NL8615002A - Inrichting die recursieve schatters bevat. - Google Patents

Description

& :· " 4\ ?j i ^ - Inrichting die recursieve schatters bevat -

De uitvinding heeft betrekking op een inrichting die recursieve schatters, bijvoorbeeld Kalman-fliters , bevat.

Het is een doel van de uitvinding een nieuwe vorm te verschaffen voor een inrichting voor het meten van de 5 toestand van een dynamisch stelsel met gebruikmaking van een recursieve schatter voor het maken van een model van het dynamische gedrag van het stelsel. De uitvinding verschaft voorts een nieuwe werkwijze voor het verversen van de ingangssignalen tot een recursieve schatter die wordt gebruikt voor navigatie-integratie ^ in een navigatie-stelsel.

Volgens een eerste aspekt van de uitvinding is een inrichting voor het meten van de toestand van een dynamisch stelsel gekenmerkt door: (a) detectie-organen die een reeks metingen ^ of stellen van metingen leveren die van de aktuele toestand van het stelsel bij aanwezigheid van ruis en andere foutbronnen die door een statistisch model kunnen worden voorgesteld, afhankelijk zijn; (b) een eerste reken-orgaan voor het bepalen van een log-aannemelij kheidsfunktie die verbonden is met elk van 20 de metingen of stellen van metingen in overeenstemming met het statistische model; (c) een tweede reken-orgaan voor het verkrijgen van de som van de log-aannemelijkheidsfunktie en een restfunktie die aanvankelijk gelijk aan nul wordt gesteld; 25 (d) een derde reken-orgaan dat een recursieve schatter gebruikt voor het maken van een model van het dynamische gedrag van het stelsel; (e) een vierde reken-orgaan voor het bepalen van een kwadratische benadering van de som van de log-aannemelijk-20 heidsfunktie en de restfunktie , waarbij het passend zijn wordt ^ i· " Λ » /

.'*-· · 1 V

W - - * > J Ja *i _ -2.-

* 'S

gewogen in afhankelijkheid van de bestaande onzekerheid in de toestand van het dynamische stelsel zoals blijkt uit het uitgangssignaal van het derde reken-orgaan; (f) een vijfde reken-orgaan voor het 5 uit de kwadratische benadering aflerden van parameters om te dienen als de basis voor een verversing van de metingen binnen het reken-orgaan ; (g) een zesde reken-orgaan voor het aftrekken van de kwadratische benadering van de som van de ^ log-aairaemelijkheidsfunktie en de restfunktie waarvan het de benadering is, om zo een nieuwe restfunktie te vormen; (h) een zevende reken-orgaan voor het transformeren van de restfunktie om een dynamische wijziging in de toestand van het stelsel tijdens het interval tussen 15 opeenvolgende metingen of stellen metingen in de meetreeks in rekening te brengen; en (i) een achtste reken-orgaan voor de bepaling of de kwadratische benadering die door het vierde reken-orgaan is geleverd, geschikt is om als ingangssignaal 20 voor het derde reken-orgaan te dienen en om werkzaam te zijn indien is bepaald dat de kwadratische benadering voor het gestelde doel geschikt is, tot het aktiveren van het vijfde en zesde reken-orgaan en voorts tot het gebruik als ingangssignaal voor het zevende reken-orgaan van de som van 25 ...

de log-aannemelijkheidsfunktie en de restfunktie welke som wordt gebruikt als ingangssignaal voor het vierde reken-orgaan en als de nieuwe restfunktie wordt genomen.

Volgens een tweede aspekt van de uitvinding is een inrichting voor het meten van de toestand van een J dynamisch stelsel gekenmerkt door : (a) detectie-organen die een reeks metingen of stellen van metingen leveren die van de aktuele toestand van 1

Sj \J s - 3 - » het stelsel bij aanwezigheid van ruis en andere foutbronnen die door een statistisch model kunnen worden voorgesteld, afhankelijk zijn; (b) een eerste reksn-orgaan voor het 5 bepalen van een aannemelijkheidsfunktie die verbonden is met elk van de metingen of stellen van metingen in overeenstemming met het statistische model; (c) een tweede reken-orgaan voor het verkrijgen van het produkt van de aannemelijkheidsfunktie en 10 een restfunktie dat aanvankelijk gelijk aan één wordt gesteld; (d) .een derde reken-orgaan dat een recursieve schatter gebruikt voor het maken van een modél .van het dynamische gedrag van het stelsel; (e) een vierde reken-orgaan voor het 15 bepalen van een gaussiaanse benadering van het produkt van de aannemelijkheidsfunktie 'en de restfunktie, waarbij het ‘ passend zijn wordt gewogen in afhankelijkheid van de bestaande onzekerheid in de toestand van het dynamische stelsel zoals blijkt uit het uitgangssignaal van het derde rekenorgaan; 20 (f) een vijfde reken-orgaan voor het uit de gaussiaanse benadering afleiden van parameters om te dienen als de basis voor een verversing van de metingen binnen het rekenorgaan; (g) een zesde rekenorgaan voor het delen 25 van de gaussiaanse benadering op het produkt van de aannemelijkheidsfunktie en de restfunktie waarvan het de benadering is , om zo een nieuwe restfunktie te vormen; (h) een zevende reken-orgaan voor het transformeren van de restfunktie om een dynamische wijziging 30 in. de toestand van het stelsel tijdens het interval tussen opeenvolgende metingen of stellen metingen in de meetreeks in rekening te brengen; en

' 9 % 0 D

j j v * V «ft* —-· - II —

i V

- 4 - (i) een achtste rekenorgaan voor de bepaling of de gaussiaanse benadering die door het vierde reken-orgaan is geleverd, geschikt is om als een ingangssignaal voor het derde reken-orgaan te dienen en om werkzaam te 5 zijn indien is bepaald dat de gaussiaanse benadering voor het gestelde doel geschikt is , tot het aktiveren van het vijfde en het zesde reken-orgaan en voorts tot het gebruik als ingangssignaal voor het zevende rekenorgaan van het produkt van de aannemelijkheidsfunktie en de restfunktie welk produkt wordt 10 gebruikt als ingangssignaal voor het vierde rekenorgaan en als de nieuwe restfunktie wordt genomen.

De uitdrukking aannemelijkheidsfunktie (AF) is als volgt gedefinieerd. Aangenomen dat een meet-procedure van de uitkomst een afwijkende vector Y is , wordt gekenmerkt 15 door een statistisch model volgens hetwelk de statistische verdeling van y wordt gegeven door een waarschijnlijkheids-massafunktie P (£> of door een waarschijnlijkheids- dichtheidfunktie f (y; x^,...x^), waarbij de verdeling ondergeschikt is aan n(n^1) onbekende parameters χ^,.,.χ^.

20 Aangenomen dat deze meetprocedure is uitgevoerd en tot het waargenomen resultaat Y=yQ voert. Dan is de door de meting Y=yg gegenereerde aannemelijkheidsfunktie de funktie van x^,...x^ die het gevolg is van het voor de variabele y in P^ (yjx^,..^) of f (y.5 X1 > · ·χη) > a1 naar het geval is , te substitueren 25 en het resultaat met een willekeurige constante te vermenigvuldigen.

De log-aannemelijkheidsfunktie is de natuurlijke logarithme van de aannemelijkheidsfunktie.

In een bepaalde toepassing van het 30 eerste en het tweede aspekt van de uitvinding werd de inrichting gebruikt voor het construeren van een terrein-profiel onder een baan van het luchtvaartuig waarbij de detectie-organen van de inrichting een radio-hoogtemeter of een laser-hoogtemeter, »515002 * i - 5 - een barometrische hoogtemeter en een gegist-bestek-navigator omvatten.

Volgens een derde aspekt van de uitvinding in een navigatie-stelsel dat gebruik maakt van een recursieve 5 schatter voor navigatie-integratie worden de parameters van een kwadratische funktie die een log-aannemelijkheidsfunktie benadert, gebruikt als ingangssignalen voor de schatter.

Volgens een vierde aspekt van de uitvinding worden in een navigatie-stelsel dat een recursieve schatter 10 gebruikt voor navigatie-integratie, de parameters van een gaussiaanse funktie die een aannemelijkheidsfunktie benadert, gebruikt als ingangssignalen voor de schatter.

De uitvinding zal nu verder worden toegelicht en uitvoeringsvoorbeelden van de uitvinding zullen worden 15 beschreven, beide bij wijze van voorbeeld, en met verwijzing naar de bijgaande tekeningen waarin: fig. 1 een schets is die de fundamentele gedachte achter terrein-contour-navigatie (TCN) bij toepassing op een luchtvaartuig laat zien; 20 fig. 2 een schets is die de terminologie die wordt gebruikt voor een groep (transect) TCN-gegevens.laat zien; fig. 3 een schets is die een aannemelijkheidsfunktie (AF) laat zien voor een korte transect, d.w.z, 25 dat deze uit één enkel punt bestaat; fig. 4 een schets is die een AF laat zien voor een lange transect, d.w.z. een transect van 61 punten; fig. 5 een grafiek is die een sectie laat zien van een berekende AF voor een monster-transect; 50 fig. 6A en fig. 6-B grafieken zijn die respectievelijk voor een lange en een korte transect de variatie in verloop van tijd laten zien van de standaard-deviatie van 5 5 j Γ 0 ft s

V V

- 6 - een component van de positie-fout in een navigatie-stelsel met een gegist-bestek-prestatie van geringe kwaliteit; fig. 7A en fig. 7B grafieken zijn die overeenkomen met de grafieken in de figuren 6A, respectievelijk 5 6B, maar voor een navigatiestelsel met een gegist-bestek-prestatie van grote kwaliteit; fig. 8 een schets is die een aannemelijkheids-funktie voor een korte transect toont ; fig. 9A en fig. 9B schetsen zijn die een werkwijze toelichten voor het benaderen van een aannemelijkheidsfunktie als getoond door fig. 3 of fig. 9 , d.m.v. een funktie met gaussiaanse vorm .

Fig. 10 een stroomschema is dat de volgorde van de stappen die door een inrichting volgens de uit-15 vinding worden uitgevoerd, laat zien; en fig. 11 en fig. 12 schetsen zijn die de werking van de inrichting nog verder toelichten.

In deze beschrijving zal de toepassing van het theorema van Bayes op terrein-contour-navigatie (TCN) in 20 beschouwing komen. Allereerst zal het verband tussen het theorema van Bayes en het Kalman-filter worden onderzocht met bijzondere nadruk op het idee van de aannemelijkheidsfunktie.

De beschrijving zal vervolgens ingaan op de vraag hoe een geschikte benadering van de aannemelijkheidsfunktie kan 25 worden berekend met gebruikmaking van een digitale kaart wanneer de door waarneming verkregen informatie bestaat uit een groep (transect) TCN-gegevens. Opgemerkt wordt dat voor transects van voldoende lengte de aldus berekende aannemelijkheidsfunktie gewoonlijk bij benadering gaussiaans van vorm is.Dit voert 50 rechtsteeks tot een direkte en elegante implementatie van TCN, hier genoemd Proto-SPARTAN, die rechtstreeks aan een Kalman-filter kan worden gekoppeld voor navigatie-integratie.

^01 ” Π Π V

- 7 -

De beschrijving gaat verder met het beschouwen van de potentiële voordelen die ontstaan uit het gebruik van kortere transects dat meer frequente positiebepalingen oplevert , en laat de problemen naar voren komen die dit metzich brengt. Twee oplossingen voor deze problemen worden 5 onderzocht vanuit een bayesiaans standpunt. De eerste oplossing verwerkt metingen met een radio-hoogtemeter op individuele wijze met gebruikmaking van een uitgebreid Kalman-filter onder de aanname dat het terrein in de nabijheid van het luchtvaartuig kan worden benaderd met een meetkundig vlak. De tO tweede oplossing gebruikt in een implementatie van TCN , hier genoemd SPARTAN , maakt gebruik van een techniek van succesieve benaderingen van de aannemelijkheidsfunktie. Er worden redenen gegeven dat onder de voor de eerste oplossing gunstige omstandigheden de twee technieken logisch nagenoeg gelijkwaardig zijn, 15 maar dat de tweede oplossing over een ruimer gebied van voorwaarden een doeltreffende en betrouwbare werking kan leveren, t. Introduktie: Het theorema van Bayer en het Kalman-filter

Het theorema van Bayes uit de waarschijnlijk-heidstheorie werd voorgesteld door Ds. Thomas Bayes in een 20 posthuum in 1763 gepubliceerd artikel. Uitgedrukt in termen van afzonderlijke gebeurtenissen A en B zegt het theorema dat de volgende betrekking bestaat tussen de waarschijnlijkheid van B op voorwaarde van A en de waarschijnlijkheid van A op voorwaarde van B: 25 p'cb I A) 0.1)

Anders gesteld in termen van waarschijnlijkheidsdichtheden wordt het theorema van Bayes ffvlvl - ^ 0.2) 30 f (y) S 3 1 ζ Q 0 2 ¥ 5 - 8 -

Om een concreet voorbeeld te nemen wordt aangenomen dat de vector x de positie van een luchtvaartuig voorstelt en de vector £ het resultaat van een statistisch experiment waarvan de uitkomst afhangt van de positie van het 5 luchtvaartuig. Vervolgens zal f (x) de waarschijnlijkheidsdicht-heidfunktie voorstellen voor de positie van het luchtvaartuig voorafgaand aan het experiment en geeft f(y|x) de waarschijnlijk-heidsdichtheid voor het experimentele resultaat y aangenomen dat de echte positie van het luchtvaartuig x is. De formule 10 maakt het mogelijk f(xly) af te leiden , de bij gewerkte waar-schijnlijkheidsdichtheidfunktie voor x^gegeven een bepaalde uitkomst y van het experiment.

De vierde term van de vergelijking (1.2), f(y), is de onvoorwaardelijke kans op de experimentele uitkomst 15 y_ en kan worden verkregen als ί(χ) = fi^jx) f(x) dx (1.3) x waarin de integratie loopt over alle mogelijke posities x. Het 20 beste is aan f(y) te denken als een normaliserende constante die ervoor zorgt dat f(x|y) wat betreft x integreert naar de eenheid . Merk op dat f(y) afhangt van de experimentele uitkomst y maar niet van de ware positie van het luchtvaartuig.

Een andere wijze van uitdrukken van de 25 vergelijking (1.2 ) is f(x|y) = CyL^(x)f(x) (1.4)

Hierin is is c een normaliserende constante terwijl Ιγ(χ) de aannemelijkheidsfunktie voor x, gegenereerd door de waarneming y, 30 wordt genoemd. L^,(x) is identiek met de voorwaardelijke waarschijnlijkheidsdichtheid f(ylx) (afgezien van een te kiezen willekeurige schaal-constante) , behalve dat de funktie wordt op- Η λ - μ 0 Π y * Λ - 9 - gevat als een funktie van x waarbij y als een parameter wordt opgevat in plaats van andersom.

Een belangrijk bijzonder geval van het theorema van Bayes wordt in de volgende stelling beschreven; 5 Stelling 1

Als f(x) een multidimensionale gaussiaanse verdeling is met gemiddelde waarde en covariantie-matrix Ρφ , en L (x) heeft de vorm L (x) * c CjO exp (x - u )TJ (x - u ) (1.5) 10 7 2 j 7 3 waarin de matrix een niet-negatieve definiet is , d.w.z. dat de aannemelijkheidsfunktie een multidimensionale gaussiaanse vorm heeft met "gemiddelde" « en "informatie" matrix J . dan is •Cy y * ^ de bijgewerkte verdeling van x , f(xly), een multidimensionale gaussiaanse verdeling met covariantie-matrix p+ - (V1 * V'1 (1-6) en gemiddelde Ï+(JA *>> <’·7>

- iïy + P+Po"1 (£o " V

25 Deze stelling houdt het wezen van het bijwerken van de meting met het Kalman-filter in. Merk op dat de stelling vereist dat de aannemelijkheidsfunktie een gaussiaanse vorm heeft , d.w.z. dat f(yfx) een gaussiaanse vorm heeft indien opgevat alseen funktie van x . Hiervoor is het in feite noch noodzakelijk of 30 voldoende dat f C^jx) een gaussiaanse vorm heeft indien opgevat als een funktie van y. Echter is het bij uiteenzettingen omtrent het Kalman-filter gebruikelijk de verdergaande veronderstelling 3 3 ~ O 0 / V ^ · tjf V Sa ï> i - 10 - te maken dat f (ylx) de volgende vorm heeft f (ylx) = k exp - J_ (y - Cx)TR 1 (y - Cx) (1.8) 2 waarin C een constante matrix van de hoogste rang is (de "metingmatrix" ) en k een normaliserende constante is , d.w.z. 5 2 heeft een gaussiaanse verdeling met gemiddelde Cx en covariantie-matrix R. Bij beschouwing van f(y|x) als een funktie van x is het gemakkelijk aan te tonen dat de vergelijking (1.8) een gaussiaanse vorm heeft met de "informatie" matrix T -1 . - .

CR C en "gemiddelde" C y waarin IQ C een gegeneraliseerde omgekeerde van C is. In de terminologie van’ stelling 1 μ = C y -y -

Jy = CTR~1C (1.9) 15 Door deze uitdrukkingen in de vergelijking (1.6) te substitueren worden de bekende Kalman-filtervergelijkingen verkregen P+·- (PQ + uR 'c) ^ = P+(CTR"1y + PQ"1 ^) (1.10) 20

- Ho + p+gTr"1 (Z * CV

Vanuit een logisch standpunt zijn dan de vergelijkingen (1.7) van meer fundamentele aard dan de standaard-vergelijkingen (1.10) waarbij de vergelijking (1.10) het speciale geval is van 25 ^ de vergelijking (1.7) voor metingen waarvoor f(y|x) de vorm heeft van vergelijking (1.8) . Algebraïsch kan echter de vergelijking (1.7) worden beschouwd als een bijzonder geval van vergelijking (1.10) zoals kan blijken door C te vervangen door de eenheidsmatrix I.

30 2, Toepassing van het theorema Am Bayes op terrein-contour-navigatie.

»> % .» Γ" t'' Λ ·.' Ά Λ i ^ S) 'i ^ i -» - 11 -

Deze sectie beziet hoe het theorema van Bayes kan. worden toegepast op terrein-contour-navigatie (TCN).

TCN wordt hier gebruikt als een generieke uitdrukking voor iedere techniek voor ondersteunde navigatie die vertrouwt op 5 het vergelijken van gedetecteerde hoogten in het terrein met die die in een digitale kaart zijn vastgelegd. De uitdrukking TCN is dus bedoeld om bepaalde implementaties , zoals TERCOM, SITAN, CAROTE, SPARTAN, TERPROM en zo meer te omvatten.

Dit is een geschikt punt om de grondgedachte 10 van TCN bij toepassing op luchtvaartuigen nog eens te bezien onder verwijzing naar fig. 1. Er zijn drie soorten meetgegevens nodig. In de eerste plaats vergt de techniek een reeks metingen van de vrije ruimte onder het luchtvaartuig (d.w.z. de hoogte boven het terrein). Deze reeks wordt gewoonlijk 15 verkregen door het uitgangssignaal van een radio- of laser-hoogtemeter te bemonsteren , eventueel met wat extra vóór-filtering; in de praktijk is een horizontaal bemonsteringsinterval van ongeveer 100 m gebruikelijk, maar dit is niet kritisch.

In de tweede plaats zijn gegevens van een barometrische of 20 baro-inertriele hoogte-detector nodig voor het meten van iedere vertikale verplaatsing van het luchtvaartuig tussen opeenvolgende metingen van de vrije ruimte. In de derde plaats is één of andere vorm van een stelsel voor bet opmaken van een gegist bestek (bijvoorbeeld een inertieel stelsel of een Dóppler-radar 25 plus een koers-referentie) nodig voor het meten van de relatieve horizontale posities van de metingen van de vrije ruimte onder het luchtvaartuig. Het wezen van TCN is het gebruiken van deze gegevens voor het reconstrueren van het profiel van het terrein onder de baan van het luchtvaartuig. Een digitale kaart van 30 de terreinhoogte wordt vervolgens afgezocht om een bijpassend profiel te vinden in de nabijheid van de positie van het luchtvaartuig zoals die tevoren is geschat; deze kan vervolgens ί : i w ii 0 2 - 12 - worden gebruikt als de basis van een bijstelling van de gegiste positie.

Er is in principe geen reden waarom het theorema van Bayes niet rechtstreeks op dit probleem kan 5 worden toegepast. Uitgaande van het theorema in de vorm van vergelijking (1.4) geldt f(xfy) c L (x)f(x) (2.1)

Hierin is een normaliseringsconstante, f(x) de waarschijnlijk-1q heidsdichtheidfunktie voor de positie van het luchtvaartuig voorafgaand aan het bijstellen van TCN en is f(x|y) de dicht-heidsfunktie na het in rekening brengen van een stel y TCN-meetgegevens zoals hierboven beschreven. (Het is het eenvoudigst te denken aan x als eenvoudigweg de positie van een luchtvaartuig 15 voorstellend . Verderop in de beschrijving zal het gemakkelijk zijn om x te gebruiken als voorstelling van de fout in de positie zoals die is geschat door het gegist bestek opmakende navigatie-stelsel, of als een fout-vector van het navigatie-stelsel met een hogere dimensionaliteit).

2o De overblijvende term is de aannemelijkheids- funktie:

Ly(x) - f(ylx) (2.2)

Om deze te bepalen moet het antwoord worden gevonden op de 25 vraag: .hoe groot is de kans een stel terrein-profielgegevens y waar te nemen indien de ware positie van het luchtvaartuig x is? Deze kans (of preciezer gezegd waarschijnlijkheidsdichtheid) moet worden opgevat als een funktie van de positie x van het luchtvaartuig voor een gegeven groep profielgegevens y.

Het resterende gedeelte van dit hoofdstuk 30 zal gaan om voorbeelden van manieren waarop een praktische benadering van de aannemelijkheidsfunktie (AF) kan worden berekend. Hiervoor bestaan een aantal verschillende benaderingen.

’ i 1 V j ί *> * - 13 -

Een eerste keuze is of de hoogte van een luchtvaartuig expliciet moet worden opgenomen in de berekening van de AF of als een storingsparameter moet worden behandeld. Een andere keuze is of de metingen van de vrije ruimte onder het lucht-^ vaartuig individueel of in groepen moeten worden behandeld; deze beschrijving zal in het algemeen de eerste benadering..als een bijzonder geval van de tweede behandelen(d.w.z. groepen van één exemplaar).

Het lijkt nuttig hier de terminologie ^ uit te breiden. Groepen van opeenvolgende terrein-metingen die samen worden behandeld met het doel een AF te berekenen, zullen worden aangeduid als transect. De individuele vrije-ruimte- metingen die in een transect zijn opgenomen, zullen transect- punten worden genoemd en de horizontale afstand langs de baan 15 tussen het eerste en het laatste punt in een transect wordt de transect-lengte genoemd (zie fig. 2). Een van de transect-punten wordt het transect-referentiepunt (TRP) genoemd; de precieze keuze van TRP is een kwestie van afspreken, maar het is voordelig een punt te kiezen nabij het midden van de transect.

20 .

De vraag die de AF moet beantwoorden, kan nu worden geformuleerd als: hoe groot zal de waarschijnlijkheid (dichtheid) zijn voor de waargenomen transect-gegevens y indien de ware positie van het luchtvaartuig op het tijdstip van de TRP x is geweest? Bij het bepalen hiervan zijn de volgende 25 “ meetfoutbronnen van belang: (1) fouten in de meting van de vrije ruimte onder het luchtvaartuig (radiohoogtemeter-fouten), (2) instelfout en drift bij de meting van de hoogte van het luchtvaartuig boven zeeniveau (of ander ^ referentievlak), (3) drift in de horizontale gegist-bestek-fout, leidend tot fouten bij de bepaling van de positie van de $ " i * · v o o - 14 - overige transectpunten ten opzichte van het TRP.

Dit zijn detectorfouten . Bovendien is het noodzakelijk acht te slaan op wat beredeneerbaar een soort rekenfout is , namelijk fouten die verbonden zijn met de digitale referentie-5 kaart. Deze zijn drieerlei: (4) fouten in de op de digitale kaart vastgelegde hoogtes van bepaalde punten , (5) fouten die het gevolg zijn van interpolatie in de digitale kaart , 10 (6) fouten als gevolg van afdekking van de bodem.

Nog andere foutbronnen moeten in rekening worden gebracht indien de terreinmetingen vanaf grote hoogte worden genomen en /of een vrije-ruimte-detector wordt gebruikt die werkt met een 15 smalle bundel. Het is echter hier niet de bedoeling deze foutbronnen in bijzonderheden te bespreken maar te laten zien hoe modellen voor dergelijke fouten kunnen worden ingepast in de berekening van de AF. Dit zal worden gedaan met gebruikmaking van twee eenvoudige voorbeelden.

20 Voorbeeld 1. In dit voorbeeld zullen transects worden beschouwd die bestaan uit één enkel transect, (d.w.z. dat de vrijé-ruimte-metingen individueel worden verwerkt) en zal de hoogte van het luchtvaartuig als een expliciete onbekende worden behandeld. In het geval van een transect met 25 één enkel punt zullen de foutbronnen (2) en (3) niet van belang zijn voor de berekening van de AF zelf (ofschoon zij van belang zullen zijn voor de voortplanting van de gegiste positie van een luchtvaartuig van de ene transect naar de volgende). Aangenomen wordt dat de overige foutbronnen als volgt gezamenlijk 30 door een eenvoudig gaussiaans model kunnen worden voorgesteld: laat het terreinoppervlak dat door interpolatie in de digitale kaart is verkregen, zijn voorgesteld door de funktie m(x,y). Indien vervolgens de ware positie van het luchtvaartuig - r> η .λ o w v j v y - 15 - op het tijdstip van de meting van de vrije ruimte (x,y,z) is, zal de gemeten vrije ruimte s verschillen van de voorspelde waarde (z-m(x,y)), gedeeltelijk als gevolg van radio-hoogtemeter-fouten, (1) , en gedeeltelijk als gevolg van kaartfouten, 5 (4·)*-(5,) en (6), Het model dat in dit voorbeeld moet worden aangenomen, veronderstelt dat dit verschol is verdeeld in een gaussiaanse verdeling met gemiddelde nul en s t andaard-afwij king è en dat de fouten voor verschillende metingen-van de vrije ruimte statistisch onafhankelijk zijn.

10 Dit model voert rechtsteeks tot de volgende vergelijking voor de AF:

Ly(x) * 1 exp - _J_ is - z + m (x, y )?^ (2.3) dVIV 2 <f2^ ^ ^ waarin x = (x, y , z) en de meting y uit de enkelvoudige vrije- ruimte-meting s bestaat. De AF is dus een funktie van drie variabelen en de oppervlakken van constante aannemelijkheid lopen evenwijdig aan. het terrein zoals weergegeven infig. 3.

Voorbeeld 2. In dit voorbeeld wordt een transect van n punten 20 ————— (n >1 ) beschouwd en wordt de hoogte van het luchtvaartuig opgevat als een storingsfaktor.

Laat voor elk transectpunt i, i = 1, ...n, de gemeten hoogte van het luchtvaartuig a^ zijn , de gemeten vrije ruimte onder het vliegtuig s. en de zijdelingse verplaatsingen 25 1 1 1 (fig. 2) van het transectpunt vanuit het transect-referentiepunt, zoals gemeten d.m.v. het gegist- bestek-stelsel .

Met het oog op het voorbeeld zal drift in de horizontale gegist-bestek-fout tijdens de doorloop van een transect verondersteld worden verwaarloosbaar te zijn zodat de gemeten 30 Αχ. en Δ y^ als juist kunnen worden aangenomen. Op dezelfde wijze zal drift in de meting van de hoogte van het luchtvaartuig worden aangenomen tijdens een transect verwaarloosbaar te zijn: 3 λ j Π ft A ^ - 16 - eenvoudigweg zal worden aangenomen dat de a^ een onbekend bedrag c fout zijn welk bedrag over de gehele transect constant is (QNH-fout). Verder wordt aangenomen dat radio-hoogtemeter- en digitale kaart-fouten net als in voorbeeld 1 in een model kunnen 5 worden gebracht, dat wil zeggen dat zij gezamenlijk resulteren in een willekeurige gaussiaanse fout met standaardafwijking <f . Veronderstel dat de ware horizontale positie van het luchtvaartuig ter plaatse van de TRP (x,y) is; de ware positie in het transect-punt i zal dan zijn (X + Δχ£, y +Δ^). Dit levert een "kaart-profiel " op dat wordt verschaft door de reeks hoogtes m.. = m( x+Δχ^, y+Ay^) voor i = 1,...n (2.4)

Daarentegen is er een "gedetecteerd profiel" , verschaft door t. = h. - s. voor i = 1,...n (2.5) lil* 15

Allereerst de verschillen d. = t. - m. voor i= 1,...n (2.6) 111

Uit de voorafgaande bespreking is het duidelijk dat deze verschillen kunnen worden voorgesteld als 20 d^ = c + n^ (2.7) waarin c de QNH-fout is en de n^ onafhankelijke willekeurige gaussiaanse variabelen zijn met gemiddelde nul en standaardafwijking .voorstellende radio-hoogtemeter- en kaart-ruis.

25 Teneinde de onbekende constante c te elimineren worden de eerste verschillen t\ en m'^ gevormd: tT. = t. - t 1 1+1 1 (2.8) m'i = mi+1 - mi

Met andere woorden worden in plaats van de verschillen tussen het gedetecteerde profiel en het kaartprofiel wat betreft individuele terreinhoogtes de verschillen in wijzigingen van de 8S15002 •é Λ - 17 - terreinhoogte langs het profiel bezien . Uit vergelijking (2.7) volgt t’. - mT. s d. - d. n. . - m. (2.9) i i 1+1 i i+1 i 5 i-H·2· ‘‘i = "i-M ' ni + m'i

Aldus zijn de t'^ onafhankelijk van c en kan hun gezamenlijke waarschijnlijkheidsverdeling gemakkelijk worden bepaald .

Aangezien de t’^ lineaire communicaties zijn van gaussiaanse grootheden, zijn de t'. zelf gaussiaans met een gemiddelde 10 EXt’.) - E(n. + 1) - E(n.) + Efcn'j) = mr. (2.10) en covarianties

E (t\ - m’.)(t?. - mr.) i i J J

15 “ E(ai+iaj+i) “ E(ni+inj) ‘ E(ninj+i) + ^Vj5 0 2<3f2 voor i = j » - (f1 voor li-jl = 1 (2.11) -» 0 in andere gevallen 20

Hieruit volgt dat de waarschijnlijkheidsdichtheidfuaktie voor de vector t’ = (t * ^.t^_^)'wordt gegeven door de formule: f (t') = 1 e3ti>(1(t'^')T2.''ct’- m')) (2.12) 25 7 waarin m’ = (m* ,-... m' .) en de covariantiematrix is die — 1 n~ 1 wordt gegeven door vergelijking (2.11) , d.w.z.

30 S S '! λ Λ r‘· v Λ- ‘-f { „.· V V — * - - 18 - 2 - 1 -1 2-1 -12-1 o (2.13) Σ=<52 ' ’ ' • · · -1 2-1 -1 2-1 -1 2 10

Vergelijking (2,12) geeft de waarschijnlijkheid van het waarnemen van het gedetecteerde profiel t_' indien de ware positie van ^ het luchtvaartuig in het transect referentiepunt (x,y) zou zijn. De AF kan rechtstreeks worden verkregen door deze op te vatten als een funktie van (x, y). Zo ver gekomen is het ook toelaatbaar een constante schaalfaktor in te voeren (of te verwijderen) aangezien het effekt daarvan in ieder geval 2q zal worden opgeheven door de normaliserende constante c^ in vergelijking (1.4). Aldus geldt: L (x,y) = exp - _1_ (_t'-m') ΤΣ ^ (_t' - m’) (2.14) 2

Voor vele doeleinden is het eenvoudiger 22 de natuurlijke logarithme van de aannemelijkheid of log-aannemelijkheid te beschouwen, dat wil zeggen, lnl = l(t’- m')T£-1(t’ - m') (2.15)

De op deze wijze berekende AF is dus een funktie van slechts ^ twee variabelen.

De werkwijze volgens het tweede voorbeeld kan gemakkelijk worden gemodificeerd om drift in het vertikale navigatiekanaal op fi 8 1 3 η ft ?

V ^ ï V v ·.* jL

- 19 - te vangen en dit is in een aantal toepassingen van voordeel gebleken te zijn. De werkwijze kan ook worden uitgebreid voor het opvangen van horizontale kanaal-drift (d.w.z. snelheids-fouten ).

5 3. Een praktische implementatie (Proto-SPARTAN)

Het voornaamste probleem van terrein-contour-navigatie is het schatten van de fouten in een gegist-bestek-navigatiestelsel van een luchtvaartuig (of van een ander voer- of vaartuig) dat gebruik maakt van de terreingegevens 10 die worden geleverd door een TCN-transect van één of meer punten. Het vorige hoofdstuk bezag het toepassen van het theorema van Bayes , vergelijking (1.4) , op dit probleem en wel rechtsreeks, gegeven een geschikte benadering van de aannemelijkheidsfunktie. Een implementatie hiervan zou de positiefout als de onbekende 15 kunnen nemen en kunnen werken net een twee-dimensionale matrix die de waarschijnlijkheden (of preciezer waarschijnlijkheids-dichtheden) voor mogelijke positiefouten geeft. Bij elke positiebepaling zou de matrix met gebruikmaking van vergelijking (1.4) worden bij gewerkt terwijl tussen positiebepalingen in 20 de matrix zou worden bij gewerkt in overeenstemming met een model: van de fout-voortplanting in het gegist-bestek-stelsel.

In de praktijk heeft deze "ideale TCN volgens Bayes" een aantal bezwaren maar het is nuttig om het in gedachte te houden als een toetssteen voor het beproeven van 25 praktische technieken.

Het eerste bezwaar met de "ideale TCN" is de hoeveelheid rekenwerk die ermee gepaard gaat, zowel bij het bijwerken van de meting volgend op een positiebepaling als bij het bijwerken op basis van verlopen tijd tussen de 30 positiebepalingen in. Dit is in het bijzonder het geval indien de fout-vóortplanting van het gegist-bestek-stelsel wordt beschreven door een differentiaal-vergelijking van hoge orde zoals gemakkelijk het geval kan zijn met een inertieel navigatiestelsel.

5 ? — Λ Λ Λ w i Λ v i - 20 -

In dit geval is het niet voldoende de matrix van waarschijnlijkheden uit te breiden over de twee dimensies van positiefouten: de matrix moet zich uitstrekken over de n dimensies van de toestandsvector van het stelsel hetgeen een enorme toename 5 van de grootte van de matrix meebrengt. Een tweede bezwaar, zonder twijfel overwinbaar, is dat het "uitgangssignaal" van het "ideale" stelsel een reeks waarschijnlijkheden zal zijn die naar verwachting te ingewikkeld is als ingangssignaal naar . andere stelsels die navigatie-gegevens nodig hebben. Deze 10 andere stelsels zullen eerder uitkijken naar invoer in de vorm van "gemiddelde en standaard afwijking".

De nu klassiek geworden techniek voor het uitvoeren van het bijwerken op basis van tijd en van meting van een toestandsschatting van een stelsel is vanzelfsprekend 15 het Kalman-filter dat rekentechnisch hanteerbaar is en antwoorden geeft in de verlangde vorm. Zoals echter bleek in hoofdstuk 1 neemt het Kalman-filter aan dat de aannemelijkheidsfunktie die door een meting wordt gegenereerd, een gaussiaanse vorm 20 heeft. Is het dan mogelijk het Kalman-filter aan te wenden bij het bijwerken van de TCN ?

Gelukkig toont de ervaring dat wanneer de aannemelijkheidsfunktie wordt berekend langs de in hoofdstuk 2 beschrijven lijnen, dat dan voor transects van meer dan ongeveer 25 3 km de aannemelijkheidsfunktie steeds ruwweg de gaussiaanse vorm heeft. Dit wordt toegelicht in fig. 4 die de AF toont voor een transect van 61 punten, ongeveer 6 km lang, waarbij de funktie is berekend op een wijze die lijkt op die van voorbeeld 2 in hoofdstuk 2.

30 (Er zijn in ieder geval theoretische redenen voor de veronderstelling dat de AF ongeveer gaussiaans zal zijn in de nabijheid van zijn top mits de ten grondslag liggende foutprocessen ongeveer gaussiaans zijn en het terreinoppervlak redelijk continu is . ) -3 3 1 5 C 0 2 r « - 21 -

Deze waarneming is de basis voor de implementatie van terrein-contour-navigatie, hier genoemd Proto-SPARTAN, waaruit de SPARTAN-techniek is ontwikkeld. Globaal is de procedure voor elke Proto-SPARTAN positiebepaling als volgt.

5 Eerst wordt een raster van aannemelijkheidswaarden berekend waarbij de afmetingen van het raster worden bepaald door de onzekerheid van de vorige positiebepaling. Een funktie met gaussiaanse vorm wordt vervolgens op het raster van aannemelijkheden gepast en dit wordt onderworpen aan twee controles: 10 (a) de topwaarde van de passende AF wordt gecontroleerd om ervoor te zorgen dat deze consistent is met een reële gelijkmaking van profielen onder de aangenomen bronnen van fouten . (b) De verschillen tussen de raster-aannemelijkheden en de passende Gauss-funktie worden beoordeeld om het goed passend-zijn te 15 controleren. Indien één van deze controles faalt , wordt de positiebepaling verworpenj anders worden de noodzakelijke parameters van de Gauss-funktie (py en Jy van vergelijking (1.5) ) afgeleid en over het Kalman-filter gevoerd. Fig. 5 toont een sectie van de berekende AF voor een monster-transect samen 20 met zijn benaderende Gauss-funktie.

Bij implementatie verschilt de Proto-SPARTAN-techniek inigszins van de hierboven gegeven beschrijving doordat hij in de eerste plaats werkzaam is in termen van de log-aannemelijkheidsfunktie - de natuurlijke logarithme van 25 de AF - en opereert door een tweede-graads-funktie aan te passen aan de berekende log-aannemelijkheden . Echter wordt de aanpassing op zodanige wijze gedaan dat een goede overeenstemming wordt verkregen tussen de overeenkomstige aannemelijk-heidsfunktie zodat de procedure logisch gelijkwaardig is aan die 30 in de voorafgaande alinea is beschreven. In de hierna geintrodu-veerde SPARTAN-techniek speelt de log-aannemelijkheidsfunktie > v I v V V ii - 22 - eveneens een belangrijke rol.

4. Potentiële voordelen van korte transects

De Proto-SPARTAN-techniek levert positieverbeteringen die zijn gebaseerd op terrein-gegevens die 5 zijn verzameld over een korte maar niet onaanzienlijke tijd, wellicht 30 tot 60 seconden. Bijgevolg is de schatting van een positiefout, geleverd door een positiebepaling, gebaseerd op een gewogen gemiddelde van de positiefout over deze tijd waarbij het wegen afhangt van het terrein dat door de transect wordt 10 gedekt. In de praktijk wordt de positiebepaling opgevat als een schatting van de positiefout op één enkel tijdstip ongeveer halfweg langs de transect (het transect-referentiepunt). Deze aanname is uitgebreid geldig gemaakt door de waardepositie (fotografische bepaling) in het transect referentiepunt te 15 vergelijken met de positie volgens Proto-SPARTAN. Uit deze analyses van vluchtproeven bleek dat Proto-SPARTAN op consistente wijze goede bepalingen kan geven. Ofschoon elkebepaling aldus kan worden opgevat als betrokken op de positie van het luchtvaartuig midden in de transect , wordt echter de bepaling 20 in werkelijkheid niet beschikbaar voor het eind van de transect plus nog een verdere vertraging voor de berekening. Er is aldus een totale vertraging van tenminste 15 seconden tussen de binnenkomst van een bepaling en het tijdstip waarop de bepaling betrekking heeft.Het is voldoende rechtstreeks om het 25 Kalman-filter bij te stellen om met deze vertraging rekening te houden, maar de achterstand kan niettemin een belangrijke begrenzende faktor zijn in de prestatie van het stelsel op het punt van real-time navigatie.

Fig. 6A licht dit toe . De figuur toont de 30 standaard deviatie van een component van de positie-fout, uitgezet tegen de tijd, voor een eenvoudig geïdealiseerd navigatiestelsel.

De figuur toont de stationaire toestand waarin het stelsel elke minuut wordt bij gewerkt door middel van een TCN-positiebepaling 8615002 * * - 23 - waarvoor de bijbehorende component van de positiefout 50 meter O sigma) .

T1 markeert een transect referentiepunt.

Indien d e positiebepaling beschikbaar was in het transect 5 referentiepunt waarop hij betrekking heeft, zou de positiefout de stippellijn volgen en aldus een zaagtandvormige variatie uitvoeren tussen 45 m en 103 m standaard-deviatie. De positiebepaling is echter in feite niet beschikbaar voor op zijn vroegst T2 zodat de feitelijke fout-voortplanting wordt voorgesteld 10 door de getrokken lijn met een zaagtandvariatie tussen 69 m en 145 m standaard-deviatie.

Het zaagtandeffekt zal duidelijk minder geprononceerd zijn bij een beter gegist-bestek-bepalend stelsel; het in fig. 6A getoonde stelsel heeft een gegist-bestek-15 prestatie van ongeveer 10 km/h. Fig. 7A toont de bijbehorende uitkomsten voor een stelsel met een prestatie van 1 km/h en dit suggereert dat de Proto-SPARTAN-techniek geheel bevredigend zou zijn voor toepassing in een bemand gevechtsvliegtuig waarin een goed inertieel navigatiestelsel gewoonlijk in ieder geval 20 verplicht is. In vele toepassingen zal het echter wenselijk zijn ernstig te bezuinigen op de gegist-bestek leverende instrumenten en te vertrouwen op een doorlopende TCN-positie-bepaling om de navigatie-prestaties vol te houden. In dergelijke toepassingen zou een grote zaagtand-fluctuatie tussen 25 positiebepalingen een ernstige grens leggen aan de bezuinigingen die kunnen worden ingevoerd binnen de vereisten van de opdracht.

De voor de hand liggende oplossing is het gebruiken van kortere transects. Veronderstel bijvoorbeeld 30 dat elke transect van 60 seconden wordt opgedeeld in 10 transects van 6 seconden. Indien de terrein-informatie gelijkmatig in het verloop van tijd is verdeeld zal elk van de nieuwe transects dartiende gedeelte van de informatie in de oorspronkelijke positie-

' *' 7 / A

*?* · J J xJ

•r * - 24 - bepaling bevatten zodat kan worden verwacht dat de variantie van de nieuwe positiebepalingen 10 maal die is van de oude, hetgeen een standaard-deviatie van 50 x yfro = 158 m.

Indien nu de positiefout-voortplanting van hetzelfde gegist-bestek-stelsel als in fig. 6A maar met 6 sec.-transects , wordt uitgezet, wordt fig. 6B verkregen.

De positiefout heeft nu een zaagtand-fluctuatie tussen 65 m standaarddeviatie en 70 m standaard-deviatie, een aanzienlijke verbetering in termen van het stelsel.

^ Fig. 7B toont het overeenkomstige resultaat voor het gegist-bestek-stelsel van hoge kwaliteit. Het zal duidelijk zijn dat de verbetering van de prestatie in dit geval slechts marginaal is.

5. De problemen van korte transects 15

Het vorige hoofdstuk suggereert dat het wenselijk is zo kort mogelijke transects te gebruiken Maar dit is alleen zo indien het mogelijk is de informatie in een korte transect even doelmatig te verwerken als mogelijk is voor een lange transect. In het bijzonder werd aangenomen 20 .... ...

dat de fout inde positiebepaling, overige zaken gelijk zijnd, ongeveer zou variëren als de omgekeerde van de vierkantswortel van de lengte van de transect en het is nu toepasselijk om preciezer te kijken naar de grondslag van deze veronderstelling.

Zoals in hoofdstuk 2 al aangekondigd 25 wordt hier aangekomen de aannemelijkheidsfunktie niet langer opgevat als een funktie van de positiefout in het gegist- bestek (DR) -stelsel van het luchtvaartuig . Deze wijziging van variabele zal betekenen dat de door opeenvolgende transects gegenereerde AFs kunnen opvatten als betrekking te hebben op 30 praktisch dezelfde onbekende grootheid.

Uit de definitie van de aannemelijkheidsfunktie volgt dat de AF die gezamenlijk door een groep statistisch .861^002 < « - 25 - onafhankelijke metingen gegenereerde AF gelijk zal zijn aan het produkt van de AFs die door de individuele metingen zijn gegenereerd; dit is zo omdat de gezamenlijke waarschijnlijkheids-dichtheidfunktie gelijk zal zijn aan het produkt van de mariginale 5 dichtheidfunkties. Het gevolg is dat indien een doorlopende reeks van korte transects wordt geconsolideerd om één enkele lange transact te vormen, de door deze lange transect gegenereerde AF althans bij benadering gelijk zal zijn aan het produkt van de door de korte transacts gegenereerde AFs. (Slechts bij 10 benadering als gevolg van ondergeschikte statistische afhankelijkheden tussen de korte transacts en omdat de positiefout enigszins varieert van de ene korte transact naar de volgende.)

Indien in het bijzonder de n korte transects AFs zouden genereren van de gaussiaanse vorm ^ L. (x) = exp - 1 (x. - p.)TJ. (x. - u.) (5.1) i — £ —l ^-1 i —i ci voor i = 1,.. .n die overeenkomt met vergelijking (1.5) , zal de geconsolideerde 2q lange transact een AF genereren van dezelfde vorm L(x) = exp - J_ (x - jO^J (x - μ ) (5.2) 2 waarin 25 J = n , (5.3) X i 1=1

In het bijzondere geval waarin J\ alle gelijk zijn , geldt J = nJi (5.4)

Met andere woorden zal de dispersie van de AF (gegeven door de omgekeerde van de "informatie"-matrix J en dus overeenkomend met variantie ) omgekeerd evenredig zijn met de lengte van de \j ^ . o j 0 4. * - 26 - transect.

Zoals, bleek in hoofdstuk 3 heeft de door voldoend lange transects gegenereerde AF een bij benadering gaussiaanse vorm. Dit is ongelukkigerwijs niet waar voor korte 5 transects, zoals fig. 3 en fig. 8 laten zien. Het blijft echter waar dat de lange transect AF ongeveer gelijk zal zijn aan het produkt van de korte transect AFs en dat indien de korte transect-gegevens zouden worden verwerkt door middel van de "ideale werkwijze volgens Bayes " die aan het begin van 10 hoofdstuk 3 is beschouwd , er geen probleem zou zijn en dat de potentiële voordelen van korte transects zoals uiteengezet in hoofdstuk 4, zouden worden verwezenlijkt. Echter is, zoals hoofdstuk 3 verder beredeneerde , deze ideale mechanisering volgens Bayes onpraktisch en moet in plaats daarvan worden gekeken 15 . ...

naar mechamsermgen die bijvoorbeeld zijn gebaseerd op het

Kalman-filter. Een noodzakelijke voorwaarde voor het gebruikmaken van het Kalman-f ilter is dat de AF wordt benaderd door een funktie met gaussiaanse vorm. Het is deze benadering die de problemen veroorzaakt : (a) hoe moet het worden gedaan? en (b) bewaart 20 hij de eigenschap die wordt uitgedrukt door vergelijking (5.3) of resulteert hij in een snellere verslechtering wat betreft doeltreffende positiebepalingsnauwkeurigheid bij kortere transect-lengte? - in welk geval de potentiële voordelen van kortere transects niet geheel zullen worden verwezenlijkt.

25 ,

Hoe kan een aannemelijkheidsfunktie , zoals die in de figuren 3 en 8, op bevredigende wijze worden benaderd door een funktie met gaussiaanse vorm? Eén werkwijze is toegelicht· in fig. 9A. Indien bekend is dat het luchtvaartuig eerder in een klein gebied zoals R is geweest, zal veelal de AF bijna 30 gaussiaans zijn binnen dat kleine gebied en kan hij dus worden benaderd als getoond in fig. 9B. Dit ligt ten grondslag aan implementaties van TCN zoals SITAN en TERPROM ofschoon deze gewoonlijk worden uitgedrukt in termen van linearisering van het -1 Γ- Λ Λ Λ '-w . - V V" ij - 27 - terrein (d.w.z. het benaderen van het terrein binnen R door een meetkundig vlak) in plaats van de AF te benaderen met een gaussiaanse funktie , maar het is uit de figuren duidelijk dat dit op hetzelfde neerkomt.

5 Om geldig te zijn behoeft deze benadering een nauwkeurige aanvankelijke schatting van de positie van het luchtvaartuig en deze wordt gewoonlijk tot stand gebracht met gebruikmaking van een positiebepaling op basis van een terreincontour in een lange transect. Een eventueel probleem 10 ontstaat indien er plaatselijke fouten zijn in de digitale kaart, een zeer reële mogelijkheid in de praktijk. De plaatselijke kaartfout zal leiden tot een onjuiste benadering met een vlak hetgeen zal leiden tot een foute correctie van de positie-schatting. De resulterende foute positieschatting 15 zal betekenen dat voor het volgende radiohoogtemeter-monster de vlak-benadering is gebaseerd op het verkeerde deel van de digitale kaart en kan (zelfs als de kaart hier nauwkeurig kan zijn) gemakkelijk leiden tot een tweede foute positie-correctie, enzovoort . Kennelijk moet enige verslechtering in de navigatie-20 prestatie bij het bestaan van plaatselijke kaartfouten worden verwacht maar men moet tenminste mikken op het tijdelijk maken van de invloed van deze fouten in plaats van dat zij tot een domino-effekt voeren.

Technieken van deze soort bevatten in het 25 algemeen extra maatregelen met het oog op het verzachten van de vooronderstelling dat het terrein bij benadering lineair is binnen de zone van positie-onzekerheid. Dit is een belangrijke stap want omdat de theorie achter het zogenaamde uitgebreide kalman-filter het gebruik van Kalman-technieken rechtvaardigt 30 bij het behandelen van niet-lineaire stelsels in gevallen dat de stelsel-vergelijkingen kunnen worden benaderd door lineaire vergelijkingen binnen een onzekerheidsgebied om een nominale baan . ', j _· £.

ψ é - 28 - in de toestandsruimte , wordt nu overwogen de techniek toe te passen in gevallen dat het stelsel uitgesproken niet-lineair is binnen het onzekerheidsgebied.

De algemeen aanvaarde werkwijze is ruimte 5 te geven voor het niet-lineair zijn van het terrein door een hoger niveau van meetruis te vooronderstellen. Zoals Hostetler en Beckmann het stellen in een artikel dat verscheen op de bladzijden 1263 tot 1270 van de Proceedings of the IEEE National Aerospace and Electronics Conference, 1978, ” Een nietig lineairiteit-parameter wordt berekend die beschrijft hoe nauwkeurig het terrein beneden het stelsel kan worden benaderd door middel van stochastische lineairisering in het Kalman-filter. Deze benaderingsfout wordt behandeld als extra meetonzekerheid tijdens de berekening van de Kalman-versterkingsmatrix waarbij 15 dus de versterkingsfaktoren worden gemoduleerd wanneer de lineaire benadering pover is Een verdere bespreking van deze benadering verschijnt in een artikel van Andreas, Hostetler en Beekman op de bladzijden 1023 tot 1030 van de Proceedings of the IEEE National Aerospace and Electronics Conference 1979.

20 In kwalitatieve termen is het duidelijk dat deze benadering geschikt is doordat hij veroorzaakt dat het Kalman-filter minder gewicht geeft aan bijstellingen die van niet-lineair terrein afkomstig zijn . Bovendien kan hij in theoretische termen worden gerechtvaardigd en geeft de literatuur 25 aan dat hij ïn de praktijk werkt. Echter is het wezen van de benadering het negeren van een gedeelte van de ter beschikking staande informatie . De digitale kaart registreert in bijzonderheden de niet-lineariteiten in het terrein. De techniek die werd besproken, negeert deze bijzonderheden en doet het als het 20 ware voorkomen dat de kaart een plaatselijk vlak stuk terrein laat zien maar dat er een extra ruisbron ("linearisatieruis") is die leidt tot afwijkingen van de waargenomen terreinhoogte § 0 i ϋ U i -29 - V « ten opzichte van dit meetkundige vlak.

Opgemerkt moet worden dat er geen analogie is met deze linearisatie-ruis in werkwijzen met de lange transect zoals beschreven in hoofdstuk 3 die de gegevens van 5 de digitale kaart direkt in zijn volle ontvang benutten. Het gebruik van korte transects heeft dus een prijs die moet worden vergeleken mèt de voordelen die door hoofdstuk 4 zijn beloofd .

6. Herverdeling van log-aatmemelijkheden

Veronderstel dat een aantal onafhankelijke Ίq statistische metingen zijn gedaan van een bepaalde niet-varierende onbekende grootheid. Onder statistische metingen worden eenvoudigweg verstaan waarnemingen van gegevens waarvan de waarschijnlijkheidsverdeling afhangt van de onbekende grootheid in kwestie. Er zijn dan een aantal verschillende manieren waarop het theorema van Bayes kan worden benut voor het bijstellen van de kennis van de onbekende grootheid. Voor elke waarneming afzonderlijk kan een aannemelijkheidsfunktie worden afgeleid en het theorema van Bayes kan herhaaldelijk worden toegepast. Anders kunnen alle waarnemingen samen worden 20 gebracht , één enkele AF worden afgeleid voor de waarnemingen gezamenlijk en het theorema van Bayes éénmaal worden toegepast. Opnieuw kunnen deze waarnemingen worden gegroepeerd in subgroepen van een tussenmaat en kan een AF voor elke sub-groep worden afgeleid. Op welke wijze het ook wordt gedaan, het 25 eindresultaat zal kennelijk hetzelfde zijn . Dit is omdat in elk geval het produkt van de AFs hetzelfde is - of , gelijkwaardig, de som van de log-aannemelijkheidsfunkties die worden gebruikt, is in elk geval dezelfde.

Hiermee kan worden verdergegaan. Veronderstel 30 dat in de loop van het toepassen van het theorema van Bayes op dit probleem , dat het rekentechnisch gemakkelijk is de individuele AFs te benaderen. Dit zal geen verschil maken voor het eindresultaat mits de som van de logarithmus van de benaderen-

' ·; Γ? Λ Λ -J

r j -V. J.* r ► - 30 - de funktie gelijk is aan de som van de oorspronkelijke log-aannemelijkheidsfunkties. Met andere woorden, zover het gaat om het eindresultaat is het rekentechnisch gerechtvaardigd log-aannemelijkheid (op additieve wijze ) te herverdelen tussen 5 de ene sub-groep metingen en een andere, mits de totale som bewaard wordt.

Deze mogelijkheid is fundamenteel voor de SPARTAÏÏ-implementatie van TCN. In dit geval is de onbekende in kwestie de positiefout in een navigatiestelsel en zijn de 10 sub-groepen van metingen de korte transects. Net als Proto- SPARTAN opereert SPARTAN door een tweede-graads funktie passend te maken op de log-AF die uit de transect-gegevens is afgeleid. Het nieuwe kenmerk is dat de restfunktie, het verschil tussen de berekende log-aannemelijkheden en de passend gemaakte 15 tweede-graads funktie, niet langer van onwaarde geacht, maar naar voren toe herverdeeld om te worden beschouwd in samenhang met de gegevens uit de volgende transect; deze restfunktie, gewoonlijk aangeduid als de voorraadfunktie, kan worden opgevat als voorstellende informatie die aan de terreingegevens is 20 ontleend, maar die nog niet over het Kalman-filter is doorgegeven. De omstandigheid dat de aannemelijkheidsfunkties die door lange transects zijn gegenereerd, in het algemeen van gaussiaanse vorm zijn , althans in een goede benadering, suggereert dat deze restfunktie niet zal groeien op een onaanvaardbare onstabiele 25 wijze naar mate meer korte transects zijn verwerkt en dit wordt in de praktijk bevestigd;· 7. De SPARTAN-techniek

De SPARTAN-techniek benut de grondgedachten van het vorige hoofdstuk om een radikaal andere oplossing van 30 het probleem met de korte transects te verkrijgen. Eén beperking van de uiteenzetting in hoofdstuk 6 is echter dat de positiefout wordt behandeld als een niet-varierende onbekende.

•v v 3 ü v y L

> * -31-.

Gelukkig kan de oplossing worden gegeneraliseerd door de rest-funktie of voorraadfunktie te transformeren om de dynamiek van de navigatie-stelselfouten mogelijk te maken.

De als resultaat verkregen procedure opereert 5 dcordxrde volgende stappen heen te itereren, zoals voorgesteld in fig. 10.

1. Een fuhktie van twee variabelen (die de horizontale componenten van de DR positiefout voorstellen), aangeduid als de voorraadfunktie , wordt geinitialiseerd met 10 _ gelijk aan nul te zijn.

2. Wanneer gegevens voor een transect beschikbaar komen berekend het stelselde log-aannemelijkheidsfunktie voor deze gegevens over een zoekgebied dat is bepaald door de aktuele positieonzekerheid zoals geschat door het Kalman-filter.

15 3, De log-aannemelijkheidsfunktie wordt bij de voorraadfunktie opgeteld.

4. Het stelsel past nu een tweede-graads oppervlak op de som van de voorraadfunktie en de log-aannemelijkheidsfunktie.

20 5. De toepasselijke parameters van de tweede graads funktie worden afgeleid en gébruikt voor het uitvoeren van een bij stelling van <è meting in het Kalman-filter.

6. De tweede-graads funktie wordt afgetrokken van de som van de voorraadfunktie en de log-aannemelijkheid 25 waarbij de rest een nieuwe voorraadfunktie wordt .

7. De nieuwe voorraadfunktie wordt vastgehouden totdat nieuwe transect gegevens beschikbaar komen maar in de tussentijd wordt hij getransformeerd om de variatie in het tijdsverloop van de fouten van het navigatiestelsel in te voeren.

30 De parameters die deze bijstelling op tijdsverloop van de voorraadfunktie bepalen , zijn vastgesteld door middel van het programma voor het op basis van tijdsverloop bijstellen van het ^ -3 ? ·! fi Λ & 'J * J 'J V ü * < - 32 -

Kalman-filter welk programma ook op dit tijdstip werkzaam zal zijn.

8. De procedure gaat nu verder vanaf stap 2 en deze lus wordt voor onbepaalde tijd herhaald.

5 De stappen 5 en 6 worden alleen uitgevoerd indien het in stap 4 gevonden tweede-graads oppervlak naar boven toe bol is, d.w.z. gevormd als een koepel. Indien dit niet het geval is wordt er geen meting toegevoerd aan het Kalman-filter en gaat de procedure verder vanaf stap 7.

10 De tweede-graads benadering in stap 4 wordt op een adaptieve wijze uitgevoerd afhankelijk van de positie-onzekerheid op dat tijdstip . Dit is enorm nuttig tijdens het aanvankelijke binnenkomen vanuit een hoge positie-onzekerheid zoals schematisch in fig. 11 is voorgesteld. Zoals is gebleken , 15 wordt de log-aannemelijkheidsfunktie die door een korte transect is gegenereerd, gekenmerkt door talloze lokale toppen. Het een hoge positie-onzekerheid zal het stelsel passen in een tweede-graads benadering op een brede basis die in het algemeen zeer breed gekoepeld zal zijn.. Wat betreft het Kalman-filter 20 zal dit oorzaak zijn voor een voorzichtige positiebepaling die voor niet meer dient dan het elimineren van enkele gebieden waar de log-aannemelijkheid aanhoudend gering is , maar zonder enige poging in dit statium om tussen de vele toppen te kiezen.

Echter wordt de fijne structuur van de 25 log-aannemelijkheidsfunktie die van de eerste transect (Transect 1) afkomstig is, bewaard in de voorraadfunktie en wordt hij opnieuw bezien in samenhang met de log-aannemelijkheidsfunktie die is afgeleid uit Transect 2. De top in de log-AF afkomstig van Transect 1 die overeenkomt met de ware positie van 30 het luchtvaartuig, zal gewoonlijk worden versterkt door een top in de log-AF van Transect 2 , terwij1 andere toppen willekeurig zullen worden versterkt of onderdrukt. Deze versterking,gecombineerd met de enigszins verminderde positie- $ S * ~ η λ **

i V V

- 33 - onzekerheid die uit het Kalman-filter komt na de voorafgaande positiebepaling zal resulteren in een tweede-graads benadering die een iets steilere koepel vormt , dat wil zeggen een enigszins betrouwbaarder tweede positiebepaling voor het Kalman-filter.

5 Opnieuw wordt de fijne structuur van de gecombineerde log-AFs vooruit in de voorraad gevoerd en opnieuw zal de plaatselijke top die overeenkomt met de ware positie van het luchtvaartuig , versterkt gaan worden door middel van eenzelfde top in de log-LA afkomstig van Transect 3. Door 10 herhaling van dit proces kan het stelsel de zone van de positie-onzekerheid snel laten convergeren naar de ware positie. Dit zal gebeuren zodra voldoende terreingegevens zijn verzameld .

Wanneer het stelsel tot rust is gekomen met 15 een positie-onzekerheid die aanhoudend enkele tientallen meters is, zal blijken dat de log-AFs gewoonlijk zeer dicht een tweedegraads funktie naderen binnen de zone van de positie-onzekerheid, zoals voorgesteld in fig. 12. In dit geval zijn de naar voren in de voorraadfunktie gevoerde resten nagenoeg nul. Onder 20 deze omstandigheden zal de werking van SPARTAN zeer dicht aansluiten aan die van implementaties zoals SITAN.

Indien op een plaatselijke kaartfout wordt gestoten , kan het stelsel misleid worden. Echter zal de waardepositie van het luchtvaartuig opnieuw verschijnen als een 25 zijdelingse top in de log-AF en deze zal via de voorraad worden versterkt van transect tot transect . Bijgevolg is er een goede kans dat het stelsel automatisch weer in een nauwkeurige navigatie zal terechtkomen. (Een veiligheidsnet van detectie-en herstel-procedures voor fouten in de algorithme is eveneens 30 voorzien maar wordt zelden geaktiveerd; deze procedures kosten meer in verbruik van tijd dan een automatisch herstel gewoonlijk neemt.) - £ a - λ .

·& - i ti ν' 'jr - 34 -

Ofschoon dit hoofdstuk de SPARTAN-procedure heeft beschreven in termen van herhaalde tweede-graads benadering van de log-aannemelijkheidsfunktie, zal duidelijk zijn dat de techniek in beginsel op gelijke wijze kan worden geïmplementeerd 5 door middel van gaussiaanse benaderingen van de aannemelijk- heidsfunktie wanneer de toepasselijke substituties van vermenigvuldiging voor optelling, deling voor aftrekking en eenheid voor nul worden gemaakt.

Het zal duidelijk zijn dat een inrichting 10 volgens de uitvinding, af gezien van de detectoren die van iedere bekende geschikte vorm kunnen zijn, zal bestaan uit een digitale computer die wordt bestuurd door middel van toepasselijke programmatuur.

15 i * * ~ η n ? a1 i -J v

Claims (7)

1. Inrichting voor het meten van de toestand van een dynamisch stelsel, gekenmerkt door (a) detectie-organen die een reeks metingen of stellen van metingen leveren die van de aktuele toestand 5 van het stelsel bij aanwezigheid van ruis en andere foutbronnen die door een statistisch model kunnen worden voorgesteld, afhankelijk zijn; (b) een eerste reken-orgaan voor het bepalen van een log-aannemelijkheidsfunktie die verbonden is 10 met elk van de metingen of stellen van metingen in overeenstemming met het statistische model; (c) een tweede réeen-orgaan voor het verkrijgen van de som van de log-aannemelijkheidsfunktie en een restfunktie die aanvankelijk gelijk aan nul wordt gesteld; 15 (d) een derde reken-orgaan cht een recursieve schatter gebruikt voor het maken van een model van het dynamische gedrag van het stelsel; (e) een vierde reken-orgaan voor het bepalen van een kwadratische benadering van de som van de 20 log-aannemelijkheidsfunktie en de restfunktie, waarbij het passend zijn wordt gewogen in afhankelijkheid van de bestaande onzekerheid in de toestand van het dynamische stelsel zoals blijkt uit het uitgangssignaal van het derde reken-orgaan; (f) een vijfde reken-orgaan voor het uit de 25 kwadratische benadering afleiden van parameters om te dienen als de basis voor een verversing van de metingen binnen het reken-orgaan; (g) een zesde reken-orgaan voor het aftrekken van de kwadratische benadering van de som van de log- 30 -36- aannemelijkheidsfunktie en de restfunktie waarvan het de benadering is , om zo een nieuwe restfunktie te vormen; (h) een zevende reken-orgaan voor het transformeren van de restfunktie om een dynamische wijziging ^ in de toestand van het stelsel tijdens het interval tussen opeenvolgende metingen of stellen metingen in de meetreeks in rekening te brengen; en (i) een achtste reken-orgaan voor de bepaling of de kwadratische benadering die door het vierde reken- 10 . orgaan is geleverd, geschikt is om als een ingangssignaal voor het derde reken-orgaan te dienen en om werkzaam te zijn indien is bepaald dat de kwadratische benadering voor het gestelde doel geschikt is, tot het aktiveren van het vijfde en het zesde reken-orgaan en voorts tot het gebruiken als ingangssignaal voor het zevende reken-orgaan van de som van de log-aannemelijkheids-funktie en de restfunktie welke som wordt gebruikt als ingangssignaal voor het vierde rekenorgaan en als de nieuwe restfunktie wordt genomen.

2. Inrichting voor het meten van de toestand ^ van een dynamisch stelsel , gekenmerkt door (a) detectie-organen die een reeks metingen of stellen van metingen leveren die van de aktuele toestand van het stelsel bij aanwezigheid van ruis en andere foutbronnen die door een statistisch model kunnen worden voorgesteld, O c J afhankelijk zijn; (b) een eerste reken-orgaan voor het bepalen van een aannemelijkheidsfunktie die verbonden is met elk van de metingen of stellen van metingen in overeenstemming met het statistische model; (c) een tweede reken-orgaan voor het verkrijgen van het produkt van de aannemelijkheidsfunktie en een restfunktie dat aanvankelijk gelijk aan één wordt gesteld; (d) een derde reken-orgaan dat een recursieve d 31 3 0 02 - 37 - schatter gebruikt voor het maken van een model van het dynamische gedrag van het stelsel; (e) een vierde reken-orgaan voor het bepalen van een gaussiaanse benadering van het produkt van de 5 aannemelijkheidsfunktie en de restfunktie, waarbij het passend zijn wordt gewogen in afhankelijkheid van de bestaande onzekerheid in de toestand van het dynamische stelsel zoals blijkt uit het uitgangssignaal van het derde reken-orgaan; (f) een vijfde reken-orgaan voor het uit tO de gaussiaanse benadering afleiden van parameters om te dienen als de basis voor een verversing van de metingen binnen het reken-orgaan; (g) een zesde reken-orgaan voor het delen van de gaussiaanse benadering op het produkt van de 15 aannemelijkheidsfunktie en de restfunktie waarvan' het de benadering is, om zo een nieuwe restfunktie te vormen; (h) een zevende reken-orgaan voor het transformeren van de restfunktie om een dynamische wijziging in de toestand van het stelsel tijdens het interval tussen 20 opeenvolgende metingen of stellen metingen in de meetreeks in rekening te brengen; en (i) een achtste reken-orgaan voor de bepaling of de gaussiaanse benadering die door het vierde reken-orgaan is geleverd, geschikt is om als een ingangsorgaan voor 25 het derde reken-orgaan te dienen en om werkzaam te zijn indien is bepaald dat de gaussiaanse benadering voor het gestelde doel geschikt is, tot het aktiveren van het vijfde en het zesde reken-orgaan en voorts tot het gebruik als ingangssignaal voor het zevende reken-orgaan van het produktvan de aannemelijkheids- 30 funktie en de restfunktie welk produkt wordt gebruikt als ingangssignaal voor het vierde reken-orgaan en als de nieuwe restfunktie welk produkt wordt gebruikt als ingangssignaal voor het vierde reken-orgaan en als de nieuwe restfunktie wordt genomen. 3815002 * 1* - 38 -

3. Inrichting volgens conclusie 1 of 2, met het kenmerk, dat de schatter een Kalman-filter bevat.

4. Navigatiestelsel dat een inrichting volgens één van de conclusies 1 tot en met 3 bevat voor het 5 construeren van een terreinprofiel onder de baan van een luchtvaartuig met het kenmerk, dat de detectie-organen van de inrichting een radio-hoogtemeter of een laser-hoogtemeter , een barometrische hoogtemeter en een met gegist bestek werkende navigator bevatten. 10

5. Navigatiestelsel dat gebruik maakt van een recursieve schatter voor de navigatie-integratie, met het kenmerk, dat de parameters van een tweede-graads funktie die een benadering is van een log-aannemelijkheidsfunktie, worden gebruikt als ingangssignalen voor de schatter. 15

6. Navigatiestelsel dat gebruik maakt van een recursieve schatter voor de navigatie-integratie, met het kenmerk, dat de parameters van een gaussiaanse funktie die een benadering is van een aannemelijkheidsfunktie, worden gebruikt als ingangssignalen voor de schatter. 20

7. Navigatiestelsel volgens conclusie 5 of 6, met het kenmerk, dat de schatter een Kalman-filter bevat. 25 —o-o-o-o-o— -¾ Λ j λ ! n / -J, ‘S t V V L.