DE1523552A1 - Abtastsystem beliebiger Ordnung mit einem Abtastregler,der diesem System deadbeatresponse-Verhalten gibt - Google Patents

Description

• Abtastsstem beliebiger-Ordnung mit einem Ab- tastregler, der diesem System deadbeat-resj2Gn-#se-Verhalten gibt Die Abtastsysteme bilden eine eigene Klasse der Systeme: zur automatischen Steuerung bz :r. Regelung und sind durch das Vorkommen mindestens eines Abtastgliedes gekennzeichnet. Ein: System dieser Art ist in Fg: 1 dargestellt.
• Durch den. Abtasten 'I mit Haltekreis 2, nullten Ordnung wird die ,-Regelabweichung xW (t) in eine Treppenfunktion xw(t) umgeformt und dem Regler 3 (mit der Übertragungsfunktion GR(s))zugeführt, der seinerseits daraus eine andere Treppenfunktion y (t) bildet und mit dieser die Regelstrecke 4 (mit der Übertragungsfunktion G(s)) beeinflußt; die Treppenfunktion y(t) kann dabei in der Form geschrieben werden

  ('t)(t) _ ho @' (t) + h.1 9" (t-T) + # # n

  G"(t) ist dabei der Einheitssprung und T die Dauer der 'Tastperiode.
• Der durch eine Differenzgleichung beschriebene Regler 3, und damit die Treppenfunktion J(t) muß nun so beschaffen werden, daß das System in der gewÜnschten Weise beeinflußt wird. Die Forderungen an einen Regler verlangen im allgemeinen, daß durch seine Anwesenheit dem Regelkreis ein. dynamisch gärastiges optimales Verhalten erteilt wird in dem Sinne, da.ß eine auftretende Störgröße möglichtst schnell und vollständig ausgeregelt wird und daß im Falle einer Führungsgrößenänderung der neue Sollwert ebenfalls möglichst schnell und genau erreicht wird. Dabei wird Wert darauf gelegt, daß die jeweilige Übergangsfunktioh keine zu große Uberschwingung aufweist. Bezüglich der Abtastregelurg 1 ä_ßt sich sagen, da.ß diese Forderungen mit in den Ansatz für die Berechnung des Reglers aufgemom- _ , men werden können. Es kann z.B. für die Synthese eines Führungsgrößenreglers gleichzeitig vorgegeben*werden die Überschwgweite, die Bauer des Regelvorganges bis zum Maximum der 1. Überschwingung und der Endwert. Ebensogut könnte man auch irgendwelche Punkte vorgeben, durch die die Übergangsfunktion laufen muß; mit anderen Warten: die Kurvenform der Übergangsfunktion kann. vorgegeben, werden. Es läßt sich auf jeden. Fall ein Regler berechnen, der dem System das gewünschte Verhalten gibt. Nun muß -aber bemerkt rrirerden, daß mit zunehmenden Ansprüchen an den Kurvenverlauf auch die Kompliziertheit des Reglers wächst. Der Aufwand,-sowohl für die Berechnung als auch besonders für den gerätetechnischen Aufbau wird beträchtlich und ist höchstens in Ausnahmefällen gerechtfertigt. Der Regler wird jedoch wesentlich einfacher, wenn er so projektiert ist, daß die Antwort auf eine sprungförmige Eingangsgröße nach einer vorgegebenen Zeitspanne ohne Ühersch@riingen mit der Eingangsgröße identisch ist. Eine derartige Antwort wurde von Jury als "deadbeat r,esponse" bezeichnet. Die auf diese Eigenschaften hin ausgelegten Regler hängen bezüglich ihres apparativen Aufwandes von der Ordnung des Sv stems ab, das sie zu beeinflussen haben. Die Dauer des Regelvorganges ist im. Minimum gleich der Dänge von n Tastperioden, wenn n die Ordnung der Regelstrecke ist.
• Obwohl die Erfindung sich allgemein an Regler wendet, die nach irgend einer Vorschrift dem System ein optimales Verhalten geben, so sollen: insbesondere die Regler

  betrachtet werden, die dem System deadbeat response Ver-

  halten geben.. Wie man einen solchen Regler entwirft, ist

  bekannt.. Im allgemeinen wird. je nach Erfordernis für den

  konkreten Anwendungsfall, der Entwurf solcher Regler un-

  ter der Annahme sprungförmiger bzw. rampenformiger Ein-

  gangsgrößen: durchgeführt. Entsprechende S.vntheseverf'ahren

  sind in der einschlägigen Literatur ausfÜ%rlch beschrie-

  ben worden:

  Jury;, E. I. Sampled-Data Control Sjstems

  John" Wiley and Sons Ina., New York, 'i953;

  Ragazzini, J. R. Sampled-Data Control Systems

  and Frankln, G.F. Mc Graw-Hll Book Comp., New York, 1958;

  Tou, J. Z. Digital and Sampled-Data C"#ntrol Systems,

  Mc Graw-Hl l Book Comp., Eew York, 1959._

  #iie beruhen auf einem Ansatz nach der Methode der unbestimm-

  ten Koeffizienten, sind jedoch in der praktischen Durchfüh-

  rung sehr umständlich-und. mühsam, insbesondere bei S-!stemen

  höherer Ordnung: Demgegenüber stellt die Methode von Smith,

  O. J.M"Deadbeat Sampled. S;'stem` Direot Sü=nthesis", IE EE

  Trans. an Autom-atic C.ontrol, Juli 1963, pp: 240T246 eine

  wesentliche Vereinfachung dar. Smith gibt geschlossene For-

  meln für Svsteme beliebiger Ordnung an, aus denen relativ

  schnell die z-Übertragungsfunktion des gesuchten diskreten

  Reglers : berechnet werden kann: Doch ist auch hier, wie

  schon bei der_ erst erwähnten Methoden Jury", E.I., usw. die

  Anwendung der z-Trä.nsformetiön unerläßlich.

  -gen anderen: Irbeiten, Schneider, G.

  Inzwi rohen könnte. bei eni

  `Über die Nachbildung und Untersuchung von 4btasts@°stemen

  au@r einem @?@trischein Anal=ogrechner'', Elektronische Rechen-

  an.., ven , 'I O, Heft 'f , Seite 3'L-37; Haherstook, F., "Über

  die S;-nthese von Artastregi ern für Regelkreise beliebiger

  Ordnung`, egnl,zrg;@tcrhnik, 1961--, Heft 5; Haberstock, F.,

  "Ein Standardregler für lineare Abtastregelkreise beliebiger_Ordnung" Dissertation TH Darmstadt, 1963, gezeigt werden, daß der Entwurf von Abtastreglern mit "deadbeat response" Eigenschaften vollständig im Zeitbereich, ohne Zuhilfenähme der z-Transformation, durchgeführt werden kann. Auch hier lassen sich geschlossene AüsdrÜcke angeben, aus denen auf einfache Weise die Übertragungsfunktion des Reglers für Systeme beliebiger Ordnung berechnet werden kann. Bei diesem Verfahren wird davon ausgegangen,-daß das Übertragungsverhalten des Reglers sich durch eine lineare Differenzgleichung mit konstanten Koeffizienten beschreiben läßt. (2) y(t) + c1 y(t-T) + + cK X(t-KT) = do xw(t) + d1 xw(t-T)+.. Die Übertragungsfunktion GR(s) des Reglers lautet dann: Die Übertragungsfunktion ist also bestimmt, wenn die Koeffizienten ci und di bestimmt sind. Sie ergeben sich nach folgendem Verfahren: Man denke sich auf die Regelstrecke die Funktion nach (1) aufgeschaltet, ohne zunächst nach der Erzeugung dieser Funktion zu fragen. Vorausgesetzt soll lediglich werden, daß die Führungsgröße der Einheitsspruch G (t) ist. Also eine Sprüngfünktion mit der Sprunghöhe 1, die zum Zeitpunkt t o aufgeschaltet wird. Ist u (t) die Übergangsfunktion der Strecke, also ihre Antwort auf den Einheitssprung, so reagiert die Strecke auf y (t) mit. der Ausgangsgröße:

  (4) x(t): = h0 u(t) + h1 u(t_T) + .... hn u(t-nT)

  Enthält die Strecke eine Totzeit T:t, so sind nach Ablauf

  der Zeitspanne Tt + nT die Summanden von (4) in dem realen

  System tatsächlich vorhanden. Man sucht nun die Koeffizi-

  enten hi so zu wählen, daß für t > Tt + nT die Funktion

  x(t) _ 'C@ wird,-da. 1 als Wert (Sprunghöhe) der Führungs-

  große w(t) den gewünschten Endzustand der Regelgröße dar-

  stellt,. den. man nach möglichst kurzer Zeit erreichen will.

  Dies führt .auf ein System von Gleichungen für die Unbe-

  kännten hi, die als "Synthesegleichungen" bezeichnet wer-

  den. Hat man sie aufgelöst, so kennt man sowohl die Funk-

  tion y(t) als auch die durch sie erzeugte Funktion x(t),

  letztere- nach. (4)

  Mit x(t) ist auch die Regelabweichung

  xw(t) _ w(t) - x(t) = J '(t) - x(t)

  bekannt uns damit auch die hinter dem'Abtastglied auftreten-

  de Funktion xw(t), die ja einfach durch Treppenbildung aus

  xW(t) entsteht, also

  Mit (5) läßt sich dabei xW(t) durch x(t) ausdrücken:

  Da y(t) die-Ausgangsfunktion und Xw(t) die Eingangsfunktion

  des diskreten Reglers 3 (Fg. 'I) darstellt, muß dieser also so be=schaffen sein, daß er aus der--bekannten Treppenfunktion 7cw(t) nach (6a) die ebenfalls bekannte Treppenfunktion y(t) nach (1) macht. Seine Übergangsfunktion GR(s) ergibt sich also nach Laplace-Transformation von ('I) und (6a) Durch Vergleich von (7) mit (3) erhält man unmittelbar die Koeffizienten ci.und dl, wodurch die gestellte Aufgabe ge-: löst wird. Man erkennt dabei, daß die Koeffizienten dden: . Koeffizienten hi entsprechen, also sich aus den Stufenhöhen der'auf die Strecke einwirkenden Treppenfunktion j` t) ableiten lassen.Die. Koeffizienten ci dagegen leiten sich aus den Stufenhöhen der Ausgangsfunktion der Strecke ab.
• Allgemein läßt sich also für die deadbeat response Synthese sagen, daß ein für die minimale Ausregelzeit infräge kommender Regler eine Übertragungsfunktionder Form besitzt. Darin ist m = n, wenn -n die Ordnung der Strecke G(s) ist und diese keine Totzeit Tt enthält, andernfalls ist m > n. Dann ist m gleich der kleinsten ganzen Zahl zu wählen, unter der die Beziehung mT > nT + T- noch gültig ist.
• Hat die zu regelnde Strecke die allgemeine Darstellung mit der Sprungantwort

  so ergibt sich für die Ausgangsgröße x(t), wenn die Trep-,

  penfunktion (1') aufgeschaltet wird

  (11) x(t) -: ho u(t) + hl u(t-T) + ... n u(t-nT)

  Die Koeffizienten ei in (8) bestimmen sich- mit Hilfe von

  (11) wie bereits erläutert:

  (12) cl = -x(T)

  c2 - x(T)' - x(2T)

  x( (m - 1j T) - 1

  Für die Bestimmung der hi aus den Synthesegleichungen, also der Zählerkoeffizienten von (8), hat Q.. Föllinger, a. a. o., eine einfache Berechnungsvorschrift angegeben. Danach ergeben sich diese Werte als Koeffizienten eines Polynoms P(w), (13) p(w) =.h. + hlvt + . . . + n w n' Man erhält sie aus der Produktdarstellung in-der die di gemäß (9) die Pole von G(s) darstellen. Mehrfache Pole.sind zugelassen, auch im Nullpunkt. Ordnet man den Polen die im Nullpunkt liegen, die Indizes i = 1, 2 :.. r zu, so läßt sich (14) in der folgenden Form°darstellen Dabei ist Durch Ausmultip@izieren der Gleichung (15) läßt-sich unter Beachtung von (16) und (17 der Ausdruck P(w) auf die Form (13) bringen, womit die gesuchten Koeffizienten hi bestimmt sind. Die Koeffizienten h1 und ei,, d.-h. die Reglerkoeffizienten, hängen von den Daten der Regelstrecke ab. Sind zeitvariable Systemparameter vorhanden-, so hat eine Änderung dieser Parameter zur-Folge, daß das Abtastsystem nicht mehr auf deadbeat..response optimiert bleibt, weil die einmal. ermittelten Koeffizienten nicht mehr der deadbeat response entsprechen. Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, das Abtastsystem beliebiger Ordnung mit einem Abtastregler, der diesem System ein vorgeschriebenes optimales, insbesondere deadbeat response-Verhalten gibt, so auszubilden, daß es stets im vorgeschriebenen Sinne optimiert bleibt. Die Lösung dieser Aufgabe gelingt gemäß der Erfindung dadurch, daß eine Rechenschaltung ('11-'13) vorgesehen .st, die fortlaufend aufgrund der Daten der Regelstrecke die jeweils gültigen Reglerköeffizienten errechnet und die Einstellung des Reglers selbsttätig so korrigiert, daß das System trotz zeitlich veränderlicher Parameter optimiert bleibt: Bei dem Gegenstand der Erfindung handelt es sich somit um einen selbsteinstellenden Abtastregler zur Erzeugung eines vorgeschriebenen optimalen, insbesondere deadbeat r.esponse-Verhaltens bei zeitvariablen Systemen beliebiger Ordnung.
• Die Rechenschaltung ist-insb. für den Fall der deädbeat respönse gerätetechnisch leicht zu realisieren, weil der nach obigem verfahren ermittelte Zusammenhang zwischen den Reglerkoeffizienten und den zeitlich veränderlichen Systemparametern sehr einfach ist. Die Rechenschaltung liefert :somit immer die Werte für die optimalen Reglerkoeff izienten, d.h: die Reglerkoeffizienten werden selbsttätig so eingestellt, daß-das Abtastsystem mit Vorteil stets auf deadbeät response optimiert.bleibt.
• An Hand eines AusfÜhrungsbeispieles, eines deadbeat response Reglers, soll die Erfindung näher erläutert werden: Als einfaches Beispiel 'sei eine Regelstrecke zweiter Ordnung angenommen, Die Sprungantwort ist Aus der Theorie der Abtastsysteme ist bekannt, daß, von speziellen Ausnahmefällen abgesehen, die minimale Ausregelzeit für-die deadbeat response nT Sekunde'n beträgt, ' -wenn'n_die Ordnung von G(s) ist. Enthält G(s) zusätzlich noch eine Totzeit, dann sind es nT + Tt Sekunden. Im vorliegenden Fall ist m = n = 2, und die Reglergleichung ist demnach

  Die Zählerkoeffizienten ergeben sich aus (15) - ('f7).

  Es ist

  Man erhält also aus (21) durch Koeffizientenvergleich mit (13

  Für (16a) und (17a) kann geschrieben werden:

  (16b) hl - -(ho + h2) _

  Im Nenner der Reglergleichung (20) ergibt sich nach (11), (12) und (19) (hi sind bekannt und über Sprungantwort ergibt sich x( t». Setzt man (16b.) sowie die Beziehungen (22) und (23) in . (20) ein, so ist dort im Zähler und im Nenner die Abspaltung eines Linearfaktors (1 -eis) möglich, der dann herausgekürzt werden kann. Es verbleibt Das Strukturbild dieses Reglers ist in Fig. 2 dargestellt. Bezogen auf die Fig. 1 gibt die Fig. 2 den näheren Aufbau. des Blockes 3 an, wenn -für den Block 4 die Beziehung ('1F3) gilt. Die Blöcke 5 - 7@bedeuten Proportionalglieder, die Positionen 9#, 10 Summierstellen und der Block 8 ein Tot Bitglied. Die Konstanten der P-Glieder ergeben-sich dabei aus den Beziehungen (15a) für Block 5, aus: (23) für 6 und aus (17b) sowie (1.5a) für Block 7. Der Wert der Konstanten hängt somit von kund T1, den Daten der Regelstrecke ab. Der Abtastregler nach Fig: 2 liefert demnach nach der Einstellung nur dann deadbeat response, wenn sich die Werte von"k und T nicht ändern.
• Es sei nun angenommen, daß die beiden Parameter von G(s), also k und TI in Gleichung (18), zeitlich beliebig veränderlich sind, jedoch so, daß ihre relative Variation während einer Tastperiode klein ist. Dann läßt sich die in Fi,g. 2 angegebene Reglerschaltung gemäß der Erfindung zu einem selbstoptimierenden System (optimal im Sinne der deadbeat_response;)-erweitern, indem man die drei Proportionalglieder 5 - 7 mit den Konstanten, ho, . 1 -.x(T) und als multiplikative Glieder ausbildete (Ist 'k allein veränderlich, so kann die Anpassung natürlich einfacher erfolgen,: indem die Reglerverstärkung entsprechend beeinflußt wird. Die hier angestellten Betrachtungen zielen vor :allem auf den Fall einer variablen Zetkonsta:nten ab): Aus der Fig. 2 wird dann das in der Fig. 3 gezeigte'-Strukturbild. Die in die Multiplikationsglieder 5a - 7a einzuspeisenden Größen sind:

  Unter der-Voraussetzung, daß durch eine geeignete Meßeinrich-..

  tung laufen die Werte k(t) und TI(t) ermittelt werden, l.as- .

  sen*sich einfache Rechenschaltungen 11 - 13 angeben., die fort-

  laufend die Werte ho, 1 - x(T), h2 gemäß den Gleichungen (25)-

  (27) berechnen. Bei dem hier behandelten F.11 kann die Rechen-

  schaltung mit-Elementen der Analogrechentechnik bebaut werden:.

  Es ist dazu lediglich die Einstellung einer Kennlinie gemäß.

  sowie. der--Einsatz einiger Reche7:verstärker und Multiplikato-:

  ren nötig. Liegt der Regler als komplettes Gerät.mit Ein- .--

  stellvorrchtün.geri für die- Kehndaten: (Aegler-Koeffiz"ientän):

  des Reglers vor,-so---'k ann man die Multip? ikatIon im Gerät :.

  elektronisch oder mit Servoeinstellungen: vornehmen, wobei

  im letzten Fäll die Rechenschaltung die Sollwerte liefert.

  Bei dem heutigen Bestreben, Digitalrechengeräte zur Pro-

  zeßfÜhrung einzusetzen, ist es zweckmäßig., die Rechenschal--.

  tungen 11 - 13 und den Regler auf dem Digitalrechner nach-

  zubilden, d.h. die Durchführung der Multiplikation in den

  Gliedern 5a - ',7a' der Subtraktion in den Gliedern 9, 'I0

  erfolgt ebenfalls in dem Rechner, wobei das Totzeitglied

  über das Speicherwerk nachgebildet wird. Der Digitalrech-

  ner erhält dann als Eingangsinformation die Größe w (t),

  und die zeitvariablen Systemparameter, u.U. jeweils von

  verschiedenen Geräten im Multiplexverfahren und gibt eine

  Größe aus, die auf das System -geschaltet, dieses im vorge-

  schriebenen Sinne optimiert (deadbeat response, quadrati-

  sche Regelfläche usw.).,

  Bemerkenswert- ist,; daß bei der erfindungsgemäßen Schaltung

  auch bei einer Änderung; der Abtasstfrequenz mit. Vorteil der

  Regelkreis sein optimales Verhalten beibehält, sofern de-

  se Änderung nicht zu schnell verläuft. Das beschriebene

  Beispiel nach Fig. 3 -wurde mit Hilfe: eines Analogrechners

  experimentell

  dem Regelkreis eine

  sinusförmige Führungsgröße- w(t)' mit einer Periodendauer

  von 2 Minuten vorgegeben.. In Fig.. 4 sind die-Ergebnisse

  von .2 Versuchen dargestellt. Einmal wurde innerhalb einer

  Zeitspanne von 80 Sekunden die Zeitkonstante T, der Regel-

  strecke von T, = 2 sec auf T1 = 10 sec,- also um: den -Faktor ,5,

  verstellt (Lösungskurve x,), beim-zweiten Versuch wurde bei

  festem T'1 - die Abtastfrequenz um den Faktor 2, 4 verändert, und zwar ebenfalls innerhalb von 80 Sekunden von T = 2,5 sec auf T = 6 sec (Lösungskurve x2 ). Die Ergebnisse zeigen., daß der Regelkreis trotz der starken Änderung der SystemparaTeter zufredenstellend.arbetet.

Claims (1)

1. Patentansprüche Ahta,ste=stein be7.iebigpr Ordnung mit einem Abtastregler, der diesem System ein v3rgeschriebenes optimales,- insbe- sondene deadbeat re^ponse-Verhalten gibt, dadurch. gekenn- eichnet1 da_ß eine Rechenschaltung (11 - 'I3) vorgesehen ist, -die fort1^tufend rufgrund der Däten dercge@_ strecle (4) die -jewei7 @ Lltigen Reglerkoeffizienten errechnet und .die Einstellung des Reglers (3) selbsttätig ^o korri- Ziert, d.:i-,1?t das '3.7-stem trotz zeitlich veränderlicher Farn- meter optimiert bleibt. r Abt=;--,treg?:er nach Anspruch 'f , dadurch gekennzeichnet, da.(' im Regler r-!_:l.tiplk=@tionsgliec?:er (5>a - 72,) vorgoseher sind derer. eine Gröf von der-Rechenschaltung geliefert wird. Abtastregl e,_°_ nach'_n.srruc'h 'i öder 2, da .durch zeichnet, d--3,B sowohl der Regler als auch die Rechen:cha.l tung rlur. ch einen Digitalrechner nachgebildet t,rerden.