JP2009153157A - 置換符号による特にベクトル量子化におけるディジタル信号の符号化／復号化の改善 - Google Patents

Abstract

【課題】ディジタル信号の符号化／復号化において、置換符号の符号化および復号化が引起す問題を改善する。
【解決手段】本発明は、ディジタル信号の符号化／復号化に関するものであり、特に、結合表現の計算にかかわる置換符号を使用するものに関するものである。本発明によれば、前記結合表現は、素因数累乗分解によって表されるとともに、選択された整数の事前記録表現を事前に読み出すことによって判断される。
【選択図】図４

Description

本発明は、音声、ビデオおよびより一般的にマルチメディア信号などのディジタル信号のその蓄積または伝送のための符号化／復号化に関する。本発明は、特に置換符号の符号化および復号化が引起す問題への解決法を提案する。
典型的に、本発明をまたソース符号化と同等な、チャネル符号化または「変調」に適用する。
本発明の意味するディジタル信号の圧縮符号化／復号化は通話および／または音響信号周波数符号化器が持つ変換係数の量子化に極めて有用である。

ベクトル量子化

１つの非常に広く使用されるディジタル信号圧縮の解決法はベクトル量子化である。ベクトル量子化は有限セットから選択する同じ次元のベクトルにより入力ベクトルを表す。Ｍレベルを持つ量子化器（または「符号ベクトル」）は入力ベクトルセットに関する非全単射適用、一般にｎ次元実ユークリッド空間Ｒ^ｎまたはＭ個別要素：Ｙ＝｛ｙ_０、ｙ_１、．．．ｙ_Ｍ−１｝を持つＲ^ｎの有限サブセットＹにおけるＲ^ｎのサブセットである。
Ｙは再生成アルファベットまたは「辞書」または「ディレクトリ」とも呼ばれ、その符号ベクトル要素は「符号語」（または「出力点」または「標本」とも）呼ばれる。
量子化器の各次元ｒのビット速度（またはその「リゾリューション」）を次関係式により定義する。

ベクトル量子化では、ｎサンプルブロックをｎ次元ベクトルとして扱う。次元が非常に大きくなる場合ソース符号化理論により、ベクトル量子化性能はソース歪みビット速度限界に近づく。量子化器の最適性に関する必要条件に基づき、汎用ロイドアルゴリズム（Generalized Lloyd Algorithm、ＧＬＡ）などの統計的方法を使用して、ベクトル量子化器辞書を設計することができる。当然得られる統計的ベクトル量子化器は構造を持たず、符号化および蓄積双方の複雑度はｎ２^ｎｒに比例するので、これにより計算および蓄積リソースに関してその探索は経費を要する。
図１Ａを参照すると、３つの主な演算、即ち符号化の２つおよび復号化の１つがベクトル量子化器を使用する。まず辞書からの符号ベクトルの選択により、入力ベクトルを符号化する（ステップＣＯＤ）。これは、入力ベクトルに最も類似する符号ベクトルである（図１Ａにおける演算ＯＰ１）。次いで、この符号ベクトル指標を判断し（ステップＩＮＤ）、送信または蓄積する（図１Ａにおける演算ＯＰ２）。復号化器（ステップＤＥＣ）では、符号ベクトルをその指標から判断する（図１Ａにおける演算ＯＰ３）。

変調では、図１Ａの３つの演算ＯＰ１、ＯＰ２およびＯＰ３を適用するが、順序は異なる。この変調／量子化の双対性を示す図１Ｂを参照して、指標から符号ベクトルへの遷移の配備を行う（図１Ａの演算ＯＰ３に対応する図１ＢのＣＯＤ’ステップ）。次いで雑音の影響を受けるチャンネルを経る送信後に、受信ベクトルに最も近い符号ベクトルの検索を行う（図１Ａの演算ＯＰ１に対応する図１ＢのＤＥＣ’ステップ）。最後に、符号ベクトル指標の復号化が第３のステップである（図１Ａの演算ＯＰ２に対応する図１ＢのＩＮＤ’ステップ）。

次元、ベクトルおよびビット速度により複雑度は指数関数的に増大し、非構造化ベクトル量子化器の使用は実時間においてその使用が可能である小さな次元および／または低ビット速度に制限される。非構造化ベクトル量子化器にとり、最も近い近隣の検索（演算ＯＰ１）は、最も近い近隣と入力ベクトルとの間の距離の測定を最少にする辞書要素を選択する全辞書要素の全検索を必要とする。後者の２つの演算（指標指定ＯＰ２および逆演算ＯＰ３）は一般に表の簡単な読出しにより実行するが、それにもかかわらずこれはメモリ空間が高くつく。サイズおよび次元の制約を克服するために、基本ベクトル量子化の幾つかの変形が検討された。変形は辞書構造の欠落を修正し、従って複雑度の削減を試行するが、品質の代価を伴う。一方、性能／複雑度のトレードオフは高度化し、ベクトル量子化を効果的経費により適用することができるリゾリューションおよび／または次元の範囲を増すことを可能にする。多くの構造化ベクトル量子化器方式が提案されており、特に「置換符号」を実施するベクトル量子化器を以下に説明する。

置換符号
「置換符号」ベクトル量子化器では、「先導」と（または「先導ベクトル」とも）呼ぶ第１の符号ベクトル構成要素の（辞書編集順序への）置換により、符号ベクトルを得る。これらの構成要素はサイズｑ（ｉ≠ｊの場合にａ_ｉ≠ａ_ｊであるようなｑのアルファベットＡ）のアルファベットＡ＝｛ａ_０、ａ_１．．．、ａ_ｑ−１｝からその値を採用する。構成要素ａ_ｉは実数（または完全整数）である。重みｗ^ｉ（ｉは０乃至ｑ−１の範囲の指標である）はアルファベット文字ａ_ｉの反復回数である。重みｗ^ｉは

であるような正整数である。規定により、アルファベットの値はａ_０＞ａ_１＞．．．＞ａ_ｑ−１を満たす。先導構成要素ｎは位置０から位置（ｎ−１）へ降順に進む。それ故先導ベクトルｙ_０は次形式の次元ｎのベクトルである。

異なる構成要素の順序、例えば
ａ_０＜ａ_１＜．．．＜ａ_ｑ−１
を選択できるであろうことは理解されるであろう。
先導ベクトルを「符号付先導」と呼び、置換符号を「タイプＩに関するもの」であると言う。その他の符号ベクトルをｙ_０の構成要素の置換により得る。置換の総数Ｍは次式の通りである。

別のタイプの置換符号（タイプII）が存在する。再度、先導ベクトルは以前と同じ形式を有するが、その構成要素は正でなければならない（ａ_０＞ａ_１＞．．．＞ａ_ｑ−１≧０）。ｙ_０の構成要素への全ての可能な符号結合の割当てによるｙ_０の構成要素の置換により、その他の符号ベクトルをまた得る。置換の総数Ｍは次式の通りである。

ここで、ａ_ｑ−１＞０であればｈ＝ｎであり、その他の場合ｈ＝ｎ−ｗ^ｑ−１である。この場合、先導ベクトルをまた絶対先導と呼ぶ。

「置換符号」ベクトル量子化器を拡張して置換符号の合成（即ち結合）とし、最近この置換符号結合構造を次元およびリゾリューション可変ベクトル量子化に（出願者名がＷＯ−０４／００２１９の書類において）一般化した。置換符号は統計的ベクトル量子化において使用するだけではない。置換符号はまた代数ベクトル量子化に見られ、代数ベクトル量子化は正規ドット配列または誤り訂正符号から導出する高度構造化辞書を使用する。置換符号はまた変調において使用する。

置換符号構造の使用により最適、高速最近近隣検索アルゴリズムの開発を可能にする（図１Ａの演算ＯＰ１）。一方、符号ベクトルの指標指定（または番号指定）（図１Ａの演算ＯＰ２）および逆復号化演算（図１Ａの演算ＯＰ３）は非構造化ベクトル量子化器の場合におけるよりより多くの計算を必要とする。
置換を計数する幾つかの方法が存在する。シャルクビック（Schalkwijk）アルゴリズムはこれらの方法の１つである：
シャルクビックＪ．Ｐ．Ｍ（Schalkwijk J.P.M）著「ソース符号化アルゴリズム（An Algorithm for source coding）」、情報理論に関するＩＥＥＥ論文誌、ＩＴ１８巻３号、ページ３９５−３９９、１９７２年５月
結合分析を使用して、これらの技術は置換符号の符号ベクトルの指標指定（演算ＯＰ２）およびまた逆指標復号化演算（ＯＰ３）の実行を可能にする。置換指標指定アルゴリズムの中では、一般に使用するシャルクビックアルゴリズムを以下に例えば次の規格において検討している。
−［３ＧＰＰ ＴＳ２６．２７３］（固定点拡張ＡＭＲ−広帯域（ＡＭＲ−ＷＢ＋）コーデック；Ｖ６．１．０（２００５−０６）（レリース６））および
−［３ＧＰＰ ＴＳ２６．３０４］（拡張適応型多元速度−広帯域（ＡＭＲ−ＷＢ＋）コーデック；浮動点ＡＮＳＩ−Ｃ符号；Ｖ６．３．０（２００５−０６）（レリース６）、２００５年６月）。

符号化における置換ランクの計算（図１Ａの演算ＯＰ２）

これはベクトルｙ＝（ｙ_０、ｙ_１．．．、ｙ_ｎ‐１）の構成要素に関する全ての可能な置換の順序化および指標指定を含む。順序は辞書編集式であり、指標をここでは「ランク」と呼ぶ。ベクトルｙのランクの計算は、ｙに関連し、ｙ_ｋ＝ａ_ｄであり、その場合にのみｄ_ｋが指標値ｄを有するようなベクトルＤ＝（ｄ_０、ｄ_１．．．、ｄ_ｎ‐１）のランクの計算を含む。
例えば、次元ｎ＝８のベクトルは以下の構成要素を有する。
ｙ＝（４、２、４、０、０、４、４、２）
ｑ＝３の文字（異なる値の構成要素）を持つアルファベットをａ_０＝４、ａ_１＝２およびａ_２＝０であるＡ＝｛４、２、０｝により示す。
次いで、ベクトルｙはベクトルｙとベクトルＤ＝（０、１、０、２、２、０、０、１）を関連させ、その構成要素は単にアルファベットＡのｑ文字の指標である。
ｙおよびＤのランクは同じであるが、ベクトルＤの定義は（アルファベット｛ａ_０、ａ_１、．．．、ａ_ｑ−１｝と同じ数の要素を含む）セット｛０、１、．．．、ｑ−１｝にその値を有するシーケンスＤのランクの計算に演算を削減する。
ベクトルｙおよびＤの重みが同じであるのはそのそれぞれの構成要素の発生が同じであるからである。中間重み（ｗ_ｋ ^０、ｗ_ｋ ^１、．．．、ｗ_ｋ ^ｑ−１）をまた構成要素ベクトル（ｙ_ｋ、ｙ_ｋ＋１、．．．、ｙ_ｎ−１）の重みとして定義し、それ故この重みは位置ｋ乃至ｎ−１を残すために端を切取るベクトルｙに対応する。従って、

であり、δ（ｘ、ｙ）はクロネッカ（Kronecker）演算子（ｘ＝ｙであればδ（ｘ、ｙ）＝１であり、他の場合０）である。
次式を適用する。

ベクトルｙのランクｔを下記の公式により結合分析により計算することができる。

この公式は以下のように単純化することができる。

使用することが多く、それ故ここで採用することにするのはこの後者の公式である。以後、I_ｋ ^ｄｋを「順序ｋの部分ランク」と呼び、以下の通りとする。

ランクの復号化（演算ＯＰ３）：置換のその指標からの判断

ランクｔの復号化はｙに関連するベクトルＤ＝（ｄ_０、ｄ_１、．．．、ｄ_ｎ−１）の回復を伴う。ｄ_ｋの連続検索の一方法を以下に説明する。構成要素ｄ_０をまず判断し、構成要素ｄ_１乃至構成要素ｄ_ｎ−１により継続する。

＊ｄ_０の判断：
ｄ_０を以下の不等式を含む公式の使用により見つける。

項（ｎ−１）！、ｔ、

およびｄ＝０、．．．、ｑ−１に対する値ｗ_０ ^ｄは既知である。ｄ_０の値を見つけるために、出発点としてｄ_０＝０を使用し、上記の数１１に示す公式（８）を満たすまでｄ_０を連続して１だけ増やす。部分ランクにより上記の数１１に示す公式（８）を書くことにより、値ｄ_０は次のようになる。

＊ｄ_１の判断：
ｄ_１を見つけるために、以下の関係を使用する。

ｄ＝０、．．．、ｑ−１に対するｗ_１ ^ｄの値は以下のようにｗ_０ ^ｄの値から推論する。
−ｄ＝ｄ_０であれば、ｗ_１ ^ｄ＝ｗ_０ ^ｄ−１および
−ｄ≠ｄ_０であれば、ｗ_１ ^ｄ＝ｗ_０ ^ｄ（次いでｄがｄ_０と異なる限りｗ_０ ^ｄを反復する）。
構成要素ｄ_０の判断と同じ問題に戻る。ｄ_１の値を見つけるために、出発点としてｄ_１＝０を使用し、不等式（９）を満たすまでｄ_１を連続して１だけ増やす
（Ｉ_１ ^ｄ１≦ｔ−Ｉ_０ ^ｄ０＜Ｉ_１ ^ｄ１＋１）。

＊その他のｄ_ｋの判断：

後続するｄ_ｋの計算は上記の場合から推論する。ｄ_ｋの値を見つけるために、出発点としてｄ_ｋ＝０を使用し、不等式

を満たすまでｄ_ｋを連続して１だけ増やす。
一度ベクトルＤ＝（ｄ_０、ｄ_１、．．．、ｄ_ｎ−１）を復号化すると、単なるアルファベットの転位によりベクトルＤからベクトルｙを推論する。

ＷＯ−０４／００２１９

シャルクビックＪ．Ｐ．Ｍ（Schalkwijk J.P.M）著「ソース符号化アルゴリズム（An Algorithm for source coding）」、情報理論に関するＩＥＥＥ論文誌、ＩＴ１８巻３号、ページ３９５−３９９、１９７２年５月 ［３ＧＰＰ ＴＳ２６．２７３］（固定点拡張ＡＭＲ−広帯域（ＡＭＲ−ＷＢ＋）コーデック；Ｖ６．１．０（２００５−０６）（レリース６）） ［３ＧＰＰ ＴＳ２６．３０４］（拡張適応型多元速度−広帯域（ＡＭＲ−ＷＢ＋）コーデック；浮動点ＡＮＳＩ−Ｃ符号；Ｖ６．３．０（２００５−０６）（レリース６）、２００５年６月） ラゴット Ｓ、べセット Ｂ、ルフェーブル Ｒ著「３２ｋビット／秒における広帯域ＴＣＸ通話符号化に適用する低複雑度多元速度格子ベクトル量子化」ＩＣＡＳＳＰ論文集、１巻、ＰＰ．５０１−４、２００４年５月

置換符号の指標指定および逆演算は複雑な演算である。使用するアルゴリズムは結合分析を適用する。結合の指標指定および逆演算は階乗積の除算を必要とする。

除算の複雑度
集積回路および信号処理プロセッサにおいてなされた進歩にもかかわらず、除算は複雑な演算に留まる。典型的に、１６ビットで表す整数の１６ビットで表す整数による除算はそれらの乗算より１８倍のコストを要する。３２ビットの整数の１６ビットの整数による除算の重みは３２であり、それらの乗算の重みは５である。

変数のフレーム化
除算コストは問題であるだけではない。以下の表１が示すように、変数のフレーム化は別の問題である。
８以下の整数の階乗のみを全１６ビットワードで表すことができる。１２より大きな数の場合、全３２ビットワードにおける階乗の表現は最早可能ではない。
さらに演算の複雑度は、また変数を表すのに使用するビット数と共に増大する。従って、３２ビットの整数の１６のビット整数による除算は１６ビットの整数の除算（重み１８）の殆ど２倍複雑（重み３２）である。

演算ＯＰ１の複雑度を削減する解決法が提案されている。演算ＯＰ２およびＯＰ３の複雑度の問題は極めて適切には扱われていない。一方、特に出願者のＴＤＡＣ符号化器／復号化器では、または３ＧＰＰ−ＡＮＲ−ＷＢ＋符号化器では、シャルクビック公式に基づき符号化および復号化に対し単純化が行われている。

置換および逆演算（演算ＯＰ２およびＯＰ３）の計数の単純化

ｎ項Ｉ_ｋ ^ｄｋの計算に対して行った下記の単純化により、置換ランクｔおよび逆演算の計算は加速され、その定義を以下で検討する。

最初の２つの項を使用して、符号化および復号化双方における複雑度を削減する。第３の項を符号化に使用し、最後に残る２つの項を復号化に使用する。

符号化技術を図２および図３により説明する。特に、図３は従来技術の意味するシャルクビック公式によるランクの計算を扱い、一方図２は予備ステップ（「ＥＰ−ｎと参照し、図２のｎ番目の予備ステップを示す）を説明する。

図２を参照すると、処理はステップＥＰ−１で始まり、ベクトルｙ＝（ｙ_０、ｙ_１．．．、ｙ_ｎ‐１）の構成要素を回復する。後続の一般的ステップＥＰ−２はこのベクトルＡ＝（ａ_０、ａ_１、．．．、ａ_ｑ−１）に使用するアルファベット要素の計算、および最大指標ｑの判断を扱う。これを行うためにｑ＝１、ａ_０＝ｙ_０を設定する初期化ステップＥＰ−２１の後に、１とｎ−１との間の指標ｋに関してループを実行し（検査終了ＥＰ−２６およびその他の場合増分ＥＰ−２７）、以下のように要素ａ_ｑを検索する。
−現指標ｋの構成要素ｙ_ｋが要素｛ａ_０、ａ_１、．．．、ａ_ｑ−１｝の中に既になければ（検査ＥＰ−２２）、セット｛ａ_０、ａ_１、．．．、ａ_ｑ−１｝に対してａ_ｋ＝ｙ_ｋ（ステップＥＰ−２２）であるように新要素ａ_ｑを割り当てねばならず、ｑを１だけ増分しなければならない（ステップＥＰ−２５）。

後続の一般的、予備ステップＥＰ−３は以下のようにベクトルＤ＝（ｄ_０、ｄ_１、．．．、ｄ_ｎ−１）の計算である。
−０乃至ｎ−１の範囲のｋに対して（ｋを０に初期化するステップＥＰ−３１、ｋに関する検査終了ＥＰ−３１、その他の場合増分ＥＰ−３８）、ｙ_ｋ＝ａ_ｋであるような値ｄを指標セット（０、．．．、ｑ−１）において見つける（ループにおけるｄに関する検査ＥＰ−３３、その他の場合ｄ＝ｄ＋１による増分ＥＰ−３６）。

図３を参照して次に、図２に示す予備処理に続くランクｔの計算ステップの説明に進む。図３に示すステップは「ＣＡ−ｎ」と参照し、従来技術の意味するｎ番目の符号化を意図する。

ステップＣＡ−１はランクｔの０、変数Ｐの１（ステップＣＡ−１３におけるランクの計算に使用する分母）およびｑの重みｗ_０、ｗ_１、．．．、ｗ_ｑ−１の０への初期化である。

ここで、ｋの値をｎ−１から０へ減分する（ｋをｎ−１に初期化するステップＣＡ−２、検査終了ＣＡ−１４およびその他の場合減分ＣＡ−１５）。このような選択の利益を後に説明する。予備ステップＥＰ−３において得るベクトルＤの構成要素ｄ_ｋを次いで使用し、現行ｋに対しｄ＝ｄ_ｋを設定する（ステップＣＡ−３）。関連する重みｗ_ｄを更新し（ステップＣＡ−４においてｗ_ｄ＝ｗ_ｄ＋１）、項Ｐを推定する（ステップＣＡ−５においてＰ＝Ｐｘｗ_ｄ）。ステップＣＡ−１３に対応するランクの計算における分子に関して使用する総計Ｓを０に初期化し（ステップＣＡ−６）、次いで重みｗ_ｉの指標ｉに関してループを実行し（検査終了ＣＡ−９およびその他の場合ｄ−１へ増分ＣＡ−１０）、総計Ｓを更新する（ステップＣＡ−８においてＳ＝Ｓ＋ｗ_ｉ）。ステップＣＡ−１３におけるランクｔの計算の前に調査を行い、総計Ｓがゼロでないことを確認する（検査ＣＡ−１１）。この実施の利益を後に説明する。

ランクｔの計算（ステップＣＡ−１３）は以下のような階乗項（ｎ−ｋ−１）！を含む。
ｔ＝ｔ＋（Ｓ／Ｐ）（ｎ−ｋ−１）！

ランクｔの各更新に関する項（ｎ−ｋ−１）！の計算に代わって、これらの値をメモリに事前記録し、簡単なメモリアクセスを使用して（ステップＣＡ−１２）、（ｎ−ｋ−１）！の現行値を得ることを優先する。

従って、図３に示す処理の幾つかの利点を再び本発明の実施において取り上げることにする。これらの利点を以下に詳記する。

＊階乗の蓄積

項（ｎ−ｋ−１）！およびｗ_ｋ ^ｉ！を実時間で計算することを避けるために、ｎ＋１の階乗（０！、１！、．．．、ｎ！）の値を事前に計算し、蓄積する。次元ｎが限定的に変化すれば（ｎ≦ｎ_ｍａｘ）、値０！、１！、．．．、ｎ_ｍａｘ！を事前に計算し、蓄積する。

＊除算を避ける中間重みの累積に関する検査

項Ｓ_ｋ

がゼロであれば、

の計算に意味がない。次にこの項は、最終位置（ｎ−１に近いｋ）の場合特にゼロであることが多い。この項がゼロである性質に関する検査（図３の検査ＣＡ−１１）の追加により、除算（および乗算）を避けることができる。除算の計算は検査よりかなり複雑であるので、複雑度の除外は大きい。

＊符号化における位置に関するループの反転

１だけｗ_ｋ＋１ ^ｄを増分し、ｄ≠ｄ_ｋに対してその他の値ｗ_ｋ＋１ ^ｄを反復することにより、重みｗ_ｋ＋１ ^ｄから（ｄ＝０、１、．．．、ｑ−１である）重みｗ_ｋ ^ｄを推論する。その場合、ベクトルの最終位置（ｋ＝ｎ−１）から最初の位置（ｋ＝０）へ動作するループ（図３のステップＣＡ−２、ＣＡ−１４、ＣＡ−１５）を作成することが可能である。この「逆」ループは、１に初期化後項Ｐ_ｋを以下のように、

各反復に対して、増分および乗算のみ、即ち

により計算することを可能にする。
最後の２つの位置（ｋ＝ｎ−１およびｋ＝ｎ−２）を個別に処理することがまた可能である。要するに、
・最後の位置（ｋ＝ｎ−１）について、

それ故

・最後から２番目の位置（ｋ＝ｎ−２）について、
ｄ_ｎ−２＞ｄ_ｎ−１であれば、

それ故

その他の場合

それ故

であり、ｄ_ｎ−２＝ｄ_ｎ−１であれば、Ｐ_ｎー２＝２、その他の場合
Ｐ_ｎー２＝１である。

下記のその他の有利な実施の詳細をまた提供することができる。

＊復号化における除算の除去

ｄ_０を検索する場合に復号化における除算を避けるために、数１１に示した不等式（８）を以下の形式に再公式化することができる。

同様に、数１４に示した不等式（９）を以下の形式に再公式化することにより、ｄ_１の検索から除算を除去する。

またはさらに、

従ってｄ_ｋ（０≦ｋ≦ｎ−１）の検索における除算の削除は可能であるが、Ｉ_ｋ ^ｄｋ（０≦ｋ≦ｎ−３）の計算に（ｎ−１）除算の実行がなお必要である。

＊復号化における重みに関する検査

ｄのある値に対する最後の位置では、（位置ｋに先行する位置を占める値ｄのｗ_０ ^ｄの構成要素に対して）ｗ_ｋ ^ｄ＝０である。ｄのこれらの値に対し不等式（８）および（９）の項を計算するのはそれ故意味がない。

従来技術のその他の問題：変数のフレーム化

変数フレーム化の問題は出願者のＴＤＡＣ符号化器において取組んでいる。
第１の解決法は１２より大きな次元の処理演算をより小さな次元の演算と区別することであった。小さな次元（ｎ＜１２）の場合、３２ビットの符号のない整数に関して計算を実行する。より大きな次元の場合、計算複雑度および必要なメモリ容量の増大を犠牲にして、倍精度浮動変数を使用する（浮動倍精度演算はその整数精度に等価な演算よりより経費が掛かる）。

さらに最大精度を符号のない３２ビットの整数（固定点プロセッサによる実施）に限定すれば、１２より大きな整数階乗を直接事前蓄積することはできず、１２より大きな次元のベクトルを個別に符号化しなければならない。この問題を解決するために、さらに高度な解決法は２^ｊ×ｒの形式の階乗ｎ！の仮数および指数による擬似浮動点表現を使用する。この分解を以下の表２に詳しく示す。ｎ！の蓄積（１６以下のｎの場合）を最大３０ビットの精度を持つｒ並びに簡単なビットオフセットに対応する指数ｊの蓄積に削減する。

従って、大部分の場合従来技術は特に固定点における限定精度の変数フレーム化の問題を解決しない。ＴＤＡＣ符号化器における実施は、フレーム化問題を解決するが、２つの整数の経費の掛かる除算を回避しない。

さらに大きな次元の場合、中間計算（例えば、部分ランクＩ_ｋ ^ｄｋの分子および分母）は限界状態に近づきうる。この場合、上記の単純化を復号化処理に使用することができず、数１１および数１４に示した不等式（８）および（９）の公式化への逆戻りが必要であり、それ故多くの除算を再び持ち込まねばならない。

シャルクビック技術以外の計数技術は同じ問題に苦しむ。計数技術がまた結合分析を使用する場合、計数技術は階乗積とその除算の計算を伴う。

本発明はこの状況の改善を目的とする。

このため、本発明はまず結合表現の計算を含む置換符号を使用するディジタル信号の符号化／復号化法を提案し、本方法ではこれらの結合表現を素因数累乗分解により表し、選択する整数の事前記録分解表現をメモリから読出すことにより判断する。

次いで本発明は置換符号の指標指定および逆演算双方に関連する問題への効果的な解決法を提供する。同時に本発明は変数フレーム化および除算である２つの問題を解決する。
要するに有利な実施では、事前記録表現は前記選択する整数のそれぞれの連続する素数を表す値と相関してそれぞれ蓄積する指数を表す値を含む。
従来技術における変数フレーム化に関連する問題を従って既に解決する。
変数フレーム化の問題は階乗項を操作する場合、益々重大である。
有利な実施では、結合表現が整数の階乗値を含む場合結合表現を操作するために、事前記録表現は少なくとも階乗値の分解表現を含む。
次いでこの実施は変数フレーム化の制約を取除き、そのことから関係する置換符号の次元ｎに関して通常設定する制限を緩和することを可能にする。

別の有利な特徴によれば、前記結合表現の少なくとも１つは整数の分子の整数の分母による商を含み、この商を素因数累乗分解により表し、素因数累乗分解の各累乗は分子および分母とそれぞれ関連し、１つのかつ同じ素数に割当てる指数の差分である。
従来技術の除算の計算に関連する問題は従って単純な減算計算によりこの計算を置換することにより解決する。

第１の実施形態では、上述の選択する整数の１つの事前記録分解を取出すためにアドレス指定するメモリの配備を行う。
このため、選択する整数の事前記録表現をアドレス可能なメモリに蓄積し、前記メモリのアドレス指定はそれぞれの素数に割当てる連続する指数を示し、選択する整数を再構成する。
好ましくは、選択する整数の事前記録表現を素数に対し連続するアドレス形式で蓄積することとし、各アドレスはこの素数に割当てる指数を示し、選択する整数を再構成する。
第１の実施形態によるこの実施を以後「分解の分解による相互関係表現」と名付けることにする。

変形として第２の実施形態では、連続するビットグループを含むワード形式で、事前記録表現を蓄積し、各グループは：
−素数に応じる重み、および
−この素数に関連する指数に応じる値を
有する。
好ましくは次いで、少なくとも１つの部分マスクをビットワードに連続的に適用することにより、ビットの重みによる連続オフセットおよび残るビットの読出しにより、素因数累乗を判断する。
第２の実施形態によるこの実施を以後「分解のコンパクトな表現」と名付けることにする。

結合表現の計算の同じ方法の処理を、一般に次の：
−前記結合表現を形成する積および／または商に現れる項を前記選択する整数から特定するステップと、
−前記項の素因数分解に含む指数をメモリにおいて読出すステップと、
−読出した指数を加算および／または対応して減算し、前記結合表現の素因数累乗分解に含む指数を判断し、そのことからその素因数累乗分解から前記結合表現を計算するステップと、
により実行することができる。

再起的に実行する積の計算および各再起に新しい項を含むことに関し、以前の再起に対して実行した積の計算の分解を一時的に蓄積するのは有利でありうる。従って、本方法が以前の再起において判断した積を乗算する項を各再起に含む積の計算に再起ステップを含めば、
−以前の再起において判断した前記積を有利には素因数累乗分解の形式でメモリに保持し、
−積を乗算する前記項が好ましくは分解を事前記録する選択する整数の１つであり、
−現再起における前記積を判断するために、以前の再起において判断した前記積および前記積を乗算する前記項のそれぞれの分解から導出する指数を共に１つずつ各素数に対し加算すれば十分である。

同様に、本方法が以前の再起において判断した商を除算する項を各再起において含む除算の計算に再起ステップ含めば、
−以前の再起において判断した前記商を有利には素因数累乗分解の形式でメモリに保持し、
−商を除算する前記項が好ましくは分解を事前記録する選択する整数の１つであり、
−現再起における前記除算を判断するために、前記項の分解から導出する指数を以前の再起において判断した前記商の分解から導出する指数から１つずつ各素数に対し減算する。
再起的に計算する積および／または商に関する中間分解のこの一時的蓄積は再起部分ランクの判断に特に有利であり、再起部分ランクの累積は置換ランクを表す。

従って本発明の有利な実施では、置換符号は各部分ランクが次いで前記結合表現の１つに対応する部分ランクの累積を含む置換ランクを表す量の計算を含む。
ベクトル量子化ディジタル信号を符号化する場合、次いで置換ランクの計算を使用し、入力ベクトルに最も近い符号ベクトルを判断するために以前のステップ（演算ＯＰ１）において実行した先導ベクトルの構成要素の置換を指標指定することができる（図１Ａの演算ＯＰ２）。

同様にベクトル量子化ディジタル信号を復号化する場合に、置換ランクの所与の値から
−構成する符号ベクトルの少なくとも１つの仮定する構成要素に従い前記所与の値に近い置換ランクを表す少なくとも１つの量を計算し（図１Ａの演算ＯＰ３）、
−この量が所与のランク値との近接条件を満たせば仮定する構成要素の選択が妥当である
として置換ランクの推定が行われる。
実施例では、一方で仮定する構成要素に関連する部分ランクへおよび他方で仮定する構成要素の増分に対応する構成要素に関連する部分ランクへの部分ランクの累積により所与のランク値を纏めて扱うことができれば、この近接条件を満たす。
それ故、この近接条件はシャルクビック計数の場合の上記の不等式（８）の一般的公式化に対応しうる。
従って、本発明を有利には図１Ａの意味するベクトル量子化によるソース符号化／復号化に適用することができる。
一方、符号化／復号化が、
−送信前における置換ランクからの符号ベクトルの判断（図１Ａおよび図１Ｂの同じ演算ＯＰ３）および
−受信時における受信ベクトルに対応する符号ベクトルからの置換ランクの計算（図１Ａおよび図１Ｂの同じ演算ＯＰ２）
を含めば、符号化／復号化はまた図１Ｂの意味するチャネル変調符号化／復号化タイプに関するものでありうる。

部分ランクの計算は、後に見られるであろうように一般的規則として置換符号の最大次元ｎ以下に留まる（積または商における）項を含む。従って有利な実施では、事前記録分解を伴う選択する整数は少なくとも、
−１と前記最大次元ｎとの間の整数と、
−整数０の階乗値と、
−好ましくは１と最大次元ｎとの間の整数の階乗値
を含む。
特定の選択可能な実施では、選択する整数はまた値０を含むことができる。

従って、置換符号がシャルクビック計数を使用すれば、符号ベクトル（ｙ_０、．．．、ｙ_ｎ‐１）の切取り（ｙ_ｋ、．．．、ｙ_ｎ−１）に関連する部分ランクＩ_ｋ ^ｄｋを、

により表し、上式で、
−記法

は０乃至ｍの範囲の整数指標ｉに対する積を表し、
−記法

は０乃至ｍの範囲の指標ｉに対する総和を表し、
−記法ｌ！はｌ＞０の場合ｌ！＝１×２×３×．．．×（ｌ−１）×ｌであり、０！＝１である整数ｌの階乗値であり、
−整数ｎは符号ベクトルが含む構成要素の総数に対応する置換符号の次元であり、
−０とｎ−１との間の整数ｋは、ソース復号化における（対応してチャネル符号化における）ランク値から検索するかまたは置換をソース符号化において（対応してチャネル復号化において）指標指定する符号ベクトルのｋ番目の構成要素ｙ_ｋの指標であり、
−整数ｑは符号ベクトルが含む個別構成要素数であり、
−項ｗ_ｋ ^ｄ（「中間重み」と名付ける）はｋとｋ−１との間の指標を有し、１つのかつ同じ指標構成要素ｄの数に等しい値を有する構成要素の数を表す。

この場合、事前記録分解を有し、次いで部分ランクＩ_ｋ ^ｄｋの表現において、積および／または商において特定する、選択する整数は好ましくは、
−０とｎ−１との間の全ての整数ｋに対する階乗項（ｎ−１−ｋ）！（即ち、０と（ｎ−１）との間の全ての整数に対する階乗値）であり、
−各項ｗ_ｋ ^ｉの値および／または各項ｗ_ｋ ^ｉが０とｎとの間にある積

に含むその階乗値であり、
−０とｎ−１との間の全ての整数ｋに対して、各項が１とｎ−１との間にある項

である。

さらにシャルクビック計数の特定の場合では、中間分解の一時蓄積を有利に以下のように適用する：先行指標ｋに対する項

の分解における指数の総和を一時的にメモリに蓄積し、指数の総和にまたは指数の総和から現指標ｋに対する項ｗ_ｋ ^ｉの分解指数を加算または減算する。

本発明のその他の特徴および利点は、以下の「発明を実施するための最良の形態」および上記の図１Ａ、図１Ｂ、図２および図３に加えて図４乃至図９の添付する図面を考察することにより明らかになるであろう。

思い出す契機として、特に以下の図４乃至図８を参照して、下記のことを強調すべきである。
−用語「符号化する」は置換ランクｔの計算を指示し（図１Ａおよび図１Ｂの演算ＯＰ２）、
−用語「復号化する」はこのランクｔからの置換の判断を指示する（図１Ａおよび図１Ｂの演算ＯＰ３）。
従って、これらの演算をベクトル量子化によるソース符号化／復号化の参照により指定する。これらの演算をまたチャネル符号化／復号化、変調において実行することができることを思い出すべきである。

本発明の原理を単刀直入に示すために、素数累乗の階乗化を以下に説明する。
ゼロでない正整数Ｋの素数累乗への分解を以下のように表す。

上式で、ｐ_ｉはｉ番目の素数である（ｐ_０＝１、ｐ_１＝２、ｐ_２＝３、ｐ_３＝５、ｐ_４＝７、ｐ_５＝１１、ｐ_６＝１３、ｐ_７＝１７、など）。
ｐ_ｉの指数を整数Ｋの分解ではｅ_Ｋ ^ｉと表示し、ｍ_Ｋはゼロでない指数を持つＫの分解に含む最大の素因数の指標を表示する。
例えば、数Ｋ＝１２０（または５！）を次のように表す。
１２０＝１．２^３．３^１．５^１であり、最大の素因数「５」が指標３を有するので（ｐ_３＝５）、ここではｍ_Ｋ＝３である。それ故、以下が当てはまる：ｅ_５！ ^０＝１、ｅ_５！ ^１＝３、ｅ_５！ ^２＝１およびｅ_５！ ^３＝１。
実際には、数「１」は乗算の中立の要素であり、ｐ_０は分解から除くことができる、即ち、以下の通りである。

勿論、Ｋ＝０は素因数の累乗には分解することはできない。

１６以下の正整数の素数累乗積への分解を表３ａに示し、その階乗分解を表３ｂに示す。この分解は６つの素数を含む（２、３、５、７、１１および１３）。列を素数ｐ_ｉにより指標指定し、行をｎにより指標指定するので、列ｐ_ｉと行ｎの交点における表３ａ（対応して表３ｂ）のセルは数ｎ（対応してｎ！）の素数の累乗積分解における素数ｐ_ｉの指数ｅ_ｎ ^ｉ（対応してｅ_ｎ！ ^ｉ）である。
ｎ＞１の任意の正整数の場合、ｎ！の素因数の数ｍ_ｎ！は次の通りである：ｐ_ｍｎ！≦ｎ＜ｐ_{ｍｎ！＋１}。数ｍ_ｎ！（対応して数ｍ_ｎ）を表３ｂ（対応して表３ａ）の最終（対応して最後から２番目の）列に示した。次の不等式に留意すべきである：ｍ_ｎ≦ｍ_ｎ！。
表３ａが示すように、数ｎの多くの分解指数はゼロである。表３ａの最終列に、ｎの分解におけるゼロでない指数ｍ_ｎ ^１を注記した。ｎ＝０の場合分解の（それ故指数の）ないことを表３ａの行ｎ＝０に記号「−」により示す。

最初にシャルクビック公式の場合、次いで一般の場合の置換符号に関する部分ランクの計算へのこのような分解の適用に関する説明に進む。
Ｉ_ｋ ^ｄｋと表示する部分ランクが本明細書の上記の数１０に示した関係式（７）により示されることを思い出すべきである。

本式では、３つの項を素数累乗に分解することができる。これらは次の項である。

（ｎ−１−ｋ）！、Ｐ_ｋおよびＳ_ｋの分解指数から、Ｉ_ｋ ^ｄｋの分解指数を簡単な加算および減算により計算する。
要するに、Ｉ_ｋ ^ｄｋの分解における素因数ｐ_ｉの指数

を３つの項（ｎ−１−ｋ）！、Ｓ_ｋおよびＰ_ｋの分解におけるｐ_ｉの３つの指数から計算する。指数

は最初の２つの項（Ｉ_ｋ ^ｄｋの分子）のｐ_ｉの指数の総和に等しく、指数の総和から最後の項（Ｉ_ｋ ^ｄｋの分母）のｐ_ｉの指数を減算する。一度公式化し、この結果を次のように表す。

ベクトル量子化によるソース符号化／復号化を示す。 変調／量子化の双対性を示す。 符号化技術を説明するための図である。 符号化技術を説明するための図である。 本発明の使用による置換ランクの符号化／復号化原理を示す。 第１の実施形態に従う本発明の使用による置換ランクの符号化のための処理演算を示し、この演算ではこの計算に使用する項の素数累乗分解指数の分解相互関係表現を提供する。 第２の実施形態により本発明を使用する置換ランクの符号化のための処理演算を示し、この演算では分解指数のコンパクトな表現を提供する。 第１の実施形態により本発明を使用する置換ランクの復号化のための処理演算を示し、この演算では分解指数の分解相互関係表現を提供する。 第２の実施形態により本発明を使用する置換ランクの復号化のための処理演算を示し、この演算では分解指数のコンパクトな表現を提供する。 本発明を実施する符号化／復号化デバイスを図的に表す。

図４は、符号化および復号化のために共に本発明の意味する処理演算に含むことができる（ｎ番目の一般的ステップを表すために「Ｇ−ｎ」と参照する）一般的ステップを示す。

従って図４を参照して、現指標ｋから（ステップＧ−１）および後に詳細に説明することにする幾つかの中間ステップにより、（図４に例示するステップＧ−２においてＤ_ｌおよびＤ_ｌ！と表示する）事前記録表を参照する配備を行い、本明細書の以上の式（１０）により、素因数累乗における中間ランクＩ_ｋ ^ｄｋの分解に特定のグローバル指数

を計算する（ステップＧ−３）ことを就中思い出すべきである。素因数に特定の指標ｉに関するループを実行することにより恐らくこれ（ステップＧ−４）から、中間ランクＩ_ｋ ^ｄｋの値を次いで推論する。次いでこの中間ランクの計算は置換の全ランクｔの更新を、
−指標ｋの減分によるランクの符号化のためのタイプの関係式ｔ＝ｔ＋Ｉ_ｋ ^ｄｋ（ステップＧ−６）によるかまたは
−後述のように、指標ｋの増分によるランクの復号化のためのタイプの関係式ｔ＝ｔ−Ｉ_ｋ ^ｄｋ（ステップＧ−６）により、
継続することができる（ステップＧ−５）。

最後に、ステップＧ−７の符号化または復号化（図４の破線）において置換のランクｔを得、ベクトルＤの構成要素ｄ_ｋをステップＧ−８における以上の公式（８）の不等式および本明細書の以上の式ｙ_ｋ＝ａ_ｄによるベクトルＹに関する不等式から推論する。

一般の場合およびシャルクビック計数とは独立に、置換の部分ランクｔ’（ｔ’＞０）が以下のようにＮ_ｔ’の項ｖ_ｊ（１≦ｊ≦Ｎ_ｔ’）を有する分子およびＤｔ’の項ρ_ｊ（１≦ｊ≦Ｄ_ｔ’）を有する分母の形式であれば、

その場合、部分ランクｔ’の分解指数ｅ_ｔ’ ^ｉをＮ_ｔ’ｖ_ｊおよびＤｔρ_ｊの分解である中間分解から判断し、ｅ_ｔ’ ^ｉを以下のように表す。

素因数への分解をまた本明細書で後に部分ランクｔ’の整数の商の積への公式化に使用することにする。
また一般的規則として、

であれば、その場合

である。

シャルクビック計数の特定の場合に戻り、次いで一度この分解を判断し、その分解から部分ランクＩ_ｋ ^ｄｋを計算するために、計算を次のように実行することができる。
式

の精神を守り、単に対応する累乗の乗算により部分ランクＩ_ｋ ^ｄｋを以下のように計算する。

ここで、項（ｎ−１−ｋ）！およびＰ_ｋは厳密に正整数であるが、項Ｓ_ｋはゼロでありえ、それ故分解可能でないことがありうることを示すべきである。この場合、部分ランクＩ_ｋ ^ｄｋはゼロである。次いで、項Ｓ_ｋ（Ｓ_ｋ＝０？）の値に関する検査を行い、本明細書の以上の説明（図３のステップＣＡ−１１）のようにＳ_ｋ≠０の場合にのみ部分ランクＩ_ｋ ^ｄｋを計算する。

より一般的には、

であれば、その場合

であり、

であれば、その場合

である。

次いで、素因数累乗の乗算により、特にこれらの素数に関連する指数の簡単な加算および減算により除算を置換することにより、部分ランクを構成する項の素因数階乗化が除算の排除を可能にすることを思い出すであろう。

従って、本発明の意味するメモリに蓄積する整数の素因数分解（以後「基本分解」と呼ぶ）の限られた数から、
−図４のステップＧ−２の意味する置換ランクに現れる

のような項の素因数分解（本明細書で以後「中間分解」と呼ぶ）を判断し、
−図４のステップＧ−３の意味する特にこの部分ランクの分解に含む指数の（例えば、

タイプの式による）計算により、これらの中間分解から置換の部分ランクｔ’（Ｉ_ｋ ^ｄｋ）の素因数分解を判断し、
−図４のステップＧ−４の意味する部分ランクｔ’（Ｉ_ｋ ^ｄｋ）をその分解から（例えば、

タイプの式を使用して）計算する、
以上のステップを配備する。

勿論、蓄積する基本分解は好ましくは有利な選択の対象である。好ましいが、限定しない実施では、関係する置換符号の最大次元（この最大次元をｎと表示する）により、蓄積する基本分解を選択することにする。従って、基本分解は好ましくは：
−整数ｌの階乗（ｌ！と表示する）の分解であり、整数ｌは０≦ｌ≦ｎであり、
−整数ｌ自体の分解であり、この場合０≦ｌ≦ｎであり、
ｎは関係する置換符号の最大次元であることを思い出すであろう。

次いで、
−考察する素因数の数ｍ、
−これらｍの素因数自体および
−そのそれぞれの指数
を付与する数ｍにより基本分解を特定することが可能である。
分解の所謂「分解相互関係」表現のコンテキストにおいて表４ａ乃至表４ｄを参照して、この実施例を後に説明することにする。後に詳しく説明する所謂「コンパクトな」表現は単一のワードの蓄積にあり、ワードのビットは分解に含む全ての指数を付与することを指摘すべきである。
次いで種々の基本分解セットおよびこれら基本分解の表現および蓄積手順の定義が可能である。

その上、中間分解を判断する項の選択およびこれら中間分解の判断そのものは後述することにする有利な実施の対象である。部分ランクの分解およびその分解からの部分ランクの計算はまた後述する有利な実施の対象である。

次に蓄積する基本分解の選択に関する説明に進む。
一般に、次元ｎの置換符号に関する計数技術とは独立に、置換ランクの計算は整数ｌ（０≦ｌ≦ｎ）および就中その階乗ｌ！（０≦ｌ≦ｎ）を使用する。好ましい実施では、基本分解は階乗ｌ！（０≦ｌ≦ｎ）およびｌ（０≦ｌ≦ｎ）の階乗分解であり、ここでｎは本明細書で以上に示したように関係する置換符号の最大次元である。（２ｎ＋１）の基本分解をそれ故この好ましい実施において配備する。
にもかかわらず、その他の実施が可能である。
例えば、（ｎ＋１）の基本分解のみ、即ちｌ（０≦ｌ≦ｎ）および０！の基本分解を配備する必要がある。従って、ｌ！（ｌ＞０）の分解が部分ランクの計算に必要であれば、

であるｊ（０≦ｊ≦ｌ）のｌの基本分解から中間分解を判断するステップにおいて、ｌ！（ｌ＞０）の分解を計算する。
逆に、ｌ！（０≦ｌ≦ｎ）の（ｎ＋１）の分解のみを配備する必要がある。ｌ（ｌ＞０）の分解が部分ランクの計算に必要であれば、ｌ！および（ｌ−１）！の底を持つ２つの基本分解からおよび以下の式

から中間分解を判断するステップにおいて、ｌ（ｌ＞０）の分解を計算する。
それ故、基本分解セットの選択が有利にはこれら基本分解表現の蓄積に必要なメモリの最少化と中間分解を判断するステップの複雑度の最小化との間のトレードオフになりうることが理解されるであろう。

以下で、本発明の意味する分解表現を説明する。
以上に示したように、分解（部分ランク、中間または基本のいずれであれ）を数ｍにより定義し、数ｍは考察する素因数の数、これらｍの素因数およびそのそれぞれの指数を付与する。以下では、分解を表し、基本分解データを蓄積する種々の解決法を提案する。

指数の分解相互関係表現

＊階乗ｌ！（０≦ｌ≦ｎ）の表現

値ｌ！の分解に含む素因数の数ｍ_ｌ！は数ｌと共に増加する。ｌ！（０≦ｌ≦ｎ）の分解を表す第１の解決法は、ｌ（０≦ｌ≦ｎ）の各値に対する数ｍ_ｌ！およびｐ_ｉ（０≦ｉ≦ｍ_ｌ！）のｍ_ｌ！の累乗指数の蓄積にある。ｌ！のｍ_ｌ！の指数がゼロでないことを注記することにする。
より有利な変形では、基本分解セットは同じ数ｍ_ｎ！の素因数を共有し、各基本分解に対しｍ_ｎ！の指数を蓄積し、ｍ_ｌ！より大きな指標のｌ！の基本分解指数はゼロである。この解決法は表の正規アドレス指定を提供することによりこの指数表の使用を可能にする。一方このような実施は、かなりのメモリサイズを必要とする。この表はｍ_ｎ！×（ｎ＋１）の値を含み、指数

をこの表のアドレス（ｍ_ｎ！、ｌ＋（ｉ−１））に蓄積し、ここで記法（ｘ、ｙ）は行ｘおよび列ｙにおけるこの表のセルを目標にする。勿論、その他の規定を考慮することができることは理解されるであろう。従って、ｍ列およびＮ行を有し、それ故ｍ×Ｎセル（または要素）を含む２次元の表を考察する代わりに、ｍ×Ｎセルを有する１次元の表を考察することが可能であり、２次元テーブルのアドレス（ｘ、ｙ）におけるセルはその場合１次元テーブルのアドレスｍ×ｘ＋ｙに位置する。２次元テーブルのアドレス（ｌ、（ｉ−１））に蓄積する指数

をその場合１次元テーブルのアドレス（ｍ_ｎ！×ｌ＋（ｉ−１））に蓄積する。例えば、構成上表３ｂの４つの列（列ｐ_ｉ＝２、３、５、７）および９つの行（行ｎ＝０、．．８）を含む３６のセルを有する２次元テーブルに、数０乃至８の階乗分解指数を蓄積することができる。本明細書で以下に提示する（付録Ａ−１１）３６セルを持つ単一次元のテーブルＤ_ｌ！に、これらの同じ指数を蓄積することができる。第１のテーブルのアドレス（ｘ、ｙ）におけるセルはアドレスＤ_ｌ！：４ｘ＋ｙにおけるセルに等しい。
加えて、ｍ_ｌ！の（ｎ＋１）の値を蓄積し、ｌ！の基本分解を使用して、中間分解の計算を削減することができる配備を行うことができる。

＊整数ｌ（０≦ｌ≦ｎ）の表現

基本分解ｌ（０≦ｌ≦ｎ）を表現するために、幾つかの解決法をまた提供することができる。第１の解決法は各値ｌに対し、数ｍ_ｌおよびｌのｐ_ｉ（０≦ｉ≦ｍ_ｌ）のｍ_ｌの累乗指数を蓄積することである。変形では、ｌ！（ｍ_ｌ！またはｍ_ｎｌ）の指数に対するのと同様に多くの指数を蓄積するのが好ましいであろう。ｌおよびｌ！の基本分解はその場合同じ数ｍを共有する。
別の変形では、ｌのゼロでない分解指数の数ｍ’_ｌが小さいことを活用することができる。例えば、この数ｍ’_ｌが最大で２（ｌ＝１６の場合）であることは表３ａにおいて明らかであった。従って、この数および対応する値ｐ_ｉまたは指標ｉのみを蓄積することが可能である。
一方、またゼロでないこれらの累乗素因数の指標ｉを蓄積する配備が必要であるが、これは表における対応する指数のアドレスにより指標ｉは最早暗黙には認識されないからである。

＊基本分解以外の分解表現

中間分解表現は中間分解を判断する基本分解表現に依存する。同様に、部分ランクの分解表現は部分ランクの分解表現を判断する中間分解の表現に依存する。

＊基本分解の蓄積

典型的に、次元８（ｎ＝８）の置換符号のための本明細書の以下の表４ａ乃至表４ｄによる例示により、４つの可能な蓄積の解決法を示すことができ、この解決法では４つの（ｍ_８！＝４）素数（２、３、５および７）を考慮する。これらの例を３ＧＰＰ ＡＭＲ−ＷＢ＋符号化器（規格［３ＧＰＰＴＳ２６．２７３］および［３ＧＰＰＴＳ２６．３０４］）に適用することができる。この符号化器は代数ベクトル量子化を使用し、代数ベクトル量子化辞書は次元８のゴセット（Gosset）配列ＲＥ_８の置換符号結合である。
最初の３つの解決法（表４ａ乃至表４ｃ）は同じ方法でｌ！の基本分解を表し、蓄積する。要するに、ｍ_ｌ！およびｌ！のｐ_ｉ（０≦ｉ≦ｍ_ｌ！）のｍ_ｌ！の累乗指数の蓄積を配備する。以上の解決法はｌの基本分解表現および蓄積において異なる。表４ａはｍ_ｌおよびｌのｐ_ｉ（０≦ｉ≦ｍ_ｌ！）のｍ_ｌ！の累乗指数の蓄積を目的とする第１の解決法を示す。表４ｂはｌのｐ_ｉ（０≦ｉ≦ｍ_ｌ！）のｍ_ｌ！の累乗指数の蓄積を目的とする第２の解決法を示す。

表４ｃはｌのｐ_ｉのゼロでないが累乗指数の数ｍ’_ｌ、対応する指数ｉ、およびその指数の蓄積を目的とする第３の解決法を示す。明瞭さを増すため提示する表で示すのは、素数ｐ_ｉである。

第４の解決法（以下の表４ｄにより示す）では、基本分解セットを数ｍ_ｎｌにより表し、各基本分解（ｌまたはｌ！）に対し、ｍ_ｎｌの指数を蓄積する。以前に提示した表３ａおよび表３ｂの４つの列（ｐ_ｉ＝２、３、５および７）および９つの行（ｎ＝０乃至８）から表４ｄを抽出する。

可変次元およびリゾリューションを持つ統計的ベクトル量子化を使用する最大次元１５のＴＤＡＣ符号化器では、６つの（ｍ_１５１＝６）素数：２、３、５、７、１１および１３を考慮する。次いで、表３ａおよび表３ｂの６つの列（ｐ_ｉ＝２、３、５、７、１１および１３）および１６の行（ｎ＝０乃至１５）は第４の解決法に対する基本分解セットの蓄積を示すことができる。

指数のコンパクトな表現

蓄積を最少にし、限定数のワードに関する基本分解指数をコンパクトに表すことにある別の有利な解決法に関する説明に進む。基本分解表現のこの変形では、中間分解および部分ランクの中間分解をまたコンパクトに表す。有利には、この解決法はまた分かるであろうようにこれらの分解に関する判断の複雑度を最少にする。

＊分解のコンパクトな表現

各素因数ｐ_ｉに対する部分ランクの分子におけるその指数が持つ最大値の上限β_ｉを判断するために検索を行う。この限界はｐ_ｉの指数に関する可能な値の最大数、即ちβ_ｉ＋１を与える。バイナリにより値（β_ｉ＋１）を表現する整数ビット数の表示にｂ_ｎ ^ｉを使用することにより、次式をえ、

上式で、

はｘ以上の直近の整数を表示する。

部分ランクｔ’に含む項Ｋの累乗因数分解指数をＢ_ｎビットのワードｅ_Ｋによりコンパクトに表現することができ、

このワードｅ_Ｋは以下の通りである。

記法「≪Ｂ」はＢビットの左シフトを表す。

数ｎが大きければ、整数の表現に使用するビット数Ｂ_０（１６、３２または４０ビット）よりＢ_ｎが大きいであろうことを注記することにする。この場合、ｔ’に含む整数Ｋの素因数分解指数をＭの完全整数ｅ_Ｋ（ｍ）、０≦ｍ＜Ｍ（勿論、Ｍ＞１である）の形式で表す。

有利には、Ｍワードを以下のように形成することができる。
・ｅ_Ｋ（０）はｉ_０の第１の指数（ｐ_１乃至ｐ_ｉ０の指数）を含む：

上式で

である。
・ｅ_Ｋ（１）はｐ_ｉ０＋１乃至ｐ_ｉ１の指数を含む：

上式で

である。
・ｐ_ｍｎ！の指数を含む最終ワードを構成するまで、後者の関係式を任意のｍについて一般化することができる。
勿論、その他の変形を提供することができる。例えば、１つの変形はｐ_１の指数を個別に蓄積し、ｐ_２の指数から以上の処理演算を適用することにある。

＊上限の判断

限界β_ｉを幾つかの方法で判断することができる。置換符号に関する情報（アルファベットのサイズｑ、重みｗ^ｉ、０≦ｉ＜ｑ）を使用して、部分ランクの分子が持つ各指数の最大値を明確に判断することができる。幾つかの（恐らく異なる次元の）置換符号を使用すれば、好ましくは最大の最大値を各指数に対して選択する。
本発明は有利にはシャルクビック計数のコンテキストにおける上限を判断する汎用処理演算を提案する。処理演算は使用する置換符号に関して最大次元以外の事前情報を使用しない。処理演算は単に、

を使用し、次いで

を選択する。
非常に多様な置換符号を使用する場合、この非常に汎用的処理は特に適する。
表５ａは次元が８乃至１５の場合のＩ_ｋ ^ｄｋの分子における最大指数値に関する上限を示す。表５ｂは次元が８乃至１５の場合のこれらの指数を表すビット数ｂ_ｎ ^ｉおよびその総和Ｂ_ｎ（最終列）を示す。次元８では、素因数２の指数を３ビットで表し、その他の素因数（３、５および７）の指数を２ビットで表す。次元１５では、素因数２の指数を４ビットで表し、素因数３の指数は３ビットで、その他の素因数（５、７、１１および１３）の指数は２ビットで表す。

表６ａ（対応して表６ｂ）は８（対応して１５）に等しい次元ｎに対するｌおよびｌ！の指数のコンパクトな表現を示す。

純粋な例示として、表６ｂを使用して整数ｌ＝１２の分解の判断を試行しよう。
好ましくは表６ｂで、符号の最大次元がｎ＝１５であるので、「２」の指数を４ビットで表し、「３」の指数を３ビットで、その他の素因数５、７、１１、１３を２ビットで表す。表では列ｌ＝１２において、そのコンパクトな指数ｅ_１２＝１８を読むことができる。

以下の表の読出しを信頼すると、Ｂ_１５＝１５ビットにおける１８（＝１６＋２）のバイナリ表現は、１つのかつ同じ素数に関連するビットを共にグループ化することにより：
０００ ００００ ０００１ ００１０、即ち００ ００ 〇〇 ００ ００１ ００１０となる。

４つの低順位ビット（重みｉ＝０乃至３）は素因数２の指数、即ち００１０＝２であり、これは２が素数２に割当てるべき指数であることを意味する。
次の３ビット（重みｉ＝４乃至６）は素因数３の指数、即ち００１＝１であり、これは１が素数３に割当てるべき指数であることを意味する。
次の２ビット（重みｉ＝７乃至８）は素因数５の指数、即ち００＝０である。
次の２ビット（重みｉ＝９乃至１０）は素因数７の指数、即ち００＝０である。
次の２ビット（重みｉ＝１１乃至１２）は素因数１１の指数、即ち００＝０である。
次の２ビット（重みｉ＝１３乃至１４）は素因数１３の指数、即ち００＝０である。
抽出手順は高順位ビットをマスクし、低順位ビットに含む素因数指数を回復し、次いで回復したビット数のコンパクトな指数をシフトし、次の素因数指数への切り替えを伴う。
従って次元１５では、２の指数を始めとして６つの抽出すべき指数がある。

２の指数のバイナリ表現は１８の４つの低順位ビット、即ち００１０に対応し、これは２に相当する。これらを回復するために、１８の高順位ビットを１５によりマスク（１８＆１５と表示）し、これは：２^４−１＝１１１１に等価である。
得られる結果はｅ_１２＝１８＆（２≪４−１）＝２であり、これは２が素数２に割当てるべき指数であることを意味する。
次いで、１８を右に４ビットシフトし、０００ ００００ ０００１＝１を与える。
３の指数のバイナリ表現は１の３つの低順位ビット、即ち００１（＝１）に対応する。これらを回復するために、１の高順位ビットを７によりマスクする（１＆７と表示し、値
２^３−１＝１１１をうる）。
得られる結果はｅ_１２ ^１＝１＆（２≪３−１）＝１であり、これは１が素数３に割当てるべき指数であることを意味する。
次いで、１を右に２ビットシフトし、そうするとこれは全てのその他の高順位ビットに対し００００ ００００＝０を示す。
それ故ｌ＝１２の累乗が
−素数２に対して２、および
−素数３に対して１、
即ちｌ＝１２＝２^２×３^１であることを思い出すであろう。

＊分解の上限

ここで各素因数に対し、部分ランクｔ’の分母におけるその指数がｔ’の分子におけるその指数以下であることを仮定する。

であるので、ｔ’が厳密に正であればこれは当てはまり、それ故

である。
実際には、シャルクビック公式により、およびｑ＞１であれば、値

は分母Ｐ_ｋ（ｑ＞１であればＰ_ｋ≦（ｎ−１）！）の指数の最大値β’_ｉの上限である。

それ故、不等式

を調べれば十分であり、これは以上で説明したβ_ｉの値を判断する処理演算により既に実行している。その他の場合、β’_ｉを明確に検索し、最大のβ_ｉおよびβ’_ｉを使用してｂ_ｎ ^ｉを計算することが可能である。
ｑ＝１の場合、既知ランク（ｔ＝０）の単一符号ワードを置換符号に含むことは理解されるであろうし、それ故事前にランクの計算および対応する逆演算を実行することは無用である。一方この特定の場合を個別に扱うことを望まない場合でも最大のβ_ｉおよびｅ_ｎ！ ^ｉにより、なお値ｂ_ｎ ^ｉを計算する配備をなしうる。以下の表７はｎ＝１６のこの場合を示す。

次に、基本分解を蓄積するのに必要なメモリ容量の簡潔な説明に進む。
基本分解の表現に選択する解決法とは独立に、基本分解をテーブルに蓄積し、次いでランクの符号化および復号化演算においてこれらのテーブルのアドレス指定に使用することができる。０の分解は可能ではない（そして、その上使用しない）が、０の分解に対し「ダミー」指数（例えば複数の０または複数の１）を蓄積し、アドレス計算を簡単にすることは好ましいであろう。
以下の表８は、これら２つ（０のダミー分解の蓄積の有無）の場合を説明する５つの解決法の基本分解に関係するデータを蓄積するのに必要なメモリサイズを要約する。

第５の解決法では、ビット数ｂ_ｎ ^ｉの蓄積（＋ｍ_ｎ！）を考慮する。一方実際にはビット数をメモリから読出すよりむしろ、以下の実施形態に見るであろうように、ビット数のメモリからの読出しは「ハードにより布線」する（その値を変数として宣言することなく計算プログラムに設定する）。それ故、ビット数を実際に蓄積するのは無意味に思われた。
表９は、ｎ_ｍａｘ＝８および１５（０のダミー蓄積を伴う）の場合のこれら５つの解決法の分解指数に関係するデータを蓄積するのに必要なメモリを示す。

次に、素因数累乗の蓄積に関する説明に進む。
基本分解以外に、本発明は素因数累乗を使用し、その分解から部分ランクを計算する。これら素因数テーブルからその累乗を実時間（「オンライン」）で計算することが可能である。好ましくは、２以外の素数の累乗を事前計算して蓄積し、２の累乗のみを実時間で計算する。以下の表１０ａは（ＡＭＲ−ＷＢ＋符号化器で使用するもののような）次元８の置換符号に必要な３、５および７の累乗を示す。表１０ｂは（ＴＤＡＣ符号化器で使用するもののような）最大次元１５の置換符号に必要な３、５、７，１１および１３の累乗を示す。

ここで再び、各素因数に必要な累乗数のみを蓄積することが可能である。変数として規則的にアドレス可能な単一の累乗テーブルのみを有することが好ましければ、各素因数に対し必要なｐ_２（ｐ_２＝３）の累乗数と同様に多くの値を蓄積する配備を行うことができる。使用しない累乗については、勿論複数の１または複数の０などのダミー値の蓄積を使用することが可能である。

次に、本発明を使用して符号化を実行する置換ランクの計算に関する説明に進む。
選択する基本分解セットおよびその表現に応じて幾つかの変形が存在する。簡明さのため、ｌ！およびｌの階乗分解を伴う基本分解セットに好ましい実施形態の場合に、以下の可能な実施の説明を限定する。
以下では、最も一般的な場合である各基本分解のｍ_ｎ！の指数を持つ指数の分解相互関係表現に関する解決法をまず説明する。指数に関する分解相互関係表現の変形を次いで記述する。最後に、基本分解指数のコンパクトな表現に関する解決法を幾つかの変形と共に説明する。その上で、本発明が置換ランクの符号化の処理演算に完全に適用できることが明らかになるであろう。

計数処理の例として、シャルクビックアルゴリズムを以下で考察する。

分解指数の分解相互関係表現

ｎを使用する置換符号の最大次元であるとし、ｍ_ｎ！を量ｎ！の分解に含む素因数の数とする。
分解指数の分解相互関係表現を使用する符号化に関する第１の実施形態の説明を以下に提示する。

第１の実施形態による符号化

ここで、ｌ！およびｌの基本分解指数をｌ＝０に対するダミー蓄積と共に本明細書の以上の表４ｄの「第４の」解決法により、ｍ_ｎ！×（ｎ＋１）セルを有するそれぞれＤ_ｌおよびＤ_ｌ！と表示する２つの単一次元テーブルに好ましくは蓄積する。本明細書で以上に記述したように、ｍ_ｎ！の列および（ｎ＋１）の行を有する２次元テーブルを考慮することもまた可能であろう。ｌ（対応してｌ！）の指数を規則的に（ｍ_ｎ！の値毎に）蓄積するので、基本分解指数を読出す演算はテーブルＤ_ｌ（対応してＤ_ｌ！）におけるアドレス計算を必要とする。ｌ！（対応してｌ）の分解指数を読出すために、テーブルＤ_ｌ！（対応してＤ_ｌ）のアドレス（ｌ×ｍ_ｎ！）を指示し、従って指数

（対応してｅ_ｌ ^１）、次アドレス（ｌ×ｍ_ｎ！＋１）にある指数

（対応してｅ_ｌ ^２）、より一般的にはアドレス（ｌ×ｍ_ｎ！＋ｉ−１）にある指数

（対応してｅ_ｌ ^ｉ）を目標とすることが必要である。本明細書で以上に記述したように２次元テーブルでは、指数

（またはｅ_ｌ ^ｉ）はアドレス（（ｌ；（ｉ−１））（列（ｉ−１）および行ｌ）にある。
ｌ＝０に対するダミー蓄積の配備がなされなければ、ｌ（ｌ＞０）のｎの基本分解テーブルＤ_ｌにおけるアドレス計算は（ｌ−１）×ｍ_ｎ！であることに留意すべきである。

初期化

・Ｐ_ｋのｍ_ｎ！の中間分解指数（以下のステップＣ−３を参照して分かるであろうように好ましくは各位置で更新するｍ_ｎ！のセルを有するテーブルＰに蓄積する）をゼロに初期化する。従って、命令は以下の通りである。

・ランクｔおよびｑの重みｗ_ｋ ^ｄ（各位置で更新するであろうｑセルを有するテーブルｗに蓄積する（本明細書の以下のステップＣ−２））をまたゼロに初期化する。命令は以下の通りである。

指標ｋに関する反復

図５を参照して、ｎの位置に関する反復（変数ｋに関するループにより）に進む。図５のステップＣ−ｎの記法における文字「Ｃ」は用語「符号化」を示す。
ステップＣ−１で、変数ｄ_ｋを読む。ステップＣ−２は構成上テーブルｗのセルｄ_ｋの更新を含む：ｗ［ｄ_ｋ］＝ｗ［ｄ_ｋ］＋１
ステップＣ−３はＰ_ｋの分解指数（テーブルＰ）の更新であり、特に
−アドレスｍ_ｎ！×ｗ［ｄ_ｋ］からテーブルＤ_ｌの基本分解ｗ［ｄ_ｋ］のｍ_ｎ！の指数

の読出し（ステップＣ−３１）および
−更新：１≦ｉ≦ｍ_ｎ！に対し、

（ステップＣ−３２）を伴う。

従ってステップＣ−３１を実施するには、

と表示するテーブルＤ_ｌの基本分解ｗ［ｄ_ｋ］の第１の指数がアドレスｍ_ｎ！×ｗ［ｄ_ｋ］にあり、

と表示する第２の指数がアドレス（ｍ_ｎ！×ｗ［ｄ_ｋ］＋１）にあるなどである。より一般的には、指数

はアドレスｍ_ｎ！×ｗ［ｄ_ｋ］＋ｉ−１にある。
平行してステップＣ−４で、通常の関係式

からＳ_ｋを計算する。
ステップＣ−５はＳ_ｋ値に関する検査である。部分ランクＩ_ｋ ^ｄｋがゼロであり（本明細書の以上の公式（７））、ランクｔが不変であることを意味するＳ_ｋがゼロ（矢印Ｙ）であれば、処理はステップＣ−１１により後に続く。その他の場合（Ｓ_ｋ≠０である矢印Ｎ）、処理はステップＣ−６により継続し、ステップＣ−６で基本分解Ｓ_ｋのｍ_ｎ！の指数
ｅ_Ｓｋ ^ｉをテーブルＤ_ｌのアドレスｍ_ｎ！×Ｓ_ｋにおいて読出す。
平行して、ステップＣ−７はテーブルＤ_ｌ！のアドレスｍ_ｎ！×（ｎ−１−ｋ）において基本分解（ｎ−１−ｋ）！のｍ_ｎ！の指数

を読むことにある。総和Ｓ_ｋがゼロでなければ（検査Ｃ−５のＮの出口）、ステップＣ−７を実行し、何れにしろ部分ランクＩ_ｋ ^ｄｋがゼロであれば、テーブルＤ_ｌ！における不要な読出しを回避するようにすることを注記することにする。
ステップＣ−８で、種々のテーブルの読出し結果を共にグループ化し、１≦ｉ≦ｍ_ｎ！の場合の関係式

により、まず部分ランクＩ_ｋ ^ｄｋのｍ_ｎ！の分解指数を計算することができる。
最後にステップＣ−９で、部分ランクＩ_ｋ ^ｄｋ自体を次式により計算する。

項ｗ［ｄ_ｋ］が関係する置換符号の必ず最大次元ｎ以下である重みであることを思い出すであろう。同様にこのような重みの総和Ｓ_ｋは最大次元ｎより小さく留まり、同じことが勿論（ｎ−１−ｋ）に対しても当てはまる。ｗ［ｄ_ｋ］、Ｓ_ｋおよび（ｎ−１−ｋ）！の分解を、実際、表４ｄなどの整数分解または最大次元ｎに至る範囲の整数階乗のテーブルにリストする。テーブルにリストする分解ｗ［ｄ_ｋ］および先行ループ（ｋ−１）で判断し、メモリに保持するＰ_ｋ−１の分解から、Ｐ_ｋの分解を判断する。

図５の部分ランク計算ステップの純粋な例示として、次元ｎ＝８およびｑ＝４の置換符号を考察する。この例では、４つの列および９つの行を持ち、それ故３６のセルを含む２次元テーブルに指数を蓄積する。それ故、列がｐｉ＝２、３、５、７および行がｌ＝０、．．．、８の本明細書で以上に提示した表４ｄから指数を抽出することができる。
この例では先行位置ｋ＝３において、重みｗのテーブルが｛１、１、０、３｝であり、それ故Ｐ_３＝１！１０！３！＝６であると仮定する。Ｐ_３（＝２^１×３^１×５^０×７^０）の分解指数テーブルＰはそれ故｛１、１、０、０｝である。ステップＣ−１の位置ｋ＝２では、ｄ_２＝２を読出したと仮定する。この例のステップＣ−２では、セルｗ［２］を１（ｗ［２］＝０＋１＝１）だけ増分することによりセルｗ［２］を更新する。
ステップＣ−３１で、１（＝ｗ［２］）の４つの分解指数、即ち０、０、０、０を読む（表４ｄの６番目乃至９番目の列および３番目の行ｌ＝１を参照）。
次いで（ステップＣ−３２で）、テーブルＰを更新し、従ってＰ＝｛１、１、０、０｝を得る。
ステップＣ−４で、Ｓ_ｋを：Ｓ_ｋ＝ｗ［０］＋ｗ［１］＝１＋１＝２と計算する。それ故、Ｓ_ｋはゼロではない（検査Ｃ−５）。
・Ｓ_ｋの４つの分解指数を読み（表４ｄの６番目乃至９番目の列であるが、４番目の行ｌ＝２をさらに参照して）（ステップＣ−６）、ｐ_１＝２（６番目の列）の場合、指数は１、ｐ_ｉ＝３、５、７（７番目乃至９番目の列）の場合、指数は０である。
・表４ｄであるが、今回は２番目乃至５番目の列および７番目の行ｌ＝５をさらに参照して、５！（（ｎ−１−ｋ）！に相当）の４つの分解指数を読む（ステップＣ−７）。ｐ_１＝２（２番目の列）の場合、指数は３である。ｐ_２＝３（３番目の列）の場合、指数は１であり、ｐ_３＝５（４番目の列）の場合、指数はまた１である。他方、ｐ_４＝７（５番目の列）の場合、指数は０である。
・ステップＣ−８で、部分ランクＩ_ｋ ^ｄｋの４つの分解指数を計算する。

ステップＣ−９で、部分ランクＩ_ｋ ^ｄｋをその２^３×３^０×５^１×７^０＝４０の分解指数から計算する。

再び図５を参照して、ステップＣ−１０で関係式ｔ＝ｔ＋Ｉ_ｋ ^ｄｋに従う（ステップＣ−９に見出す部分ランクＩ_ｋ ^ｄｋの加算により）更新により、置換のグローバルランクｔを自ら判断する。
次いで、ステップＣ−１１は変数ｋ（ｋ＝ｋ−１）を減分することを目的とし、ステップＣ−１２は処理を継続するかを決めるｋの値に関する検査である。従って、ｋ≧０（検査Ｃ−１２の出口のＹの矢印）であれば、処理演算のステップはｋの値を１ユニットだけ減分して最初のステップＣ−１から再反復する。その他の場合（検査Ｃ−１２の出口のＮの矢印）処理はステップＣ−１３の終わり（「終了」）で終了する。

従って、ステップＣ−９より上で、ステップＣ−８で判断するその分解から部分ランクを計算し、以下の３つの中間分解から部分ランク自体を判断することが理解されるであろう：
−（ｎ−１−ｋ）！
−Ｓ_ｋ、および
−Ｐ_ｋ。
ステップＣ−６およびＣ−７において実行する３つの中間分解の内の２つ（ｎ−１−ｋ）！およびＳ_ｋの判断は基本分解のそれぞれのテーブルＤ_ｌおよびＤ_ｌ！における簡単な読出しを含む。また以下のタイプの関係式によりテーブルＤ_ｌ！において読出すｗ［ｄ］！のｑの基本分解から、第３の中間分解（Ｐ_ｋの中間分解）の判断を簡単に実行することができる。

直接的変形

ステップＣ−３はこの中間分解の判断に関するより有利な変形を提示する。テーブルＤ_ｌにおいて読出す基本分解および別の部分ランク（Ｉ_ｋ＋１ ^ｄｋ）、例えばｋの反復における先行部分ランクＩ_ｋ＋１ ^ｄｋについて計算する別の中間分解（Ｐ_ｋ＋１の中間分解）から、Ｐ_ｋの中間分解を要するに判断することができる。
本発明の変形ではより一般的に、少なくとも１つの他の部分ランクについて以前に判断した少なくとも１つの中間分解から、中間分解をまた推論することができる。

本明細書の以上で、最後の位置（ｋ＝ｎ−１）から最初の位置（ｋ＝０）へのループによりランクの計算を実行した。一方、本発明はまた勿論最初から最後の位置へのループにも適合する。全て必要なことは、初期化フェーズを変更し、ステップＣ−２およびＣ−３およびその順序に適合することである。
このために、重みのテーブルｗをｑの重みｗ_０ ^ｄにより初期化することができる。次いで０乃至ｑ−１の範囲のｄに対して、ｗ［ｄ］！のｍ_ｎ！の分解指数をテーブルＤ_ｌ！において読出し、中間分解テーブルのｍ_ｎ！の値（Ｐ_０の分解指数）を累積加算により計算する。
次いで、ステップＣ−１０の後、ステップＣ−２の前で、ステップＣ−３を実行する。ｗ［ｄ_ｋ］の基本分解指数

をＰ［ｉ］から減算する

ことにより、Ｐの中間分解を更新する。次いでｗ［ｄ_ｋ］の値を１だけ減算する（ｗ［ｄ_ｋ］＝ｗ［ｄ_ｋ］−１）ことにより、ステップＣ−２を実行することができる。ステップＣ−１１は変数ｋの１の増分を目的とし、ステップＣ−１２はｋ＝ｎであるかを単に検査する。

可変次元ｎの置換符号に対して

の演算を実行するよりむしろ、初期化においてｍ_ｎ！を読み、演算をただｍ_ｎ！回のみ実行するのが好ましいであろうことは簡単に注記する価値がある。

第１の実施形態に関する一般的な変形

より一般的には、本発明の意味する符号化に対し図５で表す実施は多数の変形を可能にする。
従って第１の変形では、（ｌまたはｌ！の）各基本分解はまたテーブルｍ_ｌ！を含む。数ｍ_ｌ！（１≦ｌ≦ｎ）を読出すのは利点をもたらす。要するに、ステップＣ−３およびＣ−６乃至Ｃ−１０を最早それぞれｍ_ｎ！回実行せず、ただ：
・ステップＣ−３について

回、
・ステップＣ−６およびステップＣ−８の加算

について

回、および
・ステップＣ−７およびＣ−９についておよびステップＣ−８の減算

についてｍ_{（ｎ−１−ｋ）！}回実行する。
さらに値ｍ_ｌを蓄積していれば、その場合全て必要なことは：
・ステップＣ−３を

回、および
・ステップＣ−６を

回およびステップＣ−８の加算を実行することである。

符号化の別の変形で、加算にｌの基本分解指数の蓄積を第３の解決法（本明細書の以上の表４ｃ）により使用すれば、ステップＣ−３を

の値について実行することができる。同様に、ステップＣ−６を

の値について実行する。ステップＣ−８においてｍ_{（ｎ−１−ｋ）！}の加算およびｍ_{（ｎ−１−ｋ）！}の減算を配備する代わりに、実行する減算の数はｍ_{（ｎ−１−ｋ）！}に留まるが、

の加算のみが必要である。特に以下の通りである。

第３の変形で部分ランクの３つの項（分子の２つおよび分母の１つ）への分解に代わり、部分ランクを２つの項へ分解し、その１つは商である。従って、部分ランクＩ_ｋ ^ｄｋを次の２つの項に分解する。
−総和Ｓ_ｋおよび
−商

この商を次の関係式により更新することができる。

従ってｑ＋１の基本分解（（ｎ−１−ｋ）！およびテーブルＤ_ｌ！において読出すｑｗ［ｄ_ｋ］！の基本分解）からのＲ_ｋの分解の判断よりむしろ、

と表すＲ_ｋ＋１の中間分解および（ｎ−１−ｋ）およびｗ［ｄ_ｋ］の基本分解（これら２つの基本分解をテーブルＤ_ｌにおいて読出す）から、Ｒ_ｋの中間分解を判断する。
先の変形と比較して

の分母に関する中間分解の判断および蓄積（テーブルＰ）に代わり、商Ｒ_ｋの中間分解を判断し、次いで蓄積する（このためにテーブルＲを配備する）。テーブルＰのゼロへの初期化をこの比の指数に関するテーブルＲのゼロへの初期化により置換する。ステップＣ−３はテーブルＲを更新する（（ｎ−１−ｋ）およびｗ［ｄ_ｋ］の基本分解指数を読むことにより）簡単なステップとなり、これを次式で表す。

蓄積の選択肢により、ｍ_ｌ！の加算と減算またはｍ_{（ｎ−１−ｋ）！}の加算（対応して

の減算）またはｍ_{（ｎ−１−ｋ）}の加算（対応して

の減算）すら、またはｗ［ｄ_ｋ］および（ｎ−１−ｋ）のゼロでない指数についてのみ：ｍ’_{（ｎ−１−ｋ）}の加算および

の減算により、この更新を行うことができる。この場合、ステップＣ−８は以下のタイプの加算のみを含む。

蓄積の選択肢により、ｍ_ｎ！の加算または

の加算、または

の加算すら、またはＳ_ｋのゼロでない指数についてのみ：

の加算を次いで計数する。
この比Ｒ_ｋは必ずしも整数ではなく、これは指数Ｒ［ｉ］が負でありうることを意味することを注記することにする。この変形では、符号化における階乗分解（それ故テーブルＤ_ｌ！）は最早有用ではなく、ただテーブルＤ_ｌのみの蓄積により整数ｌ（ｌ≦ｎ）の簡単な（ｎ＋１）の基本分解セットを使用することができる。

分解指数のコンパクトな表現

次に、分解指数のコンパクトな表現に基づく符号化の第２の実施形態の説明に進む。
基本分解指数はコンパクトに表現され、第１の実施形態を参照して本明細書で以上に説明したような分解相互関係形式では最早ない。簡明さのため、単一ワードに指数のコンパクトな表現を含む場合のみを説明する。それ故本明細書で以上に説明したように（ｎ＋１）セルを持つそれぞれＤ’_ｌおよびＤ’_ｌ！と表示する２つのテーブルにｌ＝０に対するダミーワードの蓄積と共にこれらのワードを蓄積する。ｌ！（対応してｌ）の分解ワードを読むために全て必要なことは、テーブルＤ’_ｌ！（対応してＤ’_ｌ）のアドレスｌを指示することであるので、基本分解指数を含むこれら２つのワードテーブルにおけるアドレス計算は直接的である。
ｌ＝０に対するダミーワードの蓄積のない、基本分解ｌ（ｌ＞０である）に対応するワードはテーブルＤ’_ｌのアドレス（ｌ−１）にあることを注記することにする。

第２の実施形態による符号化

初期化

・Ｐ_ｋのｍ_ｎ！の中間分解指数のコンパクトな表現を含むワードｅ_Ｐをゼロに初期
化する：ｅ_Ｐ＝０
ワードｅ_Ｐを各位置に関して更新することにする（以下のステップＣＣ−３）。
・以前のように、各位置において更新することにする（本明細書の以下のステップＣＣ
−２）ｑセルを有するテーブルｗに蓄積するランクｔおよびｑの重みｗ_ｋ ^ｄをまた値ゼ
ロに初期化する。対応する命令は以下の通りである：
・ｔ＝０
・ｗ［ｉ］＝０、０≦ｉ＜ｑ
・ｋ＝ｎ−１

ｎ位置に関する反復（ｋに関するループ）

次に、図６を参照して、この第２の実施形態における符号化の主ステップに進む。図６のステップＣＣ−ｎの記法の文字「ＣＣ」は「コンパクトな表現」による「符号化」を示す。
ステップＣＣ−１で、変数ｄ_ｋを読む。ステップＣＣ−２は構成上変数ｗの更新を含む：ｗ［ｄ_ｋ］＝ｗ［ｄ_ｋ］＋１
ステップＣＣ−３はワードｅ_Ｐの特に以下による更新である：
−ステップＣＣ−３１のテーブルＤ’_ｌにおけるｗ［ｄ_ｋ］の分解指数のコンパクトな表現を含むワード

の読み取り、次いで
−ステップＣＣ−３２におけるワードｅ_Ｐ自体の更新

平行してステップＣＣ−４で、総和Ｓ_ｋを計算する。

次ステップＣＣ−５はＳ_ｋ値に関する検査である。総和Ｓ_ｋがゼロであれば（矢印Ｎ）、指標ｋを直ちに減分する。その他の場合（検査ＣＣ−５の出口の矢印Ｙ）、ステップＣＣ−６のテーブルＤ’_ｌにおけるＳ_ｋの分解指数のコンパクトな表現を含むワード

の読出しにより、処理は継続する。
平行して（有利には検査ＣＣ−５の結果に応じて）、（ｎ−１−ｋ）！の指数のコンパクトな表現を含むワードｅ_{（ｎ−１−ｋ）！}をステップＣＣ−７でテーブルＤ’_ｌ！において読む。
ステップＣＣ−８で、種々のステップＣＣ−３、ＣＣ−６、ＣＣ−７から得る結果を共にグループ化し、以下の２つの簡単な演算（好ましくは加算続いて減算）により部分ランク

の分解のコンパクトな表現を含むワード

を計算する。

以前に説明したようにワードビットの適するオフセットにより、ステップＣＣ−９は部分ランク

の、ワード

に含むｍ_ｎ！の分解指数

の抽出を目的とする。このため、１乃至ｍ_ｎ！の範囲の指標ｉに関するループを配備する（１へのｉの初期化ＣＣ−９１、ｉの値の検査ＣＣ−９３およびｉがｍ_ｎ！の値に達するまでの増分ＣＣ−９４）。次いで、ｉの各ループは自らに以下のタイプの命令ＣＣ−９２を適用した。

記法「≪ｂ」および「≫ｂ」はそれぞれｂビットの左シフトおよび右シフトを示すことが思い出されるであろう。その上、記法「＆」はビット毎の「ＡＮＤ」論理演算を示す。命令ｉ’１）は

のｂ_ｎ ^ｉの低順位ビットを回復することにある。実際には、命令「（（１≪ｂ_ｎ ^ｉ）−１）」に対応するマスクをハードにより布線する。
換言すれば、高順位ビットのマスク（（１≪ｂ_ｎ ^ｉ）−１）を初めに（１に等しいループ指標ｉに対して）適用し、まず第１の素因数ｐ_１に関連する

の指数を付与する

のｂ_ｎ ^１の低位順位ビットのみを回復する。
次いで、
−

のビットをｂ_ｎ ^１だけ「右に」シフトし、高順位ビットの次の素因数ｐ_２に関連する指数を付与する（マスク（（１≪ｂ_ｎ ^ｉ）−１））最高順位ビットを回復し、
−次いで、指数

を抽出し、
−次いで、ｂ_ｎ ^２ビットの右シフトを適用し、
−ｉ＝ｍ_ｎ！まで継続する。
次のステップＣＣ−１０は以下のように部分ランクＩ_ｋ ^ｄｋを計算することにある。

次いで、部分ランクＩ_ｋ ^ｄｋを全ランクｔに加える（ステップＣＣ−１１のｔ＝ｔ＋Ｉ_ｋ ^ｄｋ）。
指標ｋの値を次ステップＣＣ−１２において減分し（ｋ＝ｋ−１）、この減分した値によりステップＣＣ−４、ＣＣ−１、ＣＣ−７および後続のステップを再開する前に、ｋの値が−１に達していないか（ｋ＜０）を確かめるために検査ＣＣ−１３において調査を実行し、−１になっている場合は処理を終了する（ステップＣＣ−１４）。

このように分解表現とは独立に、本発明は部分ランクを効果的に計算することを可能にする。ステップＣＣ−１０は先行ステップＣＣ−８およびＣＣ−９において判断したその分解からの部分ランクの計算を目的とする。３つの（項（ｎ−１−ｋ）！、Ｓ_ｋおよびＰ_ｋの）中間分解を使用する。ステップＣＣ−６およびＣＣ−７で実行するその内の２つ（（ｎ−１−ｋ）！およびＳ_ｋ）の判断はテーブルＤ’_ｌ！およびテーブルＤ’_ｌにおけるそのコンパクトな表現の簡単な読出しにある。ステップＣＣ−３で実行する第３の中間分解（Ｐ_ｋ）の判断は、またテーブルＤ_ｌの読出しに続く、読出した基本分解のコンパクトな表現の加算によるこの中間分解のコンパクトな表現の更新を必要とする。
以前に示したように第１の実施形態を参照して、値ｍ_ｎ！（０≦ｌ≦ｎ）の蓄積はステップＣＣ−９およびＣＣ−１０の複雑度の削減を可能にする。部分ランクＩ_ｋ ^ｄｋに関する分解指数の抽出ループをｍ_ｎ！回に代わってｍ_{（ｎ−１−ｋ）！}回実行する。同様に、ステップＣＣ−１０は最早乗算ｍ_ｎ！ではなく、乗算ｍ_{（ｎ−１−ｋ）！}を含む。

次に、本発明を使用する置換ランクの復号化に関する説明に進む。
ここで再び、基本分解表現の解決法に応じる幾つかの（分解相互関係またはコンパクトな）変形がある。復号化の第１の実施形態に関する説明に進み、これは分解相互関係分解表現を使用する符号化および以上に提示した表４ｄに関係する第４の解決法によるその蓄積について本明細書で以上に説明した第１の実施形態に似る。例としてシャルクビックアルゴリズムを採用する置換ランクの復号化に本発明が完全に適用できることが明らかになるであろう。

第１の実施形態による復号化

分解指数の分解相互関係表現を使用する復号化は好ましくは以下のようにデータの初期化により始まる。

初期化

・値ｗのテーブルをｑの重みｗ_０ ^ｄにより初期化する（以下で説明することにするステ
ップＤ−１９の各位置に関するループの終わりでｗを更新する）。適する命令は以下の
タイプでありうる：
・ｗ［ｉ］＝ｗ_０ ^ｉ、０≦ｉ＜ｑ
・項Ｐ_０のｍ_ｎ！の分解指数を計算する（下記ステップＤ−１８の各位置に関するルー
プの終わりの各位置でまた更新するｍ_ｎ！のセルを有するテーブルＰに蓄積する）。適
する命令は以下のタイプでありうる：
・１≦ｉ≦ｍ_ｎ！についてＰ［ｉ］＝０
・ｄ＝０乃至ｑ−１のループ
・テーブルＤ_ｌ！における

のｍ_ｎ！の分解指数

の読出し、次いで

・最後に、ｋ＝０に初期化する。
次に図７を参照して、第１の実施形態による復号化の主ステップに進む。図７のステップＤ−ｎの記法における文字「Ｄ」は「復号化」を表す。

ｎ位置に関する反復（指標ｋに関するループ）

第１のステップＤ−１はテーブルＤ_ｌ！における（ｎ−１−ｋ）！のｍ_ｎ！の分解指数

を読出すことにある。
次ステップＤ−２は値ｄ_ｋ＝０およびＩ_ｋ ^ｄｋ＝０を設定する。
次いで、ｗ［ｄ_ｋ］≠０であるようなアルファベットのｄ_ｋに関する第１の値の検索に進む。このため、ｗ［ｄ_ｋ］＝０であるかを調べる検査Ｄ−３を配備し、該当する場合（矢印Ｙ）、ｄ_ｋの値を増分し（ｄ_ｋ＝ｄ_ｋ＋１）、ゼロでないｗ［ｄ_ｋ］の値を見つけるまで検査Ｄ−３を反復する。この値が見つかれば（ｗ［ｄ_ｋ］≠０の場合矢印Ｎ）、次ステップはランクｔの値に関する検査Ｄ−５である。ランクがゼロであれば（検査Ｄ−５の出口の矢印Ｙ）、Ｐ_ｋの指数を更新する（ステップＤ−１８）まで以下のステップを適用するのは無意味である。ランクがゼロでなければ（検査Ｄ−５の出口の矢印Ｎ）、処理を後続のステップＤ−６およびＤ−７により継続し、これらのステップでそれぞれＳ_ｋ＝０および中間値Ｉ_ｋをＩ_ｋ＝Ｉ_ｋ ^ｄｋに設定する。

次ステップＤ−８は総和Ｓ_ｋ＝Ｓ_ｋ＋ｗ［ｄ_ｋ］を更新する計算である。Ｓ_ｋであることが判明する総和のｍ_ｎ！の分解指数

に関するテーブルＤ_ｌの読出し（ステップＤ−９）が次ステップＤ−８に続く。
ステップＤ−１０は、１≦ｉ≦ｍ_ｎ！である関係式

の部分ランク分解指数

の計算を目的とする。現ループの終わりで、および次ループに対して後に説明することにするステップＤ−１８で、上記のように初期化する指数Ｐ［ｉ］を更新する。
ステップＤ−１１は部分ランクの計算

を目的とする。
次の３ステップは、全ランクｔの値の部分ランクの値との比較による全ランクｔの値に関する検査を目的とする。これを行うためにステップＤ−１２で、ｄ_ｋの値を増分し（ｄ_ｋ＝ｄ_ｋ＋１）、検査Ｄ−１３は次の通りである：ｔ−Ｉ_ｋ ^ｄｋ≧０？。
不等式を満たせば（矢印Ｙ）、ステップＤ−７乃至Ｄ−１３を新しく増分したｄ_ｋの値により反復する。その他の場合（矢印Ｎ）、ステップＤ−１２の前のｄ_ｋの値に戻るために、ｄ_ｋの値を減分する（ｄ_ｋ＝ｄ_ｋ−１）ステップＤ−１４により処理を継続する。このｄ_ｋの値に対し、部分ランクＩ_ｋ ^ｄｋは上述の中間値Ｉ_ｋを取る（ステップＤ−１５で、Ｉ_ｋ ^ｄｋ＝Ｉ_ｋ）。
次いで、ランクｔを更新し、ランクｔはｔ＝ｔ−Ｉ_ｋ ^ｄｋとなり（ステップＤ−１６）、テーブルＤ_ｌにおけるｗ［ｄ_ｋ］のｍ_ｎ！の分解指数

の読出し（ステップＤ−１７）から、Ｐ_ｋの指数を（テーブルＰにおいて）更新し、続けて１≦ｉ≦ｍ_ｎ！に対し指数自体を

により更新する（ステップＤ−１８）。次いで、ｗ［ｄ_ｋ］の値を減分し（ｗ［ｄ_ｋ］＝ｗ［ｄ_ｋ］−１：ステップＤ−１９）、指標ｋの値を増分（ｋ＝ｋ＋１：ステップ２０）し、次のループに備える。
第１のステップＤ−１にループにより戻る前に、ｎ構成要素を全て処理していないことを確認するために調査を実行する。このために、ｋの値のｎとの比較（ｋ＜ｎ）によるｋの値に関する検査Ｄ−２１を配備する。指標ｋが値ｎに達しない限り（検査Ｄ−２１の出口の矢印Ｙ）、ｋの次の値についてステップＤ−１において処理を再開する。その他の場合（検査Ｄ−２１の出口の矢印Ｎ）、ステップＤ−２２の終わりで処理を終了する。

ステップ１１はそれぞれの項（ｎ−１−ｋ）！、Ｓ_ｋおよびＰ_ｋの３つの中間分解からステップ１０で判断したその分解の使用による部分ランクの計算を目的とすることを思い出すべきである。ステップＤ−１およびＤ−９で実行するそのうちの２つ（（ｎ−１−ｋ）！およびＳ_ｋ）の判断は構成上それぞれのテーブルＤ_ｌ！およびＤ_ｌにおける簡単な読出しを含む。テーブルＤ_ｌの読出し（ステップＤ−１７）に続く読出した（ステップＤ−１８）基本分解指数の減算によるこの中間分解指数による更新により、またステップＤ−１８で実行した第３の中間分解（Ｐ_ｋ）の判断を実行する。この中間分解の本明細書で以上に説明した初期化はテーブルＤ_ｌ！のｑの読出しに続く読出したｑの基本分解指数の加算によるこの中間分解指数による更新を必要とする。

本明細書で以上に説明した符号化に関しては、図７の処理は、適する場合一定のステップの複雑度を削減する変形を可能にする。
比Ｒ_ｋの指数の使用（前記のように）を含む変形には特に関心を持てる。要するに、図７を参照して本明細書で以上に説明した復号化処理演算では、所与の位置ｋについてｄの幾つかの値に対する指数

を計算する。検査するｄの各値について、その他の変形は各指数に対する減算および加算を必要とする。

一方、総和Ｓ_ｋおよびその指数

のみが所与の位置ｋに関してｄにより変化するので、比Ｒ_ｋの指数を使用する変形は加算

のみを必要とする。

第２の実施形態による復号化

次に、図８を参照して分解のコンパクトな表現を使用する復号化の実施例の説明に進む。
まず、データを以下のように初期化する。

初期化

・まず、ｑのセルを有するテーブルを参照して、０≦ｉ＜ｑに対する項ｗ［ｉ］＝ｗ_０
^ｉを判断するべきである。
・Ｐ_ｋのｍ_ｎ！の分解指数のコンパクトな表現を含むワードｅ_Ｐを計算する。このため：
・ｅ_Ｐ＝０を設定し、
・ｄ＝０乃至ｑ−１に対するループを配備し：
・ループはテーブルＤ’_ｌ！にｗ_０ ^d！の指数ｍ_ｎ！のコンパクトな表現を含むワー
ド

の読取り、および

・の更新を伴い、
・次いで、ｋ＝０に設定する。

ｎ位置に関する反復（ｋに関するループ）

図８のステップＤＣ−ｎの記法における文字「ＤＣ」は「コンパクトな表現」による「復号化」を示す。
ステップＤＣ−１はテーブルＤ’_ｌ！において項（ｎ−１−ｋ）！の指数ｍ_ｎ！のコンパクトな表現を含むワードｅ_{（ｎ−１−ｋ）！}の読出しにある。
ステップＤＣ−２乃至ＤＣ−８は図７を参照して本明細書で以上に説明したステップＤ−２乃至Ｄ−８に類似である。
他方ステップＤＣ−９では、テーブルＤ’_ｌに総和Ｓ_ｋのｍ_ｎ！の指数のコンパクトな表現を含むワード

を読む。
次いでステップＤＣ−１０で、部分ランクＩ_ｋ ^ｄｋの指数のコンパクトな表現を含むワードを好ましくは以下のように計算する。

汎用ステップＤＣ−１１はグローバルに部分ランクＩ_ｋ ^ｄｋの指数の抽出にある。このため、次の配備を行う。
−ｉ（１≦ｉ≦ｍ_ｌ！）に関するループ（ＤＣ−１１１におけるｉ＝１の初期化、本明細書で以下に説明する指数

の抽出（ステップＤＣ−１１２）後、値ｍ_ｎ！に達するまで指標ｉを増分して（ステップＤＣ−１１４）ループ指標ｉを値ｍ_ｎ！と比較する（ステップＤＣ−１１３））。
−指数

の抽出（ステップＤＣ−１１２）を：
マスク（（１≪ｂ_ｎ ^ｉ）−１）による

の高順位ビットのマスク化によるコンパクトな指数

の低順位ビットにおいて以下のように表し：

このマスク化に以下のコンパクトな指数

のｂ_ｎ ^１の「右」シフトが続く。

この汎用ステップＤＣ−１１は符号化のための図６の汎用ステップＣＣ−９に類似である。
ステップＤＣ−１２乃至ＤＣ−１７は、それ自体分解相互関係表現における復号化に特定の図７を参照する本明細書で以上に説明したステップＤ−１１乃至Ｄ−１６に類似である。
他方、テーブルＤ’_ｌ！にｗ［ｄ_ｋ］のｍ_ｎ！の指数のコンパクトな表現を含むワード

の読出しにより、汎用ステップＤＣ−１８におけるＰ_ｋの指数（テーブルＰ）の更新をステップＤＣ−１８１で行い、次いでＰ_ｋの指数の更新自体

をステップＤＣ−１８２で実行する。
次いで、ステップＤＣ−１９乃至ＤＣ２２は、分解相互関係分解を使用する復号化に特定の図７のステップＤ−１９乃至Ｄ−２２に類似である。

次に、本明細書で以上に説明した変形により提供する種々の利点の説明に進む。
ｍ_ｎ！（および／またはｍ_ｌまたはｍ’_ｌ）のテーブルを使用する分解相互関係表現による第１の実施形態の変形は、値ｍ_ｎ！のテーブルのみを使用する主実施形態よりさらに少ない加算／減算演算を含む。
この場合、複雑度の削減は何にもまして最後の位置（即ち、ｍ_{（ｎ−ｋ）！}、ｍ’_ｌまたはｍ_ｌがｍ_ｎ！より小さい場合）において大きい。にもかかわらず、複雑度のこの削減はメモリ読出しステップ（ステップＣ−３１、Ｃ−６およびＣ−７）の複雑度の増加を伴う。読み出すべき値は少ないが、他方でアドレス計算がより複雑である。
この場合、関心の持てるトレードオフは（ｍ_ｎ！の指数を持つ）基本分解の規則的な蓄積を含み、テーブルＤ_ｌおよびＤ_ｌ！のアドレス指定を容易にし、次いで（ｎ＋１）セルを持つテーブルＤ_ｍに値ｍ_ｌ！を蓄積する。次いで、値ｍ_ｌを蓄積し、加算／減算の数を効果的に削減するべきである。とはいえ、この測定はステップＣ−６およびＤ−９（対応してＣ−３およびＤ−１９）の前に値ｍ_Ｓｋ（対応してｍ_{ｗ［ｄｋ］}）の読出しを必ず伴うが、一方値ｍ_{（ｎ−ｋ）！}はｋに関する各反復の開始時にのみ読まねばならない。

その上、分解相互関係表現に比しコンパクトな表現が提供する利益は以下の通りである。
−次に、テーブルＰを更新するステップは符号化（対応して復号化）では単一の加算（対応して減算）以上を含まない。
−指数

の計算は、また単一の加算および単一の減算のみを必要とする。
−ワードｅ_Ｋを読むアドレス計算は直接的であり、各値Ｋに対し単一のメモリアクセスおよび読出しのみを必要とする。
一方、コンパクトな表現はワード

に含む部分ランクＩ_ｋ ^ｄｋの指数の抽出（ステップＣＣ−９およびＤＣ−１１）を必要とする。
一方、本明細書の以下で分かるように、部分ランクの素因数分解からの計算に取り、この演算は必ずしも欠点ではない。

次に、素因数分解からの部分ランクの計算のこのような変形の利点に関する説明に進む。
符号化における（対応して復号化における）ステップＣ−９およびＣＣ−１０（対応してＤ−１１およびＤＣ−１２）の意味する素因数累乗積の計算ステップの複雑度は、従来技術の意味する除算より遥かに小さい複雑度に留まるとはいえ、因数の数と共に大きく増加する。次に、部分ランクの多くの分解指数は実際にはゼロであり、それ故対応する累乗はまた１にある。多くの場合、全指数がゼロであるかまたは第１の指数のみがゼロでない。それ故、ゼロでない指数の累乗のみを検出し、維持することが有用である。詳細な表現では、この検出を検査ｍ_ｎ！または検査ｍ_{（ｎ−１−ｋ）！}（各素因数に対し１回）のみにより実行することができる。

有利には、コンパクトな表現は単一の検査により全指数がゼロであるか

の検査を可能にし、該当する場合ランクｔ’＝１である。さらに、ｅ_ｔ’の高順位ビットの検出はランクｔ’における最大のゼロでない指数の素因数指標の獲得、および符号化における（対応して復号化における）ステップＣ−９（対応してＤＣ−１１）のループ反復数の削減を可能にする。
にもかかわらず、コンパクトな表現におけるように詳細な表現では、ゼロでない指数の検出は複雑度を増すことに留意すべきである。全指数がゼロでなければ、素因数の累乗乗算の複雑度は同じに留まり、この複雑度はその場合ゼロでない指数の検出手順の複雑度により倍加する。
従って第１の変形では、素因数の可能な数が大きくなり（ｋがｎより遥かに小さい）、その累乗乗算の複雑度が検出手順の複雑度より大きい場合にのみ、ゼロでない指数の検出を行うことができる。このため、命令行の増加の犠牲においてこの実施を適用するとしても、位置により異なるループを配備することが出来る。
分解相互関係表現およびコンパクトな表現を結合することがまた可能である。最終位置（小さい値ｍ_ｌ！）に対する中間分解の計算は演算を殆ど伴わない。その場合、分解相互関係表現の使用が好都合であり、この表現は部分ランク指数の抽出を必要としない。他方第１の位置の場合、コンパクトな表現の使用がより好都合である。

次に、既存の符号化／復号化における幾つかの実施例の説明に進む。

３ＧＰＰ ＡＭＲ−ＷＢ＋符号化器
３ＧＰＰ ＡＭＲ−ＷＢ＋符号化器（規格［３ＧＰＰＴＳ２６．３０４］）は代数ベクトル量子化を使用し、その辞書は次元８を有するゴセットネットワークＲＥ_８の置換符号結合である。
ＴＣＸ技術は変換による予測符号化に対応する。より詳細には、ＴＣＸ技術は知覚重みフィルタリングの後に適用するＦＦＴ変換符号化法を含む。規格［３ＧＰＰＴＳ２６．３０４］では、得られるＦＦＴスペクトラムを次元ｎ＝８の下位帯域（または補助ベクトル）に細分化し、これらの補助ベクトルを個別に符号化する。補助ベクトルの量子化にはポイントの正規ネットワークＲＥ_８を使用する。次元８の量子化辞書は構成上ポイントのネットワークＲＥ_８から得るタイプＩの置換符号結合を含む。
規格［３ＧＰＰＴＳ２６．３０４］によるＴＣＸ符号化器では、各置換符号は次元ｎ＝８における所与の符号付先導ベクトルに対応する。ネットワークＲＥ_８のポイントの量子化指標を以下のタイプの公式により計算する：
指標＝基本オフセット＋置換ランク
基本オフセットはテーブル化されているが、ランクはシャルクビック公式により計算する。にもかかわらず、これら符号付先導をその絶対先導により表し、置換符号における蓄積および検索を最適化する。関連する絶対先導リストは以下の参考文献に見ることができる。
ラゴット Ｓ、べセット Ｂ、ルフェーブル Ｒ著「３２ｋビット／秒における広帯域ＴＣＸ通話符号化に適用する低複雑度多元速度格子ベクトル量子化」ＩＣＡＳＳＰ論文集、１巻、ＰＰ．５０１−４、２００４年５月

本発明の種々の変形を示すために、３つの実施例を以下で説明する。最初の２つの実施例は置換ランクの計算（符号化）に関係し、一方は分解相互関係分解表現を使用し、他方はコンパクトな表現を使用する。
本明細書の以下のおよび対応する付録のこれらの実施例では、テーブルＲおよびＰをＲ［０］からＲ［ｍ_ｎ！−１］へおよびＰ［０］からＰ［ｍ_ｎ！−１］へ指標指定するが（本明細書の以上の例により説明するように１からｍ_ｎ！へではなく）、ランク計算処理には特定の影響はない。

第１の実施例（符号化）

この実施形態では、分解相互関係基本分解表現を使用する。
その指数を３６セル（＝（８＋１）×４）を持つ２つのテーブルに蓄積する。これらは付録Ａ−１１に提示し、Ｄ_ｌ［３６］（それ故０のダミー分解の蓄積を伴う整数ｌ（０≦ｌ≦８）の分解指数を含む）およびＤ_ｌ！［３６］（その階乗分解指数を含む）と表示するテーブルである。
３、５および７の累乗の３つのテーブルをまた以下のように蓄積する：
Ｐｏｗ３［４］＝｛１、３、９、２７｝；Ｐｏｗ５［３］＝｛１、５、２５｝；
Ｐｏｗ７［３］＝｛１、７、４９｝

この実施形態では、一方が整数の基本分解Ｓ_ｋであり、他方が商の中間分解である２つの中間分解から、部分ランク分解を判断する。

以上に示すように、（７−ｋ）！および

の基本分解（ｑ＋１）に対応する基本分解からＲ_ｋの中間分解を判断するよりむしろ、Ｒ_ｋ＋１の中間分解および（７−ｋ）および

の２つの基本分解から、この中間分解を判断する。

本発明は以上の表１１において各位置に対して示すｍ_{（７−ｋ）！}および

の最大値に関する知見を適用し、これらの限界より大きな指標を持つ素因数指数を計算しないようにする。

対応する処理を付録Ａ−１２に提示する。位置に関するループを分解して相互関係を表示することを注記することにする。また、商の素因数指数ｐ_ｉを４セルを持つテーブルＲが有するセルＲ［ｉ−１］に蓄積することを注記することにする。

第２の実施例（符号化）

３ＧＰＰ ＡＭＲ−ＷＢ＋符号化器による変形では、基本分解をコンパクトに表現する。その指数を含むワードを９セル（＝（８＋１））を持つ２つのテーブルに蓄積する。付録Ａ−２１を参照すると、テーブルＤ’_ｌは整数ｌ（０≦ｌ≦８）の分解のためのワードを含み（それ故ｌ＝０の分解のダミー蓄積を伴い）、テーブルＤ’_ｌ！はその階乗分解のためのワードを含む。
３、５、および７の累乗をまた（使用しない累乗の０のダミー蓄積を伴う）１２セルを持つテーブルＰｏｗ［１２］に蓄積する。
２つが整数Ｓ_ｋおよび階乗（７−ｋ）！の基本分解であり、第３の中間分解が部分ランクの分母の中間分解である３つの中間分解から、部分ランクの分解を判断する。

以前に示したように

の基本分解ｑからＰ_ｋの中間分解を判断するよりむしろ、Ｐ_ｋ＋１の中間分解からおよび

の基本分解から、この分解を判断する。４つのこの中間分解指数を含むコンパクトなワードを付録Ａ−２２で「ｅＰ」と表示する。また、「ｅｌ」は４つの部分ランク分解指数を含むコンパクトなワードを表示する。
ここで再び、ｍ_{（７−ｋ）！}に関する知見を適用し、部分ランク分解を表現するコンパクトなワード指数ｍ_{（７−ｋ）！}のみを抽出する。

対応する処理は付録Ａ−２２の主題である。ここで再び、位置に関するループを分解して相互関係を表示する。

第３の実施例（復号化）

第３の実施例は３ＧＰＰ ＡＭＲ−ＷＢ＋符号化における置換ランクの復号化を扱う。
第１の実施例におけるように基本分解の分解相互関係表現を好ましくは使用し、第２の実施例におけるように３つの項の部分ランク分解を好ましくは使用する。しかしながら位置に関するループは分解相互関係表示しない。
以前に示したように基本分解からＰ_ｋの中間分解を判断するよりむしろ、Ｐ_ｋー１の中間分解からおよび

の基本分解から、Ｐ_ｋの中間分解を判断する。４つのこの中間分解指数をテーブルＰに蓄積する。同様にＰ_ｋの中間分解からおよび（７−ｋ）！の基本分解から、別の中間分解（商の中間分解）を計算し、その指数をテーブルＲに蓄積する。
対応する処理は付録Ａ−３の主題である。商の（対応して積の）素因数指数ｐ_ｉの指数を４セルを持つテーブルＲ（対応してＰ）のセルＲ［ｉ−１］（対応してＰ［ｉ−１］）に蓄積する。

従って、本明細書の以上の第１の例は（商を含む）２つの項の部分ランク分解を使用し、他の２つの例は３つの項（分子の２つおよび分母の１つ）の分解を使用する。２つの符号化モードは個別の位置処理を使用し、ゴセットネットワークのポイントの８つの位置に関するループの分解相互関係表示によるアルゴリズムにおいて読出さず、ハードウェアにより布線するｍ_ｌ！または_ｍｌの項を使用するが、復号化モードはｍ_８！（＝４）の項のみを使用する。

ＴＤＡＣ符号化器の実施例

最後の実施例は、１６ｋＨｚ（広帯域）でサンプル化するディジタルオーディオ信号の符号化に使用する出願者のＴＤＡＣ知覚周波数符号化器に関係し、その原理を本明細書で以下に説明する。

ＴＤＡＣ符号化器は可変次元およびリゾリューション並びに最大次元１５を持つ統計的ベクトル量子化を使用する。
次元８を持つポイントの正規ネットワークＲＥ_８の置換符号の場合、本発明は本質的に複雑度の削減を可能にする。一方１２より大きな次元の置換符号を使用するＴＤＡＣ符号化器の場合、本発明は非常に有利であることを証明するが、これは本発明が複雑度の削減のみならず、また固定点プロセッサに関する符号化器の実施を可能にし、その最大精度を符号のない３２ビットの整数に限定するからである。本発明がなければ、このような実施は極めて複雑であろう。

この符号化器の原理は以下の通りである。
帯域幅を７ｋＨｚに制限し、１６ｋＨｚでサンプル化するオーディオ信号を３２０サンプル（２０ｍｓ）のフレームに細分化する。５０％の重複を持つ６４０サンプルの入力信号ブロック（２０ｍｓ毎のＭＤＣＴ分析のリフレッシュに相当する）に、修正離散コサイン変換（modified discrete cosine transform、「ＭＤＣＴ」）を適用する。最後の３１の係数をゼロに設定する（その場合、最初の２８９の係数のみが０と異なる）ことにより、スペクトラムを７２２５Ｈｚに制限する。マスク化曲線をこのスペクトラムから判断し、全マスク係数をゼロに設定する。スペクトラムを不等幅の３２帯域に分割する。信号の変換係数により任意のマスク帯域を判断する。各帯域のスペクトラムに対し、ＭＤＣＴ係数のエネルギを（測定尺度要因を推定するために）計算する。３２の測定尺度要因は信号スペクトル包絡線を構成し、信号スペクトル包絡線を次いで量子化、符号化し、フレームで送信する。ビットの動的割当はスペクトル包絡線の量子化解除バージョンから計算する各帯域のマスク化曲線に基づき、符号化器および復号化器のバイナリ割当間の両立性を得るようにする。タイプII置換符号結合を構成上含む辞書である、サイズに応じてネスト化する辞書を使用するベクトル量子化器により、各帯域にける規格化ＭＤＣＴ係数を次いで量子化する。最後に、トーンおよび音声情報、スペクトル包絡線並びに符号化係数を多重化し、フレームで送信する。

置換ランク（符号化）に関する計算の実施例はここでコンパクトな分解表現を使用する。使用する置換符号の次元は可変であり、位置に関するループは分解相互関係を表示しない。この実施形態は部分ランク分解のゼロでない指数の検出法を示す。
ここで、基本分解をコンパクトに表現する。その指数を含むワードを１６セル（＝（１５＋１））を持つ２つのテーブルに蓄積する。付録Ｂ−１で、テーブルＤ’_ｌは整数ｌ（０≦ｌ≦１５）の分解のためのワードを含み、テーブルＤ’_ｌ！はその階乗分解のためのワードを含む。
３の累乗をまた８セルを持つテーブル（Ｐｏｗ３と表示）に蓄積し、５、７、１１、および１３の累乗を２０セル（使用しない累乗のための０のダミー蓄積を伴う）を持つテーブル（Ｐｏｗと表示）に蓄積する。

対応する処理を付録Ｂ−２において再度書き換える。

勿論、本発明は例により本明細書で以上に説明した実施形態に限定しない。本発明は他の変形を包含する。

出願者の知見では、本発明は置換符号における素因数累乗分解の最初の使用を含む。一方置換符号によるベクトル量子化におけるように結合表現の計算を配備する場合、この使用は特に有利である。従って一般に、本発明は置換ランクとは異なるが１つまたは複数の置換符号による符号化／復号化における任意の結合表現にこの素因数累乗分解を使用することを目的とする。

本発明は、通話信号の符号化／復号化、例えば電話端末、特にセルラーにおいて有利に適用可能である。とはいえ、本発明はあらゆるタイプの信号、特にイメージまたはビデオ信号の符号化／復号化および符号化変調に適合する。

本発明はまた置換符号を使用するディジタル信号の符号化／復号化デバイスのメモリに蓄積するように設計するコンピュータプログラムを目的にする。その場合、このプログラムは本発明の意味する方法のステップを実施する命令を含む。典型的に、本明細書で以上に説明した図４乃至図８はこのようなプログラムが含むことのできるアルゴリズムのフローチャートに相当することができる。

本発明はまた置換符号を使用するディジタル信号の符号化／復号化デバイスを目的にし、図９を参照して、
−上述のタイプのコンピュータプログラム命令および選択する整数の事前記録分解表現を蓄積するメモリユニットＭＥＭおよび、
−本発明の意味する方法を実施するこのメモリユニットＭＥＭにアクセスする計算モジュールＰＲＯＣ
を含む。

これらの手段ＭＥＭ、ＰＲＯＣを設計し、
・ソース符号化器の指標指定モジュールにおいて、または
・チャネル復号化器の指標指定モジュールにおいて
・選択する符号ベクトルｙから置換ランクｔを供給し（図９の実線の矢印）、
・ソース復号化器の復号化モジュールの、または
・チャネル符号化器の符号化モジュールの
・置換ランクｔから再構築する符号ベクトルｙを供給することができる（図９の破線の矢印）。

勿論、メモリＭＥＭに事前記録する表現はアドレスの内容形式（分解相互関係表現）またはビットワード形式（コンパクトな表現）でありうる。

付録

ＭＥＭ メモリユニット
ＰＲＯＣ 計算モジュール

Claims (8)

1. 結合表現の計算を含む置換符号を使用するディジタル信号の符号化／復号化方法であって、
   前記結合表現を素因数累乗分解により表し、選択する整数の事前記録分解表現をメモリから読出すことにより判断し、
   前記結合表現の少なくとも１つが整数の分子の整数の分母による商を含み、前記商を素因数累乗分解により表し、該素因数累乗分解の各累乗が前記分子および前記分母とそれぞれ関連し、１つのかつ同じ素数に割当てられる指数の差分であることを特徴とする方法。
2. 請求項１に記載の方法において、本方法が、結合表現の前記計算に対し、
   −前記結合表現を形成する積および／または商に現れる項を前記選択する整数から特定するステップと、
   −前記項の前記素因数分解に含む指数をメモリにおいて読出すステップと、
   −前記読出した指数を加算および／または対応して減算し、前記結合表現の前記素因数累乗分解に含む前記指数を判断し、そのことからその素因数累乗分解から前記結合表現を計算するステップ
   を含むことを特徴とする方法。
3. 請求項２に記載の方法において、以前の再起で判断した積を乗算する項を各再起に含む積の計算の再起ステップ含み、
   −以前の再起で判断した前記積を素因数累乗分解の前記形式でメモリに保持し、
   −前記積を乗算する前記項が前記分解を事前記録する前記選択する整数の１つであり、
   −以前の再起で判断した前記積および前記積を乗算する前記項の前記それぞれの分解から導出する前記指数を共に各素数について１つずつ加算し、現再起の前記積を判断する、
   ことを特徴とする方法。
4. 請求項２に記載の方法において、以前の再起で判断した商を除算する項を各再起に含む除算の計算の再起ステップ含み、
   −以前の再起で判断した前記商を素因数累乗分解の前記形式でメモリに保持し、
   −前記商を除算する前記項が前記分解を事前記録する前記選択する整数の１つであり、
   −前記項の前記分解から導出する前記指数を以前の再起で判断した前記商の前記分解から導出する前記指数から各素数について１つずつ減算し、現再起の前記除算を判断する、
   ことを特徴とする方法。
5. 請求項１に記載の方法において、前記置換符号が、各部分ランクが前記結合表現の１つに対応する部分ランクの累積を含む置換ランクを表す量の前記計算を含み、
   前記置換符号がシャルクビック計数を使用し、符号ベクトル（ｙ_０、．．．、ｙ_ｎ−１）の切取り（ｙ_ｋ、．．．、ｙ_ｎ−１）に関連する部分ランク
   

   

   が、
   

   

   により表され、上式で
   

   

   −が０乃至ｍの範囲の整数指標ｉに対する積を表し、
   

   

   −が０乃至ｍの範囲の指標ｉに対する総和を表し、
   −ｌ！がｌ＞０の場合 ｌ！＝１×２×３×．．．×（ｌ−１）×ｌであり、０！＝１である前記整数ｌの前記階乗値であり、
   −前記整数ｎが、符号ベクトルが含む構成要素の前記総数に対応する前記置換符号の前記次元であり、
   −０とｎ−１との間の前記整数ｋが前記符号ベクトルのｋ番目の構成要素ｙ_ｋの前記指標であり、
   −前記整数ｑが、前記符号ベクトルが含む個別構成要素の前記数であり、
   −項ｗ_ｋ ^ｄがｋとｋ−１との間の指標構成要素の前記数を表し、１つのかつ同じ指標構成要素ｄの数に等しい値を有し、
   結合表現として前記部分ランク
   

   

   を形成する積および／または商において特定し、現れる前記整数が、
   −０とｎ−１との間の全ての前記整数ｋに対し前記階乗項（ｎ−１−ｋ）！であり、
   −各項ｗ_ｋ ^ｉの前記値および／または各項ｗ_ｋ ^ｉが０とｎとの間にある前記積Ｐ_ｋ
   

   

   に含まれるその階乗値であり、
   −０とｎ−１との間の全ての前記整数ｋに対し、各項が、１とｎ−１との間にある前記項Ｓ_ｋ
   

   

   である
   ことを特徴とする方法。
6. 請求項５に記載の方法において、前指標ｋに対する前記項Ｐ_ｋ
   

   

   の前記分解における前記指数の前記総和を一時的にメモリに蓄積し、現指標ｋに対する項ｗ_ｋ ^ｉの前記分解指数に、またはから加算または減算することを特徴とする方法。
7. デバイスのメモリに蓄積する置換符号を使用するディジタル信号の符号化／復号化のためのコンピュータプログラムであって、コンピュータプログラムが請求項１に記載する方法の各ステップを実施する命令を含むことを特徴とするコンピュータプログラム。
8. 置換符号を使用するディジタル信号の符号化／復号化デバイスであって、本デバイスが、
   −請求項７に記載するコンピュータプログラムの前記命令および選択する整数の事前記録分解表現を蓄積するメモリユニットと、
   −前記メモリユニットにアクセスし、請求項１に記載する方法を実施する計算モジュール
   を含むことを特徴とするデバイス。

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