FR2599874A1

FR2599874A1 - Appareil de mesure de l'etat dynamique d'un systeme notamment pour systemes de navigation d'aeronefs

Info

Publication number: FR2599874A1
Application number: FR8617318A
Authority: FR
Inventors: Andrew Robert Runnals
Original assignee: GEC Avionics Ltd
Current assignee: Allard Way Holdings Ltd
Priority date: 1985-05-15
Filing date: 1986-12-10
Publication date: 1987-12-11
Anticipated expiration: 2006-12-10
Also published as: NL8615002A; FR2606872A1; FR2599874B1; SE8700715L; GB8611705D0; GB8512340D0; IT8767103A0; DE3636131C2; US4786908A; IT1210004B; NL194134C; SE506409C2; NL194134B; GB2178571B; SE8700715D0; GB2178571A; DE3636131A1; FR2606872B1

Abstract

LA PRESENTE INVENTION CONCERNE UN APPAREIL DE MESURE DE L'ETAT D'UN SYSTEME DYNAMIQUE. ELE SE RAPPORTE A UN APPAREIL COMPRENANT UN CIRCUIT D'ESTIMATION PAR RECURRENCE, PAR EXEMPLE UN FILTRE DE KALMAN, POUR LA MODELISATION DU COMPORTEMENT DYNAMIQUE DU SYSTEME QUI EST PAR EXEMPLE UN SYSTEME DE NAVIGATION D'UN AERONEF. SELON L'INVENTION, LES SIGNAUX UTILISES PAR LE CIRCUIT D'ESTIMATION SONT DES PARAMETRES D'UNE FONCTION QUADRATIQUE OU D'UNE FONCTION GAUSSIENNE REPRESENTANT APPROXIMATIVEMENT UNE FONCTION DE VRAISEMBLANCE LOGARITHMIQUE ET UNE FONCTION DE VRAISEMBLANCE RESPECTIVEMENT. DE CETTE MANIERE, LA PRECISION DE LA NAVIGATION EST ACCRUE. APPLICATION AUX SYSTEMES DE NAVIGATION DES AERONEFS.

Description

La présente invention concerne un appareil de

mesure de l'état dynamique d'un système notamment destiné à des systèmes de navigation d'aéronefs, et elle concerne en particulier un appareil comprenant des circuits d'estima5 tion par récurrence, par exemple des filtres de Kalman.

La présente invention a pour objet un appareil de mesure de l'état d'un système dynamique mettant en oeuvre un circuit d'estimation par récurrence pour la modélisation du comportement dynamique du système. L'invention concerne 10 aussi un procédé de remise à jour des signaux d'entrée d'un

circuit d'estimation par récurrence utilisé poulr l'intégration dans un système de navigation.

Dans un premier aspect, la présente invention concerne un appareil de mesure de l'état d'un système dyna15 mique qui comprend: (a) un dispositif de détection destiné à former une séquence de mesures ou de jeux de mesures qui dépendent de l'état actuel du système en présence de bruit et d'autres sources d'erreur qui sont des sources qai peuvent être 20 représentées par un modèle statistique, (b) un premier dispositif de calcul destiné à déterminer une fonction de vraisemblance logarithmique associée à chacune des mesures ou à chaque jeu de mesures en fonction dudit modèle statistique, (c) un second dispositif de calcul destiné à former la somme de la fonction de vraisemblance logarithmique et d'une fonction résiduelle qui est déterminée initialement comme identiquement nulle, (d) un troisième dispositif de calcul mettant en 30 oeuvre un circuit d'estimation par récurrence pour la modélisation du comportement dynamique du système, (e) un quatrième dispositif de calcul destiné à déterminer une approximation quadratique de la somme de la fonction de vraisemblance logarithmique et de la fonction 35 résiduelle, l'ajustement étant pondéré en fonction de l'incertitude actuelle sur l'état du système dynamique telle qu'indiquée par le signal de sortie du troisième dispositif de calcul,

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(f) un cinquième dispositif de calcul destiné à dériver, à partir de l'approximation qladratique, des paramètres destinés à être utilisés comme base pour une remise à jour des mesures dans le troisième dispositif de calcul, (g) un sixième dispositif de calcul destiné à soustraire l'approximation quadratique de ladite somme de la fonction de vraisemblance logarithmique et de la fonction résiduelle qu'elle représente approximativement 10 afin qu'une nouvelle fonction résiduelle soit formée, (h) un septième dispositif de calcul destiné à transformer la fonction résiduelle afin que la variation dynamique de l'état du système pendant l'intervalle séparant les mesures ou les jeux de mesures successifs dans la 15 séquence de mesures soit prise en considération, et (i) un huitième dispositif de calcul destiné à déterminer si l'approximation quadratique produite par le quatrième dispositif de calcul convient comme signal d'entrée du troisième dispositif de calcul et assurant, 20 lorsqu'il est déterminé que l'approximation quadratique convient au but précité, à commander le cinquième et le sixième dispositif de calcul et, dans le cas contraire, à utiliser comme signal. d'entrée du septième dispositif de calcul la somme de la fonction de vraisemblance loga25 rithmique et de la fonction résiduelle, cette somme étant

utilisée comme signal d'entrée du quatrième dispositif de calcul et étant prise comme nouvelle fonction résiduelle.

Dans un second aspect, l'invention concerne un appareil de mesure de l'état d'un système dynamique qui com30 prend: (a) un dispositif de détection destiné à former un séquence de mesures ou de jeux de mesures qui dépendent de l'état actuel du système en présence de bruit et d'autres sources d'erreur qui sont des sources qui peuvent être 35 représentées par un modèle statistique, (b) un premier dispositif de calcul destiné

à déterminer une fonction de vraisemblance associée à cha-

cune des mesures ou chacun des jeux de mesures en fonction dudit modèle statistique, (c) un second dispositif de calcul destiné à former le produit de la fonction de vraisemblance et d'une fonction 5 résiduelle qui est réglée initialement afin qu'elle soit identiquement égale à l'unité, (d) un troisième dispositif de calcul mettant en oeuvre un circuit d'estimation par récurrence pour la modélisation du comportement dynamique du système, (e) un quatrième dispositif de calcul destiné à déterminer une approximation gaussienne dudit produit de la fonction de vraisemblance et de la fonction résiduelle, l'ajustement étant pondéré en fonction de l'incertitude actuelle sur l'état du système dynamique comme l'indique 15 le signal de sortie du troisième dispositif de calcul, (f) un cinquième dispositif de calcul destiné à dériver, à partir de l'approximation gaussienne, des paramètres destinés à être utilisés comme base pour la remise à jour des mesures dans le troisième dispositif de 20 calcul, (g) un sixième dispositif de calcul destiné à diviser l'approximation gaussienne par le produit de la fonction de probabilité et de la fonction résiduelle qu'elle représente approximativement afin qu'une nouvelle fonction 25 résiduelle soit formée, (h) un septième dispositif de calcul destiné à transformer la fonction résiduelle afin que les changements dynamiques de l'état du système pendant l'intervalle compris entre les mesures ou les jeux de mesures succes30 sifs dans la séquence de mesures soient pris en considération, et (i) un huitième dispositif de calcul destiné à déterminer si l'approximation gaussienne convient comme signal d'entrée du troisième, dispositif de calcul et 35 destiné, lorsqu'il est déterminé que l'approximation gaussienne convient alors, à commander le cinquième et le sixième dispositif de calcul ou au contraire à utiliser comme signal d'entrée du septième dispositif de calcul le produit de la fonction de vraisemblance et de la fonction résiduelle, ce produit étant utilisé comme entrée du quatrième dispositif de calcul et étant considéré comme la nouvelle fonction résiduelle. La fonction de vraisemblance de l'expression est définie de la manière suivante. On suppose qu'une procédure de mesure ayant comme résultat un vecteur aléatoire Y est caractérisée par un modèle statistique selon lequel la 10 distribution statistique de y est donnée par la fonction massique de probabilité py (y; Xl,..xn) ou par une fonction de densité de probabilité fy (Y; xl,. n), la distribution dépendant de n paramètres inconnus Xl,...xn (n>1). On suppose que cette procédure de mesure est exécutée et donne 15 le résultat observé Y = y. La fonction de vraisemblance créée par la mesure Y = y0 est alors la fonction de xl,... yn qui est obtenue par remplacement de la variable y par la valeur observée y0 dans py (y; xi,...xn) ou fy (y; x1,...xn),

selon le cas, et par multiplication du résultat par une 20 constante arbitraire.

La fonction de vraisemblance logarithmique est le

logarithme népérien de la fonction de vraisemblance.

Dans une application particulière du premier et du second aspect de l'invention, l'appareil est utilisé pour 25 la construction d'un profil de terrain au-dessous de

la trajectoire d'un aéronef, le dispositif de détection de l'appareil comprenant un altimètre radioélectrique ou à laser, un altimètre barométrique et un appareil de navigation à repérage préalable de position.

Dans un troisième aspect, l'invention concerne un système de navigation mettant en oeuvre un circuit d'estimation par récurrence destiné à une intégration dans un système de navigation et tel que les paramètres d'une fonction quadratique représentant approximativement une fonction de 35 vraisemblance logarithmique sont utilisés comme signaux

d'entrée du circuit d'estimation.

Dans un quatrième aspect, l'invention concerne un

système de navigation mettant en oeuvre un circuit d'estima-

tion par récurrence pour l'intégration à un système de navigation, et les paramètres d'une fonction gaussienne repésentant approximativement unefonction de vraisemblance sont utilisés comme signaux d'entrée du circuit d'estima5 tion.

D'autres caractéristiques et avantages de l'invention ressortiront mieux de la description qui va suivre,

faite en référence aux dessins annexés sur lesquels: la figure 1 est un schéma illustrant les principes 10 mis en oeuvre pour la navigation suivant un profil de terrain, dans le cas d'un aéronef; la figure 2 est un schéma facilitant la compréhension de la terminologie utilisé dans le cas d'un lot de données de navigation suivant un contour de terrain; la figure 3 est un schéma représentant une fonction de vraisemblance dans le cas d'un lot court, c'est-à-dire ne comprenant qu'un seul point; la figure 4 est un schéma représentant une fonction de vraissemblance dans le cas d'un lot long, c'est-à-dire 20 d'un lot de soixante et un points; la figure 5 est un graphique représentant une coupe d'une fonction calculée de vraisemblance dans le cas d'un lot d'échantillons; les figures 6A et 6B sont des graphiques représen25 tant, dans le cas de lots long et court respectivement, la variation au cours du temps de l'écart- type d'une composante de l'erreur de position dans un système de navigation ayant des caractéristiques de repérage préalable de position de mauvaise qualité; les figures 7A et 7B sont des graphiques correspondant à ceux des figures 6A et 6B, mais dans le cas d'un système de navigation ayant une bonne qualité de repérage préalable de position; La figure 8 est un schéma représentant une fonction 35 de vraisemblance dans le cas d'un lot court; les figures 9A et 9B sont des schémas illustrant un procédé de détermination approximative d'une fonction de vraisemblance telle que représentée sur la figure 3 ou sur la figure 9, par une fonction de forme gaussienne; la figure 10 est un ordinogramme représentant la séquence d'étape exécutée par un appareil selon l'inven5 tion; et les figures 11 et 12 sont des graphiques illustrant

la mise en oeuvre de l'appareil selon l'invention.

Dans la description, on considère l'application

du théorème de Bayes à la navigation suivant le contour 10 d'un terrain. D'abord, on étudie la relation entre le

théorème de Bayes et le filtre de Kalman, en insistant en particulier sur le principe de la fonction de vraisemblance.

La description concerne alors la question de savoir comment, lorsque l'information donnée par les observations est consti15 tuée d'un lot de données de havigation suivant un contour

de terrain, une approximation convenable de la fonction de vraisemblance peut être calculée à l'aide d'un relevé numérique. On note que, dans le cas de lots de longueur suffisante, la fonction de vraisemblance ainsi calculée a 20 habituellement une forme approximativement gaussienne. Ceci permet une réalisation directe et élégante de la navigation suivant un contour de terrain, appelé "Proto-SPARTAN" qui peut être directement couplé à un filtre de Kalman afin

qu'il soit intégré à un système de navigation.

La description considère ensuite les avantages

potentiels de l'utilisation des lots plus courts, donnant des points observés avec une plus grande fréquence et mettant en valeur les problèmes posés. Deux approches sont examinées pour la résolution de ces problèmes du point de 30 vue Bayesien. La première approche assure le traitement de mesure d'un altimètre radioélectrique individuellement à l'aide d'un filtre étendu de Kalman, dans l'hypothèse o le terrain au voisinage de l'aéronef peut être-considéré approximativement comme un plan géométrique. La seconde approche 35 utilisée pour la réalisation de la navigation suivant un

contour de terrain, appelé "SPARTAN" dans le présent mémoire, met en oeuvre une technique d'approximation succes-

sive pour la détermination de la fonction de vraisemblance.

Il est prouvé que, dans des circonstances favorables à la première approche, les deux techniques sont logiquement presque équivalentes, mais que la seconde approche a un 5 fonctionnement efficace et fiable dans une plus large plage

de conditions.

1. Introduction: le théorème de Bayes et le filtre de Kalmian Le théorème de Bayes de-la théorie de la probabilité a été proposé par le révérend Thomas Bayes dans un 10 article publié après sa mort, en 1763. Etabli à propos d'événements discrets A et B, il indique que la relation suivante existe entre la probabilité conditionnelle de B après A et la probabilité conditionnelle de A après B: p(BIA) = P(AIB) p(B) (1.1) p(A) Le théorème de Bayes, défini en termes de densités de probabilité, devient: f(xl) = f(lx) f(x) (1.2) f(l) Dans un exemple concret, si le vecteur x représente la position d'un aéronef et le vecteur y représente le résultat d'un expérience statistique dont le résultat dépend 25 de la position de l'aéronef, f(x) représente la fonction densité de probabilité pour la position de l'aéronef avant l'expérience et f(yix) donne la fonction densité de probabilité pour le résultat expérimental y lorsque la position réelle de l'aéronef est x. La formule permet de déterminer 30 f(xiy) qui est la fonction densité de probabilité remise à

jour pour x pourvu que l'expérience ait un résultat particulier,.

Le quatrième terme de l'équation (1.2), c'est-àdire f(y), est la probabilité inconditionnelle du résultat 35 expérimental y et peut être obtenue sous la forme: f(y) = f f(lix) f(x) dx (1.3) x l'intégration étant réalisée pour toutes les positions possibles x. Il est préférable de considérer f(y) comme une constante de normalisation qui assure que l'intégrale de f(xly) est égale à l'unité, par rapport à x. Il faut 5 noter que f(y) dépend du résultat expérimental y mais non

de la position réelle de l'aéronef.

Une autre manière d'exprimer l'équation (1.2) est la suivante: f(xl) = cyLy(x)f(x) (1.4) Dans cette équation, c est une constante de normalisation Y alors que L (x) est appelé fonction de vraisemblance pour y x crééepar observation y. Ly(x) est identique à la densité de probabilité conditionnelle f(y x) (mise à part une constante arbitraire éventuelle de changement d'échelle), et à l'ex15 ception du fait qu'elle est considérée comme une fonction

de x avec y comme paramètre plut6t que l'inverse.

Un cas spécial important du théorème de Bayes est décrit par le théorème suivant:

THEOREME 1

Si f(x) est une distribution gaussienne multidimensionnelle ayant une moyenne g0 et une matrice covariance P0, et si Ly(x) est de la forme: 1( T) Ly(x) = c(y) exp - 2 J(x - y (1.5) dans laquelle la matrice J est définie et non négative, c'est-à-dire que la fonction de vraisemblance a une forme gaussienne multidimensonnelle avec une "moyenne" My et une matrice "information" Jy, la distribution remise à jour de 30 x, f(xiy) est une distribution gaussienne multidimensionnelle de matrice covariance: p (p-1 + -1(16 P+ = (Po + Jy1.) et de moyenne: += P+(Jyy + P0 - o) =O0 + P+Jy(y -) (1.7 - y + P+P0o (jo - y) Ce théorème contient l'essentiel de la remise à jour d'une mesure par un filtre de Kalman. Il faut noter que ce théorème nécessite que la fonction de vraisemblance ait une forme gaussienne, c'est-à-dire que f(ylx) doit avoir une forme gaussienne, lorsqu'elle est considérée comme fonction de x. Pour cela, il n'est pas en fait nécessaire ou suffisant que f(y I x) ait une forme gaussienne lorsqu'elle est considérée comme fonction de y. Cependant, dans les explications portant sur le filtre de Kalman, il est 10 courant que l'hypothèse la plus grande soit utilisée, selon laquelle f(ylx) est de la forme:

1 TR-1

f(yl) = k exp - (y - Cx) R (y - Cx) (1.8) C étant une matrice constante de rang complet (la "matrice de mesure") et k étant une constante de normalisation, c'est-à-dire que y a une distribution gaussienne avec une moyenne Cx et une matrice covariance R. Si l'on considère f(ylx) comme étant une fonction de x, il est simple de mon20 trer que l'équation (1.8) a une forme gaussienne avec une matrice "information" C R C, et une "moyenne" C-y, C étant l'inverse généralisé de C. Dans la terminologie du théorème 1, on obtient: 1 -y py = C-y

- J = CR1C (1.9)

L'utilisation de ces expressions dans l'équation (1.6) donne les équations classiques du filtre de Kalman: 30 P+ = (p0-1 + cTR-1C) 1 T -1 u - + = P+(C R y + P O P-) (1.10) =0 + P+C R (y - Cg0) D'un point de vue logique, les équations (1.7) sont plus fondamentales que les équations classiques (1.10), l'équation (1.10) étant un cas particulier de l'équation (1.7) pour les mesures pour lesquelles f(ylx) a la forme de l'équation (1.8). Cependant, au point de vue algébrique, l'équation (1.7) peut être considérée comme un cas particulier de l'équation (1.10) comme on peut le noter en déterminant C comme étant la matrice' identité I. 2. Application du théorème de Bayes à la navigation suivant un contour de terrain Ce chapitre montre comment le théorème de Bayes peut être appliqué à la navigation suivant un contour 10 de terrain. Cette dernière expression est utilisée dans le présent mémoire dans son sens générique s'appliquant à toute technique de navigation assistée qui repose sur la comparaison des hauteurs détectées du terrain à des hauteurs conservées dans un relevé numérique. Cette expression "navi15 gation suivant un contour de terrain" est ainsi destinée à recouvrir des réalisations particulières par exemple "TERCOM", "SITAN", "CAROTE", "SPARTAN", "TERPROM, etc. Il convient alors d'étudier les principes fondamentaux de la navigation suivant un contour de terrain, 20 appliquée à un aéronef, en référence à la figure 1. Trois types de données de mesure sont nécessaires. D'abord, la technique nécessite une séquence de mesures de la distance séparant l'aéronef du sol (c'est-à-dire la hauteur au-dessus du niveau du sol). Cette mesure est normalement obtenue 25 par échantillonnage du signal de sortie d'un altimètre radioélectrique ou à laser, éventuellement avec un filtrage préalable supplémentaire quelconque; un intervalle d'échantillonnage horizontal d'environ 100 mètres est courant en pratique, mais il n'est pas primordial. Ensuite, les 30 données d'un capteur barométrique ou d'altitude de type

barométrique et à inertie sont nécessaires pour la mesure d'un déplacement vertical éventuel de l'aéronef entre des mesures successives de la distance au-dessus du sol.

Troisièmement, un type ou un autre de système de repérage 35 préalable de position (par exemple un système à inertie ou un radar Doppler combiné à une référence de cap) est nécessaire pour la mesure des positions horizontales relatives des mesures de distance au sol. La caractéristique essentielle de la navigation suivant un contour de terrain est l'utilisation de ces données pour la reconstitution du profil du terrain au-dessous du trajet de 5 l'aéronef. Un relevé numérique de la hauteur du terrain est alors étudié afin qu'un profil ajusté soit déterminé au voisinage de la position de l'aéronef telle qu'estimée précédemment; cette mesure peut alors être utilisée pour

la remise à jour de la position estimée.

Aucune raison ne s'oppose en principe à l'application directe du théorème de Bayes à ce problème. Si l'on utilise le théorème sous la forme de l'équation (1.4), on obtient: f(xlY) = CyLy(X)f(y) (2.1) Dans ce cas, cy est une constante de normalisation, f(x) est la fonction densité de probabilité de la position de l'aéronef avant la remise à jour des données de navigation suivant le contour de terrain, alors que f(xly) est la fonction densité après prise en compte d'un jeu y de données 20 de mesure de navigation suivant le contour du terrain, comme décrit précédemment. (Il est plus simple de considérer pour l'instant que x représente simplement la position de l'aéronef. Ultérieurement, il sera commode au contraire d'utiliser x comme représentant l'erreur de position 25 estimée par le système de navigation avec repérage

préalable de position, ou comme vecteur d'erreur du système de navigation ayant un plus grand nombre de dimensions).

Le terme restant est la fonction de vraisemblance: Ly(X) = f(ylx) (2.2) Pour sa détermination, il est nécessaire de répondre à la question suivante: quelle est la probabilité de l'observation d'un jeu de données y de profil de terrain lorsque la position réelle de l'aéronef est x ? Cette probabilité (ou plus exactement cette densité de probabilité) doit être 35 considérée comme une fonction de la position x de l'aéronef

pour un lot déterminé de données de profil y.

Le reste de ce chapitre concerne des exemples de calcul en pratique d'une approximation utile de la fonction de vraisemblance. Il existe un certain nombre d'approches différentes. Une première obtention porte sur la prise en compte explicite de l'altitude de l'aéronef pour le 5 calcul de la fonction de vraisemblance ou sur son traitement comme un paramètre constituant une nuisance. Une autre obtention porte sur le traitement des mesures de distance au sol individuellement ou par lots; le présent mémoire considère de façon générale la première approche, comme 10 cas particulier de la seconde (c'est-à-dire des lots

d'une seule mesure).

Il est utile maintenant de considérer une terminologie supplémentaire. Des lots de mesures successives du terrain qui sont traités ensemble pour le calcul d'une 15 fonction de vraisemblance sont appelés "sections". Lesmesures individuelles de la distance au sol d'une section sont appelées points de section et la distance horizontale le long du trajet entre le premier et le dernier point dans une section est appelée longueur de section (voir 20 figure 2). L'un des points de section est désigné comme étant le point de référence de section; la sélection exacte de ce point est formelle, mais il est avantageux de choisir à cet effet un point proche du milieu de la section. La question à laquelle doit répondre la fonction de vraisemblance peut maintenant être reformulée sous la forme suivante: quelle devrait être la probabilité (densité) pour les données observées y de section si la position réelle de l'aéronef au moment du point de référence 30 de section avait été x ? Dans cette détermination, les sources suivantes d'erreur de mesure sont à considérer: (1) les erreurs sur la mesure de la distance au - sol (erreurs de l'altimètre radioélectrique), (2) le décalage et la dérive de la mesure de l'al35 titude de l'aéronef au-dessus du niveau de la mer (ou d'une autre référence), (3) la dérive de l'erreur de repérage horizontal de position, donnant des erreurs pour la détermination de la position des autres points de section par rapport

au points de référence de section.

Il s'agit d'erreurs des capteurs. En outre, on 5 doit considérer ce qui peut être déterminé comme une espèce d'erreur de calcul, c'est-à-dire les erreurs associées au relevé numérique de référence. Ces erreurs sont de trois types (4) les erreurs sur les altitudes ponctuelles 10 enregistrées dans le relevé numérique, (5) les erreurs résultant de l'interpolation dans le relevé numérique,

(6) les erreurs dues à la couverture du sol.

D'autres sources d'erreurs doivent être prises 15 en considération lorsque les mesures du terrain doivent être prises depuis une altitude élevée et/ou avec un capteur de distance au sol à faisceau étroit. Cependant, on n'a pas l'intention de discuter en détail ces sources d'erreurs mais simplement d'indiquer comment des modèles 20 -de telles erreurs peuvent être traités dans le calcul de la fonction de vraisemblance. Ceci est indiqué dans

deux exemples simples.

Exemple 1

Dans cet exemple, 'on doit'considérer des sections 25 constituées d'un seul point de section (c'est-à-dire que les mesures de la distance au sol sont traitées individuellement), et l'altitude de l'aéronef est traitée comme

une inconnue explicite.

Dans le cas d'une section à un seul point, les 30 sources d'erreurs (2) et (3) ne concernent pas le calcul de la fonction de vraisemblance elle- même (bien qu'elles concernent la propagation de la position estimée de l'aéronef entre une section et la suivante). On suppose que les sources restantes d'erreurs peuvent être modélisées 35 ensemble par un modèle gaussien simple sous la forme suivante. On représente la surface du terrain obtenue par interpolation dans le relevé numérique par la fonction m(x, y). Lorsque la position réelle de l'aéronef au moment de la mesure de la distance au sol est (x, y, z), la distance mesurée au sol s diffère de sa valeur prédite (z - m(x, y)) en partie à cause des erreurs de l'altimètre radioélectrique 5 (1) et en partie à cause des erreurs du relevé (4) (5) et

(6). Le modèle à adopter dans cet exemple suppose que cette différence a une distribution gaussienne ayant une moyenne nulle et un écart-type o, et que les erreurs pour différentes mesures de la distance au sol sont indé10 pendantes au point de vue statistique.

Ce modèle conduit directement à l'équation suivante pour la fonction de vraisemblance: L (x) = 1 exp - 1 {s - z + m(x, y)}2 (2.3)

2

avec x = (x, y, z) et la mesure y est la mesure unique s de la distance au sol. La fonction de vraisemblance est ainsi une fonction de trois variables, et les surfaces de probabilité constante sont parallèles au terrain comme 20 représenté sur la figure 3.

Exemple 2

Dans cet exemple, on considère un lot ou une section de n points (n>1), et on traite l'altitude de

l'aéronef comme un facteur de nuisance.

Pour chaque point i de la section, i = 1,...n, on appelle ai

l'altitude mesurée de l'aéronef, si la distance mesurée au sol, et Axi, A yi les décalages latéraux (figure 2) du point de la section par rapport au point de référence de la section, tel que mesuré par le système de repérage 30 horizontal de position.

Dans cet exemple, la dérive de l'erreur de repérage horizontal de position dans une section est supposée négligeable si bien que les valeurs mesurées Axi et Ayi peuvent être considérées comme exactes. De même, on suppose 35 que la dérive de la mesure sur l'altitude de l'aéronef est

négligeable pendant une section: on suppose simplement que ai donne une erreur de quantité inconnue c qui est cons-

tante dans toute la section (erreur QNH).. On suppose en outre que les erreurs de l'altimètre radioélectrique et du relevé numérique peuvent être modélisées comme indiqué dans l'exemple 1, c'est-a-dire qu'elles donnent 5 ensemble une erreur gaussienne aléatoire ayant un écart-type o. On suppose que la position horizontale réelle de l'aéronef au point de référence de la section est (x, y), et la position réelle de l'aéronef au point i de la section 10 et donc (x+Axi, y+Ayi). Ceci donne un "profil de relevé" indiqué par la séquence des hauteurs ou altitudes: mi= m(x+Axi, y+ Ayi pour i = 1,...n (2.4) D'autre part, un "profil détecté"' est donné par: ti = hi - si pour i = 1,...n (2.5) On considère d'abord les écarts di = ti mi pour i = 1,...n (2.6)

La description qui précède montre clairement

que ces écarts peuvent être représentés sous la forme: di = c + ni (2.7) c étant l'erreur QNH et n. étant des variables aléatoires i

indépendantes gaussiennes de valeur moyenne nulle et d'écart-type a, représentant le bruit du relevé et de ''altimètre radioélectrique.

On élimine la constante inconnue c par formation 25 d'une première différence entre t'i et m'i:

t'. = t - t.

i i+1 1 -m' (2.8) mei = mi+1 - mi (2.8) En d'autres termes, au lieu de considérer les écarts 30 entre les profils détecté et du relevé parrapport aux altitudes individuelles du terrain, on considère les écarts sur les variations d'altitudes du terrain le long du profil. On obtient, d'après l'équation (2.7):

t'. -m'. = d d =n -m.

+1 i i i+1 i (2.9) i.e. t'i = ni+ - ni + m'i Ainsi, les variables t'i sont indépendantes de c, et leur distribution combinée de probabilité peut être facilement déterminée. Comme les variables t' sont des combinaisons linéaires de quantité galssienne, ces variables t' sont elles-mêmes gaussiennes, avec une moyenne: E(t' i) = E(ni+1) - E(ni) + E(m'i) = m'. (2.10) et des covarianzes: E (t' - m')(t' - m'i) 1 i j j = E(ni+1nj+1) E(ni+lnj) - E(ninj+1) + E(ninj) 2a2 pour i = j = Sa2 pour i- jl = 1 (2.11) 0 ailleurs En conséquence, la fonction densité de probabilité pour le vecteur t' = t'i,...t'n_1) est donnée par la formule pf(t'-))nexp((t'-m')TE (t-m)) (2.12) dans laquelle _' = (m'1,...m') et E est la matrice covadans aquele m'= (ml,..n-1 riance donnée par l'équation (2.11), c'est-à-dire: 2 - 1

-1 2 -1

= a2 (2.13)

-1 2 -1

-1 2 L'éqaation (2.12) donne la probabilité de l'observation du profil détecté t' lorsque la position réelle de 35 l'aéronef au point de référence de section est (x,y). La -fonction de vraisemblance peut être obtenue directement par considération de celle-ci comme étant une fonction de (x, y). Il est aussi possible à ce stade d'appliquer (ou de supprimer) un facteur constant d'échelle puisque l'effet est annulé de toute manière par la constante de normalisation c dans l'équation (1.4). Ainsi, on obtient: y L (x, y) = exp (t' - m')TEL1(t' - m') (2.14) Dans de nombreux cas, il est plus simple de considérer le logarithme népérien de la vraisemblance ou 10 vraisemblance logarithmique, c'est-à-dire: LogL - 1(t' - mI)T Et - m') (2.15)

La fonction de vraisemblance calculée de cette 15 manière est ainsi fonction de deux variables seulement.

Ce procédé du second exemple peut être facilement modifié afin qu'il tienne compte de la dérive du canal vertical de navigation, et on a constaté qu'il était avantageux dans certaines applications. Le procédé peut aussi être 20 étendu de manière qu'il permette le traitement de la dérive d'un canal horizontal (c'est-à-dire les erreurs de vitesse). 3. Réalisation pratique ("Proto-SPARTAN") Le problème principal d'une navigation suivant un 25 contour de terrain est l'estimation des erreurs di système de navigation avec repérage horizontal de position de l'aéronef (ou d'un autre véhicule) par mise en oeuvre des données de terrain provenant d'une section de navigation

suivant un contour de terrain pour 1 ou plusieurs points.

Le chapitre précédent a considéré l'application du théorème de Bayes suivant l'équation (1.4) directement à ce problème, une fois déterminée une approximation convenable de la fonction de vraisemblance. Une réalisation peut prendre l'erreur de position comme inconnue et tra35 vailler avec un arrangement bidimensionnel donnant les probabilités (ou plus exactement les densités de probabilité) en fonction des erreurs possibles de position. Pour chaque point, l'arrangement est remis à jour avec l'équation (1.4) alors que, entre les points, l'arrangement est remis à jour en fonction d'un modèle de la propagation des erreurs dans

le système de repérage horizontal de position.

En pratique, ce système "Bayesien idéal de naviga5 tion suivant un contour de terrain" présente un certain nombre d'inconvénients, mais il est utile de l'avoir en tête comme pierre de touche pour la détermination des

techniques utilisées en pratique.

L'inconvénient principal dans le cas idéal de 10 la navigation suivant le contour du terrain estl'importance du calcul nécessaire, à la fois pour la "remise à jour des mesures" apres un relevé et pour la "remise à jour du temps" entre les points. Ceci est particulièrement vrai lorsque la propagation des erreurs du système de repérage horizontal 15 de position est décrite par une équation différentielle d'ordre élevé, comme cela est possible dans le cas d'un système de navigation par inertie. Dans ce cas, il n'est pas suffisant que l'arrangement de probabilité s'étende dans les deux dimensions de l'erreur de position: il faut 20 qu'il s'étende sur les n dimensions du vecteur d'état du système, impliquant ainsi une augmentation formidable de la taille de l'arrangement. Un inconvénient secondaire qui est manifestement surmontable, est que le "signal de sortie" du système "idéal" est un arrangement de probabilité 25 qui risque d'être trop compliqué comme signal d'entrée dans

d'autres systèmes nécessitant des données de navigation.

Ces autres systèmes demandent des signaux d'entrée en

général avec un format "moyenne et écart-type".

La technique maintenant classique d'exécution des 30 remises à jour dans le temps et des remises à jour des

mesures de l'estimation d'un état d'un système est évidemment le filtrage de Kalman qui peut être géré par le calcul et qui donne des réponses sous la forme voulue.

Cependant, comme indiqué dans le chapitre 1, le filtre 35 de Kalman suppose que la fonction de vraisemblance créée par chaque mesure a une forme gaussienne. Est-il alors possible d'utiliser le filtrage de Kalman pour la remise à jour de la navigation suivant le contour du terrain ? Heureusement, l'expérience indique que, lorsque la fonction de vraisemblance est calculée suivant les directives données dans le chapitre 2, dans le cas de 5 sections ayant plus de 3 km environ, la fonction de vraisemblance a une forme grossièrement gaussienne de manière reproductible. Ceci est représenté sur la figure 4 qui représente la fonction de vraisemblance dans le cas d'une section de soixante et un points, sur une longueur d'environ 10 6 km, la fonction étant calculée d'une manière analogue à

celle qui est donnée dans l'exemple 2 du chapitre 2.

(Il existe de toute manière des raison théoriques de supposer que la fonction de vraisemblance est approximativement gaussienne au voisinage de son maximum, pourvu 15 que les processus d'erreur sous-jacents soient approximativement gaussiens et que la surface du terrain soit

raisonnablement continue).

Cette observation est la base de la mise en oeuvre de la navigation suivant le contour du terrain, 20 appelée dans le présent mémoire "ProtoSPARTAN", à partir de laquelle s'est développée la technique "SPARTAN". En résumé, la procédure de chaque point "Proto-SPARTAN- est la suivante. D'abord, une grille de valeurs de vraisemblance est calculée, les dimensions de la grille étant déterminées 25 par l'incertitude sur la position antérieure. Une- fonction de forme gaussienne est alors ajustéeàla vraisemblance de la grille, et elle est soumise à deux vérifications: (a) la valeur de crête de la fonction ajustée est vérifiée de manière qu'elle corresponde à un accord réel des profils 30 pour les sources d'erreurs supposées, et (b) les différences entre les vraisemblances de la grille et la fonction gaussienne ajustée sont évaluées afin que la bonne qualité de l'ajustement soit vérifiée. Lorsque l'une ou l'autre de ces vérification ne convient pas, le point est rejeté; 35 dans le cas contraire, les paramètres nécessaires de la fonction gaussienne (>y et Jy de l'équation (1.5)) sont extraits et transmis par le filtre de Kalman. La figure 5

représente une coupe de la fonction calculée de vraisemblance pour une section échantillon et la fonction gaussienne la représentant approximativement.

Dans la réalisation, la technique "Proto-SPARTAN" 5 diffère légèrement des indications précédentes en ce qu'elle agit essentiellement sous forme de la fonction de vraisemblance logarithmique - le logarithme népérien de la fonction de vraisemblance - et opère par ajustement d'une fonction quadratique aux vraisemblances logarithmiques 10 calculées. Cependant, l'ajustement est réalisé de manière qu'il existe t:n bon accord entre les fonctions correspondantes de vraisemblance si bien que la procédure équivaut logiquement à celle qui est-décrite dans le paragraphe précédent. Dans la technique "SPARTAN" introduite ulé15 rieurement, la fonction de vraisemblance logarithmique a

aussi un rôle important.

4. Avantages potentiels des courtes sections La technique "Proto-SPARTAN" donne des remises à jour de position qui reposent sur des données du terrain 20 recueillies sur une période courte mais non négligeable, par exemple de 30 à 60 secondes. En conséquence, la valeur estimée de l'erreur de position donnée par un point repose sur une moyenne pondérée de l'erreur de position pendant cette période, la pondération dépendant du terrain recouvert 25 par la section. En pratique, le point est considéré comme une estimation de l'erreur de position à un moment unique, à peu près au milieu de la section (au point de référence de la section). Cette hypothèse a été confirmée de façon très étroite par comparaison de la position réelle (point 30 photographique) au point de référence de la section et de la position selon la technique "Proto-SPARTAN". D'après les analyses des essais en vol, il apparaît que la technique "Proto-SPARTAN" peut donner de manière reproductible de bons points de relevé. Cependant, bien que chaque point 35 de relevé puisse ainsi être considéré comme relatif à-la position de l'aéronef au milieu de la section, le point ne devient pas disponible en réalité avant la fin de la section, augmenté d'un retard supplémentaire nécessaire au calcul. Il existe ainsi un retard total d'au moins 15 secondes entre l'arrivée d'un point de relevé et le moment qu'il concerne. Il est assez simple de régler 5 le filtre de Kalman-afin que ce retard soit pris en considération, mais le retard peut néanmoins être un facteur limitatif important des caractéristiques de navigation

en temps réel du système.

La situation est représentée sur la figure 6A. 10 Elle représente l'écarttype d'une composante d'erreur

de position porté en fonction du temps, dans le cas d'un système idéalisé simple de navigation. La figure représente l'état de régime permanent lorsque le système est remis à jour toutes les minutes par un relevé de navigation suivant 15 le contour du terrain pour lequel la composante correspondante d'erreur de position est égale à 50 m (1 sigma).

T1 désigne le point de référence de section. Si le point de relevé était disponible au point de référence de section qu'il concerne, I'erreur de position suivrait 20 le trait interrompu et présenterait ainsi une variation en dents de scie entre des écarts-types de 45 m et 103 m. En fait, cependant, le point n'est pas disponible &?ant le temps T2 au plus tôt si bien que la propagation de l'erreur réelle est indiquée en trait plein, avec une 25 variation en dents de scie comprise entre des écartstypes

de 69 m et 145 m.

Manifestement, l'effet de dents de scie est moins prononcé lorsque le système de repérage horizontal de position est meilleur; le système représenté sur la figure 6A a des caractéristiques de repérage de position horizontale d'environ 10 km/h. La figure 7A représente les résultats correspondants dans le cas d'un système ayant des caractéristiques d'environ 1 km/h, et cette comparaison suggère que la technique "Proto-SPARTAN" donnerait tout à 35 fait satisfaction dans un aéronef piloté de combat dans lequel un bon système de navigation par inertie est habituellement obligatoire dans tous les cas. Cependant, dans de nombreuses applications, il est souhaitable d'économiser beaucoup sur les instruments de repérage horizontal de position, et d'utiliser un relevé fixe de navigation suivant le contour du terrain pour la conservation de 5 bonnes performances pendant la navigation. Dans ces applications, une grande fluctuation en dents de scie entre les points de relevé peut limiter beaucoup les économies qui peuvent être réalisées, compte tenu des critères

fixés à la mission.

La solution évidente est l'utilisation de sections

plus courtes. On suppose par exemple que l'on divise chaque section de 60 secondes en 10 sections de 6 secondes.

Lorsque l'information sur le terrain est uniformément répartie au cours du temps, chacune des nouvelles sections 15 contient un dixième de l'information du relevé d'origine, si bien qu'on peut prévoir que la variance des nouveaux points de relevé est égale à dix fois celle des anciens

points, et donne un écart-type de 50 x 1 = 158 m.

Si l'on porte alors la propagation d'erreur 20 de position du même système de repérage horizontal de

position que sur la figure 6A mais avec des sections de 6 secondes, on obtient le graphique de la figure 6B.

L'erreur de position a alors une fluctuation en dents de scie comprise entre un écart-type de 65 m et un écart-type 25 de 70 m, constituant un perfectionnement important pour le système. La figure 7B représente le résultat correspondant

dans le cas du système de repérage horizontal de position de qualité supérieure. On note que, dans ce cas, l'amélio30 ration des performances n'est que marginale.

5. Problèmes posés par les sections courtes Le chapitre précédent suggère qu'il est souhaitable d'utiliser des sections aussi courtes que possible. Cependant, ceci n'est vrai que lorsqu'il est possible de traiter 35 l'information dans une section courte d'une manière aussi efficace que cela est possible pour une section longue. En particulier, on a supposé que l'erreur sur les points de relevé varierait approximativement comme l'inverse de la racine carrée de la longueur de la section, les autres paramètres étant égaux, et il convient alors d'étudier plus précisément sur quoi repose cette hypothèse. Comme indiqué 5 précédemment dans le chapitre 2, on va cesser de considérer la fonction de vraisemblance comme une fonction de l'erreur de position dans le système de repérage horizontal de position de l'aéronef. Ce changement de variable signifie que l'on peut considérer les fonctions de vraisemblance 10 ainsi créées par des sections successives comme concernant

pratiquement la même quantité inconnue.

En conséquence, d'après la définition de la fonction de vraisemblance, on note que la fonction de vraisemblance créée en coopération par un groupe de mesures 15 indépendantes au point de vue -statistique est égale au produit de fonction de vraisemblance créée par les mesures individuelles; ceci est dû au fait que la fonction commune densité de probabilité est égale au produit des fonctions densité marginales. En conséquence, lorsqu'une séquence 20 de courtes sections est consolidée afin qu'elle forme une longue section unique, la fonction de vraisemblance ainsi créée par cette section de grande longueur est à peu près égale au produit des fonctions de vraisemblance créées par les courtes sections. (Ceci n'est qu'approximatif 25 étant donné les faibles dépendances statistiques entre les sections courtes et étant donné que l'erreur de position

varie légèrement d'une courte section à la suivante).

En particulier, lorsque les n sections courtes donnent des fonctions de vraisemblance de forme gaussienne: 30 Li(x) = exp - (xi - i)TJi (xi - i(5. 1) i 2 -i -Ili i2 -1 P - pour i = 1,...n correspondant à l'équation (1.5), la section longue consolidée donne une fonction de vraisemblance de forme.analogue: 35

1 T

L(x) exp (x - P)TJ (x - k) (5.2) avec n zJ = Ji (5.3) i=l Dans le cas particulier o tous les facteurs J. sont égaux,5 on obtient: J = nJ. (5.4)

En d'autres termes, la dispersion de la fonction de vraisemblance (donnée par l'inverse de la matrice "information" J et correspondant ainsi à la variance) est inversement 10 proportionnelle à la longueur de la section.

Comme indiqué précédemment au chapitre 3, la fonction de vraisemblance créée par des sections suffisamment longues a une forme approximativement gaussienne. Malheureusement, ceci ne s'applique pas aux courtes sections 15 comme l'indiquent les figures 3 et 8. Cependant, le fait que la fonction de vraisemblance de la longue section est à peu prés égale au produit des fonctions de vraisemblance des courtes sections reste vraie et, lorsque les données des courtes sections sont traitées suivant le 20 procédé Bayesien idéal considéré au début du chapitre 3, aucun problème ne se pose et les avantages potentiels des courtes sections indiqués dans le chapitre 4 peuvent être obtenus. Cependant, comme l'a indiqué la suite du chapitre 3, cette réalisation Bayesienne idéale n'est pas utilisable 25 en pratique, et on est obligé à la place de considérer des réalisations reposant par exemple sur le filtre de Kalman. L'utilisation du filtre de Kalman nécessite que la fonction de vraisemblance soit représentée approximativement par une fonction de forme gaussienne. C'est cette approxima30 tion qui pose les problèmes suivants: (a) comment cela doit-il être réalisé? et (b) la propriété exprimée par l'équation (5.3) est-elle conservée ?, ou la détérioration de la précision efficace sur les points de relevé est-elle plus rapide lorsque la longueur des sections est plus 35 courte ? Les avantages potentiels des courtes sections

ne sont pas totalement obtenus dans ce dernier cas.

Cependant, une fonction de vraisemblance telle

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que représentée sur les figures 3 et 8 peut-e]le être représentée approximativement d'une manière satisfaisante par une fonction de forme gaussienne ? Un premier procédé est représenté sur la figure 9A. Lorsqu'on sait déjà que 5 l'aéronef se trouve dans une petite région telle que R, la fonction de vraisemblance est alors presque gaussienne souvent dans cette petite région et peut être représentée approximativement par une telle fonction comme représenté 'sur la figure 9B. Ce phénomène est essentiel pour la 10 réalisation d'une navigation suivant le contour du terrain, par exemple du type "SITAN" et "TERPROM", bien que ces techniques soient exprimées habituellement par une linéarisation du terrain (c'est-à-dire par représentation approximative du terrain de la région R par un plan géométrique), 15 plutôt que par représentation approximative de la fonction

de vraisemblance par une fonction gaussienne, mais les figures indiquent qu'il s'agit en fait de la même chose.

Cette approche, pour être valable, nécessite une estimation initiale précise de la position de l'aéronef, 20 et ceci est habituellement établie avec un relevé du contour du terrain obtenu avec de longues sections. En outre, un problème peut se poser lorsqu'il existe des erreurs locales du relevé numérique, cette possibilité étant en fait très vraisemblable en pratique. L'erreur sur 25 le relevé local donne une approximation erronée sur le plan géométrique et conduit donc à une correction erronée de l'estimation sur la position. Cette estimation résultante erronée sur la position indique que, pour l'échantillon suivant de l'altimètre radioélectrique, l'approximation 30 relative au plan repose sur la partie fausse du relevé numérique et (même si le relevé peut alors être précis) elle peut provoquer une correction erronée supplémentaire de position, et ainsi de suite. Evidemment, on doit prévoir une telle détérioration des caractéristiques de navigation 35 en présence d'erreurs locales du relevé, mais on doit au

moins essayer de rendre temporaire l'impact de ces erreurs, sans qu'elles provoquent un effet de domino.

Les techniques de ce type comportent en général des mesures supplémentaires destinées à rendre moins contraignante l'hypothèse selon laquelle le terrain est approximativement linéaire dans la zone d'incertitude 5 sur la position. Il s'agit d'une étape importante car alors que la théorie sur laquelle repose le filtrage étendu de Kalman justifie l'utilisation des techniques de Kalman pour le traitement de système non linéaire dans les cas o les équations du système peuvent ère représentées approxima10 tivement par des équations linéaires dans une région d'incertitude entourant une trajectoire nominale dans l'espace des états, on considère maintenant l'application de la technique à des cas dans lesquels l.e système n'est

manifestement pas linéaire dans la région d'incertitude.

Le procédé adopté en général est de permettre la non linéarité du terrain par supposition d'un bruit de mesure plus important. Comme Hostetler et Beckmann l'indique dans l'article paru aux pages 1263 à 1270, the Proceedings of the IEEE National Aerospace and Electronics Conference, 20 1978, un paramètre de non linéarité est calculé et décrit la précision avec laquelle le terrain placé sous le système peut être représenté approximativement par linéarisation stochastique dans le filtre de Kalman. Cette erreur d'approximation est traitée comme une incertitude supplémentaire 25 sur la mesure pendant le calcul de la matrice gain -de

Kalman, si bien que les gains sont modulés lorsque l'approximation linéaire est mauvaise. Une description supplémentaire de cette approche figure dans l'article de Andreas, Hostetler et Beckmann, pages 1023 à 1030, the Proceedings 30 of the IEEE National Aerospace and Electronics Conference

1979. Il est évident, en termes qualitatifs, que cette approche est convenable en ce qu'elle provoque la réduction de la pondération des remises à jour par le filtre de 35 Kalman dans le cas o le terrain n'est pas rectiligne. En outre, cette caractéristique peut être justifiée théoriquement et la littérature indique qu'elle donne de bons résultats en pratique. Cependant, le principe de cette approche est d'ignorer une partie de l'information disponible. Le relevé numérique enregistre en détail les défauts de linéarité du terrain. La technique concernée ne prend 5 pas en considération ces détails et prétend tel quel que le relevé représente uun élément de terrain localement plan, mais qu'il existe une source supplémentaire de bruit ("bruit de linéarisation") qui donne les écarts entre

la hauteur observée du terrain et ce plan géométrique.

Il faut noter qu'il n'existe pas d'éléments analogues à ce bruit de linéarisation dans les procédés mettant en oeuvre de longues sections, par exemple décrits dans le paragraphe 3, car les données du relevé numérique sont utilisées directement en détail. En conséquence, l'uti15 lisation des sections courtes constitue un coit qui doit

être compensé par les avantages promis dans le chapitre 4.

6. Redistribution des vraisemblances logarithmiques On suppose qu'un certain nombre de mesures statistiques indépendantes est réalisé sur une quantité parti20 culière invariable inconnue. L'expression "mesure statistique" désigne simplement les observations de données dont la distribution de probabilité dépend de la quantité inconnue considérée. Ensuite, il existe un certain nombre de manières différentes permettant l'utilisation du théorème 25 de Bayes pour la remise à jour des connaissances relatives à la quantité inconnue. On peut dériver une fonction de vraisemblance à partir de chaque observation séparément et appliquer de manière répétée le théorème de Bayes. Dans une variante, on peut regrouper toutes les observations, 30 tirer une seule fonction de vraisemblance globalement, et appliquer alors le théorème de Bayes. On peut aussi grouper les observations en sous-lots de dimension intermédiaire, et obtenir une fonction de vraisemblance pour chaque souslot. Quelle que soit la manière utilisée, le résultat 35 final est manifestement le même. Ceci est dû au fait que, dans tous les cas, le produit des fonctions de vraisemblance est le même, ou, de manière équivalente, la somme des fonctions de vraisemblance logarithmique utilisées

est toujours la même.

On peut préciser cette approche. On suppose, pendant l'application du théorème de Bayes à ce problème, qu'il 5 est commode de représenter approximativement les fonctions individuelles de vraisemblance par le calcul. Ceci n'introduit pas de différence sur le résultat final pourvu que la somme des logarithmes de la fonction d'approximation soit égale à la somme des fonctions originales de vraisem10 blance logarithmique. En d'autres termes, en ce qui concerne le résultat final, il est légitime de redistribuer par le calcul les vraisemblances logarithmiques (de manière additive) entre un sous-lot de mesures et un autre sous-lot,

pourvu que la somme globale soit conservée.

Cette possibilité est fondamentale pour la réalisation de la navigation suivant le contour du terrain d'après la technique "SPARTAN". Dans ce cas, l'inconnue considérée est l'erreur de position dans un système de navigation et les sous-lots de mesures sont les sections courtes. Comme 20 dans la technique "Proto-SPARTAN", la technique "SPARTAN" réalise l'ajustement d'une fonction quadratique aux fonctions de vraisemblance logarithmique obtenues à partir des données des sections. La nouvelle caractéristique est le fait que la fonction résiduel!e, la différence entre 25 les vraisemblances logarithmiques calculées et la valeur quadratique ajustée, n'est plus rejetée mais est encore redistribuée afin qu'elle soit considérée avec les données de la section suivante; cette fonction résiduelle, qui peut être appelée couramment "fonction de stock" peut être 30 considérée comme représentant l'information qui a été tirée des données du terrain mais qui n'a pas encore été transmise dans le filtre de Kalman. Le fait que les fonctions de vraisemblance créées par de longues sections soient de forme gaussienne d'une manière générale avec 35 une bonne approximation suggère que cette fonction résiduelle n'augmente pas d'une manière inacceptable et instable lors du traitement de nombreux croissants de courtes

sections, et la pratique confirme cette caractéristique.

7. La technique "SPARTAN" La technique "SPARTAN" met en oeuvre les caractéristiques indiquées dans le chapitre précédent et donne 5 une solution radicalement différente aux problèmes posés par les courtes sections. Cependant, une restriction indiquée dans l'exposé du chapitre 6 est cependant que l'erreur de position est traitée comme une inconnue non variable. Heureusement, cette approche peut être généra10 lisée par transformation de la fonction résiduelle ou

de stock afin que les caractéristiques dynamiques des erreurs du système de navigation soient prises en considération.

La procédure résultante met en oeuvre une itération 15 comprenant les étapes suivantes, indiquées sur la figure 10.

1. Une fonction de deux variables (représentant

les composantes horizontales de l'erreur de position obtenues par le système de repérage horizontal de position), appelée fonction de stock, est initialisée à une valeur 20 identiquement égale à zéro.

2. Lorsque les données d'une section deviennent

disponibles, le système calcule la fonction de vraisemblance logarithmique correspondant a ces données, dans une zone de recherche déterminée par l'incertitude actuelle de 25 position estimée par le filtre de Kalman.

3. La fonction de vraisemblance logarithmique est

ajoutée à la fonction de stock.

-4. Le système ajuste alors une surface quadratique

à la somme de la fonction de stock et de la fonction 30 de vraisemblance logarithmique.

5. Les paramètres convenables de la fonction quadratique sont extraits et utilisés pour une remise à

jour des mesures dans le filre de Kalman.

6. La fonction quadratique est soustraite de 35 la somme de la fonction de stock et de la vraisemblance logarithmique, le reste devenant une nouvelle fonction

de stock.

7. La nouvelle fonction de stock est conservée jusqu'à ce que lesnouvelles données de section deviennent disponibles mais, entre-temps, elle est transformée afin qu'elle tienne compte de la variation au cours du temps 5 des erreurs du système de navigation. Les paramètres déterminant cette "remise à jour dans le temps" de la fonction de stock sont déterminés par le sous-programme du logiciel de remise à jour de temps du filtre de Kalman, qui assure

aussi un traitement à ce moment.

8. La procédure continue ensuite à partir de

l'étape 2, et cette boucle est répétée indéfiniment.

Les pas 5 et 6 ne sont exécutés que lorsque la surface quadratique déterminée au pas 4 précédent est convexe, c'est-à-dire en forme de dôme. Lorsque cela 15 n'est pas le cas, aucune mesure n'est transmise au filtre

de Kalman et la procédure continue à partir du pas 7.

L'approximation quadratique du pas 4 est réalisée par adaptation, en fonction de l'incertitude sur la position au moment considéré. Il s'agit d'un avantage énorme pendant 20 la saisie initiale à partir d'une incertitude élevée sur la position, comme l'indique schématiquement la figure 11. Comme indiqué précédemment, la fonction de vraisemblance logarithmique créée par une courte section se caractérise par de nombreux pics locaux. Lorsque l'incerti25 tude sur la position est élevée, le système ajuste une approximation quadratique large qui a par exemple une forme bombée très large. En ce qui concerne le filtre de Kalman, ceci fait apparaître un point de relevé très conservatif, servant au mieux à l'élimination de quelques 30 zones dans lesquelles la vraisemblance logarithmique

est toujours faible, mais sans essai, à ce moment, d'arbitrage entre les pics multiples.

Cependant, la structure fine de la fonction de vraisemblance logarithmique de la première section (sec35 tion 1) est préservée dans la fonction de stock et est

reconsidérée avec la fonction de vraisemblance logarithmique tirée de la section 2. Le pic de la fonction de vraisem-

blance logarithmique de la section 1 correspondant à la position réelle de l'aéronef est normalement accentuée par un pic dans la fonction de vraisemblance -logarithmique de la section 2 alors que les autres pics sont renforcés 5 ou annulés de façon aléatoire. Ce renforcement, combiné à l'incertitude légèrement réduite sur la position, obtenu avec le filtre de Kalman et suivant le point précédent de relevé, donne une approximation quadratique sous forme d'un dôme légèrement plus étroit, c'est-à-dire que le 10 second point est légèrement plus sur, lorsqu'il provient

du filtre de Kalman.

La structure fine des fonctions logarithmiques de vraisemblance combinées est encore conservée dans la fonction de stock, et le pic local correspondant à la position réelle de l'aéronef a encore tendance à être renforcé par un pic analogue de la fonction de vraisemblance logarithmique de la section 3. Lors de la répétition de ce processus, le système peut provoquer rapidement la convergence sur la position réelle de la zone d'incertitude 20 sur la position. Ceci se produit dès que les données

relatives au dessin qui sont saisies sont suffisantes.

Lorsque le système s'est stabilisé, avec une i.certitude sur la position correspondant de façon reproductible à quelques dizaines de mètres, on constate que les fonctions 25 de vraisemblance logarithmique sont habituellement presque quadratiques dans la zone d'incertitude sur la position comme l'indiqqe la figure 12. Dans ce cas, les fonctions résiduelles transmises par la fonction de stock sont presque nulles. Dans ces circonstances,- le fonctionnement 30 suivant la technique "SPARTAN" équivaut étroitement à

celui d'autres réalisations telles que la technique "SITAN".

En présence d'une erreur localisée du relevé, le système peut être conduit vers une reconnaissance erronée. Cependant, la position réelle de l'aéronef réap35 parait sous forme d'un pic décentré dans la fonction de vraisemblance logarithmique et ce pic est renforcé, par l'intermédiaire de la fonction de stock, d'une section à la suivante. Il est donc très probable que le système reprenne automatiquement une navigation précise. (Un réseau de sécurité relatif aux procédures de détection et de récupération à la suite des défaillances des algorithmes est aussi utilisé, mais est rarement activé; ces procédures nécessitent un temps bien plus important que celui de

la récupération automatique, dans un cas normal).

Bien que ce chapitre décrive la procédure "SPARTAN" sous forme d'approximations quadratiques répétées de 10 la fonction de vraisemblance logarithmique, il faut noter

que la technique peut aussi être réalisée en principe à l'aide d'approximations gaissiennes de la fonction de vraisemblance, avec remplacement de la multiplication par l'addition, de la division par la soustraction et de 15 l'unité par zéro.

I1 faut noter qu'un appareil selon l'invention, mis à part les capteurs qui peuvent être de toute forme - commode connue, comporte un ordinateur commandé par un

logiciel convenable.

Claims

REVENDICATIONS

1. Appareil de mesure de l'état d'un système dynamique, caractérisé en ce qu'il comprend: (a) un dispositif de détection destiné à former une 5 séquence de mesures ou de jeux de mesures qui dépendent de l'état actuel du système en présence de bruit et d'autres sources d'erreurs qui sont des sources qui peuvent être représentées par un modèle statistique, (b) un premier dispositif de calcul destiné à 10 déterminer une fonction de vraisemblance logarithmique associée à chacune des mesures ou à chacun des jeux de mesures en fonction du modèle statistique, (c) un second dispositif de calcul destiné à former la somme de la fonction de vraisemblance logarithmi15 que et d'une fonction résiduelle qui est initialement mise identiquement à zéro, (d) un troisième dispositif de calcul mettant en oeuvre un circuit d'estimation par récurrence pour la modélisation du comportement dynamique du système, (e) un quatrième dispositif de calcul destiné à déterminer une approximation quadratique de la somme de la fonction de vraisemblance logarithmique et de la forntion résiduelle, l'ajustement étant pondéré en fonction de l'incertitude actuelle sur l'état du système dynamique, 25 indiquée par le signal de sortie du troisième dispositif de calcul, (f) un cinquième dispositif de calcul destiné à tirer de l'approximation quadratique des paramètres destinés à constituer la base d'une remise à jour des mesures 30 à l'intérieur du troisième dispositif de calcul, (g) un sixième dispositif de calcul destiné à soustraire l'approximation quadratique de ladite somme de la fonction de vraisemblance logarithmique et de la fonction résiduelle qui est représentée approximativement 35 afin qu'elle forme une nouvelle fonction résiduelle, (h) un septième dispositif de calcul destiné à transformer la fonction résiduelle afin que la variation dynamique de l'état du système pendant l'intervalle compris entre les mesures successives ou les jeux successifs de mesures dans la séquence de mesures soit prise en considération, et (i) un huitième dispositif de calcul destiné à déterminer si l'approximation quadratique produite par le quatrième dispositif de calcul peut être utilisée convenablement comme information d'entrée pour le troisième dispositif de calcul et, lorsqu'il est déterminé que 10 l'approximation quadratique convient à cet effet, à activer le cinquième et le sixième dispositif de calcul 'et, dans le cas contraire, à utiliser comme information d'entrée du septième dispositif de calcul, la somme de la fonction de vraisemblance logarithmique et de la fonction résiduelle, 15 cette somme étant utilisée comme information d'entrée pour le quatrième dispositif de calcul et étant considérée

comme la nouvelle fonction résiduelle.

2. Appareil de mesure de l'état d'un système dynamique, caractérisé en ce qu'il comprend: (a) un dispositif de détection destiné à former une séquence de mesures ou de jeux de mesures qui dépendent de l'état actuel du système en présence de bruit et d'autres sources d'erreurs sous forme de sources qui peuvent être représentées par un modèle statistique, (b) un premier dispositif de calcul destiné à déterminer une fonction de vraisemblance associée à chacune des mesures ou à chacun des jeux de mesures en fonction du modèle statistique, (c) un second dispositif de calcul destiné -à 30 former le produit de la fonction de vraisemblance et d'une fonction résiduelle qui est mise initialement à une valeur identiquement égale à un, (d) un troisième dispositif de calcul mettant en oeuvre un circuit d'estimation par récurrence pour la 35 modélisation du comportement dynamique dy système, (e) un quatrième dispositif de calcul destiné à déterminer une approximation gaussienne du produit de la fonction de vraisemblance et de la fonction résiduelle, l'ajustement étant pondéré d'après l'incertitude actuelle sur l'état du système dynamique comme l'indique l'information de sortie du troisième dispositif de calcul, (f) un cinquième dispositif de calcul destiné à 5 tirer, de l'approximation gaussienne, des paramètres destinés à constituer la base d'une remise à jour des mesures dans le troisième dispositif de calcul, (g) un sixième dispositif de calcul destiné à diviser l'approximation gaussienne par le produit de 10 la fonction de vraisemblance et de la fonction résiduelle qui la représente approximativement afin qu'une nouvelle fonction résiduelle soit formée, (h) un septième dispositif de calcul destiné à transformer la fonction résiduelle afin qu'elle tienne 15 compte du changement dynamique de l'état du système dans l'intervalle compris entre des mesures successives ou des jeux de mesures successifs dans la séquence de mesures, et (i) un huitième dispositif de calcul destiné à 20 déterminer si l'approximation gaussienne convient comme information d'entrée du troisième dispositif de calcul et, lorsqu'il est déterminé que l'approximation gaussi'nne convient à cet effet, à activer le cinquième et le sixième dispositif de calcul et, dans le cas contraire, à utiliser 25 comme information d'entrée du septième dispositif de calcul le produit de la fonction de vraisemblance et de la fonction résiduelle, ce produit étant utilisé comme information d'entrée du quatrième dispositif de calcul et

étant considéré comme la nouvelle fonction résiduelle.

3. Appareil selon l'une des revendications 1 et 2,

caractérisé en ce que le circuit d'estimation est un

filtre de Kalman.

4. Système de navigation comprenant un appareil

selon l'une quelconque des revendications 1 à 3, destiné 35 à la reconstitution d'un profil d'un terrain se trouvant

au-dessous d'un trajet d'un aéronef, caractérisé en ce que le dispositif de détection de l'appareil est un alti-

mètre radioélectrique ou à laser, un altimètre barométrique et un appareil de navigation par repérage horizontal de position.

5. Système de navigation mettant en oeuvre un 5 circuit d'estimation par récurrence pour l'intégration de la navigation, caractérisé en ce que les paramètres d'une fonction quadratique représentant approximativement une fonction de vraisemblance logarithmique sont utilisés comme

signaux d'entrée du circuit d'estimation.

6. Système de navigation mettant en oeuvre un circuit d'estimation par récurrence pour l'intégration de la navigation, caractérisé en ce que les paramètres d'une fonction gaussienne représentant approximativement une

fonction de vraisemblance sont utilisés comme signaux 15 d'entrée du circuit d'estimation.

7. Système selon l'une des revendications 5 et 6,

caractérisé en ce que le circuit d'estimation comporte un

filtre de Kalman.