DE60204693T2

DE60204693T2 - Signalsverarbeitungssystem mit einer Vorrichtung zum Korregieren einer Kovarianzmatrix

Info

Publication number: DE60204693T2
Application number: DE60204693T
Authority: DE
Inventors: François Oustry
Original assignee: Raise Partner
Current assignee: Raise Partner
Priority date: 2002-10-04
Filing date: 2002-10-04
Publication date: 2006-05-18
Anticipated expiration: 2022-10-05
Also published as: EP1406180B1; EP1406180A1; DE60204693D1; ATE298110T1

Description

Technischer Bereich der Erfindung
Die Erfindung betrifft eine Vorrichtung zum Bearbeiten einer Mehrzahl von numerischen Quellsignalen, welche aus Mess-Stichproben der zu analysierenden Signale bestehen/gebildet werden, welche eine Vorrichtung zur Korrektur einer Kovarianz-Matrix umfasst, welche repräsentativ ist für Relationen zwischen den Signal-Quellen.
Stand der Technik
Das Bestimmen von mit einem Ensemble numerischer Quellsignale assoziierten Kovarianz-Matrizen wird in vielen Bereichen zum Analysieren der Eigenschaften der Quellsignale, insbesondere Korrelationen zwischen diesen Signalen, verwendet. Dies ist insbesondere der Fall bei der Behandlung numerischer Signale, welche eine Schätzung linearer Modelle benötigen, beispielsweise zum Entwurf von Filtern, zur Bild-Bearbeitung, in der Meteorologie, und so weiter. Es wird gleichermaßen in den Automatismen verwendet, insbesondere bei der Konzeption von linearen Steuer-Gesetzen, welche mittels Techniken vom quadratischen Typ unter der Gauss'schen Fehler-Hypothese ("LQG": linear-quadratisch-Gauss'sch) erhalten werden, sowie im Bereich der Finanz als Werkzeug zur Risiko-Analyse.
Die Vorrichtungen zum Bestimmen der klassischen Kovarianz, welche im Allgemeinen in einem numerischen Signal-Prozessor (DSP) integriert sind, sind meistens dazu konzipiert, um so wenig Umweg/Verzerrung wie möglich für die Varianzen und die Kovarianzen zu erhalten, welche mit einem numerischen Signal-Ensemble assoziiert sind. Allerdings liefern die derzeitigen Techniken keine korrekten Werte für das Spektrum der Kovarianz-Matrix, welche(s) von dem Ensemble der Eigenwerte der Matrix gebildet wird. Der Umweg/Verzerrung über das Spektrum der Kovarianz-Matrix kann insbesondere wichtig sein, wenn die Mess-Stichproben der zu analysierenden Signale schwach sind. Die kleineren Eigenwerte der Matrix sind unterbewertet, und die größeren überbewertet. Die Kondition der Matrix, das heißt das Verhältnis ihres größten Eigenwertes zu ihrem kleinsten Eigenwert, ist in der Folge fehlerhaft.
Da allerdings die Matrix als Eingang einer Vorrichtung zur numerischen Behandlung des Signals verwendet wird, ist eine schlechte Kondition häufig die Ursache von Instabilitäten der Ausgänge der Bearbeitungs-Vorrichtung bei Störungen der Quellsignale.
Ziel der Erfindung
Die Erfindung hat eine Bearbeitungs-Vorrichtung zum Ziel, welche umfasst: eine Vorrichtung zum Korrigieren einer Kovarianz-Matrix, welche es ermöglicht, die Kondition der Matrix zu verbessern, und eine gegenüber kleinen Störungen der Quellsignale stabile Korrektur zu definieren, um die Abweichung zwischen einer A-Priori-Schätzung und einer A-Posteriori-Schätzung von Varianzen und Kovarianzen zu reduzieren.
Gemäß der Erfindung wird dieses Ziel dadurch erreicht, dass die Korrektur-Vorrichtung Mittel zum Zerlegen in totale Eigenelemente aufweist, gemäß dem spektralen Zerlegungs-Verfahren von Kato, welches die totalen Eigenwerte der zu korrigierenden Kovarianz-Matrix und die ersten Koeffizienten-Vektoren für die Kombination der Quellsignale liefert, wobei die Korrektur-Vorrichtung Korrektur-Mittel umfasst, welche die totalen Eigenwerte und die ersten Koeffizienten-Vektoren zum Bestimmen der korrigierten Matrix verwenden.
Gemäß einer Weiterentwicklung der Erfindung umfasst die Korrektur-Vorrichtung Mittel zum Bestimmen zweiter Koeffizienten-Vektoren für die Kombination der Quellsignale durch den Anwender.
Gemäß einer bevorzugten Ausführungsform umfassen die Korrektur-Mittel Mittel zum Schätzen der Varianzen der Kombinationen der Quellsignale, unter Verwendung der ersten und/oder der zweiten Koeffizienten-Vektoren.
Gemäß einem weiteren Merkmal der Erfindung umfasst die Korrektur-Vorrichtung Mittel zum Aufsuchen/Untersuchen der korrigierten Matrix, welche der zu korrigierenden Matrix am nächsten kommt, als Funktion der von den Schätz-Mitteln gelieferten Varianzen, und totale Projektoren/Projektionen, welche von den Mitteln zur Zerlegung in totale Eigenelemente geliefert werden. Die Mittel zum Aufsuchen/Untersuchen verwenden bevorzugt ein Verfahren vom Quasi-Newton-Typ auf dem Dual eines Programms semidefiniter kleinster Quadrate.
Summarische Beschreibung der Zeichnungen
Andere Vorteile und Merkmale ergeben sich klarer aus der folgenden Beschreibung spezieller Ausführungsformen der Erfindung, welche anhand nicht begrenzender Beispiele angegeben werden, und welche in den beigefügten Zeichnungen dargestellt sind, in welchen:
1 in Block-Schema-Form eine Vorrichtung zum Bestimmen und Korrigieren der Kovarianz-Matrix von N Quellsignalen zeigt,
2 eine spezielle Ausführungsform des ersten Blocks der Vorrichtung gemäß 1 gemäß des Standes der Technik zeigt,
3 einen speziellen Modus des dritten Blocks der Vorrichtung gemäß 1 zeigt.
Beschreibung spezieller Ausführungsformen
Die Vorrichtung gemäß 1 umfasst einen Block 1 zum Bestimmen der Kovarianz-Matrix C von N numerischen Quellsignalen s₁ bis s_N. Für i = 1...N kann jedes Signal s_i, welches aus m Stichproben s_i ^l bis s_i ^m gebildet wird, in der Form eines Vektors dargestellt werden:
mit einem temporären Diskretions-Index t = 1...m.
Alle Stichproben aller Quellsignale werden simultan an den Eingang des Blocks 1 appliziert, welcher daraufhin eine Stichproben-Historie aller Quellsignale bereitstellt.
Der Block 1 zum Bestimmen der Kovarianz-Matrix kann auf jede bekannte Art realisiert werden. Eine spezielle Ausführungsform des Blocks 1, welche in der 2 dargestellt ist, umfasst einen Block 2 zur logarithmischen Ableitung, und eine Schätz-Vorrichtung 3 der Kovarianz-Matrix. Der Block 2 ist ein Standard-Block, von bekannter Art, welcher am Eingang die N Quellsignale und eine Schrittweite h empfängt, welche ganzzahlig vorbestimmt ist, so dass 1 ≤ h ≤ m. Der Block 2 bildet N logarithmisch abgeleitete Signale d_i, oder Relativ-Zuwachs-Signale, der N Quellsignale s_i.
Die abgeleiteten Signale sind reelle Vektoren der Dimensionierung p = m – h, wobei jedes abgeleitete Signal d_i in der Form
mit 1 = 1...N dargestellt werden kann.
Das Signal d_i ist durch die Gleichung
gegeben, für i = 1...N und t = 1...p.
Darüber hinaus ist für s_i = 0 also d_i = 0. Die Ableitungs-Funktion ist folglich auf Null-Signale erweitert.
Die Schätz-Vorrichtung 3 der Kovarianz-Matrix ist gleichermaßen ein Standard-Block von bekannter Art. Er empfängt am Eingang die N Signale d_i der Dimensionierung p = m – h, und liefert am Ausgang eine geschätzte Kovarianz-Matrix C, welche aus einer Tabelle der Dimensionierung N × N mit reellen, symmetrischen C_ij besteht:
Jede von der Schätz-Vorrichtung 3 gelieferte Größe C_ij, welche vom als "empirisch ohne Umweg/Verzerrung" bezeichneten Typ sein kann, ist gegeben durch die Gleichung:
mit 1 ≤ i,j ≤ N, und in welcher die Werte d _i empirische Mittel der logarithmisch abgeleiteten Signale d_i sind, gemäß der Gleichung:
Die Korrektur-Vorrichtung umfasst einen Block 4 zum Zerlegen in totale Eigenelemente, welcher am Eingang empfängt: die Matrix C, welche vom Block 1 oder von irgendeinem anderen geeigneten Mittel geliefert wird, und einen Stabilitäts-Parameter ε, eine reelle, positive Zahl. Der Block 4 verwendet die Methode zur Spektral-Zerlegung von Kato (T. Kato: "Perturbation Theory for Linear Operators", Springer-Verlag, 1980). Der Block 4 berechnet N reelle Eigenwerte λ₁ bis λ_N der Matrix C, sowie N zugehörige Eigen-Vektoren q₁ bis q_N. Die Eigenwerte erfüllen λ₁ = λ₂ = ... = λ_N.
Er bildet gleichermaßen K Sätze von Indizes, welche ε-Gruppen definieren, welche mit G₁ bis G_K bezeichnet werden. Für j = 1...N – 1 entstammen λ_j und λ_j+1 einer gleichen Gruppe, wenn λ_j – λ_j+1 = ε. Wenn diese Ungleichung nicht respektiert wird, wird daher/dann eine neue Gruppe gebildet. In jeder Gruppe G_j bezeichnet ein Index f_j den ersten Index der Gruppe, und ein Index l_j bezeichnet den letzten Index der Gruppe: G_j = {f_j,...,l_j} für j = 1...K mit f₁ = 1 und l_k = N.
Der Block 4 deduziert hieraus K totale Eigenwerte λ ^_j gemäß
mit j = 1...K.
Der Block 4 berechnet gleichermaßen K totale Projektionen Proj_j, welche N × N-Matritzen sind, gemäß:
wobei q_r ^T die Transponierte von q_r ist.
Der Block 4 liefert am Ausgang, in einem Korrektur-Block 5 (1) die N Eigenvektoren q₁ bis q_N, die Zahl K, die K Indizes-Ensembles, welche die ε-Gruppen definieren, die K totalen Eigenwerte λ ^_j und die K totalen Projektionen Proj_j. Die Verwendung des Verfahrens von Kato garantiert die Stabilität der Korrektur bezüglich Störungen der Quellsignale.
Wie in 3 dargestellt, umfasst der Korrektur-Block 5 eine Synthetisiser-Vorrichtung 6 von positiven Komposit-Signalen, einen Block 7 zum logarithmischen Ableiten und zum Differenz-Bilden, eine Schätz-Vorrichtung 8 und einen Block 9 zum Korrigieren der Kovarianz-Matrix.
Die Synthetisiser-Vorrichtung 6 positiver Komposit-Signale empfängt am Eingang die N Quellsignale s₁ bis s_N, der Dimensionierung m, die N Eigenvektoren q₁ bis q_N, sowie P reelle Vektoren u₁ bis u_P, welche vom Anwender definiert werden. Die N + P Vektoren q und u (q₁ bis q_N und u₁ bis u_P) bilden Koeffizienten-Vektoren zur Gewichtung der Quellsignale. Die Synthetisiser-Vorrichtung 6 zerlegt zuerst, gemäß einer Moreau-Zerlegung, die Koeffizienten-Vektoren q und u in positive und negative Teile gemäß: qi = qi + – qi – mit qi + |qi – und i = 1,...,N uj = uj + – uj – mit uj + |uj – und j = 1,...,P
Die Vektoren = q_j ⁺, q_j ^–, u_j ⁺ und u_j ^– sind positive Vektoren, ausgehend von welchen die Synthetisier-Vorrichtung 6 vier Familien positiver Komposit-Signale s⁺, s^–, t⁺ und t^– bildet gemäß
mit i = 1...N
mit j = 1...P.
Die auf diese Weise erhaltenen 2(N + P) positiven Komposit-Signale sind reelle Vektoren, von der Dimensionierung m. Sie werden an den Eingang des Blocks 7 appliziert, welcher eine Standard-Operation zur logarithmischen Ableitung realisiert, sowie Differenz-Operationen zwischen bestimmten abgeleiteten Signalen bewirkt. Die Ableitungs-Operation ist vom gleichen Typ wie diejenige, welche mittels Block 2 bewirkt wird. Sie verwendet die gleiche ganzzahlige Schrittweite h (1 = h = m), und liefert die abgeleiteten Signale ds_i ⁺, ds_i ^–, dt_i ⁺, dt_i ^–, der Länge m – h gemäß:
Darüber hinaus wird wie in Block 2 die Ableitungs-Funktion auf die Null-Signale erweitert, wobei die Ableitung eines Null-Signals Null ist.
Der Block 7 bildet dann N + P Signale E von Differenzen der Ableitungen, mit Dimensionierung p = m – h gemäß: E_i = ds_i ⁺ – ds_i ^– für i = 1,...,N und E_i = dt_i ⁺ – dt_i ^– für i = N + 1,...,N + P.
Jedes Signal E_i ist ein reeller Vektor, welcher für i = 1...(N + P) in der Form
dargestellt werden kann.
Die Signale E werden an den Eingang der Varianzen-Schätz-Vorrichtung 8 vom Empirisch-Ohne-Umweg/Verzerrung-Typ appliziert, welcher in klassischer Weise die ihren Eingangs-Signalen zugeordneten Varianzen berechnet. Sie liefert (N + P) Vektoren C_j, welche für diese Varianzen repräsentativ sind, gemäß der Gleichung:
mit 1 = i = N. Die Werte E _i sind die empirischen Mittelwerte der Signale E_i gemäß der Gleichung:
Der Block 9 empfängt am Eingang die zu korrigierende Kovarianz-Matrix C, welche von einer reellen, symmetrischen Matrix der Dimensionierung N × N gebildet wird, mit Größen C_ij, wobei die (N + P) rekonstituierten Vektoren C_i, welche von der Varianzen-Schätz-Vorrichtung 8 geliefert werden, das ganzzahlige K, die K Indizes-Ensembles G_j = {f_j,...,l_j} für j = 1...K mit f₁ = 1 und l_K =N, die K totalen Eigenwerte λ ^_j und die K totalen Projektionen Proj_j, welche ihr vom Block 4 geliefert werden, sowie die P reellen Vektoren u.
Der Block 9 berechnet zuerst K korrigierte totale Eigenwerte λ ^_j gemäß:
mit j = 1...K.
Er sucht dann diejenige Matrix X auf, welche am nächsten an der zu korrigierenden Matrix C liegt, und die folgenden K + P linearen Bedingungen erfüllt: <Projj, X> = λ j mit j = 1,...,K <uiui T, X> = Ci mit i = 1,...,P
Das Skalarprodukt <X, Y> zwischen zwei symmetrischen Matrizen X und Y ist definiert als die Spur, das heißt als die Summe der Diagonal-Elemente des Produktes der zwei Matrizen.
Die Matrix X muss gleichermaßen eine symmetrische, semi-definite symmetrische Matrix sein (X = 0).
Anschließend werden die rekonstituierten totalen Spektral-Werte, welche von den Varianz-Vektoren C_i repräsentiert werden, in den linearen Grenzen integriert.
Das Aufsuchen wird durch Block 9 mittels eines Verfahrens vom Quasi-Newton-Typ auf dem Dual eines Programms kleinster/verringerter semi-definiter Quadrate (min |X – C|²) realisiert. In einer speziellen Ausführungsform verwendet der Block 9 für das Aufsuchen der Matrix X ein Verfahren, welches unter dem Namen des Verfahrens vom Typ BFGS bekannt ist. Ein solches Verfahren ist insbesondere in "Optimisation Numérique", Bonnans et al., Band 27 von "Mathématiques & Applications" (Deutsch: "Mathematik(en) und Anwendungen"), Springer-Verlag, 1997 beschrieben.
Der Block 9 liefert am Ausgang eine korrigierte Kovarianz-Matrix C = X von der Dimensionierung N × N, sowie K Werte δ, welche den fundamentalen Abweichungen der Varianzen vor und nach der Korrektur zugeordnet sind, und K + P Sensibilitäts-Parametern v, welche von reellen Zahlen gebildet werden, und den K + P linearen Nebenbedingungen/Grenzen zugeordnet sind. Die fundamentalen Varianz-Abweichungen δ sind dabei gegeben durch:
mit i = 1,...,K.
Das Realisieren der Berechnung im Dualraum ermöglicht es, das gesuchte Resultat schneller zu erhalten, mit der Folge der Reduktion der Kosten der Korrektur-Vorrichtung.

Claims

Computergestützte Vorrichtung zur Verarbeitung einer Mehrzahl (N) digitaler Quellsignale (s), die aus Messwerten zu analysierender physikalischer Signale bestehen, die eine Vorrichtung zur Korrektur einer Kovarianzmatrix (C) umfasst, welche die Beziehungen zwischen den Quellsignalen (s) wiedergibt, eine Vorrichtung, die dadurch gekennzeichnet ist, dass die Korrekturvorrichtung Mittel (4) zum Zerlegen in ganze Eigenelemente umfasst, nach der spektralen Kato-Zerlegungsmethode, welche die ganzen Eigenwerte (λ ~) der zu korrigierenden Kovarianzmatrix (C) sowie erste Koeffizienten-Vektoren (q) zur Kombination der Quellsignale (s) liefert, wobei die Vorrichtung Mittel (5) zur Korrektur umfasst, welche die ganzen Eigenwerte (λ ~) und die ersten Koeffizienten-Vektoren (q) zur Bestimmung der korrigierten Matrix (C ~) nutzen.
Vorrichtung nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass die Korrekturvorrichtung Mittel zur Bestimmung zweiter Koeffizienten-Vektoren (u) zur Kombination der Quellsignale (s) umfasst.
Vorrichtung nach einem der Ansprüche 1 und 2, dadurch gekennzeichnet, dass die Korrekturvorrichtungen (5) Mittel (6, 7, 8) zum Schätzen der Varianzen (C_i) von Kombinationen (E) der Quellsignale umfassen, welche die ersten und/oder die zweiten Koeffizienten-Vektoren (q, u) nutzen.
Vorrichtung nach Anspruch 3, dadurch gekennzeichnet, dass die Korrekturvorrichtung Mittel (9) zum Suchen der korrigierten Matrix (X, C ~), die der zu korrigierenden Matrix (C) am nächsten ist, umfasst, je nach den von den Schätzmitteln (6, 7, 8) gelieferten Varianzen (C_i) und Gesamtprojektoren (Proj), die von den Mitteln (4) zum Zerlegen in ganze Eigenelemente geliefert werden.
Vorrichtung nach Anspruch 4, dadurch gekennzeichnet, dass die Suchmittel (9) ferner Mittel zur Anwendung eines Verfahrens nach Art des quasi-Newton-Verfahrens auf das dual Programm eines halbdefinierten kleinsten Quadraten Programms umfassen.
Vorrichtung nach Anspruch 5, dadurch gekennzeichnet, dass die Suchmittel (9) ferner Mittel zur Anwendung eines Verfahrens nach Art des BFGS-Verfahrens umfassen.
Vorrichtung nach einem der Ansprüche 3 bis 6, dadurch gekennzeichnet, dass die Mittel (6, 7, 8) zum Schätzen der Varianzen (C_i) Mittel (6) zum Zerlegen der Koeffizienten-Vektoren (q, u) in positive und negative Teile umfassen.