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Digitalfilter
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Die Erfindung betrifft ein Digitalfilter nach dem Oberbegriff des
Patentanspruchs 1.
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In der Zeitschrift 8'Frequenz" 37 (1983), Heft 7, Seiten 166 bis 173
sind Anweisungen zur Dimensionierung phasenlinearer digitaler Filter beschrieben.
Als Grundfilter wird ein Tiefpaß betrachtet. Von diesem Filter können die entsprechenden
Hochpaßfilter oder Bandpaßfilter nach bekannten Methoden entwickelt werden. Ein
idealer Tiefpaß mit der Grenzfrequenz fg weist als Impulsantwort bekanntlich h0
(t) = sin 2#fgt mit Nulldurchgängen zu Zeitabständen T0 = 1:2fgfg = Grenzfrequenz)
auf.
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Da diese Funktionen, bekannt als sinn Impuls, bekannx terweise schlecht
konvergiert, werden viele Filterglieder mit Speichern und Multiplikatoren benötigt,
um den Abbruchfehler klein zu halten und das gewünschte Filterverhalten zu erzielen.
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Bisher wurden durch die Anwendung einer geeigneten Fensterfunktion
die Filterkoeffizienten bewertet, um eine raschere Konvergenz zu erreichen. Dies
war allerdings nur auf Kosten der Flankensteilheit möglich.
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Bei vielen Filteranwendungen wird außerdem strenge Phasenlinearität
gefordert. Diese Bedingung wird von einem Transversalfilter mit zum Mittelabgriff
der Laufzeitkette symmetrischen Koeffizienten erfüllt.
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In der oben angegebenen Zeitschrift "Frequenz" ist die Roll-off-Approximation
beschrieben, bei der die Übertragungsfunktion des idealen Tiefpasses durch Addition
eines zur Grenzfrequenz punktsymmetrischen Anteils erweitert wird. Insbesondere
ein kosinusförmiger Abfall der Übertragungsfunktion ist vorteilhaft, da ein stetiger
Übergang zwischen Durchlaß- und Sperrbereich gegeben ist, der eine gute Konvergenz
der zugehörigen Impulsantwort erwarten läßt.
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Aus dem Buch "The Theory of Splines and Their Applicationsn von Ahlberg,
Nilson und Walsh, 1967 ACADEMIC PRESS, New York and London, ist ein wirksames Approximationsverfahren
bekannt. Es verwendet die sogenannten Splines, die ursprünglich eine besondere Art
von Kurvenlineal darstellten. Zwischen zwei benachbarten Stützpunkten wird hierbei
der Kurvenverlauf mit Hilfe weiterer Stützpunkte berechnet. Die Berechnung des Kurververlaufs
zwischen zwei Stützpunkten im nächsten Abschnitt erfolgt hierbei im allgemeinen
wieder neu. Zur weiteren Theorie über die Splines wird auf das angegebene Buch verwiesen.
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Aufgabe der Erfindung ist es, Filteranordnungen mit möglichst geringem
Aufwand und rascher Konvergenz im Zeitbereich bei geringem zeitlich begrenzten Nachschwingen
anzugeben.
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Erfindungsgemäß wird die Aufgabe bei einem Digitalfilter der eingangs
genannten Art durch die im kennzeichnenden Teil des Patentanspruchs 1 angegebenen
Merkmale gelöst.
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Bei der Erfindung wird nicht, wie es bisher üblich war, von der Durchlaßkurve
eines Filters ausgegangen, sondern von einer geeigneten Impulsantwort.
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Die Erfindung beruht auf der Erkenntnis, daß die ideale Impulsantwort
eines Tiefpaßfilters durch ein Spline-System ersetzt wird.
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Durch Kompensation einer Spline-Grundfunktion, m-ter Ordnung mit Spline-Funktionen
geringerer Ordnung wird ein Filter mit einer Impuls-Antwort entwickelt, die zeitlich
eng begrenzt (endlich) ist. Ein solches Filter ist ideal fUr Anwendungsfälle, bei
denen ein Nachschwingen weitgehend verhindert werden muß, da es sich beispielsweise
bei der Übertragung von Bildsignalen - besonders bei Transformationsverfahren -
optisch störend bemerkbar macht.
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Wegen der begrenzten Länge der Impulsantwort ist für die Realisierung
des Filters auch nur ein geringer Schaltungsaufwand erforderlich. Das Filter kann
hierbei sowohl unter Verwendung rekursiver Verfahren oder auch vorzugsweise als
Transversalfilter realisiert werden.
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Vorteilhafte Ausbildungen der Erfindung sind in den Unteransprüchen
angegeben.
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Die Erfindung wird anhand von Ausfuhrungsbeispielen näher erläutert.
Es zeigen Fig. 1 Spline-Grundfunktionen, Fig. 2 die Impulsantwort eines erfindungsgemäßen
Filters,durch das ein heterogenes Spline-System der Ordnung m < 3 realisiert,
Fig. 3 die Impulsantwort für m < 2, Fig. 4 das Prinzip-Schaltbild eines Filters
für m # 3, Fig. 5 die Realisation als Transversalfilter und
Fig.
6 die Realisation unter Verwendung rekursiver Verfahren.
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Um ein Spline-Signal der Ordnung m zu beschreiben, m + 1 Koeffizienten
für jedes Intervall der Dauer #o = = 1 : 2 fg notwendig. Die Schreibweise wird einfacher,
wenn Intervallvariable #i eingeführt werden. Innerhalb jedes Intervalls wird eine
Zeitskala 0 # #i # 1 benutzt, wobei #i = 0 jeweils mit dem Intervall-Beginn zusammenfällt.
In jedem Intervall k gilt für die gesuchte Spline-Funktion "s".
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Zweckmäßigerweise mit Hilfe der Matrizenrechnung werden die Spline-Grundfunktionen
ermittelt.
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In Figur 1 sind Spline-Grundfunktionen sAm der Ordnung m = 2 bis m
= 7 dargestellt. Die Dauer einer Spline-Grundfunktion beträgt m + 1 Intervalle 1to.
In Figur 1 ist jeweils nur eine Hälfte einer Spline-Grundfunktion #m dargestellt.
Die gesamte Spline-Grundfunktion ergibt sich jeweils durch Spiegelung an der Zeitachse
t = 0.
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Die Spline-Grundfunktionen Am können durch Faltung eines Rechteckimpulses
der Amplitude 1 und der Dauer #@ #@ - bis + errechnet werden. Der Flächeninhalt
2 2 der Kurve bleibt für jede Ordnung m # o konstant.
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Aus der Definition der Faltung
mit s1(t) und s2(t) als Polynome der Ordnung m1 und m1 folgt nämlich, daß bei jeder
Multiplikation und Integralbildung ein Polynom der Ordnung m1 +m2+1 auftritt. Die
Faltung zweier Spline-Funktionen der Ordnung m1 und m2 führt - es handelt sich ja
ebenfalls um Polynome - auch zu einer Spline-Funktion (m1 + m2 + 1) - ter Ordnung.
Die Faltung zweier Rechteck-Funktionen (Ordnung 0) führt also zu einer Dreiecksfunktion
(Ordnung 1).
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Die Faltung zweier Dreiecks-Funktionen führt zu einer Spline-Grundfunktion
dritter Ordnung. Auf diese Weise können alle Spline-Funktionen einfach errechnet
werden, deren Angabe in analytischer Form hier nur für wenige Beispiele erfolgen
kann.
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In Figur 2 ist ein Spline-System aus drei gegeneinander verschobens
Spline-Funktionen dargestellt. Die entrale Spline-Funktion 3 #3 (t) entspricht der
mit dem Faktor 3 multiplizierten Spline-Grundfunktion 83. . Das Hilfsfunktionspaar
entspricht jeweils einer Spline-Grundfunktion zweiter Ordnung; jede Hilfsfunktion
ist um - #o/2 bzw. + #o/2 verschoben. Das Hilfsfunktionspaar wird von der zentralen
Spline-Funktion subtrahiert und ergibt die resultierende Funktion g 3,2 (t), die
Nulldurchgänge zu den Zeitpunkten - #@ und + #@ aufweist, und ebenfalls auf die
Dauer von m + 1 Intervallen 0 der Spline-Funktion der höchsten Ordnung m beschränkt
ist.
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Allgemein gilt, daß versucht wird, die Nebenwerte (Funktionswerte
zu den Zeitpunkten Q0, 2 #o' O, 3 ...) der zentralen Spline-Funktion der Ordnung
m durch eine zusätzliche Anregung von Spline-Grundfunktionen der Ordnung n# # m
auszulöschen. Die auszulöschende Funktion ist hierbei im allgemeinen selbst ein
Faltungsprodukt. Der Lösungsansatz hat die Form #m+ ( x * #n ) = #o-1 #(t) (3) (
#(t) - Dirac-Impuls) Für das erste Beispiel (Figur 2) ergibt sich als Hilfsvektor
x = ( - 1/3 , - 1/3 ) , p0 = 3.
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Die Spline-Grundfunktion S3 kann mit Hilfe der Intervall-Variablen
Z i einfach dargestellt werden (0 # #i # 1).
| (4) |
| (o 0 im Bereich |
| A |
| 4 t t --% |
| s3= > 4z - |
| 6 + + z 1 L0 - |
| 2 2 0 t +% |
| 3 - Zj + 41;2 |
| 6 2 í 6 ti t0 %t t |
| 0 t fz 2% |
Unter Verwendung der später analytisch angegebenen Spline-Funktion der Ordnung m
= 2 ergibt sich für die resultierende Funktion
mit der zugehörigen Übertragungsfunktion S3,2(f) = 3 si4 (#f#o)
- 2 cos (#f#o) #si3(# f #o).
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(6) Da eine Spline-Funktion der Ordnung m stets m+1 Intervalle t
0 umfaßt, müssen bei ungerader Ordnung m exakt m - 1 Nebenwerte zu Null reduziert
werden. Für jeden der m - 1 Nebenwerte wird eine Spline-Funktion benötigt, bzw.
für jeweils zwei Nebenwerte ein Spline-Funktionspaar.
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Wird von einer Spline-Grundfunktion der Ordnung m = 5 ausgegangen,
so erfolgt die Kompensation durch ### Spline-Funktionspaare, hier zwei Spline-Funktionspaare
der Ordnung 4 bzw. 3, wobei die Spline-Funktionspaare der Ordnung 4 an den Impulsgrenzen
der zentralen Spline-Funktion beginnen bzw. enden. Eine Kompensation mit Spline-Funktionen
geringerer Ordnung ist im allgemeinen nicht zweckmäßig.
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In Figur 3 ist ein System aufs drei Spline-Funktionen mit einer maximalen
Ordnung m = 2 dargestellt.
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Hier müssen ebenfalls zwei Nebenwerte zu den Zeitpunkten -Z0 und +
#o kompensiert werden. Wird also von einer geraden Spline-Funktion ausgegangen,
so sind m/2 Spline-Funktionspaare notwendig.
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Wie aus Figur 3 entnehmbar ist, ergibt sich die zentrale. Spline-Funktion
2#2 durch Multiplikation der Spline-Grundfunktion zweiter Ordnung mit dem Faktor
2.
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Die Nebenwerte werden durch zwei Spline-Funktionen - 0,5 #1 kompensiert.
Diese Hilfsfunktionen sind jeweils um t0/2 gegenüber der Zeitachse t = 0 verschoben.
Die Kompensation der Nebenwerte zu den Zeitpunkten
- #o,+#o erfolgt
wieder auf den Funktionswert Null.
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Als resultierende Spline-Funktion ergibt sich g2,1# Unter Verwendung
von Intervall-Vektoren ergibt sich für die Spline-Grundfunktionen der Ordnung m=2
und m=1:
#1 = #i für - #o # t # o (8) Durch Spiegelung an der Zeitachse t = 0 erhält man
die vollständige Funktion (O # Zi c 1).
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In Figur 4 ist das Prinzip-Schaltbild eines Tiefpaßfilters dargestellt.
Es enthält drei Funktions-Generatoren 1, 2 und 2*. Dem Eingang des dritten Funktions-Generators
ist ein Laufzeitglied 3 vorgeschaltet, dessen Verzögerungszeit der Zeitdauer 0 entspricht.
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Die Eingänge des ersten und zweiten Funktions-Generators 1 und 2 sowie
der Eingang des Laufzeitgliedes 3 sind mit dem Filtereingang 4 verbunden. Die Ausgänge
der Funktions-Generatoren sind mit Eingängen eines Addierers 6 verbunden, dessen
Ausgang dem Filterausgang 5 entspricht.
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Durch die Funktions-Generatoren 1, 2 und 2* werden die in Figur 2
dargestellten Spline-Funktionen3 und -0,5 s2 als Impulsantwort erzeugt. Am Ausgang
5 des Addierers ergibt sich die gewünschte Impulsantwort g3,2.
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Die Ubertragungs-Funktion des Filters entspricht einem Tiefpaß (Formel
6). Die dem Eingang des Filters zuge-
führten digitalisierten Signalwerte
D1 erscheinen am Ausgang des Tiefpasses bandbegrenzt.
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Durch Verwendung eines weiteren Addierers, dessen Eingänge an den
Filtereingang 4 und den Ausgang des Laufzeitgliedes angeschlossen sind und dessen
Ausgang an den Eingang des Funktions-Generators 2 angeschlossen ist, kann der Funktions-Generator
2* eingespart werden.
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Werden die Funktions-Generatoren durch Transversalfilterstrukturen
realisiert, können die Laufzeitglieder für alle Funktions-Generatoren gemeinsam
verwendet werden. Ebenso ist es möglich, die verschiedenen Multiplikations-Vorgänge
zusammenzufassen.
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In Figur 5 ist das Prinzip eines Transversal-Filters dargestellt.
An den Filtereingang 4 ist eine Kette von Laufzeitgliedern L1,L2 bis L(z-1) angeschlossen.
An den Filtereingang 4 und an die Ausgänge der Laufzeitglieder sind Multiplikatoren
M angeschlossen, deren Ausgänge über Addierer ad zusammengefaßt sind. Die in Figur
2 dargestellte Impulsantwort g3,2 wird direkt durch die Wahl der Filter-Koeffizienten
h0 bis hk realisiert, die den Werten der Funktion g3,2 direkt entsprechen.
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Die Laufzeitglieder sind entsprechend der Abtastfrequenz fa = r zu
wählen.
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Da Transversal-Filter gewöhnlich symmetrisch aufgebaut sind, können
jeweils die Ausgänge zweier Laufzeitglieder über einen Addierer zusammengefaßt werden,
um Jeweils einen Multiplizierer einzusparen.
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In Figur 6 ist eine weitere Realisierungsmöglichkeit für ein Digitalfilter
dargestellt, das als Impulsantwort ein Spline-System der Ordnung m = 3 erzeugt.
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An den Filtereingang 4 ist die Kettenschaltung dreier Subtrahierer
S11, S12 und S13 angeschaltet, deren Subtraktionseingänge ihr Eingangs signal über
Laufzeitglieder L11, L12, L13, die Jeweils die Zeitverzögerung lo aufweisen, zugeführt
wird. An den Ausgang des Subtrahierers S3 ist ein oberer Verarbeitungszweig und
ein unterer Verarbeitungszweig angeschlossen, deren Ausgänge über einen Addierer
A17 zusammengefaßt sind.
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Der Ausgang des Addierers A17 stellt wieder den Filterausgang 5 dar.
Der obere Verarbeitungszweig besteht aus einem weiteren Subtrahierer S14 mit einem
weiteren Laufzeitglied L14, das zwischen dem ersten Eingang des Subtrahierers und
seinem Subtraktionseingang liegt. Der Ausgang des Subtrahierers ist über einen Multiplizierer
M1 an den Eingang eines Addierers A14 angeschaltet, dessen Ausgang über einen Funktionsblock
Z3 und ein Laufzeitglied L17 auf den zweiten Eingang des Addierers A14 zurückgeführt
ist. Der Ausgang des Funktionsblockes F1 ist mit einem Eingang des Addierers A17
verbunden. Der untere Verarbeitungszweig enthält einen weiteren Addierer A16, dessen
zweiten Eingang ein Laufzeitglied L15 vorgeschaltet ist. Der Ausgang dieses Addierers
ist über einen Inverter M2 mit dem ersten Eingang eines Addierers A15 verbunden,
dessen Ausgang über einen zweiten Funktionsblock F2 und ein Laufzeitglied L18 auf
den zweiten Eingang des Addierers A15 rückgekoppelt ist. Der Ausgang des zweiten
Funktionsblockes F2 ist mit dem zweiten Eingang des Addierers A17 verbunden.
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Die Realisierung der Filterfunktion erfolgt über Faltungsoperationen.
Die Funktionsblöcke F1 und F2 sorgen über die in die Rückführungen eingebaut Laufzeitglieder
L17, L18 für einen zeitlich fortschreitenden Prozeßverlauf.
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In jedem Funktionsblock F1, F2 erfolgt, mathematisch ausgedrückt,
die Multiplikation einer Matrix Zm mit einem Vektor d1 bzw. d2, der durch die am
Eingang des Addierers A14 bzw. A15 in zeitlicher Reihenfolge anliegenden Werte gebildet
wird. Hierbei entspricht
m gibt wiederum die Ordnung der Spline-Funktion an.
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Am Ausgang des oberen Verarbeitungszweiges liegt als Impulsantwort
die zentrale Spline-Funktion 3#3 an. Im unteren Verarbeitungszweig wird bereits
die Summe des Hilfsfunktionspaares -s2 als Impulsantwort erzeugt.
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Durch die Verwendung rek siver Prozesse kann der Filteraufwand nochmals
herabgemindert werden.
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nach Die/heterogenen Spline-Systemen entwickelten Filter weisen insbesondere
für die Übertragung von Bildsignalen sehr günstiges Einschwing- und Ausschwingverhalten
auf. Bereits die Verwendung einer Spline-Funktion zweiter Ordnung ist in vielen
Fällen ausreichend.
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6 Figuren 11 Patentansprüche