NL194134C

NL194134C - Inrichting die recursieve schatters bevat.

Info

Publication number: NL194134C
Application number: NL8615002A
Authority: NL
Original assignee: Marconi Gec Ltd
Priority date: 1985-05-15
Filing date: 1986-05-14
Publication date: 2001-07-03
Also published as: FR2606872B1; SE8700715D0; NL194134B; IT1210004B; GB8611705D0; US4786908A; FR2606872A1; SE8700715L; FR2599874A1; FR2599874B1; NL8615002A; DE3636131A1; GB8512340D0; GB2178571A; GB2178571B; DE3636131C2; IT8767103A0; SE506409C2

Description

1 194134

Inrichting die recursieve schatters bevat

De uitvinding heeft betrekking op een inrichting voor het meten van de toestand van een dynamisch stelsel, voorzien van detectie-organen voor het meten van een terrein profiel en rekenorganen omvattende een 5 recursieve schatter, bijvoorbeeld een Kalman-filter.

Een dergelijke inrichting is bekend uit het artikel ’’Nonlinear Kalman Filtering Techniques for Terrain-Aided Navigation” van Larry D. Hostetler and Ronald D. Andreas, gepubliceerd in IEEE Transactions on Automatic Control, Vol AC-28, nr. 3 March 1983, biz. 315 t/m 323.

Een nadeel van de hierin beschreven techniek is onder meer dat gebruik gemaakt wordt van lokale 10 lineairisering waardoor een deel van de informatie die beschikbaar is, zoals niet-lineairiteiten In een terrein, genegeerd wordt, hetgeen kan leiden tot fouten in de gemeten toestand. Mogelijke oplossingen voor dit probleem, die in het artikel voorgesteld worden, leiden onder meer tot extra rekentijd en bieden slechts een oplossing bij niet al te grote correcties.

Het is een doel van de uitvinding een nieuwe vorm te verschaffen voor een inrichting voor het meten van 15 de toestand van een dynamisch stelsel met gebruikmaking van een recursieve schatter voor het maken van een model van het dynamische gedrag van het stelsel.

Volgens een eerste aspect van de uitvinding is een inrichting voor het meten van de toestand van een dynamisch stelsel gekenmerkt door: a. detectie-organen die een reeks metingen of stellen van metingen leveren die van de actuele toestand 20 van het stelsel bij aanwezigheid van ruis en andere foutbronnen die door een statistisch model kunnen worden voorgesteld, afhankelijk zijn; b. een eerste rekenorgaan voor het bepalen van een log-aannemelijkheidsfunctie die verbonden is met elk van de metingen of stellen van metingen in overeenstemming met het statistische model; c. een tweede rekenorgaan voor het verkrijgen van de som van de log-aannemelijkheidsfunctie en een 25 restfunctie die aanvankelijk gelijk aan nul wordt gesteld; d. een derde rekenorgaan dat een recursieve schatter gebruikt voor het maken van een model van het dynamische gedrag van het stelsel; e. een vierde rekenorgaan voor het bepalen van een kwadratische benadering van de som van de log-aannemelijkheidsfunctie en de restfunctie, waarbij het passend zijn wordt gewogen in afhankelijkheid 30 van de bestaande onzekerheid in de toestand van het dynamische stelsel zoals blijkt uit het uitgangssignaal van het derde rekenorgaan; f. een vijfde rekenorgaan voor het uit de kwadratische benadering afleiden van parameters om te dienen als basis voor een verversing van de metingen binnen het rekenorgaan; g. een zesde rekenorgaan voor het aftrekken van de kwadratische benadering van de som van de 35 log-aannemelijkheidsfunctie en de restfunctie waarvan het de benadering is, om zo een nieuwe restfunctie te vormen; h. een zevende rekenorgaan voor het transformeren van de restfunctie om een dynamische wijziging in de toestand van het stelsel tijdens het interval tussen opeenvolgende metingen of stellen metingen in de meetreeks in rekening te brengen; en 40 i. een achtste rekenorgaan voor de bepaling of de kwadratische benadering die door het vierde rekenorgaan is geleverd, geschikt is om als ingangssignaal voor het derde rekenorgaan te dienen en om werkzaam te zijn indien is bepaald dat de kwadratische benadering voor het gestelde doel geschikt is, tot het activeren van het vijfde en zesde rekenorgaan en voorts tot het gebruik als ingangssignaal voor het zevende rekenorgaan van de som van de log-aannemelijkheidsfunctie en de restfunctie welke som wordt 45 gebruikt als ingangssignaal voor het vierde rekenorgaan en als de nieuwe restfunctie wordt genomen.

Volgens een tweede aspect van de uitvinding is een inrichting voor het meten van de toestand van een dynamisch stelsel gekenmerkt door: a. detectie-organen die een reeks metingen of stellen van metingen leveren die van de actuele toestand van het stelsel bij aanwezigheid van ruis en andere foutbronnen die door een statistisch model kunnen 50 worden voorgesteld, afhankelijk zijn; b. een eerste rekenorgaan voor het bepalen van een aannemelijkheidsfunctie die verbonden is met elk van de metingen of stellen van metingen in overeenstemming met het statistische model; c. een tweede rekenorgaan voor het verkrijgen van het product van de aannemelijkheidsfunctie en een restfunctie dat aanvankelijk gelijk aan één wordt gesteld; 55 d. een derde rekenorgaan dat een recursieve schatter gebruikt voor het maken van een model van het dynamische gedrag van het stelsel; e. een vierde rekenorgaan voor het bepalen van een gaussiaanse benadering van het product van de 194134 2 aannemelijkheidsfunctie en de restfunctie, waarbij het passend zijn wordt gewogen in afhankelijkheid van de bestaande onzekerheid in de toestand van het dynamische stelsel zoals blijkt uit het uitgangssignaal van het derde rekenorgaan; f. een vijfde rekenorgaan voor het uit de gaussiaanse benadering afleiden van parameters om te dienen als 5 de basis voor een verversing van de metingen binnen het rekenorgaan; g. een zesde rekenorgaan voor het delen van de gaussiaanse benadering op het product van de aannemelijkheidsfunctie en de restfunctie waarvan het de benadering is, om zo een nieuwe restfunctie te vormen; h. een zevende rekenorgaan voor het transformeren van de restfunctie om een dynamische wijziging in de 10 toestand van het stelsel tijdens het interval tussen opeenvolgende metingen of stellen metingen in de meetreeks in rekening te brengen; en i. een achtste rekenorgaan voor de bepaling of de gaussiaanse benadering die door het vierde rekenorgaan is geleverd, geschikt is om als een ingangssignaal voor het derde rekenorgaan te dienen en om werkzaam te zijn indien is bepaald dat de gaussiaanse benadering voor het gestelde doel geschikt is, tot het activeren 15 van het vijfde en het zesde rekenorgaan en voorts tot het gebruik als ingangssignaal voor het zevende rekenorgaan van het product van de aannemelijkheidsfunctie en de restfunctie welk product wordt gebruikt als ingangssignaal voor het vierde rekenorgaan en als de nieuwe restfunctie wordt genomen.

De uitdrukking aannemelijkheidsfunctie (AF) is als volgt gedefinieerd. Aangenomen dat een meetprocedure van de uitkomst een afwijkende vector Y is, wordt gekenmerkt door een statistisch model volgens 20 hetwelk de statistische verdeling van y wordt gegeven door een waarschijnlijkheidsmassafunctie Py (y; x1,...xn) of door een waarschijnlijkheidsdichtheidfunctie fy (y; x1(...xn), waarbij de verdeling ondergeschikt is aan n(n>1) onbekende parameters χ,,.-χ,,.

Aangenomen dat deze meetprocedure is uitgevoerd en tot het waargenomen resultaat Y=y0 voert. Dan is de door de meting Y=y0 gegenereerde aannemelijkheidsfunctie de functie van χ,,.-.χ,, die het gevolg is van 25 het voor de variabele y in Py (y.-x,..^ of fy (y; x^.xj, al naar het geval is, te substitueren en het resultaat met een willekeurige constante te vermenigvuldigen.

De log-aannemelijkheidsfunctie is de natuurlijke logaritme van de aannemelijkheidsfunctie.

Volgens een verder aspect van de uitvinding in een navigatie-stelsel dat gebruik maakt van een recursieve schatter voor navigatie-integratie worden de parameters van een tweedegraads functie die een 30 benadering is van een log-aannemelijkheidsfunctie gebruikt als ingangssignalen voor de schatter.

Volgens een ander aspect van de uitvinding worden in een navigatie-stelsel dat een recursieve schatter gebruikt voor navigatie-integratie, de parameters van een gaussiaanse functie die een benadering is van een aannemelijkheidsfunctie gebruikt als ingangssignalen voor de schatter.

35 De uitvinding zal nu verder worden toegelicht en uitvoeringsvoorbeelden van de uitvinding zullen worden beschreven, beide bij wijze van voorbeeld, en met verwijzing naar de bijgaande tekeningen waarin: figuur 1 een schets is die de fundamentele gedachte achter terrein-contour-navigatie (TCN) bij toepassing op een luchtvaartuig laat zien; figuur 2 een schets is die de terminologie die wordt gebruikt voor een groep (transect) TCN-gegevens 40 laat zien; figuur 3 een schets is die een aannemelijkheidsfunctie (AF) laat zien voor een korte transect, d.w.z. dat deze uit één enkel punt bestaat; figuur 4 een schets is die een AF laat zien voor een lange transect, d.w.z. een transect van 61 punten; figuur 5 een grafiek is die een sectie laat zien van een berekende AF voor een monster-transect; 45 figuur 6A en figuur 6B grafieken zijn die respectievelijk voor een lange en een korte transect de variatie in verloop van tijd laten zien van de standaard-deviatie van een component van de positiefout in een navigatiestelsel met een gegist-bestek-prestatie van geringe kwaliteit; figuur 7A en figuur 7B grafieken zijn die overeenkomen met de grafieken in de figuren 6A, respectievelijk 6B, maar voor een navigatiestelsel met een gegist-bestek-prestatie van grote kwaliteit; 50 figuur 8 een schets is die een aannemelijkheidsfunctie voor een korte transect toont; figuur 9A en figuur 9B schetsen zijn die een werkwijze toelichten voor het benaderen van een aannemelijkheidsfunctie als getoond door figuur 3 of figuur 9, d.m.v. een functie met gaussiaanse vorm; figuur 10 een stroomschema is dat de volgorde van de stappen die door de beschreven inrichting worden uitgevoerd, laat zien; en 55 figuur 11 en figuur 12 schetsen zijn die de werking van de inrichting nog verder toelichten.

In deze beschrijving zal de toepassing van het theorema van Bayes op terrein-contour-navigatie (TCN) in 3 194134 beschouwing komen. Allereerst zal het verband tussen het theorema van Bayes en het Kalman-filter worden onderzocht met bijzondere nadruk op het idee van de aannemelijkheidsfunctie.

De beschrijving zal vervolgens ingaan op de vraag hoe een geschikte benadering van de aannemelijkheidsfunctie kan worden berekend met gebruikmaking van een digitale kaart wanneer de door 5 waarneming verkregen informatie bestaat uit een groep (transect) TCN-gegevens. Opgemerkt wordt dat voor transects van voldoende lengte de aldus berekende aannemelijkheidsfunctie gewoonlijk bij benadering gaussiaans van vorm is. Dit voert rechtsteeks tot een directe en elegante implementatie van TCN, hier genoemd Proto-SPARTAN, die rechtstreeks aan een Kalman-filter kan worden gekoppeld voor navigatie-integratie.

10 De beschrijving gaat verder met het beschouwen van de potentiële voordelen die ontstaan uit het gebruik van kortere transects dat meer frequente positiebepalingen oplevert, en laat de problemen naar voren komen die dit met zich brengt. Twee oplossingen voor deze problemen worden onderzocht vanuit een bayesiaans standpunt. De eerste oplossing verwerkt metingen met een radio-hoogtemeter op individuele wijze met gebruikmaking van een uitgebreid Kalman-filter onder de aanname dat het terrein in de nabijheid 15 van het luchtvaartuig kan worden benaderd met een meetkundig vlak. De tweede oplossing gebruikt in een implementatie van TCN, hier genoemd SPARTAN, maakt gebruik van een techniek van successieve benaderingen van de aannemelijkheidsfunctie. Er worden redenen gegeven dat onder de voor de eerste oplossing gunstige omstandigheden de twee technieken logisch nagenoeg gelijkwaardig zijn, maar dat de tweede oplossing over een ruimer gebied van voorwaarden een doeltreffende en betrouwbare werking kan 20 leveren.

1. Introductie: Het theorema van Bayer en het Kalman-filter

Het theorema van Bayes uit de waarschijnlijkheidstheorie werd voorgesteld door Ds. Thomas Bayes in een postuum in 1763 gepubliceerd artikel. Uitgedrukt in termen van afzonderlijke gebeurtenissen A en B zegt het theorema dat de volgende betrekking bestaat tussen de waarschijnlijkheid van B op voorwaarde 25 van A en de waarschijnlijkheid van A op voorwaarde van B: (1.1)

Anders gesteld in termen van waarschijnlijkheidsdichtheden wordt het theorema van Bayes

Uy^ (12) 30 f(y)

Om een concreet voorbeeld te nemen wordt aangenomen dat de vector x de positie van een luchtvaartuig voorstelt en de vector y het resultaat van een statistisch experiment waarvan de uitkomst afhangt van de positie van het luchtvaartuig. Vervolgens zal f(x) de waarschijnlijkheidsdichtheidfunctie voorstellen voor de positie van het luchtvaartuig voorafgaand aan het experiment en geeft f(ylx) de waarschijnlijkheidsdichtheid 35 voor het experimentele resultaat y aangenomen dat de echte positie van het luchtvaartuig x is. De formule maakt het mogelijk f(xjy) af te leiden, de bijgewerkte waarschijnlijkheidsdichtheidfunctie voor x, gegeven een bepaalde uitkomst y van het experiment.

De vierde term van de vergelijking (1.2), f(y), is de onvoorwaardelijke kans op de experimentele uitkomst y en kan worden verkregen als 40 f(y) = ƒf(y|x) f(x) dxx (13)

X

waarin de integratie loopt over alle mogelijke posities x. Het beste is aan f(y) te denken als een normaliserende constante die ervoor zorgt dat f(xly) wat betreft x integreert naar de eenheid. Merk op dat f(y) afhangt 45 van de experimentele uitkomst y maar niet van de ware-positie van het luchtvaartuig.

Een andere wijze van uitdrukken van de vergelijking (1.2) is f(xly) = CyL^fix) (1.4)

Hierin is is Cy een normaliserende constante terwijl Ly(x) de aannemelijkheidsfunctie voor x, gegenereerd door de waarneming y, wordt genoemd. Ly(x) is identiek met de voorwaardelijke waarschijnlijkheidsdichtheid 50 f(ylx) (afgezien van een te kiezen willekeurige schaal-constante), behalve dat de functie wordt opgevat als een functie van x waarbij y als een parameter wordt opgevat in plaats van andersom.

Een belangrijk bijzonder geval van het theorema van Bayes wordt in de volgende stelling beschreven:

Stelling 1 55 Als f(x) een multidimensionale gaussiaanse verdeling is met gemiddelde waarde jj,, en covariantie-matrix P0, en Ly(x) heeft de vorm 194134 4

Ly(x) = c(y) exp -12 (x - ^)τϋν(χ - ^)(1.5) (1.5) waarin de matrix Jy een niet-negatieve definiet is, d.w.z. dat de aannemelijkheidsfunctie een multidimensio-nale gaussiaanse vorm heeft met ’’gemiddelde” jjy en ’’informatie” matrix Jy, dan is de bijgewerkte verdeling 5 van x, f(xly), een multidimensionale gaussiaanse verdeling met covariantie-matrix P+ = (P0"1 + Jy)"1 0-6) en gemiddelde U+ = p+(JyËy+FV1Ëo) = y®+ P+Jy(tiy - μ®) 0·7) 10 = My + P+P0'1 (fej-üy)

Deze stelling houdt het wezen van het bijwerken van de meting met het Kalman-filter in. Merk op dat de stelling vereist dat de aannemelijkheidsfunctie een gaussiaanse vorm heeft, d.w.z. dat f(ylx) een gaussiaanse vorm heeft indien opgevat als een functie van x. Hiervoor is het in feite noch noodzakelijk of 15 voldoende dat f(ylx) een gaussiaanse vorm heeft indien opgevat als een functie van y. Echter is het bij uiteenzettingen omtrent het Kalman-filter gebruikelijk de verdergaande veronderstelling te maken dat f(ylx) de volgende vorm heeft f(ylx) = k exp - i (y - Cx)TR'1(y - Cx) (1.8) 20 waarin C een constante matrix van de hoogste rang is (de ’’metingmatrix”) en k een normaliserende constante is, d.w.z. y heeft een gaussiaanse verdeling met gemiddelde Cx en covariantie-matrix R. Bij beschouwing van f(ylx) als een functie van x is het gemakkelijk aan te tonen dat de vergelijking (1.8) een gaussiaanse vorm heeft met de ’’informatie” matrix CTR'1C en ’’gemiddelde” C'y waarin C een gegeneraliseerde omgekeerde van C is. In de terminologie van stelling 1 25 y^C-y

Jy = CTR'1C (1.9)

Door deze uitdrukkingen in de vergelijking (1.6) te substitueren worden de bekende Kalman-filtervergelijkingen verkregen P+ = (Po'1 + CTR-1C)-1 30 y+ = P+(CTR‘1y + P0-1 Ho) (1.10) = Mo + P+CTR'1(y - Cy0)

Vanuit een logisch standpunt zijn dan de vergelijkingen (1.7) van meer fundamentele aard dan de standaard-vergelijkingen (1.10) waarbij de vergelijking (1.10) het speciale geval is van de vergelijking (1.7) voor metingen waarvoor f(ylx) de vorm heeft van vergelijking (1.8). Algebraïsch kan echter de vergelijking 35 (1.7) worden beschouwd als een bijzonder geval van vergelijking (1.10) zoals kan blijken door C te vervangen door de eenheidsmatrix I.

2. Toepassing van het theorema van Bayes op terrein-contoumavigatie.

Deze sectie beziet hoe het theorema van Bayes kan worden toegepast op terrein-contour-navigatie (TCN). TCN wordt hier gebruikt als een generieke uitdrukking voor iedere techniek voor ondersteunde 40 navigatie die vertrouwt op het vergelijken van gedetecteerde hoogten in het terrein met die die in een digitale kaart zijn vastgelegd. De uitdrukking TCN is dus bedoeld om bepaalde implementaties, zoals TERCOM, SITAN, CAROTE, SPARTAN, TERPROM en zo meer te omvatten.

Dit is een geschikt punt om de grondgedachte van TCN bij toepassing op luchtvaartuigen nog eens te bezien onder verwijzing naar figuur 1. Er zijn drie soorten meetgegevens nodig. In de eerste plaats vergt de 45 techniek een reeks metingen van de vrije ruimte onder het luchtvaartuig (d.w.z. de hoogte boven het terrein). Deze reeks wordt gewoonlijk verkregen door het uitgangssignaal van een radio- of laser-hoogtemeter te bemonsteren, eventueel met wat extra vóórfiltering; in de praktijk is een horizontaal bemonsteringsinterval van ongeveer 100 m gebruikelijk, maar dit is niet kritisch. In de tweede plaats zijn gegevens van een barometrische of baro-inertriële hoogte-detector nodig voor het meten van iedere 50 verticale verplaatsing van het luchtvaartuig tussen opeenvolgende metingen van de vrije ruimte. In de derde plaats is één of andere vorm van een stelsel voor het opmaken van een gegist bestek (bijvoorbeeld een inertieel stelsel of een Doppler-radar plus een koers-referentie) nodig voor het meten van de relatieve horizontale posities van de metingen van de vrije ruimte onder het luchtvaartuig. Het wezen van TCN is het gebruiken van deze gegevens voor het reconstrueren van het profiel van het terrein onder de baan van het 55 luchtvaartuig. Een digitale kaart van de terreinhoogte wordt vervolgens afgezocht om een bijpassend profiel te vinden in de nabijheid van de positie van het luchtvaartuig zoals die tevoren is geschat; deze kan vervolgens worden gebruikt als de basis van een bijstelling van de gegiste positie.

5 194134

Er is in principe geen reden waarom het theorema van Bayes niet rechtstreeks op dit probleem kan worden toegepast. Uitgaande van het theorema in de vorm van vergelijking (1.4) geldt f(xly) = CyLy(x)f(x) (2.1)

Hierin is Cy een normaliseringsconstante, f(x) de waarschijnlijkheidsdichtheidfunctie voor de positie van het 5 luchtvaartuig voorafgaand aan het bijstellen van TCN en is f(xly) de dichtheidsfunctie na het in rekening brengen van een stel y TCN-meetgegevens zoals hierboven beschreven. (Het is het eenvoudigst te denken aan x als eenvoudigweg de positie van een luchtvaartuig voorsteilend. Verderop in de beschrijving zal het gemakkelijk zijn om x te gebruiken als voorstelling van de fout in de positie zoals die is geschat door het gegist bestek opmakende navigatiestelsel, of als een fout-vector van het navigatiestelse! met een hogere 10 dimensionaliteit.)

De overblijvende term is de aannemelijkheidsfunctie:

Ly(x) = f(ylx) (2.2)

Om deze te bepalen moet het antwoord worden gevonden op de vraag: hoe groot is de kans een stel terrein-profielgegevens y waar te nemen indien de ware positie van het luchtvaartuig x is? Deze kans (of 15 preciezer gezegd waarschijnlijkheidsdichtheid) moet worden opgevat als een functie van de positie x van het luchtvaartuig voor een gegeven groep profielgegevens y.

Het resterende gedeelte van dit hoofdstuk zal gaan om voorbeelden van manieren waarop een praktische benadering van de aannemelijkheidsfunctie (AF) kan worden berekend. Hiervoor bestaan een aantal verschillende benaderingen.

20 Een eerste keuze is of de hoogte van een luchtvaartuig expliciet moet worden opgenomen in de berekening van de AF of als een storingsparameter moet worden behandeld. Een andere keuze is of de metingen van de vrije ruimte onder het luchtvaartuig individueel of in groepen moeten worden behandeld; deze beschrijving zal in het algemeen de eerste benadering als een bijzonder geval van de tweede behandelen (d.w.z. groepen van één exemplaar).

25 Het lijkt nuttig hier de terminologie uit te breiden. Groepen van opeenvolgende terreinmetingen die samen worden behandeld met het doel een AF te berekenen, zullen worden aangeduid als transect. De individuele vrije-ruimtemetingen die in een transect zijn opgenomen, zullen transectpunten worden genoemd en de horizontale afstand langs de baan tussen het eerste en het laatste punt in een transect wordt de transecMengte genoemd (zie figuur 2). Eén van de transectpunten wordt het transect-referentiepunt (TRP) 30 genoemd; de precieze keuze van TRP is een kwestie van afspreken, maar het is voordelig een punt te kiezen nabij het midden van de transect.

De vraag die de AF moet beantwoorden, kan nu worden geformuleerd als: hoe groot zal de waarschijnlijkheid (dichtheid) zijn voor de waargenomen transect-gegevens y indien de ware positie van het luchtvaartuig op het tijdstip van de TRP x is geweest? Bij het bepalen hiervan zijn de volgende meetfoutbronnen van 35 belang: 1. fouten in de meting van de vrije ruimte onder het luchtvaartuig (radiohoogtemeterfouten), 2. instelfout en drift bij de meting van de hoogte van het luchtvaartuig boven zeeniveau (of ander referentie-vlak), 3. drift in de horizontale gegist-bestekfout, leidend tot fouten bij de bepaling van de positie van de overige 40 transectpunten ten opzichte van het TRP. Dit zijn detectorfouten. Bovendien is het noodzakelijk acht te slaan op wat beredeneerbaar een soort rekenfout is, namelijk fouten die verbonden zijn met de digitale referentiekaart. Deze zijn drieërlei: 4. fouten in de op de digitale kaart vastgelegde hoogtes van bepaalde punten, 5. fouten die het gevolg zijn van interpolatie in de digitale kaart, 45 6. fouten als gevolg van afdekking van de bodem.

Nog andere foutbronnen moeten in rekening worden gebracht indien de terreinmetingen vanaf grote hoogte worden genomen en /of een vrije-ruimte-detector wordt gebruikt die werkt met een smalle bundel.

Het is echter hier niet de bedoeling deze foutbronnen in bijzonderheden te bespreken maar te laten zien hoe modellen voor dergelijke fouten kunnen worden ingepast in de berekening van de AF. Dit zal worden 50 gedaan met gebruikmaking van twee eenvoudige voorbeelden.

Voorbeeld 1

In dit voorbeeld zullen transects worden beschouwd die bestaan uit één enkel transect (d.w.z. dat de vrije-ruimte-metingen individueel worden verwerkt) en zal de hoogte van het luchtvaartuig als een expliciete 55 onbekende worden behandeld. In het geval van een transect met één enkel punt zullen de foutbronnen (2) en (3) niet van belang zijn voor de berekening van de AF zelf (ofschoon zij van belang zullen zijn voor de voortplanting van de gegiste positie van een luchtvaartuig van de ene transect naar de volgende).

194134 6

Aangenomen wordt dat de overige foutbronnen als volgt gezamenlijk door een eenvoudig gaussiaans model kunnen worden voorgesteld: laat het terreinoppervlak dat door interpolatie in de digitale kaart is verkregen, zijn voorgesteld door de functie m(x,y). Indien vervolgens de ware positie van het luchtvaartuig op het tijdstip van de meting van de vrije ruimte (x,y,z) is, zal de gemeten vrije ruimte s verschillen van de 5 voorspelde waarde (z-m(x,y)), gedeeltelijk als gevolg van radio-hoogtemeterfouten, (1), en gedeeltelijk als gevolg van kaartfouten, (4), (5) en (6). Het model dat in dit voorbeeld moet worden aangenomen, veronderstelt dat dit verschol is verdeeld in een gaussiaanse verdeling met gemiddelde nul en standaard-afwijking σ en dat de fouten voor verschillende metingen van de vrije ruimte statistisch onafhankelijk zijn.

Dit model voert rechtsteeks tot de volgende vergelijking voor de AF: '° Μ» - βχΡ - i? C -2 + "’«Μ'»’ (2.3) waarin x = (x, y, z) en de meting y uit de enkelvoudige vrijeruimte-meting s bestaat. De AF is dus een functie van drié variabelen en de oppervlakken van constante aannemelijkheid lopen evenwijdig aan het 15 terrein zoals weergegeven in figuur 3.

Voorbeeld 2.

In dit voorbeeld wordt een transect van n punten (n>1) beschouwd en wordt de hoogte van het luchtvaartuig opgevat als een storingsfactor.

20 Laat voor elk transectpunt i, i = 1, ...n, de gemeten hoogte van het luchtvaartuig a, zijn, de gemeten vrije ruimte onder het vliegtuig s, en Δχ,, Ay, de zijdelingse verplaatsingen (figuur 2) van het transectpunt vanuit het transect-referentiepunt, zoals gemeten d.m.v. het gegist- bestek-stelsel.

Met het oog op het voorbeeld zal drift in de horizontale gegist-bestek-fout tijdens de doorloop van een transect verondersteld worden verwaarloosbaar te zijn zodat de gemeten Ax, en Ay, als juist kunnen worden 25 aangenomen. Op dezelfde wijze zal drift in de meting van de hoogte van het luchtvaartuig worden aangenomen tijdens een transect verwaarloosbaar te zijn: eenvoudigweg zal worden aangenomen dat de a, een onbekend bedrag c fout zijn welk bedrag over de gehele transect constant is (QNH-fout). Verder wordt aangenomen dat radio-hoogtemeter- en digitale kaart-fouten net als in voorbeeld 1 in een model kunnen worden gebracht, dat wil zeggen dat zij gezamenlijk 30 resulteren in een willekeurige gaussiaanse fout met standaardafwijking σ.

Veronderstel dat de ware horizontale positie van het luchtvaartuig ter plaatse van de TRP (x,y) is; de ware positie in het transectpunt i zal dan zijn (X + Ax,, y + Ay,). Dit levert een ’’kaaitprofiel ” op dat wordt verschaft door de reeks hoogtes m, = m( x + Ax,, y + Ay,) voor i = 1 ,...n (2.4) 35 Daarentegen is er een "gedetecteerd profiel”, verschaft door t, = h, - s, voor i = 1 ,...n (2.5)

Allereerst de verschillen d, = t, - m, voor i= 1 ,...n (2.6)

Uit de voorafgaande bespreking is het duidelijk dat deze verschillen kunnen worden voorgesteid als 40 d, = c + n, (2.7) waarin c de QNH-fout is en de n, onafhankelijke willekeurige gaussiaanse variabelen zijn met gemiddelde nul en standaardafwijking σ voorstellende radio-hoogtemeter- en kaart-ruis.

Teneinde de onbekende constante c te elimineren worden de eerste verschillen f, en m', gevormd: t', = W, -1, (2.8) 45 m', = mw - m.

Met andere woorden worden in plaats van de verschillen tussen het gedetecteerde profiel en het kaartprofiel wat betreft individuele terreinhoogtes de verschillen in wijzigingen van de terreinhoogte langs het profiel bezien. Uit vergelijking (2.7) volgt f, - m', = dM - d, = nM - n, (2.9) 50 d.w.z. f, = ημ., - n, + m',

Aldus zijn de Y, onafhankelijk van c en kan hun gezamenlijke waarschijnlijkheidsverdeling gemakkelijk worden bepaald.

Aangezien de f, lineaire communicaties zijn van gaussiaanse grootheden, zijn de f, zelf gaussiaans met een gemiddelde 55 E(fJ = E(nw) - E(nJ + E(m',) = m', (2.10) en covarianties E (t', - m'jHt', - m',) 7 194134 = Ein^rvi) — — E^n^) + Ε(Π|Π|) {2α2 voor i = j cr2 voor li—jl = 1 (2.11) 0 in andere gevallen 5

Hieruit volgt dat de waarschijnlijkheidsdichtheidfunctie voor de vector f = (tV-fn-i) wordt gegeven door de formule: 10 (2.12) waarin rtf = (mV·· mV) en de covariantiematrix is die wordt gegeven door vergelijking (2.11), d.w.z.

Γ 2-1 ”1 -1 2-1 15 -12-1 2 = 62 (2.13) -1 2-1 -1 2-1

20 L -1 2 J

Vergelijking (2,12) geeft de waarschijnlijkheid van het waarnemen van het gedetecteerde profiel V indien de ware positie van het luchtvaartuig in het transect referentiepunt (x, y) zou zijn. De AF kan rechtstreeks worden verkregen door deze op te vatten als een functie van (x, y). Zo ver gekomen is het ook toelaatbaar 25 een constante schaalfactor in te voeren (of te verwijderen) aangezien het effect daarvan in ieder geval zal worden opgeheven door de normaliserende constante cy in vergelijking (1.4). Aldus geldt: L (x,y) = exp - \ (r-m3™(t' - rrV) (2.14) 30 Voor vele doeleinden is het eenvoudiger de natuurlijke logaritme van de aannemelijkheid of logaannemelijkheid te beschouwen, dat wil zeggen, ,nL = ^'-!ü,)7ï'1(r-m') (2.15) 35 De op deze wijze berekende AF is dus een functie van slechts twee variabelen.

De werkwijze volgens het tweede voorbeeld kan gemakkelijk worden gemodificeerd om drift in het verticale navigatiekanaal op te vangen en dit is in een aantal toepassingen van voordeel gebleken te zijn.

De werkwijze kan ook worden uitgebreid voor het opvangen van horizontale kanaal-drift (d.w.z. snelheids* fouten).

40 3. Een praktische implementatie (Proto-SPARTAN)

Het voornaamste probleem van terreincontournavigatie is het schatten van de fouten in een gegistbestek-navigatiestelsel van een luchtvaartuig (of van een ander voer- of vaartuig) dat gebruik maakt van de terreingegevens die worden geleverd door een TCN-transect van één of meer punten.

Het vorige hoofdstuk bezag het toepassen van het theorema van Bayes, vergelijking (1.4), op dit 45 probleem en wel rechtstreeks, gegeven een geschikte benadering van de aannemelijkheidsfunctie.

Een implementatie hiervan zou de positiefout als de onbekende kunnen nemen en kunnen werken met een twee-dimensionale matrix die de waarschijnlijkheden (of preciezer waarschijnlijkheidsdichtheden) voor mogelijke positiefouten geeft. Bij elke positiebepaling zou de matrix met gebruikmaking van vergelijking (1.4) worden bijgewerkt terwijl tussen positiebepalingen in de matrix zou worden bijgewerkt in overeenstemming 50 met een model van de fout-voortplanting in het gegist-bestek-stelsel.

In de praktijk heeft deze "ideale TCN volgens Bayes” een aantal bezwaren, maar het is nuttig om het in gedachte te houden als een toetssteen voor het beproeven van praktische technieken.

Het eerste bezwaar met de "ideale TCN” is de hoeveelheid rekenwerk die ermee gepaard gaat, zowel bij het bijwerken van de meting volgend op een positiebepaling, als bij het bijwerken op basis van verlopen tijd 55 tussen de positiebepalingen in. Dit is in het bijzonder het geval indien de fout-voortplanting van het gegist-bestek-stelsel wordt beschreven door een differentiaal-vergelijking van hoge orde zoals gemakkelijk het geval kan zijn met een inertieel navigatiestelsel.

194134 8

In dit geval is het niet voldoende de matrix van waarschijnlijkheden uit te breiden over de twee dimensies van positiefouten: de matrix moet zich uitstrekken over de n dimensies van de toestandsvector van het stelsel hetgeen een enorme toename van de grootte van de matrix meebrengt. Een tweede bezwaar, zonder twijfel overwinbaar, is dat het ’’uitgangssignaal” van het ’’ideale” stelsel een reeks waarschijnlijkhe-5 den zal zijn die naar verwachting te ingewikkeld is als ingangssignaal naar andere stelsels die navigatie* gegevens nodig hebben. Deze andere stelsels zullen eerder uitkijken naar invoer in de vorm van ’’gemiddelde en standaard afwijking”.

De nu klassiek geworden techniek voor het uitvoeren van het bijwerken op basis van tijd en van meting van een toestandsschatting van een stelsel is vanzelfsprekend het Kalman-filter dat rekentechnisch 10 hanteerbaar is en antwoorden geeft in de verlangde vorm. Zoals echter bleek in hoofdstuk 1 neemt het Kalman-filter aan dat de aannemelijkheidsfunctie die door een meting wordt gegenereerd, een gaussiaanse vorm heeft. Is het dan mogelijk het Kalman-filter aan te wenden bij het bijwerken van de TCN?

Gelukkig toont de ervaring dat wanneer de aannemelijkheidsfunctie wordt berekend langs de in hoofdstuk 2 beschreven lijnen, dat dan voor transects van meer dan ongeveer 3 km de aannemelijkheidsfunctie steeds 15 ruwweg de gaussiaanse vorm heeft. Dit wordt toegelicht in figuur 4 die de AF toont voor een transect van 61 punten, ongeveer 6 km lang, waarbij de functie is berekend op een wijze die lijkt op die van voorbeeld 2 in hoofdstuk 2.

(Er zijn in ieder geval theoretische redenen voor de veronderstelling dat de AF ongeveer gaussiaans zal zijn in de nabijheid van zijn top mits, de ten grondslag liggende foutprocessen ongeveer gaussiaans zijn en 20 het terreinoppervlak redelijk continu is.)

Deze waarneming is de basis voor de implementatie van terrein-contour-navigatie, hier genoemd Proto-SPARTAN, waaruit de SPARTAN-techniek is ontwikkeld. Globaal is de procedure voor elke Proto-SPARTAN positiebepaling als volgt.

Eerst wordt een raster van aannemelijkheidswaarden berekend waarbij de afmetingen van het raster 25 worden bepaald door de onzekerheid van de vorige positiebepaling. Een functie met gaussiaanse vorm wordt vervolgens op het raster van aannemelijkheden gepast en dit wordt onderworpen aan twee controles: a. de topwaarde van de passende AF wordt gecontroleerd om ervoor te zorgen dat deze consistent is met een reële gelijkmaking van profielen onder de aangenomen bronnen van fouten.

b. De verschillen tussen de raster-aannemelijkheden en de passende Gauss-functie worden beoordeeld om 30 het goed passend zijn te controleren. Indien één van deze controles faalt, wordt de positiebepaling verworpen; anders worden de noodzakelijke parameters van de Gauss-functie (y,, en Jy van vergelijking (1.5)) afgeleid en over het Kalman-filter gevoerd. Figuur 5 toont een sectie van de berekende AF voor een monster-transect samen met zijn benaderende Gauss-functie.

Bij implementatie verschilt de Proto-SPARTAN-techniek enigszins van de hierboven gegeven beschrijving 35 doordat hij in de eerste plaats werkzaam is in termen van de log-aannemelijkheidsfunctie - de natuurlijke logaritme van de AF - en opereert door een tweedegraads-functie aan te passen aan de berekende log-aannemelijkheden. Echter wordt de aanpassing op zodanige wijze gedaan dat een goede overeenstemming wordt verkregen tussen de overeenkomstige aannemelijkheidsfunctie zodat de procedure logisch gelijkwaardig is aan die in de voorafgaande alinea is beschreven. In de hierna geïntroduceerde SPARTAN-40 techniek speelt de log-aannemelijkheidsfunctie eveneens een belangrijke rol.

4. Potentiële voordelen van korte transects

De Proto-SPARTAN-techniek levert positieverbeteringen die zijn gebaseerd op terreingegevens die zijn verzameld over een korte maar niet onaanzienlijke tijd, wellicht 30 tot 60 seconden. Bijgevolg is de schatting van een positiefout, geleverd door een positiebepaling, gebaseerd op een gewogen gemiddelde van de 45 positiefout over deze tijd waarbij het wegen afhangt van het terrein dat door de transect wordt gedekt. In de praktijk wordt de positiebepaling opgevat als een schatting van de positiefout op één enkel tijdstip ongeveer halfweg langs de transect (het transect-referentiepunt). Deze aanname is uitgebreid geldig gemaakt door de waardepositie (fotografische bepaling) in het transect referentiepunt te vergelijken met de positie volgens Proto-SPARTAN. Uit deze analyses van vluchtproeven bleek dat Proto-SPARTAN op consistente wijze 50 goede bepalingen kan geven. Ofschoon elke bepaling aldus kan worden opgevat als betrokken op de positie van het luchtvaartuig midden in de transect, wordt echter de bepaling in werkelijkheid niet beschikbaar voor het eind van de transect plus nog een verdere vertraging voor de berekening. Er is aldus een totale vertraging van ten minste 15 seconden tussen de binnenkomst van een bepaling en het tijdstip waarop de bepaling betrekking heeft. Het is voldoende rechtstreeks om het Kalman-filter bij te stellen om 55 met deze vertraging rekening te houden, maar de achterstand kan niettemin een belangrijke begrenzende factor zijn in de prestatie van het stelsel op het punt van real-time navigatie.

Figuur 6A licht dit toe. De figuur toont de standaard deviatie van een component van de positiefout, 9 194134 uitgezet tegen de tijd, voor een eenvoudig geïdealiseerd navigatiestelsel.

De figuur toont de stationaire toestand waarin het stelsel elke minuut wordt bijgewerkt door middel van een TCN-positiebepaling waarvoor de bijbehorende component van de positiefout 50 meter (1 sigma).

T1 markeert een transect referentiepunt.

5 Indien de positiebepaling beschikbaar was in het transect referentiepunt waarop hij betrekking heeft, zou de positiefout de stippellijn volgen en aldus een zaagtandvormige variatie uitvoeren tussen 45 m en 103 m standaard-deviatie. De positiebepaling is echter in feite niet beschikbaar voor op zijn vroegst T2 zodat de feitelijke fout-voortplanting wordt voorgesteld door de getrokken lijn met een zaagtandvariatie tussen 69 m en 145 m standaard-deviatie.

10 Het zaagtandeffect zal duidelijk minder geprononceerd zijn bij een beter gegist-bestek-bepalend stelsel; het in figuur 6A getoonde stelsel heeft een gegist-bestekprestatie van ongeveer 10 km/h. Figuur 7A toont de bijbehorende uitkomsten voor een stelsel met een prestatie van 1 km/h en dit suggereert dat de Proto-SPARTAN-techniek geheel bevredigend zou zijn voor toepassing in een bemand gevechtsvliegtuig waarin een goed inertieel navigatiestelsel gewoonlijk in ieder geval verplicht is. In vele toepassingen zal het echter 15 wenselijk zijn ernstig te bezuinigen op de gegist-bestek leverende instrumenten en te vertrouwen op een doorlopende TCN-positiebepaling om de navigatie-prestaties vol te houden. In dergelijke toepassingen zou een grote zaagtandfluctuatie tussen positiebepalingen een ernstige grens leggen aan de bezuinigingen die kunnen worden ingevoerd binnen de vereisten van de opdracht.

De voor de hand liggende oplossing is het gebruiken van kortere transects. Veronderstel bijvoorbeeld dat 20 elke transect van 60 seconden wordt opgedeeld in 10 transects van 6 seconden. Indien de terreininformatie gelijkmatig in het verloop van tijd is verdeeld zal elk van de nieuwe transects één tiende gedeelte van de informatie in de oorspronkelijke positiebepaling bevatten zodat kan worden verwacht dat de variantie van de nieuwe positiebepalingen 10 maal die is van de oude, hetgeen een standaard-deviatie van 50 x VTÖ = 158 m.

25 Indien nu de positiefout-voortplanting van hetzelfde gegist-bestek-stelsel als in figuur 6A maar met 6 sec.-transects, wordt uitgezet, wordt figuur 6B verkregen. De positiefout heeft nu een zaagtandfluctuatie tussen 65 m standaarddeviatie en 70 m standaard-deviatie, een aanzienlijke verbetering in termen van het stelsel.

Figuur 7B toont het overeenkomstige resultaat voor het gegist-bestek-stelsel van hoge kwaliteit. Het zal 30 duidelijk zijn dat de verbetering van de prestatie in dit geval slechts marginaal is.

5. De problemen van korte transects

Het vorige hoofdstuk suggereert dat het wenselijk is zo kort mogelijke transects te gebruiken.

Maar dit is alleen zo indien het mogelijk is de informatie in een korte transect even doelmatig te verwerken als mogelijk is voor een lange transect. In het bijzonder werd aangenomen dat de fout in de 35 positiebepaling, overige zaken gelijk zijnd, ongeveer zou variëren als de omgekeerde van de vierkantswortel van de lengte van de transect en het is nu toepasselijk om preciezer te kijken naar de grondslag van deze veronderstelling.

Zoals in hoofdstuk 2 al aangekondigd wordt hier aangekomen de aannemelijkheidsfunctie niet langer opgevat als een functie van de positiefout in het gegistbestek (DR)-stelsel van het luchtvaartuig. Deze 40 wijziging van variabele zal betekenen dat de door opeenvolgende transects gegenereerde AFs kunnen opvatten als betrekking te hebben op praktisch dezelfde onbekende grootheid.

Uit de definitie van de aannemelijkheidsfunctie volgt dat de AF die gezamenlijk door een groep statistisch onafhankelijke metingen gegenereerde AF gelijk zal zijn aan het product van de AFs die door de individuele metingen zijn gegenereerd; dit is zo omdat de gezamenlijke waarschijnlijkheidsdichtheidfunctie gelijk zal zijn 45 aan het product Van de marginale dichtheidfuncties. Het gevolg is dat indien een doorlopende reeks van korte transects wordt geconsolideerd om één enkele lange transact te vormen, de door deze lange transect gegenereerde AF althans bij benadering gelijk zal zijn aan het product van de door de korte transacts gegenereerde AFs. (Slechts bij benadering als gevolg van ondergeschikte statistische afhankelijkheden tussen de korte transacts en omdat de positiefout enigszins varieert van de ene korte transact naar de 50 volgende.)

Indien in het bijzonder de n korte transects AFs zouden genereren van de gaussiaanse vorm L,(x) = exp-1(5-0)^,(3-1¾) (5.1) 55 voori = 1,...n die overeenkomt met vergelijking (1.5), zal de geconsolideerde lange transact een AF genereren van dezelfde vorm 194134 10 L(x) = exp -1 (x - y.)TJ (x - h) (5.2) waarin 5 Π_ J = jt1J| (5·3)

In het bijzondere geval waarin J, alle gelijk zijn, geldt J = nJ, (5.4)

Met andere woorden zal de dispersie van de AF (gegeven door de omgekeerde van de "informatie”-10 matrix J en dus overeenkomend met variantie) omgekeerd evenredig zijn met de lengte van de transect.

Zoals bleek in hoofdstuk 3 heeft de door voldoend lange transects gegenereerde AF een bij benadering gaussiaanse vorm. Dit is ongelukkigerwijs niet waar voor korte transects, zoals figuur 3 en figuur 8 laten zien. Het blijft echter waar dat de lange transect AF ongeveer gelijk zal zijn aan het product van de korte transect AFs en dat indien de korte transectgegevens zouden worden verwerkt door middel van de ’’ideale 15 werkwijze volgens Bayes ” die aan het begin van hoofdstuk 3 is beschouwd, er geen probleem zou zijn en dat de potentiële voordelen van korte transects zoals uiteengezet in hoofdstuk 4, zouden worden verwezenlijkt. Echter is, zoals hoofdstuk 3 verder beredeneerde, deze ideale mechanisering volgens Bayes onpraktisch en moet in plaats daarvan worden gekeken naar mechaniseringen die bijvoorbeeld zijn gebaseerd op het Kalman-filter. Een noodzakelijke voorwaarde voor het gebruikmaken van het Kalman-filter is dat de AF 20 wordt benaderd door een functie met gaussiaanse vorm. Het is deze benadering die de problemen veroorzaakt: (a) hoe moet het worden gedaan? en (b) bewaart hij de eigenschap die wordt uitgedrukt door vergelijking (5.3) of resulteert hij in een snellere verslechtering wat betreft doeltreffende positiebepaling-snauwkeurigheid bij kortere transectlengte? - in welk geval de potentiële voordelen van kortere transects niet geheel zullen worden verwezenlijkt.

25 Hoe kan een aannemelijkheidsfunctie, zoals die in de figuren 3 en 8, op bevredigende wijze worden benaderd door een functie met gaussiaanse vorm? Eén werkwijze is toegelicht in figuur 9A. Indien bekend is dat het luchtvaartuig eerder in een klein gebied zoals R is geweest, zal veelal de AF bijna gausslaans zijn binnen dat kleine gebied en kan hij dus worden benaderd als getoond in figuur 9B. Dit ligt ten grondslag aan implementaties van TCN zoals SITAN en TERPROM ofschoon deze gewoonlijk worden uitgedrukt in 30 termen van linearisering van het terrein (d.w.z. het benaderen van het terrein binnen R door een meetkundig vlak) in plaats van de AF te benaderen met een gaussiaanse functie, maar het is uit de figuren duidelijk dat dit op hetzelfde neerkomt.

Om geldig te zijn behoeft deze benadering een nauwkeurige aanvankelijke schatting van de positie van het luchtvaartuig en deze wordt gewoonlijk tot stand gebracht met gebruikmaking van een positiebepaling 35 op basis van een terreincontour in een lange transect. Een eventueel probleem ontstaat indien er plaatselijke fouten zijn in de digitale kaart, een zeer reële mogelijkheid in de praktijk. De plaatselijke kaartfout zal leiden tot een onjuiste benadering met een vlak hetgeen zal leiden tot een foute correctie van de positie-schatting. De resulterende foute positieschatting zal betekenen dat voor het volgende radiohoogtemeter-monster de vlak-benadering is gebaseerd op het verkeerde deel van de digitale kaart en kan (zelfs als de 40 kaart hier nauwkeurig kan zijn) gemakkelijk leiden tot een tweede foute positie-correctie, enzovoort.

Kennelijk moet enige verslechtering in de navigatieprestatie bij het bestaan van plaatselijke kaartfouten worden verwacht maar men moet ten minste mikken op het tijdelijk maken van de invloed van deze fouten in plaats van dat zij tot een domino-effect voeren.

Technieken van deze soort bevatten in het algemeen extra maatregelen met het oog op het verzachten 45 van de vooronderstelling dat het terrein bij benadering lineair is binnen de zone van positie-onzekerheid. Dit is een belangrijke stap want omdat de theorie achter het zogenaamde uitgebreide Kalman-filter het gebruik van Kalman-technieken rechtvaardigt bij het behandelen van niet-lineaire stelsels in gevallen dat de stelsel-vergelijkingen kunnen worden benaderd door lineaire vergelijkingen binnen een onzekerheidsgebied om een nominale baan in de toestandsruimte, wordt nu overwogen de techniek toe te passen in gevallen 50 dat het stelsel uitgesproken niet-lineair is binnen het onzekerheidsgebied.

De algemeen aanvaarde werkwijze is ruimte te geven voor het niet-lineair zijn van het terrein door een hoger niveau van meetruis te vooronderstellen. Zoals Hostetler en Beckmann het stellen In een artikel dat verscheen op de bladzijden 1263 tot 1270 van de Proceedings of the IEEE National Aerospace and Electronics Conference, 1978, ”Een niet-lineairiteit-parameter wordt berekend die beschrijft hoe nauwkeurig 55 het terrein beneden het stelsel kan worden benaderd door middel van stochastische lineairisering in het Kalman-filter.

Deze benaderingsfout wordt behandeld als extra meetonzekerheid tijdens de berekening van de 11 194134

Kalman-versterkingsmatrix waarbij dus de versterkingsfactoren worden gemoduleerd wanneer de lineaire benadering pover is”. Een verdere bespreking van deze benadering verschijnt in een artikel van Andreas, Hostetler en Beekman op de bladzijden 1023 tot 1030 van de Proceedings of the IEEE National Aerospace and Electronics Conference 1979.

5 In kwalitatieve termen is het duidelijk dat deze benadering geschikt is doordat hij veroorzaakt dat het Kalman-filter minder gewicht geeft aan bijstellingen die van niet-lineair terrein afkomstig zijn. Bovendien kan hij in theoretische termen worden gerechtvaardigd en geeft de literatuur aan dat hij in de praktijk werkt. Echter is het wezen van de benadering het negeren van een gedeelte van de ter beschikking staande informatie. De digitale kaart registreert in bijzonderheden de niet-lineariteiten in het terrein. De techniek die 10 werd besproken, negeert deze bijzonderheden en doet het ais het ware voorkomen dat de kaart een plaatselijk vlak stuk terrein laat zien maar dat er een extra ruisbron (’’linearisatieruis”) is die leidt tot afwijkingen van de waargenomen terreinhoogte ten opzichte van dit meetkundige vlak.

Opgemerkt moet worden dat er geen analogie is met deze linearisatie-ruis in werkwijzen met de lange transect zoals beschreven in hoofdstuk 3 die de gegevens van de digitale kaart direct in zijn volle omvang 15 benutten. Het gebruik van korte transects heeft dus een prijs die moet worden vergeleken met de voordelen die door hoofdstuk 4 zijn beloofd.

6. Herverdeling van log-aannemeiijkheden

Veronderstel dat een aantal onafhankelijke statistische metingen zijn gedaan van een bepaalde niet-variërende onbekende grootheid. Onder statistische metingen worden eenvoudigweg verstaan waamemin-20 gen van gegevens waarvan de waarschijnlijkheidsverdeling afhangt van de onbekende grootheid in kwestie. Er zijn dan een aantal verschillende manieren waarop het theorema van Bayes kan worden benut voor het bijstellen van de kennis van de onbekende grootheid. Voor elke waarneming afzonderlijk kan een aannemelijkheidsfunctie worden afgeleid en het theorema van Bayes kan herhaaldelijk worden toegepast. Anders kunnen alle waarnemingen samen worden gebracht, één enkele AF worden afgeleid voor de 25 waarnemingen gezamenlijk en het theorema van Bayes éénmaal worden toegepasL

Opnieuw kunnen deze waarnemingen worden gegroepeerd in subgroepen van een tussenmaat en kan een AF voor elke sub-groep worden afgeleid. Op welke wijze het ook wordt gedaan, het eindresultaat zal kennelijk hetzelfde zijn. Dit is omdat in elk geval het product van de AFs hetzelfde is - of, gelijkwaardig, de som van de log-aannemelijkheidsfuncties die worden gebruikt, is in elk geval dezelfde.

30 Hiermee kan worden verdergegaan. Veronderstel dat in de loop van het toepassen van het theorema van Bayes op dit probleem, dat het rekentechnisch gemakkelijk is de individuele AFs te benaderen. Dit zal geen verschil maken voor het eindresultaat mits de som van de logaritmus van de benaderende functie gelijk is aan de som van de oorspronkelijke log-aannemelijkheidsfuncties. Met andere woorden, zover het gaat om het eindresultaat is het rekentechnisch gerechtvaardigd log-aannemelijkheid (op additieve wijze) te 35 herverdelen tussen de ene sub-groep metingen en een andere, mits de totale som bewaard wordt.

Deze mogelijkheid is fundamenteel voor de SPARTAN-implementatie van TCN. In dit geval is de onbekende in kwestie de positiefout in een navigatiestelsel en zijn de sub-groepen van metingen de korte transects. Net als Proto-SPARTAN opereert SPARTAN door een tweedegraads functie passend te maken op de log-AF die uit de transect-gegevens is afgeleid.

40 Het nieuwe kenmerk is dat de restfunctie, het verschil tussen de berekende log-aannemelijkheden en de passend gemaakte tweedegraads functie, niet langer van onwaarde geacht, maar naar voren toe herverdeeld om te worden beschouwd in samenhang met de gegevens uit de volgende transect; deze restfunctie, gewoonlijk aangeduid als de voorraadfunctie, kan worden opgevat als voorstellende informatie die aan de terreingegevens is ontleend, maar die nog niet over het Kalman-filter is doorgegeven.

45 De omstandigheid dat de aannemelijkheidsfuncties die door lange transects zijn gegenereerd, in het algemeen van gaussiaanse vorm zijn, althans in een goede benadering, suggereert dat deze restfunctie niet zal groeien op een onaanvaardbare onstabiele wijze naar mate meer korte transects zijn verwerkt en dit wordt in de praktijk bevestigd.

7. De SPARTAN-techniek 50 De SPARTAN-techniek benut de grondgedachten van het vorige hoofdstuk om een radicaal andere oplossing van het probleem met de korte transects te verkrijgen. Eén beperking van de uiteenzetting in hoofdstuk 6 is echter dat de positiefout wordt behandeld als een niet-variêrende onbekende.

Gelukkig kan de oplossing worden gegeneraliseerd door de restfunctie of voorraadfunctie te transformeren om de dynamiek van de navigatie-stelselfouten mogelijk te maken.

55 De als resultaat verkregen procedure opereert door door de volgende stappen heen te itereren, zoals voorgesteld in figuur 10.

1. Een functie van twee variabelen (die de horizontale componenten van de DR positiefout voorstellen), 194134 12 aangeduid als de voorraadfunctie, wordt gelnitialiseerd met gelijk aan nul te zijn.

2. Wanneer gegevens voor een transect beschikbaar komen berekend het stelselde log-aannemelijkheidsfunctie voor deze gegevens over een zoekgebied dat is bepaald door de actuele positie-onzekerheid zoals geschat door het Kalman-filter.

5 3. De log-aannemelijkheidsfunctie wordt bij de voorraadfunctie opgeteld.

4. Het stelsel past nu een tweedegraads oppervlak op de som van de voorraadfunctie en de log-aannemelijkheidsfunctie.

5. De toepasselijke parameters van de tweedegraads functie worden afgeleid en gebruikt voor het uitvoeren van een bijstelling van de meting in het Kalman-filter.

10 6. De tweedegraads functie wordt afgetrokken van de som van de voorraadfunctie en de logaannemelijkheid waarbij de rest een nieuwe voorraadfunctie wordt.

7. De nieuwe voorraadfunctie wordt vastgehouden totdat nieuwe transect gegevens beschikbaar komen maar in de tussentijd wordt hij getransformeerd om de variatie in het tijdsverloop van de fouten van het navigatiestelsel in te voeren.

15 De parameters die deze bijstelling op tijdsverloop van de voorraadfunctie bepalen, zijn vastgesteld door middel van het programma voor het op basis van tijdsverloop bijstellen van het Kalman-filter welk programma ook op dit tijdstip werkzaam zal zijn.

8. De procedure gaat nu verder vanaf stap 2 en deze lus wordt voor onbepaalde tijd herhaald.

De stappen 5 en 6 worden alleen uitgevoerd indien het in stap 4 gevonden tweedegraads oppervlak naar 20 boven toe bol is, d.w.z. gevormd als een koepel. Indien dit niet het geval is wordt er geen meting toegevoerd aan het Kalman-filter en gaat de procedure verder vanaf stap 7.

De tweedegraads benadering in stap 4 wordt op een adaptieve wijze uitgevoerd afhankelijk van de positie-onzekerheid op dat tijdstip. Dit is enorm nuttig tijdens het aanvankelijke binnenkomen vanuit een hoge positie-onzekerheid zoals schematisch in figuur 11 is voorgesteld. Zoals is gebleken, wordt de 25 log-aannemelijkheidsfunctie die door een korte transect is gegenereerd, gekenmerkt door talloze lokale toppen. Met een hoge positie-onzekerheid zal het stelsel passen in een tweedegraads benadering op een brede basis die in het algemeen zeer breed gekoepeld zal zijn. Wat betreft het Kalman-filter zal dit oorzaak zijn voor een voorzichtige positiebepaling die voor niet meer dient dan het elimineren van enkele gebieden waar de log-aannemelijkheid aanhoudend gering is, maar zonder enige poging in dit stadium om tussen de 30 vele toppen te kiezen.

Echter wordt de fijne structuur van de log-aannemelijkheidsfunctie die van de eerste transect (Transect 1) afkomstig is, bewaard in de voorraadfunctie en wordt hij opnieuw bezien in samenhang met de log-aannemelijkheidsfunctie die is afgeleid uit Transect 2. De top in de log-AF afkomstig van Transect 1 die overeenkomt met de ware positie van het luchtvaartuig, zal gewoonlijk worden versterkt door een top in de 35 log-AF van Transect 2, terwijl andere toppen willekeurig zullen worden versterkt of onderdrukt. Deze versterking, gecombineerd met de enigszins verminderde positie-onzekerheid die uit het Kalman-filter komt na de voorafgaande positiebepaling zal resulteren in een tweedegraads benadering die een iets steilere koepel vormt, dat wil zeggen een enigszins betrouwbaarder tweede positiebepaling voor het Kalman-filter.

Opnieuw wordt de fijne structuur van de gecombineerde log-AFs vooruit in de voorraad gevoerd en 40 opnieuw zal de plaatselijke top die overeenkomt met de ware positie van het luchtvaartuig, versterkt gaan worden door middel van eenzelfde top in de log-LA afkomstig van Transect 3. Door herhaling van dit proces kan het stelsel de zone van de positie-onzekerheid snel laten convergeren naar de ware positie. Dit zal gebeuren zodra voldoende terreingegevens zijn verzameld.

Wanneer het stelsel tot rust is gekomen met een positie-onzekerheid die aanhoudend enkele tientallen 45 meters is, zal blijken dat de log-AFs gewoonlijk zeer dicht een tweedegraads functie naderen binnen de zone van de positie-onzekerheid, zoals voorgesteld in figuur 12. In dit geval zijn de naar voren in de voorraadfunctie gevoerde resten nagenoeg nul. Onder deze omstandigheden zal de werking van SPARTAN zeer dicht aansluiten aan die van implementaties zoals SITAN.

Indien op een plaatselijke kaartfout wordt gestoten, kan het stelsel misleid worden. Echter zal de 50 waardepositie van het luchtvaartuig opnieuw verschijnen als een zijdelingse top in de log-AF en deze zal via de voorraad worden versterkt van transect tot transect. Bijgevolg is er een goede kans dat het stelsel automatisch weer in een nauwkeurige navigatie zal terechtkomen. (Een veiligheidsnet van detectie- en herstelprocedures voor fouten in de algoritme is eveneens voorzien maar wordt zelden geactiveerd; deze procedures kosten meer in verbruik van tijd dan een automatisch herstel gewoonlijk neemt.) Ofschoon dit 55 hoofdstuk de SPARTAN-procedure heeft beschreven in termen van herhaalde tweedegraads benadering van de log-aannemelijkheidsfunctie, zal duidelijk zijn dat de techniek in beginsel op gelijke wijze kan worden geïmplementeerd door middel van gaussiaanse benaderingen van de aannemelijkheidsfunctie wanneer de

Claims

13 194134 toepasselijke substituties van vermenigvuldiging voor optelling, deling voor aftrekking en eenheid voor nul worden gemaakt Het zal duidelijk zijn dat een dergelijke inrichting, afgezien van de detectoren die van iedere bekende geschikte vorm kunnen zijn, zal bestaan uit een digitale computer die wordt bestuurd door middel van 5 toepasselijke programmatuur.

1. Inrichting voor het meten van de toestand van een dynamisch stelsel, voorzien van detectie-organen voor het meten van een terrein profiel en rekenorganen omvattende een recursieve schatter, bijvoorbeeld een Kalman-filter, gekenmerkt door a. detectie-organen die een reeks metingen of stellen van metingen leveren die van de actuele toestand van het stelsel bij aanwezigheid van ruis en andere foutbronnen die door een statistisch model kunnen 15 worden voorgesteld, afhankelijk zijn; b. een eerste rekenorgaan voor het bepalen van een log-aannemelijkheidsfunctie die verbonden is met elk van de metingen of stellen van metingen is overeenstemming met het statistisch model; c. een tweede rekenorgaan voor het verkrijgen van de som van de log-aannemelijkheidsfunctie en een restfunctie die aanvankelijk gelijk aan nul wordt gesteld; 20 d. een derde rekenorgaan dat een recursieve schatter gebruikt voor het maken van een model van het dynamische gedrag van het stelsel; e. een vierde rekenorgaan voor het bepalen van een kwadratische benadering van de som van de log-aannemelijkheidsfunctie en de restfunctie, waarbij het passend zijn wordt gewogen in afhankelijkheid van de bestaande onzekerheid in de toestand van het dynamische stelsel zoals blijkt uit het uitgangs- 25 signaal van het derde rekenorgaan; f. een vijfde rekenorgaan voor het uit de kwadratische benadering afleiden van parameters om te dienen als basis voor een verversing van de metingen binnen het rekenorgaan; g. een zesde rekenorgaan voor het aftrekken van de kwadratische benadering van de som van de log-aannemelijkheidsfunctie en de restfunctie waarvan het de benadering is, om zo een nieuwe 30 restfunctie te vormen; h. een zevende rekenorgaan voor het transformeren van de restfunctie om een dynamische wijziging in de toestand van het stelsel tijdens het interval tussen opeenvolgende metingen of stellen metingen in de meetreeks in rekening te brengen; en i. een achtste rekenorgaan voor de bepaling of de kwadratische benadering die voor het vierde 35 rekenorgaan is geleverd, geschikt is om als ingangssignaal voor het derde rekenorgaan te dienen en om werkzaam te zijn indien is bepaald dat de kwadratische benadering voor het gestelde doel geschikt is, tot het activeren van het vijfde en het zesde rekenorgaan en voorts tot het gebruik als ingangssignaal voor het zevende rekenorgaan van de som van de log-aannemelijkheidsfunctie en de restfunctie welke som wordt gebruikt als ingangssignaal voor het vierde rekenorgaan en als de nieuwe restfunctie wordt 40 genomen.

2. Inrichting voor het meten van de toestand van een dynamisch stelsel, voorzien van detectie-organen voor het meten van een terrein profiel en rekenorganen omvattende een recursieve schatter, bijvoorbeeld een Kalman-filter, gekenmerkt door a. detectie-organen die een reeks metingen of stellen van metingen leveren die van de actuele toestand 45 van het stelsel bij aanwezigheid van ruis en andere foutbronnen die door een statistisch model kunnen worden voorgesteld, afhankelijk zijn; b. een eerst rekenorgaan voor het bepalen van een aannemelijkheidsfunctie die verbonden is met elk van de metingen of stellen van metingen is overeenstemming met het statistisch model; c. een tweede rekenorgaan voor het verkrijgen van het product van de aannemelijkheidsfunctie en een 50 restfunctie dat aanvankelijk gelijk aan één wordt gesteld; d. een derde rekenorgaan dat een recursieve schatter gebruikt voor het maken van een model van het dynamische gedrag van het stelsel; e. een vierde rekenorgaan voor het bepalen van een gaussiaanse benadering van het product van de aannemelijkheidsfunctie en de restfunctie, waarbij het passend zijn wordt gewogen in afhankelijkheid van 55 de bestaande onzekerheid in de toestand van het dynamische stelsel zoals blijkt uit het uitgangssignaal van het derde rekenorgaan; f. een vijfde rekenorgaan voor het uit de gaussiaanse benadering afleiden van parameters om te dienen 194134 14 als de basis voor een verversing van de metingen binnen het rekenorgaan; g. een zesde rekenorgaan voor het delen van de gaussiaanse benadering op het product van de aannemelijkheidsfunctie en de restfunctie waarvan het de benadering is, om zo een nieuwe restfunctie te vormen; 5 h. een zevende rekenorgaan voor het transformeren van de restfunctie om een dynamische wijziging in de toestand van het stelsel tijdens het interval tussen opeenvolgende metingen of stellen metingen in de meetreeks in rekening te brengen; en L een achtste rekenorgaan voor de bepaling of de gaussiaanse benadering die door het vierde rekenorgaan is geleverd, geschikt is om als een ingangsorgaan voor het derde rekenorgaan te dienen en 10 om werkzaam te zijn indien is bepaald dat de gaussiaanse benadering voor het gestelde doel geschikt is, tot het activeren van het vijfde en het zesde rekenorgaan en voorts tot het gebruik als ingangssignaal voor het zevende rekenorgaan van het product van de aannemelijkheidsfunctie en de restfunctie welk product wordt gebruikt als ingangssignaal voor het vierde rekenorgaan en als nieuwe restfunctie welk product wordt gebruikt als ingangssignaal voor het vierde rekenorgaan en als de nieuwe restfunctie wordt 15 genomen.

3. Inrichting volgens conclusie 1 of 2 met het kenmerk, dat de parameters van een tweedegraads functie die een benadering is van een log-aannemelijkheidsfunctie, worden gebruikt als ingangssignalen voor de schatter.

4. Inrichting volgens conclusie 1 of 2 met het kenmerk, dat de parameters van een gaussiaanse functie die 20 een benadering is van aannemelijkheidsfunctie worden gebruikt als ingangssignalen voor de schatter. Hierbij 10 bladen tekening