DE19808951A1 - Verfahren zur nachbildenden Erzeugung von stochastischen Prozessen - Google Patents

Description

Die Erfindung bezieht sich auf ein Verfahren zur nachbilden­ den Erzeugung von stochastischen Prozessen, vorzugsweise von schmalbandigen Störprozessen, wie beispielsweise Phasenrau­ schen von Oszillatoren, Temperaturdrifts von Thermometern, reversible oder irreversible Verformungen von Federn oder Maschinenteilen, in Form eines Simulationssignalmodells.

Eine bekannte Methode zur nachbildenden Erzeugung eines sto­ chastischen Prozesses ist die lineare Signalfilterung von weißem Rauschen (H. Brehm und D. Wolf: "Pegelüberschreitungen und Extremwerte kontinuierlicher stochastischer Signale" in "Signalverarbeitung, Vorträge der gleichnamigen NTG-Fachta­ gung in Erlangen vom 4. bis 6. April 1973", Tagungsband Sei­ ten 32 bis 40). Dabei entspricht das Spektrum des eingesetz­ ten Signalfilters dem Spektrum des nachzubildenden stochasti­ schen Prozesses oder approximiert dieses Spektrum zumindest. Bei dieser bekannten Methode ergeben sich in nachteiliger Weise eine hohe Komplexität, störende Einschwingvorgänge und insbesondere bei sehr schmalbandigen Spektren und rückgekop­ pelten Filtern, beispielsweise IIR(Infinite Duration Impulse Response)-Filtern, eine große Instabilität.

Eine weitere bekannte Methode zur Erzeugung von stochasti­ schen Prozessen sind die sogenannten autoregressiven Modelle wie beispielsweise das "Random Walk"-Modell (A. Papoulis: "Probability, Random Variables, and Stochastic Processes", McGraw-Hill, 2. Auflage, 1984). Bei autoregressiven Prozessen besteht jedoch der Nachteil, daß die Spezifikation der Sy­ stemkomponenten (Matrizen) bei gegebenen Eckdaten (Form des Spektrums und Grenzfrequenz) sehr schwierig sein kann.

Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, stochastische Pro­ zesse, vorzugsweise schmalbandige Störprozesse, mit einem flexiblen Verfahren in einem stabilen Signalmodell abzubil­ den, ohne daß ein großer Implementierungsaufwand erforderlich ist und Einschwingvorgänge entstehen.

Gemäß der Erfindung, die sich auf ein Verfahren der eingangs genannten Art bezieht, wird diese Aufgabe dadurch gelöst, daß ein gegebenes Spektrum S(f) des nachzubildenden stochasti­ schen Prozesses durch ein Signalspektrum

bzw. durch eine daraus über eine Fourier-Transformation ge­ wonnene Signalfunktion im Zeitbereich

approximiert wird, wobei S(f)_approx und s(t)_approx im allgemei­ nen komplexwertige Signale sind, und daß die jeweils aus ei­ nem Zufallsamplitudenwert a_n, einem Zufallsphasenwinkelwert θ_n und einem Zufallsfrequenzwert f_n bestehenden Parametersätze {a_n, θ_n, f_n} geeignet gewählt werden und die Anzahl der Summanden N hinreichend groß gewählt wird.

Die Realisierungsanzahl N kann beispielsweise 10 bis 100 be­ tragen.

Das Verfahren nach der Erfindung führt zu einer Reihe von Vorteilen. Das Verfahren ist sehr flexibel. Es lassen sich fast beliebig ausgebildete Spektren approximieren. Das Si­ gnalmodell ist immer stabil. Eine Quantisierung der Parame­ tersätze ist nicht kritisch. Der Implementierungsaufwand ist gering. Kennwerte wie die Grenzfrequenz können in beliebigen Grenzen "durchgestimmt" werden. Es gibt keine Einschwingpha­ sen. Es sind außerdem Hard- und Softwarelösungen realisier­ bar.

Zweckmäßige Weiterbildungen und Ausführungen des Verfahrens nach der Erfindung sind in den Unteransprüchen angegeben.

Zur Bestimmung der Parametersätze läßt sich in vorteilhafter Weise ein Würfelverfahren anwenden. Beim Würfelverfahren wird der Parametersatz {a_n, θ_n, f_n} oder werden Elemente des Parame­ tersatzes mit geeigneten Verfahren ausgewürfelt. Häufig steht ein Zufallsgenerator zur Verfügung, der gleichverteilte Zu­ fallszahlen erzeugt, z. B. u_n ∈ (0,1). Generatoren, die eine gleichverteilte Zufallsfolge erzeugen, sind auf vielen Digi­ talrechnern verfügbar.

Durch eine nichtlineare Transformation, beispielsweise mit Hilfe einer nichtlinearen Kennlinie, kann aus einer gleichverteilten Zufallsvariablen eine beliebige oder zumindest fast beliebig verteilte Zufallsvariable erzeugt werden, wozu auf das Buch von W.H. Press et al: "Numerical Recipes (in Fortran or C)", Cambridge University Press, 1989, Kapitel 7.2 hingewiesen wird. Die Nichtlinearität ist gleich der Umkehrfunktion der gewünschten Wahrscheinlichkeits­ dichtefunktion. Wenn die Umkehrfunktion nicht existiert oder wenn das Spektrum nicht analytisch, sondern z. B. durch Meßwerte gegeben ist, dann lassen sich die Parametersätze dennoch approximieren.

Für das Auswürfeln bestehen folgende Möglichkeiten:

• 1. Zufällig: Die Eingangsgröße der Nichtlinearität u_n wird gleichverteilt ausgewürfelt.
• 2. "Kontrolliert" zufällig: Die Eingangsgröße der Nichtli­ nearität u_n wird in N Intervalle der Breite 1/N unter­ teilt. Pro Intervall wird genau ein gleichverteilter Zufallswert ausgewürfelt.
• 3. Deterministisch: Die Eingangsgröße der Nichtlinearität u_n wird deterministisch festgelegt. Beispielsweise wird der Wertebereich (0,1) in N äquidistante Intervalle der Breite 1/N oder der Breite 1/(N-1) aufgeteilt.

Beim ersten und zweiten Würfelverfahren kann die Statistik durch ein Neuauswürfeln der Parametersätze von Zeit zu Zeit, z. B. von Datenblock zu Datenblock, verbessert werden. Langsam zeitveränderliche Parametersätze sind ebenfalls realisierbar.

Zur Bestimmung der Parametersätze läßt sich auch ein Suchver­ fahren anwenden. Beim Suchverfahren wird der Parameterraum mit geeigneten Verfahren durchsucht und die beste Lösung aus­ gegeben. Mögliche Suchverfahren werden in dem Buch von W.H. Press et al: "Numerical Recipes (in Fortran or C)", Cambridge University Press, 1989, Kapitel 10 beschrieben. Ein mögliches Verfahren ist das sogenannte "Simulated Annealing"-Verfahren.

Im folgenden wird ein auf dem Prinzip des Verfahrens nach der Erfindung beruhendes Ausführungsbeispiel zur Erzeugung eines stochastischen Prozesses erläutert.

Der zu erzeugende stochastische Prozeß habe das Spektrum

Das Spektrum ist ideal bandbegrenzt und hat keine Anteile für |f| < f_max, wobei f_max die einseitige (Rausch-)Bandbreite ist.

Durch Abtastung des stochastischen analogen Signals s(t) wird

erhalten, wobei 1/T die Abtastrate ist, vergleiche die Glei­ chung (1). 1/T erfülle das Abtasttheorem: 1/T < 2f_max.

Die Aufgabe besteht nun in der Bestimmung von a_n, θ_n und f_n für eine gegebene Anzahl von Summanden N. Dazu wird das be­ reits erläuterte "Würfelverfahren" verwendet.

Es wird a_n = 1/√N gewählt. Dadurch wird die Varianz des stochastischen Prozesses s_n auf eins normiert: E[|s_n|²] = 1. Der Erwartungswert ist null: E[s_n] = 0. ferner wird θ_n ∈ (0,2π) gleichverteilt ausgewürfelt. Der Parameter f_n wird durch die Transformation (siehe P. Hoeher: "A Statistical Discrete-Time Model for the WSSUS Multipath Channel" in "IEEE Trans. Veh. Techn.", Vol. VT-41, Seiten 461 bis 468, November 1992)

f_n = f_maxcos(πu_n) (4)

erhalten, wobei u_n ∈ (0,1) gemäß den obigen drei Ausführungs­ möglichkeiten beim Würfeln bestimmt werden kann.

Mit N ≈ 25 . . . 100 wird das gewünschte Spektrum gut angenähert. Durch ein ständiges Neuauswürfeln von Zeit zu Zeit kann N bis auf etwa N = 10 reduziert werden.

Anhand der anliegenden Zeichnungen werden im folgenden Einzelheiten des Verfahrens zur nachbildenden Erzeugung von stochastischen Prozessen nach der Erfindung erläutert. Es zeigen:

Fig. 1 ein grundsätzliches Blockschaltbild, in dem die Einführung von Nichtlinearitäten in das stochasti­ sche Prozeßmodell dargestellt ist,

Fig. 2 die Realisierung eines kontrollierten Zufalls pro Intervall, und

Fig. 3 die Realisierung eines deterministischen Modells.

Wie in Fig. 1 dargestellt, werden bei der Nachbildung eines einen stochastischen Prozeß darstellenden Spektrums die gleichverteilten Eingangsrealisierungen des Spektrums einer nichtlinearen Transformation 1 zugeführt, so daß aus einer gleichverteilten Zufallsvariablen eine zumindest angenähert beliebig verteilte Zufallsvariable erzeugt wird und sich so­ mit die physikalischen Verhältnisse des Prozesses realisti­ scher nachbilden lassen.

Fig. 2 zeigt das Auswürfeln in "kontrolliert zufälliger" Weise. Beim Würfeln wird der Parametersatz {a_n, θ_n, f_n} mit der Zufallsamplitude a_n, der Zufallsphase θ_n und der Zufallsfre­ quenz f_n, 1 ≦ n ≦ N oder werden Elemente des Parametersatzes ausgewürfelt. Die Eingangsgröße der Nichtlinearität u_n wird in N Intervalle der Breite 1/N unterteilt. Pro Intervall wird genau ein Zufallswert (gleichverteilt) ausgewürfelt.

Fig. 3 zeigt das Auswürfeln in deterministischer Weise. Hier­ bei wird die Eingangsgröße der Nichtlinearität u_n determini­ stisch festgelegt. Beispielsweise wird der Wertebereich (0,1) in N äquidistante Intervalle Δ der Breite 1/N oder der Breite 1/(N-1) aufgeteilt.

Claims (14)

1. Verfahren zur nachbildenden Erzeugung von stochastischen Prozessen, vorzugsweise von schmalbandigen Störprozessen, wie beispielsweise Phasenrauschen von Oszillatoren, Temperatur­ drifts von Thermometern, reversible oder irreversible Verfor­ mungen von Federn oder Maschinenteilen, in Form eines Signal­ modells, dadurch gekennzeichnet, daß ein gegebenes Spektrum S(f) des nachzubildenden stochastischen Prozesses durch ein Signalspektrum
bzw. durch eine daraus über eine Fourier-Transformation ge­ wonnene Signalfunktion im Zeitbereich
approximiert wird, wobei S(f)_approx und s(t)_approx im allgemei­ nen komplexwertige Signale sind, und daß die jeweils aus ei­ nem Zufallsamplitudenwert a_n, einem Zufallsphasenwinkelwert θ_n und einem Zufallsfrequenzwert f_n bestehenden Parametersätze {a_n, θ_n, f_n} geeignet gewählt werden und die Anzahl der Summanden N hinreichend groß gewählt wird.

2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß zur Bestimmung der Parametersätze {a_n, θ_n, f_n} oder von Elementen der Parametersätze ein Würfelverfahren verwendet wird.

3. Verfahren nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, daß das Auswürfeln entsprechend der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion zufällig erfolgt.

4. Verfahren nach Anspruch 2 oder 3, dadurch gekennzeichnet, daß der Parametersatz oder Elemente des Parametersatzes zufällig und nicht gleichverteilt entsprechend dem zu realisierenden Gegebenheiten ausgewürfelt werden.

5. Verfahren nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, daß durch eine nichtlineare Transformation, z. B. mit Hilfe einer nichtlinearen Kennlinie, aus einer gleichverteilten Zufallsvariablen u_n ∈ (0,1) eine beliebig oder zumindest fast beliebig verteilte Zufallsvariable erzeugt wird.

6. Verfahren nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, daß das Auswürfeln kontrolliert zufällig abläuft, indem das Intervall einer nichtlinearen Zufallsvariablen u_n ∈ (0,1) in N Subinter­ valle der Breite 1/N unterteilt wird und pro Subintervall genau ein Zufallswert u'_n ∈ (0,1/N), 1 ≦ n ≦ N bei gleicher Verteilung ausgewürfelt wird gemäß u_n = u'_n+(n-1)/N.

7. Verfahren nach einem der Ansprüche 3 bis 6, gekennzeichnet durch ein Neuauswürfeln der Parametersätze von Zeit zu Zeit, z. B. von Signalblock zu Signalblock.

8. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 3, gekennzeichnet durch langsam zeitveränderliche Parametersätze.

9. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß das Auswürfeln deterministisch abläuft, indem der Parametersatz deterministisch festgelegt wird.

10. Verfahren nach Anspruch 9, dadurch gekennzeichnet, daß der Wertebereich 0,1 der Zufallsvariablen u_n ∈ (0,1) in N äquidistante Intervalle, z. B. der Breite 1/N oder der Breite 1/(N-1) aufgeteilt wird.

11. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß zur Bestimmung der Parametersätze {a_n, θ_n, f_n} der Parameter­ raum mit einem geeigneten Suchverfahren durchsucht wird und eine der besten Lösungen ausgegeben wird.

12. Verfahren nach Anspruch 11, dadurch gekennzeichnet, daß als Suchverfahren das sogenannte "Simulated Annealing"-Ver­ fahren angewendet wird.

13. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, ge­ kennzeichnet durch eine Implementierung in einem Digitalrech­ ner.

14. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 12, gekennzeich­ net durch eine Implementierung als Hardware-Simulator.