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Die
vorliegende Erfindung betrifft die Umwandlung von Dezimalzahlen
in Binärzahlen
und umgekehrt, insbesondere zur Anwendung in Rechensystemen und
dergleichen.
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Die
menschliche Mathematik beruht größtenteils
auf dem Zehnersystem, wahrscheinlich auf Grund der biologischen
Tatsache (bzw. dem Zufall), dass wir an beiden Händen fünf Finger haben. Im Gegensatz dazu
verwenden moderne digitale Rechnersysteme aus physikalischen Gründen für ihre interne
Verarbeitung Binärzahlen,
wobei eine Eins durch das Vorhandensein eines Signals und eine Null
durch die Abwesenheit eines Signals (oder umgekehrt) dargestellt
werden. Folglich werden einem Rechner die meisten numerischen Eingabedaten
in Dezimalform dargestellt. Diese müssen dann für die Verarbeitung in Binärzahlen
und danach für
die Ausgabe zurück
in Dezimalzahlen umgewandelt werden.
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Es
gibt mehrere bekannte Verfahren zur Darstellung von Dezimalzahlen
als Binärzahlen.
Wenn man lediglich ganze Zahlen in Betracht zieht, so gibt es eindeutig
eine direkte Abbildung einer ganzen Dezimalzahl auf ihre entsprechende
ganze Binärzahl
(zum Beispiel wird 235 zu 11101011). Geht man zu reellen Zahlen über, so
besteht der natürlichste
Ansatz möglicherweise
im Einfügen
eines "Dezimal"-Kommas in die Binärzahl, so
dass die erste Stelle rechts des "Dezimal"-Kommas
1/2 und die nte Stelle 1/2n darstellen. Ein Problem mit diesem Ansatz
besteht darin, dass 0,1 (als Dezimale) binär ein unendlicher periodischer
Bruch ist und folglich nicht genau dargestellt werden kann. Dies
führt zu
möglichen
Rundungsfehlern, die durch wiederholte Umwandlungen von Dezimalzahlen
zu Binärzahlen
und wieder zurück
verschlimmert werden können.
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Ein
leicht unterschiedlicher Ansatz besteht in der Erweiterung der ganzzahligen
Darstellung, um mit reellen Zahlen zurechtzukommen, indem die Stellung
eines Dezimalkommas unter Verwendung einer ganzzahligen Hochzahl
separat erfasst wird (dies kann eher als reelle Gleitkommazahl als
Festkommazahl angesehen werden). Somit könnte 235 je nach Wert der Hochzahl
23,5, 2,35, 0,235 usw. betragen. Mit diesem Ansatz wird zwar das
oben erwähnte
Problem des unendlichen periodischen Bruchs überwunden, aber er ist noch immer
nicht vollständig
zufriedenstellend. Die Umwandlung zwischen Binär- und Dezimalzahlen ist im
Hinblick auf den Hardwareaufbau nicht besonders einfach (solche
Einrichtungen werden aus Geschwindigkeitsgründen nahezu immer in Hardware
ausgeführt).
Der allgemeine Grund dafür
liegt darin, dass eine derartige Umwandlung eine Binäraddition
an Stelle einer einfachen bitweisen Verarbeitung benötigt. Ebenso
ist es bei Dezimalzahlen relativ gebräuchlich, Dezimalstellen für die Ausgabe
zu streichen oder diese zu runden, und diese Codierungstechnik bietet
keinen schnellen Weg zum Ausführen
einer derartigen Dezimalstellenstreichung oder Rundung (d. h., ohne
zunächst
eine Umwandlung einer kompletten Zahl durchzuführen). Wenn zum Beispiel 01111111
1,27 mit einer geeigneten Hochzahl darstellt, ergibt die Rundung
1,3, während
01111100, 1,24 darstellend, auf 1,2 gerundet wird.
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Ein
Weg zur Umgehung dieser Probleme besteht in der Verwendung von binär codierten
Dezimalen. Hier wird jede Dezimalziffer (0 bis 9) durch eine entsprechende
Binärzahl
mit vier Binärzeichen
codiert, so dass dann eine Folge von Dezimalziffern durch Verkettung
der Binärzahlen
mit vier Binärzeichen
dargestellt werden kann. Hierdurch wird eine schnelle Wiedergewinnung
jeder beliebigen Dezimalziffer unabhängig von den anderen ermöglicht,
woraus sich eine einfache Rundung und Dezimalstellenstreichung ergibt.
Dies wurde jedoch auf Kosten eines erheblichen Verlusts an Speichernutzungsgrad
erreicht. So ist es möglich,
mit vier Binärzeichen
die Ziffern 0 bis 15 statt nur 0 bis 9 speichern.
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Man
kann den Speichernutzungsgrad formal messen, indem man berücksichtigt,
dass die Anzahl von Ziffern Nr, die für das Speichern
einer ganzen Zahl X unter Verwendung der Basis r benötigt wird,
Nr ≈ logr (X) beträgt. Asymptotisch (d. h. für sehr hohe
Zahlen) beträgt
somit das Verhältnis
der für
das binäre
Speichern einer gegebenen Zahl verwendeten Ziffern im Vergleich
zum dezimalen Speichern dieser Zahl: N2/N10 ≈ log2(X)/log10(X)
≈ (log10(X)/log10(2))/log10(X)
≈ 1/log10(2) ≈ 3.322
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Da
das Verhältnis
zwischen der Anzahl von Binärziffern
und der Anzahl von Dezimalziffern einer binär codierten Dezimale 4 beträgt, ergibt
dies einen Nutzungsgrad von lediglich 3,322/4 = 0,83. Anders ausgedrückt, ein
32-Bit-System, das theoretisch 4.294.967.295 als eine ganze Binärzahl speichern
könnte,
kann nun lediglich 99.999.999 als ganze Dezimalzahl speichern, was
einer Verringerung hinsichtlich der Höchstzahl um einen Faktor von
40 entspricht.
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Um
diese Unzulänglichkeit
zu bewältigen,
wurde von Chen und Ho eine Art Hybridalgorithmus entwickelt (siehe
Communications of the ACM, Januar 1975, v18/1, Seiten 49 bis 52).
Dieser beruht auf der Tatsache, dass 210 =
1024 ≈ 103 (diese Entsprechung liegt natürlich sämtlichen
Rechnerspeichergrößen zu Grunde – somit
entsprechen 8 kByte in Wirklichkeit 8·1024 Byte und nicht 8000
Byte). Entsprechend nimmt der Chen-Ho-Algorithmus drei Dezimalziffern
und codiert diese dann in 10 Binärzeichen.
Hierdurch wird eine relative schnelle Wiedergewinnung der Dezimalziffern
an jeder beliebigen Speicherstelle ermöglicht, indem die entsprechenden
10 Binärzeichen
einfach decodiert werden, während
ein hoher (asymptotisch höchster)
Speicherwirkungsgrad von 3,322/(10/3) = 99,66% erhalten bleibt.
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Der
Chen-Ho-Algorithmus wird am Besten als ein Abbilden einer dezimal
codierten Binärzahl
mit 12 Binärzeichen,
die 3 jeweils durch 4 Binärzeichen
dargestellten Dezimalziffern entspricht, auf eine Binärzahl mit 10
Binärzeichen
verstanden. Somit kann die Eingabe für den Algorithmus als (abcd),
(efgh), (ijkl) geschrieben werden, wobei jede eingeklammerte Gruppe
mit vier Buchstaben der dezimal codierten Binärdarstellung der gleichwertigen
Dezimalziffer entspricht. Die 10 Ausgabebinärzeichen können dann als pqrstuvwxy angezeigt werden.
Die Einzelheiten bezüglich
des Abbildens der Eingabezeichenfolge auf die Ausgabezeichenfolge
sind in der untenstehenden Tabelle 1 dargelegt. Tabelle 1
| a | e | i | p | q | r | s | t | u | v | w | x | y |
| 0 | o | 0 | 0 | b | c | d | f | g | h | j | k | l |
| l | 0 | 0 | l | 0 | 0 | d | f | g | h | j | k | l |
| 0 | l | 0 | l | 0 | l | d | b | c | h | j | k | l |
| 0 | 0 | l | l | l | 0 | d | f | g | h | b | c | l |
| 0 | l | l | l | l | l | d | 0 | 0 | h | b | c | l |
| l | 0 | l | l | l | l | d | 0 | l | h | f | g | l |
| l | l | 0 | l | l | l | d | l | 0 | h | j | k | l |
| l | l | l | l | l | l | d | l | l | h | 0 | 0 | l |
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Der
Chen-Ho-Algorithmus beruht auf der Betrachtung, dass die Dezimalziffern
0 bis 7 in 3 Binärzeichen
codiert werden können;
diese Dezimalziffern werden deshalb als "niedrig" angesehen, während die Dezimalziffern 8
und 9 als "hoch" angesehen werden.
Wenn eine Dezimalziffer niedrig ist, ist ihr erstes Binärzeichen
(bei Darstellung als Binärziffer)
Null; wenn sie hoch ist, ist ihr erstes Binärzeichen Eins, aber die nächsten beiden
Binärzeichen
sind immer Null (da im Dezimalsystem keine Einzelzahlen über 9 benötigt werden).
Folglich bestimmt das erste Binärzeichen
für jede
binär codierte
Dezimale, ob die Zahl niedrig (Null) oder hoch (Eins) ist, und ist
als Anzeigebinärzeichen
bekannt. Für
drei Dezimalziffern gibt es insgesamt 23 =
8 Möglichkeiten,
was die Werte der drei Anzeigebinärzeichen betrifft, und diese
entsprechen den 8 Zeilen in Tabelle 1. Anders ausgedrückt, es
hängt von
den Werten der Anzeigebinärzeichen
ab, welche Zeile der Tabelle zum Ausführen des Abbildens verwendet
wird.
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Wenn
alle drei Dezimalziffern niedrig sind (51,2% der Möglichkeiten),
was der ersten Zeile in der Tabelle entspricht, wird dies durch
eine 0 in der Ausgabestelle p angegeben. Die restlichen 9 Binärzeichen
werden dann in drei Dreiergruppen aufgeteilt, die den Wert jeder
der Dezimalziffern (die alle in dem Bereich zwischen 0 und 7 liegen
müssen,
da alle Dezimalziffern niedrig sind) auf gewöhnliche Weise angeben.
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Wenn
nur eine der Dezimalziffern hoch ist (38,4% der Möglichkeiten),
wird p auf 1 gesetzt. Die nächsten
beiden Binärzeichen
(q und r) werden dann auf 00, 01, oder 10 gesetzt, um anzugeben,
welche der drei Dezimalziffern hoch ist (die erste, die zweite bzw.
die dritte). Die restlichen 7 Binärzeichen werden in zwei Dreiergruppen,
um die beiden niedrigen Ziffern zu codieren, plus 1 zusätzliches
Binärzeichen
zum Codieren der hohen Ziffer aufgeteilt. (Man wird verstehen, dass
der tatsächliche
Wert durch ein Einzelbinärzeichen
dargestellt werden kann, das dem letzten Binärzeichen im binär codierten
Digital entspricht – d.
h. entsprechend d, h oder l – da
es lediglich zwei Möglichkeiten
für eine
hohe Dezimale gibt, nämlich
8 oder 9).
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Wenn
zwei der Dezimalziffern hoch sind (9,6% der Möglichkeiten), werden p, q und
r alle auf 1 gesetzt. Zwei weitere Binärzeichen (t und u) werden dann
auf 00, 01, 10 gesetzt, um die Stelle der einen niedrigen Dezimalziffer
anzugeben (erste, zweite oder dritte Ziffer). Übrig bleiben die letzten 5
Binärzeichen,
von denen 3 Binärzeichen
zum Codieren der einen niedrigen Ziffer verwendet werden und jedes
der restlichen 2 Binärzeichen
einer der beiden hohen Ziffern zugeordnet wird.
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Schließlich werden
p, q, r, t und u alle auf 1 gesetzt, wenn alle drei Dezimalziffern
hoch sind (0,8% der Möglichkeiten).
Von den restlichen 5 Binärzeichen
werden drei zum Codieren je einer der drei hohen Ziffern verwendet,
und die restlichen zwei (w und x) werden auf Null gesetzt.
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Ein
entsprechender Decodierungsalgorithmus zur Umwandlung von Chen-Ho
zurück
in binär
codierte Dezimale kann man auf einfache Weise durch Umkehren der
Inhalte von Tabelle 1 erhalten, und er ist in ihrem Dokument dargelegt.
Man beachte, dass es hierfür
notwendig ist, zunächst
die für
das Codieren verwendete Zeile der Tabelle zu bestimmen. Dies kann
man dadurch ermitteln, indem man sich zunächst den Wert des Binärzeichens
p ansieht; und falls er 1 beträgt,
die Werte der Binärzeichen
q und r ansieht; und falls diese ebenfalls 1 betragen, die Werte
der Binärzeichen
t und u ansieht. Folglich können
das Binärzeichen
p als Hauptanzeigefeld und q, r, t und u als zweitrangige Anzeigefelder
angesehen werden.
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Chen
und Ho merken an, dass ihr Anzeigefeld als eine Form der Huffman-Codierung
angesehen werden kann, da es eine variable Länge hat, die für die wahrscheinlichsten
Datenwerte am kürzesten
ist, wobei unwahrscheinlichere Werte eine immer größere Länge haben.
Außerdem
werden die Werte des Anzeigefelds sorgfältig ausgewählt, so dass sie immer genau
voneinander unterschieden werden können. Insgesamt ist das Chen-Ho-Verfahren
jedoch keine Form von Huffman-Komprimierung, da es durch Streichen
der unbrauchbaren Binärzeichenkombinationen
von binär
codierten Dezimalen funktioniert. (Im Gegensatz hierzu ordnet die Huffman-Komprimierung gebräuchlichen
Symbolen einen kurzen Code und selteneren Symbolen einen längeren Code
zu, um im Hinblick auf die statistische Durchschnittscodelänge einen
Gesamtvorteil abzuleiten).
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Ein
wichtiger Vorteil des Chen-Ho-Algorithmus besteht darin, dass es
lediglich binäre
Verschiebungen, Einfügungen
und Löschungen
gibt, die auf dem Überprüfen der
3 Anzeigebinärzeichen
(a, e und i) beruhen. Außerdem
wird man verstehen, dass die Binärzeichenzuordnungen
außerhalb
der Anzeigefelder so gestaltet wurden, dass sie die Binärzeichenabbildung
so weit wie möglich
vereinfachen. Folglich werden die Binärzeichen d, h und l (die niedrigstwertigen
Binärzeichen
in jeder eingegebenen Dezimalziffer) immer direkt auf die Binärzeichen
s, v bzw. y abgebildet. Deshalb ist allgemein eine äußerst schnelle,
leistungsfähige
Realisierung des Codierens mit Hilfe von Hardware möglich.
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Man
beachte, dass nach dem Stand der Technik auch gewisse andere Schemen
zum Codieren von 3 Dezimalziffern in 10 Binärziffern bekannt sind. So beschreibt
US 3 618 047 ein Codierungssystem,
das auf sehr ähnlichen
Grundgedanken wie Chen-Ho beruht. Smith hat auch darauf hingewiesen
(siehe Communications of the ACM, August 1975, v18/8, Seite 463),
dass es möglich
wäre, alle
drei Dezimalziffern als eine ganze Zahl in dem Bereich von 0 bis
999 zu behandeln und dann in die entsprechenden ganzen Binärzahlen
umzuwandeln. Hierdurch wird die Umwandlung von Dezimal- in Binärziffern
und umgekehrt konzeptionell äußerst einfach.
Die in der Umwandlung von dezimal codierten Binärziffern in komprimierte Binärziffern
und wieder zurück beteiligten
Arbeitsschritte sind jedoch wesentlich komplexer als die für Chen-Ho
benötigten.
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Die
beiden oben erwähnten
Dokumente von Chen-Ho und Smith erörtern auch die Möglichkeit
des Codierens mit variabler Codewortlänge, oder anders ausgedrückt, N Dezimalziffern werden
als eine Binärzeichenfolge
mit variabler Länge
codiert. Es ist jedoch schwierig, derartige Schemen in gängige Rechnersysteme zu
integrieren, und sie werden hier nicht näher erläutert.
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Ein
Nachteil des oben beschriebenen Chen-Ho-Algorithmus besteht darin,
dass er lediglich in Bezug auf die Umwandlung von aus drei Dezimalziffern
bestehenden Gruppen in 10 Binärzeichen
funktioniert. Rechnerarchitekturen sind jedoch beinahe ausschließlich auf
Zweierpotenzen ausgelegt (16-Bit, 32-Bit, 64-Bit), und folglich
sind diese Größen in Wirklichkeit
nicht direkt durch 10 teilbar. Eine einfache Anwendung des oben
beschriebenen Chen-Ho-Algorithmus würde schlichtweg jegliche restliche
Binärzeichen
verschwenden. In einem 64-Bit-System könnten lediglich 6·3 = 18
Dezimalziffern unter Verwendung von 60 der 64 verfügbaren Binärzeichen
gespeichert werden. Während
dies im Vergleich zu den mit binär
codierten Dezimalen erreichbaren 16 Dezimalziffern selbstverständlich eine
Verbesserung darstellt, ging der praktische Speichernutzungsgrad hier
auf 3,322/(64/18) ≈ 0,93
zurück,
was erheblich unter dem theoretischen Höchstwert liegt.
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Tatsächlich beschreiben
sowohl Chen-Ho (in demselben Dokument wie oben verwiesen) und
US 3 618 047 ebenfalls einen
Algorithmus zum Codieren von 2 Dezimalziffern in 7 Binärzeichen,
das auf derselben Grundlage wie der 3-zu-10-Algorithmus beruht (Aufteilung gemäß hohen/niedrigen
Dezimalen). Des Weiteren wird in
US
3 618 047 ein Kombinieren des 3- und 2-Zifferalgorithmus
erwogen, und es wird vorgeschlagen, dass 11 Dezimalziffern in 3
Gruppen mit 3 Ziffern und 1 Gruppe mit 2 Ziffern aufgeteilt werden
könnten.
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Als
weiteres Beispiel könnte
ein Speicherplatz mit 64-Binärzeichen
in (5·10)
+ (2·7)
aufgeteilt werden, um ein Codieren von 19 Dezimalziffern zu ermöglichen;
man könnte
dieselbe Anzahl von Dezimalziffern auch durch Aufteilen des Speicherplatzes
mit 64-Binärzeichen
in (6·10)
+ (1·4)
erreichen, wobei die Codierung mit 4-Binärzeichen eine einfache Standard-Binär-Dezimal-Codierung
ist. Tatsächlich
ist 19 die größtmögliche Anzahl
von vollständigen
Dezimalziffern, die in 64 Binärzeichen
codiert werden können
(da 64·log10(2) = 19,27 – d. h. weniger als 20), und
somit sind beide dieser Ansätze
theoretisch optimal.
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Ein
derartiges Kombinieren verschiedener Codierungs-(und Decodierungs-)Muster
geht jedoch zu Lasten der Einfachheit, die eine der anfänglichen
Hauptanziehungspunkte des Chen-Ho-Algorithmus war.
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Entsprechend
stellt die vorliegende Erfindung ein Verfahren zur Umwandlung von
Dezimalziffern in Binärziffern
bereit, wobei das Verfahren die folgenden Schritte umfasst: Empfangen
von einer, zwei oder drei Dezimalziffern;
Codieren der Dezimalziffern
in zehn Binärzeichen
unter Verwendung eines Codierungsschemas derart, dass die ersten
sechs Binärzeichen
mit Nullen aufgefüllt
werden, wenn es eine Dezimalziffer gibt, und die ersten drei Binärzeichen
mit Nullen aufgefüllt
werden, wenn es zwei Dezimalziffern gibt, und kein Auffüllen mit
Nullen durchgeführt
wird, wenn es drei Dezimalziffern gibt; und
Ausgeben der zehn
Binärzeichen.
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Das
Anwenden des obigen Codierungsschemas gestattet die Verwendung eines
einzelnen leistungsfähigen
Schemas zum Codieren einer beliebigen Anzahl von Dezimalziffern.
Dasselbe Schema kann auch zum automatischen Codieren von einer,
zwei oder drei Dezimalziffern verwendet werden, wobei größere Zahlen von
Dezimalziffern in Dreiergruppen (plus einem oder zwei Restgliedern)
aufgeteilt werden. Man beachte, dass die empfangenen Dezimalziffern
typischerweise in der Form von binär codierten Dezimalzahlen vorliegen.
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In
einer bevorzugten Ausführungsform
können
bei Empfang von weniger als drei Dezimalziffern diese mit Nullen
aufgefüllt
werden, um eine einheitliche Eingabegröße mit drei Ziffern bereitzustellen
(bzw. zwölf
Binärzeichen,
falls eine binär
codierte Dezimaleingabe verwendet wird). Dies ist besonders dann
hilfreich, wenn das Codieren in fester Hardware ausgeführt wird;
im Gegensatz dazu kann ein derartiges Auffüllen nicht notwendig sein,
falls das Codieren mit Software zum Beispiel mit Hilfe einer Verweistabelle
ausgeführt
wird.
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Gemäß einer
bevorzugten Ausführungsform
der vorliegenden Erfindung enthalten die ausgegebenen zehn Binärzeichen
ein Hauptanzeigefeld. Im Gegensatz zu Systemen nach dem Stand der
Technik wie Chen-Ho befindet sich dieses Hauptanzeigefeld nicht
an vorderster Stelle der zehn Binärzeichen (d. h. in dem höchstwertigen
Binärzeichenwert),
sondern es befindet sich stattdessen innerhalb der Binärzeichenfolge.
In der unten beschriebenen bevorzugten Ausführung ist das Hauptanzeigefeld
das siebte Binärzeichen
in der Folge von zehn Binärzeichen
(man beachte, dass dies bedeutet, dass es sich außerhalb
der Reihe von Binärzeichenstellen
befindet, die Null werden müssen,
falls lediglich eine oder zwei Dezimalziffern codiert werden).
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Der
Zweck des Hauptanzeigefelds besteht darin, anzuzeigen, ob die drei
Dezimalziffern alle niedrig sind, wobei eine Dezimalziffer als niedrig
erachtet wird, wenn sie in dem Bereich von 0 bis 7 liegt, und als
hoch, wenn sie 8 oder 9 beträgt
(analog zu Chen-Ho).
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Wenn
die drei Dezimalziffern nicht alle niedrig sind, ist in den zehn
Binärzeichen
ein zweitrangiges Anzeigefeld mit zwei Binärzeichen enthalten. Dieses
Feld weist einen ersten Wert auf, um anzuzeigen, dass mehr als eine
der Dezimalziffern hoch ist, und einen zweiten, dritten und vierten
Wert, um anzuzeigen, welche der drei Dezimalziffern hoch ist, wenn
lediglich eine der Dezimalziffern hoch ist. In der bevorzugten Ausführungsform
umfassen die beiden Binärzeichen
der zweitrangigen Anzeige das achte und das neunte Binärzeichen der
zehn Binärzeichen
(wiederum außerhalb
der Reihe von Binärzeichenstellen,
die Null werden müssen,
falls lediglich eine oder zwei Dezimalziffern codiert werden).
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Wenn
zwei oder mehr der Dezimalziffern hoch sind, wird in den zehn Ausgabebinärzeichen
ein drittrangiges Anzeigefeld mit zwei weiteren Binärzeichen
bereitgestellt. Dieses Feld weist einen ersten Wert auf, um anzuzeigen,
dass alle drei der Dezimalziffern hoch sind, und einen zweiten,
dritten und vierten Wert, um anzuzeigen, welche der drei Dezimalziffern
niedrig ist, wenn lediglich eine der Dezimalziffern niedrig ist.
In der bevorzugten Ausführungsform
umfassen die beiden Binärzeichen
der drittrangigen Anzeige das vierte und fünfte Binärzeichen der zehn Binärzeichen.
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Die
Erfindung stellt ferner ein Verfahren zur Umwandlung von Binärziffern
in Dezimalziffern bereit (d. h. die Umwandlung in der umgekehrten
Richtung als die oben ausgeführte).
Dies beinhaltet die Schritte des: Empfangens von zehn Binärzeichen;
des Decodierens der zehn Binärzeichen
in drei Dezimalziffern durch Ausführen des oben beschriebenen
Codierens in umgekehrter Reihenfolge; und des Ausgebens der drei
Dezimalziffern. Der erste logische Schritt des Decodierens besteht
vorzugsweise darin, den Wert eines Anzeigefelds (des Hauptanzeigefelds)
zu untersuchen. Typischerweise werden die drei Dezimalziffern in
Form von binär
codierten Dezimalen ausgegeben (wiederum ist dies bei Hardware-Ausführungen
besonders wahrscheinlich).
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Die
Erfindung stellt weiterhin ein Rechnerprogramm zum Ausführen der
oben beschriebenen Verfahren bereit. Ein derartiges Programm kann
als Rechnerprogrammprodukt geliefert werden, das eine Reihe von Programmanweisungen
darstellt, die auf einen maschinenlesbaren Datenträger wie
eine CD-ROM, DVD oder Diskette codiert sind. Die Anweisungen werden
dann in den Rechner oder eine andere Zentralrechnereinheit ("host device") geladen, indem
von dem Datenträger
gelesen wird, wodurch die Zentralrechnereinheit die Verarbeitung
des Verfahrens ausführt.
Man beachte, dass derartige Anweisungen auch vorab in einen Rechner (z.
B. codiert auf einem Festspeicher (ROM)) geladen werden können oder über ein
Netzwerk wie das Internet, über
ein lokales Netzwerk (LAN), eine drahtlose Verbindung oder jede
andere geeignete Verbindungsform heruntergeladen werden können.
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Entsprechend
dem Codierungsverfahren der Erfindung wird ferner ein System zur
Umwandlung von Dezimalziffern in Binärziffern gemäß Anspruch
20 bereitgestellt.
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Entsprechend
dem Decodierungsverfahren der Erfindung wird ferner ein System zur
Umwandlung von Binärziffern
in Dezimalziffern gemäß Anspruch
21 bereitgestellt.
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Nun
wird eine bevorzugte Ausführungsform
der Erfindung lediglich beispielhaft ausführlich beschrieben.
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Das
Codierungsschema der vorliegenden Erfindung beruht auf den in Tabelle
2 dargelegten Binärzeichenabbildungen.
Die Darstellung hier gleicht der in Tabelle 1 verwendeten dahingehend,
dass angenommen wird, dass drei binär codierte Dezimalziffern (abcd),
(efgh), (ijkl) in eine Ausgabezeichenfolge mit zehn Bits (pqrstuvwxy)
codiert werden. Tabelle 2
| a | e | i | p | q | r | s | t | u | v | w | x | y |
| 0 | 0 | 0 | b | c | d | f | g | h | 0 | j | k | l |
| 0 | 0 | l | b | c | d | f | g | h | l | 0 | 0 | l |
| 0 | l | 0 | b | c | d | j | k | h | l | 0 | l | l |
| l | o | 0 | j | k | d | f | g | h | l | l | 0 | l |
| l | l | 0 | j | k | d | o | 0 | h | l | l | l | l |
| l | 0 | l | f | g | d | 0 | l | h | l | l | l | l |
| 0 | l | l | b | c | d | l | 0 | h | l | l | l | l |
| l | l | l | 0 | 0 | d | l | i | h | l | l | l | l |
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In
dem Codierungsschema aus Tabelle 1 wird die Komprimierung von einer
oder zwei Dezimalziffern in 4 bzw. 7 Binärzeichen als rechtsbündige Teilmenge
der 3-Ziffercodierung erreicht. Hierdurch wird es möglich, dass
eine beliebige Anzahl von Dezimalziffern wirksam codiert wird. Kurze
Dezimalzahlen können
durch Auffüllen
mit Nullbinärzeichen
einfach in ein längeres
Feld dekomprimiert werden.
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38
Dezimalziffern können
zum Beispiel in 128 Binärzeichen
(38 = 12·3
+ 1·2,
was 127 Binärzeichen entspricht
und ein Binärzeichen
für ein
Vorzeichen übrig
lässt)
codiert werden. In einer bevorzugten Ausführungsform werden Dezimalzahlen
mit 33 Ziffern plus Hochzahl unter Verwendung des Codierens gemäß der vorliegenden
Erfindung in einem Feld mit 128-Binärzeichen gespeichert (NB: einige
Sprachen wie COBOL erfordern ausdrücklich eine 32-Ziffern-Arithmetik,
und somit ist die Fähigkeit,
dass diese in Register mit 128 Binärzeichen passen, besonders
nützlich).
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Man
wird verstehen, dass es viele Abwandlungen der Binärzeichenabbildungen
nach Tabelle 2 gibt, bei denen diese Eigenschaften aufrechterhalten
bleiben. Es sollen drei Hauptkategorien betrachtet werden:
- (a) überflüssige Binärzeichen:
in Anbetracht der Tatsache, dass 10 Binärzeichen 1024 darstellen können und
man für
die 3 Dezimalziffern lediglich 1000 Möglichkeiten benötigt, sind
einige Binärkombinationen
tatsächlich überflüssig und
somit austauschbar. In der letzten Reihe der Tabelle wurden die
Werte der Binärzeichen
a und b zum Beispiel willkürlich
auf Null gesetzt, wobei sie aber jeden beliebigen Wert haben könnten, ohne
den Code zu beeinflussen (man beachte, dass man hier keine führenden
Nullen benötigt,
da sich die letzte Reihe lediglich auf Situationen bezieht, in denen
alle drei Dezimalziffern hoch sind, d. h. 8 oder 9).
- (b) Binärzeichenumkehrungen:
es ist zweifellos möglich,
einige Binärzeichenabbildungen
umzukehren – zum
Beispiel könnte
das Binärzeichen
y an Stelle eines direkten Abbildens entweder durchgängig oder
lediglich für
ausgewählte
Reihen das Inverse des Bit 1 sein. Gleichermaßen könnten einige Elemente der Anzeigefelder
ebenso im Vergleich zu den gezeigten Werten durchgängig umgekehrt
werden wie zum Beispiel das Hauptanzeigefeld (v) oder die zweitrangigen
Anzeigebinärzeichen
w und x (diese müssten
als Paar umgekehrt werden). Man beachte, dass die Werte der Binärzeichen
v, w und x niemals ein Teil von führenden Nullen sind, wenn weniger
als drei Dezimalwerte abgebildet werden, da sie alle innerhalb der
letzten vier Stellen liegen.
- (c) Binärzeichen-Neuanordnungen:
man betrachte die erste Zeile der Tabelle – es wäre zweifellos möglich, die
Binärzeichen
j, k und l in jedem beliebigen der Binärzeichen w, x und y zu speichern,
ohne die führenden Nullen
bei weniger als drei Dezimalziffern zu beeinträchtigen (z. B. wenn j, k und
l als Binärzeichen
x, w bzw. y abgebildet werden). Tatsächlich könnten auch komplexere Binärzeichenabbildungen,
die irgendeine Kombinationslogik verwenden, eingesetzt werden.
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Man
wird folglich erkennen, dass der Fachmann ausgehend von den obigen
Grundgedanken und durch mögliches
Kombinieren der verschiedenen Variationskategorien oder durch Anwenden
anderer Grundgedanken eine Vielfalt von anderen Abbildungen aus
Tabelle 2 entwickeln kann, die die Fähigkeit aufweisen, eine, zwei
oder mehrere Dezimalziffern gleichzeitig zu handhaben. Anders ausgedrückt, das
bestimmte in Tabelle 2 gezeigte Codierungsschema ist nicht einmalig,
sondern veranschaulicht lediglich die Erfindung.
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Trotzdem
wird die Abbildung aus Tabelle 2 in der bevorzugten Ausführungsform
angewendet, da sie zwei zusätzliche
Vorteile hat. Erstens sind die Binärzeichenabbildungen relativ
einfach (z. B. wird l immer direkt auf y abgebildet), wodurch die Komplexität und die
Kosten der Hardware verringert werden. Zweitens werden alle Zahlen
von 0 bis 79, die lediglich die ersten beiden Zeilen der Tabelle
2 anwenden, tatsächlich
direkt von ihrem binär
codierten Dezimalwert abgebildet, indem die führenden Nullen einfach so weggelassen
werden, dass sich die zwölf
Binärzeichen
auf zehn verringern (im Gegensatz dazu stellt Chen-Ho eine derartige
direkte Abbildung lediglich für
Zahlen bis 5 bereit). Folglich können
Umwandlungen von kleinen Zahlen (die tendenziell äußerst gebräuchlich
sind) besonders einfach ausgeführt
werden.
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Das
entsprechende Decodierungsschema zum Abbilden von der Codierung
aus Tabelle 2 zurück
auf binär
codierte Dezimale ist in der untenstehenden Tabelle 3 gezeigt (wobei "." für „beliebig" steht): Tabelle 3
| v | w | x | s | t | a | b | c | d | e | f | g | h | i | j | k | l |
| 0 | . | . | . | . | 0 | p | q | r | 0 | s | t | u | 0 | w | x | y |
| l | 0 | 0 | . | . | 0 | p | q | r | 0 | s | t | u | l | 0 | 0 | y |
| l | 0 | l | . | . | 0 | p | q | r | l | 0 | 0 | u | 0 | s | t | y |
| l | l | 0 | . | . | l | 0 | 0 | r | 0 | s | t | u | 0 | p | q | y |
| l | l | l | 0 | 0 | l | 0 | 0 | r | l | 0 | 0 | u | 0 | p | q | y |
| l | l | l | 0 | l | l | 0 | 0 | r | 0 | p | q | u | l | 0 | 0 | y |
| l | l | l | l | 0 | 0 | p | q | r | l | 0 | 0 | u | l | 0 | 0 | y |
| l | l | l | l | l | l | 0 | o | r | l | 0 | 0 | u | l | 0 | 0 | y |
-
Die
logischen Verknüpfungen
zum Ableiten der Ausgabebinärzeichen
gemäß der obigen
Abbildung aus Tabelle 2 können
wie folgt ausgedrückt
werden (mit "&" = UND, "|" = ODER, und "\" =
NICHT):
p = (b&\a)|(j&a&\i)|(f&a&\e&i)
q = (c&\a)|(k&a&\i)|(g&a&\e&i)
r = d
s
= (f&\e&\(a&i))|(j&(\a&e&\i))|(e&i)
t = (g&\e&\(a&i))|(k&(\&e&\i))|(a&i)
u = h
v
= a|e|i
w = a|(e&i)|(j&\e&\i)
x = e|(a&i)|(k&\a&\i)
y = l
-
Die
Decodierungsschritte zur Rückumwandlung
von den 10 Binärzeichen
(pqrstuvwxy) in gewöhnliche binär codierte
Dezimale (abcd), (efgh), (ijkl) – d. h. die Abbildung aus Tabelle
3 – können wie
folgt ausgeführt werden.
a
= (v&w)&(\x|\s(s&t))
b = p&(\v|\w(v&w&x&s&\t)
c = q&(\v|\w(v&w&x&s&\t))
d =
r
e = v&((\w&x)|(w&x&(s|\t)))
f
= (s&(\v|(v&\x)))|(p&v&w&x&\s&t)
g = (t&(\|(v&\x)))|(q&v&w&x&\s&t)
h = u
i
= v&((\w&\x)|(w&x&(s|t)))
j
= (w&\v)|(s&v&\w&x)|(p&v&w&(\x|(\s&\t)))
k =
(x&\v)|(t&v&\w&x)|(q&v&w&(\x|(\s&\t)))
l =
y
-
Man
wird verstehen, dass diese Ausdrücke
zum Codieren und Decodieren unter Verwendung gewöhnlicher Boole'schen Techniken in
verschiedene logische Entsprechungen abgewandelt werden können. Man wird
ebenfalls erkennen, dass die Ausdrucke in Wirklichkeit einen Hardware-Codierer
bzw. -Decodierer festlegen, der entsprechende Gatter umfasst, die
wie festgelegt miteinander und mit Eingängen/Ausgängen verbunden sind. Bei einer
Realisierung auf der Grundlage von Software kann es schneller sein,
aus obigen Abbildungen eine Verweistabelle (z. B. eine Hash-Tabelle)
zu erzeugen. Man beachte, dass diese Verweistabelle zweifellos eine
direkte Dezimal-Binär-Codierung
anwenden könnte
(d. h. ohne eine binär
codierte Dezimale als Zwischenschritt zu verwenden). Grundsätzlich könnte man
ebenso Hardware entwerfen, um dies durchzuführen, obwohl dies in Anbetracht
der Komplexität
der Entwicklung von Hardware zur direkten Verarbeitung von Dezimalzahlen
gegebenenfalls nicht lohnend ist (anders ausgedrückt, die Zwischenumwandlung
in binär
codierte Dezimale ist allgemein vorteilhaft für Realisierungen mit Hardware).
Man wird ebenfalls verstehen, dass je nach Umstand kombinierte Software/Hardware-Realisierungen
wünschenswert
sein können,
zum Beispiel eine Software-Umwandlung von Dezimalen in binär codierte
Dezimale, gefolgt von einer Hardwareumwandlung gemäß der in
Tabelle 2 ausführlich
dargelegten Komprimierung.
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Ein
Beispiel der Anwendung der vorliegenden Erfindung wäre in einer
Datenbank, wobei sie so aufgebaut sein könnte, dass sie Dezimalziffern
in deren echter Form belässt
(insbesondere, wenn man bedenkt, dass diese manchmal an Stelle von
einfachen numerischen Mengenangaben Kontonummern usw. darstellen können). Hier
könnte
das Codieren dazu verwendet werden, um Daten wirksam zu speichern
(d. h., so wenig Speicherplatz wie möglich zu verwenden), während ihre
dezimale Eigenschaft aufrechterhalten wird. Unter diesen Umständen wird
das Codieren ausgeführt,
wenn die Datenbank eine Datendatei zum Speichern ausgibt, und das
Decodieren wird ausgeführt,
wenn die Datenbank für
die Verarbeitung in einer gespeicherten Datendatei liest.
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Das
Decodieren für
die Verarbeitung kann entweder durch Software, z. B. durch eine
Bibliothek mit C-Routinen, ausgeführt werden oder durch eine
geeignete Hardwarestruktur. Typischerweise würden die Zahlen nach der Verarbeitung,
wie hierin beschrieben, zum nachfolgenden Speichern neu codiert
werden. Wenn Hardware verwendet wird, würde die decodierte Zahl lediglich
allgemein für
den spezifischen durchzuführenden
Rechenvorgang benötigt
werden. Anders ausgedrückt,
die komprimierte Form aus einem Speicher würde in ein Register eingelesen
und muss nur für
den entsprechenden Rechenvorgang (z. B. "addieren") decodiert werden; das Ergebnis dieses
Vorgangs kann dann als Teil des Schreibens des Ergebnisses zurück in ein
Register neu codiert werden.
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Ein
weiteres Beispiel der Anwendung der vorliegenden Erfindung besteht
im Bereitstellen eines maschinenunabhängigen Codierens von Dezimalzahlen.
Dies kann dann zum Übertragen
derartiger Zahlen zwischen Maschinen verwendet werden. Eine in gewisser
Weise ähnliche
Anwendung wäre
im Internet oder World Wide Web, wo es wünschenswert ist, die Verarbeitung
auf einer Vielfalt von Client-Vorrichtungen auszuführen. Ein
Beispiel hier wäre
das Verarbeiten von Dezimalzahlen im XML-Format, die als Teil von HTML-Seiten
enthalten sind.
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Man
beachte, dass man das Codierungsschema der Erfindung auf einen sehr
großen
Bereich von Einheiten anwenden kann. Dazu gehören nicht nur Rechner, die
größenmäßig von
Palmtops bis zu Arbeitsplatzrechnern ("personal computers"), Arbeitsplatzsystemen ("workstations"), Servern und Großrechnern
("mainframes") reichen, sondern
auch andere Vorrichtungen (typischerweise auf der Grundlage von
Mikroprozessoren oder DSPs), die möglicherweise Dezimalrechenoperationen
wie zum Beispiel Verkaufsdatenstationen ("point of sale terminals"), Automobilnavigationssysteme,
elektronische Assistenten ("personal
digital assistants")
und so weiter ausführen sollen.
Man beachte ebenfalls, dass es einige spezialisierte Einheiten oder
Anwendungen (insbesondere zur Dateneingabe oder -ausgabe) geben
kann, die entweder das Codieren oder das Decodieren gemäß der vorliegenden
Erfindung ausführen,
nicht jedoch beides.
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Zusammengefasst
hat das hierin beschriebene Codierungsschema somit einen großen Anwendungsbereich
und kann in Hardware, Software oder einer Kombination aus beidem
realisiert werden. Ein bevorzugtes Format für die Codierung ist in Tabelle
2 dargelegt, aber man wird verstehen, dass dies lediglich als Beispiel dient.
Dem Fachmann werden diverse Änderungen
der oben beschriebenen, genauen Ausführungen bekannt sein, die innerhalb
des Umfangs der Erfindung, die in den beigefügten Ansprüchen definiert ist, fallen.