DE69920820T2

DE69920820T2 - Vorrichtung zur Extrapolierung von Kegelstrahlprojektionsdaten

Info

Publication number: DE69920820T2
Application number: DE69920820T
Authority: DE
Inventors: Sarah Kathryn Saratoga Spring Patch
Original assignee: General Electric Co
Current assignee: General Electric Co
Priority date: 1998-07-10
Filing date: 1999-07-08
Publication date: 2005-11-17
Anticipated expiration: 2019-07-09
Also published as: DE69920820D1; EP0971318A3; EP0971318A2; JP2000046761A; EP0971318B1; US6084936A

Description

Diese Erfindung betrifft Röntgen-Bildgebungstechniken und insbesondere eine Computertomographie-Röntgenbildgebung unter Verwendung eines minimalen Satzes von Fächerbündeldaten-Meßwerten.
Die Computertomographie (CT) verwendet eine Quelle bildgebender Energie, wie z.B. Röntgenenergie und einen Detektor zum Erfassen bildgebender Energie, die durch ein interessierendes Objekt, oft ein Patient, der für medizinische Zwecke abgebildet wird, hindurchgetreten ist. Typischerweise wird eine Einpunktquelle mit einem Flächendetektor, wie z.B. einem Röntgendetektorarray, verwendet.
Eine Relativbewegung zwischen der Quelle, dem interessierenden Objekt und dem Detektor wird angewendet, um Daten für Bildrekonstruktionszwecke zu sammeln. Üblicherweise wird die Quelle bewegt, während das Objekt und der Detektor in Bezug zueinander stationär bleiben.
Typische Quellenbahnen sind "ein-dimensionale Mannigfaltigkeiten", welche durch parametrische Gleichungen nur einer Variablen beschrieben werden. Das Aufkommen von Flächen-Röntgendetektoren erlaubt die Messung eines zwei-dimensionalen Datensatzes für jede Quellenposition, da der Detektor in einer zwei-dimensionalen Ebene liegt. Daher ist es möglich, einen 1 + 2 = 3-dimensionalen Datensatz von Linienintegralen des abzubildenden Objektes zu messen.
Diese Dimensionszählung ermutigt zur volumetrischen Bildgebung, wie z.B. CT, da das bildgebende Objekt in drei räumlichen Dimensionen liegt. Insbesondere bilden vollständige CT-Daten für eine Familie paralleler Ebenen einen 2 + 1 = 3-dimensionalen Datensatz und bestimmen vollständig das bildgebende Objekt.
Leider erlauben durch nur eine Punktquelle erzeugte Fächerbündeldaten keine derart einfache Rekonstruktion. Eine einfache kreisförmige Bahn liefert keinen vollständigen Datensatz zur Radon-Rekonstruktion (d.h. abgesehen von Meß- und Quantisierungsfehlern bzw. Absonderungsfehlern). Daher werden verschiedene Abtastbahnen verwendet.
Unter Abtastbahnen befinden sich die in dem am 7. November 1995 an Tam erteilten U.S. Patent 5,465,283 offenbarten Bahnen. Dieses Patent offenbart neben anderer Information die Verwendung einer Abtastbahn von zwei versetzten kreisförmigen Abtastungen mit einer sich dazwischen erstreckenden Linie.
Im Allgemeinen ergeben sich die Abtastbahnen aus einer Relativbewegung zwischen der Quelle, dem Detektor und dem abzubildenden Objekt. Üblicherweise wird die Quelle in einem Pfad um das Objekt herum bewegt, um die Abtastbahn zu definieren. Das abzubildende Objekt ist oft ein medizinischer Patient, könnte aber auch ein abzubildendes industrielles Teil sein, um mögliche Defekte zu lokalisieren. Wenn das abzubildende Objekt ein industrielles Teil ist, kann die Abtastbahn zumindest teilweise durch die Bewegung des Objektes relativ zu der Quelle und/oder relativ zu dem Detektor definiert werden. Eine Abtastbahn kann auch wenigstens teilweise durch die Bewegung des Detektors definiert werden.
Derartige Abtastbahnen, welche vollständige Fächerbündeldaten liefern, können eine Reihe vor. Problemen bereiten. Der oder die von der Quelle und/oder anderen bewegten Komponenten verfolgten Pfade können komplex sein. Dies erfordert eine komplexe Arbeitsfunktion. Zusätzlich kann die Abtastzeit für die Erzielung eines Datensatzes länger als erwünscht sein. Insbesondere in dem Falle, in welchem das abgebildete Objekt ein Patient ist, ist es erwünscht, die Zeit und Dosis der Röntgenbestrahlung zu beschränken. Ein komplexer Abtastpfad erfordert eine längere Belichtungszeit als ein einfacher Pfad. Außerdem wird, wenn die Dosis reduziert wird, um teilweise eine lange Bestrahlungszeit zu kompensieren, das Signal/Rausch-Verhältnis reduziert. Fehler in den Daten, insbesondere aufgrund einer Versetzung und Signal/Rausch-Verschlechterung mit abnehmender Dosis, sind oft bei komplexen Abtastpfaden problematischer. Ferner erhöht ein komplexer Abtastpfad die Menge der gemessenen Daten und dieses wiederum erhöht den Rechenaufwand, wenn ein Rekonstruktionsprozeß zum Liefern eines Bildes eingesetzt wird.
Obwohl es möglich ist, eine Bildrekonstruktion mit einem unvollständigen Datensatz zu erzeugen, ist ein derartig rekonstruiertes Bild in einigen Bereichen als Folge der fehlenden Daten ziemlich ungenau, wenn nicht unbestimmt.
In einem Ausführungsbeispiel des Verfahrens gemäß der Erfindung wird ein Objekt durch Zuführen von bildgebender Energie aus einer Quelle auf ein Objekt abgebildet. Die bildgebende Energie, die durch das Objekt hindurchgetreten ist, wird durch einen Detektor erfaßt. Das Objekt wird mit der bildgebenden Energie so abgetastet, daß der Detektor die gemessenen Bilddaten sammelt, welche einen Cauchy-Datensatz für eine John's-Gleichung bilden. Cauchy-Datensätze und die John's-Gleichung sind bekannte mathematische Grundsätze. Kurz dargestellt ermöglicht ein Cauchy-Datensatz die Lösung einer Differentialgleichung in einem durch eine Cauchy-Oberfläche eingeschlossenen speziellen Bereich. John's-Gleichung legt Konsistenzbedingungen für Linienintegrale fest, welche durch das Objekt hindurchtreten, wobei die Linienintegrale der durch das Objekt hindurchtretenden Bildgebungsenergie entsprechen. Eine Extrapolation wird an dem Cauchy-Datensatz durchgeführt, um die John's-Gleichung zu lösen und um fehlende Fächerbündeldaten zu ermitteln.
Ein Ausführungsbeispiel des Systems gemäß der Erfindung enthält eine Quelle zum Zuführen bildgebender Energie auf das Objekt. Ein Detektor erfaßt die bildgebende Energie, die durch das Objekt hindurchgetreten ist. Ein Stellglied tastet das Objekt mit der bildgebenden Energie so ab, daß der Detektor die gemessenen Bilddaten sammelt, die einen Cauchy-Datensatz für John's-Gleichung darstellen. Ein Extrapolator extrapoliert den Cauchy-Datensatz zum Lösen der John's-Gleichung und zum Ermitteln der fehlenden Fächerbündeldaten. Ein Bildlieferer liefert ein Bild des Objektes auf der Basis der gemessenen Bilddaten und der ermittelten fehlenden Fächerbündeldaten.
Diese Technik hat eine Reihe von Vorteilen gegenüber dem Stand der Technik. Die Abtastzeit (Datenerfassungszeit) und die Rekonstruktionszeit können reduziert werden. Fehler in den Daten, insbesondere aufgrund von Versetzung und Signal/Rausch-Verschlechterung durch Verringerung der Dosis, können minimiert werden. Die Menge der gemessenen Daten wird minimiert und dieses reduziert den Rechenaufwand für die Bildrekonstruktionsverarbeitungsschritte.
Ein Ausführungsbeispiel der Erfindung wird nun im Rahmen eines Beispiels unter Bezugnahme auf die beigefügten Zeichnungen beschrieben, in welchen:
1 eine vereinfachte Darstellung von Komponenten eines bildgebenden Systems ist und Verarbeitungsschritte innerhalb eines Prozesses darstellt;
2 eine Darstellung von einigen Komponenten des bildgebenden Systems ist und durch das System gemessene Linienintegrale darstellt;
3 eine Graphik darstellt, um mathematische Konzepte zu veranschaulichen;
4 die Geometrie einer speziellen Quellenbahn darstellt; und
5 eine Ebenenansicht der Quellenbahn von 4 ist, die extrapolierten Daten entsprechende Stellen darstellt.
Gemäß Darstellung in 1 wird bildgebende Energie durch die Quelle 10 an das Objekt 12 angelegt und durch den Detektor 14 erfaßt. Die Quelle 10 kann eine Fächer-Röntgenquelle sein, während der Detektor 14 ein Flächendetektor, wie z.B. ein zwei-dimensionaler Array-Detektor mit einem Array einzelner Detektorelemente (nicht dargestellter getrennter Elemente), sein kann. Das abzubildende Objekt 12 kann ein Patient, ein industrielles Teil oder ein anderes Objekt sein, das unter Anwendung der CT abgebildet wird.
Fächerbündelenergie, welche durch das Objekt 12 hindurchgetreten ist, wird in entsprechende elektrische Signale umgewandelt und an eine Datenerfassungseinheit 16 gesendet, die die elektrischen Signale registriert. Die Einheit 16 sendet wiederum die Fächerbündeldaten an einen Prozessor 18, welche ein Computer sein kann, der zum Durchführen verschiedener Verarbeitungsschritte programmiert ist.
Verschiedene in dem Prozessor 18 durchgeführte Schritte sind in vereinfachter Form in 1 dargestellt. Bei dem Block 20 sind die gelieferten gemessenen Bilddaten kein vollständiger Satz für die Bildrekonstruktion. Jedoch sind die gemessenen Bilddaten ein Cauchy-Datensatz für die John's-Gleichung. Eine detailliertere Erläuterung der Bedeutung von Cauchy-Datensätzen und der John's-Gleichung folgt nachstehend. In diesem Stadium ermöglicht es der Cauchy-Datensatz, fehlende Fächerbündeldaten durch Extrapolation zu berechnen, die durch den Prozessor 18 bei dem Block 22 durchgeführt wird. Die gemessenen Daten des Blocks 20 und die bei dem Block 22 ermittelten fehlenden Fächerbündeldaten bilden zusammen einen vollständigen Datensatz für die genaue Rekonstruktion (d.h., in der Bedeutung, daß er nur Meßfehlern und Quantisierungsfehlern unterworfen ist). Dieser vollständige Datensatz der Fächerbündeldaten, einiger gemessener und einiger extrapolierter, wird an den Block 24 geliefert, wo der Prozessor 18 diese in der üblichen Weise für Fächerbündeldaten verarbeitet. Beispielsweise werden Radon-Differentialdaten gefolgt von einer Berechnung von Radon-Daten berechnet. Eine Radon-Umkehrtransformation kann dann durchgeführt werden, um rekonstruierte Bilddaten bei dem Block 26 zu liefern. Die Verarbeitung der vollständigen Fächerbündeldaten kann beispielsweise wie in dem vorstehend angegebenen Tam-Patent sein. Unabhängig davon, ob dieser oder ein anderer Bildrekonstruktionsprozeß aus den Fächerbündeldaten angewendet wird, liefert die Operation des Prozessors 18 des Blocks 26 ein Bild des Objektes (d.h. einem Bild entsprechende Daten), das durch eine Anzeige 28 dargestellt, in einem Speicher 30 gespeichert oder beides werden kann.
Die Abtastbahn wird durch Relativbewegungen der Quelle 10, des Objektes 12 bzw. des Detektors 14 werden jeweils von Roboter-Stellgliedern 32, 34 und 36 gesteuert. Jedes von den Roboter-Stellgliedern 32, 34 und 36 bewirkt eine relative Abtastbewegung zwischen der Quelle 10, dem Objekt 12 und dem Detektor 14. Die Stellglieder 32, 34 und 36 werden wiederum durch den Prozessor 18 gesteuert, um eine Abtastbahn zu realisieren, welche den nachstehend diskutierten Kriterien genügt.
Obwohl zwei oder alle drei von den Roboter-Stellgliedern 32, 34 und 36 Teil des bildgebenden Systems von 1 sein können, wäre nur einer von den drei üblicherweise in einem gegebenen System vorhanden. Beispielsweise könnte das Stellglied 32 dazu verwendet werden, eine Abtastbahn durch Bewegen der Quelle 10 relativ zu dem Objekt 12 und dem Detektor 14 zu bestimmen, welche beide stationär bleiben. In diesem Falle wären die Stellglieder 34 und 36 nicht vorhanden.
2 wird zur Erläuterung der durch die vorliegende Erfindung verwendeten Grundkonzepte vor der Darstellung komplexerer mathematischer Erläuterungen verwendet. Eine Quelle 10 ist dargestellt, die bildgebende Energiestrahlen 38 zum Pas sieren durch das Objekt 12 und Auftreffen auf den Detektor 14 (dargestellt in Seitenansicht) zuführt. Vier derartige Energiestrahlen 38 sind zur Vereinfachung der Darstellung dargestellt, jedoch ist, wie man ohne weiteres erkennt, der tatsächliche Ausgang der Quelle 38 ein Fächerstrahl, welcher als der Auflösung des Flächendetektors 14 entsprechende Einzelstrahlen betrachtet werden kann. In der vereinfachten Darstellung erfaßt der Detektor 14 den vier Strahlen 38 entsprechende Daten. Insbesondere sind die von dem Detektor 14 erfaßten Daten von Linienintegralen 40 abhängig, die dem Maß entsprechen, mit welchem Strahlen 38 durch das Hindurchtreten durch das Objekt 12 abgeschwächt werden.
Man könnte einen vollständigen Datensatz für die genaue Rekonstruktion (d.h. für die Erzeugung einer drei-dimensionalen Abbildung) durch Messen eines ausreichenden Satzes von Linienintegralen 40 messen, wenn die Quelle 10 in einer Bahn abgetastet wird. Jedoch ist das Abtasten in einer derartigen Bahn komplex und unterliegt anderen Nachteilen.
Anstelle der Messung eines vollständigen Datensatzes durch eine komplexe Abtastbahn dient die vorliegende Technik zur Erzielung eines Datensatzes, der Linienintegralen, wie z.B. 40, wobei der Datensatz wenigstens ein minimaler Satz von Fächerstrahlmessungen in der Weise ist, daß fehlende Fächerstrahldaten ermittelt werden können. Die Linienintegrale, wie z.B. 40, müssen bestimmte Kriterien erfüllen, die dazu genutzt werden können, diese bezüglich fehlender Fächerbündeldaten aufzulösen. Wenn ein Cauchy-Datensatz für John's-Gleichung gegeben ist, wie es nachstehend detaillierter erläutert wird, kann man die John's-Gleichung lösen und die fehlenden Fächerbündeldaten ermitteln. Es kann somit eine minimale Datenmenge zur Bildrekonstruktion gesammelt werden. Dieses ermöglicht minimale Abtast- und Rekonstruktionszeiten. Dieses reduziert auch die Röntgendosis für einen Patienten, wenn das abzubildende Objekt ein Patient ist.
Der Linienraum in drei realen Dimensionen besitzt eine größere Abmessung als der Raum, in welchem sich das abzubildende Objekt befindet. Die vorliegenden Techniken sind dafür ausgelegt, den Vorteil der Überbestimmtheit der Abbildung zu nutzen, indem ein Objekt auf seine Linienintegrale durch Extraplieren der Röntgen-Transformierten des bildgebenden Objektes aus einem Minimalfächerstrahlen-Datensatz des Objektes zurückgeführt wird. Dieses erlaubt eine exakte Rekonstruktion (bis zu den Meß- und Quantisierungsfehlern) des abzubildenden Objektes. Ferner beruhen die verwendeten Rekonstruktionsverfahren nicht auf der nachstehend beschriebenen spezifischen Extrapolationstechnik. Die vorliegende Erfindung arbeitet mit einem minimalen Fächerbündeldatensatz (d.h. mit nicht mehr Daten als einem Cauchy-Datensatz), aber zusätzliche Daten können zum Glätten von Rauschdaten in einigen Fällen, wie z.B. in der Bildgebung von industriellen Teilen, gemessen werden.
Detaillierte Mathematik
Die nachstehend beschriebene Technik ist dafür ausgelegt, nahezu überall die Röntgen-Transformierte eines Objektes aus einem minimalen Satz von Fächerbündelmessungen zu extrapolieren. Die detaillierte Mathematik wird nachstehend in der Reihenfolge der nachstehenden Skizze durchgeführt:

a. Definition der Röntgen-Tansformierten und ihrer Beziehung zu den Fächerbündeldaten
b. Vergleich der "Parametergrößen" möglicher Dichtefunktionen des bildgebenden Objektes mit der der Röntgen-Transformierten
c. Ableitung von Konsistenzbedingungen bezüglich der Röntgen-Transformierten (John's-Gleichung)
d. Ableitung der Hauptlösung der John's-Gleichung
e. Extrapolation der Daten, Lösung des Cauchy-Problems mittels der Hauptlösung für die John's-Gleichung.

Die Punkte a, b und c sind einfach der Hintergrund, dem gegenüber der Punkt d entwickelt wurde. Die Erfindung verwendet die Hauptlösung der John's-Gleichung, um nahezu überall das Cauchy-Problem für den "Rest" der Röntgen-Transformierten, die die fehlenden Fächerbündeldaten bedeutet, zu lösen.
Definition der Röntgen-Transformierten
Nach dem Logarithmieren -ln (natürlicher Logarithmus) approximieren die Daten, die wir messen, Linienintegrale des bildgebenden Objektes. Es gibt viele Möglichkeiten, den Raum der Linien in R³ zu parametrisieren. Für unsere Zwecke definieren wird zuerst die Röntgen-Transformierte in Form von η, ξ, ∊ R³, wobei η ≠ ξ. Wir definieren die Röntgen-Transformierte als einer Funktion f, als das Linienintegral von f entlang der Linie durch ξ und η und die wie folgt skaliert ist:
Nach der Logarithmierung (-ln) sind die Daten, die wir messen, eine normierte Röntgen-Transformierte, wobei der Richtungsvektor normiert ist, daß er die Länge 1 besitzt.
Parameterwertvergleich
Man beachte, daß die Röntgen-Transformierte nahezu überall mit nur vier Parametern spezifiziert werden kann. Alle Linien in R³ mit der Ausnahme horizontaler Linien können durch Punkte ξ dergestalt, daß ξ₃ ≡ 0 ist, und Vektoren η, so daß η₃ ≡ 1 ist, spezifiziert werden. Siehe 3. X f(ξ;η) integriert f entlang der Linie, welche durch ξ und η verläuft. Man beachte, daß nahezu alle Linien mit Ausnahme horizontaler Linien durch ξ, das in der durch (z = 0) definierten Ebene liegt und η in der Ebene (z = 1) parametrisiert werden können.
Dieses bedeutet, daß die Röntgen-Transformierte im Wesentlichen eine Funktion von vier Variablen η₁, η₂, ξ₁ und ξ₂ ist.
Zur Vereinfachung nehmen wir bei der Ableitung der John's-Gleichung an, daß die Funktion f ∊ C_n ² (R³) ist. Dann ist
Die Funktion f hängt nur von drei Variablen ab, wobei die Funktion X f als eine Funktion von vier Variablen geschrieben wird. Die Abbildung X ist daher überbestimmt. Diese Überbestimmung wird in der John's-Gleichung, einer partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung (PDE), die durch X f erfüllt wird, ausgedrückt.
Ableitung der John's-Gleichung
Für f ∊ C₀ ² (R³) können wir X f in Bezug auf η₁, η₂, ξ₁ und ξ₂ differenzieren.
und
Ähnlich,
ist die John's-Gleichung einfach
Man beachte, daß in diesem speziellen Falle mit ∊₃ = 0 und η₃ = 1 nur die Gleichung 8 relevant ist. Im Allgemeinen führt jedoch dieselbe Ableitung zu einem System von drei PDE's in der Form der Gleichung 08. Diese trifft auf die Fächerbündeldaten dahingehend zu, daß
In dem nächsten Abschnitt leiten wir die Hauptlösung für die Gleichung 8 ab und verwenden in dem nächsten Abschnitt diese Hauptlösung für X _N F, wobei die Messung von X _N f auf einer |ξ-η| nichtcharakteristischen Oberfläche der Gleichung 08 gegeben ist.
Ableitung der Hauptlösung für die John's-Gleichung
Da die John's-Gleichung eine Konstantkoeffizienten-PDE ist, berechnen wir ihre Hauptlösung unter Verwendung von Fourier-Transformierten. Die Fundamentalgleichung genügt
Wir verwenden als duale Variablen x und y, wobei x, y, ξ, η ∊ R2
x – ξ und η – y sind
Die Umkehrtransformierte von Gleichung 10 ist
Zur Auflösung nach U = u(ξ; η) müssen wir Gleichung 11 nach
auflösen und ihre Fourier-Transformierte bilden. Obwohl dieses für den in der Fourier-Analyse Bewanderten konzeptionell klar ist, werden die Details nachstehend der Deutlichkeit halber ausgeführt. Vor dem Beginn definieren wir θ_v = Winkel zwischen dem Vektor v ∊ R² und e₁ = (1, 0). x = rα where r ∊ R, α ∊ R2 y = sβ where s ∊ R, β ∊ R2 α = (cosθα, sinθα) β = (cosθβ, sinθβ) (12)
Unter Verwendung dieser Schreibweise berechnen wir die Fourier-Transformierte von
in Polarkoordinaten.
Zur Auswertung von Gleichung 13 führen wir mehrere Variablenänderungen durch.
Unter Kombination von Gleichung 13, 14 und 15 erhalten wir
Man beachte zuerst, daß der Zähler mehrwertig ist, und daß zweitens u umgekehrt proportional zu den Kreuzprodukten der Vektoren ξ und η ist. Wir wählen das Vorzeichen des Zählers so, daß
Um zu verifizieren, daß u tatsächlich eine Hauptlösung der John's-Gleichung ist, müssen wir verifizieren, daß u der John's-Gleichung außerhalb des Ursprungs genügt, und daß
Diese Tatsachen können leicht verifiziert werden, müssen aber hier nicht eingefügt werden.
Extrapolation von Daten – Lösung des Cauchy-Problems
Für eine gegebene Hauptlösung einer PDE ist die Lösung des Cauchy-Problems gut dokumentiert. In diesem Falle betrachten wir einen speziellen, jedoch in 4 dargestellten praktischen Fall, der das nachstehende Kriterium erfüllt:

1. Das bildgebende Objekt besitzt eine begrenzte Größe und liegt zwischen den Ebenen z = 0 und z = 1
2. Die Quelle bewegt sich entlang dem Kreispfad oder insbesondere auf einem Pfad η₃ = 1, η^2/1 + η^2/2 = 1
3. Das Fächerbündel hüllt das bildgebende Objekt ein
4. Der Detektor ist groß genug, um die gesamte Strahlung, welche durch das Objekt hindurchgetreten ist, zu erfassen (er kann in der Ebene ξ₃ = 0 liegen).

Zur Vereinfachung der Schreibweise schreiben wir ξ, η, ∊, R²
und erinnern uns daran, daß wir X_M messen und leicht |ξ-η| berechnen können.
Daher reicht es aus, d(ξ; η) zu extrapolieren. Unter diesen Bedingungen können wir d in Ω aus den an der Grenze dΩ gemessenen Daten extrapolieren, wenn dΩ nicht-charakteristisch ist. (Siehe Gleichung 1.3). Zuerst definieren wir:
Wir können die John's-Gleichung in dieser Schreibweise umschreiben als:
Für (η, ξ) ∊ Ω können wir d(ξ; η) wie folgt berechnen.
Dieses kann weiter vereinfacht werden, indem wir schreiben:
Durch Einsetzen dieser Identitäten in das zweite Integral in 6.1 erhalten wir
Durch Einsetzen von 6.3 und der Definition von u in 6.1 erhalten wir die Lösung des Cauchy-Problems. Für (ξ, η) ∊ Ω, ist d(ξ, η) ein gewichtetes Integral von d und deren Ableitungen von ∂Ω.
4 stellt die Geometrie der speziellen Quellenbahn dar, für welche die John's-Gleichung abgeleitet ist und die Daten extrapoliert werden können.
5 stellt Quellenpositionen und entsprechende extrapolierte Daten, die 4 entsprechen, dar. Diese ist eine Ansicht der Ebene, in welcher die Quellenbahn liegt. Die Quelle bewegt sich entlang eines Kreispfades. Extrapolierte Daten sind Daten, welche auch von Quellenpositionen innerhalb der kreisförmigen Quellenbahn gemessen werden könnten. Man beach te, daß die Datenextrapolation nicht auf einer kreisförmige Quellenbahn basiert.
Geeignete Cauchy-Oberflächen sollten nicht nur für das gut formulierte Grenzwertproblem, sondern auch für praktische Einschränkungen identifiziert werden, welche mit Daten auftreten, die unter Erzeugung einer Punktquelle erzeugt und mittels eines ebenen Flächendetektors gemessen werden. Das Symbol für die John's-Gleichung ist: Λ(ξ, η) = ξ1η2 – ξ2η1 (21)
Wenn die Funktion ϕ = f(ε, η) die Oberfläche ∂Ω definiert, sind dann die Kriterien für ∂Ω um nichtcharakteristisch zu sein, die folgenden: Λ(∇ϕ) ≠ 0 (22)
Wenn ϕ(ε, η) = ε₁η₂ – ε₂η – 1 ist, dann Λ(∇ϕ) ≡ 1 (23)
Wenn diese Formulierung ∂Ω in der Gleichung 20 verwendet werden kann (trotz der Tatsache, das Ω nicht ein Bereich in R⁴ ist), ist die Lösung für d(0, 0) gleich:
Die Lösung des Drichlet-Problems erfordert keine Ableitungen der gemessenen Daten. Die Lösung des allgemeineren Cauchy-Problems erfordert jedoch die Differentiation der Daten.
Konsistenzbedingungen bezüglich Fächerbündeldaten können für jede Quellenbahn abgeleitet und für jede Bahn, welche Cauchy-Daten auf einer nichtcharakteristischen Oberfläche erzeugt, gelöst werden. Derzeit scheint die einfachste gefundene Geometrie für die Datenextrapolation die vorstehend dargestellte zu sein. Die Technik erstreckt sich jedoch auf allgemeinere Geometrien. Im Falle eines unbegrenzten Objektes (im CT-Sinne), welches nicht von dem Fächerstrahl eingehüllt wird, sind zusätzliche Messungen erforderlich. Es kann ausreichen, die fehlenden Linienintegrale, die Quellenpositionen auf der Quellenbahn entsprechen mit Daten zu ergänzen, welche Integralbedingungen bezüglich Cauchy-Daten entsprechen. Diese Daten sind nicht notwendigerweise für das gegebene bildgebende Objekt korrekt, sondern sollten einen physikalischen Datensatz bereitstellen, welcher durch die vorstehend beschriebene Extrapolationsprozedur verwendet werden kann. Da die Fehler in den sich ergebenden Rekonstruktionen so weit wie das Sichtfeld so weit weg wie die nicht korrekten Cauchy-Daten/Linien-Integrale liegen können, sind derartige Fehler in einigen Situationen akzeptabel.

Claims

Verfahren zum bildlichen Darstellen eines Objektes, enthaltend: Zuführen von bildgebender Energie von einer Quelle (10) zu dem Objekt (12), Erfassen von bildgebender Energie, die durch das Objekt hindurchgetreten ist, durch Verwendung eines Detektors (14), Abtasten des Objektes mit der bildgebenden Energie derart, dass der Detektor gemessene Bilddaten sammelt, die einen Cauchy-Datensatz für die John's Gleichung (20) bilden, Extrapolieren aus dem Cauchy-Datensatz, um die John's Gleichung zu lösen und fehlende Fächerbündeldaten zu ermitteln, Liefern eines Bildes des Objektes auf der Basis der gemessenen Bilddaten und der ermittelten fehlenden Fächerbündeldaten (24, 26, 28, 30).
Verfahren nach Anspruch 1, wobei das Bild von dem Objekt eine exakte Rekonstruktion des Objektes bis auf Mess- und Absonderungsfehlern ist.
Verfahren nach Anspruch 2, wobei die gemessenen Bilddaten und die ermittelten fehlenden Fächerbündeldaten zusammen einen vollständigen Datensatz zu Bildrekonstruktionszwecken bilden.
Verfahren nach Anspruch 3, wobei der Detektor ein Flächendetektor ist und die Quelle eine Punktquelle ist.
Verfahren nach Anspruch 4, wobei der Abtastschritt dadurch ausgeführt wird, dass die Quelle in einer Abastbahn relativ zum Objekt bewegt wird.
Verfahren nach Anspruch 4, wobei der Abtastschritt dadurch ausgeführt wird, dass das Objekt in einer Abastbahn relativ zur Quelle bewegt wird.
Verfahren nach Anspruch 4, wobei der Abtastschritt eine kreisförmige Abtastbahn verwendet und die fehlenden Fächerbündeldaten, die durch den Extrapolierschritt ermittelt werden, Daten enthalten, die Punkten innerhalb der kreisförmigen Abtastbahn entsprechen.
Verfahren nach Anspruch 4, wobei der Abtastschritt eine Abtastbahn mit einigen Abschnitten verwendet, die in einer Ebene liegen, und die fehlenden Fächerbündeldaten, die durch den Extrapolierschritt ermittelt werden, Daten enthalten, die Punkten in der Ebene entsprechen.
Verfahren nach Anspruch 1, wobei die gemessenen Bilddaten und die ermittelten fehlenden Fächerbündeldaten zusammen einen vollständigen Datensatz zu Bildrekonstruktionszwecken bilden, der Detektor ein Flächendetektor ist und die Quelle eine Punktquelle ist.
Verfahren nach Anspruch 1, wobei der Extrapolationsschritt fehlende Daten aus einem Bereich ermittelt, der auf Daten basiert, die an der Grenze des Bereiches gemessen werden.
System zum bildlichen Darstellen eines Objektes, enthaltend: eine Quelle (10) Zuführen von bildgebender Energie zu dem Objekt (12), einen Detektor (14) zum Erfassen von bildgebender Energie, die durch das Objekt hindurchgetreten ist, ein Stellglied (32, 34, 36), das das Objekt mit der bildgebenden Energie derart abtastet, dass der Detektor gemessene Bilddaten sammelt, die einen Cauchy-Datensatz für die John's Gleichung (20) bilden, einen Extrapolator, der aus dem Cauchy-Datensatz extrapoliert, um die John's Gleichung zu lösen und fehlende Fächerbündeldaten (22) zu ermitteln, und einen Bildlieferer zum Liefern eines Bildes des Objektes auf der Basis der gemessenen Bilddaten und der ermittelten fehlenden Fächerbündeldaten (24, 26, 28, 30).
System nach Anspruch 11, wobei das Bild von dem Objekt eine exakte Rekonstruktion des Objektes bis auf Mess- und Absonderungsfehlern ist.
System nach Anspruch 12, wobei die gemessenen Bilddaten und die ermittelten fehlenden Fächerbündeldaten zusammen einen vollständigen Datensatz zu Bildrekonstruktionszwecken bilden.
System nach Anspruch 13, wobei der Detektor ein Flächendetektor ist und die Quelle eine Punktquelle ist.
System nach Anspruch 14, wobei das Stellglied die Quelle in einer Abastbahn relativ zum Objekt bewegt.
System nach Anspruch 14, wobei das Stellglied das Objekt in einer Abastbahn relativ zur Quelle bewegt.
System nach Anspruch 14, wobei das Stellglied für eine kreisförmige Abtastbahn sorgt und der Extrapolator fehlende Fächerbündeldaten ermittelt, die Daten enthalten, die Punkten innerhalb der kreisförmigen Abtastbahn entsprechen.
System nach Anspruch 14, wobei das Stellglied für eine Abtastbahn mit einigen Abschnitten sorgt, die in einer Ebene liegen, und die fehlenden Fächerbündeldaten, die durch den Extrapolator ermittelt werden, Daten enthalten, die Punkten in der Ebene entsprechen.
System nach Anspruch 11, wobei die gemessenen Bilddaten und die ermittelten fehlenden Fächerbündeldaten zusammen einen vollständigen Datensatz zu Bildrekonstruktionszwecken bilden, der Detektor ein Flächendetektor ist und die Quelle eine Punktquelle ist.
System nach Anspruch 11, wobei der Extrapolator fehlende Daten aus einem Bereich ermittelt, der auf Daten basiert, die an der Grenze des Bereiches gemessen sind.