JP2000258328A - 表面張力による実空間座標値圧力評価関数からの液体の形状予測方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【課題】新規な表面張力支配液体の安定形状の解析，評
価方法の提供。 【解決手段】表面張力を持つ流体において、その流体の
表面形状を代表するＮ個の点で表し、圧力を求める点
（｛ｘ，ｙ｝または｛ｘ，ｚ｝）において、隣接する２
点と間の距離ＡＢ間とＡＣ間の距離の和を表す関数Ｓ
（ｘ，ｙ）とし、点Ａ近傍の表面張力のエネルギー関数
Ｅを面積関数と表面張力νを用いてＥ（ｘ，ｙ，ｚ）＝
νＳ（ｘ，ｙ，ｚ）と与え、点Ａに働く圧力Ｐから下式
により流体の動的挙動と静的安定形状を計算する表面張
力による実空間座標値圧力評価関数からの液体の形状予
測方法。 【数３５】

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】流体が表面張力を持ち、か
つ、その流体のスケールがmm単位またはその以下で記述
される液体を利用して生産される産業機器、例えば、ハ
ンダを用いた表面実装を必要とする産業機器，微細溶接
を必要とする半導体チップ、またはそのような流体を利
用する産業機器、例えば、インクを飛翔させて印字を行
うプリンタ，微小試薬を血液または分析物に投与する医
薬関連の分析装置等、またはそのような流体を対象とす
る計算シミュレーションにおいて、機器の性能向上およ
び設計の効率化のため、一方、計算シミュレーションで
計算機の計算空間に適した実空間での圧力評価式を与え
ることにより、計算途中に生じる破綻と計算時間を抑え
ることと、今まで不可能な計算を可能にするため、流体
の形状から生じる表面張力による圧力または流体と固体
の接触から生じる濡れ張力による圧力を実空間の座標を
用い簡単かつ正確に与える表面張力による実空間座標値
圧力評価関数からの液体の形状予測方法に関する。

【０００２】

【従来の技術】液体が気体に接するとその間の界面には
表面張力という界面エネルギーが生じる。この表面張
力、即ち、エネルギーを最小にするため図１に示すよう
に液滴は形状をなす。

【０００３】液体が形状をなすための液体の自由表面に
働く圧力に関して最初に系統的に論じたのが数学者であ
り物理学者のＬaplace（Ｍechanique Ｃeleste Ｓupple
mentto Ｂook １０ １８０６）である。Ｌaplaceによれ
ば、図１に示す液滴の表面上の点ｚに働く表面張力によ
る圧力は次のように与えられる。

【０００４】

【数７】

【０００５】ここで、Ｐは液体と気体の界面間の圧力
差、つまり液滴の形状から生じる表面張力による圧力
で、ｎは液体の表面張力、Ｒ₁，Ｒ₂は図１に示すよう
に、点ｚで直交する自由表面上の曲率半径である。即
ち、式（１）の内部に向かう圧力と重力による液体の圧
力と相殺し液体は図１の安定形状をなす。

【０００６】ここで、液体の形状を求めるためには曲率
半径を如何に求めるかが計算の重要点である。問題を簡
単にするため、２次元系で説明を行う。図２は２次元の
区間内に気体と液体が界面をなしている場合の図であ
る。この液体の界面の座標を｛ｘ，ｙ（ｘ）｝と表現す
ると、微分幾何学により点｛ｘ₀，ｙ（ｘ₀）｝の曲率半
径Ｒは次のように与えられる。

【０００７】

【数８】

【０００８】と定義されるｘによる微分係数である。式
（２）は２次微分を含む非線形の形をしているため、そ
の計算はかなり難しいものになる。また、界面の座標を
長さパラメータλを用い｛ｘ（λ)，ｙ（λ）｝と表現
すると点｛ｘ(λ₁)，ｙ(λ₁)}の曲率半径Ｒは次のよう
に与えられる。

【０００９】

【数９】

【００１０】このように、微分係数で液体の形状および
圧力を求める方法は、対称性が高い、即ち、液滴のよう
な簡単な形状に限り計算されている。そのため、白川
（日本機械学会誌（Ｂ編）６２巻６０４号１９９６）等
は、図３で示すように適当な点ｘ₀の近傍に点ｘ₁とｘ₂
を取り、点ｘ，ｘ₁，ｘ₂ により定義される円から曲率
半径を求める方法が使っている。

【００１１】しかし、この方法は点ｘ₁、ｘ₂の取り方に
任意性が残るため、一意的な計算結果を与えない欠点が
ある。またこのような方法により一意的に評価する方法
が２次元上に構築されたとしても、式（１）が示すよう
に３次元系では二つの曲率半径が直交するように計算し
なければならない。

【００１２】ここまでは液体表面に働く表面張力による
圧力の従来の計算法を述べた。しかし、液体、即ち、流
体の形状の計算においては図１で示すように固体との接
触により生じる圧力も考慮しなければならない。

【００１３】最初にこの固体との接触に対する理論を１
８００年に示したのがYoung である。Young によると、
図４の液体の界面の平衡点、即ち、気体・液体・固体の
三重点では次の式が成り立つ。

【００１４】

【数１０】 γ_SG＝γ_SL＋γ_LGcosθ …（４） ここで、γ_SGは固体と気体間の界面エネルギー、γ_SLは
固体と液体間の界面エネルギー、γ_LGは液体・気体間の
界面エネルギー、即ち、表面張力、θは固体・液体間の
接触角度である。即ち、式（４）によると式（１）に示
したように三重点の液面に対する圧力は導かれない。た
だ、液体の界面の固体に対する接触角が設定されている
だけである。

【００１５】この場合において液体の形状は固体との接
触角がｑを満たしていなければならないだけで、そこか
ら液体表面に働く圧力に対する情報は得られない。その
ため、白川（日本機械学会誌（Ｂ編）６２巻６０４号１
９９６）等固体の表面を流れる流体の先端の形状は、た
だこの接触角を満たさせることだけを条件にしている。

【００１６】しかし、C.ShenとD.W.Ruth（Ｐhysics of
Ｆluids １０，７８９(１９９８))らが観測しているよ
うに、式（４）は流体が停止している場合のみの接触
角、即ち、静的接触角であり、動的接触角、即ち、流体
が一定の速度で流れるときの接触角はこの静的接触角度
ではなく接触先端の速度に依存する。結果的に、先端が
常に静的接触角を満たすように流体を計算した場合には
正しい流体の運動を計算することにはならない。

【００１７】また、静的な安定形状を求める場合でもこ
の接触角度は満たすべき必要条件であり計算をするため
の圧力の情報は得られない。即ち、固体が複雑な形状、
または固体表面の位置により異なる濡れ性を持つ場合、
液体の形状予測において式（４）の各固体間の接触角度
は予測に必要な情報を与えてくれない。そのため、N.J.
Nigro等(Ｔrans．ＡＳＭＥ Ｊounal Ｅrectronic Ｐack
age １１５，１４１（１９９３））は、形状に関するエ
ネルギーを求め、そのエネルギー最小の形状が液体の安
定形状になることを利用する方法を用いている。その方
法を簡単に説明する。

【００１８】式（４）において表面張力であるγ_LGは気
体・液体間の界面エネルギーであると説明した。そのこ
とは表面張力が単位面積あたりのエネルギー、即ち、液
体の単位自由表面を作るために必要なエネルギーとして
も定義される。そのため、表面張力の単位は力の単位で
あるdynまたはＮを用いdyn／cm，Ｎ／ｍとして与える
が、単位面積当りのエネルギーであるerg／cm²としても
与えられる。

【００１９】一方、また、濡れ張力μを次式のように定
義すると、

【００２０】

【数１１】 μ＝γ_SL＋γ_SG＝−γ_LGcosθ …（５） 濡れ張力も液体が単位面積の固体を濡らすためのエネル
ギーとしてerg／cm²と定義される。その二つの定義と液
体の密度ρを用いると次のように与えられる。

【００２１】

【数１２】 Ｅ＝ν∫_Sｄｓ＋μ∫_S′ｄｓ＋ｇρ∫_Vｈｄｖ …（６） ここで、νは表面張力、∫_Sｄｓ は液体が占める自由表
面積、μは濡れ張力、∫_S′ｄｓ は固体との接触面積、
ｇは重力加速度、ρは液体の密度、ｄｖは液体の体積
素、ｈは体積素ｄｖの基準点からの高さである。

【００２２】式（６）の右側項の第１項ν∫_Sｄｓ は表
面張力によるエネルギー、同第２項μ∫_S′ｄｓ は濡れ
張力によるエネルギー、第３項ｇρ∫_Vｈｄｖ は形状に
よる重力のエネルギー、即ち、ポテンシャルエネルギー
である。

【００２３】従って、式（６）は液体の形状に関るエネ
ルギーの総和である。このエネルギーを液体の体積一定
の条件下で最小にする形状が液体の安定形状である。

【００２４】この液体の安定形状を求めるためには、予
め固体の位置とその濡れ張力を定め、液体の体積一定の
条件で液体の形状を変化させ、式（６）のエネルギーを
最小にする、即ち、最低エネルギーを求めると、規定し
た境界条件での液体の安定形状が得られる。この場合、
液体の表面を代表する点の数をＮとすると、系が持つ自
由度は、３次元系で体積一定の条件を含む場合、（３Ｎ
−１）である。

【００２５】自由度を（３Ｎ−１）持つ系において、液
体は最も滑らかな形状でエネルギーが安定するため、あ
る程度の安定エネルギーが得られると、そこからのエネ
ルギーの収束は難しくなる。

【００２６】

【発明が解決しようとする課題】mm単位以下の大きさま
たは無重力の状況での液体を扱う産業機器において、重
力によるエネルギーおよび運動エネルギーの大きさは体
積が関与するため液体のスケールの３〜４乗に比例する
が、表面張力および濡れ張力によるエネルギーは表面積
によるため２乗に比例する。

【００２７】そのことは、スケールが１０分の１になる
と、表面張力によるエネルギーの効果は１０倍になる。
即ち、表面張力および濡れ張力の効果を取り入れなけれ
ば、そのような産業機器の設計および性能向上を果すこ
とができない。そのため表面張力および濡れ張力を持つ
流体の挙動予測はそれら機器において最も重要なものに
なる。

【００２８】表面張力を持つ流体の挙動、即ち、動的振
舞いおよび静的安定形状の予測を行う場合に、自由表面
の形状から生じる表面張力または固体との接触部の先端
の濡れ張力による圧力は重要な部分である。自由表面を
持つ流体力学を簡単に説明しながら課題を説明する。自
由表面を持つ流体を図５に示した。この流体のEuler運
動方程式は次のように与えられる。

【００２９】

【数１３】

【００３０】式（７）の圧力Ｐは、液体の形状から来る
表面張力による圧力であるため、式（１）で与えられ
る。式（１）は３次元空間においては、流体の自由表面
での互いに直交する曲線の曲率半径を計算しなければな
らない。

【００３１】前述したように、このような計算は困難な
だけではなく、計算機空間上で一意的に値を得ることが
難しい。また、流体が分離および衝突する場合、その瞬
間の分離点および接触点においての式（１）の計算はほ
とんど不可能で、それにより計算の破綻を生じる。その
ため、式（１）ではなく、より条件が緩やかでシミュレ
ーションに適した圧力評価式を与えなければならない。

【００３２】一方、上記の流体が固体と接触している場
合、接触する先端の流体の形状に与えられている情報は
式（４）で、接触部分の圧力は式（１）のようには与え
られていない。そのため、固体と接触している流体の挙
動の予測においては、接触角度は常に式（４）によりθ
を保つように計算する方法を主に使っている。

【００３３】しかし、C.ShenとD.W.Ruth(Ｐhsics of Ｆ
luid １０,ｐｐ７８９(１９９８))が報告しているよう
に、運動する流体の接触角は、式（４）に示す停止時の
接触角度とは異なる。そのことは常にθを保つ条件は、
現実とは違った予測結果を与える恐れが大きい。従っ
て、式（４）と矛盾せず接触点での圧力を与える評価式
が必要である。

【００３４】静的液体の安定形状を求める際において固
体の形状が複雑になる場合、前述したように固体との接
触点での圧力を評価する手段を有しないため、液体々積
一定の条件の下、式（６）のエネルギーを最小にする形
状を求める方法を用いている。

【００３５】液体の表面を代表する点の数をＮとした場
合、点を動かす自由度は体積一定の条件を考慮すると
（３Ｎ−１）となる。しかし、固体との接触点を含む代
表点の圧力が得られないため、予め任意の点を仮に動か
した場合、式（６）のエネルギーが減少したらその点を
移動し液体が持つ形状エネルギーを最小に収束させてい
く。その場合、点の選択および動かす変位と方向に対す
る指針がないため効率悪くあらゆる点に対し無作為に行
わなければならない。

【００３６】また、液体は滑らかな表面形状の方が凹凸
がある表面よりエネルギーが低いため、ある程度エネル
ギーが低くなると表面は滑らかになるため、ほとんどの
点を動かしてもエネルギーは減少しない。減少させるこ
とができたとしても、その変位量は微小量でなければ減
少しない。そのため、点の移動反復回数は激増し、エネ
ルギーの収束は遅くなる。

【００３７】しかし、前述した条件が緩やかな自由表面
の圧力評価関数および接触点の圧力関数が分かれば、最
も圧力が高い点を表面の内側に、最も低い圧力を持つ点
を表面の外側に所定の圧力になる変位および方向に動か
すことにより、液体の表面を代表するあらゆる点が同一
の圧力を持つとき液体は最低エネルギーを持つ安定形状
になる。

【００３８】

【課題を解決するための手段】本発明では、上記の圧力
評価関数を導くことにより、表面張力および濡れ張力を
有する流体のシミュレーションで今まで不可能または膨
大な計算量が必要であったものを可能にし、かつ、簡単
に実行できるようにする事を目的とする。

【００３９】そのためには、圧力関数に式（１）のよう
な微分係数形式ではなく、空間的制限がない実空間の座
標を用いられ、かつ空間的に柔軟な圧力評価関数が必要
である。それを実現するためには、圧力の定義に戻らな
ければならない。

【００４０】表面上の点ｚに働く圧力Ｐは次のように定
義される。

【００４１】

【数１４】

【００４２】ここで、Ｓは点ｚ近傍の面積、Ｆは点ｚに
働く力、｜｜はベクトルの大きさを表すノルムである。

【００４３】一方、式（６）に説明したように、表面積
Ｓに表面張力νを掛けた量はエネルギー、即ち、ポテン
シャルエネルギーＥ＝νＳを得ることになる。

【００４４】ニュートン力学よればポテンシャルエネル
ギーに空間微分を行うと力Ｆを次のように得る。

【００４５】

【数１５】

【００４６】式（１０）は、式（１）のような微分形
式、即ち、お互いに直交する点ｚを通る曲線の曲率半径
を求めるのではなく、点ｚの近傍の面積を求めることに
より圧力が求められる。点ｚ近傍の面積を求めること
は、直交する曲率を求めるより遥かに緩やかな条件で有
り特にシミュレーションを行う計算機ような格子空間に
おいては最適である。

【００４７】固体との接触点の圧力に関しても式（１
０）の拡張によって求めることが可能である。まず図６
で示すように、接触する部分の固体と液体の間に仮想な
空間を導入する。その仮想空間を用いて式（１０）を次
のように構成する。固体の表面から濡れ接触角度θで接
触しながら点ｚに連結させる。

【００４８】そのときの面積をＳ′とすると、Ｓ′は接
触角度θと仮想空間の幅δによる関数、即ち、Ｓ′
(θ，δ)であり、実表面の面積Ｓと合わせると表面積は
Ｓ＋Ｓ′(θ，δ)になり、エネルギーＥはν（Ｓ＋Ｓ′
(θ，δ)）となる。

【００４９】

【数１６】

【００５０】しかし、式（１１）では仮想空間の任意性
であるｄが残っている。この任意性をなくすためリミッ
ト操作を行い次式の圧力関数を得る。

【００５１】

【数１７】

【００５２】この関数を用いれば、固体との接触点は式
（４）の条件を満たすだけではなく、圧力も評価される
ため、動的には式（７）の運動方程式の解が得られ、静
的には他の点の圧力との比較により安定形状をも求める
ことが可能である。

【００５３】

【発明の実施の形態】〔実施例 １〕ここでは、請求項
１と２の発明を２次元系流体および液体に適用する。

【００５４】まず自由表面の２次元の圧力関数を求め
る。図７に液体の自由表面を示した。この自由表面を代
表する点ｐ_j，ｐ_i，ｐ_k を用い、その点を直線で結び自
由表面を直線で近似する。この場合、自由表面上の点ｐ
_i の近傍のエネルギーは請求項１により次のように与え
られる。

【００５５】

【数１８】

【００５６】即ち、３次元空間においての面積は２次元
においては線の長さになり、式(13)はｐ_i の近傍のエネ
ルギーになる。そのエネルギーから点ｐ_i に働く力Ｆｘ
_i ，Ｆｙ_i は次のように与えられる。

【００５７】

【数１９】

【００５８】ここでｒｔ（２）は、長さＬ_ijにおいて点
ｐ_jと点ｐ_iの場合に二回勘定されるが、重複を避けるた
め２になる。

【００５９】一方、式（１６）はＬaplaceが提案した式
（１）と相当形が異なり矛盾するように見える。しか
し、初等幾何学において同一面上にある３点は一の半径
Ｒを持つ円を定義する。即ち、式（１６）での点ｐ_j，
ｐ_i，ｐ_k が一つの半径Ｒを持つ円を定義したとき、式
（１６）がその半径の逆数を与えれば、Laplaceの式
（１)と矛盾がなくなる。

【００６０】それはＬaplace式のよい近似式であること
を示している。そのため、点ｐ_j ，ｐ_i，ｐ_kが描く半径
Ｒの円を用い、円の中心を原点とする曲座標（Ｒ，θ）
に座標変換を行い整理すると次式が証明される。ここで
は証明は省略する。

【００６１】

【数２０】

【００６２】式（１６）は、Ｌaplaceの式（１）から式
（２）を使用して点に働く圧力を求める煩雑で難しい計
算を行うのではなく、圧力を求める点と隣接点の座標さ
え用いれば簡単に得られることを示している。

【００６３】次は接触点の圧力関数を請求項２に従い導
く。図８に２次元の固体に接触した点ｐ_iの圧力関数を
求めるため、点ｐ_iから仮想空間に接触角度θで固体に
接触した点ｐ₀および空間上の点ｐ_jを用意する。具体的
には示さないが、ここで点ｐ₀は接触角度θと仮想空間
の厚さδの関数になるため、線分の長さＬ_i0も{θ，δ}
の関数になり接触する表面のエネルギーは次のように与
えられる。

【００６４】

【数２１】

【００６５】を得る。ここで、｛Ｎｘ，Ｎｙ｝は固体表
面の垂直方向の単位ベクトル、即ち、Ｎｘ²＋Ｎｙ²＝１
の条件での成分の大きさを示す。

【００６６】

【数２２】

【００６７】２次元においてｒｔ（２）は２である。式
（１９）および（２０）の結果を整理すると、点ｐ_iで
の圧力評価関数は次のように得る。

【００６８】

【数２３】

【００６９】式（２１）も式（１６）同様、極限操作を
行うと、点ｐ_i，ｐ_j，ｐ₀ を通る円の半径Ｒと次のよう
な関係を得る。

【００７０】

【数２４】

【００７１】ここではν＝１にした。この式は、式（１
７）同様、Ｌaplaceの結果と一致する。

【００７２】上述の結果、即ち、式（１７）においては
液体の自由表面上の点の圧力、式（２１）においては固
体との接触角θである液体の接触点の圧力評価式を２次
元空間上で導いた。

【００７３】〔実施例 ２〕実施例２は、実施例１同
様、本発明の３次元空間上の液体表面の圧力評価関数を
求める。

【００７４】３次元の曲面上の点とその近傍の曲面を三
角形で被覆する方法に対しては、２次元と異なり自由度
がある。例えば、図９に示すように、二つの線分が交差
する網で３次元上の曲面を表現した場合、点ｐ_i を囲む
三角形を表示すると図１０のようになる。ここで、点ｐ
_i とその近傍は四つの三角形１，２，３および４により
表現されている。

【００７５】一方、３次元の曲面上を三つの線分が交差
する網で曲面を表現した場合、図１１になり、点ｐ_i と
その近傍は図１２で示す六個の三角形で表現される。即
ち、三次元空間の曲面上の点とその近傍を表現する三角
形の数は任意の数により表現される。そのため、ここで
は図９が示す四つの場合の圧力関数を導き、一般なｎ個
の三角形の場合に対し拡張を行う。

【００７６】まず図１０の点ｐ_i近傍の表面エネルギー
Ｅ_iを請求項１に従い求めると次のように表現できる。

【００７７】

【数２５】 Ｅ_i＝νＳ_i＝(Ｓ_ijk＋Ｓ_ikl＋Ｓ_ilm＋Ｓ_imj) …（２３） ここで、Ｓ_ijkは点ｐ_i，ｐ_j，ｐ_kで囲まれる三角形の面
積を表す。

【００７８】式（２３）のエネルギーを用い、点ｐ_i の
圧力は請求項１の手順、即ち、実施例１と同様に求め
る。ここで、２次元においては、実施例１のように、線
分の長さがエネルギーと係わるが、３次元の場合には三
角形の面積が物理量になる。

【００７９】３次元空間内の三角形の面積を簡単に求め
る方法は、Ｈeronの公式とベクトルを用いる二つの方法
があり、ここではＨeronの公式を用いて圧力関数を求め
る。まず、Ｈeronの公式は次のように与えられる。

【００８０】

【数２６】

【００８１】と定義され、Ｌ_ijは式（１４）同様線分の
長さで、３次元では次のように与えられる。

【００８２】

【数２７】

【００８３】ここで、Ｌ_ijは次を満たすＬ_ij＝Ｌ_jiであ
る。

【００８４】式（２４）を用い、三角形Ｓ_ijkによる力
のＦｘ成分の寄与、即ち、Ｓ_ijkのｘ−成分の空間微分
は、簡単な計算により次のように与えられる。

【００８５】

【数２８】

【００８６】が求められる。

【００８７】ここで、隣点の数である位数に関係する整
数関数ｒｔ（４）は、２次元で求めたｒｔ（２）同様、
次の簡単な考察により求められる。

【００８８】図１３は三角形１の三つ頂点を含む範囲を
示した図である。ここで、点ｐ_i の圧力の計算を行う場
合三角形１の面積が一回勘定される。また、点ｐ_j，ｐ_k
の圧力を計算するとき三角形１の面積の半分が２回勘定
され、三角形１の三つの頂点の圧力を計算すると、三角
形１の面積は２回考慮される。

【００８９】その重複を解消させるためｒｔ（４）は２
でなければならない。そのｒｔ(４)＝２を式（２８）に
導入すると、点ｐ_iでの圧力関数が求まる。

【００９０】今度は、図１１および図１２同様点ｐ_i の
位数が６、即ち、六個の三角形で表面が構成されている
場合の圧力関数を上の方法により求める。

【００９１】位数が４の場合にも示したように各々の三
角形が寄与する力を合算すれば合力が求められ、その絶
対値、即ち、ノルムを取ることで圧力が求められる。図
１１の点ｐ_iを含む六つの三角形を用い式（２３）同様
Ｅ_iを次のように構成する。

【００９２】

【数２９】 Ｅ_i＝νＳ_i＝(Ｓ₁＋Ｓ₂＋Ｓ₃＋Ｓ₄＋Ｓ₅＋Ｓ₆) …（２９） ここでＳ₁，Ｓ₂，Ｓ₃，… は、式（２４）同様各三角形
の面積を示している。この各三角形の面積から式（２
７）に従い力を求め式（２８）を構成すればよい。

【００９３】しかし、位数、即ち、三角形の数が６であ
るためｒｔ（６）を求めなければならない。図１４に三
角形１を構成する点ｐ_i，ｐ_j，ｐ_k を中心とする各６個
の三角形を示した。各点の圧力を求めるとき、三角形１
の面積は計算に考慮される。その三回の重複を解消する
ためにはｒｔ（６）は３になる。このｒｔ（６）を用い
式（２８）に代入すると、位数６の圧力が求められる。

【００９４】請求項１記載の方法により３次元空間の液
体の表面圧力関数を求めた。今度は、実施例１の２次元
の固体との接触点での圧力関数を、３次元空間上に拡張
する。３次元においても、２次元同様図８が示すように
仮想空間を必要とする。しかし、２次元空間において
は、自由表面と固体表面の接触部分が点であるが、３次
元においては接触部分が線である。そのため圧力関数の
誘導はかなり複雑になる。

【００９５】図１５に固体表面に接触した液体の表面を
示した。図１５に示すように、点ｐｂに働く圧力を求め
るためには、２次元同様、まず固体と接触する線分pbpb
₁とｐｂｐｂ₂が点ｐｂに与える力を求めなければならな
い。

【００９６】そのため接触する三角形ｐｂｐ_nｐｂ₂を図
１６に示し、力を求める。図１６には、２次元同様、接
触する線分ｐｂｐｂ₂ の中点ｐｃを用いその点ｐｃか
ら、図１７で示すように仮想空間を通し、固体面に接触
角θに接触するよう線分pcpv₂を引き、仮想三角形ｐｂ
ｐｂ₂ｐｖ₂を作る。同じく、線分ｐｂｐｂ₁ に対しても
仮想三角形ｐｂｐｂ₁ｐｖ₁を同様に図１８のように作る
ことができる。

【００９７】この場合点ｐｂに働く力を求めるため、各
三角形を用いエネルギーＥ(θ，δ)は次のように与えら
れる。

【００９８】

【数３０】 Ｅ(θ,δ)＝νＳ(θ,δ) ＝ν(Ｓ_pbpv2pb2(θ,δ)＋Ｓ_pbpb1pv1(θ,δ)＋Ｓ_pbpb1pk ＋Ｓ_pbpkpn＋Ｓ_pbpnpb2 …（３０） ここで三角形Ｓ_pbpv2pb2(θ,δ)およびＳ_pbpb1pv2(θ,
δ)は、仮想三角形であり、仮想空間の高さδおよび接
触角度θの関数になる。

【００９９】圧力を求めるためには、仮想三角形の点ｐ
ｂに働く力を求めなければならない。そのためには次式
の計算が必要である。

【０１００】

【数３１】

【０１０１】上式の計算をするためには、図１６および
図１７に示した三角形pbpb₂pb₂に関る幾何学量を説明す
る。ｄＮは固体表面の法線方向の単位ベクトルで成分は
｛ｄＮｘ，ｄＮｙ，ｄＮｚ｝，δＬ_pbpb2は線分ｐｂｐ
ｂ₂のｐｂ方向の単位ベクトル、ｄＳ_pbpb2はｄＮとｄＬ
_pbpb2の外積でｄＳ_pbpb2＝ｄＮ×ｄＬ_pbpb2と与えられ
る。

【０１０２】これを用いて実施例１同様計算を行うと次
式を得る。これらの量を用い式（３１）の計算を行った
結果が次式である。

【０１０３】

【数３２】

【０１０４】の計算結果と合わせると、請求項２の

【０１０５】

【数３３】

【０１０６】の分子の部分が計算される。

【０１０７】一方、Ｓ(θ,δ)は、

【０１０８】

【数３４】

【０１０９】である。また、実空間の三角形の数、即
ち、点ｐｂを囲む点の数は４、それから１を引くと３で
あるためｎ＝３，ｒｔ(２ｎ)はｒｔ(６)となるため、ｒ
ｔ(６)を分母に用いると、式（３３）、即ち、点ｐｂに
働く圧力関数Ｐ（θ）が得られる。

【０１１０】〔実施例 ３〕本発明の実施例３を請求項
１および２に記載の圧力関数、即ち、実施例１と２で求
めた結果を用いて、静的液体の安定形状を求めるための
フローチャートを示し、２次元および３次元の平板上の
液滴の形状を解析例として示す。

【０１１１】表面張力および固体とのぬれ接触角を持つ
液体の安定形状を求める場合、液体の体積に対する条件
は二つに分けられる。一つは、液体が孤立していてその
体積が一定、例えば、平板状の液滴のような場合であ
る。もう一方は、はんだ槽等から幾らでも液体の供給お
よび排除が可能な場合に分けられる。

【０１１２】図１９は本発明の圧力関数を用い、体積一
定の条件で液体の安定形状を求めるプログラムのフロー
チャートを示す。最初に境界の固体の形状および液体の
Ｎ点より代表される初期形状を入力する。圧力を求める
ためには、物理量、即ち、液体の密度，表面張力，固体
との接触角度を入力し、最終安定形状を決める最大圧力
と最小圧力の差ΔＰを入力する。

【０１１３】その次に、２次元の場合は、自由表面上の
点に対しては式（１６）、固体に接触する点に対しては
式（２１）、３次元の場合は、自由表面上の点は式（２
８）、接触点は式（３３）を用いて各点の圧力Ｐ_iを求
める。求めた各点の圧力｛Ｐ₁，Ｐ₂，Ｐ₃……，Ｐ_N-1，
Ｐ_N｝から、最大圧力Ｐ_maxと最小圧力Ｐ_minを選ぶ。

【０１１４】この場合、Ｐ_max−Ｐ_min＜ΔＰであれば、
液体は安定形状に達したことになるが、そうでなければ
最大圧力点ｐ_maxと最小圧力点ｐ_minに対して、同一の体
積を持ち、最大圧力点は液体内部に、最小圧力点は液体
外部に移動させる。

【０１１５】移動させた点とその周辺の点は形状が変形
したため、その圧力も変わる。そのため、それらの点の
圧力を再度求め、各点の圧力から最大最小圧力を求め、
また、その点を移動させる。

【０１１６】このような手順を繰り返し、条件Ｐ_max−
Ｐ_min＜ΔＰを満たすようになれば、求める液体の安定
形状が得られたことになる。その結果をプリントまたは
ＣＲＴに表示すればよい。

【０１１７】図２０は、２次元の固体平板状に７個の点
によって代表される面積０.１５cm²の四角形の液体を初
期形状として示した。この場合、液体の密度は８ｇ／cm
³ 、表面張力は４００dyn／cm 、固体との接触角度は１
０６度と与えた。安定形状を判断する圧力差ΔＰは１０
dyn／cm²で与えた。

【０１１８】図２１は、計算の途中における各点の移動
状況と最終安定形状を示している。図２２と図２３は、
図２０と同一条件で点の数を１０個と１７個の場合に対
して求めた結果（点と実線）と、Ｌaplace、即ち、式
（１）の方法により求めた結果（破線）の比較を示し
た。

【０１１９】液体の体積が一定ではない場合、例えば、
図２４に示すように液体が垂直壁をぬれ上がる場合は図
１９のフローチャートの中で移動体積ΔＶ_pmax−ΔＶ
_pmin＝０の条件を外せば安定形状は求められる。

【０１２０】図２５は、液体の密度は８ｇ／cm³、表面
張力は４００dyn／cm、固体との接触角度は２５.８ 度
と与えた場合の、水平の液体面がぬれ上がる各計算過程
と結果を示した。

【０１２１】図２６と図２７は、Ｌaplace結果（実線）
に９個と１７個の点で計算した結果を比較し示した。

【０１２２】３次元の場合においても、そのフローチャ
ートは図１９と同一である。図２８は、図２０同様、３
次元空間で平板上に液体の初期形状として体積156.184m
m³の４３個の点で表現される立方体である。液体の密度
は１ｇ／cm³ 、表面張力200dyn／cm，接触角度１１６.
５８４度と代入した。図２９に計算の途中経過と結果を
表示させた。

【０１２３】〔実施例 ４〕本発明の実施例として液体
の破壊現象を請求項１記載の圧力関数を用いて解析を行
う。液体の破壊現象はジェットインクプリンターのノズ
ル先の液滴の噴射、または注射器針先端で起こる雫の落
下等工業製品によく使われている現象である。

【０１２４】針先端の雫の落下は、血液などの検査品に
試薬を投与し、その成分を検査する検査機によく使われ
ている。この場合、試薬の雫の大きさは検査の精度に係
わり、また針先端部の残りの試薬は次の検査時の妨げに
なる。そのため針先端の雫の挙動は設計において重要な
部分である。

【０１２５】このような液体の破壊現象をシミュレーシ
ョンするためには、液体の表面張力が重要な役割を果た
すため、請求項１記載の圧力関数は必需のものである。

【０１２６】液体の破壊現象を解析するプログラムのフ
ローチャートを図３０に示す。フローチャートの基本は
図１９であるが、体積の増加させる部分と破壊、例え
ば、ある圧力以上になったとか液体が分離したとかの判
断部分を加えるだけである。

【０１２７】図３１に、長軸２.５mm，短軸１.６mmの楕
円注射口での雫の破壊現象の解析例を示した。図３１に
も示すように、従来は円形、即ち、軸対称の場合のみ計
算可能であったが、請求項１および２に記載の圧力関数
を用いることにより非軸対称の一般の３次元空間の形状
にも対処可能である。

【０１２８】〔実施例 ５〕本発明の流体力学解析への
応用例を示す。発明が解決しようとする課題で記述した
ように式（７）の圧力Ｐの計算は、自由表面を持つ流体
の解析に最も重要な部分である。最近プリンターとして
盛んに開発されているインクジェットプリンターにおい
ても、自由表面の表面張力は、流体の液滴の形成に決定
的な役割を果たす。

【０１２９】図３２に表面張力支配の液体の動的挙動を
解析するプログラムのフローチャートを示した。ここ
で、Ｎ−Ｓ方程式、即ち、Ｎavier−Ｓtokes方程式は式
（７）のＥuler方程式を示す。

【０１３０】図３２のフローチャートにより構成された
プログラムを用いて２次元空間で解析を行った結果を図
３３および図３４に示す。図３３は解析を行う初期条件
で、四角形の空間内で四角形の初期形状の表面張力を持
つ液体の自由落下を解析する。

【０１３１】図３４は、表面張力を持つ液体が固体の壁
とのぬれ性が良い場合と悪い場合において各時刻の状態
を比較し示した。計算結果からもわかるように、固体と
のぬれ性により液体の動的挙動は明らかに違ってくるこ
とが分かる。

【０１３２】〔実施例 ６〕半導体パッケージ組み立て
におけるはんだを用いた技術のひとつにＢＧＡ（Ｂall
Ｇrid Ａrray）がある。

【０１３３】本発明の形状予測技術をＢＧＡのはんだボ
ールの最終凝固形状の予測に適用した。図３５および図
３６は、単一のハンダボールの安定形状予測を行なった
結果である。図中の上下の面は、はんだ接合を行うパッ
ドをモデル化した部分であり、前記バッドの部分は、図
３５において直径１mmの円で、図３６において一辺１mm
の正方形である。表面張力は、真空中のはんだの値６０
０dyn／cm²、密度は９ｇ／cm³を用いた。

【０１３４】なお、本実施例においては、パッド部分の
全領域にはんだがぬれ広がることをモデル化しているた
め、はんだとパッドの接触面の形状は変化しないという
仮定のもとに解析を行なった。従来のＬaplaceの式を用
いた方法では、図３５の解析のみ、二次元軸対称モデル
で解くことが可能であったが、本発明の圧力式を用いる
ことにより、図３６のような回転対称軸を持たないパッ
ドの形状においても、はんだの形状予測解析を行うこと
ができた。

【０１３５】

【発明の効果】実空間座標値圧力評価関数により、容易
に表面での圧力評価が可能となり、必要とされる表面張
力および濡れ張力を持つ流体の挙動を予測することがで
きる。

【図面の簡単な説明】

【図１】固体上の液体の安定形状およびＬaplaceの式に
おける曲率半径。

【図２】二次元における液体表面上にある点における曲
率半径。

【図３】二次元における液体表面上にある三点を通る曲
率半径。

【図４】Ｙoungの三重点における力の平衡，前進ぬれ角
および後退ぬれ角。

【図５】圧力Ｐの作用下で自由表面を持つ流体。

【図６】本発明における液体の固体界面先端部のぬれ張
力による圧力を求めるための仮想空間（二次元）。

【図７】本発明における液体表面の点ｐｉでの表面張力
による力。

【図８】本発明における液体の固体界面先端部のぬれ張
力による圧力を求めるための仮想空間（二次元）。

【図９】二つの線分が交差する網で表現した３次元上の
曲面。

【図１０】図９の点ｐ_i を囲む三角形。

【図１１】三つの線分が交差する網で表現した３次元上
の曲面。

【図１２】図１１の点ｐ_i とその近傍の三角形。

【図１３】図１０の三角形１の三つ頂点を含む範囲を示
した図。

【図１４】図１２の三角形１を構成する点ｐ_i，ｐ_j，ｐ
_kを中心とする三角形。

【図１５】本発明における液体の固体界面先端部のぬれ
張力による圧力を求めるための図（三次元）。

【図１６】本発明における液体の固体界面先端部のぬれ
張力による圧力を求めるための仮想空間（三次元）。

【図１７】本発明における液体の固体界面先端部のぬれ
張力による圧力を求めるための仮想空間（三次元）。

【図１８】本発明における液体の固体界面先端部のぬれ
張力による圧力を求めるための仮想空間（三次元）。

【図１９】本発明の圧力関数を用い、体積一定の条件で
液体の安定形状を求めるプログラムのフローチャート。

【図２０】２次元の固体平板状に７個の点によって代表
される面積０.１５cm²の四角形の液体の初期形状。

【図２１】図２０の計算の途中における各点の移動状況
と最終安定形状。

【図２２】図２０と同一条件で点の数を１０個の場合に
対して求めた結果（点と実線）と、Ｌaplaceの式（１）
の方法により求めた結果（破線）の比較。

【図２３】図２０と同一条件で点の数を１７個の場合に
対して求めた結果（点と実線）と、Ｌaplaceの式（１）
の方法により求めた結果（破線）の比較。

【図２４】液体の体積が一定ではなく液体が垂直壁をぬ
れ上がる解析。

【図２５】液体の密度８ｇ／cm³，表面張力４００dyn／
cm，固体との接触角度２５.８度と与えた場合の水平の
液体面がぬれ上がる各計算過程と結果。

【図２６】Ｌaplace結果（実線）に図２４の９個の点で
計算した結果の比較。

【図２７】Ｌaplace結果（実線）に図２４の１７個の点
で計算した結果の比較。

【図２８】３次元空間で平板上に液体の初期形状として
体積１５６.１８４mm³の４３個の点で表現される立方
体。

【図２９】図２８の解析の途中経過と結果。

【図３０】液体の破壊現象を解析するプログラムのフロ
ーチャート。

【図３１】長軸２.５mm，短軸１.６mmの楕円注射口での
雫の破壊現象の解析例。

【図３２】表面張力支配の液体の動的挙動を解析するプ
ログラムのフローチャート。

【図３３】図３２のフローチャートにより構成されたプ
ログラムを用いて２次元空間で解析の初期条件（四角形
の空間内で四角形の初期形状の表面張力を持つ液体の自
由落下を解析）。

【図３４】図３２のフローチャートにより構成されたプ
ログラムを用いて２次元空間で解析を行った結果（表面
張力を持つ液体が固体の壁とのぬれ性が良い場合と悪い
場合において各時刻の状態を比較）。

【図３５】ＢＧＡにおける単一のハンダボールの安定形
状予測を行なった結果（図中の上下のパッドをモデル化
した部分が直径１mmの円）。

【図３６】ＢＧＡにおける単一のハンダボールの安定形
状予測を行なった結果（図中の上下のパッドをモデル化
した部分が一辺１mmの正方形）。

Claims (4)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】表面張力を持つ流体において、その流体す
   なわち液体の表面形状を代表するＮ個の点で表した場
   合、圧力を求める点（点Ａとしその座標を｛ｘ，ｙ｝ま
   たは｛ｘ，ｚ｝とする）において、２次元の場合には隣
   接する２点(Ｃ，Ｂ点とする)と間の距離すなわち点ＡＢ
   間と点ＡＣ間の距離の和を表現する関数Ｓ（ｘ，ｙ）、
   ３次元においては点Ａを一周する点の集合を用いて点Ａ
   を中心とする面積を表現する関数を同じくＳ（ｘ，ｙ，
   ｚ）とし、点Ａ近傍の表面張力によるエネルギー関数Ｅ
   をこの面積関数と表面張力νを用いてＥ（ｘ，ｙ，ｚ）
   ＝νＳ（ｘ，ｙ，ｚ）と与え、点Ａに働く圧力Ｐを次の
   関数で与え、 【数１】 ここで、∇はグラディアントで２次元空間座標系、即
   ち、座標が｛ｘ，ｙ｝においては、 【数２】 ３次元即ち、座標が｛ｘ，ｙ，ｚ｝においては 【数３】 で、各座標系において異なる。｜｜はベクトルのノルム
   の関数で、２次元では、 【数４】 ３次元において｜∇Ｅ(ｘ，ｙ，ｚ)｜は、 【数５】 ｒｔ（ｎ）は点Ａからの最隣点の数による位数関数で、
   ２次元において隣接する点の数は２点だけでｒｔ（２）
   は２，３次元においては点Ａを囲み一周する隣接する点
   の数は任意にあるため、ｒｔ〔３〕＝１.０００，ｒｔ
   〔４〕＝２.０００,ｒｔ〔５〕＝２.６１８０,ｒｔ
   〔６〕＝３.００００,ｒｔ〔７〕＝３.２４７０，ｒｔ
   〔８〕＝３.４１４２等と与えられ、 この圧力関数Ｐを用いて、表面張力を持ち流体および液
   体の動的挙動および静的安定形状を計算またはシミュレ
   ーションすることを特徴とする表面張力による実空間座
   標値圧力評価関数からの液体の形状予測方法。
2. 【請求項２】表面張力を持ち固体に接触した流体または
   液体において、固体との接触する固有の角度即ち、接触
   角度が与えられた液体において、またその流体表面が請
   求項１と同様Ｎ個の点で代表される場合、その流体また
   は液体の固体との接触点の圧力関数の定義は、 固体と液体の間に仮想空間を作り、この場合仮想空間の
   幅を示す変数ｄを用意すると、液体の接触点から仮想空
   間を通し接触角度ｑに接触するように仮想液体表面を作
   り、請求項１に従いこの仮想液面まで含むエネルギーＥ
   を構成し、この場合のエネルギーは厚さのｄと接触角度
   ｑに関るため｛θ，δ｝の関数となり、この関数を用い
   て接触点の圧力は、 【数６】 はリミット操作で右辺の計算を済ませた後、その中にあ
   るｄを０に限りなく近づけた結果の残りを示す。ｎは接
   触点の、仮想空間は含まない、両脇の接触点を含む接触
   点を半周する点の数から１を引いた数である。上記の圧
   力関数Ｐを用いて、表面張力を持ち流体および液体の動
   的挙動および静的安定形状を計算またはシミュレーショ
   ンすることを特徴とする表面張力による実空間座標値圧
   力評価関数からの液体の形状予測方法。
3. 【請求項３】請求項１または２に記載の圧力関数、また
   は、それを用いたシミュレーション機能を用いるプログ
   ラムを有する流体用解析ソフトを用いることを特徴とす
   る表面張力による実空間座標値圧力評価関数からの液体
   の形状予測方法。
4. 【請求項４】請求項１または２に記載の圧力関数、また
   は、それを用いたシミュレーションを用い設計された機
   械または電子機器を用いることを特徴とする表面張力に
   よる実空間座標値圧力評価関数からの液体の形状予測方
   法。