JPS61111471A - 伝達関数の極・ゼロ点決定方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】

〔産業上の利用分野〕 本発明は線形システムの特性を把握するための伝達関数
における極とゼロを分析する極・ゼロ解析器に関する。 〔従来の技術〕 −ｍに、線形システムの伝達関数は印加された刺激信号
に応答してラプラス変換（Ｓ平面）領域におけるそのシ
ステムが取る動作を説明するものである。特に°、電気
的、機械的または電気機械的システムの設計に際し、シ
ステムを所望の用途に対して最適化するようにＳ平面内
でシステムの伝達関数の各種とゼロ点の位置と大きさを
知ることは重要である。またシステムの安定性が重要な
場合には、極の位置を知ることも大事である。極とゼロ
点との測定値がシステム設計者に役立つためには、測定
を迅速かつ正確に行うとともに、ノイズと歪とによる誤
差を極力少なくすることが重要である。 線形システムの伝達関数を測定するための各種システム
がいままでに多数提案され、そして製作されている０例
えば１９７６年８月３日発行された米国特許第３，９７
３．１１２号および１９７７年９月６日発行の米国特許
第４，０４７，００２号に開示されている。このような
システムは、極およびゼロ点の測定値を与えてくれるが
、この測定値は、解析されるシステムの応答が非線形で
あること、および測定データにノイズが含まれているこ
とにより、固有の誤差を含んでいた。 〔発明が解決しようとする問題点〕 本発明は上記の欠点を解決するためになされたもので、
極とゼロ点との測定はランダムなノイズまたはガウスノ
イズのような所望の刺激信号を測定対象のデバイスに印
加することにより開始される。 〔問題点を解決するための手段〕 刺激信号と応答信号とは時間領域でサンプルされ、そし
て高速フーリエ変換（ＦＦＴ）により周波数領域に変換
されるので、刺激信号の自己（Ａｕｔｏ−）スペクトル
と、刺激信号および応答信号の重なり（Ｃｒｏｓｓ−）
スペクトルとが測定される。ノイズとシステム応答の非
線形性とに起因する極およびゼロ点測定の誤差を最小に
するために、刺激信号と応答信号との測定値を組み合わ
せ、そして自己スペクトルと重なりスペクトルとを組み
合わせの平均（ｅｎｓｅｍｂｌｅ　ａｖｅｒａｇｅ）と
して測定することができる。システムの伝達関数の測定
値は重なりスペクトルおよび自己スペクトルから求めら
れ、測定データのノイズレベルは刺激信号と応答信号と
の組み合わせ平均値から推定される。なお、測定の時間
遅れは必要に応じてこれを除去できる。 〔作用〕 測定された伝達関数は、分子・分母が夫々変数Ｓについ
てチェビシェフ多項式（Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖｐｏｌｙｎ
ｏｍｉａｌｓ）の有理式（ｒａｔｉｏｎａｌ　ｆｒａｃ
ｔｉｏｎ）である推定伝達関数により近似（ｆｉｔ）さ
れる、極・ゼロ点測定値の精度を増すために、重みづけ
関数（ｗｅｉｇｈｔｉｎｇ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ）が求め
られ、これにより伝達関数の一定の部分が強調される０
次に分子分母の多項式の係数は、測定伝達関数データの
推定伝達関数への重みづけ最小二乗近似（ｗｅｉｇｈｔ
ｅｄｌｅａｓｔ　５ｑｕａｒｅｓ　ｆｉｔ）として求め
られる。また、推定伝達関数の測定した伝達関数への近
偵品賞が求められる。もし、近似が不十分な場合には分
子分母の多項式の次数を変え、新しい係数を求め、そし
て再び近似を試験する。十分な近似が達成されると、推
定伝達関数のチェビシェフ分子分母多項式は普通の多項
式に変換され、そして木根器（ｒｏｏｔ　５ｏｌｖｅｒ
）は二つの多項式の根を見付けるのに用いられ、これが
推定伝達関数の極とゼロ点とを与える。極とゼロ点とは
そのデバイスの設計者の希望に応じてこれを表示するこ
とができる。 〔発明の実施例〕 第１図は本発明の一実施例により構成された測定装置１
の外観図を示す、刺激信号ｘ（Ｌ）は第１チヤンネルの
ケーブル９を介してデバイス３に加えられ、そしてデバ
イス３からの応答信号ｙ（ｔ）は第、２チヤンネルのケ
ーブル１１を経て装置１に導入される。ここで、測定対
象のデバイス３は任意の電気的、機械的あるいは電気機
械的システムであり、例えばサーボモータでよい、なお
、外部変換器を使用する場合には、デバイス３に機械的
振動を加えること、およびそれに対するデバイス３から
の応答信号を監視してモード解析を行うことが可能であ
る。ユーザはキーボード５を通して各種の指令を装置１
に入力することができ、そして測定の結果はＣＲＴのよ
うな表示器７に表示することができる。 第２図は前記測定装置１の電気的ブロック図である０図
において、アナログ信号源２７は、キーボード５を介し
てユーザの制御の下に、ディジタル信号源３９で駆動さ
れて刺激信号ｘ（ｔ）を発生する。そして該刺激信号ｘ
（ｔ）は前述のように第１チヤネルのケーブル９を介し
てデバイス３に導入される。応答信号ｙ（Ｌ）と刺激信
号ｘ（ｔ）とは入力部２１．２３を通してそれぞれ受信
され、そして局部発振器３７で設定されるサンプル速度
でアナログ・ディジクル変換器２９．３１によりディジ
タル化される。サンプルされた信号ｘ　（ｔＪ）とｙ　
（ｆ＝）とに現れる誤差を減少するには、ディジタルフ
ィルタ３３を使用することができる。高速フーリエ変換
！Ｉ；　（ＦＦ丁）４３は刺激信号と応答信号とを周波
数領域（ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ　ｄｏｍａｉｎ）の信号Ｘ
（ｆ、）とＹ　（ｆ、）とに変換するのに使用され、こ
の信号はバス５１を経てＲＡＭ４７に記憶される。浮動
小数点プロセッサ４５は、信号Ｘ　（Ｂ”）とＹ　（ｆ
ｊ）との重なりスペクトルおよび自己スペクトルとを求
めるため、または組み合わせ平均を取った場合に信号Ｙ
（ｆｊ）に現れるノイズの量を測定するのに使用される
。プロセッサ４５は、ＣＰＵ４１の制御の下に、以下に
説明するようにデバイス３の伝達関数の橿とゼロ点とを
測定するのに使用される。また、前記バス５１は、例え
ば二重バス系から構成されるが、データ信号と命令信号
とを伝送するのに使用される。 第３図はデバイス３の伝達関数の極とゼロ点とを測定す
る間に測定装置１が行う動作の流れ図である。最初のス
テップ６１で、刺激信号ｘ（ｔ）はデバイス３に加えら
れ、そして応答信号７（ｔ）が記録される。二つの信号
はディジタル化され、そしてＸ（ｆ、）およびＹ（ｆ、
）として周波数領域の信号に変換される。刺激信号と応
答信号の各測定値は、自己スペクトルおよび重なりスペ
クトルが組み合わせ平均として測定され、これが多数回
繰り返されて、デバイス３の応答中のノイズと非線形性
の影響が減らされる。自己スペクトルおよび重なりスペ
クトルは測定され、そしてステップ６３で、測定伝達関
数における測定ノイズの推定の測定分散が求められる。 ステップ６７で、帰納的関係（ｒｅｃｕｒｒｅｎｃｅ　
ｒｅｌａ−ｔｉｏｎｓｈｔｐ）を利用して、推定伝達関
数Ｈｔ（ｓ）の分子・分母チェビシェフ多項式Ｐ　（ｓ
）とＱ　（ｓ）とを発生させる。ステップ６５で、重み
づけ関数を求め、これは推定伝達関数を測定した伝達関
数に合わせることによって、最小二乗解析を重みづけす
るために使用する。ステップ６９で、二つのチェビシェ
フ多項式の係数は、推定伝達関数を測定伝達関数に重み
づけされた最小二乗近位して求められる。ステップ２３
１で、実際の近似の程度を求め、そして一連の近位判定
基準との合致を解析する。 近似が不十分であれば、多項式の次数を変え、そして新
しい係数を求める。もしも、近似が十分であれば、チェ
ビシェフ多項式はステップ７７で普通の多項式に変換さ
れ、そして普通の多項式の根がステップ７９で見出ださ
れる。推定伝達関数の極とゼロ点（多項式の根）とは希
望に応じてステップ８１により表示される。 第３図に示す流れ図の各ステップについて以下個別に詳
細に説明する。ステップ６１で、デバイス３の実際の伝
達関数が測定される。第４図は、ステップ６１の個別の
ステップを順次示している。刺激信号ｘ（Ｌ）はデバイ
ス３に加えられ、そして信号ｘ（ｔ）と応答信号ｙ　（
ｔ）とは速さｆｓでサンプルされる。多数の信号ｘ（ｔ
）の任意のものがデバイス３を刺激するのに使用される
。特に、ランダムノイズはデバイスの３の応答で小さな
非線形性の効果が後で除かれるようになっているので望
ましい。サーボモータの設計のような、多くの用途では
、関連する周波数範囲は直流（ＯＣ）から１００ｋＨｚ
までのように低い、このベースバンド（ｂａｓｅｂａｎ
ｄ）の場合には、サンプル周波数【Ｓはナイキスト（Ｎ
ｙｑｕｉｓｔ）の関係と理巳的構成要素とを用いて２０
０ｋＨｚ程度に低くすることができる。現実に、フィル
タ３３は理想的でないから、幾らかの誤差が発生する。 これはサンプル周波数ｆｓを例えば２５６ｋ）Ｉｚまで
上げるか、あるいは周波数領域でデータの上の部分を無
視して補正することができる。 ステップ９５で、時間領域の信号Ｘ　（ｔｊ）とｙ（ｔ
ｊ）とは高速フーリエ変換で周波数領域の信号Ｘ　（ｆ
、）とＹ（ｆｊ）とに変換される６時間領域における各
信号から２０４８サンプルを取る場合、周波数領域では
１０２４の複素データ点が信号毎に発生する。誤差の影
響を補償するには上の２００程度の周波数領域データ点
を無視することが必要である。それぞれの周波数データ
点は複素数であるから、実数部と虚数部とから成り、こ
れはまた棒形式で振幅と位相とで表すことができる。な
お、方程式とその中の記号とは今後特に指示しない限り
複素変数で表す。 測定が行われる物理的制約のため、あるい得る。これら
時間遅れは望ましくない実質的な掻およびゼロ点が解析
に入り込まないようにデータから除去すべきである。除
去は周波数領域のデータにｅ１１２πｆｔ　（ここでｌ
は−１の平方根、そしてｔは時間遅れの推定値である）
を乗するというような多くの方法のいずれかによって行
うことができる。この方法の詳細はロナルド・プレース
ウェル（Ｒｏｎａｌｄ　Ｂｒａｃｅｗｅｌｌ）著「フー
リエ変換とその応用」の第２版１０４ページに述べられ
ている。 デバイス３の伝達関数の測定値Ｈ，Ｄ（ｆＪ）は第５図
により定義することができる。第５図はデバイス３の出
力が入力、伝達関数および付加的なノイズの項に関係し
ていることを示している。したがって、伝達関数ＨＭ。 （ｆｊ）は次式により陰に定義することができる。 Ｙ（ｆｊ）　＝Ｈｎ＊（ｆＪ）　・Ｘ（ｆ））　＋Ｎｒ
（ｆｉ）　　　＝　（１）この式は上線を組み合わせ平
均と定義して次のように書き替えることができる。 ｙｘ＊＝　　Ｈｘｏｘｘ＊　　＋　　ＮＦＸ＊　　　　
　　　　　　　　　　−（２）すなわち、 Ｈｐ＋ａ　−（ＹＸ傘　−ＮＦＸＪＩ／χＸｓ）　　　
　　　　　　　−［３）デバイス３の伝達関数は、自己
スペクトルおよび重なりスペクトルの項で次のように定
義される。 １１ＭＩＩ　−ＧＹＸ／　Ｇｘｘ　　　　　　　　　　
　・・・〔４〕ここで、ＮＦＸ本の項は無視できる程小
さいと仮定し、自己スペクトルおよび重なりスペクトル
は次のように定義する。 ＧＫＩＩ−ＸＸ＊、　　Ｇｖｙ−ＹＹ宰、　　Ｇｖｘ−
ＹＸ＊　　　　　　・＝　　（５）伝達関数の測定に及
ぼすノイズ項の影響を最小にするために、自己スペクト
ルと重なりスペクトルとは多数の刺激、応答測定値にわ
たる組み合わせ平均値として求められる０組み合わせで
の測定値の数が増すにつれて、非相関ノイズ環の位相角
がランダムなため、ノイズ項の平均はＯになる。もし、
刺激信号としてランダムノイズを使用すると、この平均
化はデバイス３における応答特性の非線形性を線形化す
るという別の効果を生ずる。というのは、刺激信号と非
線形応答信号との間には相関関係がないからである。ｌ
Ｏから１　、０００までの測定値を組み合わせると、良
好な結果が得られることは分かっており、そして組み合
わせの測定値の数はユーザが選択して差し支えない０組
み合わせを用いて、デバイス３の伝達関数は下記の商と
して測定することができる。 ＨＭＩＩ　＝　Ｇｖｘ／　Ｇｘｘ　　　　　　　　　　
　・・・（６）第４図のステップ１０７で、式〔６〕で
定義したＨｘｏ（ｆＪ）がメモリに記憶される。ステッ
プ６３で、測定した伝達関数の集合コヒーレンス（ｅｎ
ｓｅ量ｂｌｅｃｏｈｅｒｅｎｃｅ）が測定され、これは
極およびゼロ点の測定におけるノイズ誤差を補正するた
めに後で使用される。一般に、ランダム変数Ｘに関する
分散分散は既知の多数の方法のいずれかによって推定す
ることができるが、１９５７年３月グツドマン（Ｎ。 Ｒ，Ｇｏｏｄｍａｎ）のニューヨーク大学博士論文「二
次元静止ガウス過程のスペクトル、コスペクトルおよび
木精スペクトルの合同推定（ＯＦＩ　Ｔｈｅ　Ｊｏｉｎ
ｔＥｓｔｉｍａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｔｈｅ　５ｐｅｃｔｒ
ａ、　Ｃｏｓｐｅｃｔｒｕｍ＋　ａｎｄＱｕａｄｒａｔ
ｒｕｅ　５ｐｅｃｔｒｕ＋ｗ　ｏｆ　Ａ　Ｔｗｏ−Ｄｉ
＋ｎｅｎｓｉｏｎａｌＳｔａｔｉｏｎａｒｙ　Ｇａｕｓ
ｓｉａｎ　Ｐｒｏｃｅｓｓ）Ｊの第１３１ページにある
式４．９２および４．９３によって厳密に求めることが
できる。この式は第二種ベッセル関数に書き替えること
ができるので、これを積分して、が得られる。ここでｎ
は１より大きく、またｎは集合（ｅｎｓｅ＋ｗｂｌｅ）
中の測定値の個数である。 式〔８〕に使用しているコヒーレンス関数は、次式で定
義される。 ＩＴｌ”−１Ｇｙｘｌ”／（Ｇｘｘ・Ｇｙｙ）　　　−
（９１重みづけ関数 ユーザは制御装置５によりユーザ定義重みづけ関数を入
力することもできる。ユーザ定義重みづけ関数によれば
、ユーザは既知の高いまたは低い測定精度の、あるいは
ユーザにとって特に重要な区域を考慮して、周波数軸に
沿うある希望の領域を強調することができる。先の場合
、ユーザが定義した重みづけ曲線は表示装置７に表示さ
れ、ステップ６５を実行する必要はなくなる。そうでな
ければ、第３図のステップ６５で、最小二乗近似解析に
使用する重みづけ関数Ｗ　（ｆ）が発生する。第６図と
第７図とはそれぞれステップ６５の各ステップを示して
おり、このステップを実行して二つの重みづけ関数のう
ちの一つを作り出すことができる。 第６図に示すステップで発生した重みづけ関数はＨｓｅ
（ｆ）が急速に変化する周波数軸に沿う領域を強調して
いる。このように、この重みづけによる近イ以は極およ
びゼロ点の両者の回りの領域で等しく良好であり、この
重みづけ関数はサーボ解析に使用するのに最も良く通し
ている。最小二乗近似は伝達関数の測定値ＨＰｌｌｌ　
（ｆ　ｊ）と各周波数データ点で評価した伝達関数の推
定値Ｈｔ（ｓ）との間の誤差の二乗の和を最小にするこ
とである。各点で評価された重みづき誤差は、ｊをサン
プリング指数として、次のように定義される。 Ｅ（ｆ＝）＝Ｗ（ｆ＝）　（Ｉｔ（ｉ２πｆＪ）−ＨＭ
ｅ（ｆｊ））　＝　（１Ｇ）ここで、ＨＭＩ）は実数の
周波数、Ｈｔは複素数Ｓで測定されるが、ＨｓｎはＳに
一般化し、そしてＨＭＩＩとＨ７とを直接比較対照する
ことができる０本技術は当業者にとって、Ｓと１２πｆ
との解析関数を同等と見なす解析接続の手順により一般
化を行うことができる。 最小二乗近似解析で定義される全重みづけ誤差ε′は Ｃｏ　−Σｌ　Ｅ（ｆｊ）　Ｉ　”　　　　　　　　・
・・〔１１〕ここで、誤差と重みづけ関数とは各周波数
点で評価され、総計は関連する周波数範囲にわたって行
われる０重みづけ関数Ｗ　（ｆ）は最小二乗近似解析に
おいて希望するｆの領域を強調するのに使用される−　
ＨＥ（Ｓ）は二つの多項式の有理式である。 Ｈｔ（ｓ）＝　Ｐ（ｓ）／Ｑ（ｓ）　　　　　　　　　
・・・（１２）Ｐ（＄）の係数がＣ０，Ｃ，、・・・・
Ｃｍであり、そしてＱ　（ｓ）の係数がｄｏ、　ｄ＋、
、・・・・ｄｎであると仮定すれば、最小二乗近似解析
は、Ｃ６，Ｃｔ＋　　・・・・ＣＭとｄ＠、　ｄ、、　
　・・・・ｄｎに関してそれぞれＣ。 の偏重関数を取り、この偏重関数を０に等しいとおいて
、同次方程式（ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ　ｅｑｕａｔｉ
ｏｎｓ）を作り出すことにより行われる。この最小二乗
近似解析によれば、同次方程式を連立させて解（ことに
より、希望する最小の重みづき誤差ｔ”を見付けること
ができる。最小二乗近似解析の一般的解説は、たとえば
ラルストン（Ｒａｌｓｔｏｎ）およびラビノウイ、ツ（
Ｒａｂｉｎｏｗｉ　Ｌｘ）著「数値解析の第一過程」第
２版の第６章に述べられている。 過程を詳細に示している０本質的に、Ｗ　（ｆ）は周波
数軸に沿う各点で評価したＨ＋ｔｏ（ｆ）の位相導関数
である。 隣接する三つの周波数データ点（ｘｌ＋　Ｘｔ＋　Ｘ３
）に対して、点Ｘ、での位相導関数はｐｈ（ｘ３）　　
ｐｈ（ｘ＋）であると定義される。ただし、ｐｈ　（ｘ
）はデータ点Ｘでの位相である０位相導関数を使用すれ
ばＨｓａ（ｆ）の極およびゼロ点の生起する確率が最も
高（かつノイズスパイクを最小に重みづけするだけの周
波数軸の領域で重みづけを最大にすることができる。 第４図のステップ１０５〜１０７で、Ｈｓｏ（ｆ）の複
素周波数領域で測ったデータ点の実数および虚数の成分
が測定され、記憶される。ステップ１２１で、測定した
各データ点での位相導関数が求められる。 複素対数を用いて、位相導関数は次のように表すことが
できる。 ｐｈＣｘｓ”）　−ｐｈ（ｘ＋）　＝　Ｉｍ　［ｌｏｇ
（ｘｓ）　−１重ｇ（ｘυ］　・（１３）＝１ｇ＋　［
ｌｏｇ（ｘ＊／ｘυ］　　　・（１４）＝ｐｈ（ｘｓ　
／ｘｔ）　　　　　　・＝　（１５）ただし、位相情報
だけが欲しいので、 ｐｈ（ｘｓ）−ｐｈ（ｘｓ＞＝ｐｈ　［（ｘｚ）（ｘ＋
＊）　］＝　ｄｃｒＸ／ｄｆ　　　　　−（１７）この
ように、Ｘ＝Ｘｔ＊の位相を評価することが必要である
。ここで小角度近似を使用するのが便利であり、これに
より計算時間を最少限にすることができるａ　ｐｈ（ｇ
ｘｔ率）がｔａｎ−’　（ｐｈ（ｘｓｘ＋本）　）に等
しいという近似を−２＜　ｊａｎ−’　（ｐｈ（ｘｚｘ
−））　＜　２の領域で使用することができる。ただし
、ｊａｎ−’（ｐｈ（ｘｘｘ−）　）はラジアンで表現
されている。この範囲の外ではｔａｎ−’　（ｐｈ（Ｘ
ｓｘｔ”）　）は＋２または−２と近似される。小角度
近似のその他の利点はト■。（ｆ）に及ぼすノイズが位
相の変化の割合が制限されるためさらに小さくなること
である。 ステップ１２１で得た位相導関数はノイズを多く含んで
いる傾向があるから、ステップ１２３で導関数を平滑に
する。平滑化は各位相導関数データ点をその前後夫々７
点ずつと平均することにより容易に行うことができる。 このように、Ｗ（ｆ）上の各点は実際に隣接する１５の
位相導関数データ点の平均であり、結果としてノイズス
パイクが減少している０前後夫々の側に七つの点を使用
して平均化したが、その数は希望に応じて５ないし１５
まで変えて差し支えなく、良好な結果が得られることが
わかっている。サーボの解析では、ノイズが高く、デー
タの減衰特性が軽いので、前後夫々の側に１３個の点を
使用している。モード解析では、ノイズが低くそしてデ
ータの減衰が大きいので、各側に夫々７個の点を取れば
十分である。 正の重みづけ関数だけが欲しいのであるから、ステップ
１２５で絶対値を取っている。平方根はステップ１２７
で得られる。サーボ解析では、より滑らかな重みづけ関
数がＪｉＰ通望ましいので、総てのデータを使用すると
ともに、平方根もよく用いられる。逆に、モード解析で
は、典型的に更にＱの高い装置を解析するので、普通は
平方根を求めることはない。 ステップ１２９で、重みづけ関数に関して別の平滑化が
行われる。平滑化は前記のステップ１２３と同じ方法で
行われる。 測定データ上の高いノイズ領域の影響を最小にするよう
に重みづけ関数を補正することも望ましいことである。 第４図のステップ１１１で測定され、そして式

〔９〕で
定義されたコヒーレンス関数でＨｌ、ＩＤ（ｆＪ）の各
測定周波数領域データ点のノイズを推定できる。ここで
、ノイズ補正係数を乗することにより、コヒーレンス関
数がＯに近ずく高いノイズ領域の影響を弱める。係数を
Ｏ，ＯＳとすれば、ノイズの多いデータ点より２０倍も
大きいきれいなデータ点を強調することができる。ここ
で得られる量は位相導関数の絶対値を含んでいるが、周
波数軸に沿う各点で、 ・・・〔１９〕 である。 ステップ１３３で、ノイズを補正された重みづけ関数は
オーバーフローしないように１に正規化され、ステップ
１３５で、データが全体的に無視されることがないよう
に、０．０２のしきい値が導入される。このように、重
みづけ関数は、 ・・・〔２０〕 と定義される。 最後に、ステップ１３７で、ユーザはＷ（ｆ）を修正す
る随意選択権をもっている。　Ｗ（ｆ）は、０から＋１
まで変わるが、これは装置１の表示器７に周波数の関数
として表示される。ユーザが修正を行わない場合に、装
置（１）は周波数の最高および最低のデータ点から開始
し、周波数範囲の中心に向かって少な（とも０．０４の
Ｗ（ｆ）が夫々の側に見付かるまで走査する。こうして
見つかった２つの端点の上下（つまり外側）にあるデー
タは無視される。また、測定時間を短縮するため、また
はある所望のデータが無くならないようにするため、ユ
ーザは制御装置５で制御される表示器７における二つの
カーソルを用いて、端点を指定することができる。 第７図は、ステップ６３の詳細な各ステップを示してい
る。これは前記第６図に示すステップに代って他の重み
づけ関数を発生することができる。 この代わりの重みづけ関数はモーダル解析では好ましい
ものである。というのは、モーダル解析では多くの場合
、ノイズと歪とがゼロ点の近くでしばしば発生するから
である。モーダル解析値には大ていのサーボ解析値に入
っているものよりも鋭いピークが入っていることがしば
しばある０代わりの重みづけ関数はピークの位置を非常
に正５１に求める傾向があり、そして極とゼロ点との情
報をこれから得ることができる。ステップ１４１で、そ
の二乗平均値に正規化された伝達関数データＨＭｅ（ｆ
）の二乗値が計算され、これが記憶される。 次にステップ１４５で、ＨＰＩｅ（ｆ）のピークが求め
られる。この決定は、短い線分をＨＰＩｎ（ｆ）の連続
する部分に適合させることによって行われる。　　８０
０個のデータ点に対して、典型的には四種の線分長（８
，１６，３２，６４）が用いられる。線分は２：１の割
合で重ねてデータ内のピークで無視されるものがないよ
うにすることが好ましい０次に各データ点の振幅を関連
する線分の振幅から差し引く、この残りをしきい値と比
較して、妥当なピークが検出されたか否かを確かめる。 Ｊσという代表的なしきい値を用いれば、この残りをそ
の点での標準偏差と比較することができ、そして偽のノ
イズピークを排除することができる。 予め決めた数の連続点での残りがしきい値より大きい場
合には、真のピーク値が検出されたという最終判定を下
してよい、なお、四つの連続点を用いれば、正確なピー
ク検出を行い得ることが分がっている。 ステップ１４７で、重みづけ関数の放物線がステップ１
４５で求めた各ピークの中心の回りに構成される。パラ
ボラの中心は（Ｓ＋Ｔ）／２の位置にあり、ここでＳと
Ｔとはピークがしきい値を越した最外側のデータ点の向
こうにあるそれぞれ三つの点である。パラボラの最大の
高さは、基線上３Ｌ／　（２（Ｔ−３）ｌである。ただ
し、Ｌは周波数データ点の総数である。このように、パ
ラボラは幅が高さと逆比例するように構成されるので、
広すぎたり狭すぎたりするピークは無視される。 ステップ１５１で、重みづけ関数は最大ピーク値で割る
ことにより正規化される。ステップ１５３で、Ｈ４゜（
ｆ）の元の測定データの二乗値がステップ１４１で測定
された平均二乗値で割ることにより正規化される。なお
、分散の少ない領域を比較的強調することが望ましい場
合には、伝達関数の二乗値を伝達関数の二乗値と伝達関
数の分散推定値との和で割った商のに乗を掛ける。この
関数は非常に広いピークが不注意に無視されることがな
いようにＷ（ｆ）に使用される。最後に、ステップ１５
５で二つの関数を加算し、最終的な重みづけ関数Ｗ　（
ｆ）を作る。 基底多項式の作成 第３図のステップ６７で、伝達間数の推定値ＨＥ（Ｓ）
の分子及び分母多項式がラプラス変数Ｓについて作られ
る。一般に、二つの基底多項式（ｂａｓｉｓ　ｐｏｌｙ
ｎｏｍｉａｌ）を任意の形で作ることは可能であるが、
Ｐ　（ｓ）とＱ　（ｓ）にチェビシェフ基底多項式を使
用すれば、明確な利点のあることが分かっている。数値
的悪条件（ｉｌｌ−ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｉｎｇ）は最小
二乗近似解析での一般的な問題であり、有限精度プロセ
ッサを使用するときは、大きな数値誤差を生ずる可能性
がある。というのは、非常に大きな数と非常に小さな数
との間での加算をしなければならないからである。チェ
ビシェフ多項式には−１と＋１との範囲で＋１と−１と
の間で大きさを変化する性質があるので、加算される項
はすべて相対的な大きさが同じであり、したがって、数
値的悪条件は避けられる。チェビシェフ多項式を使用す
る上での固有の他の利点は、高次の係数が分離する（ｄ
ｅｃｏｕｐｌｅ）傾向があるということである０分離は
各種の直交多項式を使っても得られる。この直交多項式
はデータ依存性があり、したがって、測定値ごとに多項
式を計算しなおさなければならないという欠点がある０
例えば、ラルストン（Ｒａ１ｓｔｏｎ）およびラビノウ
イツ（Ｒａｂｉｎｏｗｉ　Ｌｘ）共著の「数値解析の第
一過程」の第２版の第６．４章の多項式の説明を参照の
こと、さらにチェビシェフ多項式と正弦・余弦関数とが
似ているため、チェビシェフの積和関係が存在し、これ
によってチェビシェフ多項式をチェビシェフ多項式の時
間がかかる乗算をはるかに簡単な合計計算に置き換える
ことができる０例えば積和関係は、１９６４年６月国立
標準局（ＮＢＳ）から発行された「数学関数ハンドブッ
ク」の７８２ページ（式２２．７．２４　）に述べられ
ている０国立標準局の方程式には印刷上の誤りがあり、
それば次のように書き直さなければならない。 ２７ａ＋（ｘ）Ｔｎ（ｘ）＝Ｔｎ＋ｍ（ｘ）＋Ｔｎ＋ｍ
（ｘ）　　＝（１２）望みのＰ　（ｓ）とＱ　（ｓ）と
のチェビシェフ多項式は上に引用したＮＢＳのハンドブ
ックの７８２ページに書かれている帰納的関係（ｒｅｃ
ｕｒｒｅｎｃｅ　ｒｅｌａｔｉｏｎ−ｓｈｉｐ）にした
がって容易に作ることができる。 Ｐ　（ｓ）とＱ　（ｓ）との多項式は複素変数Ｓの多項
式であり、実数、虚数あるいは複素数の係数をもってい
る０９本技術に関し通常の知識を有する者は純実数のチ
ェビシェフ多項式に対して与えられる帰納的関係を使用
して複素チェビシェフ多項式を容易に作ることができる
−　Ｈｓｏ（ら）の時間データの測定値がベースバンド
の場合のように純実数である場合には、複素チェビシェ
フ多項式の使用を容易にするためエルミート対称（Ｈｅ
ｒａ＋ｉ　ｔｉａｎｓｙｎ＋ｍｅｔｒｙ）を使用するこ
とができる。モード解析を行う場合には、エルミート対
称の制約を捨て、そして基底多項式を修正するのがよい
、Ｐ（ｓ）とＱ　（ｓ）との基底多項式を作るためには
、二つの多項式の次数を初めに推定することが必要であ
る。 この推定は伝達関数の極とゼロ点との数を推定するのに
相当する。各多項式に対して初め次数を１と推定すれば
一つ以上の極をもつ多項式を近似することかできる。解
析中の装置についての情報をはじめにもっと多く利用で
きる場合には、初めの推定次数をもっと高くしてよい。 係数の決定 第３図のステップ６９で、Ｐ　（ｓ）とＱ　（ｓ）　と
の係数が求められる。第８図はステップ６９の各ステッ
プを一層詳細に示している０式〔１１〕に定義した点毎
の誤差項は次のように書き直される。 ε、＝ｋ、［（ＰＪ／Ｑ、）　−）１．４゜、］　　　
　・・・〔２２〕ただし、記号ｆは便宜のため省いてあ
り、また添字ｊは周波数軸に沿ってサンプルしたデータ
を使用していることを示す０分母の多項式Ｑ　（ｓ）を
掛けると、 ＥｊＱＪ　＝Ｗ、　　［Ｐ、−）１．、、Ｑ、コ　　　
　　　　　　　　　・　　（２３）式〔６〕を用いて、
新しい項Ａ、とＢ、とを次のように定義する。 Ａｊ＝　ＧｖｘＪおよびＢｊ＝ＧｘｘＪ・Ｃ２４）簡単
のため、弐〔２３〕を次のように書き直すことができる
。 ＥｊＱｊ　＝Ｗｊ　［Ｐｊ−（Ａ、Ｑｊ／Ｂｊ）］　　
　　・・・〔２５〕Ｂ１を掛けることは、随意であり、
それは次のようになる。 Ｅ、ＱｊＢ、−匈ｊ　［Ｂ、Ｐ、−Ａ、Ｑｊ］　　　　
・・・〔２６〕最後に、随意の乗算を行わない場合には
、Ｅ、をつぎのように定義する。 Ｅ、　ＭＥ、Ｑ、　　　　　　　　　　　　　　・・・
〔２７〕第８図のステップ１６１で、ユーザが予め指定
した極とゼロ点とを伝達関数の推定値から除去する。 これは必要ではないが、既知の極とゼロ点とをユーザが
予め指定すると未知の極とゼロ点との解析を更に正確に
行うことができる０次式を参照して、既知のゼロ点をＰ
　（ｓ）多項式から除き、そして既知の極をＱ（ｓ）多
項式から除く。 ここでＺｋは予め指定したゼロ点であり、ｐｋは予め指
定した極である。予め指定した除去すべき極とゼロ点と
を用いて前記式〔２７〕は次のように書き替えられる。 Ｅｊ　−Ｗｊ　［Ｕ、Ｐｊ−（Ａ、ＶＪＱｊ／Ｂｊ）］
　　　　−（３２）’Ｗ、、Ｕ、、Ａｊ／Ｂｊおよび■
、の各項は推定される多項式Ｐ、、Ｑ、に適用される各
点毎の重みづけの項（測定データを含む）と見なすこと
ができる。新しい項一９ＪとＷＱｊ　とを定義して以下
のように簡単化する。 ＷｐＪ＝ｇ　’Ａ；Ｉに、Ｈｑｊ−（ＪＡ、ＶＪ）　／
　Ｂ；　　・・・（３３）このようにして、式〔３２〕
を次のように簡単化して書き替えられる。 ＥＪ＝讐ＰｊＰｊ−ＷＱｊＱｊ　　　　　　　　　・・
・〔３４〕第８図のステップ１６３で、測定したデータ
、重みづけ関数および推定伝達関数の多項式を、第１図
および第２図に示す測定装置１を用いての解析を容易に
するため行列記法に変換する。この変換は、当業者には
容易に行うことができる。係数Ｃ１とｄｋとを有する二
組の直交多項式φにとθｋを上に述べた帰納的関係を用
いて作り、ｐｊとＱｌとを表すのに使用する。 ｐ、　　＝　　Σ　　Ｃ皺φ、−・・・　〔３５〕チ工
ビシエフ多項式はデータに依存せず（したがって測定値
毎に求め直す必要はない）ので、φ５とθ、とをチェビ
シェフ多項式として構成することが好ましい、二つの多
項式は異なる次数ｍとｎとをもっているが、ここでは便
宜のためｍ”ｎでかつ両多項式ともθ、と書かれると仮
定する。当業者ならば、ｍとｎとが等しくない場合に、
一般化することができる。したがって、弐〔３５〕は次
のように書き直すことができる。 行列およびベクトルの記法は第９図に示す通りである０
行列θを調べれば、第１列はＴｏ（ｆ）から成る。ここ
でＴつ（ｆ）はｆの関数であるに次のチェビシェフ多項
式である。このように、チェビシェフ多項式の帰納的関
係に関して上に述べたように、Ｔ−（ｆ）　＝１．７＋
（ｆ）−ｆ、Ｔｚ（ｆ）−２ｆ”−１１等々となる０行
列θの各行は、高速フーリエ変換したＨｘｏ（ｆ、）の
データをサンプルした周波数に対応する特定のデータの
測定周波数に対応する。上述の通り通常の多項式の代わ
りにチェビシェフ多項式を使用することにより精度が落
ちることがなくなる。 行列およびベクトル記号の定義を用いれば、式〔３７〕
と〔３６〕とは次のように書き直すことができる。 Ｐ＝θＣ・・・〔３８〕 Ｑ−θＤ　　　　　　　　　　　　　　・・・〔３９〕
また、誤差方程式〔３４〕は次のように書き替えること
ができる。 Ｅ−ＨｐθＣ−１１ｑθＤ　　　　　　　　・・・〔４
０〕さて、誤差の二乗の和は行列記法で次のように書く
ことができる。 ｔ　−Ｉ　Ｅｊ（ｉ２ｆｃｆ＝）　ｌ　”−Σｆｊｌ　
Ｐ（ｉ２πｆｊ）−Ｑ（ｉ２πｒｊ）ＨＰＩａ（ら）１
２１　Ｗ（ｆ、）　ｌ　” とり・τ９ ＥＥ −（Ｃθ　ｈｐ−ｏ　　θ　Ｗｑ　）・（ＨｐθＣ−Ｗ
ｑθＤ）・・・　〔４１〕 ただし、肩文字Ｔは複素共役転置を表す。 第８図のステップ１６５で、上述の最小二乗近似解析が
マトリックスの形で行なわれる。近似の目標はＣおよび
Ｄのベクトルの要素に関して感を最小にすることである
。この最小化はＣおよびＤの各要素に関して書を微分し
、その結果をＯとおいてＣおよびＤのベクトルを満足す
るように解けば達成される。得られる方程式は次のよう
になる。 ０＝θ賀ｐ　（ＷρθＣ−ＷｑθＤ）−θ賀ｐ　　Ｅ　
・−（４２）Ｏ＝θ−ｑ（賀ｐθＣ−ＷｑθＤ）−θ賀
ＱＥ　　・・・〔４３〕明確化のため、上記の式〔４２
〕と〔４３〕を次のように書き替える。 ０＝θ讐ｐ賀ｐθＣ−θ−ｐ　ＷｑθＤ　　　　・・・
〔４４〕０＝θ讐ｑ讐ｐθＣ−θ′＆４ｑ賀ｑθＤ　　
　　・・・〔４５〕第８図のステップ１６７で、ノイズ
バイアスが最小二乗近似解析から除かれる０式〔３３〕
から、ＷｑＪの項はＡ、を含んでおり、これは式〔２４
〕で測定の各周波数のＧＹＸデータとして定義されてい
る。第５図を参照して上に説明した通り、ＧｌＸには付
加ノイズ環Ｎｒ（ｆ７）が入っている０式〔４５〕で、
Ｗｑの二乗の大きさはＷｑ　Ｗｑとして取ってあり、ｃ
ｙｘでのノイズが二乗されている。この二乗過程は測定
データの各周波数点でのノイズバイアスを作り出す作用
をしている。というのは、二乗することによって、一方
向のバイアスを生ずる効果が得られるからである。先行
技術の装置で極・ゼロ点解析にノイズバイアスが存在す
ることを認識したものはなく、また、先行技術の装置で
ノイズバイアスをなんとかして除去しようとしたものも
ない、最小二乗近似解析でノイズバイアスの影響を除か
ないと、伝達関数の極とゼロ点との位置を求める際に、
バイアスと不確実さが入ってくる。このことは、装置の
安定性が重要な場合には決定的に重要である。なぜなら
ノイズバイアスがあれば、支配的な極の位置をＳ領域の
誤った側の半面に誤って定める可能性があるからである
。 コヒーレンス関数と分散とは式〔８〕と

〔９〕とで先に
定義してあり、これは測定装置１で行われる三スペクト
ル測定（ｔｒｉ−ｓｐｅｃｔｒａ　ｍｅａｓｕｒｅｍｅ
ｎｔ）から求められる０分散は二乗の大きさで表したノ
イズの電力であるから、式〔４６〕に示すＷｑ　Ｗｑの
項から容易に減算することができる。このようにして、
各測定周波数点で分散を減算することにより、ノイズバ
イアスが補正される。 ０＝θ−ｑ誓ｐθＣ−θ　Ｏｌｑ　Ｗｑ−σｔ）θＤ・
・・〔４６〕 第８図のステップ１６９で、弊行列が構成され、最小二
乗近似解析の最小化のためのチェビシェフ多項式の係数
が求められる。方程式〔４２〕と〔４３〕は方程式〔４
４〕と〔４５〕のように書き直すことができるが、この
式ではノイズバイアスは希望に応じて上に述べたように
除かれていると仮定している。新しい関数Ｆ、　　Ｈ，
ＨおよびＧを次のように定義する。 Ｆ＝θ圓Ｐ　ｈｐθ　　　　　　　　　・・・〔４７〕
Ｈ＝θＷｐ賀ｑθ　　　　　　　　　・・・〔４８〕Ｈ
−θＷｑ　ｗｐθ　　　　　　　　　・・・〔４９〕Ｇ
　−θ　−ｑ　ｗｑθ　　　　　　　　　　　・・・〔
５０〕それ故、次の関係式 ％式％ が成立し、第１０図に示す、４つの部分を持つ行列Ｍお
よび２つの部分を持つベクトル■の行列乗算として示さ
れている同次方程式系を定義される。 極とゼロ点との最大可能数の解析を行っている場合には
（ｍ＝ｎ＝４０）　、ＤおよびＣ，ベクトルの各々は４
０要素の長さがあり、行列Ｍには６，４００の要素が含
まれている。このような多数の要素を記憶しておくこと
は効率的でなく、必要な記憶装置の大きさおよび弊行列
Ｍを再現する（ｃｒｅｇｅｎｅｒａ　ｔｅ）に必要な時
間を最小にするには、先に述べたチェビシェフの積和関
係を利用することができる。このデータ圧縮を行うと、
行列Ｍを再現するのに必要な要素の数は６，４００から
３２０に減少する。更に、行列Ｍの第三象限は第二象限
の転置に過ぎず、したがって行列の解には、どちらか一
つだけを完全に再現すればよいということが分かる。他
方は一方から容易に再構成することができる。また、加
えて、行列を解くときは行列の四つの象限のうちの二つ
だけを一時に再現すればよい。 チェビシェフの積和関係は次のように記される。 ２ＴｊＴｍ　−Ｔ＋Ｊ−ｋｌ　＋ＴＩＪ、Ｉｌ＋　　　
　　　・・・（５３）このようにして、 ＋ΣＣトＴ　ＩＪ−ｋｌ　）　　・−（５４）のような
もっと特別な関係を上記のデータ圧縮に使用することが
できる。その結果は行列Ｍの各要素が行列内の他の二つ
の和の加算になる。 第１０図から、列ベクトル■は行列Ｍの各行に直交しな
ければならないことが分かる。従ってである場合に、直
交解ベクトルＶが存在するためにはＭのすくなくとも一
つの行が他の（ｎ−１）行の一次結合でなければならな
い、ノイズのない系では、これを求めることができる。 しかし、実際の極・ゼロ点解析では行列Ｍのすべての要
素は測定データがある程度ノイズで汚染されている。 ノイズ汚染の影響により、Ｍのどの行も正確には他の行
の二次結合とはならず、純理論的な意味では解ベクトル
が存在しないことになる。 第８図のステップ１７１で、行列Ｍの行が互いに直交化
される。第１１図はステップ１７１を構成す、る各ステ
ップを詳細に示している。すなわちステップ１９３で、
対角要素の大きさが最小であるＭの行が選択され、そし
て行列Ｍから削除される。こうして得られる行列Ｍは（
ｎ−１）ｘｎ行列になる。 −列が削除されるのでＭの（ｎ−１）本の行に直交して
いるＸ長さｎのベクトルＶを得ることができる。ノイズ
に最も汚染されている行を削除して装置１の性能の精度
に及ぼす影響を最小にすることが望ましい、使用してい
る基底多項式はチェビシェフ多項式であるから、各行の
対角要素は各行がその行番号と等しい次数のチェビシェ
フ多項式から成る行列において、その行で表される特定
のチェビシェフ環の電力（ρｏｗｅｒ）の推定値と見な
すことができる。対角値が最小の行を削除することによ
って、最小電力を存する行、したがってノイズ汚染の相
対量が量大の列で削除される。ステップ１７１の各ステ
ップ１９５〜２０３は行列Ｍの残りの（ｎ−１）行をダ
ラム・シュミット（Ｇｒａｍ−５ｃｈｍｉｄｔ）法を用
いて互いに直交化することから構成されている。ダラム
・シュミット直交化法の詳細な説明は、例えば、上に引
用したラルストンとラビノウイ・ノツの文献の２５６ペ
ージに述べられている。そこで述べられているように、
各行の要素は最小二乗の意味で、連続する各行から次々
と除かれる。直交化を行った結果、（ｎ−１）行が互い
に直交する。従って、長さｎの列ベクトルがベクトルＶ
とＭの（ｎ−１）本の行とから成る（ｎ　Ｘ　ｎ）行列
の第０行と見なされる場合には、Ｍの（ｎ−１）本の行
に直交するベクトル■が存在する。したがって、解が存
在することになる。 第８図の°ステップ１７３で、ベクトルＶのランダムな
要素を発生するのに乱数発生器を使用している。ステッ
プ１７５で、上述のダラム・シュミット直交化法を使用
してベクトルＶからＭの直交化された（ｎ−１）木の行
の各々を取り除いている。 ステップ１７５が終了すると、０本の行のすべて（Ｍの
（ｎ−１）列とベクトル■）とが相互に直交する。ラン
ダムに発生した初めのベクトルＶがマトリックスＭの直
交化された（ｎ−１）木の行の一つ以上の一次結合であ
る可能性は極めてわずかである。ステップ１７７で、直
交化されベクトル■の正当性が試験される。事実、もし
発生されたＶがＭの（ｎ−１）本の行の一つの一次結合
であったとすれば、直交化ベクトル■は非常に小さいで
あろう、この場合には、■は無効と判定され、別のラン
ダムなベクトルを発生する。正当性を判定する経験的に
良い判定基準は直交化されたｖベクトルの大きさを評価
し、これをプロセッサ４５の丸めノイズレベルと比較す
ることである。■の大きさが丸めノイズレベルに近ず（
場合には、無効であると判定される。更に精度を高める
には、１６けたのプロセッサ４５に対して、ベクトルＶ
はその二乗した大きさがＩＱ−１２未満である場合、無
効と判定される。 次数の選択 第１２Ａ図及び第１２Ｂ図は測定装置１により行われ、
そして第３図のステップ２３１に示しである自動次数選
択の各ステップを詳細に示している０次数選択の目標は
、Ｈｔ（ｆ）とＨｇｏ（ｆ）の近似度がある近似基準を
満足するまで極とゼロ点との次数（ｎおよびｍ）を増し
てゆくことである０次に悪い近似が連続して二つ見付か
るまでｍを減らしてゆく、得られるｍとｎとは希望する
次数である。 判定基準を満たす近似がどうしても得られない場合には
最良の近似条件が記憶され、そして提示される。ステッ
プ２５１で、良好な近似か否かを定めるための近似判定
基準が決まる。実行される特定の解析により使用できる
判定基準が多数存在する。 一つは周波数範囲を通じて近似の近似の程度を一点づつ
試験し、そして誤差限界外にある点の総数が合格限界点
数より少なければ、良好な近似が得られたと判定するこ
とである。 誤差限界を計算する第一歩は上に測定した分散から各周
波数点での正規化された分散を計算することである。１
点毎に正規化された分散は各点での分散を各点でのＨｘ
ｎ（ｆｊ）の大きさで割ったものと定義される０次にＴ
Ｊは０．０１または各点での分散のいずれか大きい方と
定義される。各点毎の誤差限界ＥＬ、は ＥＬ、−±１０・ち・ｌ　ＨＭｅ（ｆｊ）　ｌ　”　　
・・・〔５５〕である。ここで、大きさを二乗した項は
正規化された分散または０．０１のいずれか使用してい
るものの正規化の結果をもとに戻すために使用されるも
のである。誤差限界はＨｌ（ｆ）から両方向にひろがっ
ている窓である。 誤差限界は分散にもとづいているから、不規則な変動を
除くには平滑化が望ましい、１３点平滑化（各側の夫々
６点ずつとともに各点を平均する）を使用することがで
きる０元の誤差限界のピークを保存するためには、各点
毎に元の誤差限界または平滑化した誤差限界のいずれか
大きい方を選択して最終的誤差限界として使用すること
ができる。 合格限界点数ＡＮは、周波数範囲内で誤差限界外にはみ
出した値を持つ点＃あるが、しかもなお、哀歓であって
許容し得る最大点数である。この数は、経験的に求める
か、あるいは、 ＡＮ　＝　（ＦＴ。ｔ　／２５）　　＋４　　　　　　
　　・・・〔５６〕を使用することができる。Ｆ、。７
はその周波数範囲内の周波数点の総数である。誤差限界
平滑化を行う場合には、以下に説明する近似決定におい
て周波数範囲内の最高および最低の６点を無視すること
に注意しなければならない、ステップ２５３で、初めに
次数をｍ＝ｎｘｌと推定する。ユーザには初め次数堆定
植を１以外に指定する随意選択権があることに注意すべ
きである。なお、ユーザには第１２Ａ図及び第１２Ｂ図
のステップが全く行われないように、ｍとｎとを指定す
ることを選択できる。 ユーザは第１２Ａ図及び第１２Ｂ図のステップでｍとｎ
との最大許容値を制限するｍ、Ａｘまたはｎ　ＭＩＮＫ
を指定することもできる。 ステップ２５５で、行列Ｍがｍおよびｎの初期の推定次
数を使用して再構成される０行列の全パラメータが記憶
されている場合には、再構成を直接行ってもよい、デー
タ圧縮を使用する場合には、上記の弐〔５３〕および〔
５４〕を使用して、保持されている最大３２０のパラメ
ータから再構成することもできる。−たん、行列が再構
成されると、第９図および第１０図に示すＤおよびＣベ
クトルの係数が上述のように解かれる。ステップ２５７
で、伝達関数の推定値ＨＥ（ｆ）が上述のようにチェビ
シェフ係数から再構成される。　Ｈ，、（ｒ）とＨｃ（
ｒ）との差が各点毎に測定され、一点づつ、誤差限界と
比較されて、限界外の点の数を得て記憶する。この数は
ステップ２５９でＡＮと比較され、近イ以が良好である
か否かが判定される。 近似が良好であると判定されれば、ｍとｎとの現在の値
がｍ、３．およびｎ　＊ｔｓアとして記憶され、ステッ
プ２８９が次に実行される。近似が不良であれば、ステ
ップ２７３で、これが今までの最良の近似であるか否か
が判定される。この判定は今回得られた誤差限界外の点
の数と過去に得られた点数とを比較して行う、過去の点
数はステップ２８７から逐次代入がなされていれば、得
られているはずである。これが今までの最良の近似であ
るという判定がなされれば、ｍとｎとはｍＨＥｓアおよ
びｎ　ｍｔｓｔとして記憶され、そしてｍとｎが歩進さ
れる。これが今までの最良の近似でない場合には、記憶
は行われずｍとｎが歩進される。 ステップ２７９〜２８５で、ｍとｎとはユーザが課した
最大限界値に、または装置１による最大限界値２０に保
持される０ｍとｎとが共に最大限界値である場合には、
ｍとｎとの値がステップ２８９で記憶される。そうでな
い場合には、ステップ２５５が再度実行され、そして歩
進したｍとｎとを用いて他の近似が評価される。このよ
うに、ｍとｎとは良好な近似が得られるまで、あるいは
ｍとｎとが共に最大限界に達するまで歩進を続ける。 ステップ３０１〜３０３で、ゼロ点の個数ｍが０よつ多
い極を有しているので、ｍはデクリメントされる。この
ようにゼロ点の個数を減らし、そして得られた近似を再
評価することによって一層正確な近似に到達することが
できる。最良の近似はゼロ点の個数を１、および２減ら
した場合のどちらの場合も共に不適当な近似となる、そ
のようなゼロ点の数で達成されると考えられる。ステッ
プ３０３で、ｍが０に等しいと分かった場合には、ステ
ップ３３３が次に実行されることになる。そうでない場
合には、ステップ３０５〜３０７で、行列Ｍがｍとｎと
の現在の値に対して再構成され、チェビシェフ係数につ
いて解かれ、Ｈｔ（ｆ）のＨｘｏ（ｆ）への近イ以度が
各点で評価される。 ステップ３０９では、近似が近似判定基準に対して評価
される。このとき近似が良好ならばｍとｎとは記憶され
、モしてｍはステップ３０１で再び残らされる。近似が
不良である場合、またはｍ＝０の場合には、ステップ３
３３が実行される０ｍが０でない場合には、ｍはステッ
プ３１５で再びに３Ｅされる。ステップ３１７と３１９
とで、新しい解が求められ、そして新しい近似が評価さ
れる。近似が今度は良好であれば、ｍとｎとは記憶され
、そしてステップ３０１でｍは減算される。一方、近似
がまたも不良であれば、ステップ３３３でｍはリセット
されて先に記憶されているｍＩＢ丁とされる。この最初
に減少させる前に良好な近似が得られる値になっている
。 第１３Ａ図及び第１３Ｂ図は第１２Ａ図及び第１２Ｂ図
に示す諸ステップの代わりに第３図のステップ２３１で
使用することができる自動次数選択の各ステップを示し
ている。概観すれば、第１３Ａ図及び第１３Ｂ図の諸ス
テップはいくつかの直列意志決定ブロックに分けること
ができる。これらは多項式の次数を変えるべきか否か、
または新しい多項式係数を求めるべきか否かを決定する
ものである。 ブロック５３１では、さきのｍの次数のデクリメントに
より誤差対信号比が劣化する場合に分子の次ｇｍをイン
クリメントして新しい係数を求める。 ブロック５３３では、誤差対信号比はノイズ対信号比を
予め定めた量だけ超過し、これにより誤差が測定データ
上のノイズによってのみ生じたのではないことが示され
た場合には、ｍとｎとを共にインクリメントし、そして
新しい係数が求められる。 ブロック５３５では、高次側の係数の測定データに及ぼ
す影響がある最小量より少ない場合、ｍを減少させて新
しい係数を求める。ブロック５３７ではｎが最大許容次
数になっても得られる近似が不適当である場合には、新
しいデータを取り、極・ゼロ点解析を全く初めからやり
直す、最後に、ブロック５３９は、近似が充分良好であ
ることを確認する。ブロック５３１〜５３７で近似が条
件付きで良好と判定され、かつ次数ｍとｎとが等しい場
合には、近似は十分良好であると見なされる。また、誤
差がバイアスされ過ぎていないと判定されても、その近
似も十分良好であると見なされる。そうでなければ、ｍ
とｎとは共にインクリメントされ、新しい係数み求める
ことになる。 ブロック５３１のステップ４０１で・、分子Ｐ　（ｓ）
の次数ｍが第３図のステップ２３１の実行の間に減らさ
れていたか否かの判定が行われる０判定の結果によって
フラグｕＯがセットされる０ｍがこれまでに減らされて
いれば、重み付は誤差対信号比ｖＯがステップ４０５で
計算され、そしてステップ４０７でと定義される。ＶＯ
がより高次のｍについて先に行った近似の評価から得ら
れたＶＯｍとして記憶されている）より５％以上大きい
場合にはｍとスレッショルド（Ｓｌ、以下に説明する）
とを共にインクリメントしてステップ６９を繰り返す、
ステップ４０７で行われる判定により、ｍを減らしたと
き、近似の質（誤差対信号比で測定）が低下することが
示されれば、ｍをインクリメントし元の値に戻してステ
ップ６９を繰り返す。 ブロック５３３のステップ４３１で、誤差対信号比５％
増加しなかった、あるいはｍがこれまで減らされていな
いと仮定すれば、ノイズ対信号比Ｒが計算される。Ｒは
分散の定義をノイズ電力として使用し、上記の式〔５７
〕の分母を使用して、次のように定義される。 比の倍数と比較される０倍数ＳＯは近似の質を測定デー
タ上のノイズと関係づけるのに使用される。 ＳＯは経験的に２となるように選ばれてきたが、ＳＯは
、測定データに大きなノイズが乗っている場合に、近似
の基準を緩くするようにステップ４６５で増すことがで
きる。 誤差対信号比（ｖＯ）がノイズ対信号比Ｒの５０倍より
も大きくなった場合には、近似は不充分であると見なさ
れる０分母の次数が最大許容数より少なければ、ｍとｎ
とは共にｌだけ増加され、そしてステップ６９が操り返
される。これによりＰ　（ｓ）とＱ　（ｓ）との次数が
共に増加して推定伝達関数が、測定した伝達関数のデー
タを良く近似するようになる。近似の質はｍまたはｎが
測定された伝達関数データの真の次数を越すまで増すべ
きである。 装置１で゛は、ｍとｎとの各々の最大許容次数が２０（
組み合わされる正負の周波数に対してそれぞれ２０であ
り、全体では４０）である、ステップ４４３で、分母の
最大次数２０に達すると、ブロック５３５に入る。また
、近似の譬がステップ４４１で条件付き良好と判定され
た場合にも、ブロック５３５に入る。 このブロック５３５のステップ４４９で、スレッショル
ドレヘルＳｌが求められる。ここで、５１は次のように
定義される。 ＴＳ＋−ｔ≦１．５−ＴＯ−（５９） Ｔｓ、−１は弐〔５９〕の不等式を満足する最大のＴ。 の大きさである。ここでＴＭは次のように定義されろ。 颯 ここで、新しい重みづけ関数Ｌ　（ｓ）は次のように定
義される。 Ｌ（ｆｊ）−阿（ｆＪ）・ＩＱ（ｉ２πｆ、）ｌ！・［
ｕ＋ｑｎ（ｒｊ）］　’・・・〔６２〕 Ｌ（５）を表す式中Ｗ（ｓ）の項はピークを強調するた
めに設けられており、Ｑ　（ｓ）項は分母の影響を除き
、そしてＨＭｅ（ｆＪ）項は大きさの小さい測定データ
の区域の影響を最小限にしている。 ステップ４５１と４５３とにおいて、分子の次数ｍはス
レッショルドの次数５１−１まで減らされる０分母の次
数ｎは第１３Ａ図および第１３Ｂ図の流れ図では決して
減らされることがないことに注意すべきである０分子の
次数は、分子を高すぎる次数にして、おくことにより、
偽のゼロ点が入り込むことがないようにするため、しき
い値まで減らされる。 Ｓｌを決めるにあたっては、Ｐ　（ｓ）中の比較的効果
が小さい係数のみを除去するようにし、これによ似する
ため変更してよい。 ブロック５３７のステップ４６１で、ステップ４４１の
ノイズ対信号比と誤差対信号比との比較が操り返される
。誤差対信号比がノイズ対信号比の予め定めた倍数を超
え、またｎが最大許容次数に達したか、あるいは大きい
場合には、測定データが汚染されていると判定される。 もしそうなら、データ汚染を償うため、ノイズ対信号比
ＳＯの許容倍数を増して、極・ゼロ点解析全体を初めか
らやり直す。 分母の次数ｍが最大許容次数に達したり超過したζしな
かった場合には、ブロック５３９のステップ４９１を実
行する０分子と分母との次数が等しくない場合には、調
和が良好であると判定し、そして第１３Ａ図及び第１３
Ｂ図のステップを終了して、第３図のステップ７７を実
行する。ここで分子と分母との次数が等しい場合には、
近似の質の最終的チェックを行う、チェックの結果が成
功であるかあるいは不成功であったか分母の次数が許容
最大次数以上である場合には、近イ以は十分に良好であ
ると判定される。チェックが不成功で分母の次数が最大
許容次数より小さい場合には、分子と分母との次数を共
にインクリメントし、そしてステップ６９で新しい係数
を決める。 ブロック５３９のステップ４９３の随意の最終チェック
は、Ｈｓｏ（ｆＪ）の各周波数点でのＨｔ　（ｓ）とＨ
Ｍ。（ｆｊ）との間の誤差の極性を解析することである
。もし近イ以が充分に良好であるならこれらの誤差はＯ
を中心として集中しなければならず、またその極性が頻
繁に変わらなければならない。 最終チェックはＨａ（ｓ＞及びＨ９ｎ（ｆ＝）の実数部
と差が同じ極性でないということである。ただし、プロ
セッサ４５の計算ノイズの大きさより小さい大きさの誤
差点は考えない。−貫して良好な近似が行えるようにす
るため、Ａ１を定めるにあたっては近似が良好であって
もそのうちの予め定めた割合、例えば、５％がステップ
４９３で排除されて、−貫して良質な調和が得られるよ
うに選択される。　ＡＩは使用する周波数データ点の数
（装置ｔでは８００点）と統計的に関連している。なお
、ＡＩは経験的に決めてもよい。 多項式の変換 ステップ３３５で、行列Ｍをｎ、ｍの既に求められた最
良近似について再構成し、その後チェビシェフ係数につ
いて解く、これで第３図のステップ７７に示すような普
通の多項式への変換が行われる。 第３図のステップ７７で、Ｈ□（Ｓ）のチェビシェフ多
項式Ｐ　（ｓ）とＱ（ｓ）とのチェビシェフ多項式が普
通の多項式に変換される。この変換は、当業者であれば
、式〔１０〕に関して上に述べたチェビシェフ帰納的関
係を利用して容易に行うことができる。変換の結果、Ｐ
　（ｓ）とＱ　（ｓ）は複素変数Ｓで表された普通の多
項式となる。 木根 ステップ７９では、定義によりＨｚ（ｓ）のゼロ点と極
とであるＰ　（ｓ）とＱ　（ｓ）との根を求めるために
求根手段が用いられている。この決定を行うために多数
の既知の求根手段を使用することができる。 特に、ヒユーレット・パラカード社のＨＰ−９８２５形
卓上コンピュータに使用され、そして同社の部品番号９
８２５−１０００１として入手できる説明書「般用ユー
ティリティ・ルーチン」の２１３〜２２４ページに記さ
れている求根手段は有効かつ有用である。求根手段につ
いてのこれ以上の説明は、１９６７年４月（Ｊ、Ｂ、Ｍ
ｏｏｒｅ　）著の「多項方程式を解く収れん性アルゴリ
ズム」に述べられている。 最後に、第３図のステップ８１で、推定した伝達関数Ｈ
Ｅ（５）の極とゼロ点が装置１の表示器７にて表示され
る。多数の旧来の表示手順のいずれも有効に使用するこ
とができ、そして極とゼロ点とは例えば、直交または極
座標の形でこれを表示することができる。 〔発明の効果〕 以上詳述するように、本発明の一実施例によれば、極・
ゼロ点の測定が迅速かつ正確に行なわれ、そして測定値
に含まれるノイズによる誤差を補正した極・ゼロ測定装
置が得られるので、実用に供して効果大である。

【図面の簡単な説明】

第１図は本発明の一実施例により構成された極・ゼロ測
定装置を示す外観図、第２図は第１図に示した装置の電
気的ブロック図、第３図はその動作を示す流れ図、第４
図は第３図中の流れ図の一部 弁を示す詳細な流れ図、第５図は被測定デバイスと測定
ノイズの理想モデルを示す図、第６図ないし第８図は第
３図に示した流れ図の一部詳細な流れ図、第９図は本発
明の実施例で用いられるベクトル及び行列の構成を示す
図、第１０図は本発明の実施例中に用られる行列の区分
を示す図、第１１図は第３図に示した流れ図の一部詳細
な流れ図、第１２Ａ図、第１２Ｂ図および第１３Ａ図及
び第１３Ｂ図はそれぞれ第３図に示した流れ図の一部詳
細な流れ図である。 図中、１は測定装置、３はデバイス、５はキーボード、
７は表示器、２１．２３は入力部、２５はトリガ家源、
２７はアナログ源、２９．３１はアナログ−ディジタル
変換器、３３はディジタルフィルタ、３５は制御器、３
７は局部発振器、３９はディジタル信号源、４１はＣＰ
Ｕ　、４４はＦＦＴ、４５はプｔ）−ｔ”７す、４７は
ＲＡＭ　。 ４９はＲＯＭ　、５１はバスである。 なお、各図中同一符号は同一または相当部分を示す。 出願人　横河・ヒユーレット・パッカード株式会社代理
人　弁理士　　長　谷　川　　次　男偽 〉− Ｒζ −コ 手続補正書 昭和６０年！１月ｌｉ日

Claims (3)

【特許請求の範囲】
1. （１）次の（イ）〜（ヌ）より成る伝達関数の極・ゼロ
   測定装置。 （イ）被測定デバイスに結合されそしてこれに刺激信号
   を印加してその応答信号を励起する刺激手段、 （ロ）前記の刺激信号および応答信号を検出するために
   前記被測定デバイスに結合された検出手段、 （ハ）関連した複数の周波数のそれぞれで前記被測定デ
   バイスの自己スペクトルおよび重なりスペクトルを計算
   するために前記検出手段に結合された計算手段、 （ニ）関連した周波数のそれぞれで重なりスペクトルに
   付随したノイズレベルを測定するために前記計算手段に
   結合された測定手段、 （ホ）推定した伝達関数と測定した伝達関数の間におけ
   る関連周波数のそれぞれでエラーを決定するために前記
   測定手段および計算手段にそれぞれ結合された決定手段
   、 （ヘ）推定した伝達関数に関して関連した周波数のそれ
   ぞれでエラーを微分し、そして重なりスペクトルに関連
   した周波数のそれぞれで二乗するために前記決定手段に
   結合された微分手段、（ト）関連した周波数のそれぞれ
   で前記二乗された重なりスペクトルから測定したノイズ
   レベルを減算するために前記微分手段および測定手段に
   結合された減算手段、 （チ）関連した周波数のそれぞれで前記微分されたエラ
   ーを零に等号するとともに、これから推定した伝達関数
   の係数を求めるために前記減算手段および微分手段に結
   合された等号手段、（リ）推定した伝達関数の根を求め
   るために前記等号手段に結合された求根手段、 （ヌ）推定した伝達関数の根を表示するために前記求根
   手段に結合された表示手段。
2. （２）次の（イ）〜（ワ）より成る伝達関数の極・ゼロ
   測定装置。 （イ）刺激信号を被測定デバイスに印加してその応答信
   号を得る手段、 （ロ）前記刺激信号および応答信号を検出する手段、 （ハ）関連する複数の周波数のそれぞれで前記被測定デ
   バイスの自己および重なりスペクトルを計算する手段、 （ニ）関連する周波数のそれぞれにおける重なりスペク
   トル上に付随するノイズレベルを測定する手段、 （ホ）推定した伝達関数を発生する手段、 （ヘ）推定した伝達関数の所定の領域を確実に強調する
   ために重みづけ関数を発生する手段、（ト）重みづけ関
   数により推定した伝達関数を乗算する手段、 （チ）ある測定した伝達関数と前記推定した伝達関数と
   の間で前記重みづけ関数を乗算し、そして関連した周波
   数のそれぞれでエラーを検出する手段、 （リ）推定した伝達関数に関して関連した周波数のそれ
   ぞれでエラーを微分する手段、 （ヌ）関連した周波数のそれぞれで前記微分されたエラ
   ーを零に等しくさせる手段、 （ル）推定した伝達関数の係数を求める手段、（ヲ）推
   定した伝達関数の根として極・ゼロを求める手段、 （ワ）推定した伝達関数の極・ゼロを表示する手段。
3. （３）次の（イ）〜（ヌ）より成る伝達関数の極・ゼロ
   測定装置。 （イ）被測定デバイスに刺激信号を印加しそして応答信
   号を励起するために該被測定デバイスに結合された刺激
   手段、 （ロ）前記刺激信号および応答信号を検出するために前
   記被測定デバイスに結合された検出手段、（ハ）関連し
   た複数の周波数のそれぞれで前記デバイスの自己および
   重なりスペクトルを計算するために前記検出手段に結合
   された計算手段、（ニ）２つのチエビシェフ多項式の有
   理式として推定した伝達関数を発生させるために前記計
   算手段に結合された発生手段、 （ホ）推定した伝達関数と測定した伝達関数との間の関
   連した周波数のそれぞれでエラーを決定するために前記
   発生手段および計算手段にそれぞれ結合された決定手段
   、 （ヘ）推定した伝達関数に関して関連した周波数のそれ
   ぞれでエラーを微分するために前記決定手段に結合され
   た微分手段、 （ト）関連した周波数のそれぞれで微分されたエラーを
   零に等号するとともに、これから推定した伝達関数の係
   数を求めるために前記減算手段および微分手段に結合さ
   れた等号手段、 （チ）推定した伝達関数のチエビシェフ多項式を普通の
   多項式に変換するために前記等号手段に結合された変換
   手段、 （リ）推定した伝達関数の根を求めるために前記等号手
   段に結合された求根手段、 （ヌ）推定した伝達関数の根を表示するために前記求根
   手段に結合された表示手段。