため、ペダル位置センサ１６Ａｃは、ダンパペダル１６ａの踏込量を検出する。演奏操作部１５Ａにおける他の構成は、第１実施形態における演奏操作部１５と同様な機能を有するため、説明を省略する。

記憶部１２Ａは、第１実施形態における記憶部１２とは異なり、ハンマ先端が弦表面に及ぼす力ｆ_Ｈ（ｔ）を記憶している。この値は、第１実施形態におけるシフトペダル１６ｂが踏込まれていない状態（レスト位置）における値を示す。

制御部１１Ａは、第１実施形態における制御部１１とは異なり、制御プログラムを実行して実現される楽音信号合成部１００のうち、ハンマモデル計算部１０３を用いない楽音信号合成部１００Ａを実現する。

図５は、楽音信号合成部１００Ａの構成を示すブロック図である。図５に示すように、楽音信号合成部１００Ａには、ハンマモデル計算部１０３がない。弦モデル計算部１０４Ａ−１、１０４Ａ−２は、ハンマモデル計算部１０３から出力されるｆ_Ｈ（ｔ）を取得するのではなく、記憶部１２Ａに記憶されたｆ_Ｈ（ｔ）を取得する。楽音信号合成部１００Ａにおける他の構成については、第１実施形態における楽音信号合成部１００と同様の機能を有するため、説明を省略する。

上述のように、第２実施形態における電子楽器１Ａは、ペダルとしてダンパペダル１６ａだけを備えている電子ピアノの場合を想定したものである。

＜第３実施形態＞
図６は、本発明の第３実施形態に係る電子楽器１Ｂの構成を示すブロック図である。電子楽器１Ｂは、例えば、電子ピアノであり、制御部１１Ｂ、記憶部１２Ｂ、ユーザ操作部１３Ｂ、演奏操作部１５Ｂおよび放音部１７Ｂを有している。これらの各部は、バス１８Ｂを介して互いに接続されている。ユーザ操作部１３Ｂ、放音部１７Ｂおよびバス１８Ｂは、第１実施形態に係る電子楽器１におけるユーザ操作部１３、放音部１７およびバス１８と同様な機能を有するため、説明を省略する。

演奏操作部１５Ｂは、第１実施形態における演奏操作部１５とは異なり、ダンパペダル１６ａが取り除かれている。そのため、ペダル位置センサ１６Ｂｃは、シフトペダル１６ｂの踏込量を検出する。演奏操作部１５Ｂにおける他の構成は、第１実施形態における演奏操作部１５と同様な機能を有するため、説明を省略する。

記憶部１２Ｂは、第１実施形態における記憶部１２とは異なり、ダンパの抵抗力ｆ_ＤＫ（ｔ）を記憶している。この値は、第１実施形態におけるダンパペダル１６ａが踏込まれていない状態（レスト位置）における値を示す。

制御部１１Ｂは、第１実施形態における制御部１１とは異なり、制御プログラムを実行して実現される楽音信号合成部１００のうち、比較部１０１およびダンパモデル計算部１０２−１、１０２−２を用いない楽音信号合成部１００Ｂを実現する。

図７は、楽音信号合成部１００Ｂの構成を示すブロック図である。図７に示すように、楽音信号合成部１００Ａには、比較部１０１およびダンパモデル計算部１０２−１、１０２−２がない。弦モデル計算部１０４Ｂ−１、１０４Ｂ−２は、ダンパモデル計算部１０２から出力されるｆ_ＤＫ（ｔ）を取得するのではなく、記憶部１２Ｂに記憶されたｆ_ＤＫ（ｔ）を取得する。楽音信号合成部１００Ｂにおける他の構成については、第１実施形態における楽音信号合成部１００と同様の機能を有するため、説明を省略する。

上述のように、第３実施形態における電子楽器１Ｂは、ペダルとしてシフトペダル１６ｂだけを備えている電子ピアノの場合を想定したものである。

＜第４実施形態＞
図８は、本発明の第４実施形態に係る電子楽器１Ｃの構成を示すブロック図である。電子楽器１Ｃは、例えば、電子ピアノであり、制御部１１Ｃ、記憶部１２Ｃ、ユーザ操作部１３Ｃ、演奏操作部１５Ｃおよび放音部１７Ｃを有している。これらの各部は、バス１８Ｃを介して互いに接続されている。ユーザ操作部１３Ｃ、放音部１７Ｃおよびバス１８Ｃは、第１実施形態に係る電子楽器１におけるユーザ操作部１３、放音部１７およびバス１８と同様な機能を有するため、説明を省略する。

演奏操作部１５Ｃは、第１実施形態における演奏操作部１５とは異なり、ペダル部１６が取り除かれている。そのため、ペダル位置センサも存在しない。演奏操作部１５Ｃにおける他の構成は、第１実施形態における演奏操作部１５と同様な機能を有するため、説明を省略する。

記憶部１２Ｃは、第１実施形態における記憶部１２とは異なり、ダンパの抵抗力ｆ_ＤＫ（ｔ）、およびハンマ先端が弦表面に及ぼす力ｆ_Ｈ（ｔ）を記憶している。これら値は、第１実施形態におけるダンパペダル１６ａおよびシフトペダル１６ｂが踏込まれていない状態（レスト位置）における値を示す。

制御部１１Ｃは、第１実施形態における制御部１１とは異なり、制御プログラムを実行して実現される楽音信号合成部１００のうち、比較部１０１、ダンパモデル計算部１０２−１、１０２−２、およびハンマモデル計算部１０３を用いない楽音信号合成部１００Ｃを実現する。

図９は、楽音信号合成部１００Ｃの構成を示すブロック図である。図９に示すように、楽音信号合成部１００Ｃには、比較部１０１、ダンパモデル計算部１０２−１、１０２−２およびハンマモデル計算部１０３がない。弦モデル計算部１０４Ｃ−１、１０４Ｃ−２は、ダンパモデル計算部１０２から出力されるｆ_ＤＫ（ｔ）およびハンマモデル計算部１０３から出力されるｆ_Ｈ（ｔ）を取得するのではなく、記憶部１２Ｃに記憶されたｆ_ＤＫ（ｔ）およびｆ_Ｈ（ｔ）を取得する。楽音信号合成部１００Ｃにおける他の構成については、第１実施形態における楽音信号合成部１００と同様の機能を有するため、説明を省略する。

上述のように、第３実施形態における電子楽器１Ｃは、ダンパペダル１６ａおよびシフトペダル１６ｂを備えていない電子ピアノの場合を想定したものである。

以上、本発明の実施形態について説明したが、本発明は以下のように、さまざまな態様で実施可能である。

＜変形例１＞
上述した実施形態においては、例えば、鍵盤部１５、ペダル部１６の操作に応じて発音させる電子楽器１として機能させるために、リアルタイムに楽音信号合成処理を行っていたが、楽音制御データに応じて発音させる場合などにおいては、非リアルタイム処理としてもよい。

この場合には、例えば、１曲分の楽音制御データを用いて、「楽器本体の各固有振動モードのモード座標上での速度の時間軸上変動データ」の算出を先に行っておき、そのデータと「本体の各固有振動モードのモード座標上での速度と空気中の観測点における音圧との間のインパルス応答または周波数応答のデータ」との畳み込み演算を後から行うということもできる。これは、観測点の位置のみ変更した場合の楽音合成が容易に行えることを意味する。

＜変形例２＞
上述した実施形態においては、楽音信号合成処理は、ピアノの音を模擬した楽音信号を合成処理するものであったが、ピアノに限らず、振動する弦と、弦を支持し、弦の振動が伝達されることによって空気中に音響を放射する本体とを有する３次元構造の楽器であれば、どのような楽器（例えば、チェンバロ、琴、ギターなど）であってもよい。なお、琴のように弦が張られた両端の間に柱（ピアノの駒に相当）が設けられるような場合には、弦支持端の一端は柱となる。

＜変形例３＞
上述した実施形態における制御プログラムは、磁気記録媒体（磁気テープ、磁気ディスクなど）、光記録媒体（光ディスクなど）、光磁気記録媒体、半導体メモリなどのコンピュータ読取り可能な記録媒体に記憶した状態で提供し得る。また、ネットワークと接続可能な通信部を設け、インターネットのようなネットワーク経由でダウンロードさせることも可能である。

１…電子楽器、１１，１１Ａ，１１Ｂ，１１Ｃ…制御部、１１ａ…ＣＰＵ、１１ｂ…ＤＳＰ、１１ｃ…ＲＯＭ、１１ｄ…ＲＡＭ、１１ｅ…信号インターフェイス、１１ｆ…内部バス、１２，１２Ａ，１２Ｂ，１２Ｃ…記憶部、１３，１３Ａ，１３Ｂ，１３Ｃ…ユーザ操作部、１３ａ…操作パネル、１３ｂ…マウス、１３ｃ…操作スイッチ、１３ｄ…キーボード、１４…表示部、１５，１５Ａ，１５Ｂ，１５Ｃ…演奏操作部、１５ａ…鍵盤部、１５ｂ…黒鍵、１５ｃ…白鍵、１５ｄ…鍵位置センサ、１５ｅ…鍵速度センサ、１６…ペダル部、１６ａ…ダンパペダル、１６ｂ…シフトペダル、１６ｃ，１６Ａｃ，１６Ｂｃ…ペダル位置センサ、１７，１７Ａ，１７Ｂ，１７Ｃ…放音部、１７ａ…デジタルアナログ変換器、１７ｂ…スピーカ、１８，１８Ａ，１８Ｂ，１８Ｃ…バス、２１…グランドピアノ、２１ａ…鍵、２１ｂ…鍵盤、２１ｃ…ハンマ、２１ｄ…アクション機構、２１ｅ…弦、２１ｅａ…駒、２１ｅｂ…ベアリング、２１ｆ…ダンパ、２１ｈ…キャビネット、２１ｊ…本体、１００，１００Ａ，１００Ｂ，１００Ｃ…楽音信号合成部、１０１…比較部、１０２−１、１０２−２…ダンパモデル計算部、１０３…ハンマモデル計算部、１０４−１，１０４Ａ−１，１０４Ｂ−１，１０４Ｃ−１，１０４−２，１０４Ａ−２，１０４Ｂ−２，１０４Ｃ−２…弦モデル計算部、１０５…本体モデル計算部、１０６…空気モデル計算部

Claims (3)

1. ピアノの弦に及ぼされる力から前記弦の振動を計算し、前記振動に応じて前記ピアノから発生する音を模擬した波形を示す楽音信号を生成する楽音信号合成方法であって、
   前記ピアノのシフトペダルの踏込量に対応する演奏情報を取得し、前記弦に対してハンマが及ぼす力を計算する際に用いる弾性係数に対応する数値を、前記取得した演奏情報に応じて時間変動させるハンマモデル計算過程
   を備えることを特徴とする楽音信号合成方法。
2. コンピュータに、ピアノの弦に及ぼされる力から前記弦の振動を計算し、前記振動に応じて前記ピアノから発生する音を模擬した波形を示す楽音信号を生成させるためのプログラムであって、
   前記コンピュータを、
   前記ピアノのシフトペダルの踏込量に対応する演奏情報を取得し、前記弦に対してハンマが及ぼす力を計算する際に用いる弾性係数に対応する数値を、前記取得した演奏情報に応じて時間変動させるハンマモデル計算手段
   として機能させるためのプログラム。
3. ピアノの弦に及ぼされる力から前記弦の振動を計算し、前記振動に応じて前記ピアノから発生する音を模擬した波形を示す楽音信号を生成する楽音信号合成装置であって、
   前記ピアノのシフトペダルの踏込量に対応する演奏情報を取得し、前記弦に対してハンマが及ぼす力を計算する際に用いる弾性係数に対応する数値を、前記取得した演奏情報に応じて時間変動させるハンマモデル計算手段
   を具備することを特徴とする楽音信号合成装置。

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