DE60225013T2

DE60225013T2 - Verfahren und schaltung zur echtzeit-frequenzanalyse eines nichtstationären signals

Info

Publication number: DE60225013T2
Application number: DE60225013T
Authority: DE
Inventors: Patrice Michel
Original assignee: Airbus Operations SAS
Current assignee: Airbus Operations SAS
Priority date: 2001-07-04
Filing date: 2002-07-02
Publication date: 2009-02-12
Anticipated expiration: 2022-07-03
Also published as: EP1410240B1; US20040189277A1; CA2452307A1; FR2827049A1; FR2827049B1; US7076380B2; EP1410240A1; ATE386301T1; CA2452307C; DE60225013D1; WO2003005229A1

Description

Gebiet der Technik
Aufgabe der vorliegenden Erfindung ist ein Echtzeit-Frequenzanalyseverfahren eines nicht-stationären Signals und eine entsprechende Analyseschaltung. Unter Analyse "in Echtzeit" versteht man eine Analyse, bei der jede Information vor dem Erscheinen der nächsten verarbeitet wird. Dieser Zwang ist viel gravierender als bei der gewöhnlichen Technik, bei der die "Echtzeit"-Analyse bedeutet, dass die Informationsverarbeitung ohne nachfolgende Aufzeichnung und Auswertung, aber in Zeitspannen, die nicht Null sind, realisiert wird.
Die Erfindung wird in der Luftfahrt angewandt (Untersuchung und Kontrolle der Strukturen im Flug), in der Elektrodynamik (Steuerung von Elektrizitätserzeugungsanlagen), in der Mechanik (Untersuchung und Steuerung mobiler Teile), im Automobilbau (Steuerung der Schwingungen in den Fahrzeugen), in der Seismik (Untersuchung von bei der Ölprospektion verwendeten Signalen), in der Zoologie (Untersuchung der von den Tieren emittierten Töne) etc. ...
Stand der Technik
Das Signal, das zu analysieren ist, ist aus einem Geräusch zusammengesetzt, zu dem ein oder mehrere sinusförmige Signale hinzukommen, deren Frequenzen und Amplituden im Zeitverlauf variieren können. Es handelt sich um eine Messung dieser Frequenzen und dieser Amplituden in Echtzeit. Eine solche Analyse wird manchmal als "Zeit-Frequenz"-Analyse bezeichnet.
Es sind zahlreiche Spektralanalyseverfahren bekannt, von denen das berühmteste zweifelsohne die Fourier-Analyse ist. Die Analyse gibt zwar gut das Signalspektrum wider, sie wird jedoch hauptsächlich auf stationäre oder sich im Zeitverlauf leicht ändernde Signale angewandt. Sie ist also im allgemeinen nicht für eine Echtzeitanalyse geeignet.
Das Verfahren, das darin besteht, das Signal in einem Gleitfenster zu begrenzen (beispielsweise eine Gauss'sche Gleichung wie die vorgeschlagene GABOR) gestattet es, eine Zeit-Frequenz-Darstellung zu erhalten, aber die Präzision der Lokalisierung jeder Frequenz in der Zeit bleibt ungenügend. Sie muss einem Kompromiss unterzogen werden, da die Ungewissheit hinsichtlich der Lokalisierung in der Frequenz und die Ungewissheit hinsichtlich der Lokalisierung in der Zeit miteinander verknüpft sind (sogenanntes HEISENBERGGABOR-Unsicherheitsprinzip).
Die Umwandlung in kleine Wellen ist ebenfalls hinreichend bekannt. Es handelt sich um ein Analysewerkzeug, das einen guten Kompromiss zwischen der Frequenz-Lokalisierung und der zeitlichen Lokalisierung darstellt. Aber es handelt sich eher um eine Zeit-Werteskalen-Analyse als um eine Zeit-Frequenz-Analyse. Außerdem ist sie mit einer Schwierigkeit des Adäquat-Setzens der kleinen Welle und der Frequenz verbunden.
Das Dokument: Bonacci D, Ailhis C, Djkuric PM, "Improving Frequency Resolution for Correlation-Based Spectral Estimation Methods Using Sub-Band Decomposition", Proceedings of International Conference On Accoustics, Speech and Signal Processing (ICASSP '03), 6.–10. April 2003, Hongkong, China, Volumen 6, Seiten VI-329 bis 332, beschreibt ein Spektralanalyse-Verfahren, das lediglich auf stationäre Signale angewandt wird und darin besteht, das abgetastete und numerisierte Signal in Nebenbänder zu zerlegen.
Definitiv gibt es sehr wenige nicht-stationäre Echtzeit-Signal(frequenz)analyseverfahren. Der Grund hierfür besteht zweifelsohne darin, dass kein so häufiger Bedarf besteht, da in der Mehrheit der Fälle das zu analysierende Signal aufgezeichnet und anschließend beliebig untersucht werden kann. Wenn Echtzeit-Analyseverfahren existieren, so handelt es sich übrigens um Laborverfahren, bei denen die beispielsweise mit dem Mitführen des Materials, mit der Kostensenkung, mit der Einfachheit der Umsetzung etc. verbundenen Zwänge nicht vorhanden sind.
Aufgabe der vorliegenden Erfindung ist es deshalb, diesem Mangel abzuhelfen, indem ein Analyseverfahren vorgeschlagen wird, das speziell für solche Zwänge geeignet ist.
Abriss der Erfindung
Zu diesem Zweck schlägt die Erfindung eine spezielle Kombination von Verarbeitungsgängen vor, die diesem Bedürfnis entsprechen.
Genauer gesagt ist Aufgabe der vorliegenden Erfindung ein Echtzeit-Frequenzanalyseverfahren eines nicht-stationären Signals, das dadurch gekennzeichnet ist, dass es die folgenden Vorgänge umfasst:

A) Abtasten des Signals mit einer Frequenz (fe), die zumindest gleich dem doppelten der höchsten vorgesehenen Frequenz ist, und Numerieren der erhaltenen Abtastwerte,
B) Zerlegen des abgetasteten und numerisierten Signals in Nebenbänder durch Anlegen der Abtastwerte an eine Batterie aus numerischen Filtern mit aneinandergrenzenden Passbändern,
C) Modellieren des Signals in jedem Nebenband durch ein autoregressives Filter, dessen Übertragungsfunktion 1/A(z) beträgt, wobei A(z) ein Polynom der komplexen Variablen z = exp(j2πf/fe) ist, in dem ein adaptives, in der Zeit und der Reihenfolge rekursives Verfahren eingesetzt wird, Berechnen aller Polynome A(z) mit einem zwischen 1 und einem vorher gewählten Maximalwert liegenden Grad,
D) Schätzen der Reihenfolge des Modells und Einbehalten desjenigen Polynoms aller berechneten Polynome, welches diese Reihenfolge aufweist,
E) Berechnen, durch einen rekursiven Algorithmus, mindestens bestimmter komplexer Wurzeln des gewählten Polynoms,
F) Bestimmen, anhand der Phase der erhaltenen Wurzeln, der entsprechenden Frequenzen, und anhand der Frequenzen, des Quadrats des Abstands, welcher einen aktuellen Punkt, der einer Komponente in einem Abtastaugenblick entspricht, von den im vorangehenden Abtastaugenblick erhaltenen Punkten trennt, in Übereinstimmung-Bringen des aktuellen Punkts mit dem vorherigen Punkt, welcher dieses Quadrat minimiert, und Verbinden der verschiedenen Punkte, indem eine gewichtete Funktion dieser Quadrate minimiert wird, und Ermitteln der Amplituden der Sinus-Komponenten mit diesen Frequenzen, welche den Quadratfehler zwischen der Summe dieser Komponenten und dem zu analysierenden Signal minimieren. Auf diese Weise erhält man die Amplituden der verschiedenen Sinuskomponenten des Signals in dem verarbeiteten Nebenband.

Vorteilhafterweise wird nach dem Zerlegen des abgetasteten und numerisierten Signals in Nebenbänder jedes Nebenband vor der Modellisierung in der Frequenz gespreizt.
Aufgabe der Erfindung ist auch eine Analyseschaltung, welche das soeben beschriebene Verfahren umsetzt.
Kurzbeschreibung der Zeichnungen
Es zeigen:
Die 1A, 1B zwei Beispiele von in Echtzeit zu analysierenden, nicht-stationären Signalen,
2 zwei Frequenzantworten von Filtern in Quadratur mit finiter Impulsantwort,
3 zwei Frequenzantworten von Filtern in Quadratur mit infiniter Impulsantwort,
4 eine Filterbank für eine Zerlegung in acht Nebenbänder,
5 eine schematische Darstellung des Falls von zwei Sinus-Modi von im vierten Nebenband gelegenen, einander nahen Frequenzen,
6 eine Darstellung des Spreizeffekts des vierten Nebenbandes,
7A Variationen eines MAP-Kriteriums, das es ermöglicht, den Rang des Modells einzuschätzen, und 7B Variationen zweier weiterer Kriterien (AIC, MDL),
die 8A und 8B Darstellungen zweier Beispiele eines Gamma-Gesetzes,
9 Variationen der Erfassungswahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeit eines falschen Alarms für drei Signal-/Rauschverhältnisse (10 dB, 20 dB, 30 dB),
die 10A, 10B und 10C eine Darstellung der zeitlichen Evolution der Modi und eine Veranschaulichung des Problems der Fortschreibung dieser Modi, und
11 eine synoptische Schemadarstellung einer Analyseschaltung für die Durchführung des Verfahrens.
Detaillierte Beschreibung spezieller Ausführungsformen
Die zu analysierenden Signale können sehr unterschiedlicher Natur und Herkunft sein. In den 1A und 1B sind zwei Beispiele solcher Signale dargestellt, die sich über etwa fünfzig Sekunden erstrecken und die den an Strukturen des Flugzeugs A340 im Flug gemessenen Signalen entsprechen.
Die Echtzeit-Analyse dieser Art von Signalen kann gemäß der Erfindung durch die Durchführung von bereits definierten Arbeitsgängen erfolgen.
A) Abtasten und Numerieren
Das Analyseverfahren der Erfindung umfasst einen ersten Arbeitsgang, der in einer Abtastung und Numerierung der Abtastwerte besteht. Wenn das a priori von dem Signal bewegte Band sich von 0 bis zu einem Wert fm erstreckt, anders ausgedrückt, wenn die höchste erwartete Frequenz gleich fm ist, wird das Signal mit einer Frequenz fe gleich 2 fm gemäß dem SHANON-Theorem abgetastet. Anschließend wird jeder Abtastwert numeriert und man erhält so zu jedem Abtastaugenblick t_n einen digitalen Abtastwert s_n, wobei man weiß, dass man zu diesem Augenblick über vorherige Abtastwerte s_n-1, s_n-2, ... verfügt, die gespeichert worden sind, wobei das Abtastintervall t_i – t_i-1 gleich 1/f_e ist.
B) Zerlegung in Nebenbänder
Der zweite Arbeitsgang besteht in einem Filtern des Signals. Dieses Filtern dient dem Zerlegen des Spektrums in Nebenbänder. Hierfür wird das abgetastete und numerisierte Signal an eine Batterie numerischer Filter angelegt, deren Passbänder aneinandergrenzen und deren Zusammenführung das Gesamtband von 0 bis fm wiederherstellt. Vorteilhafterweise haben alle Nebenbänder die gleiche Breite.
Die verwendeten Filter können entweder Filter mit finiter Impulsantwort (RIF) (anders gesagt, mit kompaktem Träger), oder Filter mit infiniter Impulsantwort (RII) (mit nicht-kompaktem Träger) sein.
Es ist darauf hinzuweisen, dass ein numerisches Filter mit finiter Impulsantwort (RIF) ein lineares System ist, das durch eine rekursive Gleichung definiert ist, gemäß der eine Ausgangszahl, die einen Abtastwert des gefilterten Signals darstellt, durch gewichtete Addition einer finiten Gesamtheit von Eingangszahlen erhalten wird, welche die Abtastwerte des zu filternden Signals darstellen. Die Koeffizienten der gewichteten Addition bilden die Impulsantwort des Filters.
Ein numerisches Filter mit infiniter Impulsantwort (RII) ist ein lineares System, das durch eine Gleichung definiert ist, welche sich auf eine unbegrenzte Anzahl von Termen bezieht. Jedes Element der Abfolge von Ausgangszahlen wird durch gewichtete Addierung einer bestimmten Anzahl von Elementen der Eingangs-Abfolge und einer bestimmten Anzahl von Elementen der Ausgangs-Abfolge, die vorhergehen, berechnet.
Diese Filter können durch ihre mit H(z) bezeichnete Transferfunktion definiert werden, wobei z eine komplexe Variable gleich exp(j2πf), wobei f die reduzierte Frequenz = f/fe ist, wobei fe die Abtastfrequenz ist.
Die Transferfunktion eines Filters mit finiter Impulsantwort hat folgende Form:
und die eines Filters mit infiniter Impulsantwort hat folgende Form:
oder aber
Die Nullen des Polynoms A(z) sind die Pole der Transferfunktion.
Eine große Anzahl von RIF-Filtern sind in der Erfindung anwendbar, und insbesondere die bei der Analyse kleiner Wellen anzutreffenden Filter.
B1. Zerlegung durch RIF-Filter
Diese Zerlegung verwendet beispielsweise ein mit H bezeichnetes Tiefpassfilter, das einer Stufenfunktion ϕ zugeordnet ist, und ein Hochpassfilter G, das einer kleinen Welle Ψ zugeordnet ist. Die beiden Filter ergänzen sich und bilden sogenannte "Quadraturspiegel"-Filter (oder abgekürzt QMF).
Die beigefügte 2 stellt ein Beispiel einer Frequenzantwort von Quadraturspiegel-Filtern vom DAUBECHIES-Typ mit 20 Koeffizienten dar. Die Abszissenachse erstreckt sich von 0 bis fe/2, anders ausgedrückt von 0 bis 1/2 mit reduzierter Frequenz f ^. Die Ordinate stellt die Filterverstärkung dar.

In diesem Fall ist die Transferfunktion H(z) wie folgt:

mit 20 Koeffizienten h_n, die in der Tabelle 1 angegeben sind.

h₀ = 0,0266700579005473	h₁₀ = –0,0294575368218399
h₁ = 0,1881768000776347	h₁₁ = 0,0332126740593612
h₂ = 0,5272011889315757	h₁₂ = 0,0036065535669870
h₃ = 0,6884590394534363	h₁₃ = –0,0107331754833007
h₄ = 0,2811723436605715	h₁₄ = 0,0013953517470688
h₅ = 0,2498464243271598	h₁₅ = 0,0019924052951925
h₆ = 0,1959462743772862	h₁₆ = –0,0006858566949564
h₇ = 0,1273693403357541	h₁₇ = –0,0001164668551285
h₈ = 0,0930573646035547	h₁₈ = 0,0000935886703202
h₉ = –0,0713941471663501	h₁₉ = –0,0000132642028945

Tabelle I

Die Koeffizienten g_n des Komplementärfilters G werden ausgehend von Koeffizienten h_n durch die Beziehung: gn = (–l)nhl-n (3)erhalten.
B2. Zerlegung durch RII-Filter
Die Filter mit finiter Impulsantwort sind zwar interessant, sie weisen aber trotzdem einen Nachteil auf, der mit der Überlagerung der zwei aneinandergrenzenden Nebenbänder verbunden ist. Diese Überlagerung erzeugt eine "blinde" Zone, in der die Abschätzung einer in diese Zone fallenden Komponente schwierig wird.
Es kann also vorzuziehen sein, Filter mit infiniter Impulsantwort (mit nicht-kompaktem Träger) zu verwenden, die es gestatten, eine klarere Aufteilung zu erhalten.
Als Beispiel kann man wählen:

i) für eines der Filter, H, eine Transferfunktion von dem Typ der Beziehung (2), in der der Zähler ein Polynom mit 10 in der Tabelle (2) angegebenen Koeffizienten ist, und der Nenner ein Polynom mit 9 in der Tabelle (3) angegebenen Koeffizienten ist.
ii) für das andere Filter, G, wird eine Transferfunktion gewählt, in der der Zähler ein Polynom mit ebenfalls 10 Koeffizienten ist (in Tabelle IV angegeben), und in der der Nenner ein Polynom mit 9 Koeffizienten ist (in Tabelle V angegeben):

Die Transferfunktionen dieser beiden Filter H1 und G1 sind in 3 dargestellt.
Ein Beispiel einer Kaskaden-Filterbank mit drei Stufen, die jeweils aus zwei, vier und acht Filtern gebildet sind, ist in 4 dargestellt. Auf diese Weise erhält man acht Nebenbänder B1, B2, B3, ..., B8.
Die Bänke der 2^k identischen Filter sind gut geeignet, wenn man die Koeffizienten der Zerlegung nutzen will. Deshalb sind sie unter der Einschränkung dimensioniert, einer Gesamtheit von Gleichungen zu genügen. Die Wahl einer Filterbank, welche diese Eigenschaft nicht hat, weist den Vorteil auf, größere Flexibilität bei der Dimensionierung jedes der Filter zu bieten (Anordnung der Pole, Maße).
Die Filterbänke mit 2^k Filtern eignen sich gut für den Fall von Filtern mit finiter Impulsantwort. Für die Filter mit infiniter Impulsantwort kann man eine einzige Stufe mit einer beliebigen Anzahl von Filtern verwenden, die notwendigerweise gleich 2^k ist, beispielsweise sieben Filter. Diese Filter müssen hierbei, um ohne Überlagerung zu dezimieren, von Hilbert-Filtern gefolgt sein, die Filter sind, deren Frequenzantwort gleich +j für die negativen Frequenzen und –j für die positiven Frequenzen ist, was einer Quadratur entspricht.
Spreizung der Nebenbänder
In einer vorteilhaften Variante der Erfindung wird nach der Zerlegung des abgetasteten und numerisierten Signals in Nebenbänder jedes Nebenband gespreizt, bevor das Signal modellisiert wird. Jedes Nebenband besitzt eine Breite gleich fe/2, geteilt durch die Anzahl von Nebenbändern, das heißt fe/2B. Es werden alle Nebenbänder oder nur bestimmte davon gespreizt. Dies kann geschehen, indem ein Abtastwert von B berücksichtigt wird (Operation, die bei dieser Technik als "Dezimierung" bezeichnet wird, auch wenn B nicht gleich 10 ist). Alles läuft so ab, als ob temporär das Signal komprimiert würde, anders ausgedrückt, als ob sein Spektrum im Verhältnis B gespreizt würde. Das Band erstreckt sich hierbei zwischen 0 und fe/2.
Die 5 zeigt so als Beispiel den Fall eines Signals ohne Rauschen, das mit der Frequenz f_e = 16 Hz abgetastet wird und in B = 8 Bänder zerlegt wird. Jedes Nebenband besitzt eine Breite von 1 Hz, und die Einheit erstreckt sich zwischen 0 und 8 Hz. Von diesem Signal wird angenommen, dass es zwei Sinuskomponenten mit Frequenzen f₁ und f₂ enthält, die im Inneren des vierten Nebenbandes B4 gelegen sind. Dabei ergibt sich beispielsweise f₁ = 3,5 Hz und f₂ = 3,6 Hz.
Diese beiden Frequenzen f₁ und f₂ sind um Δf = 0,1 Hz beabstandet. Da Δf gegenüber der Abtastfrequenz f_e klein ist, sind sie schwer zu unterscheiden (vor allem, wenn der Rauschpegel relativ hoch ist). Deswegen wird nur ein einziger Abtastwert von acht abgenommen. Dies ist also wie wenn man mit der Frequenz f_e/8 = 2 Hz = f'_e abtasten würde. Man erhält also eine Maximalfrequenz des Spektrums von 1 Hz. Daraus ergibt sich das in 6 dargestellte neue Signal, dessen Spektrum sich von 0 bis 1 Hz erstreckt.
Die Frequenzen f'₁ und f'₂ unterscheiden sich von f₁ und f₂, man findet aber f₁ und f₂ anhand von f'₁ und f'₂ wieder auf, da man das Frequenzband kennt, aus dem sie hervorgegangen sind. Die Analyse dieses neuen Signals ist viel leichter, da f'₁ und f'₂ immer um Δf beabstandet sind, nun aber Δf im Vergleich zu f'_e nicht kleiner ist.
C) Modellisierung
Die Modellisierung eines Signals ist ein Problem, das bei der Signalverarbeitung einen wichtigen Platz einnimmt. Unter allen bekannten Techniken scheinen die sogenannten Parameter-Modelle gut geeignet zu sein für die bei der vorliegenden Erfindung anzutreffenden Zwänge. Die Parameter-Modellisierung besteht darin, eine Gesamtheit von Parametern, die einen sogenannten "Parameter-Vektor" bilden, einem Signal zuzuordnen. Dieser Vektor charakterisiert am besten das Signal im Hinblick auf ein bestimmtes Fehlerkriterium. Diese Art von Modell weist mehrere Vorteile auf: zunächst kann man daraus bestimmte Informationen ziehen, um beispielsweise eine Spektralanalyse zu erhalten. Des weiteren sind in der Zeit und der Rangfolge rekursive Algorithmen bekannt, die eine Einschätzung der Modell-Parameter in Echtzeit gestatten. Schließlich kann der Darstellungsraum verringert werden, indem eine Gesamtheit von N Abtastwerten durch einen Dimensionsvektor p dargestellt wird, der viel kleiner ist als N.
Ein lineares System kann durch ein Filter RII einer Transferfunktion modelliert werden:
wobei A(z) ein Polynom ist, dessen Grad die Rangfolge des Modells definiert. Das Modell wird autoregressiv bezeichnet (oder abgekürzt AR), wenn der Eingang des Modells ein Weiß-Rauschen (bruit blanc) ist.
Zahlreiche Abtastsignale x(n) können als Ausgang eines AR-Filters dargestellt werden, das von einem Weiß-Rauschen e(n) angeregt wird. Man kann also schreiben:
wobei e(n) das Weiß-Rauschen ist.
Diese Art von Modellierung ist direkt mit der vorderen linearen Prädiktion verknüpft, die anhand von N vergangenen Abtastwerten einen Schätzwert x ^(n) des Abtastwerts im Augenblick n durch die folgende Beziehung übereinstimmen lässt:
Der Abtastwert x(n) erscheint als aus dem vorausgesagten Term x ^(n) und dem nicht-vorhersagbaren und x ^(n) orthogonalen Rauschen e(n) zusammengesetzt (was manchmal als "Erneuerung" bezeichnet wird, und zwar in dem Sinn, dass dieser Term in die erstellte Abfolge von Abtastwerten etwas Neues einführt): x(n) = x ^(n) + e(n) (7)
In der vorderen linearen Prädiktion kann jeder Abtastwert also durch folgende Beziehung ausgedrückt werden:
was offensichtlich die Beziehung (5) ist, welche den Ausgang des AR-Filters angibt.
Die Gesamtheit der Koeffizienten a(k), die in Form eines Vektors mit N Komponenten angegeben werden kann, das heißt A ^N, definiert also das Polynom A(z) des gesuchten autoregressiven Modells. Die Fehlervarianz der vorderen linearen Prädiktion ist durch die folgende Beziehung gegeben:
Indem diese Varianz minimiert wird, was einer "Gleichung" ("blanchiment") des Fehlers entspricht, erhält man die sogenannte Yule-Walker-Gleichung, deren Lösung den Parameter-Vektor A ^N ergibt.
Berechnung der Polynome durch einen in der Zeit und der Rangfolge rekursiven adaptativen Algorithmus
Eine adaptative Näherung gestattet es, dieses Problem auf andere Weise zu lösen. In diesem Fall wird eine Funktion J, eine sogenannte "Kosten-Funktion" definiert. Sie ist allgemein anhand des Fehler-Quadrats aufgebaut und wird wie folgt ausgedrückt:
wobei λ ein Gewichtungsfaktor der vor dem Augenblick begangenen Fehler ist. Dieser sogenannte "Vergessens"-Faktor nimmt exponentiell ab und privilegiert die Datenerfassungen. Man kann in jedem Augenblick (n) den Vektor A Nn suchen, welcher dieses Kriterium minimiert.
Die adaptativen Methoden zielen darauf ab, in jedem Augenblick einen Parameter-Vektor zu optimieren, indem das Kriterium J minimiert wird. Sie weisen deshalb den Vorteil auf, eine Anpassung der Parameter in Abhängigkeit von den Evolutionen des Signals zu gestatten. Die Erfindung hält an den Algorithmen der sogenannten schnellen kleineren Quadrate fest, da sie für die Echtzeit-Analyse gut geeignet sind. Unter diesen Algorithmen bezieht sich die Erfindung im einzelnen auf die Algorithmen, bei denen ein Wiederauftreten in der Zeit und der Rangfolge (nicht nur zeitlich) hergestellt wird, was sich gut für den Fall eignet, bei dem die Rangfolge nicht vorab festgelegt werden kann. Diese Algorithmen führen zu modularen Gitterstrukturen, so dass einer Struktur eine Stufe hinzugefügt werden kann, ohne dass dies die Gesamtarchitektur des Systems modifiziert.
Hier wird die Theorie des adaptativen Algorithmus der kleineren schnellen Quadrate und der Wiederholungsformeln, die eine Berechnung der gesuchten Koeffizienten gestatten, nur grob umrissen.
Die verwendeten Begriffe sind die folgenden:

N: Rang der Modellisierung
X ^n : Schätzwert des Abtastwerts x_n
x Nn : Dimensionsvektor N, aufgebaut aus N letzten Komponenten des Signals, (x Nn )t = (xn, Xn-1, ..., xn-N+1)
A Nn : vorderer linearer Prädiktionsvektor (AR-Parameter) im Augenblick n, (A Nn )t = (ak,n, ak-1,n, ..., ak-N+1,n)
B Nn : hinterer linearer Prädiktionsvektor im Augenblick n, (B Nn )t = (bk,n, bk-1,n, ..., bk-N+1,n)
E N / a,n: Potenz des vorderen linearen Prädiktionsfehlers
E N / b,n: Potenz des hinteren linearen Prädiktionsfehlers
ε N / a,n: vorderer linearer Prädiktionsfehler a posteriori
ε N / b,n: hinterer linearer Prädiktionsfehler a posteriori
e N / b,n: hinterer linearer Prädiktionsfehler a priori
e N / a,n: vorderer linearer Prädiktionsfehler a priori
k N / b,n: Reflexionskoeffizienten (parcor) als Funktion der Potenz des hinteren Prädiktionsfehlers
k N / a,n: Reflexionskoeffizienten (parcor) als Funktion der Potenz des vorderen Prädiktionsfehlers:
R N / n: Korrelationsmatrix
K Nn : Kalman-Verstärkung
λ: Vergessensfaktor
ΔP: positive Konstante

Wie bereits erklärt wurde, läuft die Modellierung eines Signals durch einen Parametervektor A ^N (deren Komponenten a₁, a₂, ..., a_N sind) darauf hinaus, die Transferfunktion der Form 1/A(z) zu finden, wobei A(z) ein Polynom des Grades N ist, dessen Koeffizienten a₁, a₂, ..., a_N sind. Der gesuchte Vektor A ^N ist also nichts anderes als das den Abtastwerten x_n zugeordnete autoregressive Modell. Gemäß der Beziehung (10) ist die Minimalkostenfunktion wie folgt:
wobei λ, der Vergessens- oder Adaptationsfaktor, kleiner als die Einheit und weit größer als 0 ist. Diese Art exponentieller Gewichtung privilegiert die letzten Datenerfassungen, führt aber zu einer Abweichung in der Einschätzung (indem λ = 1 angenommen wird, würde man zu einer stationären Verarbeitung der Abtastwerte zurückkehren).
Indem ENa,n minimiert wird, werden die gesuchten Rekurrenzbeziehungen gefunden. Gemäß der Erfindung ist die Rekurrenz in der Rangfolge ohne Korrelation zur Rekurrenz in der Zeit. Man schätzt also, dass in jedem Augenblick alle autoregressiven Polynome AR bis zu einer maximalen Größenordnung N_max, die a priori in Abhängigkeit von der Kenntnis, die man von dem zu analysierenden Signal haben kann, festgelegt werden. Die Rekurrenz ist die folgende:

a) Man beginnt bei t = 1, indem eine Grenze t ≤ t_max festgelegt wird, und man berechnet für N = 1 und N ≤ N_max die gesuchten Parameter anhand der Kenntnis des Modells der Größenordnung N – 1 (für N = 0 ist das Modell gleich 1); anschließend wird zur folgenden Ordnung N + 1 = 2 übergegangen etc. ... bis N_max erreicht wird; dies ist die Rangfolgen-Rekurrenz.
b) Nun wird zu t + 1 übergegangen, und die Berechnungen in der Rangfolge werden wiederholt (N = 1, N = 2, ... N = N_max)
c) Die Operationen werden wiederholt, bis t = t_max erreicht wird.

Die Tabelle VI gibt die Mengen an, die benötigt werden, um den A ^N zu berechnen, und die Tabelle VII gibt die Beziehungen an, welche die Berechnung der AR-Polynomkoeffizienten ermöglicht.
Tabelle VI
Tabelle VII
In jedem Augenblick verfügt man also über (N_max – 1) Einheiten von Koeffizienten, welche ebenso viele Polynome A(z) definieren. Diese Einheiten können in der Form einer Matrix dargestellt werden, wie in der Tabelle VIII.
Tabelle VIII
Die Matrix dreieckig inferior. Das Modell der Größenordnung N ist wie folgt:
D) Schätzung der Rangfolge des Modells
Es wird davon ausgegangen, dass das zu analysierende Signal eine bestimmte Anzahl K von im Rauschen untergegangenen Sinuskomponenten enthält. Das Problem liegt in der Abschätzung dieser Zahl K. Die Frage ist nicht neu, ist aber vor allem für stationäre Signale angegangen worden. In der vorliegenden Erfindung handelt es sich darum, nicht-stationäre Signale zu analysieren, und darüberhinaus in Echtzeit. Das Schätzverfahren muss also diesen Zwängen angepasst werden. Es ist anzumerken, dass für eine gegebene Struktur die Rangfolge des Modells sich wenig ändert. Sie ändert sich nur beim Auftreten oder beim Verschwinden eines Modus. Dies ist nicht der Fall für die Modellparameter, die bei jedem Abtastwert neu angepasst werden müssen. Die Abschätzung der Rangfolge des Modells ist also spezifisch und hängt nicht mit der Berechnung der Koeffizienten zusammen.
Die Wahl der Rangfolge des Modells, das heißt der Anzahl von Parametern, die es definieren, bleibt ein delikates Problem und stellt die Hauptschwierigkeit der Umsetzung dieser Art von Modellierung dar. Eine zu geringe Dimension führt zu einem wenig brauchbaren Modell; eine zu große Dimension führt aber zu einer übermäßigen Rechenlast. Zwei unterschiedliche Methoden sind zur Abschätzung der Rangfolge vorgesehen, wobei sich eine auf dem Wahrscheinlichkeitskriterium (MAP) und die andere auf einem Modulgesetz begründet.
D1. Abschätzung anhand eines MAP-Kriteriums
Die nicht-stationäre Natur des zu analysierenden Signals gestattet es nicht, die üblichen Kriterien anzuwenden, die beispielsweise auf der Vielfalt der Werte gründet, welche der Autokorrelations-Matrix eigen sind, oder auf dem sogenannten Akaïke-Kriterium (abgekürzt AIC) oder auf anderen (wie dem MDL-Kriterium). Diese Kriterien sind asymptotisch insofern, als die vorgenommene Wahl umso wahrscheinlicher ist als die Anzahl von Abtastwerten hoch ist. Die Erfindung behält ein vorteilhafteres Kriterium im Auge, das darin besteht, eine Wahrscheinlichkeit a posteriori der Existenz des Modells maximal zu machen. Dies ist das MAP-Kriterium ("Maximum a posteriori"). Die zu minimierende Funktion kann durch die folgende Größe ausgedrückt werden:
wobei σ ^ die geschätzte Potenz des Rauschens ist, N die berücksichtigte Anzahl von Abtastwerten ist und p die Rangfolge des Modells ist.
Die 7A zeigt ein Beispiel von Abweichungen von dieser Größe (an der Ordinate aufgetragen) in Abhängigkeit von der Rangfolge 0 (an der Abszisse aufgetragen) für eine Sinuskomponente mit einem Signal-Rauschverhältnis von 20 dB mit 128 berücksichtigten Abtastwerten. Die dem Minimum entsprechende Rangfolge ist gleich 3. Als Beispiel gibt die 7B die Variationen der den Kriterien AIC und MDL entsprechenden Größen an. Es ist zu erkennen, dass die Wahl der Rangfolge dabei ungewisser ist.
D2. Einschätzung anhand eines Modul-Gesetzes
Ein Modus hat eine physikalische Realität, wenn das Modul des zugeordneten Pols sehr nahe an der Einheit liegt, während das Modul eines mit Rauschen verbundenen Modus in dem Kreis mit dem Radius Einheit zurückliegt. Es ist also im Prinzip möglich, die Pole zu unterscheiden, indem die Module der Pole sortiert werden. Die Unterscheidung ist umso einfacher, als das Signal-Rauschverhältnis hoch ist. Für ein gegebenes Verhältnis ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Null des Polynoms AR mit einem bestimmten Modul tatsächlich einem physikalischen Modus entspricht, eine Funktion des Wertes dieses Moduls. Es kann ein allgemeines Verteilungsgesetz der Module definiert werden, das es erlaubt, für einen gegebenen Wert des Signal-Rauschverhältnisses die Wahrscheinlichkeit der Existenz eines physikalischen Modus entsprechend dem von dem Modul herausgefundenen Wert einzuschätzen.
Der Anmelder hat herausgefunden, dass das Gesetz der Wahrscheinlichkeitsdichte einem Gesetz von folgendem Typ gehorcht:
wobei a und b zwei Parameter sind, und wobei Γ(a) die Gamma-Funktion ist, wobei x positiv ist. Die Wahrscheinlichkeit wird hierbei durch das Integral dieser Dichte ausgedrückt, die zwischen 0 und dem Wert des Moduls liegt, d. h.
Die Kurven der 8A und 8B zeigen die Evolution dieser Dichte jeweils für a = 1,9292 und b = 0,0108 mit einem Signal-Rauschverhältnis von 20 dB (8A), und für a = 1,5234 und b = 0,0034, mit einem Signal-Rauschverhältnis von 30 dB (8B). Die Ordinatenachse gibt den Wert der Wahrscheinlichkeitsdichte für jeden an der Abszisse aufgetragenen Wert des Moduls an.
Man kann eine Wahrscheinlichkeit eines falschen Alarms (Pfa) als die Wahrscheinlichkeit definieren, anzunehmen, dass ein Modus existiert, während das geschätzte Modul unter einem bestimmten Schwellenwert s_e liegt. Das Akzeptieren einer bestimmten Fehlerquote gestattet es, eine Wahrscheinlichkeit eines falschen Alarms festzulegen und daraus die Erfassungswahrscheinlichkeit eines Modus abzuleiten.
Die 9 gibt so die Variationen dieser Erfassungswahrscheinlichkeit Pd als Funktion der zulässigen Wahrscheinlichkeit eines falschen Alarms Pfa für verschiedene Werte des Signal-Rauschverhältnisses, ausgedrückt in dB (jeweils 10 dB, 20 dB und 30 dB von unten nach oben) an. Beispielsweise beträgt für ein Pfa von 1% (0,01 auf der Abszissenachse) und für ein Signal-Rauschverhältnis von 20 dB die theoretische Erfassungswahrscheinlichkeit etwa 88%. während die Erfahrung etwa 85% ergibt. Die Übereinstimmung zwischen Theorie und Praxis ist also zufriedenstellend, auch wenn das Modell die Wahrscheinlichkeit leicht überschätzt.
E) Berechnung der Wurzeln des Modells
Das erhaltene Polynom A(z) kann in eine Form gebracht werden, welche seine Nullen besser in Erscheinung treten lässt:
wobei die z_i = P_iexp(j2πf_i) die p Nullen sind. Die Lösungen werden in Zweierpaaren zugeordnet, da die Parameter a_k für einen physikalischen Prozess real sind. Die Berechnung der Nullen z_i kann durch die sogenannte Bairstow-Methode erfolgen. Es ist nicht notwendig, alle Nullen zu berechnen. Wenn die Verarbeitungszeit gezählt wird (mit der Echtzeit verbundener Zwang), kann man sich mit einigen Nullen begnügen.
Jede Null besitzt ein Modul ρ_i und eine Phase 2πf_i. Jede Null kann also durch einen Punkt in der komplexen Ebene dargestellt werden. Das Modul ρ_i des Pols z_i misst die Akutheit der Resonanz: je näher es an der Einheit liegt, umso deutlicher ist die Resonanz und umso höher ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Erscheinung mit einer physikalischen Realität handelt. Hingegen entspricht ein Modell ρ_i, das weit unter der Einheit liegt, entweder einem stark gedämpften physikalischen Modus oder einem Rauschen.
F) Berechnung der Komponenten und Fortschreibung
Die Phase θ_i einer Wurzel ist mit der Frequenz f_i des entsprechenden Modus verknüpft durch: θi = 2πfi/fe. (16)
Bei bekannter Phase der Wurzel erhält man also unmittelbar die Frequenz f_i:
Jeder Frequenzmodus f_i entspricht einer Sinuskomponente der Form V_isin(2πf_it + φ_i).
Es bleibt die Evolution der Grundfrequenzen in der Zeit zu verfolgen, um anschließend die Amplituden abzuschätzen. Da jeder Modus durch seine Frequenz und seine Energie definiert ist, kann er durch einen räumlichen Punkt mit drei Dimensionen Zeit-Frequenz-Energie dargestellt werden.
So zeigt 10A die repräsentativen Punkte von zwei Modi in einer Zeit-Frequenz-Ebene (t, f). Jeder Punkt entspricht einem Abtast-Augenblick. Es ist klar, dass eine Interpretationsschwierigkeit in der Zone auftaucht, in der sich die beiden Modi verbinden:

• Entweder wird angenommen, dass der höhere Modus zum niedrigeren Modus wird (und umgekehrt), da seine Frequenz stetig abnimmt (oder stetig wächst) (10B).
• Oder es wird angenommen, dass sich die Moden nicht kreuzen und dass der höhere Modus über dem niedrigeren Modus bleibt (10C).

Um abzukürzen, wird eine Funktion berechnet, welche die Verknüpfung zwischen jedem Punkt und den vorangehenden Punkten reflektiert, und es wird in jedem Augenblick geschätzt, was die wahrscheinlichste Verbindung ist, wobei die Verlaufsgeschichte des Modus berücksichtigt wird. Beispielsweise kann das Quadrat des Abstands zwischen einem in einem gegebenen Augenblick erhaltenen Punkt und den im vorangehenden Augenblick erhaltenen Punkten errechnet werden, und angenommen werden, dass die Gesamtheit der Punkte, die eine gewichtete Funktion dieser Quadrate minimiert, einem gleichen Modus entspricht.
Die Gewichtung kann exponentiell zu einem Vergessensfaktor sein, welcher die letzten erfassten Punkte privilegiert.
Um die Amplituden zu berechnen, werden die V_i so berechnet dass die folgende Summe der Quadratfehler minimal wird,:
wobei E_n der Wert des zu analysierenden Signal-Abtastwerts ist, und Visin(2πf ^i + φi) der Wert der Abtastung der Sinuskomponente ist. Hierzu können verschiedene bekannte Verfahren eingesetzt werden (Methode der kleineren Quadrate, Kalman-Methode etc. ...).
Als Variante werden nicht alle Berechnungen in jedem Abtastaugenblick vorgenommen, da man weiß, dass die A_i im vorhergehenden Augenblick bekannt sind. Es genügt, die Variationen der A_i zu berechnen, welche das Minimum der Quadratsumme der Fehler bewahren. Am Ende dieser Operation zur Fortschreibung und zur Abschätzung jeder der Amplituden ist man also im Besitz der Gesamtheit von Parameter (anders ausgedrückt, eines "Vektors"), der die Frequenzen f_i, die Module ρi und die Amplituden V_i der verschiedenen Komponenten des analysierten Signals aufweist. Diese Verarbeitung bezieht sich auf ein Nebenband. Die Analyse des Signals wird also schließlich erhalten, indem die für die verschiedenen Unterbänder erhaltenen Ergebnisse zusammengefasst werden.
Die 11 zeigt ein synoptisches Schema einer Analyseschaltung, welche das soeben beschriebene Verfahren umsetzt. Die funktionalen Blöcke dieser Schaltung werden durch die Buchstaben (A, B, C, ..., F) bezeichnet, welche den verschiedenen Arbeitsgängen (A, B, C, ..., F) des Verfahrens entsprechen. Auf diese Weise findet man sukzessive vor:

A) eine Schaltung A zum Abtasten des Signals mit einer Frequenz (fe), die mindestens gleich dem Doppelten der höchsten vorgesehenen Frequenz ist, und die erhaltenen Abtastwerte werden numeriert,
B) eine Schaltung B zum Zerlegen des abgetasteten und numerisierten Signals in Nebenbänder, die eine Batterie numerischer Filter mit aneinandergrenzenden Passbändern aufweist; in 11 umfasst diese Schaltung 8 numerische Filter, die 8 Nebenbändern B₁, B₂, B₃, ..., B₈ entsprechen;
C) für jedes Nebenband (beispielsweise für das Nebenband B₃) ein Signalmodellierungsmittel C, wobei dieses Mittel ein autoregressives Filter aufweist, dessen Transfer-Funktion 1/A(z) beträgt, wobei A(z) ein Polynom der komplexen Variablen z = exp(j2πf/f_e) ist, und dieses Mittel ein in der Zeit und der Rangfolge rekursives adaptives Verfahren einsetzt, und alle Polynome A(z) mit einem Grad, der zwischen 1 und einem vorab gewählten Maximalwert liegt, berechnet werden,
D) ein Mittel D zum Abschätzen der Rangfolge des Modells und zum Festhalten unter allen berechneten Polynomen desjenigen, das diese Rangfolge besitzt,
E) eine Rechenschaltung E, welche einen rekursiven Algorithmus einsetzt, der in der Lage ist, mindestens bestimmte komplexe Wurzeln des gewählten Polynoms zu berechnen,
F) Mittel F₁, F₂, um anhand der Phase der erhaltenen Wurzeln die entsprechenden Frequenzen zu bestimmen, und um ein Fortschreiben der Sinus-Komponenten auszuführen, wobei diese Mittel in einer Frequenz-Amplituden-Ebene das Quadrat der Distanz berechnen können, welche einen aktuellen, einer Komponente zu einem gegebenen Abtastaugenblick entsprechenden Punkt von den im vorangehenden Abtastaugenblick erhaltenen Punkten trennt, wobei dem aktuellen Punkt der vorhergehende Punkt zugeordnet wird, der dieses Quadrat minimiert, und die verschiedenen Punkte miteinander verknüpft werden, indem eine gewichtete Funktion dieser Quadrate minimiert wird, wobei diese Mittel in der Lage sind, anhand der Frequenzen die Amplituden der Sinus-Komponenten mit diesen Frequenzen zu suchen, und die den Quadratfehler zwischen der Summe dieser Komponenten und dem zu analysierenden Signal minimieren.

Alle diese Mittel C, D, E, F bilden einen Verarbeitungsweg V₁, ..., V₂, ..., V₈, wobei jeder die Amplitude der verschiedenen Sinuskomponenten in dem betreffenden Nebenband (B1, ..., B₈) wiedergibt. Die Ausgänge S₁, ..., S₈ dieser Wege können anschließend kombiniert werden, um die Ergebnisse zusammenzufassen.

Claims

Echtzeit-Frequenzanalyseverfahren eines nicht-stationären Signals, umfassend die folgenden Vorgänge: A) Abtasten des Signals mit einer Frequenz (fe), die zumindest gleich dem Doppelten der höchsten vorgesehenen Frequenz ist, und Numerieren der erhaltenen Abtastwerte, B) Zerlegen des abgetasteten und numerisierten Signals in Nebenbänder durch Anlegen der Abtastwerte an eine Batterie aus numerischen Filtern mit aneinandergrenzenden Passbändern, C) Modellieren des Signals in jedem Nebenband durch ein autoregressives Filter, dessen Übertragungsfunktion 1/A(z) beträgt, wobei A(z) ein Polynom der komplexen Variablen z = exp(j2πf/fe) ist, in dem ein adaptives, in der Zeit und der Rangfolge rekursives Verfahren eingesetzt wird, Berechnen aller Polynome A(z) mit einem zwischen 1 und einem vorher gewählten Maximalwert liegenden Grad, D) Schätzen der Rangfolge des Modells und Einbehalten desjenigen Polynoms aller berechneten Polynome, welches diese Rangfolge aufweist, E) Berechnen, durch einen rekursiven Algorithmus, mindestens bestimmter komplexer Wurzeln des gewählten Polynoms, F) Bestimmen, anhand der Phase der erhaltenen Wurzeln, der entsprechenden Frequenzen, und anhand der Frequenzen, des Quadrats des Abstands, welcher einen aktuellen Punkt, der einer Komponente in einem Abtastaugenblick entspricht, von den im vorangehenden Abtastaugenblick erhaltenen Punkten trennt, in Übereinstimmung bringen des aktuellen Punkts mit dem vorherigen Punkt, welcher dieses Quadrat minimiert, und Verbinden der verschiedenen Punkte, indem eine gewichtete Funktion dieser Quadrate minimiert wird, und Ermitteln der Amplituden der Sinus-Komponenten mit diesen Frequenzen, welche den Quadratfehler zwischen der Summe dieser Komponenten und dem zu analysierenden Signal minimieren, sowie Ausführen einer Fortschreibung der Sinus-Komponenten, indem in einer Frequenz-Amplituden-Ebene gerechnet wird.
Verfahren nach Anspruch 1, wobei nach dem Zerlegen des abgetasteten und in Nebenbänder numerisierten Signals jedes Nebenband durch Dezimieren der Abtastwerte in der Frequenz gespreizt wird.
Verfahren nach Anspruch 1, wobei das Signal in Nebenbänder durch eine orthogonale Filterbatterie mit kompaktem Träger (mit finiter Impulsantwort) zerlegt wird.
Verfahren nach Anspruch 1, wobei eine Filterstufenkaskade verwendet wird, die jeweils 2^k Filter aufweist, wobei k der Rang der Stufe ist.
Verfahren nach Anspruch 1, wobei das Signal durch Filter mit nicht-kompaktem Träger (mit infiniter Impulsantwort) in Nebenbänder zerlegt wird.
Verfahren nach Anspruch 5, wobei die Filter orthogonal sind.
Verfahren nach Anspruch 5, wobei nicht-orthogonale Filter, denen Hilbert-Filter folgen, verwendet werden.
Verfahren nach Anspruch 1, wobei beim Vorgang D die Rangfolge des Modells anhand eines Kriteriums geschätzt wird, das auf dem Maximum a posteriori (MAP) der Wahrscheinlichkeit der Existenz des Modells begründet ist.
Verfahren nach Anspruch 1, wobei beim Vorgang D anhand der Kenntnis der Module der Polynomwurzeln die Wahrscheinlichkeit der Existenz von Moden eingeschätzt wird, welche diesen Modulen in Bezug auf ein Verteilungsgesetz der vorab gewählten Wahrscheinlichkeit entsprechen, und anhand der Anzahl von wahrscheinlichen, auf diese Weise eingeschätzten Moden die Rangfolge des das zu analysierende Signal modellierenden Polynoms abgeleitet wird.
Verfahren nach Anspruch 9, wobei das Verteilungsgesetz ein Gamma-Gesetz mit zwei Parametern ist.
Schaltung zur Echtzeit-Frequenzanalyse eines nicht-stationären Signals für die Anwendung des Verfahrens nach Anspruch 1, mit: A) einer Abtastschaltung des Signals mit einer Frequenz (fe), die zumindest gleich dem Doppelten der höchsten vorgesehenen Frequenz ist, und Numerieren der erhaltenen Abtastwerte, B) einer Schaltung zum Zerlegen des abgetasteten und numerisierten Signals in Nebenbänder, umfassend eine Batterie aus numerischen Filtern mit aneinandergrenzenden Passbändern, C) für jedes Nebenband, einem Modellisiermittel des Signals, das ein autoregressives Filter aufweist, dessen Übertragungsfunktion 1/A(z) beträgt, wobei A(z) ein Polynom der komplexen Variablen z = exp(j2πf/fe) ist, wobei dieses Mittel ein adaptives, in der Zeit und der Rangfolge rekursives Verfahren einsetzt, und alle Polynome A(z) mit einem zwischen 1 und einem vorab gewählten Maximalwert liegenden Grad berechnen kann, D) einem Mittel zum Schätzen der Rangfolge des Modells und zum Einbehalten unter allen berechneten Polynome desjenigen, welches diese Rangfolge aufweist, E) einer Rechenschaltung, die einen rekursiven Algorithmus anwendet, der zumindest bestimmte komplexe Wurzeln des gewählten Polynoms berechnen kann, F) Mitteln zum Bestimmen, anhand der Phase der erhaltenen Wurzeln, der entsprechenden Frequenzen, um eine Fortschreibung der Sinus-Komponenten durchzuführen, wobei diese Mittel in einer Frequenz-Amplituden-Ebene das Quadrat des Abstands berechnen können, welcher einen aktuellen Punkt, der einer Komponente in einem Abtastaugenblick entspricht, von denjenigen Punkten trennt, die in dem Augenblick der vorangehenden Abtastung erhalten wurden, die den vorangehenden Punkt, welcher dieses Quadrat minimiert, mit dem aktuellen Punkt zur Übereinstimmung bringen, sowie die die verschiedenen Punkte miteinander verbinden, indem eine gewichtete Funktion dieser Quadrate minimiert wird, wobei diese Mittel anhand der Frequenzen die Amplituden derjenigen Sinus-Komponenten ermitteln können, welche diese Frequenzen aufweisen und den Quadratfehler zwischen der Summe dieser Komponenten und dem zu analysierenden Signal minimieren.