JP2010223627A - 干渉計による２次元位相デ−タのアンラップ方法および装置 - Google Patents

Abstract

【課題】干渉計による２次元位相デ−タのアンラップ方法および装置において、データの欠落があっても有効領域内の２次元位相データ全体をアンラップすることができるようにする。
【解決手段】同一のオフセット値を有すると見なすことができる２次元位相データの集まりである共通オフセット位相データ群を生成する共通オフセット位相データ群生成工程Ｓ１０と、共通オフセット位相データ群の各オフセット値ｚ_０ｉに対応するパラメータＺ_１＿ｉをフィッティング関数を仮定して推定するオフセット推定工程Ｓ１１と、推定された各パラメータＺ_１＿ｉのうちいずれか、またはＺ_１＿ｉによる加重平均位相を基準位相値Ｏとして、ｚ_０ｉ＝２π・ｒｏｕｎｄ｛（Ｚ_１＿ｉ−Ｏ）／２π｝を算出し、このオフセット値ｚ_０ｉを共通オフセット位相データ群からそれぞれ減算して２次元位相データを生成するアンラップ工程Ｓ１２とを備える。
【選択図】図８

Description

本発明は、干渉計による２次元位相デ−タのアンラップ方法および装置に関する。

従来、例えば、光学素子の形状誤差などを測定するために、干渉計によって参照面での反射光と被測定面での反射光を干渉させ、得られた干渉縞画像の強度分布データから、２次元位相データを取得し、形状誤差を算出することが行われている。
干渉縞強度分布データは、アークタンジェント演算を用いて位相データに変換される。このため、干渉計で得られた２次元位相データは、干渉縞強度分布データに２π以上の位相差がある場合には±πの範囲に折り畳まれる（ラップされる）。
したがって、干渉計で得られた折り畳まれた２次元位相データから波面を求めるには、折り畳まれた２次元位相データの位相を２πの整数倍だけシフトさせて、折り畳みのない（アンラップされた）２次元位相データを復元する必要がある。このため、干渉計による２次元位相デ−タのアンラップ方法および装置が種々提案されている。
例えば、特許文献１には、干渉計によって得られる２次元位相データのアンラップを行う干渉計による２次元位相データのアンラップ方法であって、２次元位相データにおける有効な領域を、隣り合う点同士の位相差がπよりも十分小さい点の集まりである小領域に分割する手順と、各小領域に、それぞれ、アンラップを行うために位相を２πの何倍だけずらせば良いかを表す変数を割り当てる手順と、隣り合う小領域の境界に沿って、隣り合う点の位相差を２πで割った値を整数に丸めた値を、隣り合う点の変数の値の差とする第１の方程式を作成する手順と、隣り合う小領域の境界毎に、同じ境界上についての第１の方程式を辺々足して第２の方程式を作成する手順と、第２の方程式を変数について解き、整数解がある場合はその整数解をそのまま各小領域毎の変数の値とし、解はあるが整数解ではない場合はその解を整数に丸めた値を各小領域毎の変数の値とし、解がない場合は隣り合う小領域の境界を挟んで隣り合う点の組の個数で重みを付けた最小２乗解を求めてその解を整数に丸めた値を各小領域毎の変数の値とする手順と、得られた各小領域毎の変数の値を２π倍した位相だけ、各小領域内の各点の位相をずらす手順とを備えたことを特徴とする干渉計による２次元位相データのアンラップ方法および装置が記載されている。

特開平１０−９０１１２号公報

しかしながら、上記のような従来の干渉計による２次元位相デ−タのアンラップ方法および装置には、以下のような問題があった。
特許文献１に記載の技術では、干渉計で得られた２次元位相データの隣り合う位置における位相差を比較して、位相差がπよりも小さい複数の小領域（リージョン）に分割し、これらの小領域間で隣り合う位相を比較し、２πの整数倍の位相差がある小領域同士を連結するが、境界位置に測定誤差などにより「疑点」がある場合には、２πの整数倍の位相差が現れないため単純には連結できない。
このため、特許文献１の方法では、各小領域に、それぞれ、アンラップを行うために位相を２πの何倍だけずらせば良いかを表す変数を割り当て、第２の方程式を変数について解いて、整数解でない場合には解を丸め、解が得られない場合には最小二乗解を求めて整数に丸めることで、「多数決決定的に」小領域の連結を行っている。
ここでアンラップを行うために位相を２πの何倍だけずらせば良いかを表す変数は、互いに隣接する小領域の間で定義されるものである。例えば、２次元位相データの欠落などによって間隔があいた小領域同士では、最も近接した小領域をとっても位相が２πの整数倍だけずれるといった関係がないので、上記のような変数を割り当てることはできない。
したがって、この場合には、２次元位相データ全体は、アンラップすることができないという問題がある。すなわち、特許文献１に記載されたように、例えば、「ノイズはないが、有効領域の真ん中を十文字状に割って４つの領域に分けた場合について比較した結果」では、「４つの領域間では、位相にずれが生じているが、元々これをつなぐ方法はない」とされている。

本発明は、上記のような問題に鑑みてなされたものであり、干渉計から得られた２次元位相データに有効領域を横断するようなデータの欠落がある場合であっても、有効領域内の２次元位相データ全体をアンラップすることができる干渉計による２次元位相デ−タのアンラップ方法および装置を提供することを目的とする。

上記の課題を解決するために、請求項１に記載の発明では、干渉計によって得られた２次元位相デ−タのアンラップを行う干渉計による２次元位相デ−タのアンラップ方法であって、前記干渉計によって得られた２次元位相データに基づいて、一定の基準位相値に対して同一のオフセット値を有すると見なすことができる２次元位相データの集まりであるｎ個（ただし、ｎは１以上の整数）の共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉ（ただし、添字ｉは、１≦ｉ≦ｎの整数）を生成する共通オフセット位相データ群生成工程と、少なくとも、該共通オフセット位相データ群工程で生成された前記共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉの前記各オフセット値に対応するパラメータＺ_１＿ｉをフィッティングパラメータとして含むフィッティング関数を仮定し、前記共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉを用いて前記フィッティングパラメータの最適値を求める演算を行い、前記各パラメータＺ_１＿ｉを推定するオフセット推定工程と、該オフセット推定工程で推定された前記各パラメータＺ_１＿ｉのうちいずれか、または次式（２ａ）、（２ｂ）によって求められた前記パラメータＺ_１＿ｉによる加重平均位相を基準位相値Ｏとして、前記各共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉのオフセット値ｚ_０ｉを次式（１）によって算出し、該オフセット値ｚ_０ｉを前記共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉからそれぞれ減算して、アンラップされた２次元位相データを生成するアンラップ工程とを備えることを特徴とする干渉計による２次元位相デ−タのアンラップ方法。
ｚ_０ｉ＝２π・ｒｏｕｎｄ｛（Ｚ_１＿ｉ−Ｏ）／２π｝ ・・・（１）

ここで、関数ｒｏｕｎｄは、引数を最も近い整数値に丸める関数を表す。また、Ｗ_ｉは、パラメータＺ_１＿ｉの重み付け係数である。

請求項２に記載の発明では、請求項１に記載の干渉計による２次元位相デ−タのアンラップ方法において、前記基準位相値Ｏは、前記共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉのうちデータ個数が最大である共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉｘ（ただし、添字ｉｘは、１からｎまでのいずれかの整数）から推定されたパラメータＺ_１＿ｉｘである方法とする。

請求項３に記載の発明では、請求項１に記載の干渉計による２次元位相デ−タのアンラップ方法において、前記基準位相値Ｏは、前記加重平均位相であり、前記重み付け係数Ｗ_ｉは、前記共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉに含まれるデータ点数である方法とする。

請求項４に記載の発明では、請求項１〜３のいずれかに記載の干渉計による２次元位相デ−タのアンラップ方法において、前記共通オフセット位相データ群生成工程は、前記干渉計によって得られた２次元位相データを、互いに隣接する２次元位相データの間の位相差が連結判定値Ｐ（ただし、Ｐは、０＜Ｐ≦π）より小さい集合に分けることによって、前記共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉを生成する方法とする。

請求項５に記載の発明では、請求項１〜３のいずれかに記載の干渉計による２次元位相デ−タのアンラップ方法において、前記共通オフセット位相データ群生成工程は、前記干渉計によって得られた２次元位相データを、互いに隣接する２次元位相データの間の位相差が連結判定値Ｐ（ただし、Ｐは、０＜Ｐ≦π）より小さい集合に分けることによって、Ｑ個（ただし、Ｑは１以上の整数）のデータ群Ｄ_ｑ（ただし、添字ｑは、１≦ｑ≦Ｑの整数）を生成する分割工程と、該分割工程で生成された前記各データ群Ｄ_ｑの隣接位置で、互いに隣接する一方のデータ群Ｄ_ｑの隣接位置の位相を基準として、他方のデータ群Ｄ_ｑの位相を２πの整数倍（ただし０倍を除く）だけシフトさせて、位相差を求め、該位相差が前記連結判定値Ｐより小さいかどうか判定する連結判定工程と、該連結判定工程で、前記位相差が前記連結判定値Ｐより小さいと判定された場合に、前記他方のデータ群Ｄ_ｑの位相を前記２πの整数倍（ただし０倍を除く）だけシフトさせた後に、前記他方のデータ群Ｄ_ｑを前記一方のデータ群Ｄ_ｑに合併することにより、互いに隣接する２つのデータ群Ｄ_ｑの連結を行う連結工程とを備え、前記連結判定工程および前記連結工程を繰り返して連結されたｎ個（ただし、ｎは、１≦ｎ＜Ｑの整数）のデータ群によって、共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉ（ただし、添字ｉは、１≦ｉ≦ｎの整数）を生成する方法とする。

請求項６に記載の発明では、請求項１〜５のいずれかに記載の干渉計による２次元位相デ−タのアンラップ方法において、前記オフセット推定工程は、前記オフセット位相データ群Ｒ_ｉを構成するＪ（ｉ）個（ただし、Ｊ（ｉ）は、１以上の整数）の２次元位相データを、位置座標（ｘ_{ｉｊ（ｉ）}，ｙ_{ｉｊ（ｉ）}）に対応して位相ｚ_{ｉｊ（ｉ）}（ただし、ｊ（ｉ）は、１≦ｊ（ｉ）≦Ｊ（ｉ）の整数）と表すとき、次式の最小二乗解を求めることによって、前記各パラメータＺ_１＿ｉを推定する方法とする。

ここで、関数ｆ_１（ｘ，ｙ），…．ｆ_ｋ（ｘ，ｙ）（ただし、ｋは、１以上の整数）は、フィッティング関数の第１成分〜第ｋ成分を表す関数であり、係数Ｃ_１〜Ｃ_ｋは、第１成分〜第ｋ成分のフィティングパラメータである。

請求項７に記載の発明では、請求項６に記載の干渉計による２次元位相デ−タのアンラップ方法において、前記フィッティング関数の第Ｋ成分（ただし、Ｋは、１からｋまでの整数）を表す関数ｆ_Ｋ（ｘ，ｙ）は、第Ｋ次のゼルニケ多項式Ｆ_Ｋ（Ｘ，Ｙ）を用いて次式で表される方法とする。

ここで、（ｃ_ｘ，ｃ_ｙ）は、干渉計で得られた２次元移動データの有効領域を円領域としたときの中心の座標であり、ｒ_ｖａｌは、円領域の半径を表す。多項式Ｆ_Ｋ（Ｘ，Ｙ）は次式の通りである。ただし、Ｘ^２＋Ｙ^２＝ｒ^２としている。

請求項８に記載の発明では、干渉計によって得られた２次元位相デ−タのアンラップを行う干渉計による２次元位相デ−タのアンラップ装置であって、前記干渉計によって得られた２次元位相データに基づいて、一定の基準位相値に対して同一のオフセット値を有すると見なすことができる２次元位相データの集まりであるｎ個（ただし、ｎは１以上の整数）の共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉ（ただし、添字ｉは、１≦ｉ≦ｎの整数）を生成する共通オフセット位相データ群生成演算部と、少なくとも、該共通オフセット位相データ群部で生成された前記共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉの前記各オフセット値に対応するパラメータＺ_１＿ｉをフィッティングパラメータとして含むフィッティング関数を仮定し、前記共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉを用いて前記フィッティングパラメータの最適値を求める演算を行い、前記各パラメータＺ_１＿ｉを推定するオフセット推定演算部と、該オフセット推定部で推定された前記各パラメータＺ_１＿ｉのうちいずれか、または次式（２ａ）、（２ｂ）によって求められた前記パラメータＺ_１＿ｉによる加重平均位相を基準位相値Ｏとして、前記各共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉのオフセット値ｚ_０ｉを次式によって算出し、該オフセット値ｚ_０ｉを前記共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉからそれぞれ減算して、アンラップされた２次元位相データを生成するアンラップ演算部とを備える構成とする。
ｚ_０ｉ＝２π・ｒｏｕｎｄ｛（Ｚ_１＿ｉ−Ｏ）／２π｝ ・・・（１）

ここで、関数ｒｏｕｎｄは、引数を最も近い整数値に丸める関数を表す。また、Ｗ_ｉは、パラメータＺ_１＿ｉの重み付け係数である。

本発明の干渉計によって得られた２次元位相デ−タのアンラップを行う干渉計による２次元位相デ−タのアンラップ方法および装置によれば、一定の基準位相値に対して同一のオフセット値を有すると見なすことができる共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉのオフセット値を、フィッティング関数を仮定し共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉを用いて推定するので、干渉計から得られた２次元位相データに有効領域を横断するようなデータの欠落がある場合であっても、有効領域内の２次元位相データ全体をアンラップすることができるという効果を奏する。

本発明の実施形態に係る干渉計による２次元位相デ−タのアンラップ装置およびそれを備える干渉計の概略構成を示す模式的な構成図である。 本発明の実施形態に係る干渉計による２次元位相デ−タのアンラップ装置を備える干渉計の制御ユニットの機能構成を示す機能ブロック図である。 本発明の実施形態に係る干渉計による２次元位相デ−タのアンラップ装置の機能構成を示す機能ブロック図である。 本発明の実施形態に係る干渉計の動作を説明するフローチャートである。 ２次元位相データの有効領域の一例を示す模式図である。 図５のＡ−Ａ線に沿う断面のアライメント誤差を含む位相分布の一例を示す模式的なグラフである。 図６に示す位相分布に対応して干渉計によって取得された２次元位相データを示す模式的なグラフである。 本発明の実施形態に係る２次元位相データのアンラップ方法を説明するフローチャートである。 図５のＡ−Ａ線に沿う断面の共通オフセット位相データ群の一例を示す模式的なグラフ、パラメータＺ_１＿ｉの推定値を示す模式的なグラフ、およびその共通オフセット位相データ群がアンラップされた様子を示す模式的なグラフである。 図５における有効領域の共通オフセット位相データ群の一例を示す模式図である。 図５のＡ−Ａ線に沿う断面のアライメント誤差を除去した波面算出結果を示す模式的なグラフである。

以下では、本発明の実施形態について添付図面を参照して説明する。
本発明の実施形態に係る干渉計による２次元位相デ−タのアンラップ装置について、それを備える干渉計とともに説明する。
図１は、本発明の実施形態に係る干渉計による２次元位相デ−タのアンラップ装置およびそれを備える干渉計の概略構成を示す模式的な構成図である。図２は、本発明の実施形態に係る干渉計による２次元位相デ−タのアンラップ装置を備える干渉計の制御ユニットの機能構成を示す機能ブロック図である。図３は、本発明の実施形態に係る干渉計による２次元位相デ−タのアンラップ装置の機能構成を示す機能ブロック図である。

本実施形態の干渉計５０は、図１に示すように、被測定物５の被測定面５ａの干渉縞画像を取得するフィゾー型干渉計である。
干渉計５０の概略構成は、レーザ光源１、コリメータレンズ２、ビームスプリッタ３、フィゾーレンズ４、ピエゾ素子８、ピエゾ素子コントローラ９、保持台１３、集光レンズ６、ＣＣＤ７、および制御ユニット１０を備える。
制御ユニット１０には、干渉縞測定に必要な操作入力や設定情報の入力を行うため、例えばキーボード、マウス等からなる操作部１２と、ＣＣＤ７によって撮像された画像や形状測定結果などを表示するモニタ１１とが電気的に接続されている。
被測定面５ａとしては、例えば、凸球面や平面等でもよいが、以下では、一例として、平凹レンズからなる被測定物５の凹球面の場合で説明する。被測定面５ａが凸球面や平面からなる場合の、干渉計の配置、構成は当業者には容易に理解される。

レーザ光源１は、干渉縞を形成するためのコヒーレント光を発生する光源で、本実施形態では、一例として、波長λのレーザ光を発散光として発生するレーザーダイオードを採用している。
レーザ光源１によって発生された発散光は、コリメータレンズ２によって平行光３０ａとされ、ビームスプリッタ３に入射される。
ビームスプリッタ３は、平行光３０ａを反射してフィゾーレンズ４の光軸Ｌ上に導くとともに、フィゾーレンズ４側から入射する後述の被測定面反射光３０ｃ、参照面反射光３０ｄを透過する光分岐素子である。

フィゾーレンズ４は、光軸Ｌ上に入射された平行光３０ａの一部をフィゾー面４ａで反射して、参照面反射光３０ｄを形成し、光軸Ｌ上に入射された平行光３０ａの他の部分を透過光３０ｂとして透過し、透過光３０ｂを集光するレンズであり、平行光３０ａを分割する機能を有する。
フィゾー面４ａの形状は、精度よく仕上げられた球面である。このため、フィゾー面４ａは、被測定面５ａで反射された被測定面反射光３０ｃの波面を変換して参照面反射光３０ｄとの干渉縞を形成するための参照面を構成している。
フィゾーレンズ４の光軸Ｌは、干渉計５０の光軸を構成している。

ピエゾ素子８は、フィゾーレンズ４を光軸Ｌに沿う方向に微小移動させる移動機構であり、伸縮方向の一端が不図示の装置本体に固定され、伸縮方向の他端がフィゾーレンズ４に固定されている。
ピエゾ素子８の移動量は、ピエゾ素子８に電気的に接続されたピエゾ素子コントローラ９によって印加電圧を変化させることで制御される。

ピエゾ素子コントローラ９は、制御ユニット１０からの制御信号に基づいて、ピエゾ素子８に印加する電圧を制御し、ピエゾ素子８の伸縮量を制御し、これにより被測定面５ａのフィゾー面４ａに対する光軸Ｌに沿う方向の相対位置を制御するものである。

保持台１３は、被測定物５を、被測定面５ａがフィゾーレンズ４のフィゾー面４ａに対向するように配置して保持するものであり、保持台移動機構１４によって移動可能に支持されている。
保持台移動機構１４は、保持台１３上の被測定面５ａの光軸を光軸Ｌと同軸に位置合わせするとともに、フィゾーレンズ４と被測定物５との間の光軸Ｌに沿う方向の距離を調整する機構である。これにより、フィゾーレンズ４の焦点位置と、被測定面５ａの球心位置あるいは面頂位置とが一致するように位置調整を行うことができる。
保持台移動機構１４の装置構成は、例えば、光軸Ｌに直交する方向の移動ステージ、光軸Ｌに対する傾動ステージ、および光軸Ｌに沿う方向に移動させる１軸移動ステージの組合せを採用することができる。

集光レンズ６は、被測定面反射光３０ｃ、参照面反射光３０ｄによる干渉縞を、ＣＣＤ７の撮像面７ａ上に投影する光学素子である。
ＣＣＤ７は、撮像面７ａ上に投影された干渉縞画像を光電変換する撮像素子である。
ＣＣＤ７は、制御ユニット１０に電気的に接続されており、制御ユニット１０によって撮像動作が制御される。ＣＣＤ７で撮像した画像信号は制御ユニット１０に送出される。

制御ユニット１０の機能ブロック構成は、図２に示すように、信号変換部４０、干渉縞画像取得部４１、記憶部４３、移動制御部４２、２次元位相データ取得部４４、アンラップ装置部４５（アンラップ装置）、波面算出部４６、および表示制御部４７からなる。

信号変換部４０は、ＣＣＤ７から送出される画像信号を、干渉縞画像取得部４１から指示されたタイミングで画像フレームごとに取り込んで、輝度データに変換し、２次元の画像データとして干渉縞画像取得部４１および表示制御部４７に送出するものである。

干渉縞画像取得部４１は、操作部１２から干渉縞画像取得開始の操作入力に応じて、表示された状態の干渉縞画像を取得するとともに、フリンジスキャン法、位相シフト法などとして知られる周知の測定手法（以下、フリンジスキャン法と称する）によって２次元位相データを得るため、フィゾー面４ａを微小移動させて、さらに複数の干渉縞画像の取得するものである。
本実施形態では、フィゾー面４ａをλ／８ピッチで移動して５枚の干渉縞画像を取得して２次元位相データを求める５バケット法を採用している。
このため、干渉縞画像取得部４１は、操作部１２から干渉縞画像取得開始の操作入力を受けると、フィゾー面４ａを現在位置から±λ／４の範囲を移動させるように移動制御部４２に制御信号を送り、フィゾー面４ａが、現在位置に対して、−λ／４、−λ／８、０、＋λ／８、＋λ／４だけずれた５位置にそれぞれ到達するタイミングで、信号変換部４０から干渉縞画像の輝度データを取得し、２次元の干渉縞強度分布データとして、記憶部４３に記憶できるようになっている。

記憶部４３は、干渉縞画像取得部４１から送出された干渉縞強度分布データを記憶するものである。
移動制御部４２は、干渉縞画像取得部４１からの制御信号に基づいて、ピエゾ素子コントローラ９にピエゾ素子８による移動量、移動方向を設定するとともに、ピエゾ素子コントローラ９から取得される移動位置の情報を干渉縞画像取得部４１に送出するものである。

２次元位相データ取得部４４は、記憶部４３に記憶された５枚の干渉縞画像に対応する干渉縞強度分布データに基づき、位置座標を（ｘ，ｙ）として、５バケット法を用いて２次元位相データｚを、ｚ＝φ（ｘ，ｙ）として取得するものである。この２次元位相データｚ＝φ（ｘ，ｙ）が干渉計５０によって得られた２次元位相デ−タとなる。

アンラップ装置部４５は、干渉計５０によって得られた２次元位相デ−タｚのアンラップを行うもので、図３に示すように、共通オフセット位相データ生成演算部４５Ａ、オフセット推定演算部４５Ｂ、およびアンラップ演算部４５Ｃを備える。

共通オフセット位相データ生成演算部４５Ａは、干渉計５０によって得られた２次元位相データｚに基づいて、一定の基準位相値に対して同一のオフセット値を有すると見なすことができる２次元位相データの集まりであるｎ個（ただし、ｎは１以上の整数）の共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉ（ただし、添字ｉは、１≦ｉ≦ｎの整数、以下のｉも同じ）を生成するものである。

オフセット推定演算部４５Ｂは、少なくとも、共通オフセット位相データ生成演算部４５Ａで生成された共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉの各オフセット値に対応するパラメータＺ_１＿ｉをフィッティングパラメータとして含むフィッティング関数を仮定し、共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉを用いてフィッティングパラメータの最適値を求める演算を行い、各パラメータＺ_１＿ｉを推定するものである。
本実施形態では、各共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉのフィッティング関数Ｇ_ｉ（ｘ，ｙ）として、次式（６）のようなｋ組の多項式ｆ_Ｋ（ｘ，ｙ）の線形結合からなるものを採用している。ここで、Ｃ_１，…，Ｃ_ｋは、Ｚ_１＿ｉの他のフィッティングパラメータである。
また、共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉを用いてフィッティングパラメータの最適値を求める演算としては、最小二乗法を採用している。

ここで、ｆ_Ｋ（ｘ，ｙ）としては、フィッティング関数Ｇ_ｉ（ｘ，ｙ）が、ｘｙｚ空間における曲面として表される２次元位相データｚの曲面形状を近似できる多項式であれば、適宜の多項式を採用することができる。本実施形態では、レンズの収差成分に対応する曲面形状を表しているゼルニケ多項式Ｆ_Ｋ（Ｘ，Ｙ）を用いた次式（７）、（８）、（９）を採用している。

ここで、（ｃ_ｘ，ｃ_ｙ）は、干渉計５０で得られた２次元位相データｚの有効領域を円領域としたときの中心の座標であり、ｒ_ｖａｌは、円領域の半径を表す。すなわち、座標（Ｘ，Ｙ）は、２次元位相データｚの有効領域の正規化された位置座標である。
ゼルニケ多項式Ｆ_Ｋ（Ｘ，Ｙ）は、具体的には次式（５）の通りである。ただし、Ｘ^２＋Ｙ^２＝ｒ^２としている。

アンラップ演算部４５Ｃは、オフセット推定部４５Ｂで推定された各パラメータＺ_１＿ｉのうちいずれか、または次式（２ａ）、（２ｂ）によって求められた前記パラメータＺ_１＿ｉによる加重平均位相を基準位相値Ｏとして、各共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉのオフセット値ｚ_０ｉを次式（１）によって算出し、このオフセット値ｚ_０ｉを共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉからそれぞれ減算して、アンラップされた２次元位相データを生成するものである。アンラップされた２次元位相データは波面算出部４６に送出される。

ｚ_０ｉ＝２π・ｒｏｕｎｄ｛（Ｚ_１＿ｉ−Ｏ）／２π｝ ・・・（１）

ここで、関数ｒｏｕｎｄは、引数を最も近い整数値に丸める関数を表す。また、Ｗ_ｉは、パラメータＺ_１＿ｉの重み付け係数である。

波面算出部４６は、アンラップ装置部４５から送出されたアンラップされた２次元位相データを波面の高さ情報に変換し、この波面の高さ情報から波面収差（形状誤差）の大きさを求めて、これら波面の高さ情報、波面収差の情報を表示制御部４７に送出するものである。

表示制御部４７は、信号変換部４０から送出される画像データを、例えば、ＮＴＳＣ信号などに変換しモニタ１１に送出して、モニタ１１に干渉縞画像を表示したり、波面算出部４６によって算出される波面のグラフ表示や波面収差の大きさの数値情報などをモニタ１１に表示させたりするものである。

制御ユニット１０の装置構成は、上記各機能を専用のハードウェアを用いて実現してもよいが、本実施形態では、ＣＰＵ、メモリ、入出力インターフェース、外部記憶装置などからなるコンピュータで構成され、このコンピュータにより適宜の制御プログラム、演算プログラムを実行することでこれらの機能を実現している。

次に、干渉計５０および干渉計５０のアンラップ装置部４５の動作について、本実施形態に係る２次元位相デ−タのアンラップ方法を中心に説明する。
図４は、本発明の実施形態に係る干渉計の動作を説明するフローチャートである。図５は、２次元位相データの有効領域の一例を示す模式図である。図６は、図５のＡ−Ａ線に沿う断面のアライメント誤差を含む位相分布の一例を示す模式的なグラフである。図７は、図６に示す位相分布に対応して干渉計によって取得された２次元位相データを示す模式的なグラフである。図８は、本発明の実施形態に係る２次元位相データのアンラップ方法を説明するフローチャートである。図９（ａ）は、図５のＡ−Ａ線に沿う断面の共通オフセット位相データ群の一例を示す模式的なグラフである。図９（ｂ）は、図９（ａ）におけるパラメータＺ_１＿ｉの推定値を示す模式的なグラフである。図９（ｃ）は、図９（ａ）の共通オフセット位相データ群がアンラップされた様子を示す模式的なグラフである。図１０は、図５における有効領域の共通オフセット位相データ群の一例を示す模式図である。図１１は、図５のＡ−Ａ線に沿う断面のアライメント誤差を除去した波面算出結果を示す模式的なグラフである。

本実施形態の干渉計５０による被測定面５ａの測定は、図４に示すようなフローにしたがって行われる。
ステップＳ１は、被測定面５ａの干渉縞強度分布を取得する工程である。測定者は、被測定物５を保持台１３に配置し、保持台移動機構１４を操作して、被測定面５ａの球心位置とフィゾーレンズ４の焦点位置とが略一致する位置に移動させる。
図１に示すように、レーザ光源１から出射されたレーザ光は、コリメータレンズ２によって平行光３０ａとされ、ビームスプリッタ３によって反射され、光軸Ｌに沿ってフィゾーレンズ４に入射する。
平行光３０ａは、フィゾー面４ａによって分割され、一部はフィゾー面４ａによってビームスプリッタ３の側に反射されて参照面反射光３０ｄとして進む。その他の光は、透過光３０ｂとして透過し、フィゾーレンズ４のレンズ作用により集光され、集光位置Ｆに集光されてから、被測定面５ａに導かれ、被測定面５ａの法線方向に入射することにより、被測定面反射光３０ｃとして反射される。そして、被測定面反射光３０ｃは、透過光３０ｂと同一光路を逆進し、フィゾーレンズ４を透過して、ビームスプリッタ３側に出射される。その際、フィゾー面４ａ上には、被測定面反射光３０ｃと参照面反射光３０ｄとの光路差に応じた干渉縞画像が形成される。
この干渉縞画像は、集光レンズ６によりＣＣＤ７の撮像面７ａ上に投影される。そして、この干渉縞画像は、図２に示すように、ＣＣＤ７で光電変換されて画像信号として制御ユニット１０に送出され、制御ユニット１０の表示制御部４７を介してモニタ１１に表示される。

測定者は、モニタ１１に表示された干渉縞画像を見て、必要に応じて保持台移動機構１４により被測定物５の位置、姿勢を適宜微調整し、測定に好適な干渉縞画像が得られるようにする。
この微調整が済むと、測定者は操作部１２から干渉縞画像取得開始の操作入力を行う。 制御ユニット１０では、干渉縞画像取得部４１によって干渉縞画像取得開始の操作入力を検知し、モニタ１１に表示された状態の干渉縞強度分布データを取得する。そして、フリンジスキャン法によって２次元位相データを得るため、移動制御部４２を介してピエゾ素子コントローラ９を駆動し、ピエゾ素子８を伸縮させることで、フィゾーレンズ４を微小移動させて、さらに複数の干渉縞強度分布データを取得する。
本実施形態では、５バケット法によって２次元位相データを取得するため、フィゾー面４ａを、微調整が済んだ状態の現在位置を０として、光軸Ｌ方向に、−２λ／８（＝−λ／４）、−λ／８、０、＋λ／８、＋２λ／８（＝＋λ／４）だけ移動させて、それぞれ位相がπ／２だけずれた５枚の干渉縞画像に対応する干渉縞強度分布データｇ_−２（ｘ，ｙ）、ｇ_−１（ｘ，ｙ）、ｇ_０（ｘ，ｙ）、ｇ_＋１（ｘ，ｙ）、ｇ_＋２（ｘ，ｙ）を取得し、記憶部４３に記憶させる。

次に、ステップＳ２では、記憶部４３に記憶された干渉縞強度分布データから、干渉縞が存在する範囲である有効領域を決定する。本実施形態では、干渉縞画像の有効領域は、フィゾー面４ａを微小移動させたときに、判定閾値Ｖ以上の強度変化が見られる位置の集合として決定する。本実施形態の判定閾値Ｖは、例えば、干渉縞画像の諧調の１５％となる値を採用している。一例として、干渉縞画像が２５６階調の場合、Ｖ＝３８とされ、このＶの値が予め記憶部４３に記憶されている。
有効領域の判定は、記憶部４３に記憶された各位置（ｘ，ｙ）における干渉縞強度データに対して、次式（１０）を満足するかどうかを、干渉縞画像取得部４１が判定することで行う。次式（１０）を満足しない位置（ｘ，ｙ）は、例えば、適宜のフラグを立てておくなどして区別できるようにする。

ここで、簡単のため、ｇ_−２（ｘ，ｙ）等を、単に、ｇ_−２等と略記している。また、関数ｍａｘ、ｍｉｎは、それぞれ、引数の最大値、最小値を返す関数である。

このようにして、図５に示すように、ＣＣＤ７の矩形状に配列された受光画素（ピクセル）に対応して、矩形状に分布する（ｘ，ｙ）の範囲が、網掛けされた有効領域３１と、有効領域３１以外の無効領域３２（図示白抜き）とに区分される。なお、図５は、模式図のため、受光画素の大きさ、数は誇張されている。
例えば、図５に示す例では、有効領域３１は略円形に分布しており、無効領域３２は、有効領域３１の外周側全体、および内部の一部に分布している。有効領域３１の外周側の無効領域３２は、フィゾー面４ａまたは被測定面５ａの光学的な有効領域外であるため、干渉縞が発生しなかった領域である。また、有効領域３１の内部の一部に分布する無効領域３２は、例えば、ノイズや、物理的、ソフト的なマスクなどにより干渉縞が得られなかった箇所であり、図５の例では、有効領域３１の内部を横断している。
また、有効領域３１内であっても、測定ノイズ３３が存在し、被測定面５ａの形状誤差などに基づく滑らかな位相変化とは異なり、急峻もしくは不連続な位相変化を起こしている場合がある。以下では、図５に示すように、測定ノイズ３３は、隣接する受光画素との位相差が２πより小さい不連続な変化を起こす不規則なライン状のノイズが、有効領域３１を横断するように発生している場合の例で説明する。

干渉縞画像取得部４１は、このようにして得られた有効領域３１の位置座標を正規化するため、有効領域３１の半径ｒ_ｖａｌと、中心の座標Ｃ（ｃ_ｘ，ｃ_ｙ）を算出して記憶部４３に記憶する。
本実施形態では、有効領域３１の半径ｒ_ｖａｌおよび中心の座標Ｃ（ｃ_ｘ，ｃ_ｙ）は、有効領域３１に属す位置座標（ｘ，ｙ）の集合の最小外接円の半径、および中心座標を採用している。

次に、ステップＳ３では、２次元位相データ取得部４４によって、有効領域３１における各干渉縞強度データから２次元位相データを取得する演算を周知の５バケット法に基づいて行う。
干渉計５０のようフィゾー型干渉計では、フィゾー面４ａのλ／８の移動はπ／２の位相変化に相当するため、ｇ_Ｍ（ｘ，ｙ）（ただし、添字Ｍは、−２≦Ｍ≦２の整数）は次式（１１）で表すことができる。

ここで、φ（ｘ，ｙ）は２次元位相データ、Ｉ（ｘ，ｙ）は平均光強度、ｍ（ｘ，ｙ）は干渉縞のモジュレ−ションを表す。
５バケット法では、２次元位相データφ（ｘ，ｙ）は次式（１２）によって求める。ただし、関数ａｔａｎ２は、上記式（２ｂ）で定義される。

関数ａｔａｎ２は、上記式（２ｂ）に示すように、４象限表現の逆正接を求める関数であり、値域は−πからπの間の値である。このため、上記式（１２）の２次元位相データφ（ｘ，ｙ）は、−πからπの間に畳み込まれた（ラップされた）データとして得られる。
例えば、測定ノイズ３３や無効領域３２が存在しない場合に、図５のＡ−Ａ線に沿う断面の位相ｚが、アライメント誤差を含めて、位相値が−７πからπの間に分布し、有効領域３１の中心Ｃを通る対称軸を有する上に凸の関数で表されるとする（以下、このデータを元位相データと称する）。
すなわち、このような元位相データは、図６にＡ−Ａ線に沿う断面の様子を示すように、位相が−πからπまでの領域Ｕ_１、位相が−３πから−πまでの領域Ｕ_２、位相が−５πから−３πまでの領域Ｕ_３、位相が−７πから−５πまでの領域Ｕ_４からなる。ここで、領域Ｕ_１の平面視形状は円状、領域Ｕ_２、Ｕ_３、Ｕ_４の平面視形状は円環状である。
このような元位相データの場合に、上記式（１２）から算出される２次元位相データφ（ｘ，ｙ）は、図７に示すように、全体的として、−πからπの範囲に折り畳まれる。

図７において、２次元位相データφ（ｘ，ｙ）の領域ｕ_１、ｕ_２、ｕ_３、ｕ_４は、それぞれ図６に示す元位相データの領域Ｕ_１、Ｕ_２、Ｕ_３、Ｕ_４に対応している。ただし、干渉計５０による干渉縞強度データには、測定ノイズ３３に起因する元位相データとは異なる位相変化が重畳されるとともに、無効領域３２に対応するデータの欠落が発生している。
領域ｕ_２は、領域ｕ_１に対して、位相が＋２πシフトしているため、領域ｕ_１の境界ａ_１と連続すべき境界ａ_２（図６の境界ａに相当）は、２πの位相差がある。また、領域ｕ_３は、領域ｕ_１に対して、位相が＋４πシフトしているため、領域ｕ_２の境界ｂ_２と連続すべき境界ｂ_３（図６の境界ｂに相当）は、２πの位相差がある。また、領域ｕ_４は、領域ｕ_１に対して、位相が＋６πシフトしているため、領域ｕ_３の境界ｃ_３と連続すべき境界ｃ_４（図６の境界ｃに相当）は、２πの位相差がある。
また、領域ｕ_２は、測定ノイズ３３を含むため、中間部で、互いに位置が隣接するものの位相が不連続的に変化する内部境界ｆ、ｅが形成されている。
また、領域ｕ_３は、無効領域３２を含むため、領域ｕ_２と領域ｕ_４との間には、領域ｕ_３が欠落することでデータが隣接しないことによる境界ｐ、ｑが発生している。

次に、ステップＳ４では、ステップＳ３で取得された２次元位相データφ（ｘ，ｙ）をアンラップ装置部４５に送出し、２次元位相データφ（ｘ，ｙ）のアンラップを行う。
本ステップは、図８に示すように、ステップＳ１０からＳ１２を順次行うことによって、アンラップを行う。

ステップＳ１０は、２次元位相データ取得部４４から送出された２次元位相データφ（ｘ，ｙ）を共通オフセット位相データ生成演算部４５Ａに送出し、共通オフセット位相データ群生成工程を行う。
本工程は、干渉計５０によって得られた２次元位相データφ（ｘ，ｙ）に基づいて、一定の基準位相値に対して同一のオフセット値を有すると見なすことができる２次元位相データの集まりであるｎ個（ただし、ｎは１以上の整数）の共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉ（ただし、添字ｉは、１≦ｉ≦ｎの整数）を生成する工程である。
以下、簡単のため、特に断らない限り、図７に示す断面の１次元位相データを例にとって説明する。

本工程は、さらに、分割工程、連結判定工程、連結工程に分けて行われる。
分割工程は、２次元位相データφ（ｘ，ｙ）を、互いに隣接する２次元位相データの間の位相差が連結判定値Ｐ（ただし、Ｐは、０＜Ｐ≦π）より小さい集合に分けることによって、Ｑ個（ただし、Ｑは１以上の整数）のデータ群Ｄ_ｑ（ただし、添字ｑは、１≦ｑ≦Ｑの整数）を生成する工程である。
連結判定値Ｐは、一定の基準位相値に対して同一のオフセット値を有すると見なすことができる２次元位相データの集まりを生成するためのもので、本実施形態では、Ｐ＝πを採用している。

まず、分割工程では、有効領域３１内の任意の１点、例えば、Ｃ（ｃ_ｘ，ｃ_ｙ）を起点として選択し、データ群Ｄ_１として隣接位置の２次元位相データφ（ｘ，ｙ）の大きさを比較し、位相差が連結判定値Ｐより小さい場合、隣接位置の２次元位相データφ（ｘ，ｙ）をデータ群Ｄ_１に編入していく。領域ｕ_１の境界ａ_１の隣接位置である領域ｕ_２の境界ａ_２は、２πの位相差があるため、データ群Ｄ_１に編入されない。データ群Ｄ_１のすべての位置の隣接位置での比較が終了したら、データ群Ｄ_１に隣接する任意の点を起点としてデータ群Ｄ_２を求めていく。なお、データ群Ｄ_１に隣接するデータが欠落している場合には、隣接していないその他のデータから任意に起点を選んで同様の操作を続ける。
図７の例では、データ群Ｄ_１は領域ｕ_１に属する２次元位相データφ（ｘ，ｙ）に等しい。また、境界ａ_２上の１点を起点としたデータ群Ｄ_２は、内部境界ｅ、ｆの間に連結判定値Ｐ以上の位相差があるため、内部境界ｆと境界ｂ_２の間の領域ｕ_２は、データ群Ｄ_２に編入されず、データ群Ｄ_２とは異なるデータ群、例えば、データ群Ｄ_３に編入される。
以下、簡単のため、図７上で分断された曲線領域ごとに、データ群Ｄ_ｑが生成され、２次元位相データφ（ｘ，ｙ）が、データ群Ｄ_１〜Ｄ_７に分割されたものとする。

次に連結判定工程を行う。本工程は、分割工程で生成された各データ群Ｄ_ｑの隣接位置で、互いに隣接する一方のデータ群Ｄ_ｑの隣接位置の位相を基準として、他方のデータ群Ｄ_ｑの位相を２πの整数倍（ただし０倍を除く）だけシフトさせて、位相差を求め、この位相差が連結判定値Ｐより小さいかどうか判定する工程である。
具体的にはデータ群Ｄ_ｑに対する一方のデータ群Ｄ_ｑの境界の位相差をｄとして、｜ａｔａｎ２｛ｓｉｎ（ｄ），ｃｏｓ（ｄ）｝｜が連結判定値Ｐより小さいかどうか判定すれば良い。
なお、データ群Ｄ_ｑは実際には２次元的に分布するデータであり、他方のデータ群Ｄ_ｑとの境界は１点ではなく複数の点となるため、境界の位相差とは、データ群Ｄ_ｑと他方のデータ群Ｄ_ｑが上下または左右で互いに隣接するそれぞれのデータの位相差の平均とする。
例えば、データ群Ｄ_１に隣接するデータ群Ｄ_２、Ｄ_６は、位相を−２πシフトさせることで、境界ａ_１、ａ_２の位相差が０となるため、連結判定値Ｐより小さいと判定される。

次に、データ群Ｄ_１とデータ群Ｄ_２、およびデータ群Ｄ_１とデータ群Ｄ_６との間で、連結工程を行う。本工程は、連結判定工程で、位相差が連結判定値Ｐより小さいと判定された場合に、他方のデータ群Ｄ_ｑの位相を２πの整数倍（ただし０倍を除く）だけシフトさせた後に、他方のデータ群Ｄ_ｑを一方のデータ群Ｄ_ｑに合併することにより、互いに隣接する２つのデータ群Ｄ_ｑの連結を行う工程である。
データ群Ｄ_２は、データ群Ｄ_２内の位相にすべて−２πを加算することで、データ群Ｄ_１の境界ａ_１の隣接位置で、連結判定値Ｐより小さな位相差となるので、−２πを加算したデータ群Ｄ_２をデータ群Ｄ_１と合併して、新たにデータ群Ｄ_１とする。合併されたデータ群Ｄ_２に隣接するデータ群Ｄ_３は、位相を２πの整数倍を加えても隣接位置の位相差が連結判定値Ｐより大きな位相差となるため、合併されない。また、データ群Ｄ_７は、合併されたデータ群Ｄ_６の隣接位置にないため、合併されない。
このようにして、データ群Ｄ_１には、データ群Ｄ_２、Ｄ_６のみが合併される。これを共通オフセット位相データ群Ｒ_１とする。
同様にして、データ群Ｄ_３には、データ群Ｄ_４、Ｄ_５が合併されるので、これを共通オフセット位相データ群Ｒ_２とする。同様にして、データ群Ｄ_７は、どのデータ群とも合併されないので、データ群Ｄ_７を共通オフセット位相データ群Ｒ_３とする。
このように、連結判定工程および連結工程を繰り返して連結された３個のデータ群によって、共通オフセット位相データ群Ｒ_１、Ｒ_２、Ｒ_３（図９（ａ）参照）が生成され、オフセット推定演算部４５Ｂに送出される。

このような共通オフセット位相データ群Ｒ_１、Ｒ_２、Ｒ_３は、実際には２次元的に分布するデータ群であり、上記の連結判定工程、連結工程は、２次元的な隣接位置において、判定、連結を行う。したがって、一断面で連結されなくとも、他の断面において、連結されることも起こりうる。
ただし、図５に示す有効領域の例では、測定ノイズ３３および無効領域３２が有効領域３１を横断しているため、図１０に示すように、２次元的にも３つの共通オフセット位相データ群Ｒ_１、Ｒ_２、Ｒ_３が生成される。

次に、ステップＳ１１では、オフセット推定演算部４５Ｂによって、オフセット推定工程を行う。
本工程は、少なくとも、共通オフセット位相データ群工程で生成された共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉの各オフセット値に対応するパラメータＺ_１＿ｉをフィッティングパラメータとして含むフィッティング関数を仮定し、共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉを用いてフィッティングパラメータの最適値を求める演算を行い、各パラメータＺ_１＿ｉを推定する工程である。

フィッティング関数、フィッティングパラメータとしては、上記式（６）に示すように、Ｇ_ｉ（ｘ，ｙ），Ｚ_１＿ｉ，Ｃ_１，…，Ｃ_ｋを採用している。
共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉに属する２次元位相データをｚ_ｉ（ｘ_ｉ，ｙ_ｉ）と表し、各共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉに属するｚ_ｉの個数をＪ（ｉ）と表すと、上記式（６）から、次式（３）が成り立つ。

上記式（３）の連立方程式から、フィッティングパラメータＺ_１＿ｉ、Ｃ_１，…，Ｃ_ｋを解けば、パラメータＺ_１＿ｉの解により共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉの各オフセット値の最適値が与えられる。一般に、ｎ＋ｋは、２次元位相データの総個数に比べて十分小さくなるので、上記式（６）は過剰条件の連立方程式となり、最小二乗解によって、フィティングパラメータの最適値を求め、パラメータＺ_１＿ｉを推定することができる。

本実施形態では、フィッティング関数の第Ｋ成分（ただし、Ｋは、１からｋまでの整数）を表す関数ｆ_Ｋ（ｘ，ｙ）として、第Ｋ次のゼルニケ多項式Ｆ_Ｋを採用している。
例えば、被測定面５ａが、例えば面精度のＰ−Ｖが、λ／４以下程度の球面であれば、アライメント誤差によって発生するチルトおよびパワー成分に対応する第２次、第３次、第４次のゼルニケ多項式のみ（上記式（５）のＦ_２（Ｘ，Ｙ）、Ｆ_３（Ｘ，Ｙ）、Ｆ_４（Ｘ，Ｙ））を採用することで、図６に示すような元位相データのｘｙｚ空間における曲面形状を十分精度良く（λ／４＝π／２以上のフィッティング残差無く）近似できる。
この場合、上記式（３）の具体例として、次式（１４）〜（１６）を採用することができる。

ここで、式（１５）、（１６）における添字ｉ，ｊ（ｉ）は、ｉ＝１，２，３、ｊ（ｉ）＝１，…，Ｊ（ｉ）である。

また、被測定面５ａが平面であれば第２次および第３次のゼルニケ多項式を用いるだけでよい。またこの場合には、式（１５）、（１６）によって、位置座標を正規化しなくてもよい。
また、被測定面５ａが、設計上所定の収差を付与されていることが分かっている曲面の場合には、フィッティング関数に所定の収差に対応する次数のゼルニケ多項式も加えることが好ましい。例えば、第５次、第６次、第９次のゼルニケ多項式に対応する収差が付与されている場合、フィッティング関数には、上記第２次、第３次、第４次のゼルニケ多項式の線形結合に加えて、第５次、第６次、第９次のゼルニケ多項式の線形結合も加えることが好ましい。

オフセット推定演算部４５Ｂは、上記式（１４）の最小二乗解を求め、求められたすべてのフィッティングパラメータＺ_１＿１、Ｚ_１＿２、Ｚ_１＿３、Ｃ_２、Ｃ_３、Ｃ_４をアンラップ演算部４５Ｃに送出する。
例えば、図９（ａ）に示す共通オフセット位相データ群Ｒ_１、Ｒ_２、Ｒ_３の場合、パラメータＺ_１＿１、Ｚ_１＿２、Ｚ_１＿３は、図９（ｂ）に示すように、Ｚ_１＿１＜Ｚ_１＿２＜Ｚ_１＿３のような大小関係で算出される。なお、図９（ｃ）に二点鎖線で示す曲線は、フィッティングパラメータの推定値から算出されるフィッティング曲線を示す。

次に、ステップＳ１２では、アンラップ工程を行う。
ステップＳ１１で推定されたオフセットであるパラメータＺ_１＿ｉは、測定誤差やフィッティング関数の近似誤差がない理想的な場合には２πの整数倍間隔の値になるが、実際には、測定誤差や近似誤差を伴う。そこで、本工程では、オフセット推定工程で推定された各パラメータＺ_１＿ｉのうちいずれか、または上記式（２ａ）、（２ｂ）によって求められたパラメータＺ_１＿ｉによる加重平均位相を基準位相値Ｏとして、Ｚ_１＿ｉとＯとの差を２πの整数倍に丸め、各共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉのオフセット値ｚ_０ｉを基準位相値Ｏに対する２πの整数倍の値として、上記式（１）のように求める。

次に、このオフセット値ｚ_０ｉを共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉの位相データｚ_{ｉｊ（ｉ）}からそれぞれ減算して、次式（１７）のように、アンラップされた２次元位相データφ_ＵＮ（Ｘ_{ｉｊ（ｉ）}，Ｙ_{ｉｊ（ｉ）}）を生成する。ただし、Ｘ_{ｉｊ（ｉ）}，Ｙ_{ｉｊ（ｉ）}は、上記式（１５）、（１６）の意味である。

φ_ＵＮ（Ｘ_{ｉｊ（ｉ）}，Ｙ_{ｉｊ（ｉ）}）＝ｚ_{ｉｊ（ｉ）}−ｚ_０ｉ ・・・（１７）

このようにアンラップされた状態では、２次元位相データがどの共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉに属するかは、問題ではないので、以下では、改めて、φ_ＵＮ（Ｘ，Ｙ）のように標記する。
基準位相値Ｏとしては、パラメータＺ_１＿ｉのどれを選んでもよい。例えば、図９（ｃ）には、Ｏ＝Ｚ_１＿１とした場合の、アンラップされた２次元位相データ７１の例を示している。
ただし、基準位相値Ｏとしては、推定誤差ができるだけ少ないＺ_１＿ｉを採用することが好ましい。

基準位相値Ｏの好ましい一例としては、共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉのうちデータ個数が最大である共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉｘ（ただし、添字ｉｘは、１からｎまでのいずれかの整数）から推定されたパラメータＺ_１＿ｉｘを挙げることができる。
この場合、データ個数から基準位相値Ｏを求めるため、容易かつ迅速に好ましい基準位相値Ｏを選ぶことができる。

また、基準位相値Ｏの好ましい他例としては、上記式（２ａ）において、重み付け係数Ｗ_ｉを共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉのデータ数Ｊ（ｉ）として上記式（２ａ）によって求めた値を挙げることができる。

この場合、基準位相値Ｏは、データ個数Ｊ（ｉ）（＝Ｗ_ｉ）に応じて重み付けしたＺ_１＿ｉ位相の平均値（加重平均位相）となり、全データのｒｏｕｎｄ｛（Ｚ_１＿ｉ−Ｏ）／２π｝の丸め誤差の自乗和が最小になる。このため、測定誤差や近似誤差の影響が少ない状態でアンラップされることになる。
なお、加重平均位相を算出する際の重み付け係数Ｗ_ｉは、推定されたパラメータＺ_１＿ｉの信頼性を表す適宜の重み付け係数を採用することができる。
このような他の重み付け係数の例として、次式（１７）のように５バケット測定における各データの強度変化をＭとして、式（２ａ）の重み付け係数Ｗ_ｉを共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉに含まれる各データの強度変化Ｍの和としても良い。

ここで、簡単のため、Ｍ（ｘ，ｙ）、ｇ_−２（ｘ，ｙ）等を、単に、Ｍ、ｇ_−２等と略記している。また、関数ｍａｘ、ｍｉｎは、それぞれ、引数の最大値、最小値を返す関数である。
この場合、相対的にノイズの影響が大きく、誤差が含まれやすい強度変化の小さいデータの影響が少ない状態でアンラップされることになる。

このようにして、アンラップされた２次元位相データφ_ＵＮ（Ｘ，Ｙ）は、図９（ｃ）に示されているように、隣接位置のデータが欠落している共通オフセット位相データ群Ｒ_１、Ｒ_２の間であっても、フィッティング関数を用いることにより曲面形状が仮定されることで、オフセット値を推定することができるため、アンラップが可能となっている。
このため、測定ノイズやマスク処理などによって、データが欠落している場合でも、共通のオフセット値を有すると見なすことができる２次元位相データが、フィッティングパラメータの数以上に確保できれば、有効領域３１の全体をアンラップすることができる。
アンラップ演算部４５Ｃは、アンラップされた２次元位相データφ_ＵＮ（Ｘ，Ｙ）を波面算出部４６に送出される。
以上で、アンラップ工程が終了する。

次に、波面算出部４６によって、図４のステップＳ５が実行される。
ステップＳ５は、アンラップ装置部４５から送出されたアンラップされた２次元位相データφ_ＵＮ（Ｘ，Ｙ）を高さ情報に換算し、被測定面５ａの形状誤差を求める工程である。
波面算出部４６では、まず、次式（１８）によって、２次元位相データを高さ情報ｈ（Ｘ，Ｙ）に変換する。そして、次式（１９）によって、元位相データに含まれるアライメント誤差である、チルトおよびパワー成分を差し引いた形状誤差ｈ’（Ｘ，Ｙ）を算出する。

ここで、式（１９）の大かっこ内の第１項、第２項は、アライメント誤差のチルト成分の近似式であり、第３項は同じくパワー成分の近似式である。係数Ｃ_２、Ｃ_３、Ｃ_４は、オフセット推定工程で算出された係数を用いる。また、被測定面５ａが設計上所定の収差が付与されている場合には、付与された収差に対応する近似式も大かっこ内に追加する。
このようにして、被測定面５ａの形状誤差が、図１１に示す形状誤差８１のように、算出される。
算出された形状誤差ｈ’（Ｘ，Ｙ）は、波面算出部４６から表示制御部４７に送出される。

次にステップＳ６では、波面算出部４６から送出された形状誤差ｈ’（Ｘ，Ｙ）を、適宜のグラフやグラフィック画像に変換してモニタ１１に表示させる。
以上で、干渉計５０による被測定面５ａの形状測定が終了する。

本実施形態の干渉計による２次元位相デ−タのアンラップ方法および装置によれば、一定の基準位相値に対して同一のオフセット値を有すると見なすことができる共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉのオフセット値ｚ_０ｉを、フィッティング関数を仮定し共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉを用いて推定するので、干渉計５０から得られた２次元位相データに有効領域３１を横断するようなデータの欠落がある場合であっても、有効領域３１内の２次元位相データφ（ｘ，ｙ）の全体を、φ_ＵＮ（Ｘ，Ｙ）のようにアンラップすることができる。

次に、本実施形態の変形例について説明する。
本変形例は、フィッティング関数に用いる多項式ｆ_Ｋ（ｘ，ｙ）として、ゼルニケ多項式に代えて、次式（２０）のような（２＋ｔ）個（ただし、ｔは自然数）の多項式群を採用する。このような多項式群は、非球面近似式となっている。

本変形例は、被測定面５ａが非球面近似式で精度よく近似される場合に、精度よくアンラップを行うことができる。

なお、上記の説明では、２次元位相データを算出する際、いわゆる５バケット法を用いて算出する場合の例で説明したが、例えば、特許第３６３３６２５号に開示されている７バケット法、９バケット法、１３バケット法などの他の算出方法を採用してもよい。すなわち、２次元位相データの算出には、フリンジスキャン法、位相シフト法で用いられる周知の算出方法はすべて同様に採用することができる。

このような２次元位相データの算出方法の一例として、被測定面５ａを微小移動させる代わりに、レーザ光源１の波長を変化させる方法が挙げられる。
例えば、干渉計５０に、レーザ光源１の波長を変動させる光源波長変動手段を備えておき、図４のステップＳ１では、被測定面５ａの位置を固定し、レーザ光源１の波長λを、次式（２１）に示すｄλずつ５回変化させて、干渉縞強度分布データｇ_−２（ｘ，ｙ）、ｇ_−１（ｘ，ｙ）、ｇ_０（ｘ，ｙ）、ｇ_＋１（ｘ，ｙ）、ｇ_＋２（ｘ，ｙ）を取得し、記憶部４３に記憶させる。

ｄλ＝λ^２／｛８（Ｒ_０＋Ｒ）｝ ・・・（２１）

ここで、Ｒ_０はフィゾー面４ａの曲率半径、Ｒは、被測定面５ａの曲率半径であり、符号はどちらも凹面を＋とする。
このようなｄλの波長変化は、π／２の位相変化となり、上記実施形態においてフィゾーレンズ４をλ／８動かしたのと同等である。

また、２次元位相データの算出方法の他例として、空間的位相シフト法に分類されるキャリアメソッド（空間キャリア法）を挙げることができる。
このキャリアメソッドは、保持台移動機構１４によって被測定面５ａを光軸Ｌに対して傾けて、干渉縞が、例えば２０〜３０本程度の所定本数だけでるように調整して、干渉縞画像を取得する。そして、これをフーリエ変換して１枚の干渉縞画像から波面を測定する。このキャリアメソッドの詳細は、例えば、特開２０００−８６０５７号公報等に開示されている。

また、上記の説明では、干渉計として、フィゾー型干渉計を用いた例で説明したが、位相シフトされた干渉縞画像が取得できれば、干渉計の種類は、これらの干渉計には限定されない。例えば、トワイマングリーン型干渉計、マッハツェンダー型干渉計などを好適に採用することができる。

また、上記の説明では、２次元位相データを算出する際、いわゆる５バケット法を用いて算出する場合の例で説明したが、例えば、特許第３６３３６２５号に開示されている７バケット法、９バケット法、１３バケット法などの他の算出方法を採用してもよい。すなわち、２次元位相データの算出には、フリンジスキャン法、位相シフト法で用いられる周知の算出方法はすべて同様に採用することができる。

また、上記の説明では、一例として、共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉの個数ｎが３の場合の例で説明したが、ｎは１以上であればよい。

また、上記の説明では、共通オフセット位相データ群生成工程は、分割工程を行ってから、連結判定工程、および連結工程を行う場合の例で説明したが、フィッティングパラメータを精度よく推定できるだけのデータ個数があれば、分割工程を行うのみでもよい。
また、少ない（例えば３組未満）境界データしか得られないデータ群間では、連結工程を行わなくても良い。この場合、全データを使うオフセット推定工程で連結されることになり、境界データの測定誤差の影響が少ない状態でアンラップされることになる

１ レーザ光源
２ コリメータレンズ
３ ビームスプリッタ
４ フィゾーレンズ
４ａ フィゾー面
５ 被測定物
５ａ 被測定面
７ ＣＣＤ
８ ピエゾ素子
１０ 制御ユニット
１１ モニタ
１３ 保持台
３０ｃ 被測定面反射光
３０ｄ 参照面反射光
４１ 干渉縞画像取得部
４３ 記憶部
４４ ２次元位相データ取得部
４５ アンラップ装置部（アンラップ装置）
４５Ａ 共通オフセット位相データ生成演算部
４５Ｂ オフセット推定演算部
４５Ｃ アンラップ演算部
４６ 波面算出部
５０ 干渉計
Ｇ_ｉ フィッティング関数
Ｌ 光軸
Ｏ 基準位相値
Ｒ_ｉ 共通オフセット位相データ群
ｚ_０ｉ オフセット値
φ ２次元位相データ
φ_ＵＮ アンラップされた２次元位相データ

Claims (8)

1. 干渉計によって得られた２次元位相デ−タのアンラップを行う干渉計による２次元位相デ−タのアンラップ方法であって、
   前記干渉計によって得られた２次元位相データに基づいて、一定の基準位相値に対して同一のオフセット値を有すると見なすことができる２次元位相データの集まりであるｎ個（ただし、ｎは１以上の整数）の共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉ（ただし、添字ｉは、１≦ｉ≦ｎの整数）を生成する共通オフセット位相データ群生成工程と、
   少なくとも、該共通オフセット位相データ群工程で生成された前記共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉの前記各オフセット値に対応するパラメータＺ_１＿ｉをフィッティングパラメータとして含むフィッティング関数を仮定し、前記共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉを用いて前記フィッティングパラメータの最適値を求める演算を行い、前記各パラメータＺ_１＿ｉを推定するオフセット推定工程と、
   該オフセット推定工程で推定された前記各パラメータＺ_１＿ｉのうちいずれか、または次式（２ａ）、（２ｂ）によって求められた前記パラメータＺ_１＿ｉによる加重平均位相を基準位相値Ｏとして、前記各共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉのオフセット値ｚ_０ｉを次式（１）によって算出し、該オフセット値ｚ_０ｉを前記共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉからそれぞれ減算して、アンラップされた２次元位相データを生成するアンラップ工程とを備えることを特徴とする干渉計による２次元位相デ−タのアンラップ方法。
   ｚ_０ｉ＝２π・ｒｏｕｎｄ｛（Ｚ_１＿ｉ−Ｏ）／２π｝ ・・・（１）
   

   

   ここで、関数ｒｏｕｎｄは、引数を最も近い整数値に丸める関数を表す。また、Ｗ_ｉは、パラメータＺ_１＿ｉの重み付け係数である。
2. 前記基準位相値Ｏは、
   前記共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉのうちデータ個数が最大である共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉｘ（ただし、添字ｉｘは、１からｎまでのいずれかの整数）から推定されたパラメータＺ_１＿ｉｘであることを特徴とする請求項１に記載の干渉計による２次元位相デ−タのアンラップ方法。
3. 前記基準位相値Ｏは、
   前記加重平均位相であり、前記重み付け係数Ｗ_ｉは、前記共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉに含まれるデータ点数である方法とする。ことを特徴とする請求項１に記載の干渉計による２次元位相デ−タのアンラップ方法。
4. 前記共通オフセット位相データ群生成工程は、
   前記干渉計によって得られた２次元位相データを、互いに隣接する２次元位相データの間の位相差が連結判定値Ｐ（ただし、Ｐは、０＜Ｐ≦π）より小さい集合に分けることによって、前記共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉを生成することを特徴とする請求項１〜３のいずれかに記載の干渉計による２次元位相デ−タのアンラップ方法。
5. 前記共通オフセット位相データ群生成工程は、
   前記干渉計によって得られた２次元位相データを、互いに隣接する２次元位相データの間の位相差が連結判定値Ｐ（ただし、Ｐは、０＜Ｐ≦π）より小さい集合に分けることによって、Ｑ個（ただし、Ｑは１以上の整数）のデータ群Ｄ_ｑ（ただし、添字ｑは、１≦ｑ≦Ｑの整数）を生成する分割工程と、
   該分割工程で生成された前記各データ群Ｄ_ｑの隣接位置で、互いに隣接する一方のデータ群Ｄ_ｑの隣接位置の位相を基準として、他方のデータ群Ｄ_ｑの位相を２πの整数倍（ただし０倍を除く）だけシフトさせて、位相差を求め、該位相差が前記連結判定値Ｐより小さいかどうか判定する連結判定工程と、
   該連結判定工程で、前記位相差が前記連結判定値Ｐより小さいと判定された場合に、前記他方のデータ群Ｄ_ｑの位相を前記２πの整数倍（ただし０倍を除く）だけシフトさせた後に、前記他方のデータ群Ｄ_ｑを前記一方のデータ群Ｄ_ｑに合併することにより、互いに隣接する２つのデータ群Ｄ_ｑの連結を行う連結工程とを備え、
   前記連結判定工程および前記連結工程を繰り返して連結されたｎ個（ただし、ｎは、１≦ｎ＜Ｑの整数）のデータ群によって、共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉ（ただし、添字ｉは、１≦ｉ≦ｎの整数）を生成することを特徴とする請求項１〜３のいずれかに記載の干渉計による２次元位相デ−タのアンラップ方法。
6. 前記オフセット推定工程は、
   前記オフセット位相データ群Ｒ_ｉを構成するＪ（ｉ）個（ただし、Ｊ（ｉ）は、１以上の整数）の２次元位相データを、位置座標（ｘ_{ｉｊ（ｉ）}，ｙ_{ｉｊ（ｉ）}）に対応して位相ｚ_{ｉｊ（ｉ）}（ただし、ｊ（ｉ）は、１≦ｊ（ｉ）≦Ｊ（ｉ）の整数）と表すとき、次式の最小二乗解を求めることによって、前記各パラメータＺ_１＿ｉを推定することを特徴とする請求項１〜５のいずれかに記載の干渉計による２次元位相デ−タのアンラップ方法。
   

   

   ここで、関数ｆ_１（ｘ，ｙ），…．ｆ_ｋ（ｘ，ｙ）（ただし、ｋは、１以上の整数）は、フィッティング関数の第１成分〜第ｋ成分を表す関数であり、係数Ｃ_１〜Ｃ_ｋは、第１成分〜第ｋ成分のフィティングパラメータである。
7. 前記フィッティング関数の第Ｋ成分（ただし、Ｋは、１からｋまでの整数）を表す関数ｆ_Ｋ（ｘ，ｙ）は、第Ｋ次のゼルニケ多項式Ｆ_Ｋを用いて次式で表されること特徴とする請求項６に記載の干渉計による２次元位相デ−タのアンラップ方法。
   

   

   ここで、（ｃ_ｘ，ｃ_ｙ）は、干渉計で得られた２次元位相データの有効領域を円領域としたときの中心の座標であり、ｒ_ｖａｌは、円領域の半径を表す。ゼルニケ多項式Ｆ_Ｋ（Ｘ，Ｙ）は次式の通りである。ただし、Ｘ^２＋Ｙ^２＝ｒ^２としている。
   

   
8. 干渉計によって得られた２次元位相デ−タのアンラップを行う干渉計による２次元位相デ−タのアンラップ装置であって、
   前記干渉計によって得られた２次元位相データに基づいて、一定の基準位相値に対して同一のオフセット値を有すると見なすことができる２次元位相データの集まりであるｎ個（ただし、ｎは１以上の整数）の共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉ（ただし、添字ｉは、１≦ｉ≦ｎの整数）を生成する共通オフセット位相データ群生成演算部と、
   少なくとも、該共通オフセット位相データ群部で生成された前記共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉの前記各オフセット値に対応するパラメータＺ_１＿ｉをフィッティングパラメータとして含むフィッティング関数を仮定し、前記共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉを用いて前記フィッティングパラメータの最適値を求める演算を行い、前記各パラメータＺ_１＿ｉを推定するオフセット推定演算部と、
   該オフセット推定部で推定された前記各パラメータＺ_１＿ｉのうちいずれか、または次式（２ａ）、（２ｂ）によって求められた前記パラメータＺ_１＿ｉによる加重平均位相を基準位相値Ｏとして、前記各共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉのオフセット値ｚ_０ｉを次式によって算出し、該オフセット値ｚ_０ｉを前記共通オフセット位相データ群Ｒ_ｉからそれぞれ減算して、アンラップされた２次元位相データを生成するアンラップ演算部とを備えることを特徴とする干渉計による２次元位相デ−タのアンラップ装置。
   ｚ_０ｉ＝２π・ｒｏｕｎｄ｛（Ｚ_１＿ｉ−Ｏ）／２π｝ ・・・（１）
   

   

   ここで、関数ｒｏｕｎｄは、引数を最も近い整数値に丸める関数を表す。また、Ｗ_ｉは、パラメータＺ_１＿ｉの重み付け係数である。

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