JP2004272916A - 先験的知識を組み込む制約付きシステム同定 - Google Patents

Abstract

【課題】システムの先験的知識を組み込むことにより、システムの初期パラメトリックモデルを改善するシステム同定方法を提供する。
【解決手段】システムの初期パラメトリックモデルは、複数の入力信号と複数の出力信号の分析に基づいた複数のパラメータを含むモデルである。この方法は、複数のパラメータの組に対応し先験的知識に基づいた制約の組を決定した後に、初期パラメトリックモデルと、決定された制約の組とに基づいてシステムの制約付きパラメトリック最適化を実行しシステムの改善されたパラメトリックモデルを生成するステップを有している。初期パラメトリックモデルの制約付きパラメトリック最適化には、複数の入力信号と複数の出力信号が含まれていない。
【選択図】 図１

Description

本発明は、モデルパラメータの推定においてシステムの先験的知識を使用するシステム同定に関し、更に詳しくは、プロセスの先験的知識を使用する化学プロセスのシステム同定に関するものである。

あるシステムのモデルを生成する際には、例えば、生成したモデルに基づいて、そのシステム用のモデルベースのコントローラを設計する場合など、望ましくは、第一原理知識、経験的データ、又はこれら両方の組み合わせを利用可能である。第一原理知識については、流体力学に基づいた質量及びエネルギーのバランスやシステムの熱力学的及び動力学的情報など、システムのいくつかの第一原理分析から得ることができる。一方、経験的データの分析は、プロセスをモデル化するための代替方法であり、通常、システム同定と呼ばれている。

１つの方法は、第一原理知識に基づいてモデルを生成した後に、システムから収集した経験的データにぴったり一致するように特定のパラメータ（例：動力学的及び熱力学的パラメータ）をフィッティングする方法である。この方法によれば、まず、第一原理に基づいたモデル（ホワイトボックスモデルとも呼ばれる）を生成した後に、確率論的なフレームワークを通じ、テストデータを使用して未知のパラメータ及び／又はモデル構造（例：化学反応速度又は係数、反応の化学量論、反応メカニズム等）を推定する。この方法により、所謂ハイブリッドモデル又は準物理モデルが生成される。既に提案されているこの方法を実現する法については、Ｓ．ダスガプタ（Ｓ．Ｄａｓｇｕｐｔａ）他による「構造化システムにおける物理的パラメータの同定（Ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｐｈｙｓｉｃａｌ Ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｉｎ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ）」（Ａｕｔｏｍａｔｉｃａ、１９８８年）やＭ．トンプソン（Ｍ．Ｔｈｏｍｐｓｏｎ）による「先験的知識及びニューラルネットワークを使用する化学プロセスのモデルリング（Ｍｏｄｅｌｉｎｇ Ｃｈｅｍｉｃａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ Ｕｓｉｎｇ Ｐｒｉｏｒ Ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ａｎｄ Ｎｅｕｒａｌ Ｎｅｔｗｏｒｋｓ）」（ＡＩＣＨＥ Ｊｏｕｒｎａｌ、１９９４年）などの論文に詳述されている。これらの方法では、プロセスに関する相当量の第一原理知識が必要とされるが、大部分の複雑な産業に適用する際には、それらは入手不能である。したがって、このハイブリッドモデリング法は、ホワイトボックスモデリング法と同様の不完全性を有することになる。

プロセスに関する十分な第一原理知識を得ることが困難な場合や厳密なモデルが不要な場合（例：ロバストモデルベースのコントローラ用のモデルを使用する場合）には、システムからの経験的データに基づいた経験的モデルを使用することができる。但し、システム全体をモデル化するのに十分な量の第一原理知識が存在しない場合においても、ケースによっては、経験的データと共に、ある程度のプロセスに関する第一原理知識を利用してシステムのモデルを生成することが望ましい場合も存在する。このようなケースでは、モデルに対して、「非現実的」な結果をもたらす経験的データの雑音の影響を軽減できるだけの十分な量の第一原理知識を使用することが望ましい。そして、その第一原理知識の量に応じて、経験的データに基づいてモデルを構築し、結果として生成されたモデルに対して変更を加え、システムの既知の第一原理知識に更に厳密に一致させることが望ましい。

すなわち、経験的なシステムテストデータを使用してブラックボックスモデルを生成する。次いで、このブラックボックスモデルに第一原理知識を組み込む。この方法は、グレーボックス同定と呼ばれるものである。グレーボックス同定の可能な方法については、Ｊ．アボニイ（Ｊ．Ａｂｏｎｙｉ）他による「ファジーモデル同定における先験的知識の組み込み（Ｉｎｃｏｒｐｏｒａｔｉｎｇ Ｐｒｉｏｒ ｋｎｏｗｌｄｅｇｅ ｉｎ Ｆｕｚｚｙ Ｍｏｄｅｌ Ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ）」（Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｓｃｉｅｎｃｅ、２０００年）、Ｔ．ヨハンセン（Ｔ．Ｊｏｈａｎｓｅｎ）による「経験的データと先験的知識を使用する非線形システムの同定−一最適化法（Ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｎｏｎ−ｌｉｎｅａｒ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｕｓｉｎｇ Ｅｍｐｉｒｉｃａｌ Ｄａｔａ ａｎｄ Ｐｒｉｏｒ Ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ−ａｎ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ Ａｐｐｒｏａｃｈ）」（Ａｕｔｏｍａｔｉｃａ、１９９６年）、Ｗ．ティモンズ（Ｗ．Ｔｉｍｍｏｎｓ）他による「パラメータ制約付き適応制御（Ｐａｒａｍｅｔｅｒ−ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ Ａｄａｐｔｉｖｅ Ｃｏｎｔｒｏｌ）」（Ｉｎｄ．Ｅｎｇ．Ｃｈｅｍ．Ｒｅｓ．、１９９７年）、及びＨ．タレケン（Ｈ．Ｔｕｌｌｅｋｅｎ）による「物理的知識とベイズ法を使用するグレーボックスクモデリング及び同定（Ｇｒｅｙ−ｂｏｘ Ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ ａｎｄ Ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ Ｕｓｉｎｇ Ｐｈｙｓｉｃａｌ Ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ａｎｄ Ｂａｙｅｓｉａｎ Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ）」（Ａｕｔｏｍａｔｉｃａ、１９９３年）などのいくつかの論文に記述されている。

これらのグレーボックス法をわかりやすく説明するには、ＡＲＸ（ａｕｔｏ−ｒｅｇｒｅｓｓｉｖｅ Ｅｘｏｇｅｎｏｕｓ）の文脈においてパラメトリックモデルを同定するための制約付き統計的最適化の一般的な定式化が有用であろう。

ＡＲＸモデルのコンパクトな表現形態は、次のとおりである。

ｙ（ｋ｜θ）＝θφ（ｋ）＋ｖ（ｋ） 式１

ここで、θとφ（ｋ）は、それぞれ次の通りである。

ｕ、ｙ、ｖは、それぞれ入力、出力、及び雑音ベクトルであり、ｎａ、ｎｂは、現在の時間ステップｋにおける出力に対する過去の入力／出力データの影響を表す出力及び入力レベルであり、行列θにはモデルパラメータが含まれている。

誤差ベクトルｖ（ｋ）をゼロ平均であると仮定すれば、推定出力ｙ^（ｋ）は、次のように記述可能である。

θの算出が最適化問題として提示される場合には、次のとおりである。

ここでは、次の予測誤差の二次項を使用する。

ε＝ｙ−ｙ^であり、Ｚ_Nが入力／出力データの組であるとすれば、最適な解は、Ｌ．リャン（Ｌ．Ｌｊｕｎｇ）による「システム同定−ユーザーのための理論（Ｓｙｓｔｅｍ Ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ−Ｔｈｅｏｒｙ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｕｓｅｒ）」（Ｐｒｅｎｔｉｃｅ Ｈａｌｌ ＰＴＲ 第２版、１９９９年）に記述されているように、最小二乗法を分析的に使用することによって得られる。ＡＲＸモデルの場合には、最適な解は、次の式によって与えられる。

グレーボックスシステム同定法の場合には、システムの先験的知識を表す制約は、式４の最適化問題に追加されるが、それらは、次のように等式又は不等式の形式であってよい。

Ｍθ＝Ｋ
Ｌθ≦Ｃ 式７

ここで、Ｍ、Ｋ、Ｌ、及びＣは、モデルパラメータθに対する所望の制約を表す適切な次元の行列である。

自身の論文において、Ｈ．タレケン（Ｈ．Ｔｕｌｌｅｋｅｎ）は、先験的知識によれば、モデルの品質を改善すると共に、プラントテストにおける追加データ収集の必要性がなくなるかもしれないことから、システム同定における先験的知識の利用がどれほど重要な研究領域となっているかについて記述している。モデルの品質を改善すれば、コントローラの設計が向上するのみならず、プロセス監視、障害検出、及びプロセスの最適化も同様に向上することになる。

グレーボックスモデリングでは、従来、制約（先験的知識）にしたがってプラントテストデータをフィッティングすることによって、統計的最適化を解決している。文献に取り上げられている主要な研究課題としては、考慮を要する先験的知識のタイプはどういうものか、先験的知識の品質をいかに判定するか、及びデータフィッティングプロセスにおいて経験的モデルのパラメータに対する制約として先験的知識をいかに組み込むかが中心となっている。

化学プロセスの同定における先験的知識の使用法に関する最も重要な研究は、恐らく、Ｈ．タレケン（Ｈ．Ｔｕｌｌｅｋｅｎ）による「物理的知識とベイズ法を使用するグレーボックスモデリング及び同定（Ｇｒｅｙ−ｂｏｘ Ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ ａｎｄ Ｉｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ Ｕｓｉｎｇ Ｐｈｙｓｉｃａｌ ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ａｎｄ Ｂａｙｅｓｉａｎ Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ）」に見いだすことができよう。この研究は、単一入力単一出力（ＳＩＳＯ）システム用のパラメトリックＡＲＭＡＸ（Ａｕｔｏ Ｒｅｇｒｅｓｓｉｖｅ Ｍｏｖｉｎｇ Ａｂｅｒａｇｅ ｅＸｏｇｅｎｏｕｓ）モデルに限定されたものである。この研究の主要な結論は、先験的知識を考慮すれば、パラメータ推定のバイアスにおけるわずかな増加という代償を払うことにより、相当量の分散の削減を実現可能であるというものである。この研究では、モデルの開ループ安定性や定常ゲインの符号などの物理的知識が使用されている。このようなタイプの先験的知識を一連の線形不等式の制約に変換し、パラメータ推定プロセスに導入している。２元１次ＡＲシステム用の開ループ安定性制約は、次のように表される。

また、この研究では、定常ゲインに対する制約についても検討している。

同種の研究は、Ｗ．ティモンズ（Ｗ．Ｔｉｍｍｏｎｓ）他による「パラメータ−制約付き適応制御（Ｐａｒａｍｅｔｅｒ−ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ Ａｄａｐｔｉｖｅ Ｃｏｎｔｒｏｌ）」にも見いだすことが可能であり、この場合には、生物医学的なシステム用のＳＩＳＯモデルの制約つき同定を実行している。複数入力単一出力（ＭＩＳＯ）システム用の擬似線形ＡＲＭＡＸ又はＮＡＲＭＡＸ（Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ａｕｔｏ−Ｒｅｇｒｅｓｓｉｖｅ Ｍｏｖｉｎｇ Ａｖｅｒａｇｅ ｅＸｏｇｅｎｏｕｓ）モデルについても検討している。これらのモデルの場合にも、制約付き最適化法を使用し、ＡＲＭＡＸの形態で推定している。例えば、パラメータの範囲に対する制約は、次のように考慮されている。

θ_min≦θ≦θ_max 式８

また、プロセス定常ゲインに対しては、次のとおりである。

Ｋ_min≦Ｋ≦Ｋ_max 式９

これは、θのパラメータに対する制約に変換可能である。例えば、ＳＩＳＯシステムの場合には、定常ゲインは、次のものに等しい。

ＳＩＳＯシステムの場合には、式２の行列Ａ、Ｂは、ベクトルａ、ｂになることに留意されたい。

Ｗ．ティモンズ（Ｗ．Ｔｉｍｍｏｎｓ）他の場合、２次ＳＩＳＯシステムの開ループ安定性は、次の制約を通じて与えられる。

ａ₁＋ａ₂≦１ −ａ₁＋ａ₂≦１ −ａ₂≦１ 式１１

この同じ研究において、２次ＳＩＳＯシステムの整定時間Ｔ_ssは、次のように強制される。

当技術分野におけるその他の研究には、ＭＩＳＯシステム用のＮＡＲＸ（Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ａｕｔｏ−Ｒｅｇｒｅｓｓｉｖｅ ｅＸｏｇｅｎｏｕｓ）モデルを取り扱うＴ．ヨハンセン（Ｔ．Ｊｏｈａｎｓｅｎ）による「経験的データと先験的知識を使用する非線形システムの同定−一最適化法（Ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｎｏｎ−Ｌｉｎｅａｒ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｕｓｉｎｇ Ｅｍｐｉｒｉｃａｌ Ｄａｔａ ａｎｄ Ｐｒｉｏｒ Ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ−ａｎ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ Ａｐｐｒｏａｃｈ）」と、ファジー技法を使用し、（通常の検討対象である伝統的な線形時間不変モデルとは異なる）線形パラメータ可変モデルタイプのタカギ−スゲノモデルを構築するＪ．アボニ（Ｊ．Ａｂｏｎｙｉ）他による「ファジーモデル同定における先験的知識の内蔵（Ｉｎｃｏｒｐｏｒａｔｉｎｇ Ｐｒｉｏｒ Ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ｉｎ Ｆｕｚｚｙ Ｍｏｄｅｌ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ）」が含まれる。

この「ファジーモデル同定における先験的知識の組み込み（Ｉｎｃｏｒｐｏｒａｔｉｎｇ Ｐｒｉｏｒ Ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ｉｎ Ｆｕｚｚｙ Ｍｏｄｅｌ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ）」の場合には、先験的知識をファジー技法を通じて組み込み、ファジーモデル同定法を提案している。この同じ技法を使用し、プロセスゲイン、安定性、整定時間、及び非線形性が強制される。モデルは、タカギ−スゲノ形式である。したがって、結果的に生成されるモデルは、伝統的な線形時間不変モデルではなく、線形パラメータ変化モデルである。

「経験的データと先験的知識を使用する非線形システムの同定−一最適化法（Ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｎｏｎ−Ｌｉｎｅａｒ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｕｓｉｎｇ Ｅｍｐｉｒｉｃａｌ Ｄａｔａ ａｎｄ Ｐｒｉｏｒ Ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ−ａｎ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ Ａｐｐｒｏａｃｈ）」の場合には、ＮＡＲＭＡＸモデルは、次の式によって表される。

ｙ（ｔ）＝ｆ（φ（ｔ−１））＋ｅ（ｔ） 式１３

ここで、φは次のとおりである。

φ（ｔ−１）＝［ｙ（ｔ−１），・・・ｙ（ｔ−ｎ_y），ｕ（ｔ−１），・・・，ｕ（ｔ−ｎ_u），ｅ（ｔ−１），・・・ｅ（ｔ−ｎ_e）］ 式１４

このＮＡＲＭＡＸモデルに、次の開ループ安定性制約が課される。

ここで、（ｙ^-、ｕ^-）は、微分が行われる点である。

以上のことから、グレーボックスモデリングに関する主要な研究成果は、これらの文献に見いだすことができる点に留意されたい。しかしながら、これらすべての方法に共通する欠点の１つとして、先験的知識を表す制約にしたがって、経験的モデルのパラメータをプラントテストデータにフィッティングするための、結果的に必要とされる最適化の演算量がシステムとデータのサイズの増大によってひどく大きなものになるという事実を挙げることができる。この点は、これらの文献においても、制約付きシステム同定法の適用における制限事項として指摘されている。例えば、Ｗ．ティモンズ（Ｗ．Ｔｉｍｍｏｎｓ）他は、「しかしながら、より重大な問題は、先験的知識の適切な線形制約への展開と変換が、高次の非線形システムの場合に扱いにくいという点にある」とコメントしている。Ｈ．タレケン（Ｈ．Ｔｕｌｌｅｋｅｎ）は、「高次モデルの場合には、パラメータ化の負荷（あまりに多くのパラメータ）と利用可能な情報（比較的に短時間であり且つ雑音の多い実験）間における妥当な折り合いを実現することはできないであろう」と述べている。又、Ｔ．ヨハンセン（Ｔ．Ｊｏｈａｎｓｅｎ）は、自身が提案した技法の適用に関し、次のようにコメントしている。「演算量によって、その適用性が制限される可能性がある。この問題は、情報空間の次元が高いか、或いは非線形演算子又はパラメータ化が関係している場合に、特に、明瞭なものになろう。」

ＭＩＭＯ（複数入力複数出力）システムに対する従来の研究の拡張は、Ａ．エスマイリ（Ａ．Ｅｓｍａｉｌｉ）による「先験的知識による制御関連モデルの同定（Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｒｅｌｅｖａｎｔ Ｍｏｄｅｌ Ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ Ｐｒｉｏｒ Ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ）」（ＭａｃＭａｓｔｅｒ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙの博士論文）に見いだすことができる。この研究では、中規模のＭＩＭＯシステム用のノンパラメトリックモデルの推定における先験的知識の組み込みに焦点を絞っている。特に、エスマイリ（Ｅｓｍａｉｌｉ）は、有限インパルス応答（ＦＩＲ）モデル構造に焦点を絞っている。パラメータの推定に組み込まれるこれらの制約は、このタイプのモデル構造に固有のものである。但し、この研究の力点は、先験的知識の制約下において、モデルパラメータを得るための最適化の定式化に置かれているのではない。著者は、取得したモデルに基づいて結果的に生成されるコントローラの品質の計測に焦点を絞っている。モデルの不確定性が存在する状態において、安定性基準に基づいてコントローラの品質を判定しているのである。この研究以前に、化学プロセスの制御を目的とするＭＩＭＯモデル同定における先験的知識の内蔵を取り扱う文献は見いだすことができなかった。

エスマイリ（Ｅｓｍａｉｌｉ）が取り扱っているのは小中規模の問題である、という点を強調することは重要であり、このような問題の場合には、モデルパラメータを取得するための最適化法として、制約付き最小二乗法と逐次二次計画法で十分である。したがって、エスマイリ（Ｅｓｍａｉｌｉ）によって記述されたこれらの方法は、結果的に必要とされる演算量のために、大規模なＭＩＭＯ問題に適したパラメータ推定法の開発には、現実的ではないであろう。

最近、Ｗ．ファン・ブレンプト（Ｗ．Ｖａｎ Ｂｒｅｍｐｔ）他は、「高性能モデル予測コントローラ：ポリエチレン気相反応装置への適用（Ａ Ｈｉｇｈ Ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ Ｍｏｄｅｌ Ｐｒｅｄｉｃｔｉｖｅ Ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ： Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ Ｏｎ Ａ Ｐｏｌｙｅｔｈｙｌｅｎｅ Ｇａｓ Ｐｈａｓｅ Ｒｅａｃｔｏｒ）」（Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｐｒａｃｔｉｃｅ、２０００年）において、モデル最適化用の商用ソフトウェアの開発について報告している。著者らは、プロセスの先験的知識を利用することによって実現されるモデル予測コントローラ（ＭＰＣ）を実現する総費用における削減について開示している。高周波挙動におけるプラントと、ゆっくりとした変化におけるプロセスの厳密なモデルとの両方に対し、システム同定を並行して実行している。これは、著者らが、プラントテストを通じたプラントの高周波挙動とともに、第一原理モデルからの定常動作の取り込みを狙っていることを意味している。彼らは、ポリエチレン気相反応装置に対するこの技法の適用例について示している。

この商用ソフトウェアについては、ＩＰＣＯＳ１９９９〜２００１の「ＩＮＣＡコース：モデル予測制御に関するコース）」のＴ．バックス（Ｔ．Ｂａｃｋｘ）他によるコースノートに詳細に記述されている。著者らは、テストデータにのみ基づいて、まず、ＦＩＲモデルを同定する方法について開示している。次いで、モデルパラメータの数を削減するべく、このモデルをパラメトリック状態空間モデルによって近似し、このモデルをテストデータを再度使用するパラメータ推定のための非線形最適化において最初の推定として使用する。この非線形最適化に先験的知識を組み込むことができる。したがって、これまで利用されてきた技法に対する主要な変更点は、先験的知識を組み込み可能なデータフィッティングステップにおいて初期推定として使用される初期モデルの同定である。この初期モデルは、非線形最適化用の最初の推定としてのみ使用されるものであり、モデル最適化の定式化の一部を構成するものではない。更なる変更点は、先験的知識をモデル最適化ステップにおいて組み込み可能なその方式にあるように思われる。定常ゲインは、従来の研究と同様に、制約を通じては強制されておらず、最適化基準において重み付けしている。又、零伝達（ｚｅｒｏ ｔｒａｎｓｆｅｒｓ）は、システム同定手順の異なるステップにおいて強制可能であり、時間遅延は、プロセス入力及び出力において自動的に近似可能である。

以上のことから、従来技術は、制約付き最適化にオリジナルテストデータの分析を必要としているという共通点を有していることに留意されたい。すなわち、先験的知識が、テストデータのフィッティングプロセスに対する条件として、制約の形式及び／又は目的関数における付加項として与えられ、制約付き統計的最適化の解が求められるのである。

本発明の一実施形態は、システムに関する先験的知識を組み込むことにより、システムの初期パラメトリックモデルを改善する代表的な方法である。このシステムの初期パラメトリックモデルは、複数の入力信号と複数の出力信号の分析に基づいた複数のパラメータを含むモデルである。この方法は、複数のパラメータの組に対応する先験的知識に基づいた制約の組を決定した後に、この初期パラメトリックモデルと、決定した制約の組に基づいてシステムの制約付きパラメトリック最適化を実行し、システムの改善されたパラメトリックモデルを生成するステップを含んでいる。この初期パラメトリックモデルの制約付きパラメトリック最適化には、複数の入力信号と複数の出力信号は含まれていない。

本発明の他の実施形態は、システムの物理的に有意なモデルを開発するベくシステムの先験的な知識を組み込む複数の入力信号と複数の出力信号の分析に基づいたシステム同定の代表的な方法である。この方法は、複数の入力信号と複数の出力信号に基づいて第１のパラメトリックモデル最適化の解を求め、システムの初期パラメトリックモデルを生成するステップを含んでいる。このシステムの初期パラメトリックモデルは、複数のパラメータを含んでいる。システムの先験的知識に基づいて、この初期パラメトリックモデルの複数のパラメータの組に対応する制約の組を決定する。そして、初期パラメトリックモデルと、決定した制約の組とに基づいてシステムの制約付きパラメトリック最適化を実行し、システムの物理的に有意なモデルを生成する。この制約付きパラメトリック最適化には、複数の入力信号と複数の出力信号は含まれていない。

本発明の更なる実施形態は、システムの物理的に有意なモデルを開発するベくシステムの先験的知識を組み込む複数の入力信号と複数の出力信号の分析に基づいたシステム同定の別の代表的な方法である。この方法は、複数の入力信号と複数の出力信号に基づいて第１のノンパラメトリックモデル最適化を解決し、システムのノンパラメトリックモデルを生成するステップを含んでいる。次いで、このノンパラメトリックモデルをシステムの初期パラメトリックモデルとして近似する（これは、複数のパラメータを含んでいる）。システムの先験的知識に基づいて、この初期パラメトリックモデルの複数のパラメータの組に対応する制約の組を決定する。そして、初期パラメトリックモデルと、決定した制約の組と、に基づいて、システムの制約付きパラメトリック最適化を実行し、システムの物理的に有意なモデルを生成する。この制約付きパラメトリック最適化には、複数の入力信号と複数の出力信号は含まれていない。

本発明の更に他の実施形態は、システムの物理的に有意なモデルを開発するベくシステムの先験的知識を組み込む複数の入力信号と複数の出力信号の分析に基づいたシステム同定の別の代表的な方法である。この方法は、複数の入力信号と複数の出力信号に基づいて第１のノンパラメトリックモデル最適化を解決し、システムの初期ノンパラメトリックモデルを生成するステップを含んでいる。このノンパラメトリックモデルは、複数のモデルパラメータを含んでいる。システムの先験的な知識に基づいて、この初期ノンパラメトリックモデルの複数のモデルパラメータの組に対応する制約の組を決定する。そして、初期ノンパラメトリックモデルと、決定した制約の組とに基づいてシステムの制約付きノンパラメトリック最適化を実行し、システムの物理的に有意なモデルを生成する。この制約付きノンパラメトリック最適化には、複数の入力信号と複数の出力信号は含まれていない。

本発明は、添付の図面との関連で本明細書の詳細な説明を参照することにより、十分に理解することができる。
本発明は、システムを表すモデルを構築するための代表的なシステム同定方法を含んでいる。このようなモデルを使用すれば、モデルベースのコントローラ（ＭＰＣなど）、監視システム、障害検出システム、システム又はプロセスのリバースエンジニアリング、及び／又はプロセス最適化ツールを設計することができる。具体的には、本発明は、システム同定方法から構成されており、この方法は、経験的データとシステムの先験的知識の両方を組み込み、少なくとも２つのモデルパラメータ最適化が実行される。第１の制約なし最適化により、システムテストデータ情報にのみ基づいた初期モデルが生成される。次いで、先験的知識の制約の存在下において、この初期モデルを最適化することができる。したがって、最終的なモデルは、少なくとも２つのモデルパラメータ最適化ステップによって得られることになる。

このモデルは、望ましくは、システムテストデータ情報とシステム内のプロセスに関する先験的知識間の最適な折衷である。少なくとも２つの最適化ステップによってシステム同定を実行することにより、あらゆるサイズのシステム及びデータセットを演算面で効率的に処理できるようになる。なお、本発明においては、第一原理知識のみならず、（例えば、プロセスの動作から）入手可能なプロセスのあらゆる種類の先験的知識に一致するように経験的モデルを変更するシステム同定法に焦点を絞っている。

図１のブロックダイアグラムは、システムテスト及び分析手順の代表的なレイアウトを示している。以下の説明においては、一般的に化学プラントの観点からシステム１０４について説明するが、この選択は、例示を目的とするものに過ぎない。当業者であれば、以下に説明する代表的な最適化法が、化学プラントのシステム同定に限定されるものではなく、電子回路、通信ネットワーク、及び財務構造などのその他の複雑なシステム用のモデルを入力／出力データから生成するべく利用可能であることを理解するであろう。

この代表的なシステムテストにおいては、入力摂動信号１０２によってシステム１０４のいくつかの入力チャネルを駆動する必要がある。入力信号１０２の振幅と波形は、結果的に生成されるモデルがシステムの所望の応答を再生可能なように、パラメータ空間の所望の部分においてシステムの十分な励起を提供するべく、決定することが望ましい。なお、これらの入力信号の設計方法に関する問題については多くの研究が実施されており、ステップ信号、擬似ランダム２値及び多重レベル信号、及び２値多重周波数信号などのいくつかのタイプの信号が利用されている。「モデルに基づいた制御のための迅速なプラントテスト（ＦＡＳＴ ＰＬＡＮＴ ＴＥＳＴ ＦＯＲ ＭＯＤＥＬ−ＢＡＳＥＤ ＣＯＮＴＲＯＬ）」という名称の米国特許出願第１０／２２５，６７５号（２００２年８月２２日付け出願）には、入力摂動信号を設計するいくつかの代表的な方法について記述されており、この引用により、その開示内容は本明細書に包含される。

入力摂動信号１０２の振幅を表すデータと（２値信号の場合の２値レベル間の時間遅延などの）信号形状をあらわすデータを信号発生器１００に供給する。なお、このプラントテストの時点で、システム１０４がその通常の動作条件に近い状態で動作すると仮定すれば、入力信号１０２は、それらの通常の動作状態の入力変数の値からの偏差に関するデータを提供することになる。そして、システム１０４の出力チャネルからの出力信号１０６はセンサによって計測され、入力信号１０２を表すデータと共に伝送されて、このデータは、データチャネル１１６によって信号発生器１００からシステム同定制約なし最適化手段１０８に供給され、初期モデル１１０を決定する。

なお、この図１におけるデータ伝送は、例示の利便のために、データチャネルによる伝送として特徴付けられているが、この代わりに、コンピュータダウンロード、又はテープ、ディスク、或いはＩＣ記録媒体などのメモリ装置の物理的な移送により、このデータ伝送を実現することも可能であると考えられる。又、このデータ伝送は、印刷された（又は、電子的に伝送された）情報から手動で信号ジェネレータに設定を入力する形態を取ることも可能であろう。又、図１には、３つの入力信号１０２と２つの出力信号１０６が示されているが、この数の選択は、表現の利便を考慮したものに過ぎないことにも留意されたい。本発明の代表的な方法によれば演算量を削減できるので、これらよりも格段に大きな数の入力及び出力信号を有するシステムを効率的に同定可能である。

システムの物理的な検討を行い、出力チャネルを強く相互作用する出力チャネルの組に分けることが望ましい。これらの強く相互作用する出力チャネルの組には、高い相互依存性レベルを示すシステムの出力信号が含まれる。これらのチャネルからのデータは、ＭＩＭＯ状態空間同定法又はＡＲＸアルゴリズムを使用して共に分析することが好ましい。一方、ほかの出力チャネルとの相互作用のレベルが低い出力チャネルからのデータについては、単純な複数入力／単一出力（ＭＩＳＯ）線形パラメトリックモデル（状態空間、ＡＲＸ、ＡＲＭＡＸ、出力誤差（ｏｕｔｐｕｔ−ｅｒｒｏｒ）、ＢＪ（Ｂｏｘ−Ｊｅｎｋｉｎｓ）、出力誤差（Ｏｕｔｐｕｔ−ｅｒｒｏｒ）など）を使用し、別個に分析することができる。以下の説明においては、例示を目的として、ＭＩＭＯ状態空間モデルを一般的に使用することにする。説明において状態空間モデル構造を選定した理由の１つは、この構造が、その他のすべての線形パラメトリックモデルを包含していると共に、あらゆる線形システムを表現するのに使用可能な最も一般的な線形パラメトリックモデル構造であるという事実にある。なお、図５及び図６に関連して後述するように、ノンパラメトリックモデルも同様に使用可能であると考えられる。

初期モデル１１０は、システムテストデータの正確な特徴を提供していることが望ましい。図１に示されているように、システム同定制約付き最適化１１２に対する入力データとして、入力信号１０２又は出力信号１０６を直接的に表すデータではなく、この初期モデル１１０を使用する。システム同定制約付き最適化１１２は、最終的なモデル１１４を生成するべく、システムの先験的知識に基づいて初期モデル１１０を調整する。この制約付き最適化は、経験的なテストデータ情報とシステム１０４の先験的知識間の望ましくは最適な折衷を実現するべく試みる。

なお、この望ましくは最適な折衷を実現するための後述する方法は、これらの機能を実行するべくコンピュータ可読媒体によって命令される汎用コンピュータシステムにおいて実行可能であると考えられる。このようなコンピュータ可読媒体には、集積回路、磁気及び光記憶媒体、並びに可聴周波、高周波、及び光搬送波が含まれる。この代わりに、これらの機能を実行するコンピュータとして、専用の演算回路を使用することも可能である。

図２の高水準のフローチャートに示されている本発明の代表的な一実施形態は、先験的知識を利用するシステム同定法である。この代表的な方法により、経験的なテストデータとシステムの先験的知識間の折衷を表すシステムのパラメトリックモデルが決定される。

図２において、まず、プラントテストからの入力及び出力テストデータを受信する（ステップ２００）。このプラントテストは、システムに十分な励起を提供し所望の応答を生成するものであれば、どのような入力摂動信号によっても実行可能である。入力／出力データは、フィルタリング、トレンドの除去、異常値の除去、補間、スライシングなどの方法によって、システム同定の前に、事前処理可能である。なお、使用可能なデータ事前処理の代表的な方法については、米国特許出願第１０／２２５，６７５号に開示されている。

入力及び出力データを使用する制約なし最適化を実行し、システムの初期パラメトリックモデルを判定する（ステップ２０２）。図３を参照して後述するように、パラメトリックモデルを使用して入力及び出力テストデータを分析し、初期パラメトリックモデルを得ることができる。また、図５を参照して後述するように、ノンパラメトリックモデルを使用して入力及び出力テストデータを分析した後に、パラメトリックモデルに変換して、初期パラメトリックモデルを得ることができる。なお、このモデリングは、Ｌ．リャン（Ｌ．Ｌｊｕｎｇ）による「ＭＡＴＬＡＢ（登録商標）に使用するシステム同定ツールボックス（Ｓｙｓｔｅｍ Ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ Ｔｏｏｌｂｏｘ， ｆｏｒ Ｕｓｅ ｗｉｔｈ ＭＡＴＬＡＢ（登録商標））」（第５版、２０００年）に記述されているように（この引用により、この内容は本明細書に包含される）、ＭＡＴＬＡＢ（登録商標）などの制約なしシステム同定用の市販されている標準的なモデリングツールを使用して実行可能である。この代わりに、標準的なモデル構造に基づいて制約なしシステム同定を実行するベく、専用のプログラムを作成することも可能である。

この結果生成された初期モデルを判定し、それがモデルの確認及びクロス確認用の通常のモデル品質基準に合致する良好な品質のモデルであることを確認する。この代表的な方法については、Ｌ．リャン（Ｌ．Ｌｊｕｎｇ）による「システム同定−ユーザーのための理論（Ｓｙｓｔｅｍ Ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ−Ｔｈｅｏｒｙ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｕｓｅｒ）」を参照されたい。次いで、この初期モデルを制約付きパラメトリック最適化の入力として使用する（ステップ２０４）。図４を参照して後に詳細に説明するこの最適化においては、プロセスの先験的知識を表す制約に従い、初期パラメトリックモデルとして、同じタイプの新しいパラメトリックモデルといくつかのパラメータ又は係数が特定される。

この制約付きパラメトリック最適化（ステップ２０４）では、入力／出力データを直接的に利用してはおらず、初期パラメトリックモデルを介して間接的に利用しているのに過ぎない。すなわち、このモデルの同定は、それぞれステップ２０２及びステップ２０４に表されている少なくとも２つの逐次最適化プロセスの解によって実行されており、第１の最適化（ステップ２０２）は、制約なしパラメトリックモデル推定用の標準的なシステム同定手順であってよい。そして、第２の最適化（ステップ２０４）においては、テストデータ情報と先験的知識間の望ましい最適な折衷を実現するべく、モデルの調整を試みる。この２ステップ法は、演算面において比較的簡単な２つの最適化ステップを含む。これは、データフィッティングプロセスにおいて、制約の存在下で、演算負荷の大きな単一ステップにより、モデルを同定する従来技術と比べた場合の主要な相違点の１つである。

なお、この図２に示されている代表的なシステム同定プロセスには、２つの最適化ステップが含まれているが、当業者であれば、これらのステップを更に分割すること又は全体のステップ数を増やすこと又はその両方を行うことができることを理解するであろう。

制約付きパラメトリック最適化（ステップ２０４）によって算出されたモデルを判定し、テストデータとシステムの先験的知識間の許容可能な折衷を表しているかどうかを判定することができる（ステップ２０６）。そして、このモデルが許容可能な折衷ではない場合には、望ましい結果を実現するべく、制約付きパラメトリック最適化の最適化パラメータを変更可能であり（ステップ２０８）、次いで、制約付きパラメトリック最適化（ステップ２０４）を再実行することができる。一方、モデルが許容可能なものであった場合には、それが最終的なモデルとなる（ステップ２１２）。

制約付きパラメトリック最適化（ステップ２０４）によって算出されたモデルが、ステップ２０６において、許容できないと判定された場合には、初期モデルのモデル次数を変更し（点線で示されているステップ２１０）、制約なしシステム同定を繰り返すこともできる（ステップ２０２）。これにより、例えば、異なる数のパラメータ又は係数によって特徴付けられたシステムを表す新しい初期モデルを生成することができる。

図３は、図２に関連して前述した代表的な２ステップのシステム同定法の第１ステップ（ステップ２０２）として使用可能な代表的な制約付きパラメトリック最適化のフローチャートである。この図３には、初期パラメトリックモデルを取得するための状態空間モデルなどの制約なしパラメトリック最適化法の使用法について示されている。

図２に示されているものと同様に、まず、プラントテストからの入力及び出力テストデータを受信する（ステップ２００）。この制約なしシステム同定手順においては、事前処理された入力／出力データを使用することが望ましい。選択したモデル構造用の標準的なシステム同定法を使用することができる。図３においては、システム同定用に状態空間モデルを利用している。前述のように、この説明において状態空間モデル構造を選択した理由の１つは、この構造が、その他のもの（ＡＲＸ、ＡＲＭＡＸ、ＢＪ（Ｂｏｘ−Ｊｅｎｋｉｎｓ）、出力誤差など）をすべて包含する最も一般的な線形パラメトリックモデル構造であり、あらゆる線形システムを表すのに使用可能であるという事実にある。しかしながら、この図３の説明における状態空間モデルの使用は、本発明を制限するものではなく、当業者であれば、その他のパラメトリックモデル構造を使用するべく変更可能であることを理解するであろう。

標準的な市販されているソフトウェアパッケージを使用し、入力データと出力データを分析して初期状態空間モデルを判定可能である（ステップ３００）。「ＭＡＴＬＡＢ（登録商標）に使用するシステム同定ツールボックス（Ｓｙｓｔｅｍ Ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ Ｔｏｏｌｂｏｘ， ｆｏｒ Ｕｓｅ ｗｉｔｈ ＭＡＴＬＡＢ（登録商標））」に記述されているように、この目的には、例えば、ＭＡＴＬＡＢ（登録商標）の部分空間同定ルーチンであるＮ４ＳＩＤを使用可能である。又、この制約なしパラメトリック最適化を実行するべく、専用のソフトウェアプログラムを作成することもできる。代表的な部分空間同定法については、Ｌ．リャン（Ｌ．Ｌｊｕｎｇ）による「システム同定−ユーザーのための理論（Ｓｙｓｔｅｍ Ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ−Ｔｈｅｏｒｙ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｕｓｅｒ）」とＰ．ファン・オバーシー（Ｐ．Ｖａｎ Ｏｖｅｒｓｃｈｅｅ）他による「線形システム用の部分空間同定：理論−実現−適用（Ｓｕｂｓｐａｃｅ Ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ Ｆｏｒ Ｌｉｎｅａｒ Ｓｙｓｔｅｍｓ： Ｔｈｅｏｒｙ−Ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ−Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ）」に記述されている。システム同定手順におけるこの第１ステップにより、初期状態空間モデルが生成されるが、これは、次のように別個の形態で表すことができる。

ｘ₀（ｋ＋１）＝Ａ₀ｘ₀（ｋ）＋Ｂ₀ｕ（ｋ）＋ｗ（ｋ）
ｙ₀（ｋ）＝Ｃ₀ｘ₀（ｋ）＋Ｄ₀ｕ（ｋ）＋ｖ（ｋ）
ｘ₀（０）＝ｘ₀ｋｎｏｗｎ 式１６

ここで、ｘ₀（ｋ）は、次元ｎの内部状態であり、ｙ₀（ｋ）は、次元ｎ_yの出力変数であり、ｕ（ｋ）は、次元ｎ_uの入力変数であり、ｗ（ｋ）は、状態の外乱を表し、ｖ（ｋ）は、サンプルｋにおける計測雑音を構成している。行列［Ａ₀，Ｂ₀，Ｃ₀，Ｄ₀］は、モデルの変化を特徴付けるものであり、この状態空間モデルの代表的なシステム同定においては、これらの要素は、出力変数ｙと入力変数ｕのデータの知識によって推定する未知のパラメータである。

この式１６の代表的な状態空間モデルは、図３のステップ３００に示されているように、次のようにコンパクトに表すことができる。

部分空間モデルを同定するための標準的な技法によると、結果的に生成されるモデルが開ループ不安定の場合には、ユーザーに対して警告を発する場合がある。システムの先験的知識により、プロセスが開ループ安定であることが示されている場合には、ユーザーは、開ループ安定である初期モデルを選択するように注意を払うことが望ましい、すなわち、行列Ａ₀の固有値が単位円内に位置する初期モデルを選択することが望ましい。

次いで、単位ステップ入力によるモデルのシミュレーションにより、ステップ３００において判定された初期状態空間モデルに対応するステップ応答３０４を得ることができる（ステップ３０２）。ステップ応答３０４は、初期状態空間モデルの動的及び定常特性を表示している。この図３に示されている代表的なステップ応答３０４においては、ｎ_yｎ_u個のステップ応答が存在しており、シンボルｙⁱ _j,0、Ｋⁱ _j,0は、ｉ番目の出力応答とｊ番目の入力における単位ステップ関数の対応する定常ゲインに対応している（ここで、ｉ＝１，．．．，ｎ_yであり、ｊ＝１，．．．，ｎ_uである）。サブインデックス０は、これらのステップ応答が、ステップ３００において決定された初期状態空間モデルに対応していることを示している。

ステップ応答３０４をプロセスの先験的知識に照らして視覚的にチェックする（ステップ３０６）。そして、初期状態空間モデルがプロセスの先験的知識と一致した場合には、システム同定作業を終了し、この初期状態空間モデルを最終的なモデルとして決定する（ステップ３０８）。一方、収集した入力／出力データによって先験的知識が裏付けられなかった場合には、システム同定手順は、図２のステップ２０４の第２の制約付き最適化に継続する（ステップ３１０）。

図４は、図３を参照して前述した手順のような制約なしパラメトリック最適化手順によって生成された初期状態空間モデルの制約付きパラメトリック最適化を実行する代表的な方法を示すフローチャートである。プロセスの先験的知識が与えられて不満足であると判断された初期状態空間モデルを入力として使用する（ステップ４００）。この初期状態空間モデルは、制約付き最適化手順において使用される（ステップ２０４）。先験的な知識は、モデルパラメータに対する制約の形態で組み込まれる。

この最適化は、ステップ４０２に単純化された形態で示されており、決定変数が新しい状態空間モデルパラメータ、すなわち行列Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの要素になっている。わかりやすくするために、以下の説明においては、行列Ｄが０に設定される場合、すなわち３０１における制約付き最適化の定式化が因果的システムにおいて示される場合についてのみ考慮することにする。当業者であれば、この説明する方法は、問題定式化のわずかな変更と、演算量の少しの増加とを行うと、非因果的システムにおいても同様に使用可能であることを理解するであろう。

制約付きパラメトリック最適化４０２における目的関数は、例えば、次の形態を仮定することができる。

ここで、正の半定符号行列Ｑ_A、Ｑ_B、Ｑ_Cは、目的関数における行列ノルムを定義する重みであると共に、入力／出力データ情報を有する行列Ａ₀、Ｂ₀、Ｃ₀に対して行列Ａ、Ｂ、Ｃが示すことができる変化の程度を表す重みである。表記‖Ａ−Ａ₀‖_QAは、［（Ａ−Ａ₀）^TＱ_A（Ａ−Ａ₀）］^1/2に等しい。示されているその他の重み付けされたノルムも同様に算出する。

変数ε≧０は、ペナルティ関数法に制約の緩和又は軟化を導入する追加の決定変数を表している。オペレーションズリサーチにおけるスプリンガーシリーズ（Ｓｐｒｉｎｇｅｒ Ｓｅｒｉｅｓ ｉｎ Ｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ Ｒｅｓｅａｒｃｈ）（１９９９年）の「数値最適化（Ｎｕｍｅｒｉｃ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ）」において、Ｊ．ノスダル（Ｊ．Ｎｏｃｅｄａｌ）他は、この数値最適化手順において制約を緩和する方法について開示している。換言すれば、εは、最終的なモデルにおいて許容されるシステムの先験的知識を表す制約の違反の程度を表している。これが、εの重み付けされたノルムを目的関数において最小化する理由である。したがって、Ｑ_εは、この代表的な最適化手順における制約の違反を制御する重みである。

与えられたパラメータの組Ｑ_A、Ｑ_B、Ｑ_C、Ｑ_ε≧０について、最適化問題（図４のステップ４０２）を解決可能であり、代表的な制約付きモデル４０４を得ることができる。この結果生成されたモデルを単位ステップ入力によってシミュレートする（ステップ４０６）。そして、このステップ４０６におけるモデルのシミュレーションから得られたステップ応答４０８が、先験的知識とデータ情報間の許容可能な折衷であると判定された場合には（ステップ２０６）、これが最終的なモデル４１０となる。一方、ステップ２０４において決定された最終的なモデルが、ステップ２０６において、許容可能であると判定されなかった場合には、この最終的なモデルを改善して入力／出力テストデータ情報とシステムの先験的知識間の良好な折衷を提供する１つの可能な方法は、Ｑ_εの要素を調整することにより（ステップ２０８）、制約付きパラメトリック最適化においてパラメータに課せられている制約を軟化又は硬化させることである。次いで、制約付きパラメトリック最適化（ステップ２０４）を再評価し、新しい最終的なモデルを生成可能である。

又、この代表的な目的関数においては、行列Ｑ_A、Ｑ_B、Ｑ_Cは、最適化において調整可能なパラメータであり、ステップ２０６において、結果的に生成されるモデル４０４が入力／出力データ情報（行列Ａ₀、Ｂ₀、Ｃ₀によって表されているもの）とシステムの先験的知識間の許容可能な折衷ではないと判断された場合に、変更することができる。これらのパラメータＱ_A、Ｑ_B、Ｑ_Cは、課されている制約の代わりに、新しく推定されるモデルパラメータが初期のモデルパラメータをどの程度逸脱可能であるかを判定するものである。したがって、ユーザーは、ステップ２０８において、異なる最適化パラメータＱ_A、Ｑ_B、Ｑ_C、Ｑ_εの組を選択し、最適化問題４０２を再度解決可能である。又、前出の図２に関連して前述したように、ユーザーは、この代わりに、例えば、異なるモデル次数を選択し、初期モデルを再度推定することもできる。

目的関数の別の形態においては、２ノルム又はｌノルム又は∞ノルムなどの異なる微分可能又は微分不可能な行列ノルムを利用することができる。又、より低い自由度を示すように目的関数を変更することも可能である。例えば、Ａ＝Ａ₀とＣ＝Ｃ₀を強制しつつ、Ｂの要素を決定変数とするように選択可能である。これは、Ｑ_A＝０とＱ_C＝０を設定することにより、この代表的な定式化によって実現可能であろう。又、当業者であれば、状態空間又はその他のパラメトリックモデル用のその他の考えられうる形態の目的関数も同様に使用可能であることを理解するであろう。

ステップ４０２において、代表的な目的関数の最小化に課すことができる制約は、開ループ安定性に対する制約、定常ゲインに対する制約、及びモデルの動的特性に対する制約である。次に、これらの制約の代表的なカテゴリのそれぞれについて詳細に説明する。

プロセスが開ループ安定であることが判明している場合には、開ループ安定性に対する制約が望ましいであろう。この安定性の制約により、行列Ａの固有値の実数部分が単位円内に位置するという制約が課される。初期モデルが望むように開ループ安定であると選択された場合に、行列Ａ₀は、この制約を満足する。したがって、安定な開ループシステムの場合には、次のとおりである。

ｅｉｇ（Ａ）≦１ 式１８

漸近安定開ループ安定システムの場合には、次のとおりである。

ｅｉｇ（Ａ）＜１ 式１９

制約付きモデルに対して一般的に課すことができる制約の更なるカテゴリは、定常ゲインに対する制約である。モデルの定常ゲインＫ（次元ｎ_yｎ_uの行列）は、モデルパラメータの関数として、次のように与えられる。

Ｋ＝Ｃ（Ｉ−Ａ）^-1Ｂ 式２０

式２０における定常ゲインに対するあらゆる線形等式又は不等式制約は、この制約付き最適化問題の定式化において処理可能である。例えば、ゲインの範囲に対しては、次のように境界を与えることができる。

Ｋ_min≦Ｃ（Ｉ−Ａ）^-1Ｂ≦Ｋ_max 式２１

更に／或いは、ゲインの符号、及び／又は様々な入力／出力ペアのゲインの線形の組み合わせに対しても境界を与えることが可能である。

制約の更なるカテゴリは、モデルの動的特性に対する制約である。式１５における状態空間モデル表現を使用し、Ａ₀、Ｂ₀、Ｃ₀、Ｄ₀をＡ、Ｂ、Ｃ、０によって置換することにより、Ｎ個のサンプリングインターバルにおいて次の出力応答が得られる。

ｙ（ｋ）＝Ｃｘ（ｋ）
ｙ（ｋ＋１）＝Ｃｘ（ｋ＋１）＝Ｃ（Ａｘ（ｋ）＋Ｂｕ（ｋ））＝ＣＡｘ（ｋ）＋ＣＢｕ（ｋ）
ｙ（ｋ＋２）＝Ｃｘ（ｋ＋２）＝Ｃ（Ａｘ（ｋ＋１）＋Ｂｕ（ｋ＋１））＝ＣＡ²ｘ（ｋ）＋ＣＡＢｕ（ｋ）＋ＣＢｕ（ｋ＋１）
・・・
ｙ（ｋ＋Ｎ）＝ＣＡ^Nｘ（ｋ）＋ＣＡ^N-1Ｂｕ（ｋ）＋・・・＋ＣＢｕ（ｋ＋Ｎ−１） 式２２

ｘ（０）＝ｘ₀＝０の場合には、次の単位ステップ応答が得られる。

ｙ（ｋ＋ｉ）＝Ｃ（Ａ^i-1＋Ａ^i-2＋・・・＋Ａ＋Ｉ）Ｂ 式２３

ここで、ｉ＝０，．．．，Ｎである。

したがって、異なる時間インターバルにおいて、単位ステップ応答に対して制限を課すことができる。例えば、与えられた入力に対する単位ステップに応答する特定の出力の時間遅延ｔ_dが判明している場合には、例えば、次のように課すことができる。

ｙⁱ _j（ｋ＋ｌ）＝［Ｃ（Ａ^l-1＋Ａ^l-2＋・・・＋Ａ＋Ｉ）Ｂ］_i,j＝０、ここで、ｌ＝０，．．．，ｔ_dである。
ｙⁱ _j（ｋ＋ｌ）＝［Ｃ（Ａ^l-1＋Ａ^l-2＋・・・＋Ａ＋Ｉ）Ｂ］_i,j＞０、ここで、ｌ＝ｔ_d＋１，．．．，Ｎである。 式２４

或いは、次のとおりである。

ｙⁱ _j（ｋ＋ｌ）＝［Ｃ（Ａ^l-1＋Ａ^l-2＋・・・＋Ａ＋Ｉ）Ｂ］_i,j＝０、ここで、ｌ＝０，．．．，ｔ_dである。
ｙⁱ _j（ｋ＋ｌ）＝［Ｃ（Ａ^l-1＋Ａ^l-2＋・・・＋Ａ＋Ｉ）Ｂ］_i,j＜０、ここで、ｌ＝ｔ_d＋１，．．．，Ｎである。 式２５

ここで、ｙⁱ _jという表記は、ｊ番目の入力における単位ステップの変化に応答するｉ番目の出力を意味し、［Ｃ（Ａ^l-1＋Ａ^l-2＋・・・＋Ａ＋Ｉ）Ｂ］_i,jは、対応する行列要素を表している。

一般的には、先験的知識の制約は、次のような代表的な形態を仮定することができる。

ここで、行列Λ∈Ｒ^NnyxNnyとΓ∈Ｒ^Nnyxnuは、ステップ応答の線形の組み合わせを表すように選定され、動的及び定常制約を強制する。ε∈Ｒ^Nnyxnuは、制約軟化パラメータを表している。式１７の目的関数の行列Ｑ_εは、いくつかの制約をその他のものよりも強力に強制するべく選択することができる。（Ｑ_εにおいて、対応する大きな要素を選択することにより）いくつかの制約をハード制約とする一方で、データ情報と先験的知識間の折衷及び／又は優先順位の高い制約の充足（すなわち、制約ランキング）を可能にするべく、その他のものを軟化させることも可能である。

式１７の目的関数と式２６の制約による代表的な最適化の最大サイズは、次のとおりである。

ｎ²＋ｎ（ｎ_y＋ｎ_u）＋Ｎｎ_yｎ_u 式２７

正確なサイズは、強制する動的制約の数に依存しており、これが、今度は、εの次元に対して影響を与える。したがって、ｎ_Cがモデルのステップ応答に対して課せられた制約の数であるとすれば、最適化のサイズは、次の式によって与えられる。

ｎ²＋ｎ（ｎ_y＋ｎ_u）＋ｎ_Cｎ_yｎ_u 式２８

これは、式２７で表されている最大最適化サイズよりも格段に小さいものになろう。

なお、式２６における第１のＮｎ_yｎ_u制約は、モデルパラメータの線形行列不等式として示されているが、非線形行列不等式も使用可能であることに留意されたい。非線形行列不等式は、特定の先験的知識をモデルパラメータに変換する方法となり得る。又、これらの制約が行列Ａ、Ｂ、Ｃの非線形関数である場合には、最適化は、相当に複雑なものになることにも留意されたい。

図５は、図２の代表的なシステム同定法の一部として初期パラメトリックモデルを算出する別の代表的な方法を示すフローチャートである。図３の代表的な方法におけると同様に、まず、入力及び出力テストデータ情報を分析のために受信する。

この図５の代表的な方法においては、まず、データを使用し、ＦＩＲモデル、ステップ応答（ＳＲ）モデル、又は周波数応答モデルなどのノンパラメトリックモデルを同定する（ステップ５００）。パラメトリックモデルではなく、まずノンパラメトリックモデルを同定する１つの利点は、先験的になんらの構造もモデルに対して課されないと点にある。但し、潜在的に大きな数のモデルパラメータをノンパラメトリックモデル内において推定しなければならないという点は、特に、長い整定時間を有するシステムの場合には不利である。望ましい高品質のノンパラメトリックモデルを得るためには、一般的に、大量の有用なプラントデータを準備し、ステップ２００を開始することが望ましい。

この結果生成される制約なしノンパラメトリックモデルは、標準的なモデル確認及びクロス確認基準にしたがって確認される。そして、ステップ５００において、これらの基準に準拠する望ましい高品質のノンパラメトリックモデルが同定可能であると仮定すれば、このモデルを先験的知識に照らして判定し（ステップ５０２）、この第１のモデルが先験的知識と一致するかどうかを決定する。そして、ステップ５０２において、この制約なしノンパラメトリックモデルが満足できるものであると判定された場合には、この初期モデルを最終的なものとして使用可能である。この代わりに、パラメトリックモデルが最終的なモデルとして望ましい場合には、このノンパラメトリックモデルにおいて決定された入力／出力関係を、例えば、状態空間モデルなどの最節約（ｐａｒｓｉｍｏｎｉｏｕｓ）パラメトリックモデルによって近似する。

一方、ステップ５０２において、この制約なしノンパラメトリックモデルが先験的知識と一致しないと判定された場合には、この初期ノンパラメトリックモデルを最節約パラメトリックモデルによって近似する（ステップ５０６）。このステップの結果が、初期パラメトリックモデル５０８である。なお、この代表的な近似により、結果的に図５の初期状態空間モデル５０８が生成されるものとして示されているが、その他のタイプのパラメトリックモデルも同様に選択可能であると考えられる。次いで、この初期パラメトリックモデルは、図４を参照して先に詳細に説明したように、制約付きパラメトリックシステム同定プロセスにおいて使用される。

初期ノンパラメトリックモデルをパラメトリックモデルによって近似することにより、制約付きパラメトリックシステム同定プロセスの一部として推定するモデルパラメータの数が減少する。この結果、通常は初期制約なしシステム同定よりも演算的に複雑な、先験的知識に従うモデルの最適化が簡単になる。

Ｔ．バックス（Ｔ．Ｂａｃｋｘ）他による「ＩＮＣＡコース（ＩＮＣＡ Ｃｏｕｒｃｅ）」のコースノートに記述されている技法とは異なり、この図５の代表的な方法（又は、図３の代表的な方法）によって判定される初期パラメトリックモデルは、本発明の代表的な制約付きパラメトリックシステム同定プロセスにおいては、（初期推定としてだけではなく）モデル最適化の定式化の一部として使用されている点を強調したい。又、図４を参照して前述した代表的な制約付きパラメトリックシステム同定プロセスでは、プラントテストデータの使用を必要とはしていない。この制約付きパラメトリック最適化においては、データは、図５（又は、図３）の代表的な方法によって生成される初期パラメトリックモデルを通じて、その特徴によって表されている。

ＩＰＣＯＳ１９９９−２００１の「ＩＮＣＡコース：モデル予測制御に関するコース（ＩＮＣＡ Ｃｏｕｒｓｅ： Ｃｏｕｒｓｅ ｏｎ Ｍｏｄｅｌ Ｐｒｅｄｉｃｔｉｖｅ Ｃｏｎｔｒｏｌ）」のコースノートと比べた場合の更なる別の相違点は、本発明の場合には、先験的知識をハード／ソフト制約の組み合わせの形態でモデル最適化ステップに組み込むことである。これに対して、これらのコースノートにおいては、Ｔ．バックス（Ｔ．Ｂａｃｋｘ）他は、例えば、目的関数における重み付けされた項として、定常状態の知識を組み込んでいる。

図６のフローチャートは、システムの制約付きノンパラメトリックモデルを同定可能な本発明の別の代表的な実施形態を示している。

前述の代表的なパラメトリック実施形態におけると同様に、まず、入力／出力プラントテストデータを受信する（ステップ２００）。そして、このプラントテストデータを使用し、ノンパラメトリックモデリング用の標準的なアルゴリズムを使用して、例えば、ステップ応答モデルなどの初期ノンパラメトリックモデルを同定する（ステップ６００）。ステップ応答モデルを利用する代表的なケースの場合には、この初期ノンパラメトリックモデルは、次のように記述することができる。

ここで、ｉ＜−１において、ｕ_k+i＝０である。Ｎは、プロセス整定時間を特徴付けるサンプルの数である。このパラメータは、ユーザーが選択するが、望ましい高いモデル品質を提供するべく調整可能である。このモデルは、次の行列によって特徴付けすることができる。

ここで、ｉ＝１，．．．，Ｎにおいて、Ｈ_i ⁰∈Ｒ^nyxnuである。

図６において、この初期モデルは、コンパクトな形式６０４で表されている。この初期ノンパラメトリックモデルは、既に代表的な確認及びクロス確認基準を使用してプラントデータに照らして確認及びクロス確認されており、望ましい高品質の初期モデルが確認された状態にある。初期モデルが、これらの基準にしたがって望ましい高い品質であると判定された後に、システムの先験的知識に照らして審査し、この初期モデルが先験的知識と一致するかどうかを判定する（ステップ６０２）。そして、この初期ノンパラメトリックモデルがシステムの先験的な知識と一致する場合には、このシステム同定作業は終了し、ステップ６００においてプラントデータから同定されたこの初期モデルが、最終的なモデルとして決定される。

一方、このステップ６００において同定された初期ノンパラメトリックモデルがシステムの先験的知識と一致しない場合には、制約付きノンパラメトリックモデル最適化を実行する（ステップ６０６）。この制約付きノンパラメトリックモデル最適化手順の一部として、先験的な知識をモデルパラメータに対する制約の形態で強制する。図４を参照して前述した制約付きパラメトリックモデリングのケースと同様に、この制約付き最適化６０６においては、初期モデル６０４がテストデータ情報を表している。したがって、この制約付きモデル最適化ステップには、なんらのテストデータも直接的に入力されてはいない。この点が、パラメトリック並びにノンパラメトリックモデリング法のために先験的知識を組み込むシステム同定を主題とした従来技術と本発明との主な相違点である。

ステップ６０６の制約付きノンパラメトリックモデル最適化手順用の代表的な目的関数は、次の式によって与えられる。

ここで、正の半定符号行列Ｑ_H及びＱ_ε*は、新しいステップ応答係数が初期モデルのものからどの程度異なることができるか（データにおける信頼性）、及び先験的知識の制約をどの程度厳密に強制するか（先験的知識における信頼性）をそれぞれ示す調整可能なパラメータである。

図４を参照して前述した代表的な制約付きパラメトリック最適化手順におけるε及びＱ_εと同様に、追加された決定変数ε^*の役割は、制約を軟化させることであり、Ｑ_ε*は、様々な制約に対して望ましい軟化の程度を設定するべく選定可能である。

式３１の代表的な目的関数による最適化に課すことができる制約の代表的な表現は、次のとおりである。

ここで、Λ^*∈Ｒ^nyNxnyNとΓ^*∈Ｒ^nyNxnuは、モデル係数Ｈ_i（ここで、ｉ＝１，．．．，Ｎ）に対する先験的知識の制約を特徴付ける行列である。したがって、式３１によって与えられる目的関数と式３２によって与えられる制約によるこの代表的な定式化においては、最大問題サイズは、次の式によって与えられる。

２ｎ_yｎ_uＮ 式３３

ｎ_C個の先験的知識制約の場合の実際の問題サイズは、次の式によって与えられる。

ｎ_yｎ_u（Ｎ＋ｎ_C） 式３４

これは、式３３によって与えられる最大問題サイズによりも格段に小さなものになり得る。

式３２の第１のＮｎ_yｎ_u制約は、モデルパラメータに対する線形行列不等式として示されているが、これが先験的知識をモデル係数に変換する方法である場合には、非線形行列不等式も使用可能であることに留意されたい。これらの制約がステップ応答係数の非線形関数である場合には、最適化は相当に複雑なものになる。

ステップ６０６の制約付き最適化の解決が完了すれば、その結果生成された制約付きノンパラメトリックモデル６０８を審査し、テストデータ情報と先験的知識間の望ましい折衷を表しているかどうかを判定する（ステップ６１０）。そして、ステップ６１０において、このモデルが望ましい折衷であると判定された場合には、この制約付きノンパラメトリックモデル６０８を最終的なモデルとして決定し（ステップ６１６）、システム同定手順は終了する。

一方、ステップ６１０において、モデル６０８が望ましい折衷ではないと判定された場合には、ユーザーは、Ｑ_H≧０及びＱ_ε*≧０の要素の一部又はすべてなどの最適化パラメータを変更し（ステップ６１２）、制約付きノンパラメトリック最適化に戻ることができる（ステップ６０６）。このループは、最終的なモデルがステップ６１０の審査に合格するように目的関数の重みが選択される時点まで反復可能である。この代わりに、ユーザーは、例えば、推定整定時間Ｎの調整などの初期制約なしモデルの最適化の最適化パラメータを変更することを選択した後に（点線で示されているステップ６１４）、初期制約なしモデルの同定に戻ることも可能である（ステップ６００）。

以上、特定の実施形態に関連し、本発明について説明したが、当業者であれば、本発明の範囲と精神に属する構造における変形と材料の置換について理解するであろう。

本発明によるシステム同定用の代表的なシステムテストのレイアウトを示すブロックダイアグラムである。 本発明による先験的システム知識を使用するシステム同定の代表的な方法を示す高水準フローチャートである。 本発明による初期モデル同定の代表的な方法を示すフローチャートである。 本発明による先験的システム知識を使用する制約付き最適化の代表的な方法を示すフローチャートである。 本発明による初期モデル算出の別の代表的な方法を示すフローチャートである。 本発明による先験的システム知識を使用するシステム同定の他の代表的な方法を示すフローチャートである。

Claims (13)

1. システムの先験的知識の組込みによって前記システムの初期パラメトリックモデルを改善するシステム同定方法であって、前記システムの前記初期パラメトリックモデルは、複数の入力信号と複数の出力信号の分析に基づいた複数のパラメータを含むモデルであり、
   （ａ）前記複数のパラメータの組に対応し前記先験的知識に基づいた制約の組を決定するステップと、
   （ｂ）前記初期パラメトリックモデルとステップ（ａ）において決定された前記制約の組に基づいて前記システムの制約付きパラメトリック最適化を実行し、前記システムの改善されたパラメトリックモデルを生成するステップと、を有し、
   ステップ（ｂ）における前記制約付きパラメトリック最適化には、前記複数の入力信号と前記複数の出力信号が含まれていないシステム同定方法。
2. ステップ（ａ）は、前記初期パラメトリックモデルと前記先験的知識に基づいた前記制約の組の少なくとも１つに対応する重みファクタの組を選択するステップを更に含む請求項１記載のシステム同定方法。
3. （ｃ）ステップ（ｂ）において生成された前記変更されたパラメトリックモデルを前記初期パラメトリックモデル及び前記制約の組と比較し、前記変更されたパラメトリックモデルが、前記初期パラメトリックモデルと前記制約の組間の良好な折衷であるかどうかを判定するステップと、
   （ｄ）前記変更されたパラメトリックモデルが、ステップ（ｃ）において、良好な折衷ではないと判定された場合に、前記初期パラメトリックモデルと前記制約の組の少なくとも１つに対応する前記重みファクタの組を変更し、ステップ（ｂ）、（ｃ）、及び（ｄ）を反復するステップと、
   を更に有する請求項２記載のシステム同定方法。
4. 前記制約の組は、ハード制約のサブセットとソフト制約のサブセットを含む請求項１記載のシステム同定方法。
5. ステップ（ｂ）の前記制約付きパラメトリック最適化は、制約軟化に対するペナルティ関数法を含む請求項１記載のシステム同定方法。
6. 前記システムの前記先験的知識は、
   前記システムの第一原理分析から決定される知識と、
   前記システムの動作から決定される知識と、
   類似の特性を備えるその他の既存のシステムの動作から決定される知識と、
   のうちの少なくとも１つを含む請求項１記載のシステム同定方法。
7. 前記制約の組は、
   前記システムの開ループ安定性に対する制約と、
   前記システムの動的動作に対する制約と、
   前記システムの定常動作に対する制約と、
   のうちの少なくとも１つを含む請求項１記載のシステム同定方法。
8. 前記初期パラメトリックモデルは、状態空間モデルである請求項１記載のシステム同定方法。
9. システムの物理的に有意なモデルを開発するべく前記システムの先験的知識を組み込む複数の入力信号と複数の出力信号の分析に基づいたシステム同定方法であって、
   （ａ）前記複数の入力信号と前記複数の出力信号に基づいて第１のパラメトリックモデル最適化を行い、複数のパラメータを含む前記システムの初期パラメトリックモデルを生成するステップと、
   （ｂ）前記先験的知識に基づいて前記複数のパラメータの組に対応する制約の組を決定するステップと、
   （ｃ）前記初期パラメトリックモデルとステップ（ｂ）において決定された前記制約の組に基づいて前記システムの制約付きパラメトリック最適化を実行し、前記システムの前記物理的に有意なモデルを生成するステップと、を有し、
   ステップ（ｃ）における前記制約付きパラメトリック最適化には、前記複数の入力信号と前記複数の出力信号が含まれていないシステム同定方法。
10. ステップ（ｃ）は、
    （ｃ１）ステップ（ａ）において生成された前記初期パラメトリックモデルとステップ（ｂ）において決定された前記制約の組を比較し、前記初期パラメトリックモデルが前記制約の組と一致するかどうかを判定するステップと、
    （ｃ２）前記初期パラメトリックモデルが、ステップ（ｃ１）において、前記制約の組と一致すると判定された場合に、前記初期パラメトリックモデルを前記システムの前記物理的に有意なモデルとして決定するステップと、
    （ｃ３）前記初期パラメトリックモデルが、ステップ（ｃ１）において、前記制約の組と一致しないと判定された場合に、前記初期パラメトリックモデルと前記制約の組のみに基づいて前記システムの制約付きパラメトリック最適化を実行し、前記システムの前記物理的に有意なモデルを生成するステップと、
    を含む請求項２記載のシステム同定方法。
11. システムの物理的に有意なモデルを開発するべく前記システムの先験的知識を組み込む複数の入力信号と複数の出力信号の分析に基づいたシステム同定方法であって、
    （ａ）前記複数の入力信号と前記複数の出力信号に基づいて第１のノンパラメトリックモデル最適化を行い、前記システムのノンパラメトリックモデルを生成するステップと、
    （ｂ）複数のパラメータを含む前記システムの初期パラメトリックモデルによって前記ノンパラメトリックモデルを近似するステップと、
    （ｃ）前記先験的知識に基づいて前記複数のパラメータの組に対応する制約の組を決定するステップと、
    （ｄ）前記初期パラメトリックモデルとステップ（ｃ）において決定された前記制約の組に基づいて前記システムの制約付きパラメトリック最適化を実行し、前記システムの前記物理的に有意なモデルを生成するステップと、を有し、
    ステップ（ｄ）における前記制約付きパラメトリック最適化には、前記複数の入力信号と前記複数の出力信号が含まれていないシステム同定方法。
12. ステップ（ｂ）において、前記初期ノンパラメトリックモデルが適切な次数の状態空間モデルによって近似されることにより、前記システムの前記初期パラメトリックモデルが生成される請求項１０記載のシステム同定方法。
13. システムの物理的に有意なモデルを開発するべく前記システムの先験的知識を組み込む複数の入力信号と複数の出力信号の分析に基づいたシステム同定方法であって、
    （ａ）前記複数の入力信号と前記複数の出力信号に基づいて第１のノンパラメトリックモデル最適化を行い、複数のモデルパラメータを含む前記システムの初期ノンパラメトリックモデルを生成するステップと、
    （ｂ）前記先験的知識に基づいて前記複数のモデルパラメータの組に対応する制約の組を決定するステップと、
    （ｃ）前記初期ノンパラメトリックモデルとステップ（ｂ）において決定された前記制約の組に基づいて前記システムの制約付きノンパラメトリック最適化を実行し、前記システムの前記物理的に有意なモデルを生成するステップと、を有し、
    ステップ（ｃ）における前記制約付きノンパラメトリック最適化には、前記複数の入力信号と前記複数の出力信号が含まれていないシステム同定方法。

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