JP2009295102A - 待ち行列の待ち時間の推定方法、プログラム及びシステム - Google Patents

Abstract

【課題】待ち行列の待ち時間を推定する方法、プログラム、システムを提供すること。
【解決手段】待ち行列に含まれる顧客等の待ち時間の確率分布を計算する漸化式を用い、さらにこの漸化式の近似式を用いて、効率的に顧客の待ち時間を推定する方法、プログラム、システムを提供する。高次多項式への展開を避け、計算量及び計数を保管するために必要な記憶媒体のスペースの増大を避けることが可能になり、確率を与える積分を直接に数値評価する方法と比較して迅速に確率分布を得られるので、ＰＯＳデータのような大量のデータに対して待ち時間の推定を適用する場合に、より効率的に結果を得られる。流通販売業の経営者等は、店舗又は流通システム等の設計及び評価のための情報を得られる。
【選択図】図１

Description

本発明は、サービス等のための待ち行列における待ち時間の推定方法、プログラム及びシステムに関する。特に、本発明は、販売時点情報管理データからの待ち時間の推定方法、プログラム及びシステムに関する。

従来、複数の顧客が受付等のために順番に待機する状況において待ち時間を推定する手法として、待ち行列理論が知られている（非特許文献１参照）。待ち行列理論によると、例えば、小売業を利用する複数の一般顧客等が、購入代金精算のために行列に並ぶ時点と、各顧客に対するサービス時間（料金精算を実施している時間）を使い、各顧客の待ち時間を求めることができるとしている。
Ｌ．Ｋｌｅｒｉｒｏｃｋ、"Ｑｕｅｕｅｉｎｇ Ｓｙｓｔｅｍｓ"、第１巻、Ｊｏｈｎ Ｗｉｌｅｙ ＆ Ｓｏｎｓ、１９７５年

しかし、商店が半額セール等のキャンペーンを実施すると、レジに列ができ、顧客は長い時間待たされるという課題があった。すなわち、店舗の管理者は顧客がどれくらいレジで待たされたのかを把握して対策を練る必要がある。販売時点情報管理（ＰＯＳ、Ｐｏｉｎｔ ｏｆ Ｓａｌｅ）システムは、各顧客が購入した商品やその日時を記録するシステムであるが、ＰＯＳデータに顧客の待ち時間は記録することは難しく、管理者は顧客の待ち時間を容易に知ることができない。各顧客がレジに並び始めた時間と、会計を終えた時間を記録できれば、容易に各顧客の待ち時間を知ることができるが、通常、各顧客がレジに並び始めた時間を記録することはできないからである。

また、ＰＯＳデータには顧客がレジに並んだ時点は記録されないので、従来の待ち行列を使ってＰＯＳデータから顧客の待ち時間を推定することはできない。また待ち行列理論は将来の来客を確率過程でモデル化してその待ち時間を推定するのが主目的であり、待ち行列に含まれる特定の顧客の待ち時間の推定には、新規な手法が必要である。本発明は、ＰＯＳデータから顧客のレジにおける待ち時間を推定する方法等の、すでに待ち行列に含まれる特定の顧客の待ち時間を推定する方法を提供することを目的とする。

待ち時間の推定が有用であり得る分野はＰＯＳシステム等に限らない。コールセンター等においては、電話回線が全て利用されている状態のときに電話をかけた顧客はビジーシグナルを聞くことになり電話がつながらないという課題があった。電話がつながらなかったことをコールセンターの管理者は知ることができない。そのため、各顧客がどれだけ待たされたのかを知ることもできない。本発明は、このような状況においても、各顧客が待たされた時間を推定するための方法を提供することを目的とする。

本発明は、顧客の待ち時間の確率分布を計算する漸化式を用いることにより、さらにこの漸化式の近似式を用いることにより、確率を与える積分を直接に数値評価する方法と比較して、効率的に顧客の待ち時間を推定する方法を提供する。具体的には、実施形態として後述するように、高次多項式への展開を避け、計算量及び計数を保管するために必要な記憶媒体のスペースの増大を避け、迅速に確率分布を得られる。従って、本発明においては、ＰＯＳデータのような大量のデータに対して待ち時間の推定を適用する場合においても、より効率的に結果を得られる。

本発明に係る、待ち時間推定の諸段階の実施手段はサーバ装置等を用い得る。当該サーバ装置は、適宜通信手段を介してＰＯＳシステム等と接続し、ＰＯＳシステム等が記憶した特定の時刻との関連性を有する待機中の顧客の情報を受信し、この情報に基づいて待ち時間推定の諸段階を実施し得る。

本発明は、確率分布を用いて顧客の待ち時間を推定する技術等の、既存の待ち時間を推定する技術と組み合わせることができ、そのように組み合わせた技術もまた、本発明の技術範囲に含まれる。同様に、本発明の技法を含む販売時点情報管理（ＰＯＳ）システム、自動音声応答システム、顧客管理システム等も、本発明の技術範囲に含まれる。さらに、本発明の技法は、確率計算のための諸段階を、ＦＰＧＡ（現場でプログラム可能なゲートアレイ）、ＡＳＩＣ（特定用途向け集積回路）、これらと同等のハードウェアロジック素子、プログラム可能な集積回路、又はこれらの組み合わせが記憶し得るプログラムの形態、すなわちプログラム製品として提供し得る。具体的には、データ入出力、データバス、メモリバス、システムバス等を備えるカスタムＬＳＩ（大規模集積回路）の形態として、本発明に係る販売時点情報管理（ＰＯＳ）装置等を提供でき、そのように集積回路に記憶されたプログラム製品の形態も、本発明の技術範囲に含まれる。

本発明によれば、通常のＰＯＳシステムを用い、ＰＯＳシステムが記録し得る情報、すなわち、各顧客について店員がレジを打ち始めた時点と打ち終えた時点の記録のみに基づいて、待ち行列に含まれる特定の顧客の待ち時間を推定し得るという効果がある。これにより、流通業の経営者等は、レジの前に確保すべきスペースを検討するための情報を得られ、現状の待ち行列の長さに対してスペースが不足する場合には、レジの数を増したり、スペースを増設することにより、より効率的な経営を遂行するための情報を得られる。

また、本発明によれば、ＰＯＳデータから顧客のレジにおける待ち時間を推定する方法等の、すでに待ち行列に含まれる特定の顧客の待ち時間を推定する方法を提供し得る。さらに、本発明によれば、ＰＯＳシステム等に記録されている情報を用いて、過去の特定の時刻における待ち行列の長さを推定し得る。

また、本発明によれば、コールセンター等において各顧客のサービス（応対等）を受け始めた時点と、サービスを終えた時点に基づいて、各顧客の待ち時間を推定し得る。すなわち、本発明によれば、一般的には待ち始めた時間を計測するのが困難又は不可能であるサービス分野等において、サービスを受け始めた時点と終えた時点の記録が存在するか又は容易に記録できる場合に、待ち時間を推定し得る方法、プログラム、システム等を適用し得る。

また、本発明によって推定される待ち時間の確率分布は、顧客がポアソン過程に従ってレジに並ぶとしたときの待ち時間の事後分布に対応するので、理論的に健全な推定がなされる。従って、本発明の方法においては、信頼できる推定結果が得られる。

以下、本発明の実施形態について図を参照しながら説明する。なお、これらはあくまでも一例であって、本発明の技術的範囲はこれらに限られるものではない。実施形態においては、顧客等に対するサービスシステムとしてＰＯＳシステムを例示するが、これに限らず、本発明に係る待ち時間推定方法の実施手段等は、コールセンター、病院や薬局の受付窓口、設備工事の受付、商品集配等、サービス要求のための待ち行列に含まれる、後続のサービス要求者の待ち時間、任意のサービス要求者の待ち時間、待ち時間を開始した時刻を推定するために用い得る。

［漸化式モデル］
本発明に係る待ち時間の推定方法においては、次の漸化式を用い、顧客の待ち時間の確率分布を計算する。

…［１３］
数式［１３］において、ｎは２以上の整数、ｔ_ｎはｎ番目の顧客が行列に並び始めた時刻である。Ｓ^（ｎ）（ｔ_１，ｔ_２，…，ｔ_ｎ）は、確率変数Ｕ_ｉが区間［０，ｔ_ｉ］で一様分布し、かつｔ_ｉ≦ｔ_ｉ＋１であるような場合に、Ｕ_１≦Ｕ_２≦…≦Ｕ_ｎとなる確率に相当する。従って、Ｓ^（ｎ）は、次式のような積分で表すこともできる。

…［１４］
しかし、数式［１４］の積分をそのまま数値評価するのに比べ、数式［１３］の漸化式を用いると、効率的にＳ^（ｎ）（ｔ_１，ｔ_２，…，ｔ_ｎ）が計算できるため、ＰＯＳデータのような大量のデータに対して適用する際に漸化式を用いる方法は有利になる。またＳ^（ｎ）（ｔ_１，ｔ_２，…，ｔ_ｎ）は分母と分子がそれぞれｎ次の多項式に展開することも原理的には可能であるが、そのような展開式を使った計算は、プログラミングの労力が大きいことや、展開式の係数の保管にスペースが必要なことから、特にｎが大きい場合には漸化式を用いる方法は有利になる。

本発明で必要なｎの値は、連続して会計がなされる（前の顧客が会計を済ませた直後にその後の顧客が会計を始める）数の上限から１を減じた数で決まる。

［確率計算のフロー図］
図１は、本発明の一実施形態に係る、確率Ｓ（ｎ）の計算を示すフロー図である。一実施形態において、Ｓ（ｎ）には前述の数式［１３］を用い得る。

本発明に係る待ち時間推定のための確率計算は、数値入力ステップ（Ｓ１０１）において、ｎ番目の顧客が行列に並び始めた時刻ｔ_ｎを含む、数値情報ｎ及び（ｔ_１，ｔ_２，…，ｔ_ｎ）を受け付ける。次いで、ｎが２以上であるか否かを判定するステップ（Ｓ１０２）において、真であればステップＳ１０４に進み、偽であればステップＳ１０３に進む。ステップＳ１０３においては、結果として１を出力して終了する。

次いで、本発明に係る待ち時間推定のための確率計算は、結果の初期化ステップ（Ｓ１０４）において、確率計算の結果を記憶するメモリ等の値を適宜初期化する。例えば、変数Ｒｅｓｕｌｔの値を０とする。さらに、確率計算のための変数ｋの値は１とする。

次いで、本発明に係る待ち時間推定のための確率計算は、確率の再帰計算ステップ（Ｓ１０５）において、数式［１３］に含まれる次の項を計算し、変数Ｔｅｒｍに記憶する。

…［１５］

次いで、本発明に係る待ち時間推定のための確率計算は、（ｔ_１／ｔ_ｍ）の積を計算して結果をＰ１とするステップ（Ｓ１０６）において、２≦ｍ≦ｋを満たす整数ｍについて（ｔ_１／ｔ_ｍ）の積を計算し、結果を変数Ｐ_１に記憶する。

次いで、本発明に係る待ち時間推定のための確率計算は、（ｔ_ｍ−ｔ_１）／ｔ_ｍの積を計算して結果をＰ２とするステップ（Ｓ１０７）において、ｋ＋１≦ｍ≦ｎを満たす整数ｍについて（ｔ_ｍ−ｔ_１）／ｔ_ｍの積を計算し、結果を変数Ｐ_２に記憶する。

次いで、本発明に係る待ち時間推定のための確率計算は、結果を計算するステップ（Ｓ１０８）において、変数Ｒｅｓｕｌｔ、変数Ｔｅｒｍ、変数Ｐ１、変数Ｐ２を用い、次式を計算して得られる結果で変数Ｒｅｓｕｌｔを上書きする。

…［１６］

次いで、本発明に係る待ち時間推定のための確率計算は、ｋとｎの大小関係を判定するステップ（Ｓ１０９）において、判定式ｋ＜ｎの論理値に基づき、真であればステップＳ１１０に進み、偽であればステップＳ１１１に進む。ステップＳ１１０においては、上述の数式［１６］において計算された変数Ｒｅｓｕｌｔの値を結果として出力して終了する。ステップＳ１１１においては、ｋをインクリメントしてステップＳ１０５に進む。

本発明に係る待ち時間推定のための確率計算においては、コンピュータ等を用いてこれらの諸段階を実行させることにより、数式［１３］に示した確率計算を自動的に行いうる。これらの確率計算を開始するタイミングは、例えば、ＰＯＳシステム等が記憶した情報を、本発明に係る待ち時間推定のための確率計算の実施手段が受信することに基づいてもよく、オペレータ等が適宜計算の開始を指示してもよい。

［漸化式の近似］
本発明は、さらに、前述の漸化式Ｓ^（ｎ）を近似計算する方法を提供する。これにより、前述の数式［１３］に示したＳ^（ｎ）の計算時間が、ｎが大きくなるに従い指数的に増加するという問題を避けることが可能になる。まず、数式［１３］に含まれるＳ^（ｎ）（ｔ_１，ｔ_２，…，ｔ_ｎ）のｋ番目の項を次式のように、Ｔ_ｋと表す。

…［１７］
数式［１７］において、Ｔｋは、Ｕ_１≦…≦Ｕ_ｋ≦ｔ_１≦Ｕ_ｋ＋１≦…≦Ｕ_ｎとなる確率に相当する。従って、次の近似式が有効であることが期待できる。

…［１８］
数式［１８］を用いると、ｎが奇数の場合には次式を近似式に用い得る。

…［１９］
ｎが偶数の場合には次式を近似式に用い得る。

…［２０］
利用可能な近似式はこれらに限らず、当技術分野に公知の、近似式に用い得る手法を適宜取り入れてもよい。

数式［１８］〜［２０］に示した近似式を用いてもなお計算時間が長い場合には、さらに計算時間を短縮するために、次のような近似式も用い得る。

…［２１］
ｉ＝ｊ＝１の場合には、上で述べたＴ_ｋ＝（Ｔ_ｋ−１＋Ｔ_ｋ＋１）／２の近似式に相当する。この一般化された近似式を用いると、ｋ＝ｎ_１，ｎ_２，…，ｎ_ｍのｍ点においてＴ_ｋを計算し、それ以外のＴ_ｋについては一般化された近似式を用いることで、Ｓ^（ｎ）を近似的に計算し得る。

上述の近似方法は、Ｔ_ｋをｋ＝１，…，ｎのｎ点での値を、ｎより小さい数のＴ_ｋの値を用いてｎ点での値を推定する方法のうち、線形近似を用いた方法と考えることもできる。ｎより小さい数のＴ_ｋの値を用いてｎ点でのＴ_ｋの値を推定する方法は、線形近似以外にもスプライン補間等様々な方法が考えられ、それらの推定方法を用いると、様々な近似のバリエーションが考えられる。また以上のＴ_ｋの近似計算においては、再帰的にＳ^（ｍ）， ｍ＜ｎを計算する必要があるが、再帰的に計算されるＳ^（ｍ）についても同様に近似計算を実施し得る。

［近似を用いる確率計算のフロー図］
図２は、本発明の一実施形態に係る、近似を用いる確率Ｓ（ｎ）の計算を示すフロー図である。一実施形態において、Ｓ（ｎ）には前述の数式［１３］を用い得る。また、図２に示した諸段階のうち、数値入力ステップ（Ｓ１２１）は前述のステップＳ１０１と、ｎが２以上であるか否かを判定するステップ（Ｓ１２２）は前述のステップＳ１０２と、結果として１を出力して終了するステップ（Ｓ１２３）は前述のステップＳ１０３と、結果の初期化ステップ（Ｓ１２７）は前述のステップＳ１０４と、（ｔ_１／ｔ_ｍ）の積を計算して結果をＰ１とするステップ（Ｓ１２９）は前述のステップＳ１０６と、（ｔ_ｍ−ｔ_１）／ｔ_ｍの積を計算して結果をＰ２とするステップ（１３０）は前述のステップＳ１０７と、結果を計算するステップ（Ｓ１３１）は前述のステップＳ１０８と、ｋとｎの大小関係を判定するステップ（Ｓ１３２）は前述のステップＳ１０９と、ｋをインクリメントするステップ（Ｓ１３４）は前述のステップＳ１１１と、それぞれ共通であり、説明は省略する。

本発明に係る、近似を用いる待ち時間推定のための確率計算は、Ｍを１からＮの整数の部分集合とし、ＬをＭの補集合とするステップ（Ｓ１２４）において、整数の集合Ｌ、Ｍを定義する。具体的には、Ｎ＝｛１，２，…，ｎ｝、Ｍ⊂｛１，２，…，ｎ｝でありうる。

次いで、本発明に係る、近似を用いる待ち時間推定のための確率計算は、ステップＳ１２５において、Ｍの各要素ｋについて、Ｓ^{（ｎ−ｋ）}（ｔ_ｋ＋１−ｔ_１，…，ｔ_ｎ−１−ｔ_１，ｔ_ｎ−ｔ_１）を再帰的に近似計算する。このステップを、ステップＡと呼ぶ。一実施形態において、奇数Ｍに対して数式［１９］を用いて近似した確率を計算し得る。

次いで、本発明に係る、近似を用いる待ち時間推定のための確率計算は、ステップＳ１２６において、Ｌの各要素ｋについて、Ｓ^{（ｎ−ｋ）}（ｔ_ｋ＋１−ｔ_１，…，ｔ_ｎ−１−ｔ_１，ｔ_ｎ−ｔ_１）を、ステップＡの計算結果を用いて近似計算する。このステップを、ステップＢと呼ぶ。一実施形態において、偶数Ｌに対して数式［２０］を用いて近似した確率を計算し得る。

次いで、本発明に係る、近似を用いる待ち時間推定のための確率計算は、結果の初期化ステップ（Ｓ１２７）において、前述のステップＳ１０４と同様に、確率計算の結果を記憶するメモリ等の値を適宜初期化する。例えば、変数Ｒｅｓｕｌｔの値を０とする。さらに、確率計算のための変数ｋの値は１とする。

次いで、本発明に係る、近似を用いる待ち時間推定のための確率計算は、ステップＳ１２８において、ステップＡ又はＢの計算結果を利用し、数式［１３］に含まれる次の項を計算し、変数Ｔｅｒｍに記憶する。

…［２２］
数式［２２］の態様は数式［１５］と共通であり、本発明に係る近似を用いる確率計算においては、確率Ｓ^（ｎ）の項の取り扱いは近似を含まない確率計算と同等である。後続の諸段階についても、近似を含まない確率計算と同等の諸段階を用い得る。

本発明に係る、近似を用いる待ち時間推定のための確率計算においては、確率Ｓ^（ｎ）の全項を計算するために、先行して、適宜、近似計算を含むステップＡ又はステップＢを用い、計算量を低減し得る。ステップＡ又はステップＢ以外は、図１にフロー図を示した諸段階と共通である。例えば、Ｍ＝｛１，２，…，ｎ｝とすれば、近似を含まない確率計算と同等となる。

［待ち時間推定サーバの構成］
図３は、本発明の一実施形態に係る、待ち時間推定サーバの構成を示す図である。図３においては、ＰＯＳシステムとの接続を例示するが、これに限らず、コールセンター、病院や薬局の受付窓口、設備工事の受付、商品集配等のサービスシステムとの接続でもよい。本発明に係る待ち時間推定サーバは、サービス要求のための待ち行列に含まれる、後続のサービス要求者の待ち時間を推定するために用い得る。

一実施形態において、待ち時間推定サーバ１２０は、稼動期間分解部１２２、待ち時間推定部１２４、待ち時間推定結果記憶装置１２６、出力装置１３２、通信インタフェース１２８等を含む。さらに、待ち時間推定サーバ１２０は、通信インタフェース１２８を介してＰＯＳシステム１００と接続し、ＰＯＳシステム１００は、通信インタフェース１０８、ＰＯＳデータ記憶装置、時計１０５、入力装置１０４等を含み、入力装置１０４はキーボード１１２、バーコードリーダ１１４等を適宜備える。ＰＯＳシステム１００の態様は図示に限らず、当技術分野に公知のＰＯＳシステムを適宜用い得る。図３には、ＰＯＳシステム１００及び待ち時間推定サーバ１２０を１対１に接続する状況を例示するが、これに限らず、複数のＰＯＳシステムを本発明に係る待ち時間推定サーバ１２０に接続してもよい。通信インタフェース、通信プロトコル等の詳細は問わない。

一実施形態において、ＰＯＳシステム１００は、買い物客等の顧客が代金支払いのためのサービス等を受けることに応答して、当該支払いに係る情報を、ＰＯＳデータ記憶装置１０２に記憶する。具体的には、商品タグ等に記載されたバーコード等に記された、当該商品の販売価格と関連付けられた情報を、バーコードリーダ１１４等を用いて読み取る一方、時計１０５を用いて当該読み取りの時刻が取得される。これにより、ＰＯＳシステム１００は、ある顧客についての代金支払いサービスの期間が開始されることと、当該サービスが開始された時刻とを関連付け得る。

一実施形態において、ＰＯＳシステム１００は、前記顧客が代金を支払うことに応答して、当該顧客に対する代金支払いのサービスが終了するこの情報を、ＰＯＳデータ記憶装置１０２に記憶する。具体的には、顧客が代金を支払ったことの情報が、レジのオペレータ等によるキーボード１１２の操作としてＰＯＳシステム１００に入力される一方、時計１０５を用いて当該支払いの時刻が取得される。これにより、ＰＯＳシステム１００は、ある顧客についての代金支払いサービスの期間が終了することと、当該サービスが終了する時刻とを関連付け得る。

従って、ＰＯＳシステム１００は、ある顧客についての代金支払い等の１のサービスに対して、当該サービスの開始時点の時刻及び当該サービスの終了時点の時刻を、当該サービスと関連付けて記憶し得る。これらの時刻は、数式［１３］を用いて説明した、時刻（ｔ_１，ｔ_２，…，ｔ_ｎ）に含まれうる。ＰＯＳシステム１００は、この関連付けを有する情報を１つのデータとして、ＰＯＳデータ記憶装置１０２に記憶し、通信インタフェース１０８を介して他の情報処理装置等に送信し得る。データの送信は、前記終了時点の直後に１のデータを送信してもよく、サービスが繰り返されることにより所定の個数の複数のデータがＰＯＳデータ記憶装置１０２に記憶されることに基づいて当該複数のデータをまとめて送信してもよく、適宜設計し得る。

本発明に係る待ち時間推定サーバ１２０は、前記関連付けを有する情報を１つのデータとして、通信インタフェース１２８を介して受信し得る。一実施形態において、本発明に係る待ち時間推定サーバ１２０は、前記データを受信することに応答して、待ち時間を推定するための諸段階を実行し得る。受信するデータの個数は何個でもよい。

一実施形態において、待ち時間推定サーバ１２０の稼動期間分解部１２２は、前記受信したデータに基づいて、特定のレジの稼動期間を算出し得る。具体的には、稼動期間分解部１２２は、前記受信したデータに含まれるサービス開始時点の時刻の情報及びサービス終了時点の時刻の情報を用い、特定のレジがサービスを継続していた期間を稼動期間として検出し得る。

一実施形態において、稼動期間分解部１２２は、少なくとも次の２通りの期間を稼動期間と見なし得る。

（稼動期間Ａ：１のサービスに係る稼動期間）
特定のレジが１の顧客（顧客Ｘ）についてのサービスを開始する時点において、それ以前のサービスはすでに終了して所定の期間が経過し、かつ当該顧客Ａについてのサービスが終了する時点から所定の期間を経過した後に、後続の顧客（顧客Ｙ）についてのサービスが開始される場合、稼動期間分解部１２２は、顧客Ｘについてのサービス開始時点から終了時点までを稼動期間として検出する。所定の期間は、１秒、２秒又は５秒等、又はより長い又はより短い期間を適宜設計し得る。なお、後続の顧客Ｙは顧客Ｘでもよい。

（稼動期間Ｂ：２以上の連結したサービスに係る稼動期間）
特定のレジが１の顧客（顧客Ｘ）についてのサービスを終了する時点において、後続の顧客（顧客Ｙ）についてのサービスを開始する時点までの期間が所定の期間以内である場合に、稼動期間分解部１２２は、これらの顧客Ｘ及び顧客Ｙについてのサービスを連結したサービスと見なし、顧客Ｘについてのサービス開始時点から顧客Ｙについてのサービス終了時点までを稼動期間として検出する。さらに後続の顧客（顧客Ｚ）について、同様に顧客Ｙのサービス終了時点から所定の期間以内にサービスを開始する場合、稼動期間分解部１２２は、これらの顧客Ｘ、顧客Ｙ及び顧客Ｚについてのサービスを連結したサービスと見なし、顧客Ｘについてのサービス開始時点から顧客Ｚについてのサービス終了時点までを稼動期間として検出する。より多くの連結についても同様である。所定の期間、後続の顧客については前述の稼動期間Ａと同様である。

稼動期間分解部１２２は、上述の動作により、ＰＯＳシステムから受信したデータに基づいて、特定のレジにおいてサービスが継続していた稼動期間、当該稼動期間に関連付けられる顧客の人数等の情報を検出し得る。これらの情報は、数式［１３］を用いて説明した、ｎ≧２におけるＳ^（ｎ）に含まれ得る。従って、稼動期間分解部１２２の動作により、本発明に係る待ち時間推定の方法のための変数に用い得る値が得られる。

稼動期間分解部１２２の動作は、上述のように、サービスが継続する期間を連結して稼動期間と見なしてもよく、逆に、特定のレジが顧客についてのサービスを実施していない期間を少なくとも２つ検出し、これらの期間の間を稼動期間と見なしてもよい。

一実施形態において、待ち時間推定サーバ１２０の待ち時間推定部１２４は、図１を用いて説明した、本発明に係る待ち時間推定の方法の諸段階を実施する。あるいは、待ち時間推定の方法の諸段階は、図２に示した近似を用いる方法でもよい。

一実施形態において、待ち時間推定サーバ１２０の待ち時間推定結果記憶装置１２６は、待ち時間推定部１２４が計算した結果を、磁気記憶媒体等を適宜用いて記憶する。さらに、待ち時間推定部１２４が計算した結果又は待ち時間推定結果記憶装置１２６が記憶した結果は、出力装置１３２から出力される。この出力は、画面表示装置（図示せず）等への表示でもよく、プリンタ装置（図示せず）等により印刷されてもよい。

本発明に係る待ち時間推定サーバ１２０は、これらの機能ごとに用意された実施手段を用いて、図１に示した確率計算の諸段階、又は図２に示した近似を含む確率計算の諸段階を実施し得る。従って、本発明に係る待ち時間推定サーバ１２０を用いることにより、ＰＯＳシステム１００等が記録しうる情報に基づいて、待ち時間が推定され得る。

［ＰＯＳシステムとの協働］
図４は、本発明の一実施形態に係る、待ち時間推定サーバがＰＯＳシステムと協働することを示すフロー図である。大別して、左半分のステップＳ１５１からステップＳ１６０はＰＯＳシステムの動作であり、右半分のステップＳ１８１からステップＳ１８８は待ち時間推定サーバの動作である。ＰＯＳシステム及び待ち時間推定サーバのそれぞれは、例えば、図３を用いて説明した機能を有する、ＰＯＳシステム１００及び待ち時間推定サーバ１２０をそれぞれ用い得る。

ＰＯＳシステムは、変数初期化ステップ（Ｓ１５１）においてサービスに係る動作のための初期化を実施する。例えば、代金支払い等のサービスに係る、識別子のための記憶領域の確保、サービス開始時点及び終了時点を記憶するための記憶領域の確保等が適宜実施される。

次いで、ＰＯＳシステムは、顧客によるサービス要求を判定するステップ（Ｓ１５２）において、代金支払い等のサービスの要求の有無を判定する。サービス要求のない場合は、再び同じステップＳ１５２にて待機し、サービスが要求された場合は後続のステップＳ１５３に進む。当該要求は、例えば、レジのオペレータがバーコードリーダ等を用いて商品代金の入力を開始すること等を含む。

顧客によるサービス要求が開始された後に、ＰＯＳシステムは、一顧客に対する代金支払いサービス開始及び識別子生成ステップ（Ｓ１５３）において、１のサービスを識別するための識別子を生成し、特定のレジがサービスを実施していることを適宜記憶する。当該識別子は、ステップＳ１５３から、後述のステップＳ１５７までの諸段階が実施されることを１の情報として識別しうるものであれば何でもよい。識別子は、サービス要求が新たに発生することに基づいて更新され得る。当該記憶は、ＰＯＳシステムの動作の諸段階のためのプログラム等が特定のメモリ領域の値を書き換える等の動作を含む。さらに、ＰＯＳシステムは、開始時刻取得ステップ（Ｓ１５４）において、図３に示した時計１０５等を用いて現在時刻を取得して適宜記憶する。

次いで、ＰＯＳシステムは、商品代金の取得及び合計金額の計算ステップ（Ｓ１５５）において、顧客が購入しようとする商品の個別及び合計金額を算出する。さらに、ＰＯＳシステムは、顧客による代金支払いを判定するステップ（Ｓ１５６）において、代金支払いの有無を判定し、レジのオペレータの操作等により支払い完了の情報を受信するまでステップＳ１５６において待機する。クレジットカード情報の照会等を含み、決済手段の詳細は問わない。支払い情報を受信した後は、ステップＳ１５７に進む。

次いで、ＰＯＳシステムは、一顧客に対する代金支払いサービス終了ステップ（Ｓ１５７）において、特定のレジが１の顧客に付いてのサービスを終了することを適宜記憶する。この記憶は、開始時点と同様に、ＰＯＳシステムの動作の諸段階のためのプログラム等が特定のメモリ領域の値を書き換える等の動作を含む。さらに、ＰＯＳシステムは、終了時刻取得ステップ（Ｓ１５８）において、図３に示した時計１０５等を用いて現在時刻を取得して適宜記憶する。

ＰＯＳシステムは、待ち時間推定のためのデータを送信するステップ（Ｓ１５９）において、待ち時間推定のためのデータ１３５を、本発明に係る待ち時間推定の方法の実施装置等に送信する。待ち時間推定のためのデータ１３５は、少なくとも、ステップＳ１５３において生成した識別子、ステップＳ１５４において取得したサービス開始時刻、及びステップＳ１５８において取得したサービス終了時点の情報を含む。当該送信は、１の代金支払いサービスごとに実施されてもよく、複数の待ち時間推定のためのデータ１３５をまとめて送信してもよい。

次いで、ＰＯＳシステムは、終了処理ステップ（Ｓ１６０）において、商品代金の合計金額を記憶する領域の初期化等、代金支払いサービスの終了処理に係る動作を適宜実施し、ステップＳ１５２に戻る。レジに後続の顧客がいない場合は、ＰＯＳシステムはステップＳ１５２において待機状態となるが、後続の顧客が並んでいる場合はステップＳ１５２からステップＳ１５３に進み、上述の諸段階を繰り返す。従って、ＰＯＳシステムは、１の識別子と関連付けられた、１の代金支払いサービスの開始時刻及び終了時刻を、繰り返し記憶し得る。

一方、本発明に係る待ち時間推定サーバは、数値受信を判定するステップ（Ｓ１８１）において、ＰＯＳシステムからの前記待ち時間推定のためのデータ１３５の受信を待機する。受信後は後続のステップＳ１８２に進み、受信待機中はステップＳ１８１を繰り返す。一実施形態において、本発明に係る待ち時間推定サーバは、前記待ち時間推定のためのデータ１３５の受信に応答して後続のステップＳ１８２に進み得る。別の実施形態において、本発明に係る待ち時間推定サーバは、前記待ち時間推定のためのデータ１３５を複数回受信し、後続のステップＳ１８２に進み得る。例えば、本発明に係る待ち時間推定サーバは、予め定められた回数の、前記待ち時間推定のためのデータ１３５を受信することに応答して後続のステップＳ１８２に進み得る。また、例えば、本発明に係る待ち時間推定サーバは、１の前記待ち時間推定のためのデータ１３５と、引き続く１の前記待ち時間推定のためのデータ１３５との時間の間隔が、予め定められた期間よりも長いことに基づいて、後続のステップＳ１８２に進み得る。本発明に係る待ち時間推定サーバは、ＰＯＳシステムによる前記待ち時間推定のためのデータ１３５の送信の頻度に応じて、後続のステップＳ１８２を動作させるためのタイミングを得てもよい。

次いで、本発明に係る待ち時間推定サーバは、稼動期間分解ステップ（Ｓ１８２）において、前記受信した待ち時間推定のためのデータ１３５に基づいて、図３を用いて前述の、稼動期間分解部１２２の動作を実施する。具体的には、特定のレジにおける、１の顧客についてのサービスを含む稼動期間Ａ、又は２以上の顧客についての時間的に連結したサービスを含む稼動期間Ｂが検出される。

次いで、本発明に係る待ち時間推定サーバは、１の稼動期間に含まれる顧客の数（ｎ）が２以上であるかを判定するステップ（Ｓ１８３）において、顧客の数（ｎ）に基づいて判定式ｎ≧２の論理値を調べ、真であればステップＳ１８４に進み、偽であればステップＳ１８１に戻る。この動作は、図１を用いて前述のステップＳ１０２の動作、又は図２を用いて前述のステップＳ１２２の動作と同様である。

次いで、本発明に係る待ち時間推定サーバは、待ち時間推定ステップ（Ｓ１８４）において、前述の数式［１３］を用いる待ち時間推定のための確率計算を実施する。ステップＳ１８４は、さらに、結果初期化ステップ（Ｓ１８５）、確率の再帰計算ステップ（Ｓ１８６）、再帰計算の終了条件を判定するステップ（Ｓ１８７）等を含み、これらは、図１を用いて前述のステップＳ１０２からステップＳ１１１の動作、又は図２を用いて前述のステップＳ１２４からステップＳ１３４の動作と同様である。従って、ステップＳ１８４により、本発明に係る待ち時間推定の方法による確率計算の結果が得られる。

次いで、本発明に係る待ち時間推定サーバは、結果を出力するステップ（Ｓ１８８）により、適宜、図３を用いて前述の出力装置１３２等から結果を出力し、ステップＳ１８１に戻る。結果の出力の態様は、これに限らず、待ち時間推定サーバのオペレータ等の要求に基づいて画面表示又は印刷出力してもよく、記憶媒体を備えるデータベース装置（図示せず）等に結果を送信するのみでもよく、適宜設計し得る。

これらの諸段階の動作により、本発明に係る待ち時間推定サーバは、ＰＯＳシステムが生成した待ち時間推定のためのデータ１３５に基づいて、レジに並ぶ顧客の待ち時間を推定するための確率計算を実施し、顧客の待ち時間を推定し得る。待ち時間推定のためのデータ１３５は、１の識別子と関連付けられた、サービス開始時刻及びサービス終了時刻を含めばよい。開始時刻及び終了時刻は、通常のＰＯＳシステムを用いて記憶可能なものである。従って、本発明によれば、本発明に係る待ち時間推定サーバを通常のＰＯＳシステムと協働させ、顧客の待ち時間を推定するための諸段階を実施し得る。

［待ち時間推定のためのデータ構造］
図５は、本発明の一実施形態に係る、待ち時間推定のためのデータ構造を示す図である。図５（ａ）は、図４に示した、待ち時間推定のためのデータ１３５のデータ構造を例示する図である。このデータはＰＯＳシステム等が生成し、本発明に係る待ち時間推定の方法の実施装置等に送信される。図５（ｂ）は、図３に示した本は詰めに係る待ち時間推定サーバ１２０の稼動期間分解部１２２の動作により検出された、又は図４に示した本発明に係る待ち時間推定の方法の実施装置等の稼動期間分解ステップ（Ｓ１８２）の動作により検出された、稼動期間の情報を含むデータの構造を例示する図である。

一実施形態において、図５（ａ）に示す、待ち時間推定のためのデータ１３５は、１のサービスを識別するための識別子であるＩＤ１３６、開始時刻１３７及び終了時刻１３８を含む。ＩＤ１３６は、１つのレジに固有の情報及び当該レジにおけるサービスを受けた１の顧客ごとに固有の情報を含みうる。例えば、英字３文字及び数字５文字の合計８文字を用い、英字３文字によりレジを識別し、数字５文字により顧客ごとに固有の情報を割り当ててもよい。例えば、ＩＤ１３６が「ＡＢＣ００１０１」である情報は、英文字「ＡＢＣ」により特定されうるレジにおいて、固有の数字「００１０１」を割り当てられた顧客のデータを識別するために用い得る。同様に、ＩＤ１３６が「ＡＢＣ００１０２」である情報は、前記レジと同一のレジにおいて、固有の数字「００１０２」を割り当てられた、別の顧客のデータを識別するために用い得る。ＩＤ１３６の態様はこれらに限らず、適宜設計し得る。

一実施形態において、ある顧客がレジにおいて代金支払いサービスを受けると、ＰＯＳシステム等は当該サービスに固有の識別子を割り当て、当該サービスの開始時刻及び終了時刻を記憶する。例えば、ＩＤ１３６が「ＡＢＣ００１０１」である１のサービスについて、その開始時刻１３７は「１５：０３：２５」等の文字列として記憶され、終了時刻１３８は「１５：０３：５４」等の文字列として記憶され得る。後続の顧客についてのサービスも同様であり、個々のサービスごとに固有のＩＤ１３６が生成される。

一実施形態において、図５（ａ）に示すデータ構造は、１組のＩＤ１３６、開始時刻１３７及び終了時刻１３８のデータセットとして用いられる。ここに、用語「データセット」は、少なくともＩＤ、開始時刻、及び終了時刻を含む１組の情報を指す。

さらに、本発明に係る待ち時間推定の方法においては、稼動期間分解部１２２又は稼動期間分解ステップ（Ｓ１８２）により検出された稼動期間の情報を含むデータの構造を用い得る。図５（ｂ）に示す、稼動期間の情報を含むデータ１４０は、１のサービスを識別するための識別子であるＩＤ１４１、開始時刻１４２、終了時刻１４３、及び稼動期間１４４の情報を含む。稼動期間１４４以外の情報は、図５（ａ）に示した待ち時間推定のためのデータ１３５に含まれるものと同一でもよい。

稼動期間分解部１２２又は稼動期間分解ステップ（Ｓ１８２）の動作は、１のデータセットと、その直前又は直後のいずれかのデータセットとの時間の間隔が、所定の期間内にあることに基づいて、当該１のデータセットの稼動期間１４４を「Ｂ」と見なしうる。ここで、所定の期間は、１秒、２秒、又は５秒等でもよく、又はより長い又はより短い期間でもよい。

換言すれば、稼動期間１４４が「Ａ」であるデータセットは、その直前にも直後にも、前記所定の期間以内の時間において隣接する他のデータセットが存在しないデータセットでありうる。

例えば、図５（ａ）の例においては、ＩＤ１３６が「ＡＢＣ００１０１」のデータセットの終了時刻１３８は１５時０３分５４秒を表す文字列等であり、後続のＩＤ１３６が「ＡＢＣ００１０２」のデータセットの開始時刻１３７は１５時０５分１２秒を表す文字列等であり、これらのデータセットの間には、レジが代金支払いサービスの実施状態ではない、１分１８秒の期間が存在する。本発明に係る、稼動期間分解部１２２又は稼動期間分解ステップ（Ｓ１８２）は、この１分１８秒の期間が、５秒等の前記所定の期間よりも長いことに基づいて、「ＡＢＣ００１０１」のデータセットは後続のデータセットと時間的に連結していないことを検出し得る。これに対し、ＩＤ１３６が「ＡＢＣ００１０２」のデータセットの終了時刻１３８は１５時０５分４５秒を表す文字列等であり、後続のＩＤ１３６が「ＡＢＣ００１０３」のデータセットの開始時刻１３７は１５時０５分４６秒を表す文字列等であり、これらのデータセットの間は１秒の期間である。従って、本発明に係る、稼動期間分解部１２２又は稼動期間分解ステップ（Ｓ１８２）は、この１秒の期間が５秒等の前記所定の期間よりも短いことに基づいて、「ＡＢＣ００１０２」のデータセットは後続のデータセットと時間的に連結することを検出し得る。これらの動作により、個々のデータセットごとに、後続のデータセットと時間的に連結しているか否かの情報が検出され得る。

稼動期間１４４は、比較的長時間の間隔をおいて散発的に、顧客が比較的短時間の代金支払いサービスを受ける場合には、「Ａ」が続けて現れうる。また、レジに常に行列の絶えない状況等においては、稼動期間１４４は「Ｂ」が続けて現れうる。

一実施形態において、図５（ｂ）に示す、稼動期間の情報を含むデータ１４０は、稼動期間１４４として、それぞれのデータセットが、１の顧客についてのサービスを含む稼動期間Ａであるか、又は２以上の顧客についての時間的に連結したサービスを含む稼動期間Ｂであるかを識別しうる情報を含む。例えば、ＩＤ１４１が「ＡＢＣ００１０１」であるデータセットの稼動期間１４４は「Ａ」であり、ＩＤ１４１が「ＡＢＣ００１０２」のデータセットの稼動期間１４４は「Ｂ」である等の情報が、それぞれのデータセットに含まれる。

稼動期間１４４が「Ｂ」であるデータセットは、２以上の時間的に連結したデータセットの１つである。従って、稼動期間の情報を含むデータ１４０は、２以上の連続する稼動期間１４４が「Ｂ」であるデータセットを含み得る。例えば、図５（ｂ）に示す、ＩＤ１４１が「ＡＢＣ００１０２」「ＡＢＣ００１０３」及び「ＡＢＣ００１０４」の３つのデータセットは、いずれも稼動期間１４４が「Ｂ」であり、それぞれは時間的に連結したデータセットの１つである。これに対して、ＩＤ１４１が「ＡＢＣ００１０１」及び「ＡＢＣ００１０５」のデータセットは稼動期間１４４が「Ａ」であり、他のいずれのデータセットに対しても時間的に連結しないことを意味する。

一実施形態において、本発明に係る待ち時間推定の方法の実施装置等は、稼動期間の情報を含むデータ１４０に含まれる、２以上の連続する稼動期間１４４が「Ｂ」であるデータセットを入力として、待ち時間推定の確率計算を実施する。具体的には、本発明に係る待ち時間推定の方法の実施装置等は、数式［１３］に示した確率計算の方法において、２以上の連続する稼動期間１４４が「Ｂ」であるデータセットの数をｎとし、それぞれのデータセットに含まれる開始時刻及び終了時刻に基づく（ｔ_１，ｔ_２，…，ｔ_ｎ）を用い、顧客の待ち時間を推定し得る。

本発明に係る待ち時間推定の方法の実施手段等は、稼動期間を含む待ち時間推定のためのデータ１４０を用いて、ＰＯＳシステム等が送信した、少なくともＩＤ、開始時刻及び終了時刻を含むデータセットごとに、当該データセットが後続のデータセットと時間的に連結しているか否かを区別するための情報を、当該データセットに追加し得る。これにより、本発明に係る待ち時間推定の方法の実施手段等は、顧客の待ち時間を推定するための確率計算に用い得るデータセットを、ＰＯＳシステム等が送信したデータセットから抽出し得る。

［待ち時間の推定］
図６は、本発明の一実施形態に係る、待ち時間の推定が適用可能な、サービス時間とチェックアウト時点を例示する図である。例えば、スーパーマーケット等の顧客が代金支払いのためにレジに向かい、前の顧客の会計が終わっている場合には当該顧客は待ち時間なしにサービスを受けられるが、前の顧客の会計がまだ終わらない場行には待ち時間が発生し得る等の状況でありうる。例えば、特定のレジにおける特定の顧客に対するサービス時間は、適宜ＰＯＳシステム等を用い、少なくとも支払代金計算の開始の時点及び代金決済の時点を記録することにより、当該システムに記憶され得る。

図６に示すサービス時間及びチェックアウト時点の例示は、１次元の時間軸に沿って、ｉ番目の顧客のサービス時間Ｓ_ｉ、及びｉ番目の顧客のチェックアウト時点ｄ_ｉを含む。ここに、Ｓ_ｉはｉ番目の顧客がレジで代金支払いのためのサービスを受けている時間であり、ｄ_ｉはｉ番目の顧客の会計が終わった時点である。より具体的には、サービス時間Ｓ_１（２０１）、Ｓ_２（２０２）、Ｓ_３（２０３）、Ｓ_４（２０４）、Ｓ_５（２０５）はそれぞれ１番目から５番目の顧客のサービス時間であり、チェックアウト時点ｄ_１（２１１）、ｄ_２（２１２）、ｄ_３（２１３）、ｄ_４（２１４）、ｄ_５（２１５）はそれぞれ１番目から５番目の顧客のチェックアウト時点である。さらに、図６に示すサービス時間及びチェックアウト時点の例示は、いずれかの顧客がサービスを受けている稼動期間１（１８１）、稼動期間２（１８２）、稼動期間３（１８３）を含む。図６に示す例においては、稼動期間１（１８１）は、１番目の顧客がサービスを受けている時間であり、稼動期間２（１８２）は２番目から４番目の顧客が続けてサービスを受けている時間であり、稼動期間３は５番目の顧客がサービスを受けている時間である。

一実施形態において、ＰＯＳシステム等は、特定のレジにおける支払代金計算の開始の時点及び代金決済の時点の情報を記録し、さらに適宜通信手段等を介して、本発明の実施手段等にこの情報を送信する。本発明の実施手段等は、これらの情報に基づいて、図６に示すサービス時間及びチェックアウト時点を生成し得る。例えば、店舗開店後に、特定のレジにおいて、１番目の顧客が会計サービスを受け、引き続いて代金決済が終了すると、当該ＰＯＳシステム等は、これらの時点を記録し得る。本発明に係る待ち時間の推定装置等は、ＰＯＳシステム等が記録したこれらの時点に基づいて、サービス時間Ｓ_１（２０１）及びチェックアウト時点ｄ_１（２１１）を記憶し得る。同様に、本発明に係る待ち時間の推定装置等は、当該レジにおいて時間の経過と共に会計サービスを受けるそれぞれの顧客のサービス時間及びチェックアウト時点を記憶し得る。

別の実施形態において、例えば、１番目の顧客、２番目の顧客及び５番目の顧客は、いずれも前の顧客の会計が終わった後にレジに並び始めたため、それぞれのサービス時間Ｓ_１（２０１）、Ｓ_２（２０２）及びＳ_５（２０５）は、いずれも時間軸をさかのぼる方向に隣接する、他の顧客のサービス時間を伴わない。しかし、３番目の顧客及び４番目の顧客のサービス時間は、それぞれの前の顧客のサービス時間の直後から開始し、これらの顧客は、前の顧客の会計が終わるまで待っていたことが、本発明に係る待ち時間の推定装置等により、サービス時間及びチェックアウト時点の情報として記憶され得る。

典型的には、ＰＯＳシステム等は特定のレジの稼動に関連付けられる情報を記録し得る。この情報には、複数の顧客が当該レジに列を作って並ぶ等の状況において、それぞれの顧客がいつ並び始めたかという情報は含まれない。本発明に係る待ち時間の推定装置等は、このような状況における個々の顧客の待ち時間を推定する方法を提供し得る。

［稼動期間］
本発明に係る待ち時間の推定方法の一実施形態として、複数の顧客がレジの列に並ぶ状況等における、各顧客の待ち時間の分布を推定する方法を示す。具体的には、顧客がレジに並ぶ時点の列がポアソン過程であると仮定し、各顧客の待ち時間の分布を推定する。ここに、ポアソン過程のためのパラメータは仮定せず、待ち時間は事後に観測可能な時間とする。

実際に顧客がポアソン過程に従ってレジに並ぶときには、推定の精度が高くなることが期待される。また、ポアソン過程のレートについては何も仮定をせず、レジに列ができている区間（稼動期間）ごとに推定をするので、その区間ごとにレートが異なっていても推定の精度は悪くならないことが期待できる。従って、顧客がレジに並ぶ時点の列が、非斉次（ｉｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ）ポアソン過程のうちレートの時間変化が稼動期間の長さに比べてゆっくりであるような過程で、近似できるときには推定の精度が高く、そうでないときには推定の精度が悪くなるものと予想される。

図６に示した例を用い、顧客の待ち時間は入力情報を稼動期間ごとに分割して推定することを記載する。１つ目の稼動期間１（１８１）は１番目の顧客に対するサービス時間Ｓ_１（２０１）だけからなり、２つ目の稼動期間２（１８２）は２番目から４番目の３人の顧客に対するサービス時間Ｓ_２（２０２）、Ｓ_３（２０３）及びＳ_４（２０４）からなり、３つ目の稼動期間３（１８３）は５番目の客に対するサービス時間Ｓ_５（２０５）だけからなる。すなわち、ｄ_ｉ−ｓ_ｉ＞ｄ_ｉ−１が成り立つ場合には、ｉ番目の顧客から新しい稼動期間が始まる。ｄ_ｉ−ｓ_ｉ＞ｄ_ｉ−１が成りたたない場合でも、前の顧客が会計を終えたときに既に次の顧客がレジに並んでいたと判断できる情報が得られるならば、それらの顧客は同じ稼動期間にあると判断してもよい。なお、判断方法の詳細は問わない。

一実施形態において、ある特定の稼動期間に注目し、その稼動期間が始まる時点（その稼動期間の先頭の顧客が会計を始めた時点）を０とする。また注目している稼動期間の間に（ｎ＋１）人が会計を済ませたものとする。その稼動期間の中で０番目からｎ番目まで顧客に番号を振りなおす。すなわち、注目している稼動期間の（ｉ−１）番目の顧客が会計を終えた時点をｔ_ｉとして再定義する。ここに、ｉ＝１，２，…，ｎである。
（ｉ−１）番目の顧客とｉ番目の顧客は同じ稼動期間にあるので、ｔ_ｉはｉ番目の顧客が会計を始めた時点と同じである。図６の２番目の稼動期間２（１８２）においては、

…［２３］
である。また、

…［２４］
と定義する。

［列に並んだ時点の推定方法］
本発明に係る待ち時間の推定方法の一実施形態として、入力情報から、顧客がレジ等の列に並ぶ時点を推定する方法を示す。注目している稼動期間のｉ番目の顧客がレジに並んだ時点をＡ_ｉとおく。また、区間［０，ｔｉ］で一様分布する確率変数をＵｉとする。顧客がレジ等に並ぶ時点の列がポアソン過程であると仮定すると、Ａ_ｉが区間［ｘ，ｘ＋ｄｘ］にある確率は、０≦ｘ≦ｔ_ｉのとき次式で与えられる。

…［２５］
ここで、Ｓ^（ｎ）（ｔ_１，ｔ_２，…，ｔ_ｎ）は次の漸化式で計算される。

…［２６］

［特定の顧客の待ち時間の推定］
本発明に係る待ち時間の推定方法の一実施形態として、注目している稼動期間のｉ番目の顧客の待ち時間を推定する方法を示す。注目している稼動期間のｉ番目の顧客の待ち時間をＷ_ｉとおく。前述のＡ_ｉが推定されると、これを用いて、Ｗ_ｉは次式のように推定し得る。

…［２７］
Ｗ_ｉは、区間［０，ｔ_ｉ−１］で分布する確率変数である。例えば、代表値としてその期待値を計算するときは、

…［２８］
とおき、数式［２５］を用いて計算しうるＰｒ（Ａｉ∈［ｘ，ｘ＋ｄｘ］）を使いながら計算し得る。ここで、数式［２８］の積分は微小区間ごと（例えば１秒毎）の和として計算してもよく、他の方法で計算してもよく、詳細は問わない。

［確率密度関数］
本発明に係る待ち時間の推定方法の一実施形態として、事後分布の確率密度関数を例示する。特定のレジ等に並ぶ顧客の人数が１人、２人、３人のそれぞれの場合について記載する。以下、整数ｎは、１つの稼動期間において待機する顧客の人数を表す。例えば、顧客が１人の場合はｎ＝０、顧客が２人の場合はｎ＝１、顧客が３人の場合はｎ＝２である。

図７は、本発明の一実施形態に係る、稼動期間が３人の顧客からなる場合（ｎ＝２）に、１番目の顧客がレジに並んだ時点の事後分布の確率密度関数ｆ_Ａ１（ｘ）（２１６）を例示する図である。図８は、本発明の一実施形態に係る、稼動期間が３人の顧客からなる場合（ｎ＝２）に、２番目の顧客がレジに並んだ時点の事後分布の確率密度関数ｆ_Ａ２（ｘ）（２２１）を例示する図である。

稼動期間が１人の顧客だけからなる場合（ｎ＝０）、その顧客の待ち時間は０であると推定される。

稼動期間が２人の顧客からなる場合（ｎ＝１）、先頭の（０番目の）顧客の待ち時間は０であると推定される。次の（１番目の）顧客は、先頭の顧客がサービスを受けている期間［０，ｔ_１］にレジに並び、その時点は区間［０，ｔ_１］で一様分布を持つと推定され、従って、待ち時間も区間［０，ｔ_１］で一様分布を持つと推定される。期待値を用いて推定すると、待ち時間はｔ_１／２と推定される。

稼動期間が３人の顧客からなる場合（ｎ＝２）、先頭の（０番目の）顧客の待ち時間は０であると推定される。次の（１番目の）顧客は、先頭の顧客がサービスを受けている期間［０，ｔ_１］にレジに並んだが、その事後分布は、前述の２人の顧客（ｎ＝１）の場合と異なり一様分布ではなく、図７に示すような確率密度関数ｆＡ_１（ｘ）をもつと推定される。すなわち、１番目の顧客がレジに並んだ時点の確率密度関数が最も高くなるのは、０番目の顧客がサービスを受け始めた時点であり、時間がたつにつれて線形に確率密度関数が低くなる。その傾きは、（ｔ_２−ｔ_１）すなわち１番目の顧客のサービス時間が短いほど、急峻になる。この理由は、２番目の顧客は１番目の顧客のサービスが終了する前にレジに並び始めたはずであり、１番目の顧客のサービス時間が短いのであれば、０番目の顧客のサービスが終了する前にレジに並び始めた可能性が大きくなるが、１番目の顧客は２番目の顧客より前にレジに並んだはずであるので、１番目の顧客は０番目の顧客がサービスを受け始めてまもなくレジに並んだ可能性が大きいと推定されるからである。

従って、１番目の顧客の待ち時間は区間［０，ｔ_１］で分布するが、ｔ_１に近いほど確率密度関数が高くなる。待ち時間の期待値は

…［２９］
と計算される。一般に、

…［３０］
であり、前述の２人の顧客（ｎ＝１）の場合に比べて大きくなる。ｔ_１＝ｔ_２のときには、

…［３１］
となるので、前述の２人の顧客（ｎ＝１）の場合に比べて、待ち時間の期待値は約３３％大きくなる。本発明はこのような効果を取り入れて、各顧客の待ち時間を推定しうる特徴を有する。

図８に、２番目の顧客がレジに並んだ時点の確率密度関数ｆ_Ａ２（ｘ）（２２１）の推定を例示する。待ち時間の期待値は、

…［３２］

と計算される。Ｅ［Ｗ_２］はｔ_１が０に近いほど大きくなり、ｔ_１＝０の時には、

…［３３］
となり、ｔ_１＝ｔ_２の時には

…［３４］
となる。２番目の顧客の待ち時間の推定値も、１番目の顧客の存在の影響を考慮して推定し得る。

［待ち時間の期待値］
本発明に係る待ち時間を推定する方法において、ｉ番目の顧客の待ち時間の期待値Ｅ［Ｗ_ｉ］は次式により計算し得る。

…［３５］

［計算時間の短縮］
多くのｘについてＰｒ（Ａ_ｉ∈［ｘ，ｘ＋ｄｘ］）を計算すると計算時間が長くなることがある。計算時間を短く抑える近似方法として、各区間［ｔ_ｊ−１，ｔ_ｊ］につき、中間点ｘ＝（ｔ_ｊ−１＋ｔ_ｊ）／２のみについてＰｒ（Ａ_ｉ∈［ｘ，ｘ＋ｄｘ］）を計算する方法が考えられる。このとき、Ｅ［Ｗ_ｉ］は次の近似式で計算される。

…［３６］
ただしｔ_０＝０と定義する。

さらに計算時間を短縮する近似方法として、全区間［０，ｔ_ｉ−１］をより少数の区間に分割してそれぞれの区間の中間点のみについてＰｒ（Ａ_ｉ∈［ｘ，ｘ＋ｄｘ］）を計算する方法が考えられる。全区間［０，ｔ_ｉ−１］を［０，ｔ_１］，［ｔ_１，ｔ_２］，…，［ｔ_ｉ−２，ｔ_ｉ−１］のｉ−１個の区間に分割したのが上の近似方法に相当する。例えば、ｉが奇数の場合に、全区間［０，ｔ_ｉ−１］を［０，ｔ_２］，［ｔ_２，ｔ_４］，…，［ｔ_ｉ−３，ｔ_ｉ−１］の（ｉ−１）／２個の区間に分割してそれぞれの中間点のみ似ついてＰｒ（Ａ_ｉ∈［ｘ，ｘ＋ｄｘ］）を計算する近似方法によると、Ｅ［Ｗ_ｉ］は以下の近似式で計算される。

…［３７］
これらに限らず、計算時間短縮のための変更を、本発明に係る待ち時間を推定する方法において、任意に用い得る。

Ｅ［Ｗ_ｉ］の近似計算の際にＰｒ（Ａ_ｉ∈［ｘ，ｘ＋ｄｘ］）を計算するが、Ｐｒ（Ａ_ｉ∈［ｘ，ｘ＋ｄｘ］）の計算式には漸化式Ｓ^（ｎ）の計算が伴う。このＳ^（ｎ）の計算には、前述の数式［１８］〜［２０］等の近似方法を用いてもよい。

［特定の時刻における待ち行列長の推定方法］
本発明に係る待ち時間推定方法に含まれる、時刻ｓにおける待ち行列の長さＮ_ｓを推定する手法について記載する。待ち行列には、サービスを受けている顧客は含まないものとする。従って、稼動期間内においては、Ｎ_ｓ＋１がサービスを受けている顧客を含む行列の長さに相当する。

（稼動期間外の待ち行列の長さ）
ｓが稼動期間外にある場合、待ち行列の長さは常に０（Ｎ_ｓ＝０）と推定する。

（稼動期間内の待ち行列の長さ）
ｓが稼動期間内にある場合、ｔを稼動期間の開始時点からｓまでの時間とする（すなわち稼動期間の開始時点を時刻０とする）。またｎ＋１を稼動期間内でサービスを受ける顧客の数とする。以下、この特定の稼動期間内の時点ｔ（ただし０≦ｔ≦ｔ_ｎ＋１）における待ち行列の長さＮ_ｔを推定する。

本発明に係る方法においては、次式のような、Ｎ_ｔとＡ_ｉの関係を用いて待ち行列の長さを推定する。

…［３８］
ただし、

…［３９］
とする。本発明に係る方法においては、次式に示す期待値Ｅ［Ｎ_ｔ］で待ち行列の長さを推定する。

…［４０］
ただし、Ωはｔ_ｉ＞ｔを満たす全てのｉの集合とする。すなわち、ｋをｔ_ｉ＞ｔを満たす最小のｉとするとき、期待値Ｅ［Ｎ_ｔ］に含まれる総和は、ｉ＝ｋ，ｋ＋１，…，ｎについて和をとることを意味する。

（Ｐｒ（Ａ_ｉ≦ｔ）の計算方法）
Ｐｒ（Ａ_ｉ≦ｔ）は、前述の数式［２５］に示した、Ｐｒ（Ａ_ｉ∈［ｘ，ｘ＋ｄｘ］）の値を用いて、次式の関係を用いて計算する。

…［４１］
具体的にはｔを整数として、次式のような和の形態でＰｒ（Ａ_ｉ≦ｔ）を計算する。

…［４２］

（Ｐｒ（Ａ_ｉ≦ｔ）の近似計算方法）
計算時間を短縮するために、Ｐｒ（Ａ_ｉ≦ｔ）の計算に用いるＰｒ（Ａ_ｉ∈［ｘ，ｘ＋ｄｘ］）の値は、前述の数式［１８］〜［２０］に示した近似計算を用いて計算してもよい。

また、ｋをｔ_ｉ＞ｔを満たす最小のｉとすると、区間［０，ｔ］はｋ個の区間［０，ｔ_１］，［ｔ_１，ｔ_２］，…，［ｔ_ｋ−２，ｔ_ｋ−１］，［ｔ_ｋ−１，ｔ］に分けられる。これらのｋ個の区間のそれぞれについて、区間の中央点においてのみＰｒ（Ａ_ｉ∈［ｘ，ｘ＋ｄｘ］）の値を評価してその値をその区間全体で用いることで、Ｐｒ（Ａ_ｉ≦ｔ）の計算は、次式のように近似的に計算できる。

…［４３］
ただしｔ_０＝０と定義する。

［待ち行列の長さの推定値の最大値の計算方法］
待ち行列の長さの推定値Ｅ［Ｎ_ｔ］の最大値は、全ての時点ｔにおいてＥ［Ｎ_ｔ］を評価してその最大値を計算することで求めることができるが、以下のようにより効率よくかつ同じ精度で計算することもできる。

全区間におけるＥ［Ｎ_ｔ］の最大値は、各稼動期間毎のＥ［Ｎ_ｔ］の最大値であるから、各稼動期間におけるＥ［Ｎ_ｔ］の最大値を求められればよい。以下では、ｎ＋１を稼動期間内でサービスを受ける顧客の数とし、この特定の稼動期間における待ち行列の長さＮ_ｔの推定値Ｅ［Ｎ_ｔ］の最大値を計算する。ｎ＝０の場合には、この稼動期間のいかなる時点ｔにおいてもＮ_ｔ＝０であるので、Ｅ［Ｎ_ｔ］の最大値は０と計算される。以下ではｎ＞０の場合について述べる。

本発明によるＥ［Ｎ_ｔ］の最大値の計算方法は、稼動期間の区間［０，ｔ_ｎ＋１］におけるＥ［Ｎ_ｔ］の最大値は、ｔ_１，ｔ_２，…，ｔｎのｎ時点のうちのいずれかの時点の直前で達成されることを利用することを特徴とする。これは、ｔ_１，ｔ_２，…，ｔｎの各時点においてＮ_ｔが１だけ減少し、それ以外の時点においてはＮ_ｔは減少することはないからである。すなわち、Ｅ［Ｎ_ｔ］の最大値は、次式の右辺を計算することで求められる。

…［４４］

［待ち時間推定サーバ装置のハードウェア構成］
図９は、本発明の一実施形態に係る、待ち時間推定サーバ装置のハードウェア構成を示す図である。図９においては、待ち時間推定サーバ装置を情報処理装置１０００とし、そのハードウェア構成を例示する。以下は、コンピュータを典型とする情報処理装置として全般的な構成を説明するが、その環境に応じて必要最小限な構成を選択できることはいうまでもない。

情報処理装置１０００は、ＣＰＵ（Ｃｅｎｔｒａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｕｎｉｔ）１０１０、バスライン１００５、通信Ｉ／Ｆ１０４０、メインメモリ１０５０、ＢＩＯＳ（Ｂａｓｉｃ Ｉｎｐｕｔ Ｏｕｔｐｕｔ Ｓｙｓｔｅｍ）１０６０、パラレルポート１０８０、ＵＳＢポート１０９０、グラフィック・コントローラ１０２０、ＶＲＡＭ１０２４、音声プロセッサ１０３０、Ｉ／Ｏコントローラ１０７０、ならびにキーボード及びマウス・アダプタ１１００等の入力手段を備える。Ｉ／Ｏコントローラ１０７０には、フレキシブル・ディスク（ＦＤ）ドライブ１０７２、ハードディスク１０７４、光ディスク・ドライブ１０７６、半導体メモリ１０７８等の記憶手段を接続することができる。

音声プロセッサ１０３０には、マイクロホン１０３６、増幅回路１０３２、及びスピーカ１０３４が接続される。また、グラフィック・コントローラ１０２０には、表示装置１０２２が接続されている。

ＢＩＯＳ１０６０は、情報処理装置１０００の起動時にＣＰＵ１０１０が実行するブートプログラムや、情報処理装置１０００のハードウェアに依存するプログラム等を格納する。ＦＤ（フレキシブル・ディスク）ドライブ１０７２は、フレキシブル・ディスク１０７１からプログラム又はデータを読み取り、Ｉ／Ｏコントローラ１０７０を介してメインメモリ１０５０又はハードディスク１０７４に提供する。
図９には、情報処理装置１０００の内部にハードディスク１０７４が含まれる例を示したが、バスライン１００５又はＩ／Ｏコントローラ１０７０に外部機器接続用インタフェース（図示せず）を接続し、情報処理装置１０００の外部にハードディスクを接続又は増設してもよい。

光ディスク・ドライブ１０７６としては、例えば、ＤＶＤ−ＲＯＭドライブ、ＣＤ−ＲＯＭドライブ、ＤＶＤ−ＲＡＭドライブ、ＣＤ−ＲＡＭドライブを使用することができる。この際は各ドライブに対応した光ディスク１０７７を使用する必要がある。光ディスク・ドライブ１０７６は光ディスク１０７７からプログラム又はデータを読み取り、Ｉ／Ｏコントローラ１０７０を介してメインメモリ１０５０又はハードディスク１０７４に提供することもできる。

情報処理装置１０００に提供されるコンピュータ・プログラムは、フレキシブル・ディスク１０７１、光ディスク１０７７、又はメモリーカード等の記録媒体に格納されて利用者によって提供される。このコンピュータ・プログラムは、Ｉ／Ｏコントローラ１０７０を介して、記録媒体から読み出され、又は通信Ｉ／Ｆ１０４０を介してダウンロードされることによって、情報処理装置１０００にインストールされ実行される。コンピュータ・プログラムが情報処理装置に働きかけて行わせる動作は、既に説明した装置における動作と同一であるので省略する。

前述のコンピュータ・プログラムは、外部の記憶媒体に格納されてもよい。記憶媒体としてはフレキシブル・ディスク１０７１、光ディスク１０７７、又はメモリーカードの他に、ＭＤ等の光磁気記録媒体、テープ媒体を用いることができる。また、専用通信回線やインターネットに接続されたサーバシステムに設けたハードディスク又は光ディスク・ライブラリ等の記憶装置を記録媒体として使用し、通信回線を介してコンピュータ・プログラムを情報処理装置１０００に提供してもよい。

以上の例は、情報処理装置１０００について主に説明したが、コンピュータに、情報処理装置で説明した機能を有するプログラムをインストールして、そのコンピュータを情報処理装置として動作させることにより上記で説明した情報処理装置と同様な機能を実現することができる。

本装置は、ハードウェア、ソフトウェア、又はハードウェア及びソフトウェアの組み合わせとして実現可能である。ハードウェアとソフトウェアの組み合わせによる実施では、所定のプログラムを有するコンピュータ・システムでの実施が典型的な例として挙げられる。かかる場合、該所定のプログラムが該コンピュータ・システムにロードされ実行されることにより、該プログラムは、コンピュータ・システムに本発明にかかる処理を実行させる。このプログラムは、任意の言語、コード、又は表記によって表現可能な命令群から構成される。そのような命令群は、システムが特定の機能を直接実行すること、又は（１）他の言語、コード、もしくは表記への変換、（２）他の媒体への複製、のいずれか一方もしくは双方が行われた後に、実行することを可能にするものである。もちろん、本発明は、そのようなプログラム自体のみならず、プログラムを記録した媒体を含むプログラム製品もその範囲に含むものである。本発明の機能を実行するためのプログラムは、フレキシブル・ディスク、ＭＯ、ＣＤ−ＲＯＭ、ＤＶＤ、ハードディスク装置、ＲＯＭ、ＭＲＡＭ、ＲＡＭ等の任意のコンピュータ可読媒体に格納することができる。かかるプログラムは、コンピュータ可読媒体への格納のために、通信回線で接続する他のコンピュータ・システムからダウンロードしたり、他の媒体から複製したりすることができる。また、かかるプログラムは、圧縮し、又は複数に分割して、単一又は複数の記録媒体に格納することもできる。

以上、本発明を実施形態に則して説明したが、本発明は上述した実施形態に限るものではない。また、本発明の実施形態に記載された効果は、本発明から生じる最も好適な効果を列挙したに過ぎず、本発明による効果は、本発明の実施形態又は実施例に記載されたものに限定されるものではない。

本発明の一実施形態に係る、確率Ｓ（ｎ）の計算を示すフロー図である。 本発明の一実施形態に係る、近似を用いる確率Ｓ（ｎ）の計算を示すフロー図である。 本発明の一実施形態に係る、待ち時間推定サーバの構成を示す図である。 本発明の一実施形態に係る、待ち時間推定サーバがＰＯＳシステムと協働することを示すフロー図である。 本発明の一実施形態に係る、待ち時間推定のためのデータ構造を示す図である。 本発明の一実施形態に係る、待ち時間の推定が適用可能な、サービス時間とチェックアウト時点を例示する図である。 本発明の一実施形態に係る、稼動期間が３人の顧客からなる場合（ｎ＝２）に、１番目の顧客がレジに並んだ時点の事後分布の確率密度関数ｆ_Ａ１（ｘ）（２１６）を例示する図である。 本発明の一実施形態に係る、稼動期間が３人の顧客からなる場合（ｎ＝２）に、２番目の顧客がレジに並んだ時点の事後分布の確率密度関数ｆ_Ａ２（ｘ）（２２１）を例示する図である。 本発明の一実施形態に係る、待ち時間推定サーバ装置のハードウェア構成を示す図である。

符号の説明

１００ ＰＯＳシステム
１０２ ＰＯＳデータ記憶装置
１０４ 入力装置
１０５ 時計
１０８、１２８ 通信インタフェース
１１２ キーボード
１１４ バーコードリーダー
１２０ 待ち時間推定サーバ
１２２ 稼動期間分解部
１２４ 待ち時間推定部
１２６ 待ち時間推定結果記憶装置
１３２ 出力装置
１３５ 待ち時間推定のためのデータ
１４０ 稼動期間を含む待ち時間推定のためのデータ
１４４ 稼動期間
１８１、１８２、１８３ 稼動期間１、２、３
２０１〜２０５ サービス時間
２１１〜２１５ チェックアウト時点

Claims (8)

1. １のサービス要求者に対してサービスを提供しうる１のサービス提供者に対し、２以上のサービス要求者がサービスを要求し、前記サービス提供者が１のサービス要求者に対してサービスを提供して他のサービス要求者の少なくとも１が待機する状況において、コンピュータの処理によって、後続のサービス要求者の待ち時間を推定する方法であって、
   １以上の整数ｉ及び２以上の整数ｎを用い、ｎ番目のサービス要求者のサービス開始の時点をｔ_ｎとおき、ｔ_１，ｔ_２，…，ｔ_ｎの任意の隣接する２項が等しいか又はこの順で単調に増加するときに、区間［０，ｔ_ｉ］に一様に分布する確率変数Ｕ_ｉについて、Ｕ_１，Ｕ_２，…，Ｕ_ｎの任意の隣接する２項が等しいか又はこの順で単調に増加する確率を求めるステップ、
   を含む、待ち時間を推定する方法。
2. 請求項１に記載の待ち時間を推定する方法であって、前記確率を求めるステップは、
   変数Ｒｅｓｕｌｔをゼロ、ループカウンタｋを１とするステップと、
   サービス要求者の数をｎ、それぞれのサービス要求者のサービスが終了した時刻をｔ_ｎとして、次式を計算するステップ（ステップ１Ａ）と、
   

   

   …［１］
   ２≦ｍ≦ｋを満たす整数ｍについて（ｔ_１／ｔ_ｍ）の積を計算して結果をＰ_１とするステップと、
   （ｋ＋１）≦ｍ≦ｎを満たす整数ｍについて（ｔ_ｍ−ｔ_１）／ｔ_ｍの積を計算して結果をＰ_２とするステップと、
   変数Ｒｅｓｕｌｔを次式の値で上書きするステップと、
   

   

   …［２］
   ｋ＜ｎであればループカウンタｋをインクリメントして前記ステップ１Ａに制御を戻し、さもなければＲｅｓｕｌｔの値を出力するステップと、
   を含む、待ち時間を推定する方法。
3. 請求項１に記載の待ち時間を推定する方法であって、前記確率を求めるステップは、
   変数Ｒｅｓｕｌｔをゼロ、ループカウンタｋを１とするステップと、
   サービス要求者の数をｎとして、１からｎまでの整数の集合Ｎについて、部分集合及び前記部分集合の補集合を定義するステップと、
   サービス要求者の数をｎ、それぞれのサービス要求者のサービスが終了した時刻をｔ_ｎとするステップと、
   前記部分集合のそれぞれの要素について次式を計算するステップと、
   

   

   …［３］
   前記補集合のそれぞれの要素について、前記部分集合のそれぞれの要素についての前記近似計算の結果を用いて数式［３］次式を近似計算するステップと、
   前記部分集合のそれぞれの要素についての前記近似計算又は前記補集合のそれぞれの要素についての前記近似計算を用いて数式［３］を計算するステップ（ステップ２）と、
   ２≦ｍ≦ｋを満たす整数ｍについて（ｔ_１／ｔ_ｍ）の積を計算して結果をＰ_１とするステップと、
   （ｋ＋１）≦ｍ≦ｎを満たす整数ｍについて（ｔ_ｍ−ｔ_１）／ｔ_ｍの積を計算して結果をＰ_２とするステップと、
   変数Ｒｅｓｕｌｔを次式の値で上書きするステップと、
   

   

   …［４］
   ｋ＜ｎであればループカウンタｋをインクリメントして前記ステップ２に制御を戻し、さもなければＲｅｓｕｌｔの値を出力するステップと、
   を含む、待ち時間を推定する方法。
4. 請求項１に記載の待ち時間を推定する方法であって、前記確率を求めるステップは、
   変数Ｒｅｓｕｌｔをゼロ、ループカウンタｋを１とするステップと、
   サービス要求者の数をｎとして、１からｎまでの整数の集合Ｎについて、部分集合及び前記部分集合の補集合を定義するステップと、
   サービス要求者の数をｎ、それぞれのサービス要求者のサービスが終了した時刻をｔ_ｎとするステップと、
   ｎが偶数である場合に次式を計算し、
   

   

   …［５］
   ｎが奇数である場合に次式を計算するステップ（ステップ３）と、
   

   

   …［６］
   ２≦ｍ≦ｋを満たす整数ｍについて（ｔ_１／ｔ_ｍ）の積を計算して結果をＰ_１とするステップと、
   （ｋ＋１）≦ｍ≦ｎを満たす整数ｍについて（ｔ_ｍ−ｔ_１）／ｔ_ｍの積を計算して結果をＰ_２とするステップと、
   変数Ｒｅｓｕｌｔを次式の値で上書きするステップと、
   

   

   …［７］
   ｋ＜ｎであればループカウンタｋをインクリメントして前記ステップ３に制御を戻し、さもなければＲｅｓｕｌｔの値を出力するステップと、
   を含む、待ち時間を推定する方法。
5. １のサービス要求者に対してサービスを提供しうる１のサービス提供者に対し、２以上のサービス要求者がサービスを要求し、前記サービス提供者が１のサービス要求者に対してサービスを提供して他のサービス要求者の少なくとも１が待機する状況において、コンピュータの処理によって後続のサービス要求者が前記待機を開始した時刻を推定する方法であって、
   サービス要求者の数をｎ、それぞれのサービス要求者のサービスが終了した時刻をｔ_ｎとして、次式を計算するステップと、
   

   

   …［８］
   区間［０，ｔ_ｉ］で一様分布する確率変数をＵ_ｉとおいて次式を計算するステップと、
   

   

   …［９］
   を含む、待機を開始した時刻を推定する方法。
6. １のサービス要求者に対してサービスを提供しうる１のサービス提供者に対し、２以上のサービス要求者がサービスを要求し、前記サービス提供者が１のサービス要求者に対してサービスを提供して他のサービス要求者の少なくとも１が待機する状況において、コンピュータの処理によって後続の特定のサービス要求者の待ち時間を推定する方法であって、
   サービス要求者の数をｎ、それぞれのサービス要求者のサービスが終了した時刻をｔ_ｎとして、次式を計算するステップと、
   

   

   …［１０］
   区間［０，ｔ_ｉ］で一様分布する確率変数をＵ_ｉとおいて次式を計算するステップと、
   

   

   …［１１］
   ｉ番目の顧客の待ち時間として次式を計算するステップと、
   

   

   …［１２］
   を含む、特定のサービス要求者の待ち時間を推定する方法。
7. コンピュータを用いて、１のサービス要求者に対してサービスを提供しうる１のサービス提供者に対し、２以上のサービス要求者がサービスを要求し、前記サービス提供者が１のサービス要求者に対してサービスを提供して他のサービス要求者の少なくとも１が待機する状況において、コンピュータの処理によって、後続のサービス要求者の待ち時間を推定する計算を実行させるプログラムであって、
   前記コンピュータをして、
   変数Ｒｅｓｕｌｔをゼロ、ループカウンタｋを１とするステップと、
   サービス要求者の数をｎ、それぞれのサービス要求者のサービスが終了した時刻をｔ_ｎとして、次式を計算するステップ（ステップ１Ｂ）と、
   

   

   …［１］
   ２≦ｍ≦ｋを満たす整数ｍについて（ｔ_１／ｔ_ｍ）の積を計算して結果をＰ_１とするステップと、
   （ｋ＋１）≦ｍ≦ｎを満たす整数ｍについて（ｔ_ｍ−ｔ_１）／ｔ_ｍの積を計算して結果をＰ_２とするステップと、
   変数Ｒｅｓｕｌｔを次式の値で上書きするステップと、
   

   

   …［２］
   ｋ＜ｎであればループカウンタｋをインクリメントして前記ステップ１Ｂに制御を戻し、さもなければＲｅｓｕｌｔの値を出力するステップと、
   を実行させる、待ち時間を推定するプログラム。
8. １の顧客についてのサービスの開始時刻及び終了時刻を記憶しうるサービスシステムと接続し、コンピュータの処理によって、顧客の待ち時間を推定するシステムであって、
   前記サービスシステムからの、累計２以上の顧客についての、少なくとも識別子を用いて識別可能な前記サービスの開始時刻及び終了時刻の情報を受信することに応答して、
   前記サービスシステムの稼動期間を検出する手段と、
   前記稼動期間に含まれる前記顧客の数（ｎ）及びそれぞれの顧客に対するサービスが終了した時刻（ｔ_ｎ）に基づいて、
   次式を計算し、
   

   

   …［１］
   ２≦ｍ≦ｋを満たす整数ｍについて（ｔ_１／ｔ_ｍ）の積を計算して結果をＰ_１とし、（ｋ＋１）≦ｍ≦ｎを満たす整数ｍについて（ｔ_ｍ−ｔ_１）／ｔ_ｍの積を計算して結果をＰ_２とし、変数Ｒｅｓｕｌｔを次式の値で上書きし、
   

   

   …［２］
   ｋ＜ｎであればループカウンタｋをインクリメントし、さもなければＲｅｓｕｌｔの値を出力する手段と、
   を用いて、顧客の待ち時間を推定するシステム。
   

Images