JP2007024665A - 動的応答解析法 - Google Patents

Abstract

【課題】 周波数領域における逐次非線形動的応答解析法を提供すること。
【解決手段】 時系列の順に時間単位ごとの解析モデルの応答波を求めるのに、周波数領域での線形応答解析を行う。第１番目の解析条件として、解析モデルの初期状態および初期物性値を設定し、入力波を解析対象波として周波数領域での線形応答解析を行い、第１番目の時間単位の応答波を求める。第２番目の時間単位以降は、当該番目の直前の解析条件の下で、当該番目の直前の解析対象波に対して求めた応答波において、当該番目の直前の時間単位の応答波に後続する波が応答波となるために入力されるべき波を、周波数領域での線形応答解析により求めて、当該番目の解析対象波と定める。当該番目の直前の時間単位の応答波にもとづいて当該番目の解析条件を設定し、当該番目の解析対象波に対する周波数領域での線形応答解析を行い、当該番目の時間単位の応答波を求める。
【選択図】 図２

Description

本発明は、地震波による地盤の応答等の動的応答の解析法に関し、特に動的応答解析の精度を向上させることができる技術に関するものである。

動的応答を特徴づけるのは、解析対象物の非線形挙動、すなわち、応答の時間変化に応じた状態や物性値の変化である。従来の動的応答解析法は、時間領域における逐次非線形解析法と、周波数領域における等価線形解析法（例えば特許文献１参照）とに大別される。前者の解析法は、解析対象物の動的応答を表現する微分方程式を解く直接積分法を用いて、状態や物性値の時間変化を逐次、直接に考慮するものである。一方、後者の解析法は、解析対象物の状態の時間変化を考慮することは難しく、物性値の時間変化は、それを逐次、直接に考慮せず、物性の非線形特性を考慮しつつ線形解析を複数回繰り返すことにより、代表的な物性値に対する解を得る方法である。この方法は、動的応答解析のうち地盤の地震応答解析に広く用いられている。近年、後者の解析法を構造物の地震応答解析に適用する解析法（特許文献２参照）や、地盤や構造物の地震応答解析において物性値が急激に変化する現象に適用する解析法（特許文献１参照）が開示されている。
特開２００１−１１６６５１号公報 特開２００４−６９３０２号公報

上述の逐次非線形解析法は、解析対象物の応答の時間変化に応じた状態や物性値の変化を逐次、直接に考慮するので、前記時間領域における解析法に限られている。
これに対し、周波数領域における等価線形解析法では、離散的な周波数ごとの定常な応答波の和として解析結果を求めるので、逐次非線形解析が不可能とされ、比較的大きな応答が生じる場合に解析精度が悪いという問題がある。
さらに、周波数領域における等価線形解析法では有効ひずみの概念を用い、有効ひずみ換算係数を設定するが、その設定値が解析精度に影響するという問題がある。また、有効ひずみが解析に用いた物性値に対応するものになるまで、物性値を変化させつつ繰り返し解析を行うが、その際、比較的大きな応答が生じる場合などにおいて、繰り返し回数が相当数に及んでも、有効ひずみが物性値に対応するものとならない場合があるという問題もある。

しかし、周波数領域における等価線形解析法は、基盤（地盤の下層の硬い層）での入力地震波に対する応答波を解析する順解析のみならず、逆解析、すなわち地面や地中で観測された地震波や設計のために規定された地震波から、基盤や構造物の基礎位置での地震波の解析が可能なこと、地震波を鉛直上方に伝播する上昇波と鉛直下方に伝播する下降波に分離できることなど、実用面での優位性がある。
一方、時間領域における逐次非線形解析法では、比較的大きな応答波が生じる場合の解析精度は、一般的には周波数領域における等価線形解析法を上回る。しかし、周波数領域における等価線形解析で可能な逆解析や、波を上昇波と下降波に分離することが困難である。
また、時間領域における逐次非線形解析法は、解析に用いる直接積分の手法により解析精度が異なることや、直接積分の安定性などのために付加される減衰定数が経験的に与えられることなどから、解析者により解析結果に差異が生じやすいという問題がある。さらに、直接積分における時間刻みの大きさにより解が不安定になる場合があるし、直接積分の安定性が高い手法の場合は、一般的に解析精度が悪いという問題がある。
以上、時間領域における逐次非線形解析法と周波数領域における等価線形解析法は、それぞれ長所を有するもののいくつかの問題を有している。

そこで、本発明の課題は、従来の動的応答解析法である、時間領域における逐次非線形解析法と周波数領域における等価線形解析法が有する問題を克服し、両解析法の長所を合わせもつ、優れた動的応答解析法として周波数領域における逐次非線形動的応答解析法を提供することである。

上記課題を解決するため、請求項１に記載の発明は、地震波等の波を対象に設定した、所定の時系列に並ぶ時刻で振幅値を有する入力波が、解析モデルの所定の位置に入力される場合の、前記解析モデルの応答波を求める動的応答解析法において、前記入力波に対する前記解析モデルの応答波を、前記時系列に並ぶ時刻に対し、単一の時刻または時系列に並ぶ複数の時刻のいずれかとして設定した、第１番目から最終の第ｎ番目（２≦ｎ，ｎは整数）までの各々の時間単位である、第ｍ番目（１≦ｍ≦ｎ，ｍは整数）の時間単位ごとに、時系列の順に求める動的応答解析法であって、前記解析モデルの初期状態および初期物性値として設定した、第１番目の解析条件の下で、周波数領域での線形応答解析により、前記入力波を第１番目の解析対象波とし、前記解析モデルの所定の位置に入力した場合の応答波を求め、求めた前記応答波のうち、前記第１番目の時間単位の応答波を、前記入力波に対する前記第１番目の時間単位の応答波とする第１の手順と、前記入力波に対する、第２番目以降としての前記第ｍ番目の時間単位の応答波を求めるのに、第ｍ−１番目の解析条件の下で、周波数領域での線形応答解析により、第ｍ−１番目の解析対象波に対して求めた応答波において、第ｍ−１番目の時間単位の応答波に後続する波以外の振幅値を零とした波が応答波となるために、前記解析モデルの所定の位置に入力されるべき波を、第ｍ番目の解析対象波として求める第２の手順と、前記入力波に対して求めた前記第ｍ−１番目の時間単位の応答波にもとづいて設定した、前記解析モデルの状態および物性値である、第ｍ番目の解析条件の下で、周波数領域での線形応答解析により、前記第ｍ番目の解析対象波を、前記解析モデルの所定の位置に入力した場合の応答波を求め、求めた前記応答波のうち、前記第ｍ番目の時間単位の応答波を、前記入力波に対する前記第ｍ番目の時間単位の応答波とする第３の手順と、前記第２および第３の手順を繰り返して、前記入力波に対する第２番目から最終の第ｎ番目までの各々の時間単位の応答波を時系列の順に求める第４の手順と、を備えることを特徴とする動的応答解析法である。
これにより、当該番目の直前の時間単位の応答波にもとづいて、解析モデルの状態および物性値を設定することができ、それに応じた、当該番目の直前の時間単位の応答波に後続する波の変化を解析しつつ、当該番目の時間単位ごとの応答波を時系列の順に求めることができる。即ち、入力波に対する逐次非線形動的応答解析を、周波数領域での線形応答解析を繰り返すことにより行うことができる。その際に、最小の時間単位である単一の時刻ごとに解析条件を設定して、周波数領域での線形応答解析を行うことができ、高精度な逐次非線形動的応答解析を行うことができる。また、同一の解析条件を適用する時間単位を、所定の時系列に並ぶ複数の時刻として、周波数領域での線形応答解析を行うことができ、解析を迅速に行うことができる。

さらに、請求項２に記載の発明は、請求項１に記載の動的応答解析法であって、当該番目の解析対象波に対して求めた応答波にもとづいて、当該番目の解析条件を変更する時刻を定め、定めた前記時刻の前の単一の時刻または時系列に並ぶ複数の時刻のいずれかを、前記当該番目の解析条件を適用する時間単位として設定することを特徴とする動的応答解析法である。
これにより、解析条件の変更が必要な時刻を判断し、その都度、同一の解析条件を適用する時刻の範囲を同一の時間単位として設定し、その直後の時間単位では解析条件を変更することができる。

さらに、請求項３に記載の発明は、請求項１または２に記載の動的応答解析法であって、さらに、前記入力波を前記第１番目から最終の第ｎ番目までの各々の時間単位ごとに区分した、第１番目から最終の第ｎ番目までの各々の波形単位に対する前記解析モデルの応答波を求めるために、前記第１番目から最終の第ｎ番目までの各々の波形単位である、第ｍ番目の波形単位に対する前記解析モデルの応答波を、第ｍ番目から前記最終の第ｎ番目までの各々の時間単位である、第ｋ番目（ｍ≦ｋ≦ｎ，ｋは整数）の時間単位ごとに、時系列の順に求める動的応答解析法であり、前記第ｍ番目の解析条件の下で、周波数領域での線形応答解析により、前記入力波において前記第ｍ番目の波形単位以外の振幅値を零とした波を前記第ｍ番目の波形単位の第ｍ番目の解析対象波とし、前記解析モデルの所定の位置に入力した場合の応答波を求め、求めた前記応答波のうち、前記第ｍ番目の時間単位の応答波を、前記第ｍ番目の波形単位に対する前記第ｍ番目の時間単位の応答波とする第５の手順と、前記第ｍ番目の波形単位に対する、第ｍ＋１番目以降としての前記第ｋ番目の時間単位の応答波を求めるのに、第ｋ−１番目の解析条件の下で、周波数領域での線形応答解析により、前記第ｍ番目の波形単位の第ｋ−１番目の解析対象波に対して求めた応答波において、第ｋ−１番目の時間単位の応答波に後続する波以外の振幅値を零とした波が応答波となるために、前記解析モデルの所定の位置に入力されるべき波を、前記第ｍ番目の波形単位の第ｋ番目の解析対象波として求める第６の手順と、第ｋ番目の解析条件の下で、周波数領域での線形応答解析により、求めた前記第ｍ番目の波形単位の前記第ｋ番目の解析対象波を、前記解析モデルの所定の位置に入力した場合の応答波を求め、求めた前記応答波のうち、前記第ｋ番目の時間単位の応答波を、前記第ｍ番目の波形単位に対する前記第ｋ番目の時間単位の応答波とする第７の手順と、前記第６および第７の手順を繰り返して、前記第ｍ番目の波形単位に対する第ｍ＋１番目から最終の第ｎ番目までの各々の時間単位の応答波を、時系列の順に求める第８の手順と、前記第５および第８の手順を繰り返して、前記第１番目から最終の第ｎ番目までの各々の波形単位に対する応答波を求める第９の手順と、を備えることを特徴とする動的応答解析法である。
これにより、各々の波形単位ごとに、当該番目の直前の時間単位での入力波に対する応答波にもとづいて設定した、当該番目の解析モデルの状態および物性値に応じて、当該番目の直前の時間単位の応答波に後続する波の変化を解析しつつ、当該番目の時間単位ごとの応答波を時系列の順に求めることができる。すなわち、各々の波形単位に対する逐次非線形動的応答解析を、周波数領域での線形応答解析を繰り返すことにより行うことができる。

さらに、請求項４に記載の発明は、請求項３に記載の動的応答解析法であって、前記入力波に対する前記解析モデルの応答波を、求めた前記第１番目から最終の第ｎ番目までの各々の波形単位に対する前記解析モデルの応答波をもとに求める動的応答解析法であり、求めた第１番目の波形単位に対する第１番目の時間単位の応答波を、前記入力波に対する第１番目の時間単位の応答波とする第１０の手順と、前記入力波に対する、第２番目以降としての前記第ｍ番目の時間単位の応答波を求めるのに、第１番目から第ｍ番目までの各々の波形単位に対する第ｍ番目の時間単位の応答波を足し合わせて、前記入力波に対する第ｍ番目の時間単位の応答波とする第１１の手順と、前記第１１の手順を繰り返して、第２番目から最終の第ｎ番目までの各々の時間単位の前記入力波に対する応答波を求める第１２の手順と、を備えることを特徴とする動的応答解析法である。
これにより、逐次非線形動的応答解析において、入力波に対する応答波を、各々の波形単位に対する応答波を足し合わせたものとしてとらえることができる。

請求項１記載の発明によれば、入力波に対する周波数領域における逐次非線形動的応答解析を行うことができ、この周波数領域における逐次非線形動的応答解析により、上述の時間領域における逐次非線形解析法の長所と周波数領域における等価線形解析法の長所とを合わせもつ動的応答解析を行うことができる。このため、特に比較的大きな応答波が生じる場合にも精度よく解析でき、かつ、順解析のみならず逆解析も可能となる。さらに波を上昇波および下降波に分離できる。

さらに、請求項２記載の発明によれば、解析モデルの状態および物性値である、解析条件の変更の必要性を判断し、解析条件の変更に応じて時間単位を設定でき、迅速かつ高精度に入力波に対する周波数領域における逐次非線形動的応答解析を行うことができる。

さらに、請求項３記載の発明によれば、請求項１または２記載の発明の効果とともに、入力波を各々の時間単位ごとに区分した、各々の波形単位に対する周波数領域における逐次非線形動的応答解析を行うことができる。

さらに、請求項４記載の発明によれば、請求項３に記載の発明の効果とともに、入力波に対する応答波を、各々の波形単位に対する応答波を足し合わせたものとして求めることができ、各々の波形単位が時系列の順に時間単位ごとに入力されるのに伴い、各々の波形単位ごとの応答波がどのように変化して、入力波の応答波となるかを解析することができる。

以下、本発明における実施の形態を図面を参照して説明する。
図１は、本発明による周波数領域での逐次非線形動的応答解析法を実施して、入力波に対する応答波を求める場合のフローチャートを示し、図２は図1の続きを示すフローチャートである。図３は、前記解析法における入力波と時間単位を示す。図４は、前記解析法において、第ｍ−１番目の解析対象波に対して求めた応答波と、その応答波をもとに第ｍ番目の解析対象波を設定する説明図を示す。

図１および図２のフローチャートにおいて、まず、図３に示すような動的応答解析の対象とする入力波を設定する（ステップＳ１）。入力波として、地震、風、衝撃、振動、波浪、気体や流体の抵抗、人工的な起振などによる各種の波、振動実験における荷重波や風洞実験における作用波などがある。入力波は、変位、速度、加速度のいずれかで設定され、所定の同一の時間間隔で時系列に並ぶ時刻で振幅値を有する波として定められる。図３に示す入力波において、・印が時刻ごとの入力波の振幅値である。

入力波が設定されると、入力波を設定した所定の同一の時間間隔で時系列に並ぶ時刻に対し、第１番目から順に最終の第ｎ番目（２≦ｎ,ｎは整数）までの各々の時間単位を設定する（ステップＳ２）。
図３に、入力波に対して各々の時間単位を設定した例を示す。第１番目、第２番目、第ｍ−１番目、第ｍ番目および最終の第ｎ番目の時間単位がそれぞれＴ₁、Ｔ₂、Ｔ_m-1、Ｔ_mおよびＴ_nである。時間単位は単一の時刻か、時系列に並ぶ複数の時刻のいずれかとして設定する。図３においては、第ｍ番目の時間単位が単一の時刻、第１番目、第２番目、第ｍ−１番目、第ｎ番目の時間単位が、それぞれ異なる複数の時刻からなる時間単位である。すべての時間単位を単一の時刻としてもよいし、各々の時間単位をそれぞれ所定の時系列に並ぶ複数の時刻としてもよい。各々の時間単位として、単一の時刻と時系列に並ぶ複数の時刻が混在してもよい。
高精度な逐次非線形動的応答解析を行うためには、応答波の時間変化に応じた解析モデルの状態および物性値の変化を逐次与える必要があり、時間単位が短いほど解析精度は高い。一方、時間単位の数が多いほど解析時間を要する。解析時間の短縮をはかる場合などは必要に応じて、時間単位を長く設定することも可能である。

なお、図３に示すように、入力波に対して、入力波の前後それぞれに、入力波を設定した時刻と同じ時間間隔で時系列に並ぶ所定の時刻における振幅値を零としたものを付加した波を用いてもよい。こうすることにより、時刻ごとの振幅値として与えられる入力波のデータ数を調整し、後述のフーリエ変換、逆変換に高速フーリエ変換、高速フーリエ逆変換を用いることが可能で、解析を迅速に行うことができる。

入力波と各々の時間単位を設定したら、各々の時間単位である第ｍ番目（１≦ｍ≦ｎ,ｍは整数）の時間単位ごとに、時系列の順に解析を行う。最初に、第１番目の時間単位の解析を行う（ステップＳ３）。
まず、入力波を第１番目の解析対象波として設定する（ステップＳ４）。

本発明では、地盤、構造物、機器、配管、装置、車両、船舶、自動車、飛行機など、あるいはそれらを模した試験体や部材、さらには地盤と構造物や基礎、機器と基礎などの連成系を含む様々な対象物の動的応答解析を行うことができる。
まず、解析対象物を各要素に分割してモデル化し、解析モデルの初期状態を設定するとともに、各要素に初期物性値を設定し、解析モデルの初期状態および初期物性値を第１番目の解析条件とする（ステップＳ５）。例えば、解析対象物が構造物であれば、剛性と減衰定数の初期値、解析対象物が地盤であれば、せん断剛性と減衰定数の初期値を設定する。解析モデルの各要素の質量もあわせて設定する。さらに、解析モデルにおいて入力波が入力される所定の位置として、入力波設定位置を定める。入力波設定位置は、解析モデルの境界だけでなく、解析モデルの任意点に定めて解析を行うことができる。

以上、第１番目の解析対象波（ステップＳ４）と第１番目の解析条件の設定（ステップＳ５）が終了すると、第１番目の解析対象波を解析モデルの入力波設定位置に入力する場合の、周波数領域での線形応答解析を行う（ステップＳ６）。
この周波数領域での線形応答波解析では、まず第１番目の解析対象波をフーリエ変換し、フーリエスペクトルを求める。一方、第１番目の解析条件の下で、周波数応答関数を周波数領域での線形応答解析により求める。
フーリエスペクトルと周波数応答関数が求められると、両者をかけ合わせて応答波のフーリエスペクトルを求める。そしてこれをフーリエ逆変換し、第１番目の解析対象波に対する応答波が得られる（ステップＳ７）。

第１番目の解析対象波に対する応答波は、第１番目の時間単位以降に応答値を有するが、そのうち、第１番目の時間単位の応答波を求める（ステップＳ９）。ここで、応答波とは、変位、速度、加速度、応力、ひずみなどである。第１番目の時間単位の応答波が求められたら解析結果として保存する。

第１番目の時間単位の解析が終了すると、第２番目の時間単位の解析に移る。第２番目の時間単位以降の解析は、同じ手順の繰り返しとなるので、時間単位については第ｍ−１番目の時間単位、第ｍ番目の時間単位と一般的な表現を用いて説明する。

第ｍ−１番目の時間単位の解析に引き続き、第ｍ番目の時間単位の解析を行う（ステップＳ１０）。
以下、図４を参照して説明する。第ｍ−１番目の解析対象波（図４の左側の下段（ｂ））を、解析モデル（図４の中央（ａ））の入力波設定位置に入力した場合の、周波数領域での線形応答解析により、第ｍ−１番目の解析対象波に対する応答波（図４の左側の枠内（ｃ））が求められる（ステップＳ１１）。図４には、解析モデルの３箇所の応答波を示している。この応答波は、第ｍ−１番目の時間単位以降に応答値を有する（図４の左側の枠内（ｄ）,（ｅ））。この応答波のうち、第ｍ−１番目の時間単位の応答波（図４の左側の枠内（ｄ））に後続する波（図４の左側の枠内（ｅ））は、第ｍ−１番目の解析条件がそのまま変化しない場合の応答波である。しかし、実際は第ｍ−１番目の時間単位での応答波（図４の左側の枠内（ｄ））により解析条件が変化して、この後続する波も変化する。
そこで第ｍ−１番目の時間単位の応答波に後続する波が応答波となるために、入力波設定位置に入力されるべき波を、周波数領域での線形応答解析（ステップＳ１４）により求める。

この手順は以下のとおりである。まず、第ｍ−１番目の解析対象波（図４の左側の下段（ｂ））に対して求めた応答波（図４の左側の枠内（ｃ））のうち、第ｍ−１番目の時間単位の応答波に後続する波以外の振幅値を零にした波（図４の右側の枠内（ｆ））を設定する（ステップＳ１２）。図４には、解析モデルの３箇所の応答波に対してこの状況を示している。実際には、解析モデルの任意の位置における第ｍ−１番目の解析対象波に対して求めた応答波を対象に、上記の設定を行えばよい。次に、その設定した波をフーリエ変換し、フーリエスペクトルを求める。一方、解析モデルの状態および物性値として第ｍ−１番目の解析条件の下で（ステップＳ１３）、周波数応答関数を周波数領域での線形応答解析により求める。
次に、フーリエスペクトルと周波数応答関数の逆数をかけ合わせて、第ｍ−１番目の時間単位の応答波に後続する波以外の振幅値を零とした波（図４の右側の上段（ｆ））が応答波となるために、入力波設定位置に入力されるべき波のフーリエスペクトルを求める。そしてこれをフーリエ逆変換し、入力波設定位置に入力すべき波が得られ（図４の右側の下段（ｇ））、これを第ｍ番目の解析対象波として設定する（ステップＳ１５）。

入力波に対する第ｍ−１番目の時間単位の応答波（ステップＳ１６）に応じて、第ｍ番目の解析条件を設定する（ステップＳ１７）。各要素の物性値は、物性の非線形特性に係るデータをもとに設定する。例えば、解析対象物が構造物であれば、剛性や減衰定数と変位の関係から応答波としての変位をもとに剛性や減衰定数を設定する。解析対象物が地盤であれば、せん断剛性や減衰定数とせん断ひずみの関係から、応答波としてのせん断ひずみをもとにせん断剛性や減衰定数を設定する。また応答波としての、変位、ひずみ、応力などをもとに、解析モデルの状態としてのはく離、亀裂、すべり、分離、接触、貫入などの現象に応じた解析モデルに変更する。

第ｍ番目の解析条件を設定したら（ステップＳ１７）、第ｍ番目の解析対象波を解析モデルの入力波設定位置に入力する場合の、周波数領域での線形応答解析を行う（ステップＳ１８）。この手順は段落００２０で説明した、第１番目の解析対象波を解析モデルの入力波設定位置に入力する場合の、周波数領域での線形応答解析と同じである。
第ｍ番目の解析対象波をフーリエ変換し、フーリエスペクトルを求める。一方、第ｍ番目の解析条件の下で（ステップＳ１７）、周波数応答関数を周波数領域の線形応答解析により求める。
フーリエスペクトルと周波数応答関数が求められると、両者をかけ合わせて応答波のフーリエスペクトルを求める。そしてこれをフーリエ逆変換し、第ｍ番目の解析対象波に対する応答波を得る（ステップＳ１９）。

なお、段落００２４で説明したとおり、第ｍ番目の解析対象波は、入力波設定位置に入力されるべき波のフーリエスペクトルをフーリエ逆変換したものである。一方、段落００２６で説明したとおり、第ｍ番目の解析対象波を解析モデルの入力波設定位置に入力する場合の、周波数領域での線形応答解析では、第ｍ番目の解析対象波をフーリエ変換し、フーリエスペクトルを求める。
よって、第ｍ番目の解析対象波に係わる前記のフーリエ逆変換とフーリエ変換は行わず、入力波設定位置に入力されるべき波のフーリエスペクトルに、第ｍ番目の解析条件の下で求めた周波数応答関数をかけ合わせて、応答波のフーリエスペクトルを求めることができ、これをフーリエ逆変換することにより、第ｍ番目の解析対象波に対する応答波を得る（ステップＳ１９）ことも可能である。

第ｍ番目の解析対象波に対する応答波は、第ｍ番目の時間単位以降に応答値を有するが、そのうち、第ｍ番目の時間単位の応答波を求め（ステップＳ９）、これを解析結果として保存する。
上記の手順を繰り返し、第２番目から最終の第ｎ番目までの時間単位の応答波を求め（ステップＳ２１）、解析結果として保存する。

第１番目から最終の第ｎ番目までの各々の時間単位での応答波を時系列に連ねることにより、加速度など各種応答の時刻歴応答波形を得ることができる。また、各種応答の最大値やスペクトル、各々の時刻での各種応答値の解析モデルにおける分布など各種の解析結果を算出し（ステップＳ２２）、解析は終了する。

本発明においては、設定した入力波に対して、あらかじめ第１番目から最終の第ｎ番目までの時間単位を設定し（ステップＳ２）、周波数領域における逐次非線形動的応答解析を行うこともできるが、当該番目の解析対象波に対する応答波を求めてから、その応答波にもとづいて、時間単位を当該番目の解析条件を適用する時間単位として設定することも可能である。

この方法により時間単位を設定する手順は以下のとおりである。第ｍ番目の解析対象波に対して求めた応答波（ステップＳ７、ステップＳ１９）は、当該番目の解析条件を変更しないで、そのまま適用するとした場合の応答波である。この応答波は、この時点では未定である第ｍ番目の時間単位となる時間単位以降に応答値を有する。この応答波にもとづいて、当該番目の解析条件を変更する時刻を求め、定めた前記時刻の前の単一の時刻または時系列に並ぶ複数の時刻のいずれかを、当該番目の解析条件を適用する時間単位として設定し（ステップＳ８、ステップ２０）、その直後の時間単位に対する解析では解析条件を変更する。すなわち、不要な時間単位を設定することなく、解析条件の変更に応じて時間単位を設定でき、迅速かつ高精度に逐次非線形動的応答解析を行うことができる。
各要素の物性値は、物性の非線形特性に係るデータをもとに設定するが、例えば、解析対象物が構造物であれば、剛性や減衰定数と変位の関係から応答波としての変位をもとに剛性や減衰定数をそのまま用いる時間単位を設定する。解析対象物が地盤であれば、せん断剛性や減衰定数とせん断ひずみの関係から、応答波としてのせん断ひずみをもとにせん断剛性や減衰定数をそのまま用いる時間単位を設定する。また応答波としての、変位、ひずみ、応力などをもとに、解析モデルの状態としてのはく離、亀裂、すべり、分離、接触、貫入などの現象に対して、解析モデルを変更せずにそのまま用いる時間単位を設定する。

上記の方法により、第１番目から最終の第ｎ番目までのすべての時間単位を設定することも可能である。この場合は、図１のフローチャートにおいて、ステップＳ２を省いたフローで解析を実施する。設定した入力波に対して、あらかじめ第１番目から最終の第ｎ番目までのすべての時間単位を設定する場合は、図１のフローチャートにおいてステップＳ８を、図２のフローチャートにおいてステップＳ２０を省いたフローで解析を実施する。
なお、上記の方法により設定する時間単位と、あらかじめ設定する時間単位が混在しての解析も可能である。

以上により、入力波に対する逐次非線形動的応答解析を行うことができる。

さらに、本発明では、入力波を各々の時間単位ごとに区分した各々の波形単位を設定し、各々の波形単位に対し、時系列の順に時間単位ごとの解析モデルの応答波を求めることができる。そして、各々の波形単位に対する応答波から、入力波に対する応答波を求めることもできる。
以下、その発明における実施の形態を、図面を参照して説明する。図５は、本発明による周波数領域における逐次非線形動的応答解析法を実施して、波形単位に対する応答波を求める場合のフローチャートを示し、図６は図５の続きを示すフローチャートである。図７は、前記解析法における入力波と、入力波を波形単位に区分し波形単位以外の振幅値を零とした波の設定の説明図、および各々の波形単位に対する応答波と、それらの応答波から入力波に対する応答波を求める説明図を示す。ここで、第ｍ番目の時間単位をＴ_mで示す。なお、ｍは整数であり、１≦ｍ≦ｎである。

図５および図６のフローチャートにおいて、まず、設定した入力波を第１番目から最終の第ｎ番目までの時間単位ごとに区分した、第１番目から最終の第ｎ番目までの各々の波形単位である第ｍ番目（１≦ｍ≦ｎ,ｍは整数）の波形単位を設定する（ステップＳ２５）。
図７の左側に、上段に再掲した図３と同じ入力波に対して各々の波形単位を設定した例を示す。第１番目、第２番目、第ｍ−１番目、第ｍ番目および最終の第ｎ番目の時間単位であるＴ₁、Ｔ₂、Ｔ_m-1、Ｔ_m、Ｔ_nごとに区分した、第１番目、第２番目、第ｍ−１番目、第ｍ番目および最終の第ｎ番目の波形単位をそれぞれＶ₁、Ｖ₂、Ｖ_m-1、Ｖ_m、Ｖ_nで示す。時間単位を単一の時刻と設定した場合は、波形単位が単一の時刻での入力波の振幅値を有するインパルスであり、時間単位を所定の時系列に並ぶ複数の時刻と設定した場合は、波形単位は時系列に並ぶ複数の時刻で入力波の振幅値を有する波である。図７においては、第ｍ番目の波形単位がインパルス、第１番目、第２番目、第ｍ−１番目、第ｎ番目の波形単位が、それぞれ異なる複数の時刻で入力波の振幅値を有する波である。

各々の波形単位である第ｍ番目の波形単位を設定したら（ステップＳ２５）、入力波において第ｍ番目の波形単位以外の振幅値を零とした波を、第ｍ番目の波形単位の第ｍ番目の解析対象波として設定する（ステップＳ２６）。
図７の左側に示すように入力波に対して、入力波の前後それぞれに、入力波を設定した時刻と同じ時間間隔で時系列に並ぶ所定の時刻における振幅値を零としたものを付加した波を用いてもよい。こうすることにより、時刻ごとの振幅値として与えられる第ｍ番目の波形単位の第ｍ番目の解析対象波のデータ数を調整し、後述のフーリエ変換、逆変換に高速フーリエ変換、高速フーリエ逆変換を用いることが可能で、解析を迅速に行うことができる。

各々の波形単位に対する応答波を求める方法は、既に説明した、入力波に対する応答波を求める方法と同様であるが、以下に具体的に説明する。

ステップＳ５あるいはステップＳ１７で設定した第ｍ番目の解析条件を、再度ここで設定する（ステップＳ２７）。

以上、第ｍ番目の波形単位の第ｍ番目の解析対象波（ステップＳ２６）と、第ｍ番目の解析条件の設定（ステップＳ２７）が終了すると、第ｍ番目の波形単位の第ｍ番目の解析対象波を、解析モデルの入力波設定位置に入力する場合の、周波数領域での線形応答波解析を行う（ステップＳ２８）。
この周波数領域での線形応答波解析では、まず、第ｍ番目の波形単位の第ｍ番目の解析対象波をフーリエ変換し、フーリエスペクトルを求める。一方、第ｍ番目の解析条件の下で、周波数応答関数を周波数領域での線形応答解析により求める。
フーリエスペクトルと周波数応答関数が求められると、両者をかけ合わせて応答波のフーリエスペクトルを求める。そしてこれをフーリエ逆変換し、第ｍ番目の波形単位の第ｍ番目の解析対象波に対する応答波を得る（ステップＳ２９）。

第ｍ番目の波形単位の第ｍ番目の解析対象波に対する応答波は、第ｍ番目の時間単位以降に応答値を有するが、そのうち第ｍ番目の時間単位の応答波を求め（ステップＳ３１）、これを解析結果として保存する。

第ｍ番目の時間単位の解析が終了すると、第ｍ＋１番目の時間単位の解析に移る。第ｍ＋１番目の時間単位以降としての第ｋ番目の時間単位の解析は、同じ手順の繰り返しとなるので、時間単位については第ｋ−１番目の時間単位、第ｋ番目の時間単位と一般的な表現を用いて説明する。

第ｋ−１番目の時間単位の解析に引き続き第ｋ番目の時間単位の解析を行う（ステップＳ３２）。
以下の説明は、段落００２３で図４を参照して説明したものと同様で、具体的には以下のとおりである。第ｍ番目の波形単位の第ｋ−１番目の解析対象波を、解析モデルの入力波設定位置に入力した場合の、周波数領域での線形応答解析により、第ｍ番目の波形単位の第ｋ−１番目の解析対象波に対する応答波が求められる（ステップＳ３３）。この応答波は、第ｋ−１番目の時間単位以降に応答波を有する。この応答波のうち、第ｋ−１番目の時間単位の応答波に後続する波は、第ｋ−１番目の解析条件がそのまま変化しない場合の応答波である。しかし実際は、入力波に対する第ｋ−１番目の時間単位での応答波に応じて解析条件が変化して、この後続する波も変化する。
そこで第ｋ−１番目の時間単位の応答波に後続する波が応答波となるために、入力波設定位置に入力されるべき波を、周波数領域での線形応答解析（ステップＳ３６）により求める。

この手順は、段落００２４で図４を参照して説明したものと同様で、具体的には以下のとおりである。まず、解析モデルの任意の位置における、第ｍ番目の波形単位の第ｋ−１番目の解析対象波に対して求めた応答波のうち、第ｋ−１番目の時間単位の応答波に後続する波以外の振幅値を零にした波を設定する（ステップＳ３４）。次に、その設定した波をフーリエ変換し、フーリエスペクトルを求める。一方、解析モデルの状態および物性値として第ｋ−１番目の解析条件の下で（ステップＳ３５）、周波数応答関数を周波数領域での線形応答解析により求める。
次に、フーリエスペクトルと周波数応答波関数の逆数をかけ合わせて、第ｋ−１番目の時間単位の応答波に後続する波以外の振幅値を零とした波が応答波となるために、入力波設定位置に入力されるべき波のフーリエスペクトルを求める。そしてこれをフーリエ逆変換し、入力波設定位置に入力すべき波が得られ、これを第ｍ番目の波形単位の第ｋ番目の解析対象波として設定する（ステップＳ３７）。

ステップＳ１７で設定した第ｋ番目の解析条件を、再度ここで設定する（ステップＳ３８）。

第ｋ番目の解析条件を設定したら、第ｍ番目の波形単位の第ｋ番目の解析対象波を、解析モデルの入力波設定位置に入力する場合の周波数領域での線形応答解析を行う（ステップＳ３９）。この手順は段落００３９で、第ｍ番目の波形単位に対する第ｍ番目の解析対象波を、解析モデルの入力波設定位置に入力する場合の周波数領域での線形応答解析のところで述べたものと同じである。
第ｍ番目の波形単位の第ｋ番目の解析対象波をフーリエ変換し、フーリエスペクトルを求める。一方、第ｋ番目の解析条件の下で、周波数応答関数を周波数領域の線形応答解析により求める。
フーリエスペクトルと周波数応答関数が求められると、両者をかけ合わせて応答波のフーリエスペクトルを求める。そしてこれをフーリエ逆変換し、第ｍ番目の波形単位の第ｋ番目の解析対象波に対する応答波を得る（ステップＳ４０）。

なお、段落００４３で説明したとおり、ステップＳ３７で設定した第ｍ番目の波形単位の第ｋ番目の解析対象波は、入力波設定位置に入力されるべき波のフーリエスペクトルをフーリエ逆変換したものである。一方、段落００４５で説明したとおり、第ｍ番目の波形単位の第ｋ番目の解析対象波を、解析モデルの入力波設定位置に入力する場合の、周波数領域での線形応答解析では、第ｍ番目の波形単位の第ｋ番目の解析対象波をフーリエ変換し、フーリエスペクトルを求める。
よって、上記の第ｍ番目の波形単位の第ｋ番目の解析対象波に係わる、フーリエ逆変換とフーリエ変換は行わず、入力波設定位置に入力されるべき波のフーリエスペクトルに、第ｋ番目の解析条件の下で求めた周波数応答関数をかけ合わせて、応答波のフーリエスペクトルを求めることができる。そして、これをフーリエ逆変換し、第ｍ番目の波形単位の第ｋ番目の解析対象波に対する応答波を得る（ステップＳ４０）ことも可能である。

第ｍ番目の波形単位の第ｋ番目の解析対象波に対する応答波（ステップＳ４０）は、第ｋ番目の時間単位以降に応答値を有するが、そのうち第ｋ番目の時間単位の応答波を求め、これを解析結果として保存する。
上記の手順を繰り返し、第ｍ＋１番目から最終の第ｎ番目の時間単位までの応答波を求め、解析結果として保存し、第ｍ番目の波形単位に対する解析が終了する（ステップＳ４１）。

さらに、波形単位ごとに上記の手順を繰り返し、第１番目から最終の第ｎ番目までの波形単位に対する各々の時間単位の応答波を求め（ステップＳ４２）、解析結果として保存する。

各々の波形単位である第ｍ番目の波形単位ごとに、第ｍ番目から最終の第ｎ番目までの各々の時間単位での応答波を時系列に連ねることにより、各々の波形単位ごとの加速度など各種応答の時刻歴応答波形を得ることができる。また、各々の波形単位ごとの各種応答の最大値やスペクトル、各々の時刻での各種応答値の解析モデルにおける分布など各種の解析結果を算出し（ステップＳ４３）、解析は終了する。

各々の波形単位に対する応答波を求めたら、それらの応答波から入力波に対する応答波を求めることもできる。その説明図を図７に示す。図７の右側には、第１番目から最終の第ｎ番目までの各々の波形単位に対する応答波を示す。各々の波形単位である第ｍ番目の波形単位に対する応答波は、図７の左側に示した、第ｍ番目の波形単位以外の振幅値を零とした波に対する応答波として求められたものである。
図７の左側において、第１番目から最終の第ｎ番目までの各々の波形単位以外の振幅値を零とした波を足し合わせたものは入力波である。図７の右側において、各々の波形単位である第ｍ番目の波形単位に対する応答波は、第ｍ番目の時間単位以降に応答値を有する。よって、入力波に対する第１番目の時間単位の応答波は、第１番目の波形単位に対する第１番目の時間単位の応答波として求める。入力波に対する第２番目以降としての第ｍ番目の時間単位の応答波は、第１番目から第ｍ番目までの各々の波形単位に対する第ｍ番目の時間単位の応答波を足し合わせて求めることができ、この手順を繰り返し、入力波に対する第２番目から最終の第ｎ番目までの時間単位の応答波が求められる。以上により、図７の右側の下に示すとおり、入力波に対する応答波を得る。

これにより、逐次非線形動的応答解析において、入力波に対する応答波を、各々の波形単位ごとの応答波を足し合わせたものとしてとらえることができ、各々の波形単位が時系列の順に時間単位ごとに入力されるのに伴い、各々の波形単位ごとの応答波がどのように変化して、入力波の応答波となるかを解析することができる。

以上、本発明を実施するための最良の形態を説明したが、本発明の周波数領域における逐次非線形動的応答解析法をプログラムした解析コードをコンピュータに実行させることにより、あるいは、動的応答解析を含む各種の解析システムにおいて、本発明の周波数領域における逐次非線形動的応答解析法を採用することにより、本発明の作用効果が実現される。

（実施例）
本発明の実施例について、図面を参照して説明する。図８は、本発明の周波数領域における逐次非線形動的応答解析法による実施例の地盤の構造と、地震観測記録および解析結果としての加速度時刻歴波形を示す。図９は、前記実施例の地盤の構造と解析モデルの説明図を示す。図１０は、前記実施例で用いた解析モデルの初期物性値を示す。図１１は、前記実施例で用いた地盤物性の非線形特性であるせん断剛性と減衰定数のせん断ひずみ依存曲線を示す。図１２は、前記実施例の解析結果としての上昇波と下降波に分離した加速度時刻歴波形を示す。

本実施例は、実地震における地盤での地震観測記録の再現解析を行い、解析結果と地震観測記録の比較を行って、本発明の周波数領域における逐次非線形動的応答解析法の有効性を検証した例である。
対象とした地震観測記録は、1987年11月24日に、アメリカのカリフォルニア州ワイルドライフで、スーパースティション・ヒルズ（Superstition Hills）地震の際に観測されたものである。地盤の構造と、地面と地中（地面から7.5ｍの深度）の地震計設置位置を図８の（ａ）に示す。図８の左側の下段（ｂ）が、地中で観測された加速度時刻歴波形、図８の右側の上段（ｄ）が、地面で観測された加速度時刻歴波形である。

観測された加速度時刻歴波形は、1/200秒間隔の時刻ごとの振幅値のデータとして得られている。観測された加速度時刻歴波形の前後それぞれに、1/200秒間隔で時系列に並ぶ時刻における振幅値を零としたものを付加して、解析に用いる入力波とした。これにより、解析に用いる入力波のデータ数を調整して、高速フーリエ変換、高速フーリエ逆変換を用いることができるようにした。
入力波の全時間にわたって、時間単位はすべて1/200秒ごとの単一の時刻とした。

図９の左側に地盤の構造を再掲する。地盤の構造は上層から順に「シルト」、「砂質シルト」（砂が少し入ったシルト）、「シルト質砂」（シルトが少し入った砂）および「粘性シルト」である。図９の右側に、地盤を各層（各要素）に分割した解析モデルを示す。図中の番号は層番号である。「シルト」を層番号１〜７の各層に分割し、「砂質シルト」を層番号８〜１０の各層に分割し、「シルト質砂」を層番号１１〜１９の各層に分割し、「粘性シルト」を層番号２０〜２２の各層に分割して解析モデルとする。なお、シルトの中間に地下水の水面２３が位置している。また、層番号１の層の表面１ａと、層番号２２の層の下面２２ａが、それぞれ地面と地中（地面から7.5ｍの深度）の地震計設置位置である。
図１０に、解析モデルの初期物性値を示す。図１０には、各層の下端深度、層厚とともに、単位体積重量、せん断剛性の初期値、減衰定数の初期値を示している。
図１１が解析に用いた、地盤物性の非線形特性であるせん断剛性と減衰定数のせん断ひずみ依存曲線である。せん断剛性と減衰定数を、各層ごとに直前の時間単位の各層のひずみに応じて図１１にもとづき設定した。周波数領域での線形応答解析は、重複反射理論による解を用いた。

地中で観測された加速度時刻歴波形を、層番号２２の層の下面２２ａにおける入力波とし、本発明の周波数領域における逐次非線形動的応答解析法を適用して得た、層番号１の層の表面１ａでの加速度時刻歴波形を、図８の左側の上段（ｃ）に示す。これは、図８の右側の上段（ｄ）に示した、地面で観測された加速度時刻歴波形を概ね良好に再現している。
一方、上記とは逆に、地面で観測された加速度時刻歴波形を、層番号１の層の表面１ａにおける入力波とし、本発明の周波数領域における逐次非線形動的応答解析法を適用して得た、層番号２２の層の下面２２ａでの加速度時刻歴波形を、図８の右側の下段（ｅ）に示す。これは、図８の左側の下段（ｂ）に示した、地中で観測された加速度時刻歴波形を概ね良好に再現している。
このように、本発明の周波数領域における逐次非線形動的応答解析法によれば、前者の地面での加速度時刻歴波形を求めた順解析のみならず、後者の地中での加速度時刻歴波形を求めた逆解析の逐次非線形動的応答解析が可能である。

さらに、本発明の周波数領域における逐次非線形動的応答解析法を適用して得た、図８の右側の下段（ｅ）に示した地中での加速度時刻歴波形を、鉛直上方に伝播する上昇波と鉛直下方に伝播する下降波に分離したものを、図１２に示した。上昇波は地面から地中までの地盤の影響を受けていない、下方より地中に伝播してきた波であるのに対し、下降波は地面から地中までの地盤の影響を受けた波である。
このように１次元問題においては、周波数応答関数を求める線形応答解析として、本解析例のように重複反射理論などによる理論解を用いる場合には、上昇波と下降波を求めることが可能である。

以上、本実施例により、本発明の周波数領域における逐次非線形動的応答解析法の有効性が確認された。

本発明の実施の形態に係る周波数領域における逐次非線形動的応答解析法を実施して、入力波に対する応答波を求める場合のフローチャートである。 図１の続きを示すフローチャートである。 前記解析法における入力波と時間単位を示す説明図である。 前記解析法において、第ｍ−１番目の解析対象波に対して求めた応答波と、その応答波をもとに第ｍ番目の解析対象波を定める説明図である。 本発明の実施の形態に係る周波数領域における逐次非線形動的応答解析法を実施して、波形単位に対する応答波を求める場合のフローチャートである。 図５の続きを示すフローチャートである。 前記解析法における入力波と、入力波を波形単位に区分し波形単位以外の振幅値を零とした波の設定の説明図、および各々の波形単位に対する応答波と、それらの応答波から入力波に対する応答波を求める説明図である。 本発明の周波数領域における逐次非線形動的応答解析法による実施例の地盤の構造と、地震観測記録および解析結果としての加速度時刻歴波形を示す図である。 前記実施例の地盤の構造と解析モデルの説明図である。 前記実施例で用いた解析モデルの初期物性値を示す図である。 前記実施例で用いた地盤物性の非線形特性であるせん断剛性と減衰定数のせん断ひずみ依存曲線を示す図である。 前記実施例の解析結果としての上昇波と下降波に分離した加速度時刻歴波形を示す図である。

符号の説明

Ｔ₁〜Ｔ_n 第１番目の時間単位〜第ｎ番目の時間単位
Ｖ₁〜Ｖ_n 第１番目の波形単位〜第ｎ番目の波形単位

Claims (4)

1. 地震波等の波を対象に設定した、所定の時系列に並ぶ時刻で振幅値を有する入力波が、解析モデルの所定の位置に入力される場合の、前記解析モデルの応答波を求める動的応答解析法において、
   前記入力波に対する前記解析モデルの応答波を、前記時系列に並ぶ時刻に対し、単一の時刻または時系列に並ぶ複数の時刻のいずれかとして設定した、第１番目から最終の第ｎ番目（２≦ｎ，ｎは整数）までの各々の時間単位である、第ｍ番目（１≦ｍ≦ｎ，ｍは整数）の時間単位ごとに、時系列の順に求める動的応答解析法であって、
   前記解析モデルの初期状態および初期物性値として設定した、第１番目の解析条件の下で、周波数領域での線形応答解析により、前記入力波を第１番目の解析対象波とし、前記解析モデルの所定の位置に入力した場合の応答波を求め、求めた前記応答波のうち、前記第１番目の時間単位の応答波を、前記入力波に対する前記第１番目の時間単位の応答波とする第１の手順と、
   前記入力波に対する、第２番目以降としての前記第ｍ番目の時間単位の応答波を求めるのに、第ｍ−１番目の解析条件の下で、周波数領域での線形応答解析により、第ｍ−１番目の解析対象波に対して求めた応答波において、第ｍ−１番目の時間単位の応答波に後続する波以外の振幅値を零とした波が応答波となるために、前記解析モデルの所定の位置に入力されるべき波を、第ｍ番目の解析対象波として求める第２の手順と、
   前記入力波に対して求めた前記第ｍ−１番目の時間単位の応答波にもとづいて設定した、前記解析モデルの状態および物性値である、第ｍ番目の解析条件の下で、周波数領域での線形応答解析により、前記第ｍ番目の解析対象波を、前記解析モデルの所定の位置に入力した場合の応答波を求め、求めた前記応答波のうち、前記第ｍ番目の時間単位の応答波を、前記入力波に対する前記第ｍ番目の時間単位の応答波とする第３の手順と、
   前記第２および第３の手順を繰り返して、前記入力波に対する第２番目から最終の第ｎ番目までの各々の時間単位の応答波を時系列の順に求める第４の手順と、
   を備えることを特徴とする動的応答解析法。
2. 請求項１に記載の動的応答解析法であって、
   当該番目の解析対象波に対して求めた応答波にもとづいて、当該番目の解析条件を変更する時刻を定め、定めた前記時刻の前の単一の時刻または時系列に並ぶ複数の時刻のいずれかを、前記当該番目の解析条件を適用する時間単位として設定することを特徴とする動的応答解析法。
3. 請求項１または２に記載の動的応答解析法であって、
   さらに、前記入力波を前記第１番目から最終の第ｎ番目までの各々の時間単位ごとに区分した、第１番目から最終の第ｎ番目までの各々の波形単位に対する前記解析モデルの応答波を求めるために、前記第１番目から最終の第ｎ番目までの各々の波形単位である、第ｍ番目の波形単位に対する前記解析モデルの応答波を、第ｍ番目から前記最終の第ｎ番目までの各々の時間単位である、第ｋ番目（ｍ≦ｋ≦ｎ，ｋは整数）の時間単位ごとに、時系列の順に求める動的応答解析法であり、
   前記第ｍ番目の解析条件の下で、周波数領域での線形応答解析により、前記入力波において前記第ｍ番目の波形単位以外の振幅値を零とした波を前記第ｍ番目の波形単位の第ｍ番目の解析対象波とし、前記解析モデルの所定の位置に入力した場合の応答波を求め、求めた前記応答波のうち、前記第ｍ番目の時間単位の応答波を、前記第ｍ番目の波形単位に対する前記第ｍ番目の時間単位の応答波とする第５の手順と、
   前記第ｍ番目の波形単位に対する、第ｍ＋１番目以降としての前記第ｋ番目の時間単位の応答波を求めるのに、第ｋ−１番目の解析条件の下で、周波数領域での線形応答解析により、前記第ｍ番目の波形単位の第ｋ−１番目の解析対象波に対して求めた応答波において、第ｋ−１番目の時間単位の応答波に後続する波以外の振幅値を零とした波が応答波となるために、前記解析モデルの所定の位置に入力されるべき波を、前記第ｍ番目の波形単位の第ｋ番目の解析対象波として求める第６の手順と、
   第ｋ番目の解析条件の下で、周波数領域での線形応答解析により、求めた前記第ｍ番目の波形単位の前記第ｋ番目の解析対象波を、前記解析モデルの所定の位置に入力した場合の応答波を求め、求めた前記応答波のうち、前記第ｋ番目の時間単位の応答波を、前記第ｍ番目の波形単位に対する前記第ｋ番目の時間単位の応答波とする第７の手順と、
   前記第６および第７の手順を繰り返して、前記第ｍ番目の波形単位に対する第ｍ＋１番目から最終の第ｎ番目までの各々の時間単位の応答波を、時系列の順に求める第８の手順と、
   前記第５および第８の手順を繰り返して、前記第１番目から最終の第ｎ番目までの各々の波形単位に対する応答波を求める第９の手順と、
   を備えることを特徴とする動的応答解析法。
4. 請求項３に記載の動的応答解析法であって、
   前記入力波に対する前記解析モデルの応答波を、求めた前記第１番目から最終の第ｎ番目までの各々の波形単位に対する前記解析モデルの応答波をもとに求める動的応答解析法であり、
   求めた第１番目の波形単位に対する第１番目の時間単位の応答波を、前記入力波に対する第１番目の時間単位の応答波とする第１０の手順と、
   前記入力波に対する、第２番目以降としての前記第ｍ番目の時間単位の応答波を求めるのに、第１番目から第ｍ番目までの各々の波形単位に対する第ｍ番目の時間単位の応答波を足し合わせて、前記入力波に対する第ｍ番目の時間単位の応答波とする第１１の手順と、
   前記第１１の手順を繰り返して、第２番目から最終の第ｎ番目までの各々の時間単位の前記入力波に対する応答波を求める第１２の手順と、
   を備えることを特徴とする動的応答解析法。
   

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