JP2002183221A - 四面体格子の生成方法およびそのプログラムを記録した記録媒体 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【課題】 三次元のドローネ分割によって四面体格子を
生成する、 アドバンシング・フロント法を用いた方法
において、 四面体要素の切り出しに行き詰まることに
よる 四面体格子生成の失敗を回避し、安定に格子生成
できるようにする。 【解決手段】 四面体要素切り出しを行うデータ処理装
置１には、解析領域記憶部１１のデータを読み出して三
角格子を生成する手段４、このデータを未処理三角面記
憶部１３に登録する初期設定手段５の外に、四つの頂点
が同一平面上に位置する仮想的な四面体要素を許容する
切り出し手段６が備えられている。これによって四面
体要素切り出し時の行き詰まりを回避することが出来
る。その後、仮想四面体近傍の格子削除手段７と仮想四
面体を用いない四面体要素切り出し手段８とを組み合わ
せて、 仮想四面体及びその近傍の格子を除去し、その
削除領域の格子を局所的に張り替える。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は、偏微分方程式を数
値的に解くために用いられる、三次元の離散化格子の生
成方法、および、その生成方法を情報処理装置に行わせ
るためのプログラムを格納した記録媒体に関するもので
ある。

【０００２】

【従来の技術】偏微分方程式を数値的に解くには、解析
領域を微小領域に分割する離散化格子を生成し、元の偏
微分方程式を近似した連立方程式を導き、これを解く。
連立方程式を導く方法には、有限要素法や有限差分法な
どがあり、解くべき問題の性質に応じて使い分けられる
が、例えば、半導体素子の電気特性を計算機上で計算す
るデバイスシミュレータでは、各離散化格子点が受け持
つ微小領域を定義し、この領域内で１、それ以外では０
の値を持つような試験関数を用いる有限要素法として導
かれるコントロール・ボリューム（ｃｏｎｔｒｏｌ ｖ
ｏｌｕｍｅ）法もしくはボックス積分法と呼ばれる方法
が広く用いられている。

【０００３】コントロール・ボリューム法を用いる場合
において、方程式の離散化近似に使う三次元の離散化格
子がドローネ (Delaunay) 分割と呼ばれる領域分割、す
なわち三角形ないし四面体の外接円（球）内に他の三角
形ないし四面体の格子点が存在していない分割になって
いないと数値解析が不安定になることが知られている。
このため、そのような格子の性質を考慮していない、有
限要素法用の格子生成法を適用することは通常はできな
い。コントロール・ボリューム法を用いる場合の三次元
の格子生成方法としては、例えば、Ｍ．Ｓ．Ｍｏｃｋの
論文〔“Ｔｅｔｒａｈｅｄｒａｌ ｅｌｅｍｅｎｔｓ
ａｎｄ ｔｈｅ Ｓｃｈａｒｆｅｔｔｅｒ−Ｇｕｍｍｅ
ｌ Ｍｅｔｈｏｄ”，Ｐｒｏｃ．ＮＡＳＥＣＯＤＥ Ｉ
Ｖ，ｐｐ．３６−４７，Ｊｕｎｅ，１９８５〕や特開平
８−３２９２８４号公報などに記載された方法が知られ
ている。これらの方法は、最初に解析領域を包含するド
ローネ分割格子を作成しておき、これに格子点を一点追
加して格子を局所的に修正するという操作を繰り返すも
のである。修正はドローネ分割という性質を損なわない
ように行われる。この方法では四面体格子の修正を行う
ため、格子要素をその接続情報とともに削除し、再度接
続情報を正しく設定する必要がある。このような格子の
修正を行うことなく、最初からドローネ分割という性質
を満たす四面体要素を順次構成していくことができれ
ば、格子生成処理がより高速に実行できるものと期待で
きる。

【０００４】四面体格子の修正操作を避けることの出来
る方法として、ドローネ分割格子をアドバンシング・フ
ロント法で求める方法が、Ｐ．Ｆｌｅｉｓｃｈｍａｎｎ
とＳ．Ｓｅｌｂｅｒｈｅｒｒによる論文〔“Ａ Ｎｅ
ｗ Ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏＦｕｌｌｙ Ｕｎｓｔｒｕ
ｃｔｕｒｅｄ Ｔｈｒｅｅ−ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ
Ｄｅｌａｕｎａｙ Ｍｅｓｈ Ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ
ｗｉｔｈ Ｉｍｐｒｏｖｅｄ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｑｕａ
ｌｉｔｙ" Ｐｒｏｃ．ＳＩＳＰＡＤ、Ｓｅｐ．，１９９
６、ｐｐ．１２９−１３０〕に開示されている。ここで
はまず通常のアドバンシング・フロント法の概要を図９
と図１０を用いて説明する。最初に、図１０のステップ
Ｓ３１において、解析領域の表面を三角格子に分割す
る。続いて、ステップＳ３２において、先程作成した三
角格子の格子面を、未処理の三角面として登録する。次
いで、ステップＳ３３において、未処理の三角面を一つ
選び、これを底面とするような四面体要素の切り出す操
作を行う。四面体要素を構成するには、三角面の他に格
子点を一つ与えなければならない。領域表面上の三角格
子の格子点の他、解析領域内部に与えられた格子点も利
用する。解析領域内部の格子点は予め全て与えておくこ
ともできるし、四面体要素を切り出す際に適切な位置に
格子点を発生させることもできる。四面体要素が切り出
されると、格子を生成すべき領域が狭まる。そこで、ス
テップＳ３３において、未処理三角面が格子を生成すべ
き領域の外周上の三角面の集合になるように未処理面の
リストを更新する。すなわち、切り出した四面体要素の
側面の中で、未処理面リストに登録されていた面はリス
トから削除し、新しく作成された三角面は未処理面リス
トに登録する。次に、ステップＳ３４において未処理面
が残っているか否かをチェックし未処理面がある限りス
テップＳ３３を繰り返す。半導体シミュレーションにお
いては、解析領域が材質の異なる複数の領域から成るこ
とがほとんどである。この場合は、異材質間の界面上に
三角格子を生成した後、図１０のステップＳ３２以降
を、各材質の領域毎に適用することで対応できる。

【０００５】図９は、図１０の処理フローを実施するた
めにデータ処理装置１に用意される手段と、記憶装置２
に保存されるデータとの関係を示している。三次元解析
を行うべき領域は、記憶装置２の三次元解析領域記憶部
１１に予め記憶されている。データ処理装置１の手段４
は、この記憶部１１のデータを読み出して解析領域の表
面上に三角格子を生成し（ステップＳ３１）、これを記
憶部１２に格納する。初期設定手段５は、記憶部１２に
格納されたデータを未処理三角面データとして記憶部１
３に登録する（ステップＳ３２）。処理の中心となる四
面体要素の作成は、四面体を切り出す手段８が未処理三
角面記憶部１３から三角面を一つ選択してこれを底面と
する四面体を構成し、四面体格子記憶部１５にその情報
を格納することで実現される。そして、この作成された
四面体によって未処理三角面記憶部１３のデータが更新
される（ステップＳ３３）。このときに作られる四面体
要素は、他の四面体要素と交差したり、四面体の辺が他
の格子辺と交差したりしないようなものが選ばれる。

【０００６】このアドバンシング・フロント法をドロー
ネ分割格子の生成に適用する方法の概略を図１１によっ
て説明する。ここでは、簡単のために、二次元の例で、
格子を生成すべき領域の内部には格子点を置かない場合
を取り上げる。ドローネ分割格子は、格子要素の外接円
(三次元の場合は外接球) の内部に格子点が含まれない
という性質を有する。この性質を利用して、以下のよう
にアドバンシング・フロント法を適用する。図１１
（ａ）において、格子を生成すべき領域４１の多角形の
頂点にのみ格子点があるものとする。領域４１の外周上
の一辺４２を選び、内部に格子点を含まないような外接
円４３を構成する格子点 (図中の黒丸の位置の点) を求
める。この格子点と辺４２を用いて三角要素を切り出
す。すると、図１１（ｂ）のように格子を生成すべき領
域４１が更新され、その外周上の一辺４２を選んで同様
にして三角要素を切り出す。これを図１１（ｃ）に示す
ように、格子を生成すべき領域４１が消失するまで繰り
返す。三次元の場合は、格子を生成すべき領域の外周上
の三角面に対して、内部に格子点を含まないような外接
球を構成する格子点を探すことになる。

【０００７】解析領域内部に予め格子点を置いておく場
合も、同様に処理できる。四面体要素を切り出す際に格
子点を発生させる方法は、既に作成された格子要素の外
接円ないし外接球内に位置しないように注意を払う必要
があるが、そのような処理も不可能ではない。しかしな
がら、外接円ないし外接球内に位置しないことの判定処
理を組み込むことが必要となることや、どの位置も外接
円ないし外接球内である場合には格子点を発生させよう
とすると無限ループに陥ることになるがそうならないよ
うに制御する必要があることを考えれば、適切な算法で
はない。また、半導体シミュレーションにおいては、し
ばしば界面に沿って層状の格子を生成することによって
計算精度を上げられる場合がある。しかし、格子点をむ
やみに追加すると、図１２（ａ）に示すように、界面５
１に沿って層状の格子を生成しておいても、図１２
（ｂ）に示すように、それが追加された格子点５２によ
って壊されることがある。このような理由から、アドバ
ンシング・フロント法を用いる場合には、格子点は予め
与えておくのが得策であると言える。以下では、予め格
子点が与えられている状況下において、アドバンシング
・フロント法を適用してドローネ分割格子を生成する場
合について考える。

【０００８】アドバンシング・フロント法を三次元の四
面体格子生成に利用する場合の問題点は、四面体要素を
切り出せない状態が発生し得ることである。図１３に示
しているのは、四面体要素分割されていない、外周が全
て三角面で囲まれている三角柱領域である。この場合、
どのように四面体を切り出そうとしても格子辺の交差が
生じてしまう。このような状況は、三角柱領域や直方体
領域など、６点以上が同一球面上にあって、しかも、同
一平面上に４点以上が位置するような場合に起き得る。
このように、四面体要素の切り出しに行き詰まる領域が
残ることを避ける算法が特開平１１−９６３９９号公報
により提案されている。その処理装置および処理フロー
の概要を、それぞれ図１４、図１５に示す。

【０００９】図１５において、解析領域の界面上に格子
を生成するステップＳ４１と、未処理の三角面の登録す
るステップＳ４２は、従来のアドバンシング・フロント
法の対応するステップ（図１０のステップＳ３１および
Ｓ３２）と同じである。また、図１４に示すデータ処理
装置１において、手段４と手段５は図９に示すデータ処
理装置１の対応する手段と同じである。図１５に示すよ
うに、ステップＳ４３において、未処理の三角面を一つ
選んだ後、ステップＳ４４において、四面体を切り出す
べきかどうかの判定を行う。すなわち、四面体要素の切
り出し方が複数ある場合は、手段９を使ってその三角面
を一時待避させ（ステップＳ４８）、そうでない場合に
は、手段８を用いて四面体要素を切り出し、未処理三角
面リストを更新する（ステップＳ４５）。そして、ステ
ップＳ４６において、未処理面が残っているかを判断
し、残っている場合にはステップＳ４３に戻り、そうで
ない場合にはステップＳ４７に進んで、待避された三角
面があるかを判断し、ある場合には、この一時待避面を
未処理面に設定して（ステップＳ４９）、ステップＳ４
３に戻る。更に、この公報にて開示されたデータ処理装
置１には、無限ループを回避するために、三角面を含む
凸包領域を四面体分割する手段１０が備えられている。
この算法の大きな特徴は、処理すべき三角面を一時退避
する手段９をを持っていることで、四面体要素の切り出
し方が複数ある三角面の処理を後回しにすることによっ
て前述の問題を起きにくくしている。

【００１０】

【発明が解決しようとする課題】四面体要素の切り出し
方が複数ある三角面の処理を後回しにすること、言い換
えると、切り出し方が一意に定まる三角面を優先的に処
理することは確かに効果がある対策である。しかしなが
ら、処理速度を大きく損なわずに、優先的に処理できる
三角面を見つけだすことは簡単ではない。また、ステッ
プＳ４４からステップＳ４６までのループでいずれかの
三角面を用いて四面体切り出しが実行されると、一時退
避された面の中に切り出し方が一意に定まるようになっ
た三角面ができてくる可能性があるが、それは簡単には
判別しにくい。このため、ステップＳ４９では全ての退
避面を未処理面に再設定することにしているが、殆どの
面が切り出し方が一意に定まらないような状況になる
と、同じ面が何度も退避され、処理効率が著しく悪くな
る。そこで、例えば、同一面が一定回数以上退避されな
いようにステップＳ４４で制御し、「切り出し方が一意
に定まる三角面を先に処理する」という条件を厳密には
満たさない近似的算法を用いることになる。このため
に、実際には完全に図１３に示すような領域の発生を回
避することは難しい。特に、図１２（ａ）に示すような
層状の格子を構成する必要がある場合には、切り出し方
が複数ある三角面が多数発生するため、待避率が大幅に
増加することになる。本発明の課題は、上述した従来技
術の問題点を解決することであって、その目的は、図１
３に示すような領域の発生率が従来の算法よりも低い、
アドバンシング・フロント法を用いた離散化格子の生成
手法を提供することにある。

【００１１】

【課題を解決するための手段】上記の目的を達成するた
め、本発明によれば、偏微分方程式を数値的に解くため
に、三次元の解析領域を離散化する四面体格子を生成す
るにあたり、予め領域の表面、または、表面および内部
に三角格子を生成しておき、その三角面に対して頂点と
なる格子点を与えて四面体要素を切り出し、残りの三次
元領域に対して再び同様の方法で四面体要素を切り出す
という手順を繰り返すことで四面体格子を生成する、ア
ドバンシング・フロント法を用いた四面体格子の生成方
法において、四つの頂点が同一平面上に位置する仮想的
な四面体を形成することを許容する四面体要素の切り出
し手段を備えたことを特徴とする四面体格子の生成方
法、が提供される。そして、好ましくは、四面体要素の
切り出しの終了後、仮想四面体およびその近傍の格子を
削除し、その領域について新たに未処理三角面リストを
設定し仮想四面体なしで四面体分割を行う。

【００１２】また、上記の目的を達成するため、本発明
によれば、偏微分方程式を数値的に解くための、三次元
の解析領域を離散化する四面体格子を生成するために、
（１）前記解析領域の表面上、または、表面上および内
部に三角格子を生成するプロセス、（２）生成された三
角格子による三角面を処理すべき未処理三角面として初
期設定するプロセス、（３）四つの頂点が同一平面上に
位置する仮想的な四面体を許容して、三角面を側面とし
て四面体を切り出すプロセス、の各プロセスを情報処理
装置に行わせるためのプログラムが格納された記憶媒
体、が提供される。

【００１３】また、上記の目的を達成するため、本発明
によれば、偏微分方程式を数値的に解くための、三次元
の解析領域を離散化する四面体格子を生成するために、
（１）前記解析領域の表面上、または、表面上および内
部に三角格子を生成するプロセス、（２）生成された三
角格子による三角面を処理すべき未処理三角面として初
期設定するプロセス、（３）四つの頂点が同一平面上に
位置する仮想的な四面体を許容して、三角面を側面とし
て四面体を切り出すプロセス、（４）生成された三角格
子による三角面を処理すべき未処理三角面として初期設
定するプロセス、（５）四つの頂点が同一平面上に位置
する仮想的な四面体を許容して、三角面を側面として四
面体を切り出すプロセス、の各プロセスを情報処理装置
に行わせるためのプログラムが格納された記憶媒体、が
提供される。

【００１４】

【発明の実施の形態】次に、本発明の実施の形態につい
て図面を参照して説明する。図１は、本発明の第１の実
施の形態の構成を示すブロック図である。本発明の方法
が実行される情報処理装置は、プログラム制御により動
作するデータ処理装置１とデータを保持する記憶装置２
から構成される。記憶装置２には、解析領域情報を保持
する三次元解析領域記憶部１１、解析領域表面上の三角
格子に関するデータを保持する表面三角格子記憶部１
２、アドバンシング・フロント法で格子生成途中段階に
おいて格子がまだ張られていない領域の表面に位置する
未処理の三角面の情報を保持する未処理三角面記憶部１
３、仮想四面体要素の情報を保持する仮想四面体要素記
憶部１４、そして、生成された四面体格子の情報を保持
する四面体格子記憶部１５が含まれる。

【００１５】データ処理装置１には、解析領域記憶部１
１のデータをもとに解析領域の表面上に三角格子を生成
する手段４、その三角格子データをもとにアドバンシン
グ・フロント法を用いて格子生成をすべき領域の初期設
定を行う手段５、仮想四面体が発生することを許容して
未処理の三角面を一側面とする四面体要素を切り出す手
段６、四面体格子生成後に、ある仮想四面体の近傍の格
子を削除する手段７、そして、仮想四面体を使わないで
未処理の三角面を一側面とする四面体要素を切り出す手
段８が含まれる。

【００１６】これらの手段を組み合わせて、図２のフロ
ーチャートに示す本発明の四面体格子生成の処理を行
う。以下、図２を参照して本実施の形態の全体の動作に
ついて詳細に説明する。解析領域の界面上に格子を生成
するステップＳ１１と解析領域表面上の格子面を未処理
三角面として登録するステップＳ１２は、従来のアドバ
ンシング・フロント法の対応するステップ (図１０のス
テップＳ３１およびＳ３２) と同じである。

【００１７】ステップＳ１３で未処理の三角面を一つ選
んだ後、ステップＳ１４において、その三角面を底面と
して、内部に格子点を含まないような外接球を与える四
面体要素を切り出す。このとき、格子辺の交差が避けら
れない場合には仮想四面体を発生させ、格子の接続情報
に矛盾をきたさないようにする。後で削除する時のため
に、発生させた仮想四面体の情報を記憶装置に残してお
く。未処理面がなくなるまで、つまり、解析領域全域の
四面体分割が終了するまでステップＳ１３、Ｓ１４を繰
り返す。続いて、発生させた仮想四面体の削除操作をス
テップＳ１６からＳ１８までのループを回して実行す
る。ステップＳ１７において、仮想四面体を一つ選び、
その仮想四面体及びその近傍の四面体要素をいったん削
除し、削除領域の表面の三角面で未処理三角面のリスト
を初期化する。近傍の四面体要素を削除する過程で、別
の仮想四面体が同時に削除される場合、記憶装置内の仮
想四面体情報からもそれを削除する。ステップＳ１８に
おいて、削除領域の四面体格子を再生成するために、仮
想四面体を使わない四面体要素の切り出し処理を繰り返
し適用する。

【００１８】本発明において、図１の仮想四面体を許容
して四面体を切り出す手段６が四面体要素の切り出しの
行き詰まりを回避するための手段である。この作用を図
３を参照して更に詳しく説明する。図３において、四点
Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄは同一平面上かつ同一円上にあるものと
し、点Ａ、Ｂ、Ｃを時計回りに見る側に、図３（ａ）に
示すように、点Ｐを頂点とする四面体が作られているも
のとする。この反対側、すなわち、点Ａ、Ｂ、Ｄを反時
計回りに見る側に、図３（ｃ）に示すように、点Ｑを頂
点とする四面体を作る必要がある場合、通常では格子辺
ＢＤとＡＣとの交差が発生するために四面体要素を生成
できないが、図 1の手段６では、図３（ｂ）に示すよう
に、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄを四頂点とする、体積のない仮想的
な四面体を間に生成して、これを挟む四面体を接続す
る。辺ＢＤと辺ＡＣとは交差しているが、見かけ上の接
続情報は正しく構成することができ、四面体の切り出し
を継続することができる。

【００１９】このようにして、解析領域の四面体要素へ
の分割を実行することができるが、構成された格子には
仮想四面体要素が含まれている。仮想四面体要素の交差
している格子辺に関しては、これらの辺に対応するコン
トロール・ボリューム断面積が零となるため、原理的に
は存在していても行列解法には悪影響を及ぼさないはず
の辺である。その意味では、図１の手段６を備えていれ
ば、四面体要素の切り出しに行き詰まる問題を回避でき
る。しかしながら、仮想四面体が存在すると不都合なこ
とも多い。例えば、材質界面では特殊な扱いをする物理
モデルが入れられることが多いが、界面上に仮想四面体
が存在すると界面に隣接しているかどうかの判定に注意
が必要になる。係数行列設定を含めた行列解法部にその
ような修正を入れなくても済むような、汎用的な格子生
成モジュールを実現するならば、仮想四面体を除去する
必要がある。図１の仮想四面体要素近傍の格子を削除す
る手段７は、そのような処理を行うために格子の一部を
除去する手段で、除去された領域に対しては、仮想四面
体を用いないで四面体要素を切り出す手段８を使って、
四面体格子を再構成する。

【００２０】ここで、四面体格子を再構成する過程で四
面体要素を切り出しに行き詰まる可能性がある。しか
し、この段階では四面体格子を生成すべき領域はごく限
られた範囲になっている。従って、例えば、ドローネ分
割条件を満たす範囲で可能な四面体分割の組み合わせを
総当たり的に試すことで、適切な四面体分割を見つけだ
すことができる。但し、それでも四面体格子生成に失敗
するケースとして、手段７によって除去する領域が狭す
ぎ、格子辺の交差を避ける分割が原理的に存在しないと
いう場合が考えられる。除去領域を広げすぎると、総当
たり的な格子生成処理が長時間に及ぶ。つまり、手段７
における除去領域の範囲を調整することで、処理時間と
処理の安定性のバランスをとることになる。

【００２１】図２のステップＳ１８において、要素の切
り出し方に関して総当たり的な算法を用いる場合には、
原理的に仮想四面体なしでは再生成できない場合を除い
て処理できるようになる。削除領域が十分に狭ければ、
総当たり的な算法を用いたとしても実用的な時間内で処
理できる。しかし、あまり狭くしすぎると、原理的に仮
想四面体なしでは再生成できない状況に陥る可能性が高
くなる。ステップＳ１７における要素削除範囲の設定の
方法はいろいろ考えられる。

【００２２】図４にその例を二次元的な図面で示す。太
い破線で示されているのが仮想四面体２１である。図４
（ａ）は、仮想四面体の一頂点Ａを頂点に持つ四面体要
素群を示したものである。図４（ｂ）は、（ａ）に示し
た各四面体要素の外接球の内部に位置する要素群を示し
たものである。図４（ｃ）は、仮想四面体の側面に隣接
する四面体要素の外接球の内部に位置する要素群を示し
たもの、図４（ｄ）は、（ｃ）に加えて、その要素群領
域の外周に隣接する四面体要素の外接球の内部に位置す
る要素群を示したものである。経験的には、（ａ）およ
び（ｃ）を削除範囲とした場合には、原理的に仮想四面
体なしでは再生成できない状況が発生しやすく、（ｄ）
を削除範囲とした場合には再生成処理速度が極端に遅く
なるケースが発生しやすい。これらの中では処理速度と
安定性のバランスが最も優れているのは、（ｂ）を削除
範囲とした場合である。（ｂ）の削除範囲は、仮想四面
体のどの頂点を選ぶかによって四つのバリエーションが
ある。ある頂点を使って削除及び再生成を試みてうまく
いかなかった場合、別の頂点を使った削除及び再生成を
試みることができる。こうして処理の安定性をさらに向
上させることが可能である。

【００２３】図５は、本発明の第２の実施の形態の構成
を示すブロック図であり、図６は、図５の手段を用いて
実行される本発明の四面体格子の生成方法の流れを示す
フローチャートである。本実施の形態においては、図５
のデータ処理装置１の手段４ａは、記憶部１１から三次
元解析領域を読み出し、その領域の表面および内部に三
角格子を生成し（ステップＳ２１）、そのデータを記憶
部１２ａに格納する。初期設定手段５ａは、記憶部１２
ａに格納された表面および内部三角格子データを未処理
三角面記憶部１３に登録してこれを初期化する（ステッ
プＳ２２）。これ以外の処理は、図１、図２に示す第１
の実施の形態の場合と同様である（図６のステップＳ２
３〜Ｓ２８は、図２のステップＳ１３〜Ｓ１８に対応し
ている）。

【００２４】また、第２の実施の形態においては、図５
に示すように、記録媒体３を備え、そこにデータ処理装
置１が実行すべき四面体格子生成プログラムが記録され
ている。すなわち、四面体格子生成プログラムは記録媒
体３からデータ処理装置１へ読み込まれ、これによりデ
ータ処理装置１の動作が制御される。データ処理装置１
は四面体格子生成プログラムの制御により、図６に示し
た処理を実行する。なお、図１のデータ処理装置１の行
う四面体格子生成プログラムも記憶媒体３から読み込む
ようにしてもよい。

【００２５】

【実施例】本発明の四面体格子生成方法を効率的に利用
する手順の一例を次に示す。図７はその手順を二次元的
に模式的に示した図である。図７（ａ）において太線で
示した解析領域が与えられたものとする。これを含む矩
形領域を考え、図７（ｂ）に示すように、その矩形の一
部を更に４等分の細かい矩形に分割する。原則として、
この細かな矩形の頂点位置に解析領域内部の格子点を配
置することにする。従って、矩形は解析に適したサイズ
となるまで細分する。解析領域表面上には、この矩形の
辺との交差点位置に格子点を配置し、それらの点を使っ
て三角格子を生成する。次に、細かな矩形の中で、解析
領域表面から十分離れた領域内部に位置する矩形を図７
（ｃ）に示すように、四面体要素に分割する。この四面
体要素分割は各矩形毎に処理を行うことができ、矩形の
表面の格子点位置の配置パターンに応じた分割パターン
を予め用意しておけば、極めて高速に処理できる。

【００２６】最後に、図７（ｄ）に示すように、残った
表面近傍領域の四面体分割を行う。この処理に対して本
発明の四面体格子生成方法を適用することができる。図
１２（ａ）に示すような層状の格子が界面沿いに必要な
場合は、そのような格子が構成されるように、表面近傍
に格子点を配置した上で本発明の方法を適用すればよ
い。表面近傍領域にのみ適用することにより、処理の安
定性を向上させられるとともに、全体的な処理時間も短
くすることができる。

【００２７】図８は、本発明の四面体格子生成方法の適
用を試みた半導体素子構造の模式図である。図８（ａ）
は平面図であり、図８（ｂ）は（ａ）のＡＢ線での断面
図である。一辺３０μｍのほぼ立方体形状で、基板の底
全面と表面中央に薄い電極領域３２がある。また、解析
領域の上半分の外周に沿って、やはり電極が付けてあ
る。基板の材質はシリコンで、半導体デバイスシミュレ
ーションにおける解析においては、通常、電極領域内を
解析対象としないため、このシリコン領域３１に対して
のみ格子生成を行う。格子生成は図７を用いて説明した
方法を使って行う。まず、全体を約２μｍ角の細かい矩
形に分割する。続いて、シリコン領域の表面近傍のある
点の周り約 0.1μｍの範囲を約 0.1μｍ角の矩形に細分
する。細分を行う位置は乱数で決める。こうして生成し
た矩形の中で、シリコン領域の十分内部にあるものは分
割パターンに従って四面体に分割し、残りの界面近傍領
域について本発明の方法により四面体格子を生成する。
このとき、シリコン領域の表面に薄い層状の格子が一層
できるように、界面のごく近傍に格子点を配置してお
く。

【００２８】乱数で決める細分位置を変えて２００の例
題を作成して格子生成実験を行った結果、１９８の例題
について四面体格子生成できた。図１０の処理フローの
ように特に対策を施さない場合には殆ど全ての場合につ
いて四面体格子生成できず、また、図１５の処理フロー
のように処理面の一時退避を行った場合でも３割程度し
か格子生成できないことから、本発明の方法によって処
理の安定性が格段に向上することが分かる。

【００２９】本発明の方法で格子生成できなかった二例
は、いずれも仮想四面体の除去に成功しなかったケース
で、一つの仮想四面体の除去の過程でその近傍にあった
別の仮想四面体が同時に除去されたケースであった。こ
の場合、要素の削除範囲は最初の仮想四面体を除去する
のに適した範囲として選定していて、派生的に削除され
た仮想四面体の除去には不十分であったものと考えられ
る。従って、派生的に削除された仮想四面体の除去にも
適したように削除範囲を拡大する、最初に除去予定であ
った仮想四面体に関する削除範囲について、前述した他
のバリエーションを用いる、派生して除去される仮想四
面体の方を先に処理する、などの対策が考えられる。

【００３０】

【発明の効果】以上説明したように、本発明の四面体格
子生成方法は、アドバンシング・フロント法を用い仮想
四面体を許容して四面体を切り出すものであるので、三
次元解析領域に対して効率よく安定してドローネ分割を
行うことができる。

【図面の簡単な説明】

【図１】 本発明の第１の実施の形態の構成を示すブロ
ック図である。

【図２】 本発明の第１の実施の形態の動作を示す流れ
図である。

【図３】 仮想四面体要素を用いた格子の接続の模様を
示すための模式図である。

【図４】 仮想四面体およびその周囲の四面体要素の除
去範囲の選定例を示す図である。

【図５】 本発明の第２の実施の形態の構成を示すブロ
ック図である。

【図６】 本発明の第２の実施の形態の動作を示す流れ
図である。

【図７】 第２の実施の形態を利用した格子生成の進行
状況を示す図である。

【図８】 本発明の実施例である四面体格子生成の数値
実験に用いた素子構造を示す模式図である。

【図９】 従来のアドバンシング・フロント法の構成を
示すブロック図である。

【図１０】 従来のアドバンシング・フロント法の処理
手順を示す流れ図である。

【図１１】 従来のアドバンシング・フロント法の処理
の模様を二次元的に示した模式図である。

【図１２】 解析領域界面に沿って構成された層状の格
子が格子点の追加によって壊される模様を示した模式図
である。

【図１３】 四面体要素の切り出しができない多面体領
域の例である。

【図１４】 改良されたアドバンシング・フロント法の
構成を示すブロック図である。

【図１５】 改良されたアドバンシング・フロント法の
処理手順を示す流れ図である。

【符号の説明】

２１ 仮想四面体 ３１ シリコン領域 ３２ 電極領域 ４１ 格子を生成すべき領域 ４２ 格子を生成すべき領域外周上の一格子辺 ４３ 内部に格子点を含まない最大の外接円 ５１ 解析領域表面ないし界面 ５２ 追加された格子点

Claims (7)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 偏微分方程式を数値的に解くために、三
   次元の解析領域を離散化する四面体格子を生成するにあ
   たり、予め領域の表面、または、表面および内部に三角
   格子を生成しておき、その三角面に対して頂点となる格
   子点を与えて四面体要素を切り出し、残りの三次元領域
   に対して再び同様の方法で四面体要素を切り出すという
   手順を繰り返すことで四面体格子を生成する、アドバン
   シング・フロント法を用いた四面体格子の生成方法にお
   いて、四つの頂点が同一平面上に位置する仮想的な四面
   体を形成することを許容する四面体要素の切り出し手段
   を備えたことを特徴とする四面体格子の生成方法。
2. 【請求項２】 四面体要素の切り出しの終了後、仮想四
   面体およびその近傍の格子を削除し、その領域について
   新たに未処理三角面リストを設定し仮想四面体なしで四
   面体分割を行うことを特徴とする請求項１記載の四面体
   格子の生成方法。
3. 【請求項３】 除去される前記近傍の格子が、仮想四面
   体の一頂点を頂点にもつ四面体の外接球の球面およびそ
   の内部に含まれる格子であることを特徴とする請求項２
   記載の四面体格子の生成方法。
4. 【請求項４】 一仮想四面体およびその近傍の格子を削
   除する際に他の仮想四面体の格子を削除することになっ
   たとき、前記一仮想四面体に係る処理に先駆けて前記他
   の仮想四面体の処理を行うことを特徴とする請求項２ま
   たは３記載の四面体格子の生成方法。
5. 【請求項５】 一仮想四面体およびその近傍の格子を削
   除する際に他の仮想四面体の格子を削除することになっ
   たとき、前記一仮想四面体および前記他の仮想四面体並
   びにそれらの仮想四面体の近傍の格子を削除することを
   特徴とする請求項２記載の四面体格子の生成方法。
6. 【請求項６】 偏微分方程式を数値的に解くための、三
   次元の解析領域を離散化する四面体格子を生成するため
   に、（１）前記解析領域の表面上、または、表面上およ
   び内部に三角格子を生成するプロセス、（２）生成され
   た三角格子による三角面を処理すべき未処理三角面とし
   て初期設定するプロセス、（３）四つの頂点が同一平面
   上に位置する仮想的な四面体を許容して、三角面を側面
   として四面体を切り出すプロセス、の各プロセスを情報
   処理装置に行わせるためのプログラムが格納された記憶
   媒体。
7. 【請求項７】 偏微分方程式を数値的に解くための、三
   次元の解析領域を離散化する四面体格子を生成するため
   に、（１）前記解析領域の表面上、または、表面上およ
   び内部に三角格子を生成するプロセス、（２）生成され
   た三角格子による三角面を処理すべき未処理三角面とし
   て初期設定するプロセス、（３）四つの頂点が同一平面
   上に位置する仮想四面体を許容して、三角面を側面とし
   て四面体を切り出すプロセス、（４）前記仮想四面体お
   よびその近傍の格子を削除するプロセス、（５）四つの
   頂点が同一平面上に位置する仮想的な四面体を許容する
   ことなく三角面を側面として四面体を切り出すプロセ
   ス、の各プロセスを情報処理装置に行わせるためのプロ
   グラムが格納された記憶媒体。