DE10105258B4 - Auflösungs-Filter für einen Spektrumanalysator - Google Patents

Auflösungs-Filter für einen Spektrumanalysator Download PDF

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Abstract

Auflösungs-Filter (Resolution-Filter) (4) für einen Spektrumanalysator (1),
wobei das Auflösungsfilter (4) folgende komplexe Impulsantwort hused(t) hat:
Figure 00000002
wobei C1, C2 und C3 Konstanten sind,
dadurch gekennzeichnet,
daß die Konstante C2
Figure 00000003
beträgt, wobei Tres = 1/Bres die reziproke Bandbreite Bres des Auflösungs-Filters (4) ist.

Description

  • Die Erfindung betrifft ein Auflösungs-Filter (Resolution-Filter) für einen Spektrumanalysator.
  • Bei der Spektrumanalyse wird ein vorgegebener Frequenzbereich mit einem Auflösungs-Filter (Resolution-Filter) mit einer vorgegebenen Bandbreite durchfahren (gesweept). Das Auflösungs-Filter wird deshalb auch als Sweep-Filter bezeichnet. Ein solches Auflösungs-Filter für einen Spektrumanalysator in analoger Bauweise ist beispielsweise aus der US 5,736,845 A bekannt. Bei Auflösungs-Filtern in bekannter analoger Bauweise kann nur eine begrenzte Sweepgeschwindigkeit erreicht werden, wobei der sogenannte K-Faktor, der angibt, wie schnell gesweept wird, bei Auflösungs-Filtern in bekannter Bauweise beschränkt ist.
  • US 5,168,213 lehrt, wie die Begrenzungen der Sweep Rate, welche bisher die maximalen Sweep Rates von Geräten bestimmt haben, erweitert werden. Dies geschieht durch eine Optimierung einer Filterschaltung und durch Nachbearbeitung eines Zwischenfrequenzsignals, was zu einer teilweisen Kompensation der Fehler führt, welche durch schnelles Sweeping verursacht werden.
  • DE 199 22 249 A1 zeigt ein Frequenzanalyseverfahren mit einer hohen Geschwindigkeit. Dabei wird das zu messende Signal mit einem Hauptfrequenzwobbelsignal multipliziert. Das Ergebnis wird über ein Zwischenfrequenzfilter herausgeführt. Die Frequenzkomponenten, die in dm zu messenden Signal enthalten sind, werden auf der Grundlage der Beziehung zwischen der Leistung jedes der Zwischenfrequenzsignale und der entsprechenden Frequenz des Hauptfrequenzwobbelsignals analysiert.
  • US 5,075,619 beschreibt wie bei Spektrumanalysatoren die Frequenz einer Spektrallinie schnell und genau ermittelt werden kann, indem ein frequenzvariabler lokaler Oszillator durchgesweept wird. Dieses Signal wird mit einem Signale, welches die Spektrallinie mit der unbekannten Frequenz enthält, gemischt. Das sich hieraus ergebende Signal wird zweimal auf einen Gaußfilter gegeben.
  • In ”Methoden der Systemtheorie”, 2. Auflage Springer-Verlag, 1982 von Marko, werden verschiedene Beispiele nichtkausaler Systeme erläutert. Es wird das Verhalten von idealen, Spalt- und Gauß-Tiefpassen diskutiert. Weiterhin wird der Faltungssatz und dessen Bedeutung für den idealen Modulator beschrieben.
  • Keines der bisher erläuterten Dokumente beschreibt jedoch die komplexe Impulsantwort eines Auflösungsfilters und insbesondere die Konstanten, welche diese spezifizieren. Erfindungsgemäß soll die Impulsantwort des Auflösungsfilters optimiert werden, so dass eine erhöhte Sweepgeschwindigkeit erreicht wird.
  • Es wurde bisher allgemein davon ausgegangen, daß man bei der Spektrumanalyse innerhalb von Tres in der Größenordnung um 1/Bres = Tres sweepen darf, damit das Resolution-Filter noch einschwingen kann. Diese Aussage hat sich ähnlich wie das Zeitgesetz der Nachrichtentechnik gefestigt. Allerdings ist diese Aussage nur dann richtig, wenn von einem festen Filter für alle Sweepgeschwindigkeiten ausgegangen wird.
  • Der Erfindung liegt deshalb die Aufgabe zugrunde, ein Auflösungs-Filter zu schaffen, das eine optimale Auflösung bei einer hohen Sweepgeschwindigkeit ermöglicht.
  • Die Aufgabe wird durch die Merkmale des Anspruchs 1 oder die Merkmale des Anspruchs 3 oder 6 gelöst. Die Unteransprüche betreffen vorteilhafte Weiterbildungen der Erfindung.
  • Die Erfindung hat gezeigt, daß mit einem optimalen komplexen Resolution-Filter sogar unendlich schnell gesweept werden kann, ohne daß ein Amplituden- oder Bandbreitenfehler auftritt.
  • Weiterhin zeigt sich, daß im Fall eines reellen Resolution-Filters zwar nicht unendlich schnell gesweept werden darf, immerhin aber ein minimaler K-Faktor von Kmin = 0,88 erreicht werden kann. Definition des K-Faktors: Innerhalb Tres wird um 1/K·Bres gesweept.
  • Die Erfindung wird nachfolgend unter Bezugnahme auf die Zeichnung näher erläutert. In der Zeichnung zeigen:
  • 1 Blockschaltbild der Spektrumanalyse im äquivalenten Basisband;
  • 2 zu verwendendes Bused in Abhängigkeit des K-Faktors
  • 1 zeigt ein vereinfachtes Blockschaltbild eines Spektrumanalysators 1. Das zu analysierende komplexe Eingangssignal v(t) wird einem Konjugiertkomplex-Bilder 2 zugeführt, der das konjugiertkomplexe Signal v*(t) des Eingangssignals v(t) bildet. In einem Mischer 3 wird das konjugiert komplexe Eingangssignal v*(t) durch Multiplikation mit dem Sweep-Signal ejφ(t) in das Basisbandsignal x(t) heruntergemischt. In 1 ist oben die Frequenz f(t) des Sweep-Signals als Funktion der Zeit t dargestellt, wobei zu erkennen ist, daß sich die Sweep-Frequenz f(t) linear mit der Zeit t verändert. Durch Integration erhält man den Phasenwinkel φ(t) als Funktion der Zeit t. Das Basisband-Signal x(t) wird dem erfindungsgemäßen Auflöse-Filter (im folgenden Resolution-Filter) 4 zugeführt. In dem Resolution-Filter 4 wird das Basisband-Signal x(t) mit der Impulsantwort hused (t) des Resolution-Filters 4 gefaltet. Dabei entsteht das Ausgangssignal y(t). In einem Betragsbilder 5 wird der Betrag |y(t)| des Signals y(t) gebildet.
  • Im unteren Bereich von 1 ist beispielhaft ein Eingangssignal v(t) dargestellt, dessen Spektrum aus zwei diskreten Spektrallinien besteht. Ferner ist ein Beispiel für die Übertragungsfunktion H(t) des Resolution-Filters 4 angegeben. Am Ausgang des Spektrum-Analysators 1 steht das rechts daneben dargestellte Spektrum, wobei die Spektrallinien um die Auflösungsbandbreite Bres des Resolution-Filters 4 verbreitert sind. Die Auflösungsbandbreite Bres entspricht der Bandbreite bei einer Dämpfung um –3dB gegenüber dem Maximum.
  • Das Spektrum des Signals v(t) wird zuerst mit der Impulsantwort des Resolution-Filters gefenstert und anschließend gemäß
    Figure 00050001
    die Fouriertransformation durchgeführt.
  • Interessant ist die Frage der Korrelation des Spektrums bei weißem Rauschen. Durch die Korrelation wird beschrieben, in welchem Abstand das Spektrum unkorreliert wird. Die AKF (Autokorrelationsfunktion) des Eingangssignals wird bei weißem Rauschen durch
    Figure 00050002
    beschrieben. Die AKF des Fourierspektrums ergibt sich unter Verwendung von Gleichung (1)
    Figure 00050003
  • Durch Einsetzen von Gleichung ( 2) ergibt sich mit τ1 = τ2 := τ
    Figure 00060001
  • Für ein Gaußfilter gilt:
    Figure 00060002
  • Mit Gleichung (3) folgt:
    Figure 00060003
  • Weiterhin folgt mit Gleichung (4)
    Figure 00070001
  • Beim gaußschen Resolution-Filter erhält man mit Gleichung (5):
    Figure 00070002
  • In 1 ist das Blockschaltbild der Spektrumanalyse im äquivalenten Basisband gezeigt. Man beachte, daß das zu untersuchende HF-Signal v(t) zwecks einfacherem Modell im äquivalenten Basisband betrachtet wird (d. h. keine Spektralanteile bei f < 0). Nach Bildung von v*(t) wird mit dem Drehzeiger ejφ(t ) multipliziert und es entsteht x(t) = v*(t)·ejφ(t ) (7)
  • Die Frequenz des Drehzeigers steigt gemäß
    Figure 00070003
    linear mit der Zeit an. Der K-Faktor gibt an, wie schnell gesweept wird. Da das Resolution-Filter näherungsweise eine Einschwingzeit von Tres benötigt, sollte die Frequenz innerhalb Tres maximal um Bres verändert werden, was nach Gleichung (8) einem maximalen K-Faktor von K = 1 entspricht. Durch Integration ergibt sich die Phase
    Figure 00080001
  • Das Signal x(t) wird anschließend durch das Resolution-Filter mit der Impulsantwort hused(t) gefiltert und es entsteht das Ausgangssignal y(t). Von diesem Ausgangssignal wird die Einhüllende |y(t)| bestimmt und anschließend i. a. logarithmisch auf dem Spektrum-Analyzer dargestellt.
  • Das Ausgangssignal ergibt sich durch
  • Figure 00080002
  • Durch Einsetzen von Gleichung (7) erhält man
    Figure 00080003
  • Durch Einsetzen von Gleichung (9) ergibt sich schließlich
    Figure 00080004
  • Durch Ausmultiplikation erhält man
    Figure 00080005
    wobei der erste Therm ejφ(t ) nicht stört, weil letztendlich |y(t)| zur Anzeige gebracht wird. In der Formel wird die Impulsantwort
    Figure 00090001
    eingeführt. Der Index steht für ”displayed”, weil nachfolgend gezeigt wird, daß das Spektrum dieser Impulsantwort zur Anzeige kommt.
  • Nach Gleichung (8) ergibt sich durch Umformung
    Figure 00090002
  • Durch Einsetzen in Gleichung (10) ergibt sich
    Figure 00090003
  • Nun können einige interessante Aussagen festgehalten werden: Der Vergleich von Gleichung (13) mit der Fourieranalyse in Gleichung (1) zeigt, daß
    • 1. bei der Spektrumanalyse nicht das verwendete Resolution-Filter hused(t), sondern das nach Gleichung (11) beschriebene ”displayed” Resolution-Filter hdisp(t) zur Anzeige kommt. Bei langsamen Sweep für ungefähr K ≥ 2 stimmen hused(t) und hdisp(t) näherungsweise überein. Bei schnellem Sweep hingegen treten deutliche Unterschiede auf. In diesem Fall bricht die Pegel ein und das dargestellte Resolution-Filter wird breiter (das Filter kann nicht mehr einschwingen).
    • 2. In Gleichung (13) wird im Gegensatz zur Fourieranalyse nicht v(τ), sondern das um t verschobene Zeitsignal verwendet. Folglich wertet der Spektrumanalyzer ein zeitlich gleitendes Beobachtungsintervalle aus, was nicht weiter störend ist. Bemerkenswert ist die Frage, welchen Einfluß die Geschwindigkeit des gleitende Beobachtungsfenster auf das Ausgangsspektrum hat.
  • Um die Frage des gleitenden Beobachtungsfenster in 2. besser beurteilen zu können, empfiehlt es sich, das Parsevalsche Theorem gemäß
    Figure 00100001
    auf Gleichung (13) anzuwenden. Durch Substitution von
    Figure 00100002
    läßt sich Gleichung (13) durch
    Figure 00100003
    beschreiben. Damit erhält man erwartungsgemäß eine Faltung von Eingangsspektrum mit dem Resolution-Filter gemäß
    Figure 00100004
  • Durch Einsetzen von Gleichung (12) in Gleichung (14) ergibt sich schließlich
    Figure 00110001
  • Zunächst wird das Ausführungsbeispiel des erfindungsgemäßen komplexen Auflöse-Filters (Komplexes Resolution-Filter) erläutert.
  • Zur Spektrumanalyse wird ein gaußförmiges Resolution-Filter mit der Bandbreite Bres verwendet. Das ”displayed” Resolution-Filter soll die Impulsantwort und Übertragungsfunktion
    Figure 00110002
    besitzen. Durch Hdisp(f = 0) = 1 wird die amplitudenrichtige Darstellung der Spektrallinien sichergestellt.
  • In Gleichung (16) wird ein linearphasiges Filter verwendet, was nicht zwingend ist. Man beachte, daß nur der Betrag von Hd isp(f) gaußförmig sein muß, d. h. die Phase darf beliebig sein. Der Freiheitsgrad der Phase kann beim Design ausgenutzt werden, indem das Filter minimalphasig gemacht wird. Damit wird die Gruppenlaufzeitverzögerung gegenüber dem linearphasigen Filter ungefähr halbiert. Darauf wird später noch näher eingegangen.
  • Das zu verwendende Resolution-Filter erhält man nach Gleichung (11) die Vorschrift
    Figure 00110003
  • Durch Einsetzen ergibt sich
    Figure 00120001
    Gleichung (18) läßt sich verallgemeinert in der Form
    Figure 00120002
    schreiben, wobei C1, C2 und C3 Konstanten sind.
  • Aus Gleichung (18) erkennt man, daß die Impulsantwort des ”used” Filters komplex ist. Daher ist diese Lösung nur dann möglich, wenn die Möglichkeit einer komplexen Filterung gegeben ist.
  • Es gilt:
    Figure 00120003
  • Beim optimalen komplexen Resolution-Filter muß
    Figure 00120004
    in Gleichung (19) eingesetzt werden. Nach Zwischenrechnung ergibt sich
    Figure 00130001
  • Aus Gleichung (20) erkennt man, daß sich die Bandbreite durch die quadratisch ansteigende Phase der Impulsantwort um 1/√ Faktor ≥ 1 vergrößert wird. Weiterhin bricht die Amplitude um Faktor1/4 ≤ 1 ein.
  • Nach Gleichung (20) ergibt sich die Transformierte durch
    Figure 00130002
  • Damit können folgende Aussagen festgehalten werden:
    • 1. Es stimmt nicht die gängige Meinung, daß bei der Spektrumanalyse der K-Faktor nicht kleiner als 1 gemacht werden darf, weil dann das Filter nicht mehr einschwingt. Bei entsprechender Wahl des optimalen Resolution-Filters darf der Sweep beliebig schnell gemacht werden, d. h. K → 0 ist prinzipiell möglich.
    • 2. Das optimale Filter hused(k) hängt vom K-Faktor und damit von der Sweep-Geschwindigkeit ab. Bei zunehmend schnellen Sweep konvergiert die Spektrumanalyse in Richtung Fourieranalyse.
    • 3. Aus Gleichung (22) erkennt man, daß es sich bei dem ”verwendeten” Filter hused(k) wieder um ein Gaußfilter handelt. Allerdings ist die Impulsantwort komplex.
  • Beim Übergang zur diskreten Impulsantwort folgt aus
    Figure 00140001
    für die digitale Impulsantwort hused(k) = Tahused(t = kTa)
  • Durch Einsetzen von Gl. (18) erhält man
    Figure 00140002
    mit Tres = 1/Bres, Bres = Resolution-Bandbreite (Auflösungs-Bandbreite) bei 3 dB Signalabfall gegenüber dem Maximum und fa = Abtastfrequenz im Basisband.
  • Nachfolgend wird auf das Ausführungsbeispiel eines reellen Auflösefilters (reelles Resolution-Filter) eingegangen.
  • Nach Gleichung (11) gilt die Vorschrift
    Figure 00150001
  • Weiterhin ist nach Gleichung (19) bekannt, daß bei gaußförmiger Impulsantwort hused(t) auch der interessierende Betragsfrequenz |Hdisp(f)| gaußförmig ist. Allerdings verändert die quadratisch ansteigende Phase in Gleichung (11) die Bandbreite und den nicht weiter interessierenden Phasengang.
  • Beim optimalen reellen Resolution-Filter muß
    Figure 00150002
    in Gleichung (67) eingesetzt werden. Nach Zwischenrechnung ergibt sich
    Figure 00150003
  • Gibt man bei der Impulsantwort hused(t) eine noch näher zu bestimmende Bandbreite Bused vor, so ergibt nach Gleichung (25)
    Figure 00160001
  • Laut Anforderung soll
    Figure 00160002
    gelten. Durch Vergleich von Gleichung (27) mit Gleichung (29) ergibt sich die Vorschrift
    Figure 00160003
  • Durch Einsetzen von Gleichung (28) ergibt sich
    Figure 00170001
  • Durch Umformung erhält man
  • Figure 00170002
  • Durch Lösung dieses quadratischen Gleichung erhält man die beiden Lösungen
    Figure 00170003
  • Wie sich nachfolgend zeigen wird, führt nur die Subtraktion in Gleichung (32) zu einem sinnvollen Ergebnis, weshalb die Addition in Klammer gestellt wurde: In 2 werden die beiden Lösungen für die zu verwendende Bandbreite Bused nach Gleichung (32) gezeigt. Die Addition in Gleichung (32) führt zu dem kleineren Bused und ist als Lösung nicht sinnvoll, weil die Impulsantwortdauer und damit die Gruppenlaufzeitverzögerung gegenüber der Lösung dem großen Bused größer ist. Das Ziel ist es jedoch, eine möglichst kleine Gruppenlaufzeitverzögerung zu erreichen. Aus diesem Grund wurde die Addition in Gleichung (32) in Klammer gesetzt.
  • Eingesetzt ergibt sich aus Gleichung (32) für den nur interessierenden Fall (großes Bused)
    Figure 00180001
  • Aus 2 sind einige interessante Eigenschaften zu erkennen:
    Bei reeller Impulsantwort hused(t) kann man im Gegensatz zum komplexen Fall den K-Faktor nicht beliebig klein machen, d. h. man kann nicht unbegrenzt schnell sweepen. Welcher minimale K-Faktor ist möglich? Der Wurzelausdruck in Gleichung (32) darf nicht negativ sein. Damit gilt bei minimalem K A2 – 4CA = 0
  • Durch Einsetzen ergibt sich Kmin = 4ln(2)/π = 0,8825 wie auch aus 2 zu erkennen ist. Weiterhin kann einfach aus Gleichung (32) hergeleitet werden, daß bei minimalem K
    Figure 00180002
    ist. Demnach tritt bei dieser maximalen Sweepgeschwindigkeit eine um den Faktor größere Gruppenlaufzeitverzögerung gegenüber einem konventionellen Resolution-Filter auf.
  • Durch Verwendung der Bedingung in Gleichung (31) ergibt sich aus Gleichung (28) die Vereinfachung
    Figure 00180003
  • Durch Einsetzen in Gleichung (27) ergibt sich
    Figure 00190001
  • Mit Gleichung (35) ergibt sich die Korrespondenz
    Figure 00190002
  • Gleichung (35) läßt sich verallgemeinert in der Form
    Figure 00190003
    schreiben, wobei C4 und C5 Konstanten sind.
  • Beim Übergang zur diskreten Impulsantwort folgt aus
    Figure 00190004
    für die digitale Impulsantwort hused(k) = Tahused(t = kTa)
  • Durch Einsetzen von Gleichung (35) erhält man schließlich
    Figure 00200001
    d. h. beim verwendeten Filter tritt eine Verstärkung bei f = 0 auf.

Claims (7)

  1. Auflösungs-Filter (Resolution-Filter) (4) für einen Spektrumanalysator (1), wobei das Auflösungsfilter (4) folgende komplexe Impulsantwort hused(t) hat:
    Figure 00210001
    wobei C1, C2 und C3 Konstanten sind, dadurch gekennzeichnet, daß die Konstante C2
    Figure 00210002
    beträgt, wobei Tres = 1/Bres die reziproke Bandbreite Bres des Auflösungs-Filters (4) ist.
  2. Auflösungs-Filter (Resolution-Filter) (4) nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die Konstante C3
    Figure 00210003
    beträgt, wobei Bres die Bandbreite des Auflösungs-Filters (4) und K der K-Faktor des Auflösungs-Filters (4) ist, wobei der K-Faktor über die Gleichung
    Figure 00210004
    definiert ist und f(t) eine linear mit der Zeit t variable Frequenz ist, die einem dem Auflösungs-Filter (4) vorgeschalteten Mischer (3) des Spekrumanalysators (1) zugeführt wird.
  3. Auflösungs-Filter (Resolution-Filter) (4) für einen Spektrumanalysator (1), wobei das Auflösungsfilter (4) folgende komplexe Impulsantwort hused(t) hat:
    Figure 00220001
    wobei C1, C2 und C3 Konstanten sind, dadurch gekennzeichnet, daß die Konstante C3
    Figure 00220002
    beträgt, wobei Bres die Bandbreite des Auflösungs-Filters (4) und K der K-Faktor des Auflösungs-Filters (4) ist, wobei der K-Faktor über die Gleichung
    Figure 00220003
    definiert ist und f(t) eine linear mit der Zeit t variable Frequenz ist, die einem dem Auflösungs-Filter (4) vorgeschalteten Mischer (3) des Spektrumanalysators (1) zugeführt wird.
  4. Auflösungs-Filter (Resolution-Filter) (4) nach Anspruch 3, dadurch gekennzeichnet, daß die Konstante C2
    Figure 00220004
    beträgt, wobei Tres = 1/Bres die reziproke Bandbreite Bres des Auflösungs-Filters (4) ist.
  5. Auflösungs-Filter (Resolution-Filter) (4) nach einem der Ansprüche 1 bis 4, dadurch gekennzeichnet, daß die Konstante C1
    Figure 00230001
    beträgt, wobei Bres die Bandbreite des Auflösungs-Filters (4) ist.
  6. Auflösungs-Filter (Resolution-Filter) (4) für einen Spektrumanalysator (1), wobei das Auflösungsfilter (4) folgende reelle Impulsanwort hused (t) hat:
    Figure 00230002
    wobei C4 und C5 Konstanten sind, dadurch gekennzeichnet, daß die Konstante C5,
    Figure 00230003
    beträgt, wobei Tused = 1/Bused ist, wobei Bused über die Gleichung
    Figure 00230004
    definiert ist, wobei Bres die Bandbreite des Auflösungsfilters (4) ist und wobei K der K-Faktor des Auflösungs-Filters (4) ist, wobei der K-Faktor über die Gleichung
    Figure 00240001
    definiert ist und f(t) eine linear mit der Zeit t variable Frequenz ist, die einem dem Auflösungs-Filter (4) vorgeschalteten Mischer (3) des Spekrumanalysators (1) zugeführt wird.
  7. Auflösungs-Filter (Resolution-Filter) (4) nach Anspruch 6, dadurch gekennzeichnet, daß die Konstante C4,
    Figure 00240002
    beträgt.
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