DE1190700B - Arithmetische Einheit fuer einen programmgesteuerten Digitalrechner - Google Patents

Description

BUNDESREPUBLIK DEUTSCHLAND

DEUTSCHES

PATENTAMT

AUSLEGESCHRIFT

190 700 Int. CL:

Nummer:
Aktenzeichen:
Anmeldetag:
Auslegetag:

G06f

Deutsche KL: 42 m-14

1190 700
J 22379IX c/42 m
13. September 1962
8. April 1965

Die Erfindung bezieht sich auf eine arithmetische E nheit für einen programmgesteuerten Digitalrechner mit mehreren Operanden- und Resultatregistem, mit mindestens einer Addier-Subtrahier-Einheit und mit einer Steuereinheit zur Ausführung von Divisionen und/oder Multiplikationen zwischen zwei Operanden nach dem Prinzip der fortgesetzten Subtraktion bzw. Addition.

Bei programmgesteuerten Rechenautomaten ist es üblich, ein Rechenwerk zu verwenden, das addieren, subtrahieren, multiplizieren und eventuell dividieren kann. Für die Ausführung komplizierter Operationen werden gewöhnlich Programme aufgestellt, die diese Grundrechenoperationen verwenden und zu einer Zeit jeweils ein Datenwort verarbeiten. Solche Programme beanspruchen jedoch gewöhnlich einen großen Aufwand an Rechner-Speicherraum sowie eine beträchtliche Programmzeit.

Es ist bei derartigen Rechenmaschinen bekannt, Indexregister zu verwenden, mit deren Inhalt in den einzelnen Rechenoperationen die Adressen der Programmbefehle veränderbar sind. Es wird auf diese Weise eine Vereinfachung des Programmaufbaues und eine Verkürzung der Rechenzeit erreicht. Ferner ist bereits vorgeschlagen worden, bei Rechenwerken mit Mikroprogrammierung ein zusätzliches Register zu verwenden, dessen einzelne Binärstellen je einer Werts eile des Rechenwerkes über ein logisches Netzwerk derart zugeordnet sind, daß die Anwendung von Mikrooperationen auf bestimmte durch den Inhalt des Verknüpfungsregisters festgelegte Wertstellen der Pechenregister beschränkt wird. Diese Anordnung hat den Zweck, ein binäres Rechenwerk für verschiedene Codearten verwendbar zu machen und eine Solittung des Rechenwerkes unter Vermeidung zusätzlicher Arbeitstakte zu gestatten.

Aufgabe der vorliegenden Erfindung ist es, eine arithmetische Einheit zu entwickeln, die es gestattet, relativ komplexe Funktionen mit weniger Programminstruktionen und Programmzeit zu lösen, als dies mit den bekannten Einrichtungen möglich ist. Erfindungsgemäß wird dies dadurch erreicht, daß ein Operandenänderungsregister vorgesehen ist, dessen Inhalt zur wiederholten additiven oder subtraktiven Veränderung der Operanden innerhalb eines Divisionsoder Multiplikationszyklus dient und durch Teilergebnisse der Divisions- oder Multiplikationsoperationen, durch die Veränderungsrechnungen selbst und/ oder durch zugeführte Änderungswerte bestimmt wird.

Weitere Merkmale der Erfindung sind aus den Ansprüchen in Verbindung mit den nachfolgend an Arithmetische Einheit für einen programmgesteuerten Digitalrechner

Anmelder:

International Business Machines Corporation,
Armonk,N.Y. (V. St. A.)

Vertreter:

Dipl.-Ing. H. E. Böhmer, Patentanwalt,
Böblingen (Württ), Sindelfinger Str. 49

Als Erfinder benannt:
lohn E. Meggitt, Winchester (Großbritannien)

Beanspruchte Priorität:
Großbritannien vom 20. September 1961
(33 721)

Hand von Zeichnungen beschriebenen Ausführungs- bzw. Anwendungsbeispielen zu entnehmen. Es zeigt F i g. 1 ein Rechenwerk nach der Erfindung in Form eines Blockdiagramms,

F i g. 1 (a) ein Datenflußdiagramm, das die Wirkungsweise der Schaltung von F i g. 1 während einer Divisionsoperation darstellt, und die

F i g. 2 (a), 2 (b), 2 (c) und 2 (d) Datenflußdia-

gramme, die andere Rechenoperationen darstellen.

Die nachfolgende Beschreibung befaßt sich mit

Operationen im Dezimalsystem. Dem Fachmann dürfte es klar sein, daß das nicht als Einschränkung ausgelegt werden kann und daß bei entsprechenden Änderungen auch Rechnungen in jedem anderen beliebigen Zahlensystem ausgeführt werden können. Das Arbeiten im Dezimalsystem ist jedoch besonders vorteilhaft in einer kleinen Maschine, in der eine Dezimal-Binär-Wandlung unzweckmäßig sein kann.

Eine zur Realisierung der Erfindung geeignete

Ausführungsform des Rechenwerks ist in F i g. 1 dargestellt. Es besteht aus einer Steuereinheit 1, die zweckmäßigerweise die Form einer Matrix hat, drei Registern A, B und M, von denen A und M ein vollständiges Wort und B ein vollständiges Wort und zwei zusätzliche Ziffern aufnehmen können, einem Resultatregister Q, einem Zähler 7, einer Addier-Subtrahier-Einheit 3 und einer Zustandsprüfeinheit 4. Zwischen den verschiedenen Elementen des Rechenwerks sind Datenpfade vorgesehen, die jeder durch

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ein Tor gesteuert werden, das in der Zeichnung durch Register A den Dividenden und das Register B den

einen quer über den Datenpfad verlaufenden Balken Divisor, und das Register Q und der Zähler 7 stehen

dargestellt ist. Diese Tore werden durch die Steuer- auf Null.

einheit 1 gesteuert, wenn auch zur Vereinfachung der Zuerst wird der Inhalt von B vom Inhalt von A Zeichnung die eigentlichen Steuerpfade weggelassen 5 in der Einheit 3 subtrahiert. Die Steuereinheit gibt an, worden sind. Die Aufgabe der Steuereinheit besteht daß der Ausgang der Einheit 3 auf einen Borgvorgang darin, eine Anzahl von Mehr-Bit-Wörtern zu erzeugen, hin zu prüfen ist. Wenn keine Borgvorgang auftritt, bei denen jedes Bit der Einstellungeines der Steuertore wird der Zähler um Eins weitergeschaltet und der entspricht. Wenn also an einer bestimmten Stelle Subtraktionsvorgang fortgesetzt, wobei der Inhalt in einem Steuerwort ein Eins-Bit vorliegt, wird das io von B von dem von A zum zweiten Mal subtrahiert entsprechende Tor geöffnet, während bei Vorliegen wird usw., bis ein Borgvorgang auftritt,
eines Null-Bits das entsprechende Tor geschlossen Die erforderlichen Tore (in diesem Falle die Tore gl, wird. Die Bits des Steuerwortes können je nach der g2 und g3) werden zu den entsprechenden Zeitfür die Tore erforderlichen relativen Zeitsteuerung punkten durch die Steuereinheit eingestellt. Die gleichzeitig oder nacheinander ausgelesen werden. 15 Schaltung von F i g. 1 ist so angeordnet, daß beim

Zusätzlich zu den Bits für das Steuern der verschie- Eintritt eines Borgvorganges die von der Steuereinheit

denen Tore erzeugt die Steuereinheit Adreßinforma- vorgeschriebene Bedingung erfüllt ist und das Adreß-

tionen für ein nachfolgendes Steuerwort. Diese Adreß- register 5 ein neues Steuerwort für die Steuerung des

informationen werden über einen Pfad 6 dem Steuer- nächsten Schrittes in der Division auswählt. Bei

matrix-Adreßregister 5 zugeleitet, das außerdem In- 20 diesem Schritt geschehen mehrere Dinge. Zunächst wird

formationen aus einer Prüfeinheit 4 empfängt. Die der Inhalt von B wieder zum Inhalt von A addiert, da

Anordnung ist so getroffen, daß in dem Falle, daß die der Borgvorgang angezeigt hat, daß B einmal zu viel

Prüfeinheit kein Ausgangssignal erzeugt, die Adresse subtrahiert worden ist. Zweitens wird der Inhalt des

des nächsten Steuerwortes die durch das vorhergehende Zählers 7 in die erste Ziffernstelle des Registers Q

Steuerwort angegeben ist, dagegen bei Erzeugung 25 eingegeben und Q eine Stelle nach links verschoben,

eines Ausgangssignals durch die Prüfeinheit die von Drittens wird der Inhalt des Registers A eine Stelle

dem vorhergehenden Steuerwort erzeugte Adresse nach links verschoben. Nach Abschluß aller dieser

abgeändert wird, bevor sie der Steuereinheit zugeführt Vorgänge wird der ursprüngliche Subtraktions-

wird. Eine weitere Gruppe von Bits des Steuerwortes Vorgang wieder aufgenommen, und zwar wird B

wird der Prüfeinheit selbst über Pfad 2 zugeleitet und 30 jetzt vom mit zehn multiplizierten Inhalt von A

dient zur Angabe eines zu prüfenden Zustandes. subtrahiert. Im Laufe der Operationsfolge werden

Die Addier-Subtrahier-Einheit 3 hat zwei Ausgangs- also die aufeinanderfolgenden Ziffern des Quotienten leitungen 8 und 9, und zwar liefert die Leitung 8 gebildet, und durch entsprechend häufige WiederInformationen darüber, ob ein Borgvorgang oder ein holung des Vorganges kann man jede gewünschte Übertrag aufgetreten ist, und die Leitung 9 enthält 35 Genauigkeit erlangen.

das Resultat einer Addition oder einer Subtraktion. Bei der nachstehenden Beschreibung werden die bei Außerdem weist die Einheit drei Eingangsleitungen 10, dem Rechenwerk von F i g. 1 beschriebenen Operall und 12 auf, von denen die Leitungen 10 und 11 tionen an Hand von Flußdiagrammen, die in Verso steuerbar sind, daß sie je nach der Einstellung ihrer bindung mit F i g. 1 betrachtet werden müssen, Tore einen echten oder komplementären Eingangswert 40 schrittweise entwickelt. Ein Flußdiagramm für den eingeben, und die Leitung 12 einen Eingangswert direkt Divisionsvorgang ist in F i g. 1 (a) dargestellt, und um in die Einheit einführt. Diese Einheit kann einem ein einfaches Operationsbeispiel zu geben, wird der beliebigen herkömmlichen Typ angehören, hat aber oben in Verbindung mit F i g. 1 erläuterte Divisionsvorzugsweise die Form einer gespeicherten Tabelle. prozeß jetzt an Hand von F i g. 1 (a) beschrieben.

Der Zähler 7 zählt unter der Steuerung der Steuer- 45 Anfänglich enthält das Register A ein «-stelliges

einheit jeweils eine Ziffer aufwärts oder abwärts. Wort y und das Register B ein «-stelliges Wort x.

Sein Ausgangssignal wird dem Quotientregister Q auf X wird so oft wie möglich von y subtrahiert, bis A

einen Impuls aus der Steuereinheit hin immer dann so klein wird, wie es werden kann, ohne negativ zu

zugeführt, wenn in dem Zähler eine bestimmte erf order- werden. Diese Anzahl von Malen wird in einem

liehe Ziffer aufgelaufen ist. Gleichzeitig mit einer 50 Zähler aufgezeichnet, dessen Inhalt zu einem Schiebe-

Eingabe in Q erfolgt eine Stellenverschiebung, damit register Q übertragen wird. (Es wird eine Subtraktion

eine nachfolgende Ziffer in die nächste Stelle von Q zu viel ausgeführt, und daher ist eine nachfolgende

eingeführt werden kann. Addition nötig.) Jetzt wird A mit 10 multipliziert und

Die in Fig. 1 gezeigte Anordnung kann mehrere der Vorgang wiederholt. Wenn er «-mal wiederholt

" »orden is,, _S,«He_n i„2 die, Zfflem A

drückliche Vorkehrungen getroffen sind. Die einzige Damit die Stellenzahl des Ergebnisses unter 10

Einschränkung bezüglich der ausgeführten Funktionen ,, .,. , . ,. ,. _c. , .. , , „ y „ _1Λ

ν * t* j · j ο · · t * · Ti-I. AJj- bleibt, besteht die Einschränkung, daß — < 10 sein

besteht dann, daß sie sich auf eine Reihe von Addi- ⁶ χ

tionen, Subtraktionen, Stellenverschiebungen und 60 muß. Das Register ^t muß eine Länge «+1 haben,

Übertragungen reduzieren lassen müssen. Bevor nun damit die Linksverschiebung möglich ist. Die Antwort

die komplexeren Funktionen besprochen werden, mit ist natürlich genau (abgesehen von einem im Register A

denen sich die Erfindung in erster Linie befaßt, sei verbleibenden Rest).

zunächst ein relativ einfaches Operationsbeispiel Jetzt soll an Hand von F i g. 2 (a) die Auswertung beschrieben, und zwar eine Division. 65 verschiedener Funktionen beschrieben werden, welche

Eine Division kann auf eine Reihe von Subtrak- das Änderungswertregister M nach der Erfindung

tionen und Stellenverschiebungen reduziert werden, benutzen. Bei allen diesen Prozessen wird das Register

wobei wie folgt vorgegangen wird: Anfangs erhält das M während jedes Subtraktionsganges unmittelbar vor

der Subtraktion gefüllt. Nach jeder Subtraktion wird der in B stehende Pseudodivisor dadurch auf den laufenden Stand gebracht, daß zu dem Divisor der Inhalt des um j Stellen nach rechts verschobenen Änderungswertregisters M addiert wird, wobei die Q+l)-te Quotientziffer qj gebildet wird.

Die verschiedenen Programme unterscheiden sich nur dadurch, daß in das Änderungswertregister die Inhalte verschiedener Register eingegeben werden. Nachstehend wird nun genau beschrieben, wie die verschiedenen Programme wirken. Flußdiagramme für alle sind zusammen in F i g. 2 (a) dargestellt.

Das Verfahren besteht darin, die Ziffern qj so zu wählen, daß

Die y-Werte werden immer kleiner. Um die Genauigkeit beizubehalten, ist es zweckmäßig, das zu tun, was im Falle einer echten Division getan wird, und

_ZU) _ lOi j/^y)

setzen. Für jedes j gelten dann die Bestimmungsrelationen

_zu) _ _zü) _ _xo") ^{o + 1 a a}

^{+ 1}
χψ+\ -

und dies sind die Gleichungen für die Bewertung von qj. qj wird definiert durch:

α)

¹⁵

worin y und χ gegebene n-stellige positive Zahlen sind. Die Berechnung von qj wird einer Division angeglichen. Wenn das geschehen ist, ist ao

in-1

log j 1 + — ] = 'S] qj log (1 + 10~')·

\ χ j j

(2)

Die Berechnung wird in zwei Teile aufgeteilt. Im as ersten Teil wird qj errechnet. Im zweiten wird der Logarithmus aus (2) unter Verwendung gespeicherter Werte für log (1 + 10-') berechnet Diese letztgenannte Berechnung erweist sich als Pseudomultiplikation.

Teil I der Berechnung Es wird angenommen, daß

Hier handelt es sich nun um einen Pseudodivisions-Vorgang, z^ ist der Pseudorest und x® der Pseudodivisor. Der einzige Unterschied besteht darin, daß der Pseudodivisor ständig dadurch auf den laufenden Stand gebracht wird, daß 10"'xf addiert wird, anstatt konstant gehalten zu werden.

Wenn qj gefunden ist, ist es klar, daß die Anfangsbedingungen für die Bewertung von yi+_x wie folgt sind:

y-^χ\Ώ.ο-

35

errechnet worden ist, worin q, q^ Ziffern sind, die bereits gebildet worden sind, und daß jetzt qj gefunden werden muß.

Hierfür werden aufeinanderfolgende Berechnungen von

Wenn daher qj gefunden ist, wird der Prozeß für die Radizierung von ^₁ fortgesetzt, wobei der Pseudorest z™ mit 10 multipliziert wird. Dies ähnelt dem, was im Falle einer echten Division geschieht.

Zu Anfang des Prozesses ist es auch klar, daß

^zo — y->

JC^ = X.

_ v-xJPfTfI -1- 10-*Λ1π 4- 10-Ύ -y *1 JLJL*·¹ + ^iU J \KL -Ir ιυ j -

1 JLJL
I

(3) für a =0,1,2 ... qj ausgeführt, qj wird definiert durch

> 0 > yV) + 1.

Dann wird festgestellt, welche Wirkung der Ein-Schluß weiterer Faktoren (1 + 10~^J) hat, wobei es das Ziel ist, yf positiv zu halten, es aber klein zu machen. Es gilt

^{Daher wird der fol}S^ende Algorithmus festgelegt:

_Wenn j, durch χ unter Verwendung eines langen Divisionsprozesses mit wiederholter Subtraktion dividiert wird, wobei der Divisor χ ständig dadurch auf den laufenden Stand gebracht wird, daß 10^-i χ während der Bildung der Quotientziffer qj zu ihm addiert wird, dann ist der Pseudoquotient q₀, q_±, q_z... so beschaffen,

logfl

= Υ, q. log(l

/t ^}

(11)

55

Π -u in-fc^f \n -L ιη-Λ^β (a\

Die aufeinanderfolgenden y- und x-Werte können aus (3) und (4) durch die Bestimmungsrelationen

_VO) — v

'a + l ~ 'α

i(Wyü)

^{1U X}a > Das Flußdiagramm in F i g. 2 (a) enthält diesen Prozeß und zeigt ihn ausführlich. Er ist in diesem Fall identisch mit dem in F i g. 1 (a) für eine echte Division gezeigten mit Ausnahme der Verwendung des Änderungswertregisters M, dessen Inhalt den Divisor auf den laufenden Stand bringt. Bei jeder Ausführung einer Subtraktion wird der Änderungswert mit dem Divisor selbst eingestellt, so daß die Bestimmungsrelationen 7 erfüllt sind.

g₅

_χω _{i =}

errechnet werden.

^{Größen von x und} y Zweckmäßigerweise sollen alle Quotientziffern kleiner als 10 sein.

7 8

Wie im Falle einer echten Division bedeutet dies Nach der Bildung von q_n-% enthält^ einen Fehler

eine Begrenzung von — nach oben, und zwar muß „

für?₀<10 + (ΙΟ»-³ q₂ + 10»-* q₃

2_<2io_i +qn-₁)$x₁ + öx_i + ..

χ Im ungünstigsten Falle ist q₁ = q₂ = q₃ ... =9

sein. Ox₁=Ox, = ... =3.

Es stellt sich dann heraus, daß

Für nachfolgende Ziffern wird die Bedingung auto- io , _ _

matiscn erfüllt, weil sie für eine echte Division be- ^⁷¹"¹ ~ ' ' ^

stimmt erfüllt ist und bei der Pseudodivision der Die Auswirkung von Rundungsfehlern, die bei der

Divisor ständig vergrößert wird. Bildung von q₂ auftreten, ist dieselbe, nur ist sie

,,. y ,, . . , „. . . , ,. „ , . zehnmal kleiner, usw. Im ungünstigsten Falle besteht

Wenn £ Wem ist, nähert sich die Berechnung einer _i{. _{alg0 die wifkung a]ler Run}J_ungsf_{ehler darin> in A}

echten Division, und es überrascht nicht, daß nach der Bildung von qn-i einen Gesamtfehler von

, y\ y <5 J^₁= 45 · 10»-² <5(1+ 10-!+10-*+...)

1 -+- — j — —. =50·10»-²<5 16

ao zu erzeugen.
Registerlängen ^Wenn ?»-i gebildet worden ist, gilt

β ^, y _f_ χ

x und y sind beide «-stellige Zahlen, von denen angenommen wird, daß ihre Kommas an der gleichen wird q_n-x durch die echte Division von A durch B Stelle stehen. Da jedoch die in B enthaltene Zahl 25 gefunden, da in dieser Phase die Wirkung des Ändewährend des Rechnens größer wird, kann es sein, daß rungswertes vernachlässigbar ist. Der Fehler in A ist das Register B langer als η sein muß. Der Inhalt von deutlich vorherrschend, und infolgedessen ist in q_n-x B ist tatsächlich am Ende der Rechnung: ein Fehler enthalten von

xmi + io-V-y + x. 30 ⁵°-¹⁰^²T₊T- ⁽¹⁷⁾

Wegen des Rundens bei der Addition, und weil

so daß offensichtlich ein Register der Länge η + 1 angenommen wird, daß mindestens einer der Werte y für B ausreichend ist. Auch das Restregister A braucht oder χ η-gültige Ziffern enthält, gilt
niemals eine Zahl zu enthalten, die größer ist als das 35 δ

Zehnfache der in B stehenden Zahl. Daher hat das —~r ⁵' 1O^-". (18)

Register A die Länge η + 2. ^{y + x}

Q hat die Länge n, und der Pseudoquotient wird Daher ist der ungünstigste Fehler in q_n-i kleiner als 2,5. auf η Stellen berechnet. Genauigkeitsüberlegungen Die letzte Ziffer des Quotienten ist also niemals um

haben gezeigt, daß es sich nicht lohnt, mehr Stellen 40 mehr als 2,5 falsch. Da jedoch die Wahrscheinlichkeit auszurechnen. besteht, daß Rundungsfehler sich ausgleichen, ist

. q_n-i gewöhnlich in typischen Berechnungen genau

Genauigkeit richtig. (Die Wahrscheinlichkeit dessen läßt sich sogar

Die einzigen vorkommenden Approximationen berechnen.) Das Verfahren ist daher von Natur aus treten auf, wenn der stellenverschobene Änderungs- 45 genau.

wert zum Divisor addiert wird. Man kann aber leicht -pgjj jj ,j_er Berechnung

die Wirkung der bei dieser Verschiebung fallengelassenen Ziffern erkennen. Es wird angenommen, daß Der zweite Teil der Berechnung besteht darin,

die fallengelassenen Ziffern bei der Addition zum _χ Λ ₊ i^) _von (H) _zu finden. Die Basis, nach der der Runden verwendet werden. 50 \ χ) ^κ

Die ersten Abrundungsfehler treten bei der Berech- Logarithmus berechnet wird, wird bestimmt durch

nung von q_x auf. δχ* sei der bei der Ä>ten Abrundung die Basis, nach der die Konstanten von log (1 + 10^^J")

eingeführte Rundungsfehler. Wenn q_x gebildet worden errechnet werden,
ist, enthält A die Abweichung Man beachte, daß

(&-2)ό*,+ ... (12) ⁵⁵

und B die Abweichung Die Dezimalzahl

Sx₁ + δχ_ζ +... δ x_gi. (13)

Bevor q_t gebildet wird, wird A nach links verschoben. 60 ist daher bereits eine ziemlich nahe Approximation an £ ^{die bci}

_r wirkt sogar nur die erste Hälfte des q] die Durch-

<3 y* = 10 [(ft - 1) δ X₁ + (ft - 2) δ χ₂ + ... j führung von Korrekturen.

+ ΐΛδΧι + ■·· δ X₁₁) ^6s Die Bildung des log (l + -^) von (11) ähnelt deutlich

14) einer Multiplikation. Die Zahl in Q ist der Multi-

in A vor, wenn q_a gefunden ist, usw. plikator, während der Multiplikand den Wert

log (1 + 10~·0 erhält, solange die Multiplikation mit der Ziffer qj stattfindet. Es ist daher zweckmäßig, für diese Operationen einen Pseudomultiplikator zu benutzen. Die Operation gleicht einer gewöhnlichen Multiplikation, nur wird der Multiplikand von irgendeinem Speicher, aus dem nur gelesen wird, auf den erforderlichen Wert eingestellt, während jede Stelle des Multiplikators verarbeitet wird.

F i g. 2(b) zeigt den Prozeß ausdrücklich und stellt außerdem dar, wie er mit einer echten Multiplikation io der genau ist. kombiniert wird.

Es genügt natürlich,

Dies führt nach einer Pseudomultiplikation zu

^j = 1,4919.

Bei Fortsetzung des Prozesses erhält man einen Wert

logfl + j-\ =1,4919240,

log ζ

1(VlOg(I + ΙΟ-'") = 1

(19)

einzustellen, während die niedrigste Hälfte der Multiplikatorstellen verarbeitet wird. Damit werden Einsparungen bei der Anzahl von gespeicherten Konstanten erzielt.

Es ist beabsichtigt, daß dieses Programm nicht mehr als ein bestimmter Modus des Multiplikations-Programms sein soll. Natürlich stimmt es, daß die Pseudomultiplikation und -division zu einem einzigen Prozeß kombiniert werden können. Sie sind jedoch so aufgespalten worden, daß sie mit der echten Multiplikation und Division kombiniert werden können.

Rechenzeiten

Für die Bildung des log (1 + —) werden nach diesem

Verfahren etwa drei Multiplizierzeiten benötigt, und dazu gehört natürlich die Division von y durch x, die herkömmlicherweise vor der Berechnung des Logarithmus durchgeführt worden wäre.

Nachstehend wird ein Zahlenbeispiel für die Berechnung von logil + —) gegeben.
y = 67 719

Soll der log ζ errechnet werden, wobei ζ eine /2-steliige Zahl ist, bei der das Komma links steht, muß das Komplement von ζ in A und ζ selbst in B eingebracht werden, bevor der Prozeß eingeleitet wird.

Dann ist y = 1 — z, so daß

log ■£) = logil +

= -log ζ. (20)

35 — ist nicht zu groß, wenn ζ nicht zu klein ist. Dies

ist ein ausgezeichnetes Verfahren zur Feststellung von log z, wenn 0,1 < ζ < 1, und daher kann man nach diesem Verfahren den Logarithmus des Bruchteils einer Zahl mit gleitendem Komma feststellen.

Bildung des tg-¹ —
Gesucht werden solche ganzzahlige Werte von qj, daß

(χ + iy) Π (! - * ¹⁰~0^β' = R. (21)

J=O

χ = 21 608

j	B	A	Zähler stand	Q
0	21608 21608	67719 21608	1
	43216 43216	46111 43216
1 2	86432 86432 86432 864	2895 28950 289500 86432	2	00002 00020
	87296 873	203068 87296	1
	88196 882	115772 88169	2
3	89051 89051 89	27603 276030 89051	3	00203
	89140 89	186979 89140	1
	89229 89	97839 89229	2
4	89318 89318	8610 86100	3	02033 20330

40 wobei χ und y n-stellige positive Zählen und R eine reelle Zahl sind. Wenn das der Fall ist, ist

log (χ + iy) = log R - ~Σ qi log (1 - i IQr¹). (22)

j=o

Der imaginäre Teil dieser Gleichung ergibt, daß

10-'. (23)

* x

45 J=O

Wieder wird die Rechnung in zwei Teile aufgeteilt. Im ersten werden ganzzahlige Werte von qj durch einen Pseudodivisionsprozeß errechnet. Im zweiten

wird tg"¹— durch eine Pseudomultiplikation festgestellt, wobei für tg"¹10"' gespeicherte Werte verwendet werden.

Teil I der Berechnung
Es sei angenommen, daß

(x + iy) JJ (1 — i 10"^fc) ^fc

berechnet worden ist, worin q₀ ... qj-_x Ziffern sind, die bereits gefunden worden sind, und es muß überlegt werden, was zum Finden von qj nötig ist. Hierfür werden aufeinanderfolgende Berechnungen von

J-I

r*

—fio-o^e,

(24)

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ausgeführt für a = O, 1, 2 ... qj. qj wird definiert durch

y&> wird so klein wie möglich gemacht und dabei positiv gehalten.

Registerlänge

χ und y sind jeweils «-stellige Zahlen, deren Kommas an der gleichen Stelle stehen. Am Ende des Prozesses enthält B etwa die Zahl R aus (21), und

R = χ + iylYl]! —HO

(25)

Planmäßig werden die y -Werte bei Fortsetzung des Prozesses kleiner.

Um die Genauigkeit beizubehalten, ist es daher zweckmäßig, zu schreiben:

zu) = lV/p ₍26)

-~ sa ■ (26)

Die Bestimmungsrelationen werden dann

Za + 1 ⁼ Z a Xa >

JJ) JJ) ι ιλ_a Jt JJ) /OTV

Xa + 1 — Xa T-I" ^JZ_a . (J./)

Diese werden wiederholt befolgt, bis

Ze^ > 0 > z_Q} + 1. (28)

Auch dies ist wieder eine Pseudodivision, bei der z*j? der Pseudorest und x% der Pseudodivisor sind. In diesem Falle wird jedoch der Pseudodivisor wiederholt durch 10~ ²^ Z⁰J auf den laufenden Stand gebracht.

Wie bei Logarithmen ist es klar, daß bei Einleitung der Iteration für qj₊₁ die Ausgangsbedingungen folgende sind:

S ^ (29)

¹

so daß der Pseudorest eine Stelle nach links verschoben werden muß.
Außerdem sind zu Beginn des Gesamtprozesses

40

=x.

(30)

Daher wird der folgende Algorithmus festgelegt: Wenn y durch χ unter Verwendung eines langen Divisionsprozesses mit wiederholter Subtraktion dividiert wird, bei dem der Divisor dadurch ständig auf den laufenden Stand gebracht wird, daß 10²^z (ζ ist der Rest) dazuaddiert wird, während die Quotientziffer qj gebildet wird, ist der Pseudoquotient q₀ q_x ... so beschaffen, daß

= Σ ©tr¹

(31)

Das Flußdiagramm in F i g. 2(a) stellt den Prozeß deutlich dar, und er unterscheidet sich von dem zu Bildung des log (l + —j nur dadurch, daß M gleich 10""' A anstatt gleich B eingestellt wird.

Größen von χ und y

60

Da 0 < tg-^x — < -=-, ist es offensichtlich, daß χ i.

<7o<2.

Da der Divisor ständig vergrößert wird, ist es außerdem klar, daß alle anderen Pseudoquotientziffern kleiner als 10 sind.

Daher sind alle Quotientziffern kleiner als 10, und

für das Verhältnis — bestehen keine Beschränkungen.

(32)

womit sich zeigen läßt, daß

R<2\x + iy\<2flMsii(x,y). (33) Daher ist ein Register der Länge η + 1 bestimmt ausreichend, um R aufzunehmen. Bei dem Logarithmusprogramm genügt es daher, dem Register B die Länge η + 1 und dem Register A die Länge η + 2 zu geben.
Nachstehend wird ein Zahlenbeispiel für die Bildung

von tg-¹— gegeben.

y = 30912

χ = 59438

/	B	A	Zähler stand	Q
0 1	59438 59438 3091	30912 309120 59438		00000
	62529 2497	249682 62529	1
	65026 1872	187153 65026	2
	66898 1221	122127 66898	3
2	68119 68119 55	55229 552290 68119	4	00004
	68174 48	484171 68174	1
	68222 42	415997 68222	2
	68264 35	347775 68264	3
	68299 28	279511 68299	4
	68327 21	211212 68327	5
	68348 14	142885 68348	6
	68362 7	74537 68362	7
3 4	68369 68369 68369	6175 61750 617500 68369	8	00048 00480
	In diesem tige Divisi(	549131 Stadium wird an mit dem R	1 hieraus e esultat:	ine rich-
	68369	2179	9	04809

Dies führt nach Ausführung einer Pseudomultiplikation zu einem Wert tg"¹— = 0,4796.

Bei Fortsetzung dieses Prozesses ergib sich:

tg"¹^ = 0,479578.

Das richtige Ergebnis ist 0,479574.

Genauigkeit

Die Besprechung der Genauigkeit gleicht praktisch der der Logarithmen, da auch hier die einzigen Fehler auftreten, wenn der Inhalt des Änderungswertregisters stellenverschoben und addiert wird, um den Divisor auf den laufenden Stand zu bringen. Fehler treten auf wegen der fallengelassenen Ziffern. Die vorhergehende Besprechung traf auf alle Pseudodivisionsprozesse dieser Art zu.

Das Ergebnis ist daher, daß der maximale Fehler in der letzten Stelle des Quotienten q_n—i den Wert

10 *

Man sieht, daß der einzige Unterschied gegenüber den früheren Programmen darin besteht, daß das Änderungswertregister auf eine Konstante eingestellt wird, während der Pseudodivisor zwischen dem Ziehen aufeinanderfolgender Ziffern verändert wird.

Verfahren

Es werden solche ganzzahligen Werte von qj gefunden, daß

y ~ χί'Σ^ί 10"

\j=.o
so daß

^J ~°

Hier wird angenommen, daß q₀ ... q^ gefunden worden sind und daß qj gefunden werden muß. Das geschieht, indem nacheinander

Auch in diesem Falle ist daher der Fehler im ungünstigsten Fall gleich 2,5 in der letzten Stelle des Pseudoquotienten, und wegen der gegenseitigen Aufhebung von Fehlern ist q_n-i natürlich gewöhnlich richtig.

Teil II der Berechnung
tg"¹— wird jetzt aus (31) errechnet. Das geschieht

durch eine Pseudomultiplikation und läuft genauso ab, wie es für Logarithmen beschrieben worden ist, und ist in Fig. 2(b) dargestellt. Jedoch wird für aufeinanderfolgende Werte von j der Multiplikand auf lCtg"¹10 ·'■ anstatt auf 10''log (1 + 10~0 eingestellt. Für etwa zwei Drittel der Werte von j ist es genau genug,

10' tg"¹10"' = 1

zu setzen, und dadurch spart man daher gespeicherte Konstanten ein.

Σί*^{10 k} + ^al°

berechnet wird für a = 0, 1, 2 ... Die Absicht ist wieder, j#^} so klein wie möglich zu machen, es aber positiv zu halten. Man definiere

4^Λ =

»ΙΟ-* + a 10-'j + χ 10"'.

Dies läßt sich errechnen aus der Bestimmungsrelation

^x"+^{1 =}

φ .

^Xa + ^2χΐυ ·

Ausgedrückt in

®, sieht man daß

= _VU) _ 10-' _XU) ^a ° '

(42)

„^W.^{ie mvo1}' ^{ist es um der} Genauigkeit wfflen zweck ^maßi§»

Ausführungszeiten

Um nach diesem Verfahrentg-^ zu bilden, werden

etwa drei Multiph'zierzeiten benötigt, und außerdem gewinnt man hierbei natürlich eine Division.
Um tg-¹ ζ zu bilden, ist es sehr einfach,

und

^S° ^{die fol}S^enden Bestimmungsrelationen

_zü) = l0'jü>,
.." ,. ^a '

z^J _a+1 — z_a —x'_a ,

*i = x⁽ + 2^

(43)

χ = 10^a

für einen passenden Maßstabsfaktor 10« zu setzen, obwohl dann natürlich die zusätzliche Divisionsmöglichkeit verschwendet wird.

isewertung
Die beiden beschriebenen Programme ergeben

genaue Werte von logfl + *-) _und tg-iJL

^{& B}\ χ) ^e χ

Multiplizierzeiten, was schneller ist als irgendeines der Verfahren mit Unterprogramm. Sie haben den Vorteil der Einfachheit, da sie lediglich Pseudodivisoren und Pseudomultiplikatoren verwenden. Außerdem sind sie nicht unnötig verschwenderisch in bezug auf gespeicherte Konstanten.

Diese Gleichungen werden iteriert, bis z°2 negativ ^wird· ^{Das heißt}' ^daß © ^{definiert wird durch} '

(44)

Diese Gleichungen gleichen wiederum denjenigen, ^j₆ j_{Q e}j_nem Divisionsprozeß entstehen, z^ ist der Rest, und X^ ist der Pseudodivisor, der ständig _{in drei} 55 durch die Addition der Konstanten 2χ verschoben um j Stellen, auf den laufenden Stand gebracht wird. Die Anfangsbedingungen für die Extraktion von sind jedoch komplizierter. Eindeutig ist

O" + D

Jedoch ist

x^(Jo

== x^ — x 10-' + x

Quadratwurzeln /

65 Vor der Berechnung von q;+_x muß daher der Pseudo-Das in Fig. 1 gezeigte Rechenwerk kann auch divisor dadurch auf den laufenden Stand gebracht

subtrahiert wird, und

zum Ziehen von Quadratwurzeln benutzt werden, wie es F i g. 2 (a) zeigt.

werden, daß es von 9

dies stellt die zusätzliche Komplikation dar.

I 190

Zu Beginn des Prozesses sind

yf> = y,
_χΦ) _{= x}

Man erhält daher den folgenden Algorithmus: Wenn eine Pseudodivision von y durch χ ausgeführt wird, wobei der Änderungswert konstant auf 2 χ gehalten wird, und wenn zwischen der Berechnung der aufeinanderfolgenden Ziffern 9 · 10"'-¹X vom Divisor subtrahiert wird, ist der Quotient gleich ]/—.

Dies Programm sieht wahrscheinlich bekannter aus, wenn es mit χ = 1 ausgeführt wird.

Es ist sehr leicht, den Änderungswert in einer binären Maschine auf 2 λ: einzustellen, und in einer binären Maschine den Faktor 9, der im Subtraktor auftritt, durch den Faktor 1 zu ersetzen.

Zahlengrößen

Es ist zweckmäßig, anzunehmen, daß y und χ Zahlen mit « bedeutsamen Stellen sind und daß ihre Kommas entweder an derselben Stelle stehen oder um eine Stelle voneinander abweichen. Wenn sie an derselben Stelle stehen, besagt das, daß

10>*->J_.

χ 10

Wenn sie abweichen, wird y vor Beginn des Rechenvorgangs eine Stelle nach links verschoben. Im letztgenannten Fall gilt

Da planmäßig χ und y jedes mindestens η bedeutsame Ziffern enthalten, ist

-L-< 5· 10-». (51)

Mχ y

Dies führt dazu, daß im ungünstigsten Fall in q_n-^ ein Fehler von 1,5 auftreten kann, und daher hat dieses Programm den gleichen Genauigkeitsgrad wie die anderen.

Nachstehend wird ein Zahlenbeispiel für die Bildung einer Quadratwurzel mit Hilfe der erfindungsgemäßen Anordnung gegeben.

y = 77208 χ = 16804

100 >

> 1

In beiden Fällen sind alle Quotientziffern kleiner

als 10.

Größe der Register

Am Ende des Prozesses enthält B etwa

x<C, die größte κ-stellige Zahl, (47)
y < IOC.
Daher ist

2]/x~y < 2]/iOC. (48) _4g

Wie zuvor reicht also ein Register der Länge η + 1 für B und ein Register der Länge η + 2 für A aus.

Genauigkeit

Fehler kommen vor, wenn der stellenverschobene Änderungswert den Divisor auf den laufenden Stand bringt und Ziffern fallengelassen werden und auch dann, wenn der Divisor zwischen der Extraktion aufeinanderfolgender Ziffern auf den laufenden Stand gebracht wird. Die ersten Fehler sind die auch vorher schon angetroffenen. Die anderen gehören zum gleichen Typ, treten aber im schlimmsten Falle nur mit einem Zehntel der Häufigkeit auf. Bei (16) ist also im schlimmsten Falle ein Fehler von

60

55

(49)

in A zu erwarten, wenn q_n-_x gebildet worden ist.

qn-i ist im wesentlichen durch die Division von A durch B erlangt worden. B enthält jetzt 2~\[x^y. Daher ist in q_n-i der im ungünstigsten Fall auftretende Fehler gleich

" ™. (50)

F y

j	B	A	Zähler stand	Q
0	16804 33608	77208 16804		00000
	50412 33608	60404 50412	1
	84020 15124-	9992	2
1	68896 3361	99920 68896		00002
	72257 1512-	31024	1
2	70745 336	310240 70745		00021
	71081 336	239495 71081	1
	71417 336	168414 71417	2
	71753 336	96997 71753	3
	72089 151-	25244	4
3	71938 34	252440 71938		00214
	71972 34	180502 71972	1
	72006 34	108530 - 72006	2
	72040 15-	36524	3
4	72025 3	365240 72025		02143
	72028 3	293215 72028	1
	72031 3	221187 72031	2
	72034 3	149156 72034	3
	72037 3	77122 72037	4
	72040	5085	5	21435

55 · 10«-

Die Antwort ist daher: 21435
Bei Fortsetzung des
Prozesses ergibt sich: 21435070
Richtige Antwort: 21435066

17 18

Die oben beschriebenen Prozesse können umgekehrt Konstanten werden als κ-stellige Zahlen gespeichert,

werden, um Exponenten, Tangensfunktionen und wobei das Komma links steht. Daher muß die Zahl

Quadrate festzustellen. In den umgekehrten Prozessen vor Beginn des Prozesses wenn nötig stellenverschoben

werden Multiplikationen zu Divisionen und Divisionen werden. Es werden η Pseudoquotientziffern errechnet,

zu Multiplikationen. In den resultierenden Multipli- 5 Die Genauigkeit, mit welcher ρ gekannt ist, macht die

kationen wird natürlich erwartet, daß die niedrigste Berechnung weiterer Ziffern unnötig.
Stelle des Multiplikators als erste verarbeitet wird und

daß die Antwort als das Verhältnis der Inhalte der „
Register^ und B erlangt wird. Das besagt, daß eine

letzte zusätzliche Division nötig ist. io Um

Diese abschließende Division läßt sich jedoch bei [π π ιη-η 1

Exponenten und Quadraten vermeiden, wenn die ^x\lIC¹ + 10 ')^Q3-i\

Reihenfolge der Multiplikation verändert und die L^y==0 J
höchste Multiplikatorstelle als erste verarbeitet wird.

Beim Tangens ist jedoch das Verfahren die genaue 15 zu berechnen, wird eine Pseudomultiplikation aus-

Umkehrung des Verfahrens für den Arkustangens. geführt, die q₀ ... q_n-% als Pseudomultiplikator ver-

Dadurch unterscheiden sich die Verfahren leicht von- wendet und mit der höchsten Stelle q₀ beginnt,

einander. Hierfür sei angenommen, daß

Bildung von Exponenten _ p—1

Nach dem zu beschreibenden Verfahren läßt sich ifc=o

χ (pe — 1) für gegebene positive Zahlen ρ und χ

berechnen, ρ wird für ganzzahlige Werte qj ausgedrückt schon errechnet worden ist und daß jetzt qj verarbeitet

als werden muß. Es sei definiert, daß

j=o ³ fp = χ pfj(i + ίο-«)«* (l + io-'T - 1],

U=o J

* nc¹ + ¹⁰"*)**"^{1 (56)}

Dann ist

x(e3>-l)=x[JT(l+10-0^-il·

Wenn ρ negativ wäre, wäre es möglich, eine Er-

(57)

weiterung von p, ausgedrückt durch log (1 — 10"'), Für aufeinanderfolgende α-Werte werden dann die

vorzunehmen. Dies wäre die Umkehrung des Ver- Bestimmungsrelationen

f ahrens für die Feststellung von log (1 — —) für positive y^+x = J^ + 10"'*β'^} >

Werte von χ und y. Dies ist oben nicht ausdrücklich q) _ ^) , «« ,· φ ,,-^,

behandelt worden, aber man beachte, daß der einzige ^xa + i — ^xa ~r ^x _a \ J

Unterschied für diesen Fall darin besteht, daß der gewonnen, und diese werden bei einer Iteration für

Pseudodivisor durch eine Subtraktion anstatt durch a = 0 ... qj verwertet.

eine Addition auf den laufenden Stand gebracht werden 40 Es ist zweckmäßig,

muß.

Bei Anwendungen mit gleitendem Komma genügt z⁽P ,= 10'J^ (59)

es aber wahrscheinlich, daß ρ positiv ist, und daher

wird hier nur dieser Fall besprochen. einzusetzen; dann werden die Bestimmungsrelationen zu

Die Berechnung wird in zwei Teile aufgeteilt. Im 45 _{r) {/> y)}

sten werden ganzzahlige Werte von q₃- durch eine ^za+i ^{= z}a ~l· ^xa >

ersten werden ganzzahlige Werte von q₃- durch eine ^za+i

Pseudodivision festgestellt, und im zweiten wird der ₍. ... _. ..,

Exponent durch eine Pseudomultiplikation bestimmt. ^xa + i — ^xa + 10 ' ^XL (60)

50 Diese Gleichungen ersetzen eine Multiplikation.

Um ganzzahlige Werte für qj festzustellen, wird eine z® ist die Zwischensumme, während xf der MultiDivision von ρ durchgeführt. Der Divisor wird von plikand ist, der ständig dadurch auf den laufenden einem Speicher, aus dem nur gelesen wird, auf log Stand gebracht wird, daß er mit einer Verschiebung (1 + 10 ') eingestellt, während die Ziffer q₃- gebildet von/ Stellen zu sich selbst addiert wird,
wird. Die F i g. 2 (c) zeigt den Prozeß deutlich bei 55 _{ist der} Multiplikator,
dem es sich um eine Umkehrung des in Fig. 2 (b)

gezeigten handelt. Natürlich werden die Konstanten Wenn qj verarbeitet worden ist, sind die Anfangs-

10'log(l + 10~0 aus demselben Speicher entnommen. bedingungen für die Verarbeitung von ^₊₁ folgende:

Die Größe von ρ _{6o ζ} ^α ₀ ^+ΐ) = 10ζ^ω,

Alle Ziffern qj müssen kleiner als 10 sein. Das

bedeutet, daß ρ < 10 Iog2 für q₀ < 10, während diese x°₀ ⁺¹⁾ = χψ . (61)

Bedingung für andere Ziffern automatisch erfüllt wird, ^}

da Es erfolgt daher eine Linksverschiebung des Zwi-

log (i _j_ io~^J) < 10 log (1 + 10""⁷'"¹) . (55) ⁶5 schenproduktes zwischen der Verarbeitung aufeinanderfolgender Ziffern, und genau dasselbe geschieht

Die Kommas von ρ und den Konstanten l& log bei einer echten Multiplikation, bei der die höchste

(l+10~') müssen an der gleichen Stelle stehen. Die Stelle zuerst verarbeitet wird.

509 558/369

Bei Beginn des Prozesses sind

4» =o,

(62)

Daher wird eine Pseudomultiplikation ausgeführt, bei der χ der Pseudomultiplikand, der wiederholt auf den laufenden Stand gebracht wird, und q₀ ... q_n-i der Multiplikator ist.

Das Flußdiagramm in F i g. 2 (d) zeigt diesen Prozeß. Er ist identisch mit dem für eine echte Multiplikation (Multiplikation von links aus) mit Ausnahme der Verwendung des Änderungswertregisters, das den Pseudomultiplikanden nach jeder aufeinanderfolgenden Addition auf den laufenden Stand bringt.

Wenn xe? anstatt χ (eJ> — 1) berechnet werden muß, muß das Zwischensummenregister A anfangs auf χ eingestellt sein. Natürlich kann χ für die Berechnung von e? auf 1 eingestellt werden, aber es ist verlockend, ao die volle Wirkungskraft des Verfahrens auszunutzen.

Registergrößen

Im Laufe der Berechnung wird der Pseudomultiplikand größer. Schließlich ist er etwa gleich xeJ>, und daher muß darauf geachtet werden, daß das Register B nicht überläuft. In einer Anwendung mit Gleitkomma-Arithmetik ist es wahrscheinlich, daß χ eine Zahl mit η bedeutsamen Ziffern ist und daß 1 < e³' < 10. In diesem Falle muß das Register B eine Länge η + 1 haben.

Am Ende des Prozesses enthält A eine Zahl ähnlicher Größe, die aber η — 1-mal nach links verschoben worden ist. Daher muß das Register .4 die Länge 2« haben. Es ist bedauerlich, daß A ein so langes Register sein muß. Es kann aber, wie es häufig geschieht, mit Q zusammengelegt werden, da die Stellenzahl in Q mit der Zunahme der Stellenzahl in A abnimmt.

Genauigkeit

Die am Ende des Prozesses in A stehende Zahl ist die erforderliche Antwort, und es muß festgestellt werden, wieviele Stellen davon genau richtig sind. Ungenauigkeiten treten im Pseudomultiplikationsprozeß durch das Fallenlassen von Ziffern auf, wenn der Pseudomultiplikand 'auf den laufenden Stand gebracht wird. Hierdurch wird der Inhalt von A in genau derselben Weise beeinflußt, wie er in dem entsprechenden Pseudodivisionsprozeß beeinflußt worden ist. Daher ist nach (16) der Fehler in A, wenn qn-i verarbeitet worden ist, im schlimmsten Falle gleich Nachstehend wird ein Zahlenbeispiel für die Berechnung von χ (e?'—1) gegeben.

χ = 21608 ρ = 14192

Eine Pseudodivision von ρ ergibt (Q) = 20330.

J	B "	A	Zähler stand	Q
0	21608 21608 43216 43216	00000 21608 21608 43216	2 1	03300
1 2	86432 86432 86432 864	64824 648240 6482400 86432	0 0 3	33000 30000
	87296 873	6568832 87296	2
	88169 882	6656128 88169	1
3	89051 89051 89	6744297 67442970 89051	0 3	00000
	89140 89	67532021 89140	2
	89229 89	67621161 89229	1
	89318	67710390	0

Das Verfahren führt daher zu dem Ergebnis:
Das richtige Ergebnis ist:

67710 677154

50 · ΙΟ»-² · δ

(63)

Wegen der Abrundung in der Modifikation ist δ =■ 0,5. Es liegt daher in A ein Fehler von etwa 2,5 in der η — 1-ten Ziffer von rechts vor. Der Inhalt von Λ wird daher n — l Stellen nach rechts verschoben. A enthält nun eine Zahl der Länge η + 1, deren Komma an der gleichen Stelle steht wie das in der Zahl x. Ihre niedrigststellige Ziffer weicht um höchstens 3 vom richtigen Wert ab.

Außerdem treten Ungenauigkeiten auf, weil in der vorläufigen Division nur η Ziffern des Pseudoquotienten berechnet worden sind. Wie schon erklärt, ist dies jedoch die gerechtfertigte Ungenauigkeit, und diese Ungenauigkeit ist eine Eigenart des verwendeten Zahlensystems.

An sich ist dies daher ein genaues Verfahren.

Es scheint ein großer Fehler vorzuliegen. Dieser verschwindet aber, wenn der Inhalt von Q auf sechs Stellen anstatt auf fünf berechnet wird und der Prozeß eine Stufe weitergeführt wird. Wenn ρ jedoch nur bis zu der angegebenen Stellenzahl bekannt ist, ist diese weitere Genauigkeit unecht.

Ausführungszeiten

x^ep oder χ (e» — 1) wird in etwa drei Multiplizierzeiten gebildet.

Bildung von Tangensfunktionen

Das beschriebene Verfahren ermöglicht die Berechnung von tg£. Das Ergebnis wird als Verhältniszahl erlangt und, wie schon erklärt, ist eine abschließende Division erforderlich.

Es wird angenommen, daß 0 < ρ < -=- . ρ wird für ganzzahlige Werte von q$ ausgedrückt als SIO"'. (64)

(65)

Dann wird für einen reellen Wert R

χ+ ty = RjJ(I
berechnet.

Natürlich ist dann plikand durch Subtraktion auf den laufenden Stand

y gebracht wird.

t-SP — —· (66) Das Flußdiagramm für diesen Prozeß ist auch in

F i g. 2 (d) gezeigt.

Die ganzzahligen Werte von q₃- werden durch eine 5 .

Pseudodivision gebildet, und dann werden χ und y KegistergroWen

durch eine Pseudomultiplikation errechnet. Der Pseudomultiplikand wird im Laufe des Pro-

_T „ _T zesses kleiner. Zuerst enthält er R, was willkürlich ist.

Um der Genauigkeit willen wird es auf die größte

Die Pseudodivision ist in F i g. 2 (c) dargestellt. Sie io zweckmäßige Zahl mit η + 1 Stellen eingestellt, und ist identisch mit dem bei der Bildung des Exponenten das Register B erhält die Länge η + 1. A braucht verwendeten entsprechenden Prozeß, nur werden niemals eine Zahl zu enthalten, die mehr als zehnmal Konstanten 10? tg-i 1O^-? anstelle von lO'logil+lO-?) so groß wie die Zahl in B ist, und daher hat A die verwendet. Länge η + 2.

_n Größen von ^ *5 Genauigkeit

Da ρ < -γ, ist q₀ < 2, pjj_e Inhalte von A und B sind am Ende des Pro-

Da zesses infolge des Fallenlassens von Ziffern fehlerhaft,

tg-¹10~⁷ < 10 tg-¹ ΙΟ'''"¹, (67) wenn der stellenverschobene Inhalt von M den

sind alle anderen Ziffern _9i kleiner als 10. ^ao Pseudomultiplikanden auf den laufenden Stand bringt.

Das endgültige Verhältnis von B zu A ist daher

Wie im Falle des Exponenten^ müssen in den tg (j> + dp) für ein kleines dp anstatt tgp. Fehler Konstanten 10''tg^lO"'' die Kommas ander gleichen werden zweckmäßigerweise in der durch dp ausstelle stehen. Daher wird nach Bedarf die Zahl ρ gedrückten Form besprochen. Bei Anwendung des stellenverschoben. 25 Verfahrens zur Bildung eines Arkustangens auf B

Es werden η Pseudoquotientstellen berechnet. und A kann man feststellen, daß sich ihre Inhalte

schrittweise ihren Inhalten während der Bildung des

Teil II tg nähern. Tatsächlich übersteigen nach Bildung der

Zur Berechnung von Ziffern q₀ ■ ■ ■ qj im Arkustangensprozeß die Inhalte

-,-τ „ 30 von B und A die entsprechenden Inhalte im Tangens-

RlLa+ i 10-0% (68) _{prozeß um den Fakt0}£_:

wird eine Pseudomultiplikation ausgeführt, bei der 11(1 + 1O^-3*)⁹*.

^₀ ... q_n-_x als Pseudomultiplikator benutzt wird, der ^fc=0

mit der niedrigsten Stelle q_n-_x beginnt. 35 Rundungsfehler treten jedoch in beiden Prozessen

Man definiere ^m ähnlicher Weise auf. Wenn Kompensationsfehler

_n___x bei dem Arkustangensprozeß an genau den Stellen

χθ) ι · U) = Ji TT Π + ΐ10~*")*ι· fl 4-ϊ10~0^ο auftreten, wo Fehler im Tangensprozeß aufgetreten

" ^{+ y}" fcJyVi ■ 'n ^ J sind, wird

(69) 40 * _i* /■ , * ->

und setze z^l2 = 10* «⁽ί. ^w

Für aufeinanderfolgende Werte von α erhält man als/> berechnet, wobei dann ein Fehler von dp vorliegt.

dann die Beziehungen Aus der Besprechung von Fehlern für den Arkus-

„j _{a) a)} tangensprozeß ist daher ersichtlich, daß dp in der

Za+i = Za + Xa , 45 niedrigsten Stelle von ρ im ungünstigsten Falle gleich

_XU) _ _xü) _ iQ-2jJJ) (7η 2,5 ist, und dies gibt daher ein Maß für den Fehler im

^a+1 " ^a Tangensprozeß. Das Fallenlassen von Ziffern bei Aus-

und diese werden wiederholt für a = 0 ... #/. führung der Modifikation ergibt also im Tangens-

Auch diese Gleichungen ersetzen wieder eine Multi- prozeß die gleichen Fehler wie im Arkustangensprozeß.

plikation. z® ist das Zischenprodukt. x^aj ist der 50 „ . . . , _ , ..

Pseudomultiplikand, der ständig dadurch auf den Trigonometrische Funktionen

laufenden Stand gebracht wird, daß z⁽2 um 2 j Stellen ^Bei diesem Verfahren entstehen zwei Zahlen χ und y

verschoben subtrahiert wird. q₀... q_n-i ist der Multi- die das Verhältnis tgp haben. Um tg^ zu erhalten,

plikator, muß eine weitere Division ausgeführt werden, und es

Nach q_} wird ^₁ verarbeitet, und die Anfangs- 55 ^muß natürlich darauf geachtet werden, daß χ nicht zu

bedingungen sind klein ist.

Jj-V _ \(\-i Jj) Man kann auch sin ρ und cos ρ aus

Xo — Xq. · (.'/;

Zu Beginn des Prozesses sind ^6q

(74)

Z¹Q = Q,

jn-i) _{R n}~ bilden.

⁰ ^ ' Diese lassen sich dadurch errechnen, daß zunächst χ

Es wird also eine Pseudomultiplikation von R mit 65 und y quadriert werden und dann nach dem oben be-

q₀ ... q_n-i durchgeführt, die mit der niedrigsten schriebenen Prozeß zum Ziehen der Quadratwurzel

Stelle q_n ^₁ beginnt. Diese gleicht genau einer echten vorgegangen wird. In einer Mikroprogrammaschine

Multiplikation abgesehen davon, daß der Multi- läßt sich die hierfür nötige Steuerung leicht einrichten.

23

Wenn die Sinus- und Kosinusfunktionen in «-stelligen Speichern stehen, wobei das Komma eine Stelle vom Unken Ende entfernt steht, übersteigen Fehler, die auf dem trigonometrischen Teil des Verfahrens beruhen, niemals 2,5 in der niedrigsten Stelle.

Ausführungszeiten

χ und y werden in drei Multiplizierzeiten gebildet. tg/7 läßt sich in vier Zeiten errechnen, während sin ρ und cos ρ etwa sieben Multiplizierzeiten benötigen.

Die Bildung von Xg ρ durch die in F i g. 1 gezeigte Anordnung wird durch das untenstehende Zahlenbeispiel veranschaulicht.

ρ = 0,4796

Eine Pseudodivision ergibt: (Q) = 04809

Der Inhalt von B wird zunächst zweckmäßigerweise auf 100000 eingestellt.

Zählerstand

100000

100000 100000

100000 1

99999 U

99988

21

99967 31

99936 41

99895 51

99844 61

99783 71

99712

99712 808

98904 1806

97098 2795

94303 3766

90537 90537

00000	9 0 0 8
900000 90000 9000 100000	7
109000 99999	6
208999 99988	5
308987 99967	4
408954 99936	3
508890 99895	2
608785 99844	1
708629 99783	0 4
808412 80841 99712	3
180553 98904	2
279457 97098	1
376555 94303	0 0
470858 47085

00480

00048 00004

Das Bilden von Quadraten

Das Verfahren zum Ziehen von Quadratwurzeln läßt sich auch umkehren in ein Verfahren zum Errechnen von Zweierpotenzen. Es ermöglicht die Berechnung von xq² aus gegebenen Werten χ und q.

Es wird eine Pseudomultiplikation ausgeführt, χ ist der anfängliche Pseudomultiplikand und q der Multiplikator, und die Multiplikation wird mit der höchsten Stelle von q begonnen. In jeder Stufe wird der Pseudomultiplikand in genau derselben Weise auf den laufenden Stand gebracht wie der Pseudodivisor beim Quadratwurzelprozeß. Das Pseudoprodukt ist dann xq\

Registergrößen

Es wird zweckmäßigerweise angenommen, daß χ und q Zahlen mit η bedeutsamen Ziffern sind. Es läßt sich dann zeigen, daß das Register B die Länge n + 2 haben muß, damit der Pseudomultiplikand wachsen kann. Das Register A muß die Länge 2« + 1 haben, um « — 1 aufeinanderfolgende Linksverschiebungen zu ermöglichen.

Genauigkeit

Die Art und Weise, in welcher Fehler auftreten, entspricht genau dem Auftreten von Fehlern beim Quadratwurzelprogramm. Es liegt also in A im ungünstigsten Fall ein Fehler von

55 -10»-²(S

vor, wenn q_n-x verarbeitet worden ist. Daher wird am Ende des Prozesses der Inhalt von An — I Stellen nach rechts verschoben, was dazu führt, daß in der niedrigsten Stelle von A ein Fehler von nicht mehr als 3 entsteht, wobei A jetzt eine Zahl mit η, η + 1 oder n + 2 Stellen ist.

Dezimalkommas

Wenn angenommen wird, daß bei den «-stelligen Zahlen χ und q das Komma eine Stelle vom linken Ende entfernt steht, d. h. daß 1 < x, q < 10, dann steht in xq^z das Komma an der gleichen Stelle, d. h.

00000

00000

Eine Division führt zu einem Wert von tg^=0,5201 Das richtige Ergebnis ist: 0,52010

Werte: sin ρ = 0,4614, cos/> =0,8872,

lassen sich ebenfalls errechnen. Die richtigen Werte sind 0,46142 und 0,88725.

l<xg²

Dieses Programm ist ebenfalls in F i g. 2 (d) dargestellt.

Aus den unten genau beschriebenen Rechenoperationen geht hervor, daß das beschriebene Rechenwerk, obwohl es sehr einfach aufgebaut ist, die Flexibilität und Leistung einer Datenverarbeitungseinrichtung stark erhöht. Es ist zwar eine spezielle Anordnung beschrieben worden, aber dem Fachmann dürfte es klar sein, daß auch andere Anordnungen verwendbar sind, ohne den Rahmen der Erfindung zu verlassen. Insbesondere können bestimmte der Register kombiniert werden, um Registerraum einzusparen, da zu Beginn einer Operation der für die Resultatziffern benötigte Platz klein ist, während der für Operanddaten benötigte groß ist, und dies am Ende einer Operation umgekehrt ist. Bei einem kombinierten Register für Operand- und Resultatdaten könnten also die Operanddaten gleichzeitig mit dem Eingeben der Resultatdaten ausgelesen werden.

Der oben beschriebene Prozeß wird durch das folgende Zahlenbeispiel veranschaulicht:

1 190 /UU

25

χ = 16804

q = 21435

16804 33608

50412 33608

84020 15124-68896 3361 72257

1512-70745

336 71081

336 71417

336

71753

336

72089

151-71938

34

71972 34

72006

34

72040

15-72025

72028

72031 3

72034

72037 3

72040

Die gegebene Antwort ist daher: Das richtige Ergebnis ist:

A	Zähler stand
00000 16804	2
16804 50412	1
67216	0
672160 68896	1
741056	0
7410560 70745	4
7481305 71081	3
7552386 71417	2
7623803 71753	1
7695556	0
76955560 71938	3
77027498 71972	2
77099470 72006	1
77171476	0
771714760 72025	5
771786785 72028	4
771858813 72031	3
771930844 72034	2
772002878 72037	1
772074915

14350

43500

35000

500000 nachdem die Subtraktion stattgefunden hat. In bestimmten Fällen kann diese Reihenfolge umgekehrt werden, damit andere Funktionen ausgewertet werden können, so z. B. beim Ziehen von Kubikwurzeln, das in F i g. 3 gezeigt wird.

Nach F i g. 3 wird die Zahl, deren Kubikwurzel gefunden werden soll, zuerst durch 3 X ausgedrückt, indem eine Vordivision ausgeführt wird. Der Wert λ; wird dann dem Register A eingegeben, und das Ergebnis wird im Register Q entwickelt. Im allgemeinen ähnelt diese Operation den oben beschriebenen Operationen, unterscheidet sich davon jedoch in den folgenden Einzelheiten:

a) Wie schon gesagt wird das Änderungsregister nach erfolgter Subtraktion und nicht vorher geladen.

b) Wenn das Änderungswertregister in der Hauptschleife aufgeladen wird, wird es verdoppelt.

c) In zwei Punkten der bedingten Schleife wird der . am wenigsten geltende Teil des Änderungswertregisters mit der Konstanten 3 aufgeladen.

Ein Beispiel, wie eine Kubikwurzel gezogen wird, ist anschließend aufgeführt. Die Längslinien sind Bezugspunkte für Schiebeoperationen. Dabei ist zu beachten, daß sich die Zahl χ ursprünglich in A so weit rechts wie nur möglich befindet und daß Verschiebungen von jeweils drei Ziffern auf einmal vorgenommen werden.

χ = 11128749.3

0 11

00000

10

77207 772075273

21
_9_
11
_9_

Die nachfolgende Beschreibung befaßt sich mit Operationen im Dezimalsystem. Dem Fachmann dürfte es klar sein, daß das nicht als Einschränkung ausgelegt werden kann und daß bei entsprechenden Änderungen auch Rechnungen in jedem anderen beliebigen Zahlensystem ausgeführt werden können. Das Arbeiten im Dezimalsystem ist jedoch, besonders vorteilhaft in einer kleinen Maschine, in der eine Dezimal-Binär-Wandlung unzweckmäßig sein kann.

Außerdem wird in allen oben beschriebenen Arbeitsbeispielen das Änderungswertregister M aufgeladen, 20

10.
10

1287493 0
3333333

795416
3333333

4620826
3333333

1287493 12

287493
303333

98416
923333

060826 10

60826 10
27203

33623 10
33623

00

00000 10

303

303

923

563
323

24
3203

27203

33623 6

40063 6

]/3(ni28749.3) = 322.

3
3

03 30

30
2 31

4 32
23

203 320

320

42 321
44 322

509 538/369

Claims (8)

Patentansprüche:

1. Arithmetische Einheit für einen programmgesteuerten Digitalrechner mit mehreren Operanden- und Resultatregistern, mit mindestens einer Addier-Subtrahier-Einheit und mit einer Steuereinheit zur Durchführung von Divisionen und/oder Multiplikationen zwischen zwei Operanden nach dem Prinzip der fortgesetzten Subtraktion bzw. Addition, dadurchgekennzeichnet, daß ein Operandenänderungsregister (M) vorgesehen ist, dessen Inhalt zur wiederholten additiven oder subtraktiven Veränderung der Operanden innerhalb eines Divisions- oder .Multiplikationszyklus dient und durch Teilergebnisse der Divisions- oder Multiplikationsoperationen, durch die Veränderungsrechnungen selbst und/oder durch zugeführte Änderungswerte bestimmt wird.

2. Arithmetische Einheit nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die Steuereinrichtung (1) derart ausgebildet ist, daß sie für jeden Rechengang innerhalb einer Serie gleicher Rechengänge der Addier-Subtrahier-Einheit (3) eine Änderung des einen Operanden vornimmt.

3. Arithmetische Einheit nach Anspruch 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, daß das Änderungswertregister (M) mit einem Eingang der Addier-Subtrahier-Einheit (3) verbunden ist, deren zweiter Eingang mit dem Operandenregister des zu verändernden Operanden verbunden ist, wodurch unter Wirkung der Steuereinheit der Änderungswert zu dem betreffenden Operanden addiert oder von diesem subtrahiert wird.

4. Arithmetische Einheit nach einem der Ansprüche 1 bis 3, dadurch gekennzeichnet, daß eine mit der Steuereinrichtung (1) verbundene Prüfeinrichtung (4) vorgesehen ist, die das jeweilige Teilergebnis aus der Addier-Subtrahier-Einheit (3) auf einstellbare Kriterien der zu berechnenden Funktion, wie Überträge oder Borger, abtastet und in Abhängigkeit von diesen eine Änderung des einen Operanden durchführt oder verhindert.

5. Arithmetische Einheit nach einem der Ansprüche 1 bis 4, dadurch gekennzeichnet, daß die Steuereinrichtung (1) derart ausgebildet ist, daß sie in Abhängigkeit von einem Rechengang der Addier-Subtrahier-Einheit (3) oder von einem Ausgangssignal der Prüfeinrichtung (4) den Inhalt des Änderungswertregisters (M) ändert.

6. Arithmetische Einheit nach einem der Ansprüche 1 bis 5, dadurch gekennzeichnet, daß der Ausgang der Addier-Subtrahier-Einheit (3) über von der Steuereinheit (1) beeinflußte Torschal-

tungen mit dem Änderungswertregister (M) verbunden ist.

7. Arithmetische Einheit nach einem der Ansprüche 1 bis 6, dadurch gekennzeichnet, daß das Änderungswertregister (M) als Schieberegistei ausgebildet ist und in Abhängigkeit von einem Ausgangssignal der Prüfeinrichtung (4) einen Verschiebeimrjuls empfängt, der eine Stellenverschiebung des Änderungswertes gegenüber dem zu verändernden Operanden vornimmt.

8. Arithmetische Einheit nach einem der Ansprüche 1 bis 7, dadurch gekennzeichnet, daß ein konstanter Speicher zur Aufnahme von Änderungswerten entsprechend den zu berechnenden Funktionen vorgesehen ist und daß die Steuereinrichtung zur Steuerung der Übertragung der Änderungswerte in der richtigen Reihenfolge und zum richtigen Zeitpunkt in das Änderungswertregister dient.

In Betracht gezogene Druckschriften:

»Digitale Rechenanlagen«, Springer Verlag, Berlin, 1961, S. 254 und 255 und 283 bis 285;

»Handbook of Automation, Computation and Control«,Vol. 2, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1959, S. 2-251 bis 2-257;

»The Annals of the Computation Laboratory of Harvard University«, Vol. XXVII, S. 172 bis 184;

»Arithmetic Operations in Digital Computers«, D. van Nostrand Comp., Inc., New York 1955, S. 348 und 349.

In Betracht gezogene ältere Patente:
Deutsches Patent Nr. 1 157 009.

Hierzu 3 Blatt Zeichnungen

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