DE102008055647A1

DE102008055647A1 - Verfahren zur Parameterextraktion, der in Schwingungssignalen enthaltenen Sinuskomponenten

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Publication number: DE102008055647A1
Application number: DE200810055647
Authority: DE
Inventors: Helmar Bittner
Original assignee: Individual
Current assignee: Individual
Priority date: 2008-10-30
Filing date: 2008-10-30
Publication date: 2010-05-06

Abstract

Mit dem Verfahren zur Parameterextraktion der in Schwingungssignalen enthaltenen Sinuskomponenten soll es ermöglicht werden, genau und zuverlässig die Parameter Amplitude, Frequenz und Phase der in Schwingungssignalen enthaltenen Sinuskomponenten zu bestimmen. Das Verfahren basiert auf der bekannten diskreten Fouriertransformation (DFT) und Ergebnissen zur DFT einer Sinusfunktion. Die genannten Ergebnisse der DFT einer Sinusfunktion werden in einen speziellen Rechenalgorithmus überführt, der die gegenseitig störenden Überlagerungen der Summe der in Schwingungssignalen enthaltenen Sinuskomponenten eliminieren kann, womit die Aufgabe mit der durch die DFT vorgegebenen, technisch möglichen Präzision erfüllt werden kann. Das Verfahren zur Parameterextraktion der in Schwingungssignalen enthaltenen Sinuskomponenten ist vorzugsweise in der Schwingungsmeßtechnik, Automatisierungstechnik, technischen Diagnostik und auch Statistik anwendbar.

Description

Stand der Technik
Eine spezielle Aufgabe der Meßtechnik ist die Analyse von durch Meßaufnehmer gewonnenen Zeitsignalen, allgemein Signalgemischen, zum Zweck der Extraktion von Parametern, die z. B. für die Zustandsbewertung technischer und natürlicher Prozesse, die Prozeßführung, usw., benutzt werden.
Dabei sollte zunächst, siehe
Bittner: Verfahren zur vollständigen Signalzerlegung für die Technische Diagnostik, DE-OS-4219372 A1 , Anmeldetag 15.6.1992,
der Stochastik- und Determiniertanteil des aufgenommenen Zeitsignals (Signalgemischs) getrennt werden, um daraus dann die stochastischen Parameter oder die Parameter des Determiniertanteils zu bestimmen. Den Determiniertanteil kann man wegen der notwendigen Begrenzung der Messung auf ein Meßintervall T_M und der nicht unendlich schnellen Aufnahmetechnik in eine Fourierreihe zerlegen, d. h. als Summe von Sinusfunktionen (Sinuskomponenten) auffassen. Die Parameter von Sinusfunktionen sind Scheitelwert (Amplitude) u ^_s, Frequenz ω_s und Startwinkel σ_s (Phasenwinkel, bezogen auf den Beginn der Messung). Der Determiniertanteil, im weiteren Schwingungssignal genannt, läßt sich sehr gut aus der additiven Überlagerung der einzelnen Sinuskomponenten, d. h. den ermittelten Parametern u ^_sk, ω_sk, σ_sk, k-Index der Komponente, über der Zeit rekonstruieren, wenn er zusätzlich im Meßintervall T_M stationär ist.
Ziel ist also die Parameterextraktion, d. h. die Bestimmung der Parameter u ^_sk, ω_sk, σ_sk, der im Schwingungssignal (Determiniertanteil) von Signalgemischen (Zeitsignal) enthalten Sinuskomponenten.
Die Parameterextraktion spielt seit der guten Verfügbarkeit von digitaler Rechentechnik, speziell für die Amplituden u ^_sk eine große Rolle. So sind besonders in den 80ger Jahren des letzten Jahrhunderts und dann fortlaufend eine Reihe von Überlegungen zur Parameterextraktion angestellt worden:
Ein großer Überblick über mögliche Verfahren zur Bestimmung der Teilkomponenten von Signalgemischen wird durch

– Kay, St. M.; Marple, St. L.: Spektrum Analysis – A Modern Perspective, Proceedings of the IEEE, vol. 69, no. 11, (1981) 11 geschaffen. Weitere Schriften sind
– Sottek, R.: Iteratives Verfahren zur hochauflösenden Spektralanalyse und Extrapolation von Signalen, DE-PS-4123983 C3 , Anmeldetag 19.7.1991,
– Bittner, H.; Sturm, A.; Fritzsche, J.: Verfahren zur Bestimmung der Komponenten von Fourierspektren für die Technische Diagnostik. DE-OS-4227112 A1 , Anmeldetag 17.8.1992,
– Mikio, H.; Michiko, K.; Kazuaki, Y.: Method and device for signal analysis. JP 2 003 076 385 A , Anmeldetag 31.8.2001,
– Rao, Y.: Estimating a plurality of tones in an input signal. US 2003/0040876 A1 , Anmeldetag 3.1.2002,
– Domijan, A. Jr.; Tao, I.: Systems and methods for the accurate and rapid estimation of time varying signal components. WO 2005/111 858 , Anmeldetag 11.5.2004,
– Shim, K. S., Nam, H. K.: Method of estimating parameters of time series dato using Fourier transform, US 7 103 491 B2 , Anmeldetag 2.3.2006.

Im o. g. Artikel von Kay, Marple ... beschäftigen sich speziell zwei Ansätze mit der Zerlegung von Spektren in die sinusförmigen Einzelkomponenten. Der unmittelbare Ansatz von PISARENKO erlaubt wegen seiner Anlage nur die Bestimmung von Amplituden und Frequenzen der enthaltenen Komponenten. PRONYs Spektrallinienbestimmung benutzt die Methode der kleinsten Fehlerquadrate.
Zur Illustration und zum Vergleich mit dem vorzustellenden Verfahren werden die aus diesem Aufsatz gezogenen Spektren eines dort berechneten Beispiels in 1 angegeben. In 1 oben ist das zu berechnende Spektrum angegeben. Die zugrundeliegenden Zahlenwerte zeigt Tafel 1. Im zu analysierenden Signalgemisch sind 3 Sinusfunktionen (Sinuskomponenten) enthalten, die die Frequenzen 0,1; 0,2 und 0,21 mit den Amplituden 0,1; 1 und 1 haben. Zusätzlich ist Bandpaßrauschen mit der Mittenfrequenz 0,35 überlagert. Die Ergebnisse der Auswerteverfahren nach PRONY und PISARENKO sind mittig und unten dargestellt. Beide Verfahren fassen Rauschen, wie zu sehen, als Sinuskomponenten auf.
Es existieren weitere neuere Verfahren
In Sottek, R. ... wird ein Verfahren verwendet, das Ähnlichkeiten mit dem aufgeführten PRONY-Algorithmus hat, auch die Methode der kleinsten Fehlerquadrate benutzt und ausschließlich im Fourierbereich arbeitet. Auf Grund des ausschließlichen Verbleibs im Fourierbereich nimmt es für sich in Anspruch, sehr effektiv zu arbeiten.
Bittner ... arbeitet ausschließlich im Frequenzbereich.
Mikio, H. ... beschreibt ein Verfahren, das mit Fenstern arbeitet und ebenfalls sehr schnell ist.
Rao, Y. ... arbeitet ausschließlich im Frequenzbereich.
Domijan ... arbeitet mit Wavelets und
Shim .. arbeitet wieder ausschließlich im Frequenzbereich.
Man versucht also, wegen größtmöglicher Rechengeschwindigkeit, ausschließlich im Frequenzbereich zu arbeiten.
Das größte Problem der Komponentenbestimmung aus Spektren ist jedoch die Konvergenz der Verfahren, sowohl verfahrenstechnischer als auch numerischer Art. Verfahrenstechnisch sollten Besonderheiten der Fouriertransformation berücksichtigt werden. Numerisch muß auf jeden mathematischen Schritt verzichtet werden, der auf Divisionen von berechneten Zahlenwerten (mit Ausnahme notwendiger Normierungen) und/oder Additionen sehr großer und/mit sehr kleinen Zahlenwerten beruht.
Die genannten Verfahren berücksichtigen die genannten Forderungen nicht vordergründig. Folglich gilt es, ein Verfahren zu entwickeln, das diese inhärente Sicherheit aufweist.
Fragen wie Rechenzeit- und Speicherplatzoptimierung sollen hier keine Rolle spielen und geraten durch die Fortschritte der Rechentechnik immer weiter in den Hintergrund.
Ziel der Erfindung
Schaffung eines einfachen und sicher konvergierenden Verfahrens zur Parameterextraktion der Amplituden u ^_sk, Frequenzen ω_sk und Startwinkel σ_sk der in determinierten Schwingungssignalen enthaltenen Sinuskomponenten mit größtmöglicher Genauigkeit, um die Parameter für die Zustandsbewertung technischer und natürlicher Prozesse benutzen zu können und für die Prozeßführung, ..., d. h. allgemein für die Gewinnung meßtechnischer Aussagen, nutzbar zu machen.
Wesen der Erfindung
Das Verfahren zur Parameterextraktion der in Schwingungssignalen enthaltenen Sinuskomponenten gliedert sich erfindungsgemäß in zwei Hauptschritte, die wiederum in weitere Teilschritte untergliedert sind.

– Im ersten Teilschritt werden – in einem ersten Unterteilschritt aus dem Amplitudenspektrum des Schwingungssignals mit Hilfe eines Signifikanztests die n – Komponenten ermittelt, die zur näheren Bestimmung der Parameter u ^_sk, ω_sk, σ_sk, k = 0 ... n – 1, der enthaltenen n-Sinuskomponenten benutzt werden sollen. – in einem zweiten Unterteilschritt die Startwerte u ^_sk0, ω_sk0, σ_sk0 der enthaltenen n-Sinuskomponenten mittels eines speziellen Berechnungsverfahrens oder durch das numerische Hineinfahren in das jeweilige Einzelmaximum des Amplitudenspektrums des Schwingungssignals bestimmt.
– In einem zweiten Schritt wird ein Iterationsprozeß durchgeführt, bei dem eine einzelne Sinuskomponente der Nummer x mit den speziellen Parametern u ^_sx0, ω_sx0, σ_sx0 gestrichen wird und aus den Startwerten der Summe der verbleibenden Sinusfunktionen ein synthetisches Signalgemisch erzeugt, das zum Erhalt eines Differenzsignals vom Schwingungssignal subtrahiert wird. Aus dem Amplitudenspektrum des Differenzsignals werden um die Stelle der gestrichenen Komponente x die genaueren Parameter u ^_sx, ω_sx, σ_sx dieser Komponente ermittelt. Die genaueren Parameter werden neue Startwerte für die Berechnung der nächsten Komponente x, die wieder durch ihre Streichung auf gleiche Weise ermittelt wird. Dieser Vorgang erfolgt sukzessiv als Durchlauf für alle n-Sinusfunktionen. Die Anzahl der zu absolvierenden Durchläufe wird entweder als Zahl festgelegt oder ergibt sich aus einem vergleichenden Abbruchkriterium.

Anwendung der Erfindung
Das Verfahren zur Parameterextraktion, der in Schwingungssignalen enthaltenen Sinuskomponenten ist für alle Bereiche der Schwingungsanalyse geeignet. Zu nennen sind Anwendungen in den Bereichen

– Maschinen-, Anlagendiagnostik, Gebäudediagnostik, Akustik, Meßtechnik, ... zum Auffinden und Bestimmen gesuchter Schwingungskomponenten,
– Automatisierungstechnik, als automatisches Berechnungsverfahren für geforderte Schwingungskomponenten zur Prozeßregelung.

Das Verfahren ist weiterhin zum automatischen Bestimmen von Periodizitäten in der Statistik geeignet.
Ausführungsbeispiel
Ausgangspunkt der Erfindung sind Ergebnisse, die aus
Bittner, H.: Numerische Effekte der Diskreten Fouriertransformation" in messen, steuern, regeln, Berlin 33(1990)11,
abgeleitet werden können. Diese Ergebnisse werden kurz zusammenfassend dargestellt, um daraus die Erfindung zu entwickeln:
Da sich ein Schwingungssignal, wenn es in einer endlichen Meßzeit T_M mit nicht unendlicher Meßgeschwindigkeit aufgenommen wird, in eine Summe von Sinuskomponenten entwickeln läßt und ein Schwingungssignal aus einer Summe von Sinuskomponenten besteht, bei der die Fouriertransformation des Schwingungssignals gleich der Summe der Fouriertransformierten der enthaltenen Sinuskomponenten ist, können die Aussagen zur Fouriertransformation einer Sinuskomponente auf die Fouriertransformation der Summe der Sinuskomponenten, d. h. das Schwingungssignal übertragen werden. Folglich soll eine Sinuskomponente stellvertretend zum Erhalt von Aussagen diskret fouriertransformiert werden:
Die Sinusfunktion (Sinuskomponente), deren diskrete Fouriertransformation (DFT) durchgeführt werden soll, lautet us(iΔta) = u ^ssin(ωsiΔta + σs),wobei u ^_s Amplitude, ω_s Kreisfrequenz, σ_s Startwinkel der Sinuskomponente sind, von der an den Zeitstellen iΔt_a, Δt_a
f_a Abtastfrequenz, durch z. B. Meßaufnehmer die Abtastwerte u_s(iΔt_a) gewonnen werden.
Die Kreisfrequenz ω_s = 2πf_s, f_s Frequenz dieser Sinusfunktion wird, um sie dimensionsfrei zu gestalten, in eine Periodenzahl s mit
umgewandelt. Die Meßzeit T_M ergibt sich aus der Anzahl m der der DFT zugrundegelegten Abtastwerte zu T_M = mΔt_a. Analog wird der Parameter f der DFT in eine Periodenzahl a zu
umgewandelt. a und s sind beliebig reelle Zahlen. Die DFT dieser Sinusfunktion kann jetzt zu
durchgeführt werden. F_d(a) ist dabei der Funktionswert der DFT bei der Periodenzahl a(a ≙ Frequenz f).
Die DFT der Sinusfunktion liefert folgendes Ergebnis:
Für m groß, z. B. m > 100 und 0 ≤ a, s < m/2, z. B. 3 < a, s < m/2 – 3, lautet der Betrag der DFT, in guter Näherung:
Läßt man a in bestimmten Bereichen, z. B. 0 ≤ a < m/2 laufen, erhält man das sogenannte Amplitudenspektrum der DFT. Es hat für die fouriertransformierte Sinuskomponente den in 2 dargestellten Verlauf, wobei sich die, in Tafel 2 dargestellten Eckwerte ergeben.
Der Bereich a, s ∊ [0, m/2 – 1] ist der erste Eineindeutigkeitsbereich der DFT, der in der Technik im Allgemeinen benutzt wird. Die hier benutzte Bezeichnung Betrag ist nicht der absolute Betrag, sondern nur der Betrag der komplexen Zahl F_d(a) und nimmt hier positive und negative Werfe an. 2 zeigt, daß eine Sinusfunktion im Amplitudenspektrum der DFT einen welligen Verlauf mit einem Hauptmaximum (Hauptzipfel) und mehreren Nebenmaxima (Nebenzipfel) erzeugt. Der Hauptzipfel hat grundsätzlich die Breite von Δa_H = 2 (entspricht
und ist der Konvergenzbereich für das Auffinden des Hauptmaximums). Die Seitenzipfel haben immer die Breite Δa = 1 (entspricht
auch Auflösung der DFT bezeichnet). Das Hauptmaximum (der Hauptzipfel) würde bei Darstellung über einer a – Achse an der Stelle a = s zentriert sein. Die Parameter der Sinusfunktion lassen sich aus dem Fourierspektrum an der Stelle a = s, d. h. im absoluten Maximum des Hauptzipfels, nach folgenden Bestimmungsgleichungen ermitteln:
Re(a), Im(a):Real- und Imaginärteil der DFT an der Stelle a = s, wegen (s – a) = 0 an dieser Stelle.
||F_d(a)|| sei jetzt der absolute Betrag der Fouriertransformierten.
Das zu analysierend Schwingungssignal setzt sich meist aus einer Summe von vielen Sinuskomponenten zusammen. Da, wie schon ausgeführt, die DFT der Summe von Sinuskomponenten gleich der Summe der DFT's der einzelnen Sinuskomponenten ist, wird sich bei der DFT eines solchen Summensignals ein Amplitudenspektrum ergeben, das sich wegen der vielen enthaltenene Sinuskomponenten aus vielen über a verteilten, lokalen Hauptzipfeln zusammensetzt. Dabei treten folgende Probleme auf:

– Sinuskomponenten, deren Frequenzabstand kleiner der doppelten Frequenzauflösung
ist, verschmieren zu einem gemeinsamen Hauptzipfel und lassen sich analytisch kaum noch trennen.
– Die zu den Hauptzipfeln gehörenden Seitenzipfel überlagern sich in einer praktisch nicht beschreibbaren Form.
– Die lokalen Hauptzipfel werden durch die hereinragenden Seitenzipfel anderer lokaler Hauptzipfel fehlerhaft überlagert, so daß die Benutzung der oben beschriebenen Bestimmungsgleichungen zur Ermittlung der Parameter der Sinusfunktionen, einmalig über allen lokalen Stellen benutzt, zu großen Fehlern führen kann.
– Weiterhin können sich Seitenzipfel verschiedene lokaler Hauptzipfel zu fiktiven lokalen Maxima überlagern und als reguläre Hauptzipfel aufgefaßt werden.

Ziel ist es, ein Verfahren zu finden, in dem die oben angegebenen
Bestimmungsgleichungen zur präzisen Parameterextraktion der Parameter u ^_sk, ω_sk, σ_sk der, in Schwingungssignalen enthaltenen Sinuskomponenten benutzt werden können.
Erfindungsgemäß wird die Aufgabe in einer ersten Ausführung, siehe 3, dadurch gelöst, daß

– in einem ersten vorbereitenden Schritt – Startwertberechnung – die Anzahl n der zu berechnenden Sinuskomponenten festgelegt wird und die Parameterstartwerte u ^_sk0, ω_sk0, σ_sk0 der Sinuskomponenten für einen nachfolgenden Iterationsvorgang berechnet werden. Dazu wird das zu analysierende Schwingungssignal zunächst fouriertransformiert, um ein Übersichtsamplitudenspektrum zu erhalten, aus dem in – einem ersten Teilschritt die n signifikanten Sinuskomponenten, die der weiteren Rechnung zugrunde gelegt werden, mit Hilfe eines Signifikanztests bestimmt werden. Bei Erhalt der n signifikanten Sinuskomponenten sind auch ihre die ungefähren Stellen s_signif bekannt, um die, – in einem zweiten Teilschritt, die Startwerte der Parameter u ^_sk0, s_k0(≙ ω_sk0), σ_sk0 berechnet werden. – In einem dritten Teilschritt wird die Berechnungsreihenfolge der n Sinuskomponenten für den Iterationsprozeß festgelegt.
– In einem zweiten abschließenden Schritt werden mittels eines Iterationsprozeßs die genauen Signalparameter u ^_sk, ω_sk, σ_sk der n Sinuskomponenten des Schwingungssignals berechnet.

Schritt 1, siehe 3, die Startwertberechnung gliedert sich zunächst in drei Teilschritte, die im folgenden näher ausgeführt werden:

– a) Teilschritt 1 – Aus dem Schwingungssignal wird mittels der schnellen Fouriertransformation (FFT) oder der OFT an ganzzahligen Stellen a ein Übersichtsamplitudenspektrum erzeugt, um die lokalen Hauptzipfel zu erfassen, die durch die einzelnen Sinuskomponenten des Schwingungssignals erzeugt werden. Dieser Vorgang ist allgemein bekannt und beruht darauf, daß alle Funktionswerte ||F_d(a)|| und Stellen a aufgezeichnet werden, die größer als der links- und rechtsseitige Funktionswert ||F_d(a – 1)||, ||F_d(a + 1)|| sind. Um diese ausgewählten a-Stellen sind die Maxima der Hauptzipfel der entsprechenden Sinuskomponente zu erwarten. Um sicher zu gehen, daß es sich dabei tatsächlich um signifikante, d. h. tatsächlich vorkommende Hauptzipfel enthaltener Sinuskomponenten handelt, wird ein Signifikanztest durchgeführt. Bei diesem Signifikanztest wird z. B. ermittelt, ob das an einer a-Stelle stehende Maximum einen bestimmten Schwellwert überschreitet, der z. B. einen bestimmten prozentualen Anteil des größten überhaupt gefundenen Maximums überschreitet. Ein anderer Signifikanztest läßt sich darauf zurückführen, daß die benachbarten Werte um dieses Maximum, bei tatsächlicher Signifikanz eine bestimmte Form haben müssen, die ähnlich 2 verläuft. Hier würde also eine Ähnlichkeit zur Signifikanzprüfung benutzt werden.
– b) Teilschritt 2 – Nachdem die n signifikanten Komponenten bestimmt sind, sind auch die ungefähren Stellen s_signif ≙ a an dieser Stelle und die zugehörigen Funktionswerte ||F_d(a)|| bestimmt. Es gilt jetzt die Startwerte der Parameter u ^_sk0, s_k0(≙ ω_sk0), σ_sk0 der enthaltenen Sinuskomponenten in den n tatsächlichen, durch die DFT erzeugten Maxima der Hauptzipfel zu bestimmen. Diese Maxima weist das Übersichtsamplitudenspektrum mit großer Sicherheit nicht aus, sie liegen meist neben den Maxima des Übersichtsamplitudenspektrums.

Dafür sollen zwei Methoden angegeben werden.
Bei der ersten schnelleren Methode wird neben der gefundenen Stelle s_signif ≙ a des Maximums des Übersichtsamplitudenspektrums der nächstgrößere Funktionswert ||F_d(a – 1)|| bzw. ||F_d(a + 1)|| benutzt, um daraus die Startwerte Amplitude u ^_s0 und Periodenzahl s₀ zu berechnen. Die zugehörigen Berechnungsvorschriften lauten bei
Die jeweils zugehörigen Amplitudenwerte lassen sich mit bekannten s₀ zu, z. B.
Eine zweite, sicher konvergierende, aber langsamere Methode basiert darauf, daß sich die Funktionswerte ||F_d(a)|| der DFT mit beliebig reellen a berechnen lassen und sich das gesuchte absolute Maximum des jeweiligen Hauptzipfels in einem recht engen Bereich um das beim Signifikanztest ermittelte Maximum befinden muß. Dieser Bereich hat um das dort gefundene Maximum entlang der a-(≙ Frequenz) Achse eine Breite < 2. Für die Berechnung in diesem Bereich wird eine a-Schrittweite < 1 gewählt.
Das bei dieser verkleinerten Schrittweite gefundene absolute Maximum ist das gesuchte absolute Maximum im Hauptzipfel. Es werden dort, entsprechend den angegebenen Bestimmungsgleichungen s₀:= a und
abgelesen.
Der Startwert des Startwinkels wird bei beiden Methoden zu und
, aus der Phase φ der DFT an dieser Stelle s₀ = a gebildet.

– c) Teilschritt 3 – Für den nachfolgenden zweiten Schritt des Verfahrens, die Iteration, ist es zweckmäßig, die Reihenfolge der gefundenen n-Komponenten neu festzulegen. Sinnvollerweise wird die Berechnungsreihenfolge von der Komponente mit der größten Amplitude u ^_s0 angeführt und endet mit der Komponente, die das kleinste u ^_s0 aufweist.

Schritt 2, siehe 3, ist der eigentliche abschließende Iterationsprozeß, bei dem die Parameter u ^_sk, s_k(≙ ω_sk), σ_sk der n-Sinuskomponenten mit möglichst großer Genauigkeit ermittelt werden sollen:

d) Grundlage der Iteration ist die Annahme, daß bei Elimination aller Komponenten des Schwingungssignals bis auf eine Komponente x, der verfälschende Einfluß der Seitenzipfel der eliminierten Komponenten in der gerade zu untersuchenden einen x-Komponente minimierbar ist. Das geschieht dadurch, daß aus den Startwerten u ^_sk0, s_k0(≙ ω_sk0), σ_sk0 der zu eliminierenden Komponenten durch Bildung der Summe der Sinuskomponenten ein synthetisches Zeitsignal erzeugt wird, das vom Schwingungssignal subtrahiert wird. Das entstehende Differenzsignal beinhaltet dann praktisch nur noch die zu untersuchende Komponente u_x(iΔt_a), deren Parameter u ^_sx, ω_sx, σ_sx nun mit den Methoden des Teilschritts 2(b)) von Schritt 1 genauer bestimmt werden können. Sind die Parameter dieser Komponente genauer bestimmt worden, erfolgt der beschriebene Vorgang für die nächste Sinuskomponente genauso, indem das synthetische Zeitsignal aus den Parametern, der genauer bestimmten Komponenten und den noch nicht genauer bestimmten Komponenten, mit Ausnahme der gerade zu berechnenden Komponente gebildet wird. Dann wird wieder das Differenzsignal gebildet und die Parameter der zu untersuchenden Komponente können wieder mit den Methoden des Teilschritts 2(b)) von Schritt 1 genauer bestimmt werden. Die Festlegung der Reihenfolge der nacheinander im synthetischen Signal zu streichenden Komponenten durch Teilschritt 3 aus Schritt 1 begründet sich dadurch, daß im Amplitudenspektrum der DFT der verfälschende Einfluß der Seitenzipfel benachbarter Komponenten in der größten Komponente am geringsten ist. Somit sollten die Parameter der großen Komponenten zuerst genauer bestimmt werden, damit dann ihr Einfluß in den kleineren Komponenten bei Bildung des Differenzsignals geringer ist. Nach einem solchen Durchlauf für alle n Sinuskomponenten schließen sich die nächsten Durchlaufe an, bis die Genauigkeit der Parameterermittlung ausreichend ist.
e) Als Abbruchbedingung erweist sich eine feste Zahl an Durchlaufen, zumindest bei Benutzung der zweiten genaueren Methode von Teilschritt 2 aus Schritt 1, als günstig.

4 zeigt Ergebnisse der Analyse eines in seinen Parametern bekannten Schwingungssignals. In der linken Wertetabelle sind unten die Parameter der enthaltenen Sinuskomponenten aufgelistet. Darüber kann man vergleichend die durch das Verfahren berechneten Parameter der ermittelten Sinuskomponenten ablesen. Inder rechten Grafik sind zum Vergleich die Zeitsignale des zu analysierenden Schwingungssignals und des aus den Parametern aller ermittelter Komponenten erzeugten synthetischen Zeitsignals dargestellt. Die Differenz beider Zeitsignale ist mittig dargestellt. Man erkennt, daß die Parameter recht gut übereinstimmen und auch die Abweichungen im Zeitsignal gering bleiben. Es ergab sich jedoch auch, daß eine kleine Komponente nicht gefunden wurde.
Bei Benutzung des Verfahrens zur Parameterextraktion, der in Schwingungssignalen enthaltenen Sinuskomponenten zeigt sich, daß nicht immer alle im Schwingungssignal enthaltenen n Sinuskomponenten ermittelt werden, da manche Komponenten im Amplitudenspektrum der DFT so kleine Hauptzipfel erzeugen, daß sie durch die Seitenzipfel größerer Komponenten dominiert werden.
Hier wird erfindungsgemäß in einer zweiten Ausführung Schritt 1 – die Startwertberechnung – nach Teilschritt 2(b)) durch einen weiteren Zwischenschritt ergänzt:
Es wird in diesem Zwischenschritt 2–3 aus allen Startwerten der ermittelten Sinuskomponenten ein synthetisches Zeitsignal gebildet, das vom Schwingungssignal subtrahiert wird. Es entsteht ein Differenzsignal in dem der Einfluß der bereits ermittelten Komponenten bereits weitgehend vermindert ist. Die dominierten, nicht gefundenen Komponenten, treten jetzt stärker hervor und werden in einem zweiten Durchgang der Startwertberechnung, mit den entsprechenden Teilschritten 1(a)) und 2(b)) ermittelt. Dabei werden zusätzlich mit großer Sicherheit die bereits ermittelten Komponenten nochmals auftreten. Deshalb wird durch eine Prüfung ermittelt, ob es Signalkomponenten gibt, deren Abstand geringer als 1 entlang der a-Achse ist. Der Abstand wird entsprechend < 1 gewählt, da 1 der Auflösung Δa der DFT entspricht. Von den Komponenten deren Abstand kleiner 1 ist wird die jeweils kleinere gestrichen. Jetzt werden alle n Komponenten des Schwingungssignals ermittelt sein.
5 zeigt die Ergebnisse der Auswertung des gleichen Schwingungssignals nach der Verbesserung durch den Zwischenschritt 2–3. Es sind alle Komponenten erkannt worden und die Abweichungen werden fast Null.
Zum Abschluß werde das Verfahren mit den Zahlenwerten aus dem eingangs genannten Überblicksartikel von Kay, St. M.; Marple, St. L.: Spectrum Analysis erprobt, um herauszufinden, ob es Ergebnisse liefert, die den Ergebnissen von PISARENKO und PRONY entsprechen. 6 zeigt das Amplitudenspektrum mit den ermittelten Linien. Man erkennt, daß die drei Sinuskomponenten in der Frequenz relativ korrekt ermittelt wurden und das überlagerte stochstische Signal, wie zu erwarten, vom Verfahren als zusätzliche Sinuskomponenten aufgefaßt und berechnet wurde. Der PRONYalgorithmus weist die Parameter der enthaltenen Sinuskomponenten genauer aus, der nach PISARENKO liefert ähnliche Ergebnisse. Es wäre also zweckmäßig gewesen, den Stochastikanteil vor der Parameterextraktion vom determinierten Schwingungssignal abzutrennen.
Liste der Tafel- und Bildunterschriften
1: Ausgewählte Beispielspektren aus dem Aufsatz – Kay; Marple: Spectrum Analysis
Tafel 1: Zeitsignal zur Erzeugung der Beispielspektren im Aufsatz – Kay; Marple: Spectrum Analysis
2: Amplitudenspektrum der OFT einer Sinusfunktion
Tafel 2: Ausgewählte Funktionswerte der OFT einer Sinusfunktion
3: Verfahrensschema der erfindungsgemäßen Lösung
4: Rechenbeispiel für das erfindungsgemäße Verfahren
5: Rechenbeispiel für das verbesserte erfindungsgemäße Verfahren
6: Auswertung des Zeitsignals aus dem Aufsatz Kay; Marple: „Spectrum Analysis” mit dem verbesserten erfindungsgemäßen Verfahren

Wertetabelle des zu analysiere nden Marplesignals

u[0]:= 1.291061;		u[1]:= –2.086368;
u[2]:= –1.691316;		u[3]:= 1.243138;
u[4]:= 1.641072;		u[5]:= –0.008688;
u[6]:= –1.659398;		u[7]:= –1.111467;
u[8]:= 0.985908;		u[9]:= 1.991979;
u[10]:= –0.046613;		u[11]:= 1.649269;
u[12]:= –0.040810;		u[13]:= 1.054665;
u[14]:= 1.855816;		u[15]:= –0.951182;
u[16]:= –1.476495;		u[17]:= –0.212242;
u[18]:= 0.780202;		u[19]:= 1.416003;
u[20]:= 0.199202;		u[21]:= –2.027025;
u[22]:= –0.483577;		u[23]:= 1.664913;
u[24]:= 0.514114;		u[25]:= –0.791469;
u[26]:= –1.195311;		u[27]:= 0.119801;
u[28]:= 0.807635;		u[29]:= 0.895236;
u[30]:= –0.012734;		u[31]:= –1.763842;
u[32]:= 0.309840;		u[33]:= 1.212992;
u[34]:= –0.119905;		u[35]:= –0.441686;
u[36]:= –0.979733;		u[37]:= 0.306181;
u[38]:= 0.795431;		u[39]:= 0.189598;
u[40]:= –0.342332;		u[41]:= –0.329708;
u[42]:= 0.197881;		u[43]:= 0.071179;
u[44]:= 0.185931;		u[45]:= –0.324595;
u[46]:= –0.366092;		u[47]:= 0.368467;
u[48]:= –0.191935;		u[49]:= 0.519116;
u[50]:= 0.208329;		u[51]:= –0.425946;
u[52]:= 0.651470;		u[53]:= –0.639978;
u[54]:= –0.344389;		u[55]:= 0.814130;
u[56]:= –0.385168;		u[57]:= 0.064218;
u[58]:= –0.380008;		u[59]:= –0.163008;
u[60]:= 1.180961;		u[61]:= 0.114206;
u[62]:= –0.667625;		u[63]:= –0.814997;

Tafel 1

ZITATE ENTHALTEN IN DER BESCHREIBUNG
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Zitierte Patentliteratur

- DE 4219372 A1 [0002]
- DE 4123983 C3 [0004]
- DE 4227112 A1 [0004]
- JP 2003076385 A [0004]
- US 2003/0040876 A1 [0004]
- WO 2005/111858 [0004]
- US 7103491 B2 [0004]

Zitierte Nicht-Patentliteratur

- Bittner, H.: Numerische Effekte der Diskreten Fouriertransformation” in messen, steuern, regeln, Berlin 33(1990)11 [0016]

Claims

Verfahren zur Ermittlung der Komponenten von Signalgemischen, basierend auf einer Zusammenschaltung von Rechnerbausteinen, wie Prozessor, Speicherbausteinen, Ein- und Ausgabemedien unter Benutzung bekannter Signalanalyseverfahren wie Schnelle Fouriertransformation FFT und Diskrete Fouriertransformation DFT, dadurch gekennzeichnet, daß in einem ersten Schritt a) aus einem Übersichtsamplitudenspektrum des zu analysierenden Schwingungssignals, die signifikanten Komponenten für die Näherung des Eingangszeitsignalgemischs mit einem speziellen Signifikanzprüfverfahren bestimmt werden, das die Signifikanz bezüglich der Höhen (Beträge) oder bezüglich der Ähnlichkeit mit einer vorgegebenen Form beurteilt, b) aus den, als signifikant erkannten Komponenten die Startwerte Amplitude, Frequenz und Startwinkel als Startwerte für eine folgende Iteration mittels eines speziellen Rechenverfahrens ermittelt werden, bei dem entweder der Funktionswert der jeweiligen, im Ubersichtspektrum als signifikant erkannten Stelle und der nächsthöhere daneben liegende Funktionswert benutzt wird und daraus mittels eines speziellen Rechenverfahrens die Startwerte der Frequenzen und Amplituden bestimmt werden oder der Parameter der Fouriertransformation mit sehr kleiner Schrittweite in einem engen Bereich um die jeweilige, im Ubersichtspektrum als signifikant erkannte Stelle bis zum Erhalt der Stelle mit dem größten Funktionswert verändert wird, woraus dann mit Bestimmungsgleichungen die Startwerte der Frequenzen und Amplituden ermitteltet werden und die jeweiligen Startwinkel mittels einer weiteren Bestimmungsgleichung an den jeweils ermittelten Startfrequenzstellen ermittelt werden, c) die Reihenfolge der ermittelten Komponenten, beginnend mit der in der Amplitude größten hin zu der mit der niedrigsten festgelegt wird, woraus dann in einem zweiten Schritt d) durch einen abschließenden Iterationsprozeß aus den Startwerten der bestimmten Sinuskomponenten bei Streichung einer Sinuskomponente ein synthetisches Zeitsignal gebildet wird, das sich aus der Summe der Sinuskomponenten zusammensetzt, dieses vom zu analysierenden Schwingungssignal subtrahiert wird und aus dem entstehenden Differenzsignal die Parameter der gestrichenen Sinuskomponente, entsprechend b), genauer bestimmt werden, dann die Parameter der genauer bestimmten Sinuskomponenten und die Startwerte der anderen Sinuskomponenten bei Streichung der nächsten Sinuskomponente zur Bildung des synthetischen Zeitsignals benutzt werden, dann die Differenz mit dem zu analysierenden Schwingungssignal gebildet und aus dem Differenzsignal die Parameter der nächsten Komponente genauer bestimmt werden, bis die Parameter aller Sinuskomponenten genauer bestimmt sind, womit ein Iterationsdurchlauf absolviert ist und daß e) die Anzahl der Iterationsdurchläufe entweder fest oder nach einem Abbruchkriterium festgelegt wird.
Verfahren nach Anspruch 1 dadurch gekennzeichnet, daß im ersten Schritt nach Abarbeitung der Anstriche a) und b) aus den bestimmten Startwerten durch Summenbildung der erkannten Komponenten zum Finden neuer Komponenten ein synthetisches Zeitsignals erzeugt wird, das vom zu analysierenden Schwingungssignal subtrahiert wird und das das entstehende Differenzsignal zur Erzeugung eines neuen Übersichtspektrum und Signifikanzprüfung, entsprechend a) benutzt wird und daraus entsprechend b) die Startwerte der neu gefundenen Komponenten gebildet werden, wobei die neu gefundenen Komponenten deren Frequenzabstand zu den in Anspruch 1 bereits gefundenen Komponenten kleiner als ein vorgegebener Wert ist, wie z. B. die Auflösung der DFT, gestrichen werden, womit dann alle der der Iteration d) zuzuführenden Sinuskomponenten bestimmt sind und die folgenden Schritte c), d), e) des Anspruchs 1 abgearbeitet werden.