DE60313247T2

DE60313247T2 - Verfahren zur Ausführung einer schnellen Fourier-Transformation und einer schnellen Invers-Fourier-Transformation

Info

Publication number: DE60313247T2
Application number: DE60313247T
Authority: DE
Inventors: Qu Gary K2L 2W3 Jin
Original assignee: 1021 TECHNOLOGIES KK; 1021 Technologies Kk Yokohama
Current assignee: 1021 TECHNOLOGIES KK; 1021 Technologies Kk Yokohama
Priority date: 2002-01-31
Filing date: 2003-01-30
Publication date: 2007-08-23
Anticipated expiration: 2023-01-31
Also published as: EP1372085A2; US20030145026A1; DE60313247D1; EP1372085B1; EP1372085A3; GB0202192D0; GB2384876A

Description

Hintergrund der Erfindung
1. Gebiet der Erfindung
Diese Erfindung betrifft das Gebiet der Signalverarbeitung, und im speziellen ein Verfahren zum Ausführen einer schnellen Fourier-Transformation (FFT) oder inversen schnellen Fourier-Transformation (IFFT) auf ein aus einer Folge von Abtastwerten bestehendes digitales Signal.
2. Hintergrund der Erfindung
In Discrete-Multitone-(DMT), Frequenz-Mulitplex-(FDM) oder Frequenz-Duplex-Systemen (FDD) wird die IFFT oft zur Umwandlung von modulierten Frequenzbereichssignalen in Zeitbereichssignale verwendet. Beim Empfänger wird die FFT zur Rückgewinnung der originalen Frequenzsignale verwendet. Bei einer großen Kanalbandbreite mit einer großen Anzahl von Unterkanälen, wie beispielsweise in VDSL-Anwendungen, wird die Größe der FFT sehr groß sein. Es gibt einige Nachteile, die die DMT fast unanwendbar machen. Ein erstes Problem ist, dass die Größe der FFT einen sehr großen Chip-Design benötigt; ein weiteres ist, dass die Ausführung längere Zeit benötigt; und ein drittes ist, dass sie sehr viel Leistung verbraucht.
Zusammenfassung der Erfindung
Die Erfindung reduziert die Berechnungsanforderungen für FFT-Operationen durch die Verwendung der Eigenschaften von realen Signalen. In den meisten Anwendungen ist das Eingangssignal im Zeitbereich real, wobei seine Frequenzkomponente um seine Gleichanteils-Komponente symmetrisch ist. Durch Verwendung dieser Eigenschaft können die Komplexität der FFT und die benötigten Operationen reduziert werden. Wenn das Signal eine sehr viel geringere Bandbreite als die Abtastfrequenz hat, kann die Anzahl von FFT-Berechnungen weiter reduziert werden.
Entsprechend der vorliegenden Erfindung wird ein Verfahren zum Ausführen einer inversen schnellen Fourier-Transformations-Operation Signal bereitgestellt, wobei das Signal im Frequenzbereich symmetrisch ist und für das die folgende Beziehung gilt:
wobei X₁(0) = (1/2) X(k) und X₁(k) = X(k) für 0 < k < N/2, das Verfahren umfasst das Ausführen einer Folge von Butterfly-Operationen, die nur die Eingangsabtastwerte X(k) mit k < N/2 verwenden, um die inverse Transformierte x(n) des Signals zu erhalten.
Die Erfindung stellt weiter ein Verfahren zum Ausführen einer schnellen Fourier-Transformations-Operation auf ein Signal bereit, wobei das Signal im Frequenzbereich symmetrisch ist und für das die folgende Beziehung gilt:
wobei X₁(0) = (1/2) X(k) und X₁(k) = X(k) für 0 < k < N/2, wobei das Signal nur die untere Hälfte der Nyquist-Bandbreite belegt, das Verfahren umfasst das Ausführen einer Folge von Butterfly-Operationen, die die Eingangsabtastwerte im Zeitbereich x(n) verwenden, um Paare von Ausgangsabtastwerten X(p) und X(q) mit p und q < N/2 im Frequenzbereich zu erzeugen, und um die inverse Transformierte X(k) aus diesen Ausgangsabtastwerten X(p) und X(q) zu erhalten.
Das neue erfindungsgemäße Verfahren kann die Anzahl an Butterfly-Operationen sowohl bei FFT- und IFFT-Operationen reduzieren, solange das Signal im Zeitbereich real ist. Die Nyquist-Frequenz sollte gleich N/2 sein, wobei N die Anzahl der Abtastwerte ist. Dies ist bei Telekommunikations-Anwendungen fast immer erfüllt. Weitere Reduktionen der Anzahl an Butterfly-Operationen können erzielt werden, wenn das Signal eine Bandbreite belegt, die kleiner als die Nyquist-Bandbreite ist, und wenn die effektive Bandbreite des Signals kleiner als die Nyquist-Bandbreite ist.
Kurze Beschreibung der Zeichnungen
Die Erfindung wird nun anhand eines Beispiels mit Bezug auf die begleitenden Zeichnungen detaillierter beschrieben. Diese zeigen:
1 einen Decimation-in-time-FFT-Algorithmus (N = 8);
2 einen Decimation-in-frequency-FFT-Algorithmus (N = 8);
3 grundlegende Butterfly-Berechnungen;
4 einen Decimation-in-time-FFT-Algorithmus (N = 8);
5 einen vereinfachten Decimation-in-time-FFT-Algorithmus (N = 8);
6 einen vereinfachten Decimation-in-time-FFT-Algorithmus (N = 8);
7 einen vereinfachten Decimation-in-time-FFT-Algorithmus (N = 8) für ein bandbegrenztes Signal;
8 einen vereinfachten Decimation-in-frequency-FFT-Algorithmus (N = 8);
9 einen vereinfachten Decimation-in-frequency-FFT-Algorithmus (N = 8) für ein bandbegrenztes Signal; und
10 ein Blockdiagramm, das erläutert, wie ein Eingangssignal im Zeitbereich in zwei gleiche Teile aufgeteilt werden kann.
Detaillierte Beschreibung der bevorzugten Ausführungsbeispiele
Es ist bekannt, dass wenn ein Zeitbereichsignal x(n) aus N Abtastwerten besteht, die Frequenzantwort X(k) durch Verwendung der diskreten Fourier-Transformation
berechnet werden kann.
Beim Ausführen einer schnellen Fourier-Transformation wird das Signal in zwei gleiche Teile aus ungeraden und geraden Abtastwerten aufgeteilt. Dieser Vorgang ist in 10 gezeigt. Der erste Block 10 führt eine diskrete Fourier-Transformations-Operation auf die geraden Abtastwerte aus, und der zweite Block 12 führt eine analoge Operation auf die ungeraden Abtastwerte aus. Die Ergebnisse werden dann im Block 14 kombiniert, der eine N-Stellen-Rekombinations-Operation ausführt.
Der Rekombinationsvorgang wird verwendet, um die Abtastwerte in die korrekte Reihenfolge zu kombinieren. Dies wird auf an sich bekannte Art durch die Verwendung eines Butterfly-Netzwerkes durchgeführt.
Beim Ausführen einer FFT-Operation auf ein digitales Signal x(n), welches aus einer Folge von Abtastwerten besteht, werden üblicherweise Radix-2-Algorithmen verwendet. Hierzu siehe JG. Proakis und D.G. Manolakis „Digital Signal Processing", Prentice-Hall, 1996, dessen Inhalt durch Bezugnahme hier eingebunden wird. Ein Radix-2-Algorithmus ist ein FFT/IFFT-Algorithmus, bei dem die Grundkomponente ein Butterfly mit zwei Eingängen und zwei Ausgängen ist. Diese Algorithmen sind entweder Decimation-in-time- (siehe 1) oder Decimation-in-frequency-Algorithmen (siehe 2).
In 1 wird die IFFT als Beispiel mit Eingang in umgekehrter Bit-Reihenfolge und Ausgang in natürlicher Reihenfolge verwendet, während in 2 die FFT als Beispiel mit Eingang in natürlicher Reihenfolge und Ausgang mit umgekehrter Bit-Reihenfolge verwendet wird. Bei beiden Algorithmen sind die Grund-Operationen-Blocks Butterfly-Operationen, welche in 3 für Decimation-in-time bzw. Decimation-in-frequency gezeigt werden
Für eine N-Stellen-FFT (N = 2^k) werden insgesamt (N/2) log₂N Butterfly-Operationen benötigt.
Bei den meisten Anwendungen ist das Zeitbereichsignal (x(n)) real und sein Frequenzbereichsignal (X(k)) symmetrisch, d. h. falls X(k) die FFT des realen Signals x(n) ist, erfüllt es X(k) = X·(N – k), für k = 1, ..., N/2 – 1(1)wobei N die Länge der FFT ist und * die komplex Konjugierte darstellt. Auf der Basis der Eigenschaft von Gleichung (1) kann die benötigte Anzahl an Butterfly-Operationen des Radix-2-FFT-Algorithmus durch die Verwendung des Vorteils dieser Symmetrie reduziert werden. Falls die Nyquist-Frequenz N/2 ist, was ein üblicher Fall ist, kann eine weitere Reduzierung der Anzahl der benötigten Butterfly-Operationen erreicht werden. Wenn das Signal eine begrenzte Bandbreite hat, die sehr viel kleiner als die Hälfte der Abtastfrequenz ist, kann eine weitere Reduzierung der Berechnungsanforderungen erreicht werden.
Bei dem neuen Schema wird eine Radix-2-Decimation-in-time-FFT-Algorithmus als Grundlage für eine IFFT-Operation verwendet. Die Eingangsfolge X(k) wird in umgekehrter Bit-Reihenfolge angeordnet, wie in 1 gezeigt.
Es sei k = 0, 1, ..., N – 1 und die Anzahl von Bits in k sei definiert als nb, d. h. nb = log₂N. Das sog. Most-Significant-Bit (MSB) oder höchstwertige Bit von k ist das Bit nb. Nach der Bitumkehr ist die Eingangsfolge angeordnet wie folgt: MSB(k) = 0, MSB(k) = 1, MSB(k) = 0, MSB(k) = 1, ....
Wenn 1 als Beispiel verwendet wird, wobei N = 8 und nb = 3, ist die Eingangsfolge
Aus diesem Beispiel geht offensichtlich hervor, dass nach der Bitumkehr die geradzahligen Stellen (beginnend bei 0) X(k) mit k < N/2 entsprechen und die ungeradzahligen Stellen X(k) mit k ≥ N/2 entsprechen.
Aufgrund der in Gleichung (1) gezeigten Eigenschaften für das reale Zeitbereichsignal mit der Nyquist-Komponente als 0 (X(N/2) = 0) folgt, dass
wobei X₁(0) = (1/2) X(k) und X₁(k) = X(k) für 0 < k < N/2 und wobei x(n) das Eingangs-Zeitbereichsignal und X(k) das Frequenzbereichsignal ist. Durch Verwenden von Gleichung (2) und Setzen von X(k) = 0 für k ≥ N/2 kann 1 wie in 4 gezeigt neu gezeichnet werden.
Die 3(a) und 3(b) zeigen grundlegende Butterfly-Operationen für Decimation-in-time bzw. Decimation-in-frequency. Bei Verwendung der in 3(a) gezeigten Beziehung, wenn b = 0, folgt, dass A = B = a. Der in 4 gezeigte Vorgang kann, wie in 5 gezeigt, weiter vereinfacht werden. Dieser Vorgang hat eine Stufe weniger als der in 1 gezeigte Vorgang. Die gesamte benötigte Anzahl an Butterfly-Operationen wird von (N/2) log₂N auf (N/2)(log₂N – 1) verringert. Dies stellte ein Einsparung von 33% für den Fall N = 8 dar.
Falls das Signal nur die untere Hälfte der Nyquist-Bandbreite belegt, d. h. X(k) = 0 für k = N/4, N/4 + 1, ..., N/2 – 1, können weitere Berechnungseinsparungen für die IFFT-Operation erreicht werden. Beim Betrachten des bitumgekehrten Index in den 1 und 4 für alle geraden Stellen kann festgestellt werden, dass jede zweite Stelle mit einer Stelle X(k) = 0 mit k > N/4 – 1 korrespondiert, in anderen Worten, dass das Bit nb – 1 des Abtastwerts k 1 ist (nb ist definiert als die Anzahl von Bits in k). Die Eingangsfolge wird bei erneuter Verwendung von 1 als Beispiel, wobei N = 8 und nb = 3:
Nur das 2-te MSB interessiert, wenn das MSB 0 ist. Im Allgemeinen, abgesehen von der Tatsache, dass die ungeraden Stellen der Eingangsfolge nach der Bitumkehr-Operation 0 sind, ist die Eingangsfolge ebenso 0 an den Stellen 2, 6, 10 ... Mit 1 als Beispiel kann 5 wie in 6 gezeigt vereinfacht werden. Sie kann weiter wie in 7 vereinfacht werden.
Im Allgemeinen werden nur log₂N – 2 Stufen von Butterfly-Operationen benötigt. Folglich wird die Anzahl von benötigten Butterfly-Operationen von (N/2) log₂N für eine N-Stellen-FFT auf (N/2)(log₂N – 2) reduziert. Dies bedeutet eine 66%-ige Berechnungsverringerung für N = 8.
In noch allgemeineren Worten, falls das Signal nur 1/M der Nyquist-Frequenz mit M = 2^m belegt, ist die benötigte Anzahl von Butterfly-Operationen (N/2)(log₂(N/M – 1).
Bei einer praktischen Umsetzung wird zuerst die Eingangsfolge bit-umgekehrt, wobei der Gleichanteil 2mal reduziert wird, und dann wird der Wert an den Stellen m₁M + 1 bis (m₁ + 1)M – 1 so gesetzt, dass er die Daten an der Stelle m₁M wiederholt. Die ersten log₂M + 1 Stufen an Operationen im Decimation-in-time-FFT-Algorithmus werden umgangen und die modifizierte Eingangsfolge geht direkt in die Stufe log₂M + 2. Es werden nach der FFT-Operation nur reale Werte ausgegeben, nachdem sie 2mal erhöht wurden.
Falls das Signal eine Bandbreite B belegt, die 1/M der Nyquist-Bandbreite ist, das Signal aber ein Tiefpasssignal ist, d. h. X(k)= 0 für k = 0, 1, ..., M1 – 1, M1 + B, M1 + B + 1, ...,N2
Die folgenden Schritte sollten folgen, um die FFT-Berechnungen zu verringern:

1. Setze X(k) = 0 für k > (N/2 – 1).
2. Verschiebe X(k) in der Frequenz um M₁ um eine neue Folge X₂(k) zu erhalten, d. h.,
3. Wende die IFFT-Butterfly-Operation wie in 7 gezeigt an und lasse die ersten log₂M + 1 Stufen aus, die in einer normalen Radix-2-FFT ausgeführt würden.
4. Da die Frequenzverschiebung um M₁ äquivalent zur Multiplikation der Zeitbereichsabtastwerte x₁(n) mit
ist, wird der Endausgang:

Beim Vergleich dieser Beziehung mit dem Tiefpasssignal wird offensichtlich, dass die obige Gleichung äquivalent zu zusätzlichen 2 N realen Zahlen-Multiplikationen und N realen Zahlen-Additionen ist. Und sie ist ebenso äquivalent zu N/2 komplexen Zahlen-Multiplikationen. Dies sind zusätzliche Berechnungsanforderungen im Vergleich zum Verarbeiten eines Tiefpasssignals.
Die FFT-Operation ist die gleiche wie die IFFT mit einem ähnlichen Umfang an Berechnungseinsparung. Der Grundalgorithmus ist ein Radix-2-Decimation-in-Frequenz-FFT. 2 zeigt ein Beispiel mit N = 8. Für die reale Eingangszeitfolge ist das Ausgangsfrequenzsignal symmetrisch wie in Gleichung (1) gezeigt, was bedeutet, dass es nicht notwendig ist, den zweiten Butterfly-Ausgang (B) in der letzten Stufe der FFT-Operation zu berechnen. Verglichen mit der IFFT-Operation werden zusätzlich N/2 komplexe Additionen benötigt, aber im Vergleich mit dem originalen FFT-Algorithmus werden N/2 komplexe Zahlen-Multiplikationen eliminiert. Der endgültige FFT-Algorithmus, der nahezu den gleichen Umfang an Berechnungseinsparung aufweist wie die IFFT-Operation, ist in 8 gezeigt.
Falls das Signal nur die untere Hälfte der Nyquist-Bandbreite belegt, d. h. X(k) = 0 für k = N/4, N/4 +1, ..., N/2 – 1, können weitere Berechnungseinsparungen für die FFT-Operation erreicht werden, wie bei der IFFT-Operation gezeigt. Aus den vorangehenden Analysen und 8 folgt, dass einer der Ausgänge (unterer Teil B) in der zweiten oder letzten Stufe der Butterfly-Operation 0 oder uninteressant ist. Dies bedeutet, dass zusätzliche N/2 komplexe Zahlen-Multiplikationen unnötig sind. Diese Umsetzung ist in 9 gezeigt. Wiederum werden weitere zusätzliche N/2 komplexe Zahlen-Additionen im Vergleich mit der in 7 gezeigten IFFT-Operation benötigt.
Im allgemeinen, wenn das Signal nur 1/M der Nyquist-Bandbreite mit M = 2^m belegt, ist die Anzahl an benötigten Butterfly-Operationen (N/2) (log₂(N/M – 1). Die letzten m + 1 Stufen der Butterfly-Operationen im Decimation-in-frequency-Algorithmus können durch Additions-Operationen ersetzt werden. Genauer, es werden jede M Ausgänge in der Stufe log₂(N/M – 1 aufaddiert, um einen einzigen Ausgang zu ergeben.
Falls das Signal eine Bandbreite B belegt, die 1/M der Nyquist-Bandbreite ist, das Signal aber kein Tiefpasssignal ist, d. h., X(k) = 0 für k = 0, 1, ..., M1 – 1, M1 + B, M1 + B + 1, ..., N2
Da die Frequenzverschiebung um M₁ äquivalent zur Multiplikation der Zeitbereichsabtastwerte x(n) ist, ergibt sich die Eingangsfolge x₁(n) zu
wobei die Eigenschaft, dass x(n) ein reales Signal ist, verwendet wird. Folglich ist die obige Gleichung äquivalent zu N/2 komplexen Zahlen-Multiplikationen. Dann wird der Algorithmus aus 9 auf x₁(n) angewandt, wobei der Ausgang k = 0, 1, ..., B den jeweiligen Frequenzstellen M₁, M₁ + 1, ..., M₁ + B – 1 entspricht.
Die Erfindung ist insbesondere zur Umsetzung auf einem VDSL-Chip geeignet. Es ist offensichtlich, dass die IFFT- oder FFT-Struktur die Anzahl von Butterfly-Operationen verringern kann, insbesondere wenn das Signal eine Bandbreite belegt, die kleiner als die Nyquist-Bandbreite ist, oder wenn das Signal kein Tiefpassverhalten aufweist, aber seine effektive Bandbreite kleiner als die Nyquist-Bandbreite ist.

Claims

Computerbasiertes Verfahren zum Ausführen einer inversen schnellen Fourier-Transformations-Operation auf ein aus einer Folge von Abtastwerten bestehendes digitales physikalisches Signal, wobei das Signal im Frequenzbereich symmetrisch ist und für das die folgende Beziehung gilt:
wobei X₁(0) = (1/2) X(k) und X₁(k) = X(k) für 0 < k < N/2, das Verfahren umfasst das Ausführen einer Folge von Butterfly-Operationen, die nur die Eingangsabtastwerte X(k) mit k < N/2 verwenden, um die inverse Transformierte x(n) des Signals zu erhalten.
Verfahren nach Anspruch 1, wobei Eingänge für die Butterfly-Operationen, die den Abtastwerten X(k) entsprechen, bei denen k ≥ N/2, gleich Null gesetzt werden.
Verfahren nach Anspruch 2, wobei N = 8 und die Eingangsabtastwerte in der Reihenfolge X(0), 0, X(2), X(0), X(1), 0, X(3), 0 angeordnet werden.
Verfahren nach Anspruch 3 mit drei Stufen zum Ausführen der Butterfly-Operationen hat.
Verfahren nach Anspruch 1 mit zwei Stufen zum Ausführen der Butterfly-Operationen hat.
Verfahren nach Anspruch 5, wobei Eingänge für die Butterfly-Operationen wiederholt werden.
Verfahren nach Anspruch 6, wobei N = 8 und die Eingangsabtastwerte in der Reihenfolge X(0), X(0), X(2), X(2), X(1), X(1), X(3), X(3) angeordnet werden.
Verfahren nach Anspruch 6, wobei das Signal nur die untere Hälfte der Nyquist-Bandbreite belegt und einige der Eingangsabtastwerte zu Null gesetzt werden.
Verfahren nach Anspruch 8, wobei N = 8 und die Eingangsabtastwerte in der Reihenfolge X(0), X(0), 0, 0, X(1), X(1), 0, 0 angeordnet werden.
Verfahren nach Anspruch 1 mit einer Stufe, wobei nur zwei Abtastwerte als Eingänge für die Butterfly-Operationen verwendet werden, um die Ausgangsabtastwerte x(n) zu erhalten.
Verfahren nach Anspruch 10, wobei N = 8 und die Eingangsabtastwerte in der Reihenfolge X(0), X(0), X(0), X(0), X(1), X(1), X(1), X(1) angeordnet werden.
Computerbasiertes Verfahren zum Ausführen einer schnellen Fourier-Transformations-Operation auf ein aus einer Folge von Abtastwerten bestehendes digitales physikalisches Signal, wobei das Signal im Frequenzbereich symmetrisch ist und für das die folgende Beziehung gilt:
wobei X₁(0) = (1/2) X(k) und X₁(k) = X(k) für 0 < k < N/2, wobei das Signal nur die untere Hälfte der Nyquist-Bandbreite belegt, das Verfahren umfasst das Ausführen einer Folge von Butterfly-Operationen, die die Eingangsabtastwerte im Zeitbereich x(n) verwenden, um Paare von Ausgangsabtastwerten X(p) und X(q) mit p und q < N/2 im Frequenzbereich zu erzeugen, und um die inverse Transformierte X(k) aus diesen Ausgangsabtastwerten X(p) und X(q) zu erhalten.
Verfahren nach Anspruch 12, wobei X(p) und X(q) X(0) und X(1) sind.