DE959333C

DE959333C - Calculating machine for calculating function values through multi-level interpolation

Info

Publication number: DE959333C
Application number: DER3068A
Authority: DE
Inventors: Dr-Ing Ramsayer
Original assignee: RAMSAYER DR ING
Current assignee: RAMSAYER DR ING
Priority date: 1950-07-14
Filing date: 1950-07-14
Publication date: 1957-03-07

Description

Rechenmaschine zur Berechnung von Funktionswerten durch mehrstufige Interpolation Die maschinelle Berechnung von Funktionswerten bereitet bei den programmgesteuerten Großrechenmaschinen keine Schwierigkeiten, da diese Maschinen mit umfangreichen Speicherwerken ausgerüstet sind und auf verschiedene Rechenprogramme eingestellt werden können. Die Funktionsberechnung ist auch mit den gewöhnlichen Bürorechenmaschinen möglich, wenn diese Maschinen mit einem Speicherwerk versehen werden, in welchem Werte zur Berechnung von Funktionen durch Schlitzscheiben, Stufenkörper od. dgl. dargestellt sind.Calculating machine for calculating function values through multi-level Interpolation The automatic calculation of function values prepares for the program-controlled Mainframe computers have no problems, as these machines have extensive Storage units are equipped and set to various computing programs can be. The function calculation is also possible with the usual office computing machines possible if these machines are provided with a storage unit in which Values for calculating functions using slotted disks, stepped bodies or the like. are shown.

So ist z. B. in der deutschen Patentschrift 825 6o8 eine Rechenmaschine beschrieben, welche mit einem Speicherwerk versehen ist, das zwei Wertegruppen für die maschinelle Interpolation von Funktionswerten enthält, nämlich eine Gruppe mit Näherungswerten der Funktion für grob abgestufte Grundargumente x", und eine Gruppe mit den zugehörigen Tafeldifferenzen. Diese Anordnung hat den Nachteil, daß bei gewissen Funktionen sehr viele Werte gespeichert werden müssen, um eine geforderte Genauigkeit zu erreichen, wodurch das Speicherwerk sehr groß und unhandlich wird.So is z. B. in the German patent 825 6o8 a calculating machine described, which is provided with a storage unit that contains two value groups for contains the machine interpolation of function values, namely a group with Approximate values of the function for roughly graded basic arguments x ", and a group with the associated table differences. This arrangement has the disadvantage that at certain functions have to store a large number of values in order to be required Achieve accuracy, making the storage unit very large and unwieldy.

Die beschriebene Erfindung vermeidet diesen Nachteil und gestattet es, auch mit entsprechend ausgerüsteten Bürorechenmaschinen Funktionswerte mit beliebiger Genauigkeit und geringem technischem Aufwand zu berechnen.The invention described avoids this disadvantage and allows it, even with appropriately equipped office computing machines, functional values with any To calculate accuracy and little technical effort.

Die Erfindung besteht im wesentlichen aus einer Rechenmaschine mit einem Speicherwerk, das drei oder mehr Gruppen wertverkörpernder Schlitzscheiben, Stufenkörper od. dgl. enthält, die gemeinsam entsprechend einem Grundargument (x") so eingestellt werden können, daß je ein der Einstellung entsprechender Wert jeder Gruppe abgegriffen und in ein Rechenwerk (Einstellwerk, Umdrehungszählwerk, Resultatwerk, Zwischenspeicherwerk od. dgl.) der Rechenmaschine übertragen werden kann. Mit einer derartigen Rechenmaschine kann die Funktionsberechnung beispielsweise wie folgt durchgeführt werden Die im Bereich x, < x < xm zu berechnende Funktion f (x) wird in m Intervalle gleicher oder verschiedener Breite h unterteilt. Innerhalb der einzelnen Intervalle x., < x < x, + la wird f (x) durch Näherungsfunktionen gn(x)=an+bn-dx+cn-dx2+dn-dx3+... (i) ersetzt. Dabei ist d x = x - xn. Die Faktoren an, bn ... sind in der Regel von Intervall zu Intervall verschieden und werden so bestimmt, daß gn (x) in dem betreffenden Intervall möglichst wenig von f (x) abweicht. Bringt man Gleichung (i) in die Form g. (x. +4x) - an +dx(bn +d x (cn +.d x (4n +...))) (2) so kann sie ohne großen technischen Aufwand halb-oder vollautomatisch gelöst werden, was an Hand von dem in Fig. i schematisch dargestellten Ausführungsbeispiel gezeigt werden soll.The invention essentially consists of a calculating machine with a storage unit containing three or more groups of value-embodying slotted disks, stepped bodies or the like, which can be set together according to a basic argument (x ") so that each group has a value corresponding to the setting the computing machine can be transferred tapped and in an arithmetic unit (setting dial, revolution counter, result plant, intermediate storage plant od. the like.). with such a computing machine, the function of calculation, for example, be carried out as follows: the x in the range <x <xm f function to be calculated ( x) is subdivided into m intervals of equal or different width h. Within the individual intervals x., <x <x, + la, f (x) is determined by approximation functions gn (x) = an + bn-dx + cn-dx2 + dn-dx3 + ... (i) replaced. Where dx = x - xn. The factors an, bn ... are usually different from interval to interval, and are determined such that gn (x) in the interval in question deviates as little as possible of f (x). Put equation (i) into the form G. (x. + 4x) - an + dx (bn + dx (cn + .dx (4n + ...))) (2) it can thus be solved semi-automatically or fully automatically without great technical effort, which is to be shown with the aid of the exemplary embodiment shown schematically in FIG.

Eine Rechenmaschine mit dem Einstellwerk E, dem Resultatwerk R, dem Umdrehungszähl-,verk U und einer Rückübertragungseinrichtung von R nach E ist zusätzlich mit einem Einstellwerk A für xn, einem Speicherwerk S1 für d x, einem Speicherwerk S2 für die Faktoren an, b., cn, dn ... und Übertragungseinrichtungen zum Übertragen der gespeicherten Werte von S1 nach U und von S2 nach E versehen. Damit läßt sich Gleichung (2) folgendermaßen lösen: In A wird xn und in S1 d x eingestellt. Durch das Einstellen von x, wird das Speicherwerk S2 z. B. durch Drehen so verstellt, daß die Faktoren an, bn, en, dn ... in die Abgreiflage kommen. Anschließend wird d, nach E und d x nach U übertragen. Nach einem Multiplikationsgang steht in R d x - dn. Dann wird der Faktor cn z. B. durch seitliches Verschieben von S2 in die Abgreiflage gebracht, nach E übertragen und durch Addition (positiv oder negatiy) nach R gebracht. Die Summe cn -E- d x - d., wird nach E rückübertragen und mit d x multipliziert. Nunmehr wird bn nach E und von dort durch einen Additionsgang nach R gebracht. Die Summe bn -y- d x (cn d x (d" + ...» wird wieder von R nach E rückübertragen und mit d x multipliziert. Schließlich wird noch an nach E und von dort durch einen Additionsgang nach R gebracht, so daß dort der gesuchte Wert gn (xn + d x) .- f (x,, + d x) steht. Es wiederholt sich also immer wieder das Rechenspiel: Multiplikation mit A x - Übertragung aus S2 - Addition - Rückübertragung von R nach E - Multiplikation mit d x usw.A calculating machine with the setting unit E, the result unit R, the revolution counter, Verk U and a return transfer device from R to E is additionally equipped with a setting unit A for xn, a storage unit S1 for dx, a storage unit S2 for the factors an, b., cn, dn ... and transmission devices for transmitting the stored values from S1 to U and from S2 to E. Equation (2) can thus be solved as follows: xn is set in A and dx in S1. By setting x, the storage unit S2 z. B. adjusted by turning so that the factors an, bn, en, dn ... come into the pickup position. Then d, is transferred to E and dx to U. After a multiplication step, R reads dx - dn. Then the factor cn z. B. brought into the tapping position by moving S2 sideways, transferred to E and brought to R by addition (positive or negative). The sum cn -E- dx - d., Is transferred back to E and multiplied by dx. Now bn is brought to E and from there to R by an addition process. The sum bn -y- dx (cn dx (d "+ ...») is transferred back from R to E and multiplied by dx . Finally, an is brought to E and from there through an addition process to R, so that there the The desired value is gn (xn + dx) .- f (x ,, + dx) The arithmetic game is repeated again and again: multiplication with A x - transfer from S2 - addition - transfer back from R to E - multiplication with dx etc. .

Eine zweite Möglichkeit ist in Fig. 2 schematisch dargestellt. Hier wirkt das Speicherwerk S1 für d x mit dem Einstellwerk E und das Speicherwerk S2 mit dem Umdrehungszählwerk U zusammen. Der Rechengang ist folgender: r. Übertragen von dn nach U und von d x nach E. Multiplikation.A second possibility is shown schematically in FIG. Here the storage unit S1 for dx interacts with the setting unit E and the storage unit S2 with the revolution counter U. The calculation is as follows: r. Transfer from dn to U and from dx to E. Multiplication.

2. Übertragen von cn nach U und von »Eins« nach E. Multiplikation.2. Transfer from cn to U and from "one" to E. Multiplication.

3. Übertragen von cn +d x - dn aus R nach U und von d x nach E. Multiplikation.3. Transferring cn + d x - dn from R to U and from dx to E. Multiplication.

q.. Übertragen von b., nach U und von »Eins« nach E. Multiplikation.q .. Transfer from b. to U and from "one" to E. Multiplication.

Übertragen von bn +d x (cn -f- d x (dn -f- ...)) aus R nach U und von d x nach E. Multiplikation. 6. Übertragen von an nach U und von »Eins« nach E. Multiplikation. In R steht gn (x, +d x). Eine dritte Möglichkeit zeigt Fig. 3. Hier wirkt das Speicherwerk S2 mit dem Resultatwerk R und das Speicherwerk S1 mit dem Umdrehungszählwerk U zusammen. Der Rechengang ist dann: i. Übertragen von dn nach R und von dort durch Rückübertragung nach E. Übertragen von d x nach U. Multiplikation.Transfer of bn + d x (cn -f- dx (dn -f- ...)) from R to U and from dx to E. Multiplication. 6. Transfer from an to U and from "one" to E. Multiplication. In R stands gn (x, + d x). A third possibility is shown in FIG. The calculation is then: i. Transfer from dn to R and from there by transferring back to E. Transfer from dx to U. Multiplication.

.. 'bertragen von d x - dn aus R nach E, von c.," nach R und von »Eins« nach U. Multiplikation. .. 'transferred from dx - dn from R to E, from c., "to R and from" one "to U. Multiplication.

3. Übertragen von cn + d x - dn aus R nach E und von d x aus S, nach U. Multiplikation.3. Transferring cn + dx - dn from R to E and from dx from S to U. Multiplication.

q.. Übertragen von d x (cn + d x (dn + ...» aus R nach E, von b. nach R und von »Eins« nach U. Multiplikation.q .. Transfer of dx (cn + dx (dn + ... " from R to E, from b. to R and from" one "to U. Multiplication.

5. Übertragen von bn +,d x (cn -#L d x (dn + ...)) aus R nach L und von d x aus S1 nach U. Multiplikation.5. Transferring bn +, d x (cn - # L dx (dn + ...)) from R to L and from dx from S1 to U. Multiplication.

6. Übertragen von d x (bn + d x (cn -f- d x (dn + .. .)) aus R nach E, von an aus S2 nach R und von )>Eins« nach U. Multiplikation. In R steht gn _(xn ;- d x). 6. Transfer of dx (bn + dx (cn -f- dx (dn + ...)) From R to E, from an from S2 to R and from)> one «to U. Multiplication. In R stands gn _ (xn; - dx).

Eine vierte Möglichkeit ist in Fig. q. dargestellt. Hier ist ein Speicherwerk für d x entbehrlich. Dafür ist aber eine Übertragungseinrichtung vom Resultatwerk R nach dem Umdrehungszählwerk U zweckmäßig, um eine fortlaufende Rechnung ohne Zwischeneinstellungen von Hand zu ermöglichen. Die Übertragung von R nach U kann z. B. mit Hilfe eines bekannten Resultatwerkspeichers SR erfolgen (vgl. z. B. das Produktspeicherwerk der Hamann-Selecta Rechenmaschine), in welcher Werte aus R positiv oder negativ übertragen werden können und aus welchem M'erte nach R rückübertragen werden können. Das Speicherwerk SR läßt sich so ausbilden, daß es, z. B. durch seitliches Verschieben, mit dem Umdrehungszählwerk U in Verbindung gebracht werden kann und daß durch Löschen von SR der in SR enthaltene Wert nach U übertragen wird. Wird noch dafür gesorgt, daß SR durch eine besondere Übertragungseinrichtung auch Werte aus dem Speicherwerk S2 empfangen kann, so ergibt sich folgender Rechengang: i. Einstellen des Speicherwerks S2 entsprechend dem Grundargument xn. Einstellen von d x in E. Übertragen von dn nach SR und von dort durch seitliches Verschieben und Löschen von SP nach U.A fourth possibility is shown in Fig. Q. shown. A storage unit for dx is not necessary here. For this, however, a transmission device from the result unit R to the revolution counter U is expedient in order to enable a continuous calculation without intermediate manual settings. The transfer from R to U can e.g. B. with the help of a known result work memory SR (see z. B. z. B. the product memory of the Hamann Selecta calculating machine), in which values from R can be transferred positively or negatively and from which values can be transferred back to R. The storage unit SR can be designed so that it, for. B. by lateral displacement, can be brought into connection with the revolution counter U and that the value contained in SR is transferred to U by deleting SR. If it is also ensured that SR can also receive values from the storage unit S2 by a special transmission device, the following arithmetic operation results: i. Setting the storage unit S2 according to the basic argument xn. Set dx in E. Transfer from dn to SR and from there by moving and deleting from SP to U.

2. Verschieben von SR in Ausgangsstellung. Übertragen von c. aus S2 nach SR. Multiplikationsgang. 3. Übertragen von d x - d. aus R nach SR. Übertragen von c, + d x - dn aus SR nach U. 2. Moving the SR to the starting position. Transfer from c. from S2 to SR. Multiplication gear. 3. Transfer from dx - d. from R to SR. Transferring c, + dx - dn from SR to U.

q.. Verschieben von SR in Ausgangsstellung. Übertragen von b, aus S2 nach SR. Multiplikationsgang. 5. Übertragen von d x (c. + d x dn) aus R nach SR. Übertragen von bn + d x (c. + d x d") aus SR nach U. q .. Moving the SR to the starting position. Transfer from b, from S2 to SR. Multiplication gear. 5. Transfer of dx (c. + Dx dn) from R to SR. Transfer of bn + dx (c. + Dx d ") from SR to U.

6. Verschieben von SR in Ausgangsstellung. Übertragen von an aus S2 nach SR. Multiplikationsgang. 7. Übertragen von d x (b, -f- d x (c" -E- 4 x d") aus R nach SR. In SR steht dann g" (x" + 4 x).6. Moving the SR to the starting position. Transfer from to from S2 to SR. Multiplication gear. 7. Transfer of d x (b, -f- d x (c "-E- 4 x d") from R to SR. SR then contains g "(x" + 4 x).

Auf ein Speicherwerk für d x kann auch verzichtet werden, wenn nur eine zweistufige Interpolation mit einer Handrechenmaschine ausgeführt wird. In diesem Falle kann z. B. mit einer Anordnung gemäß Fig. i wie folgt gerechnet werden: i. Übertragen von b" nach E und von dort durch Multiplikation mit »Eins« nach R. Löschen von E und U.A storage unit for d x can also be dispensed with if only a two-stage interpolation is carried out with a hand calculator. In this case, for. B. be expected with an arrangement according to FIG. I as follows: i. Transfer from b "to E and from there by multiplying by" one "to R. Delete E and U.

2. Übertragen von en nach E. Positives oder negatives Einkurbeln von d x in U. 2. Transfer from en to E. Positive or negative cranking from dx to U.

3. Rückübertragen von b" -!- 4 x # c. nach E. Herauskurbeln von d x aus U. 3. Transferring back b "-! - 4 x # c. After E. cranking out dx from U.

4. Übertragen von an aus S2 nach E und von dort durch Multiplikation mit »Eins« nach R. In R steht g. (x. + d x). 4. Transfer from an from S2 to E and from there by multiplying "one" to R. In R there is g. (x. + dx).

Die Genauigkeit, die mit mehrstufiger Interpolation erreicht werden kann, ist sehr groß. Bestimmt man die Koeffizienten an, bn, c" ... von Gleichung (3) nach der Newtonschen Interpolationsformel und ändert sie noch so ab, daß die maximalen Interpolationsfehler etwa halbiert werden, so betragen die verbleibenden Fehler höchstens 5 - 1o-3 - h3 - fr,' (e) bzw. 3 - 1o-4 - h4 - fI' (e) bei zwei- bzw. dreistufiger Interpolation. Dabei bedeutet h die Breite des Intervalls, in dem g" (x) gültig ist, fIII (e) bzw. fn' (e) ist die dritte bzw. vierte Ableitung der Funktion f (x) an der Stelle x = 4, wobei e zwischen x" und x" -E- h liegt. Für f (x) = sin x und h = i4 beträgt der maximale Interpolationsfehler demnach 1,9 - io-$ - cos e bzw. 1,8- 1o-11 - sin e für zwei- bzw. dreistufige Interpolation. Bei vierstufiger Interpolation und gleicher Intervallbreite beträgt die Genauigkeit sogar 1,4 . I0-14 . cos e. Man erhält also durch Speichern von 3 # Zoo, 4 # ioo bzw. 5 - ioo Faktoren etwa die Genauigkeit einer 8-, 11- bzw. 14stelligen Sinustafel.The accuracy that can be achieved with multi-level interpolation is very high. If one determines the coefficients an, bn, c " ... of equation (3) according to Newton's interpolation formula and changes them in such a way that the maximum interpolation errors are roughly halved, the remaining errors are at most 5-1o-3-h3 - fr, '(e) or 3 - 1o-4 - h4 - fI' (e) for two or three-stage interpolation. Here, h means the width of the interval in which g " (x) is valid, fIII ( e) or fn '( e ) is the third or fourth derivative of the function f (x) at the point x = 4, where e lies between x "and x" -E- h . For f (x) = sin x and h = i4, the maximum interpolation error is accordingly 1.9 - io- $ - cos e or 1.8-1o-11 - sin e for two or three-stage interpolation. With four-level interpolation and the same interval width, the accuracy is even 1.4. I0-14. cos e. By storing 3 # Zoo, 4 # ioo or 5 - ioo factors, you get about the accuracy of an 8-, 11- or 14-digit sine table.

Man kann die mehrstufige Interpolation auch dazu benutzen, um bei vorgeschriebener Genauigkeit die Intervallbreite h zu vergrößern und damit die Zahl der zu speichernden Werte zu verringern. Die Zahl der zu speichernden Wertewird dann am kleinsten, wenn durch eine einzige Näherungsfunktion g (x) der gesamte Bereich, in dem die Funktion f (x) dargestellt werden soll, erfaßt wird. Man hat dann die bekannte Reihenentwicklung einer Funktion. In diesem Falle wird allerdings auch die Zahl der Interpolationsstufen, die notwendig ist, um eine bestimmte Genauigkeit zu erhalten, am größten. Dies fällt jedoch bei sehr schnell rechnenden, z. B. elektronischen Rechenmaschinen nicht ins Gewicht.The multi-level interpolation can also be used to increase the interval width h with the specified accuracy and thus to reduce the number of values to be stored. The number of values to be stored is smallest when the entire area in which the function f (x) is to be represented is covered by a single approximation function g (x). One then has the known series expansion of a function. In this case, however, the number of interpolation stages that is necessary in order to obtain a certain accuracy also becomes the greatest. However, this is the case with very fast computing, e.g. B. electronic calculating machines do not matter.

Claims

PATENT CLAIMS: i. Calculating machine with a storage unit in which Values for calculating functions using slotted disks, stepped bodies or the like. are shown, characterized in that the storage unit (S2) three or more Groups of value-embodying slotted disks, stepped bodies or the like that contain can be set according to a basic argument (x ") so that each of the The corresponding value of each group is set and stored in an arithmetic unit (setting unit, Revolution counter, result unit, intermediate storage unit or the like) of the calculating machine can be transferred.

2. Calculating machine according to claim i, characterized in that a storage unit (S1) for the remaining argument (dx = x - x ") corresponding to the difference between the function argument (x) and the basic argument (x") is provided, which is connected to another arithmetic unit (e.g. revolution counter or setting mechanism) interacts so that the multiplications necessary several times with the remaining argument to calculate the function value can be carried out without having to reset the remaining argument.

3. Calculating machine according to claim i or i and 2, characterized in that that a transmission device for transmitting values from the result set provided in the setting mechanism or in the revolution counter (multiplier mechanism) is.

4. Calculating machine according to claim i, characterized in that the Speicherxverk (S2) interacts with an intermediate storage unit (SR), which both with the result unit as well as with the revolution counter and the values from the result unit and from the storage unit (S2) received and values into the result unit or the revolution counter can deliver. Cited earlier rights: German Patent applications D 6584 IX / 42 m, Z 391 IX / 42 m.