JP2009099050A - パラメトリック多目的最適化装置、パラメトリック多目的最適化方法およびパラメトリック多目的最適化プログラム - Google Patents

Abstract

【課題】条件により目的関数が変化する最適化対象の決定変数を短時間で効率良く最適化することが可能なパラメトリック多目的最適化装置、パラメトリック多目的最適化方法およびパラメトリック多目的最適化プログラムを提供する。
【解決手段】条件変数計画部２は、最適化対象６の条件変数の値を予め設定された順序で選択する。多目的進化型アルゴリズム部４は、条件変数計画部２により選択された条件変数の値ごとに多目的進化型アルゴリズムによりパレート最適個体集合を求める。探索履歴記憶部５は、多目的進化型アルゴリズム部４により条件変数の値ごとに得られるパレート最適個体集合を記憶する。個体集合初期化部３は、条件変数計画部２により選択される条件変数の一の値についての初期個体集合を探索履歴記憶部５に記憶される条件変数の他の複数の値についてのパレート最適個体集合の内挿により生成する。
【選択図】図１

Description

本発明は、条件により目的関数が変化する最適化対象のパラメータ（決定変数）を最適化するパラメトリック多目的最適化装置、パラメトリック多目的最適化方法およびパラメトリック多目的最適化プログラムに関する。

本明細書において、最適化とは、最適解または最適に近い解（準最適解）を求めることをいう。

従来、多目的最適化問題と呼ばれる問題クラスが存在する。例えば、ある製品のコストを最小化し、性能を最大化するという問題を考えた場合、これは２つの目的関数の多目的最適化問題となる。この場合、コストおよび性能が２つの目的関数となる。一般的には、コストを下げると性能が悪化し、性能を上げるとコストがかさむというトレードオフの関係が生じるために、多目的最適化問題の解は一つではない。

図２８は多目的最適化問題をエンジンの最適化に適用した例を示す図である。多目的最適化問題をエンジンの燃費およびトルクの最適化に適用する場合、燃費およびトルクが２つの目的関数ｆ₁，ｆ₂である。この場合、燃料噴射量、点火時期等のパラメータを調整することにより目的関数ｆ₁，ｆ₂の値を最適化する。

解Ａは、燃費が解Ｂに比べて優れているが、トルクが解Ｂに比べて劣っている。このように、エンジンの燃費とエンジンのトルクとはトレードオフの関係を有するため、複数の最適解が存在する。使用者は、複数の最適解から目的に合った解を選択することができる。例えば、スポーツ走行に適した自動二輪車に用いるエンジンには解Ａを選択し、ロングツーリングに適した自動二輪車に用いるエンジンには解Ｂを選択する。

一般に多目的最適化問題は、Ｎ個のパラメータについてＭ個の目的関数の値を、各パラメータの制約条件の範囲で最小化する問題と定義される。目的関数の値を最大化する場合は、目的関数に負の符号を付けて目的関数の値を最小化する問題に変換することとする。

このような多目的最適化問題は、一般的に単一の最適解を持たず、パレート最適解と呼ばれる概念で定義される最適解集合を持つ。ここで、パレート最適解とは、ある目的関数の値を改善するためには、少なくとも１つの他の目的関数の値を改悪せざるを得ない解のことをいい、以下のように定義される（例えば、非特許文献１参照）。

〔定義１〕あるｐ個の目的関数ｆ_k（ｋ＝１，・・・，ｐ）の２つの解ｘ１，ｘ２∈Ｆに関して、ｆ_k（ｘ１）≦ｆ_k（ｘ２）（∀ｋ＝１，・・・，ｐ）∧ｆ_k（ｘ１）＜ｆ_k（ｘ２）（∃ｋ＝１，・・・，ｐ）のとき、ｘ１はｘ２に優越するという。ここで、Ｆは解の集合である。

〔定義２〕ある解ｘ０が他のすべての解ｘ∈Ｆに優越するとき、ｘ０は最適解である。

〔定義３〕ある解ｘ０に優越する解ｘ∈Ｆが存在しないとき、ｘ０はパレート最適解（または非劣解）である。

パレート最適解集合を求めることは、目的関数のトレードオフに関して最適な解の集合を求めることになる。

図２９はパレート最適解について説明するための図である。図２９は２つの目的関数ｆ₁，ｆ₂の例を示す。解ａについての目的関数ｆ₁の値ｆ₁（ａ）は解ｂについての目的関数ｆ₁の値ｆ₁（ｂ）よりも小さく、解ａについての目的関数ｆ₂ の値ｆ₂（ａ）は解ｂについての目的関数ｆ₂の値ｆ₂（ｂ）よりも小さい。したがって、解ａは解ｂに優越する。

同様に、解ａは解ｃ，ｄに優越する。解ａに優越する解は存在しない。同様に、解ｅ，ｆに優越する解も存在しない。したがって、解ａ，ｅ，ｆはパレート最適解である。

なお、解ｇは、弱パレート最適解である。弱パレート最適解とは、ある目的関数についてのみパレート最適解に優越されないパレート解である。弱パレート最適解は、合理的な解ではなく、本来求める必要のない解である。

多目的最適化問題の解法は多数提案されている。最近注目されている方法に多目的進化型アルゴリズム（ＭＯＥＡｓ：Multiobjective Evolutionary Algorithm）がある。

この方法の最大の特徴は、進化型アルゴリズムの多点探索を利用してパレート最適解集合を一度に求めることである。得られたパレ一ト最適解集合は、その中から目的に合致した解を探す意志決定、またはパレ一ト最適解集合（パレート境界）の形状からの知見の獲得等に用いられる。

進化型アルゴリズムとして遺伝的アルゴリズム（ＧＡ：Genetic Algorithm）を多目的最適化問題に適用する研究が数多く行われている。遺伝的アルゴリズムは、生物の適応進化を模倣した計算手法である。遺伝的アルゴリズムでは、解の候補を個体と呼ぶ。また、目的関数は適応度関数と呼び、適応度関数の値を適応度と呼ぶ。

この遺伝的アルゴリズムは、自然進化に見られる過程（染色体の選択、交叉および突然変異）をヒントにして、Ｊ．Ｈｏｌｌａｎｄにより提案されたアルゴリズムである。設計変数を遺伝子とみなして、初期設計の個体集合をランダムに生成し、各個体の適応度を評価する。適応度の良い個体ほど親として選択される可能性が高くなるように親を選択する。そして、交叉（遺伝子の入れ換え）および突然変異（遺伝子のランダムな変化）により子孫を作る。さらに、評価、選択、交叉および突然変異により世代を繰り返し、最適解を探索する。

具体的には、ＦｏｎｓｅｃａらのＭＯＧＡ（Multiobjective Genetic Algorithm：例えば、非特許文献１参照）、ＤｅｂらのＮＳＧＡ−ＩＩ（Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm-II：例えば、非特許文献２参照）、ＺｉｔｚｌｅｒらのＳＰＥＡ２（Strength Pareto Evolutionary Algorithm ２： 例えば、非特許文献３参照）等が提案されている。特に、ＮＳＧＡ−ＩＩおよびＳＰＥＡ２は優秀な多目的進化型アルゴリズムとして知られている。
C.M.fonseca，p.J.Flemimg:genetic algorithms for multiobjective optimization：formulation,discussion and generalization，of the 5th international conference on genetic algorithms，pp.416-423(1993) K.Deb，S.Agrawal，A.Pratab，and T.Meyarivan:A Fast Elitist Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm for Multi-Objective Optimization:NSGA-II，KanGAL report 20001，Indian Institute of Technology，Kanpur，India(20OO) E.Zitzler,M.Laumanns,L.Thiele:SPEA2:Improving the Performance of the Strength Pareto Evolutionary A1gorithm,Technical Report 103,Computer Engineering and Communication Networks Lab(TIK),Swiss Federal Institute of Technology(ETH)Zurich(2001) A.Zhou et al.: Prediction-based Population Re-initialization for Evolutionary Dynamic Multi-objective Optimization， Proc. of EMO2007

近年の自動車用エンジンには、排出ガスに含まれる有害成分を低減して環境問題に対応しつつ動力性能を向上するために、燃料噴射装置等の様々な電子制御装置が搭載され、高精度な制御が行われている。

エンジンは非線形性が強い制御対象であるため、電子制御装置によるエンジン制御としてはマップ制御と呼ばれるフィードフォワード制御が主流である。マップ制御では、例えば負荷トルクおよびエンジン回転速度のような運転条件ごとに設定された電子制御装置の制御パラメータが用いられる。マップ制御の制御パラメータは運転条件ごとに事前実験を行って決定される。この作業は適合（Calibration）と呼ばれる。

従来の適合は、エンジン試験機に接続されたエンジンを技術者が手動で調整することにより行われる。しかし、このような適合は、排出ガスの有害成分量（ＣＯ濃度、ＨＣ濃度およびＮＯ_ｘ濃度）、燃費および出力トルク等の多目的評価となり、これらは一般にトレードオフの関係にある。さらに、電子制御装置およびその制御パラメータの数は増加する傾向にある。そのため、手動による最適化は困難さを増してきている。

図３０はエンジンの適合を説明するための図である。

エンジンの適合では、負荷トルクおよびエンジン回転速度という運転条件（条件変数ｗ_１，ｗ_２）の値を選択する。そして、選択された運転条件でのＮＯ_ｘ濃度および燃費（目的関数ｆ_１，ｆ_２の値）を最適にするような燃料噴射時期および点火時期（制御パラメータ（決定変数ｘ_１，ｘ_２））を探索する。

図３０においては、条件変数ｗ_１，ｗ_２の値を選択し、選択された条件変数ｗ_１，ｗ_２の値について目的関数ｆ_１，ｆ_２の多目的最適化を行い、決定変数ｘ_１，ｘ_２のパレート最適解を得る。その後、パレート最適解から好適な解を選択し、その解に対応する決定変数ｘ_１の値と条件変数ｗ_１，ｗ_２の値との関係を示すマップＭ１、およびその解に対応する決定変数ｘ_２の値と条件変数ｗ_１，ｗ_２との値の関係を示すマップＭ２を作成する。

マップＭ１，Ｍ２を完成させるためには、マップＭ１，Ｍ２の格子の数に相当する条件変数ｗ_１，ｗ_２の値について多目的最適化を繰り返す必要がある。

エンジンの適合とは、マップ制御に必要な運転条件（条件変数）ごとに、複数の対立する評価規範（目的関数）を満たすような制御パラメータ（決定変数）を探索する多目的最適化問題を解くことである。

このように、条件変数により特徴付けられている多目的最適化問題をパラメトリック多目的最適化問題（Parametric Multi-objective Optimization Problems；ＰＭＯＰ）と呼ぶ。図３１はパラメトリック多目的最適化問題の概念図を示す図である。

ここで、条件件数ｗ_１，ｗ_２を統合して条件変数ｗで表す。また、条件変数ｗの値をｗ^１，ｗ^２，ｗ^３，…で表す。目的関数ｆ_１，ｆ_２は条件変数ｗの値により特徴付けられており、条件変数ｗの値の変化に伴って目的関数ｆ_１，ｆ_２の景観が変化する。目的関数ｆ_１，ｆ_２の景観の変化に伴いパレート最適解集合も変化する。

例えば、エンジンの最適化の場合、条件変数ｗ_２であるエンジン回転速度を高くすると、目的関数ｆ_２の値である燃費が大きくなり、また最適な燃費を与える決定変数ｘ_１，ｘ_２である燃料噴射時期および点火時期が異なる。

パラメトリック多目的最適化問題を解くということを、条件変数のすべての値についてのパレート最適解集合を求めることと定義する。

図３２は条件変数の複数の値についての多目的最適化問題を解く様子を示す図である。図３２に示すように、パラメトリック多目的最適化では、条件変数の値ごとにランダムに生成された初期解集合を用いて多目的最適化を行い、パレート最適解を得る。そのため、最適化に多大な時間が必要となる。

ところで、パラメトリック多目的最適化問題に類似の問題クラスとして、動的多目的最適化問題（Dynamic Multi-objective Optimization Problems；ＤＭＯＰ）と呼ばれる問題クラスがある。これは、多目的最適化問題が時間に依存して変化するという問題である。

たとえば、Zhouらは時間が経過して問題が変化したときのための初期化戦略を提案している（非特許文献４）。この初期化戦略は、一時刻前のパレート最適個体集合と現時刻のパレート最適個体集合とから一時刻後のパレート最適個体集合を予測し、これを初期個体集合として用いるものである。

しかしながら、上記の初期化戦略は、常に過去のパレート最適個体集合から未来のパレート最適個体集合を推定することになるため、エンジンの最適化のようなパラメトリック多目的最適化問題に適用することができない。

本発明の目的は、条件により目的関数が変化する最適化対象の決定変数を短時間で効率良く最適化することが可能なパラメトリック多目的最適化装置、パラメトリック多目的最適化方法およびパラメトリック多目的最適化プログラムを提供することである。

（１） 第１の発明に係るパラメトリック多目的最適化装置は、条件変数に依存して複数の目的関数が変化する最適化対象を最適化するためのパラメトリック多目的最適化装置であって、最適化対象の条件変数の値を予め設定された順序で選択する条件変数選択部と、多目的最適化のための初期解集合を生成する初期解集合生成部と、条件変数選択部により選択された条件変数の値ごとに初期解集合生成部により生成された初期解集合を用いて多目的最適化を行うことにより複数の目的関数について決定変数のパレート最適解集合を求める多目的最適化部と、多目的最適化部による多目的最適化により条件変数の値ごとに得られるパレート最適解集合を記憶する記憶部とを備え、初期解集合生成部は、条件変数選択部により選択される条件変数の一の値についての初期解集合を記憶部に記憶される条件変数の他の値についてのパレート最適解集合に基づいて生成するものである。

そのパラメトリック多目的最適化装置においては、条件変数選択部により最適化対象の条件変数の値が予め設定された順序で選択される。また、初期解集合生成部により多目的最適化のための初期解集合が生成される。さらに、条件変数選択部により選択された条件変数の値ごとに初期解集合生成部により生成された初期解集合を用いて多目的最適化部により多目的最適化が行われる。それにより、複数の目的関数について決定変数のパレート最適解集合が求められる。多目的最適化部による多目的最適化により条件変数の値ごとに得られるパレート最適解集合は記憶部に記憶される。この場合、条件変数選択部により選択される条件変数の一の値についての初期解集合が記憶部に記憶される条件変数の他の値についてのパレート最適解集合に基づいて初期解集合生成部により生成される。

このようにして生成される初期解集合はランダムに生成された初期解集合に比べてパレート最適解集合に近いため、より少ない回数の最適化でパレート最適解集合を得ることができる。したがって、条件により目的関数が変化する最適化対象の決定変数を短時間で効率良く最適化することが可能となる。

また、条件変数選択部による条件変数の選択順序をパレート最適解の探索の収束性が向上するように設定することができるので、パレート最適解をより短時間で得ることができる。

（２） 初期解集合生成部は、条件変数選択部により選択される条件変数の一の値についての初期解集合を記憶部に記憶される条件変数の他の複数の値についての複数のパレート最適解集合の演算により求めてもよい。

この場合、初期解集合が複数のパレート最適解集合の演算により求められるので、簡単な処理によりパレート最適解集合に近い初期解集合を得ることができる。したがって、最適化に要する時間を大幅に短縮することができる。

（３） 初期解集合生成部は、条件変数空間における条件変数の一の値と記憶部に記憶された条件変数の他の値との距離に基づいて複数のパレート最適解集合を選択し、条件変数の一の値に最も近い条件変数の他の値についてのパレート最適解集合を基準とし、基準のパレート最適解集合に含まれる各パレート最適解と選択された条件変数の残りの値についてのパレート最適解集合に含まれる各パレート最適解との対応付けを行い、対応付けられた複数のパレート最適解を表す決定変数を被説明変数とし、条件変数を説明変数として統計的処理を行うことにより、条件変数の一の値についてのパレート最適解集合を予測し、予測したパレート最適解集合を条件変数の一の値についての初期解集合として生成してもよい。

この場合、複数のパレート最適解集合の選択、パレート最適解集合に含まれる各パレート最適解の対応付けおよび統計的処理により、パレート最適解集合に近い初期解集合を得ることができる。したがって、最適化に要する時間を大幅に短縮することができる。

（４） 初期解集合生成部は、決定変数空間において対応付けられたパレート最適解間の距離が最小となるようにパレート最適解の対応付けを行ってもよい。この場合、よりパレート最適解集合に近い初期解集合を得ることができる。

ここにおけるパレート最適解間の距離は、複数のパレート最適解の間の距離の総和または平均値として算出される。

（５） 第２の発明に係るパラメトリック多目的最適化方法は、条件変数に依存して複数の目的関数が変化する最適化対象を最適化するためのパラメトリック多目的最適化方法であって、最適化対象の条件変数の値を予め設定された順序で選択するステップと、多目的最適化のための初期解集合を生成するステップと、選択された条件変数の値ごとに生成された初期解集合を用いて多目的最適化を行うことにより複数の目的関数について決定変数のパレート最適解集合を求めるステップと、多目的最適化部による多目的最適化により条件変数の値ごとに得られるパレート最適解集合を記憶部に記憶するステップとを備え、初期解集合を生成するステップは、選択される条件変数の一の値についての初期解集合を記憶部に記憶される条件変数の他の値についてのパレート最適解集合に基づいて生成するステップを含むものである。

そのパラメトリック多目的最適化方法によれば、最適化対象の条件変数の値が予め設定された順序で選択される。また、多目的最適化のための初期解集合が生成される。さらに、選択された条件変数の値ごとに生成された初期解集合を用いて多目的最適化が行われる。それにより、複数の目的関数について決定変数のパレート最適解集合が求められる。多目的最適化により条件変数の値ごとに得られるパレート最適解集合は記憶部に記憶される。この場合、条件変数選択部により選択される条件変数の一の値についての初期解集合が記憶部に記憶される条件変数の他の値についてのパレート最適解集合に基づいて初期解集合生成部により生成される。

このようにして生成される初期解集合はランダムに生成された初期解集合に比べてパレート最適解集合に近いため、より少ない回数の最適化でパレート最適解集合を得ることができる。したがって、条件により目的関数が変化する最適化対象の決定変数を短時間で効率良く最適化することが可能となる。

また、条件変数の選択順序をパレート最適解の探索の収束性が向上するように設定することができるので、パレート最適解をより短時間で得ることができる。

（６） 第３の発明に係るパラメトリック多目的最適化プログラムは、条件変数に依存して複数の目的関数が変化する最適化対象を最適化するためのパラメトリック多目的最適化方法をコンピュータに実行させるパラメトリック多目的最適化プログラムであって、最適化対象の条件変数の値を予め設定された順序で選択する処理と、多目的最適化のための初期解集合を生成する処理と、選択された条件変数の値ごとに生成された初期解集合を用いて多目的最適化を行うことにより複数の目的関数について決定変数のパレート最適解集合を求める処理と、多目的最適化部による多目的最適化により条件変数の値ごとに得られるパレート最適解集合を記憶部に記憶する処理とを、コンピュータに実行させ、初期解集合を生成する処理は、選択される条件変数の一の値についての初期解集合を記憶部に記憶される条件変数の他の値についてのパレート最適解集合に基づいて生成する処理を含むものである。

そのパラメトリック多目的最適化プログラムによれば、最適化対象の条件変数の値が予め設定された順序で選択される。また、多目的最適化のための初期解集合が生成される。さらに、選択された条件変数の値ごとに生成された初期解集合を用いて多目的最適化が行われる。それにより、複数の目的関数について決定変数のパレート最適解集合が求められる。多目的最適化により条件変数の値ごとに得られるパレート最適解集合は記憶部に記憶される。この場合、条件変数選択部により選択される条件変数の一の値についての初期解集合が記憶部に記憶される条件変数の他の値についてのパレート最適解集合に基づいて初期解集合生成部により生成される。

このようにして生成される初期解集合はランダムに生成された初期解集合に比べてパレート最適解集合に近いため、より少ない回数の最適化でパレート最適解集合を得ることができる。したがって、条件により目的関数が変化する最適化対象の決定変数を短時間で効率良く最適化することが可能となる。

また、条件変数の選択順序をパレート最適解の探索の収束性が向上するように設定することができるので、パレート最適解をより短時間で得ることができる。

本発明によれば、より少ない回数の最適化でパレート最適解集合を得ることができる。したがって、条件により目的関数が変化する最適化対象の決定変数を短時間で効率良く最適化することが可能となる。

また、条件変数の選択順序をパレート最適解の探索の収束性が向上するように設定することができるので、パレート最適解をより短時間で得ることができる。

以下、本発明の一実施の形態に係るパラメトリック多目的最適化装置（以下、多目的最適化装置と略記する。）について図面を参照しながら説明する。

（１）多目的最適化装置の機能的な構成
図１は本発明の一実施の形態に係る多目的最適化装置の機能的な構成を示すブロック図である。

本実施の形態では、多目的最適化装置１は、多目的進化型アルゴリズムを利用して多目的最適化問題のパレート最適個体集合を算出する。例えば、多目的進化型アルゴリズムとして多目的遺伝的アルゴリズム（ＧＡ）が用いられる。

この多目的最適化装置１は、最適化対象６に接続される。最適化対象６は、機器の性能を評価する評価システムである。評価システムは、実システムを評価する評価装置またはシミュレータである。実システムは、例えばエンジンまたはモータであり、評価装置は、例えばエンジン評価装置またはモータ評価装置である。また、シミュレータは、例えばエンジンシミュレータまたはモータシミュレータである。本実施の形態では、最適化対象６はエンジン試験機である。

多目的最適化装置１は、条件変数計画部２、個体集合初期化部３、多目的進化型アルゴリズム部４および探索履歴記憶部５を含む。

条件変数計画部２、個体集合初期化部３および多目的進化型アルゴリズム部４は、後述するＣＰＵ１０１（図２）がパラメトリック多目的最適化プログラムを実行することにより実現される。探索履歴記憶部５は、後述する外部記憶装置１０６（図２）により構成される。

この多目的最適化装置１には、複数の適応度関数（目的関数）、１または複数の条件変数および複数の決定変数が設定される。

複数の適応度関数としては、燃費（燃料消費量）、トルク、エンジンの排気ガスに含まれるＣＯ（一酸化炭素）、ＨＣ（炭化水素）、ＮＯ_x （窒素酸化物）等の成分の濃度等のうち複数が設定される。

ここで、トレードオフの関係としては、トルクと燃費、トルクとＣＯ濃度、トルクとＨＣ濃度、燃費とＮＯ_x 濃度、ＣＯ濃度とＮＯ_x 濃度、ＨＣ濃度とＮＯ_x 濃度等が挙げられる。後述する例では、２つの適応度関数ｆ_１，ｆ_２が設定され、適応度関数ｆ_１は例えばＮＯ_x 濃度であり、適応度関数ｆ_２は例えば燃費である。

また、多目的最適化問題の条件を表す条件変数が設定される。後述する例では、２つの条件変数ｗ_１，ｗ_２の組み合わせを条件変数ｗと称する。すなわち、条件変数ｗは２次元ベクトルからなる。この場合、ｗ＝（ｗ_１，ｗ_２）である。条件変数ｗは、例えばエンジンの運転条件であり、条件変数ｗ_１は例えば負荷トルクであり、条件変数ｗ_２は例えばエンジン回転速度である。条件変数ｗ_１，ｗ_２がそれぞれＶ個の値を有する場合、条件変数ｗはＶ^２組の値を有する。

条件変数ｗが３次元以上のＮ次元ベクトルからなってもよい。この場合、条件変数ｗはＵ個の条件変数ｗ_１，ｗ_２，…，ｗ_Ｕからなる。

さらに、調整可能な値として複数の決定変数が設定される。決定変数は、例えば最適化対象６の制御パラメータである。決定変数としては、燃料噴射量、燃料噴射時期、点火時期、スロットル開度等が挙げられる。決定変数は、遺伝的アルゴリズムでは、遺伝子と呼ばれる。多目的遺伝的アルゴリズムの個体とは、多目的最適化問題の解の候補であり、複数の決定変数の組および複数の適応度を有する。適応度は、適応度関数の値（目的関数値）である。以下、多目的遺伝的アルゴリズムの個体を単に個体と呼ぶ。

多目的最適化装置１は、条件変数の各値での適応度を最適にするような決定変数を求める。ここで、条件変数の各値での適応度を最適にするような決定変数を求めることを条件変数の各値の評価と呼ぶ。

条件変数計画部２は、条件変数の複数の値からなる条件変数集合の評価順序を決定し、評価すべき条件変数の値を個体集合初期化部３、探索履歴記憶部５および最適化対象６に出力する。条件変数計画部２から出力された条件変数の値を特に要求条件変数値と呼ぶ。詳細は後述する。

個体集合初期化部３は、条件変数の各値について探索履歴記憶部５に記憶された中途個体集合またはパレート最適個体集合から、未評価の条件変数の値についてのパレート最適個体集合の探索のための初期個体集合を生成する。ここで、中途個体集合とは、条件変数の各値についてパレート最適個体集合の探索過程で得られる個体の集合である。詳細は後述する。

多目的進化型アルゴリズム部４は、条件変数計画部２から出力された条件変数の各値により定まる多目的最適化問題について、個体集合初期化部３により生成される初期個体集合を用いてパレート最適個体集合の探索を行う。本実施の形態では、多目的進化型アルゴリズム部４は、条件変数の各値について多目的進化型アルゴリズムにしたがって個体を発生して多点探索を行い、適応度関数をパレート最適性で評価することにより、パレート最適個体集合を求める。また、多目的進化型アルゴリズム部４は、求められたパレート最適個体集合を使用者に提示する。

この多目的進化型アルゴリズム部４は、複数の決定変数の値を最適化対象６に与えるとともに、最適化対象６から出力される適応度を受ける。また、多目的進化型アルゴリズム部４は、中途個体集合またはパレート最適個体集合を適応度とともに探索履歴記憶部５に与える。詳細は後述する。

探索履歴記憶部５は、条件変数の各値について多目的進化型アルゴリズム部４により得られた中途個体集合およびパレート最適個体集合を記憶する。

最適化対象６は、条件変数計画部２から出力される条件変数の値および多目的進化型アルゴリズム部４から与えられる決定変数の値に基づいて適応度を出力する。

（２）多目的最適化装置のハードウエア構成
図２は図１の多目的最適化装置１のハードウエア構成を示すブロック図である。

多目的最適化装置１は、ＣＰＵ（中央演算処理装置）１０１、ＲＯＭ（リードオンリメモリ）１０２、ＲＡＭ（ランダムアクセスメモリ）１０３、入力装置１０４、表示装置１０５、外部記憶装置１０６、記録媒体駆動装置１０７および入出力インタフェース１０８を含む。

入力装置１０４は、キーボード、マウス等からなり、各種指令および各種データを入力するために用いられる。ＲＯＭ１０２にはシステムプログラムが記憶される。記録媒体駆動装置１０７は、ＣＤ（コンパクトディスク）ドライブ、ＤＶＤ（デジタルバーサタイルディスク）ドライブ、フレキシブルディスクドライブ等からなり、ＣＤ、ＤＶＤ、フレキシブルディスク等の記録媒体１０９に対してデータの読み書きを行う。

記録媒体１０９には、パラメトリック多目的最適化プログラム（以下、多目的最適化プログラムと呼ぶ。）が記録されている。外部記憶装置１０６は、ハードディスク装置等からなり、記録媒体駆動装置１０７を介して記録媒体１０９から読み込まれた多目的最適化プログラムおよび各種データを記憶する。ＣＰＵ１０１は、外部記憶装置１０６に記憶された多目的最適化プログラムをＲＡＭ１０３上で実行する。

表示装置１０５は、液晶表示パネル、ＣＲＴ（陰極線管）等からなり、中途個体集合およびパレート最適個体集合等の各種画像を表示する。入出力インタフェース１０８には最適化対象６が無線通信または有線通信により接続される。入出力インタフェース１０８は、最適化対象６から出力される適応度の組を外部記憶装置１０６に転送するとともに、多目的最適化プログラムにより生成された個体の決定変数の組を最適化対象６に与える。

なお、多目的最適化プログラムを記録する記録媒体１０９として、ＲＯＭ等の半導体メモリ、ハードディスク等の種々の記録媒体を用いることができる。また、多目的最適化プログラムを通信回線等の通信媒体を介して外部記憶装置１０６にダウンロードし、ＲＡＭ１０３上で実行してもよい。

ここで、記録媒体１０９は、コンピュータで読み取り可能な記録媒体であれば、電子的読み取り方式、磁気的読み取り方式、光学的読み取り方式またはその他のあらゆる読み取り方式の記録媒体を含むものである。例えば、上記のＣＤ、ＤＶＤおよびフレキシブルディスクの他、ＣＤＶ（コンパクトディスクビデオ）等の光学的読取方式記録媒体、ＲＡＭ、ＲＯＭ等の半導体記録媒体、ハードディスク等の磁気記録型記録媒体、ＭＯ（光磁気ディスク）等の磁気記憶型／光学的読取方式記録媒体を用いることができる。

（３）最適化対象の構成
図３は最適化対象６の構成の一例を示すブロック図である。図３の最適化対象６はエンジン評価装置である。

最適化対象６は、エンジン６１、ＥＣＵ（エンジン制御ユニット）６２、計測装置６３、制御用コンピュータ６４および超低慣性ダイナモメータ６５を含む。ＥＣＵ６２、計測装置６３、制御用コンピュータ６４および超低慣性ダイナモメータ６５がエンジン試験機を構成する。このエンジン試験機によれば、エンジン６１単体を用いてエンジン６１を実車に搭載した場合と同等に評価することができる。

超低慣性ダイナモメータ６５は、エンジン６１のクランクシャフトに接続され、エンジン６１に与える負荷トルクを実時間で制御する。エンジン６１は、燃料噴射時期および点火時期を制御するための電子制御装置を有する。

ＥＣＵ６２は、多目的最適化装置１から制御パラメータとして決定変数の値を受信する。本例では、決定変数は燃料噴射時期および点火時期である。ＥＣＵ６２は、決定変数の値に基づいてエンジン６１の燃料噴射時期および点火時期を制御する。

また、制御用コンピュータ６４は、多目的最適化装置１から運転条件として条件変数の値を受信する。本例では、条件変数ｗ_１，ｗ_２は負荷トルクおよびエンジン回転速度である。制御用コンピュータ６４には、駆動系モデルおよび車両モデルが搭載される。制御用コンピュータ６４は、条件変数の値に基づいて超低慣性ダイナモメータ６５によりエンジン６１に与えられる負荷トルクを制御する。また、制御用コンピュータ６４は、エンジン６１の回転数を制御する。

計測装置６３は、排気ガス分析装置、燃焼解析装置および燃料流量計を含み、
エンジン６１からの排気ガス中の成分を分析し、適応度としてＮＯ_x濃度および燃費を多目的最適化装置１に出力する。

（４）探索履歴
図４は初期個体集合を用いたパレート最適個体集合の探索履歴の一例を示す図である。図４（ａ）は探索履歴記憶部５に記憶される個体集合の構成を示し、図４（ｂ）は多目的進化型アルゴリズムにより初期個体集合がパレート最適個体集合に収束する様子が示される。

図４（ａ）に示すように、個体集合は、条件変数ｗのある値についての決定変数ｘ_１，ｘ_２の値および適応度関数ｆ_１，ｆ_２の値からなる。図４（ｂ）において、第ｔ世代および第ｔ＋１世代は、初期世代と最終世代との間の世代を表す。初期世代では、後述する方法で生成された初期個体集合を用いて中途個体集合が得られる。各世代で中途個体集合が得られ、最終世代でパレート最適個体集合が得られる。

図５は初期世代から最終世代までに探索履歴記憶部５に記憶される探索履歴の一例を示す図である。

図５において、ｗ^１〜ｗ^４は条件変数ｗの異なる値を示している。条件変数ｗ＝（ｗ_１，ｗ_２）の場合、ｗ^１＝（ｗ_１ ^１，ｗ_２ ^１）、ｗ^２＝（ｗ_１ ^２，ｗ_２ ^２）、ｗ^３＝（ｗ_１ ^３，ｗ_２ ^３）およびｗ^４＝（ｗ_１ ^４，ｗ_２ ^４）を意味する。

図５の例では、条件変数の値ｗ^１について初期世代、第ｔ世代および第ｔ＋１世代で得られた中途個体集合、および最終世代で得られたパレート最適個体集合が探索履歴記憶部５に記憶されている。また、条件変数の値ｗ^２について初期世代および第ｔ世代で得られた中途個体集合が探索履歴記憶部５に記憶されている。

このようにして、条件変数の各値について探索により得られる中途個体集合およびパレート最適個体集合が探索履歴記憶部５に記憶される。

（５）初期個体集合の生成の概念
本実施の形態では、条件変数の一部の値について初期個体集合が条件変数の他の複数の値について得られたパレート最適個体集合を内挿することにより生成される。

図６はパレート最適個体集合の内挿による初期個体集合の生成を説明するための概念図である。

条件変数の値ｗ^１および条件変数の値ｗ^４についてパレート最適個体集合が得られた後、条件変数の値ｗ^１についてのパレート最適個体集合および条件変数の値ｗ^４についてのパレート最適個体集合の内挿により条件変数の値ｗ^２についての初期個体集合が生成される。その初期個体集合を用いて条件変数の値ｗ^２についてのパレート最適個体集合が得られた後、条件変数の値ｗ^２についてのパレート最適個体集合および条件変数の値ｗ^４についてのパレート最適個体集合の内挿により条件変数の値ｗ^３についての初期個体集合が生成される。

このようにして、条件変数の値ｗ^２についてのパレート最適個体集合の探索および条件変数の値ｗ^３についてのパレート最適個体集合の探索が効率化される。

（６）多目的最適化装置の全体処理
図７は図１の多目的最適化装置１の全体処理を示すフローチャートである。

まず、条件変数計画部２が条件変数の値を選択する（ステップＳ１）。条件変数の値の選択方法については後述する。

次に、探索履歴記憶部５は、条件変数計画部２により選択された条件変数の値を記憶する（ステップＳ２）。個体集合初期化部３は、探索履歴記憶部５に記憶された条件変数の値の数が所定数以上であるか否かを判別する（ステップＳ３）。

探索履歴記憶部５に記憶された条件変数の値の数が所定数よりも少ない場合には、個体集合初期化部３は、選択された条件変数の値についての初期個体集合をランダムに生成する（ステップＳ４）。

探索履歴記憶部５に記憶された条件変数の値の数が所定数以上の場合には、個体集合初期化部３は、探索履歴記憶部５に記憶された条件変数の複数の値についてのパレート最適個体集合を内挿することにより、選択された条件変数の値についての初期個体集合を生成する（ステップＳ５）。

次に、多目的進化型アルゴリズム部４は、選択された条件変数の値について生成された初期個体集合を用いて多目的進化型アルゴリズムによりパレート最適個体集合の探索を行う（ステップＳ６）。探索履歴記憶部５は、探索により得られる中途個体集合を記憶する（ステップＳ７）。

多目的進化型アルゴリズム部４は、選択された条件変数の値について最終世代まで探索が終了したか否かを判別する（ステップＳ８）。最終世代まで探索が終了していない場合には、ステップＳ６に戻り、ステップＳ６〜Ｓ８の処理を繰り返す。最終世代の中途個体集合は、パレート最適個体集合として探索履歴記憶部５に記憶される。

最終世代まで探索が終了した場合には、多目的進化型アルゴリズム部４は、条件変数のすべての値についてパレート最適個体集合の探索が終了したか否かを判別する（ステップＳ９）。

条件変数のすべての値についてパレート最適個体集合の探索が終了していない場合には、ステップＳ１に戻る。それにより、条件変数計画部２が次の条件変数の値を選択する。

条件変数のすべての値についてパレート最適個体集合の探索が終了した場合には、多目的最適化を終了する。この場合、条件変数のすべての値についてのパレート最適個体集合が探索履歴記憶部５に記憶される。

（７）条件変数計画部２による条件変数の選択方法
条件変数計画部２は、条件変数の値の評価順序を決定し、評価すべき条件変数の値を順に出力する。条件変数計画部２から出力された条件変数の値を要求条件変数値と呼ぶ。

図８（ａ），（ｂ）は条件変数の選択方法の例を示す図である。本例では、条件変数ｗが二次元ベクトル（ｗ_１，ｗ_２）からなる。図８（ａ），（ｂ）の横軸は条件変数ｗ_１の値であり、縦軸は条件変数ｗ_２の値である。

図８（ａ）の例では、２次元ベクトル空間で条件変数の値が外側から順に選択される。また、図８（ｂ）の例では、２次元ベクトル空間で近い条件変数の値が順に選択される。

条件変数の値の選択順序は、図８の例に限定されるものではなく、条件変数の次数または数等に応じて様々の順序で選択することができる。

（８）多目的進化型アルゴリズム
図９は多目的進化型アルゴリズムを説明するための模式図である。また、図１０は多目的進化型アルゴリズムを説明するためのフローチャートである。

本実施の形態では、Ｄｅｂらにより提案されたＮＳＧＡ−ＩＩ（Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm-II）を用いる（非特許文献２参照）。

まず、多目的進化型アルゴリズム部４は、図９（ａ）に示すように、ｔ世代において、親個体集合Ｐから子個体集合Ｑを生成する（図１０のステップＳ１１）。

次に、多目的進化型アルゴリズム部４は、図９（ｂ）に示すように、親個体集合Ｐと子個体集合Ｑとの和集合Ｒに対して非優越ソートを行う（図１０のステップＳ１２）。非優越ソートとは、非優越ランキングにより個体をランク付けし，ランクがより小さい個体を優秀な個体として次世代に残すように個体集合を並び替える（ソートする）方法である。非優越ランキングの詳細は後述する。図９（ｂ）の例では、和集合Ｒがランク１〜４に並び替えられている。

次いで、多目的進化型アルゴリズム部４は、図９（ｃ），（ｄ）に示すように、和集合Ｒのランクごとに混雑度ソートを行う（図１０のステップＳ１３）。混雑度ソートとは、同一ランク内での個体の優劣を評価するために個体分布の疎密を評価し、より疎の部分に存在する個体を優秀な個体として次世代に残すように個体集合を並び替える（ソートする）方法である。混雑度ソートの詳細は後述する。

次に、多目的進化型アルゴリズム部４は、上位ｐ（＝｜Ｐ｜）個の個体を次世代（ｔ＋１世代）の親個体集合Ｐとして残す（図１０のステップＳ１４）。ここで、｜Ｐ｜は親個体集合の個数を表す。図９の例では、ランク４の個体が淘汰され、ランク３の個体のうち一部の下位の個体が淘汰されている。

その後、多目的進化型アルゴリズム部４は、世代数が所定の終了条件に達したか否かを判別する（図１０のステップＳ１５）。

世代数が所定の終了条件に到達していない場合には、ステップＳ１１に移行する。世代数が所定の終了条件に到達した場合には、多目的進化型アルゴリズム部４は、ステッブＳ１５で生成された親個体集合Ｐをパレート最適個体集合として使用者に提示し、処理を終了する。

（９）非優越ランキング
図１１は非優越ランキングを説明するための模式図である。図１１では、適応度空間の個体集合が示されている。

非優越ランキングでは、各個体のランク付けに基づいてパレート最適個体集合を求める。各個体のランク付けは次の手順により行う。

まず、優越比較の定義に基づいてすべての個体について優越比較を行い、他の個体に優越されない個体（非優越個体）を選択し、その非優越個体をランク１とする。次に、個体集合からランク１の個体を取り除き、残った個体集合について同様の操作を行う。残った個体集合における非優越個体をランク２とする。すべての個体のランクが決定するまで上記の操作を繰り返す。

ここでは、ランク１を最上位ランクとし、それ以上の数値のランクは数値が大きくなるほど下位のランクとなる。

図１１の例では、個体Ｉ１〜Ｉ４は他の個体に優越されていない。したがって、個体Ｉ１〜Ｉ４のランクは１である。

個体Ｉ１〜Ｉ４を取り除いた状態で個体Ｉ５〜Ｉ８は他の個体に優越されていない。したがって、個体Ｉ５〜Ｉ８のランクは２である。

個体Ｉ５〜Ｉ８を取り除いた状態で個体Ｉ９，Ｉ１０は他の個体に優越されていない。したがって、個体Ｉ９，Ｉ１０のランクは３である。残った個体Ｉ１１のランクは４である。

（１０）混雑度ソート
図１２は混雑度ソートを説明するための図である。図１２では、適応度空間の個体集合が示されている。

混雑度ソートでは、同じランクの各注目個体について、それに隣接する２つの個体を結ぶ線を対角線とする長方形を想定し、長方形の縦および横の辺の長さの合計で混雑度（混雑距離）を表す。混雑度の値が小さいほど注目個体は混雑した領域に存在する。同じランクの両端の個体には最大の混雑度を与える。

図１２の例では、個体Ｉ２の混雑度は、隣接する個体Ｉ１，Ｉ３が作る長方形ｓ１の横の辺の長さｄ１および縦の辺の長さｄ２の合計で表される。個体Ｉ３の混雑度は、隣接する個体Ｉ２，Ｉ４が作る長方形ｓ２の横の辺の長さｄ３および縦の辺の長さｄ４の合計で表される。

図１３は多目的進化型アルゴリズム部４による混雑度ソートの処理を示すフローチャートである。

まず、多目的進化型アルゴリズム部４は、個体集合を適応度関数ごとにソートし、適応度関数ごとに同一ランク内で各注目個体に隣接する２つの個体を調べる（ステップＳ２１）。

次に、多目的進化型アルゴリズム部４は、各注目個体に隣接する２つの個体間の数学的距離を適応度関数ごとに算出し、各注目個体についての複数の適応度関数における数学的距離の合計を混雑度として算出する（ステップＳ２２）。ここで、数学的距離としてはユークリッド距離を用いる。

その後、多目的進化型アルゴリズム部４は、各ランクの個体集合の個体を混雑度の値の大きい順にソートする（ステップＳ２３）。

このようにして、より上位のランクでより大きな混雑度を有する所定数の個体が選択され、他の個体が削除される。その結果、より優秀な個体が次世代に残される。

（１１）個体集合の類似度
次に、個体集合同士の類似度の概念について説明する。図１４は個体集合の類似度を説明するための模式図である。

図１４には、決定変数空間における２つの個体集合Ｐ１，Ｐ２が示されている。個体集合Ｐ１は、個体ｐ１１〜ｐ１５を含む。個体集合Ｐ２は、個体ｐ２１〜ｐ２５を含む。個体集合Ｐ１内の個体ｐ１１〜ｐ１５から個体集合Ｐ２内の最も近い個体ｐ２１〜ｐ２４までの距離をそれぞれ矢印ａ１〜ａ５で示す。また、個体集合Ｐ２内の個体ｐ２１〜ｐ２５から個体集合Ｐ１内の最も近い個体ｐ１１〜ｐ１５までの距離を矢印ｃ１〜ｃ５で示す。

２つの個体集合Ｐ１，Ｐ２間の類似度は次式で定義される。

類似度α＝（Ｌ_１２＋Ｌ_２１）／２
上式において、Ｌ_１２は個体集合Ｐ１内の各個体から個体集合Ｐ２内の最も近い個体までの距離の平均値であり、Ｌ_２１は個体集合Ｐ２内の各個体から個体集合Ｐ１内の最も近い個体までの距離の平均値である。

（１２）個体集合のマッチング
ここで、パレート最適個体集合の内挿に用いるマッチングについて説明する。マッチングとは、等しい要素数の２つの集合間で距離が最小となる要素の対を決定することである。距離としては、ユークリッド距離が用いられる。特に、１対１で要素の対を決定することを最適マッチングと呼ぶ。最適マッチングには、２−ｏｐｔ法等による近似解法と、シンプレックス法により最適解を求める方法とがある。本実施の形態では、２−ｏｐｔ法によるマッチングにより２つの個体集合に含まれる個体同士が対応付けられる。

図１５は２−ｏｐｔ法による個体集合同士のマッチングを説明するための模式図である。

図１５には、決定変数空間における２つの個体集合Ｐ１，Ｐ２が示されている。個体集合Ｐ１は、個体ｐ１１〜ｐ１５を含み、個体集合Ｐ２は、個体ｐ２１〜ｐ２５を含む。

図１５（ａ）のマッチングでは、個体ｐ１１，ｐ１２，ｐ１３，ｐ１４，ｐ１５と個体ｐ２１，ｐ２２，ｐ２４，ｐ２３，ｐ２５とがそれぞれ対応付けられている。対応付けられた個体同士が枝ｂ１〜ｂ５で結ばれている。図１５（ａ）のマッチングにおける枝ｂ３，ｂ４を入れ替えると図１５（ｂ）のようになる。

あるマッチングに対して２つの枝を入れ替えたマッチングを２−ｏｐｔ近傍と呼ぶ。図１５（ｂ）のマッチングは、図１５（ａ）のマッチングに対する２−ｏｐｔ近傍である。

あるマッチングに対する２−ｏｐｔ近傍における平均枝長を調べ、２−ｏｐｔ近傍における平均枝長が元のマッチングにおける平均枝長よりも短い場合には、２−ｏｐｔ近傍を新たなマッチングとして採用する。この操作を平均枝長が収束するまで繰り返す方法を２−ｏｐｔ法と呼ぶ。

図１５（ｂ）の２−ｏｐｔ近傍における枝ｂ１〜ｂ５の平均長は、図１５（ａ）のマッチングにおける枝ｂ１〜ｂ５の平均長よりも短い。したがって、図１５（ｂ）の２−ｏｐｔ近傍を新たなマッチングとして採用する。

図１６は３つ以上の個体集合のマッチングを説明するための模式図である。図１６には、決定変数空間における４つの個体集合Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３，Ｐ４が示されている。この場合、１つの個体集合Ｐ１を基準とし、基準の個体集合Ｐ１と他の個体集合Ｐ２，Ｐ３，Ｐ４とのマッチングを上記の２−ｏｐｔでそれぞれ行う。

（１３）パレート最適個体集合の内挿による初期個体集合の生成方法
上記のように、個体集合初期化部３は条件変数ｗの複数の値についてのパレート最適個体集合を用いて条件変数ｗのある値についての初期個体集合を生成する。次に、パレート最適個体集合の内挿による初期個体集合の生成方法について説明する。

図１７〜図２３はパレート最適個体集合の内挿による初期個体集合の生成方法を説明するための模式図である。

ここでは、条件変数計画部２から出力される要求条件変数値ｗ^ｑについての初期個体集合を生成するものとする。

図１７には、条件変数空間における要求条件変数値ｗ^ｑおよび複数の条件変数ｗの値ｗ^１，ｗ^２，ｗ^３，ｗ^４が示されている。図１８には、決定変数空間における条件変数ｗの複数の値ｗ^１，ｗ^２，ｗ^３，ｗ^４についてのパレート最適個体集合が示されている。

また、図１９および図２１には、決定変数空間における選択されたパレート最適個体集合が示されている。図２０および図２２には、回帰による要求条件変数値ｗ^ｑの予測方法が示されている。図２０の横軸は条件変数ｗであり、縦軸は決定変数ｘ_１である。また、図２２の横軸は条件変数ｗであり、縦軸は決定変数ｘ_２である。さらに、図２３には、決定変数空間における内挿個体集合が示されている。

まず、図１７の条件変数空間でｋ−ＮＮ法（ｋ-nearest-Neighbor Method）を用い、要求条件変数値ｗ^ｑの近傍の条件変数の値ｗ^２，ｗ^３を選択する。次に、図１８の決定変数空間において、選択された条件変数の値ｗ^２，ｗ^３についてのパレート最適個体集合を選択する。

さらに、図１９に示すように、決定変数空間で条件変数の値ｗ^２，ｗ^３についてのパレート最適個体集合同士のマッチングをとり、点線で示すように、対応付けられた１組の個体を取り出す。

次に、図２０に示すように、条件変数ｗを説明変数とし、決定変数ｘ_１を被説明変数として回帰を行う。それにより、要求条件変数値ｗ^ｑに対応する条件変数ｘ_１の値ｘ_１ ^ｑを予測する。また、図２１に示すように、条件変数ｗを説明変数とし、決定変数ｘ_２を被説明変数として回帰を行う。それにより、要求条件変数値ｗ^ｑに対応する条件変数ｘ_２の値ｘ_２ ^ｑを予測する。

予測された条件変数ｘ_１，ｘ_２の値ｘ_１ ^ｑ，ｘ_２ ^ｑを統合することにより、図２２に示すように、要求条件変数値ｗ^ｑに対応する内挿個体Ｉ_１が求められる。上記の操作をパレート最適個体集合のすべての組の個体について行うことにより、図２３に示すように、要求条件変数値ｗ^ｑに対応する内挿個体集合が求められる。

図２４は複数のパレート最適個体集合から内挿個体集合を初期個体集合として求めるためのアルゴリズムを示すフローチャートである。

ここでは、条件変数ｗの複数の値についての複数のパレート最適個体集合から要求条件変数値ｗ^ｑ＝（ｗ_１ ^ｑ，ｗ_２ ^ｑ，…ｗ_Ｌ ^ｑ）についての内挿個体集合を求める場合を説明する。

まず、探索履歴記憶部５に記憶された条件変数ｗの値のうち要求条件変数値ｗ^ｑの近傍の条件変数ｗの値（近傍集合）をｋ−ＮＮ法を用いて選択する（ステップＳ３１）。選択された条件変数ｗの値をｗ^１，ｗ^２，…，ｗ^ｋとする。ここで、ｗ^１＝（ｗ_１ ^１，ｗ_２ ^１，…，ｗ_Ｌ ^１）、ｗ^２＝（ｗ_１ ^２，ｗ_２ ^２，…，ｗ_Ｌ ^２）、ｗ^ｋ＝（ｗ_１ ^ｋ，ｗ_２ ^ｋ，…，ｗ_Ｌ ^ｋ）である。

次に、選択された条件変数ｗの値ｗ^１，ｗ^２，…，ｗ^ｋを用いて回帰のための計画行列Ｗを生成する（ステップＳ３２）。計画行列Ｗは次式のようになる。

次に、選択された条件変数ｗの値ｗ^１，ｗ^２，…，ｗ^ｋについてのパレート最適個体集合間のマッチングをとる（ステップＳ３３）。この場合、要求条件変数値ｗ^ｑに最も近い条件変数ｗの値ｗ^１を基準とし、基準の値ｗ^１についてのパレート最適個体集合と他の値ｗ^２，…，ｗ^ｋについてのパレート最適個体集合とのマッチングを順に求める。

次に、変数ｉを１に設定する（ステップＳ３４）。また、変数ｊを１に設定する（ステップＳ３５）。

その後、ｋ個のマッチングされた個体の第ｉ組ｘ^１，ｉ，…ｘ^ｋ，ｉについて、すべての個体の第ｊ番目の要素ｘ_ｊ ^１，ｉ，…ｘ_ｊ ^ｋ，ｉを統合したベクトルｙ_ｊ ^ｉ＝［ｘ_ｊ ^１，ｉ… ｘ_ｊ ^ｋ，ｉ］^Ｔを生成する（ステップＳ３６）。

さらに、ｙ_ｊ ^ｉ＝［ｘ_ｊ ^１，ｉ … ｘ_ｊ ^ｋ，ｉ］^Ｔを被説明変数とし、条件変数ｗの値ｗ^１，ｗ^２，…，ｗ^ｋを説明変数として、回帰係数ベクトルγ_ｊ ^ｉを最小二乗法により次式から求める（ステップＳ３７）。

γ_ｊ ^ｉ＝（Ｗ^ＴＷ）^−１Ｗｙ_ｊ ^ｉ
次に、要求条件変数ｗ^ｑ＝（ｗ^ｑ _１，ｗ^ｑ _２，…ｗ^ｑ _Ｌ）および回帰係数ベクトルγ_ｊ ^ｉから次式により内挿個体の第ｊ番目の要素を算出する（ステップＳ３８）。

ｘ_ｊ ^ｉ＝［１ ｗ^ｑ _１ ｗ^ｑ _２…ｗ^ｑ _Ｌ］γ_ｊ ^ｉ
その後、すべての要素の算出が終了したか否かを判別する（ステップＳ３９）。すべての要素の算出が終了していない場合には、変数ｊに１を加算し（ステップＳ４０）、ステップＳ３６に戻る。そして、ステップＳ３６〜Ｓ３９の処理を繰り返す。

ステップＳ３９においてすべての要素の算出が終了した場合には、算出された要素を統合した内挿個体ｘ＝｛ｘ_１ … ｘ_ｎ］を生成する（ステップＳ４１）。

そして、ｋ個のマッチングされた個体のすべての組についての内挿個体が生成されたか否かを判別する（ステップＳ４２）。マッチングされた個体のすべての組についての内挿個体が生成されていない場合には、変数ｉに１を加算し（ステップＳ４３）、ステップＳ３５に戻る。そして、ステップＳ３５〜Ｓ４２の処理を繰り返す。

ステップＳ４２においてマッチングされた個体のすべての組についての内挿個体が生成された場合には、パレート最適個体集合の内挿を終了する。

（１４）実施の形態の効果
本実施の形態に係る多目的最適化装置１においては、条件変数ｗの複数の値についての初期個体集合が条件変数ｗの他の複数の値についてのパレート最適個体集合から生成される。それにより、少ない世代数で適切なパレート最適個体集合を効率良く得ることができる。したがって、条件変数の種類数が多い場合でも、パラメトリック多目的最適化に要する時間を大幅に削減することができる。

また、条件変数計画部２により条件変数ｗの値の評価順序をパレート最適個体集合の探索の収束性が向上するように任意に設定することができるので、パレート最適個体集合をより効率良く得ることが可能となる。

（１５）実施例
以下の実施例では、数値実験により上記実施の形態に係る多目的最適化装置１による評価回数の削減効果について調べた。

本実施例では、多目的進化型アルゴリズムとして上記のＮＳＧＡ−ＩＩを用い、親個体集合サイズ｜Ｐ｜を１００とし、子個体数集合サイズ｜Ｑ｜も１００とする。交叉演算としては、ＵＮＤＸ（単峰性正規分布交叉：Unimodal Normal Distribution Crossover）を交叉率１．０で用い、突然変異演算は用いない。

図２５（ａ），（ｂ）は実施例における条件変数ｗの値およびその評価順序を示す図である。図２５の横軸は条件変数ｗ_１の値を示し、縦軸は条件変数ｗ_２の値を示す。

図２５（ａ）に示すように、条件変数ｗ_１，ｗ_２の値をいずれも０．０、０．２５、０．５、０．７５および１．０とする。この場合、条件変数ｗの値は２５組である。

実験の手順は次の通りである。まず、条件変数ｗの値の評価順序を決定する。本実施例では、図２５（ｂ）の丸内に数字で示す順序で条件変数ｗの値を評価する。

探索履歴記憶部５に記憶された条件変数ｗの値がｋ個未満の場合にはランダムに生成された初期個体集合を用いて世代数Ｔの最適化を実施し、中途個体集合（最終世代より前の世代で得られた個体集合）およびパレート最適個体集合（最終世代で得られた個体集合）を探索履歴記憶部５に記憶する。条件変数ｗの値がｋ個以上になれば、ｋ−ＮＮ法により探索履歴記憶部５に記憶された条件変数ｗのうち複数の条件変数ｗの値を選択する。そして、選択された条件変数ｗの値についてのパレート最適個体集合から内挿個体集合を生成し、その内挿個体集合を要求条件変数ｗ^ｑについての初期個体集合として次の最適化を実施する。

本実施例では、Ｔ＝１００およびｋ＝４とする。また、本実施例では、上記実施の形態の多目的最適化装置１による効果を確認するために、探索を途中で終了せずにＴ＋１世代まで最適化を実施する。そのため、質の良いパレート最適個体集合を初期個体集合の生成に用いることができる。

ただし、実際には、所定の終了条件で探索を終了する。例えば、類似度の変化率が所定値ε以下となる場合に探索を終了する。ここで、類似度は、現世代の個体集合と前世代の個体集合との類似度である。この場合、所定の終了条件が満たされた時点での個体集合がパレート最適個体集合となる。

テスト関数としては、次式の２条件２目的ｎ変数問題を用いる。

ここで、−２≦ｘ_１≦２、−２≦ｘ_２≦２、０≦ｗ_１≦１、０≦ｗ_２≦１とし、ｎ＝２０とする。

多目的進化型アルゴリズムは確率的な最適化手法であるため、初期個体集合の配置および探索過程での多目的進化型アルゴリズムによる操作により結果に違いが生じる。したがって、実施例では、上記実施の形態の多目的最適化装置の平均的な性能を評価するために、３０回の最適化結果の平均値を求める。

一方、比較例では、条件変数ｗのすべての値についてランダムに生成された初期個体集合を用いて探索を行う。

次に、比較例で最終世代（第１０１世代）に得られた類似度を用いて、実施例の全世代の類似度を正規化する。そして、正規化された類似度が1以下になったときの世代数を求める。これにより、実施例でどの程度世代数を削減することができるかを知ることができる。

図２６は実験結果を示す図である。図２６の横軸は条件変数ｗ_１の値を示し、縦軸は条件変数ｗ_２の値を示す。図２６の各マス目内の数字は正規化された類似度が１以下になったときの世代数を示す。

図２６の左下の条件変数の４組の値については、ランダムに生成された初期個体集合を用いて最適化を行っているので、第１０１世代で比較例と同じ類似度が得られる。また、条件変数ｗのその他の各値については、条件変数ｗの他の値についてのパレート最適個体集合から初期個体集合が生成される。それにより、図２６の結果より、第１世代〜第４６世代で比較例と同等の類似度が得られ、平均して３０世代程度で比較例と同じ類似度が得られることがわかる。したがって，本実施例では、全探索時間を１／３程度に低減できるといえる。

以上のように、上記実施の形態に係る多目的最適化装置によれば、多目的進化型アルゴリズムによる最適化に要する時間を大幅に低減できることがわかる。

（１６）他の実施の形態
（ａ）上記実施の形態では、多目的進化型アルゴリズムとしてＮＳＧＡ−ＩＩを用いているが、これに限定されず、ＮＳＧＡ−ＩＩの代わりに、ＳＰＥＡ２（非特許文献３）等の同様のアイデアに基づく計算法を用いてもよい。

（ｂ）３以上の目的への適用
上記実施の形態では、２目的の最適化を例に挙げて説明したが、本発明は、３以上の目的の最適化にも同様に適用することができる。この場合、トレードオフの関係を有する３以上の適応度関数が設定される。

（ｃ）上記実施の形態では、条件変数計画部２、個体集合初期化部３、多目的進化型アルゴリズム部４および探索履歴記憶部５がＣＰＵ１０１およびプログラムにより実現されるが、条件変数計画部２、個体集合初期化部３、多目的進化型アルゴリズム部４および探索履歴記憶部５の一部または全てが電子回路等のハードウエアにより実現されてもよい。

（ｄ）多目的進化型アルゴリズムの代わりに他の最適化アルゴリズムを用いてもよい。

図２７は他の最適化アルゴリズムを用いた多目的最適化装置の例を示すブロック図である。

図２７の多目的最適化装置１では、図１の個体集合初期化部３の代わりに解集合初期化部３０が用いられ、図１の多目的進化型アルゴリズム部４の代わりに多目的最適化部４０が用いられ、図１の探索履歴記憶部５の代わりに探索履歴記憶部５０が用いられる。

解集合初期化部３０は、条件変数の各値について探索履歴記憶部５０に記憶された中途解集合またはパレート最適解集合から、未評価の条件変数の値についてのパレート最適解集合の探索のための初期解集合を生成する。ここで、中途解集合とは、条件変数の各値についてパレート最適解集合の探索過程で得られる解の集合である。

多目的最適化アルゴリズム部４０は、条件変数計画部２から出力された条件変数の各値により定まる多目的最適化問題について、解集合初期化部３０により生成される初期解集合を用いてパレート最適解集合の探索を行う。本例では、多目的最適化アルゴリズム部４０は、条件変数の各値について最適化アルゴリズムにしたがって多点探索を行い、目的関数をパレート最適性で評価することによりパレート最適解集合を求める。また、多目的最適化アルゴリズム部４０は、求められたパレート最適解集合を使用者に提示する。

多目的最適化アルゴリズム部４０は、複数の決定変数の値を最適化対象６に与えるとともに、最適化対象６から出力される目的関数値を受ける。また、多目的最適化アルゴリズム部４０は、中途解集合またはパレート最適解集合を目的関数値とともに探索履歴記憶部５０に与える。

探索履歴記憶部５０は、条件変数の各値について多目的最適化アルゴリズム部４０により得られた中途解集合およびパレート最適解集合を記憶する。

最適化対象６は、条件変数計画部２から出力される条件変数の値および多目的最適化アルゴリズム部４０から与えられる決定変数の値に基づいて目的関数値を出力する。

本例の多目的最適化装置１においては、条件変数の複数の値についての初期解集合が条件変数の他の値についてのパレート最適解集合から生成される。それにより、少ない最適化回数で適切なパレート最適解集合を効率良く得ることができる。したがって、条件変数の種類数が多い場合でも、パラメトリック多目的最適化に要する時間を大幅に削減することができる。

（１７）請求項の構成要素と実施の形態の各部との対応
以下、請求項の各構成要素と実施の形態の各部との対応の例について説明するが、本発明は下記の例に限定されない。

上記実施の形態では、条件変数計画部２が条件変数選択部の例であり、個体集合初期化部３または解集合初期化部３０が初期解集合生成部の例であり、探索履歴記憶部５または探索履歴記憶部５０が記憶部の例であり、多目的進化型アルゴリズム部４または多目的最適化アルゴリズム部４０が多目的最適化部の例である。

また、初期個体集合が初期解集合の例であり、パレート最適個体集合がパレート最適解集合の例であり、パレート最適個体がパレート最適解の例であり、マッチングが対応付けの例であり、最小二乗法による回帰処理が統計的処理の例である。

請求項の各構成要素として、請求項に記載されている構成または機能を有する他の種々の要素を用いることもできる。

本発明は、条件により目的関数が変化する最適化対象の決定変数を最適化するため等に利用することができる。

本発明の一実施の形態に係る多目的最適化装置の機能的な構成を示すブロック図である。 図１の多目的最適化装置のハードウエア構成を示すブロック図である。 最適化対象の構成の一例を示すブロック図である。 初期個体集合を用いたパレート最適個体集合の探索履歴の一例を示す図である。 初期世代から最終世代までに探索履歴記憶部に記憶される探索履歴の一例を示す図である。 パレート最適個体集合の内挿による初期個体集合の生成を説明するための概念図である。 図１の多目的最適化装置の全体処理を示すフローチャートである。 条件変数の選択方法の例を示す図である。 多目的進化型アルゴリズムを説明するための模式図である。 多目的進化型アルゴリズムを説明するためのフローチャートである。 非優越ランキングを説明するための模式図である。 混雑度ソートを説明するための図である。 多目的進化型アルゴリズム部による混雑度ソートの処理を示すフローチャートである。 個体集合の類似度を説明するための模式図である。 ２−ｏｐｔ法による個体集合同士のマッチングを説明するための模式図である。 ３つ以上の個体集合のマッチングを説明するための模式図である。 パレート最適個体集合の内挿による初期個体集合の生成方法を説明するための模式図である。 パレート最適個体集合の内挿による初期個体集合の生成方法を説明するための模式図である。 パレート最適個体集合の内挿による初期個体集合の生成方法を説明するための模式図である。 パレート最適個体集合の内挿による初期個体集合の生成方法を説明するための模式図である。 パレート最適個体集合の内挿による初期個体集合の生成方法を説明するための模式図である。 パレート最適個体集合の内挿による初期個体集合の生成方法を説明するための模式図である。 パレート最適個体集合の内挿による初期個体集合の生成方法を説明するための模式図である。 複数のパレート最適個体集合から内挿個体集合を初期個体集合として求めるためのアルゴリズムを示すフローチャートである。 実施例における条件変数の値およびその評価順序を示す図である。 実験結果を示す図である。 他の最適化アルゴリズムを用いた多目的最適化装置の例を示すブロック図である。 多目的最適化問題をエンジンの最適化に適用した例を示す図である。 パレート最適解について説明するための図である。 エンジンの適合を説明するための図である。 パラメトリック多目的最適化問題の概念図を示す図である。 条件変数の複数の値についての多目的最適化問題を解く様子を示す図である。

符号の説明

１ 多目的最適化装置
２ 条件変数計画部
３ 個体集合初期化部
４ 多目的進化型アルゴリズム部
５ 探索履歴記憶部
６ 最適化対象
３０ 解集合初期化部
４０ 多目的最適化アルゴリズム部
５０ 探索履歴記憶部
６１ エンジン
６２ ＥＣＵ
６３ 計測装置
６４ 制御用コンピュータ
６５ 超低慣性ダイナモメータ
１０１ ＣＰＵ
１０２ ＲＯＭ
１０３ ＲＡＭ
１０４ 入力装置
１０５ 表示装置
１０６ 外部記憶装置
１０７ 記録媒体駆動装置
１０８ 入出力インタフェース
１０９ 記録媒体
ｂ１〜ｂ５ 枝
ｃ１〜ｃ５ 矢印
ｆ_１，ｆ_２ 適応度関数
Ｉ１〜Ｉ１０ 個体
Ｉ_１ 内挿個体
ｐ１１〜ｐ１５，ｐ２１〜ｐ２５ 個体
Ｐ１，Ｐ２ 個体集合
ｗ，ｗ_１，ｗ_２ 条件変数
ｗ^２，ｗ^３ 条件変数の値
ｗ^ｑ 要求条件変数値
ｘ_１，ｘ_２ 決定変数

Claims (6)

1. 条件変数に依存して複数の目的関数が変化する最適化対象を最適化するためのパラメトリック多目的最適化装置であって、
   前記最適化対象の条件変数の値を予め設定された順序で選択する条件変数選択部と、
   多目的最適化のための初期解集合を生成する初期解集合生成部と、
   前記条件変数選択部により選択された条件変数の値ごとに前記初期解集合生成部により生成された初期解集合を用いて多目的最適化を行うことにより前記複数の目的関数について決定変数のパレート最適解集合を求める多目的最適化部と、
   前記多目的最適化部による多目的最適化により条件変数の値ごとに得られるパレート最適解集合を記憶する記憶部とを備え、
   前記初期解集合生成部は、前記条件変数選択部により選択される条件変数の一の値についての初期解集合を前記記憶部に記憶される条件変数の他の値についてのパレート最適解集合に基づいて生成することを特徴とするパラメトリック多目的最適化装置。
2. 前記初期解集合生成部は、前記条件変数選択部により選択される条件変数の一の値についての初期解集合を前記記憶部に記憶される条件変数の他の複数の値についての複数のパレート最適解集合の演算により求めることを特徴とする請求項１記載のパラメトリック多目的最適化装置。
3. 前記初期解集合生成部は、
   条件変数空間における条件変数の前記一の値と前記記憶部に記憶された条件変数の他の値との距離に基づいて複数のパレート最適解集合を選択し、
   条件変数の前記一の値に最も近い条件変数の他の値についてのパレート最適解集合を基準とし、基準のパレート最適解集合に含まれる各パレート最適解と選択された条件変数の残りの値についてのパレート最適解集合に含まれる各パレート最適解との対応付けを行い、
   対応付けられた複数のパレート最適解を表す決定変数を被説明変数とし、条件変数を説明変数として統計的処理を行うことにより、条件変数の前記一の値についてのパレート最適解集合を予測し、予測したパレート最適解集合を条件変数の前記一の値についての初期解集合として生成することを特徴とする請求項１または２記載のパラメトリック多目的最適化装置。
4. 前記初期解集合生成部は、決定変数空間において対応付けられたパレート最適解間の距離が最小となるように前記パレート最適解の対応付けを行うことを特徴とする請求項３記載のパラメトリック多目的最適化装置。
5. 条件変数に依存して複数の目的関数が変化する最適化対象を最適化するためのパラメトリック多目的最適化方法であって、
   前記最適化対象の条件変数の値を予め設定された順序で選択するステップと、
   多目的最適化のための初期解集合を生成するステップと、
   前記選択された条件変数の値ごとに前記生成された初期解集合を用いて多目的最適化を行うことにより前記複数の目的関数について決定変数のパレート最適解集合を求めるステップと、
   前記多目的最適化部による多目的最適化により条件変数の値ごとに得られるパレート最適解集合を記憶部に記憶するステップとを備え、
   前記初期解集合を生成するステップは、前記選択される条件変数の一の値についての初期解集合を前記記憶部に記憶される条件変数の他の値についてのパレート最適解集合に基づいて生成するステップを含むことを特徴とするパラメトリック多目的最適化方法。
6. 条件変数に依存して複数の目的関数が変化する最適化対象を最適化するための最適化方法をコンピュータに実行させるパラメトリック多目的最適化プログラムであって、
   前記最適化対象の条件変数の値を予め設定された順序で選択する処理と、
   多目的最適化のための初期解集合を生成する処理と、
   前記選択された条件変数の値ごとに前記生成された初期解集合を用いて多目的最適化を行うことにより前記複数の目的関数について決定変数のパレート最適解集合を求める処理と、
   前記多目的最適化部による多目的最適化により条件変数の値ごとに得られるパレート最適解集合を記憶部に記憶する処理とを、
   前記コンピュータに実行させ、
   前記初期解集合を生成する処理は、前記選択される条件変数の一の値についての初期解集合を前記記憶部に記憶される条件変数の他の値についてのパレート最適解集合に基づいて生成する処理を含むことを特徴とするパラメトリック多目的最適化プログラム。

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