DE102020113558B4 - Lock-In-Verstärker mit optimaler Rauschunterdrückung - Google Patents

Abstract

Lock-in-Verstärker, aufweisend ein Filter, wobei das Filter ausgebildet ist, ein Signal aus einem Messsignal herauszufiltern mittels einer parameterabhängigen Filter-Funktion, die auf ein zeitliches Intervall begrenzt ist, wobei das Filter durch ein parameterabhängiges Soft-Rectangle Filter realisiert ist.

Description

• Die Erfindung betrifft einen Lock-In-Verstärker mit optimaler Rauschunterdrückung.
• Ein Lock-in-Verstärker ist ein Verstärker zur Messung eines schwachen elektrischen Wechselsignals, das mit einem in Frequenz und Phase bekannten Referenzsignal phasenstarr verbunden ist. Ein Lock-In-Verstärker stellt ein schmalbandiges Bandpassfilter dar und verbessert dadurch das Signal-Rausch-Verhältnis.
• Lock-In-Verstärker sind weit verbreitet, um kleine Signale über einem rauschenden Hintergrund zu messen. Das Signal wird absichtlich periodisch über einen externen Parameter in der Zeit moduliert, wobei die Modulation phasenstarr mit einer bekannten Referenz verbunden ist.
• Der Lock-In-Verstärker bestimmt die Amplitude des Signals bei der Frequenz der Referenz und seine relative Phase zur Referenz. Alle kommerziellen Lock-In-Verstärker verwenden eine Filterfunktion, die das Zeitintervall bestimmt, das zur Schätzung von Amplitude und Phase des Signals, bei Verwendung von Polarkoordinaten, beziehungsweise von X und Y des Signals, bei Verwendung kartesischen Koordinaten, benötigt wird.
• Die Filterfunktion eines einfachen RC-Filters ist eine abklingende Exponentialfunktion mit einer Zeitkonstante. Der Lock-In-Ausgang zum Zeitpunkt t enthält daher auch Beiträge des Signals, die mehreren Zeitkonstanten vor der Zeit t am Eingang anlagen. Insbesondere erreichen die RC-basierten Filterfunktionen nie einen konstanten Nullwert. Unter einem RC-Filter versteht man Schaltungen, die aus einem ohmschen Widerstand R, für das englische Wort „resistor“, und einem Kondensator C, für das englische Wort „capacitor“, aufgebaut sind. In modernen Lock-In-Verstärkern werden RC-Filter digital realisiert.
• Die US 2017 / 0 153 279 A1 betrifft einen Lock-In-Verstärker enthaltend einen Taktsignalgenerator der so konfiguriert ist, dass er ein erstes Demodulationstaktsignal und ein zweites Demodulationstaktsignal mit einer Phasendifferenz von 90 Grad und derselben Demodulationsfrequenz erzeugt; und einen Detektor, der so konfiguriert ist, dass er auf der Grundlage eines Eingangssignals, des ersten Demodulationstaktsignals und des zweiten Demodulationstaktsignals eine Offset-Spannung entsprechend einem Offset des Lock-In-Verstärkers in einem ersten Betriebsmodus bereitstellt und eine erste Ausgangsspannung und eine zweite Ausgangsspannung bereitstellt, von denen jede einer Demodulationsfrequenzkomponente des Eingangssignals in einem zweiten Betriebsmodus entspricht.
• Die US 2014 / 0 218 103 A1 betrifft eine Kombination aus einer Lock-In-Verstärkereinheit und einer phasensynchronen Verarbeitungseinheit. Diese Kombination führt zu einer Vielzahl von Möglichkeiten der Signalanalyse und -aufbereitung. Zu diesen Möglichkeiten gehören unter anderem (i) die Extraktion von Zeitbereichseigenschaften des Eingangssignals, (ii) die Extraktion statistischer Eigenschaften des Eingangssignals, (iii) die Extraktion von Frequenzbereichseigenschaften des Eingangssignals und (iv) die Vorkonditionierung des Lock-In-Eingangssignals.
• Die DE 10 2007 015 913 A1 betrifft einen Lock-In-Verstärker, der eine Steuergröße ermittelt um die Integrationsdauer T oder Zeitkonstante anzupassen. Die Druckschrift hat keinen Bezug zur Optimierung von Rauschunterdrückung mittels eines geeignet geformten Filters. Das Signal-zu-Rauschverhältnis wird ausschließlich durch die Verlängerung der Integrationsdauer verbessert.
• Die Publikation Ayat, Mehdi [et al.]: „Design of Multiple Modulated Frequency Lock-In Amplifier for Tapping-Mode Atomic Force Microscopy Systems“, IEEE Transactions On Instrumentation And Measurement; Vol. 65; Nr. 10; 2016; S. 2284 - 2292 betrifft einen Lock-In-Verstärker, der ein einfaches „moving-average-Filter“ mittels einer kaskadierten Kammstruktur realisiert. Dieses Rechteckfilter wird in der Länge aber nicht in der Form verändert und bietet keine Möglichkeit die RMS-Schmalbandigkeit für eine vorgegebene Integrationszeit zu verbessern.
• MATLAB: Tukey (tapered cosine) window bezieht sich auf eine Dokumentation der Syntax „w = tukeywin(L,r)“ von MATLAB.
• ZURICH INSTRUMENTS: Principles of lock-in detection and the state of the art; White Paper, November 2016 beschreibt die Funktionsweise von Lock-In Verstärkern.
• Ein ernsthaftes Problem entsteht, wenn ein externer Parameter des Experiments geändert wird, für das der Lock-In-Verstärker verwendet wird. Die neue Lock-In-Ausgabe wird immer unerwünschte Beiträge des Signals aus Zeiten vor der Änderung des externen Parameters enthalten. Üblicherweise werden RC-basierte Filter verwendet und es wird um eine Zeitspanne entsprechend mehreren Zeitkonstanten abgewartet, bis die Kontamination durch das vorherige Signal unter einem gewissen Wert liegt.
• Davon ausgehend ist es die Aufgabe der Erfindung, eine unnötige Erhöhung der Messzeit zu vermeiden.
• Diese Aufgabe wird durch den Gegenstand des Patentanspruchs 1 gelöst. Bevorzugte Weiterbildungen finden sich in den Unteransprüchen.
• Erfindungsgemäß ist ein Lock-in-Verstärker angegeben, aufweisend ein Filter, wobei das Filter ausgebildet ist, ein Signal aus einem Messsignal herauszufiltern mittels einer parameterabhängigen Filter-Funktion, die auf ein zeitliches Intervall begrenzt ist, wobei das Filter durch ein parameterabhängiges Soft-Rectangle Filter realisiert ist. Die Wahl des Parameters erlaubt es dem Benutzer zwischen einem Rechteckfilter und einem Sinusfilter zu interpolieren und damit eine optimale Unterdrückung für Rauschsituationen zu erhalten, die zwischen den Extremfällen von breitbandigem beziehungsweise schmalbandigem Rauschen liegen. Mit Vorteil kann durch ein Filter des erfindungsgemäßen Lock-In-Verstärkers ein Messsignal ohne Verzögerung gemessen werden.
• Grundidee der Erfindung ist es also, Filter zu verwenden, die nach einiger Zeit den konstanten Wert Null annehmen. Solche Filter werden als Filter mit endlicher Impulsantwort (FIR-Filter) bezeichnet. Der erfindungsgemäße Lock-In-Verstärker ermöglicht, eine Kontamination durch ein Vorgängersignal vollständig zu vermeiden. Der Lock-In-Verstärker mit dem erfindungsgemäßen Filter ist ein bestmöglicher Kompromiss aus Filtern, die eine sehr gute Unterdrückung von weißem Hintergrundrauschen bieten, und Filtern mit einem schmalen Frequenzgang darstellen. Ein spektral schmales Filter unterdrückt starke Störsignale bei Frequenzen nahe der Signalfrequenz. Es wird eine gute Frequenzauflösung bei guter Rauschunterdrückung erreicht.
• Die Verwendung optimaler Filter bevorteilt einen Zeitgewinn um bis zu einem Faktor von etwa 3.5. Weiterhin gilt, dass mit längerer Messzeit pro Sweep-Parameter ein besseres Signal-zu-Rausch Verhältnis generiert werden kann.
• Gemäß einer modifizierten Ausführungsform der Erfindung ist vorgesehen, dass das Filter ausgebildet ist, seine Funktion für ein weißes Hintergrundrauschen im Messsignal zu einem Rechteck werden zu lassen. In dieser Weise kann mit Vorteil ein Großteil des weißen Hintergrundrauschens aus dem aufgenommen Messsignal herausgefiltert werden.
• Gemäß einer modifizierten Ausführungsform der Erfindung ist vorgesehen, dass das Filter ausgebildet ist, seine Funktion für ein Rauschen im Messsignal nahe einer Referenzfrequenz zu der Sinus-Funktion werden zu lassen. Mit Vorteil kann somit zielgerichtet bei Frequenzen nahe der Referenzfrequenz ein schmalbandiges Filter angewandt werden.
• Gemäß der Erfindung ist vorgesehen, dass das Filter durch ein parameterabhängiges Soft-Rectangle Filter realisiert ist. Ein Soft-Rectangle-Filter, zu Deutsch: „Soft-Rechteck“-Filter ist ein Filter mit endlicher Impulsantwort (FIR-Filter). Hierbei kann vorgesehen sein, dass die Filter-Funktion des Filters einen Verlauf eines Rechtecks mit abgerundeten Kanten hat, wobei eine Abrundung der Kanten sich mit einer Zunahme eines Anteils eines Hintergrundrauschens, verringert, und wobei sich die Abrundung der Kanten mit einer Nähe eines Rauschens nahe der Referenzfrequenz vergrößert. Beispielsweise kann das Rechteck-Filter angewandt werden bei einem weißen Rauschen oder wenn es ein nicht weißes Rauschen gäbe, jedoch Störsignale größer als eine Filterhalbwertsbreite von dem Signal entfernt sind.
• Gemäß einer modifizierten Ausführungsform der Erfindung ist vorgesehen, dass der Lock-In-Verstärker ausgestaltet ist, eine Filterzeit an ein Rauschen anzupassen, wobei zur Rauschunterdrückung eine Abrundung von Rechteckkanten der Filter-Funktion bei einer konstanten Filterzeit eingestellt wird; oder wobei zur Rauschunterdrückung eine zeitlich variierende Abrundung von Rechteckkanten der Filter-Funktion bei einer voreingestellten Filterzeit eingestellt wird. Die voreingestellte Filterzeit wird je nach Eigenschaften eines zu erwartenden Rauschens in dem Messsignal gewählt.
• Gemäß einer modifizierten Ausführungsform der Erfindung ist vorgesehen, dass der Lock-In-Verstärker ausgestaltet ist zum Überwachen eines Hintergrundrauschspektrums und zum Anpassen einer Integrationszeit an ein zu erreichendes Signal-zu-Rausch-Verhältnis(SNR).
• Gemäß einer modifizierten Ausführungsform der Erfindung ist vorgesehen, dass der Lock-In-Verstärker ausgestaltet ist, zu jedem Messwert einen Fehlerwert auszugeben. Hiermit kann beispielsweise die Qualität der Methode und der Messdaten beurteilt werden. Dabei sei anzumerken, dass das RC-Filter nach Stand der Technik neben einem statistischen Fehler einen systematischen Fehler enthält, welcher von den vorherigen Messwerten abhängt. Die erfindungsgemäße Methode erzeugt allerdings ausschließlich statistische Fehler.
• Gemäß einer modifizierten Ausführungsform der Erfindung ist vorgesehen, dass der Lock-In-Verstärker ausgestaltet ist zum Ausgeben von einer Amplitude und/oder einer Phase und/oder Koordinaten X und Y von zumindest einer höheren Harmonischen. Für bestimmte Experimente, z. B. betreffend das Quantentunneln oder Wärmemessungen, ist die Auswertung auch von höheren Harmonischen erforderlich. Die höheren Harmonischen können somit zusammen mit der „Grund-Harmonischen“ aufgenommen werden und es müssen keine Messungen zu diesem Zweck wiederholt werden. Es sei klargestellt, dass das Ausgeben zumindest einer Harmonischen ausdrücklich das Ausgeben einer Vielzahl von Harmonischen je nach Bedarf, d. h. je nach Experiment, ausdrücklich umfasst.
• Gemäß einer modifizierten Ausführungsform der Erfindung ist vorgesehen, dass der Lock-In-Verstärker einstellbar ist auf einen Modus, der einen Lock-in-Verstärker mit einem oder mehreren seriellen RC-Filter nachahmt. Insbesondere ist der Lock-In-Verstärker ausgebildet, mit den RC-Filtern gleichzeitig zu messen wie mit dem erfindungsgemäßen Filter oder einem Filter nach einer modifizierten Ausführungsform oder einer Kombination hiervon.
• Gemäß einer modifizierten Ausführungsform der Erfindung ist vorgesehen, dass der Lock-In-Verstärker ausgestaltet ist zum Ausgeben einer Amplitude, Phase oder Koordinaten X und Y wie ein Lock-In-Verstärker nach einer der vorgehenden modifizierten Ausführungsformen oder gemäß der Erfindung und ausgestaltete ist, simultan Amplitude, Phase oder Koordinaten X und Y wie ein Lock-In Verstärker mit einem oder mehreren RC-Filtern auszugeben.
• Bei den vorbeschriebenen RC-Filtern kann es sich um solche mit mehreren Filterstufen handeln.
• In den Zeichnungen zeigen
• 1 schematisch eine zeitliche Antwortfunktion von einem, zwei, drei und vier sequenziell verwendeten RC-Filtern; und
• 2 schematisch eine Charakteristik eines weichen Rechteckfilters für verschiedene Parameterwerte Alpha.
• RC-Filter
• 1 zeigt schematisch eine zeitliche Antwortfunktion von einem, zwei, drei und vier sequenziell verwendeten RC-Filtern. Hierbei wird eine Gewichtung des Messignals in der Vergangenheit aufgrund verschiedener RC-Filterstufen dargestellt. Die Vergangenheit bezieht sich auf eine Zeit vor dem Zeitpunkt der Messung, welcher in dem Graph der 1 am Punkt „0“ in der x-Achse angezeigt ist. Der Graph der 1 geht bis 10 Zeitkonstanten in die Vergangenheit, um zu veranschaulichen wie viel Signal aus der Vergangenheit bei den verschiedenen Filterstufen mitgemessen wird. Es entspricht die Verlaufskurve mit dem Bezugszeichen „A“ einer zeitlichen Antwortfunktion von einem verwendeten RC-Filter von 6 dB. Die Verlaufskurve mit dem Bezugszeichen „B“ entspricht einer zeitlichen Antwortfunktion von zwei sequenziell verwendeten RC-Filtern von jeweils 6 dB, d. h. insgesamt von 12 dB. Die Verlaufskurve mit dem Bezugszeichen „C“ entspricht einer zeitlichen Antwortfunktion von drei sequenziell verwendeten RC-Filtern von jeweils 6 dB, d. h. insgesamt von 18 dB. Die Verlaufskurve mit dem Bezugszeichen „D“ entspricht einer zeitlichen Antwortfunktion von vier sequenziell verwendeten RC-Filtern von jeweils 6 dB, d. h. insgesamt von 24 dB.
• Ein einfacher analoger Lock-In-Verstärker realisiert ein Tiefpassfilter mit einem Kondensator, der vom Eingangssignal x(t) über einen Widerstand aufgeladen wird. Der Filterausgang y(t) erfüllt die Differentialgleichung $$\dot{y}\left(t\right)-\mathrm{\gamma }y\left(t\right)=\mathrm{\gamma }x\left(t\right).$$

  
• Hierbei ist γ (Gamma) eine Konstante. Für konstantes x(t) = x₀ finden wir y(t) → x₀ für große Zeitspannen t. Die allgemeine Lösung ist durch eine Faltung gegeben: $$y\left(t\right)=x\left(t\right)\ast ƒ\left(t\right)$$

  

  mit der Filterfunktion $$ƒ\left(t\right)=\mathrm{\gamma }\text{ exp}\left(-\mathrm{\gamma }t\right)\mathrm{\Theta }\left(t\right)$$

  

  wobei Θ(t) (Theta(t)) die Heaviside-Funktion (Einheitssprungfunktion) ist. Die Funktion fällt mit der Zeitkonstanten T_LI = gamma^(-1) exponentiell ab. Die Funktion f(t) hat eine auf 1 normierte Fläche $${\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }ƒ\left(t\right)dt}=1.$$

  
• Die Fourier-Transformation von f(t) ist $$ƒ\left(\omega \right)=\frac{\mathrm{\gamma }}{\mathrm{\gamma }-i\omega }.$$

  
• Das durch f(Ω) (f(Omega)) realisierte Filter wird oft als 6dB-Filter bezeichnet, da seine Steilheit mit etwa 6dB pro Oktave abfällt: $${\left|ƒ\left(2\omega \right)\right|}^2/{ƒ\left(\omega \right)|}^2\approx 1/4\approx {10}^{-0.6}.$$

  
• Daher wird definiert: $${ƒ}_{6\text{dB}}\left(t\right)=\mathrm{\gamma }\text{ exp}\left(-\mathrm{\gamma }t\right)\mathrm{\Theta }\left(t\right).$$

  
• Die Ausgabe y2(t) mit zwei aufeinanderfolgenden 6dB Filtern ist gegeben durch: $$\begin{array}{c}{y}_2\left(t\right)={ƒ}_{6\text{dB}}\left(t\right)\ast {ƒ}_{6\text{dB}}\left(t\right)\ast x\left(t\right)\\ ={ƒ}_{12\text{dB}}\left(t\right)\ast x\left(t\right)\end{array}$$

  

  wobei eine Berechnung ergibt: $${ƒ}_{12\text{dB}}\left(t\right)={\mathrm{\gamma }}^{2}t\text{ exp}\left(-\mathrm{\gamma }t\right)\mathrm{\Theta }\left(t\right).$$

  
• Für drei und vier aufeinander folgende Filter erhält man: $${ƒ}_{18\text{dB}}\left(t\right)={\mathrm{\gamma }}^3\frac{t^2}{2}\text{exp}\left(-\mathrm{\gamma }t\right)\mathrm{\Theta }\left(t\right)$$

  

  $${ƒ}_{24\text{dB}}\left(t\right)={\mathrm{\gamma }}^4\frac{t^3}{6}\text{exp}\left(-\mathrm{\gamma }t\right)\mathrm{\Theta }\left(t\right)$$

  
• Das Integral jeder Filterfunktionen ergibt eins. Das Standford Research Handbuch für den SR830 Lock-In Verstärker empfiehlt für den 6dB Filter eine Wartezeit $$T_{\text{W}}=5T_{\text{LI}}$$

  

  für die Messung, damit sich ein vertrauenswürdiger Wert von y(t) einstellen kann. Generell hängt eine sinnvolle Wartezeit vom Typ der Filter ab.
• Der Fehler einer Lock-In-Messung
• Die Ausgabe y(t) soll eine Schätzung für den Durchschnittswert <x(t) > sein. Der Durchschnittswert von y(t) ist $$\begin{array}{l}\langle y\left(t\right)\rangle =\langle {\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }x\left(t-\tau \right)ƒ\left(\tau \right)d\tau }\rangle \\ ={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }\langle x\left(t-\tau \right)\rangle ƒ\left(\tau \right)d\tau }\\ =\langle x\left(t\right)\rangle {\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }ƒ\left(\tau \right)d\tau }\\ =\langle x\left(t\right)\rangle \end{array}$$

  

  was bedeutet, dass y(t) ein erwartungstreuer Schätzer von <x(t)> für jede Filterfunktion mit Flächen eins ist. Die Varianz σ_y ² (Sigma_y^2) von y(t) ist ein Maß für den Fehler der Messung. Die Varianz lässt sich am besten im Frequenzraum interpretieren $$\begin{array}{c}{\sigma }_y^2=\langle y{\left(t\right)}^2\rangle -{\langle y\left(t\right)\rangle }^2\\ =\frac{1}{2\mathrm{\pi }}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{S}_y\left(\omega \right)d\omega }\\ =\frac{1}{2\mathrm{\pi }}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{S}_x\left(\omega \right){\left|ƒ\left(\omega \right)\right|}^{2}d\omega }.\end{array}$$

  
• Man beachte, dass das Spektrum S auf Kumulanten basiert. Für einen Rauschhintergrund mit weißem Spektrum (so genanntes weißes Rauschen) S_x(Ω) (S_x(Omega)) = S₀ findet man $${\sigma }_y^2=\frac{1}{2\mathrm{\pi }}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{S}_0{\left|ƒ\left(\omega \right)\right|}^{2}d\omega }=S_0\frac{{\omega }_{\text{enbw}}}{\mathrm{\pi }},$$

  

  wobei ω _enbw (Omega_{ enbw}) die sogenannte äquivalente Rauschbandbreite ist, die eine wichtige Größe in der Signalverarbeitung darstellt. Für f(t) f_6dB(t) findet man: $${\sigma }_{y\mathrm{,6}\text{dB}}^2=S_0\mathrm{\gamma }/2=S_0/\left(2T_{\text{LI}}\right),$$

  

  d.h. die Varianz verbessert sich linear mit der Zeitkonstante $$T_{\text{LI}}={\mathrm{\gamma }}^{-1}$$

  

  des Lock-In-Verstärkers. Die Varianzen für die höherwertigen 12dB, 18dB und 24dB Filter sind $$\begin{array}{l}{\sigma }_{y\mathrm{,12}\text{dB}}^2=S_0\mathrm{\gamma }/4\hfill \\ {\sigma }_{y\mathrm{,18}\text{dB}}^2=3S_0\mathrm{\gamma }/16\hfill \\ {\sigma }_{y\mathrm{,24}\text{dB}}^2=5S_0\mathrm{\gamma }/32.\hfill \end{array}$$

  
• In einem tatsächlichen Experiment führt eine längere Wartezeit T_W zu weniger Rauschen σ_y ² (Sigma_y^2) da $$T_{\text{W}}\propto T_{\text{LI}}\propto {\mathrm{\gamma }}^{-1}.$$

  
• Folglich verhält sich die Varianz wie $${\sigma }_y^2={\alpha }_{\text{N}}{S}_0{T}_{\text{W}}^{-1}$$

  

  wobei die folgende dimensionslose Größe eingeführt wird: $${\alpha }_{\text{N}}=\frac{{\sigma }_y^2{T}_{\text{W}}}{S_0}=\frac{{\omega }_{\text{enbw}}{T}_{\text{W}}}{\mathrm{\pi }}.$$

  
• Die Größe α_N (Alpha _N) ist entscheidend für den Vergleich verschiedener Arten von Filtern. α_N (Alpha _N) wird im Kontext dieser Anmeldung als „Rausch-Zeit-Bandbreitenprodukt“ bezeichnet. Je kleiner α_N (Alpha _N) für einen zu charakterisierenden Filter ist, desto stärker ist die Unterdrückung eines weißen Hintergrundrauschens. Der Wert von α_N hängt nur vom Verhältnis von T_W und T_LI ab, da ω_enbw (Omega_{enbw}) mit T_LI ^-1 skaliert.
• Die Wartezeiten von bekannten RC-Filtern auf das Einschwingen auf 99% und 95% des Endwertes sind in den Spalten zwei und drei der Tabelle 1 in Einheiten der Zeitkonstante γ^-1 (Gamma^ { -1}) angegeben. Die Rausch-Zeit-Bandbreitenprodukte α_N (Alpha _N) sind in den Spalten vier und fünf angegeben. Tabelle 1: Eigenschaften von Filtern (RC, Butterworth, und Zeit-Rechteck).

  	Tw99/101	TW95/105	αN99/101	αN95/105
  RC 6dB / BW1	4.605	3.000	2.303	1.498
  RC 12dB	6.638	4.744	1.660	1.186
  RC 18dB	8.406	6.296	1.576	1.180
  RC 24dB	10.045	7.754	1.570	1.212
  BW2	6.586	2.930	2.329	1.036
  BW3	9.420	5.966	3.140	1.989
  BW4	10.423	6.852	3.405	2.238
  KEC	0.99	0.95	0.99	0.95

• Bei besseren Lock-In-Verstärkern des Standes der Technik finden Benutzer beispielsweise die niedrigsten α_N (Alpha _N) = 1.570 für ein 24dB Filter. Um eine etwa gleich starke Unterdrückung des weißen Rauschens zu erreichen, ist es bei anderen Lock-In-Verstärkern des Standes der Technik notwendig, eine längere Wartezeit hinzunehmen. Für ein 6dB RC-Filter wäre die Wartezeit beispielsweise 2.303/1.570, d. h. etwa 1.47-fach, länger gegenüber eines 24dB-Filters eines besseren Lock-In-Verstärkern, wobei Benutzer zusätzlich unter einer schlechteren Seitenbandunterdrückung durch das 6dB RC-Filter im Vergleich zum 24dB RC-Filter leiden.
• Als nächstes zeigen wir, dass ein einfaches Rechteck-Filter $${ƒ}_{\text{r}}=1/T_{\text{r}}\text{ for }0<t<T_{\text{r}}$$

  

  (und sonst Null) eine viel besseres Rausch-Zeit-Bandbreitenprodukt alpha N ergibt als die oben genannten RC-Filter oder Butterworth-Filter. Man findet für die Varianz des Rechteck-Filters $$\begin{array}{l}{\sigma }_{y,\text{r}}^2=\frac{1}{2\mathrm{\pi }}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{S}_x\left(\omega \right){\left|{ƒ}_{\text{r}}\left(\omega \right)\right|}^{2}d\omega }\\ =S_0\frac{1}{2\mathrm{\pi }}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{\left|{ƒ}_{\text{r}}\left(\omega \right)\right|}^{2}d\omega }\\ =S_0{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{\left|{ƒ}_{\text{r}}\left(t\right)\right|}^{2}dt}\\ =S_0/T_{\text{r}}.\end{array}$$

  
• Nach einer Wartezeit T_w = T_r hat das Filter bereits 100% des Endwertes abgedeckt (d.h. der Filter ist auf Null abgeklungen) und das Rausch-Zeit-Bandbreitenprodukt wird $${\alpha }_{\text{N}}=\frac{{\sigma }_{y,\text{r}}^2{T}_{\text{W}}}{S_0}=1$$

  

  was einer Verbesserung von etwa einem Faktor 2.3 gegenüber z.B. dem 99% Fall des 6dB Filters entspricht.
• Weiche Rechteckfilter zur Verwendung in Lock-In-Verstärkern
• Es wird eine Familie von Filtern hergeleitet, die das Fenster mit der geringsten Rauschzeitbandbreite und das Fenster mit der geringsten RMS-Bandbreite enthalten. Ein Filter-Parameter α (Alpha) wird so definiert, dass die Fenster ƒ(α) (f_{Alpha}(t)) für α (Alpha) = 0 und α (Alpha) = 1 diesen beiden Fällen entsprechen und alle anderen Fenster für 0<α<1 glatt zwischen ihnen interpolieren. Wir führen eine Funktion g(t) mit $$ƒ\left(t\right)=\kappa g\left(t\right)$$

  

  ein, wobei g(t) so normalisiert wird, dass $${\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{g}^{\ast }\left(t\right)g\left(t\right)dt}=1.$$

  
• Die Flächeneinheitsbedingung für f(t) wird $$I_1=\kappa {\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }g\left(t\right)}d\left(t\right)=1$$

  

  und das auf T_W und S₀ normierte Rausch-Zeit-Bandbreitenprodukt wird $$I_2={\kappa }^2{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{g}^{\ast }\left(t\right)g\left(t\right)}d\left(t\right)={\kappa }^2.$$

  
• Die RMS-Bandbreite ist proportional zu $$I_3={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{\omega }^2{g}^{\ast }\left(\omega \right)g\left(\omega \right)}d\omega .$$

  
• Ein kleines Rauschprodukt I₂ erfordert ein kleines κ (Kappa), das für ein großes Integral I'_1 erhalten wird $$I_1^{\text{'}}={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }g\left(t\right)dt}.$$

  
• Das Funktional $$\mathcal{M}=-\left(1-\alpha \right)\left(I_1^{\text{'}}\right)*I_1^{\text{'}}+\alpha I_3$$

  

  wird nun durch Variation von g(t) und unter Einhaltung der Bedingung (27) minimiert. Die Minimierung von $$-\alpha \left(I_1^{\text{'}}\right)*I_1^{\text{'}}$$

  

  anstatt von $$-\alpha \left(I_1^{\text{'}}\right)$$

  

  erlaubt es beide Terme von $$\mathcal{M}$$

  

  in Gleichung (32) als quadratische Formen auszudrücken. Das Problem wird diskretisiert, um es numerisch zu lösen. Mit $$g_{\nu }=g\left(T_{\text{W}}/N\left(\nu -1/2\right)\right)$$

  

  wobei $$\nu =\mathrm{1,}\dots ,N$$

  

  und unter Verwendung von Starosielecs Matrix P² (siehe S. Starosielec and D. Hägele, „Discrete-time windows with minimal RMS bandwidth for given RMS temporal width“, Signal Processing (Elsevier), vol. 102, pp. 240, 2014): $$\begin{array}{c}{\left({\text{P}}^{\left(2\right)}\right)}_{kl}=\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{3}\text{ for }k=l\\ =\frac{2{\left(-1\right)}^{k-l}}{{\left(k-l\right)}^2}\text{ for }k\ne l.\end{array}$$

  

  um I₃ auszudrücken, findet man $$\mathcal{M}=-\left(1-\alpha \right)\frac{T_{\text{W}}}{N}{\overrightarrow{g}}^{H}R\overrightarrow{g}+\alpha \frac{N^2}{T_{\text{W}}^2}{\overrightarrow{g}}^H{P}^{\left(2\right)}\overrightarrow{g}$$

  

  mit der Nebenbedingung $${\overrightarrow{g}}^H\overrightarrow{g}-1=0$$

  

  wobei R eine N x N - Matrix ist, die mit 1 in jedem Eintrag gefüllt ist. Die Methode der Langrange-Multiplikatoren wird verwendet, um die Nebenbedingung in ein einziges Minimierungsproblem einzubeziehen $$\begin{array}{l}\mathcal{L}=-\left(1-\alpha \right)\frac{T_{\text{W}}}{N}{\overrightarrow{g}}^{H}R\overrightarrow{g}+\alpha \frac{N^2}{T_{\text{W}}^2}{\overrightarrow{g}}^H{P}^{\left(2\right)}\overrightarrow{g}\\ -\mathrm{\lambda }\left({\overrightarrow{g}}^H\overrightarrow{g}-1\right)\end{array}$$

  

  bei dem g_v (g_Nü) und der Langrange-Multiplikator λ (Lambda) variiert werden. Verschwindende Ableitungen von $\mathcal{L}$

  

  in Bezug auf g_v (g_Nü) führen zu der notwendigen Bedingung $$\left[-\left(1-\alpha \right)\frac{T_{\text{W}}}{N}R+\alpha \frac{N^2}{T_{\text{W}}^2}{P}^{\left(2\right)}\right]\overrightarrow{g}=\mathrm{\lambda }\overrightarrow{g}$$

  

  was ein Eigenwertproblem für $\overrightarrow{g}.$

  

  darstellt. Der Eigenvektor $\overrightarrow{g}.$

  

  (Alpha) mit dem niedrigsten Eigenwert ergibt den gewünschten FIR-Filter f_α(t) (f_Alpha(t)) mit $${ƒ}_{\alpha }\left(t=T_{\text{W}}\left(\nu -1/2\right)/N\right)=\frac{g_{\nu }\left(\alpha \right)}{\frac{T_{\text{W}}}{N}{\displaystyle \sum g_{\nu }\left(\alpha \right)}}.$$

  
• 2 zeigt die (FIR) Soft-Rechteck-Filter, die zwischen einem Rechteck für α (Alpha) = 0 und einem Sinus-Fenster für α (Alpha) = 1 interpolieren. Die zeitlichen Verläufe der Funktion des Soft-Rechteck-Filters sind hierbei normiert. Es entspricht die Verlaufskurve mit dem Bezugszeichen „E“ einer Amplitude einer Funktion eines Soft-Rechteck-Filters für α (Alpha) = 0. Die Verlaufskurve mit dem Bezugszeichen „F“ entspricht einer Amplitude einer Funktion eines Soft-Rechteck-Filters für α (Alpha) = 0,0001. Die Verlaufskurve mit dem Bezugszeichen „G“ entspricht einer Amplitude einer Funktion eines Soft-Rechteck-Filters für α (Alpha) = 0,001. Die Verlaufskurve mit dem Bezugszeichen „H“ entspricht einer Amplitude einer Funktion eines Soft-Rechteck-Filters für α (Alpha) = 0,01. Die Verlaufskurve mit dem Bezugszeichen „I“ entspricht einer Amplitude einer Funktion eines Soft-Rechteck-Filters für α (Alpha) = 1.
• Das Erscheinen eines Sinus-Fensters ist vorteilhaft, denn dieses besitzt die bestmögliche RMS-Frequenzbandbreite eines FIR-Filters (vergleiche Starosielec und Hägele in Signal Processing 2014). Das Rausch-Zeit-Bandbreitenprodukt α_N (Alpha _N) ergibt 1.0 für das Rechteck und Pi^2/8, was etwa 1.234 für das Sinusfilter.
• Für α (Alpha) zwischen 0 und 1 gibt es einen weichen Übergang vom scharfen Rechteck zur Sinuskurve. Die tatsächliche Einstellung von α (Alpha) in einem zukünftigen Lock-In-Verstärker orientiert sich am Charakter des Hintergrundrauschens. Ein weißer Rauschuntergrund wird am besten von der Rechteckform unterdrückt. Ein spektral enges Rauschen nahe der Referenzfrequenz wird am besten von dem spektral engere Sinusfilter unterdrückt.
• Weiche Rechteckfilter zur Verwendung in Lock-In-Verstärkern
• Die gebräuchlichsten digitalen Lock-in-Verstärker (Firmen Zurich Instruments und Stanford Research) verwenden RC-Filter (6dB bis 48dB) oder (Firma Anfatec) Butterworth Filter (6dB, 12dB und 24dB). Alle Filter haben eine unendliche Impulsantwort (englisch: „infinite impulse response“, oder abgekürzt „IIR“) mit langen Wartezeiten und suboptimaler Unterdrückung von weißem Hintergrundrauschen
• Ein Filter mit endlicher Impulsantwort (englisch: „finite impulse response“, oder abgekürzt „FIR“), kurz: FIR-Filter wurde in einem selbstgebauten Lock-In-Verstärker von Qin et al. (Jianhuan Qin, Zhiming Huang, Yujian Ge, Fun How, and Junhao Chu, „Tandem demodulation lock-in amplifier based on digital processor for dualmodulated spectroscopy,“ Rev. Scientific Instruments, vol. 80, pp. 033112, 2009) verwendet. Als Filter wurde das Blackman-Fenster verwendet, das im Hinblick auf das Rausch-Zeit-Bandbreitenprodukt α_N (Alpha_N) bei weitem nicht optimal ist. Hofmann et al. (Maximilian Hofmann, Rudolf Dr. Bierl, and Thomas Rück, „Implementation of a dual-phase lock-in amplifier on a tms320c5515 digital signal processor“, 2012 5th European DSP Education and Research Conference (EDERC), pp. 20-24, 2012) benutzten ein KaiserFenster als FIR-Filter, fügten aber einen weiteren RC-Filter hinzu, der die endliche Impulsantwort zerstörte.
• Ähnlich kann ein Gaußscher FIR-Filter in einem bekannten Lock-In-Verstärker vom Benutzer verwendet werden. Der Einsatz ist jedoch auf Zeitkonstanten unter 3s beschränkt. Auch hier ist das Gaussfilter nicht optimal in Bezug auf α_N (Alpha N).
• Anwendung
• Die Erfindung lässt sich auf einer Vielzahl von Gebieten anwenden, wie zum Beispiel
• - allgemeine Spektroskopie-Anwendungen (Mikrowellen, Infrarot, Sichtbar, UV, XLTV, ...)
• - Laserspektroskopie
• - Nanoelektronik
• - Quantenelektronik
• - thermoelektrische und (Quanten-)Transportmessungen
• - Photolumineszenzmessungen mit einem Monochromator und einer Photodiode
• - Pump-Probe-Messungen (z.B. ultraschnelle optische Zeitbereichsspektroskopie)
• - Störstellenspektroskopie (Deep-level transient spectroscopy)
• - Kapazitäts-Spannungs-Spektroskopie
• - Rasterkraftmikroskopie
• - Rastertunnelmikroskope
• Appendix
• Der Butterworth-Filter der n-ten Ordnung im Fourier-Bereich ist gegeben durch $${ƒ}_{\text{BW},n}\left(\omega \right)={\displaystyle \prod _{\nu =0}^{n-1}\frac{1}{1-\frac{\omega }{\mathrm{\gamma }}\text{exp}\left(i\mathrm{\pi }\left(\nu +1/2\right)/n\right)}}.$$

  
• Die Varianz des Filterausgangs y ist für den Fall eines weißen Hintergrundrauschens $${\sigma }_{\text{BW},n}^2=\frac{1}{2n}\frac{S_0\mathrm{\gamma }}{\text{sin}\left(\mathrm{\pi }/\left(2n\right)\right)}$$

  
• Ein einzelner Faktor dieser Gleichung hat die Form $${ƒ}_{\alpha }\left(\omega \right)=\frac{1}{1-i\alpha \frac{\omega }{\mathrm{\gamma }}}$$

  

  mit der Fouriertransformation $${ƒ}_{\alpha }\left(t\right)=\frac{\mathrm{\gamma }}{\alpha }\text{exp}\left(-\frac{\mathrm{\gamma }}{\alpha }t\right)$$

  
• Findet man für t > 0 $$\begin{array}{c}{ƒ}_{\text{BW}\mathrm{,1}}\left(t\right)=\mathrm{\gamma }\text{ exp}\left(-\mathrm{\gamma }t\right)\\ \\ {ƒ}_{\text{BW}\mathrm{,2}}\left(t\right)=\sqrt{2}\mathrm{\gamma }\text{ exp}\left(-\frac{\mathrm{\gamma }}{\sqrt{2}}t\right)\text{sin}\left(\frac{\mathrm{\gamma }}{\sqrt{2}}t\right)\\ \\ \begin{array}{l}{ƒ}_{\text{BW}\mathrm{,3}}\left(t\right)=\mathrm{\gamma }\text{ exp}\left(-\mathrm{\gamma }t\right)\\ +\frac{\mathrm{\gamma }}{3}\text{exp}\left(-\mathrm{\gamma }t/2\right)\left(\sqrt{3}\text{ sin}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{\gamma }t\right)-3\text{ cos}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{\gamma }t\right)\right)\\ =\mathrm{\gamma }\text{ exp}\left(-\mathrm{\gamma }t\right)-\frac{2\mathrm{\gamma }\text{ exp}\left(-\mathrm{\gamma }t/2\right)}{\sqrt{3}}\text{cos}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{\gamma }t+\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)\end{array}\\ \\ \begin{array}{l}{ƒ}_{\text{BW}\mathrm{,4}}\left(t\right)=\frac{1}{2\sqrt{2}\text{ sin}\left(\mathrm{\pi }/8\right)}\\ \times (\mathrm{\gamma }{e}^{-C_8\mathrm{\gamma }t}\text{cos}\left(S_8\mathrm{\gamma }t\right)\\ +\mathrm{\gamma }{T}_8^{-1}{e}^{-C_8\mathrm{\gamma }t}\text{sin}\left(S_8\mathrm{\gamma }t\right)\\ -\mathrm{\gamma }{e}^{-S_8\mathrm{\gamma }t}\text{cos}\left(C_8\mathrm{\gamma }t\right)\\ -\mathrm{\gamma }{T}_8{e}^{-S_8\mathrm{\gamma }t}\text{sin}\left(C_8\mathrm{\gamma }t\right))\\ =\frac{1}{2\sqrt{2}\text{ sin}\left(\mathrm{\pi }/8\right)}\\ \times (\mathrm{\gamma }\frac{\text{sin}\left(\text{sin}\left(\mathrm{\pi }/8\right)\mathrm{\gamma }t+\mathrm{\pi }/8\right)e^{-\text{cos}\left(\mathrm{\pi }/8\right)\mathrm{\gamma }t}}{\text{sin}\left(\mathrm{\pi }/8\right)}\\ -\mathrm{\gamma }\frac{\text{cos}\left(\text{cos}\left(\mathrm{\pi }/8\right)\mathrm{\gamma }t-\mathrm{\pi }/8\right)e^{-\text{sin}\left(\mathrm{\pi }/8\right)\mathrm{\gamma }t}}{\text{cos}\left(\mathrm{\pi }/8\right)})\end{array}\end{array}$$

  

  wobei $$S8=\text{sin}\left(\mathrm{\pi }/8\right)=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2}},C8=\text{cos}\left(\mathrm{\pi }/8\right),$$

  

  und $$T8=\text{tan}\left(\mathrm{\pi }/8\right).$$

  
• Wir unterscheiden eine Funktion f(t) und ihre Fourier-Transformation f(Ω) (f(Omega)) nur durch ihr Argument. Sie sind verwandt durch $$\begin{array}{l}ƒ\left(\omega \right)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{i\omega t}ƒ\left(t\right)\text{d}t}\hfill \\ ƒ\left(t\right)=\frac{1}{2\mathrm{\pi }}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-i\omega t}ƒ\left(\omega \right)\text{d}\omega }.\hfill \end{array}$$

  
• Die Faltung in der Zeit sei definiert als $$ƒ\left(t\right)\ast g\left(t\right)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }ƒ\left(t-\tau \right)g\left(\tau \right)\text{d}\tau }$$

  

  und die Faltung der Frequenz als $$ƒ\left(\omega \right)\ast g\left(\omega \right)=\frac{1}{2\mathrm{\pi }}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }ƒ\left(\omega -\nu \right)g\left(\nu \right)\text{d}\nu }$$

  

  mit dem zusätzlichen Vorfaktor 1/(2 Pi). Daraus ergeben sich folgende Beziehungen für die Fourier-Transformationen von Faltungen und Funktionsprodukten: $$\begin{array}{c}{h}_1\left(t\right)=ƒ\left(t\right)\ast g\left(t\right)\\ h_1\left(\omega \right)=ƒ\left(\omega \right)g\left(\omega \right)\\ \\ h_2\left(\omega \right)=ƒ\left(\omega \right)\ast g\left(\omega \right)\\ h_2\left(t\right)=ƒ\left(t\right)g\left(t\right).\end{array}$$

  
• Das Rauschspektrum eines Signals x(t) ist $$S_x\left(\omega \right)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{i\omega t}\left({\left(x\left(t+\tau \right)x\left(t\right)\right)}_t-{\left(x\left(t\right)\right)}_t^2\right)\text{d}\tau }.$$

  
• Bezugszeichenliste

A-D

zeitliche Antwortfunktion von einem, zwei, drei und vier sequenziell verwendeten RC-Filtern (6dB, 12dB, 18dB, 24dB)

E-I

Verlaufskurve einer Amplitude einer Funktion eines Soft-Rechteck-Filters für einen Wert von α

Claims (8)

1. Lock-in-Verstärker, aufweisend ein Filter, wobei das Filter ausgebildet ist, ein Signal aus einem Messsignal herauszufiltern mittels einer parameterabhängigen Filter-Funktion, die auf ein zeitliches Intervall begrenzt ist, wobei das Filter durch ein parameterabhängiges Soft-Rectangle Filter realisiert ist.
2. Lock-In-Verstärker nach dem vorgehenden Anspruch, wobei das Filter ausgebildet ist, seine Funktion für ein weißes Hintergrundrauschen im Messsignal zu einem Rechteck werden zu lassen.
3. Lock-In-Verstärker nach mindestens einem der vorgehenden Ansprüche, wobei das Filter ausgebildet ist, seine Funktion für ein Rauschen im Messsignal nahe einer Referenzfrequenz zu einer Sinus-Funktion werden zu lassen.
4. Lock-In-Verstärker nach mindestens einem der vorgehenden Ansprüche, ausgestaltet zum Überwachen eines Hintergrundrauschspektrums und zum Anpassen einer Integrationszeit zum Erreichen eines vorgegebenen Signal-zu-Rausch-Verhältnis, SNR.
5. Lock-In-Verstärker nach mindestens einem der vorgehenden Ansprüche, ausgestaltet zum Ausgeben von einer Amplitude und/oder einer Phase und/oder Koordinaten X und Y von zumindest einer höheren Harmonischen.
6. Lock-In-Verstärker nach mindestens einem der vorgehenden Ansprüche, einstellbar auf einen Modus, der einen Lock-in-Verstärker mit einem oder mehreren seriellen RC-Filter nachahmt.
7. Lock-In-Verstärker nach mindestens einem der vorgehenden Ansprüche, wobei der Lock-In-Verstärker ausgestaltet ist, zu jedem Messwert einen Fehlerwert auszugeben.
8. Lock-In-Verstärker nach mindestens einem der vorgehenden Ansprüche, ausgestaltet zum Ausgeben einer Amplitude, Phase oder Koordinaten X und Y wie ein Lock-In-Verstärker nach einem der vorgehenden Ansprüche und ausgestaltet, simultan Amplitude, Phase oder Koordinaten X und Y wie ein Lock-In Verstärker mit einem oder mehreren RC-Filtern auszugeben.

Images