DE4227112A1 - Verfahren zur Bestimmung der Komponenten von Fourierspektren für die Technische Diagnostik - Google Patents

Description

In der Technischen Diagnostik hat sich als meistgebrauchtes Mit­ tel zur Signalanalyse die Spektralanalyse der gewonnenen Zeitsig­ nale und hierbei das Amplitudenspektrum ergeben.

Aus dem Amplitudenspektrum herausgegriffene Komponenten können relativ einfach bestimmten Zuständen des untersuchten Aggregats bzw. dessen Schädigung zugeordnet werden, wobei die Amplitude oft als Schädigungsmaß benutzt wird.

Problematisch ist die Auswertung von Amplitudenspektren dadurch, daß Unsicherheiten bezüglich

• - der Relevanz der einzelnen Komponenten - sind es echte Kompo­ nenten ?
• - der Exaktheit der einzelnen Komponenten - treffen die Amplitu­ den- und Frequenzaussagen zu, wie sind steil bzw. flacher an­ steigende Spitzen zu bewerten ?,
• - der Zusammengehörigen - welche Form haben die im Spektrum aus­ gewiesenen Signalanteile ?

bestehen.

Die Spektrenauswertung wird bislang vom Fachmann mit seinem un­ terschiedlichen Kenntnisstand vorgenommen.

In einigen Fällen gibt es vereinfachte Mittel, mit denen versucht wird, einigen der angeführten Probleme zu begegnen, wie z. B. mit den in Brüel & Kjaer Fourieranalysatoren implementierten Verfah­ ren

• - Anzeige der Stelle, wo bei vorgegebener Grundwelle Harmonische auffindbar sein können,
• - Vergleich der Amplituden im Spektrum durch Referenzmasken.

Der Patentliteratur sind verschiedene Lösungen zur Spektrenaus­ wertung zu entnehmen, von denen die nächstliegenden angegeben werden sollen:

Sottek, R.: Iteratives Verfahren zur Extrapolation und hochauf­ lösenden Spektralanalyse von Signalen.

DE-OS-41 23 983 A1, 19.7.1991.

Hier wird ein Verfahren herausgearbeitet mit dem aus einem kur­ zen abgetasteten Zeitsignal ein identisches längeres Zeitsignal erzeugt (extrapoliert) werden soll, um dann bei gleicher Abtast­ frequenz, aber größerer Zahl Abtastwerte die Frequenzauflösung zu erhöhen.

Dazu waren die Probleme der Extrapolation und der Berechnung der Signalkomponenten zu lösen.

Die Signalkomponenten, aus denen das Zeitsignal rekonstruiert wird, werden durch Fensterfunktionen ermittelt, die bekannterma­ ßen die Eigenschaft besitzen, sehr kleine neben sehr großen Spek­ tralkomponenten sichtbar werden zu lassen und auf der Bedämpfung des Lattenzauneffekts (Leakage) beruhen.

Die Signalkomponenten aus dem Hanninggewichteten Spektrum werden nach Signifikanz ausgewählt.

Der Schritt der Extrapolation ist nicht notwendig, da aus einem vorhandenen kurzen Zeitsignal die Komponenten des Signals berech­ net werden und mit den berechneten Komponenten das Zeitsignal in verlängerter Form rekonstruiert wird. Dieses verlängerte Zeitsig­ nal enthält die gleichen Informationen wie das kurze, womit die Vergrößerung der Frequenzauflösung nicht eintritt.

Ley, A. J. B.; Sarquiz, P.: Verfahren und Schaltungsanordnung für die Analyse periodischer Wellenformen.

DE-OS-30 01 499 A1, 17.1.1980.

Dort wird ein Oberwellenanalyseverfahren für das Elektroenergie­ netz dargestellt, bei dem die Oberwellen in einem Meßdurchgang mit Hilfe der Fourieranalyse ermittelt werden.

Dazu wird die Abtastfrequenz mit der Netzgrundfrequenz synchroni­ siert, was die Folge hat, daß der bekannte Lattenzauneffekt für die Oberwellenanteile vermieden wird und sie exakt ermittelbar werden.

Für alle anderen Frequenzanteile, die nicht mit der Netzfrequenz synchron sind, versagt die Exaktheit.

Reynolds, K.: Method and Apparatus for Wave Analysis and Event Recognition.

WO 91/19919, 18.6.1991

Die dort vorgestellte Methode hat die Aufgabe Tonsignale in be­ stimmte Formen, in sogenannten Frequenz-, Amplituden- und Zeit­ spektren zu zerlegen, um sie für rechentechnische Untersuchungen vergleichbar zu gestalten. Damit liegt der Schwerpunkt der Erfin­ dung auf dem Aufbau und der Verwaltung einer Datenbasis und nicht in der Erzeugung besserer Signalanalyseverfahren.

An Signalanalyseverfahren wird die Schnelle Fouriertransformation (FFT) mit der Hanningwichtung benutzt. Relevante Spitzen in den Fourierspektren werden durch Vergleiche und nicht durch arithme­ tische Rechenoperationen herausgezogen.

Mit den beschriebenen Lösungen werden die eingangs genannten Un­ sicherheiten nicht oder nur teilweise beseitigt.

Anliegen der Erfindung

Es wird ein Verfahren gesucht, das die im Amplitudenspektren der Fourieranalyse enthaltenen Signalkomponenten exakt ausweist, d. h. automatisch die Parameter der Komponenten des Spektrums ausgibt, um die Spektralanalysetechnik zu verbessern und damit beschäftig­ te Experten abzulösen.

Die Aufgabe wird dadurch gelöst, daß das Amplitudenspektrum als Summe von sinusförmigen Einzelkomponenten aufgefaßt wird und fol­ gende Verfahrenschritte absolviert werden:

• a) In einem ersten Verfahren der Suche unbeeinflußter Spektral­ komponenten werden die Spitzen des mit der bekannten Schnellen Fouriertransformation (FFT) berechnete Amplitudenspektren von der größten beginnend herausgesucht und beginnend von der größ­ ten Spitze folgender Algorithmus abgearbeitet:
  Mit Hilfe der Diskreten Fouriertransformation, die den Vorteil hat, daß beliebige Frequenzanteile ausgerechnet werden können, wird neben der durch die FFT berechneten Spitze das tatsächli­ che Maximum iterativ berechnet, womit man die Amplitude und Frequenz dieser Komponente erhält. Die erhaltene Frequenz und Amplitude wird in eine Berechnungsvorschrift für die Fourier­ transformierte eines Sinussignals eingesetzt und neben dem Maxi­ mum die Werte berechnet, die auch durch die FFT berechnet wur­ den. Ist die Differenz, der durch die Fouriertransformierte ei­ nes Sinussignals berechneten Werte mit den zugehörigen Werten der FFT, kleiner als eine vorgegebene Fehlerschranke gilt die Komponente als exakt berechnet und kann für weitere Arbeiten herausgegriffen werden.
• b) In einem zweiten Verfahren der Näherung des Spektrums durch die sinusförmigen Einzelkomponenten werden alle Spitzen eines mit der FFT berechneten Spektrums herausgesucht. Die dazugehö­ rigen Amplituden und Frequenzen sind Ausgangsgrundlage für eine anschließende iterative Näherung des Amplitudenspektrums durch die sinusförmigen Einzelkomponenten. Ein dritter iterativer Schritt beseitigt die Überlagerungseinflüsse durch den Latten­ zauneffekt.
  Die gesuchten Parameter des können dem Ergebnis sofort mit der exakten Frequenz- und Amplitudenaussage entnommen werden. Für den zweiten und dritten Schritt werden die Algorithmen zur Berechnung der DFT und der Fouriertransformierten eines Sinus­ signals benutzt.

Die Erfindung ist überall dort anwendbar wo Schwingungen unter­ sucht werden, d. h. in

• - der Technischen Diagnostik
• - der Meßtechnik
• - der Tontechnik

und erlaubt die Schaffung neuartiger Forieranalysatoren.

Es wird vorausgesetzt, daß sich jedes zu analysierende Schwin­ gungssignal (Zeitsignal) aus der additiven Überlagerung sinusför­ miger Einzelkomponenten ergibt.

Diese Aussage ist bedingt richtig für beliebige Signale. Sind die Signale entsprechend P 4219372.9, 15.6.1992 in einen stochasti­ schen und determinierten Anteil zerlegt, läßt sich diese Voraus­ setzung für den determinierten Anteil realisieren.

D.h. das Schwingungssignal ergibt sich zu

Es folgt für die diskrete Fouriertransformierte

und mit ω=2π/T_Ma, a beliebig reell:

D.h., wenn sich das Schwingungssignal additiv aus sinusförmigen Einzelsignalen zusammensetzt, gilt das gleiche für das Spektrum der Fouriertransformierten, das sich additiv aus den Einzelspek­ tren der Einzelsignale zusammenfügt.

Die diskrete Fouriertransformierte der Sinusschwingung

u_s=û_s sin (ω_st + σ_s), (5)

ω_s=2π/T_Ms, s beliebig reell

lautet nach Bittner, H.: Numerische Effekte der Diskreten Fourier­ transformation. messen steuern regeln, Berlin 33 (1990) 11, 5.496 . . .501

und der Betrag davon

Mit Gleichung (6) ist das komplexe Spektrum des Sinussignals be­ rechenbar, während mit Gleichung (7) das Amplitudenspektrum be­ rechnet wird.

Diese beiden Gleichungen sind mit

den Diskreten Fouriertransformierten des gesamten zu untersuchen­ den Schwingungssignals u(t), Grundlagen für die Separation der sinusförmigen Einzelkomponenten.

Verfahren der Suche unbeeinflußter Spektralkomponenten

Die Begründung für dieses Verfahren liefert Fig. 1, die das Hüllkurvenspektrum eines geschädigten Wälzlagers zeigt.

Die dargestellten Werte wurden mit (9), siehe Sturm, A. Billhardt, S.: Wälzlagerdiagnostik. Maschinenbautechnik, Berlin 39 (1990) 7, 5.293 . . . 298 berechnet.

Neben einem relativ gleichmäßigen "Grundrauschen" treten im Am­ plitudenspektrum in größeren Abständen markante Spitzen auf. Die Höhen der Spitzen sind ein Maß für die Schädigungsgröße wäh­ rend die Frequenz das geschädigte Element, in diesem Fall ein Pitting auf dem Außenring ausweist.

Da zur Weiterverarbeitung nur die Amplituden und Frequenzen eini­ ger weniger Spitzen ausreichen, ist es wenig sinnvoll, das Ge­ samtspektrum durch die Summe der sinusförmigen Einzelkomponenten zu nähern.

Zur Bestimmung der Amplitude und Frequenz wird folgender Algo­ rithmus gewählt:

• a) Bestimmung des Amplitudenspektrums | F_d(a) | , a = 0, 1, 2, 3 . . . mit (9)
• b) Suche der Maxima durch Vergleich | F_d(a-1) < | F_d(a) | < | F_d(a+1) | → | F_dmax(a_p) |
• c) Suche des größten Maximums max ( | F_dmax(a_p) | )
• d) Bestimmung des danebenliegenden größeren | F_dmax(a_p-1) | ≷ | F_dmax (a_p+1) | mit darauffolgender Festlegung des Rechenbereiches [a_p, a_p±1] in dem das Maximum liegen wird.
• e) Bestimmung neuer a-Parameter in [a_p, a_p±1] mit a_y : = a_p ± y(a_p-a_p±1)/x
  x: Anzahl der Schritte im Intervall [a_p, a_p±1], 0 y x
• f) Suche des größten max( | F_dmax(a_y) | ), bei Vergleich mit dem größten aus der vorangegangene Maximumbestimmung bei sukzes­ siver Einengung des Bereiches, bis das folgende Maximum vom vorgehenden nicht mehr abweicht.
• g) Festhalten der gefundenen Amplitude und Frequenz
  | F_dmax(a_y) | û_sy, a_yf_sys_y
• h) Berechnung der Stellen | F_dmax(sin(s),a_p-1) | , | F_dmax (sin(s), a_p+1) | mit (7) und den Werten û_sy, s_y
• i) Überprüfung, ob | | F_dmax(sin(s), a_p-1) |-| F_dmax (a_p-1) | | < µ und | | F_dmax(sin(s), a_p+1) |-| F_dmax(a_p+1) | | < µ einer vorgegebenen Fehlerschranke ist, zur Bestätigung, daß die errechnete Spitze (Signalkomponente) nur unwesentlich von seitlichen Frequenzkomponenten beeinflußt wird
• j) Anwendung des Algorithmus auf das nächstkleinere Maximum

Das Vorgehen in e), der immer weiteren Einengung des Rechenbe­ reichs mit konstanter Schrittweite, wurde einem automatisch ablaufenden iterativen Verfahren zur Bestimmung des Maximums vor­ gezogen, um den Einfluß überlagerter kleinerer Schwingungen, die mehrere Maxima in [a_i,a_i±1] erzeugen können, auszuschalten.

Das Verfahren ist in Abhängigkeit von der Anzahl der zu untersu­ chenden Spitzen rechenzeitintensiv.

Es ist u. a. günstig anwendbar, wenn ein Spektrum von einer kleinen Anzahl Frequenzkomponenten, z. B. Harmonische des drehfrequenten Anteils, dominiert wird, die aus dem Spektrum zu entfernen sind, um daneben liegende und kleinere Komponenten besser sichtbar zu gestalten.

Näherung des Amplitudenspektrums durch die sinusförmigen Einzel­ komponenten

Bei einer großen Anzahl von Amplitudenspektren, siehe z. B. Fig. 2, treten einzelne Frequenzanteile nicht so markant hervor, sondern es erscheint ein Bild mit vielen Spitzen.

Fig. 2 zeigt das Amplitudenspektrum des Zeitsignals eines Wälz­ lagers.

Eine Berechnung der heraustretenden Komponenten mit dem vorge­ nannten Verfahren wäre unzweckmäßig, da starke Überlagerungen be­ nachbarter Anteile zu erwarten sind und die Prüfung bezüglich der Fehlerschranke µ zum Verwerfen vieler Anteile führen wird. Der Rechenzeitaufwand wird sehr hoch.

Das Spektrum wird durch die Summe der sinusförmigen Einzelkompo­ nenten genähert.

Die Näherung erfolgt in 3 Verfahrensschritten:

• a) Suche der Maxima und Festlegung der Ausgangsbedingungen Die Maxima werden wie beim vorgenannten Verfahren durch Prü­ fung | F_d(a-1) < | < | F_d(a+1) | → | F_dmax(a_p) |des mit (9) gewonnene Amplitudenspektrums ermittelt.
  Anschließend werden neben den a_p neue a mit Δa=(a_p+1-a_p)/2, allgemein Δa=1/2, gebildet und die Funktionswerte
  | F_dmax(a_{p+ Δ a}) | , | F_dmax(a_{p- Δ a}) berechnet, um Startwerte für den folgenden Verfahrensschritt nach folgender Regel zu ermitteln: | F_d(a_{p- Δ a}) | = | F_d(a_{p+ Δ a}) | → s_p=a_p | F_d(a_{p- Δ a}) | < | F_d(a_{p+ Δ a}) | → s_p ∈ [a_{p- Δ a}, a_p] | F_d(a_{p- Δ a}) | < | F_d(a_{p+ Δ a}) | → s_p ∈ [a_{p+ Δ a}, a_p]
• b) Bestimmung von Amplitude und Frequenz der sinusförmigen Ein­ zelkomponenten
  Dazu wird folgendes Gleichungssystem aufgestellt, bei dem die linken Seiten mit (9) und die rechten Seiten mit (7) berech­ net werden: | F_d(a_p) | = | F_d(sin(s),a_p) | ≡ | F_d(a_p, û_p, s_p, σ_p) || F_d(a_{p+ Δ}a) | = | F_d(sin(s),a_{p+ Δ a}) | ≡ | F_d(a_{p+ Δ a},û_p, s_p, σ_p) | (10)| F_d(a_{p- Δ a}) | = | F_d(sin(s),a_{p- Δ a}) | ≡ | F_d(a_{p- Δ a},û_p, s_p, σ_p) | Da σ, siehe (7) das Ergebnis nur für die ersten Werte an den Rändern a = 0 bzw. a = m/2 merkbar beeinflußt und m meistens sehr groß ist, kann das Gleichungssystem auf zwei Komponenten reduziert werden. Aus (10) wird in guter Näherung:| F_d(a_p) | ≈ | F_d(a_p, û_p, s_p) || F_d(a_p+a) | ≈ | F_d(a_p+a, û_p, s_p,) | (11)û_p geht linear ins Ergebnis ein, so daß sich ergibt und bzw. in guter Näherung wird.
  s_p der Gleichung (12) wird über das Sekantenverfahren ermit­ telt, da es die einfache Bestimmung der Anzahl der notwendigen Iterationsschritte erlaubt.
  Für das Verfahren werden die zwei Startwerte aus a) benötigt, die das Maximum einschließen.
• c) Kompensation von Überlagerungseffekten
  Nachdem die s_pi und u_pi bestimmt sind, wobei die Frequenzen s_pi bereits in b) exakt ermittelt wurden, ist es notwendig, die gegenseitigen Überlagerungen in den Amplituden u_pi zu kompen­ sieren.
  Hierzu wird folgendes Gleichungssystem genutzt: F_d(a_p1 = F_d(a_p1, s_p1) + F_d(a_p1, s_p2) + F_d(a_p1, s_p3) + . . .F_d(a_p2) = F_d(a_p2, s_p1) + F_d(a_p2, s_p2) + F_d(a_p2, s_p3) + . . . (14)F_d(a_p3) = F_d(a_p3, s_p1) + F_d(a_p3, s_p2) + F_d(a_p3, s_p3) + . . .Die linke Seite enthält die Funktionswerte aus (8) und die Funktionswerte der rechten Seite werden aus (6) berechnet.
  Dieses Gleichungssystem wird einem weiteren Iterationsverfahren unterworfen, womit sich Scheinkomponenten eliminieren lassen und die Amplituden exakt bestimmt werden.

Durch die exakte Bestimmung der Frequenzen sind Harmonische schnell zuordenbar.

Ergebnisse Verfahren der Suche der unbeeinflußten Spektralkomponenten

Ein Ergebnis wird an Hand Fig. 3 dargestellt, das den Spektren­ vergleich des vollständigen Amplitudenspektrums mit der Darstel­ lung der herausgezogenen Frequenzanteile zeigt.

Abweichend zu der getroffenen Aussage, nur Spektren mit geringer Anzahl Spitzen zu analysieren, wurde ein komplexeres Spektrum ei­ nes Wälzlagers zugrundegelegt, um Effekte besser auszuweisen:

Während alle Maxima der Fig. 1 identifiziert werden würden, wer­ den hier nur einige Spitzen als Maxima ausgewiesen. Die nichtaus­ gewiesenen Spitzen hatten größere Abweichungen als die vorgegebe­ ne Schranke µ.

Die kleinen berechneten Komponenten im Spektrum unten und am rech­ ten Rand begründen sich aus der vorgegebenen konstanten Schranke µ. Bei der Einführung einer relativen Schranke µ wären sie nicht ausgewiesen worden.

Das Verfahren ist somit gut für die Eliminierung dominierender Signalanteile in Spektren geeignet.

Näherung durch die sinusförmigen Einzelkomponenten

Die Ergebnisse werden, auf Grund der numerischen Trennung in alle sinusförmigen Einzelkomponenten, ausführlicher dargestellt.

Die Fig. 4 . . . 6 zeigen die Amplitudenspektren eines synthe­ tisch erzeugten Signalgemischs aus 30 Sinuskomponenten mit den in Tafel 1 angegebenen Werten.

Fig. 4 Amplitudenspektrum nach der Diskreten Fouriertransforma­ tion,

Fig. 5 Amplitudenspektrum nach Berechnung der Signalfrequenzen f_s,

Fig. 6 Amplitudenspektrum nach der Kompensation der Überlage­ rungseffekte.

In Tafel 1 wird mit PEAK die Nummer der Spitze bezeichnet, d_s ist die minimale Abweichung von s_p zum daneben liegenden ganzzahligen a und d | F_d(s) | ist die Abweisung der Amplitude û_p zu der an der nächstliegenden Stelle a berechneten Amplitude.

Die ganzzahligen Werte a wurden zugrundegelegt, da herkömmliche Fourieranalysatoren bislang nur mit ganzzahligen a arbeiten.

Man erkennt, daß die Signalamplituden in Fig. 5 bereits recht genau ausgewiesen sind, jedoch über 375 Hz fiktive Signalkompo­ nenten entstanden sind, die sich aus der Überlagerung der anderen Anteile ergeben. Die fiktiven Komponenten verschwinden in Fig. 6.

Die Fig. 7 . . . 9 zeigen die Näherung durch die sinusförmigen Einzelkomponenten an einem konkretem Beispiel, dem Schwingungs­ signal eines Wälzlagers.

Fig. 7 Amplitudenspektrum des Schwingungssignals des Wälzlagers einer Speisepumpe,

Fig. 8 Amplitudenspektrum nach Bestimmung der Frequenzen und Amplituden,

Fig. 9 Amplitudenspektrum nach Beseitigung der Überlagerungs­ einflüsse.

Während in Fig. 8 das Spektrum bereits von einer Reihe von Ef­ fekten befreit wurde, erkennt man in Fig. 9 wieder die Beseiti­ gung vom Überlagerungseffekten.

Es ist zu beachten, daß die Frequenzabstände entlang der Abszisse nicht mehr konstant sind, sondern die Frequenzen exakt ausgewie­ sen werden.

Tafel 1

Claims (2)

1. Verfahren zur Bestimmung der Komponenten von Fourierspektren für die Technische Diagnostik mit dem bekannten Verfahren der Schnellen Fouriertransformation (FFT) und bekannten Rechnerstruk­ turen, dadurch gekennzeichnet, daß bei der Suche unbeeinflußter Spektralkomponenten

• - die Spitzen des mit der FFT berechneten Spektrums, beginnend von der höchsten Spitze ausgesucht werden,
• - mit der diskreten Fouriertransformation, durch die beliebige Frequenzanteile berechenbar sind, das tatsächliche Maximum neben der gerade betrachteten und durch die FFT berechneten Spitze iterativ bestimmt wird,
• - die dadurch ermittelte Amplitude und Frequenz der Berechnungs­ vorschrift für den Betrag der Fouriertransformierten eines Sinussignals zugeführt wird, um die neben dem tatsächlichen Maximum liegenden Werte zu berechnen, die auch durch die FFT berechnet wurden,
• - um durch Bildung der Differenz der, mit der Berechnungsvor­ schrift für sinusförmige Einzelkomponenten, berechneten Werte mit den zugehörigen Werten der FFT festzustellen, ob die Sig­ nalkomponente exakt durch die berechnete Amplitude und Frequenz bestimmt wurde.

2. Verfahren zur Bestimmung der Komponenten von Fourierspektren für die Technische Diagnostik mit dem bekannten Verfahren der FFT und bekannten Rechnerstrukturen, dadurch gekennzeichnet, daß bei der Näherung durch sinusförmige Einzelkomponenten

• - alle Spitzen des Amplitudenspektrums, das auch durch die FFT berechnet werden würde, durch Vergleich mit dem vorhergehenden und darauffolgenden Wert ermittelt werden,
• - die dadurch erhaltenen Amplituden- und Frequenzwerte einem iterativen Näherungsverfahren nach dem Sekantenverfahren als Startwerte zugeführt werden, durch das im Frequenzbereich die Frequenzen exakt und die Amplituden näherungsweise bestimmt werden,
• - und in einem folgenden Schritt durch ein weiteres Iterations­ verfahren die ermittelten Amplituden von Überlagerungseffekten der anderen Amplituden befreit werden,
• - wobei im zweiten und dritten Schritt die Berechnungsvorschrift für die Fouriertransformierte eines Sinussignals benutzt wird.