JP2010529910A - ロボットなどの多関節システムの位置を較正する方法 - Google Patents

Abstract

本発明は多関節システム、特にロボットの位置を較正する方法に関する。
多関節システムは連接されたリンクにより相互連結されたＮ個のセグメントの連鎖からなり、この較正は連鎖の最後のセグメントにつながれた装置の測定位置Ｘ_ｍと、Ａ_１・Ａ_２．．．Ａ_ｉ．．．．．．Ａ_Ｎ・Ｘ_Ｎの積に等しい計算された位置Ｘ_ｃとの差を最小にし、同次の変換行列Ａ_ｉはｉ番目の各セグメントに関連し、この行列はシステムの構成パラメータ（ｑ）の関数、及びセグメントの弾力性を特徴付ける所与の一般化されたパラメータ（ｐ）の関数であり、この方法は：
−行列Ａ_１，Ａ_２．．．Ａ_ｉ．．．．．．Ａ_Ｎからなるシステムの弾力的なモデルを計算する第１ステップ（１）と、
−Ｘ_ｍとＸ_ｃの差を最小にする、一般化されたパラメータ（ｐ_ｏｐｔ）の集合を得ることにより、弾力的なモデルを較正する第２ステップ（２）と、
−弾力的なモデルにおける同次の変換行列同士の間に、一般化された誤差行列Ｅ_ｉを導入することによる、弾力的なモデルの一般化された多項式較正のステップであって、計算された位置Ｘ_ｃがＡ_１・Ｅ_１・Ａ_２・Ｅ_２．．．．．．．．．Ａ_Ｎ・Ｅ_Ｎ・Ｘ_Ｎの積に等しく、一般化された誤差行列Ｅ_ｉがｉ番目の各セグメントと関連しており、１つのセグメントの各行列Ｅ_ｉがこのセグメントにつながれた構成パラメータ（ｑ）の多項式関数である、第３ステップ（３）とを含む。
【選択図】 図１

Description

本発明は多関節システム、特にロボットの位置を較正する方法に関する。それは特にロボット工学の分野に適用される。それは例えば大きな細長比を有する鎖の場合に、連鎖の様々な要素の弾力性が挙動に影響する、特に連鎖的な多関節型のシステムにおける位置誤差を修正することを可能にする。これらのシステムは例えばロボット、マニピュレータ、クレーン、又は機械ツールである。

これらの多関節システムは例えばセルや原子炉の検査、及び宇宙における人工衛星と宇宙船の保守用に用いられ得る。

これ以降、ロボットという用語はそれらが大きな細長比を持つか否かに拘わらず、これら全てのシステムを記述するために用いられるであろう。様々な解決策は従来の幾何学的な較正を実施する。これらは特に、「マニピュレータ較正の基本（Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｓ ｏｆ Ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒ Ｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎ）」と題するＢ．モーリング（Ｂ．Ｍｏｏｒｉｎｇ）による書籍、Ｊ．Ｗｉｌｅｙ、Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ １９９１、及び「ロボット較正の概説（Ａｎ Ｏｖｅｒｖｉｅｗ ｏｆ Ｒｏｂｏｔ Ｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎ）」と題する、Ｚ．Ｓ．ロス（Ｚ．Ｓ．Ｒｏｔｈ）、Ｚ．Ｗ．モーリング（Ｚ．Ｗ．Ｍｏｏｒｉｎｇ）、及びＢ．ラバニ（Ｂ．Ｒａｖａｎｉ）による論文、ＩＥＥＥ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｒｏｂｏｔｉｃｓ ａｎｄ Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ、１９８７、第３巻（５）、３７７〜３８５頁に記述されている。これらの解決策はロボットの剛体モデル、特に長さのパラメータを識別する。連鎖の端部における位置誤差の修正は、これら従来の方法では非常に制限される。

別の検討は、工業ロボットにおける位置誤差を調整するための、幾何学的及び線形弾性の較正方法を開発している。この方法は特に、「高精度医療システムに対する適用を伴う大型マニピュレータにおける幾何学的及び弾性的誤差の補償（Ｃｏｍｐｅｎｓａｔｉｏｎ ｏｆ Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ａｎｄ Ｅｌａｓｔｉｃ Ｅｒｒｏｒｓ ｉｎ Ｌａｒｇｅ Ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒｓ ｗｉｔｈ ａｎ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｔｏ ａ Ｈｉｇｈ Ａｃｃｕｒａｃｙ Ｍｅｄｉｃａｌ Ｓｙｓｔｅｍ）」と題する、Ｐｈ．ドルーエ（Ｐｈ．Ｄｒｏｕｅｔ）、Ｓ．デュボウスキー（Ｓ．Ｄｕｂｏｗｓｋｙ）、Ｓ．ゼグロウル（Ｓ．Ｚｅｇｈｌｏｕｌ）、及びＣ．マヴロイディス（Ｃ．Ｍａｖｒｏｉｄｉｓ）による論文、Ｒｏｂｏｔｉｃａ ２、２００２、３４１〜３５２頁に記述されている。しかしながら、それらの構造において高い弾力性を有するロボットに関して、この方法は不満足なものである。

大型マニピュレータの微小な位置誤差を修正するために、一般化された線形多項式モデルを用いることもまた知られている。この解決策は特に「レーザー干渉法に基づくセンシングを用いてロボット精度改善用に位置誤差を推定するための系統的技術（Ａ Ｓｙｓｔｅｍａｔｉｃ Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ｔｏ Ｅｓｔｉｍａｔｅ Ｐｏｓｉｔｉｏｎｉｎｇ Ｅｒｒｏｒｓ ｆｏｒ Ｒｏｂｏｔ Ａｃｃｕｒａｃｙ Ｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔ Ｕｓｉｎｇ Ｌａｓｅｒ Ｉｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｒｙ Ｂａｓｅｄ Ｓｅｎｓｉｎｇ）」と題する、Ｇ．アリシ（Ｇ．Ａｌｉｃｉ）及びＢ．シリンザデー（Ｂ．Ｓｈｉｒｉｎｚａｄｅｈ）による論文、Ｍｅｃｈａｎｉｓｍ ａｎｄ Ｍａｃｈｉｎｅ Ｔｈｅｏｒｙ ４０、２００５、８７９〜９０６頁、及び「高精度患者整位システムの幾何学的及び弾性的誤差の較正（Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ａｎｄ Ｅｌａｓｔｉｃ Ｅｒｒｏｒ Ｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎ ｏｆ ａ Ｈｉｇｈ Ａｃｃｕｒａｃｙ Ｐａｔｉｅｎｔ Ｐｏｓｉｔｉｏｎｉｎｇ Ｓｙｓｔｅｍ）」と題する、Ｍ．メッギオラロ（Ｍ．Ｍｅｇｇｉｏｌａｒｏ）、Ｓ．デュボウスキー（Ｓ．Ｄｕｂｏｗｓｋｙ）、及びＣ．マヴロイディス（Ｃ．Ｍａｖｒｏｉｄｉｓ）による論文、Ｍｅｃｈａｎｉｓｍ ａｎｄ Ｍａｃｈｉｎｅ Ｔｈｅｏｒｙ、第４０巻、４１５〜４２７頁に記述されている。最初の論文においては、通常の多項式及びフーリエ多項式が用いられるが、しかし相関は最後の連接部のみに適用される。第２の論文においては、マニピュレータの全ての連接部に適用される特殊な多項式が用いられる。しかしながら、特に大きな細長比を有する多関節ロボットに対して、これら２つの方法の適用をシミュレートすることによっては、連鎖の端部における位置誤差を十分に修正することは可能でない。

別の既知の方法は、梁でマニピュレータの弾力的なモデル化を作り、次にこのモデルの弾力的なパラメータを識別する手順を開始することにある。この方法は特に「ロボットのモデル化、識別、及び制御（Ｍｏｄｅｌｉｓａｔｉｏｎ，ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｅｔ ｃｏｍｍａｎｄｅ ｄｅｓ ｒｏｂｏｔｓ［Ｍｏｄｅｌｉｎｇ，ｉｄｅｎｔｉｆｙｉｎｇ ａｎｄ ｃｏｎｔｒｏｌｌｉｎｇ ｒｏｂｏｔｓ］）」と題する、Ｗ．ハリール（Ｗ．Ｋｈａｌｉｌ）及びＥ．ドンブル（Ｅ．Ｄｏｍｂｒｅ）による論文、Ｇｅｒｍｅｓ、ＩＳＢＮ ２−７４６２−０００３−１、１９９９に記述されている。それはロボットの位置誤差を修正するには又も不十分な結果を与える。１０ｍ程度のオーダーの関節状の鎖の全長に対するこれらの方法を用いた一例として、１０ｃｍ程度のオーダーの精度が要求目標であるのに対して、連鎖の端部において数十ｃｍの位置誤差が得られる。

本発明の１つの目的は特に精度を改善することである。このために、本発明の主題は連接されたリンクにより相互連結されたＮ個のセグメントの連鎖からなる、多関節システムの位置を較正する方法であり、較正は連鎖の最後のセグメントにつながれた装置の測定位置Ｘ_ｍと、Ａ_１・Ａ_２．．．Ａ_ｉ．．．．．．Ａ_Ｎ・Ｘ_Ｎの積に等しい計算された位置Ｘ_ｃとの差を最小にし、同次の変換行列Ａ_ｉはｉ番目の各セグメントに関連し、この行列はシステムの構成パラメータｑの関数、及びセグメントの弾力性を特徴付ける所与の一般化されたパラメータｐの関数であり、前記方法は：
−行列Ａ_１，Ａ_２．．．Ａ_ｉ．．．．．．Ａ_Ｎからなるシステムの弾力的なモデルを計算する第１ステップと、
−Ｘ_ｍとＸ_ｃの差を最小にする、一般化されたパラメータｐ_ｏｐｔの集合を得ることにより、弾力的なモデルを較正する第２ステップと、
−弾力的なモデルにおける同次の変換行列同士の間に、一般化された誤差行列Ｅ_ｉを導入することによる、第２ステップにおいて較正された弾力的なモデルの一般化された多項式較正のステップであって、計算された位置Ｘ_ｃはＡ_１・Ｅ_１・Ａ_２・Ｅ_２．．．．．．．．．Ａ_Ｎ・Ｅ_Ｎ・Ｘ_Ｎの積に等しく、一般化された誤差行列Ｅ_ｉはｉ番目の各セグメントと関連しており、１つのセグメントの各行列Ｅ_ｉはセグメントにつながれた構成パラメータｑの多項式関数である第３ステップとを含む。

１つの特定の実施形態において、第１ステップで、システムの弾力的なモデルは、例えば以下の反復プロセスによるシステムの固定パラメータからの、新たな一般化されたパラメータｐの決定により得られる：
−幾何学的モデルが、システムの構成パラメータ、元の一般化されたパラメータ、及び幾何学的特性の関数として計算され、
−システムの変形が、幾何学的モデル及び機械的応力の関数として計算され、
−新たな一般化されたパラメータが変形の関数として計算され、
−新たな一般化されたパラメータが元のパラメータと比較され、
−新たなパラメータと元のパラメータとの間の差ΔＰが、所与のしきい値ε未満である場合、弾力的なモデルが新たな一般化されたパラメータから得られ、
−そうでない場合、新たな一般化されたパラメータを用いることにより、モデルを修正する、新たな反復が実行される。

機械的応力は一般化されたパラメータｐに属する変動応力を含み得る。

構成パラメータｑは、例えば所与の基準に対する回転軸及び上昇軸の角度を含む。

１つのセグメントは例えば平行四辺形によってモデル化され、回転軸は２つの継手間で連接され、第１の継手はセグメントに属し、第２の継手は連鎖における次のセグメントに属し、平行四辺形は平行四辺形の頂点を通過する軸まわりの上昇運動をモデル化し、セグメントはねじり応力、圧縮応力、及び引張り応力を受ける。

１つのセグメントに関係する一般化された誤差行列Ｅ_ｉは、例えば６つのパラメータε_１、ε_２、ε_３、ε_４、ε_４、ε_６の非線形関数であり、これらの３つのパラメータε_１、ε_２、ε_３は、セグメントに結ばれた座標系の回転運動に相当するオイラー角を表わし、他の３つのパラメータε_４、ε_４、ε_６は座標系の中心Ｏ_ｉの空間内での並進を表わし、各々の一般化されたパラメータは構成ベクトルｑの成分の多項式関数である。

本発明のその他の特徴及び利点は、添付図に照らして与えられる以下の記述から明らかになるであろう。

本発明による方法を実施するための可能なステップの提示である。 多関節システムの例示的運動モデルである。 多関節連鎖に属するセグメントの例示的実施形態である。 多関節連鎖の２セグメント間の連接の例示的実施形態である。 セグメントをモデル化している平行四辺形である。 多関節システムの全ての弾力的なモデルである。 様々な応力の影響下での、平行四辺形構造の変形の例示である。 本発明による方法の第１ステップにおいて用いられる例示的反復プロセスの提示である。 １つのセグメントに結ばれた座標系から、別のセグメントに結ばれた座標系への移行の例示である。

図１は、本発明による方法を実施するための可能なステップを提示する。第１ステップ１において、ロボットの弾力的なモデルが、ロボットの剛体モデルのパラメータから、新たな一般化されたパラメータを決定することにより計算される。剛体モデルは弾力性のない多関節システムの幾何学的モデルである。弾力的なモデルは弾力性を導入した多関節システムの幾何学的モデルである。一般に、直接の幾何学的モデルはロボット工学において、特に多関節ロボットのためのマニピュレータ・アーム用に使われる機械的モデルである。それはリンクの構成に応じて、ロボットの末端の装置の位置及び向きにおける、構成を決定するために使用され得る。

次に二重の較正が行なわれる。従って、第２ステップ２において、弾力的なモデルの第１の較正が実施され、第３のステップ３において一般化された多項式の較正がそれに続く。

図２は例として、大きな細長比を有する多関節ロボットの運動モデルを提示する。この例において、多関節の連鎖は５つのセグメント２１を含む。末端の装置２２は最後のセグメントに結ばれて、連鎖の最後に位置する。この末端の装置２２、又はエフェクターは、ロボットの使用に依存するクランプ、カメラ、又は任意のタイプのツールであり得る、ロボットの末端に配置されるツールである。エフェクター２２と最後のセグメント２１の間のリンク２３は剛体である。図２のモデルにおいて、各セグメントは回転軸２４及び平行四辺形２５を備える。回転軸２４は２つの継手２６、２７の間に収容され、第１の継手２６はセグメント自体に属し、第２の継手２７は前のセグメントに属する。継手と組み合わされたこの回転軸２４は、平面Ｘ_０，Ｚ_０、例えば水平面における回転運動のモデル化を可能にする。他のタイプの連接は可能である。平行四辺形は軸２９まわりの上昇運動のモデル化を可能にする。連鎖の第１セグメントは、例えば２つのセグメントを一緒に繋いでいるものと同じタイプの連接部により、固定された構造体２８に結ばれ、この固定された構造体２８は、例えばそれに固定座標系が特に結ばれ得る、ロボットのベースを形成する。

図３はセグメント２１の例示的実施形態を提示する。このセグメントは各端部に継手２６、２７を備える管３１を含む。第１の継手２６は回転軸２４を介して、次のセグメントの継手２７まわりに連接される。回転運動は、回転用ケーブルを駆動する回転プーリー３２を用いて得られる。管３１は各端部に上昇軸２９を備える。それはまた内側に、継手２６、２７に接続された上端の連接棒３３と下端の連接棒３４、ならびに上昇アクチュエータ３５と回転アクチュエータ３６も備える。

図４は２つの連続したセグメント間の連接の例示的実施形態の、さらに詳細な説明を与える。さらに詳しくは、第１の継手２６はプーリー３２に機械的に連結されて表わされ、プーリー３２は上昇軸２９まわりに回転し、この第１の継手はまた接続部４１により連接棒３３、３４にも連結されている。次のセグメントに属する第２の継手２７は、軸２４まわりに回転の度合いに応じて変位する。もう１つのプーリー３２はこの軸２４に取り付けられている。回転用ケーブル４２は２つのプーリー３２により駆動される。回転軸２４及び上昇軸２９は直角を成している。

セグメントはねじり応力、圧縮応力、及び引張り応力を受ける。しかしながら、この構造における変形の複雑な計算を単純化するため、ねじり変形は例えば移されて、平行四辺形２５の底辺における上昇軸２９がセグメントをモデル化した後で表わされる。例えば、平行四辺形の構造において圧縮及び引張りのみが考慮される。このようにして、平行四辺形は平面内に収容されたまま留まる。

図５は平行四辺形２５の弾力的な構造モデルをより正確に表わす。平行四辺形は４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄを含む。Ａ点は上昇軸２９を表わす。このＡ点から始まる長辺ＡＢ５１は管３１を表わす。反対側の辺ＣＤ５２は連接棒３３、３４を表わす。管の両端部は平行四辺形の短辺ＡＣ５３、ＢＤ５４によりモデル化される。各セグメント５１、５２、５３、５４は圧縮方向及び引張り方向における自由度を許容する。管３１及び連接棒３３、３４の引張りと圧縮の弾力性は、それぞれの剛性ｋ_ｔｕｂｅ及びｋ_ｂ１の直線ばね５５、５６によりモデル化される。平行四辺形はまた分枝ＢＪ５７を含み、Ｊ点は辺ＡＣ５３に属する。この分枝５７は上昇運動を制御する上昇アクチュエータ３５の作用を表わす。このアクチュエータはジャッキ又は釣り合いロッドであり得る。剛性がｋ_ｊ１の直線ばね５８は、このアクチュエータの、言い換えれば、例えばロッド又はジャッキの弾力性を象徴する。

図６はロボットを形成する全てのセグメント２１の弾力的なモデルを表わす。図５の平行四辺形２５は連続的なセグメント２１をつなぐ連接部により追補される。全体として、各セグメントは：
−回転軸２４の上流側にある継手２６のねじりを表わす剛性ｋ_ｔ１のばね６１と、
−回転軸２４のたわみを表わす剛性ｋ_ｆ１のばね６２と、
−回転用ケーブル４２の弾性を表わす剛性ｋ_ｒのばね６３と、
−回転軸２４の下流側にある継手２７のねじりを表わす剛性ｋ_ｔ２のばね６４と、
−平行四辺形２５のねじりを表わす剛性ｋ_ｔｐのばね６５と、
−前述した連接棒の弾性を表わす剛性ｋ_ｂ１、ジャッキ又はロッドの弾性を表わす剛性ｋ_ｊ１、及び管の圧縮の弾性を表わす剛性ｋ_ｔｕｂｅのばね５６、５８、５５と
によってモデル化される。

これらの弾性は、構造の変形を導入するであろう。回転の直接の地理学的モデルＤＧＭは、それぞれ剛性ｋ_ｔ１、ｋ_ｆ１のばね６１、６２の回転角、回転軸まわりの回転角、剛性ｋ_ｒ、ｋ_ｔ２のばね６３、６４の回転角、上昇軸まわりの回転角、及び剛性ｋ_ｔｐのばね６５の回転角を表わす、７つの一般化されたパラメータφ_ｔ１、φ_ｆ１、θ、φ_ｒ、φ_ｔ２、α、φ_ｔｂの関数として得られる。

回転ＤＧＭを計算するために、Ａと名付けられる同次の変換行列（４×４）が例えば使用される。この行列は一般化されたパラメータ及びロボットの構成の関数である。それは次の形で書かれる：

ここで、
−パラメータ角（ａｎｇｌｅ）は、一般化されたパラメータφ_ｔ１、φ_ｆ１、θ、φ_ｒ、φ_ｔ２、α、φ_ｔｂの１つを表わし、
−Ｒはサイズ（３×３）の回転行列、
−Ｔはサイズ（３×１）の並進ベクトル、
−０はサイズ（１×３）のゼロ・ベクトル
である。

行列Ａ_ｒで表わされる回転のＤＧＭは、そのとき次の関係に従って計算される：
Ａ_ｒ＝Ａ（φ_ｔ１）×Ａ（φ_ｆ１）×Ａ（θ）×Ａ（φ_ｒ）×Ａ（φ_ｔ２）×Ａ（α）×Ａ（φ_ｔｂ） （２）

図７はそれに続くセグメント２１の重量から生じる圧縮力及び引張力の影響下での、平行四辺形構造２５の変形を示す。平行四辺形のＤＧＭは、Ａ点における平行四辺形の底辺の座標系内の、後方の末端部ＢＤの位置と向きを与える。この計算は幾何学的であり、平行四辺形の平面である面内において実施される。同次の変換行列Ａ_ｐにより表わされる平行四辺形のＤＧＭは、上記の上昇角α、管の長さｌ_ｔｕｂｅ、及び連接棒の長さｌ_{ｃｏｎｎｅｃｔｉｎｇ ｒｏｄ}である、３つの一般化されたパラメータの関数として計算される。

１つのセグメントのＤＧＭは、平行四辺形２５のＤＧＭと回転軸２４のＤＧＭの組合せである。２つのＤＧＭの組合せは、対応する同次の行列Ａ_ｒ、Ａ_ｐの行列乗算により得られる。ｉ番目のセグメントのＤＧＭを表わす行列は、それゆえ次の関係により得られる。
Ａ_{ｓｅｇｍｅｎｔｉ}＝Ａ_ｒ×Ａ_ｐ （３）

ロボットを表わす完全な連鎖のＤＧＭは、連鎖のＮ個のセグメントを組み合わせることによって得られ、Ａ_{ｒｏｂｏｔ}の組立品を表わす行列は次の関係により与えられる。
Ａ_{ｒｏｂｏｔ}＝Ａ_{ｓｅｇｍｅｎｔ１}×Ａ_{ｓｅｇｍｅｎｔ２}×．．．．．．．．．．．．×Ａ_{ｓｅｇｍｅｎｔＮ} （４）

弾力的なモデルの目的は、特に所与の連接位置及び次のパラメータ：
−セグメント２１の重量、長さ、及び重心位置と、
−ロボットの各種部品の剛性ｋ及び一般化されたパラメータ
の関数として、エフェクター２２の位置及び向きを提供することである。

弾力的なモデルを計算するステップ１において、先験的な公称値がパラメータｋに割り当てられる。次のステップの１つの目的は、その先験的な公称値から実際のロボットのための値を決めることである。

この最初の弾力的モデルは、従って反復的プロセスにより得ることができる。「ロボットのモデル化、識別、及び制御（Ｍｏｄｅｌｉｓａｔｉｏｎ，ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｅｔ ｃｏｍｍａｎｄｅ ｄｅｓ ｒｏｂｏｔｓ［Ｍｏｄｅｌｉｎｇ， ｉｄｅｎｔｉｆｙｉｎｇ ａｎｄ ｃｏｎｔｒｏｌｌｉｎｇ ｒｏｂｏｔｓ］）」と題する、Ｗ．ハリール（Ｗ．Ｋｈａｌｉｌ）及びＥ．ドンブル（Ｅ．Ｄｏｍｂｒｅ）による論文、は、そのような反復プロセスを記述している。本発明による方法の、このステップ１において、計算方法はそれにもかかわらず異なる可能性があり、従って反復プロセスは異なり得る。

図８は、例えば本発明による方法の第１ステップ１において使用される、この反復プロセスを例示している。計算方法は、例えば剛体モデルで始まる。構成の集合８１に対して、及び一般化されたパラメータ８２及び、構造の幾何学的特性８３を用いることにより、ロボットのＤＧＭ８４が計算される。構造の弾力性及び所与の重力効果８５を導入することにより、平行四辺形２５及び回転軸２４に加えられた力が計算され、それは変形８６のモデル化を可能にする。これらの変形８６は、その後にロボットの一般化されたパラメータ８７を更新するために使用され、古い値８２との比較８８をされる。

新旧の一般化されたパラメータ間の差ΔＰが、所与のしきい値εよりも小さい場合、弾力的なモデル９０は、更新されたＤＧＭ８９及び新たな一般化されたパラメータ８７から得られる。そうでない場合８０は、新たな反復が実行され、この反復は新たな一般化されたパラメータを用いることにより、古いモデル８４を修正する。このアルゴリズムは収束が得られるまで繰り返される。異なる一般化されたパラメータ間で１０^−６ｍ又はラジアンよりも小さい差を得るためには、約３〜４回の反復が必要になり得る。

ロボットの連接部２４、２６、２７及び本体２５の弾力性は、エフェクター２２の位置決め精度、及びこの位置の安定性に関し、ロボットの性能に対する大きな影響を与える。

各セグメント２１の端部における重力効果及び荷重は、弾力的な連接部の偏差を引き起こし、ロボットの性能を低下させる。大型のロボットに対しては特に、モデルの計算において既に考慮されている弾力性が、次のステップ２、３において較正される。

第２ステップ２は、それゆえ第１ステップ１で得られた弾力的なモデルを較正する段階を含む。較正プロセスは量Ｘ_ｍ−Ｘ_ｃを最小化する。量Ｘは３つの並進成分及び３つの回転成分を含む６つの成分を有するベクトルであり得る。そのような量は空間内の点、この場合平行四辺形の位置、あるいはエフェクター２２の位置の変位を決定する。

Ｘ_ｍは平行四辺形の連接部及びエフェクターの連接部から測定された位置である。測定値の選定は特に用途、測定手段、及び要求精度の関数である。この測定された位置Ｘ_ｍは、従ってエフェクター２２の位置、あるいは中間連接部の位置のいずれかを表わし得る。

位置Ｘ_ｃは同じ連接部に対し、及びエフェクターに対し、第１ステップ１においてロボットの弾力的なＤＧＭにより計算された位置である。Ｘ_ｃは構成ベクトルｑ及びパラメータ・ベクトルｐの関数である。

前述されたシステムの構成は、構成ベクトルｑによって表わされることができ、このベクトルの成分はロボットの連接部又は回転軸の角度である。

ベクトルｐの識別可能なパラメータは、特にロボットの重量、長さ、重心位置、各種部品の剛性、及び前述の一般化されたパラメータである。ベクトルＸ_ｃは従って次の関係に従って書かれ得る。
Ｘ_ｃ＝ｆ（ｐ，ｑ） （５）
ここで、
ｆ（ｐ，ｑ）＝Ａ_１・Ａ_２．．．Ａ_ｉ．．．．．．Ａ_Ｎ・Ｘ_Ｎ （６）
Ｘ_ＮはＮ番目のセグメントである、最後のセグメントに対するエフェクター２２の位置であり、この位置は決定が容易である。Ａ_ｉは関係（１）に関して前述したｉ番目のセグメントと関連する、同次の変換行列である。

例えば、ロボットの製作者により所与のパラメータを表わす第１ステップにおいて用いられている、パラメータのベクトルｐ_０を用いることにより、公称位置Ｘ_０が得られる。またパラメータの固定ベクトルｐ_{ｒｉｇｉｄ}を用いることにより、位置Ｘ_{ｒｉｇｉｄ}が一定の数の構成に対して得られる。このベクトルｐ_{ｒｉｇｉｄ}において、θ及びαは可変である。弾力性に関するその他の一般化されたパラメータ、φ_ｔ１、φ_ｆ１、φ_ｒ、φ_ｔ２、φ_ｔｂは０に等しい値を有し、全ての剛性ｋは無限の値を有し、それは完全に剛体のシステムの場合であろう。１つの目的は、例えば最小二乗法の意味で、充分な数の構成に対して位置誤差Ｘ_ｍ−Ｘ_ｃを最小化する、パラメータのベクトルｐ_ｏｐｔを決定することであり、Ｘ_ｍは較正されるべきロボットに本質的に結ばれて与えられる。パラメータの公称値ｐ_０は、使用される最適化アルゴリズムのための開始点として用いられる。使用される最適化アルゴリズムは、例えば「境界に対する大型の非線形最小化対象のための反射ニュートン法の収束に関して（Ｏｎ ｔｈｅ Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ Ｒｅｆｌｅｃｔｉｖｅ Ｎｅｗｔｏｎ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ Ｌａｒｇｅ−Ｓｃａｌｅ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｍｉｎｉｍｉｚａｔｉｏｎ Ｓｕｂｊｅｃｔ ｔｏ Ｂｏｕｎｄｓ）」と題する、Ｔ．Ｆ．コールマン（Ｔ．Ｆ．Ｃｏｌｅｍａｎ）及びＹ．リー（Ｙ．Ｌｉ）による論文、Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ、第６７巻、２号、１９９４、１８９〜２２４頁に記述されている、非線形最適化アルゴリズムであり得る。

第３のステップ３は、一般化された多項式較正の適用により、前のステップを補足する。ロボットの運動学は特に、様々なセグメント２１及びエフェクター２２に対して、ロボットのベース２８に結ばれた座標系により定義される。１つの座標系から別の座標系への移行は、特にロボットの構成及びパラメータの関数である、同次の変換行列Ａ_ｉにより得られる。

誤差修正なしで、ロボットのベースに対するエフェクターの位置Ｘ_ｃ１は、従って次の関係に従って計算される。
Ｘ_ｃ１＝Ａ_１・Ａ_２×．．．．．．Ａ_Ｎ・Ｘ_Ｎ （７）
ここで、Ｘ_ｃ１は第２ステップ２において計算された、ロボットのベースに対するエフェクター２２の弾力的な位置である。このベクトルは、このステップ２において得られたロボットの弾力的モデルから計算される仮想の位置を表わす。

前述のように、Ｘ_Ｎは最後のセグメント及びＡ_ｉに対するエフェクターの位置を表わすベクトルであり、１、２、．．．．．．Ｎに等しいｉは、ｉ番目の連接部の弾力的な同次の変換行列である。

位置誤差を修正するため、一般化された誤差行列Ｅ_ｉが、各々の同次の変換行列Ａ_ｉの間に挿入される。一般化された誤差行列は、特に「高精度患者整位システムの幾何学的及び弾性的誤差の較正（Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ａｎｄ ｅｌａｓｔｉｃ ｅｒｒｏｒ ｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｈｉｇｈ ａｃｃｕｒａｃｙ ｐａｔｉｅｎｔ ｐｏｓｉｔｉｏｎｉｎｇ ｓｙｓｔｅｍ）」と題する、Ｍ．メッギオラロ（Ｍ．Ｍｅｇｇｉｏａｌａｒｏ）、Ｓ．デュボウスキー（Ｓ．Ｄｕｂｏｗｓｋｙ）、及びＣ．マヴロイディス（Ｃ．Ｍａｖｒｏｉｄｉｓ）による論文、Ｍｅｃｈａｎｉｓｍ ａｎｄ Ｍａｃｈｉｎｅ Ｔｈｅｏｒｙ、第４０巻、２００５、４１５〜４２７頁に記載されている。新たな位置Ｘ_ｃ２を得るため、関係（７）はそれゆえ次の関係を得るように修正される：
Ｘ_ｃ２＝Ａ_１・Ｅ_１・Ａ_２・Ｅ_２．．．．．．．．．Ａ_Ｎ・Ｅ_Ｎ・Ｘ_Ｎ （８）
Ｘ_ｃ２はロボットのベースに対するエフェクターの実際の位置であり、Ｅ_ｉは１番目のセグメントに関連する同次の変換行列Ａ_ｉに続く、一般化された誤差行列である。

一般化された誤差行列Ｅ_ｉは、特に各セグメントの回転軸の角度位置誤差を修正することを目的としている。特にｉ番目のセグメントの連接部に対して、行列Ｅ_ｉは弾力的な仮想座標系から、実座標系への移行を可能にする。

図９は座標系間の移行を例示する。特に、図９はその中心をセグメントの点Ｏ_ｉ−１に有する、ｉ−１番目のセグメントに結ばれた座標系９１を提示する。変換行列Ａ_ｉは、ｉ−１番目のセグメントに結ばれた座標系９１から、その中心をこのセグメントの点Ｏ_ｉに有する、ｉ番目のセグメントに結ばれた座標系９２への移行を可能にする。次に、一般化された誤差行列Ｅ_ｉは並進運動と回転運動の組合せを通じて、この仮想座標系から、実座標系９２’への移行を可能にし、この移行は特に座標系の、中心Ｏ_ｉから中心Ｏ_ｉ’への変化を生じる。

各行列Ｅ_ｉの要素は６つの一般化されたパラメータε_１、ε_２、ε_３、ε_４、ε_４、ε_６の非線形関数であり、これらの３つのパラメータε_１、ε_２、ε_３は回転運動に相当するオイラー角を表わし、他の３つのパラメータε_４、ε_４、ε_６は空間内での並進を表わす。各々の一般化されたパラメータは、ロボットを形成する多関節システムの形状の多項式関数であり、従って構成ベクトルｑの多項式関数である。

本発明によれば、行列Ａ_ｉはロボットの弾力的モデルを表わし、行列Ｅ_ｉは一般化されたパラメータの関数として非線形である。特に、行列Ｅ_ｉは次の形で書くことができる：

ここで、Ｃε_ｉはオイラー角ε_ｉの余弦を表わし、Ｓε_ｉはその正弦を表わす。

特に平行四辺形構造のため、ロボットの弾力的モデルはそのパラメータにおいて冗長性を示す。モデルの他のパラメータの関数であるパラメータが存在する。独立パラメータのみが識別される。関係（７）により定義された目的関数の勾配が、パラメータの依存性を取り除くために展開され得る。それはまた最適化手法の堅牢性を増すことを可能にする。用いられる１つの最適化手法は、非線形の最小二乗法であり得る。そして使用されるアルゴリズムはＴ．Ｆ．コールマン（Ｔ．Ｆ．Ｃｏｌｅｍａｎ）らによる論文に記述されたアルゴリズムである。

所与の構成の集合に対し、目的関数の勾配は、構成の数ｍが識別されるべきパラメータの数よりも大きい行列Ｗとなる。行列Ｗの分解はより高次の三角行列Ｒを与える。独立パラメータは、例えば次の関係を満たす三角行列Ｒの対角線要素ｒを用いることにより見出される：
ｒ＞ｍｘｍａｘ（｜Ｒ_ｉｉ｜）ｘε （９）
ここでＲ_ｉｉは行列Ｒの対角線要素により形成されるベクトルであり、εはシステムに対して必要とされる機械の精度、｜Ｒ_ｉｉ｜はベクトルの係数である。パラメータを除去するこの方法は非常に正確であり、特にそれは冗長なパラメータのみを対象とする。それは数値的に行なわれ、実行は非常に速い。

有利なことに、本発明により提案されている解決策は、大型ロボットのみならず小型ロボットにおいても位置誤差を最も良く修正するための方法を提供する。特に、本発明は全てのタイプのマニピュレータ・ロボット又は弾力的システムに適用可能である。

Claims (9)

1. 連接されたリンク（２４、２６、２７）により相互連結されたＮ個のセグメント（２１）の連鎖からなる、多関節システムの位置を較正する方法であって、
   前記較正が連鎖の最後のセグメントにつながれた装置（２２）の測定位置Ｘ_ｍと、Ａ_１・Ａ_２．．．Ａ_ｉ．．．．．．Ａ_Ｎ・Ｘ_Ｎの積に等しい計算された位置Ｘ_ｃとの差を最小にし、同次の変換行列Ａ_ｉがｉ番目の各セグメント（２１）に関連し、この行列がシステムの構成パラメータ（ｑ）の関数、及びセグメント（２１）の弾力性を特徴付ける所与の一般化されたパラメータ（ｐ）の関数である方法において、
   −行列Ａ_１，Ａ_２．．．Ａ_ｉ．．．．．．Ａ_Ｎからなるシステムの弾力的なモデルを計算する第１ステップ（１）と、
   −Ｘ_ｍとＸ_ｃの差を最小にする、一般化されたパラメータ（ｐ_ｏｐｔ）の集合を得ることにより、弾力的なモデルを較正する第２ステップ（２）と、
   −弾力的なモデルにおける同次の変換行列同士の間に、一般化された誤差行列Ｅ_ｉを導入することによる、弾力的なモデルの一般化された多項式較正のステップであって、計算された位置Ｘ_ｃがＡ_１・Ｅ_１・Ａ_２・Ｅ_２．．．．．．．．．Ａ_Ｎ・Ｅ_Ｎ・Ｘ_Ｎの積に等しく、一般化された誤差行列Ｅ_ｉがｉ番目の各セグメントと関連しており、１つのセグメントの各行列Ｅ_ｉが前記セグメントにつながれた構成パラメータ（ｑ）の多項式関数である第３ステップと
   を含むことを特徴とする方法。
2. 第１ステップ（１）で、システムの弾力的なモデルが、以下の反復プロセス：
   −幾何学的モデル（８４）が、システムの構成パラメータ（８１）、元の一般化されたパラメータ（８２）、及び幾何学的特性（８３）の関数として計算されるプロセスと、
   −システムの変形（８６）が、幾何学的モデル（８４）及び機械的応力（８５）の関数として計算されるプロセスと、
   −新たな一般化されたパラメータ（８７）が変形（８６）の関数として計算されるプロセスと、
   −新たな一般化されたパラメータ（８７）が元のパラメータ（８２）と比較されるプロセスと、
   −新たなパラメータ（８７）と元のパラメータ（８２）との間の差ΔＰが、所与のしきい値ε未満である場合、弾力的なモデル（９０）が新たな一般化されたパラメータ（８７）から得られるプロセスと、
   −そうでない場合（８０）、新たな一般化されたパラメータを用いることにより、モデル（８４）を修正する、新たな反復が実行されるプロセスと
   によるシステムの固定パラメータからの、新たな一般化されたパラメータ（ｐ）の決定により得られることを特徴とする、請求項１に記載の方法。
3. 機械的応力が一般化されたパラメータ（ｐ）に属する変動応力を含むことを特徴とする、請求項２に記載の方法。
4. 構成パラメータ（ｑ）が、所与の基準に対する回転軸（２４）及び上昇軸（２９）の角度を含むことを特徴とする、請求項１〜３のいずれか一項に記載の方法。
5. セグメント（２１）が平行四辺形（２５）によってモデル化され、回転軸（２４）が２つの継手（２６、２７）間で連接され、第１の継手（２６）が前記セグメントに属し、第２の継手（２７）が連鎖における次のセグメントに属し、平行四辺形が前記平行四辺形の頂点を通過する軸（２９）まわりの上昇運動をモデル化し、前記セグメントがねじり応力、圧縮応力、及び引張り応力を受けることを特徴とする、請求項１〜４のいずれか一項に記載の方法。
6. 各セグメント（２１）が以下の弾力性のパラメータ：
   −回転軸（２４）の上流側にある継手（２６）のねじりを表わす剛性ｋ_ｔ１のばね（６１）と、
   −回転軸（２４）のたわみを表わす剛性ｋ_ｆ１のばね（６２）と、
   −回転運動伝達要素（４２）の弾性を表わす剛性ｋ_ｒのばね（６３）と、
   −回転軸（２４）の下流側にある継手（２７）のねじりを表わす剛性ｋ_ｔ２のばね（６４）と、
   −平行四辺形（２５）のねじりを表わす剛性ｋ_ｔｐのばね（６５）と、
   −平行四辺形の辺（５２）の弾力性を表わす剛性ｋ_ｂ１、反対側の辺（５１）の弾力性を表わす剛性ｋ_ｔｕｂｅ、及び隣辺（５３）の点（Ｊ）を、この辺（５１）の端部（Ｂ）につなぐ分枝（５７）の弾力性を表わす剛性ｋ_ｊ１のばね５６、５８、５５と
   によってモデル化され、
   回転のモデルが、それぞれ剛性ｋ_ｔ１、ｋ_ｆ１のばね（６１、６２）の回転角、回転軸（２４）まわりの回転角、剛性ｋ_ｒ、ｋ_ｔ２のばね（６３、６４）の回転角、上昇軸（２９）まわりの回転角、及び剛性ｋ_ｔｐのばね（６５）の回転角を表わす、一般化された弾性パラメータφ_ｔ１、φ_ｆ１、θ、φ_ｒ、φ_ｔ２、α、φ_ｔｂの関数として得られることを特徴とする、請求項５に記載の方法。
7. セグメント（２１）が、連接棒（３３、３４）を装備し各端部に継手（２６、２７）を備える管（３１）を含み、第１の継手（２６）が回転軸（２４）を介して次のセグメントの継手（２７）のまわりに連接され、回転運動が回転用ケーブル（４２）を駆動する回転プーリー（３２）を用いて得られ、セグメントの一辺（５１）が管をモデル化し、反対側の辺（５２）が連接棒をモデル化し、分枝（５７）が釣り合い要素をモデル化し、そして回転運動伝達要素（４２）が回転用ケーブルをモデル化することを特徴とする、請求項５に記載の方法。
8. セグメント（２１）に関係する一般化された誤差行列Ｅ_ｉが、６つのパラメータε_１、ε_２、ε_３、ε_４、ε_４、ε_６の非線形関数であり、これらの３つのパラメータε_１、ε_２、ε_３が、セグメントに結ばれた座標系（９２）の回転運動に相当するオイラー角を表わし、他の３つのパラメータε_４、ε_４、ε_６が座標系（９２）の中心Ｏ_ｉの空間内での並進を表わし、各々の一般化されたパラメータが構成ベクトル（ｑ）の成分の多項式関数であることを特徴とする、請求項１〜７のいずれか一項に記載の方法。
9. 行列Ｅ_ｉが次の形：
   

   

   で書かれ、Ｃε_ｉがオイラー角ε_ｉの余弦を表わし、Ｓε_ｉがその正弦を表わすことを特徴とする、請求項８に記載の方法。

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