JP2005038211A

JP2005038211A - 有限要素を用いた数値解析における曲面モデル形状の分析方法

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Publication number: JP2005038211A
Application number: JP2003274914A
Authority: JP
Inventors: Yoshiki Fukada; 善樹深田
Original assignee: Toyota Motor Corp
Current assignee: Toyota Motor Corp
Priority date: 2003-07-15
Filing date: 2003-07-15
Publication date: 2005-02-10
Anticipated expiration: 2023-07-15
Also published as: JP4232566B2

Abstract

【課題】シェルモデルの要素数が少ない場合でも、面要素の曲率を正確に求めることを可能としたモデル形状の分析方法を提供する。
【解決手段】有限要素法を用いた曲面モデルの形状を分析する場合に、対象節点の位置座標ベクトルをＸ₀、この節点の近傍節点の座標ベクトルをＸ、曲面に垂直な方向の単位ベクトルをＰとするとき、（Ｘ−Ｘ₀）｛Ｐ−Ｑ（Ｘ−Ｘ₀）／２｝＝０を満たす対称行列Ｑにより曲率を定義し、モデルの形状を表す。
【選択図】図２

Description

本発明は、有限要素を用いた応力解析等で必要とされる曲面モデル形状の分析方法に関する。

機械製品や建築物の構造材の応力解析手法として有限要素法（ＦＥＭ＝finite-element method）を用いた数値解析が広く用いられている。ＦＥＭは、対象物を比較的簡単な特性を有する有限の要素に分割してモデル化し、系全体の性能、挙動等を解析するものである（例えば、特許文献１参照）。

近年、ガラス繊維や炭素繊維などを充填して形成したＦＲＰ（fiber reinforced plastics）等の複合材を含む積層材料が航空機、船舶、自動車等の構造材として用いられるようになってきた。特許文献１記載の技術は、積層材料を同等の特性を有する均一な材質で置き換えるモデル化を行うことにより、こうした積層材料において、ＦＥＭの要素数を減少させて、演算を高速化させるものである。
特開２００２−０８２９９８号公報（段落００１３〜００４２、図１〜図６）

ところで、このようなシェルモデルを用いたＦＥＭでは、対象を節点によって面要素に分割して計算を行う。モデル形状の分析のために、面要素の曲率が必要な場合が考えられる。しかしながら、これまでの手法では、面要素の曲率を正確に求めるためには、曲率変化に対して要素を十分に小さくすることが必要とされており、シェルモデルそのものの要素数を減少させることは困難であった。

そこで、本発明は、シェルモデルの要素数が少ない場合でも、面要素の曲率を正確に求めることを可能としたモデル形状の分析方法を提供することを課題とする。

上記課題を解決するため、本発明に係る有限要素を用いた数値解析における曲面形状の定義方法は、対象節点の位置座標ベクトルをＸ₀、この節点の近傍節点の座標ベクトルをＸ、曲面に垂直な方向の単位ベクトルをＰとするとき、

を満たす対称行列Ｑにより曲率を定義することを特徴とする。すなわち、ある節点の周囲の曲面を、対象となる節点と近傍の節点を通る２次関数により表現する。

式（１）において、Ｑ＝０として、各近傍節点の座標ベクトル値を代入して得られた各近傍節点に対する単位ベクトルＰの値を最小自乗法を用いて規格化することでＰの値を求めることが好ましい。すなわち、（Ｘ−Ｘ₀）・Ｐ＝０からＰを求める。Ｑ＝０とは、要素が平面である場合に相当する。そして、Ｐの大きさが不定となるため、これを規格化する。

得られた単位ベクトルＰの値を基にして式（１）と、所定の重みづけをした式ＱＰ＝０から最小自乗法を用いてＱの値を求めることがさらに好ましい。テンソルＱには６個の独立成分があるが、２次関数で曲面を表現するには、曲面形状の自由度が多すぎる。この式は、曲面形状が不正に変形する方向の自由度を抑制する働きを持つ。さらに重みづけは最小自乗法を用いて解析的に解く場合の各式の寄与度を等価にする機能を有する。

本発明によれば、シェルモデルの節点データから対象要素の３次元曲面形状を把握することができる。これにより、例えば、応力による曲面の変形、それに伴う応力成分の解析を簡単に行うことが可能となる。特に、曲面形状を把握する目的で、対象を細分割して要素数を増大させる必要はないため、計算精度を低下させることなく、少ない要素数で解析を行うことが可能となり、高速化と計算機資源の低減が図れる。

以下、添付図面を参照して本発明の好適な実施の形態について詳細に説明する。説明の理解を容易にするため、各図面において同一の構成要素に対しては可能な限り同一の参照番号を附し、重複する説明は省略する。

図１は、本発明に係る曲面モデル形状の分析方法を含む数値解析の手法を示すブロック図である。この数値解析は、積層体からなる板を曲げた場合の層間応力をＦＥＭを利用して解析する。この数値解析は、各種のコンピュータ上で行われるが、以下に示される各手段は、それぞれ単体のプログラムから構成されていてもよいし、複数のプログラムからなるプログラム群からなるソフトウェアとして構成されていてもよい。さらに、各手段は、異なるコンピュータ上で作動してもよいし、各手段が異なるコンピュータ上で作動する複数のソフトウェアにより構成されていてもよい。ここでいうプログラムには、それ自体が入出力機能を有するプログラムのほか、特定のプログラム上で作動するいわゆるマクロ、スクリプト等を含む。

まず、ＦＥＭ用モデル生成手段２０では、対象手段の形状を表すバルクデータ（対象となる板をシェルモデルにより表す。）と、板に付与される荷重や板の拘束条件データを生成する。バルクデータは、各節点のデータを直接入力することで生成してもよいが、ＣＡＤデータ等の形状データを基に、分割数を設定することにより、節点データを生成するようにしてもよい。あるいは、ＧＵＩ（Graphical User Interface）を用いて形状、分割数等を設定して入力データを生成するようにしてもよい。

ＦＥＭ解析手段３０では、生成されたバルクデータと荷重・拘束条件を基にして既知のＦＥＭ解析手法に基づいて、各要素について面方向に働く面内応力を計算する。得られた面内応力データは、ＦＥＭ用モデル生成手段２０で生成されたバルクデータとともに、層間応力解析手段４０へと送られる。層間応力解析手段４０は、バルクデータを用いて本発明に係るモデル形状の分析方法を行う形状分析手段４１と、面内応力について分析を行う応力分析手段４２と、モデル形状と面内応力から層間応力を求める応力算出手段４３からなる。

続いて、形状分析手段４１におけるモデル形状の分析手法について詳細に説明する。図２は、曲面を表すシェルモデルの一例を示している。以下、対象節点の位置座標ベクトルをＸ₀＝（ｘ₀，ｙ₀，ｚ₀）、この節点の周囲の位置座標ベクトルをＸ＝（ｘ，ｙ，ｚ）とし、対象要素をＳで表すこととする。この形状分析手段４１では、さらに、面に直角な単位ベクトルとしてＰ＝（Ｐｘ，Ｐｙ，Ｐｚ）（つまり、|Ｐ|＝１である。）を設定するとともに、曲率を表すテンソルとして

を用いる。ＱはＱij=Ｑjiとなる対称行列であり、その独立な成分は、Ｑxx、Ｑxy、Ｑxz、Ｑyy、Ｑyz、Ｑzzの６個である。各成分は曲率半径の逆数を表す。例えば、ＱxxはＸ方向の曲率半径の逆数である。

図４は、この形状分析手段４１における形状分析のフローチャートである。この計算は、モデル形状全体について行われる。

まず、対象節点および周辺節点の座標値を読み込む（ステップＳ１）。次に、ベクトルＰを算出する（ステップＳ２）。これは、式（１）において、Ｑ＝０とすることで、（Ｘ−Ｘ₀）・Ｐ＝０を解くことにより、Ｐを求める。具体的には、（Ｘ−Ｘ₀）・Ｐ＝０を展開すると、（ｘ−ｘ₀）Ｐｘ＝０、（ｙ−ｙ₀）Ｐｙ＝０、（Ｚ−Ｚ₀）Ｐｚ＝０になる。そこで、Ｐｘ＝１、Ｐｙ＝１、Ｐｚ＝１のそれぞれの場合について、この展開した各式の左辺に、対象節点とその周辺の節点座標を代入していき、その値の自乗値の和が最も小さくなるＰを３つ求める。そして、その中で|Ｐ|が最も小さくなる解を選択し、その|Ｐ|が１になるよう、規格化することにより、Ｐを求める。

なお、Ｐは、図３に示されるように四角形である対象要素Ｓの周囲の節点をｅ₁〜ｅ₄とし、節点ｅ_jからｅ_kに向かうベクトルをＶ_jkで表すとき、例えば、

により求めてもよい。

次に、式（１）からＱの各成分Ｑxx、Ｑxy、Ｑxz、Ｑyy、Ｑyz、Ｑzzの値を求める（ステップＳ３）。ここで、式１を変形して展開すると、

となる。これは、節点周辺の曲面を２次関数で表現したものである。例えば、曲面がほぼＸＹ面にあるとすると、ｚ²の項は本来不要である。すなわち、図５に示されるように、本来の曲面がＣactであるのに対し、式（１）にｚ²の項が存在することで、Ｃcal1のような曲面をフィッテングしてしまう可能性が出てくる。そこで、本発明では、ＱＰ＝０となる式を条件として追加することでこのｚ²の項を小さくし、滑らかな曲線で節点間をつなぐようにした。

具体的には、ＱＰ＝０に重みＣをかけて展開すると、次の３つの式が得られる。

ここで、Ｃは、式（１）と次元を揃えるため、以下のように設定した。

なお、Ｃ₀は定数であり、0.1に設定したときに良好な結果が得られた。

これらの式に対象節点および周囲の節点座標を入力すると、周辺節点の数＋３個の式が得られる。（図２に示される形状モデルでは、例えば、周辺節点として８節点を用いると、１１個の式が得られる。）Ｐはすでに求めているから、未知の変数はＱの各成分の６個であり、変数の数を式の数が上回る。そこで、誤差が最小となるよう最小自乗法によりＱの各成分を求める。

次に、モデル内の節点全てについて計算が終了したか否かを判定し（ステップＳ４）、終了するまで節点を移動させてステップＳ１〜Ｓ３の処理を繰り返すことで、全節点について計算を行う。全ての節点について計算が終了したら各要素Ｓごとにその要素の周囲の節点のＰ、Ｑを平均することで、面要素のＰ、Ｑを算出して、面要素の曲率を求める（ステップＳ５）。このとき、Ｐの方向は、面の表を向く場合と、裏を向く場合の二通りが考えられる。そこで、要素座標ｅ₃の方向に揃える。

ここでは、ＦＥＭ解析に入力する形状データからモデル形状を分析する例を説明したが、応力付与に伴う変形後のモデル形状を解析するような場合には、ＦＥＭ解析手段３０から得られる面内応力解析結果も利用して各要素位置の移動を考慮して分析を行えばよい。

また、本実施形態では有限要素法を用いて数値解析を行う場合について説明したが、有限要素法に代えて、対象物を有限の要素にモデル化して解析する他の解析方法を用いた場合にも、同様の効果を得ることができる。

なお、本発明は曲面形状の分析方法に関するものであるが、曲面形状の再現にも利用できる。

本発明に係る曲面モデル形状の分析方法を含む数値解析の手法を示すブロック図である。ＦＥＭ解析において曲面を表すシェルモデルの一例を示している。対象要素と節点ベクトルの関係を示す図である。形状分析のフローチャートである。余分な自由度の影響を示す図である。

符号の説明

２０…ＦＥＭ用モデル生成手段、３０…解析手段、４０…層間応力解析手段、４１…形状分析手段、４２…応力分析手段、４３…応力算出手段。

Claims

有限要素を用いた数値解析において曲面モデルの形状を分析する方法であって、
対象節点の位置座標ベクトルをＸ₀、この節点の近傍節点の座標ベクトルをＸ、曲面に垂直な方向の単位ベクトルをＰとするとき、

を満たす対称行列Ｑにより曲率を定義し、該曲率を用いてモデルの形状を表すことを特徴とする分析方法。
式（１）において、Ｑ＝０として、各近傍節点の座標ベクトル値を代入して得られた各近傍節点に対する単位ベクトルＰの値を最小自乗法を用いて規格化することでＰの値を求めることを特徴とする請求項１記載の分析方法。
得られた単位ベクトルＰの値を基にして式（１）と、所定の重みづけをした式ＱＰ＝０から最小自乗法を用いてＱの値を求めることを特徴とする請求項２記載の分析方法。