DK169853B1 - Apparat til bestemmelse af poler og nulpunkter for et systems overføringsfunktion - Google Patents

Description

i DK 169853 B1

Den foreliggende opfindelse omhandler et apparat til bestemmelse af poler og nulpunkter for et systems overføringsfunktion, af den i indledningen til krav 1 angivne art. Der er tidligere konstrueret apparater, der måler 5 overføringsfunktionen for et lineært system (US patent nr. 3 973 112 og 4 047 002. Et apparat af den i krav l's indledning angivne art kendes fra Hewlett-Packard Application Note 140-0 med titlen "Fourier Analyzer Training Manual", der udgives af Hewlett-Packard Company, 10 Palo Alto, CA.

Et lineært systems overføringsfunktion beskriver systemets reaktioner i Laplace-transformationsdomænet is-plan), i afhængighed af en påtrykt stimulus. Ved kon-15 struktion af elektriske, mekaniske eller elektromekaniske systemer er det ofte vigtigt at kende positionen og størrelsesordenen for hver pol og hvert nulpunkt for systemets overføringsfunktion i s-planet således, at systemet kan optimeres med henblik på en ønsket anvendelse. Spe-20 cielt hvor systemets stabilitet er vigtig, er det kritisk at kende pollokationerne. For at målingen af poler og nulpunkter skal kunne anvendes af konstruktionsingeniøren, er det vigtigt, at målingen udføres hurtigt og nøjagtigt, og at de fejl, der skyldes støj og forvræng- 25 ningen minimeres.

Ved hjælp af de i krav l’s kendetegnende del angivne midler angiver den foreliggende opfindelse et apparat, som er beskrevet i kravets indledning, med hvilket der opnås 30 en forbedret nøjagtighed i forhold til den kendte teknik, hvilket giver mindre mulighed for fejlagtigt at bestemme positionen af en pol i overføringsfunktionen i s-domænets forkerte halvplan. Dette er fordelagtig ved analysen af servo-systemer og andre systemer, hvor man skal undgå 35 ustabilitet.

DK 169853 B1 2 %

Den i det følgende beskrevne udførelsesform for den foreliggende opfindelse viser et apparat til bestemmelse af poler og nulpunkter, hvilket apparat udfører bestemmelsen af poler og nulpunkter hurtigt og nøjagtigt, samtidigt 5 med at apparatet korrigerer for fejl i målingerne, der skyldes støj. Pol- og nulpunktsbestemmelsen initieres ved, at et ønsket stimulus-signal, såsom tilfældig støj eller gaussisk fordelt støj, påtrykkes systemet. Stimulus- og svarsignalerne eksempleres i tidsdomænet, og 10 transformeres til frekvensdomænet ved hjælp af en hurtig Fourier-transformation på en sådan måde, at autokorrelationsspektret for stimulus-signalet og krydskorrelationsspektret for stimulus- og svarsignalerne kan bestemmes.

Med henblik på at minimere målefejl for poler og nulpunk-15 ter, hvilke fejl skyldes støj og ulineariter i systemets overføringsfunktion, kan der udføres et antal målinger af stimulus- og svarsignaler. Det er derved muligt at bestemmelse autokorrelationsspektre og krydskorrelationsspektre som middelværdier over alle målinger. Systemets 20 målte overføringsfunktion bestemmes ud fra krydskorrelations- og autokorrelationsspektrene, og støjniveauet i de målte data bestemmes ud fra middelværdier for stimulus-og for svarsignalerne. Tidsforsinkelser, der er knyttet til målingerne, kan fjernes, hvis det ønskes.

25

Den målte overføringsfunktion tilpasses til en tilnærmet overføringsfunktion, der omfatter en rationel brøk, hvis tæller og nævner er Chebyshev- polynomier i variablen s.

Der bestemmes en vægtningsfunktion, der kan anvendes til 30 at fremhæve visse dele af overføringsfunktionen, med henblik på at forøge nøjagtigheden af pol- og nulpunktsbestemmelsen. Koefficienterne for tæller og nævner polynomierne bestemmes som den bedste vægtede mindste kva- v draters tilpasning af den målte overføringsfunktions data 35 til den anslåede overføringsfunktion. Kvaliteten af til-pasningen mellem den tilnærmede overføringsfunktion og den målte overføringsfunktion bestemmes. Hvis tilpas- DK 169853 B1 3 ningen er utilstrækkelig, varieres ordenen for tæller- og nævnerpolynomierne, der bestemmes nye koefficienter, og tilpasningen afprøves atter. Når der er opnået en tilstrækkelig tilpasning, omsættes Chebyshev-tæller og 5 -nævnerpolynomierne for den estimerede overføringsfunktion til almindelige polynomier, og der anvendes en rodfinder til at finde rødderne for de to polynomier, der angiver poler og nulpunkter for den estimerede overføringsfunktion. Polerne og nulpunkterne kan udlæses, som 10 det ønskes af konstruktionsingeniøren. En udførelsesform for opfindelsen skal nu beskrives nærmere med henvisning til tegningen, af hvilken:

Fig. 1 viser en støjkorrigeret pol- og nulpunktsanaly-15 sator ifølge den foreliggende opfindelse, fig. 2 er et blokdiagram for den i fig. 1 viste analysator, 20 fig. 3 er et rutediagram for den i fig. 1 viste analysators funktion, ved en analyse af poler og nulpunkter for overføringsfunktionen hørende til det system, der undersøges, 25 fig- 4 er et detaljeret rutediagram for et af de trin, der udføres i det i fig. 3 viste rutediagram, fig. 5 viser en idealiseret model for det system, der skal undersøges og den målte støj, 30 fig. 6 viser et detaljeret rutediagram for de trin, der udføres ved udformningen af den vægtningsfunktion, der anvendes i rutediagrammet ifølge fig. 3, 35 fig. 7 viser de trin, der udføres ved udformningen af en alternativ vægtningsfunktion, der også kan anvendes, DK 169853 B1 4 fig. 8 viser et detaljeret rutediagram for et af de trin, der udføres i rutediagrammet fra fig. 3, fig. 9 viser forskellige matrixdefinitioner, der anvendes 5 i den i fig. 1 viste analysator, fig. 10 viser en opdelt matrix, der anvendes i den i fig.

1 viste analysator, 10 fig. 11 viser et detaljeret rutediagram for et af de trin, der udføres i det i fig. 3 viste rutediagram, fig. 12A-B viser de forskellige trin ved den automatiske ordens udvælgelse, der er angivet som et trin i det i 15 fig. 3 viste rutediagram, og fig. 13A-B viser de forskellige trin i en alternativ automatisk orden udvælgelse, der kan anvendes i det i fig.

3 viste rutediagram.

20

Fig. 1 viser en analysator 1, der er opbygget ifølge en foretrukken udførelsesform for den foreliggende opfindelse. Et stimulussignal x(t) påtrykkes et system 3 gennem et kabel 9, og svaret y(t) fra systemet 3, modtages af 25 analysatoren 1 gennem et kabel 11. Systemet 3 kan være ethvert elektrisk, mekanisk eller elektromekanisk system, som f. eks. en servomotor. Hvis der anvendes eksterne transducere, er det muligt at påtrykke systemet 3 mekaniske vibrationer, og at overvåge systemet 3's svar her-30 på, med henblik på at foretage en knudepunktsanalyse. Brugeren kan angive forskellige instruktioner til analysatoren 1 ved hjælp af tastaturet 5, og måleresultaterne kan udlæses på en udlæseenhed 7, der kan være et katode-strålerør.

Fig. 2 er et blokdiagram for analysatoren 1. En analog signalkilde 27 styres af en digital signalkilde 39, der 35 DK 169853 B1 5 styres af brugeren gennem tastaturet 5. Signalkilden 27 frembringer et stimulussignal x(t), der påtrykkes systemet 3 gennem kablet 9. Både stimulussignalet x(t) og svarsignalet y(t) modtages gennem indgangskanaler 21, 23, 5 og digitaliseres i analog-til-digitalomsætteren 29, 31, ved en eksempleringshastighed, der styres af en lokal oscillator 37. Et digitalt filter 33 kan anvendes til at reducere konverteringsfejl i eksemplerede x(t^) og y(tj). Hurtig Fourier-transformatoren (FFT) 43 anvendes til at 10 omsætte stimulus- og svarsignaler til frekvensdomænesig-nalerne X(t.)og Y(t.) der da lagres i læselageret med

J J

tilfældig adgang (RAM) 47. En flydende kommatals behandlingsenhed 45 anvendes til at bestemme kryds- og autokorrelationsspektre for X(t.) og Y(t.), og til at måle 1 1 15 mængden af støj i Y(t.), hvis der foretages midlinger. Behandlingsenheden, der styres af en central beregningsenhed (CPU) 41, anvendes da til at måle poler og nulpunkter for systemet 3's overføringsfunktion, som det beskrives nedenfor. En bus 51, der f. eks. kan omfatte et dob-20 belt bussystem, anvendes til data og styreordreoverfør-sel.

Fig. 3 viser et rutediagram for de funktioner, der udføres af analysatoren 1, ved måling af poler og nulpunkter 25 for systemet 3's overføringsfunktion. I et første trin 61 påtrykkes systemet 3 et stimulussignal x(t), og svarsignalet y(t) optages. De to signaler digitaliseres og transformeres til frekvensdomænet som X(t.) og Y(t.). Stimulus- og svarmålingerne kan gentages et antal gange 30 således, at auto- og krydskorrelationsspektrene kan måles som middelværdier, med henblik på at formindske virkningen af støj og ikke-lineariteter i systemet 3's svar. Auto- og krydskorrelationsspektrene måles, og i trinnet 63 bestemmes målingens varians, med henblik på at esti-35 mere målestøjen i den målte overføringsfunktion.

DK 169853 B1 6 I trin 67 anvendes der en iterativ proces til at frembringe tæller-Chebyshev polynomierne P(s) og Q(s), for den estimerede overføringsfunktion HE(s). I trin 65 bestemmes der en vægtningsfunktion, der anvendes ved vægt-5 ningen af de mindste kvadraters analyse, ved hvilken den tilnærmede overføringsfunktion er tilpasset den målte overføringsfunktion. I trin 69 bestemmes koefficienterne for de to Chebyshev-polynomier som den vægtede mindste kvadraters tilpasning af den tilnærmede overføringsfunk-10 tion til den målte overførings funktion. I trin 231 bestemmes den aktuelle tilpasning, og tilpasningen analyseres for overensstemmelse med et sæt tilpasningskriterier.

Hvis tilpasningen er utilstrækkelig, varieres polynomiernes orden og der bestemmes nye koefficienter. Hvis til- 15 pasningen er tilstrækkelig, omsættes Chebyshev-polynomi- erne til almindelige polynomier i trin 77, og rødderne for de almindelige polynomier bestemmes i trin 79. Polerne og nulpunkterne for den tilnærmede overføringsfunktion (polynomiernes rødder) udlæses på en ønsket måde i trin 20 81.

De forskellige trin i det i fig. 3 viste rutediagram, skal nu beskrives detaljeret og hver for sig i det efterfølgende .

25 I trin 61 bliver den aktuelle overføringsfunktion for systemet 3 målt. Fig. 4 viser i rækkefølge de enkelte trin i trin 61. Et stimulussignal x(t) påtrykkes systemet 3, og både x(t^) °9 svarsignalet y(t^) eksempleres med repe-30 titionsfrekvensen f . Ethvert af et antal signaler x(t)

S

kan anvendes til at stimulere systemet 3. Specielt kan det være ønskeligt at bruge tilfældig støj, således at virkningerne af mindre ulineariteter i systemet 3’s svar senere kan fjernes. Ved mange anvendelser, såsom kon- 35 struktion af servomotorer, kan det frekvensområde, der har interesse, være lavt, såsom fra jævnspænding til 100 KHz. I dette lavfrekvenstilfælde kan f være så lav som s DK 169853 B1 7 200 KHz, idet der gøres brug af Nykvist-relationerne og ideelle komponenter. Reelt er filteret 33 ikke ideelt, og der sker nogen impulsforvrængning. Dette kan kompenseres ved at forøge f til f. eks. 256 KHz og/eller ved at se 5 bort fra data fra den øverste del af frekvensdomænet.

I trin 95 bliver tidsdomænesignalerne x(t.) og y(t.)

J J

transformeret med en hurtig Fourier-transformation til X(t.) og Y(t.) i frekvensdomænet. Hvis der tages 2048

kJ kJ

10 eksempleringer af hvert signal i tidsdomænet, frembringes der 1024 komplekse datapunkter i frekvensdomænet for hvert signal. For at kompensere for impulsforvrængningsvirkninger kan det være nødvendigt at se bort fra de øverste 200 frekvensdomænedatapunkter. Da hvert af frels kvensdatapunkterne er komplekst, består det af en reel og en imaginær del, der også kan udtrykkes som en vektorlængde og en fase på polær form. Den efterfølgende notation og de i det følgende viste ligninger er udtrykt ved komplekse variabler, med mindre andet er angivet.

20

Det er muligt, at der findes tidsforsinkelser i de målte data, på grund af de fysiske begrænsninger, der er til stede ved målingerne, eller på grund af ikke ideelle transducere eller andre anvendte apparater. Disse tids-25 forsinkelser skal fjernes fra data således, at uønskede virtuelle poler og nulpunkter ikke indføres i analysen. Dette kan ske ved enhver af et antal forskellige metoder, såsom at multiplicere frekvensdomænedata med e1 , hvori er kvadratroden af -1, og t er den anslåede tids-30 forsinkelse. Detaljer omkring denne fremgangsmåde fremgår af side 104 i den anden udgave af "The Fourier Transform And Its Applications" af Ronald Bracewell.

Den målte overføringsfunktion H^(fj) for systemet 3 kan 35 defineres, som det er vist på fig.5, der viser, at udgangssignalet fra systemet 3 er afhængigt af indgangssignalet, overføringsfunktionen og den additive støj. Derfor DK 169853 B1 8 kan overføringsfunktionen HMD(fj) implicit defineres ved ligningen: “ «MDifj>Xi£j> + Vfj>' (1) 5 der kan omskrives, idet overstregningen angiver middelværdier, som: 10 ^ “ hmd + SjTx*, <2> 15 eller som: tt _ MD ==? *

20 XX

Systemet 3's overføringsfunktion defineres, udtrykt ved auto- og krydskorrelationsspektre som: 25 H = Gvx ^ MD Gxx , 30 hvor det antages, at der kan ses bort fra Npx* leddet, og at auto- og krydskorrelationsspektrene er defineret som: * 35 _

Gxx = XX*, βχχ - YY*, Gxx = YX*. (5) DK 169853 B1 9

Med henblik på at minimere støjdelens virkning på målingen af overføringsfunktionen, kan auto- og krydskorrelationsspektrene bestemmes som middelværdier over et antal stimulus- og svarmålinger. Når antallet af målinger for-5 Øges, går middelværdien af støjdelen mod 0, på grund af de ukorrelerede støjbidrags tilfældige fasevinkler. Hvis der anvendes tilfældig støj som stimulussignal, da har denne midling den yderligere virkning, at ulineariteter i systemet 3's svar lineariseres på grund af den manglende 10 korrelation af mellem stimulussignalet og ethvert ikke- lineært svarsignal. Det har vist sig, at et antal målinger mellem 10 og 1000 giver gode resultater, og antallet af målinger kan bestemmes af brugeren. Ved at bruge middelværdier, kan systemet 3's overføringsfunktion måles 15 som koefficienten: TT Gvy nMD Gxx · (6) 20 I fig. 4 trin 107 bliver HM_(f.), der er defineret i MD j ligning 6, lagret i lageret. I trin 63 bestemmes koheren-sen for den målte overføringsfunktion, med henblik på se-25 nere brug til korrektion af pol- og nulpunktsmålingen for fejl, der hidrører fra støj. Generelt defineres variansen for en tilfældig variabel x som: 30 _ σ1 = x2 - x .

Selv om variansen kan anslås ved at anvende enhver af et 35 antal velkendte metoder, kan variansen bestemmes nøjagtigt ved at anvende ligningerne 4.92 og 4.93 på side 131 i en doktorafhandling fra New York's universitet 1957 af DK 169853 B1 10 N. R. Goodman med titlen "On The Joint Estimation Of Spectra, Cospectrum And Quadrature Spectrum Of A Two-Dimensional Stationary Gaussian Process". Ligningerne kan * genskrives son Bessel-funktioner af anden orden, og kan 5 derefter integreres til resultatet: σ’ -σ’ - 1.1¾].2.1=M1 (8) RE IM i n-1 ITT2 r ' } 10 hvor n er større end 1 og n er antallet af målinger. Den i ligning 8 anvendte koherensfunktion er defineret som: 15 |Y|a. iGYxl2 - (9) 111 Gxx'Gyy .

20 Vægtnings f unktion

Brugeren har mulighed for at inddatere en brugerdefineret vægtningsfunktion med tastaturet 5. Den brugerdefinerede 25 vægtningsfunktion gør det muligt for brugeren at fremhæve visse områder langs frekvensaksen, i lyset af områder med kendt høj eller lav målenøjagtighed, eller områder der er specielt vigtige for brugeren. I det tilfælde bliver den brugerdefinerede vægtningskurve udlæst på udlæseenheden 30 7, og det er ikke nødvendigt at gennemføre trinnet 65.

Ellers bliver der i fig. 3's trin 65 frembragt en vægtningsfunktion W(f), der anvendes ved de mindste kvadraters tilpasningsanalysen. Fig. 6 og 7 viser hver forskel-

V

lige trin i i trinnet 65, der kan udføres til frembrin-35 gelse af en af to vægtningsfunktioner. Den vægtningsfunktion, der frembringes af de i fig. 6 viste trin, fremhæver områder langs frekvensaksen, i hvilke HMD(f) ændrer DK 169853 B1 11 sig hurtigt. På denne måde bliver den vægtede tilpasning lige god i områder omkring både poler og nulpunkter, og denne vægtningsfunktion kan være den bedst egnede til analyse af servosystemer. Mindste kvadraters tilpasning 5 er minimering af summen af den kvadrerede fejl mellem den målte overføringsfunktion HMD(fj) og den tilnærmede overføringsfunktion H (s) bestemt ved hvert frekvensdata-

Cl punkt. Den vægtede fejl, der bestemmes ved hvert punkt, hvor j er eksempleringsindex, kan defineres som: 10 E(fj) = W(f j) [He (i2TTf-Hmd (fj)]. (10) 15

Selv om måles udtrykt ved reelle frekvenspunkter og HE udtrykt ved kompleks s, kan HMD generaliseres til s, og Hmd og Hg kan sammenlignes direkte. Fagmanden vil kun-20 ne udføre generaliseringen ved en analyse, hvor analytiske funktioner af s og i2irf betragtes som ækvivalente.

Den totalt vægtede fejle', der defineres ved de mindste kvadraters tilpasningsanalyse, er givet ved: 25 ε-»Σ IE (£ .) I 2 fj 3 ' (11) 30 hvor fejlen og vægtningsfunktionerne bestemmes ved hvert frekvenspunkt, og summationen udføres over det frekvensområde, der har interesse. Vægtningsfunktionen W(f) an-35 vendes til at fremhæve ønskede områder af f ved de mindste kvadraters tilpasningsanalysen. Hg(s) er en rationel brøk af to polynomier DK 169853 B1 12 P(s) HE{s)=oTiT . (12) 5 Hvis det antages, at koefficienterne for P(s) er Cq,Ci,...,cm, og koefficienterne for Q(s) er d0,d1,..., dn, da udføres de mindste kvadraters tilpasningsanalysen ved at tage den delvis afledte af e ’ med hensyn til c0'cl***' cm med hensyn "til dQ,dlf..., dn, og sætte de 10 delvist afledte lig med 0, med henblik på at frembringe homogene ligninger. Denne mindste kvadraters tilpasningsanalyse gør det muligt at bestemme den ønskede minimale vægtede fej 1 e', ved at løse de homogene ligninger samtidigt. En generel diskussion af de mindste kvadraters 15 tilpasningsanalyse kan f. eks. findes i kap. 6 i 2. udgave af ”A First Course In Numerical Analysis" af Ralston og Rabinowitz.

Trin 121 - 137 i fig. 6 viser detaljeret frembringelsen 20 vægtnings funktionen W(f), der er angivet i fig. 3 trin 67. Kort fortalt er W(f) den afledede af fasen for HMQ(f) bestemt ved hvert punkt langs med frekvensaksen. For tre ved siden af hinanden beliggende frekvensdatapunkter (x^, *2' x3) defineres den faseafledede i punktet som Ph 25 (X3) -ph(x^), hvor ph(x) er fasen ved datapunktet x. An vendelsen af den afledte af fasen gør det muligt at anvende en maksimal vægtning for områder af frekvensaksen, hvor sandsynligheden for, at der optræder en pol eller et nulpunkt i H^(f) er højest, og medfører, at støj spidser 30 kun vægtes minimalt.

I fig. 4’s trin 105 - 107 måltes og lagredes real- og imaginærkomponenter for målte datapunkter i det komplekse frekvensdomæne for HMD(f)· I trin 121, bestemmes-den af-35 ledte af fasen for hvert målt datapunkt. I kompleks loga- r ritmisk notation kan den afledte af fasen udtrykkes som DK 169853 B1 13 ph(x3)-ph(xi)=Im[log(x3)-log(xi)] (13) 5 =Iratlog(x3/xi)]. (14) 10 =ph(x2/xi) (15) •nh Γ 3 (Xl*) _ Γ (X2 ) (Xl*)l f 1 f \ ~ph[ (xi)(xi*) " ph[[xTpJ <16) 15

Da det kun er faseinformationen, der har interesse, reduceres formeludtrykket til: 20 ph (X3) -ph (Xi) =ph [ (X3) (xi *) ] = ( 17 ) * 25 Det er derfor nødvendigt at bestemme fasen for x^x^ *

Det er her passende at anvende tilnærmelser for små vinkler, hvilket også gør det muligt at minimere beregnings- * _ tiden. Tilnærmelsen, at ph(XgX1 ) er lig med tangens ^[phix^x. )], kan anvendes i området -2 < tangens _l ** _i 30 [ph(XgX1 )] <2, hvor tangens [phix^x^ )] måles i ra- dianer. Uden for dette område tilnærmes tangens "^[phixgX^L )] som +2 eller -2. En anden fordel ved den valgte tilnærmelse er, at støj i HMD(f) yderligere minimeres på grund af begrænsningen i fasens ændringshastig-35 hed.

DK 169853 B1 14

Da de afledte faser, der frembringes i trin 121, har tendens til at være støjfyldte, udglattes de faseafledede i trin 123. Udglatningen kan nemt ske ved at midie de individuelle afledte fasedatapunkter med de 7 afledte fase-5 datapunkter på begge sider af et givet datapunkt. Derved bliver hvert punkt på W(f) i realiteten en middelværdi af 15 sammenhængende datapunkter for den afledte af fasen, hvilket medfører, at støjspidser reduceres. Selv om der ved den foreliggende udførelsesform er anvendt 7 punkter 10 på begge sider af det aktuelle punkt, har det vist sig, at antallet kan varieres fra 5 - 15 efter brugerens ønske, og med god virkning. Til analyse af servosysterner, er der blevet anvendt 13 punkter på begge sider, på grund af den store støj i og den ringe dæmpningskarakteristik 15 for de målte data. Til knudepunktsanalyse er 7 punkter på begge sider tilstrækkelige på grund af den lave støj og de kraftigt dæmpede data.

Da man kun ønsker at anvende en positiv vægtningsfunk-20 tion, beregnes den absolutte amplitude i trin 125. Kvadratroden kan udelades i trin 127. Ved analyse af servo-systemer er det ofte ønskeligt at anvende en jævnere vægtningsfunktion, hvorved alle data kan anvendes, og derfor uddrages kvadratroden ofte. Modsat hertil vil der 25 ved knudepunktanalyse sædvanligvis ikke blive foretaget en kvadratrodsberegning, da de systemer, der analyseres på denne måde, typisk har en højere Q-værdi.

I trin 129 kan der udføres en yderligere udglatning af 30 vægtningsfunktionen. Udglatningen foregår på samme måde, som i trin 123.

Det er også ønskeligt at korrigere vægtningsfunktionen * med henblik på at minimere effekten af områder med stort 35 støjniveau på de målte data. Den koherensfunktion, der f måles i fig. 4's trin 111, og som er defineret i ligning 9, giver et estimat af støjen i hvert målt frekvensdomæ- DK 169853 B1 15 nedatapunkt for ΗΜβ(f^). Multiplikation med en støjkorrektions f aktoren, . 5 _ / l^l2 1 (18) Λ/ 1.05-IY1* 10 dæmper områder med højt støjniveau, hvor koherensfunk-tionen går mod 0. Når 0,05 faktoren anvendes, er det muligt at fremhæve enkelte datapunkter med en faktor 20 over støjfyldte datapunkter. Den resulterende størrelse, der indeholder den absolutte størrelse for den afledte 15 fase i hvert punkt langs med frekvensaksen, er: I Ιγ|2 Π (19) 20 V M 1.05-lYl2 · I trin 133 normaliseres den støjkorrigerede vægtningsfunktion til 1 med henblik på at undgå numerisk overløb, 25 og i trin 135 udføres der en tærskelværdi på 0,02, på en sådan måde at der ikke ses helt bort fra enkelte datapunkter. Derved bliver vægtningsfunktionen defineret som: (V <20> f j - teller 0,02, hvilken [y df 1.05-1γ 1 2 /MAX, der måtte være størst.

35 DK 169853 B1 16 I trin 137, er det muligt for brugeren at ændre W(f). W(f), der varierer fra 0 til +1, udlæses på analysatorens 5 1 udlæseenhed 7 som en funktion af frekvensen. Hvis bru geren ikke indfører nogen ændringer, starter analysatoren 1 ved det højeste og det laveste frekvenspunkt, og afsøger området mod frekvensområdets centrum, indtil en W(f) på mindst 0,04 erkendes i begge ender af frekvens-10 området. Data over og under disse to endepunkter ignoreres. Med henblik på at formindske måletiden, eller for at undgå udeladelsen af visse ønskede data, kan brugeren specificere endepunkter ved hjælp af to pegepinde på ud-læseenheden 7, hvilken udpegning styres ved hjælp af tas-15 taturet 5.

Fig. 7 viser de forskellige trin, i trin 63, der kan anvendes i stedet for de trin, der er vist i fig. 6, til at frembringe en alternativ vægtningsfunktion. Denne alter-20 native vægtningsfunktion kan med fordel anvendes ved knudepunktsanalyse, da støjen og forvrængningen oftest optræder nær nulpunkter ved de fleste knudepunktsanalyser. Knudepunktsanalyser indebærer oftere skarpere spidser, end dem der omfattes af de fleste servoanalyser. Al-25 ternative vægtningsfunktioner forsøger at lokalisere spidser meget nøjagtigt, og både pol-og nulpunktsinformation kan udledes heraf.

I trin 141 lagres den kvadrerede værdi af den målte over-30 føringsfunktions data HMD(f), hvilke data normaliseres til den midiede kvadrerede værdi. I trin 145 bestemmes spidserne i HMD(f)· Denne bestemmelse sker ved at tilpasse korte liniestykker til på hinanden følgende dele af HMD(f). Er der 800 datapunkter anvendes der typisk 4 li-35 niestykkelængder (8, 16, 32, 64). Liniestykkerne vælges fortrinsvis således, at de overlapper hinanden med en faktor 2 til 1, med henblik på at sikre, at der ikke DK 169853 B1 17 overses nogen spidser i data.

Amplituden i hvert datapunkt subtraheres da fra det tilhørende liniestykkes amplitude. Resten sammenlignes med 5 en tærskelværdi med henblik på at afgøre, om en gyldig spids er lokaliseret eller ej. En typisk tærskelværdi på V6 σ gør det muligt at sammenligne resten med standardafvigelsen ved dette punkt, og gør det også muligt at eliminere falske støjspidser. Hvis resterne i et forud-10 bestemt antal på hinanden følgende punkter overskrider tærskelværdien, da kan en endelig bestemmelse af en sand spids udføres. Det har vist sig, at 4 på hinanden følgende punkter giver en nøjagtig spidsdetektion.

15 I trin 147 opbygges der en vægtningsfunktionsparabel omkring centrum for hver af de spidser, der er bestemt i trin 145. Parablens centrum er lokaliseret ved (S+T)/2, hvor S og T hver er tre punkter uden for de yderste datapunkter, hvor tærskelværdien blev overskredet af spidsen.

20 Parablens maksimale højde er (3L)/(2(T-S)) over grundlinien, hvor L er det totale antal frekvensdatapunkter. Derved opbygges der parabler, hvis bredde er omvendt proportional med deres højde, herved undgås det, at meget brede eller meget smalle spidser overses.

25 I trin 151 normaliseres vægtningsfunktionen ved at dele den igennem med den maksimale spidsværdi. I trin 153 bliver den kvadrerede amplitude for de originalt målte data for H„_(f) normaliseret ved division med middelværdien af 30 den kvadrerede værdi, der er målt i trin 141. Det kan være ønskeligt at give områder med mindre varians yderligere fremhævelse. I dette tilfælde kan der udføres en multiplikation med den k-th-orden af koefficienten for den kvadrerede overføringsamplitude, divideret med summen 35 af den kvadrerede overføringsfunktions amplitude, og herefter kan overføringsfunktionens varians estimeres. Denne funktion kan anvendes i W(f), med henblik på at sikre, at DK 169853 B1 18 meget brede spidser ikke utilsigtet ignoreres. Endelig adderes de to funktioner i trin 155 til dannelse af den endelige vægtningsfunktion W(f).

5 Grundlæggende polynomiumfrembringelse I fig. 3's trin 57 frembringes den estimerede overføringsfunktion HE(s)'s grundlæggende tæller- og nævnerpo-lynomier i Laplace-variablen s. Generelt betragtet er det 10 muligt at frembringe de to grundlæggende polynomier på enhver form, men det har vist sig, at anvendelsen af grundlæggende Chebyshev-polynomier i P(s) og Q(s) har klare fordele. Numerisk fejlbehandling er et ødelæggende problem ved enhver mindste kvadraters tilpasningsanalyse 15 og store numeriske fejl er sandsynlige, når der anvendes processorer med endelig præcision, da det er nødvendigt at addere meget store og meget små tal. Chebyshevpolyno-mier har den egenskab, at deres størrelse varierer mellem plus og minus i området fra -1 til +1, således at alle de 20 termer, der adderes, har den samme relative størrelsesorden, og numerisk fejlbehandling derved undgås. En anden fordel ved anvendelsen af Chebyshevpolynomier er, at højere ordens koefficienter har tendens til at udgå. Denne eliminering af en højere ordens koefficienter kan også 25 opnås ved at anvende forskellige orthogonale polynomier, der er dataafhængige, og som derfor meget ufordelagtigt kræver polynomiumgenudregning for hver måling. Se f. eks. de polynomier, der er beskrevet i afsnit 6.4 i den 2. udgave af "First Course In Numerical Analysis" af Ralston 30 og Rabinowitz. Da der yderligere er lighed mellem Chebyshevpolynomier og sinus- og kosinusfunktioner, eksisterer der en Chebyshevproduktsum-sammenhæng, ved hjælp af hvilken Chebyshevpolynomierne kan opstilles på en sådan måde, at tidsforbrugende multiplikationer af Chebyshev-polyno-35 mier kan erstattes af meget enklere summationer. Produktsum-sammenhængen er beskrevet f. eks. på side 782 (ligning 22.7.24) i "Handbook Of Mathematical Functions" ud- DK 169853 B1 19 givet af the National Bureau Of Standards i Juni, 1964.

Der findes en trykfejl i NBS-ligningen, der korrekt er: 5 2TmU) Tn(*)-Tn.m <K)+Tn+m <*). (21) 10 De ønskede P(s) og Q(s) Chebyshevpolynomier kan nemt frembringes i overensstemmelse med de rekursive sammenhænge, der er beskrevet på side 782 i den ovenfor angivne NBS-håndbog. P(s) og Q(s) polynomierne er polynomier med den komplekse variable s og kan have reelle, imaginære 15 eller komplekse koefficienter. Den almindelige fagmand kan nemt formulere de komplekse Chebyshevpolynomier ved at anvende de rekursive forhold, der er givet for de rent reelle Chebyshevpolynomier. Hvis de målte tidsdata for H„_(f.) er rent reelle, sådan som det er tilfældet i det MD 3 20 grundliggende frekvensområde, kan der anvendes Hermitian symmetri ved at forenkle anvendelsen af de komplekse Chebyshevpolynomier. Hvis man udfører en knudepunktsanalyse, er det fordelagtigt at afvige fra de begrænsninger, der fremkommer ved brug af Hermitian symmetri, og i denne 25 forbindelse at modificere de grundliggende polynomier.

For at frembringe P(s) og Q(s) grundpolynomierne er det nødvendigt at have et første estimat af disse to polynomiers orden. Dette estimat er det samme som at estimere antallet af poler og nulpunkter i overføringsfunktionen.

30 Et første estimat af ordenen lig med 1 for hvert polynomium, gør det muligt at tilpasse polynomier med en eller flere poler. Et højere første estimat kan anvendes, hvis man har mere information til rådighed om det system, der analyseres.

35 DK 169853 Bl 20

Koefficientbestemmelse

P

I fig. 3's trin 69 bestemmes koefficienterne for P(s) og Q(s). Fig. 8 viser mere detaljeret de forskellige trin i 5 trin 69. Den punkt for punkt fejl, der er defineret i ligning 11 kan omskrives til 10 Ej = Wj §§--HMDj ' (22) hvor f-notationen er fraveget af bekvemmelighedshensyn, 15 og indekset j angiver, at det er de eksemplerede data langs frekvensaksen, der anvendes. Ved at multiplicere igennem med nævnerpolynomiet Q(s) fås:

Ej Qj = Wj Pj - Qj # (23) - 25 Ved at anvende ligning 6 og definere nye termer A. og B.

J J

ved: 30 Aj “ GYXj and Bj = GXXj' (24) kan ligning 23 kan omskrives til:

EjQj = WjfPj- ^5%] .

J J Jl J Bj J (25) 35 DK 169853 B1 21

Der kan multipliceres igennem med B., og dette vil give:

J

5 EjQjBj= Wj jBjPj- AjQjj . (26)

Hvis denne multiplikation ikke udføres, kan E. defineres som: 10 1- EjQj . (27) 15 I fig. 8's trin 161 kan de bruger specificerede poler og nulpunkter fjernes fra den estimerede overføringsfunktion. Selv om dette ikke er nødvendigt, gør brugerens 20 forudangivelse af kendte poler og nulpunkter det muligt at foretage analysen af ukendte poler og nulpunkter med større nøjagtighed. Kendte nulpunkter fjernes fra P(s) polynomiet og kendte poler fjernes fra Q(s) polynomiet med henvisning til: 25

U

Uj = TT (5j-Zk) , 30 k=1 (28)

Vj = “Γ iSj’?k) ' (29) 35 k=1 DK 169853 B1 22 * JL- P (s) =P(s) I I (s-zk) (30) k=l ?

V

5 Q(s)=Q(s)JJ“ Cs-pk) (31) k=l hvor er de forudangivne nulpunkter, og er de forud-10 angivne poler. Ligning 27 kan da omskrives med de udtagne angivne poler og nulpunkter som: 15 åj = Wj[uj$j- (32)

Termerne W., U., A./B. og V., kan korrekt betragtes som

J J V V J

20 punkt for punkt vægtningstermer (der indeholder målte data ), der påtrykkes de estimerede polynomier P ^ og . Der kan opnås en forenkling ved at definere nye termer og W . som: <33 25 W. = W-U.· and W . = W^A^V.

P3 3 3 qi . e (33) 30

Derved kan ligning 32 forenkles og omskrives som: 35 Ej = *pj*j ' Wqj°j (34) DK 169853 B1 23 I fig. 8's trin 163 omsættes de målte data, vægtningsfunktioner og estimerede overføringsfunktionspolynomier 5 til matrixnotationen, med henblik på en nemmere analyse, når man anvender den i fig. 1 og 2 viste analysator 1. Denne omsætning kan nemt udføres af fagmanden. To sæt or-thogonale polynomier ^ og med koefficienter og d^ frembringes, idet der anvendes de rekursive sammenhænge, 10 der er beskrevet ovenfor, og disse polynomier anvendes /"SJ '-V/ til repræsentere P. og Q. : 3 3

Λ. m“V

15 Pj =k£o ** *jk (35) . <36) 20 k=0

Da Chebyshevpolynomierne er datauafhængige (og derfor ikke skal genbestemmes for hver måling), er det at fore-25 trække at opbygge og som Chebyshevpolynomier. De to polynomier kan have forskellige ordener m og n, men med henblik på den videre beskrivelse skal det her antages, at m = n, og herefter skrives begge polynomier som e^. Fagmanden vil nemt kunne generalisere til det tilfælde, 30 hvor m og n ikke er lig med hinanden. Ligning 35 kan da omskrives til: λ. m"u 35 · j = -A Ck Øj* (37) k=0 DK 169853 B1 24

Matrix og vektornotationen er som vist i fig. 9. Ved inspektion af e-matrix'en ses, at den første søjle indeholder TQ(f), hvor (f) er notationen for det k'th'-Che- byshevpolynomium f. Derved bliver Tn(f) * l,T-(f) = f, 2 u ± 5 T2(f) = 2f -1, osv, som beskrevet ovenfor, og med henvis ning til de rekursive Chebyshevsammenhænge. Hver række i e-matrix'en svarer til en given datamålefrekvens, svarende til de frekvenser ved hvilke de hurtige Fourier-trans-formerede HMD(fj) data eksempleres. Præcisionstab undgås 10 ved at anvende Chebyshevpolynomier i stedet for almindelige polynomier, således som det er beskrevet ovenfor.

Ved at anvende matrix- og vektornotationsdefinitionerne kan ligningerne 37 og 36 omskrives til: 15 20 ’ P = 8C , (38) jje δ = ØD . (39) 25

Fejlligningen 34 kan omskrives til: 30 E = ftp9C - Wq9D . (40)

Summen af de kvadrerede fejl kan ved matrixnotationer beskrives som: 35 DK 169853 B1 25 (41) ε -lEj(i2*f j) j2 = JP(i2irfj)-Q(i2irfj)HMD(fj) | 2. I2 = et e = (cTøTwT - DTeTwT)·(w øc-w ød) , P q p q 5 hvor T indekset angiver komplekskonjugeret transponeret.

I fig. 8's trin 165 opbygges den mindste kvadraters til-10 pasningsanalyse, der er beskrevet ovenfor i matrixform. Målet er at minimere e med hensyn til de i C og D vektorerne indgående elementer. Denne minimering sker ved at differentiere e med hensyn til hvert element i C og D, og ved at sætte resultaterne lig med 0, og løse dette lig-15 ningssæt med henblik på at finde de C og D vektorer, der opfylder ligningerne. De af disse beregninger resulterende ligninger er angivet ved: 20 o - eT wpT(wpec-wq9D} = øtwJe (42) 25 0 = eTwgT(wpec-wgeD) - eTw^E. (43) 30 Af hensyn til overskueligheden kan ligningerne 42 og 43 omskrives til: 35 0 - 6TWpWpBC - 8TWpWgØDy (44) DK 169853 Bl 26 O = 0TWgWp9C - 0TWqWq9D. (45) 5 I fig. 8 trin 167 bliver den af støjen frembragte forskydning fjernet fra de mindste kvadraters tilpasningsanalysen. Af ligning 33 fremgår det, at termerne indeholder , der er defineret i ligning 24 som Θγχ data ved hver målefrekvens. Som ovenfor beskrevet med henvis-10 ning til fig. 5, indeholder Θγχ additive støj termer N_(f.). I ligning 45 udregnes den kvadrerede numeriske ™ J rn

værdi af Vi som Vi W„, med det resultat, at støjen i G„„ q <3 q YX

kvadreres. Denne kvadrering frembringer en støjkomposant, svarende til en forspænding, for hvert frekvenspunkt i de 15 målte data, idet kvadreringen har den virkning, at der frembringes en tilsyneladende ensrettet forspænding. Ingen af de tidligere kendte apparater har erkendt eksistensen af støjforspænding ved pol-nulpunktsanalysen, og intet af de tidligere kendte apparater har på nogen 20 måde været indrettet til at forsøge at fjerne virkningerne af denne støjforspænding. Virkningen af, at man ikke har fjernet denne støjforspænding i de mindste kvadraters tilpasningsanalyse, har været, at der indføres en forspænding og usikkerhed i bestemmelsen af lokationen for 25 overføringsfunktionens poler og nulpunkter. Dette er kritisk, når systemstabiliteten er vigtig, da virkningen af støjforspændingen kan være, at en dominant pol fejlagtigt lokaliseres i s-domænets forkerte halvplan.

30 Koherensfunktionen og variansen defineres ovenfor i lig ninger 8 og 9, og udledes fra de tri-spektramålinger, der udføres af analysatoren 1. Da variansen af støjeffekten er udtrykt ved den kvadrerede numeriske værdi, kan den

T

let subtraheres fra Vi Vi termen, der er vist i ligning 9 9 35 46. Derved sker forspændingskorrektionen ved at subtrahe- * re variansen for hvert målt frekvenspunkt: DK 169853 Bl 27 O = 6TWgWp9C - ΘΤ (WgWg-σ2) ØD. (46> 5 I fig. 8's trin 169 opbygges der løsningsmatricer, og disse udfyldes med henblik på at bestemme Chebyshevpoly-nomiumkoefficienterne til minimering af de mindste kvadraters tilpasningsanalyse. Ligningerne 42 og 43 kan omskrives til ligningerne 44 og 45, hvor det antages, at 10 støjforspændingen er fjernet som beskrevet ovenfor, hvis

T

dette ønskes. Nye funktioner F, Η, H og G kan defineres som: 15 m m F = Θ WpWpØ (47) 20 øT = øTwpwq0 * (48) H = 0TWgWp9 , (49) 25 G = 0Tw£wgØ, (50) 30 på en sådan måde, at relationerne: 35 GD - HC = 0 (51) DK 169853 B1 28 - HTD + FC ·= O (52) 5 er opfyldte, og definerer det system af homogene ligninger, der er vist som matrixmultiplikationen af den firedelte matricen M, og den todelte vektor, V i fig. 10.

1 det tilfælde, hvor der udføres en analyse af den mak-10 simalt mulige antal poler og nulpunkter ( m = n = 40), er hver af D og C vektorerne 40 elementer lange, og M matricen indeholder 6400 elementer. Lagringen af dette store antal elementer er ineffektiv, og Chebyshevprodukt-sum-forholdene, der er beskrevet ovenfor, kan anvendes til at 15 minimere størrelsen af det nødvendige lager, og den tid, der er nødvendig til at frembringe løsningsmatrix'en M.

Når denne datakompression er udført, reduceres det nødvendige antal af elementer til regenerering af matrix’en M fra 6400 til 320. Derudover kan det ses, at matrix'en 20 M's tredje kvadrant er blevet transponeret af den anden kvadrant, og kun den ene af disse kvadranter skal være fuldstændigt regenereret til løsning af matricen. Den anden kvadrant kan da nemt opbygges ud fra dette. Derudover behøver kun to af de fire matrixkvadranter at blive re-25 genereret på ethvert tidspunkt under løsningen af matricen.

Chebyshevprodukt-sumsammenhængen er: 30 2TjTk = Tj.j-k|. + Tjj+k( * (53) 35 Derfor kan den mere specifikke sammenhæng: DK 169853 B1 29 2Σ (W.T..Tk) = I (W.Tjj^j) + Γ (W-Tjj+kl) (54) 5 anvendes i den ovenfor beskrevne datakompression. Resultatet er, at hvert element i M matrix'en er en summation af to andre summationer i matrix'en.

Af fig. 10 fremgår det, at søjlevektoren V skal være or- 10 thogonal med hver række i matricen M. Derfor er M^V =0, M0V =0, ..., Μ V = 0, hvor M. benævner den k'række i ma-2 n k trix'en M. Hvis M er en η x n matrix, må mindst en række i M være en kombination af de andre n-1 rækker, hvis der skal eksistere en orthogonal løsningsvektor V. I et støj-15 frit system ville dette kunne bestemmes. Men i en virkelig pol-nulpunktsanalyse er alle elementerne i matrix'en M, med hensyn til de målte data i nogen grad støjfrekvente. Virkningen af denne støj er, at ingen af rækkerne i M er en nøjagtig linearkombination af de andre, således at 20 der rent teoretisk ikke findes nogen løsningsvektor. 1 fig. 8's trin 171, orthogonalisieres matrix'en M's rækker i forhold til hinanden. Fig. 11 viser de forskellige trin detaljeret, deriblandt trin 171. I trin 193 udvælges 25 og slettes den række i M, der har det mindste amplitudediagonalelement fra matricen M. Den herved resulterende matrix M er nu en n-1 x n matrix. En række slettes, således at det er muligt at frembringe en vektor V med længden n, der er orthogonal til M's n-1 rækker. Det er øn-30 skeligt at slette den række, der indeholder mest støj, således at sletningen kun har en minimal virkning på analysatoren l's nøjagtighed. Da de grundlæggende polynomier, der anvendes, er Chebyshevpolynomier, kan diagonalelementet i hver række anses for at være et estimat af 35 ordenen for den Chebyshev term, der repræsenteres af den række, idet hver række omfatter et Chebyshevpolynomium med en orden, der er lig med rækkenummeret. Ved at slette DK 169853 B1 30 den række med den mindste diagonalværdi slettes den række med den mindste orden, og dermed med den største relative mængde støj.

5 Trinnene 195 - 203 i trin 191 omfatter orthogonal i seringen af de resterende n-1 rækkker i matrix1 en M i forhold til hinanden ved anvendelse af Gram-Schmidt-teknik-ken. En detaljeret beskrivelse af Gram-Schmidt orthogona-liseringsteknikken kan findes, f. eks. på side 256 af den 10 ovenfor angivne lærebog af forfatterne Ralston og Rabino-witz. Som det beskrives i lærebogen, fjernes elementerne i hver række successivt for hver påfølgende række i mindste kvadraters retning. Resultatet af orthogonaliserings-teknikken er, at n-1 rækker er orthogonale med hverandre.

15 Hvis søjlevektoren V med længden n betragtes som den n-te række af den η x n matrix, der udgøres af vektoren V og de n-1 rækker i M, eksisterer der en vektor V, der er orthogonal med de n-1 rækker i M. Derfor eksisterer der en løsning.

20 I fig. 8's trin 173 anvendes der en tilfældig talgenerator til at frembringe tilfældige elementer i vektoren V. I trin 175 anvendes den ovenfor beskrevne Gram-Schmidt orthogonaliseringsteknik til at fjerne hvert af de n-1 25 orthogonal i serede rækker af M fra vektoren V. Når trin 175 er afsluttet, er alle n rækker (n-1 rækker i M plus vektoren V) indbyrdes orthogonale. Der er en meget lille sandsynlighed for, at den tilfældigt frembragte inital-vektor V kan være en lineær kombination af en eller flere 30 af de n-1 orthogonaliserede rækker i matrix'en Μ. I trin 177 undersøges det, om den orthogonaliserede vektor V er valid. Hvis V faktisk blev frembragt som en lineær kombination af en af de n-1 rækker i M, da ville den orthogonaliserede vektor V være meget lille. Hvis dette er til-35 fældet, besluttes det, at V er ubrugelig, og der frem- * bringes en anden tilfældig vektor. Et empirisk brugbart kriterie for at bestemme brugbarheden af den orthogonali- DK 169853 B1 31 serede vektor V er at sammenligne vektoren V's numeriske værdi med behandlingsenheden 45's afrundingsstøjniveau.

Hvis vektoren V's numeriske værdi er sammenlignelig med afrundingsstøjniveauet, da betragtes den som ubrugelig.

5 For at opnå større nøjagtighed, når der anvendes en 16 bit-processor 45, afgøres det, at vektoren V er ubrugelig, hvis dens kvadrerede absolutte værdi bestemmes til -12 at være mindre en 10 10 Ordenudvælgelse

Figurerne 12A-B viser de forskellige trin i den automatiske ordenudvælgelse, der udføres af analysatoren 1, hvilken udvælgelse er vist som trin 231 på fig. 3. Trin 15 231 viser et overblik over funktionen på den automatiske ordenudvælgelse, hvilken udvælgelse er vist meget mere detaljeret på fig. 12A-B. Formålet med ordenudvælgelsen er at inkrementere pol- og nulpunktsordenen (n og m) indtil en tilpasning af HE(f) til HMD(f), der opfylder visse 20 tilpasningskriterier, opnås. Derefter dekrementeres m til, at man har fundet to på hinanden følgende dårlige tilpasninger. De herved resulterende m og n er de ønskede ordener. Hvis der ikke opnås nogen tilpasning, der opfylder kriterierne, da lagres den bedste tilpasning, og den-25 ne udlæses.

I trin 251 bliver tilpasningskriterierne, der er bestemmende for en god tilpasning, bestemt. Der kan anvendes et antal kriterier i afhængighed af, hvilken specifik ana-30 lyse der udføres. En fremgangsmåde er at afprøve kvaliteten af tilpasningen punkt for punkt gennem frekvensområdet, og afgøre at en god tilpasning er opnået, hvis det totale antal punkter, der ligger uden for en given fejlgrænse, er mindre end et acceptabelt antal punkter.

Det første trin ved beregningen af fejlgrænsen er at beregne den normaliserede varians ved hvert frekvenspunkt, 35 DK 169853 B1 32 ud fra den varians, der er målt ovenfor. Den punkt for punkt normaliserede varians, defineres som variansen ved hvert punkt, divideret med den numeriske værdi af f^) ved hvert punkt. Tj defineres som 0,01 eller den normali-5 serede varians, hvilken der måtte være størst i hvert punkt. Punkt for punkt fejlgrænsen EL·^ er da givet ved: 10 ELj e ± 10 - Tj . jHyjjtf j) I 2 (55) 15 hvor den kvadrerede numeriske værditerm anvendes til at denormaliserede den normaliserede varians eller 0,01, hvilken af disse størrelser, der måtte være brugt. Fejlgrænsen er et vindue, der udbreder sig i begge retninger 20 fra (f).

Da fejlgrænsen hviler på variansen, kan det være nødvendigt at foretage en udglatning med henblik på at undgå tilfældige fluktuationer. Tretten punkts udglatning (mid-25 delværdien for hvert punkt sammen med seks punkter på begge sider) kan anvendes. Med henblik på at opretholde spidser i den oprindelige fejlgrænse, kan den oprindelige fejlgrænse eller den udglattede fejlgrænse vælges punkt for punkt til brug som den endelige fejlgrænse.

30

Acceptanstallet AN er det maksimale antal punkter inden for frekvensområdet, der kan være beliggende uden for fejlgrænsen, samtidigt med at der stadig er en god tilpasning. Dette tal kan bestemmes empirisk eller formlen: 35 DK 169853 B1 33 AN = FTOT + 4 (56) 25 5 kan anvendes. FT0T er det totale antal frekvenspunkter i frekvensområdet. Det skal bemærkes, at hvis der anvendes fejlgrænseudglatning, da ignoreres de højeste og laveste seks punkter i frekvensområdet, i den nedenfor beskrevne tilpasningsbestemmelse.

10 I trin 253 foretages der en første ordens tilnærmelse m = n = 1. Det bemærkes, at det er muligt for brugeren at angive en første ordens tilnærmelse, der afviger fra 1.

Det er også muligt for brugeren at specificere m og n, 15 således at trinnene i fig. 12A-B overhovedet ikke udføres. Brugeren kan også angive eller η^χ, hvilket begrænser de maksimalt tilladelige værdier for m og n i trinnene i fig. 12A-B.

20 I trin 255 genopbygges matrix'en M ved at anvende de oprindeligt tilnærmede ordener for m og n. Genopbygningen kunne udføres direkte, hvis de fuldstændige matrixpara-metre var lagret. Hvis der anvendes datakompression, da kan genopbygningen ske fra de lagrede maksimale 320 para-25 metre med henvisning til ligningerne 53 og 54, der er beskrevet ovenfor. Når matrix'en er genopbygget, bestemmes koefficienterne for D og C vektorerne vist i fig. 9 og 10, som ovenfor beskrevet. I trin 257 opbygges den estimerede overføringsfunktion Ηβ(f), ud fra Chebyshev-30 koefficienterne, således som det er beskrevet ovenfor. Punkt for punkt forskellen mellem H^tf) og HE(f) måles og sammenlignes med punkt for punkt fejlgrænsen med henblik på at opnå en optælling, der lagres, af det antal punkter, der ligger uden for grænserne. I trin 259 sam-35 menlignes denne optælling med AN, hvorved det bestemmes, om tilpasningen er god.

DK 169853 B1 34

Bestemmes tilpasningen som god, lagres de aktuelle værdier for m og n som n-bedst og m-bedst, og derefter udføres trinnet 289. Hvis tilpasningen ikke er god, da bestemmes det i trin 273, om dette er den bedste tilpasning indtil 5 nu, eller ej. Denne bestemmelse udføres ved at sammenligne antallet af punkter, der ligger uden for fejlgrænserne med tidligere optællinger. Der vil være foretaget tidligere optællinger, hvis der er sket en iteration fra trin 287. Hvis det konstateres, at dette er den bedste 10 tilpasning indtil videre, da lagres m og n som m-bedst og n-bedst, og m og n inkrementeres. Hvis dette ikke er den hidtil bedste tilpasning, da lagres der intet og n og m inkrementeres. I trin 279 - 285 begrænses m og n til maksimalværdier, der kan være sat af brugeren, eller til en 15 maksimal grænse på 20, der automatisk indsættes af analysatoren 1. Hvis både m og n har nået de maksimale værdier, da lagres værdien for m og n i trin 289. Hvis dette ikke er tilfældet, genudføres trin 255, og der bestemmes en anden tilpasning med anvendelse af de inkrementerede m 20 og n. På denne måde inkrementeres m og n, indtil der enten er opnået en god tilpasning, eller til maksimalværdien for både m og n nås.

Hvis antallet af nulpunkter m, i trinnene 301 - 303, er 25 større end 0, dekrementeres m, da både servo- og knudepunkt s sy s terner typisk har mindst en pol forskellig fra 0. Derfor kan der opnås en mere nøjagtig tilpasning ved at reducere antallet af nulpunkter, og reevaluere den derved fremkommende tilpasning. Den bedste tilpasning antages at 30 være nået ved det antal nulpunkter, hvor de næste to lavere antal nulpunkter begge har dårlige tilpasninger.

Hvis det i trin 303 bestemtes, at m var 0, da ville trin 333 blive udført derefter. Hvis m ikke er lig med 0, da vil matricen M i trinnene 205 - 307 blive genopbygget for 35 de aktuelle værdier af m og n, Chebyshevkoefficienterne bestemmes og tilpasningen mellem HE(f) og HMD(f) bestemmes ved hvert punkt.

DK 169853 B1 35 I trin 309 vurderes tilpasningen i forhold til tilpasningskriterierne. Hvis tilpasningen er god, da lagres m og n, og m dekrementeres igen i trin 301. Hvis tilpasningen ikke er god, og hvis m er lig med 0, da udføres trin 5 333. Hvis m ikke er 0, da dekrementeres m igen i trin 315. I trin 317 og 319 findes der en ny løsning og en ny tilpasning vurderes. Hvis tilpasningen nu er god, da lagres m og n, og m dekrementeres i trin 301. Hvis tilpasningen derimod er dårlig, sættes m i trin 333 til m-10 bedst, der blev lagret før. I dette tilfælde har m nu den værdi, ved hvilken de næste to dekrementeringer af m medførte dårlige tilpasninger, n er stadig den værdi, ved hvilken en god tilpasning blev opnået, før m blev dekre-menteret første gang.

15

Fig. 13A-13B viser de forskellige trin for en alternativ automatisk ordenudvælgelse, der kan anvendes ved trin 231 i fig. 3 i stedet for de trin, der er vist i fig. 12A-B. Overordnet betragtet kan trinnene i fig. 13A-B opdeles i 20 et antal serielle beslutningsblokke, hvori det afgøres, om polynomiernes orden skal ændres eller ej, og om der skal bestemmes nye polynomiumskoefficienter. I blok 531 inkrementeres tællerordenen m, og der bestemmes nye koefficienter, hvis en tidligere reduktion i m's orden for-25 årsager en forringelse af fejl-signalforholdet. I blok 533 inkrementeres begge ordenerne m og n, og der bestemmes nye koefficienter, hvis fejl/signalforholdet overskrider støj/signalforholdet med en forudbestemt størrelse, hvilket er udtryk for, at fejlen ikke alene skyldes 30 støj i de målte data. I blok 535 reduceres m, og der bestemmes nye koefficienter, hvis det konstateres, at de højere ordenskoefficienter har mindre end en forudbestemt minimal virkning på de målte data. I blok 537 bestemmes der nye data, og hele pol-nulpunktsanalysen udføres igen, 35 hvis der opnås en utilstrækkelig tilpasning, selv om den maksimalt tilladte orden for n nås. I blok 539 kan tilpasningen endelig bestemmes som værende tilstrækkelig DK 169853 B1 36 god. Hvis tilpasningen bestemmes som betinget god i blokkene 531 - 537 og ordenerne m og n er lig med hinanden, betragtes tilpasningen som værende tilstrækkelig god. Et andet alternativ er, at hvis fejlen bestemmes til ikke at 5 være kraftigt forspændt, da betragtes tilpasningen også som værende tilstrækkelig god. Ellers inkrementeres både m og n, og der bestemmes nye koefficienter.

I blok 531, trin 401 bestemmes det, om tælleren P(s)'s 10 orden m på noget tidspunkt under udførslen af fig. 3's trin 231, er blevet reduceret. Et flag UO sættes ud fra resultatet af denne bestemmelse. Hvis m tidligere er blevet reduceret, beregnes der et vægtet fejl/signalforhold V0 i trin 405, og dette vurderes i trin 407. V0 define-15 res: I Γ-. B(£.}[H,(i2Tf.) -H (f.)]2 ' VO », -S-2---2-i®-3- (57) 20 \|

Hvis V0 er 5% eller mere end det V0 (lagret som VI) som fra den foregående bestemmelse med det højere m, så 25 inkrementeres både m og tærskelværdien (SI, der beskrives nedenfor), og trin 69 gentages. Den bestemmelse, der udføres i trin 407 angiver, at tilpasningens kvalitet (målt ved fejl/signalforholdet) blev dårligere, da m blev reduceret, og derfor inkrementeres m'et til sin tidligere 30 værdi og trin 69 gentages.

I blok 533 trin 431 beregnes støj/signalforholdet, idet det antages, at fejl/signalforholdet ikke er blevet forøget med 5%, eller der ikke tidligere er sket nogen re- 35 duktion af m. R er defineret som: DK 169853 B1 37 r = Γς£_. W(fH) [fftfi)]z ' (58) V ζ ' 5 idet denne formel fremkommer ved at anvende definitionen af varians som støjeffekten fra ligning 8, og ved at anvende nævneren fra ligning 57. 1 trin 441 sammenlignes støj/signalforholdet med et multiplum af fejl/signal-forholdet. Multiplummet SO anvendes til at korrelere kva-10 liteten af tilpasningen til støjen og de målte data. SO er empirisk valgt til 2, selv om SO kan forøges i trin 465, hvorved en dårligere tilpasning, på grund af større støj i de målte data, tillades.

15 Hvis fejl/signalforholdet (V0) overstiger støj/signalforholdet R, med mere end en faktor SO, da betragtes tilpasningen som dårlig. Hvis nævnerordenen er mindre end den maksimalt tilladelige, da inkrementeres både m og n med 1, og trin 69 gentages. Dette forøger ordenen for både 20 P(s) og Q(s), hvorved det er muligt at opnå en bedre tilpasning af den estimerede overføringsfunktion til de målte overføringsfunktionsdata. Kvaliteten af tilpasningen bør blive bedre indtil m eller n overskrider den korrekte orden for de målte overføringsfunktionsdata. I analysato-25 ren 1 er den maksimalt tilladelige orden for m og n 20 (en total på 40 for m og n kombinationer af positive og negative frekvenser). Hvis den maksimale nævnerorden på 20 nås i trin 443, da fortsættes med blok 535. Hvis kvaliteten af tilpasningen også blev bestemt som betinget 30 god i trin 441, da fortsættes med blok 535.

I blok 535's trin 449 bestemmes en tærskelværdi SI. SI defineres således: 35 DK 169853 B1 38

Tg^ ^ 1.5 · TO, (59) 5 og Tgl_1 er den største absolutte værdi T^, der opfylder uligheden i ligning 59. TM defineres som: 10 T - r [ c I! (60) k=o * hvor er koefficienter i tællerens Chebyshevpolynomium 15 P(s). TO defineres som: /Σ- L (f.) [σ (f.) ] 2 1 TO % / fi 2 3 (61) 20 y Zf. LCf.JtH^if.))2 , 25 hvor den nye vægtningsfunktion L(s) defineres som:

Uf.) =W(f.) · |0(ί2π£.)Ι* · . (62) 30 I L(s) gør W(s) termen det muligt at fremhæve spidser, Q(s) fjerner virkningen af nævneren og HMD(f^) termen mi-35 nimerer virkningen af arealer med målte data med lille numerisk værdi.

DK 169853 B1 39 I trin 451 og 453 formindskes tællerordenen m til tærskelordenen, Sl-1. Det skal bemærkes, at nævnerordenen n aldrig reduceres i de rutediagrammer, der er vist på fig. 13A-B. Tællerordenen reduceres til tærskelværdien med 5 henblik på at sikre, at der ikke indføres virtuelle nulpunkter ved at opretholde tælleren på for højt et niveau.

SI bestemmes på en sådan måde, at kun forholdsvis ineffektive koefficienter i P(s) elimineres, på en sådan måde, at P(s)'s orden ikke reduceres for meget. Faktoren 10 1,5 i ligning 59, kan varieres med henblik på at sikre, at der anvendes et optimalt antal nulpunkter ved tilpasningen .

I blok 537 trin 461 gentages sammenligningen af støj/ 15 signalforholdet og fejl/signalforholdet, hvilken sammenligning også blev udført i trin 441. Hvis fejl/signalforholdet overskrider det forudbestemte multiplum af støj/signalforholdet, og den maksimale tilladte orden n er nået eller overskredet, da bestemmes det, at de målte 20 data er fejlbehæftede. Hvis dette er tilfældet, udføres hele pol/nulpunktsanalysen igen med et forøget tilladt multiplum af støj/signalforholdet SO, hvorved der tages hensyn til de fejlbehæftede data. Hvis den maksimalt tilladte tællerorden ikke er nået eller overskredet, da ud-25 føres trin 491 i blok 539. Hvis tæller- og nævnerordenerne ikke er lig med hinanden, da betragtes tilpasningen som værende tilstrækkeligt god, og trinnene på fig. 13A-B udføres, hvorefter trin 77 i fig. 3 udføres. Hvis ordenen for tæller og nævner er lig med hinanden, da udføres der 30 en endelig kontrol af tilpasningens kvalitet. Hvis kontrollen giver et positivt resultat, eller hvis kontrollen ikke giver noget positivt resultat og nævnerordenen er lig med eller større end den tilladte maksimale orden, da bestemmes tilpasningen til at være tilstrækkelig god.

35 Hvis kontrollen ikke giver et positivt resultat, og nævnerordenen er mindre end den maksimalt tilladte, da in-krementeres både nævner- og tællerordenerne og der be- DK 169853 B1 40 stemmes nye koefficienter i trin 69.

En mulig endelig kontrol i trin 493 i blok 539 er en analyse af polariteten af fejlen mellem Vs> °9 5 ved hvert frekvenspunkt i H^Cf j). Fejlen bør være centreret omkring 0 og bør hyppigt skifte polaritet, hvis tilpasningskvaliteten er tilstrækkeligt god. Den endelige kontrol udføres separat på HE(s)’s reelle og imaginære dele og H^( f^). Kriteriet for en godkendelse ved kon-10 trollen er, at ikke mere end Al på hinanden følgende' fejlpunkter har samme polaritet, idet det forudsættes, at intet fejlpunkt med en numerisk værdi mindre end den numeriske værdi af processoren 25's beregningsstøj, tages med i betragtning. Al vælges på en sådan måde, at et for-15 udbestemt antal, f. eks. 5% af tilstrækkeligt gode tilpasninger forkastes i trin 493, hvorved det sikres, at tilpasningerne har en ensartet kvalitet. Al er statistisk forbundet med det anvendte antal frekvensdatapunkter, hvilket antal er lig med 800 for analysatoren 1. Al kan 20 også bestemmes empirisk.

Polynomkonversion I trin 335 bestemmes Chebyshevkoefficienterne efter, at 25 matricen M er genopbygget, for de allerede bestemte bedste tilpasningsordener for m og n. Omsætningen til almindelige polynomier er vist i trin 77 på fig. 3 og kan nu udføres. I fig. 3’s trin 77 omsættes Chebyshevpolynomier-ne P(s) og Q(s) i HE(s) til almindelige polynomier. Denne 30 omsætning kan nemt udføres af fagmanden, ved at anvende de rekurrente Chebyshevsammenhænge, der er beskrevet ovenfor i sammenhæng med ligning 10. Resultatet af omsætningen er, at P(s) og Q(s) er almindelige polynomier i den komplekse variable s.

35 DK 169853 B1 41

Rodbestemmelse I trin 79 anvendes en rodbestemmer til at finde rødderne i P(s) og Q(s), der definitionsmæssigt er nulpunkter og 5 poler for HE(s). Hver af et antal velkendte rodbestemmere kan anvendes til at udføre denne bestemmelse. Specielt er den rodbestemmer, der anvendes i Hewlett-Packard Co. model HP-9825 desktop computer, og beskrevet på siderne 213 - 224 i Hewlett-Packard Co. "General Utility Routines", 10 som kan erhverves som Hewlett-Packard Co. part number 09825-10001, effektiv og anvendelig. En yderligere beskrivelse af rodbestemmere findes i "A Convergent Algorithm For Solving Polynomial Equations” af J. B. Moore, på siderne 311 - 315 i the Journal of Association 15 For Computing Machinery, Vol. 14, No. 2, April, 1967.

I fig. 3's trin 81 bliver polerne og nulpunkterne for den tilnærmede overføringsfunktion Hg(s) endelig udlæst på analysatorens 1 udlæseenhed 7. Enhver af et antal sædvan-20 lige udlæseprocedurer kan anvendes effektivt, og polerne og nulpunkterne kan f. eks. udlæses i rektangulær eller polær form.

25 30 35

Claims (22)

1. Apparat til bestemmelse af poler og nulpunkter for et 5 systems overføringsfunktion, hvilket apparat indeholder 1. stimuleringsorganer, der er indrettet til at stimulere systemet med et stimulussignal, og herved excitere et svarsignal, 10 2) eksempleringsorganer, der er indrettet til periodisk at frembringe digitale eksempleringer af stimulussignalet og svarsignalet, 3. en beregningsenhed, der er programmeret til ud fra eksempleringerne at beregne autokorrelationseffekt- 15 spektret og krydskorrelationseffektspektret for sti mulussignalet og svarsignalet ved hver af et antal frekvenser, der har interesse, og 4. styreorganer, der er indrettet til at styre stimuleringsorganerne, eksempleringsorganerne, og bereg- 20 ningsenheden, til gentagen indsamling af eksemple ringer og til beregning af spektre i det mindste én gang, til frembringelse af en mængde spektre, idet beregningsenheden er programmeret til 5. at beregne middelværdier for spektrene ved hver fre- 25 kvens, og 6. beregne målte værdier for overføringsfunktionen fra de beregnede middelværdier fra spektrene ved hver frekvens, kendetegnet ved, 7. at styreorganerne (5) kan styres af brugeren til at 30 påbegynde bestemmelsen af poler (pk) og nulpunkter (zk) for overføringsfunktionen, og 8. at beregningsenheden (41, 43, 45, 47, 49) er programmeret til i afhængighed af styreorganerne (5) at udføre bestemmelsen af poler (p^) og nulpunkter (z^) 35 ved: 9. at bestemme (113, ligning (8)) variansen for den målte overføringsfunktion (ΗΜβ) ud fra middelværdien for DK 169853 B1 43 spektrene (Θχχ, Gyy, 6γχ) ved hver frekvens (fj), 10. at udføre en mindste kvadraters tilpasning (67-71) af en anslået overføringsfunktion (HE) til den målte overføringsfunktion (HMQ) ved hver frekvens (fj), 5 hvor den anslåede overføringsfunktion (HE) omfatter en brøk af polynomfunktioner (P, Q), 11. ved trin 10) af den mindste kvadraters tilpasning, ved hver frekvens (fj) at subtrahere (167, ligning (46)) en forspændingsværdi, der er bestemt for vari- 10 ansen af den målte overføringsfunktion (HMD)/ fra den kvadrerede fejl mellem den anslåede overføringsfunktion (KL) og den målte overføringsfunktion (ΗΜΓ4), 12. at bestemme (77,78) polerne (pk) og nulpunkterne (zk) for den anslåede overføringsfunktion (H_) og Ej 15 13) frembringe (81) et udgangssignal, der er udtryk for polerne (pk) og nulpunkterne (zk).

2. Apparat ifølge krav 1, kendetegnet ved, at beregningsenheden (41, 43, 45, 47, 49) er programmeret 20 til at udføre trin 10) i den mindste kvadraters tilpasning ved: 14. at bestemme (ligning (10)) fejlen mellem den målte overføringsfunktion (HMD) og brøken af polynomium- 25 funktioner (P, Q) ved hver frekvens (fj), 15. at kvadrere fejlen ved hver frekvens (fj), 16. at udføre det ovenfor nævnte trin 11) med henblik på at korrigere de kvadrerede fejl, og 17. beregne (69) koefficienterne (cQ-cm, dQ-dn) for poly- 30 nomiumfunktionerne (P, Q), på en sådan måde, at sum men af de korrigerede kvadrerede fejl minimeres.

3. Apparat ifølge krav 2, kendetegnet ved, at beregningsenheden (41, 43, 45, 47, 49) er programmeret 35 til at udføre det ovenfor nævnte trin 17) ved: 18. at frembringe (163, 165) mindst én vektor (C, D), der DK 169853 B1 44 som elementer har koefficienter fra polynomiumfunktionerne (P, Q), -j 19. at frembringe (163, 165) i det mindste én matrix (F,

6, H) af delvist afledede af summen af kvadrerede 5 fejl med hensyn til koefficienterne (Cq-c^, dø-dn) for polynomiumfunktionerne (P, Q), og 20. at løse et sæt homogene sammenhørende ligninger (fig. 10, ligning 51-52), der fremkommer ved, at vektoren (C, D) multipliceret med matrixen (F, G, H) sættes 10 til nul, for koefficienterne (co"cm' dQ-dn), der ind går i polynomiumfunktionerne (P, Q).

4. Apparat ifølge krav 3, kendetegnet ved, at beregningsenheden (41, 43, 45, 47, 49) er programmeret 15 til at udføre trin 20), der er beskrevet ovenfor, ved; 21. orthogonalisering (171-177) af matrixens rækker, og 22. at udføre muliplikationen.

5. Apparat ifølge krav 4, kendetegnet ved, at beregningsenheden (41, 43, 45, 47, 49) er programmeret til at udføre trin 21) ved: 23. at slette (193) en minimumsrække, der har et diagona- 25 lelement, der er mindre end det diagonale element i enhver anden række, 24. at subtrahere (195) en øverste række fra alle rækker, der er lavere end den øverste række, 25. subtrahere (199-203) hver lavere række fra alle ræk- 30 ker, der er lavere end den selv. 1 2 3 Apparat ifølge krav 5, kendetegnet ved, at beregningsenheden (41, 43, 45, 47, 49) er programmeret 2 til at udføre det nævnte trin 24) gentagne gange på se-35 riel måde, række for række, fra højere rækker til lavere 3 rækker. DK 169853 B1 45

7. Apparat ifølge ethvert foregående krav kendetegnet ved, at beregningsenheden (41, 43, 45, 47, 49. er programmeret til at udføre en fejlvægtning i nævnte trin 10) og 11) ved: 5 26. at frembringe (67) den anslåede overføringsfunktion ' 27. at frembringe (65) en vægtningsfunktion (W) til fremhævelse af visse udpegede områder af den anslåede 10 overføringsfunktion (HL), Δ 28. ved hver frekvens (fj) at bestemme en fej1 mellem den målte overføringsfunktion (HMD) og den anslåede overførselsfunktion (Hg), 29. ved hver frekvens (fj) at multiplicere fejlen med 15 vægtningsfunktionen (W), og 39. at anvende de vægtede fejl (Ej) i alle efterfølgende beregninger, der omfatter fejlen mellem den målte overføringsfunktion (HMQ) og den anslåede overføringsfunktion (Hg). 20

8. Apparat ifølge krav 7, kendetegnet ved, at beregningsenheden (41, 43, 45, 47, 49) er programmeret til at udføre det nævnte trin 27) ved: 25 31) at differentiere (121) fasen for den målte overfør selsfunktion ( hmD ) me<^ hensyn til frekvensen, for hver frekvens (fj), 32. at omsætte (125) den differentierede fase til numerisk værdi ved hver frekvens (fj), 30 33) at dæmpe (131) enhver frekvens, ved hvilken variansen for den målte overførings funktion (H^) er høj, og 34) at normalisere (133) resultatet fra trin 33) til et. 1 Apparat ifølge krav 8, kendetegnet ved, at 35 beregningsenheden (41, 43, 45, 47, 49) er programmeret til efter nævnte trin 31) at udføre et trin, hvor den faseafledede udglattes (123), og efter det nævnte trin DK 169853 B1 46 32. at udglatte (125) den absolutte værdi.

10. Apparat ifølge krav 9, kendetegnet ved, at beregningsenheden (41, 43, 45, 47, 49) er programmeret 5 til, før den absolutte værdi udglattes, at udføre et trin (127), hvor kvadratroden af den absolutte værdi for hver frekvens (fj) dannes.

11. Apparat ifølge krav 7, kendetegnet ved, 10 at beregningsenheden (41, 43, 45, 47, 49) er programmeret til at udføre nævnte trin 27) ved: 35. at detektere (145) spidser i den målte overføringsfunktion (HrøpK 15 36) at frembringe (147) en overflade ved hver af de de tekterede spidser, og 37. at summere (155) overfladerne over frekvenserne (fj).

12. Apparat ifølge krav 11, kendetegnet ved, 20 at beregningsenheden (41, 43, 45, 47, 49) er programmeret til at udføre et trin: 38. at normalisere summationen af overflader (151) til en maksimal overfladeværdi. 25

13. Apparat ifølge krav 11 eller 12, kendetegnet ved, at overfladerne hver omfatter en parabel.

14. Apparat ifølge krav 13 eller 14, kendeteg-30 net ved, at beregningsenheden (41, 43, 45, 47, 49) er programmeret til yderligere at udføre trinnene: 39. at bestemme (141) en middelkvadreret værdi for den r målte overføringsfunktion (HMQ) ved hver frekvens 35 (fjK 40. at beregne (153) den kvadrerede absolutte værdi for den målte overføringsfunktion (HMD) ved hver frekvens DK 169853 B1 47 (fj), 41. at dele (153) den kvadrerede absolutte numeriske værdi med den kvadrerede middelværdi ved hver frekvens (fj) og 5 42) at kombinere (155) den dividerede kvadrerede abso lutte værdi med den normaliserede summation af parabler ved hver frekvens (fj).

15. Apparat ifølge ethvert af de foregående krav, 10 kendetegnet ved, at beregningsenheden (41, 43, 45, 47, 49) er programmeret til at udføre nævnte trin 10), 11) og 12) ved: 43. at vælge (67) et første antal (n) poler og et første 15 antal (m) nulpunkter for den anslåede overførings funktion (Hg), 44. at bestemme (69) den anslåede overføringsfunktion (Hg) ved dette antal, 45. at sammenligne (71) den målte (HMD) og den anslåede 20 (Hg) overføringsfunktion og bestemme (71) kvaliteten af tilpasningen for den anslåede overføringsfunktion, 46. at inkrementere (75) antallet (n, m) af poler og nulpunkter for den anslåede overføringsfunktion (H„), Ci indtil den bedste tilpasning opnås, 25 47) at dekrementere (75) antallet (m) af nulpunkter ind til der opnås en optimal tilpasning, og 48. at beregne (79) polerne (pk) og nulpunkterne (zfc) som rødderne for den anslåede overføringsfunktion (H_). Ei

16. Apparat ifølge krav 15, kendetegnet ved, at beregningsenheden (41, 43, 45, 47, 49) er programmeret til at udføre det nævnte trin 45) ved: 49. at bestemme en fejlgrænse ved hver frekvens (fj), 35 50) at subtrahere den målte overføringsfunktion (H^) fra den anslåede overføringsfunktion (Hg) ved hver frekvens (f j ), DK 169853 B1 48 51. at sammenligne resultatet med fejlgrænsen ved hver frekvens (fj), og 52. at tælle det antal resultater, der overskrider fejlgrænsen. 5

17. Apparat ifølge krav 16, kendetegnet ved, at beregningsenheden (41, 43, 45, 47, 49) yderligere er programmeret til i det nævnte trin 45 at udføre trinnene: 10 53) at registrere antallet af resultater, der overskrider fejlgrænsen, og 54. at afgøre, at en bedste tilpasning er frembragt, hvis antallet er mindre end et forudbestemt acceptanstal.

18. Apparat ifølge ethvert af kravene 15 - 17, ken detegnet ved, at beregningsenheden (41, 43, 45, 47, 49) er programmeret til i nævnte trin 47) at erkende en optimal tilpasning, hvis to efterfølgende dekremen-teringer af antallet af nulpunkter (m) medfører tilpas-20 ninger, der ikke er tilfredsstillende.

19. Apparat ifølge ethvert af kravene 15 - 18, kendetegnet ved, at de initiale antal (n) af poler og det initiale antal (m) af nulpunkter er et. 25

20. Apparat ifølge ethvert af kravene 1 - 14, kendetegnet ved, at beregningsenheden (41, 43, 45, 47, 49. er programmeret til at udføre nævnte trin 10), 11) og 12) ved: 30 55. at vælge (253) et første antal (n) af poler og et første antal (m) af nulpunkter for en anslået overføringsfunktion (Hg), 56. at bestemme en anslået overføringsfunktion (Hg) med 35 det første antal (n, m) af poler og nulpunkter, 57. at måle (431) et fejl/signal forhold for den anslåede (Hg) og den målte (HMD) overføringsfunktion, DK 169853 B1 49 58. at inkrementere (445, 447) antallet (n, m) af poler og nulpunkter for den anslåede overføringsfunktion (He), hvis fej 1/signal forholdet er større end et støj/signalforhold for den målte overføringsfunktion 5 (HMD ^' 59. at bestemme den anslåede overføringsfunktion (Hg) med det inkrementerede antal (n, m) poler og nulpunkter, og 60. at beregne (79) polerne (pfc) og nulpunkterne (z^) som 10 rødder for den anslåede overføringsfunktion (Hg).

21. Apparat ifølge krav 20, kendetegnet ved, at beregningsenheden (41, 43, 45, 47, 49) er programmeret til efter nævnte trin 59) at udføre trinnene: 15 61. bestemme virkningen af højere ordens koefficienter på den anslåede overføringsfunktion (Hg), 62. dekrementere (453) antallet (m) af nulpunkter i den estimerede overføringsfunktion (H„), hvis virkningen Ei 20 er under et forudbestemt niveau, og 63. at genbestemme den anslåede overføringsfunktion (H_) Ej med det dekrementerede antal (m) nulpunkter.

22. Apparat ifølge ethvert forgående krav, kende-25 tegnet ved, at beregningsenheden (41, 43, 45, 47, 49. er programmeret til i nævnte trin 10) at udføre følgende trin: 64. at frembringe (67) den anslåede overføringsfunktion 30 (H_) som en rationel brøk af Chebyshev polynomier (T), og før nævnte trin 12) at udføre trinnet: 65. at omsætte (77) Chebyshev polynomierne (T) for den anslåede overføringsfunktion (H„) til almindelige po- Ei lynomier (P, Q). 35

23. Apparat ifølge ethvert foregående krav, kendetegnet ved, at beregningsenheden (41, 43, 45, 47, 50 DK 169853 B1 49. er programmeret til at Fourier-transformere (95) det eksemplerede stimulussignal (x) og svarsignal (y) til frekvensdomænet. 5 10 15 20 25 30 35